Elementos Finitos 6p1d3s
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- Words: 212,474
- Pages: 470
´todo Fundamentos del Me de Elemento Finito ´n Primera Edicio
Jaime G. Molina P. Catedr´atico Em´erito Ingenier´ıa Mec´anica U. M. S. A.
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La presentaci´ on y disposici´ on en conjunto de: ´todo de elemento finito ” “ fundamentos del me incluye materia preliminar, cuerpo de texto y materia posterior. Adem´ as tambi´ en incluye un cd en la contratapa, que contiene archivos electr´ onicos complementarios al documento. La propiedad intelectual de este trabajo se transfiere a la U.M.S.A.
Instituci´ on patrocinante y el autorProcesado conceden licencia para Procesadocopiar,La distribuir Procesado Procesado y/o modificar este documento seg´ un las condiciones
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Derechos No Reservados: 2010. jaime g. molina p.
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Dedicatoria A quien fu´e el primero en mostrarme el m´etodo de elemento finito, y se convirti´ o luego en mi amigo y principal mentor : PhD.Eng. J. Roger Saravia Luna† . A todos ustedes quienes con sacrificio y tal vez noches de desvelo, estudien este documento con el ´animo de aprender algo nuevo. A mi hermano y amigos de mi entorno m´as cercano, por comprender mi aislamiento de ellos necesario para escribir esta obra. A la eterna memoria de mis padres, quienes me dieron la oportunidad de haberme educado para alcanzar mis metas anheladas.
Jaime G. Molina P. Verano de 2010
Fundamentos del M´ etodo de Elemento Finito Primera Edici´ on
Jaime G. Molina P. Catedr´ atico Em´erito Ingenier´ıa Mec´ anica U. M. S. A.
´Indice de Contenido
1. Conceptos b´ asicos 1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Concepci´ on del m´etodo de elemento finito ? 1.2.1. Convergencia del m´etodo . . . . . . 1.2.2. El m´etodo de diferencias finitas . . . 1.3. Procedimiento general . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Pre–procesamiento . . . . . . . . . . 1.3.2. Procesamiento o Soluci´on . . . . . . 1.3.3. Post–procesamiento . . . . . . . . . 1.4. Breve historia del m´etodo de elemento finito 1.5. Ejemplos de an´ alisis de elemento finito . . . 1.6. Objetivos del documento . . . . . . . . . . .
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1 1 2 4 7 9 10 10 10 11 12 14
2. An´ alisis uni–dimensional 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El resorte linealmente el´ astico . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Ensamble del sistema en coordenadas globales . 2.3. El elemento barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Energ´ıa de deformaci´ on el´ astica . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Primer teorema de Castigliano . . . . . . . . . 2.5. Energ´ıa potencial m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17 18 18 21 30 36 37 42 45 45
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3. El m´ etodo dir´ ecto de rigidez 49 3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Ecuaciones de equilibrio nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 v
vi 3.3. Transformaci´ on de elemento . . . . . . . . . . 3.3.1. Cosenos directores . . . . . . . . . . . 3.4. Ensamble de la matriz de rigidez global . . . 3.5. Condiciones de borde, y fuerzas de restricci´on 3.6. Deformaciones y tensiones de elemento . . . . 3.7. Un ejemplo completo . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Cerchas tri–dimensionales . . . . . . . . . . . 3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Elementos de f lexi´ on 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . 4.2. Teor´ıa elemental de vigas . . . . . 4.3. El elemento viga . . . . . . . . . . 4.4. Matriz de rigidez de elemento viga 4.5. Vector de carga de elemento . . . . 4.6. Cargas nodales equivalentes . . . . 4.7. El elemento marco . . . . . . . . . 4.8. El elemento rectil´ıneo general . . . 4.9. Comentarios finales . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . .
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56 58 59 64 65 69 74 78 78
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5. El m´ etodo de residuos ponderados 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El m´etodo de residuos ponderados . . 5.3. El m´etodo de elemento finito Galerkin 5.3.1. Formulaci´ on de elemento . . . 5.4. Aplicaci´ on en elementos estructurales . 5.4.1. El elemento barra . . . . . . . 5.4.2. El elemento viga . . . . . . . . 5.5. Conducci´ on de calor uni–dimensional . 5.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . .
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6. Funciones de interpolaci´ on 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Requisitos de compatibilidad e integridad . . . . . . . 6.2.1. Compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Integridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Formas polinomiales: Elementos uni–dimensionales . . 6.3.1. Elementos unidimensionales de orden–superior 6.4. Formas polinomiales: isotrop´ıa geom´etrica . . . . . . . 6.5. Elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Coordenadas de ´ area . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Elemento triangular de seis–nodos . . . . . . . 6.5.3. Integraci´ on en coordenadas de ´area . . . . . . . 6.6. Elementos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Elementos tri–dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Elemento tetra´edrico de cuatro–nodos . . . . . 6.7.2. Elemento ladrillo de ocho–nodos . . . . . . . . 6.8. Formulaci´ on isoparam´etrica . . . . . . . . . . . . . . .
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vii 6.9. Elementos de simetr´ıa axial . . . . . . . . . . 6.10. Integraci´ on num´erica: Cuadratura Gaussiana 6.11. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Transmisi´ on del calor 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Conducci´ on uni–dimensional: elemento cuadr´atico . . . . . . . 7.3. Conducci´ on uni–dimensional con convecci´on . . . . . . . . . . . 7.3.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Transmisi´ on de calor bi–dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Condiciones de simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Resultantes de elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5. Generaci´ on interna de calor . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Transferencia de calor con transporte de masa . . . . . . . . . . 7.6. Transmisi´ on de calor tri–dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Ensamble del sistema y condiciones de borde . . . . . . 7.7. Transmisi´ on de calor con simetr´ıa axial . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Transmisi´ on de calor transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1. M´etodos de diferencias finitas para respuesta transiente: Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2. M´etodos de diferencia central y diferencia regresiva . . . 7.9. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Mec´ anica de fluidos 8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. An´ alisis de flujo incompresible . . . . . . . . 8.2.1. Flujo rotacional e irrotacional . . . . 8.3. La funci´ on de corriente . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . 8.3.2. Condiciones de borde . . . . . . . . 8.3.3. La funci´ on potencial de velocidad . . 8.3.4. Flujo alrededor de m´ ultiples cuerpos 8.4. Flujo viscoso incompresible . . . . . . . . . 8.4.1. Flujo de Stokes . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Flujo viscoso con inercia . . . . . . . 8.5. Resumen final . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . .
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263 . 263 . 265 . 266 . 267 . 268 . 269 . 273 . 280 . 282 . 283 . 288 . 289 . 290
9. Mec´ anica de s´ olidos 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Tensi´ on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . 9.2.2. Evaluaci´ on de la matriz de rigidez . . . 9.2.3. Cargas distribu´ıdas y fuerzas de cuerpo 9.3. Deformaci´ on plana . . . . . . . . . . . . . . . .
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293 293 294 296 299 300 306
viii 9.4. Formulaci´ on isoparam´etrica . . . . . . . . . . . . 9.5. An´alisis de tensiones en simetr´ıa axial . . . . . . 9.5.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . 9.5.2. Cargas de elemento . . . . . . . . . . . . . 9.6. Elementos de tensi´ on tri–dimensionales generales 9.6.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . 9.7. Evaluaci´ on de deformaciones y tensiones . . . . . 9.8. Consideraciones pr´ acticas . . . . . . . . . . . . . 9.9. Torsi´ on no–circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . 9.9.2. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.3. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . 9.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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310 317 319 321 324 325 327 331 333 336 336 336 340 340
10.Din´ amica estructural 10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. El oscilador arm´ onico simple . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Vibraci´ on forzada . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Sistemas con m´ ultiples grados de libertad . . . . . 10.3.1. Sistemas con varios grados de libertad . . . 10.4. El elemento barra: matriz de masa consistente . . . 10.5. El elemento viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Matriz de masa para un elemento general . . . . . 10.7. Ortogonalidad de los modos principales . . . . . . 10.8. Respuesta arm´ onica mediante superposici´on modal 10.9. Disipaci´ on de energ´ıa: amortiguamiento estructural 10.9.1. Amortiguamiento estructural general . . . . 10.10.Respuesta din´ amica transitoria . . . . . . . . . . . 10.11.An´alisis din´ amico estructural . . . . . . . . . . . . 10.12.Consideraciones pr´ acticas . . . . . . . . . . . . . . 10.13.Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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345 345 346 350 352 357 360 365 369 374 378 380 382 386 388 395 396 397
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401 . 402 . 403 . 404 . 405 . 407
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409 . 410 . 413 . 414 . 415
´ A. Temas de Algebra Lineal A.1. Definiciones . . . . . . . A.2. Operaciones algebr´ aicas A.3. Determinantes . . . . . A.4. Inversi´ on matricial . . . A.5. Partici´ on matricial . . .
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B. Ecuaciones de elasticidad B.1. Relaciones desplazamiento–deformaci´on B.2. Relaciones tensi´ on–deformaci´ on . . . . . B.3. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . B.4. Ecuaciones de compatibilidad . . . . . .
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ix C. Soluci´ on de ecuaciones C.1. M´etodo de Cramer . . . C.2. Eliminaci´ on de Gauss . C.3. Descomposici´ on L–U . . C.4. Soluci´ on frontal . . . . . C.5. Exactitud de la soluci´ on
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D. El programa FEPC D.1. El programa computacional FEPC D.2. Pre–procesamiento . . . . . . . . . D.3. Soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . D.4. Post–procesamiento . . . . . . . . D.5. Detalles del paquete . . . . . . . .
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E. Problemas de proyecto E.1. Cap´ıtulo 3 . . . . . . E.2. Cap´ıtulo 4 . . . . . . E.3. Cap´ıtulo 7 . . . . . . E.4. Cap´ıtulo 9 . . . . . . E.5. Cap´ıtulo 10 . . . . .
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Prefacio
´todo de Elemento Finito”, tiene pretensi´on de ser La presente obra: “Fundamentos del Me libro de texto para un curso terminal de pre–grado o inicial de nivel–superior (post–grado), dise˜ nado para ser inclu´ıdo en los programas de estudio de ingenier´ıa. La orientaci´on tem´atica de su contenido se adapta muy apropiadamente a los programas de estudio de ingenier´ıa mec´anica e ingenier´ıa civil, aunque podr´ıa ser considerado tambi´en como libro de consulta en otros campos de la ingenier´ıa o en un curso de matem´ atica aplicada. El m´etodo de elemento finito es una t´ecnica de an´alisis y dise˜ no ampliamente utilizada actualmente, que es esencial para los estudiantes de ingenier´ıa que poseen rudimentos b´asicos de la teor´ıa y aplicaciones de los m´etodos discretos de an´alisis. Persiguiendo el objetivo de aprender algo m´as sobre el m´etodo, a finales del a˜ no 2006 en la Universidad de Calghary — en Canad´a — fu´ı invitado para elaborar y ense˜ nar una serie de “temas especiales” como parte de un simposio de charlas complementarias al curso extraordinario de modalidad electiva del m´etodo de elemento finito, implementado el segundo semestre de dicho a˜ no en la universidad mencionada. El curso estaba compuesto de aproximadamente tres–cuartas partes de teor´ıa y una cuarta parte de uso de software comercial destinado a la resoluci´ on de los problemas asignados a lo largo del curso. Subsecuentemente, desde dicha ´epoca, el curso se ha convertido en uno regularmente ofrecido como asignatura de especialidad de modalidad obligatoria en el programa de ingenier´ıa mec´anica, y generalmente posee una demanda muy alta de estudiantes interesados en aprender esta materia (incluso como asignatura electiva, para ser cursada por estudiantes pertenecientes a otras carreras de ingenier´ıa). Durante el proceso de desarrollo para el curso, los responsables de impartirlo nunca estuvimos satisfechos con cualquier texto que se us´o en el mismo, y nosotros probamos muchos libros escritos sobre el tema, por cierto. Encontramos que los textos disponibles se ubicaban a un extremo u otro de nuestras pretensiones; a saber, en algunos esencialmente ninguna teor´ıa y mucha aplicaci´on de software; o toda la teor´ıa y ninguna aplicaci´on de software. Los planteamientos pedag´ogicos anteriores, en mi opini´ on, representan: el primero, entrenamiento extensivo usando programas computacionales (adecuado para quien domina la teor´ıa y se inmiscuye exclusivamente con las aplicaciones del m´etodo); mientras que el segundo pretende desarrollo extensivo te´orico sin acercamiento al software asociado al m´etodo (adecuado para quien pretende dominar la teor´ıa, sin inmiscuirse en la aplicaci´on pr´actica).
xii En esa ´epoca esperaba que la experiencia que relato en anteriores p´arrafos se replicara en la universidad donde imparto ense˜ nanza. Y afortunadamente, en la actualidad, por la apertura del ciclo de Postgrado con el Programa de Maestr´ıa en Ciencias de la Ingenier´ıa Mec´anica, tengo la oportunidad de hacer el intento de replicar de alguna manera la experiencia acad´emica antes comentada. Es pretensi´ on de ´este documento ubicarse en lo posible en un punto medio donde ciertamente se d´e preferencia a la elaboraci´ on te´ orica, pero sin omitir los aspectos de tipo pr´actico mediante utilizaci´on de software adecuado para ello. Esto porque consideramos este documento como un libro de texto adecuado a un curso introductorio al m´etodo de elemento finito. En tal virtud, los problemas propuestos para ser resueltos computacionalmente no son de un gran volumen de datos de entrada, de modo que para resolverlos podr´ıa utilizarse incluso un paquete de caracter acad´emico (existen muchos de descarga gratuita en diversos portales de la red Internet). Pedag´ogicamente, yo creo que proporcionar entrenamiento pr´actico al estudiante pre–graduado en el uso de un paquete de software particular, sin proporcionarle conocimiento de la concepci´on te´orica subyascente en los programas computacionales que conforman el paquete, es un perjuicio al estudiante y puede ser hasta peligroso para sus futuros empleadores. Me considero que soy agudamente consciente que la mayor´ıa de los programas de estudio en ingenier´ıa, tienen un paquete espec´ıfico de software de elemento finito disponible para el uso del estudiante; y simult´aneamente yo no creo que el texto que los estudiantes usen s´ olo deba exclusivamente atarse en su desarrollo te´orico a ese espec´ıfico software. Por consiguiente, he escrito este texto para que sea considerado independiente de cualquier software en particular. Doy ´enfasis a la teor´ıa b´ asica del m´etodo de elemento finito, en un contexto que pueda entenderse por cualquier estudiante com´ un de ingenier´ıa, y dejo las porciones espec´ıficas de utilizaci´on de software a la curiosidad e inquietud del lector, para que ´el mismo complemente su aprendizaje incorporando la parte pr´ actica de utilizaci´ on de ´esta herramienta computacional de manera individual y autodidacta. Como el texto est´ a elaborado para un curso introductorio al m´etodo de elemento finito, los requisitos de conocimiento previo comprenden: los principios de la mec´anica general en sus partes componentes est´atica y din´ amica, la mec´ anica de materiales, la mec´anica de fluidos, la termodin´amica y la transmisi´on de calor, y finalmente el c´ alculo infinitesimal en concepci´on de las operaciones b´asicas de integraci´on y derivaci´ on de funciones, juntamente con la aplicaci´on a la soluci´on de las ecuaciones diferenciales. Por necesidad, y cuando sea ineludible, se introducen ecuaciones diferenciales en derivadas parciales al interior del desarrollo te´ orico presentado; pero de una manera que pueda entenderse sin mayor dificultad, basado en los requisitos previos declarados. Las aplicaciones del m´etodo de elemento finito a la transmisi´on del calor y la mec´anica del medio fluido son incluidas en Cap´ıtulos espec´ıficos, pero las deducciones necesarias son tales que los cursos anteriores en esos temas se requieren solamente por los conceptos fundamentales de definici´on que fueron supuestamente elaborados en dichos cursos precedentes. Seguramente, muchos estudiantes habr´an tomado cursos regulares previos de transferencia de calor y mec´anica de fluidos, y los temas aqu´ı presentados pueden suponerse que resultar´ an ser extensi´on natural de aquellos temas fundamentales que los estudiantes poseen como conocimiento previo a este curso. Advierto que esta obra no es completamente in´edita en autor´ıa; mucha parte de su contenido es traducci´on e interpretaci´ on libre del texto: “Fundamentals of the Finite Element Analysis” de David D. c Hutton (McGraw Hill – Higher Education Publications, 1st. Ed., 2004 , International Edition), con la autorizaci´on del autor para efectuar una traducci´on no literal de las partes de inter´es. Otras partes de desarrollo te´orico sobretodo, son tambi´en traducciones no–literales de diversos documentos (art´ıculos y partes menores de otros libros descargados desde la red Internet), y una parte algo menor es de autor´ıa propia en concepci´ on y redacci´ on, la cual se ha incorporado en forma de p´arrafos intermedios de explicaci´on m´ as detallada de los temas que son tratados. El contenido del presente documento, seccionado siguiendo un formato estandar pre–establecido, incluye los temas siguientes: Cap´ıtulo 1 — es una introducci´ on general al m´etodo del elemento finito, e incluye una descripci´on del concepto b´ asico de dividir un dominio en una serie de sub–dominios de tama˜ no finito. El
xiii m´etodo de diferencias finitas se presenta para comparaci´on con el m´etodo de elemento finito. Un procedimiento general en la secuencia de definici´on, soluci´on, y la interpretaci´on de resultados asociados con el modelo matem´atico de an´alisis se discute, y se relaciona a la serie generalmente aceptada de: pre–procesamiento, soluci´on, y post–procesamiento. Tambi´en se incluye una historia breve del m´etodo de elemento finito, como tambi´en algunos ejemplos que ilustran la aplicaci´on del m´etodo. Cap´ıtulo 2 — introduce el concepto de matriz de rigidez de elemento finito, y la ecuaci´on del campo de desplazamientos asociado, en t´erminos de las denominadas funciones de interpolaci´on, usando el resorte lineal como un elemento finito. Este elemento mec´anico (el resorte lineal el´astico) es conocido por la mayor´ıa de estudiantes pre–graduados, por lo que su comportamiento mec´anico no debe ser nuevo para ellos. Sin embargo, la representaci´on del resorte lineal como un elemento finito es nueva, y la virtud de ´este enfoque es que proporciona un ejemplo simple y conciso del m´etodo de elemento finito. La premisa de formulaci´on del elemento resorte es extendida al elemento barra, y se introducen los m´etodos de concepci´on energ´etica. El primer teorema de Castigliano es aplicado, como representaci´on del principio de energ´ıa potencial m´ınima. El teorema de Castigliano es un m´etodo simple para introducir al estudiante pre–graduado a los principios de minimizaci´ on funcional sin el uso expl´ıcito del c´alculo variacional. Cap´ıtulo 3 — utiliza el elemento barra del Cap´ıtulo anterior para ilustrar el ensamble global de las ecuaciones de equilibrio para una estructura compuesta de muchos elementos finitos. Se desarrolla la transformaci´ on de las ecuaciones gobernantes de comportamiento mec´anico desde las coordenadas del elemento hacia las coordenadas globales (de la estructura), y se ilustra el procedimiento con ejemplos bi y tri–dimensionales. El m´etodo directo de rigidez se utiliza y se presentan dos m´etodos para el ensamble de la matriz de rigidez global. Se discute la aplicaci´on de condiciones de borde l´ımite y la soluci´ on de las ecuaciones de restricci´on. Se muestra tambi´en el uso de la soluci´ on b´ asica del desplazamiento para obtener la tensi´on interna del elemento, y se muestra a la tensi´ on como una importante operaci´on de la etapa de post–procesamiento. Cap´ıtulo 4 — introduce el elemento viga como un elemento flexible y tem´aticamente como puente a los requisitos de continuidad para los elementos de orden–superior. Se introduce el concepto de continuidad de la derivada espacial y esto requiere un ajuste a las funciones de interpolaci´on asumidas, para asegurar la continuidad requerida por la soluci´on. Se discuten los vectores de carga nodales en el contexto de cargas discretas y distribu´ıdas, usando el m´etodo de equivalencia del trabajo mec´ anico. Los Cap´ıtulos 2, 3, y 4, introducen los procedimientos b´asicos de elemento–finito modelando los sistemas considerados en el contexto de elementos estructurales simples que deben ser muy conocidos por el estudiante desde el requisito previo de su curso de mec´anica de materiales. As´ı, el ´enfasis en la parte inicial del curso en que el texto es usado puede estar enmarcado en la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito hacia situaciones simples, sin la introducci´on de nuevos conceptos f´ısicos. Los elementos barra y viga pueden usarse para proporcionar al estudiante problemas pr´ acticos de estructuras reticuladas compuestas de elementos rectil´ıneos, cuya soluci´on deba ser hallada aplicando el software disponible para el m´etodo de elemento finito. Cuando el alumno adquiera dominio (en el contexto bidimensional) de manejo de los elementos barra y viga, este conocimiento proporciona un ´ ambito adecuado para que se pueda combinar este desarrollo te´orico y generar el elemento marco, adecuado para el an´alisis o dise˜ no de estructuras tipo p´ortico. Cap´ıtulo 5 — es el trampol´ın hacia los conceptos m´as avanzados de an´alisis por aplicaci´on del m´etodo de elemento finito. El m´etodo de residuos ponderados se introduce como la t´ecnica fundamental que ser´ a utilizada en el resto del texto. El m´etodo de Galerkin se utiliza exclusivamente desde que particularmente he encontrado que este m´etodo es comprensible para el estudiante, y es d´ocil a la formulaci´ on de una gama amplia de problemas que se presentan en los diversos campos de la ingenier´ıa. El material en este Cap´ıtulo repite los desarrollos de los elementos barra y viga presentados anteriormente desde una perspectiva diferente, pero tambi´en extiende el concepto de
xiv elemento finito a la trasferencia de calor uni–dimensional. La aplicaci´on a los elementos barra y viga ilustran que el m´etodo est´ a de acuerdo con el desarrollo te´orico presentado previamente en los Cap´ıtulos 2–4. La introducci´ on de los procesos de transferencia de calor expone al estudiante a aplicaciones adicionales del m´etodo de elemento finito, que probablemente sean nuevas para ´el. Cap´ıtulo 6 — es una descripci´ on plena de los requisitos a cumplir por las funciones de interpolaci´on usadas en modelos de elemento finito, asociados con cualquier problema f´ısico. Se delinean los requisitos de continuidad e integridad. Se definen las coordenadas naturales (polinomiales), las coordenadas superficiales, y las coordenadas de volumen; todas ellas se usan para desarrollar las funciones de interpolaci´ on para varios tipos de elementos en dos y tres dimensiones. El concepto de mapeo isoparam´etrico se introduce en el contexto del elemento cuadril´atero plano. Como un aspecto precursor a los Cap´ıtulos siguientes, se introduce el concepto de integraci´on num´erica usando la cuadratura Gaussiana, y se incluyen varios ejemplos de muestra de aplicaci´on de ´estos conceptos. Tambi´en se incluye el uso de elementos bidimensionales para modelar dominios tridimensionales que poseen simetr´ıa axial. Cap´ıtulo 7 — se presenta el m´etodo de Galerkin para desarrollar las ecuaciones de elemento finito para varias situaciones normalmente encontradas en procesos de transferencia de calor. Se discuten las formulaciones uni, bi, y tri–dimensionales para la transferencia de calor por conducci´on y convecci´ on. Aspectos asociados con el fen´omeno de radiaci´on no son incluidos, por el hecho que esta forma particular de transmisi´ on de calor introduce t´erminos de car´acter no–lineal en las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema, aspecto para el que los estudiantes pre– graduados no est´ an preparados por el nivel de los temas abordados en ´este documento. Pero, en compensaci´ on se incluye la transmisi´ on de calor con transporte de masa. El m´etodo de diferencias finitas junto con el m´etodo del elemento finito se utiliza para presentar m´etodos para analizar y resolver problemas de transferencia de calor transitorio, es decir dependientes del tiempo. Cap´ıtulo 8 — presenta las aplicaciones del elemento finito a la mec´anica de fluidos. Las ecuaciones generales gobernantes del flujo fluido son muy complejas y no–lineales, de modo que el tema se introduce por medio del estudio del flujo ideal. Se ilustra el uso de las funciones de corriente y potencial de velocidad, y se advierten las restricciones aplicables para casos diversos. Se incluyen problemas de ejemplo para hacer notar la analog´ıa con la transferencia de calor y se usan soluciones de elemento finito de procedimientos de transmisi´on de calor para resolver problemas de flujo ideales. Una discusi´ on breve acerca del flujo viscoso muestra la presencia de efectos no–lineales cuando se considera el comportamiento de un flujo fluido real (no ideal). Cap´ıtulo 9 — aplica el m´etodo de elemento finito a los problemas de la mec´anica del medio s´olido deformable bajo la condici´ on que la respuesta del material a una solicitaci´on externa es linealmente el´astica y la deformaci´ on producida es muy peque˜ na. Se definen formulaciones de elemento finito para los problemas de tensi´ on y deformaci´on planas, y se desarrollan soluciones para cada caso. Se incluyen los estados tridimensionales generales de tensi´on y tambi´en estados de tensi´on con simetr´ıa axial. As´ı mismo, se desarrolla un modelo para la torsi´on de secciones no–circulares usando la funci´ on de tensiones de Prandtl. El prop´osito de la secci´on dedicada al problema de torsi´on es que el estudiante tome conciencia que todos los objetos solicitados torsionalmente no siempre son de secci´ on transversal circular, y que el an´alisis a usarse en tales situaciones debe ajustarse para satisfacer la geometr´ıa real que posee dicho elemento. Cap´ıtulo 10 — introduce el concepto de movimiento din´amico de estructuras. No se presume que el estudiante ha tomado un curso formal de vibraciones mec´anicas; como resultado, este Cap´ıtulo incluye una introducci´ on b´ asica a la teor´ıa de vibraci´on. La mayor´ıa de este material resume lo estrictamente necesario para comprender la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a la mec´anica de vibraciones. El concepto de la matriz de masa o de inercia se desarrolla mediante una serie de ejemplos de simple comprensi´ on, como los sistemas masa–resorte; y entonces se extienden los conceptos y´ a desarrollados hacia el estudio de los cuerpos continuos s´olidos deformables. Se definen las matrices de masa consistentes y se usan en los ejemplos presentados. El an´alisis modal es el
xv m´etodo b´ asico presentado para hallar la respuesta din´amica; de modo que una cantidad considerable de material del texto se consagra a la determinaci´on de los modos naturales de vibraci´on, la ortogonalidad de los mismos, y la superposici´on modal para establecer la respuesta del sistema debida a la perturbaci´ on aplicada. Se incluye la combinaci´on del m´etodo de diferencias finitas y el m´etodo de elementos finitos para resolver problemas estructurales din´amicos transitorios, o sea variables en el tiempo. Hacia el final del libro se incluye una serie de Ap´endices, en los cuales se provee material a los estudiantes que podr´ıa ser nuevo para ellos, o que pueden tener la condici´on de material y´a conocido en forma previa y que de alguna manera constituyan conceptos te´oricos que hayan sido y´a olvidados debido a su escasa utilizaci´ on en el transcurso del tiempo hasta llegar a esta instancia de aprendizaje del m´etodo de elemento finito. Esta serie se compone de los siguientes temas: Ap´ endice A — es una revisi´ on del ´algebra matricial y debe ser material conocido por el estudiante desde un curso de ´ algebra lineal, com´ un en todos los programas de estudio de ingenier´ıa. Ap´ endice B — establece las relaciones constitutivas tridimensionales generales para un material el´ astico, homog´eneo, e is´ otropo. Yo he encontrado durante los a˜ nos que imparto clases de mec´anica de s´ olidos, que los estudiantes de pre–grado no tienen un dominio firme de estas relaciones. En general, el estudiante ha sido expuesto a tantos casos especiales que las ecuaciones tridimensionales no son comprendidas de verdad. Ap´ endice C — cubre tres m´etodos para resolver ecuaciones algebraicas lineales. Algunos estudiantes pueden usar este material como algoritmos para programar m´etodos de soluci´on. S´olamente inclu´ımos ´este Ap´endice para que el lector sea consciente de los algoritmos que tienen presencia debajo del software que usar´ an en el proceso de resolver computacionalmente los problemas de elemento finito que les sean planteados. Ap´ endice D — describe las capacidades computacionales b´asicas del software denominado FEPC. El programa de elemento finito para computador personal — FEPC (Finite Element Personal Computer) — fu´e desarrollado por el Dr. Charles Knight en el Instituto Polit´ecnico de Virginia y la Universidad Estatal; y se usa junto con este texto haciendo uso del permiso de registro de propiedad. Los programas del Dr. Knight permiten el an´alisis de problemas bi–dimensionales usando elementos: barra, viga y superficiales planos. El Ap´endice describe en general las capacidades y limitaciones del software. El programa FEPC est´a disponible para el estudiante mediante el portal de sitio en Internet: www.mhhe.com/hutton. Ap´ endice E — incluye los problemas (tipo mini–proyecto simulado) para varios cap´ıtulos del texto que deben ser resueltos mediante software de elemento finito. La dimensi´on de los problemas planteado no es tan grande, existiendo posibilidad de ser resueltos tambi´en mediante un peque˜ no paquete de caracter´ıstica acad´emica (existen algunos que pueden descargarse desde la red Internet). Adicionalmente, en el transcurrir del tiempo se agregar´an problemas de esta clase a ´este Ap´endice (en ediciones posteriores del libro) y tambi´en a alg´ un sitio WEB a ser creado, en la perspectiva de continuar la base de ejercicios propuestos que fueron puestos en este Ap´endice. El presente libro fu´e escrito para servir de material bibliogr´afico principal (libro de texto) en el curso regular del m´etodo de elemento finito, que se dicta en el programa de Postgrado de Maestr´ıa en Ciencias de la Ingenier´ıa Mec´ anica, de la Universidad Mayor de San Andr´es (UMSA) – La Paz, bolivia. Agradezco a las autoridades de la carrera de Ingenier´ıa Mec´anica de la UMSA por depositar su confianza y brindarme total respaldo para cumplir las funciones de docente de esta asignatura. Asimismo, agradezco la orientaci´ on de mi amigo: PhD.Eng. J. Roger Saravia Luna (†), en la estructuraci´on del contenido tem´ atico y sus sabios consejos para abordar la redacci´on de ´este documento.
Jaime G. Molina P. Verano de 2010
´todo fundamentos del me de elemento finito
Capítulo
1
Conceptos b´ asicos
El m´etodo de elemento finito es un m´etodo num´erico general para la aproximaci´on de soluciones de ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales) muy utilizado en diversos problemas principalmente de ingenier´ıa y f´ısica–matem´ atica aplicada. T´ıpicamente el m´etodo de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de la variable dependiente del problema y, posteriormente, a trav´es de relaciones generales y constitutivas se calculan las variables secundarias de inter´es luego que se ha obtenido la soluci´on para el modelo de elemento finito que ha sido formulado. Esta t´ecnica tuvo su origen en el tratamiento de problemas planteados por la mec´anica de s´olidos deformables, pero en la actualidad es m´as generalmente aplicable a cualquier problema de la mec´anica de medios continuos (que involucra a todos los estados agregados de la materia). El m´etodo de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de c´alculo complejos (en dos o tres dimensiones). Adem´as el m´etodo es f´ acilmente adaptable a problemas de transmisi´on de calor, de mec´anica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (fluidodin´amica) o de campo electromagn´etico. Dada la imposibilidad pr´ actica de encontrar la soluci´on anal´ıtica de estos problemas, con frecuencia en la pr´actica ingenieril los m´etodos num´ericos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la u ´nica alternativa pr´ actica de c´ alculo. Una importante propiedad del m´etodo es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente m´ as finas, la soluci´on num´erica calculada converge r´apidamente hacia la soluci´on exacta del sistema de ecuaciones.
1.1.
Introducci´ on
El m´etodo de elemento finito (MEF), a veces llamado an´ alisis de elemento finito (AEF), es una t´ecnica computacional usada para obtener soluciones aproximadas de problemas con valores l´ımite en diversos campos de la ingenier´ıa. Declarado de manera simple, los problemas con valores l´ımite son problemas matem´ aticos en los cu´ ales una o m´as variables dependientes deben satisfacer una ecuaci´on diferencial en todas partes dentro de un dominio conocido de variables independientes y satisfacer 1
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
2
condiciones espec´ıficas en el l´ımite del dominio de definici´on del problema. Los problemas de valores l´ımite tambi´en se llaman a veces problemas de campo. El campo es el dominio de inter´es y a menudo representa una estructura f´ısica. Las variables de campo son las variables dependientes de inter´es gobernadas por la ecuaci´ on diferencial. Las condiciones l´ımite son los valores especificados de las variables de campo (o variables relacionadas como sus derivadas) sobre los l´ımites del campo. Dependiendo del tipo de problema f´ısico que se analiza, las variables de campo pueden incluir desplazamiento f´ısico, temperatura, flujo de calor, y velocidad de flujo, para mencionar s´olamente algunas variables que se presentan.
1.2.
Concepci´ on del m´ etodo de elemento finito ?
Se introducir´ an las t´ecnicas y terminolog´ıa generales del an´alisis de elemento finito con referencia a la Figura 1.1, desarrollando el concepto b´ asico del m´etodo. La figura mencionada muestra un volumen de alg´ un material o materiales que poseen propiedades f´ısicas conocidas. El volumen representa el dominio de un problema de valor l´ımite a ser resuelto. Por simplicidad, en este punto, asumimos un caso bi–dimensional con una sola variable de campo φ(x, y) para ser determinada en cada punto P (x, y) tal que una ecuaci´ on gobernante conocida (o ecuaciones) se satisfagan exactamente en cada uno de tales puntos pertenecientes al dominio espacial para la variable φ en cuesti´on (en la Figura 1.1(a) mostramos el dominio al que nos estamos refiriendo). Note que esto implica que se obtiene una soluci´on matem´atica exacta; es decir, la soluci´ on es una expresi´on algebr´aica de forma–cerrada de las variables independientes y talvez algunos par´ ametros del dominio. En los problemas pr´acticos, el dominio puede ser geom´etricamente complejo, como sucede a menudo; como tambi´en resulta engorrosa la ecuaci´on gobernante del problema y es muy baja la probabilidad de obtener una soluci´on exacta de forma– cerrada para la situaci´ on as´ı planteada. Por consiguiente, soluciones aproximadas basadas en t´ecnicas num´ericas y el c´ omputo digital son m´ as a menudo obtenidas en an´alisis de ingenier´ıa para los problemas complejos. El an´ alisis de elemento finito es una t´ecnica basada en un proceso de discretizaci´on del dominio de definici´ on del problema, que es muy poderosa para obtener tales soluciones aproximadas con una exactitud muy buena cuando la discretizaci´on del dominio es refinada. (x, y)
(x, y)
y
y x
2
x
P(x,y)
3 1
(a) Dominio de definici´ on de la variable de campo φ(x, y)
(b) Elemento finito triangular con nodos v´ ertice
(x, y) y x
(c) Discretizaci´ on parcial del dominio mediante elementos finitos
Figura 1.1: Dominio bi–dimensional general y discretizaci´on del mismo
´ DEL METODO ´ 1.2. CONCEPCION DE ELEMENTO FINITO ?
3
Un peque˜ no elemento triangular que encierra un sub–dominio de tama˜ no–finito del ´area de inter´es se muestra en la Figura 1.1(b). Que este elemento no sea un elemento diferencial de tama˜ no dx×dy hace del mismo un elemento finito; es decir, un elemento de dimensiones finitas (n´o infinitesimales !). Cuando nosotros tratamos este ejemplo como un problema bi–dimensional, se supone que el espesor en la direcci´ on z es constante y la dependencia seg´ un esta direcci´on no se indica en la ecuaci´on diferencial. Los v´ertices del elemento triangular se numeran para indicar que estos puntos son los nodos del elemento finito. Un nodo es un punto espec´ıfico perteneciente al elemento finito en el que el valor de la variable de campo va a ser calculado expl´ıcitamente. Los nodos exteriores son localizados en los l´ımites del elemento finito y podr´ıan usarse para conectar un elemento dado a elementos finitos adyacentes. Los nodos que no se ubican en los l´ımites del elemento son nodos interiores y no pueden ser conectados a los nodos de cualquier otro elemento. El elemento triangular de la Figura 1.1(b) tiene s´olo nodos en sus v´ertices, y por ello los mismos son nodos exteriores. Si s´ olo se computan los valores de la variable de campo en los nodos del elemento, c´omo se obtienen los valores en otros puntos dentro de un elemento finito?. La respuesta a esta crucial pregunta contiene la esencia del m´etodo de elemento finito: Los valores de la variable de campo calculados para los nodos se usan para aproximar los valores en los puntos no–nodales (es decir, en todos los puntos al interior del elemento) mediante un procedimiento de interpolaci´on usando los valores nodales y´a calculados en forma previa. Para el ejemplo del elemento triangular con nodos en sus v´ertices, en el que los nodos son todos exteriores, la variable de campo en cualquier otro punto dentro del elemento y en sus aristas limitantes, se describe por la relaci´ on aproximada φ(x, y) = N1 (x, y)φ1 + N2 (x, y)φ2 + N3 (x, y)φ3
(1.1)
donde φ1 , φ2 , y φ3 son los valores de la variable de campo en los puntos nodales, y N1 , N2 , y N3 son las funciones de interpolaci´ on, tambi´en conocidas como funciones de forma o funciones de mezcla. En el ´ambito del m´etodo de elemento finito, los valores nodales de la variable de campo se tratan como constantes desconocidas que ser´ an determinadas. Las funciones de interpolaci´on son m´as a menudo formas polin´ omicas de las variables independientes, deducidas para satisfacer ciertas condiciones requeridas en los nodos. Estas condiciones son discutidas en detalle en los cap´ıtulos subsecuentes. El punto relevante a ser enunciado aqu´ı es que las funciones de interpolaci´on son predeterminadas, con formas de funciones conocidas de las variables independientes; y estas funciones describen la variaci´on de la variable de campo dentro del elemento finito. Se dice que el elemento triangular descrito por la Ecuaci´on (1.1) tiene 3 grados de libertad, en virtud que se requieren tres valores nodales de la variable de campo para describir a la variable dependiente ´ en todos los puntos que conforman el elemento. Este ser´ıa el caso si la variable de campo representa una cantidad escalar, como la temperatura en un problema de trasmisi´on de calor , por ejemplo (v´ease el Cap´ıtulo 7). Si el dominio de Figura 1.1 representa un cuerpo s´olido delgado, sujeto a un estado de tensi´ on plana (v´ease el Cap´ıtulo 9); la variable de campo se adopta como el vector desplazamiento interno y en ´este caso deben computarse los valores de dos componentes en cada nodo. En este u ´ltimo caso, el elemento triangular con nodos en sus tres v´ertices tiene 6 grados de libertad. En general, el n´ umero de grados de libertad asociados con un elemento finito es igual al producto del n´ umero de nodos y el n´ umero de valores del campo variable (y posiblemente sus derivadas) que deben calcularse en cada nodo. En esta instancia surge otra pregunta: C´omo este procedimiento basado en el elemento, puede ser ahora aplicado sobre el dominio entero de inter´es ?. Como se bosqueja en la Figura 1.1(c), cada elemento se conecta mediante sus nodos exteriores a los otros elementos circundantes a ´el. Las ecuaciones de elemento finito se formulan de modo que, en las conexiones nodales, el valor de la variable en cualquier punto de conexi´ on com´ un es el mismo para cada elemento que concurre a dicha ubicaci´on y est´a conectado al nodo. As´ı, se asegura la continuidad de la variable de campo (variable dependiente en el problema) en los puntos nodales. De hecho, las formulaciones de elemento finito son tales que la continuidad del campo variable lo largo de los l´ımites de elementos aleda˜ nos que comparten dicho l´ımite tambi´en se asegura. Este rasgo de imposici´on sobre el m´etodo en cuanto a la continuidad de la
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
4
variable que est´ a siendo modelada y aproximada mediante el m´etodo de elemento finito, evita la posibilidad f´ısicamente inaceptable de existencia de huecos o discontinuidades en el dominio considerado. En problemas estructurales, tales huecos f´ısicamente representar´ıan la separaci´on del material. En los procesos de transmisi´ on de calor, un “hueco” se manifestar´ıa en s´ı–mismo en la forma de posibilidad de valores de magnitud de temperaturas diferentes correspondientes al mismo punto f´ısico, lo cual por cierto es una completa aberraci´ on. Aunque la continuidad del campo variable de elemento a elemento adyascente es inherente a la formulaci´on de elemento finito, la continuidad de los gradientes (i.e., derivadas) del campo de la variable ´ dependiente generalmente no existe. Esta es una observaci´on cr´ıtica hacia el m´etodo de elemento finito. En la mayor´ıa de los casos, dichas derivadas son de m´as inter´es que los valores del campo variable en s´ı–mismo. Por ejemplo, en los problemas estructurales la variable de campo es el desplazamiento, pero el verdadero inter´es est´ a m´ as a menudo en la deformaci´on y la tensi´on. Como la deformaci´on unitaria (al igual que la tensi´ on interna) est´a definida en t´erminos de las primeras derivadas espaciales de las componentes de desplazamiento, por lo que se refiere a esta variable mec´anica resultar´a que no es cont´ınua sobre la frontera l´ımite del elemento (exceptuando sus puntos nodales exteriores). Sin embargo, las magnitudes de las discontinuidades de las derivadas de la funci´on que se est´e manipulando pueden ser usadas para evaluar la exactitud de la soluci´on y su convergencia hacia la soluci´on real (o ex´acta) a medida que el n´ umero de elementos se incrementa, como se ilustra a trav´es del ejemplo que a continuaci´on mostraremos.
1.2.1.
Convergencia del m´ etodo
El proceso de representar un dominio f´ısico con elementos finitos es referido como un proceso de discretizaci´ on, y la serie resultante de elementos es conocida como la malla de elemento finito. Como la mayor´ıa de las geometr´ıas de elemento normalmente usadas tienen como fronteras lados rectos, generalmente es imposible incluir el dominio f´ısico entero en la malla de elementos, si el dominio incluye l´ımites curvados. Tal situaci´ on se muestra en la Figura 1.2(a), donde un dominio f´ısico superficial de l´ımite–curvo se discretiza (bastante groseramente) usando elementos cuadrados, siendo el n´ umero de ellos 45. Una malla m´ as refinada en el proceso de partici´on para el mismo dominio se muestra en Figura 1.2(b), usando peque˜ nos, y m´ as numerosos elementos del mismo tipo (la malla contiene 83 elementos). Se nota a simple vista que la malla refinada incluye significativamente una mayor superficie del dominio f´ısico en la representaci´ on de elemento finito, y los l´ımites curvados son m´as estrechamente aproximados (elementos triangulares podr´ıan aproximar los l´ımites a´ un de mejor manera).
