La Transformada Z s5b5y

La Transformada Z M.I. Ricardo Garibay Jiménez

8.1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO. •

Una generalización de la Transformada de Fourier es la transformada Z.

Ventajas de la Transformada Z • La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias • La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente • El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier. • El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

Transformada de Fourier

jw

x (W ) = X ( e ) =

�

�x(k )e

- jw k

k =-�

La transformada de la misma secuencia tambien se define como Segun la variable compleja continua z

X ( z) =

�

-k x ( k ) z �

k =-�

Z [ x(k )] = X ( z ) =

La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como:

�

�x(k ) z

-k

k =-�

x(k ) � X ( z )

Arreglar tamaño en texto y fórmulas La transformada de Fourier es X ( z ) jw simplemente con

z=e

La transformada de Fourier es la transformada Z tomando Z = 1

Si tomamos

X (re jw ) =

z = re jw �

�x(k )(re w ) j

-k

k =-� jw

X (re ) =

�

�x(k )(r

k =-�

-k

)e - jw k

La transformada evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier .

8.2 REGION DE CONVERGENCIA La convergencia de la transformada Z depende solamente de z entonces:

�

� x(k )

z

-k

p�

k =-�

Los valores sobre la circunferencia z = z definida como están dentro de la región de convergencia. 1

La región en donde se cumple la desigualdad es la región de convergencia. Im

R e

La transformada Z es una función analítica en todos los puntos de la región de convergencia; de aquí que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a son funciones continuas en dicha región.

8.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas. a) SUPERPOSICIÓN Se compone de las características de: 1)Homogeneidad:

f (k ) � F ( z ) af (k ) � aF ( z )

2)Aditividad:

f1 (k ) � F1 ( z ) f 2 (k ) � F2 ( z )

f1 (k ) + f 2 (k ) � F1 ( z ) + F2 ( z )

si:

f ( k ) = af1 (k ) + bf 2 (k )

la transformada Z es:

Z [ f (k )] = Z [ af1 (k ) + bf 2 (k )] = Z [ af1 (k ) ] + Z [ bf 2 (k ) ]

\ F ( z ) = aF1 ( z ) + bF2 ( z ) Arreglar tamaño en texto y fórmulas b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO) La respuesta del sistema se define por:

y (k ) = f (k - m) k �0 La transformada de la salida y(k) se define a su vez como: �

Y ( z ) = �y (k ) z k =0

-k

�

Y ( z ) = �f (k - m) z - k k =0

Desarrollando: Arreglar tamaño en texto y fórmulas

Y ( z ) = f (0) z

-m

+ f (1) z

- m -1

+ f (2) z

- m-2

-1 -2 = z -m � f (0) + f (1) z + f (2) z + ...� � �

La representación en diagrama de bloques para la propiedad de corrimiento a la derecha se muestra abajo:

A demostrar

C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN

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Para el siguiente sistema:

Su salida y(k ) � Y ( z ) se define como una suma de convolución:

y (k ) = h(0) f (k ) + h(1) f (k - 1) + .... + h(k - 1) f (1) + h(k ) f (0) Quedando: Y ( z ) =

�

-k h (0) f ( k ) + h (1) f ( k 1) + h (2) f ( k 2) + ... + h ( k ) f (0) z [ ] � k =0

�

�

�

�

-k Factorizando: Y ( z ) = h(0)�f (k ) z + h(1)�f (k - 1) z + h(2)�f (k - 2) z + ... + h(k )�f (0)z k =0

-k

k =0

-k

-k

k =0

k =0

-1 -2 -k La transformada queda: Y ( z ) = h(0) F ( z ) + h(1) z F ( z ) + h(2) z F ( z ) + .... + h(k ) z F ( z )

Factorizando F ( z ) :

-1 -2 -k � Y ( z) = � h (0) + h (1) z + h (2) z + .... + h ( k ) z � �F ( z )

\Y ( z ) = H ( z ) F ( z )

D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”

Sean las secuencias

f (k ) � F ( z ) y

g (k ) � G ( z )

si entre ellas es posible establecer la relación: k para g (k ) = f (i) k = 0, 1, 2, 3, ... , n.

