Monografia La Transformada De Laplace.docx 1m4m5d

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL, SISTEMAS E INFORMÁTICA ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

“LA TRANSFORMADA DE LAPLACE”

Curso: Matemática IV Docente: Valverde Flores Cosme Ulises Ciclo: IV Alumna: Loarte Sana Kimberly

HUACHO - 2016

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SISTEMAS E INFORMÁTICA

DEDICATORIA Este trabajo

está dedicado a nuestros padres que siempre nos están

apoyando incondicionalmente en la parte económica y moral para poder llegarnos a realizar como excelentes profesionales. A nuestros familiares que nos motivan, ayudan y que por sus experiencias a lo largo de su vida nos brindan consejos para realizar todo de la mejor manera posible. Ante todo a Dios que nos da la vida, le otorgó una familia la cual cada día nos comporta sus enseñanzas y fortalezas para seguir desempeñando dando siempre lo mejor.

AGRADECIMIENTO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2


Quiero agradecer a todos mis maestros ya que ellos me enseñaron valorar los estudios y a superarme cada día, también agradezco a mis padres porque ellos estuvieron en los días más difíciles de mi vida como estudiante. Y agradezco a Dios por darme la salud que tengo, por tener una cabeza con la que puedo pensar muy bien y además un cuerpo sano y una mente de bien Estoy seguro que mis metas planteadas darán fruto en el futuro y por ende me debo esforzar cada día para ser mejor en el colegio y en todo lugar sin olvidar el respeto que engrandece a la persona.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

3


INDICE DEDICATORIA AGRADECIMIENTO INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I: ANTECEDENTES OBJETIVOS: IMPORTANCIA: CAPÍTULO II: BREVE RESEÑA HISTÓRICA BREVE RESEÑA HISTORICA: CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROPIEDADES OPERACIONALES PRIMER TEOREMA DE TRASLACION FUNCION ESCALON UNITARIO SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION CAPITULO IV: DESARROLLO EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA


4


INTRODUCCIÓN La Transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea, junto con la Transformada de Fourier, una de las herramientas más útiles para estos efectos. En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo, circuitos electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema: El objetivo del método es que modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolver

la

ecuación

diferencial

por

métodos

directos.

Esto

resulta

particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas.

Para poder hacer efectivo este método se requiere de varios resultados previos, junto con presentar la transformada de Laplace y utilizarla para obtener la transformada de funciones básicas, como las potencias o la función exponencial, estudiamos qué características debe tener una función para que exista su transformada. Posteriormente, para poder utilizar la transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones diferenciales, estudiamos diversos teoremas relacionados con la derivada y la integral de funciones.


5


CAPÍTULO I: ANTECEDEN TES LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6


OBJETIVOS:  Comprender la teoría de la transformada inversa de Laplace, así como también encontrar y entender la relación que entre cada una de las propiedades para resolver ejercicios.  Aplicar la transformada de Laplace y su transformada inversa para resolver ecuaciones diferenciales lineales.  En este trabajo se pueden apreciar los teoremas de Laplace, así como algunos problemas y ejemplos de los mismos y una breve explicación de los mismos.  Analizar la utilización de los diferentes propiedades operaciones de Laplace.

IMPORTANCIA: La aplicación de la transformada de la place en la ingeniería se aplica de diferentes formas entre entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como: El control de procesos que lo podemos aplicar por ejemplo en: El ámbito doméstico (para controlar temperaturas, humedad, en edificios), en la transportación (para controlar que autos o aviones se muevan de un lugar a otro de forma segura y exacta), en la industria (para controlar un sin número de variables en los procesos En el caso de la ingeniería Industrial tienen especial importancia en el control de procesos. En control de procesos es necesario obtener las funciones de transferencia de los distintos elementos de un lazo de control, estas funciones de transferencia se expresan en el dominio de Laplace porque es mucho más fácil operar en este dominio y predecir cómo se va a comportar el elemento en cuestión. Otra aplicación podría darse en el estudio de la cinética de reacciones complejas, donde pueden existir sistemas de ecuaciones diferenciales fácilmente resolubles por Laplace.


