Ejercicios Elementos Finitos k2k17

Ejemplo 5-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual En la figura se muestra el conocido problema de Boussinesq de análisis de un semiespacio elástico bajo carga puntual. Se considerará un dominio cuadrado de revolución de 4mx4m. Analizar la distribución de tensiones verticales σy utilizando mallas progresivamente más finas de elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4, 8 y 9 nodos.

Datos

N  E = 2.1e11 2 Material  m ν = 0.20  3Py 3 Solución analítica = σ Y = 2πR 5  donde R =

y2 + x2

Solución: 1-) Propósito del ejemplo La solución analítica del problema de Boussinesq es muy utilizada en la Mecánica de Suelos. Este ejemplo se ha planteado con el objetivo de evidenciar la potencialidad del MEF, de aproximarse a la solución exacta del problema planteado.

2-) Análisis 2-1) Preproceso i) Geometría Se define la geometría de la estructura del Example 5-1 en el preprocesador de Gid.:

Figura E5.1.1 . Geometría de la sección.

ii) Data Problem Type (Tipo de problema): Una vez definida la geometría, se indica el tipo de problema a resolver. En este caso, se trata de un problema de Sólidos de Revolución, por lo que se escoge el módulo RamSeries_Educational_2D / Rev_Solids utilizando la siguiente secuencia de comandos. Data / Problem Type / RamSeries_Educational_2D / Rev_Solids

Condiciones de contorno (Boundary Conditions): Los tipos de condiciones de contorno que se imponen en este ejemplo son las siguientes: -

Desplazamientos Fijos / Restricciones Lineales (Displacements Constraints / LinearConstraints): Se restringe el movimiento en la direcciones x e y sobre la línea que va desde el punto 1 al 3 de la geometría.

Figura E5.1.2 . Desplazamientos fijos.

-

Cargas / Carga Puntual (Loads / Point-Load): Se coloca una carga puntual en el punto 4 de la geometría que es igual a 1e4N.

Figura E5.1.3 . Cargas.

Material: Se define un material con las siguientes características mecánicas.

Figura E5.1.4 . Material.

Problem Data (Datos de Problema): En esta sección se especifican una serie de datos necesarios para análisis. Dichos datos son: -Problem title: Example 5-1 -ASCII Output: No -Consider self weight: No -Scale factor: 1.0 -Results Units: N-m-kg

Figura E5.1.5 . Datos del problema.

Meshing / Generate (Mallado / Generación): Para generar la malla se utilizan las siguientes opciones: -

Structured (Estructurado): Se indica que se utilizará una malla estructurada con 32 divisiones en las líneas horizontales y 32 en las verticales. Element Type (Tipo de elemento): Se utilizarán mallas de elementos triangulares (Triangle) y cuadriláteros (Quadrilateral). Quadratic elements (Elementos cuadráticos): Se considerarán elementos lineales de 3 y 4 nodos (Normal) y cuadráticos de 6, 8 y 9 nodos (Quadratic y Quadratic9).

Figura E5.1.6 . Mallas de elementos triangulares y cuadriláteros.

2-2) Proceso Calculate / Calculate (Cálculo / Cálculo) Una vez realizada la generación de la malla se procede a calcular el problema.

2-3) Postproceso i) File / Postprocess (Archivos / Postproceso) En las siguientes figuras se muestran los resultados más relevantes del análisis.

ELEMENTOS TRINGULARES DE 3 NODOS

Figura E5.1.7 . Mapa de tensiones σy para elementos triangulares de 3 nodos.

ELEMENTOS TRINGULARES DE 6 NODOS

Figura E5.1.8 . Mapa de tensiones σy para elementos triangulares de 6 nodos. ELEMENTOS CUADRILATEROS DE 4 NODOS

Figura E5.1.9 . Mapa de tensiones σy para elementos cuadriláteros de 4 nodos.