(a) Modelo discreto elaborado mediante uso de elementos cuadrados
(b) Malla de elemento finito refinada usando elementos m´ as peque˜ nos
Figura 1.2: Dominio bi–dimensional arbitrario con l´ımite curvado Si las funciones de interpolaci´ on satisfacen ciertos requisitos matem´aticos (v´ease el Cap´ıtulo 6), una soluci´on de elemento finito para un problema particular converge hacia la soluci´on exacta del problema a medida que el modelo utilizado sea asociado a una malla de elementos de menor tama˜ no. Es decir, a manera que el n´ umero de elementos se incrementa y se disminuyen las dimensiones f´ısicas
´ DEL METODO ´ 1.2. CONCEPCION DE ELEMENTO FINITO ?
5
de los mismos, la soluci´ on de elemento finito cambia incrementalmente hacia la soluci´on correcta. Los cambios incrementales decrecen con el proceso de refinamiento de la malla y la aproximaci´on hacia la soluci´on exacta se verifica que tiene forma asint´otica. Para ilustrar la convergencia del m´etodo, consideraremos un problema relativamente simple que tiene una soluci´ on conocida. La Figura 1.3(a) muestra un cuerpo s´olido de forma cil´ındrica tronco– c´onica, empotrado en un extremo y sujeto a una carga de tracci´on en su otro extremo libre. Asumiendo que el desplazamiento del punto de la carga aplicada sea de inter´es en su evaluaci´on, se obtiene una primera aproximaci´ on de soluci´on considerando el cuerpo como cil´ındrico de secci´on transversal uniforme, teniendo ´esta variable magnitud igual al valor medio del ´area transversal del cuerpo original (v´ease la Figura 1.3b).
r0 x L
r
L
A=
A0+AL 2
P (a) Esquema del sistema f´ısico
(c) Modelo de dos elementos finitos
(b) Modelo de un elemento finito
(d) Modelo de cuatro elementos finitos
Figura 1.3: Barra cil´ındrica tronco–c´onica solicitada axialmente y su modelado La varilla uniforme gruesa de la Figura 1.3(b) es un elemento finito barra (v´ease el Cap´ıtulo 2); as´ı, nuestra primera aproximaci´ on es un modelo de un solo elemento finito. La soluci´on es obtenida usando la teor´ıa de la mec´ anica de materiales. Luego, modelamos el cilindro de secci´on transversal linealmente– variable mediante dos barras uniformes en serie, como se muestra en la Figura 1.3(c). En el modelo de dos elementos, cada uno de ellos es de longitud igual a la mitad de la longitud total del cilindro original y tienen un ´ area de secci´ on transversal igual al ´area media de la correspondiente mitad de longitud del cuerpo s´ olido original; las cuales puede obtenerse en base a la ecuaci´on: r(x) = r0 − (x/L)(r0 − rL ), que describe la variaci´ on del radio con respecto a la ubicaci´on seg´ un direcci´on axial para el cuerpo tronco– c´onico original. El proceso de refinamiento de la malla se contin´ ua, elaborando un modelo de cuatro elementos como se ve en la Figura 1.3(d), y as´ı sucesivamente. En el modelo de cuatro elementos, la longitud de los mismos es la cuarta parte de la longitud del cuerpo original y su secci´on transversal
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
6
tiene ´area id´entica al ´ area media del pedazo correspondiente del objeto cil´ındrico tronco–c´onico, como se v´e en la Figura reci´en mencionada. En todos los modelos presentados en la Figura 1.3, en trazo punteado mostramos el objeto s´ olido cil´ındrico tronco–c´onico original. Para este problema simple, el desplazamiento del extremo inferior del cilindro δ(x = L) para cada uno de los modelos de elementos finitos es como se muestra en la Figura 1.4(a), d´onde la l´ınea s´olida representa la soluci´ on exacta (conocida). La convergencia de las soluciones de elemento finito hacia la soluci´on exacta se indica claramente en la gr´afica mencionada mediante una l´ınea curva segmentada.
Solución exacta Solución aproximada (cuatro elementos)
(x/L)
( x L )
Solución exacta
0
1
2
3
4
Número de elementos
(a) Convergencia seg´ un el n´ umero de elementos
5
0
0.25
0.5
0.75
1.0
x/L
(b) Comparaci´ on de soluciones obtenidas
Figura 1.4: Prueba de convergencia del m´etodo de elemento finito Por otra parte, si trazamos el desplazamiento como una funci´on de la posici´on a lo largo de la longitud del cilindro, podemos observar la convergencia as´ı como tambi´en la naturaleza aproximada de las soluciones de elementos finitos. La Figura 1.4(b) muestra la soluci´on exacta y la soluci´on del desplazamiento para el modelo de cuatro-elementos. En primer lugar, podemos notar que la variaci´on del desplazamiento en cada elemento es una aproximaci´on lineal a la verdadera soluci´on no–lineal. La variaci´on lineal en los sub–dominios es directamente atribuible al hecho que las funciones de interpolaci´on para un elemento–barra son lineales. Segundo, notamos que cuando la malla es refinada, la soluci´on del desplazamiento converge hacia la soluci´on no–lineal en cada punto del dominio de definici´on del problema. El p´arrafo anterior discuti´ o la convergencia del desplazamiento del extremo del cilindro tronco–c´onico. Como se ver´ a en el Cap´ıtulo 2, el desplazamiento es la variable de campo primaria en los problemas estructurales. En la mayor´ıa de los problemas, sin embargo, estamos interesados principalmente en las tensiones inducidas por las cargas especificadas. Las tensiones deben ser calculadas a trav´es de las relaciones tensi´on–deformaci´ on apropiadas (ley de Hocke generalizada), y las componentes de deformaci´on unitaria se obtienen de la soluci´ on del campo de desplazamientos. De aqu´ı, tensiones y deformaciones se refieren, por guardar esta dependencia, como variables derivadas. Por ejemplo, si trazamos la variaci´ on te´orica de las tensiones internas para el ejemplo del cuerpo ci´ındrico tronco–c´ onico reci´en citado, obtenida desde la soluci´on ex´acta, como tambi´en las soluciones de elemento finito para los modelos de dos y cuatro elementos como se muestra en la Figura 1.5 (donde σ0 = P/A0 ), observamos que las tensiones son constantes en el interior de cada elemento y representan una soluci´ on discontinua del problema por lo que se refiere a las tensiones y deformaciones. Tambi´en notamos que, a medida que aumenta el n´ umero de los elementos en el modelo, los saltos de las discontinuidades en la tensi´ on interna disminuyen en su magnitud. Este fen´omeno es caracter´ıstico del m´etodo de elemento finito. La formulaci´on del m´etodo de elemento finito para un problema dado es tal que la variable de campo primaria es continua de elemento al elemento adyascente, pero las variables derivadas (como la tensi´ on interna, por ejemplo) no necesariamente poseen continuidad. En
´ DEL METODO ´ 1.2. CONCEPCION DE ELEMENTO FINITO ?
7
el proceso l´ımite de refinamiento de la malla, las variables derivadas se ponen cada vez m´as cercanas al estado de continuidad si el n´ umero de elementos de la malla se incrementa. 4.5 4.0
Solución exacta Dos elementos Cuatro elementos
3.5
0
3.0 2.5
2.0
1.5
1.0
0
0.25
0.5
0.75
1.0
x/L
Figura 1.5: Comparaci´on de soluciones para la tensi´on interna Nuestro ejemplo muestra c´ omo la soluci´on de elemento finito converge a la soluci´on exacta conocida (la exactitud de la soluci´ on en este caso es aquella marcada por la teor´ıa de la mec´anica de los materiales). Si nosotros conocemos la soluci´on exacta, no estar´ıamos aplicando el m´etodo de elemento finito !. As´ı, se plantea la interrogante: C´omo aseguramos nosotros la exactitud de una soluci´on obtenida mediante el m´etodo de elemento finito para un problema con una soluci´on te´orica desconocida ?. La respuesta a esta pregunta no es simple. Si nosotros no tuvi´eramos la l´ınea s´olida en la Figura 1.5 que representa la soluci´ on exacta, todav´ıa podr´ıamos discernir la convergencia hacia la soluci´on. La convergencia de un m´etodo num´erico (como el m´etodo de elemento finito) no est´a dada por ninguna convicci´ on de que los medios utilizados indiquen que la convergencia es precisamente hacia la soluci´on correcta (porque podr´ıa suceder que la aproximaci´on sea hacia un valor err´oneo). Una persona que usa la t´ecnica de an´ alisis de elemento finito, debe examinar la soluci´on muy met´odicamente por lo que se refiere a: (1) la convergencia num´erica, (2) la racionalidad (el resultado obtenido, tiene sentido f´ısico ?), (3) si las leyes f´ısicas del problema est´an satisfechas (La estructura est´a en equilibrio ? Existe balance entre el calor de entrada y el calor de salida ?), y (4) si los valores de las discontinuidades de las variables derivadas en los l´ımites inter–elementos son razonables. Deben proponerse muchas de tales preguntas y deben examinarse prioritariamente las respuestas antes de aceptar los resultados de un an´alisis de elemento finito como representativos de una soluci´on correcta y u ´til para los prop´ositos del dise˜ no.
1.2.2.
El m´ etodo de diferencias finitas
El m´etodo de diferencias finitas es otra t´ecnica num´erica frecuentemente usada para obtener soluciones aproximadas de problemas gobernados por ecuaciones diferenciales. Se discuten detalles de la t´ecnica en el Cap´ıtulo 7, en el contexto de trasmisi´on de calor transitorio (variable en el tiempo). El m´etodo tambi´en se ilustra en el Cap´ıtulo 10 para el an´alisis din´amico transitorio de estructuras. Aqu´ı, presentamos los conceptos b´ asicos del m´etodo de diferencias finitas por prop´ositos de comparaci´on con el m´etodo de elemento finito. El m´etodo de diferencias finitas est´a basado en la definici´on de la derivada de una funci´on cualquiera f (x), esto es f (x + ∆x) − f (x) df (x) = l´ım (1.2) ∆x→0 dx ∆x
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
8
donde x es la variable independiente. En el m´etodo de diferencias finitas, como su nombre implica, las derivadas son calculadas mediante la Ecuaci´on (1.2) usando peque˜ nos, pero finitos, valores del incremento de la variable independiente ∆x para obtener df (x) f (x + ∆x) − f (x) ≈ dx ∆x
(1.3)
Una ecuaci´on diferencial tal como df +x=0 dx
0≤x≤1
es expresada como f (x + ∆x) − f (x) +x=0 ∆x seg´ un el m´etodo de diferencias finitas. Esta ecuaci´on puede ser re–escrita de la manera siguiente f (x + ∆x) = f (x) − x∆x
(1.4)
donde debemos advertir que la igualdad debe ser tomada como “aproximadamente igual ”. De la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, nosotros sabemos que la soluci´on de una ecuaci´on diferencial de primer– orden contiene una constante de integraci´on. La constante de integraci´on debe ser determinada de modo que una condici´ on pre–establecida (una condici´on l´ımite o una condici´on inicial) sea satisfecha. En el actual ejemplo, asumiremos que la condici´on especificada es x(0) = A (cte). Si escogemos un paso de integraci´ on ∆x que sea un valor constante y peque˜ no (no se exige que el paso de integraci´on sea necesariamente constante), entonces podemos escribir xi+1 = xi + ∆x
i = 0, 1, . . . , N
(1.5)
donde N es el n´ umero total de pasos requeridos para cubrir el dominio de definici´on de la variable independiente. La Ecuaci´ on (1.4) entonces puede escribirse como fi+1 = fi − xi ∆x
f0 = A
i = 0, 1, . . . , N
(1.6)
La Ecuaci´on (1.6) es conocida como una relaci´ on de recurrencia y provee una aproximaci´on al valor de la funci´on desconocida f (x) en un n´ umero determinado de puntos discretos en el dominio del problema. Para ilustrar este m´etodo alternativo, la Figura 1.6 muestra la soluci´on exacta f (x) = 1 − x2 /2 , y una soluci´on de diferencias finitas obtenida con ∆x = 0,1 y considerando como valor de la constante f0 = A = 1. La soluci´ on de diferencias finitas s´olo es mostrada en los puntos discretos de evaluaci´on de la funci´on. La manera de variaci´ on de la funci´on entre los puntos calculados no es conocida en el m´etodo de diferencias finitas; pero, mostramos una curva de ajuste en trazo segmentado que pasa a trav´es de los puntos calculados. Uno puede, sin embargo, interpolar linealmente los valores hallados para producir una aproximaci´ on a la curva de la soluci´on exacta; pero, la manera de efectuar este proceso de interpolaci´on no es algo relevante, ni de determinaci´on “a priori ” en el m´etodo de diferencias finitas. Para contrastar el m´etodo de diferencias finitas con el m´etodo de elemento finito, notamos que, en el m´etodo de elemento finito, la variaci´ on de la variable de campo en el dominio f´ısico es una parte integral del procedimiento. Es decir, basados en las funciones de interpolaci´on seleccionadas, la variaci´on de la variable de campo a lo largo de un elemento finito se especifica como una parte integral de la formulaci´on del problema. En el m´etodo de diferencias finitas, ´este no es el caso: La variable de campo se computa s´olo en puntos especificados. La ramificaci´on mayor de este contraste es que las derivadas (hasta un cierto nivel) pueden evaluarse en el procedimiento de elemento finito, considerando que en contraposici´on el m´etodo de diferencias finitas s´olo proporciona datos en la propia variable (y n´o en cantidades que provengan de ella). En un problema estructural por ejemplo, ambos m´etodos proporcionan las soluciones del desplazamiento, pero la soluci´on de elemento finito puede usarse para calcular
1.3. PROCEDIMIENTO GENERAL
9
1.0
0.8
Solución exacta Solución mediante diferencia finitas
f(x)
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Figura 1.6: Comparaci´on de soluciones
las componentes de tensi´ on directamente (en t´erminos de la primera derivada). Para obtener datos de tensi´ on en el m´etodo de diferencias finitas se requieren consideraciones adicionales no inherentes al modelo matem´ atico mismo. Hay tambi´en ciertas similitudes entre los dos m´etodos. Los puntos de integraci´on en el m´etodo de diferencias finitas son an´ alogos a los nodos en un modelo de elemento finito. La variable de inter´es se eval´ ua expl´ıcitamente en dichos puntos. Tambi´en, como el paso de integraci´on (el tama˜ no del paso) en el m´etodo de diferencias finitas es muy reducido si se desea un grado aceptable de exactitud, se espera que la soluci´ on obtenida por ´este m´etodo tenga convergencia hacia la soluci´on exacta. Esto es similar a la convergencia esperada de una soluci´on de elemento finito del modo en el que la malla de elementos es refinada. En ambos casos, el refinamiento representa la reducci´on del modelo matem´atico desde t´erminos finitos hasta infinitesimales. Y en ambos casos, las ecuaciones diferenciales son reducidas a ecuaciones algebr´ aicas. Probablemente la manera m´ as descriptiva de contrastar los dos m´etodos es notar que el m´etodo de diferencias finitas modela la ecuacion diferencial del problema y usa la integraci´on num´erica para obtener la soluci´ on en los puntos de discretizaci´on. El m´etodo de elemento finito modela el dominio entero del problema y usa principios f´ısicos conocidos para desarrollar ecuaciones algebr´aicas que describen las soluciones aproximadas. As´ı, el m´etodo de diferencias finitas modela las ecuaciones diferenciales gobernantes del fen´ omeno en estudio, mientras que el m´etodo de elemento finito puede decirse que modela el problema f´ısico m´ as estrechamente desde el principio. Como se observar´a en el resto de este texto, hay casos en que una combinaci´on de los m´etodos de elemento finito y diferencias finitas es muy u ´til y eficaz para obtener soluciones a los problemas que plantea la ingenier´ıa, particularmente donde los efectos din´ amicos (transitorios) son importantes.
1.3.
Procedimiento general
Ciertos pasos en la formulaci´ on de un an´alisis de elemento finito de un problema f´ısico son comunes a todos los an´ alisis de caracter´ıstica discreta, sea ´este estructural, transmisi´on de calor, flujo fluido, o alg´ un otro problema. Estos pasos son incluidos en los paquetes comerciales de elemento finito (algunos se mencionan en los p´ arrafos siguientes) y son impl´ıcitamente incorporados en este texto, aunque nosotros no necesariamente nos referiremos expl´ıcitamente a estos pasos en los cap´ıtulos siguientes. Los pasos se describen como sigue:
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
10
1.3.1.
Pre–procesamiento
El paso de pre–procesamiento es, muy generalmente, descrito como el proceso de definir al modelo e incluye las siguientes acciones a ejecutar: Definir Definir Definir Definir Definir Definir Definir
el dominio geom´etrico del problema. el tipo del elemento a ser utilizado (v´ease el Cap´ıtulo 6). las propiedades materiales de los elementos. las propiedades geom´etricas de los elementos (la longitud, el ´area, etc). las conectividades de los elementos (el modelo de la malla). las restricciones f´ısicas (condiciones de borde l´ımite). la solicitaci´ on o perturbaci´ on externa.
El paso de pre–procesamiento (la definici´on del modelo) es realmente cr´ıtico. En ning´ un caso es m´as apropiado el ejemplo del axioma relacionado con los procesos relacionados con el uso de la computadora “basura entrante, resulta en basura saliente”. Una soluci´on de elemento finito perfectamente calculada num´ericamente no posee absolutamente ning´ un valor si corresponde a un p´esimo proceso de modelado, o a un problema err´ oneamente planteado.
1.3.2.
Procesamiento o Soluci´ on
Durante la fase de soluci´ on, el software de elemento finito ensambla las ecuaciones algebr´aicas gobernantes en forma matricial y calcula los valores desconocidos de las variables primarias del campo involucrado en el problema. Los valores computados se usan luego por substituci´ on regresiva para evaluar las variables adicionales, derivadas o secundarias, como las fuerzas de reacci´on, tensiones de elemento, flujo de calor, velocidades y aceleraciones de movimiento, etc. Como no es raro para el modelo de elemento finito el ser representado por miles de ecuaciones en un problema ampuloso, se usan t´ecnicas especiales de soluci´on para reducir los requisitos del almacenamiento de datos y el tiempo de c´ omputo. Para problemas lineales, que presenta por ejemplo la est´atica, tenemos un algoritmo muy eficiente que est´a basado en un procedimiento de eliminaci´on de Gauss (v´ease el Ap´endice C), que normalmente se usa. Aunque una discusi´on completa de los varios algoritmos de soluci´ on est´ a fuera del alcance de este texto, el lector interesado encontrar´a una discusi´on completa en cualquier libro avanzado del m´etodo de elemento finito (por ejemplo, recomiendo consultar el libro de K.J. Bathe [27]).
1.3.3.
Post–procesamiento
El an´alisis y la evaluaci´ on de los resultados de la soluci´on es denominado como post–procesamiento. El software asociado a este proceso importante del m´etodo de elemento finito contiene rutinas sofisticadas usadas para ordenar, imprimir, y trazar los resultados seleccionados de una soluci´on que haya sido obtenida. Los ejemplos de operaciones que puede lograrse en esta fase incluyen Clasificar las tensiones internas de elemento en orden de magnitud. Verificar el equilibrio est´ atico estructural. Calcular factores de seguridad de dise˜ no. Bosquejar la deformaci´ on estructural producida. Producir esquemas din´ amicos de la respuesta del modelo. Producir gr´ aficas de color–codificado para el campo de temperaturas. Puesto que los datos de la soluci´ on pueden manipularse de muchas maneras en la fase final de post–procesamiento, el objetivo m´ as importante es aplicar de modo leg´ıtimo el juicio de ingenier´ıa con el objetivo de determinar las condiciones bajo las cuales los resultados de la soluci´on obtenida son f´ısicamente razonables.
´ 1.4. BREVE HISTORIA DEL METODO DE ELEMENTO FINITO
1.4.
11
Breve historia del m´ etodo de elemento finito
Las ra´ıces matem´ aticas del m´etodo de elemento finito se remontan hacia atr´as por lo menos hacia mediados del siglo pasado. Los m´etodos aproximados para resolver ecuaciones diferenciales que usan soluciones de ensayo son a´ un m´ as antig¨ uos en origen. Lord Rayleigh [49] y Ritz [55] usaron las funciones de ensayo (en nuestro contexto, funciones de interpolaci´on) para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales. Galerkin [19] us´ o el mismo concepto para la soluci´on. La desventaja en todos los procedimientos m´ as primigenios, comparados al m´etodo de elemento finito moderno, son que las funciones de ensayo deben aplicarse sobre el dominio entero del problema de inter´es. Mientras que el m´etodo de Galerkin provee una base muy fuerte para el m´etodo de elemento finito (v´ease el Cap´ıtulo 5). No fu´e hasta los a˜ nos cuarenta del siglo anterior, cuando Courant [44] introdujo el concepto de funciones continuas–por–tramos en un sub–dominios, lo cual hizo que el elemento finito tenga su partida de nacimiento e impulso inicial de desarrollo real. Hacia finales de 1940, ingenieros aeron´auticos estaban tratando con la invenci´on del motor de reacci´on y las necesidades para efectuar an´alisis m´as sofisticados de estructuras del armaz´on de los aeroplanos para que resista cargas m´as grandes asociadas con las velocidades m´as elevadas. Estos ingenieros, sin el beneficio del uso de computadoras modernas, desarrollaron los m´etodos matriciales de an´alisis de fuerzas, colectivamente conocidos como el m´etodo de flexibilidad, en el que las variables desconocidas son las fuerzas y las variables conocidas son los desplazamientos. El m´etodo de elemento finito, en su forma m´ as a menudo usada, corresponde al m´etodo de desplazamientos en el que las variables desconocidas son los desplazamientos del sistema en respuesta a los conjuntos de fuerza aplicados. En este texto, nosotros nos adherimos exclusivamente al m´etodo de desplazamiento. Como se ver´a a medida que avancemos en el desarollo te´orico, el t´ermino desplazamiento es bastante general en el m´etodo del elemento finito y puede representar al desplazamiento f´ısico, la temperatura, o la velocidad de un fluido, por ejemplo. El t´ermino “elemento finito” fu´e usado por primera vez por Clough [54] hacia fines del a˜ no 1960, en el contexto del an´alisis plano de tensiones y ha estado en uso com´ un desde esa ´epoca. Durante las d´ecadas de 1960 y 1970, el m´etodo de elemento finito fu´e extendido hacia las aplicaciones en la flexi´ on de placas, pandeo de c´ascaras, recipientes de presi´on, y los problemas tridimensionales generales en el an´ alisis estructural el´ astico [33, 34] como tambi´en problemas de flujo fluido y trasmisi´on de calor [8, 17]. Tambi´en ocurrieron durante este per´ıodo de tiempo extensiones del m´etodo al estudio de las grandes deformaciones y el an´alisis din´amico [35, 50]. Una excelente historia del m´etodo de elemento finito y bibliograf´ıa detallada es dada por Noor [36]. El m´etodo de elemento finito es intensivo en su uso con computador, por la caracter´ıstica de requerir para su funcionamiento efectuar operaciones con matrices muy grandes. En los primeros a˜ nos, se realizaron las aplicaciones usando los sistemas inform´aticos grandes que estaban disponibles en el momento, se consideraba que era un m´etodo muy poderoso y la herramienta de gran velocidad ´optima para el uso en el an´ alisis y dise˜ no en ingenier´ıa. Hacia mediados de los a˜ nos 1960, el c´odigo de software de elemento finito NASTRAN [41] se desarroll´o junto con el programa de exploraci´on espacial de los Estados Unidos en la NASA. Reconociendo este hecho, NASTRAN fue el primer paquete de elemento finito cap´az de abordar problemas de gran magnitud. Era, y todav´ıa es, capaz de manipular centenares de miles de grados de libertad asociados con el campo nodal de la variable de inter´es. Despu´es del acontecimiento de la publicaci´on de este paquete computacional, a lo largo de los a˜ nos posteriores se han introducido muchos paquetes de software comerciales para el an´ alisis de elemento finito. Entre ´estos podemos mencionar a: ANSYS [5], ALGOR [3], COSMOS/M [4]; SIMULIA–ABAQUS [2]; y LISA [38]; como simplemente una peque˜ na muestra. En el ambiente computacional de hoy, la mayor´ıa de ´estos paquetes pueden usarse en computadoras de escritorio, port´ atiles y en las m´ aquinas en estaciones de trabajo en empresas consultoras para obtener soluciones a problemas grandes en la est´atica y el an´alisis estructural din´amico, transferencia de calor, flujo fluido, electromagnetismo, y respuesta s´ısmica de edificaciones, como algunos ejemplos de aplicaci´ on del m´etodo.
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´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
En este texto, nosotros no hacemos ´enfasis en la utilizaci´on de un c´odigo particular o software de elemento finito. M´ as bien, desarrollamos los fundamentos necesarios para comprender la amplia filosof´ıa inherente a este tema, para permitirle al lector usar tales paquetes de software con metodolog´ıa ordenada en un entendimiento de intenci´ on de aplicaci´on completamente educada de cualquiera de los paquetes. En este sentido, obramos con la filosof´ıa de preservar absoluta libertad de acci´on acad´emica en el proceso de aprendizaje de cualquier paquete computacional de elemento finito por parte del estudiante.
1.5.
Ejemplos de an´ alisis de elemento finito
Presentamos ahora, brevemente, unos ejemplos de los tipos de problemas que pueden ser analizados mediante el m´etodo de elemento finito. La Figura 1.7 muestra la malla de elementos finitos asociada a una regi´on rectangular con un agujero central. El ´area ha sido discretizada con una rejilla de elementos finitos bi–dimensionales, asumiendo para ellos un espesor constante en la direcci´on perpendicular al dibujo. Debemos notar que la malla de elementos es irregular: Las formas (tri´angulos y cuadril´ateros) de los elementos y los tama˜ nos var´ıan. En particular, notemos que alrededor de la discontinuidad geom´etrica de la perforaci´ on, los elementos son de tama˜ no m´as peque˜ no. Esto no s´olo representa una mejora en la exactitud geom´etrica en el entorno de la discontinuidad, ya que tambi´en contribuye con la exactitud de la soluci´ on, como se discutir´a en los cap´ıtulos subsecuentes.
Figura 1.7: Malla de elementos finitos sobre una regi´on rectangular que posee una perforaci´ on circular central (elementos cuadril´ateros). La malla de elemento finito mostrada en la Figura 1.7 podr´ıa representar el modelo de elemento finito de variados problemas f´ısicos. Por ejemplo, para el an´alisis de tensiones internas, la geometr´ıa podr´ıa representar una placa plana delgada con una perforaci´on circular central sujeta a solicitaci´on aplicada en las aristas l´ımite mediante cargas contenidas en el propio plano de la placa. En este caso, la soluci´on de elemento finito se usar´ıa para examinar los efectos de concentraci´on de tensiones en la vecindad del agujero. La malla de elementos mostrada tambi´en podr´ıa representar el caso de flujo fluido alrededor de un cilindro redondo s´ olido. Todav´ıa podemos pensar otra aplicaci´on, el modelo mostrado podr´ıa representar una aleta de transmisi´ on de calor atravezada por una tuber´ıa (el agujero) desde la cual el calor se transfiere a la aleta para ser luego dispersado hacia el medio ambiente. En cada caso, la formulaci´on de las ecuaciones gobernantes del comportamiento f´ısico de los elementos en respuesta a las influencias externas realmente es diferente para los problemas antes mencionados. La Figura 1.8(a) muestra un m´ odulo de una cercha tri–dimensional que alguna vez fu´e considerado como un bloque–constructivo o m´ odulo b´asico para la construcci´on de una estaci´on espacial [52]. Dise˜ nado para plegarse en forma de acorde´ on en un volumen peque˜ no para su transporte hacia la ´orbita
´ 1.5. EJEMPLOS DE ANALISIS DE ELEMENTO FINITO
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planetaria; el m´ odulo cuando era desplegado, se extend´ıa a las dimensiones globales de 1,4 m × 1,4 m × 2,8 m. Conectando por sus extremos estos m´ odulos, se pod´ıa armar una estructura esencialmente de cualquier tama˜ no que se desee. La estructura se analiz´o mediante el m´etodo de elemento finito para determinar las caracter´ısticas de vibraci´on en funci´on del n´ umero de m´odulos que participaban para establecer la longitud global, cuando el mismo era variado. Como las conexiones entre los varios estructurales es del tipo alfiler o de juntas de r´otula (articuladas), se us´o en el modelo un elemento axial simple solicitado en estado de tracci´on–compresi´on (v´ease el Cap´ıtulo 2). El modelo de elemento finito de un m´ odulo estaba compuesto de 33 elementos. Una muestra de la forma de vibraci´on (la deformaci´ on producida asociada al modo principal) de una cercha de cinco–m´odulos se muestra en la Figura 1.8(b).
(a) M´ odulo b´ asico de cercha tri–dimensional
(b) Deformaci´ on modal fundamental
Figura 1.8: M´ odulo plegable de cercha y deformaci´on de una estructura ensamblada usando estas unidades modulares. El ejemplo de la cercha plegable recientemente descrito involucra una estructura bastante grande modelada por un n´ umero peque˜ no de elementos finitos relativamente largos. En contraste, la Figura 1.9 muestra que el modelo del elemento finito de un tubo muy delgado dise˜ nado para uso en una aplicaci´on de un intercambiador de calor muy comp´acto. El tubo tiene di´ametro interno de 0,976 pulg, espesor de pared 0,00197 pulg, y longitud total de 36 pulg. El material considerado para la construcci´on del tubo fu´e una aleaci´ on de cobre y titanio. Debido al espesor de pared, se encontraron que los tubos del prototipo eran muy fr´ agiles y dif´ıciles de manejar sin causarles da˜ no. Los objetivos del an´alisis de elemento finito eran examinar la flexi´on, la torsi´on, y las cargas de pandeo permisibles. La figura muestra la malla de elemento finito usada para modelar una secci´on del tubo de s´olo 0,25 pulg de longitud. Este modelo contiene 1920 elementos s´olidos tridimensionales, y cada uno de ellos tiene ocho nodos con 3 grados de libertad en cada nodo. Era requerido un n´ umero tan grande de elementos para una estructura peque˜ na en la consideraci´on de lograr exactitud computacional en los resultados. La caracter´ıstica involucrada aqu´ı es la llamada relaci´ on de aspecto de los elementos, lo cual se define y discute en los cap´ıtulos subsecuentes. Como un u ´ltimo ejemplo, la Figura 1.10(a) representa al modelo de elemento finito del componente de transporte de carga principal de un dispositivo de pr´otesis (para sustituir una mano). El dispositivo tiene intenci´ on de acoplar esta mano a un brazo artificial. En el uso, la mano permitir´ıa armar al amputado de un brazo m´ as corto para permitirle el levantamiento de pesas como parte de un programa de salud. El modelo de elemento finito fue usado para determinar la distribuci´on de tensiones en el componente por lo que se refiere al rango de peso a cargarse por anticipado, para determinar un tama˜ no apropiado de este dispositivo y tambi´en para seleccionar el material m´as ´optimo. La Figura 1.10(b) muestra un prototipo constru´ıdo de la mano, una vez que el proceso de dise˜ no ha sido completado.
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
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Figura 1.9: Modelo de elemento finito para un tubo de intercambiador de calor
(a) Modelo de mano prot´ etica
(b) Prototipo f´ısico fabricado
Figura 1.10: Modelo de elemento finito de pr´otesis de una mano
Los ejemplos mostrados en esta secci´ on evidentemente no pueden ser resueltos manualmente debido al elevado n´ umero de elementos contenidos en la malla que define el modelo de an´alisis; por ello para obtener la soluci´ on de los problemas que plantean deber´a hacerse uso de m´etodos computacionales implementados en paquetes inform´ aticos de c´alculo num´erico.
1.6.
Objetivos del documento
Como y´a fu´e manifestado, este libro: “Fundamentos del M´etodo de Elemento Finito” fu´e escrito para su uso en cursos terminales de pre–grado o iniciales de post–grado, en programas de estudios de ingenier´ıa. La mayor´ıa de los libros de texto disponibles acerca del m´etodo de elemento finito son ´ escritos para cursos de nivel especializado (en programas de doctorado, por ejemplo). Estos textos son pesados en la teor´ıa de an´ alisis de elemento finito y utilizan t´ecnicas matem´aticas muy elaboradas (notablemente, el c´ alculo variacional) que no est´an usualmente en el repertorio de temas conocidos por estudiantes de ingenier´ıa pre–graduados. El conocimiento de t´ecnicas matem´aticas avanzadas no se
1.6. OBJETIVOS DEL DOCUMENTO
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requiere para el uso exitoso de este texto. El estudio del requisito previo est´a basado en las asignaturas m´as comunes de cualquier programa de estudios de ingenier´ıa: el ´algebra lineal, el c´alculo a trav´es de las ecuaciones diferenciales, y la serie usual de est´atica, din´amica y mec´anica de materiales. Aunque no es requerido, el estudio previo de mec´anica de fluidos y transmisi´on del calor ser´ıa de mucha ayuda. Dado como conocido todo este cimiento tem´atico acad´emico, el m´etodo de elemento finito se desarrolla en base a las leyes f´ısicas m´ as utilizadas (el equilibrio, la conservaci´on de masa, la conservaci´on de la energ´ıa, y otras). Se d´ a cierto ´enfasis al principio de energ´ıa potencial m´ınima (ver el Cap´ıtulo 2), y el m´etodo de elemento finito de Galerkin (introducido y desarrollado en el Cap´ıtulo 5). A medida que usted como lector progrese a trav´es del texto, descubrir´a que cubrimos una cantidad significativa de la teor´ıa de elemento finito adem´as de la aplicaci´on mediante ejemplos con graduaci´on de dificultad. Dada la disponibilidad de muchos poderosos y sofisticados paquetes de software de elemento finito, por qu´e la necesidad de estudiar la teor´ıa ?. El m´etodo de elemento finito es una herramienta, y como cualquier otra herramienta, usarla sin la instrucci´on apropiada realmente puede ser hasta peligroso. Mi premisa es que una instrucci´on apropiada en este contexto incluye comprender la teor´ıa b´ asica de la formulaci´ on subyacente en los modelos de elementos finitos de problemas f´ısicos. Como fu´e establecido previamente, el an´alisis cr´ıtico de los resultados de un modelo computacional de elemento finito es esencial, desde que esos resultados pueden en el futuro convertirse en la base para el dise˜ no. El conocimiento de la teor´ıa es necesaria para un apropiado proceso de modelado y la evaluaci´ on de los resultados computacionales.
Capítulo
2
An´ alisis uni–dimensional
En ´este cap´ıtulo primero estableceremos las propiedades de rigidez de los elementos m´as simples que pueden elaborarse asociados con la metodolog´ıa que pretendemos desarrollar a lo largo de los cap´ıtulos subsecuentes; dichos elementos son aquellos que se denominan uni–dimensionales, debido a que en su descripci´ on de comportamiento requieren solamente de una direcci´on espacial. Por simplicidad en la descripci´ on de las relaciones carga–desplazamiento, utilizaremos primero un sistema referencial coordenado definido con origen en alg´ un punto del elemento, marco referencial al que lo consideraremos fijo y solidario respecto a este cuerpo s´olido deformable. Tambi´en definiremos un segundo sistema coordenado referencial, respecto del cual se efect´ ua la descripci´ on de comportamiento de toda la estructura (y por supuesto, de todos los elementos que la ´ componen). Este sistema coordenado lo escogeremos con origen en alg´ un punto arbitrario del espacio con orientaci´ on espacial de ejes coincidente a ´aquel que posee el sistema coordenado propio del elemento t´ıpico escogido para ser analizado. La coincidencia de orientaci´on espacial de ambos sistemas de ejes es una exigencia en el cap´ıtulo presente, pero no es una restricci´on de la aplicaci´on general del m´etodo de elemento finito. En base a las ecuaciones que dan la descripci´on de las propiedades de rigidez del elemento t´ıpico respecto de su propio sistema coordenado, efectuaremos un proceso de transformaci´on de ´este sistema hacia el marco global u ´nico y com´ un estructural (aqu´ı algunas veces se requiere efectuar una transformaci´ on de rotaci´ on y traslaci´ on del sistema de ejes coordenados). Al efectuar este procedimiento, habremos logrado establecer la descripci´on de las propiedades de rigidez del elemento t´ıpico respecto ahora del marco referencial de toda la estructura; de modo que y´a sea posible aplicar el principio de superposici´ on para lograr establecer las relaciones carga–desplazamiento de todo el sistema o estructura. Esto u ´ltimo, tiene la analog´ıa de armar un rompe–cabezas con las piezas individuales dispuestas sobre un hipot´etico tablero. En esencia, y de modo literal muy resumido, ´este ser´a el procedimiento general que aplicaremos con el objetivo de establecer las propiedades de rigidez de los diversos elementos t´ıpicos con los cuales se conforman los diversos sistemas que son objeto de an´alisis en ´este documento. 17
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
18
2.1.
Introducci´ on
Las caracter´ısticas primarias de un elemento finito son incluidas en la matriz de rigidez de elemento. Para un elemento finito estructural, la matriz de rigidez contiene informaci´on de su geometr´ıa y su conducta material, que indica la resistencia del elemento a la deformaci´on cuando sobre el mismo se aplica un estado de carga. La deformaci´on producida puede incluir efectos axiales, flexionantes, torsionales y cizallantes. Para elementos finitos usados en an´alisis no–estructural, como flujo fluido y transmisi´on de calor, tambi´en se usa el t´ermino matriz de rigidez, ya que este arreglo de coeficientes representa la resistencia del elemento al cambio de su estado cuando es expuesto a las influencias externas. Este cap´ıtulo desarrolla las caracter´ısticas de elemento finito de dos elementos estructurales uni– dimensionales, relativamente simples: un resorte lineal el´ astico y un miembro en estado de tensi´ on– compresi´ on. Se seleccionan estas entidades como elementos introductorios porque la conducta de cada uno de ellos es relativamente muy conocida a partir de materia te´orica que normalmente estudiamos en ingenier´ıa, como son los temas de est´ atica y mec´anica de materiales. As´ı, el “puente” hacia el m´etodo de elemento finito no es obscurecido por teor´ıas nuevas para el estudiante de ingenier´ıa. M´as bien, construimos sobre los principios conocidos de la ingenier´ıa, para introducir los fundamentos del m´etodo de elemento finito. El resorte lineal y el miembro de tensi´on–compresi´on (de ahora en adelante referido como un elemento–barra, tambi´en conocido en la literatura de elemento finito como: list´on, baqueta, o elemento de cercha) tambi´en se usan para introducir el concepto de funciones de interpolaci´ on. Como mencionamos brevemente en el Cap´ıtulo 1, la premisa b´asica del m´etodo de elemento finito es describir la variaci´ on cont´ınua de la variable de campo (en este cap´ıtulo, el desplazamiento f´ısico) en t´erminos de los valores discretos adoptados en los puntos nodales del elemento para esta variable de inter´es. En el interior de un elemento finito, as´ı como a lo largo de sus l´ımites (aplicable en los problemas bi y tri– tridimensionales), la variable de campo se describe por funciones de interpolaci´on (v´ease el Cap´ıtulo 6) que deben satisfacer condiciones prescritas. El an´alisis de elemento finito est´ a basado, dependiendo del tipo de problema, en varios principios f´ısico/matem´aticos. En la presente introducci´on al m´etodo, mostramos varios de tales principios aplicables al an´alisis de elemento finito. Primero, y principalmente, para los sistemas de resortes y barras interconectadas utilizamos el principio de equilibrio est´atico, pero — y ´esto es esencial — inclu´ımos la deformaci´ on en el desarrollo del an´ alisis; es decir, no estamos tratando con aspectos relacionados a la mec´anica de cuerpo r´ıgido. Para la extensi´ on del m´etodo de elemento finito a los sistemas estructurales el´asticos m´as complicados, tambi´en establecemos y aplicamos el primer teorema de Castigliano [43] y el principio ampliamente usado de la energ´ıa potencial m´ınima [16]. El primer teorema de Castigliano, en la forma aqu´ı presentada, puede parecer ser nuevo para el lector. El primer teorema es la contraparte y complemento del segundo teorema, el cual se encuentra m´as a menudo en el estudio elemental de la mec´anica de materiales [29]. Ambos teoremas relacionan desplazamientos y las fuerzas aplicadas, a las condiciones de equilibrio de un sistema mec´ anico; en t´erminos de la energ´ıa acumulada al interior del material por el proceso de deformaci´ on. El uso aqu´ı del primer teorema de Castigliano es para el prop´osito distinto de introducir el concepto de energ´ıa potencial m´ınima sin tener que recurrir a principios matem´aticos del c´alculo variacional, los cuales se ubican m´as all´a del nivel matem´atico pensado para este texto.
2.2.
El resorte linealmente el´ astico
Un resorte el´ astico lineal es un dispositivo mec´anico capaz de soportar s´olamente carga axial y es constru´ıdo de modo tal que, sobre un rango que operaci´on razonable (significando la extensi´on o compresi´on m´ as all´ a de la longitud indeformada), el alargamiento o la contracci´on del resorte es directamente proporcional a la carga axial aplicada. La constante de proporcionalidad entre la deformaci´on y la carga es llamada constante de resorte, o coeficiente de rigidez [47], generalmente denotado como k, y tiene representaci´ on dimensional de fuerza por unidad de longitud.