7


CAPÍTULO II: BREVE RESEÑA HISTÓRICA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

8


BREVE RESEÑA HISTÓRICA:

De

`un breve relato de la historia de las matemáticas" (4 ª edición, 1908) por Ball WW Rouse. Pierre Simon Laplace nació en Beaumont-en-Auge, en Normandía el 23 de marzo de 1749, y murió en París el 5 de marzo de 1827. Él era el hijo de un aldeano pequeño o tal vez un trabajador del campo, y debía su educación al interés despertado en algunos vecinos ricos

por

sus capacidades y presencia atractiva.

Muy poco se sabe de sus primeros años, ya que cuando él se distinguió tuvo la mezquindad de mantener a sí mismo al margen tanto de sus parientes y de los que le habían ayudado. Al parecer, según un alumno se convirtió en un ujier en la escuela de Beaumont, pero, después de haber adquirido una carta de presentación a D'Alembert, se fue a París para impulsar su fortuna. Un documento sobre los principios de la mecánica emocionado D'Alembert interés, y en su recomendación de un lugar en la escuela militar se ofreció a Laplace. Asegure de una competencia, Laplace ahora se lanzó a la investigación original, y en los próximos diecisiete años, 1771-1787, produjo gran parte de su obra original en la astronomía. Esto comenzó con un libro de memorias, leyó ante la Academia sa en 1773, en la que mostró que los movimientos planetarios se mantuvieron estables, y realizó la prueba en cuanto a los cubos de las excentricidades e inclinaciones. Esto fue seguido por varios artículos sobre los puntos del cálculo integral, diferencias finitas, ecuaciones diferenciales, y la astronomía. Durante los años 1784-1787 se produjo algunas memorias de un poder excepcional. Entre ellos se destaca una lectura en 1784, y reimpreso en el tercer volumen de la Celeste Méchanique, en la que determina totalmente la atracción de un esferoide sobre una partícula fuera de ella.


9


CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

10


3.1.1 La transformada de laplace "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."

3.1.2 Definición de Transformada de Laplace Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: 

L{ f (t )}  F ( s )   f (t ) e  st dt 0

donde s es una variable compleja

s    iw.

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

Se observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:


11


Notación:

3.1.3 Condiciones suficientes de existencia de la TL 

L{ f (t )}  F ( s )   f (t ) e  st dt 0

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

| f (t ) | Me at , t  [0, ) Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

b   tq lim | f (t )e bt | 0 t 

Entonces: L{f(t)} = F(s) existe s > a

3.1.4 Unicidad de la TL Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:

L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s), entonces el teorema de Lerch garantiza que


12



13


a

 N (t )dt  0 0

a  0 y la función nula N(t) definida por : N (t )  f1 (t )  f 2 (t )

3.2. PROPIEDADES OPERACIONALES Una vez estudiada la definición de Transformada de Laplace y caracterizadas algunas condiciones para que una función f tenga Transformada de Laplace L[f] definida en un dominio del plano complejo Df, pasamos a estudiar algunas propiedades básicas de esta transformada integral. La primera propiedad que vamos a estudiar es la linealidad. 3.2.1 Linealidad Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones. Teorema1: Sean f, g ∈ E y a, b ∈ C. Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica que L [af + bg](z) = a L [f](z) + b L [g](z). 

L af  bg z    e  zt ( af (t )  bg (t )) dt 0

L af  bg z   lim

x

x

e

 zt

(af (t )  bg (t )) dt

0

L af  bg z   a lim

x

x

e 0

 zt

x

( f (t )  b lim

x

L af  bg z   aL[ f ]( z )  bL[ g ]( z )

e

 zt

g (t )) dt

0

La demostración se sigue

inmediatamente de la linealidad de la integral. Consideremos:


14



15


A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas Transformadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos. Ejemplos: Función seno. Sea ω ∈ R y consideremos la función iwt

f ( t )=sen ( wt ) =

−iwt

e −e 2i

e ¿ e [¿¿−iwt](z) [¿ iwt ¿ ] ( z )−L ¿ L¿ 1 L [ f ] z= ¿ 2i

L [ f ] z=

1 1 1 − 2 i z−iw z +iw

L [ f ] z=

w 2 z +w

(

)

2

Función seno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función wt

f ( t )=sinh ( wt )=

−wt

e −e 2

e ¿ e [¿¿−wt ](z) [¿ wt ¿ ] ( z )−L ¿ L¿ 1 L [f ] z= ¿ 2


16


L [ f ] z=

1 1 1 − 2 z−w z+ w

L [ f ] z=

w 2 z −w

(

)

