Laboratorio 5-calculo De Elementos Finitos 6yy17

Elaborado por: Alvick Mallqui Alor 20084006J PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO

INDICE I.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA ............................................................................................................ 3

II.

SOLUCION ...................................................................................................................................... 3 II.1.

CONSIDERACIÓN DE ESFUERZOS ......................................................................................... 3

II.2.

MODELADO DEL CUERPO REAL ............................................................................................. 4

II.3.

GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) ................................................... 4

II.4.

MATRICES DE RIGIDEZ ............................................................................................................ 5

II.5.

FUERZAS.................................................................................................................................... 8

II.6.

ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO ...................................................... 9

II.7.

ESFUERZOS .............................................................................................................................. 9

III.

DIAGRAMA DE FLUJO ................................................................................................................. 10

IV.

CODIGO MATLAB ......................................................................................................................... 12

V.

SOLIDWORK ................................................................................................................................. 16

VI.

CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 18

I.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por lo menos), y calcular en ellos los esfuerzos debido a la flexión de la misma; y las reacciones en los apoyos (empotrados).

Considerar como Material: Acero estructural A-36 𝐸 = 2.1𝑥105 𝑁/𝑚𝑚2

𝜌 = 7.8𝑔𝑟 − 𝑓/𝑐𝑚3

II. SOLUCION II.1. CONSIDERACIÓN DE ESFUERZOS En cada elemento finito de la viga; en un punto genérico (

 , y)

E y σ e   2 6 ξ q1  ( 3ξ  1 ) e q2  6ξ q3  ( 3ξ  1 ) e q4   e  e τ max α

 6 EI  V  α 3 2q1   e q2  2q3   e q4  A  A e 

Dónde: “y” es la distancia del punto genérico a la fibra neutra

II.2. MODELADO DEL CUERPO REAL

II.3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) Observando el gráfico 1:

0 0 𝑄3 𝑄4 𝑄 𝑄𝑗 = 5 (𝑚𝑚) 𝑄6 𝑄7 𝑄8 0 [0] Como hay apoyos fijos y no hay fuerzas, Q1, Q2, Q9 y Q10 =0.

II.4. MATRICES DE RIGIDEZ  Para el elemento finito 1:

I1 

100x133 25x(200  13  13) 3 100x133 200 13 2    2 x(  ) x100x13 12 12 12 2 2

I1 

101224550 4 mm 3

Matriz de Rigidez Local:

4500  12 4500  101224550  12 (2.1x105 ) x( ) 4500 2250000  4500 1125000 3   k1    12  4500 12  4500  750   4500 1125000  4500 2250000  Para el elemento finito 2:

I2 

100x133 25x(400  13  13) 3 100x133 400 13 2    2 x(  ) x100x13 12 12 12 2 2 I2 

619119550 4 mm 3

Matriz de Rigidez Local:

k2 

4500  12 4500  619119550  12 ) 4500 2250000  4500 1125000 3     12  4500 12  4500  750   4500 1125000  4500 2250000

(2.1x105 ) x(

 Para el elemento finito 3:

I3 

100x133 25x(400  13  13) 3 100x133 400 13 2    2 x(  ) x100x13 12 12 12 2 2 I3 

619119550 4 mm 3

Matriz de Rigidez Local:

k3 

4500  12 4500  619119550  12 ) 4500 2250000  4500 1125000 3     12  4500 12  4500  750   4500 1125000  4500 2250000

(2.1x105 ) x(

 Para el elemento finito 4:

100x133 25x(200  13  13) 3 100x133 200 13 2 I4     2 x(  ) x100x13 12 12 12 2 2 I4 

101224550 4 mm 3

Matriz de Rigidez Local:

4500  12 4500  101224550  12 (2.1x105 ) x( ) 4500 2250000  4500 1125000 3   k4    12  4500 12  4500  750   4500 1125000  4500 2250000

II.5. FUERZAS Fuerzas debido al peso del material

  7.8 gr  f / cm 3  76.518x106 N / mm 3 p1  p4  A1  A4  76.518x(100x13x2  25x(200  26))  0.5318001

p2  p3  A2  A3  76.518x(100x13x2  25x(400  26))  0.9143901   0.5318001x750 W1   2 

 0.5318001x7502 12

 0.5318001x750 2

0.5318001x7502   12 

  0.9143901x750 W2   2 

 0.9143901x7502 12

 0.9143901x750 2

0.9143901x7502   12 

  0.9143901x750 W3   2 

 0.9143901x7502 12

 0.9143901x750 2

0.9143901x7502   12 

  0.5318001x750 W4   2 

 0.5318001x7502 12

 0.5318001x750 2

0.5318001x7502   12 

  199.4250375   24928.1296875     542.321325      17933.90625    685.792575  W   0     542.321325     17933.90625    199.4250375     24928.1296875  Fuerzas debido a la carga distribuida:

  5 x750 P2    2

 5 x7502 12

 5 x750 5 x7502   2 12 

  5 x750 P3    2

 5 x7502 12

 5 x750 5 x7502   2 12 

0     0     1875     234375   3750  P  0     1875     234375    0     0 II.6. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO

𝐹𝑖 = 𝐾𝑖𝑗 𝑥𝑄𝑗

2175159000  6934138.96 2600302110 0 0  8067853.92   2175159000 1512722610000  2600302110 650075527500  0 0    6934138.96  2600302110 13868277.92 0  6934138.96 2600302110    0 26003021100000  2600302110 650075527500   2600302110 650075527500  0 0  6934138.96  2600302110 8067853.92  2175159000   0 0 2600302110 650075527500  2175159000 1512722610000 