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
19
u1
Fuerza, f
La formulaci´ on del resorte lineal como un elemento finito es logrado con referencia a la Figura 2.1(a). Como un resorte el´ astico soporta s´ olo carga axial, seleccionamos un sistema de coordenadas de elemento (tambi´en conocido como sistema coordenado local ) como un eje x orientado a lo largo de la longitud del resorte con origen en el extremo izquierdo, como se muestra. El sistema coordenado local es solidario al elemento (est´ a adherido a ´el) y es escogido as´ı, por conveniencia geom´etrica y por simplicidad en la descripci´ on de la conducta del elemento. El elemento o el sistema de coordenadas local se contrasta con el sistema de coordenadas global. El sistema de coordenadas global es aquel sistema en el cual se describe la conducta de una estructura completa (de ah´ı su denominaci´on de global). Por estructura completa se significa al ensamblaje de muchos elementos finitos (en este punto, varios resortes), sistema para el cual deseamos evaluar la respuesta a las condiciones de carga aplicada. En este cap´ıtulo, tratamos con casos en los que los sistemas de coordenadas locales y globales son esencialmente el mismo, excepto para una traslaci´ on del origen que podr´ıa considerarse si fuese necesario. En casos bi y tri–dimensionales, sin embargo, las distinciones de los sistemas coordenados es bastante diferente y requiere transformaci´on matem´ atica de los sistemas coordenados de elemento hacia una base com´ un. La base com´ un es el sistema de coordenadas global.
u2
k 1
k
f1 1
f2 x
2
(a) Fuerzas y desplazamientos nodales de elemento
Deflexión, u2 u1 (b) Curva carga – deformaci´ on
Figura 2.1: Elemento resorte lineal con nodos extremos El comportamiento de un resorte linealmente el´astico es tal que la magnitud de fuerza a aplicarse requerida para producir una deformaci´on de magnitud determinada, es dir´ecta y estr´ıctamente proporcional a la magnitud de ´esta deformaci´on. Esta conducta caracter´ıstica nos indica que la ley carga–deformaci´ on que gobierna el comportamiento de un resorte en este caso corresponde a una ley lineal, como se muestra en la Figura 2.1(b); donde la pendiente de la recta representativa de la ley gobernante de su comportamiento se identifica con el coeficiente de rigidez de dicho resorte. Retornando nuestra atenci´ on hacia la Figura 2.1(a), los puntos extremos del resorte son los nodos y los desplazamientos nodales se denotan por u1 y u2 , y se muestran con orientaci´on seg´ un el sentido positivo del eje coordenado referencial. Si estos desplazamientos nodales son conocidos, la elongaci´on o contracci´ on total del resorte es conocida, como tambi´en la fuerza neta en el resorte. En este punto de nuestro desarrollo, requerimos que las fuerzas s´olo se apliquen al elemento en los nodos (las fuerzas distribu´ıdas al interior de un elemento se consideran despu´es para otros tipos de elementos), y ´estas cargas aplicadas son denotadas como f1 y f2 , y tambi´en se muestran ambas con sentido positivo respecto del eje de referencia establecido para la descripci´on. Asumiendo que ambos desplazamiento nodales son nulos cuando el resorte tiene su longitud natural, es decir est´ a indeformado; resulta que la deformaci´on neta cuando ocurren estos desplazamientos vendr´a dada por δ = u2 − u1 (2.1) y la fuerza axial resultante sobre el resorte es f = k δ = k(u2 − u1 ) como se bosqueja en la Figura 2.1(b).
(2.2)
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
20
En este caso, la condici´ on de equilibrio est´atico la escribimos f1 + f2 = 0, o de manera equivalente f1 = −f2 ; y podemos re–escribir la Ecuaci´ on 2.2 en t´erminos de las fuerzas nodales aplicadas, como f1 = −k(u2 − u1 ) f2 = k(u2 − u1 )
(2.3a) (2.3b)
notando que como alternativa escogimos tomar f = −f1 = f2 , como par de fuerzas que solicitan en tracci´on al resorte. Estas dos u ´ltimas ecuaciones pueden ser expresadas en forma matricial (v´ease el Ap´endice A para una revisi´ on de ´ algebra lineal) como k −k u1 f1 = (2.4) −k k u2 f2 o escrita en forma comp´ acta y sint´etica [ke ]{u} = {f } donde
[ke ] =
k −k
−k 1 −1 =k k −1 1
(2.5)
(2.6)
es definida como la matriz de rigidez del elemento resorte en el sistema local coordenado (o sistema propio del elemento), {u} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales, y {f } es la matriz columna (vector) de cargas nodales de elemento (en cap´ıtulos subsecuentes la notaci´on matricial es usada extensivamente. Una matriz general es designada entre par´entesis rectos [ ] y una matriz columna (o vector) entre par´entesis rizados o llaves { }). La Ecuaci´ on (2.6) muestra que la matriz de rigidez de elemento para el resorte el´astico lineal es una matriz de dimensi´ on 2×2 (´esto es, 2 filas y 2 columnas). Esto corresponde al hecho que el elemento exhibe dos desplazamientos nodales (o grados de libertad) y que los dos desplazamientos no son independientes (es decir, el cuerpo es cont´ınuo y el´astico). Adem´as, la matriz es sim´etrica. Una matriz sim´etrica tiene t´erminos fuera de la diagonal principal tales que kij = kji . La simetr´ıa de la matriz de rigidez es indicativa del hecho que el cuerpo es linealmente el´astico y cada desplazamiento se relaciona al otro por el mismo fen´ omeno f´ısico. Por ejemplo, si una fuerza F (positiva, o de tracci´on) es aplicada al nodo 2 con el nodo 1 sostenido fijamente, el desplazamiento relativo de los dos nodos es igual como si la fuerza fuese sim´etricamente aplicada (negativa, o de tracci´on) al nodo 1 con el nodo 2 inm´ovil o fijo. (Se ven contra–ejemplos a la simetr´ıa en an´alisis de transferencia de calor y flujo fluido en los Cap´ıtulos 7 y 8). Como se ver´a a medida que se desarrollen elementos estructurales m´as complicados, ´este es un resultado general: Un elemento que exhibe N grados de libertad, tiene una matriz de rigidez correspondiente cuya dimensi´on es N ×N . Luego, consideremos la soluci´ on del sistema de ecuaciones representada sint´eticamente por la Ecuaci´on (2.5). En general, las fuerzas nodales se prescriben (son datos) y el objetivo es resolver para los desplazamientos nodales desconocidos. Formalmente, la soluci´on se representa por {u} = [ke ]−1 {f }
(2.7)
donde [ke ]−1 es la inversa de la matriz de rigidez de elemento. Sin embargo, esta matriz inversa no existe, desde que el determinante de la matriz de rigidez de elemento es id´enticamente cero. Por consiguiente, la matriz de rigidez de elemento es singular, y esto tambi´en demuestra ser un resultado general en la mayor´ıa de los casos. La importancia f´ısica de la naturaleza singular de la matriz de rigidez de elemento es encontrada por re–examinaci´ on de la Figura 2.1(a), que muestra que ninguna restricci´on del desplazamiento en cualquier lugar se ha impuesto en el movimiento del elemento resorte; es decir, el resorte no est´ a conectado a cualquier objeto f´ısico o apoyo que prevendr´ıa o limitar´ıa el movimiento de cualquiera de sus nodos. Sin restricciones al movimiento, no es posible resolver individualmente
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
21
para los desplazamientos nodales. En cambio, s´olo la diferencia en los desplazamientos nodales puede determinarse, como esta diferencia representa el alargamiento o contracci´on del elemento–resorte debido a efectos el´ asticos de su comportamiento. Como ser´ a discutido en m´ as detalle en la formulaci´on general de las funciones de interpolaci´on (Cap´ıtulo 6) y la din´ amica estructural (Cap´ıtulo 10), una formulaci´on apropiada de elemento finito debe permitir un valor constante de la variable de campo. En el ejemplo que aqu´ı es de nuestro inter´es, esto significa movimiento de cuerpo r´ıgido para el resorte; es decir que se mueve estando deformado simult´aneamente. Nosotros podemos identificar la capacidad de movimiento de cuerpo r´ıgido por lo que se refiere a un solo resorte (el elemento) y en el contexto de varios elementos conectados (un sistema o estructura completa) que tiene capacidad de movimiento com´ un de conjunto. Para un solo, elemento no restringido, si las fuerzas arbitrarias son aplicadas a cada nodo, el resorte no s´olo se deforma axialmente, adem´as tambi´en surge una aceleraci´on seg´ un la segunda ley de Newton. De esto concluimos que no s´olo existe deformaci´ on sino tambi´en movimiento total del elemento (el mismo se mueve como cuerpo r´ıgido, pero en configuraci´ on estable deformada). Si, en un sistema conectado de elementos resorte, la respuesta del sistema completo es tal que los nodos 1 y 2 de un elemento particular se desplazan la misma cantidad, no hay ninguna deformaci´on el´astica del resorte y por consiguiente ninguna fuerza el´astica en el mismo. Esta situaci´ on f´ısica debe ser incluida en la formulaci´on del elemento. La capacidad de movimiento de cuerpo r´ıgido se indica matem´aticamente por la singularidad de la matriz de rigidez de elemento. Cuando la matriz de rigidez se formula en base a la deformaci´ on del elemento, no podemos esperar calcular los desplazamientos nodales si no hay ninguna deformaci´on del mismo. La Ecuaci´ on (2.7) indica la operaci´on matem´atica de invertir la matriz de rigidez para obtener la soluci´ on. En el contexto de un elemento individual, la naturaleza singular de una matriz de rigidez de elemento evita esta operaci´ on, ya que la inversa de una matriz singular no existe. Como se ilustra profusamente en el resto del texto, la soluci´on general de un problema de elemento finito, en una descripci´ on global, como algo opuesto al contexto de un solo elemento, involucra la soluci´on de ecuaciones del aspecto matem´ atico mostrado en la Ecuaci´on (2.5). Para modelos reales de elemento finito, los cuales son de grandes dimensiones en t´erminos de la matriz de rigidez de toda la estructura involucrada, cuya dimensi´ on sea N ×N, N >> 10 ; el calcular su inversa es un procedimiento verdaderamente muy ineficaz, y de p´erdida de tiempo si se pretende usar una simple calculadora electr´onica. Para estas situaciones, otras t´ecnicas de soluci´on m´as eficaces est´an disponibles, y ´estas se discuten m´as adelante. (Muchos de los problemas propuestos de fin–de–cap´ıtulo incluidos en este texto son de orden peque˜ no y pueden resolverse eficazmente mediante proceso de inversi´on matricial usando un software con hoja de c´ alculo, o paquetes destinados espec´ıficamente al c´omputo num´erico matricial, como Mathlab, Mathematica, o MathCad).
2.2.1.
Ensamble del sistema en coordenadas globales
La deducci´ on de la matriz de rigidez para un elemento–resorte fu´e basada en condiciones de equilibrio est´ atico. El mismo procedimiento puede aplicarse a un sistema de varios elementos–resorte conectados, escribiendo la ecuaci´ on de equilibrio para cada nodo. Sin embargo, en lugar de dibujar diagramas de cuerpo–libre de cada nodo y escribir formalmente las ecuaciones de equilibrio, ´estas relaciones pueden obtenerse m´ as eficazmente considerando el efecto de cada elemento separadamente y agregando luego la contribuci´ on de fuerza de elemento a cada ecuaci´on nodal. Este proceso se describe como “ensamble”, cuando nosotros tomamos los componentes individuales de rigidez y los “reunimos juntos” para obtener las ecuaciones del sistema. Para ilustrar, v´ıa un ejemplo simple, el ensamble de caracter´ısticas de elemento en las ecuaciones globales (o de sistema), consideraremos como sistema a un par de elementos resorte lineales conectados como mostramos en la Figura 2.2; que adem´as est´an sujetos a cargas aplicadas en sus extremos. Por generalidad, se asume que los resortes tienen diferentes coeficientes de rigidez k1 y k2 , pero de valores constantes. Los nodos se numeran 1, 2, y 3 como se muestra, con los resortes compartiendo el nodo 2 como la conexi´ on f´ısica entre ellos. Note que ´estos son los n´ umeros de nodo globales. Los
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
22
U1
U2 2
1
F1 1
U3 F3
F2 2
k1
x
3
k2
Figura 2.2: Sistema de dos resortes conectados en serie desplazamientos nodales globales se identifican como U1 , U2 , y U3 ; d´onde la letra may´ uscula se usa para indicar que las cantidades representadas son globales o desplazamientos del sistema (no confundirlos con los desplazamientos de elemento individuales). Similarmente, las fuerzas nodales aplicadas son F1 , F2 , y F3 .
u(1) 1 1
f1(1) 1
u(2) 1
u(1) 2 f2(1)
2
f2(2)
2
k1
2
(a) Elemento 1
f3(2) 3
k2 (b) Elemento 2
f2(1)+f2(2)
f1(1)
F1
u(2) 2
f3(2)
F2 2
1 (c) Nodo 1
F3 3
(d) Nodo 2
(e) Nodo 3
Figura 2.3: Diagramas de cuerpo–libre de elementos y nodos Asumiendo que el sistema de dos elementos–resorte est´a en perfecto equilibrio est´atico, examinamos los diagramas de cuerpo–libre de los resortes individualmente ahora referidos a sus propios sistemas coordenados (sistemas coordenados locales), que se aprecian en las Figuras 2.3(a) y 2.3(b); las cuales expresan las condiciones de equilibrio para cada resorte. Ahora, usando la Ecuaci´on (2.4) para cada uno de los esquemas, tenemos " #( ) ( ) k1 −k1 u(1) f1(1) 1 = (2.8a) −k1 k1 u(1) f2(1) 2 "
k2 −k2
−k2 k2
#( ) ( ) u(2) f2(2) 1 = u(2) f3(2) 2
(2.8b)
donde el super–´ındice identifica al n´ umero de elemento que est´a siendo analizado. Para comenzar a “ensamblar ” las ecuaciones de equilibrio que describen el comportamiento del sistema de dos resortes,se deben establecer las condiciones de compatibilidad de desplazamientos; las cuales relacionan los desplazamientos del elemento a los desplazamientos del sistema. Estas ecuaciones son escritas, haciendo referencia a las Figuras 2.2 y 2.3(a) y (b), como u(1) = U1 1
u(1) = U2 2
u(2) = U2 1
u(2) = U3 2
(2.9)
Las condiciones de compatibilidad establecen el hecho f´ısico que los resortes est´an conectados en el nodo 2, y permanecen conectados a ´este nodo despu´es de la deformaci´on; y por tanto deben tener el mismo desplazamiento nodal en ´este punto de conexi´on. As´ı, la continuidad del desplazamiento
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
23
elemento–a–elemento se refuerza en las conexiones nodales. Sustituyendo las Ecuaciones (2.9) en las Ecuaciones (2.8), obtenemos " #( ) ( ) k1 −k1 U1 f1(1) = (2.10a) −k1 k1 U2 f2(1) "
k2 −k2
−k2 k2
#( ) ( ) U2 f2(2) = U3 f3(2)
(2.10b)
Aqu´ı, usamos la notaci´ on fi(j) para representar la fuerza ejercida sobre el elemento j en el nodo i. Las Ecuaciones (2.10) son las formulaciones de equilibrio est´atico para cada elemento–resorte expresadas en t´erminos de los desplazamientos globales especificados. En esta forma, las ecuaciones claramente muestran que los elementos se conectan f´ısicamente en el nodo 2, y tienen el mismo desplazamiento U2 en ese nodo. Estas ecuaciones no son todav´ıa adecuadas para una combinaci´on dir´ecta, porque los vectores desplazamiento no son los mismos. Nosotros podemos expandir ambas ecuaciones matriciales hacia una dimensi´ on 3×3 como sigue (expresando formalmente el hecho que el elemento 1 no se conecta al nodo 3 y el elemento 2 no est´a conectado al nodo 1): k1 −k1 0 U1 f1(1) −k1 k1 0 U2 = f2(1) (2.11a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k2 −k2 U2 = f2(2) (2.11b) (2) f3 0 −k2 k2 U3 Aqu´ı, debemos notar que en la Ecuaci´on (2.11a) podr´ıamos poner U3 , y U1 en la Ecuaci´on (2.11b) en los vectores desplazamiento, en lugar de los valores nulos expl´ıcitos que pusimos (verifique usted que las ecuaciones desarrolladas son id´enticas con este cambio propuesto). La superposici´ on de las ecuaciones anteriores, como se puede f´acilmente comprobar, d´a como resultado k1 −k1 0 U1 f1(1) −k1 k1 + k2 −k2 U2 = f2(1) + f2(2) (2.12) 0 −k2 k2 U3 f3(2) Luego, refiri´endonos a los diagramas de cuerpo–libre de cada uno de los nodos, diagramados en las Figuras 2.3(c), 2.3(d), y 2.3(e); nos muestran que las condiciones de equilibrio est´atico imponen el cumplimiento de las relaciones f1(1) = F1
f2(1) + f2(2) = F2
f3(2) = F3
respectivamente. Sustituyendo en la Ecuaci´on (2.12), obtenemos el resultado final k1 −k1 0 U1 F1 −k1 k1 + k2 −k2 U2 = F2 0 −k2 k2 U3 F3
(2.13)
(2.14)
Esta ecuaci´ on podr´ıamos escribirla en forma sint´etica: [K ]{U } = {F }, cuya forma es similar al de la Ecuaci´ on (2.5). Sin embargo, la Ecuaci´on (2.14) representa a las relaciones que gobiernan al sistema compuesto de dos elementos resorte inter–conectados. Por consideraci´on dir´ecta de las condiciones de equilibrio est´ atico, hemos obtenido la matriz de rigidez del sistema [K] (note el uso del s´ımbolo en may´ uscula), llamada tambi´en matriz de rigidez global, como k1 −k1 0 [K ] = −k1 k1 + k2 −k2 (2.15) 0 −k2 k2
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
24
Notemos que la matriz de rigidez del sistema impl´ıcitamente contiene las siguientes propiedades: (1) es sim´etrica, como es el caso con todos los sistemas lineales referidos a sistemas coordenados ortogonales (cuyos ejes est´ an en cuadratura unos respecto a los otros); (2) es singular, desde que no se aplican restricciones para prevenir el movimiento de cuerpo r´ıgido de todo el sistema; y (3) la matriz del sistema simplemente es una superposici´ on de las matrices de rigidez de los elementos individuales con la asignaci´ on apropiada de los desplazamientos nodales de elemento (desplazamientos locales) y asociados con los coeficientes de rigidez a los desplazamientos nodales del sistema (desplazamientos globales). El procedimiento del superposici´ on se formaliza en el contexto de estructuras del tipo marco en los p´arrafos siguientes. Ejemplo 2.1. Considere el sistema de dos elementos–resorte mostrado en la Figura 2.2, dado que el Nodo 1 se sujeta a un apoyo fijo proporcionando la restricci´on del desplazamiento U1 = 0. Considerando los valores: k1 = 50 lb/in, k2 = 75 lb/in, F1 = F2 = 75 lb; determinar los desplazamientos U2 y U3 . > Soluci´ on Sustituyendo los valores especificados en la Ecuaci´on (2.14), tendremos 50 −50 0 0 F1 −50 125 −75 U2 = 75 0 −75 75 U3 75 y notamos que, debido al valor de desplazamiento nulo en el nodo 1, la fuerza nodal F1 se convierte en una fuerza de reacci´ on desconocida (´esta ser´ıa la reacci´on de apoyo). Formalmente, la primera ecuaci´on algebr´aica representada en esta ecuaci´ on matricial llega a ser −50 U2 = F1 y esta es conocida como una ecuaci´ on de restricci´ on, ya que representa la condici´on de equilibrio de un nodo en el cual el desplazamiento est´ a restringido (con un valor pre–establecido). Desechando la primera ecuaci´ on del sistema anterior, la segunda y tercera ecuaciones se escriben ahora como 125 −75 U2 75 = −75 75 U3 75 2 1 75 75 [ 75 = 3750 la cual puede ser resuelta usando la t´ecnica de inversi´on matricial, U 75 125 ] { 75 }, que U3 proporciona los valores: U2 = 3 in, y U3 = 4 in. Note usted que la matriz de las ecuaciones gobernantes de los desplazamientos desconocidos se obtiene simplemente desechando la primera fila y columna de la matriz 3×3 del sistema, puesto que el desplazamiento restringido es cero. Luego, el impedimento impuesto no afecta los valores de los desplazamientos activos (usamos el t´ermino “activo” para referirnos a los desplazamientos que son desconocidos y deben evaluarse). La substituci´on de los valores calculados de U2 y U3 en la ecuaci´on de restricci´on proporciona el valor F1 = −150 lb, que est´a claramente en equilibrio con las fuerzas nodales aplicadas de 75 lb. cada una. Tambi´en podemos verificar el equilibrio del elemento, escribiendo las ecuaciones para cada uno de ellos " #( ) ( ) ( ) 50 −50 0 f1(1) −150 = = lb para el elemento 1 −50 50 3 f2(1) 150 "
75 −75
#( ) ( ) ( ) −75 3 f2(2) −75 = = lb 75 4 f3(2) 75
para el elemento 2
Este u ´ltimo c´ alculo resulta ser una verificaci´on de la soluci´on obtenida para los desplazamientos.
>
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
25
El Ejemplo 2.1 ilustra el procedimiento general para la soluci´on de modelos de elemento finito: Formular las ecuaciones de equilibrio del sistema, aplicar las condiciones de restricci´on especificadas, resolver la serie reducida de ecuaciones para los desplazamientos “activos”, y sustituir los desplazamientos evaluados en las ecuaciones de restricci´on para obtener las reacciones desconocidas. Aunque no es directamente aplicable para el elemento–resorte, en las formulaciones de elemento finito m´as generales, los desplazamientos calculados son tambi´en sustituidos en las relaciones desplazamiento – deformaci´on para obtener las deformaciones unitarias; y ´estas son, a su vez, sustituidas en las ecuaciones de tensi´on–deformaci´ on unitaria aplicables, para obtener los valores de tensi´on interna de elemento. Ejemplo 2.2. La Figura 2.4(a) muestra un sistema de tres resortes linealmente el´asticos que soportan tres cuerpos con pesos de igual magnitud, suspendidos en un plano vertical. Tratando los resortes como elementos finitos, determine el desplazamiento vertical de cada cuerpo.
1
3k
U1
3k
W
1
2
U2
2k
2k
2
3
W
U3 k
3
k 4
U4
W
(a)
(b)
Figura 2.4: Sistema de pesos y resortes > Soluci´ on Para tratar esto como un problema de elemento finito, nosotros asignamos cierta codificaci´on num´erica a los nodos y elementos como se muestra en la Figura 2.4(b) e ignoramos, por el momento, que el desplazamiento U1 se conoce que tiene valor nulo por la restricci´on de movimiento impuesto por el apoyo fijo. Por la Ecuaci´ on (2.6), la matriz de rigidez de cada elemento es (pre–procesamiento)
3k −3k [k ] = −3k 3k 2k −2k [k (2) ] = −2k 2k k −k (3) [k ] = −k k (1)
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
26
Las relaciones de desplazamientos nodales locales – hacia – globales, son u(1) = U1 1
u(1) = u(2) = U2 2 1
u(2) = u(3) = U3 2 1
u(3) = U4 2
Procediendo como en el ejemplo anterior, escribimos las ecuaciones individuales de elemento como (1) 3k −3k 0 0 U1 f1 −3k 3k 0 0 U2 f2(1) = 0 0 0 0 U3 0 0 0 0 0 U4 0 0 0 0 0 U1 0 (2) 0 2 −2k 0 U2 = f1(2) 0 −2k 2k 0 U3 f2 0 0 0 0 U4 0 0 U1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U2 = 0 0 k −k U3 f1(3) (3) f2 0 0 −k k U4 Sumando estas ecuaciones, factorizando el par´ametro k que es com´ un a todas las matrices, 3 −3 0 0 F1 U1 −3 5 −2 0 U2 W = k 0 −2 3 −1 U3 W W U4 0 0 −1 1
(1)
donde hemos utilizado el hecho que la suma de las fuerzas de elemento en cada nodo debe igualar a la fuerza aplicada a ese nodo y; en el nodo 1, la fuerza actuante es una reacci´on desconocida. Aplicando la restricci´ on de desplazamiento U1 = 0 (esto es todav´ıa pre–procesamiento), obtenemos −3 k U2 = F1 como la ecuaci´ on de restricci´ on y la ecuaci´on 5 −2 k −2 3 0 −1
(2)
matricial 0 U2 1 −1 U3 = W 1 1 U4 1
(3)
para los desplazamientos activos. Nuevamente, notemos que la Ecuaci´on (3) se obtiene eliminando la Ecuaci´on de restricci´ on (2) de la Ecuaci´ on (1) de comportamiento global estructural. La soluci´on simult´ anea (procesamiento) del sistema de ecuaciones algebr´aicas representadas por la Ecuaci´on (3) d´ a los desplazamientos inc´ ognitas con los valores indicados a continuaci´on U2 =
W k
U3 =
2W k
U4 =
3W k
y la Ecuaci´on (2) proporciona como fuerza de reacci´on de apoyo (´esto es post–procesamiento) F1 = −3 W Debemos notar que la fuerza de reacci´ on de apoyo equilibra la fuerza externa aplicada al sistema (o peso total de los cuerpos que cuelgan). >
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
27
Notemos que la soluci´ on aqu´ı hallada aplicando el m´etodo de elemento finito para el ejemplo anterior, es ex´ actamente aquella que hubi´esemos obtenido mediante aplicaci´on de las conocidas ecuaciones de equilibrio est´ atico. Tambi´en notemos que hemos seguido el procedimiento general de utilizaci´on del m´etodo, consistente de los pasos secuenciales siguientes: Formular las matrices de rigidez individuales de elemento. Escribir las relaciones de transformaci´on de desplazamientos locales hacia globales. Ensamblar la ecuaci´ on de equilibrio global en forma matricial. Reducir la ecuaci´ on matricial seg´ un las restricciones especificadas. Resolver el sistema de ecuaciones para los desplazamientos nodales desconocidos (variables primarias). Resolver las ecuaciones de restricci´on para las fuerzas de reacci´on (variables secundarias) por substituci´ on–regresiva. Ejemplo 2.3. La Figura 2.5 muestra un sistema de tres elementos resorte lineales conectados en configuraci´on en serie. La numeraci´ on de nodos y elementos adoptada es como se indica. El nodo 1 se fija r´ıgidamente para prevenir el movimiento, y en el nodo 3 se d´a un desplazamiento especificado δ como es mostrado. Las fuerzas F2 = −F y F4 = 2F est´an aplicadas en los nodos 2 y 4. Determine el desplazamiento de cada nodo y la fuerza requerida en el nodo 3 para las condiciones especificadas previas. F2 = – F
1 1
k
3 2
3
3k
2k
2
4
F4 = 2 F
Figura 2.5: Sistema de resortes conectados en serie > Soluci´ on Este ejemplo incluye una condici´ on de borde no–homog´enea. En los ejemplos anteriores, las condiciones l´ımite se representaron por desplazamientos de valor nulo. En este ejemplo, tenemos ambos tipos: condiciones de desplazamiento nulo (homog´eneo) y de magnitud especificada (no–homog´eneo). El tratamiento algebr´ aico debe ser diferente como sigue. Las ecuaciones de equilibrio del sistema se expresan en forma matricial (v´ease el Problema 2.6) como
k −k 0 0
−k 4k −3k 0
0 −3k 5k −2k
0 U1 F1 F1 0 U2 = F2 = −F −2k F3 F3 U3 2k U4 F4 2F
Substituyendo las condiciones especificadas U1 = 0 y U3 = δ resulta el sistema algebr´aico de ecuaciones k −k 0 0 0 F1 −k 4k −3k 0 U2 = −F (1) 0 −3k 5k −2k δ F3 0 0 −2k 2k U4 2F
28
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
Puesto que U1 = 0, removemos la primera fila y columna para obtener 4k −3k 0 U2 −F −3k 5k −2k δ = F3 0 −2k 2k U4 2F
(2)
juntamente con −k U2 = F1 , como ecuaci´ on de restricci´on. Pero, la serie de ecuaciones obtenida claramente muestra que simplemente no podemos eliminar la fila y columna que corresponden al desplazamiento no–nulo especificado, porque ´este par´ametro aparece en las ecuaciones que gobiernan los desplazamientos activos. Para ilustrar un procedimiento general, volvemos a escribir la u ´ltima ecuaci´on reorden´andola como 5k −3k −2k δ F3 −3k 4k 0 U2 = −F −2k 0 2k U4 2F Si efectuamos un procedimiento de partici´ on matricial de acuerdo a dimensiones que sean convenientes, tendr´ıamos 5k −3k −2k δ F3 −3k 4k (3) 0 U2 = −F −2k 0 2k 2F U4 En t´erminos generales la ecuaci´ on anterior podr´ıamos escribirla como [Kδδ ] [KδU ] {δ} {Fδ } = [KU δ ] [KU U ] {U } {FU }
(4)
donde la identificaci´ on de las submatrices y subvectores involucrados en esta descripci´on comp´acta es dir´ecta, si se comparan las anteriores dos ecuaciones. −3k 4k 0 T [Kδδ ] = [5k] [KδU ] = −3k −2k [KU δ ] = [KδU ] = [KU U ] = −2k 0 2k U2 −F {δ} = {δ} {U } = {Fδ } = {F3 } {FU } = U4 2F Del desarrollo de la segunda “fila” de la Ecuaci´on (4) obtenemos la relaci´on [KU δ ]{δ} + [KU U ]{U } = {FU } la cual puede ser resuelta para los desplazamientos globales inc´ognita, dando como ecuaci´on de soluci´on {U } = [KU U ]−1 ( {FU } − [KU δ ]{δ} )
(5)
con tal que la matriz [KU U ]−1 exista. Desde que las condiciones de restricci´on han sido aplicadas correctamente, la matriz inversa para nuestro ejemplo s´ı existe y est´a dada por 1 0 [KU U ]−1 = 4k 1 0 2k Substituyendo en la Ecuaci´ on (5), la soluci´on para los desplazamientos inicialmente desconocidos resulta F 3δ 1 + − 0 −F + 3kδ U2 4k 4k 4 {U } = = = (6) 1 U4 2F + 2kδ F +δ 0 2k k
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
29
Del desarrollo de la primera “fila” de la Ecuaci´on (4) obtenemos la relaci´on [Kδδ ]{δ} + [KδU ]{U } = {Fδ }
(7)
la cual, al ser substituida por la soluci´on para los desplazamientos ahora y´a conocidos, proporciona la soluci´on para las fuerzas asociadas con los desplazamientos no–homog´eneos que han sido especificados. Reemplazando la soluci´ on previamente obtenida, especificada por la Ecuaci´on (6), tendremos
F3 = 5 k δ − 3k
F 3δ − + 3 5 4k 4 2k = kδ − F 4 F +δ 4 k
(8)
Finalmente, de la ecuaci´ on de restricci´on para el desplazamiento homog´eneo (nulo), hallamos la fuerza de apoyo fijo 3 F − kδ (9) F1 = − k U2 = 4 4 Como comprobaci´ on de los resultados, podemos reemplazar los desplazamientos especificados y calculados en las ecuaciones individuales de elemento, para verificar que el equilibrio est´atico se satisface. Elemento 1
k −k
−k k
0 U2
) ( ) ( 3 F f1(1) −k U2 4k δ − 4 = = = k U2 f2(1) −3k δ + F 4
4
lo cual muestra que las fuerzas nodales sobre el elemento 1 son iguales y de sentido opuesto como es requerido para el equilibrio est´ atico. Elemento 2
−3k 3k
3k −3k
U2 U3
−3k 3k
3k = −3k
) ( F − 4k + 34 δ
=
δ
( 3F ) − 4k − 34 k δ 3F 4k
+ 43 k δ
) ( f2(2) = f3(2)
Esto muestra que se verifica el equilibrio de ´este elemento. Elemento 3
2k −2k
−2k 2k
U3 U4
2k = −2k
−2k 2k
F k
δ +δ
( (3) ) f3 −2F = = 2F f4(3)
Luego, el elemento 3 tambi´en se encuentra en completo equilibrio est´atico.
>
En este Ejemplo, mostramos principalmente el m´etodo general de soluci´on de la ecuaci´on gobernante reducida, luego de haber eliminado las condiciones de borde homog´eneas asociadas con los desplazamientos nulos. Para resolver dicho sistema reducido de ecuaciones algebr´aicas, que contiene condiciones de borde no–homog´eneas (desplazamientos no–nulos de valor especificado), se requiere efectuar un reordenamiento de coeficientes para poder efectuar luego un procedimiento de particionamiento de la ecuaci´ on matricial reducida. Establecimos el procedimiento general de soluci´on que b´asicamente consiste en el desarrollo de las sub–ecuaciones matriciales que resultan de haber efectuado la partici´on de los arreglos (matriz y vectores) que describen el comportamiento mec´anico del sistema y´a reducido previamente; y la soluci´ on de dichas sub–ecuaciones para las inc´ognitas pertinentes.
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
30
2.3.
El elemento barra
Mientras que el resorte el´ astico lineal sirve para introducir el concepto de la matriz de rigidez, la utilidad de tal elemento en el an´ alisis de elemento finito de cualquier sistema real est´a bastante limitada. Ciertamente, se usan resortes en maquinarias en muchos casos comunes y la disponibilidad de una representaci´on de elemento finito de un resorte lineal es bastante u ´til en situaciones as´ı planteadas. El elemento resorte tambi´en se usa a menudo para representar la naturaleza el´astica de apoyos o soportes para sistemas m´ as complicados. Un elemento generalmente m´as aplicable, todav´ıa similar, es una barra el´astica sujeta a fuerzas axiales s´ olamente. Este elemento que nosotros simplemente lo llamamos elemento–barra, es particularmente u ´til en el an´alisis de estructuras de armaz´on de elementos rectos bi y tri–dimensionales. La formulaci´ on de las caracter´ısticas de elemento finito de un elemento–barra el´astico est´a basado en las hip´ otesis siguientes: 1. La barra es geom´etricamente recta. 2. El material obedece la ley de Hocke. 3. Las fuerzas s´ olo est´ an aplicadas en los extremos de la barra. 4. La barra s´ olo soporta carga de tipo axial. La u ´ltima hip´ otesis se traduce como que los efectos de flexi´on, torsi´on, y cizalladura no se transmiten a elementos aleda˜ nos por la naturaleza de sus conexiones hacia estos otros elementos. Esta asunci´on, aunque es bastante restrictiva, no es impr´ acticable; esta condici´on se satisface si la barra se conecta a otros estructurales mediante uniones articuladas (2–D) o juntas esf´ericas (3–D). Las hip´otesis 1 y 4, en combinaci´ on, muestran que esto es inherente a un elemento uni–dimensional, significando que el desplazamiento el´ astico de cualquier punto a lo largo de la barra puede expresarse en t´erminos de una sola variable independiente. Como se ver´a, sin embargo, el elemento barra puede usarse en el modelado de estructuras bi y tri–dimensionales. El lector reconocer´a este elemento como el miembro de dos-fuerzas, muy familiar a partir del curso de est´atica elemental; que como caracter´ıstica principal, para el equilibrio est´ atico, requiere que las fuerzas ejercidas en los extremos del elemento deben ser colineales, iguales en magnitud, y opuestas en sentido. u1
u2
1
2
x
x
u(x) L
Figura 2.6: Diagrama esquem´atico del elemento – barra La Figura 2.6 muestra una barra el´ astica de longitud L, la cual no est´a apoyada y es asociada a un sistema coordenado uniaxial denotado como x con su origen coincidente con el extremo izquierdo del elemento (el nodo 1). Este es el sistema coordenado de elemento o marco de referencia local. Denotando el desplazamiento axial a lo largo de la longitud de la barra en cualquier posici´on como u(x), definimos los nodos 1 y 2 a cada extremo de la barra como se muestra, e introducimos los desplazamientos nodales u1 = u(x = 0) y u2 = u(x = L). As´ı, tenemos la variable cont´ınua de campo u(x), la cual ser´ a expresada (aproximadamente) en t´erminos de las variables de desplazmiento nodales u1 y u2 . Para lograr esta discretizaci´ on, asumimos la existencia de funciones de interpolaci´ on N1 (x) y N2 (x) (tambi´en conocidas como funciones de forma o funciones de mezcla) tales que u(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2
(2.16)
2.3. EL ELEMENTO BARRA
31
N´otese que usando los valores extremos de elemento u1 y u2 estamos planteando que podemos hallar el desplazamiento u(x) de cualquier punto interno haciendo uso de las funciones N1 (x) y N2 (x); lo que sin duda representa el planteamiento de un proceso de interpolaci´on matem´atica. De ah´ı el nombre de funciones de interpolaci´ on para las funciones de la variable independiente: N1 y N2 . Debe darse ´enfasis a que, aunque se indica una igualdad en la Ecuaci´on (2.16), la relaci´on planteada para los elementos finitos en general, es una aproximaci´on. Para el elemento–barra la relaci´on, sin embargo, de hecho es ex´ acta. Para determinar las funciones de interpolaci´on, requerimos que los valores de frontera l´ımite de u(x) (los desplazamientos nodales) sean id´enticamente satisfechos por la discretizaci´ on planteada, de modo que u(x = 0) = u1
u(x = L) = u2
(2.17)
Las Ecuaciones (2.16) y (2.17) conducen a las siguientes condiciones l´ımite (nodales) N1 (0) = 1
N2 (0) = 0
(2.18)
N1 (L) = 0
N2 (L) = 1
(2.19)
que deben satisfacerse por las funciones de interpolaci´on. Se requiere que la expresi´on para el desplazamiento, la Ecuaci´ on (2.16), satisfaga las condiciones de extremo (nodales) id´enticamente; puesto que los nodos ser´ an los puntos de conexi´on entre los elementos y las condiciones de continuidad del desplazamiento se refuerzan en dichas conexiones. Como tenemos dos condiciones que deben satisfacerse por cada una de las dos funciones uni–dimensionales, las formas m´as simples para las funciones de interpolaci´ on son las expresiones polinomiales: N1 (x) = a0 + a1 x
(2.20)
N2 (x) = b0 + b1 x
(2.21)
donde los coeficientes polin´ omicos ser´an determinados mediante el cumplimiento de las condiciones de borde l´ımites (nodales). Notamos aqu´ı que existe un n´ umero ilimitado de expresiones matem´aticas que podr´ıan asumirse como funciones de interpolaci´on, a s´ola condici´on que satisfagan las condiciones de borde requeridas. Las razones para escoger una forma lineal para las funciones de interpolaci´on en este caso particular se explican en detalle en el Cap´ıtulo 6. La aplicaci´ on de las condiciones representadas por la Ecuaci´on (2.18) nos proporciona: a0 = 1, b0 = 0, mientras que la Ecuaci´ on (2.19) d´a como resultados a1 = −(1/L) y b1 = 1/L. Por consiguiente, las funciones de interpolaci´ on son N1 (x) = 1 − x/L N2 (x) = x/L
(2.22a) (2.22b)
y la funci´ on de desplazamiento, o variable cont´ınua de campo, es representada por la discretizaci´on u(x) = (1 − x/L)u1 + (x/L)u2
(2.23)
Como se encontrar´ a subsecuentemente m´as conveniente, la Ecuaci´on (2.23) puede expresarse en forma matricial como u1 u(x) = N1 (x) N2 (x) = [N ]{u} (2.24) u2 donde [N ] es la matriz fila de funciones de interpolaci´on y {u} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales. Habiendo expresado el campo de desplazamientos en t´erminos de las variables nodales, el resto de la tarea obligada es determinar la relaci´on existente entre los desplazamientos nodales y las fuerzas aplicadas en dichos puntos extremos del elemento, para obtener la matriz de rigidez del elemento barra.