2

Se dice que la función f ∈ E es derivable a trozos si es continua, existen las derivadas laterales de f en cada punto de [0,+∞) y en cada subintervalo

[a, b]

⊂ [0,+∞) existen a lo sumo una cantidad finita de puntos donde f no es derivable. Si f es derivable a trozos, definimos f0: [0,+∞) → C como f0(x) = f0+(x) para todo x ∈ [0,+∞). Es claro entonces que f0 es una función continua a trozos, que coincidirá en casi todos los puntos con la derivada ordinaria. Se tiene entonces el siguiente resultado. Teorema 2: Bajo las condiciones anteriores se verifica para todo z ∈ Df.

[ f ' ] z=z [ f ] ( z )−f (0) Sean z ∈ Df y x > 0 y consideremos 0 < x1 < x2 <... < xn−1 < x Los puntos de discontinuidad de f0 en el intervalo (0, x) y fijemos x0 = 0 y Xn = X. Entonces, dividiendo el intervalo de integración y utilizando la fórmula de integración por partes.


17


Tomando límites cuando x → +∞, y teniendo en cuenta que z ∈ D∗f y que por tanto existen A,B ∈ R, A > 0,

R ez > B, tales que:

(1.5) Procediendo por inducción a partir de la fórmula (1.5) se prueba una fórmula general para la derivada k-ésima de la función f en el caso de que fk−1) sea derivable a trozos para k ∈ N. Esta fórmula viene dada para todo z ∈ D∗f por

(1.6) Donde las derivadas sucesivas de f en 0 se entienden como derivadas por la derecha. Las fórmulas 1.5 y 1.6 serán claves para resolver ecuaciones y sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes, como veremos en el apartado de aplicaciones de este tema. 3.2.2 Transformada de la integral Sea f ∈ E y definamos la función t

g ( t )=∫ f ( s) ds 0

Que obviamente está bien definida y es continua para todo t ∈ [0,+∞). La relación entre las Transformadas de Laplace de ambas funciones viene dada por el siguiente resultado. Teorema 3: En las condiciones anteriores, para todo z ∈ D∗f ∩{z ∈ C :

R ez

> 0} se verifica L[ g ] ( z )=

L[f ]( z ) z

Sea x > 0 y consideremos 0 = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = x de manera que f no es continua en xi para 1≤ i < n. Obviamente g es derivable en (xi, xi+1) Para 1 ≤ i < n. Entonces


18


Teniendo en cuenta la continuidad de g y g(0) = 0. Vamos a comprobar que

lim g ( x)e  zx

x

Para ello y dado que f ∈ E, existirán reales B y A > 0 de manera que |f(t)| ≤ AeBt para todo t ≥ 0. Sea

3.2.3 Transformada de la convolución Sean f, g ∈ E y definamos f(t) = g(t) = 0 para todo t < 0. Se define la convolución de f y g como la función

Puede verse con el cambio de variable y = t − s que f * g = g * f. El principal interés de la convolución respecto a la Transformada de Laplace se concreta en el siguiente resultado. Teorema 4: En las condiciones anteriores, para toda z ∈ Df ∩ Dg se verifica la fórmula


19


L [f * g](z) =

L [f](z) L [g](z).

En primer lugar, existen números reales B y Ai > 0, i = 1, 2, de manera que para todo t ≥ 0 se verifica |f(t)| ≤ A1eBt y |g(t)| ≤ A2eBt. Entonces para todo t ≥ 0

3.3. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN Si F ( s )=L { f ( t ) } y a es caualquier numero real , entonces

L{e at f ( t ) =F( s−a)} A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo

L{e at f ( t ) }=L {f (t) } Ejemplo: 5t 3

3

3! =¿ s4

a)

L { e t }=L { t }=

b)

L {e−2 t cos ( 4 t ) }=L { cos ( 4 t ) }

a  2  s  a  s  (  2)  s  2


20


L { cos ( 4 t ) }=

s =¿ s +16 2

3.3.1 Forma inversa del primer teorema de traslación Si f ( t )=L−1 { F ( s ) } La forma inversa del teorema es: L−1 {F ( s−a )=L−1 {}=e at f ( t ) Ejemplo: a) Completar el cuadrado para determinar s −1 Evalúe L { s2 +6 s+¿ }

Solución.