Q3    2417.321325  Q   252308.90625   4  Q5    4435.792575      0  Q6   Q7    2417.321325      Q8   252308.90625 

Resolviendo obtenemos:

0     0     6.88701171757 x10 8   11   7.46264146538 x10    1.00053539892 x10 7  Q  0     6.88701171757 x10 8    11  7.46264146538 x10    0     0 II.7. ESFUERZOS Para un punto genérico (z, y), donde z є [-1,1]

 e  (

Ey )6 zq1  (3 z  1)l e q 2  6 zq3  (3 z  1)l e q 4  l e2

Para y=50 mm: Para z=-1

 5.62x10 6     6.86x107      1.40x10 6   6    3.53x10  Para z=1

  3.53x10 6     1.40 x10 6     6.87 x10 7   6   5.62 x10  Para z=0

 1.05x10 6     1.05x10 6     1.05x10 6   6   1.05x10 

III. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

Leer datos de entrada

Para i=1:4

Calcula la matriz de rigidez de cada elemento y también la global.

Calcula desplazamientos, reacciones

Para i=1:4

Calcula esfuerzos para e=-1,1

Si ES1<=ES2

Emax=ES1

Emax=ES2

Imprime esfuerzos y reacciones.

IV. CODIGO MATLAB clc; format long; n=input('Ingrese Numero de Elementos Finitos:'); e1=input('Espesor de las alas(mm):'); e2=input('Espesor del alma(mm):'); l1=input('Longitud de las alas(mm):'); L=input('Ingrese Longitud de la Viga(mm):'); E=input('Modulo de Elasticidad(N/mm2):'); yp=input('Ingrese Peso Especifico(N/mm3):'); pe=input('Carga Distribuida Externa(N/mm):'); disp('MOMENTOS DE INERCIA') for i=1:(n/2) d(i)=(4*(L*(i-1)/n)/15+100+4*(L*i/n)/15+100)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1; end for i=((n/2)+1):n d(i)=(900-4*(L*(i-1)/n)/15+900-4*(L*i/n)/15)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1; end disp(I) disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K') k=zeros(2*(n+1),2*(n+1)); for i=1:n l=L/n; ke(:,:,i)=E*I(i)/l*[12 6*l -12 6*l;

6*l 4*l*l -6*l 2*l*l; -12 -6*l 12 -6*l;

6*l 2*l*l -6*l 4*l*l]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; k(gl,gl)=k(gl,gl)+ke(:,:,i); end disp(k) disp('FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL') for i=1:n A(i)=l1*e1*2+e2*(d(i)-2*e1); p(i)=-yp*A(i); end w=zeros(1,2*(n+1)); for i=1:n l=L/n; we(:,:,i)=[p(i)*l/2 p(i)*l^2/12 p(i)*l/2 -p(i)*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; w(1,gl)=w(1,gl)+we(:,:,i); end wt=w'; disp(wt) disp('FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA') c=zeros(1,2*(n+1)); for i=2:3

l=L/n; ce(:,:,i)=[pe*l/2 pe*l^2/12 pe*l/2 -pe*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; c(1,gl)=c(1,gl)+ce(:,:,i); end ct=c'; disp(ct) disp('FUERZA TOTAL') f=ct+wt; disp(f) disp('DESPLAZAMIENTOS') disp('Q=') kf=k(3:8,3:8); ff=f(3:8,1); qf=inv(kf)*ff; Q=[0;0;qf;0;0]; disp(Q) disp('ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)') y=input('Ingrese punto generico a analizar:'); z=-1; es1=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1;

gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es1(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=-1') disp(es1) es2=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es2(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=1') disp(es2) z=0; es0=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es0(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=0')

disp(es) V. SOLIDWORK 

SÓLIDO



ESFUERZOS



DESPLAZAMIENTOS

Número total de nodos

15192

Número total de elementos

7461

Cociente máximo de aspecto

7.1523

% de elementos cuyo cociente de aspecto es < 3

63.2

% de elementos cuyo cociente de aspecto es > 10

0

% de elementos distorsionados (Jacobiana)

0

Tiempo para completar la malla (hh;mm;ss):

00:00:02

Nombre de computadora:

VAIO

VI. CONCLUSIONES 

El análisis de viga en sección constante es un caso particular de sección variable.



El vector desplazamiento es desarrollado en base a la conectividad de los elementos, por ello es importante manejar una tabla de conectividad ordenada y secuencial.



Cada elemento de la viga está sujeto a fuerzas y un momento; las fuerzas que pueden ser de compresión o tensión directa mientras los momentos son de flexión.



Como es propio de la viga, en este caso todas las cargas son aplicadas en los nodos, además los cálculos se realizan despreciando la fricción en los nodos.



Las matrices que se analizan en estos sistemas son de orden muy elevado, por tal razón es necesario utilizar un lenguaje de programación que nos permita manejar las variables con mayor flexibilidad y poder generalizar el método de análisis.



El análisis hecho en SolidWork se observa que analiza 15192 nodos, y los valores obtenidos son muy próximos a los realizados, es por eso que no depende mucho del número de nodos que usemos, es para dar más exactitud a los cálculos.