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
32
Recordando la mec´ anica elemental de materiales, la deformaci´on δ de una barra el´astica de longitud L y ´area de secci´ on tansversal A uniforme, cuando es sujeta a una carga axial P , est´a dada por δ=
PL EA
(2.25)
donde E es el m´ odulo de elasticidad lineal del material. De aqu´ı obtenemos P = ELA δ, que comparada con la relaci´on carga–deformaci´ on del resorte el´astico lineal P = k δ, nos proporciona el coeficiente de rigidez equivalente del elemento–barra EA P = (2.26) k= δ L y podr´ıamos, por analog´ıa con el resorte el´astico lineal, inmediatamente escribir la matriz de rigidez como nos indica la Ecuaci´ on (2.6). Mientras el resultado as´ı obtenido es precisamente correcto, nosotros tomaremos una concepci´ on de deducci´ on m´as general para ilustrar los procedimientos a ser usados con formulaciones de elemento m´ as complicadas. Finalmente, deseamos calcular los desplazamientos nodales dada alguna condici´on de carga impuesta sobre el elemento. Para obtener las ecuaciones necesarias de equilibrio que relacionen los desplazamientos a las fuerzas aplicadas, procedemos el c´alculo desde el desplazamiento hacia la deformaci´on unitaria, luego hacia la tensi´ on interna, y finalmente hacia la carga aplicada; como se muestra a continuaci´on. En solicitaci´ onl uniaxial, como en el elemento – barra, necesitamos considerar s´olo la componente de deformaci´ on normal unitaria, definida como x =
du dx
(2.27)
la cual, cuando es aplicada a la Ecuaci´ on (2.23), d´a como resultado x =
u2 − u1 δ = L L
(2.28)
que muestra que el elemento barra es un elemento de deformaci´on constante. Esto est´a de acuerdo con la teor´ıa de resistencia de materiales: El elemento tiene ´area de secci´on transversal constante, y est´a sujeto a fuerzas constantes aplicadas en los puntos extremos (los nodos), as´ı que la tensi´on interna no var´ıa a lo largo de la longitud. La tensi´ on axial interna, por la ley de Hocke, es entonces σx = Ex = E
u2 − u1 L
(2.29)
y la fuerza axial asociada es luego P = σx A =
EA (u2 − u1 ) L
(2.30)
Tomando cuidado para observar la correcta convenci´on de signo algebraico, la Ecuaci´on (2.30) es ahora usada para relacionar las fuerzas nodales aplicadas f1 y f2 a los desplazamientos nodales u1 y u2 . Aqu´ı podr´ıamos apelar a la analog´ıa de comportamiento mec´anico del elemento–barra con el elemento resorte (equivalente) el cual es mostrado en la Figura 2.1(a). Observando que, si la Ecuaci´on (2.30) tiene un signo positivo, el elemento est´ a en solicitaci´on de tracci´on y la fuerza nodal f2 debe estar en la direcci´on de la coordenada positiva mientras que la fuerza nodal f1 debe ser igual en magnitud y de sentido opuesto para preservar el equilibrio; por consiguiente, AE (u2 − u1 ) L EA f2 = (u2 − u1 ) L
f1 = −
(2.31a) (2.31b)
2.3. EL ELEMENTO BARRA
33
Las Ecuaciones (2.31) son expresadas en forma matricial seg´ un la expresi´on E A 1 −1 u1 f1 = u2 f2 L −1 1
(2.32)
La comparaci´ on de la Ecuaci´ on (2.32) y la Ecuaci´on (2.4) muestra que la matriz de rigidez para el elemento–barra est´ a dada por E A 1 −1 (2.33) [ke ] = L −1 1 Como es el caso con el resorte lineal, observamos que la matriz de rigidez para el elemento barra es sim´etrica, singular, y de orden 2×2 en correspondencia con los dos desplazamientos nodales o grados de libertad. Debe darse ´enfasis a que la matriz de rigidez dada por la Ecuaci´on (2.33) est´a expresada en el sistema coordenado de elemento (sistema local) que en este caso es uni–dimensional. La aplicaci´on de la formulaci´ on de ´este elemento al an´alisis de estructuras bi y tri–dimensionales es considerada en el pr´oximo cap´ıtulo. Ejemplo 2.4. La Figura 2.7(a) muestra una barra el´astica adelgazada sujeta a una carga de tracci´on P aplicada en un extremo, estando fijo el otro extremo. El ´area de la seci´on–transversal var´ıa linealmente desde A0 en el extremo fijo x = 0, hasta A0 /2 en x = L. Calcular el desplazamiento del extremo libre de la barra (a) modelando este cuerpo como un solo elemento que tiene ´area de secci´on transversal igual al ´area de la barra real en su punto medio a lo largo de su longitud, (b) usando dos elementos barra de igual longitud y similarmente evaluando el ´area en el punto medio de cada uno de los segmentos, y (c) usando la integraci´ on para obtener la soluci´on exacta. (x) A0
x
x
A0
1
x
A0
1
7A0/8
L
3A0/4
L
2
L x
5A0/8
A0/2
A20/2
P
P
(a) Sistema original
(b) Modelo de 1 elemento
A(x)
L/2
L/2
3
P
P
(c) Modelo de 2 elementos
(d) Tensi´ on normal
Figura 2.7: Barra tronco–c´onica y modelos de elemento finito > Soluci´ on (a) Para un solo elemento, el ´ area de secci´on–transversal es 3A0 /4 y el “coeficiente de rigidez equivalente” de resorte es AE 3A0 E k= = L 4L y la ecuaci´ on matricial gobernante del comportamiento de elemento (o estructura, en ´este caso) es 3A0 E 1 −1 U1 F1 = −1 1 U P 4L 2 El elemento y los puntos nodales del mismo son como se muestran en la Figura 2.7(b). Los desplazamientos de estos puntos (grados de libertad) se asumen estar definidos seg´ un la direcci´on x. Aplicando
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
34
la condici´on de restricci´ on U1 = 0, encontramos U2 =
4P L PL = 1,333 3A0 E A0 E
como el desplazamiento en x = L. (b) Dos elementos de igual longitud L/2 con los puntos nodales asociados a cada uno de ellos se muestran en la Figura 2.7(c). Los desplazamientos de estos puntos (grados de libertad) se asumen estar definidos seg´ un la direcci´ on x. Para el elemento 1, A1 = 7A0 /8, por lo que el coeficiente de rigidez de resorte equivalente resulta 7A0 E 7A0 E A1 E = = k1 = L1 8(L/2) 4L mientras que para el elemento 2 tenemos A2 =
5A0 8
y, luego
k2 =
A2 E 5A0 E 5A0 E = = L2 8(L/2) 4L
Puesto que ninguna carga est´ a aplicada en el centro de la barra, las ecuaciones de equilibrio para el sistema de dos elementos es k1 −k1 0 U1 F1 −k1 k1 + k2 −k2 U2 = 0 0 −k2 k2 U3 P Aplicando la condici´ on de restricci´ on U1 = 0, el sistema anterior se reduce a k1 + k2 −k2 U2 0 = −k2 k2 U3 P De la primera ecuaci´ on de ´este sistema obtenemos U2 =
k2 U3 k1 + k2
Reemplazando en la segunda ecuaci´ on y evaluando para el desplazamiento inc´ognita, se comprueba que resulta PL k1 + k2 48P L = 1,371 U3 = P = k1 k2 35A0 E A0 E (c) Para obtener la soluci´ on ex´ acta, nos referimos a la Figura 2.7(d), en la que mostramos un diagrama de cuerpo–libre de una secci´ on de la barra entre una posici´on arbitraria x y el extremo x = L de ella. Para el equilibrio, x σx A = P y, puesto que A = A(x) = A0 1 − 2L la variaci´on de tensi´ on axial interna a lo largo de la longitud de la barra se describe por σx =
P A0 1 −
x 2L
Luego, aplicando la ley de Hocke, la deformaci´on unitaria axial vendr´a determinada por x =
σx P = E E A0 1 −
x 2L
2.3. EL ELEMENTO BARRA
35
Pero, por definici´ on sabemos que la deformaci´on unitaria se relaciona con el campo de desplazamientos interno u = u(x) mediante la conocida relaci´on: x = du/dx. Ahora, como la barra est´a fijada en x = 0, el desplazamiento en cualquier posici´on gen´erica x estar´a determinado por Z x Z x x P dx 2P L x dx = u(x) = = − [ln(2L − x) − ln(2L)] x E A E A 0 1 − 2L 0 0 0 0 2P L 2P L 2L =− [ln(2L − x) − ln(2L)] = ln E A0 E A0 2L − x Cuando evaluamos esta funci´ on en la posici´on correspondiente al extremo libre del cuerpo, donde est´a aplicada la carga, obtenemos el valor del desplazamiento en dicho punto que en este caso corresponde a la deformaci´ on neta del cuerpo tronco–c´onico; entonces 2P L 2L = u(L) = δ = u(x) ln E A0 2L − L x=L PL 2P L ln 2 = 1,386 = E A0 E A0 2.0
1.4 Soluc. Exácta Un elemento Dos elementos
1.6
P 0 0 A 0
1.0 0.8
1.4 1.2 1.0
u(x)
Soluc. Exácta Un elemento Dos elementos
1.8
1.2
0.6
0.8 0.6
0.4
0.4 0.2 0
0.2 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x L (a) Campo de desplazamiento interno
0.9
1.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x L (b) Tensi´ on normal axial interna
0.8
0.9
1.0
Figura 2.8: Comparaci´ on de soluciones exactas y mediante elementos finitos La comparaci´ on de los resultados de las partes (b) y (c) revela que la soluci´on de dos elementos exhibe un error porcentual relativo de s´olo aproximadamente 1 por ciento comparado con la soluci´on exacta obtenida mediante la teor´ıa de mec´anica de los materiales. La Figura 2.8(a) muestra la variaci´on del desplazamiento a lo largo de la longitud para las tres soluciones obtenidas. Notemos que la soluci´on proporcionada por el modelo de dos elementos finitos es m´as cercana a la soluci´on exacta que la soluci´on obtenida utilizando un solo elemento finito, ´esto en el dominio de definici´on del problema; pero, al comparar la soluci´ on proporcionada para la deformaci´on neta (el desplazamiento del extremo libre) con la soluci´ on ex´ acta, se calcula que el error porcentual relativo es de 3,8 %, lo cual no es un error demasiado grosero. Es sumamente importante notar, sin embargo, que la tensi´on normal axial calculada para las soluciones de elemento finito var´ıan significativamente respecto de aquellas que describen la soluci´on exacta. La tensi´ on normal axial para la soluci´on de dos–elementos se muestra en la Figura 2.8(b), junto con la tensi´ on calculada proveniente de la soluci´on exacta. Note particularmente la discontinuidad de valores de tensi´ on calculados para los dos elementos en el punto de conexi´on nodal entre ellos. Esto es t´ıpico de las variables derivadas, o secundarias, como la deformaci´on unitaria o la tensi´on interna,
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
36
cuando son calculadas en el m´etodo de elemento finito. A medida que m´as y m´as elementos peque˜ nos sean usados en el modelo, los valores de tales discontinuidades disminuyen, indicando la convergencia hacia la soluci´ on exacta. En los an´ alisis estructurales, el del elemento finito est´a m´as a menudo interesado en las tensiones que los desplazamientos, de aqu´ı es esencial que se supervise la convergencia de las variables secundarias. > El ejemplo que resolvimos anteriormente claramente nos muestra que el m´etodo de elemento finito es un m´etodo aproximado, y como tal posee falencias inherentes a su propia naturaleza. Sin embargo, es posible corregir los errores que se presentan apelando a ciertas modificaciones en el proceso de formulaci´on de los elementos. Para el ejemplo anterior, se lograr´ıa un resultado m´as ´optimo si el campo de desplazamientos interno en cada uno de los elementos se asume con variaci´on cuadr´atica respecto a la posici´ on; con ello, las deformaciones unitarias y tambi´en las tensiones normales internas tendr´ıan variaci´ on lineal, porque las deformaciones se relacionan a los desplazamientos mediante la primera derivada y las tensiones son dir´ectamente proporcionales a las deformaciones. Este modo de aplicar el m´etodo de elemento finito conduce a los llamados elementos de orden superior, tema que ser´a tratado en cap´ıtulos posteriores.
2.4.
Energ´ıa de deformaci´ on el´ astica
Cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo, el trabajo mec´anico hecho por dichas fuerzas es convertido, en general, en una combinaci´ on de energ´ıas cin´etica y potencial. En el caso de un cuerpo el´astico, restringido de alg´ un modo para prevenir el movimiento, todo el trabajo se almacena en el interior del cuerpo como energ´ıa potencial el´astica que tambi´en es normalmente llamada energ´ıa de deformaci´ on. Aqu´ı, ´esta energ´ıa se denota mediante Ue y el trabajo mec´anico por W . De la est´atica elemental, el trabajo mec´ anico realizado por una fuerza F~ como su punto de aplicaci´on se mueve a lo largo de una trayectoria desde la posici´ on 1 hasta la posici´on 2 es definido como 2
Z
~ F~ ◦ dr
W =
(2.34)
1
~ es el desplazamiento infinitesimal medido sobre la trayectoria de movimiento. Si utilizamos donde dr un sistema coordenado rectangular, considerando que en dicho sistema podr´ıamos escribir ˆ F~ = Fx ˆı + Fy ˆ + Fz k
~ = dxˆı + dy ˆ + dz k ˆ dr
y
el trabajo mec´ anico valorado en este sistema coordenado, viene determinado por la relaci´on Z x2 Z y2 Z z2 W = Fx dx + Fy dy + Fz dz x1
y1
z1
k L0
F0
k L0
0
(a) Carga sobre el resorte
Fuerza, F
F F0 A=W=Ue
k 1
Deformación,
(b) Respuesta est´ atica
0
(c) Trabajo – Energ´ıa
Figura 2.9: El resorte linealmente el´astico (comportamiento est´atico)
(2.35)
´ ELASTICA ´ 2.4. ENERG´IA DE DEFORMACION
37
Para deformaciones linealmente el´asticas, la deflexi´on es directamente proporcional a la fuerza aplicada, por ejemplo, como se muestra en la Figura 2.9(a) para un resorte el´astico lineal consideramos una situaci´ on en la que se aplica una carga axial determinada; como efecto de ello ocurre una deflexi´on o deformaci´ on del resorte, pudi´endose verificar que la magnitud de la misma es dir´ectamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. As´ı, el comportamiento de respuesta est´atica del resorte se representa como una l´ınea recta que parte del origen, correspondiente al estado indeformado (resorte no–cargado). La pendiente de la l´ınea representativa de la relaci´on fuerza–deformaci´on es el coeficiente de rigidez constante, tal que se cumple F = k δ, como se aprecia en la Figura 2.9(b). Por consiguiente, el trabajo requerido para deformar dicho resorte en un monto arbitrario δ0 desde su longitud libre indeformada es Z δ0 Z δ0 1 F dδ = k δ dδ = k δ02 = Ue (2.36) W = 2 0 0 La interpretaci´ on que podemos dar a la energ´ıa de deformaci´on el´astica, o equivalentemente al trabajo gastado en deformar el resorte, es que cualquiera de estas cantidades tiene valor de magnitud igual al ´area bajo la curva de respuesta est´ atica. El ´area identificada corresponde a la superficie de un tri´angulo, entonces A = 21 δ0 F0 = 21 δ0 k δ0 = 12 kδ02 = W = Ue , como se muestra en la Figura 2.9(c). Tambi´en observamos que el trabajo y la energ´ıa potencial el´astica resultante son funciones cuadr´ati´ cas del desplazamiento, y tienen representaci´on dimensional en unidades de fuerza–longitud. Este es un resultado general para sistemas linealmente el´asticos, como se ver´a en muchos ejemplos a lo largo de este texto. Utilizando la Ecuaci´ on (2.25), la energ´ıa de deformaci´on para una barra el´astica axialmente cargada, impedida de moverse en un extremo, puede escribirse inmediatamente como Ue =
1 2 1 AE 2 kδ = δ 2 0 2 L
(2.37)
Sin embargo, para un prop´ osito m´ as general, este resultado se convierte a una forma diferente (aplicable a un elemento barra s´ olamente) como sigue: 1 1 AE Ue = k δ02 = 2 2 L
PL EA
2
1 = 2
P A
P EA
AL =
1 σV 2
(2.38)
donde σ es la tensi´ on normal axial interna, la deformaci´on axial unitaria, y V es el volumen total del material deformado; y la cantidad 12 σ es la energ´ıa de deformaci´ on por unidad de volumen, tambi´en conocida como densidad de energ´ıa de deformaci´ on. En la Ecuaci´on (2.38) los valores de tensi´on y deformaci´ on unitaria corresponden a los valores finales asociados con la fuerza aplicada. El factor 1/2 surge de la relaci´ on lineal entre la tensi´on y la deformaci´on debido a c´omo la carga es aplicada desde cero hasta el valor final P . En general, para solicitaci´on uniaxial, la energ´ıa de deformaci´on por unidad de volumen se define por Z dUe = σ d (2.39) ue = dV 0 la cual se extiende a estados m´ as generales de deformaci´on en los cap´ıtulos subsecuentes. Notamos que la Ecuaci´ on (2.39) representa el ´area bajo el diagrama tensi´on–deformaci´on unitaria el´astica que describe la ley de Hocke. En el siguiente ac´ apite, usaremos la relaci´on de trabajo–energ´ıa de deformaci´on, para obtener las ecuaciones gobernantes para el elemento – barra, usando el teorema siguiente.
2.4.1.
Primer teorema de Castigliano
Para un sistema el´ astico en equilibrio, la derivada parcial de la energ´ıa total de deformaci´ on con respecto a la deflexi´ on en un punto, es igual a la fuerza aplicada seg´ un la direcci´ on de la deflexi´ on en dicho punto.
38
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
Consideremos un cuerpo el´ astico sujeto a N fuerzas Fj para el cual la energ´ıa total de deformaci´on se expresa como N Z δj X Ue = W = Fj dδj (2.40) j=1
0
donde δj es la deflexi´ on en el punto de aplicaci´on de la fuerza Fj en la direcci´on de la l´ınea de acci´on de la fuerza. Si todos los puntos de aplicaci´on de carga est´an fijos excepto uno, digamos, i, y en ese punto se induce una deflexi´ on de un monto infinitesimal ∆δi por una fuerza incremental infinitesimal ∆Fi aplicada, el cambio en la energ´ıa de deformaci´on es Z ∆Ue = ∆W = Fi ∆δi +
∆δi
∆Fi dδi
(2.41)
0
donde se asume que la fuerza original Fi es constante durante el cambio infinitesimal efectuado. El t´ermino integral en la Ecuaci´ on (2.41) involucra el producto de cantidades infinitesimales, que producen un infinit´esimo de segundo orden que puede despreciarse por su orden de magnitud comparado con el t´ermino que lo antecede en la misma ecuaci´on. Despreciando el t´ermino identificado, la relaci´on anterior se reduce a ∆Ue = Fi ∆δi la cual en el l´ımite cuando ∆δi → 0, se convierte en ∂Ue = Fi ∂δi
(2.42)
El primer teorema de Castigliano es una herramienta poderosa para la formulaci´on de elemento finito, como se ilustra ahora para el elemento barra. Combinando las Ecuaciones (2.28), (2.29), y (2.38), la energ´ıa total de deformaci´ on para este elemento finito est´a dada por 1 1 Ue = σx x V = E 2 2
u2 − u1 L
2 AL
(2.43)
Aplicando el teorema de Castigliano con respecto a cada uno de los desplazamientos, se obtiene ∂Ue AE (u1 − u2 ) = f1 = ∂u1 L ∂Ue AE = (u2 − u1 ) = f2 ∂u2 L
(2.44a) (2.44b)
las cuales como puede observarse son id´enticas a las Ecuaciones (2.31). N´otese que en el ´ ambito del m´etodo de elemento finito, la formulaci´on energ´etica es una metodolog´ıa alternativa al m´etodo de equilibrio de fuerzas que inicialmente aplicamos en los desarrollos iniciales de ´este cap´ıtulo. Est´ a demostrado que los m´etodos de an´alisis basados en una concepci´on Newtoniana y los m´etodos de an´ alisis basados en una concepci´on de tipo energ´etico, necesariamente conducen a soluciones id´enticas cuando son aplicados a un mismo problema, preservando obviamente las hip´otesis asumidas para ambos casos. El primer teorema de Castigliano tambi´en es aplicable a los desplazamientos angulares. En el caso de rotaci´ on, la derivada parcial de la energ´ıa de deformaci´on con respecto a un desplazamiento angular es igual al momento/torque aplicado al punto concerniente en el sentido de la rotaci´on. El ejemplo siguiente ilustra la aplicaci´ on de este concepto en t´erminos de un miembro simple torsional, m´as propiamente un eje de secci´ on transversal circular.
´ ELASTICA ´ 2.4. ENERG´IA DE DEFORMACION
39
Ejemplo 2.5. Un eje circular s´ olido de radio R y longitud L, se somete a la acci´on de un torque constante T . El eje est´a fijo en un extremo, como es mostrado en la Figura 2.10. Formule la energ´ıa de deformaci´on el´astica en t´erminos del ´ angulo de torsi´on en x = L, y mostrar que el primer teorema de Castigliano proporciona la expresi´ on correcta para el torque aplicado
R
T
L
Figura 2.10: Eje circular sometido a torsi´on > Soluci´ on De la teor´ıa de mec´ anica de s´ olidos, la tensi´on cortante en cualquier secci´on transversal a lo largo de la longitud del miembro est´ a determinada por Tr J
τ=
donde r es la distancia radial variable medida desde el eje axial que atravieza el centro de la superficie circular, y J es el momento polar de inercia de la secci´on transversal. Considerando un comportamiento el´astico del material, tendremos γ=
τ G
donde G es el m´ odulo de elasticidad transversal (m´odulo de Young) del material, γ es la deformaci´on angular unitaria (desplazamiento angular por unidad de longitud); y entonces la energ´ıa de deformaci´on de estado torsional es por analog´ıa con la energ´ıa de deformaci´on en estado axial de solicitaci´on Ue =
=
1 2
Z τ γ dV = V
T2 2 J2 G
Z 0
LZ
1 2
Z
L
Z
0
A
r2 dA dx =
A
Tr J
Tr GJ
dA dx
T2 L 2GJ
donde hemos utilizado la definici´ on del momento polar de inercia Z J= r2 dA A
Nuevamente, invocando los resultados que proporciona la mec´anica de s´olidos, el ´angulo de torsi´on al final del miembro se conoce que es TL θ= GJ
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
40
de modo que la energ´ıa de deformaci´ on puede ser escrita como 1 L Ue = 2 GJ
GJ θ L
2 =
GJ 2 θ 2L
Y ahora, utilizando el primer teorema de Castigliano, tendremos GJ θ ∂Ue =T = ∂θ L que es exactamente la relaci´ on deducida por la teor´ıa de la mec´anica de s´olidos. El lector puede pensar que usamos un razonamiento circular en este ejemplo (volvimos al mismo lugar desde el cual empezamos), ya que que utilizamos muchos resultados previamente conocidos. Sin embargo, la formulaci´ on de la energ´ıa de deformaci´on debe estar basada en relaciones conocidas de tensi´on y deformaci´ on unitaria; y la aplicaci´on del teorema de Castigliano es, de hecho, un concepto diferente. > Para sistemas linealmente el´ asticos, la formulaci´on de la energ´ıa de deformaci´on en t´erminos de los desplazamientos es relativamente dir´ecta. Como fu´e establecido previamente, la energ´ıa de deformaci´on para un sistema el´ astico es una funci´ on cuadr´atica de los desplazamientos. La naturaleza cuadr´atica es explicada de modo simplista por los hechos que, en deformaci´on el´astica, la tensi´on interna es proporcional a la fuerza (en este caso, al momento o torque), y la deformaci´on unitaria es proporcional a la tensi´on, y la deformaci´ on unitaria es proporcional al desplazamiento (o rotaci´on). Y, desde que la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica es igual al trabajo mec´anico expendido, resulta una funci´on cuadr´atica. Por consiguiente, la aplicaci´ on del primer teorema de Castigliano resulta en ecuaciones algebr´aicas lineales que relacionan los desplazamientos a las fuerzas aplicadas. Esta declaraci´on sigue del hecho que la derivada de un t´ermino cuadr´ atico es lineal. Los coeficientes de los desplazamientos en las ecuaciones resultantes son los componentes de la matriz de rigidez del sistema para la cual la funci´on de energ´ıa de deformaci´on se escribe. Tal concepci´ on de an´alisis basado en conceptos energ´eticos es el m´etodo m´as simple y dir´ecto para establecer la matriz de rigidez de muchos elementos finitos estructurales. Ejemplo 2.6. La Figura 2.11 muestra un sistema compuesto de cuatro resortes conectados en serie y paralelo. (a) Aplicar el primer teorema de Castigliano para obtener la matriz de rigidez del sistema. Los verticales ubicados en los nodos 2 y 3 se consideran r´ıgidos. (b) Resolver el modelo matem´ atico planteado para los desplazamientos activos y la fuerza transmitida hacia el apoyo en el nodo 1 si k1 = 4 N/mm F2 = −30 N
k2 = 6 N/mm F3 = 0
k3 = 3 N/mm F4 = 50 N
k2 k1 1
k3 2
F2
3
F4 4
k2
Figura 2.11: Sistema de resortes interconectados > Soluci´ on (a) La energ´ıa total de deformaci´ on del sistema de cuatro resortes mostrado en la figura, se expresa en
´ ELASTICA ´ 2.4. ENERG´IA DE DEFORMACION
41
t´erminos de los desplazamientos nodales y los diversos coeficientes de rigidez de los mismos, mediante la relaci´ on Ue = 12 k1 (U2 − U1 )2 + 2 [ 21 k2 (U3 − U2 )2 ] + 12 k3 (U4 − U3 )2 Aplicando el teorema de Castigliano, usando cada uno de los desplazamientos nodales en turno sucesivo ∂Ue ∂U1 ∂Ue ∂U2 ∂Ue ∂U3 ∂Ue ∂U4
= F1 = k1 (U2 − U1 )(−1) = k1 U1 − k1 U2 = F2 = k1 (U2 − U1 ) + 2k2 (U3 − U2 )(−1) = −k1 U1 + (k1 + 2k2 )U2 − 2k2 U3 = F3 = 2k2 (U3 − U2 ) + k3 (U4 − U3 )(−1) = −2k2 U2 + (2k2 + k3 )U3 − k3 U4 = F4 = k3 (U4 − U3 ) = −k3 U3 + k3 U4
Este sistema de ecuaciones lineales algebr´aico puede escribirse en forma de arreglo matricial seg´ un k1 −k1 0 0 U1 F1 −k1 k1 + 2k2 U2 F2 −2k 0 2 = 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 U3 F3 0 0 −k3 k3 U4 F4 y, la matriz de rigidez que es mostrada en la ecuaci´on precedente fu´e hallada por aplicaci´on del teorema de Castigliano. (b) Substituyendo los valores num´ericos especificados en el planteamiento del problema, la ecuaci´on matricial gobernante del comportamiento est´atico del sistema llega a ser 0 F1 4 −4 0 0 −4 16 −12 0 U2 −30 = 0 −12 15 −3 U3 0 50 0 0 −3 3 U4 Eliminando la ecuaci´ on de restricci´on debido a la condici´on U1 = 0, la ecuaci´on matricial reducida asociada con los desplazamientos activos es 16 −12 0 U2 −30 −12 15 −3 U3 = 0 0 −3 3 U4 50 que resolveremos manipulando las ecuaciones para convertir la matriz de coeficientes (la matriz de rigidez) en una forma triangular–superior; es decir, que todos los t´erminos debajo de la diagonal principal se vuelvan ceros. Paso 1
Multiplicar la primera ecuaci´on (fila) por 12, multiplicar la segunda ecuaci´on (fila) por 16, agregar las dos filas y reemplazar la segunda ecuaci´on con la ecuaci´on resultante de la suma, para obtener 16 −12 0 U2 −30 0 96 −48 U3 = −360 0 −3 3 U4 50
Paso 2
Multiplicar la tercera ecuaci´on por 32, a˜ nadir a la segunda ecuaci´on, y reemplazar la tercera ecuaci´ on con el resultado. Esto proporciona la forma triangularizada deseada 16 −12 0 U2 −30 0 96 −48 U3 = −360 0 0 48 U4 1240
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
42
En esta forma, las ecuaciones pueden resolverse ahora por “sustituci´ on regresiva”, y ser´a encontrado que, a cada paso, hay s´ olo un valor desconocido. En este caso, la secuencia es U4 =
1240 = 25,83 mm 48
1 [ −360 + 48(25,83) ] = 9,17 mm 96 1 U2 = [ −30 + 12(9,17) ] = 5,0 mm 16 La fuerza de reacci´ on en el nodo 1 se obtiene a partir de la ecuaci´on de restricci´on que fu´e desechada en la soluci´on de los grados de libertad no–restringidos U3 =
F1 = −4 U2 = −4 (5,0) = −20 N y, podemos observar que el sistema se encuentra en equilibrio est´atico, desde que la suma de fuerzas externas actuantes sobre el sistema (inclu´ıda la reacci´on de apoyo) es id´enticamente cero, como se requiere. > En este Ejemplo hemos mostrado una t´ecnica de soluci´on de la ecuaci´on matricial gobernante del comportamiento est´ atico del sistema, la cual consiste en efectuar transformaciones con las filas de la matriz de coeficientes (la matriz de rigidez global), de modo que al final de las mismas la apariencia de dicho arreglo sea de forma triangular–superior; entonces luego dicho sistema as´ı transformado es f´acilmente resuelto evaluando el conjunto de ecuaciones de “atr´as para adelante”, es decir en forma inversa (o regresiva) sustituyendo en cada nueva instancia la soluci´on hallada en la instancia anterior.
2.5.
Energ´ıa potencial m´ınima
El primer teorema de Castigliano es precursor del principio general de la energ´ıa potencial m´ınima. Hay muchas maneras de declarar este principio, y el mismo ha sido rigurosamente probado [16]. Aqu´ı, nosotros estableceremos el principio sin proporcionar la prueba, pero esperamos que el lector comparare los resultados con el primer teorema de Castigliano. El principio de energ´ıa potencial m´ınima se declara como sigue: De todos los estados de desplazamiento de un cuerpo o estructura, sujeta a carga externa, que satisface las condiciones geom´etricas de borde (los desplazamientos impuestos), el estado de desplazamientos que tambi´en satisface las ecuaciones de equilibrio es aquel en el que la energ´ıa potencial total es un m´ınimo para el equilibrio estable. Damos ´enfasis a que la energ´ıa potencial total debe ser considerada en la aplicaci´on de este principio. La energ´ıa potencial total incluye la energ´ıa potencial el´astica almacenada (la energ´ıa de deformaci´on) as´ı como la energ´ıa potencial de las cargas aplicadas. Como es de costumbre, usamos el s´ımbolo Π para la energ´ıa potencial total y dividimos dicha energ´ıa en dos partes, una porci´on asociada con la energ´ıa de deformaci´on Ue y otra porci´ on asociada con la energ´ıa proveniente del sistema de fuerzas externas aplicadas UF . La energ´ıa potencial total es por tanto Π = Ue + UF
(2.45)
donde debemos hacer notar que el t´ermino “fuerzas” externas es generalizado, porque tambi´en debe incluir torques o momentos si estos existen. En este texto, s´ olo trataremos con sistemas el´asticos sujetos a sistemas de fuerzas conservativas. Una fuerza conservativa se define como aquella que realiza trabajo mec´anico de magnitud independiente del camino de movimiento, de modo tal que el trabajo en este caso es reversible o recuperable. El ejemplo m´as com´ un de una fuerza no–conservativa, tambi´en llamada disipativa, es la fuerza de fricci´on
2.5. ENERG´IA POTENCIAL M´INIMA
43
de deslizamiento. Como la fuerza de fricci´on siempre act´ ua oponi´endose al movimiento, el trabajo realizado por las fuerzas de fricci´ on siempre es negativo y su resultado es la p´erdida de energ´ıa. Esta p´erdida se muestra f´ısicamente como el calor generado producto del trabajo mec´anico efectuado por la fricci´ on. Por otro lado, el trabajo mec´anico hecho por una fuerza conservativa, Ecuaci´on (2.34), es reversible, y por consiguiente recuperable, si la fuerza se libera. Por consiguiente, el trabajo mec´anico de una fuerza conservativa se considera que es equivalente a una p´erdida en la energ´ıa potencial asociada; es decir, UF = −W (2.46) donde W es el trabajo mec´ anico definido por la integral del producto escalar especificado en la Ecuaci´on (2.34). Entonces, la energ´ıa potencial total de modo equivalente podr´a ser valorada mediante Π = Ue − W
(2.47)
Como mostramos en los ejemplos siguientes y las aplicaciones a la mec´anica del medio s´olido deformable en el Cap´ıtulo 9, el t´ermino de energ´ıa de deformaci´on Ue es una funci´on cuadr´atica de los desplazamientos del sistema y el t´ermino de trabajo mec´anico W es una funci´on lineal de los desplazamientos. Rigurosamente, la minimizaci´on de la energ´ıa potencial total es un problema de c´alculo variacional [30]. Nosotros no suponemos que el p´ ublico intencional de este texto est´e familiarizado con el c´alculo de variaciones. M´ as bien, aqu´ı simplemente imponemos la minimizaci´on seg´ un el principio de c´alculo de derivaci´ on de funciones de variables m´ ultiples. Si tenemos una expresi´on de energ´ıa potencial total que es una funci´ on, digamos, de N desplazamientos Ui , i = 1, . . . , N ; ´esto es Π = Π(U1 , U1 , . . . , UN )
(2.48)
entonces la energ´ıa potencial total ser´a minimizada si hacemos cumplir las relaciones ∂Π =0 ∂Ui
i = 1, 2, . . . , N
(2.49)
La Ecuaci´ on (2.49) se mostrar´ a como relaci´on que representa a las N ecuaciones algebr´aicas que conforman la aproximaci´ on de elemento finito a la soluci´on de las ecuaciones diferenciales gobernantes de la respuesta de un sistema estructural debida a la solicitaci´on externa impuesta sobre dicho sistema. Ejemplo 2.7. Repetir el Ejemplo 2.6, hallando la soluci´on aplicando el principio de energ´ıa potencial m´ınima. > Soluci´ on Del planteamiento de soluci´ on del Ejemplo mencionado anterior, la energ´ıa de deformaci´on el´astica es Ue =
1 2
k1 (U2 − U1 )2 + 2 [ 21 k2 (U3 − U2 )2 ] +
1 2
k3 (U4 − U3 )2
y la energ´ıa potencial asociada al sistema de fuerzas aplicadas es UF = −W = −F1 U1 − F2 U2 − F3 U3 − F4 U4 De aqu´ı, la energ´ıa potencial total vendr´a expresada por Π = Ue − W = +
1 2
1 2
k1 (U2 − U1 )2 + 2 [ 12 k2 (U3 − U2 )2 ]
k3 (U4 − U3 )2 − F1 U1 − F2 U2 − F3 U3 − F4 U4
En este ejemplo, el principio de energ´ıa potencial m´ınima requiere que ∂Π =0 ∂Ui
i = 1; 4
44
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
aplicando en secuencia la ecuaci´ on recursiva anterior incrementando el ´ındice gen´erico desde su valor inicial, tendremos ∂Π = k1 (U2 − U1 )(−1) − F1 = k1 U1 − k1 U2 − F1 = 0 ∂U1 ∂Π = k1 (U2 − U1 ) + 2 k2 (U3 − U2 )(−1) − F2 ∂U2 = −k1 U1 + (k1 + k2 )U2 − 2 k2 U3 − F2 = 0 ∂Π = 2 k2 (U3 − U2 ) + k3 (U4 − U3 )(−1) − F3 ∂U3 = −2 k2 U2 + (2 k2 + k3 )U3 − k3 U4 − F3 = 0 ∂Π = k3 (U4 − U3 ) − F4 = −k3 U3 + k3 U4 − F4 = 0 ∂U4 El sistema de ecuaciones lineales algebr´ aico, cuando se ordena en forma matricial d´a como resultado F1 U1 k1 −k1 0 0 −k1 k1 + 2k2 F2 −2k 0 U 2 2 = 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 F3 U3 0 0 −k3 k3 F4 U4 y podemos ver que resulta id´entico al resultado previamente obtenido. Consecuentemente ya no resolvemos el ejemplo num´ericamente en virtud que este procedimiento y´a fu´e efectuado en el ejemplo previo a ´este. > En este punto, como complemento de car´acter te´orico, re–examinaremos la ecuaci´on de energ´ıa global del Ejemplo 2.7 para desarrollar una forma m´as general, la cual ser´a de valor significativo en los sistemas m´ as complicados a ser discutidos en los cap´ıtulos siguientes. El vector de desplazamiento global, o de sistema, es U1 U2 {U } = U3 U4 y, como fu´e deducido, la matriz de rigidez del sistema (o, matriz de rigidez global) es k1 −k1 0 0 −k1 k1 + 2k2 −2k2 0 [K ] = 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 0 0 −k3 k3 Si ahora realizamos el producto matricial triple indicado a continuaci´on T 1 1 U1 U2 U3 U4 2 {U } [ K ]{U } = 2 k1 −k1 0 0 U1 −k1 k1 + 2k2 −2k 0 2 U2 × 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 U3 0 0 −k3 k3 U4 y, si llevamos a cabo las operaciones de multiplicaci´on matricial, encontraremos que la expresi´on resultante es id´entica a aquella obtenida para la energ´ıa de deformaci´on del sistema. Generalizando
2.6. RESUMEN
45
este procedimiento, podemos indicar que la matriz resultado del producto triple especificado en la relaci´on anterior, representa la energ´ıa de deformaci´on de cualquier sistema el´astico. Ue = 12 {U }T [ K ]{U }
(2.50)
Si la energ´ıa de deformaci´ on puede expresarse en la forma de este producto triple, la matriz de rigidez global podr´ a f´ acilmente ser extractada de dicha relaci´on, puesto que los desplazamientos nodales globales de la estructura son en principio prontamente identificables.
2.6.
Resumen
Dos elementos mec´ anicos lineales, el resorte el´astico idealizado y un miembro el´astico en solicitaci´on de tracci´ on/compresi´ on (el elemento–barra) han sido usados para introducir los conceptos b´asicos involucrados en la formulaci´ on de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un elemento finito. Las ecuaciones del elemento se obtienen por una concepci´on de equilibrio est´atico dir´ecto y tambi´en alternativamente por un m´etodo basado en la energ´ıa de deformaci´on el´astica, usando el primer teorema de Castigliano. Tambi´en se introdujo el principio de energ´ıa potencial m´ınima como una alternativa equivalente de formulaci´ on de problemas estructurales a ser resueltos mediante un modelo de elemento finito. El pr´ oximo cap´ıtulo muestra c´omo el elemento–barra uni–dimensional puede usarse para demostrar los procedimientos de ensamble en modelos compuestos de varios elementos finitos, en el contexto de estructuras simples que se desarrollan en dos y tres dimensiones del espacio. k1
Problemas propuestos un 2.1. — 2.2. — 2.3. Para cada conjunto de resortes conectados del modo aqu´ı mostrado, seg´ se aprecia en las Figuras P2.1 – P2.2 – P2.3; determine la matriz de rigidez global usando el procedimiento de ensamblaje de sistemas desarrollado en la Secci´on 2.2. k1
k2 2
1
k3 1
4
3
4
3
2
k3
Figura P2.1
Figura P2.2
k1
k2 2
1
k3
k2
k1
kN 2
kN1
3
N 1
N
Figura P2.3 2.4. Para el conjunto de resortes conectados como se muestra, determinar la fuerza F3 requerida para desplazar el nodo 2 un monto de δ = 0.75 pulg. hacia la derecha. Tambi´en calcular el desplazamiento del nodo 3. Considere que, k1 = 50 lb/pulg
k1 1
Figura P2.4
2
k2
F3 3
y
k2 = 25 lb/pulg
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
46
2.5. En el ensamble de resortes conectados como se muestra en la Figura, las fuerzas F2 y F4 van a ser aplicadas de modo que la fuerza resultante sobre el elemento 2 sea cero y el nodo 4 se desplace un monto δ = 1 pulg. Determinar (a) los valores requeridos de las fuerzas F2 y F4 , (b) el desplazamiento del nodo 2, y (c) la fuerza de reacci´on en el nodo 1.
F2
k1 1
k3
k2
4
3
2
F4
k2 40 lb/in
k1 k3 30 lb/in Figura P2.5
2.6. Verificar la matriz de rigidez global hallada en el Ejemplo 2.3 usando (a) un procedimiento de ensamble dir´ecto y (b) el primer teorema de Castigliano. 2.7. Dos vagones de un tren son conectados por el arreglo de resortes mostrados en la Figura. (a) Determinar la serie completa de ecuaciones de equilibrio para el sistema en la forma [ K ]{U } = {F }. (b) Si k = 50 lb/pulg, F1 = 20 lb, y F2 = 15 lb, calcular el desplazamiento de cada vag´on y la fuerza actuante en cada resorte. 2k
F1
F2
k
k
2k
Figura P2.7 2.8. Usar el primer teorema de Castigliano para obtener la representaci´on matricial de las ecuaciones de equilibrio est´ atico para el sistema de resortes mostrado en la Figura.
k1
F2
1
F3
k2 2
3
k3
F4
k4 5
4
Figura P2.8 2.9. En el Problema 2.8, sea el valor de los par´ametros mostrados k1 = k2 = k3 = k4 = 10 N/mm, F2 = 20 N, F3 = 25 N, F4 = 40 N; resolver para (a) los desplazamientos nodales, (b) las fuerzas de reacci´ on en los nodos 1 y 5, y (c) la fuerza en cada resorte. 2.10. Una barra de acero sujeta a solicitaci´on de compresi´on es modelada mediante dos elementos – barra, como se muestra en la Figura. Determinar los desplazamientos nodales y la tensi´on normal en cada elemento. Que otras variables importantes se podr´ıan calcular en este problema ?. 0.5 m 1
8 kN/m
2 1 E = 207 GPa
Figura P2.10
0.5 m 2 A = 500 mm2
12 kN 3
Problemas propuestos
47
2.11. La Figura muestra el ensamble de dos elementos – barra, construidos de diferentes materiales. Determinar los desplazamientos nodales, la tensi´on normal en cada elemento, y la fuerza de reacci´ on de apoyo. E1 , L1 , A1 E2 , L2 , A2
1 2 1
2 X 104 lb
2
3
7
E2= 10 lb/in2 L2= 20 in A2= 2.25 in2
7
E1= 1.5 X 10 lb/in2 L1= 20 in A1= 4 in2
Figura P2.11 2.12. Obtener la soluci´ on del modelo de cuatro elementos para la barra tronco–c´onica analizada en el Ejemplo 2.4. Bosquejar la gr´afica de la tensi´on normal en los elementos versus la soluci´on exacta. Usar los siguientes valores num´ericos: E = 107 lb/pulg
2
A0 = 4 pulg2
L = 20 pulg
P = 4000 lb
2.13. Un peso W es suspendido de un plano vertical conectado a un resorte lineal que tiene coeficiente de rigidez k conocido. Mostrar que la posici´on de equilibrio est´atico corresponde a un valor de energ´ıa potencial total m´ınimo. 2.14. Para un elemento – barra se propone discretizar el campo de desplazamientos interno mediante la relaci´ on funcional u(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 con las siguientes funciones de interpolaci´on πx 2L πx N2 (x) = sin 2L N1 (x) = cos
Son ´estas funciones de interpolaci´on v´alidas ?. (Sugerencia: Considere las variaciones de tensi´on y deformaci´ on unitaria al interior del elemento). 2.15. El elemento torsional mostrado en la Figura tiene secci´on transversal circular y comportamiento el´ astico. Los desplazamientos nodales son las rotaciones θ1 y θ2 , y las cargas nodales asociadas son los torques aplicados T1 y T2 . Usar el principio de energ´ıa potencial m´ınima para deducir las ecuaciones de comportamiento est´atico de elemento en forma matricial.
1 ,T
R
1
L 2 ,T
2
Figura P2.15
Capítulo
3
El m´ etodo dir´ ecto de rigidez
En el Cap´ıtulo anterior efectuamos una introducci´on a la formulaci´on del m´etodo de elemento finito utilizando para ello los elementos uni–dimensionales: resorte, barra y eje, efectuando tambi´en un an´alisis de sistemas peque˜ nos conformados mediante interconexi´on de ´estos elementos. Obtuvimos la ecuaci´on gobernante del sistema por aplicaci´on de condiciones de equilibrio nodal. Tambi´en efectuamos una introduci´ on a los denominados m´etodos energ´eticos de formulaci´on, y vimos que los mismos producen soluciones id´enticas a aquellas obtenidas mediante las leyes de equilibrio est´atico. En ´este cap´ıtulo mostraremos el modo en el que se pueden analizar sistemas estructurales de relativo mayor tama˜ no compuestos particularmente de elementos barra interconectados entre s´ı en sus puntos extremos. Efectuaremos una discusi´on mucho m´as detallada de las ecuaciones de equilibrio de los puntos relevantes (nodos) de una estructura. Tamb´ıen mostraremos los procesos de transformaci´on de los sistemas de ejes coordenados utilizados en el an´alisis, que posteriormente nos permitir´a efectuar el procedimiento de ensamblaje estructural que se traduce en el planteamiento de la ecuaci´on gobernante del comportamiento del sistema. Mostraremos como se aplican las condiciones de borde o contorno impuestas sobre el modelo matem´ atico elaborado, y finalmente efectuaremos una descripci´on de la obtenci´ on de variables secundarias de inter´es como son las deformaciones, reacciones de apoyo, y las tensiones internas que aparecen en la estructura deformada.