Si

s 2 +6 s +¿

−1

L

tuviera factores reales, emplearíamos fracciones

parciales; pero como este término cuadrático no se factoriza, completamos su cuadrado.


21


b) Completar el cuadrad y linealidad

Evalúe

L−1 {

L−1

1 1 + 2 3 (s−3) s +2 s−8 }

SOLUCIÓN Completamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la linealidad como sigue:

3.4. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO Función escalón unitario En ingeniería se presentan con mucha frecuencia funciones que pueden estar

“encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una

fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar después de cierto tiempo. Por ello, es conveniente definir una función especial, llamada función escalón unitario.

La función

se define como sigue:

La función escalón de Heaviside , también llamada función escalón unitario, debe su nombre a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:


22


Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente. Es la integral de la función delta de Dirac.

Función escalón considerando u(0) = 1/2 El valor de u(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como u(0) = 0, otros u(0) = 1. u(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de la función signo:


23


Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para u(0), de la siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

La función escalón unitario o función de Heaviside

se define

como

Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo

, pues

esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para

.

Ejemplo: Trazar la gráfica de la función

.


24


Solución La función

está dada por

y su gráfica se muestra en la figura

Cuando la función de Heaviside

definida para

se multilplica por una función

, ésta función se desactiva en el intervalo

,

, como

muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo: Trazar la gráfica de la función

.

Solución La función está dada por


25


La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Use la función de Heaviside para reescribir la función

Solución Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

Observación: la función


26


Se escribe usando la función de Heaviside como

3.5 SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si F ( s )=L { f ( t ) } y a>0, entonces

L{f ( t−a ) A ( t−a ) }=e−as F ( s)}

Ejemplo: Evalúe

L{ ( t−2 )3 A ( t−2 ) }

Solución. Identificamos a=2, entonces según el teorema tenemos: L {( t−2 )3 A ( t−2 ) }=e−2 s L { t 3 }=e−2 s

3 ! 6 −2 s = e s 4 s4

Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace sólo de la función escalón unitario. Esto se puede hace, partiendo del

segundo teorema de

traslación. Si identificamos f(t) = 1 entonces f(t - a) = 1, F(s) = L

{ 1 } = 1/s y

así:

L { A ( t −a ) }=

−as

e

s


27


Forma alternativa del segundo teorema de traslación Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un producto de una función g por una función escalón unitario

A

(t - a),

cuando la función g carece de la forma f(t - a) desplazada que se requiere en el segundo teorema de traslación. Para hallar la transformada de Laplace de g(t)

A

(t - a) es posible “arreglar” a g(r) con manipulaciones algebraicas,

para forzarla a adquirir la forma deseada f(t - a); pero como esas maniobras son tediosas y a veces no son obvias, es más sencillo contar con una versión alternativa al teorema Emplearemos

A

(t - a) y la sustitución u = r - a, para

obtener: ∞ −st

e

g (t)dt =¿∫ e−s (u +a) g (u+a)u 0

∞

L { g(t) A ( t−u ) }=∫ ¿ a

Esto es, −as

L { g (t) A (t−u ) }=e

L {g(t+u)}

Ejemplo: Evalúe

L { sen (t) A ( t−2 π ) }

Solución. Hacemos g(t) = sen (t), a = 29 π sen t

y tenemos g(t + 2 π ) = sen (t + 2 π

=

porque la función seno tiene periodo 2 π . De acuerdo con la ecuación

con la forma alternativa del teorema de traslación −2 πs

e −2 πs L { sen (t) A ( t−2 π ) }=e L { sen ( t ) }= 2 s +1

3.5.1 Forma inversa del teorema de traslación


28


Si

f ( t )=L−1 {f ( s)} , la forma inversa del segundo teorema de traslación,

cuando a>0, es: L−1 { e−as F ( t )=f (t−a) A ( t−u ) }

Ejemplo: Evalúe

−1

L {

e−πs /2 } 2 s +9

3.6

DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA DE LAPLACE 3.6.1 Definición


29


Sea f(t) continua en (0,∞) y de orden exponencial a y sea f´ seccionalmente continua en [0,∞). Entonces [f´(t)] = s F(s) - f(0+),

(s > α )

Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 , entonces : [ f´(t)] = s F(s) - f(0+) - e-as [f(a+)-f(a-)]

Análogo si existen varias discontinuidades por salto.