� i =0

queda

1 z G( z ) = F ( z) = F ( z) -1 1- z z -1

con

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z f max (1, R )

E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR

ak

Sean las secuencias

f (k ) � F ( z )

y g (k ) � G ( z )

Si entre ellas se establece la siguiente relación: entonces la transformada G ( z ) como sigue:

se determina

�

k -k � Z [ g (k )] = Z � a f ( k ) = a f ( k ) z � � � k

k =0

=

�

-k

-1 a �f ( k ) � � z� � k =0

k -1 � Z� a f ( k ) = F ( a z) � �

para

z > a;

a �R

g (k ) = a k f (k )

F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN Derivando � dX ( z ) = -� kx ( k ) z - k -1 dz k =0

para

z f R

Multiplicando por -z , �

�kf (k ) z - k = - z

dF ( z ) dz

� Z [ kf (k ) ] = - Z

dF ( z ) dz

k =0

z f R

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G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL Es posible determinar el término inicial, f (0), de una secuencia , f (k ) a partir de la transformada correspondiente. Si

F ( z ) = f (0) + f (1) z -1 + f (2) z -2 + .... entonces

f (0) = lim F ( z )

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z ��

H) TEOREMA DEL VALOR FINAL Para f(k) donde ( z - 1) F ( z )

f (�) = lim ( z - 1) F ( z ) z �1

sea analítica para

z �1

8.4 TRANSFORMADAS COMUNES: 1) Impulso unitario (delta de Kronecker). Definiendo la secuencia impulso unitario d (k ) = 1 para k =, 0 su transformada se determina de la siguiente forma: �

D ( z ) = Z [ d ( k ) ] = �d ( k ) z - k = d (0) + d (1) z -1 + d (2) z -2 + ..... k =0

\D ( z ) = 1

2) Retraso

f ( k ) = d ( k - m) F ( z ) = Z [ d ( k - m) ] = z - m

3) Escalón unitario Definido por

u (k ) = -1k �

La transformada es: U ( z ) = �u (k ) z - k = u (0) + u (1) z -1 + u (2) z -2 + ... + u (k ) z - k + ... k =0

U ( z ) = lim

N -1

�z

N ��

\U ( z ) =

k =0

1 1 - z -1

-k

1- z-N = lim �( z ) = lim N �� N � � 1 - z -1 k =0 N -1

para

-1 k

z f1

f (k ) = a k

4) Serie geométrica k -1 � Z� a f ( k ) = F ( a z) � �

Si a > 1 se tiene una serie divergente y z > a Si a = 1 se tiene una magnitud unitaria y z > 1 Si a < 1 se tiene una serie convergente a cero y z > a

a -1 z f (k ) = a � -1 a z -1 k

Multiplicando y dividiendo por a z F (z) =

z-a

k = 0, 1, 2, 3, ... , n.

z f a

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5) Rampa discreta unitaria

f (k ) = k

Multiplicando la ecuación anterior por - z y considerando a = 1 , se obtiene : �

�kz - k = k =0

z ( z - 1) 2

z f1

�

F ( z ) = �kz - k k =0

Para una secuencia geométrica se tiene: �

�a k z - k = k =0

z z-a

Derivando con respecto a z: d � k -k d z ( z - a) - z -a a z = = = � 2 dz k =0 dz z - a ( z - a) ( z - a) 2 �

-�ka k z - k -1 = k =0

a ( z - a)2

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8.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES

.

Dicha representación emplea tres elementos básicos: 1) Unidad de retraso. 2) Unidad multiplicadora. 3) Unidad de suma. 1) UNIDAD DE RETRASO y (k ) = u (k - 1) La relación característica para esta unidad es

Obtención de un retraso de dos unidades de tiempo discreto

2) UNIDAD MULTIPLICADORA

u (k ) La relación característica para esta unidad esy ( k ) = a �

3) UNIDAD DE SUMA y ( k ) = u1 (k ) + u2 (k ) La relación característica para esta unidad es

8.5 OBTENCIÓN DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO MEDIANTE TRANSFORMADA Z: LA ANTITRANSFORMADA Z. 8.5.1 MÉTODO DE EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES. Considérese una función Factorizando

q ( z ) b0 z m + b1 z m -1 + .......... + bm -1 z + bm F ( z) = = p ( z ) a0 z n + a1 z n -1 + ........... + an -1 z + an

b0 z m + b1 z m -1 + .......... + bm -1 z + bm q( z ) F ( z) = = n ( z - p1 )( z - p2 )..........( z - pn ) P ( z - pi ) i =1