3.1.
Introducci´ on
Los elementos que tienen geometr´ıa y comportamiento uni–dimensional (elementos lineales simples) discutidos en el Cap´ıtulo 2 introdujeron los conceptos de nodos, desplazamientos nodales, y matrices de rigidez de elemento. En este cap´ıtulo, es considerada la creaci´on de un modelo de elemento finito de un sistema mec´ anico compuesto de cualquier n´ umero de elementos. La discusi´on se limita a las estructuras tipo cercha o armadura que nosotros definimos como estructuras compuestas de el´asticos rectos sujetos s´ olamente a fuerzas axiales. La satisfacci´on de esta restricci´on requiere que todos los de la estructura sean elementos barra y que los mismos se inter–conecten mediante uniones articuladas tal que cada elemento sea libre de rotar alrededor de la junta de uni´on. Aunque 49
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
50
el elemento barra es inherentemente uni–dimensional, el mismo se usa eficazmente en el an´alisis de serchas bi y tri–dimensionales, como se muestra en los ac´apites siguientes. 7
3
Y
3
10
2
4
6
8
2
X 1
5
7 6 4
9
(a) Interconexi´ on de elementos
(b) Detalle de conexi´ on
Figura 3.1: Estructura cercha plana y punto nodal de conexi´on El sistema de coordenadas global es el marco de referencia en el que se expresan los desplazamientos de la estructura y normalmente es escogido por conveniencia acorde a la consideraci´on de la geometr´ıa global que tiene todo el sistema. Considerando la cercha en voladizo simple mostrada en la Figura 3.1(a), es l´ ogico seleccionar los ejes globales X–Y como paralelos a los “ejes” geom´etricos predominantes de la cercha, como es mostrado. Si examinamos la junta rodeada de un c´ırculo, por ejemplo, vuelta a dibujar en la Figura 3.1(b); observamos que cinco nodos de elemento son f´ısicamente conectados a un nodo global estructural y que el eje local x de cualquier elemento no coincide con el eje X global. La conexi´ on f´ısica y la orientaci´on geom´etrica variable de los elementos permiten plantear las premisas siguientes inherentes al m´etodo de elemento finito: 1. El desplazamiento nodal del extremo cada uno de los elementos conectados en un punto com´ un debe ser el mismo que el desplazamiento del nodo de conexi´on al que concurren en el sistema de coordenadas globales; la formulaci´ on matem´atica, como se ver´a, refuerza este requerimiento (al que se denomina compatibilidad de desplazamiento). 2. Las caracter´ısticas f´ısicas (en este caso, la matriz de rigidez y la fuerza axial) de cada elemento debe ser transformado, matem´ aticamente, al sistema coordenado global para representar las propiedades estructurales en el sistema global en un marco de referencia matem´aticamente consistente. 3. Los par´ametros individuales de elemento de preocupaci´on a ser evaluados (por ejemplo para el elemento barra, la tensi´ on axial) son determinados despu´es de haber hallado la soluci´on del problema en el sistema de coordenadas global por la transformaci´on de resultados retornando al marco de referencia local de elemento (post–procesamiento). Por qu´e estamos basando la formulaci´ on te´orica sobre los desplazamientos?. Generalmente, un dise˜ no ingenieril est´ a m´ as interesado en la tensi´on interna a la cual cada miembro de la cercha est´a sujeto, para comparar este valor de tensi´ on con una propiedad material conocida, como la tensi´on l´ımite de fluencia del material (valor coincidente con su resistencia mec´anica). La comparaci´on de los valores de tensi´on calculados con las propiedades materiales, puede llevar a cambios del dise˜ no en cuanto al material a utilizarse o las propiedades geom´etricas de los elementos individuales (en el caso del elemento barra, el ´area de su secci´ on transversal). La respuesta a las diversas preguntas radica en la naturaleza de los problemas f´ısicos que se presentan. Es mucho m´as f´acil estimar la solicitaci´on (las fuerzas y momentos aplicados) a la que una estructura est´a sujeta, que las deformaciones ocurridas por esta causa en tal estructura. Si las cargas externas se especifican, las relaciones entre la solicitaci´on aplicada y los desplazamientos producidos son formuladas en t´erminos de la matriz de rigidez y resolvemos las ecuaciones planteadas as´ı para los desplazamientos inc´ognita. La substituci´on–regresiva de los desplazamientos en las ecuaciones de elemento individual nos dan entonces las deformaciones y las tensiones ´ en cada elemento como es deseado. Este es el m´etodo de rigidez y se usa exclusivamente en este texto.
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL
51
En el procedimiento alternativo, conocido como el m´etodo de flexibilidad [10], los desplazamientos se toman como las cantidades conocidas y el problema se formula tal que las fuerzas (m´as generalmente, las componentes de tensi´ on) son las variables desconocidas. Una discusi´on similar se aplica a los problemas no–estructurales. En una situaci´on de trasferencia de calor, el ingeniero est´a m´as a menudo interesado en la proporci´ on de flujo de calor entrante, o saliente, de un dispositivo particular. Mientras que la temperatura es ciertamente de preocupaci´on, ´esta no es la variable primaria de inter´es. No obstante, los problemas de transmisi´on de calor generalmente se formulan de modo que la temperatura es la variable dependiente primaria y el flujo de calor es una variable secundaria, que es calculada en analog´ıa con la tensi´ on en los problemas estructurales; es decir luego de haber calculado el campo de temperaturas. Retornando a la consideraci´ on de la Figura 3.1(b), d´onde m´ ultiples elementos se conectan a un nodo global, la geometr´ıa de la conexi´ on determina las relaciones entre los desplazamientos de elemento y los desplazamientos globales as´ı como las contribuciones de elementos individuales a la rigidez estructural global. En el m´etodo directo de rigidez, la matriz de rigidez de cada elemento se transforma desde el sistema coordenado local hacia el sistema coordenado global. Los t´erminos individuales de cada matriz de rigidez transformada de elemento se agregan entonces directamente a la matriz de rigidez global como es determinado por la conectividad del elemento (not´andose que, las relaciones de conectividad aseguran la compatibilidad de desplazamientos en las juntas y nodos d´onde los elementos son conectados). Por ejemplo y simplemente por intuici´on en este punto, los elementos 3 y 7 en la Figura 3.1(b) deber´ıan contribuir s´ olamente a la rigidez en la direccin global X; los elementos 2 y 6 deben contribuir a la rigidez en ambas direcciones globales X y Y ; y finalmente el elemento 4 s´olo debe contribuir a la rigidez seg´ un la direcci´ on global Y . La transformaci´on de elemento y el procedimiento de ensamblaje de la matriz de rigidez a ser desarrollados en este cap´ıtulo de hecho verifican los argumentos intuitivos que aqu´ı hicimos. El procedimiento directo de ensamble de rigidez, subsecuentemente descrito, tiene como resultado ex´actamente el mismo sistema de ecuaciones como se obtendr´ıa por aplicaci´on de un equilibrio est´atico formal. Por un an´ alisis de equilibrio formal, queremos decir que las ecuaciones de equilibrio para cada junta (el nodo) en la estructura se expresan expl´ıcitamente, incluyendo los efectos de la deformaci´on. Esto no debe confundirse con el m´etodo de juntas [13], que consiste s´olo en la evaluaci´on de las fuerzas y no toma en consideraci´ on el desplazamiento del punto nodal donde se impone el equilibrio est´atico. Ciertamente, si la fuerza en cada miembro es conocida, las propiedades f´ısicas del elemento pueden servir para evaluar el desplazamiento. Sin embargo, el reforzar los criterios de compatibilidad de desplazamientos en las conexiones (los nodos globales) es algebr´aicamente tedioso. De aqu´ı, tenemos otro argumento para la aplicaci´on del m´etodo de rigidez: La compatibilidad de desplazamientos est´a asegurada a trav´es del procedimiento de formulaci´on misma. Concedido el hecho que tenemos que “volver hacia atr´ as” para obtener la informaci´on de verdadero inter´es (la deformaci´on y la tensi´on interna), aseguramos que este retroceso en el c´alculo num´erico es algebr´aicamente f´acil y directo, como se ilustrar´ a mediante una serie de ejemplos.
3.2.
Ecuaciones de equilibrio nodal
Para ilustrar la conversi´ on requerida de propiedades de elemento a un sistema coordenado global, consideramos el elemento barra uni-dimensional como un miembro estructural de una cercha bidimensional. Mediante este ejemplo relativamente simple, se ilustra el procedimiento de ensamblaje de esencialmente cualquier formulaci´ on de problema de elemento finito. Escogemos este tipo del elemento (en este caso tenemos s´ olo una opci´ on, el elemento barra); especificamos la geometr´ıa del problema (la conectividad de elementos); formulamos el sistema de ecuaciones algebr´aico que gobiernan el problema (en este caso, el equilibrio est´ atico); especificamos las condiciones de borde (los desplazamientos conocidos y las fuerzas externas aplicadas); resolvemos el sistema de ecuaciones para los desplazamientos globales; y usamos la sustituci´ on regresiva para obtener las variables secundarias, incluyendo la defor-
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
52
maci´on unitaria, la tensi´ on, y las fuerzas de reacci´on en las ubicaciones restringidas (condiciones de borde) donde la estructura se conecta hacia sus apoyos. Se aconseja al lector que tome nota que s´olo usamos el t´ermino variable secundaria en el sentido matem´atico; la deformaci´ on y tensi´ on s´ olo son secundarias en el sentido que son evaluadas despu´es que los valores de la soluci´ on general para los desplazamientos hayan sido calculados. En el ´ambito de la mec´anica estructural, los valores de tensi´ on y deformaci´on son de importancia primaria en el dise˜ no. U6
F 3Y 2
x
3
U4
F3 X
2
U5
2
U6 U5
U3
2 1
Y
1
x 1 1
U2
X
U1
(a) Interconexi´ on de elementos
(b) Especificaci´ on de desplazamientos
Figura 3.2: Estructura cercha plana de dos elementos La conversi´ on de ecuaciones de elemento desde las coordenadas propias del mismo (sistema local coordenado) hacia las coordenadas globales y el ensamble de las ecuaciones de equilibrio globales se describe primero en el caso bidimensional con referencia a la Figura 3.2(a). La figura muestra una simple cercha bidimensional compuesta de dos estructurales unidos por conexiones articuladas y sujetos a las fuerzas externas aplicadas mostradas. Se toman las conexiones articuladas como los nodos de los dos elementos considerados; se numeran los nodos y los elementos, as´ı como tambi´en se muestra el sistema coordenado global seleccionado para efectuar el an´alisis. Los desplazamientos globales correspondientes se muestran en la Figura 3.2(b). La convenci´on usada aqu´ı para los desplazamientos globales es que U2i−1 es el desplazamiento en la direcci´on global X del nodo i, y U2i es el desplazamiento del nodo i en la direcci´ on global Y . La convenci´on adoptada no es de ning´ un motivo restrictivo; la convenci´ on se selecciona tal que los desplazamientos en la direcci´on del eje X global sean numerados de manera impar y los desplazamientos en la direcci´on del eje global Y sean numerados de modo par. (Al usar software de elemento finito, usted hallar´a que los desplazamientos globales se denotan como U V W ; o tambi´en como UX UY UZ ; etc). El ´angulo de orientaci´on espacial de elemento θ se mide como positivo desde el eje X del sistema coordenado global, hacia el eje x del sistema coordenado local propio del elemento como se muestra tambi´en en la Figura 3.2(a). Los n´ umeros asignados a los nodos se muestran encerrados en c´ırculos , umeros asignados a los elementos se i en cambio los n´ los muestra encerrados en rect´ angulos j . En las diversas variables que se asocian con los elementos, se usa el n´ umero del mismo como super´ındice encerrado entre par´entesis del modo (j ). Para obtener las condiciones de equilibrio, se elaboran diagramas de cuerpo–libre de los nodos de conexi´on y de los elementos, los cuales son mostrados en la Figura 3.3. Debe notarse que las fuerzas externas se numeran con la misma convenci´on adoptada para la codificaci´on de los desplazamientos globales. Para el nodo 1, seg´ un la Figura 3.3(a), tenemos las ecuaciones de equilibrio siguientes seg´ un las direcciones globales X e Y , respectivamente: F1 − f1(1) cos θ1 = 0 (1) 1
F2 − f
sin θ1 = 0
(3.1a) (3.1b)
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL
F2
53
(2)
f2
F6
2 F3
F1
(2)
f3
F4
1
(1)
F5
f3
(1)
f1
(a) Nodo 1
(b) Nodo 2
(c) Nodo 3
(1)
f3
(2)
f3 (2)
f2
(1)
f1
2
1
(d) Elemento 1
(e) Elemento 2
Figura 3.3: Diagramas de cuerpo libre de nodos y elementos
Para el nodo 2, con referencia a la Figura 3.3(b) F3 − f2(2) cos θ2 = 0
(3.2a)
F4 − f2(2) sin θ2 = 0
(3.2b)
Mientras que basados en la Figura 3.3(c), para el nodo 3 podemos escribir F5 − f3(1) cos θ1 − f3(2) cos θ2 = 0 (1) 3
F6 − f
(2) 3
sin θ1 − f
cos θ2 = 0
(3.3a) (3.3b)
Las Ecuaciones (3.1) a (3.3) simplemente representan las condiciones de equilibrio est´atico desde un punto de vista de mec´ anica de cuerpo r´ıgido. Asumiendo que las cargas externas F5 y F6 son conocidas, estas seis ecuaciones de equilibrio nodales formalmente contienen a ocho inc´ognitas (las fuerzas). Desde que la cercha del ejemplo es est´ aticamente indeterminada, podemos invocar condiciones de equilibrio adicionales aplicables a la estructura en conjunto as´ı como tambi´en para aquellos elementos individuales que la componen [v´ease las Figuras 3.3(d) y 3.3(e)] y eventualmente resolver para todas las fuerzas. Sin embargo, un procedimiento m´ as sistem´atico se obtiene si la formulaci´on es transformada para que las inc´ ognitas sean los desplazamientos nodales. Una vez que la transformaci´on ha sido realizada, encontramos que el n´ umero de inc´ ognitas es exactamente el mismo que el n´ umero de ecuaciones de equilibrio nodales. Adem´ as, la indeterminaci´on est´atica se acomoda autom´aticamente a este procedimiento sin ning´ un tipo de an´ alisis adicional. Como el lector puede recordar del estudio de mec´anica de materiales, la soluci´ on de sistemas est´aticamente indeterminados requiere la especificaci´on de una o m´as relaciones de compatibilidad de desplazamiento; de aqu´ı, resulta evidente que la formulaci´on de desplazamiento del m´etodo de elemento finito incluye tales situaciones. Para ilustrar la transformaci´ on a los desplazamientos, la Figura 3.2(a) muestra un elemento barra conectado a los nodos i y j en una posici´on general en una estructura cercha bidimensional (2–D). Como resultado de la carga externa actuante sobre la estructura, asumimos que los puntos nodales extremos sufren desplazamientos en el propio plano, como es mostrado en Figura 3.2(b). Desde que el
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
54
j
(e) u2(e) v2
(e)
u2
(e)
U4
j
j (e)
U3 deformado
X original
x
i
(e)
U2 (e)
v1
u1(e)
i
(a) Orientaci´ on espacial
u1(e)
i
(b) Desplazamientos generales
(e)
U1
(c) Desplazamientos globales
Figura 3.4: Desplazamientos en un elemento barra
elemento debe permanecer conectado a las juntas estructurales, los nodos del elemento conectados en dichos puntos, deben sufrir los mismos desplazamientos. Esto significa que el elemento no s´olo tiene movimiento axial sino rotaci´ on tambi´en. Para describir la rotaci´on, agregamos los desplazamientos v1 y v2 a los nodos 1 y 2 del elemento, respectivamente, en la direcci´on perpendicular al eje x del elemento. Debido a la asunci´ on de conexiones articuladas lisas en los puntos de juntura, los desplazamientos perpendiculares no son asociados con la rigidez del elemento; no obstante, estos desplazamientos deben existir para que el elemento contin´ ue conectado a la junta estructural para que los desplazamientos del elemento sean compatibles con (es decir, iguales que) los desplazamientos de la junta. Aunque el elemento sufre una rotaci´ on, para los prop´ositos de c´alculo, en general se asume que el ´angulo de la ´ orientaci´on despu´es de producirse la deformaci´on es igual que en la estructura indeformada. Este es resultado de la asunci´ on de deformaciones el´asticas peque˜ nas, y se usa a lo largo del texto. Para relacionar ahora los desplazamientos nodales de elemento referidos a las coordenadas locales con los desplazamientos del mismo elemento referidos en las coordenadas globales, la Figura 3.2(c) muestra los desplazamientos nodales de elemento en el sistema global usando la notaci´on U1(e) U2(e) U3(e) U4(e)
= desplazamiento = desplazamiento = desplazamiento = desplazamiento
del del del del
nodo nodo nodo nodo
1 1 2 2
del del del del
elemento elemento elemento elemento
en en en en
la la la la
direcci´on X global direcci´on Y global direcci´on X global direcci´on Y global
De nuevo, note el uso de letras may´ uscula para las cantidades globales y la notaci´on usada como exponente para referirse a un elemento individual. Como los desplazamientos nodales deben ser los mismos en los dos sistemas coordenados, podemos igualar las componentes del vector de desplazamiento global a los desplazamientos referidos al sistema coordenado de elemento (o sistema local) para obtener las relaciones u(e) = U1(e) cos θ + U2(e) sin θ 1 v1(e) = −U1(e) sin θ + U2(e) cos θ u(e) = U3(e) cos θ + U4(e) sin θ 2 v2(e) = −U3(e) sin θ + U4(e) cos θ
(3.4a)
(3.4b)
Como y´a lo dijimos, las componentes v de desplazamiento no son asociadas con la rigidez del elemento, y por ende tampoco se asocian con las fuerzas actuantes sobre el mismo; de modo que
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL
55
podemos expresar la deformaci´ on axial del elemento como δ (e) = u(e) − u(e) = (U3(e) − U1(e) ) cos θ + (U4(e) − U2(e) ) sin θ 2 1
(3.5)
La fuerza axial neta actuante sobre el elemento es entonces f (e) = k (e) δ (e) = k (e) {(U3(e) − U1(e) ) cos θ + (U4(e) − U2(e) ) sin θ}
(3.6)
Utilizando la Ecuaci´ on (3.6) para el elemento 1, acorde con la Figura 3.3(d), y notando que para ´este elemento los desplazamientos propios se relacionan con los desplazamientos globales asignados a la estructura mediante: U1(1) = U1 , U2(1) = U2 , U3(1) = U5 , y U4(1) = U6 , tenemos la fuerza actuante sobre el elemento 1 como f3(1) = −f1(1) = k (1) δ (1) = k (1) {(U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 }
(3.7)
Y, similarmente para el elemento 2, de acuerdo con la Figura 3.3(e), f3(2) = −f2(2) = k (2) δ (2) = k (2) {(U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 }
(3.8)
Notemos que, al escribir las anteriores dos ecuaciones u ´ltimas, invocamos la condici´on que los desplazamientos del nodo 3 (U5 y U6 ) son los mismos para cada elemento. Para reiterar ´esto, esta hip´otesis es actualmente un requerimiento; puesto que sobre una base f´ısica, la estructura debe permanecer conectada mediante sus juntas despu´es de la deformaci´on. La compatibilidad de desplazamientos en los nodos es un requerimiento fundamental del m´etodo de elemento finito. Sustituyendo las Ecuaciones (3.7) y (3.8) en las condiciones nodales de equilibrio establecidas previamente mediante las Ecuaciones (3.1) a (3.3), obtenemos −k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] cos θ1 = F1
(3.9)
−k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] sin θ1 = F1
(3.10)
−k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] cos θ2 = F3
(3.11)
−k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] sin θ2 = F4
(3.12)
k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] cos θ1 + k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] cos θ2 = F5
(3.13)
k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] sin θ1 + k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] sin θ2 = F6
(3.14)
Las Ecuaciones (3.9) hasta (3.14) son equivalentes al arreglo matricial siguiente
−k (1) c2 θ1 −k (1) sθ1 cθ1 F1 U1 −k (1) sθ1 cθ1 −k (1) s2 θ1 (2) 2 (2) U F 2 2 −k c θ −k sθ cθ 2 2 2 (2) (2) 2 U F 3 3 −k sθ cθ −k s θ 2 2 2 = F4 U4 k (1) c2 θ1 + k (1) sθ1 cθ1 + −k (1) c2 θ1 k (1) sθ1 cθ1 −k (2) sθ2 cθ2 −k (2) s2 θ2 (2) 2 U5 F5 k (2) sθ2 cθ2 k c θ2 (1) (1) 2 k sθ1 cθ1 + k s θ1 + U6 F6 (1) (1) 2 (2) (2) 2 −k sθ1 cθ1 −k s θ1 −k sθ2 cθ2 −k s θ2 (2) (2) 2 k sθ2 cθ2 k s θ2 (3.15) donde usamos la notaci´ on sθ ≡ sin θ, cθ ≡ cos θ, s2 θ ≡ sin2 θ, c2 θ ≡ cos2 θ; para abreviar espacio en las columnas de la matriz de coeficientes del sistema. k (1) c2 θ1 k (1) sθ1 cθ1 0 0
k (1) sθ1 cθ1 k (1) s2 θ1 0 0
0 0 k (2) c2 θ2 k (2) sθ2 cθ2
0 0 k (2) sθ2 cθ2 k (2) s2 θ2
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
56
Las seis ecuaciones algebraicas representadas por la Ecuaci´on (3.15) expresan la serie completa de condiciones de equilibrio para la estructura cercha de dos-elementos. Esta ecuaci´on puede ser escrita de manera compacta y sint´etica como [ K ] {U } = {F } (3.16) donde [ K ] es la matriz de rigidez estructural, {U } es el vector de desplazamientos nodales estructural, y {F } es el vector de cargas nodales aplicadas estructural. Todos estos arreglos ser´an denominados globales puesto que est´ an referidos y descritos desde el sistema coordenado global utilizado en el an´alisis del problema. Observamos que la matriz de rigidez global es un arreglo cuadrado de dimensi´on 6×6 correspondiente a los seis desplazamientos globales posibles que posee la estructura. La aplicaci´on de las condiciones de borde y la soluci´ on del sistema de ecuaciones algebr´aicas que est´an representadas por la ecuaci´ on matricial obtenida como en el ejemplo se difieren por el momento hasta algo m´as adelante, quedando estos temas pendientes de discusi´on.
3.3.
Transformaci´ on de elemento
La formulaci´ on de ecuaciones globales de elemento finito por aplicaci´on directa de las condiciones de equilibrio, como en la secci´ on anterior, demuestra ser bastante embarazoso a´ un para el m´as simple de los modelos. Al escribir las ecuaciones de equilibrio nodales en el sistema de coordenadas global e introducir la formulaci´ on del desplazamiento, el procedimiento de la secci´on anterior impl´ıcitamente transform´o las caracter´ısticas individuales de elemento (la matriz de rigidez) hacia el sistema global. Un m´etodo directo para transformar las caracter´ısticas de rigidez en una base elemento–por–elemento se desarrolla ahora en la preparaci´ on para el uso en el procedimiento de ensamble directo de la siguiente secci´on. Recordando que las ecuaciones de equilibrio est´atico del elemento barra expresadas en el sistema coordenado propio del mismo elemento fueron escritas como (e) A E 1 −1 u(e) ke −ke u(e) f1 1 1 = = (3.17) (e) u(e) −k k u f2(e) L −1 1 e e 2 2 o, en forma sint´etica [ k (e) ]{u(e) } = {f (e) }
(3.17a)
el objetivo presente es transformar estas ecuaciones de equilibrio hacia el sistema coordenado global en la forma (e) (e) F U 1(e) 1(e) F2 U 2 (3.18) = [ K (e) ] (e) (e) F U 3(e) 3(e) F4 U4 que puede escribirse [ K (e) ]{U (e) } = {F (e) } (e)
(3.18a)
En ´esta ecuaci´ on [ K ] representa la matriz de rigidez de elemento en el sistema coordenado global, el vector {F (e) } en el lado–derecho contiene las componentes de fuerza nodal aplicadas sobre el elemento referidas al sistema coordenado global tambi´en, y {U (e) } es el vector de desplazamientos nodales globales de elemento que contiene como coeficientes a las componentes de desplazamiento U1 y U3 que son paralelas al eje X global, y tambi´en a U2 y U4 que son paralelas al eje Y global. Las relaciones entre los desplazamientos axiales de elemento en el sistema coordenado local y los desplazamientos del mismo elemento en el sistema coordenado global [Ecuaciones (3.4)] son u(e) = U1(e) cos θ + U2(e) sin θ 1 u(e) = U3(e) cos θ + U4(e) sin θ 2
´ DE ELEMENTO 3.3. TRANSFORMACION
57
las que pueden ser escritas en forma matricial como (e) cos θ u1 = u(e) 0 2
sin θ 0
0 cos θ
(e) (e) U1 U (e) 1(e) 0 U2 U2 = [R] (e) (e) sin θ U U 3(e) 3(e) U4 U4
(3.19)
o, en forma resumida {u(e) } = [ R(e) ]{U (e) }
(3.19a)
donde [ R(e) ] =
cos θ 0
sin θ 0
0 cos θ
0 sin θ
(3.20)
es la matriz de transformaci´ on de desplazamientos nodales globales de elemento hacia los desplazamientos nodales axiales del mismo. (Nuevamente debemos notar que los desplazamientos nodales de elemento en direcci´ on transversal al mismo, o perpendiculares al eje x, que fueron denotados como v1(e) y v1(e) no son considerados en el desarrollo de la matriz de rigidez; estos desplazamientos juegan un rol preponderante en el an´ alisis din´ amico que se presenta en el Cap´ıtulo 10). Substituyendo ahora la Ecuaci´ on (3.19) en la Ecuaci´ on (3.17) obtenemos
ke −ke
−ke ke
cos θ 0
sin θ 0
0 cos θ
(e) U 1(e) f1(e) U2 0 = f2(e) U (e) sin θ 3(e) U4
(3.21)
resumidamente [ k (e) ][ R(e) ]{U (e) } = {f (e) }
(3.21a)
A pesar de haber transformado las ecuaciones de equilibrio desde los desplazamientos locales hacia los desplazamientos globales como inc´ognitas, las ecuaciones se expresan todav´ıa en el sistema de coordenadas de elemento. La primera relaci´on de la Ecuaci´on (3.21) desarrollada, es la condici´on de equilibrio para el nodo 1 en el sistema coordenado local o de elemento. Si multiplicamos esta ecuaci´on por cos θ, obtendremos la ecuaci´on de equilibrio para el nodo en la direcci´on X del sistema coordenado global. Similarmente, multiplicando por sin θ, se obtiene la ecuaci´on de equilibrio seg´ un la direcci´ on Y global. Aplicando ex´actamente el mismo procedimiento con la segunda ecuaci´on de equilibrio en el nodo 2, se obtiene la ecuaci´on de equilibrio nodal referido al sistema coordenado global. Las mismas operaciones descritas anteriormente se obtienen si pre–multiplicamos ambos de la Ecuaci´ on 3.21 por [ R(e) ]T , la transpuesta de la matriz de transformaci´on de desplazamientos; esto es en forma desarrollada, (e) (e) U cos θ 0 f cos θ 1 1 (e) (e) (e) ke −ke U2 sin θ 0 f1 f1 sin θ (e) T (e) [R ] [R ] = = (3.22) −ke ke U (e) 0 cos θ f2(e) f (e) cos θ 3(e) 2(e) U4 0 sin θ f2 sin θ Claramente el t´ermino del lado–derecho de la ecuaci´on anterior representa al vector de fuerzas nodales aplicadas al elemento referido al sistema coordenado global; y en esencia mediante la operaci´on de pre–multiplicaci´ on matricial efectuada en realidad hemos realizado un proceso de transformacion de fuerzas nodales locales hacia fuerzas nodales globales del elemento. Esta transformaci´on se describe sint´eticamente por la ecuaci´ on {F (e) } = [ R(e) ]T {f (e) } (3.22a)
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
58
As´ı, de esta manera, la Ecuaci´ on (3.22) puede ser escrita como (e) (e) U F 1(e) 1(e) k −k U F2 e e 2 [ R(e) ]T [ R(e) ] = (e) (e) −ke ke U F 3(e) 3(e) U4 F4
(3.23)
´ Esta ecuaci´on matricial representa a las condiciones de equilibrio est´atico nodal del elemento, expresada en el sistema coordenado global. Comparando este resultado con la Ecuaci´on (3.18), la matriz de rigidez de elemento en el marco referencial global coordenado se ve que est´a dada por [ K (e) ] = [ R(e) ]T [ k (e) ][ R(e) ]
(3.24)
Si adoptamos la notaci´ on resumida: sin θ ≡ s y cos θ ≡ c, y realizando el desarrollo de la multiplicaci´on matricial indicada en la ecuaci´ on precedente, obtenemos 2 c sc −c2 −sc sc EA s2 −sc −s2 (3.25) [ K (e) ] = ke ke = 2 −c −sc c2 sc L 2 2 −sc −s sc s o, de modo m´ as resumido utilizando el concepto de matriz particionada 2 [ Θ ] −[ Θ ] c sc [ K (e) ] = ke donde [Θ] = sc s2 −[ Θ ] [ Θ ]
(3.25a)
El examen de la Ecuaci´ on (3.25) muestra que la simetr´ıa de la matriz de rigidez de elemento se preserva en la transformaci´ on hacia las coordenadas globales. Adem´as, aunque no resulta obvio por simple inspecci´ on, puede demostrarse que el determinante es cero, indicando esto que despu´es de la transformaci´on, la matriz de rigidez permanece siendo singular. Esto es algo esperado, puesto que como previamente fu´e discutido, es posible el movimiento de cuerpo r´ıgido del elemento en ausencia de restricciones especificadas para dicha posibilidad.
3.3.1.
Cosenos directores
En la pr´actica, un modelo del elemento finito se construye definiendo los nodos en ubicaciones espaciales de coordenadas determinadas seguidas por la definici´on de elementos mediante la especificaci´on de los nodos conectados por cada uno de ellos. Para el caso a mano, los nodos i y j est´an definidos en coordenadas globales por (Xi , Yi ) y (Xj , Yj ) respectivamente. Usando las coordenadas nodales as´ı especificadas, la longitud del elemento se calcula prontamente como L = [ (Xj − Xi )2 + (Yj − Yi )2 ]1/2
(3.26)
y, el vector unitario que direcciona espacialmente al elemento desde el nodo i hasta el nodo j es por tanto ˆ = 1 [ (Xj − Xi )ˆI + (Yj − Yi )ˆJ ] = cos θXˆI + cos θY ˆJ λ (3.27) L donde ˆI y ˆJ son vectores unitarios coincidentes con los ejes X e Y del sistema coordenado global, como se aprecia en la Figura 3.5. Recordando la definici´ on del producto escalar de dos vectores y refiri´endonos de nuevo a las Figuras 3.5 y 3.2(a), los valores trigonom´etricos requeridos para construir la matriz de transformaci´on de
3.4. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
59
Y j
Yj
Y Yi
L X
i
J
X I
Xi
Xj
Figura 3.5: Especificaci´on de orientaci´on del elemento barra elemento tambi´en se determinan r´ apidamente a partir de las coordenadas nodales como los cosenos directores que aparecen en la Ecuaci´on (3.27). Xj − Xi L Y − Yi j ˆ ◦ˆJ = sin θ = cos θY = λ L
ˆ ◦ˆI = cos θ = cos θX = λ
(3.28a) (3.28b)
As´ı, la matriz de rigidez de un elemento barra en coordenadas globales puede ser completamente determinada por la especificaci´ on de las coordenadas nodales (ubicaci´on espacial de sus puntos extremos), el ´area de su secci´ on transversal, y el m´odulo de elasticidad del material del elemento.
3.4.
Ensamble de la matriz de rigidez global
Habiendo establecido el procedimiento de transformaci´on de las caracter´ısticas del elemento barra uni–dimensional en el sistema coordenado global de una estructura bi–dimensional, plantearemos ahora un m´etodo de obtener las ecuaciones de equilibrio global mediante un procedimiento de ensamble elemento–por–elemento. La t´ecnica de ensamble dir´ecto de la matriz de rigidez global para un modelo de elemento finito de una cercha se discute en t´erminos del sistema simple de dos–elementos mostrado en la Figura 3.2. Asumiendo ser completamente especificadas la geometr´ıa y propiedades del material, la matriz de rigidez de elemento en el marco referencial global puede formularse para cada elemento usando la Ecuaci´ on (3.25) para obtener (1) (1) (1) (1) k11 k12 k13 k14 k (1) k (1) k (1) k (1) 21 22 23 24 [ K (1) ] = (1) (3.29a) (1) (1) (1) k31 k32 k33 k34 (1) k41
(1) k42
(1) k43
(1) k44
(2) k11 k (2) 21 [ K (2) ] = (2) k31 (2) k41
(2) k12 (2) k22 (2) k32 (2) k42
(2) k13 (2) k23 (2) k33 (2) k43
(2) k14 (2) k24 (2) k34
para el elemento 1, y
(3.29b)
(2) k44
para el elemento 2. Estas dos matrices en conjunto contienen 32 coeficientes, los cuales deber´an formar la matriz de rigidez del sistema de dimensi´on 6×6 conteniendo 36 coeficientes. Para “congregar” las
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
60
matrices de rigidez de elemento individual en la matriz de rigidez global, es necesario observar la correspondencia de desplazamientos individuales de elemento con los desplazamientos globales y ubicar los t´erminos asociados de rigidez de elemento a la correcta ubicaci´on en la matriz de rigidez global. Para el elemento 1 de la Figura 3.2, los desplazamientos de ´este elemento se corresponden con los desplazamientos globales a trav´es de las relaciones (e) U1 U1 (e) U U2 2 {U (1) } = ⇒ (3.30a) U (e) U5 3(e) U4 U6 mientras que para el elemento 2 (e) U U3 1(e) U2 U4 (2) {U } = ⇒ (e) U3(e) U5 U4 U6
(3.30b)
Las ecuaciones anteriores son las relaciones de conectividad para la cercha, y expl´ıcitamente indican c´omo cada elemento est´ a conectado en la estructura. Por ejemplo la ecuaci´on (3.30a) claramente muestra que el elemento 1 no est´ a asociado con los desplazamientos globales U3 y U4 (por tanto, no est´a conectado al nodo global 2) y, de aqu´ı, no contribuye a los coeficientes de rigidez que afectan esos desplazamientos. Esto significa que el elemento 1 no tiene efecto en la tercera y cuarta filas y columnas de la matriz de rigidez global. Similarmente, el elemento 2 no contribuye en nada a la primera y segunda filas y columnas del arreglo de coeficientes de rigidez globales. En lugar de escribir las relaciones individuales de desplazamiento para cada uno de los elementos, es preferible y conveniente poner todos los datos de desplazamientos globales de todos los elementos en un arreglo tabular como el mostrado en la Tabla 3.1. Tabla 3.1: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6
1 2 0 0 3 4
0 0 1 2 3 4
La primera columna contiene la serie completa de desplazamientos globales en orden num´erico. Cada columna subsiguiente representa un elemento y contiene el n´ umero de los desplazamientos de elemento que corresponden al desplazamiento global en cada fila. Una entrada de valor nulo indica ninguna conexi´ on, por consiguiente ninguna contribuci´on de rigidez. Los t´erminos individuales en la matriz de rigidez global son obtenidos entonces asignando la ubicaci´on de los coeficientes de rigidez de acuerdo a las condiciones indicadas por la Tabla 3.1 como sigue: K11 K12 K13 K14
(1) = k11 +0 (1) = k12 +0 =0+0 =0+0
K23 K24 K25 K26
=0+0 =0+0 (1) = k23 +0 (1) = k24 + 0
K36 K44 K45 K46
(2) = 0 + k14 (2) = 0 + k22 (2) = 0 + k23 (2) = 0 + k24
3.4. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
(1) K15 = k13 +0 (1) K16 = k14 + 0 (1) K22 = k22 +0
61
(2) K33 = 0 + k11 (2) K34 = 0 + k12 (2) K35 = 0 + k13
(1) (2) K55 = k33 + k33 (1) (2) K56 = k34 + k34 (1) (2) K66 = k44 + k44
donde la simetr´ıa conocida de la matriz de rigidez se ha usado impl´ıcitamente para evitar la repetici´on. Se demuestra prontamente que la matriz de rigidez global resultante es id´entica en cada t´ermino a ´ aquella obtenida en la Secci´ on 3.2 mediante ecuaciones de equilibrio. Este es el m´etodo dir´ecto de rigidez; la matriz de rigidez global es “ensamblada” por la suma directa de los coeficientes de rigidez de elemento individuales mediante la tabla de correspondencia de desplazamientos nodales que define la conectividad del elemento. Ejemplo 3.1. Para la cercha plana mostrada en la Figura 3.2, θ1 = π/4, θ2 = 0, y las propiedades de elementos son tales que k1 = A1 E1 /L1 , k2 = A2 E2 /L2 . Transformar la matriz de rigidez local de cada elemento hacia el sistema global coordenado, y ensamblar la matriz de rigidez global para la estructura. > Soluci´ on
√ Para el elemento 1, cos θ1 = sin θ1 = 2/2 y c2 θ1 = s2 θ1 estos valores en la Ecuaci´ on (3.25), resulta 1 1 k 1 1 1 [ K (1) ] = −1 −1 2 −1 −1
= sθ1 cθ1 = 1/2; de modo que sustituyendo −1 −1 −1 −1 1 1 1 1
Para el elemento 2, cos θ2 = 1, sin θ2 = 0, lo cual d´a la matriz 1 0 −1 0 0 0 [ K (2) ] = k2 −1 0 1 0 0 0
de rigidez transformada 0 0 0 0
Ensamblando la matriz de rigidez dir´ectamente, usando las ecuaciones (3.30a) y (3.30b) se obtiene K11 K12 K13 K14 K15 K16 K22
= k1 /2 = k1 /2 =0 =0 = −k1 /2 = −k1 /2 = k1 /2
K23 K24 K25 K26 K33 K34 K35
=0 =0 = −k1 /2 = −k1 /2 = k12 =0 = −k2
K36 K44 K45 K46 K55 K56 K66
=0 =0 =0 =0 = k1 /2 + k2 = k1 /2 = k1 /2
La matriz de rigidez global de la estructura es entonces formada con los coeficientes anteriores, resultando el arreglo de coeficientes siguiente k1 /2 k1 /2 0 0 −k1 /2 −k1 /2 k1 /2 k1 /2 0 0 −k1 /2 −k1 /2 0 0 k2 0 −k2 0 [K ] = 0 0 0 0 0 0 −k1 /2 −k1 /2 −k2 0 k1 /2 + k2 k1 /2 −k1 /2 −k1 /2 0 0 k1 /2 k1 /2 >
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
62
La representaci´ on previamente descrita del m´etodo dir´ecto de rigidez es concreta pero embarazosa e ineficaz en la pr´ actica. El problema principal inherente al m´etodo presentado radica en el hecho que cada t´ermino de la matriz de rigidez global se calcula secuencialmente y acompa˜ nada de esta construcci´on secuencial se requiere que cada elemento sea considerado a cada paso. A continuaci´on describiremos una t´ecnica que es mucho m´ as eficaz y bien–adecuada a las operaciones que pueden efectuarse mediante una computadora digital. En este segundo m´etodo, la matriz de rigidez de elemento para cada elemento componente de la estructura es considerada en secuencia, y los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento se agregan a la matriz de rigidez global mediante las relaciones de conectividad nodal establecidas para un elemento por vez. As´ı, todos los t´erminos de una matriz de rigidez de elemento individual se agregan a la matriz de rigidez global, despu´es de lo cual no existe necesidad que dicho elemento sea considerado posteriormente. Para ilustrar esta t´ecnica alternativa, volvemos a escribir las Ecuaciones (3.29) como
[ K (1) ] =
1
2
5
6
(1) k11 (1) k21 (1) k31 (1) k41
(1) k12 (1) k22 (1) k32 (1) k42
(1) k13 (1) k23 (1) k33 (1) k43
(1) k14 (1) k24 (1) k34 (1) k44
3
4
5
6
(2) 11
(2) 12
(2) 13
1
2 5
(3.31a)
6
para el elemento 1, y [ K (2) ] =
k (2) k21 (2) k31 (2) k41
k (2) k22 (2) k32 (2) k42
k (2) k23 (2) k33 (2) k43
(2) k14 (2) k24 (2) k34 (2) k44
3
4 5
(3.31b)
6
para el elemento 2. En este bosquejo de las matrices de rigidez para los dos elementos individuales, los n´ umeros a la derecha de cada fila y encima de cada columna indican el desplazamiento global asociado con la fila y columna correspondiente de la matriz de rigidez del elemento. As´ı, combinamos la tabla de correspondencia de desplazamientos nodales con las matrices de rigidez de elemento individuales. Para las matrices de elemento, cada coeficiente individual se etiqueta ahora como asociado con una posici´on en fila–columna espec´ıfica de la matriz de rigidez global y puede agregarse directamente a esa ubicaci´on. (2) componente del elemento 2 debe ser Por ejemplo, la Ecuaci´ on (3.31b) muestra que el coeficiente k24 agregado al coeficiente de rigidez global K46 (y v´ıa simetr´ıa al K64 ). As´ı, podemos tomar cada elemento en turno y agregar los coeficientes individuales de la matriz de rigidez del mismo a las posiciones apropiadas en la matriz de rigidez global, aprovechando el proceso de etiquetado o codificaci´on num´erica asignada (con los desplazamientos globales especificados por elemento) a filas y columnas de cada matriz de rigidez de elemento. Muchas veces este m´etodo es tambi´en llamado “m´etodo de ensamble dir´ecto por transporte de coeficientes”. Y, en la aplicaci´ on de esta metodolog´ıa se procede secuencialmente en orden ascendente: primero se ensamblan los coeficientes de la matriz de rigidez global del elemento 1 en la matriz de rigidez global de estructura (que inicialmente se puede suponer que es una matriz nula, con todos sus coeficientes iniciales igual a cero), luego se repite el proceso para la matriz de rigidez del elemento 2; y as´ı siguiendo. Si en una instancia intermedia al transportar cierto coeficiente de la matriz de rigidez de elemento hacia la matriz de rigidez global ocurre que la ubicaci´on en esta u ´ltima ya est´a ocupada por determinado valor, se debe efectuar la suma algebr´aica con el n´ umero pre–existente y reemplazar el resultado en dicha ubicaci´ on. La forma de las Ecuaciones (3.31) son convenientes s´olo para prop´ositos ilustrativos. Para c´alculos reales, la inclusi´ on de los n´ umeros de desplazamiento globales dentro la matriz de rigidez de elemento es pesada computacionalmente. Una t´ecnica de algoritmo din´amico conveniente para aplicaciones
3.4. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
63
computacionales se describe posteriormente. Las convenciones siguientes se adoptan para una cercha 2–D modelada por elementos barra lineales: 1. Los nodos globales a los que cada elemento se conecta son denotados por i y j. 2. El origen del sistema coordenado de elemento (sistema coordenado local) se ubica con su origen en coincidencia con el nodo i, y el eje x de este sistema tiene un sentido positivo en la direcci´on del nodo i al nodo j. 3. Los desplazamientos globales en los nodos del elemento son: U2i−1 , U2i , U2j−1 , y U2j ; como fu´e denotado en la Secci´ on 3.2. Usando estas convenciones, toda la informaci´on requerida para definir la conectividad del elemento y ensamblar la matriz de rigidez global es incluida en una tabla de conectividad nodal de elemento, que establece un listado de los n´ umeros de elemento en secuencia y muestra los n´ umeros globales nodales i y j a los que cada elemento se conecta. Para la cercha de dos elementos mostrado en la Figura 3.2, los datos requeridos son como los mostrados en la Tabla 3.2. Tabla 3.2: Conectividad nodal de elemento Nodos Elemento
Nodo i
Nodo j
1 2
1 2
3 3
Usando los datos nodales de la Tabla 3.2, nosotros definimos, para cada elemento, un vector fila (de dimensi´ on 1×4) denominado vector de ubicaci´ on de desplazamientos, como {D(e) } = 2i − 1 2i 2j − 1 2j (3.32) donde cada valor es el n´ umero del desplazamiento global que corresponde a las filas y columnas 1, 2, 3, 4 respectivamente, de la matriz de rigidez de elemento. Para la cercha plana de la Figura 3.2, los vectores de ubicaci´ on de desplazamientos son {D(1) } = 1 2 5 6 (3.33a) (2) {D } = 3 4 5 6 (3.33b) Antes de proceder, notemos la cantidad de informaci´on que puede ser obtenida desde una simple vista de la Tabla 3.2. Con la geometr´ıa de la estructura definida, las coordenadas globales (X, Y ) de cada nodo son especificadas. Usando ´estos datos, la longitud de cada elemento y los cosenos directores de orientaci´ on espacial relativa del elemento se calculan mediante las Ecuaciones (3.26) y (3.28), respectivamente. La especificaci´ on del ´area de secci´on–transversal A y el m´odulo de elasticidad E de cada elemento, permite el c´ omputo de la matriz de rigidez de elemento en el marco referencial global usando la Ecuaci´ on (3.25). Finalmente, los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento y´a calculados se agregan a la matriz de rigidez global mediante el procedimiento de ensamble a trav´es del transporte de coeficientes usando el vector de ubicaci´on de desplazamientos especificado para el elemento que est´a siendo manipulando. En el contexto del ejemplo actual, el lector debe imaginar un arreglo cuadrado de una serie de 6×6 “buzones” que representan la matriz de rigidez global, cada uno de los cuales est´a originalmente vac´ıo (es decir, el coeficiente de rigidez inicialmente contenido es cero). Luego, entonces consideramos
64
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
la matriz de rigidez de un elemento individual en el marco referencial global. Usando luego el vector de ubicaci´on de desplazamientos establecido para el elemento (“las direcciones de correo”), los valores individuales de la matriz de rigidez del elemento se ponen en el buz´on apropiado. De este modo, cada elemento es procesado en secuencia y sus caracter´ısticas de rigidez agregadas a la matriz global. Despu´es de que todos los elementos se procesan del modo anteriormente indicado, la serie de buzones contiene la matriz de rigidez global estructural.