Si f, f’ , ... , f(n-1) son continuas en (0,∞) y de orden exponencial α y f (n) es seccionalmente continua en [0,∞), entonces : [f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+) - sn-2 f’(0+) - ··· - f(n-1) (0+) , (s > α )

Así para n = 2

[f’’ (t)] = s

⇒

[f’] - f’ (0+) = s [ s F(s) - f (0+)] - f’(0+)

⇒

[f’’ (t)] = s2 F(s) - s f (0+) - f’(0+).


30


En general, inducción. Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica.

Ejemplo: Calcular

[senat] ,usando la expresión para

[ f “]

3.6.2 Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: L{ f ' (t )}  sF ( s )  f (0)

donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por: L{ f ' ' (t )}  s 2 F ( s)  sf (0)  f ' (0) En forma similar: L{ f ( n ) (t )}  s n F ( s)  s n 1 f (0)  s n 2 f ' (0)    f ( n 1) (0) Demostración:


31


lim  e  st f (t )   0 t 









L f ' (t )   e  st f ' (t ) dt  e  st f (t )    se  st f (t )dt  0

0

0



  f (0)  s  e  st f (t )dt  sF ( s )  f (0) 0

Supongamos que: L{ f ( n 1) (t )}  s n 1 F ( s )  s n  2 f (0)  s n 3 f ' (0)    f ( n  2 ) (0) Entonces:

lim  e  st f ( n 1) (t )   0 t 















L f ( n ) (t )   e  st f ( n ) (t )dt  e  st f ( n 1) (t )    se  st f ( n 1) (t ) dt 0

0

f

( n 1)





0



(0)  s  e  st f ( n 1) (t )dt  sL f ( n ) (t )  f ( n 1) (0)  0

s n F ( s )  s n 1 f (0)  s n  2 f ' (0)    f ( n 1) (0)


32


CAPITULO IV LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

33


EJERCICIOS 4.1 Ejercicios resueltos TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1)

L

e

2)

L

e

f  T   e 2T cos 2T

2T



 cos 2T  S S 2

cos 2T 



S S 4 2

L

 S S 2

S 2

 S  2

2

4



S 2 S  4S  8 2

f  T   e T sen3T

T



 sen3T  S S 1 

sen3T 

3 S 9 2

L

 S  S 1

3

 S  1

2

9



3 S  2S  10 2


34


TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 



1

 2!   3  S 

1     S  2  2! 

3)L-1

3

L-1



1     S  6S  10  

4) L-1

-1

L



1



L-1

1    S  1 -1

L

1     S  2S  5 

2    S  4 



2

S  S 1

L-1

S  S 3



1     S  6 S  9  1 

L-1

2

=

e 3T senT

1     S  2S  1  4 



 

2



1 2  2T T e 2

2

2

 5) L-1

S S  2

1     S  6 S  10  1  1 



  S  3  1







 

2

S S  2

1 2 T 2



2





L-1

L-1



1

1     S  1  4  2 

2

2

1 T e sen 2T 2

DERIVADA DE TRANSFORMADA:

6)L

T cos 2T  

=

  1 d dS

L

T cos 2T 

  1 =

 S 2  4  2S 2 d  S      1    2  dS  S 2  4  S2  4 







   

4  s 2  S2 4  2  2 2 S2  4  S 4 

  1 

7) L







Tsenh 3T     1 d dS

S

2

 senh3T     1 L

2 T senhT     1 d 2 dS





2



1

2



d2 dS 2

L



 2 S  1   2   8S S 2  1

S

  3 2 S  d  3   2     1  2 2 dS  S  9   S 9

 senhT     1 2

2

2

8) L







2

2

 1

4

   

S

6S 2

9



2

1  d   2 S     2 dS  S 2  1 2   S 1 

 2 S 2  1  8S 2  S 2  1

S









6S 2  2

S

2

 1

3


35


Te

2T



sen 6T    1

9) L

2T

sen 6T     1

d  6   2  dS  S  36 

L

 S S 2



12S  24 2

e

  6 2S  4 d  6   d  6      1   1      2 2  S 2  4S  40   dS S  4 S  40   dS   S  2  36  

