4.8 - Derivada Direccional Y Gradiente 3l3tu

4.8. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE Si generalizamos la definición de una derivada parcial para obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia, en cualquier dirección, obtenemos el concepto de una derivada direccional. Sea F una función de las dos variables x e y, y sea P(x,y), un punto en el plano xy. Supongamos que forma un ángulo de Entonces:



U

es el vector unitario que

radianes con el lado positivo del eje x. U  Cos  i  Sen  j U

La siguiente figura, muestra la representación de su punto inicial en el punto P(x,y).

, teniendo

Definición. Sea f(x,y), si

U

es el vector unitario

Cos  i  Sen  j

la derivada direccional de f, en la dirección de DU f

U

, entonces

, denotada por

, está dada por:

DU f  x, y   si éste límite existe.

lim f  x  hCos , y  hSen   f  x, y  h0 h

,

La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función (x, y) con respecto a la distancia en el plano xy, U medida en la dirección del vector unitario .

A partir de la ecuación de a) Si

U i

, entonces

DU f  x, y 

Cos   1

Di f  x, y  

podemos obtener:

Sen   0

y

, por lo tanto

f  x  h, y   f  x , y  h0 h lim

qué es la derivada parcial de f, respecto a x. b)Si

U j

, entonces

Cos   0

D j f  x, y  

y

Sen   1

, por lo tanto

lim f  x, y  h   f  x, y  h0 h

qué es la derivada parcial de f, respecto a y.

fx

y

fy

Por lo que, , son casos especiales de la derivada direccional en las direcciones de los vectores unitarios i y j, respectivamente. Teorema: Si

F

es

una

U  Cos  i  Sen  j

función

diferenciable

en

x

e

y,

y

, entonces:

DU f  x, y   f x  x, y  Cos  f y  x, y  Sen La derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores. Como:

DU f  x, y   f x  x, y  Cos  f y  x, y  Sen



DU f  x, y    Cos  i  Sen  j  f x  x, y  i  f y  x, y  j



El segundo vector, en el lado derecho de la ecuación anterior es muy importante y se lama gradiente de la función f. f



El símbolo que usamos para el gradiente de f, es , donde es una delta mayúscula invertida. Algunas veces se utiliza también el término grad f.

GRADIENTE Si f es una función de dos variables entonces el gradiente de f, denotado por

x f

e y

,

fx

y

fy

existen,

, está definido por:

f  x , y   f x  x , y  i  f y  x , y  j

y por tanto, también podemos escribir Du f  x, y   U  f  x, y 

Por lo tanto, cualquier derivada direccional de una función se puede obtener multiplicando el gradiente por un vector unitario en la dirección deseada. Por otro lado, si α es la medida en radianes del ángulo entre los dos vectores

U y f

, entonces:

U  f  U f Cos   Du f  U f Cos  

f  x, y  

x2 y2  16 9

EJEMPLO: Si , encontrar el gradiente de f en el punto (4,3). También hallar la razón de cambio f(x,y) en la 1  4

dirección

del punto (4,3).

Solución: Como x2 y2 f  x, y    16 9

entonces f x  x, y  

x 8

y

f y  x, y  

2 y 9

Por lo tanto:  1   2  x i   y j  8   9 

f  x , y   

Como tenemos el punto (4,3), entonces:  1   4  i   2  3  j   1  i   2  j  8   9   2  3

f  4,3  

 1  2  i  j  2  3

f  4,3  

La razón de cambio de f(x,y) en la dirección especificada en el punto (4,3) es Du f  4,3

donde

U

es el vector unitario:

U  Cos   i  Sen  j  Cos 45 i  Sen 45 j 

1 1 i j 2 2

Por lo tanto: 1   1 2   1   2  3 4 7  1   i j  i  j       2   2 3   2 2   3  6 2 6 2  2

Du f  4,3  

 x, y , z 

Si f es una función de tres variables y las primeras fx , fy , fz ; derivadas parciales existen, entonces el gradiente de f, f denotada por , está definida por: f  x,y,z   f x  x, y , z  i  f y  x, y, z  j  f z  x, y , z  k

Y por tanto, DU f  x, y, z   U  f  x,y,z 