3.5.
Condiciones de borde, y fuerzas de restricci´ on
Habiendo obtenido la matriz de rigidez global mediante las ecuaciones de equilibrio o el procedimiento de ensamble dir´ecto, las ecuaciones de desplazamiento del sistema para el ejemplo de cercha plana mostrada en la Figura 3.2 son de la forma U1 F1 U F2 2 U3 F3 (3.34) = [K ] U4 F4 F5 U5 F6 U6 Como fu´e indicado, la matriz de rigidez global es una matriz singular; por consiguiente, una soluci´on u ´nica a la Ecuaci´ on anterior no puede obtenerse directamente. Sin embargo, desarrollando estas ecuaciones, nosotros no hemos tenido en cuenta todav´ıa las restricciones impuestas sobre los desplazamientos del sistema, por las condiciones de apoyo que deben existir para evitar el movimiento de cuerpo r´ıgido. En este ejemplo, observamos que las condiciones de borde l´ımite de desplazamiento son U1 = U2 = U3 = U4 = 0
(3.35)
dejando s´olo U5 y U6 para ser determinados. Sustituyendo los valores de las condiciones de borde anteriormente especificadas y expandiendo la Ecuaci´on (3.34), tendremos formalmente K15 U5 + K16 U6 = F1 K25 U5 + K26 U6 = F2 K35 U5 + K36 U6 = F3 K45 U5 + K46 U6 = F4 K55 U5 + K56 U6 = F5 K56 U5 + K66 U6 = F6
(3.36)
como las ecuaciones del sistema reducido (´esto es la serie particionada de ecuaciones matriciales, escrita expl´ıcitamente para los desplazamientos activos). En este ejemplo, F1 , F2 , F3 , y F4 son las componentes de las fuerzas de reacci´ on de apoyo en los nodos restringidos 1 y 2, mientras F5 y F6 son las componentes globales de fuerza externa aplicada en el nodo 3. Dadas las componentes de fuerza externa aplicada a la estructura, las dos u ´ltimas relaciones del sistema de Ecuaciones (3.36) pueden resolverse expl´ıcitamente para los desplazamientos U5 y U6 . Los valores obtenidos para estos dos desplazamientos se sustituyen entonces en las ecuaciones de restricci´on (las primeras cuatro de las Ecuaciones (3.36)) y las componentes de fuerza de reacci´on en los apoyos pueden ser calculadas. Un procedimiento m´ as general de aplicaci´on de condiciones de borde y evaluaci´on de reacciones de apoyo es como sigue. Suponiendo que el sub´ındice r denote a los desplazamientos restringidos y el sub´ındice a denote a los desplazamientos no–restringidos (activos), el sistema de ecuaciones puede
3.6. DEFORMACIONES Y TENSIONES DE ELEMENTO
particionarse (v´ease el Ap´endice A) para obtener [Krr ] [Kra ] {Ur } {Fr } = [Kar ] [Kaa ] {Ua } {Fa }
65
(3.37)
donde los valores de los desplazamientos restringidos {Ur } son conocidos (pero no necesariamente nulos), como son las fuerzas externas aplicadas {Fa }. As´ı, las inc´ognitas o desplazamientos activos, se obtienen mediante la ecuaci´ on inferior resultante de la partici´on como [Kar ]{Ur } + [Kaa ]{Ua } = {Fa } −1
{Ua } = [Kaa ]
( {Fa } − [Kar ]{Ur } )
(3.38a) (3.38b)
donde hemos asumido que los desplazamientos especificados {Ur } no son necesariamente cero, aunque ´este normalmente es el caso en una estructura tipo cercha. (De nuevo, notemos que, para la eficacia num´erica se aplican otros m´etodos distintos a la inversi´on matricial para obtener las soluciones formalmente representadas por la Ecuaci´ on (3.38b) para los desplazamientos inc´ognita). Dada la soluci´on para los desplazamientos activos, las reacciones se obtienen de la partici´on superior de la Ecuaci´on (3.37) como {Fr } = [Krr ]{Ur } + [Kra ]{Ua } (3.39) donde [Kra ] = [Kar ]T por la propiedad de simetr´ıa de la matriz de rigidez global estructural.
3.6.
Deformaciones y tensiones de elemento
El paso computacional final en el an´alisis de elemento finito de una estructura cercha es utilizar los desplazamientos globales obtenidos en el paso de la soluci´on para determinar la deformaci´on y la tensi´ on interna en cada elemento de la cercha. Para un elemento que une los nodos i y j, los desplazamientos nodales referidos al sistema local coordenado o propio del mismo elemento vienen dados por la Ecuaci´ on (3.19) como u1(e) = U1(e) cos θ + U2(e) sin θ u
(e) 2
(e) 3
=U
(e) 4
cos θ + U
sin θ
(3.40a) (3.40b)
y la deformaci´ on axial unitaria (utilizando la Ecuaci´on (2.27), la discretizaci´on, y las funciones de interpolaci´ on expresadas mediante la Ecuaci´on(2.23)) es entonces u1(e) d du(e) (x) (e) N1 (x) N2 (x) = = u2(e) dx dx x x i u1(e) d h 1 − (e) = (3.41) L L(e) u2(e) dx (e) u(e) − u(e) u1 −1 1 = = 2 (e) 1 (e) (e) (e) u2 L L L donde L(e) es la longitud del elemento, y los valores u(e) y u(e) pueden valorarse usando la relaci´on de 1 2 (e) (e) (e) transformaci´ on de desplazamientos {u } = [ R ]{U }, que simplemente es la ecuaci´on sint´etica que representa a las Ecuaciones (3.40). La diferencia de desplazamientos locales de extremo de elemento, es decir la deformaci´ on axial del mismo, se obtiene a partir de ´estas relaciones; que escrita en forma matricial resulta ser (e) U 1(e) U2 u(e) − u(e) = δ (e) = − cos θ − sin θ cos θ sin θ (e) 2 1 U 3(e) U4
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
66
Reemplazando esta u ´ltima relaci´ on en la Ecuaci´on 3.41, adoptando la notaci´on resumida para las funciones trigonom´etricas, se obtiene finalmente (e) U1 U2(e) 1 (e) = (e) −cθ −sθ cθ sθ (3.42) U3(e) L (e) U4 La tensi´on normal axial interna luego puede ser hallada apelando a la aplicaci´on de la ley de Hooke σ (e) = E (e) (e)
(3.43)
donde E (e) es el m´ odulo de elasticidad de elemento. Ahora, considerando la u ´ltima ecuaci´on, la tensi´on normal axial al interior del elemento en cualquier posici´on o secci´on de corte hipot´etica, en forma desarrollada resulta tener el aspecto aqu´ı mostrado (e) U1 U2(e) E (e) (e) (3.44) σ = (e) −cθ −sθ cθ sθ U3(e) L (e) U4 Del modo en el cual el elemento barra fu´e formulado aqu´ı, un valor de tensi´on axial positivo indica que el elemento est´ a en tracci´ on y un valor negativo indica compresi´on, por la convenci´on usual adoptada para las tensiones normales. Un aspecto interesante de tener en cuenta es que el valor de tensi´on normal al interior del elemento es de valor constante, por los t´erminos en la ecuaci´on que la definen. N´ otese adem´ as que el c´ alculo de tensi´on normal interna indicado en la Ecuaci´on (3.44) debe ser realizado en una base elemento–por–elemento. Si se desea, las fuerzas del elemento pueden ser obtenidas mediante la Ecuaci´ on (3.21), para poder efectuar una prueba de verificaci´on del c´alculo num´erico efectuado ya que para los coeficientes de este vector debe cumplirse la condici´on b´asica de equilibrio est´atico f1(e) = −f2(e) . Ejemplo 3.2. La cercha de dos–elementos mostrada en la Figura 3.6 est´a sujeta a las cargas externas indicadas. Usando la misma numeraci´ on para nodos y elementos como se aprecia en la Figura 3.2, determine las componentes del desplazamiento del nodo 3, las componentes de las fuerzas de reacci´on en los nodos 1 y 2, y los desplazamientos locales de elemento, tensiones internas, y fuerzas nodales locales. Los elementos tienen m´ odulo de elasticidad E1 = E2 = 107 lb/pulg2 y las ´areas de sus secciones transversales son A1 = A2 = 1,5 pulg2 . > Soluci´ on Las coordenadas nodales son tales que √ las orientaciones espaciales resultan θ1 = π/4 y θ2 = 0, y las longitudes de elemento son L1 = 404 + 4062 ≈ 56,57 pulg, L2 = 40 pulg. La rigidez de resorte equivalente para cada barra en este caso resulta ser A1 E1 1,5×107 = = 2,65×105 lb/pulg L1 56,57 A2 E2 1,5×107 k2 = = = 3,75×105 lb/pulg L2 40 k1 =
Como los ´angulos de orientaci´ on de elemento y la numeraci´on esquem´atica adoptada son iguales que en el Ejemplo 3.1, podemos usar el resultado de ese ejemplo para escribir la matriz de rigidez global
3.6. DEFORMACIONES Y TENSIONES DE ELEMENTO
300 lb
( 0, 40 )
2
2
67
( 40, 40 )
3
500 lb
1 ( X, Y ) [ pulg ]
1 ( 0, 0 )
Figura 3.6: Cercha de dos–elementos y solicitaci´on como
1,325 1,325 0 0 −1,325 −1,325 1,325 1,325 0 0 −1,325 −1,325 0 0 3,750 0 −3,75 0 ×105 lb/pulg [K ] = 0 0 0 0 0 0 −1,325 −1,325 −3,75 0 5,075 1,325 −1,325 −1,325 0 0 1,325 1,325
Incorporando las restricciones de desplazamiento U1 = U2 = U3 = U4 = 0 y la solicitaci´on nodal aplicada a la estructura, las ecuaciones globales de equilibrio resultan ser 1,325 1,325 0 0 −1,325 −1,325 F1 0 0 0 −1,325 −1,325 1,325 1,325 F2 0 0 0 3,75 0 −3,75 0 0 F 5 3 10 = F4 0 0 0 0 0 0 0 −1,325 −1,325 −3,75 0 5,075 1,325 U 500 5 300 U 6 −1,325 −1,325 0 0 1,325 1,325 en las que las l´ıneas divisorias al interior de los arreglos matriciales representan el proceso de particionamiento realizado, con el mismo esquema de la Ecuaci´on (3.37). De aqu´ı, los desplazamientos activos estan gobernados por la ecuaci´ on U5 500 5 5,075 1,325 10 = 1,325 1,325 U6 300 La soluci´ on simult´ anea de ambas ecuaciones proporciona los siguientes valores para las componentes de desplazamiento del nodo 3 U5 = 5,333×10−4 pulg
U6 = 1,731×10−3 pulg
Como todos los desplazamientos restringidos tienen valor nulo, de la misma ecuaci´on gobernante del comportamiento del sistema, mostrada en forma particionada, se puede obtener la siguiente ecuaci´on para el c´ alculo de las fuerzas de reacci´on de apoyo F1 −1,325 −1,325 −300 F2 −300 5 −1,325 −1,325 0,5333 −3 = 10 10 = lb F3 −3,75 0 1,731 −200 F4 0 0 0
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
68
Podemos notar que una vez calculadas las reacciones de apoyo, es posible efectuar una verificaci´on de las condiciones de equilibrio est´ atico completo de la estructura. Si usted realiza el c´alculo, podr´a comprobar que la suma de fuerzas seg´ un las direcciones globales X e Y son simult´aneamente nulas y la suma de momentos respecto al eje global Z es id´enticamente cero. Para el elemento 1, los desplazamientos nodales locales, o sea referidos al sistema coordenado propio del mismo elemento, pueden calcularse aplicando la ecuaci´on de transformaci´on de desplazamientos, {u(e) } = [ R(e) ]{U (e) }, lo que d´ a como resultado U1 √ 0 (1) 2 1 1 0 0 u1 U2 0 0 (1) −3 = [ R ] = 10 = 10−3 pulg u(1) 0 0 1 1 U 0,5333 1,6 2 5 2 U6 1,731 La tensi´on normal axial interna de elemento puede calcularse ahora usando la Ecuaci´on (3.44), que aplicada al elemento 1 d´ a como resultado U1 U2 E (1) (1) σ = (1) −cθ1 −sθ1 cθ1 sθ1 U5 L U6 0 √ 0 −3 2 107 2 −1 −1 1 1 10 = 283,03 lb/pulg = 0,5333 56,57 2 1,731 donde el signo positivo de esta tensi´ on normal interna nos indica que el elemento est´a en estado de solicitaci´on de tracci´ on. Las fuerzas nodales locales de elemento, es decir aquellas fuerzas que act´ uan con direcci´on axial en los puntos extremos del elemento, se calculan aplicando la Ecuaci´on (3.17). Para el elemento 1 tendr´ıamos (1) f1 1 −1 u(1) 1 −1 0 −424 5 −3 1 = k = 2,65 × 10 10 = lb 1 f2(1) −1 1 u(1) −1 1 1,6 424 2 y los signos algebr´ aicos de la soluci´ on obtenida para las fuerzas nodales axiales de elemento tambi´en indican solicitaci´ on de tracci´ on. Para el elemento 2, la misma secuencia de procedimiento proporciona U3 0 (2) 0 0 u1 U4 1 0 0 0 (2) −3 10 = 10−4 pulg = [R ] = u(2) U5 0 0 1 0 0,5333 0,5333 2 1,731 U6
σ (2) =
=
(2) f1 1 = k2 f2(2) −1
U3 U4 E (2) −cθ −sθ cθ sθ 2 2 2 2 L(2) U5 U6 0 0 −3 107 2 −1 0 1 0 10 = 133,32 lb/pulg 0,5333 40 1,731 −1 u(2) 1 −1 0 −200 5 −3 1 lb = 3,75×10 10 = 1 u(2) −1 1 0,5333 200 2
que tambi´en indican que este elemento est´ a sometido a tracci´on.
>
3.7. UN EJEMPLO COMPLETO
69
6000 lb 40 pulg
U4
40 pulg
3
2
4000 lb 40 pulg
U8
6
8
U6 1
2000 lb
U11
4
2
U2
2000 lb
U12
6
U7
U3
Y
7
4
1
U1
(a) Dimensiones y solicitaci´ on
U10
5 3
U5
5
U9
X
(b) Etiquetado estructural
Figura 3.7: Cercha bi–dimensional en voladizo Se piensa que el m´etodo finito es un procedimiento de prop´osito general para analizar problemas en los cuales la soluci´ on general no es conocida; sin embargo, es informativo en los ejemplos de este cap´ıtulo (desde que el elemento barra posee una formulaci´on exacta) verificar las soluciones en t´erminos de la tensi´ on axial simplemente calculada como σ = F/A para un miembro axialmente cargado. Se invita al lector a calcular la tensi´ on axial por la f´ormula simple de tensi´on normal para cada uno de los ejemplos a fin de verificar que las soluciones basadas en el m´etodo de elemento finito son completamente correctas.
3.7.
Un ejemplo completo
En esta secci´ on mostraremos el conjunto de conceptos elaborados hasta aqu´ı a trav´es de un ejemplo que consideramos completo, el cual mostrar´a los detalles de los pasos de aplicaci´on del m´etodo de elemento finito en el an´ alisis de una estructura plana compuesta de barras rectil´ıneas interconectadas mediante juntas articuladas por sus extremos (estructura cercha bi–dimensional), la cual es solicitada en su propio plano. Ejemplo 3.3. Como un ejemplo completo de una estructura tipo cercha bi–dimensional, la estructura mostrada en la Figura 3.7(a) es analizada para obtener desplazamientos, fuerzas de reacci´on, deformaciones unitarias y tensiones internas. Considere que el ´area de secci´on transversal de todos los elementos es A = 1,5 pulg, y que el material de todos ellos es el mismo con m´odulo de elasticidad E = 107 psi (lb/pulg2 ). > Soluci´ on Aunque no incluimos los detalles de c´alculo num´erico, el ejemplo ilustra los pasos requeridos, en secuencia, para un an´ alisis de elemento finito. Paso 1. Especificar el sistema global coordenado, asignar n´ umeros a los nodos, especificar los elementos, establecer la conectividad de los diversos elementos, y definir las componentes de desplazamientos nodales globales, como se muestra en la Figura 3.7(b). Paso 2. Calcular los valores del coeficiente de rigidez de resorte equivalente k = E A/L para todos los elementos k (1) = k (3) = k (4) = k (5) = k (7) = k (8) = k (1) = k (3) =
1,5(107 ) = 3,75×105 lb/pulg. 40
1,5(107 ) √ = 2,65×105 lb/pulg. 40 2
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
70
Paso 3. Transformar las matrices de rigidez locales de elemento hacia el sistema global coordenado. Utilizando la Ecuaci´ on (3.25) con los valores de los siguientes ´angulos de orientaci´on espacial θ1 = θ3 = θ5 = θ7 = 0
θ4 = θ8 = π/2
θ2 = π/4
tenemos
θ6 = 3π/4
1 0 0 (1) (3) (5) (7) 5 0 [ K ] = [ K ] = [ K ] = [ K ] = 3,75×10 −1 0 0 0 0 0 0 0 2,65×105 1 0 −1 (4) (8) 5 0 [ K ] = [ K ] = 3,75×10 [ K (2) ] = 0 0 0 0 2 0 −1 0 1 1 −1 −1 1 2,65×105 1 −1 −1 1 [ K (6 ] = −1 1 1 −1 2 1 −1 −1 1
−1 0 1 0 1 1 −1 −1
0 0 0 0 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1
Paso 4a. Construir la tabla de correspondencia de desplazamientos locales – hacia – globales. Con referencia a la Figura 3.7(b), las relaciones de desplazamientos y conectividad se muestran en la Tabla 3.3 Tabla 3.3: Conectividad y relaci´on de desplazamientos nodales Desp. Glob.
Desp. Elem. 1
Desp. Elem. 2
Desp. Elem. 3
Desp. Elem. 4
Desp. Elem. 5
Desp. Elem. 6
Desp. Elem. 7
Desp. Elem. 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0 3 4 0 0 0 0
0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 0 3 4 0 0
0 0 0 0 0 0 3 4 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4
Paso 4b. Alternativa y m´ as eficazmente, formamos la tabla de conectividad de nodos de elemento (Tabla 3.4), y los correspondientes vectores de ubicaci´on de desplazamientos globales de elemento para cada miembro componente de la estructura, lo cual es mostrado en la serie siguiente {D(1) } = 1 2 5 6 {D(2) } = 1 2 7 8 {D(3) } = 3 4 7 8 {D(4) } = 5 6 7 8 {D(5) } = 5 6 9 10 {D(6) } = 9 10 7 8 {D(7) } = 7
8
11
12
{D(8) } = 9
10
11
12
3.7. UN EJEMPLO COMPLETO
71
Tabla 3.4: Conectividad nodal en elementos Nodo Elem.
i
j
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 3 5 4 5
3 4 4 4 5 4 6 6
Paso 5. Ensamblar la matriz de rigidez global ya sea por el Paso 4a o aplicando el Paso 4b. Los coeficientes de la matriz de rigidez global estructural son: (1)
(2)
(1)
(2)
K11 =k11 +k11 =(3,75+2,65/2)105
K12 =k12 +k12 =(0+2,65/2)105
K13 =K14 =0
K15 =k13 =−3,75(105 )
(1)
(1)
(2)
K16 =k14 =0
K17 =k13 =−(2,65/2)105
(2) K18 =k14 =−(2,65/2)105
K19 =K1,10 =K1,11 =K1,12 =0
(2) (1) K22 =k22 +k22 =0+(2,65/2)105
K23 =K24 =0
(1) K25 =k23 =0
K26 =k24 =0
(1)
(2)
(2)
K27 =k23 =−(2,65/2)105
K28 =k24 =−(2,65/2)105
K29 =K2,10 =K2,11 =K2,12 =0
(1) K33 =k33 =(3,75/2)105
(3)
K34 =k12 =0
K35 =K36 =0
(3) K37 =k13 =−3,75(105 )
K38 =k14 =0
K39 =K3,10 =K3,11 =K3,12 =0
K44 =k22 =0
K45 =K46 =0
K47 =k23 =0
(3)
(3) (3)
(3)
K48 =k24 =0
K49 =K4,10 =K4,11 =K4,12 =0
(5) (4) (1) K55 =k33 +k11 +k11 =(3,75+0+3,75)105
K56 =k34 +k12 +k12 =0
(4) K57 =k13 =0
(4) K58 =k14 =0
(5)
(2)
(4)
(5)
K66 =k44 +k22 +k22 =(0+3,75+0)105
(4)
(4)
K68 =k24 =−3,75(105 )
K67 =k23 =0 (5) K69 =k23 =0
(5) K6,10 =k24 =0 (3)
(4)
(6)
(7)
K77 =k33 +k33 +k33 +k33 +k11
=(2,65/2+3,75+0+2,65/2+3,75)105 K6,11 =K6,12 =0 (6) K7,10 =k23 =(2,65/2)105 (7)
K7,12 =k14 =0 (6)
K89 =k14 =(2,65/2)105 (6)
(5)
K5,10 =k14 =0
K5,11 =K5,12 =0
K8,10 =k24 =−(2,65/2)105 (7) K8,12 =k24 =0
(4)
(5)
K59 =k13 =−3,75(1−5 )
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
K78 =k34 +k34 +k34 +k34 +k12
=(2,65/2+0+0−2,65/2+0)105 (6)
K79 =k13 =−(2,65/2)105 (7) K7,11 =k13 =(−3,75(105 ) (2)
(3)
(4)
(6)
(7)
K88 =k44 +k44 +k44 +k44 +k22
=(2,65/2+0+3,75+2,65/2+0)105 (7)
K8,11 =k23 =0 (5) (6) (8) K99 =k33 +k11 +k11 =(3,75+2,65/2+0)105
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
72 (5)
(6)
(8)
K9,10 =k34 +k12 +k12 =(0−2,65/2+0)105
(8)
K9,11 =k13 =0 (5)
(6)
(8)
(8)
K10,10 =k44 +k22 +k22 =(0+2,65/2+3,75)105
K10,11 =k23 =0
(8)
K10,12 =k24 =−(3,75)105
(8) (7) K11,11 =k33 +k33 =(3,75+0)105
(8) (7) K11,12 =k34 +k34 =0+0=0
K9,12 =k14 =0
(7)
(8)
(8)
K12,12 =k44 +k44 =(0+3,75)105
Paso 6. Aplicar las restricciones como son dictadas por las condiciones de borde. En este ejemplo, los nodos 1 y 2 est´ an conectados a apoyos articulados fijos, de modo que las restricciones de desplazamiento en estos puntos se traducen como U1 = U2 = U3 = U4 = 0 Por tanto, las primeras cuatro ecuaciones en la ecuaci´on matricial gobernante pueden desecharse. Esto u ´ltimo es equivalente a eliminar las cuatro primeras filas y las cuatro primeras columnas de la matrix 12×12 de coeficientes del sistema [ K ]{U } = {F } la eliminaci´ on de cierto n´ umero de ecuaciones es posible en este caso, por la consideraci´on que en este ejemplo particular los desplazamientos restringidos son todos nulos. Si es que no lo fueran, las restricciones son consideradas como en la Ecuaciones (3.38b) y (3.39), en cuyo caso las restriciones no–nulas imponen fuerzas adicionales sobre los desplazamientos no–restringidos. Las fuerzas restringidas (reacciones de apoyo) no pueden ser obtenidas hasta que los desplazamientos activos no hayan sido calculados. Pero, en el problema que estamos analizando si podemos efectuar la reducci´ on del problema por imposici´on de las condiciones de borde en los apoyos. Efectuando la eliminaci´ on que fu´e mencionada anteriormente, las ecuaciones globales que gobiernan el comportamiento resultan 0 U5 −2000 U6 0 U 7 0 U8 [ Kaa ] = 2000 U9 0 U10 4000 U11 6000 U12 como relaciones que describen el comportamiento del sistema estructural reducido solamente a los desplazamientos activos. Paso 7. Resolver las ecuaciones que corresponden a los desplazamientos no–restringidos. Para el ejemplo actual, las ecuaciones se resuelven usando un programa de hoja de c´alculo, invirtiendo la (relativamente peque˜ na) matriz global de rigidez para obtener U5 0,02133 U6 0,04085 U −0,01600 7 U8 0,04619 = pulg U9 0,04267 U10 0,15014 U11 −0,00533 U12 0,16614 Paso 8. Aplicar un proceso de substituci´ on – regresiva de los datos soluci´on de los desplazamientos para poder calcular las fuerzas de reacci´on de apoyo. Utilizando la Ecuaci´on (3.39), con la condici´on
3.7. UN EJEMPLO COMPLETO
73
{Ur } = {0}, usamos las cuatro ecuaciones previamente ignoradas para evaluar las componentes de fuerza actuantes en los nodos 1 y 2 (conectados a los apoyos de la estructura). Las ecuaciones de restricci´ on son de la forma Ki5 U5 + Ki6 U6 + · · · + Ki12 U12 = Fi
i = 1; 4
y, substituyendo los valores de desplazamiento previamente hallados, se obtiene como soluci´on para las fuerzas de reacci´ on de apoyo F1 −12000 F2 −4000 = lb F3 6000 F4 0 Se deja a la inquietud del lector la utilizaci´on de ´estas componentes de fuerzas de reacci´on para efectuar una verificaci´ on del equilibrio est´atico global de la estructura. Paso 9. Calcular la deformaci´ on y la tensi´on en cada elemento. La tarea mayor de evaluaci´on de valores efectuada en el Paso 7 proporciona las componentes de desplazamiento de cada nodo en el sistema coordenado global. Con esta informaci´on y los desplazamientos restringidos conocidos, los desplazamientos de cada uno de los elementos en su propio sistema de coordenadas puede obtenerse (aplicando las ecuaciones de transformaci´on de desplazamientos); de aqu´ı, la deformaci´on y la tensi´ on normal interna en cada elemento puede calcularse. Por ejemplo, para el elemento 2 tenemos u(2) = U1 cos θ2 + U2 sin θ2 = 0 1
√ u(2) = U7 cos θ2 + U8 sin θ2 = (−0,01600 + 0,04618) 2/2 2 = 0,02134 pulg
La deformaci´ on axial unitaria en el elemento 2 es entonces (2) =
0,02134 u(2) − u(2) 2 1 √ = 3,771×10−4 = L(2) 40 2
y la correspondiente tensi´ on normal axial es σ (2) = E (2) (2) = 107 ×3,771×10−4 = 3771 psi S´olo se presentan los resultados para elemento 2 como un ejemplo. En cualquier software de elemento finito, los resultados para cada elemento est´an disponibles y pueden ser examinados por el del programa, como ´el desee (´esto es parte del post–procesamiento). Se muestran resultados para cada uno de los ocho elementos en la Tabla 3.5; y por la convenci´on usual de signos para tensiones, los valores positivos indican tensi´on de tracci´on mientras los valores negativos corresponden a tensi´ on de compresi´on. Para obtener los resultados presentados para este ejemplo, nosotros usamos el programa de hoja de c´alculo MathCad para invertir la matriz de rigidez y poder calcular los desplazamientos activos en un proceso semi–manual; tambi´en utilizamos un paquete de software de elemento finito muy popular (Abaqus), y comprobamos que las soluciones resultantes de cada procedimiento fueron id´enticas. > El ejemplo que resolvimos muestra los pasos de procedimiento secuenciales a ser aplicados para analizar una estructura cercha plana. Este procedimiento es general y puede aplicarse en el mismo orden con el que aqu´ı fu´e aplicado. Seguramente usted percibir´a que existe ligera diferencia en el procedimiento cuando se utilice un programa computacional para resolver ´este problema. Sin embargo, el tener conocimiento de las operaciones necesarias para hallar variables de inicio desconocidas es lo que vale en la soluci´ on manual que presentamos en este ejemplo.
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
74
Tabla 3.5: Deformaci´on y tensi´on en elementos Elem. (e)
(e) ×10−4
σ (e) [psi]
1 2 3 4 5 6 7 8
5,33 3,77 -4,0 1,33 5,33 -5,67 2,67 4,00
5333 3771 -4000 1333 5333 -5657 2667 4000
U3j-1 U3j
U3i-1
Y
U3i
j
U3j-2
y x
i
z
Z
(e)
U3i-2
X
Figura 3.8: Elemento barra en un sistema global coordenado 3–D
3.8.
Cerchas tri–dimensionales
Las cerchas tridimensionales (3–D) tambi´en pueden modelarse usando el elemento barra, previniendo que las conexiones entre los elementos son tales que s´olo se transmite carga axial. Estrictamente hablando, esto requiere que todas las conexiones sean juntas de r´ otula esf´erica. Incluso cuando la restricci´on de conexi´ on no se satisface precisamente, el an´alisis de una cercha 3–D usando elementos barra es a menudo de mucho valor porque permite obtener estimaciones preliminares de las tensiones en los componentes de la estructura, que en el contexto del dise˜ no mec´anico es valioso en la determinaci´on de las propiedades estructurales requeridas. Refiri´endonos a la Figura 3.8 que muestra un elemento barra uni–dimensional conectado a los nodos i y j en un marco de referencia global tri– dimensional, el vector unitario a lo largo del eje del elemento (es decir, el eje de referencia del mismo) expresado en el sistema global es
o bien
ˆ (e) = 1 [ (Xj − Xi )ˆI + (Yj − Yi )ˆJ + (Zi )K ˆ] λ L
(3.45)
ˆ (e) = cos θXˆI + cos θY ˆJ + cos θZ K ˆ λ
(3.45a)
3.8. CERCHAS TRI–DIMENSIONALES
75
As´ı, los desplazamientos del elemento se expresan en componentes en el sistema global coordenado 3–D como u(e) = U1(e) cos θx + U2(e) cos θy + U3(e) cos θz 1 u
(e) 2
(e) 4
=U
(e) 5
cos θx + U
(e) 6
cos θy + U
cos θz
(3.46a) (3.46b)
Aqu´ı, usamos la anotaci´ on que los desplazamientos 1 y 4 de elemento est´an en la direcci´on X global, los desplazamientos 2 y 5 se producen seg´ un la direcci´on Y global, y los desplazamientos de elemento 3 y 6 est´ an en la direcci´ on Z global. En analog´ıa con la Ecuaci´ on (3.19), las Ecuaciones (3.46) pueden ser expresadas matricialmente como (e) U1 (e) U 2 (e) (e) cos θx cos θy cos θz 0 0 0 u1 U3 = (3.47) u(e) 0 0 0 cos θx cos θy cos θz U4(e) 2 U (e) 5(e) U6 o en forma resumida,
u(e) = [ R(e) ]{U (e) }
(3.47a)
(e)
donde [ R ] es la matriz de transformaci´on de desplazamientos, que mapea los desplazamientos de direcci´on axial uni–dimensional de los nodos extremos del elemento hacia el sistema coordenado global tri–dimensional. Siguiendo un procedimiento id´entico al usado para el caso bi–dimensional en la Secci´on 3.3, la matriz de rigidez de elemento en el sistema de coordenadadas locales (propio del elemento) se transforma hacia las coordenadas globales 3–D mediante [ K (e) ] = [ R(e) ]T [ k (e) ][ R(e) ]
(3.48)
−1
1 donde [ k (e) ] = ke −1 , ke = ELA , es la matriz de rigidez local de elemento. Sustituyendo la 1 matriz de transformaci´ on de desplazamientos de elemento como tambi´en la matriz de rigidez local en la ecuaci´ on anterior, y realizando las multiplicaciones requeridas, se demuestra que se obtiene como resultado 2 cx cy cx cz cx [ Θ ] −[ Θ ] cy cz c2y [ K (e) ] = ke (3.49) donde [ Θ ] = cy cx −[ Θ ] [ Θ ] cz cx cz cy c2z
As´ı como en la matriz de rigidez bi–dimensional, la notaci´on resumida adoptada para este caso es cx ≡ cos θx
cy ≡ cos θy
cz ≡ cos θz
(3.49a)
El ensamble de la matriz de rigidez global (es decir, las ecuaciones de equilibrio est´atico), es id´entico al procedimiento discutido para el caso bidimensional con la obvia excepci´on que ser´an considerados tres desplazamientos para cada nodo. Ejemplo 3.4. La cercha de tres–miembos mostrada en la Figura 3.9(a) es conectada por juntas de r´otula y abrazadera esf´ericas, estando fijos los nodos 1, 2, y 3. Una fuerza de 5000 lb est´a aplicada en el nodo 4 en la direcci´on Y negativa, como es mostrado. Cada uno de los tres es id´entico y exhibe caracter´ıstica de una rigidez axial de 3×105 lb/pulg. Calcular las componentes del desplazamiento del nodo 4 usando un modelo de elemento finito con elementos barra como fu´e descrito. > Soluci´ on Primero, debemos notar que la cercha 3–D con cuatro nodos tiene 12 posibles desplazamientos. Sin
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
76
U5
(0, 0, -30) 2
Y
X
Z
2
X
U2
U11 1 4
U3
(0, 0, 30) (0, -30, 0)
2
Z
4
(40, 0, 0) 1
U4
U6
Y
5000 lb
1
U12
U1 U8
3 (x, y, z) [pulg]
U9
(a) Disposici´ on geom´ etrica
3
U10
3
U7
(b) Codificaci´ on estructural
Figura 3.9: Cercha tri–dimensional con solicitaci´on aplicada embargo, desde que los nodos 1, 2, y 3 son fijos, se conocen nueve de los posibles desplazamientos los que tienen valor nulo. Por consiguiente, necesitamos ensamblar s´olo una porci´on de la matriz de rigidez del sistema para resolver el problema y hallar los tres desplazamientos desconocidos. Utilizando el esquema de numeraci´ on mostrado en Figura 3.9(b) y la tabla de correspondencia de desplazamientos locales–hacia–globales (Tabla 3.6), necesitamos s´olo considerar las ecuaciones K10,10 K10,11 K10,12 U10 0 K11,10 K11,11 K11,12 U11 = −5000 K12,10 K12,11 K12,12 U12 0
Tabla 3.6: Correspondencia de desplazamientos nodales Desp. Glob.
Desp. Elem. 1
Desp. Elem. 2
Desp. Elem. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 0 0 0 0 0 0 4 5 6
0 0 0 1 2 3 0 0 0 4 5 6
0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Antes de ensamblar los coeficientes requeridos en la matriz de rigidez del sistema, debemos transformar las matrices locales de rigidez individuales hacia el sistema de coordenadas globales como sigue. Elemento 1.
ˆ (1) = 1 [ (40 − 0)ˆI + (0 − 0)ˆJ + (0 − 30)K ˆ ] = 0,8ˆI − 0,6K ˆ λ 50
3.8. CERCHAS TRI–DIMENSIONALES
77
aplicando la Ecuaci´ on (3.45); y por tanto ci´on (3.49) resulta 0,64 0 (1) 5 −0,48 [ K ] = 3×10 −0,64 0 0,48
cx = 0,8, cy = 0, y cz = −0,6. Ahora, aplicando la Ecua-
Elemento 2.
Elemento 3.
0 −0,48 −0,64 0 0,48 0 0 0 0 0 0 0,36 0,48 0 −0,36 lb/pulg 0 0,48 0,64 0 −0,48 0 0 0 0 0 0 −0,36 −0,48 0 0,36
ˆ (2) = 1 [ (40 − 0)ˆI + (0 − 0)ˆJ + (0 − (−30))K ˆ ] = 0,8ˆI + 0,6K ˆ λ 50 0,64 0 0,48 −0,64 0 −0,48 0 0 0 0 0 0 0,48 0 0,36 −0,48 0 −0,36 (2) 5 lb/pulg [ K ] = 3×10 −0,64 0 −0,48 0,64 0 0,48 0 0 0 0 0 0 −0,48 0 −0,36 0,48 0 0,36 ˆ (3) = 1 [ (40 − 0)ˆI + (0 − (−30))ˆJ + (0 − 0)K ˆ ] = 0,8ˆI + 0,6ˆJ λ 50 0,64 0,48 0 −0,64 −0,48 0 0,48 0,36 0 −0,48 −0,36 0 0 0 0 0 0 0 (3) 5 lb/pulg [ K ] = 3×10 0,48 0 −0,64 −0,48 0 0,64 −0,48 −0,36 0 0,48 0,36 0 0 0 0 0 0 0
Refiri´endonos a las u ´ltimas tres filas de la tabla de correspondencia de desplazamientos, los coeficientes requeridos de la matriz de rigidez global se ensamblan como sigue (1) (2) (3) K10,10 = k44 + k44 + k44 = 3×105 (0,64 + 0,64 + 0,64) = 5,76×105 lb/pulg (1) (2) (3) K10,11 = K11,10 = k45 + k45 + k45 = 3×105 (0 + 0 + 0,48) = 1,44×105 lb/pulg (1) (2) (3) K10,12 = K12,10 = k46 + k46 + k46 = 3×105 (−0,48 + 0,48 + 0) = 0 lb/pulg (1) (2) (3) K11,11 = k55 + k55 + k55 = 3×105 (0 + 0 + 0,36) = 1,08×105 lb/pulg (1) (2) (3) K11,12 = K12,11 = k56 + k56 + k56 = 3×105 (0 + 0 + 0) = 0 lb/pulg (1) (2) (3) K12,12 = k66 + k66 + k66 = 3×105 (0,36 + 0,36 + 0) = 2,16×105 lb/pulg
El sistema de ecuaciones a ser resuelto para los desplazamientos del nodo 4 es entonces 5,76 1,44 0 U10 0 0 U11 = −5000 105 × 1,44 1,08 0 0 2,16 U12 0 F´acilmente se comprueba que la soluci´on viene dada por U10 = 0,01736 pulg
U11 = −0,06944 pulg
U12 = 0 pulg
>
Aunque el an´ alisis completo no fu´e conducido en el contexto de este ejemplo, las fuerzas de reacci´on, las deformaciones, y las tensiones de elemento ser´ıan determinadas por los mismos procedimientos seguidos en Secci´ on 3.7 para el caso de una cercha bi–dimensional. Debe se˜ nalarse que los procedimientos
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
78
requeridos para obtener los resultados de los elementos individuales son prontamente obtenidos por las operaciones matriciales descritas previamente. Una vez que los desplazamientos globales activos han sido calculados, las restantes variables secundarias (as´ı llamadas) como la deformaci´on, la tensi´on interna, y las fuerzas axiales de elemento, se pueden calcular f´acilmente usando las matrices y funciones de interpolaci´ on de desplazamiento desarrolladas en la formulaci´on del problema original.
3.9.