  1

S

d dS

 4 S  40





 2

   

2

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

10)L

1  e

 u T  a   e aS

11) L

e  aS

L

 aS

S

Tu  T  a     T  a  a  u T  a     T  a  u T  a    au  T  a   L

L

T  

ae  aS

L

L

L

e  aS ae aS 1  S 2  S

TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

12)L-1

 e 2 S    3   S 

L-1

 1  2 S 1  3 e  2!  S 

L-1

 2!   2 S 1 2 2 S 1 2  3  e  T e  T u T  2  2 2  S 

1  T  2 2 u  T  2 2



13) L

-1

 1  e  2 S  S2 





2



  L-1

 1  2e  2 S  e  4 S    S2  



1   2  S  2



 = L-1

1  2 S  e   S  2 

L-1



1  4 S  e   2T e  2 e  2 T u  T  2   e  2T u  T  4    S  2 

L-1


36


e  2 T  2e  2  T  2  u  T  2   e  2  T  4  u  T  4  4.2

Ejercicios propuestos

TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

2S  5     S  6 S  34   

1) L-1

2

R=

1 2e 3T cos 5T  e 3T sen5T 5



2S  1 

 2) L-1

R=



2  S  S  1  3

3 5  T  5e T  4Te T  T 2 e T 2

DERIVADA DE TRANSFORMADA:

3) L

R=

4) L

Te S

T

3T

cos 3T



S 2  6S 2

 6 S  18

3 T

e senhT



2



36S 3  108S 2  108S  36 R=

S

2

 2S



6

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):


37


5) L

 3u T  2 e 2 S

R=

6) L

  T  1 u  T  1 eS

R=

7) L

L

3e  2 S  3  S

e

L

2 T

e S T   2 S



u  T  2 

e 

 T 2 

R= L

8) L

3e 3 S 10e 3 S  S S2

Te

R=

T 5



u  T  5 

e 5 S 5e 5 S   S  1 2 S  1

T  1 e 3

10) L

R=

L

  3T  1 u T  3 

R=

9) L



u  T  2  e 2 S

e 2S e   S  1 T

T 1

u  T  1



6e  S  S  1 4

TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):


38


 11) L-1

R=

e S     S  S  1 

u  T  1  e   T 1 u  T  1

 12) L-1

R=

e 2 S   2    S  S  1 

u  T  2    T  2  u  T  2  e T  2 u  T  2


39


CONCLUSIONES  La transformada de Laplace es denominada así en honor a Pierre-Simon Laplace.  La transformada de Laplace es una Integral Impropia.  La función Escalón Unitario también es conocida como función Heaviside.  Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace.  Para calcular la transformada inversa de Laplace se utiliza la integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.  La linealidad es una propiedad muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.


40


BIBLIOGRAFÍA

 Dennis G. Zill Sexta Edición, 609 páginas, México  http://repositorio.uned.ac.cr/reuned/bitstream/120809/452/1/MC0192%20 Ecuaciones%20diferenciales%20-%202011%20-%20Matem %C3%A1tica.pdf  http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/TransLaplace.pdf  http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/  http://prof.usb.ve/williamc/PS2315/propiedades_TL.pdf


41

Monografia La Transformada De Laplace.docx 1m4m5d

Overview 4q3b3c

More details 26j3b

Related Documents 171j1w

Monografia La Transformada De Laplace.docx 1m4m5d

La Transformada De Lapplace 3m6z1r

Transformada De La Plas 4i6833

Tarea Aplicaciones De La Transformada 73x1w

La Transformada Z s5b5y

Aplicaciones De La Transformada Inversa De Laplace 6s4v2b

More Documents from "Valhia Loarte Sana" 2b1j2y

Manejo De Residuos De Construccion Y Demolicion u5f1m

Costos Por Procesos Costos Conjuntos Actual 4x4s4e

Informe 2 Operaciones E La Preparacion De La Materia Prima Lizy 462c4t

Capacidad De Negociacion 524d70

Diagrama De Operaciones De Proceso Harina Pescado 4s2542

Monografia La Transformada De Laplace.docx 1m4m5d