Trabajo De Derivada Direccional 2t496b

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

Asignatura : MATEMÁTICA III Docente

: ELVIS

Tema

: DERIVADA DIRECCIONAL Y EL VECTOR GRADIENTE

SOTO APOLITANO

Estudiante : ROMERO BUSTOS, ROSHELL Ciclo

: III

2016

Derivada direccional Definiciones y formulas: La derivada direccional de una función multivariable en la dirección un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados. -Sea una función escalar y sean unitario, entonces la derivada direccional de en unitario , esta dado por:

un vector en la dirección del vector

-Sea una función escalar diferenciable en derivada direccional en la dirección de cualquier vector no nulo por:

, entonces tiene y esta dada

-Dado un vector unitario y el vector gradiente de la funcion en el punto , que denotamos por podemos calcular la derivada direcciona asociada al vector en dicho punto, realizando el producto escalar del gradiente con Sean y

una funcion diferenciable en un punto abierto es un vector unitario

L a derivada direccional de la funcion diferenciable en un punto al vector unitario viene dada por:

, donde

con respecto

Sea f: punto

→ R definida al menos en un entorno de y sea un vector de Se define entonces la derivada direccional de en la dirección de como el límite:

tal que en el

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

Es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes de un vector unitario.

Ejemplos: 1. Calcule la derivada direccional con Solución:

De donde

. Calcule

si

y

2. Usando la definición de

, determina

cuando:

 En este ejercicio tenemos el vector unitario:

a)

;

Solución:

 FORMULA:



Reemplazando:

+

Respuesta:

b) f(x, y) = senxy Solución:





; u=

(-2,3)

Reemplazando:

Respuesta:

c) En este caso es cuando el vector unitario no existe pero si te dan los puntos de P y Q. Sea el punto P (3.4) en la dirección de Q (5,7); Solución:





VECTOR

NORMA:

24* Respuesta:

Grafico de una derivada direccional:

El vector gradiente Definición y formulas: El gradiente o también conocido como vector gradiente denotado de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de dicho vector gradiente.

en la dirección de

El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante , o usando la notación .La generalización del concepto de gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Sea es una función(o campo) escalar diferenciable en una región R, entonces la función (o campo) gradiente de es la función vectorial definida por

En el caso

En el caso

GRADIENTE EN EL PLANO: Para un campo escalar plano (x, y) a = ( , ), tendremos:

,

f (x, y), que sea diferenciable en un punto

,

,

GRADIENTE EN EL ESPACIO: Análogamente, si (x, y, z) f (x, y, z) es un campo escalar en el espacio, diferenciable en un punto a = ( , ), tendremos:

(

,

=

)= ,

,

k

Ejemplos: 1. Si Solución: El gradiente esta dado por:

y evaluando

2.Si Solución: Excepto en la circunferencia

(curva de nivel z=0), se puede calcular

Grafico de una gradiente de dos variables

,

Referencias bibliográficas:  MORA, Walter. Cálculo en varias variables. Revista digital Matemática. Costa Rica.2012. ISBN: 978996864128  GEORGE, Thomas. Cálculos varias variables, 11va.ed.México: Pearson Educación, 2006. ISBN: 9702606446 MORMAN, Haaser. Análisis matemático, 2da.ed.México: Trillas, 2010. ISBN: 9809682438820