Cuando todos los polos de en la ecuación son diferentes F ( z) =

b0 z m + b1 z m -1 + .......... + bm -1 z + bm ( z - p1 )( z - p2 )...........( z - pn )

= d 0 + d1

z z z + dn + ......... + d n z - p1 z - p2 z - pn

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El cálculo de los coeficientes di es como sigue: d0 = F ( z )

di =

dn =

z =0

=

z - pi F (z) z

bm (- p1 )(- p2 )..........( - pn )

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z = pi

b0 z m + b1 z m -1 + ... + bm-1 z + bm z ( pi - p1 ) ( pi - p2 ) ... ( pi - pn )

La secuencia resulta:

f (k ) = Z -1 [ F ( z ) ] = d 0d (k ) + d1 p1k + d 2 p2 k + ....... + d n pn k

Con polos múltiples queda

F (z) =

b0 z m + b1 z m -1 + .......... + bm -1 z + bm ( z - pi ) n1 ( z - p2 )n2 ..........( z - pn ) n1

La expansión de F(z), en este caso, tiene la forma: z z2 z n1 F ( z ) = d 0 + d1 + d2 + ..... + d n1 z - p1 ( z - p1 ) 2 ( z - p1 ) n1 z z2 z n2 + e1 + e2 + ..... + en2 + ..... z - p2 ( z - p2 )2 ( z - p2 ) n2 z z2 z n1 + r1 + r2 + ..... + rn1 z - p1 ( z - p1 ) 2 ( z - p1 ) n1

TABLA 8.II PARES DE TRANSFORMADAS Z PARA RAÍCES para MÚLTIPLES F ( z) z z-a z2 ( z - a) 2 z3 ( z - a )3 z4 ( z - a)4

k �0

f (k ) ak

(k + 1)a k

( k + 1)(k + 2) k a 2!

(k + 1)(k + 2)(k + 3) k a 3!

8.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS El concepto de función de transferencia H ( z) ; la cual se define z ) un sistema como la relación de la transformada Z de la salida, ,Y (de entre la transformada Z de su entrada, U ( z ) Arreglar tamaño en texto y fórmulas

H ( z) =

Y ( z) U ( z)

La expresión general aplicable a la función de transferencia es: b0 z m + b1 z m -1 + ... + bm -1 z + bm q( z ) H ( z) = = p( z ) a0 z n + a1 z n -1 + ... + an -1 z + an m

=

P(z - cj )

( z - c1 ) ( z - c2 ) ... ( z - cm ) j =1 = n ( z - p1 ) ( z - p2 ) ... ( z - pn ) P ( z - pi ) i =1

Algunos sistemas tipicos: 1. Sistema en cascada

2. Sistema inverso

Y ( z) = U ( z ) 1 H1 ( z ) = H 2 ( z)

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H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) = 1

�

�

h(i ) m (k - i ) =�d (i )m (k - i ) = m (k ) La convolución en este caso resulta: y (k ) = � i =0 i =0

3. Sistema realimentado

Y ( z) =

H1 ( z ) 1 + H1 ( z ) H 2 ( z )

8.7 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS Un sistema discreto es estable cuando produce una salida acotada al aplicársele una entrada acotada Los sistemas discretos estables se caracterizan porque todos sus polos se ubican en el plano complejo z , dentro de un círculo centrado en el origen de radio unitario

8.7.1 POLOS DE H(z) Y RESPUESTA TRANSITORIA La localización de los polos de H(z) en el plano z permite caracterizar efectivamente las propiedades de la respuesta para un sistema discreto lineal. A.- Polo real en . z = a La respuesta característica es de la forma

Ar k cos (kq + f )

Donde A y Φ son constantes obtenidas de la expansión en fracciones b parciales y: r = a 2 + b 2 q = tan -1 a

Cambiar dibujo

Casos: 1- .

Sistema inestable.La respuesta a impulso es una oscilación creciente en magnitud. a2 + b2 > 1

a 2 + b2 = 1

2- .

Sistema inestable.La respuesta es una oscilación parecida a un senoide con magnitud constante.

3-.