ELEMENTOS CUADRILATEROS DE 8 NODOS

Figura E5.1.10 . Mapa de tensiones σy para elementos cuadriláteros de 8 nodos.

ELEMENTOS CUADRILATEROS DE 9 NODOS

Figura E5.1.11. Mapa de tensiones σy para elementos cuadriláteros de 9 nodos.

3) Comparación de resultados La solución analítica del problema de Boussinesq para la tensión σy es la siguiente:

3Py 3 σY = 2πR 5 donde : R=

y2 + r2

En las siguientes tablas, se comparan los valores de la tensión σy obtenidos de la solución analítica con los obtenidos del módulo RamSeries_Educational_2D / Rev_Solids correspondientes a las profundidades de 0.5 y 1.0 m. Profundidad y= 0.5m x

Sigma-Y TR03 TR06 QU04 QU08 QU09 Analítico 0,00 24872,00 20286,00 18270,00 17741,00 18892,00 19098,59 0,50 3335,90 3389,90 3491,20 3419,50 3415,70 3376,19 1,00 425,79 354,45 350,74 347,82 347,91 341,65 1,50 78,62 68,48 68,81 66,68 66,69 60,40 2,00 23,78 22,71 23,19 22,16 22,16 16,03 2,50 10,68 10,77 11,08 10,56 10,56 5,54 3,00 4,06 4,29 4,41 4,20 4,20 2,29 3,50 -4,71 -4,48 -4,56 4,52 -4,52 1,08 4,00 -15,83 -14,78 -13,73 14,05 -14,05 0,56

Profundidad y= 1.0m x

Sigma-Y TR03 TR06 QU04 QU08 QU09 Analítico 0,00 5254,80 4935,60 4734,10 4779,20 4780,50 4774,65 0,50 2657,50 2754,80 2798,90 2760,80 2760,60 2733,17 1,00 867,51 869,27 875,95 870,93 870,94 844,05 1,50 285,61 274,48 273,41 273,96 273,97 250,75 2,00 110,89 106,07 105,57 105,65 105,66 85,41 2,50 51,16 49,52 49,38 49,30 49,30 33,74 3,00 21,88 21,35 21,23 21,24 21,23 15,10 3,50 -5,35 -5,48 -5,70 -5,55 -5,55 7,47 4,00 -42,49 -43,36 -39,25 -44,18 -44,17 4,01

Los valores de la tabla anterior se presentan en los diagramas de las figuras E5.1.12 y E5.1.13.

(-) Tensión Y para y=0.5m 25000,0 20000,0 TR03 TR06 QU04 QU08 QU09 Analitico

-Tens-Y

15000,0 10000,0 5000,0 0,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

-5000,0 x Figura E5.1.12. Diagrama comparación de las tensiones σy en la coordenada y=0.5.

(-) Tensión Y para y=1.0m

5000,0

-Tens-Y

4000,0 TR03 TR06 QU04 QU08 QU09 Analítica

3000,0 2000,0 1000,0 0,0 0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

-1000,0 x

Figura E5.1.13. Diagrama comparación de las tensiones σy en la coordenada y=1.0.

4) Conclusiones Los valores obtenidos con módulo RamSeries_Educational_2D / Rev_Solids se aproximan considerablemente a valores de la solución analítica. Los elementos cuadráticos tienen una mejor precisión que los elementos lineales. Los resultados muestran que el elemento triangular de 3 nodos es el menos preciso de todos los analizados. La solución numérica se vuelve menos precisa a medida que se acerca al punto de aplicación de la carga (Punto 4 de la geometría). Este hecho concuerda con el elevado gradiente de tensiones que se produce en dicha zona. Para mejorar la solución, se debe plantear una malla en la cual se aumenten sensiblemente el número de elementos alrededor de la zona de aplicación de la carga. Se alienta al alumno a recalcular este ejemplo proponiendo una malla con las características señaladas en el párrafo anterior.