Tabela Transformada Z 15v3j

APSI - Processamento de Sinal

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Tabela de Transformadas em z x(n) ⇔

X(z) =

∞

∑ x ( n) z − n

n = −∞

em Rx

Regra

Sequência

Transformada

Região de convergência

Dirac

δ(n)

1

∀z

Heaviside

u(n)

z/(z-1)

|z| > 1

Impulso rectangular

u(n+L)- u(n-L+1)

Exponencial

an u(n)

z/(z-a)

|z| > a

Exponencial simétrica

a|n|

z ( z − a )(1 − az )

|z| > a

Linearidade

a x(n) + b y(n)

a X(z) + b Y(z)

⊃ Rx ∩ Ry

Translação no tempo

x(n – n0)

X(z)z-n0

Rx ± 0 ou ∞

Escalamento

a n x(n)

X(z/a)

|a| Rx

Diferenciação em z

nx(n)

Conjugação

x*(n)

X* (z*)

Rx

Inversão no tempo

x(-n)

X(1/z)

1/ Rx

z L − z − ( L +1) 1 − z −1

−z

dX ( z ) dz

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∀z

Rx ± 0 ou ∞

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APSI - Processamento de Sinal

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Convolução

x ( n) ⊗ y ( n)

X(z)Y(z)

⊃ Rx ∩ Ry

Correlação

x ( n ) ⊗ y ( − n)

X ( z )Y ( z −1 )

⊃ Rx ∩ Ry

Multiplicação

x ( n) y ( n)

∑ x ( n) y * ( n)

1 z X (λ )Y ( )λ−1 dλ ∫ 2πj λ 1 X (ν )Y * (1 / ν * )ν −1 dν ∫ 2πj

Valor inicial

x(n) causal

x(0) = lim X ( z )

Valor final

x(n) causal

x(∞) = lim ( z − 1) X ( z )

∞

Parseval

n = −∞

Soma

y ( n) =

n

∑ x (i )

i =0

Priodicidade

(*)

xp(n) periódica, xp(n) = xp(n+N)

Pelo menos (*) rxl ryl<|z|< rxuryu

z →∞

z →1

Y ( z) = X p ( z) =

z X ( z) z −1 zN zN −1

X ( z)

|z|>max{1, Rx}

|z|>1

rxl : raio mínimo de Rx rxu : raio máximo de Rx

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APSI - Processamento de Sinal

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Tabela de Transformadas em z para Sinais Causais x(n) u(n)

⇔

X(z) =

∞

∑ x (n) z − n

em pelo menos rxl <|z|≤ rxu

n=0

Sequência

Transformada

e-an

z/(z-e-a)

n

z/(z-1)2

n

k

n(k)=n(n-1)… (n-k+1)

k

(−1) z k!

k

d k ( z /( z − 1) ) dz k z

( z − 1) k +1

(-1)k(n-1)(n-2)…(n-k)x(n-k)

Xk(z)

cn /n!

ec/z

cn /n! , n ímpar

sinh(c/z)

cn /n! , n par

cosh(c/z)

(ln c)n /n!

c1/z

 k  n k −n  c a , n≤ k  n n + k n  c  n 

(az + c) k zk z k +1 ( z − c ) k +1

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APSI - Processamento de Sinal

sin(an) cos(an) sin(an+ϕ) sinh(an) cos(an) 1/n, n>0 1 − e − an , a>0 n

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z sin( a ) 2

z − 2 z cos(a ) + 1 z ( z − cos(a )) 2

z − 2 z cos(a) + 1 z 2 sin(ϕ ) + z sin( a − ϕ ) z 2 − 2 z cos(a) + 1 z sinh( a ) z 2 − 2 z cosh(a) + 1 z ( z − cosh(a )) 2

z − 2 z cosh(a) + 1 ln

a + ln

z z −1

z − e−a z −1

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