Sistema estable. El resultado es una oscilación parecida a una senoide decreciente en magnitud. a 2 + b2 < 1

Cambiar dibujo

8.7.2. POLOS DOMINANTES Son los que tienen una influencia de mayor importancia sobre la respuesta transitoria.Son los polos que están más cerca del circulo unitario. Ej p1 y p2.

8.8 RESPUESTA SENOIDAL PERMANENTE DE SISTEMAS LINEALES (FILTROS DIGITALES) Se asume que la entrada a un sistema es una señal senoidal pura. u (t ) = sen ( w1T )

u (t ) = sen ( kw1T )

u(z) =

H ( z) =

2 sen ( w1T ) ( z - e jw1T ) ( z - e - jw1T ) b0 z m + b1 z m -1 + ... + bm ( z - p1 ) ( z - p2 ) ... ( z - pn )

Arreglar tamaño en texto y fórmulas p1 < 1

Si consideramos que todos los polos son distintos Y ( z ) = H ( z) H ( z)

Y ( z ) = a 0 + a1

z z z ze jq ze - jq + a2 + ... + a n + a + b z - p1 z - p2 z-n z - e jw1T z - e - jw1T

Se tiene �

H ( z ) = �h(k ) z - k k =0

1.� H (e

H (e

jw1T

�

) = �h( k )e

�

- jw1Tk

H (e- jw1T ) = �h(k )e jw1Tk

2.-

k =0

k =0

jw1T

�

) = �h(k ) � cos ( kw1T ) - j � sen ( kw1T ) � � � k =0

�

�

k =0

k =0

= �h(k ) cos ( kw1T ) - j �h(k ) sen ( kw1T )

�

�

k =0

k =0

= �h(k ) cos ( kw1T ) + j �h (k ) sen ( kw1T )

Por ser complejas

H (e jw1T ) = H (e jw1T ) �H (e jw1T ) H (e - jw1T ) = H (e jw1T ) �H (e jw1T )

M = H (w1 ) = H (e jw1T ) = H (e - jw1T )

y

q (w1 ) = �H (e jw1T )

-q (w1 ) = �H (e - jw1T )

De ahi: Y ( z ) = a 0 + a1

M (w1 ) � ze jq z z z ze- jq � + a2 + ... + a n + � � z - p1 z - p2 z-n 2 j �z - e jw1T z - e - jw1T �

Antitransformando:

y (k ) = a 0d (k ) + a1 ( p1 ) k + a 2 ( p2 ) k + .... + a n ( pn ) k + M (w1 ) � sen [ w1T + q (w1 ) ] � � � Finalmente

y (k ) = M (w1 ) sen [ kw1T + q (w1 ) ]

H (e jw1T ) �0

Suprime la frecuencia w1 Amplifica la frecuencia w1

H (e jw1T ) > 1 �H (e jw1T )

Factor de angulo fase

8.8.1 PERIODICIDAD DE

H (e jwT )

Una característica particular en los sistemas discretos, es que los factores de ganancia y ángulo son periódicos en relación con la frecuencia.

e

j (w +

2p ) T

= e jwT

8.8.2 INTRODUCCIÓN A FILTROS DISCRETOS. La característica de ganancia de un filtro paso bajas ideal se muestra abajo:

2.- Filtro pasa altas:

3.- Filtro pasa banda: Arreglar tamaño en texto y fórmulas

Filtro paso bajas :el sistema caracterizado por la ecuación en diferencias y función de transferencia

y (k ) = b u (k ) + a y (k - 1) para que la magnitud sea unitaria: b = 1 - a Así pues, la función de transferencia resulta:

H (e

jwT

jwT

(1 - a )e (1 - a )(cos wT + jsenwT ) ) = jwT = e -a (cos wT - a ) + jsenwT

H ( z) =

H (e jwT ) =

(1 - a ) z z -a (1 - a ) cos wT - 2a cos wT + a 2 + sen 2wT

q = wT - tan -1

2

senwT (cos wT - a )

El ancho de banda w de un filtro pasa bajas se define como el rango de valores de frecuencia dentro del cual se cumple : c

H (e

jwT

1 )� 2

(1 - a ) 1 + a 2 - 2a cos wcT

=

1 2

a = 2 - cos wcT - (3 - cos wcT )(1 - cos wcT )

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