Resumen
Este cap´ıtulo desarrolla el procedimiento completo para realizar un an´alisis de elemento finito de una estructura y lo ilustra mediante varios ejemplos. Aunque s´olo el elemento axial simple se ha usado, el procedimiento descrito es com´ un al m´etodo de elemento finito para todos los tipos de an´alisis y elementos utilizados en ellos, como se pondr´a en claro en los cap´ıtulos subsecuentes. El m´etodo directo de rigidez es de lejos la t´ecnica m´ as expedita para ensamblar las matrices de sistema requeridas para el an´alisis de elemento finito, y los procedimientos de c´alculo secuencial aqu´ı presentados tambi´en son muy adecuados para generar los algoritmos de programaci´on que efect´ uen la valoraci´on autom´atica de variables de inter´es durante la implementaci´on del m´etodo en una computadora digital.
Problemas propuestos 3.1. En la cercha de dos elementos mostrada en la Figura 3.2; considere los valores siguientes de orientaci´ on espacial: θ1 = 45◦ , θ2 = 15◦ , y de solicitaci´on F5 = 5000 lb, F6 = 3000 lb. a. Usando s´ olamente las ecuaciones de equilibrio est´atico de fuerzas, hallar las fuerzas que act´ uan en cada elemento, como tambi´en las fuerzas de reacci´on de apoyo. b. Asumiendo que cada miembro tiene coeficiente de rigidez axial de resorte equivalente igual a ke = 52000 lb/pulg, hallar la deformaci´on axial en cada miembro. c. Utilizando la soluci´ on obtenida en el inciso b, calcular las componentes de desplazamiento del nodo 3. 3.2. Calcular los desplazamientos X e Y del nodo 3 usando procedimientos de elemento finito y los datos proporcionados en el Problema 3.1. Tambi´en calcular la fuerza en cada elemento. Que grado de exactitud se alcanza en la soluci´on de ´este problema comparado con los resultados obtenidos en el Problema 3.1 anterior. 3.3. Verificar la exactitud de la Ecuaci´ on (3.25), efectuando la multiplicaci´on directa de las matrices involucradas en la relaci´ on que define este arreglo matricial. 3.4. Mostrar que la matriz de rigidez transformada hacia el sistema coordenado global del elemento barra t´ıpico perteneciente a una estructura cercha bi–dimensional, dada por la Ecuaci´on (3.25), es una matriz singular. 3.5. Cada uno de los elementos barra mostrados en la Figura P3.5 tiene secci´on transversal circular s´olida de di´ ametro d = 0,5 pulg. El material de composici´on de estos es acero de bajo contenido de carb´ on, con m´ odulo de elasticidad lineal E = 3×107 psi. Las coordenadas nodales indicadas est´ an dadas referidas a un sistema global coordenado X–Y (en pulg). Determinar la matriz de rigidez global de cada uno de estos elementos.
Problemas propuestos
79
(30, 30)
2
(5, 30)
2
2
(30, 15)
Y 1
1
(0, 0)
(20, 10)
X
1
(a)
(0, 0)
(b)
(c)
Figura P3.5 3.6. Repetir el Problema 3.5 para los elementos barra mostrados en la Figura P3.6. Para estos elementos d = 40 mm, E = 69 GPa, y las coordenadas nodales indicadas est´an en metros. (-0.3, 3)
1
(0, 0)
2
2
(0.4, 0.2) 1
(0.1, 0.1) 1 2
(1, 2)
(0.2, -0.2)
(a)
(b)
(c)
Figura P3.6 3.7. Para cada una de las estructuras mostradas en la Figura P3.7, construir una tabla de correspondencia de desplazamientos locales–hacia–globales, como aquella mostrada en la Tabla (3.1). 3
3
2
5
6
7
5
7
10
9
9
14
13
11
11
18
15
17
21
19
1
12 1
4
2
8
4
6
12
8
16
20
10
(a) 7
4
6 10
6 8 4 3
5
5
9
7
3
6
6
8
12
3 2
5
8 4
2
2
11 13
5
1
10
3 2
7
1
1
(b) 3
1
4
(c)
9
7
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
80
6 9
10
5
8 12
6 3
9 5
2
11
7
17 13
3
1
4
2
1
7
8
4
14
15 10
11 16
(d)
Figura P3.7 2
3
2
1
5
6
7
5
3
1 4
4
(e)
Figura P3.7 3.8. Para cada una de las cerchas de la Figura P3.7, expresar los datos de conectividad para cada elemento en la forma de la Ecuaci´ on (3.32) 3.9. Para cada uno de los elementos mostrados en la Figura P3.9, los desplazamientos globales han sido calculados como U1 = 0,05 in, U2 = 0,02 in, U3 = 0,075 in, U4 = 0,09 in. El ´area transversal de todos los elementos es A = 0,75 pulg2 y el m´odulo de elasticidad es E = 107 lb/pulg2 . Usando ecuaciones de elemento finito calcule: a. b. c. d.
El desplazamiento axial en cada nodo ubicado en sus extremos. La deformaci´ on neta producida en cada elemento. La tensi´ on normal axial interna. Las fuerzas axiales nodales actuantes en los extremos.
Los valores de tensi´ on normal interna calculados, coinciden con el valor simple σ (e) = f (e) /A(e) ?. U4 U4
U3 U3
U4 U3
U2
45 °
U1
U2
30 °
U1
(a)
Figura P3.9
110 ° U2 U1
(b)
(c)
Problemas propuestos
81
3.10. La cercha plana mostrada en la Figura P3.10 est´a sujeta a una carga vertical descendente en el nodo 2. Determine mediante el m´etodo dir´ecto de rigidez la deflexi´on del nodo 2 referido al sistema coordenado global especificado, y la tensi´on axial interna en cada uno de los elementos. Considere que para ambos elementos A = 0,5 pulg y E = 3×106 lb/pulg2 .
Y
X
(0, 0)
(40, 0) 3
1
2
(30, -10) 1500 lb
Figura P3.10 3.11. La cercha plana mostrada en la Figura P3.11 est´a compuesta de que tienen secci´on transversal cuadrada de 15 mm × 15 mm, y m´odulo de elasticidad E = 69 GPa. a. Ensamblar la matriz de rigidez global. b. Calcular los desplazamientos nodales en el sistema coordenado global para las cargas aplicadas mostradas. c. Evaluar la tensi´ on axial interna en cada uno de los elementos. 3 kN
3
5 kN
1.5 m
4
2
1 1.5 m
Figura P3.11 3.12. Repetir el Problema 3.11 asumiendo que los elementos 1 y 4 son removidos. En que porcentaje var´ıan las tensiones internas en los elementos que permanecen soportando la carga aplicada ?. 3.13. La cercha en voladizo mostrada en la Figura P3.13 fu´e constru´ıda para soportar un guinche con sistema de cables (no mostrado) para levantar y descargar materiales de construcci´on en un edificio en construcci´ on. Los componentes de esta cercha son listones de madera pino, con dimensiones de secci´on transversal rectangular de 1.75 pulg × 3.5 pulg; y m´odulo de elasticidad E = 2×106 lb/pulg2 . Usando el m´etodo dir´ecto de rigidez, calcular a. Las componentes de desplazamiento global de todos los nodos no–restringidos. b. Las tensiones axiales internas para todos los componentes de la estructura.
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
82
c. Las fuerzas de reacci´ on de apoyo en todos los nodos restringidos. d. Verificar el cumplimiento de las condiciones de equilibrio est´atico para los elementos as´ı como tambi´en para toda la estructura. 4
5
2 3
5000 lb
Nodo
X
1
0
0
45°
2 3
0
96
X
4
Y
1
5
Y
96
96
96 192
151.4 96 (pulg)
Figura P3.13 3.14. La Figura P3.14 muestra una cercha plana de dos– soportada por un resorte lineal el´astico. Los componentes de la cercha son de secci´on transversal circular s´olida teniendo di´ ametro d = 20 mm y m´ odulo de elasticidad E = 80 GPa. El resorte lineal tiene coeficiente de rigidez constante de k = 5 N/mm. a. Ensamblar la matriz de rigidez global y calcular los desplazamientos globales de los nodos no–restringidos. b. Calcular las fuerzas de reacci´ on de apoyo y verificar las condiciones de equilibrio est´atico para la estructura. c. Verificar el balance de energ´ıa del sistema. Est´a la energ´ıa de deformaci´on interna acumulada balanceada con el trabajo mec´ anico de las fuerzas aplicadas ?.
3m 15 kN 50° 4m
k
Figura P3.14 3.15. Repetir el Problema 3.14 si el resorte es removido, y evaluar la m´axima variaci´on porcentual relativa en las tensiones internas de los elementos componentes de la estructura.
Problemas propuestos
83
3.16. Debido a una conexi´ on de apoyo defectuosa, el nodo 1 en el Problema 3.13 se desplaza horizontalmente 0,5 mm a la izquierda cuando la carga es aplicada. Repita los c´alculos efectuados para esta nueva condici´ on. La soluci´on cambia, o no lo hace ?. Por qu´e razones?. 3.17. Dado el siguiente sistema de ecuaciones tricial 10 −10 −10 20 0 −10 0 0
lineales simult´aneas, representado por la ecuaci´ on ma 0 0 x1 F1 −10 0 x F2 2 = 20 −10 x3 F3 −10 10 x4 F4
y las condiciones especificadas x1 = 0
x3 = 1,5
F2 = 20
F4 = 35
calcular x2 y x2 . Efectuar el intercambio de filas y columnas de modo que x1 y x3 correspondan a las primeras dos filas del sistema y usar el procedimiento de particionamiento matricial, como se indica en la Ecuaci´ on (3.37) para obtener la soluci´on requerida. 3.18. Dado el sistema
50 −50 0 0 U1 30 U2 F2 −50 100 −50 0 = 0 40 U3 −50 75 −25 40 0 0 −25 25 U4
y las condici´ on especificada U2 = 0,5; determinar el valor de todas las inc´ognitas sobrantes aplicando el procedimiento sugerido en el problema anterior. 3.19. Para la cercha mostrada en la Figura P3.19, resolver para los desplazamientos globales en el nodo 3 y las tensiones internas en cada elemento. Los componentes de la estructura tienen ´ area de secci´ on transversal A = 1,0 pulg2 y m´odulo de elasticidad E = 1,5×107 lb/pulg2 . 4 2400 lb
72 pulg
60° 3
1
30°
60°
1800 lb
2
Figura P3.19 3.20. Cada elemento barra mostrado en la Figura P3.20 es parte de una cercha tri–dimensional. Las cooordenadas nodales (en pulg) est´an especificadas en un sistema global coordenado X–Y –Z. Considerando un ´ area de secci´on transversal A = 2 pulg2 y m´odulo de elasticidad E = 3×107 2 lb/pulg para los componentes; calcular la matriz de rigidez global de cada uno de los
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
84
elementos. (50, 40, 30)
1
2
(30, 30, -20)
2
(0, 80, 0)
1
(0, 0, 0)
1
(0, 0, 0)
2
(0, -80, 0)
2
(0, 0, 0) 1
(a)
(10, 10, 0)
(b)
(c)
(d)
Figura P3.20 3.21. Verificar la Ecuaci´ on (3.49) mediante c´alculo dir´ecto del producto matricial indicado. 3.22. Mostrar que la tensi´ on axial interna en un elemento barra de una cercha tri–dimensional es dada por i u(e) E h dN2 (x) 1 1 −1 1 [ R(e) ]{U (e) } = σ = E = E dN (e) dx) dx u2 L notar que esta relaci´ on es la misma que para un elemento barra de una cercha bi–dimensional. 3.23. Determinar las tensiones normales axiales y las fuerzas nodales locales para cada elemento mostrado en la Figura P3.20, asumiendo que el nodo 1 est´a fijo y el nodo 2 tiene como desplazamientos globales U4 = U5 = U6 = 0,06 pulg. 3.24. Utilizar las Ecuaciones (3.46) para expresar la energ´ıa de deformaci´on el´astica acumulada en el interior de un elemento barra en t´erminos de los desplazamientos globales. Aplicar el primer teorema de Castigliano y mostrar que la matriz de rigidez global es id´entica a aquella que est´a determinada por la Ecuaci´ on (3.49). 3.25. Repetir el problema anterior usando el principio de energ´ıa potencial m´ınima. 3.26. Ensamblar la matriz de rigidez global de la cercha tri–dimensional mostrada en la Figura P3.26 y evaluar las componentes de desplazamiento en el nodo 4. Tambi´en, calcular la tensi´on axial interna en cada elemento. Tomar como valores num´ericos para el ´area de secci´on transversal A = 1,5 pulg2 y el m´ odulo de elasticidad E = 107 lb/pulg2 , para todos los elementos.
Y 1
3
2
Z
4 FY=-1500 lb
Nodo X
X
Y
Z
1
0
0
0
2 3
0
0
30
40
0
0
4
30
-20
25 (pulg)
Figura P3.26
Capítulo
4
Elementos de f lexi´ on
Un elemento estructural rectil´ıneo esbelto puede ser cargado seg´ un la direcci´on axial propia del mismo; pero tambi´en puede ser cargado transversalmente a ´esta direcci´on. En tal caso decimos que el elemento est´ a sometido a una solicitaci´on de tipo flexionante, cuyo efecto principal es producir una deformaci´ on que lo convierte en un elemento que adquiere cierto monto de curvatura. Este comportamiento es caracter´ıstico de un elemento estructural al que com´ unmente se lo denomina viga. En este Cap´ıtulo, desarrollaremos la formulaci´on mediante el m´etodo de elemento finito de una viga para establecer sus propiedades de rigidez, el tratamiento de la solicitaci´on aplicada para convertir cualquier carga distribu´ıda en un sistema de cargas concentradas nodales, ya que as´ı lo requiere el modelo matem´ atico de an´ alisis. Este procedimiento ser´a efectuado en base a la utilizaci´on del concepto de equivalencia de trabajo mec´ anico. Finalmente generalizaremos los conceptos elaborados para formular ecuaciones que describan el comportamiento mec´anico del elemento rectil´ıneo general (en tres dimensiones) el cual es miembro componente de las denominadas estructuras reticuladas de elementos lineales.
4.1.
Introducci´ on
Los elementos uni–dimensionales, cargados axialmente discutidos en los Cap´ıtulos 2 y 3 son bastante u ´tiles en el an´ alisis de la respuesta presentada por muchas estructuras simples. Sin embargo, la restricci´ on marcada que estos elementos no son capaces de transmitir efectos flexionantes (debido a momentos actuantes) evitan su uso en modelar estructuras que son m´as comunes de encontrarse, las que tienen juntas de uni´ on soldadas o remachadas entre elementos. En este cap´ıtulo, la teor´ıa elemental de la viga es aplicada para desarrollar un elemento flexionante (viga) que sea capaz de exhibir propiamente efectos de flexi´ on transversal o curvatura durante su deformaci´on. El elemento se presenta primero como una l´ınea (elemento uni–dimensional) capaz de flexionarse en un plano espacial. En el contexto de desarrollar las ecuaciones discretizadas para este elemento, presentamos un procedimiento general para determinar las funciones de interpolaci´on usando una forma polin´omica supuesta para la variable de campo. El desarrollo posteriormente se extiende a la flexi´on en dos–planos y los efectos de 85
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
86
carga axial y torsi´ on se agregan finalmente para lograr plantear un elemento rectil´ıneo de comportamiento de respuesta mec´ anica completamente general, con el que se puede modelar cualquier tipo de estructura espacial conformada con elementos de geometr´ıa rectil´ınea.
4.2.
Teor´ıa elemental de vigas
La Figura 4.1(a) muestra una viga simplemente apoyada sujeta a una carga transversal general q(x), distribuida longitudinalmente, que se asume es expresada en t´erminos de fuerza por unidad de longitud. El sistema de coordenadas utilizado es como se muestra, con el eje x que representa la coordenada axial y el eje y la coordenada transversal. Las hip´otesis usuales de la teor´ıa elemental de vigas son aplicables aqu´ı: 1. La viga es cargada transversalmente, seg´ un la direcci´on y perpendicular a su l´ınea axial (llamada tambi´en eje neutro). 2. Las deflexiones producidas en la viga son muy peque˜ nas en comparaci´on con las dimensiones caracter´ısticas propias de longitud y secci´on transversal. 3. El material de la viga es linealmente el´astico, is´otropo, y homog´eneo. 4. La viga es prism´ atica, y la secci´ on transversal tiene un eje de simetr´ıa en el plano de deformaci´on flexionante. o d
y
+M
q = q(x)
+V
+M
y
x
ds dx
(a) Viga simplemente apoyada
(b) Porci´ on de viga deformada
+V (c) Convenci´ on de signos
Figura 4.1: Estructura viga en solicitaci´on flexionante Las ramificaciones de hip´ otesis del punto 4 son ilustradas en la Figura 4.2 que muestra dos secciones transversales que satisfacen la asunci´ on y una secci´on adicional que no lo hace. Las secciones transversales cuadradas y triangulares son sim´etricas sobre el plano x–y, y s´olo se flexionan en ese mismo plano. Por otro lado, la secci´ on de forma en L no posee ninguna simetr´ıa y su curvatura durante la deformaci´on queda fuera del plano x–y, incluso bajo carga aplicada s´olamente en dicho mismo plano. Con respecto a la figura, la hip´ otesis 2 puede cuantificarse aproximadamente para significar que la deflexi´on m´axima de la viga sea mucho menor que la dimensi´on de menor longitud lineal de su secci´on transversal h. Una regla generalmente aplicable es que la deflexi´on m´axima sea menor que 0,1 h. Considerado una longitud diferencial dx de una viga despu´es de flexionarse como en la Figura 4.1(b) la superficie del fondo o inferior ha aumentado en longitud. De aqu´ı, debe necesariamente existir una “capa” que debe permanecer indeformada durante la deflexi´on de la viga. Asumiendo que esta superficie est´a localizada a una distancia ρ desde el centro de curvatura O y escogiendo esta capa (que recordemos, es conocida como la superficie neutra) para corresponderse a la coordenada y = 0, la longitud despu´es de la deformaci´ on flexionante producida en cualquier posici´on y se expresa como ds = (ρ − y)dθ
(4.1)
4.2. TEOR´IA ELEMENTAL DE VIGAS
87
h
(a) Secci´ on cuadrada
(b) Secci´ on triangular
(c) Secci´ on en L
Figura 4.2: Ejemplos de secci´on transversal de viga
y la deformaci´ on unitaria flexionante es entonces x =
ds − dx (ρ − y)dθ − ρdθ y = =− dx ρdθ ρ
(4.2)
Desde los conceptos b´ asicos de c´ alculo diferencial, el radio de curvatura de una linea curva plana est´a dada por 3/2 dυ 1 + ( )2 dx (4.3) ρ= d2 υ dx2 donde υ = υ(x) representa la curva de deflexi´on de la superficie neutra. Siguiendo la teor´ıa de la desviaci´on peque˜ na, las pendientes de las rectas tangentes a la curva de deformaci´ on son tambi´en peque˜ nas, de modo que la Ecuaci´on (4.3) se aproxima por ρ∼ =
1 d2 υ dx2
(4.4)
luego la deformaci´ on normal en la direcci´on del eje longitudinal como resultado de la flexi´on producida en la viga es d2 υ x = −y 2 (4.5) dx y la tensi´ on normal interna correspondiente es por la ley de Hooke σx = E x = − E y
d2 υ dx2
(4.6)
donde E es el m´ odulo de elasticidad del material de la viga. La Ecuaci´on (4.6) muestra que, en una secci´on transversal dada, la tensi´ on normal var´ıa linealmente con la distancia desde la superficie neutra. Como ninguna fuerza axial neta est´a actuando en la secci´on transversal de la viga, la fuerza resultante de la distribuci´ on de tensiones normales dada por la Ecuaci´on (4.6) debe ser cero. Por consiguiente, en cualquier posici´ on axial x a lo largo de la longitud, tendremos Z Z d2 υ Fx = σx dA = − E y 2 dA = 0 (4.7) A A dx Notando que en una secci´ on transversal arbitraria la curvatura es constante, la Ecuaci´on (4.7) implica que necesariamente debe cumplirse Z y dA = 0 (4.8) A
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
88
lo cual se satisface si el plano x–z (y = 0) pasa a trav´es del centroide del ´area plana. As´ı, obtenemos el resultado muy conocido que la superficie neutra es perpendicular al plano de flexi´on y atraviesa el centroide del ´ area de la secci´ on transversal de la viga. Similarmente, el momento interno de flexi´on en una secci´on transversal debe ser equivalente al momento resultante de la distribuci´ on de tensiones normales, entonces Z Z d2 υ y 2 dA (4.9) M (x) = − y σx dA = E 2 dx A A El t´ermino integral en laR Ecuaci´ on (4.9) representa el momento de inercia de la secci´on transversal alrededor del eje z, Iz = A y 2 dA, de modo que la expresi´on del momento flexionante se vuelve M (x) = E Iz
d2 υ dx2
(4.10)
Combinando las Ecuaciones (4.6) y (4.10), obtenemos la ecuaci´on de tensi´on normal interna para el estado de solicitaci´ on flexionante de la viga: σx = −
M (x) y d2 υ = −yE 2 Iz dx
(4.11)
Notemos que el signo negativo en la Ecuaci´on (4.11) asegura que, cuando la viga se sujeta a un momento flexionante positivo por la convenci´on de signos mostrado en la Figura 4.1(c), se obtienen los valores de tensi´ on correctamente; es decir, compresivo (negativo) y traccionante (positivo), dependiendo del signo del valor y de ubicaci´ on donde se calcula la tensi´on normal.
4.3.
El elemento viga
Usando la teor´ıa de la viga elemental, la viga bi–dimensional o elemento de flexi´ on se desarrolla ahora con la ayuda del primer teorema de Castigliano. Las hip´otesis y restricciones que subyacen debajo del desarrollo son iguales que aquellas de la teor´ıa de viga elemental con la adici´on de 1. El elemento es de longitud L y posee dos nodos, uno en cada extremo. 2. El elemento se conecta a los otros circundantes solamente en los nodos. 3. La carga aplicada sobre el elemento ocurre solo en los nodos Recordando que la premisa b´ asica de la formulaci´on de elemento finito es expresar la variaci´on cont´ınua de la variable de campo en t´erminos de un n´ umero finito de valores evaluados en los nodos del elemento, notamos que, para el elemento de flexi´on, el campo variable de inter´es es el desplazamiento transversal υ = υ(x) de la superficie neutra fuera de su posici´on recta indeformada. Como se muestra en la Figura 4.3(a) y 4.3(b), la deflexi´ on transversal de una viga es tal que la variaci´on de desviaci´on respecto a la condici´ on indeformada a lo largo de la longitud no es adecuadamente descrita por el desplazamiento de sus puntos extremos solamente. Las deflexiones de los extremos pueden ser id´enticas, como es ilustrado, mientras que la deformaci´on de los dos casos en puntos intermedios realmente es diferente. Por consiguiente, la formulaci´ on del elemento de flexi´on debe tener en cuenta la pendiente de la deformaci´on (la rotaci´ on) de la viga as´ı como el desplazamiento de los puntos extremos. Adem´as de evitar la potencial ambigedad de desplazamientos, la inclusi´on de las rotaciones nodales del elemento viga aseguran la compatibilidad de rotaciones en las conexiones nodales entre los elementos, evitando la discontinuidad f´ısicamente inaceptable bosquejada en la Figura 4.3(c), en la que dos tramos aleda˜ nos de la viga tienen pendiente de deformaci´ on diferentes en un punto nodal com´ un. A la luz de estas observaciones con respecto a las rotaciones, las variables nodales a ser asociadas con un elemento de flexi´ on son las que se muestran en la Figura 4.4. Los nodos de elemento 1 y 2 est´an
4.3. EL ELEMENTO VIGA
1
89
2
2
1
(a) Deformaci´ on c´ oncava
(b) Deformaci´ on c´ onvexa
(c) Pendiente discont´ınua
Figura 4.3: Ejemplos de deformaci´on de una viga
y 2
1 1 1
2 2
x
L
Figura 4.4: Desplazamientos nodales de elemento viga localizados en los extremos del elemento, y las variables nodales son los desplazamientos transversales υ1 y υ2 en estos nodos, as´ı como tambi´en las pendientes (rotaciones) θ1 y θ2 . Las variables nodales como son mostradas est´ an definidas en la direcci´on positiva de los ejes utilizados como sistema coordenado, y deber´ a ser notado que los ´ angulos de deformaci´on (rotaciones) ser´an especificados en radianes. Por conveniencia, el exponente (e) que indica las propiedades del elemento no se usa por el momento, como debe ser entendido en el contexto que la discusi´on actual se aplica y circunscribe a un solo elemento. Cuando elementos m´ ultiples est´en involucrados en los ejemplos a seguir, la notaci´on del exponente se restaura. La funci´ on de desplazamiento υ(x) va a ser discretizada tal que υ(x) = f (υ1 , υ2 , θ1 , θ2 , x)
(4.12)
sujeta a las condiciones de borde υ(x = x1 ) = υ1 υ(x = x2 ) = υ2 dυ = θ1 dx x=x1 dυ = θ2 dx x=x2
(4.12a)
Antes de proceder, nosotros asumimos que el sistema de coordenadas de elemento (o sistema coordenado local) es escogido tal que x1 = 0 y x2 = L, para simplificar la presentaci´on algebr´aicamente. (Esto no es para nada restrictivo, desde que L = x2 − x1 en cualquier caso). Considerado las cuatro condiciones de borde l´ımite y la naturaleza uni–dimensional del problema por lo que se refiere a la variable independiente, asumimos la funci´on de desplazamiento en la forma υ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
(4.13)
El escoger una funci´ on c´ ubica para describir el campo de desplazamientos internos al elemento no es arbitrario. Aunque los requisitos generales de las funciones de interpolaci´on se discutir´an en el Cap´ıtulo 6, hacemos algunas observaciones pertinentes aqu´ı. Claramente, con la especificaci´on de cuatro condiciones de borde, podemos determinar no m´as de cuatro constantes en la funci´on de desplazamiento
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
90
supuesta. Segundo, en vista de las Ecuaciones (4.10) y (4.13), la segunda derivada de la funci´on de desplazamiento asumida υ(x) es lineal; entonces, el momento flexionante var´ıa linealmente, a lo sumo, a lo largo de la longitud del elemento. Esto est´a de acuerdo con la hip´otesis que las cargas s´olo son aplicadas en los nodos del elemento, como es indicado por el diagrama de momentos flexionantes de un elemento cargado mostrado en la Figura 4.5. Si una carga distribuida se aplicara al elemento en toda su longitud, el momento flexionante variar´ıa por lo menos cuadr´aticamente. MZ
F1L + M2_ M1 F1L _ M1 F2
F1
M2
x 1 _
2
M1
M1
(a) Diagrama de momentos
(b) Cargas positivas
Figura 4.5: El elemento t´ıpico viga cargado La aplicaci´ on de las condiciones de borde especificadas por las Ecuaciones (4.12a) en sucesi´on d´a como resultado el sistema υ(x = 0) = υ1 = a0
(4.14a) 2
3
υ(x = L) = υ2 = a0 + a1 L + a2 L + a3 L dυ = θ1 = a1 dx x=0 dυ = θ2 = a1 + 2a2 L + 3a3 L2 dx
(4.14b) (4.14c) (4.14d)
x=L
Las Ecuaciones (4.14) se resuelven simult´ aneamente para obtener los coeficientes en t´erminos de las variables de desplazamiento nodal como a0 = υ1
(4.15a)
a1 = θ1
(4.15b)
3 (υ2 − υ1 ) − L2 2 a3 = 3 (υ1 − υ2 ) + L a2 =
1 (θ2 − θ1 ) L 1 (θ1 + θ2 ) L2
(4.15c) (4.15d)
Substituyendo las Ecuaciones (4.15) en la Ecuaci´on (4.13) y colectando los coeficientes de las variables nodales mediante procedimiento de factorizaci´on, resulta la siguiente expresi´on que aproxima el campo de desplazamientos (deflexiones verticales) internos en el elemento 3x2 2x3 2x2 x3 υ(x) = 1 − 2 + 3 υ1 + x − + 2 θ1 L L L L (4.16) 2 3x 2x3 x3 x2 + − 3 υ2 + − θ2 L2 L L2 L la cual es de la forma υ(x) = N1 (x)υ1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)υ2 + N4 (x)θ2
(4.17)
4.3. EL ELEMENTO VIGA
91
o, en notaci´ on matricial,
υ(x) = N1
N2
N3
υ1 θ1 N4 = [ N (x) ]{δ}] υ2 θ2
(4.17a)
donde N1 , N2 , N3 , y N4 , son las funciones de interpolaci´on (polinomios de Hermite) que describen la distribuci´ on de desplazamientos en t´erminos de las variables nodales contenidas en el vector de desplazamientos nodales {δ}, el que se describe desde el sistema coordenado local (propio del mismo elemento). Las funciones polin´ omicas obtenidas en este proceso deductivo, denominadas como dijimos polinomios de Hermite, expl´ıcitamente est´ an definidas por las relaciones 2x3 3x2 + 3 2 L L 2x3 3x2 N3 = N3 (x) = 2 − 3 L L
2x2 x3 + 2 L L x3 x2 N4 = N4 (x) = 2 − L L
N2 = N2 (x) = x −
N1 = N1 (x) = 1 −
(4.18)
Para el elemento de flexi´ on (elemento viga), es conveniente introducir una nueva variable definida como la coordenada de posici´ on longitudinal adimensional, mediante ξ=
x L
(4.19)
En funci´ on de esta nueva variable, la Ecuaci´on (4.16) se transforma en υ(x) = (1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 ) υ1 + L(ξ − 2ξ 2 + ξ 3 ) θ1 + (3ξ 2 − 2ξ 3 ) υ2 + Lξ 2 (ξ − 1) θ2
(4.20)
donde 0 ≤ ξ ≤ 1. Esta forma provee caracter´ıstica de facilidad de evaluaci´on de las integraciones requeridas para completar el desarrollo de las ecuaciones de elemento, que ser´an obtenidas en la pr´oxima secci´on. Como fu´e discutido en el Cap´ıtulo 3, los desplazamientos son importantes, pero el ingeniero est´a m´as a menudo interesado en examinar las tensiones asociadas con las condiciones de carga. Usando la Ecuaci´ on (4.11) en conjunci´ on con la Ecuaci´on (4.17a), nos permite obtener la distribuci´on de tensiones normales internas para una secci´ on transversal localizada en una posici´on axial gen´erica x, la cual se presenta como d2 [N ] σx (x, y) = − y E {δ} (4.21) dx2 Puesto que la tensi´ on normal interna var´ıa linealmente en una secci´on transversal (secci´on de corte), los valores m´ aximo y m´ınimo en cualquier posici´on axial ocurren sobre las superficies exteriores del elemento, donde la distancia y medida desde la superficie neutra es de mayor magnitud, o la m´as grande. Como es de costumbre, nosotros tomamos la tensi´on m´axima como el valor m´as grande de tensi´on de tracci´on (positiva) y el valor m´ınimo como el valor m´as grande (negativo) de tensi´on compresiva. De aqu´ı, volvemos a escribir la Ecuaci´ on (4.21) como σx = ym´ax E
d2 [N ] {δ} dx2
(4.22)
y ser´a entendido que la Ecuaci´ on (4.22) representa los valores m´aximo y m´ınimo de tensi´on normal en cualquier secci´ on transversal definida por la coordenada axial x. Tambi´en ymax representa a las distancias m´ as grandes (una positiva, otra negativa) medidas desde la superficie neutra hasta las
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
92
superficies externas (superior e inferior) del elemento. Sustituyendo las funciones de interpolaci´on y llevando a cabo las diferenciaciones indicadas, obtenemos 12x 6 6x 4 6 12x σ(x) = ym´ax E − 2 υ1 + − θ1 + − 3 υ2 L3 L L2 L l2 L (4.23) 6x 2 + − θ2 L2 L Observando que la Ecuaci´ on (4.23) indica una variaci´on lineal de la tensi´on normal a lo largo de la longitud del elemento y subsecuentemente, una vez que la soluci´on de los desplazamientos se obtiene, los valores nodales son constantes conocidas; as´ı necesitamos calcular s´olamente los valores de tensi´on en las secciones transversales correspondientes a los nodos; es decir, en x = 0 y x = L correspondientes a los extremos del elemento. Los valores de tensi´on en las secciones nodales est´an dadas por 2 6 (υ − υ ) − (2θ + θ ) (4.24a) σx (x = 0) = ym´ax E 2 1 1 2 L2 L 6 2 σx (x = L) = ym´ax E (4.24b) (υ1 − υ2 ) + (2θ2 + θ1 ) L2 L Los c´alculos de tensi´ on normal interna se ilustran en los ejemplos desarrollados en p´aginas siguientes.
4.4.
Matriz de rigidez de elemento viga
Podemos ahora utilizar la aproximaci´ on discretizada del desplazamiento del elemento de flexi´on para la deformaci´ on, la tensi´ on, y la energ´ıa de deformaci´on exhibidas por el elemento bajo la carga aplicada. La energ´ıa de deformaci´ on total se expresa como Z 1 σx x dV (4.25) Ue = 2 V donde V es volumen total del elemento. Substituyendo las Ecuaciones (4.5) y (4.6) para la tensi´on y la deformaci´on unitaria 2 2 Z E d υ Ue = y2 dV (4.26) 2 V dx2 la cual puede ser escrita como E Ue = 2
Z 0
L
d2 υ dx2
2 Z
2
y dA dx
(4.27)
A
Nuevamente reconocemos la integral de ´ area como el momento de inercia Iz alrededor del eje centroidal perpendicular al plano de flexi´ on, y por ello tendremos 2 Z E Iz L d 2 υ Ue = dx (4.28) 2 dx2 0 La Ecuaci´ on (4.28) representa la energ´ıa de deformaci´on flexionante para cualquier secci´on transversal constante de la viga que obedece las hip´otesis de la teor´ıa elemental de vigas rectas. Para la energ´ıa de deformaci´ on del elemento finito que est´a desarroll´andose, sustituimos la relaci´on discretizada de desplazamiento de la Ecuaci´ on (4.17) para obtener E Iz Ue = 2
Z 0
L
d2 N1 d2 N2 d2 N3 d2 N4 υ + θ + υ + θ2 1 1 2 dx2 dx2 dx2 dx2
2 dx
(4.29)
4.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA
93
como aproximaci´ on para la energ´ıa de deformaci´on el´astica. Enfatizamos que la Ecuaci´on (4.29) es una aproximaci´ on porque la funci´ on de desplazamiento discretizada no es en general una soluci´on exacta para el problema de flexi´ on de una viga. Aplicando el teorema de Castigliano a la funci´on de energ´ıa de deformaci´on con respecto al desplazamiento nodal υ1 , se obtiene la fuerza transversal en el nodo 1 como L
Z
∂Ue = F1 = E Iz ∂υ1
0
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ1 + θ1 + υ2 + θ2 2 2 2 dx dx dx dx2
d2 N1 dx dx2
(4.30)
mientras que la aplicaci´ on del teorema con respecto al desplazamiento rotacional en el mismo nodo proporciona el momento flexionante como ∂Ue = M1 = E Iz ∂θ1
L
Z
0
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ1 + θ1 + υ2 + θ2 2 2 2 dx dx dx dx2
d2 N2 dx dx2
(4.31)
d2 N3 dx dx2
(4.32)
d2 N4 dx dx2
(4.33)
Para el nodo 2, los resultados son L
∂Ue = F2 = E Iz ∂υ2
Z
∂Ue = M2 = E Iz ∂θ2
Z
0 L
0
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ + θ + υ + θ2 1 1 2 dx2 dx2 dx2 dx2
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ1 + θ1 + υ2 + θ2 2 2 2 dx dx dx dx2
Las Ecuaciones (4.30) a (4.33) algebr´ aicamente relacionan los cuatro valores de desplazamientos nodales a las cuatro fuerzas nodales aplicadas (aqu´ı usamos el vocablo fuerza en un sentido general, el cual tambi´en incluye a los momentos aplicados), y son de la forma k11 k21 k31 k41
k12 k22 k32 k42
k13 k23 k33 k43
F1 k14 υ1 M k24 θ 1 1 = k34 F2 υ2 M2 k44 θ2
(4.34)
donde kmn (m, n = 1; 4) son los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento. Por comparaci´on de las Ecuaciones (4.30) a (4.33) con las ecuaciones algebr´aicas representadas matricialmente por la Ecuaci´ on (4.34), podemos apreciar que se cumple la ecuaci´on recursiva Z kmn = knm = E Iz 0
L
d 2 Nm d2 Nn dx dx2 dx2
m, n = 1; 4
(4.35)
y la matriz de rigidez de elemento es matriz sim´etrica, como deber´ıa esperarse por el comportamiento mec´anico lineal el´ astico del elemento. Antes de calcular los coeficientes de la matriz de rigidez, es conveniente convertir la integraci´on hacia la variable de longitud adimensional ξ = x/L, notando que L
Z
Z f (x) dx =
0
1
f (ξ) dξ
y
0
d 1 d = dx L dξ
de modo que las integrales de la Ecuaci´on (4.35) se convierten a Z kmn = knm = E Iz 0
L
E Iz d 2 Nm d2 Nn dx = 3 2 2 dx dx L
Z 0
1
d2 Nm d2 Nn dξ dξ 2 dξ 2
m, n = 1; 4
(4.36)
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
94
Los coeficientes de la matriz de rigidez son luego evaluados como k11
k12 k13 k14
Z Z 36 E Iz L 2 E Iz L 2 (12ξ − 6) dξ = (4ξ − 4ξ + 1)dξ = 3 L L3 0 0 36 E Iz 4 12 E Iz = −2+1 = L3 3 L3 Z L E Iz 6 E Iz = k21 = 3 (12ξ − 6)(6ξ − 4)Ldξ = L L2 0 Z L E Iz 12 E Iz = k31 = 3 (12ξ − 6)(6 − 12ξ)dξ = − L L3 0 Z L 6 E Iz E Iz (12ξ − 6)(6ξ − 2)Ldξ = = k41 = 3 L L2 0
Continuando con las integraciones, se demuestra que los coeficientes de rigidez faltantes son 4 E Iz L 12 E Iz = L3
6 E Iz L2 6 E Iz =− L3
k22 =
k23 = k32 = −
k24 = k42 =
k33
k34 = k43
k44 =
2 E Iz L
4 E Iz L
La matriz de rigidez completa para el elemento viga sometido a flexi´on es luego escrita como 12 6L −12 6L E Iz 6L 4L2 −6L 2L2 (4.37) [ ke ] = 3 L −12 −6L 12 −6L 2 2 6L 2L −6L 4L La simetr´ıa de la matriz de rigidez de elemento est´a clara, como previamente fu´e observado. De nuevo, la matriz de rigidez de elemento se muestra que es singular desde que es posible el movimiento de cuerpo r´ıgido, a menos que el elemento est´e restringido de alguna manera a poder desplazarse. La matriz de rigidez como es dada por la Ecuaci´on (4.37) es v´alida en cualquier sistema consistente de unidades de medida, a condici´ on que los grados de libertad rotacionales (pendientes de la deformaci´on) se expresen en radianes.
4.5.
Vector de carga de elemento
En las Ecuaciones (4.30) a (4.33), las fuerzas y momentos de elemento se trataron como es requerido por el primer teorema de Castigliano, es decir actuantes seg´ un la direcci´on de los desplazamientos asociados. Estas direcciones son tomadas seg´ un las direcciones positivas supuestas de los desplazamientos nodales. Sin embargo, como mostramos en las Figuras 4.6(a) y 4.6(b), la convenci´on usual para la fuerza cortante y el momento flexionante en una viga son tales que F1 −V1 M1 −M1 ⇒ (4.38) F2 V2 M2 M2 En la Ecuaci´ on (4.38), la matriz columna (vector) en la izquierda representa fuerzas y momentos nodales positivos seg´ un la convenci´ on de la formulaci´on de elemento finito. En cambio, el lado derecho
4.5. VECTOR DE CARGA DE ELEMENTO
F1
P0
F2
1
95
M0
M2
x
2
M1
(a) Convenci´ on de cargas positivas m´ etodo de elemento finito V2
M1 1
V
}
_
+ P0
x
M2 2
V1
M M0 } +
(b) Convenci´ on de cargas positivas mec´ anica de s´ olidos
x (c) Diagramas de esfuerzos internos
Figura 4.6: El elemento t´ıpico viga sometido a cargas
contiene los correspondientes esfuerzos cortantes y momentos flexionantes internos de acuerdo a la convenci´ on usual de signos adoptado en la mec´anica de s´olidos o resistencia de materiales. Si se unen dos elementos de flexi´on a un nodo com´ un, los esfuerzos cortantes internos son iguales y opuestos en sentido a menos que una fuerza externa est´e aplicada en ese nodo, en cuyo caso la suma de las fuerzas cortantes interiores debe igualar a la carga externa aplicada. Por consiguiente, cuando nosotros ensamblamos el modelo de elemento finito usando elementos de flexi´on, la fuerza en un nodo es simplemente igual a cualquier fuerza externa actuante en ese nodo. Un similar argumento sostiene el an´alisis para los momentos flexionantes. En el punto de conexi´on entre dos elementos (i.e., un nodo), los momentos de flexi´ on internos son iguales y opuestos en sentido, as´ı se auto–equilibran, a menos que un momento flexionante concentrado est´e aplicado en ese nodo. En este evento, los momentos interiores se suman al momento externo aplicado. Estas observaciones se ilustran en la Figura 4.6(c), que muestra una viga simplemente apoyada sujeta a una fuerza y a un momento concentrados que act´ uan en el punto medio de la longitud de la viga. Como es mostrado por el diagrama de esfuerzos cortantes, un salto de discontinuidad ocurre en el punto de aplicaci´on de la fuerza concentrada, y la magnitud de la discontinuidad es id´entica a la magnitud de la fuerza externa aplicada. Similarmente, el diagrama de momentos flectores muestra un salto de discontinuidad en el momento flector que es igual a la magnitud del momento flexionante externo aplicado en ese punto. Por consiguiente, si la viga fuese dividida en dos elementos finitos con un nodo de interconexi´on ubicado a la mitad de la longitud de la viga, la fuerza neta actuante en el nodo ser´ıa la fuerza externa aplicada y el momento neto en el mismo nodo ser´ıa el momento externo aplicado.
Ejemplo 4.1. La Figura 4.7(a) muestra una viga est´aticamentye indeterminada sujeta a una carga transversal aplicada en la mitad de su longitud. Usando dos elementos finitos de flexi´on, obtener una soluci´on para la deflexi´on vertical de la secci´ on media longitudinal de la viga (donde la carga se aplica). > Soluci´ on Puesto que los elementos finitos de flexi´on requieren que las cargas aplicadas act´ uen exclusivamente en sus puntos nodales (es decir, en sus extremos), los elementos a definirse necesariamente deber´an ser de longitud L/2 como se muestra en la Figura 4.7(b), para que la carga concentrada externa aplicada
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
96 y
P x L 2
L 2
1
(a) Esquema de solicitaci´ on y apoyos
1 1 0
2
1
2
1
1
2
2
3
(b) Codificaci´ on estructural adoptada y
3 0
2
3 3
2
P
3PL/16 1
3
3
2
L/2 11P/16
(c) Bosquejo de la deformaci´ on
x
L/2 5P/16
(d) Solicitaci´ on externa completa
Figura 4.7: Viga simplemente apoyada cargada a la mitad de su longitud sea una carga nodal. Las matrices de rigidez de los elementos individuales son entonces 12 6L/2 −12 6L/2 2 2 E Iz 6L/2 4L /4 −6L/2 2L /4 [ k (1) ] = [ k (2) ] = 3 −12 −6L/2 12 −6L/2 (L/2) 6L/2 2L2 /4 −6L/2 4L2 /4 12 3L −12 3L 8 E Iz L2 −3L L2 /2 3L = 12 −3L L3 −12 −3L 3L L2 /2 −3L L2 Notemos que particularmente la longitud de cada elemento es L/2, y dicha longitud fu´e usada en la valoraci´on de las matrices de rigidez locales de ambos elementos. Las condiciones de borde apropiadas en este caso, con referencia a la Figura 4.7(b) donde se definen los grados de libertad globales, son: υ1 = θ1 = υ3 = 0; mientras que la correspondencia de desplazamientos locales–hacia–globales se muestra en la Tabla 4.1. Tabla 4.1: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 0 0
0 0 1 2 3 4
Ensamblando la matriz de rigidez global, apelando a la Tabla 4.1 de correspondencia de desplazamientos, obtenemos en orden los siguientes coeficientes de este arreglo matricial (usando tambi´en la propiedad de simetr´ıa). 96 E Iz L3 24 E Iz = L2
4 E Iz L
(1) K11 = k11 =
(1) K24 = k24 =
(1) K12 = k12
K25 = K26 = 0
16 E Iz L −24 E Iz = L2
(1) (2) K44 = k44 + k22 =
(2) K45 = k23
4.5. VECTOR DE CARGA DE ELEMENTO −96 E Iz L3 24 E Iz = L2 8 E Iz = L −24 E Iz = L2
97 192 E Iz L3
(1) K13 = k13 =
(1) (2) K33 = k33 + k11 =
(1) K14 = k14
(1) (2) K34 = k34 + k12 =0
(1) K22 = k22
(1) K23 = k23
(2) K55 = k33
−96 E Iz L3 24 E Iz = L2
(2) K35 = k13 =
(2) K56 = k34
(2) K36 = k14
(2) K66 = k44
Usando la forma general [ K ]{U } = {F } para de ecuaciones como 96 24L −96 24L 8L2 −24L E Iz 192 −96 −24L 2 0 L3 24L 4L 0 0 −96 0 0 24L
4 E Iz L 96 E Iz = L3 −24 E Iz = L2 8 E Iz = L
(2) K46 = k24 =
el modelo matem´atico de an´alisis, obtenemos el sistema 24L 0 0 υ1 F1 θ1 4L2 0 0 M1 0 −96 24L υ2 F2 = 16L2 −24L 4L2 θ2 M2 −24L 96 24L υ F3 3 4L2 24L 8L2 θ3 M3
Invocando las condiciones de borde l´ımite previamente especificadas υ1 = θ1 = υ3 = 0, y eliminando filas y columnas asociadas con estas variables nulas, obtenemos el sistema reducido de ecuaciones como 192 0 24L υ2 −P E Iz 0 0 16L2 4L2 θ2 = L3 0 24L 4L2 8L2 θ3 N´otese que aqu´ı hemos incorporado la fuerza vertical externa aplicada en el nodo 2, la cual act´ ua con sentido opuesto al desplazamiento vertical asociado en dicho nodo estructural (que establece la direcci´on positiva en dicho punto); por ello el signo negativo para esta acci´on actuante sobre la estructura en nuestro modelo (F2 = −P ). La soluci´on simult´anea del sistema previamente planteado, como se puede comprobar, d´ a como resultado υ2 =
−7 P L3 768 E Iz
θ2 =
−P L2 128 E Iz
θ3 =
P L2 32 E Iz
Un bosquejo de la deformaci´ on de la viga se muestra en la Figura 4.7(c), donde la l´ınea horizontal segmentada representa a la estructura indeformada, el que se obtiene considerando los valores de soluci´on para los desplazamientos nodales previamente encontrados. Ahora, la substituci´ on de los valores de los desplazamientos nodales hallados como soluci´on previa en las ecuaciones de restricci´ on (aquellas ecuaciones que fueron eliminadas en el proceso de reducci´on del modelo), permite evaluar las fuerzas de reacci´on de apoyo seg´ un el siguiente procedimiento E Iz 11P (−96υ2 + 24Lθ2 ) = L3 16 E Iz 5P F3 = 3 (−96υ2 − 24Lθ2 − 24Lθ3 ) = L 16 E Iz 3P L M1 = 3 (−24Lυ2 + 4L2 θ2 ) = L 16 F1 =
Estos valores obtenidos nos permiten efectuar una verificaci´on del cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio est´ atico global de toda la estructura considerada como sistema. Con referencia a la Figura 4.7(d), tenemos sumando algebr´aicamente las fuerzas P
Fy =
11P 5P −P + =0 16 16
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
98
y sumando los momentos con relaci´ on a un eje perpendicular a la Figura que pase por el nodo 1, P
Mz =
L 5P 3P L −P + L=0 16 2 16
Luego, la soluci´ on de elemento finito satisface ex´actamente las ecuaciones de equilibrio para la estructura analizada, lo cual es indicativo que no se cometieron errores en el procedimiento de aplicaci´on del m´etodo; y tambi´en permite aceptar la soluci´on obtenida como satisfactoria. > El lector astuto puede desear comparar los resultados del Ejemplo 4.1 con aquellos obtenidos de alguna tabla de deflexiones estandar de vigas en diferentes disposiciones de apoyo y solicitaci´on; en cuyo caso se encontrar´ a que los resultados est´an en exacto acuerdo con la teor´ıa elemental de vigas rectas. En general, el m´etodo de elemento finito es un m´etodo aproximado; pero en el caso de flexi´on simple, los resultados son exactos en ciertos casos. En este ejemplo, la ecuaci´on de la deflexi´on de la superficie neutra es una ecuaci´ on c´ ubica y, puesto que las funciones de interpolaci´on utilizadas son c´ ubicas tambi´en, los resultados son exactos. Cuando existen cargas distribu´ıdas, sin embargo, los resultados no son necesariamente exactos, como se mostrar´a y discutir´a luego.
4.6.
Cargas nodales equivalentes
La restricci´ on que las cargas s´ olo se apliquen en los nodos del elemento t´ıpico viga (elemento de flexi´on) debe revisarse en cuanto a este requerimiento si por ejemplo una carga distribuida est´a presente actuando al interior del elemento. El procedimiento usual es reemplazar la carga distribuida con fuerzas y momentos nodales de modo que el trabajo mec´anico realizado por el sistema de cargas nodales sea equivalente a aquel que es efectuado por la carga distribuida original. Las cargas concentradas as´ı halladas adem´ as deben ser consistentes con el campo de desplazamientos internos especificado para el elemento que se est´ a analizando. q
qL
qL
2
2
1 1
2
L
x
2 2
(a) Solicitaci´ on original actuante
2
qL
qL
12
12
(b) Cargas nodales equivalentes
Figura 4.8: Carga linealmente distribuida uniforme aplicada a un elemento Refiri´endonos a la Figura 4.8, el trabajo mec´anico realizado por la carga distribuida original puede expresarse como Z L W = q(x)υ(x)dx (4.39) 0
donde q(x) es la funci´ on de carga linealmente distribu´ıda actuante al interior del elemento. Esta funci´on es una relaci´on que describe de forma general la carga aplicada al interior del elemento. (Es posible escribir esta funci´ on con la metodolog´ıa de uso de funciones singulares, que permite incorporar fuerzas y momentos flectores puntuales que act´ uen a interior del elemento). El objetivo aqu´ı es determinar las cargas nodales equivalentes (cargas concentradas actuando en los extremos del elemento), de modo que el trabajo mec´anico efectuado por estas acciones sea el mismo que el trabajo en el sistema original. El trabajo mec´anico de las cargas equivalentes es Weq = F1eq υ1 + M1eq θ1 + F2eq υ2 + M2eq θ2
(4.40)
donde F1eq , F2eq son las fuerzas nodales equivalentes en los nodos 1 y 2, respectivamente; y M1eq , M2eq son los momentos nodales equivalentes. Substituyendo la funci´on de desplazamiento discretizada dada
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
99
por la Ecuaci´ on (4.17), la integral de trabajo mec´anico original resulta Z
L
q(x)[N1 (x)υ1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)υ2 + N4 (x)θ2 ]dx
W = 0
o, desarrollando t´erminos Z
!
L
Z
!
L
q(x)N2 (x)dx θ1
q(x)N1 (x)dx υ1 +
W =
0
0
Z
!
L
Z
q(x)N3 (x)dx υ2 +
+
!
L
(4.41)
q(x)N4 (x)dx θ2
0
0
La comparaci´ on de las Ecuaciones (4.40) y (4.41), por la hip´otesis planteada W = Weq , nos muestra que se deber´ an cumplir las relaciones siguientes Z
L
F1eq =
q(x)N1 (x)dx
(4.42a)
q(x)N2 (x)dx
(4.42b)
q(x)N3 (x)dx
(4.42c)
q(x)N4 (x)dx
(4.42d)
0
Z
L
M1eq = 0
Z
L
F2eq = 0
Z M2eq =
L
0
De aqu´ı, el vector de fuerza nodal que representa una carga distribu´ıda arbitraria en base a la equivalencia de trabajo mec´ anico est´a dado por las Ecuaciones (4.42). Por ejemplo, para una carga uniforme aplicada al elemento q(x) = q constante, incorporando las funciones de interpolaci´on indicadas por las Ecuaciones (4.18); y efectuando las integraciones como se indican en las ecuaciones precedentes d´a como resultado qL 2 F1eq 2 qL M1eq 12 (4.43) = F2eq qL 2 M2eq −qL2 12
La equivalencia basada en la equiparaci´on de trabajo mec´anico de una carga uniformemente distribuida a las correspondientes cargas nodales en un elemento viga t´ıpico, se muestra en la Figura 4.8. Ejemplo 4.2. La viga simplemente apoyada mostrada en la Figura 4.9(a) est´a solicitada por una fuerza transversal linealmente distribuida uniforme. Usando dos elementos de igual longitud y las cargas nodales equivalentes de trabajo mec´ anico, obtenga una soluci´on de elemento finito para la deflexi´on a la mitad de la longitud de la viga y comparar la soluci´on obtenida con aquella que proporciona la teor´ıa elemental de vigas rectas. > Soluci´ on Primero numeramos los nodos y elementos como es mostrado por la Figura 4.9(b), y tambi´en notamos que las condiciones de borde l´ımite son en este caso: υ1 = υ3 = 0. Tambi´en podr´ıamos notar la condici´ on de simetr´ıa de deformaci´ on que impone θ2 = 0. Sin embargo, en este caso, permitimos que
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
100 y
x L
1
2
3
(b) Codificaci´ on estructural adoptada 2
qL
2
qL
q
2
qL
48
48
3
2
2
1
3 L 2
L 2
2
2
48
1
3 3
2
1
1
(a) Esquema de solicitaci´ on y apoyos
q
2
1
q
qL
qL
qL
4
4
4
(c) Solicitaci´ on en los elementos
(d) Cargas nodales equivalentes
Figura 4.9: Viga simplemente apoyada cargada con fuerza distribuida uniforme
ese hecho ocurra como resultado del proceso de soluci´on. Las matrices de rigidez de ambos elementos son id´enticas, dadas por
12 6L/2 −12 6L/2 2 2 E Iz 6L/2 4L /4 −6L/2 2L /4 [ k (1) ] = [ k (2) ] = 3 −12 −6L/2 12 −6L/2 (L/2) 2 6L/2 2L /4 −6L/2 4L2 /4 12 3L −12 3L 8 E Iz L2 −3L L2 /2 3L = 12 −3L L3 −12 −3L 3L L2 /2 −3L L2 (nuevamente notamos que hemos usado una longitud igual a L/2 para evaluar los t´erminos de la matriz de rigidez de ambos elementos). La correspondencia de desplazamientos de elemento y desplazamientos globales asignados a la estructura, es mostrada en la Tabla 4.2 que describe las relaciones de conectividad. Tabla 4.2: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 0 0
0 0 1 2 3 4
Ahora, usando como referencia la Tabla 4.2, podemos proceder a efectuar el proceso de ensamblaje de coeficientes de la matriz de rigidez global de la estructura. Se demuestra que la aplicaci´on del procedimiento mencionado, produce la matriz de rigidez global de la viga que f´acilmente usted comprueba
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
101
que es
12 3L −12 3L 0 0 3L L2 −3L L2 /2 0 0 8 E Iz −12 −3L 24 0 −12 3L [K ] = 2 2 2 3L L /2 0 2L −3L L /2 L3 0 0 −12 −3L 12 3L 0 0 3L L2 /2 3L L2
(♠)
Las cargas de trabajo – equivalente para cada elemento se calculan en base al esquema presentado en la Figura 4.9(c), y las cargas nodales equivalentes resultantes se muestran en la Figura 4.9(d). Estas cargas se calcularon adaptando la Ecuaci´on (4.43) tomando q(x) = −q (ya que la carga act´ ua en direcci´on y negativa), y longitud igual a L/2. Observando que existen reacciones de apoyo en los nodos 1 y 3, en adici´ on a las cargas nodales equivalentes calculadas como solicitaci´on externa proveniente de la carga distribuida aplicada, las ecuaciones globales de equilibrio llegan a ser −qL + F1 4 υ1 −qL2 48 θ 1 −qL υ2 2 = [K ] θ2 0 υ −qL 3 + F 3 4 θ3 qL2 48
donde la matriz de rigidez del sistema est´a definida en la Ecuaci´on (♠). Ahora, si aplicamos las condiciones de restricci´on de desplazamientos que se presentan en los apoyos; es decir υ1 = υ3 = 0, podemos obtener un sistema reducido eliminando la primera y quinta filas y columnas asociadas con estos desplazamientos. Aplicando este procedimiento resulta como ecuaci´on gobernante de los desplazamientos activos 2 −qL2 2 48 L −3L L /2 0 −qL θ1 8 E Iz −3L 24 0 3L υ2 2 = 0 2L2 L2 /2 L3 L2 /2 0 θ2 θ3 0 3L L2 /2 L2 qL2 48
la cual, en soluci´ on simult´ anea de inc´ognitas (por ejemplo aplicando la t´ecnica de inversi´on matricial ayudado mediante un paquete de evaluaci´on matricial como MathCad, que tiene capacidad de operar algebr´aicamente arreglos matriciales), d´a como resultado θ1 = −
qL3 24EIz
θ2 = 0
υ2 = −
5qL4 384EIz
θ3 =
qL3 24EIz
Como es esperado, la pendiente de deformaci´on de la viga a la mitad de su longitud es cero, y puesto que la carga y las condiciones de apoyo son sim´etricas, la soluci´on de la deformaci´on tambi´en es sim´etrica, como se aprecia por los valores de magnitud de las rotaciones en los extremos de la viga. El desplazamiento nodal planteado como inc´ognita primaria del problema, obtenido como soluci´on mediante aplicaci´ on del an´ alisis de elemento finito en este ejemplo, es exactamente el mismo resultado que se obtiene por la teor´ıa b´ asica de la mec´anica de s´olidos deformables. Esto es debido a la aplicaci´on de las cargas nodales equivalentes obtenidas por el principio de equivalencia de trabajo mec´anico. Sin embargo, la forma de deflexi´ on general como es dada por la soluci´on de elemento finito no es la misma que el resultado que proporciona la mec´anica de s´olidos deformables. La ecuaci´on que describe la desviaci´ on de la superficie neutra es una funci´on cuadr´atica de la posici´on x y, puesto que las funciones de interpolaci´ on usadas en el modelo de elemento finito son c´ ubicas, la curva de deflexi´on var´ıa en algo > con respecto a la soluci´ on que podemos considerar exacta.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
102
Ejemplo 4.3. En la Figura 4.10(a), la viga OC es soportada por una conexi´on articulada lisa en O y tambi´en en B por una varilla el´ astica BD, que a su vez se inmoviliza en el punto D a trav´es de conexiones articuladas. Una carga concentrada F = 10 kN es aplicada en C. Determine la deflexi´on del punto C y la tensi´on axial en el miembro BD. El m´ odulo de elasticidad de la viga es 207 GPa (acero) y la dimensi´on de la arista de su secci´ on transversal cuadrada es de 40 mm. Para la varilla el´astica BD, el m´odulo de elasticidad es 69 GPa (aluminio) y el ´ area de su secci´on transversal es de 78,54 mm2 .
D
U7
Y 10 kN
200 mm
U1 O
U5
U3
C
B 300 mm
3
U2
300 mm
(a) Esquema de solicitaci´ on y apoyos
1
2
U4
U6
X
(b) Sistema coordenado global y codificaci´ on estructural
u2(3) 2(3)
(1)
1
(1)
1
2(1)
u1(3)
(1)
2
1(3)
1(2)
2(2)
(2)
2
(2)
1
(c) Desplazamientos individuales de elemento
Figura 4.10: Sistema de viga cargada conectada a varilla vertical fija > Soluci´ on Este es el primer ejemplo en el que nosotros usamos tipos m´ ultiples de elementos, cuando la viga es modelada con elementos de flexi´ on y la varilla el´astica como un elemento barra. Claramente, el miembro horizontal est´ a sujeto a cargas transversales flexionantes, de modo que las asunciones de elemento barra no se aplican a este miembro. Por otro lado, el miembro de apoyo vertical est´a sujeto s´olo a carga axial, puesto que las conexiones articuladas no pueden transmitir momentos. Por consiguiente, usamos dos tipos de elementos diferentes para simplificar el modelado y la soluci´on. El sistema coordenado global y las variables globales se muestran en la Figura 4.10(b), donde el sistema es dividido en dos elementos flexionantes (1 y 2) y un elemento barra (3). Para los prop´ositos de etiquetado num´erico en la matriz de rigidez global, se usa el esquema de desplazamientos detallado en la Tabla 4.3. Aunque la notaci´ on mostrada en la Figura 4.10(b) puede parecer ser incoherente con la notaci´on previa, es m´as simple en t´erminos de numerar sucesivamente los desplazamientos en las ecuaciones globales. Por la asignaci´ on apropiada de desplazamientos de elemento con los desplazamientos globales (relaciones de conectividad), la distinci´ on entre los desplazamientos lineales y rotatorios est´a clara. Los desplazamientos de elemento individual se muestran en la Figura 4.10(c), donde claramente indicamos al elemento barra en su configuraci´ on general bi–dimensional; aunque, en este caso, nosotros sabemos que υ1(3) = υ2(3) = 0 y esos desplazamientos se ignoran en el proceso de b´ usqueda de la soluci´on. La correspondencia de desplazamientos de elemento se muestra en la Tabla 4.4. Para los elementos
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
103
Tabla 4.3: Notaci´on de desplazamientos nodales globales y locales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Figura 4.10(b)
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
Desplazamientos Elemento 3
1 2 3 4 5 6 7
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7
υ1(1) θ1(1) υ2(1) θ2(1) 0 0 0
0 0
0 0 u(3) 1 0 0 0 u(3) 2
υ1(2) θ1(2) υ2(2) θ2(2) 0
Tabla 4.4: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
Desplazamientos Elemento 3
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 0 0 0
0 0 1 2 3 4 0
0 0 1 0 0 0 3
viga, el momento de inercia alrededor del eje de z es calculado en base a la f´ormula general conocida para el momento de inercia centroidal de un rect´angulo Iz =
bh3 a4 404 = = = 213333 mm4 12 12 12
Para los elementos 1 y 2, k1 = k2 =
EIz (207×103 )213333 = = 1635,6 N/mm L3 3003
de modo que las matrices de rigidez locales de elemento son [por la Ecuaci´on (4.37)] 12 1800 −12 1800 1800 360000 −1800 180000 [ k (1) ] = [ k (2) ] = 1635,6 −12 −1800 12 −1800 1800 180000 −1800 360000 mientras que para el elemento 3 k3 =
EA (69×103 )78,54 = = 27096 N/mm L 200
de modo que la matriz de rigidez local para este elemento es 1 −1 (3) [ k ] = 27096 −1 1
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
104
Ensamblando la matriz de rigidez global utilizando la Tabla 4.4 de correspondencia de desplazamientos (notando que usamos un “atajo” para el elemento 3, puesto que la rigidez del elemento en la direcci´on X global, se asume despreciable), obtenemos los resultados mostrados en la Ecuaci´on (f). 1
[K ] =
2
3 6
4
5
6
7
−19627,2
2,944×10
6
0
0
0
19627,2
2,944×10
2,944×106
5,888×108
−2,944×106
2,944×108
0
0
0
−19627,2
−2,944×106
66350,4
0
−19627,2
2,944×106
−27096
2,944×106
2,944×108
0
11,78×108
−2,944×106
2,944×108
0
0
0
−19627,2
−2,944×106
19627,2
−2,944×106
0
0
0
2,944×106
2,944×108
−2,944×106
5,889×108
0
0
0
−27096
0
0
0
27096
1 2 3 4 5 6 7
(f) Las condiciones de restricci´ on de desplazamientos son U1 = U7 = 0, y el vector de fuerza externa aplicada sobre la estructura es R1 F1 0 M1 0 F2 0 M2 = F3 −10000 0 M 3 R4 F4 donde usamos R para indicar una fuerza de reacci´on de apoyo. Si aplicamos las condiciones de restricci´on de desplazamientos que se presentan en los apoyos de la estructura, obtenemos una ecuaci´on reducida pues debemos desechar dos filas y dos columnas del sistema original gobernante del comportamiento mec´ anico. Reduciendo el sistema y hallando la soluci´on para los desplazamientos activos, se demuestra que obtenemos θ1 υ2 θ2 υ3 θ3
= 9,3638×10−4 rad = −0,73811 mm = −0,0092538 rad = −5,5523 mm = −0,019444 rad
(Notemos que intencionalmente tomamos m´as d´ıgitos decimales significativos de los necesarios, para evitar inexactitudes de “redondeo de fracciones” en los c´alculos secundarios). Para obtener la tensi´on axial en el miembro BD, utilizamos la Ecuaci´on (3.44) con θ(3) = π/2: 0 1 −0,7381 3 0 −1 0 1 σBD = 69×10 = 254,65 MPa 0 200 0 El resultado positivo nos indica tensi´ on de tracci´on en este elemento barra (la varilla de aluminio). Las fuerzas de reacci´ on de apoyo se obtienen por substituci´on de los desplazamientos calculados en la primera y s´eptima ecuaciones (las ecuaciones de restricci´on que fueron desechadas en el proceso de reducci´on del sistema): R1 =2,944(106 )[9,3638(10−4 )] − 19627(−0,73811) ∼ −10000 N + 2,944(106 )(−0,0092538) = R4 = − 27096(−0,73811) + 27096(0) ∼ = 20000 N
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
105
y dentro de la exactitud num´erica usada en este ejemplo, el sistema est´a en equilibrio est´atico. Se insiste al lector a verificar el equilibrio de momentos con relaci´on al nodo del extremo izquierdo de la viga y notar que, por est´ atica simplemente, la fuerza en el elemento 3 debe ser 20,000 N y la tensi´on normal axial calculada por σ = F/A resultar´ıa ser 254,65 MPa (el mismo valor que se obtuvo anteriormente). Las tensiones normales provenientes de la flexi´on en los nodos extremos de los elementos que modelan la viga son evaluadas mediante las Ecuaciones (4.24), notando que para la secci´on transversal cuadrada ym´ax/m´ın = 20 mm. Para el elemento 1, σx(1) (x = 0) = ±20(207)(103 )
2 6 (−0,738 − 0) − (−(2)0,00092 − 0,0092) ≈ 0 MPa 3002 300
en el nodo 1. Debemos notar que la tensi´on calculada en el nodo 1 deber´ıa ser id´enticamente cero, porque este nodo coincide con un apoyo articulado fijo que no puede soportar momentos flexionantes. Para el nodo 2 del elemento 1, hallamos σx(1) (x = L) = ±20(207)(103 )
2 6 (0 + 0,738) + (−(2)0,00092 − 0,0092) ≈ ±281,3 MPa 3002 300
Para el elemento 2, similarmente calculamos las tensiones en cada nodo como σx(2) (x = 0) = ±20(207)(103 )
6 2 (−5,548 + 0,738) − (−(2)0,00092 − 0,0194) ≈ ±281,3 MPa 3002 300
2 6 (−0,73811 + 5,5523) + (−(2)0,001944 − 0,009538) ≈ 0 MPa σx (x = L) = ±20(207)(10 ) 3002 300 (2)
3
y los u ´ltimos resultados tambi´en son los esperados, porque el extremo derecho de la viga est´a libre de momento flexionante externo actuante en dicho punto. Aqu´ı necesitamos observar cuidadosamente que las tensiones normales provenientes de la flexi´on en la viga tienen id´entico valor en el nodo de interconexi´ on 2 entre elementos (lo que indica cumplimiento continuidad de la tensi´on normal interna en ´ la frontera l´ımite de estos elementos, en este caso particular). Esta no es la situaci´on usual en el an´alisis por elemento finito. La formulaci´ on efectuada requiere continuidad de desplazamientos (deformaciones transversales) y rotaciones (pendientes de la deformaci´on) pero, en general, no exige continuidad de las derivadas de orden superior al primero para la variable de campo de inter´es que en este caso es la deflexi´on transversal. Puesto que el elemento de flexi´ on desarrollado aqu´ı est´a basado en una funci´on de desplazamiento c´ ubica, el elemento no exhibe a menudo continuidad en el momento flector interno que es dir´ectamente proporcional a la segunda derivada de la deflexi´on (y por tanto tampoco en la tensi´on normal interna — que depende del momento flector). La convergencia de las derivadas de funciones es relevante para examinar la exactitud de una soluci´on de elemento finito a un problema dado. Nosotros debemos examinar el comportamiento num´erico de las variables derivadas a medida que el modelo de elemento finito est´e asociado a una “malla” que es refinada (cuando se usa un mayor n´ umero de elementos de > tama˜ no m´ as peque˜ no). El ejemplo anterior muestra que es posible combinar elementos de distinto comportamiento mec´anico en una sola estructura, y que el procedimiento de pasos secuenciales que maneja el m´etodo de elemento finito se mantiene invariable; es decir que la secuencia de c´alculo num´erico al tratar cualquier elemento espec´ıfico es el mismo, obviamente respetando sus peculiaridades de comportamiento mec´anico. El proceso de ensamblaje estructural es ex´actamente el mismo que fu´e aplicado en ejemplos anteriores, y el procedimiento de soluci´on del modelo matem´atico de an´alsis (ecuaci´on gobernante) es de hecho invariable.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
106
j
i
ui
i
j
i
j
uj
Figura 4.11: Desplazamientos nodales de elemento marco
4.7.
El elemento marco
La mayor limitaci´ on del elemento de flexi´on (elemento viga) desarrollado hasta ahora, es que la solicitaci´on aplicada debe ser transversal al eje del elemento (fuerzas perpendiculares al eje axial). Eficazmente, esto significa que el elemento s´olo puede usarse en modelado de extremo–a–extremo de estructuras viga lineales. Si el elemento se formula para soportar tambi´en carga axial, la aplicabilidad de tal elemento se acrecenta favorablemente. Un elemento con ´estas caracter´ısticas, al que denominaremos elemento marco, se muestra en la Figura 4.11, el cual adem´as de aceptar desplazamientos transversales y rotaciones en sus puntos extremos (nodos) adem´as, tambi´en permite la existencia de desplazamientos seg´ un direcci´ on axial. As´ı, el elemento marco permite la aplicaci´on de carga transversal y axial simult´ aneamente, actuando sobre este particular miembro. Debe se˜ nalarse que hay muchas consecuencias de esta extensi´ on aparentemente simple. Si la carga axial es compresiva, el elemento podr´ıa ingresar a un estado de pandeo; y, si la carga axial es de tracci´on y significativamente grande, un fen´omeno conocido como endurecimiento por tensi´ on puede ocurrir. El fen´omeno de endurecimiento por tensi´on puede asemejarse al efecto de pulsar una cuerda de guitarra. Cuando la tensi´on se aumenta, la cuerda se pone m´ as resistente al movimiento perpendicular al eje geom´etrico axial de la propia cuerda. El mismo efecto ocurre en los estructurales sometidos a tensi´on. Como se muestra en la Figura 4.12, en una viga sujeta a carga transversal y axial simult´aneas, el efecto de la carga axial sobre la flexi´on est´a dir´ectamente relacionada a la deflexi´on producida, puesto que la desviaci´on transversal en un punto espec´ıfico se convierte en el brazo del momento flector para la carga axial presente. En los casos de peque˜ na desviaci´ on transversal el´astica, el momento flexionante adicional atribuible a la carga axial es despreciable. Sin embargo, en la mayor´ıa de los paquetes de software de elemento finito, los an´alisis de pandeo y endurecimiento por tensi´on est´an disponibles como opciones cuando tal elemento es usado en el an´ alisis. (El lector debe estar prevenido que los efectos de pandeo y endurecimiento por tensi´on s´olamente son verificados si el del software expl´ıcitamente los especifica). Para el prop´osito presente, nosotros asumimos que las cargas axiales son tales que estos efectos secundarios no son de preocupaci´ on, y la carga axial es independiente de los efectos de flexi´on. En tal caso, el comportamiento mec´ anico axial del elemento marco se considera independiente del comportamiento transversal y se puede usar el principio de superposic´on de efectos. En este sentido podemos considerar al elemento–marco como superposici´ on del elemento–viga y el elemento–barra. M M
F
M
F
x
(x)
F
F M(x) = M - F(x)
(a) Solicitaci´ on sobre elemento marco
M(x)
(b) Efecto mec´ anico del esfuerzo axial
Figura 4.12: Reducci´ on de la rigidez flexionante por efectos axiales Siendo este el caso, nosotros simplemente podemos agregar el comportamiento de rigidez axial del elemento barra al comportamiento de rigidez flexionante del elemento viga para obtener la matriz de rigidez de dimensi´ on 6×6 (por el n´ umero de desplazamientos nodales – v´ease la Figura 4.11) del
4.7. EL ELEMENTO MARCO
107
elemento marco, entonces −EA L EA L
0
0
0
0
0
0
0
0
0 [ ke ] = 0 0
0
0
0
12EIz L3 6EIz L2 −12EIz L3 6EIz L2
6EIz L2 4EIz L −6EIz L2 3 2EIz L
−12EIz L3 −6EIz L2 12EIz L3 −6EIz L2
EA L −EA L
0 0
6EIz L2 2EIz L −6EIz L2
(4.44)
4EIz L
la cual se v´e que es simplemente en notaci´on concisa particionada [kbarra ] [ 0 ] [ ke ] = [ 0 ] [kviga ]
(4.44a)
que representa una superposici´ on no–acoplada de rigideces axial y transveral del elemento lineal que estamos desarrollando. Agregando la capacidad axial al elemento viga se elimina la restricci´on que tales elementos se alineen linealmente y habilitan el uso del elemento en el an´alisis de estructuras tipo marco plano (llamados tambi´en p´ orticos) en el que las juntas de uni´on poseen resistencia a la flexi´on; es decir transmiten momentos flexionantes. Para tales aplicaciones, la orientaci´on del elemento en el sistema de coordenadas global debe ser considerada, como era el caso con el elemento barra de una cercha plana. U5
2 2
U6
x
u2
Y
U4
y
U2 1
u1
U3
1
(a) Referidos al sistema coordenado local
U1
X
(b) Referidos al sistema coordenado global
Figura 4.13: Desplazamientos nodales del elemento marco La Figura 4.13(a) muestra un elemento marco orientado a un ´angulo ψ arbitrario respecto del eje X de un sistema referencial coordenado global, y muestra los desplazamientos nodales del elemento referidos a su propio sistema coordenado. Aqu´ı, nosotros usamos el s´ımbolo ψ para indicar el ´angulo de orientaci´ on para evitar confusi´ on con la deformaci´on angular nodal, denotada como θ. La Figura 4.13(b) muestra los desplazamientos globales asignados al elemento, donde de nuevo hemos adoptado un solo s´ımbolo para los desplazamientos con un sub–´ındice que se incrementa num´ericamente de nodo a nodo. Antes de proceder, notemos que es conveniente aqu´ı re–ordenar los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento dada por la Ecuaci´ on (4.44), para que el vector de desplazamientos de elemento en el marco de referencia local sea establecido como u1 υ1 θ1 {δ} = (4.45) u2 υ2 θ2
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
108
y, la matriz de rigidez de elemento referido a su propio sistema coordenado como EA L 0 0 [ ke ] = −EA L 0 0
0
0
12EIz L3 6EIz L2
6EIz L2 4EIz L
0
0
−12EIz L3 6EIz L2
−62EIz L2 2EIz L
−EA L 0 0 EA L 0 0
0 −12EIz L3 −6EIz L3 0 12EIz L3 −6EIz L4
0
0 −6EIz L2 4EIz L 6EIz L2 2EIz L
(4.46)
Usando la Figura 4.13, los desplazamientos locales del elemento son escritos en t´erminos de los desplazamientos globales como u1 = U1 cos ψ + U2 sin ψ υ1 = −U1 sin ψ + U2 cos ψ θ1 = U3 u2 = U4 cos ψ + U5 sin ψ υ2 = −U4 sin ψ + U5 cos ψ θ2 = U6 Si las relaciones anteriores las escribimos en forma matricial, resulta cos ψ sin ψ 0 0 0 0 u1 U1 U2 − sin ψ cos ψ 0 0 0 0 υ 1 U 0 0 1 0 0 0 θ1 3 = 0 0 0 cos ψ sin ψ 0 u2 U4 U5 0 0 0 − sin ψ cos ψ 0 υ 2 U6 0 0 0 0 0 1 θ2
(4.47)
o, en forma sint´etica {δ} = [ R ]{U }, donde [ R ] es la matriz de transformaci´on de desplazamientos de elemento marco. De manera exactamente an´aloga a aquella planteada en la Secci´on 3.3, f´acilmente se demuestra que la matriz de rigidez global de elemento (dimensi´on 6×6) referida al sistema coordenado de toda la estructura est´ a dada por [ Ke ] = [ R ]T [ ke ][ R ] (4.48) Debido a su complejidad algebr´ aica, la Ecuaci´on(4.48) no se extiende aqu´ı para obtener un resultado general. M´ as bien, los c´ alculos indicados fueron desarrollados para describir las caracter´ısticas espec´ıficas del elemento y mejor ser´ıa que sean realizados en su valoraci´on num´erica por un programa de computadora. El ensamble de las ecuaciones del sistema para un modelo de elemento finito que usa el elemento marco, es efectuado de manera id´entica a los procedimientos seguidos para las cerchas, como fu´e discutido en el Cap´ıtulo 3. El ejemplo simple siguiente ilustra el procedimiento. Ejemplo 4.4. El marco de la Figura 4.14(a) est´ a compuesto de dos elementos id´enticos que tienen secci´on transversal cuadrada de 1 pulg de arista, y un m´ odulo de elasticidad de 107 lb/pulg2 . Los apoyos en O y C ser´an considerados completamente fijos (empotrados). La viga horizontal est´a sujeta a una carga uniforme de intensidad 10 lb/pulg, como se muestra. Use dos elementos marco para calcular los desplazamientos
4.7. EL ELEMENTO MARCO
109
10 lb/pulg
Y u2
B
C
U5
U9
U4
20 pulg
2
U6 20 pulg
U8
v2 2
U7
1
u1
U2 v1 U3
O (a) Solicitaci´ on aplicada y apoyos
U1
1
X
(b) Codificaci´ on estructural adoptada
(c) Elemento 1
Figura 4.14: Marco plano solicitado por carga distribuida y la rotaci´ on en B. > Soluci´ on Usando los datos especificados, el ´ area de secci´on transversal es A = 1×1 = 1 pulg2 , y el momento de inercia alrededor del eje z centroidal es Iz = a4 /12 = 14 /12 = 0,083 pulg4 . Denotando el miembro OB como el elemento 1 y el miembro BC como el elemento 2, se v´e que ambos tienen id´entica longitud L = 20 pulg. Las matrices de rigidez locales, o sea referidas a los sistemas coordenados propios de cada elemento son id´enticas y est´ an definidas por la Ecuaci´on (4.46). Evaluando num´ericamente con los datos anteriores, tendr´ıamos 5(105 ) 0 0 −5(105 ) 0 0 0 1250,4 12504 0 −1250,4 12504 0 12504 166720 0 −12504 83360 [ k (1) ] = [ k (2) ] = −5(105 ) 0 0 5(105 ) 0 0 0 −1250,4 −12504 0 1250,4 −12504 0 12504 83360 0 −12504 166720 Escogiendo el sistema coordenado global y la numeraci´on de desplazamientos como en la Figura 4.14(b), observamos que el elemento 2 no requiere ninguna transformaci´on, puesto que su sistema coordenado local es de ejes paralelos al sistema global, con el que est´a alineado en todas las direcciones espaciales. Por ello, la matriz de rigidez local previamente calculada es la misma que su matriz de rigidez global; es decir: [ K (2) ] = [ k (2) ]. Sin embargo, como es mostrado en la Figura 4.14(c), el elemento 1 requiere transformaci´ on. Usando ψ = π/2, las Ecuaciones (4.47) y (4.48) se aplican para obtener 1250,4 0 −12504 1250,4 0 −12504 0 5(105 ) 0 0 −5(105 ) 0 −12504 0 166720 12504 0 83360 (2) [K ] = 1250,4 0 12504 1250,4 0 12504 0 −5(105 ) 0 0 5(105 ) 0 −12504 0 83360 12504 0 166720 Note particularmente c´ omo la matriz de rigidez del elemento 1 cambia como resultado de la rotaci´on de 90◦ . Los valores de los coeficientes individuales en la matriz de rigidez est´an inalterados, pero su ubicaci´ on se altera. La posici´ on de los t´erminos en la matriz de rigidez se cambia para reflejar, bastante simplemente, las direcciones de los desplazamientos transversales asociados con la flexi´on y aquellos
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
110
axiales asociados con el alargamiento o la contracci´on cuando se describe el comportamiento mec´anico del elemento en el sistema global coordenado. Tabla 4.5: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 0 0 0
0 0 0 1 2 3 4 5 6
La correspondencia de desplazamientos se muestra en la Tabla 4.5, y la matriz de rigidez del sistema ensamblada por el procedimiento de transporte de coeficientes se muestra en la Ecuaci´on (?). Notemos, como de costumbre, el “traslape” de las matrices de rigidez de elemento en los desplazamientos asociados con los nodos comunes. En estas posiciones en la matriz de rigidez global, los t´erminos de rigidez de los elementos individuales son aditivos (algebr´aicamente). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1250,4 0 −12504 1250,4 0 −12504 0 0 0 0 500000 0 0 −500000 0 0 0 0 −12504 0 166720 12504 0 833360 0 0 0 1250,4 0 1250 501250,4 0 12504 −500000 0 0 0 −500000 0 0 501250,4 12504 0 −1250,4 12504 [ K ]= −12504 0 83360 12504 12504 333440 0 −12504 83360 0 0 0 −500000 0 0 500000 0 0 0 0 0 0 −1250,4 −12504 0 1250,4 −12504 0 0 0 0 12504 83360 0 −12504 166720
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(?) Usando la matriz de rigidez de sistema calculada previamente, y usando los resultados obtenidos en la Ecuaci´on (4.43) para las cargas nodales equivalentes a la carga distribuida actuante sobre el elemento 2, las ecuaciones de equilibrio de la estructura congregadas por el ensamble efectuado son RX1 U1 R X1 U2 R Y 1 U 3 M R1 U 4 0 [ K ] U5 = −100 U6 −333,3 U 7 R X3 U 8 R − 100 Y 3 U9 MR3 + 333,3 donde denotamos las fuerzas en los nodos 1 y 3 como las componentes de reacci´on, debidas a las restricciones de desplazamiento U1 = U2 = U3 = U7 = U8 = U9 = 0. Tomando ´estas restricciones en
4.8. EL ELEMENTO RECTIL´INEO GENERAL
111
consideraci´ on, las ecuaciones a ser resueltas para los desplazamientos activos son entonces 501250,4 0 12504 U4 0 0 501250,4 12504 U5 = −100 12504 12504 333440 U6 333,3 La soluci´ on simult´ anea d´ a los valores de desplazamiento siguientes U4 = 2,47974(10−5 ) pulg U5 = −1,74704(10−4 ) pulg U6 = −9,94058(10−4 ) rad Como de costumbre, las componentes de reacci´on de apoyo pueden obtenerse sustituyendo los desplazamientos calculados en las seis ecuaciones de restricci´on que a´ un no fueron consideradas. Para el elemento marco (viga con capacidad axial), el c´alculo de tensi´on normal interna debe tomar en consideraci´ on la superposici´on de tensi´on normal proveniente de la flexi´on y la tensi´on axial directa. Para el elemento 1, por ejemplo, usamos la Ecuaci´on (4.47) con ψ = π/2 para calcular los desplazamientos locales del elemento como U1 0 1 0 0 0 0 u1 0 U2 −1 0 0 0 0 0 υ1 0 U3 0 0 0 1 0 0 0 θ1 = = −4 U4 −1,74704(10 ) u2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 −2,47974(10−5 ) U5 υ 2 −4 −9,94058(10 ) U6 0 0 0 0 0 1 θ2 Las tensiones normales provenientes de la flexi´on se calculan en los nodos 1 y 2 aplicando las Ecuaciones (4.24) como 6 2 2 −5 −4 7 σx (x = 0) = ±0,5(10 ) (−2,47974)(10 ) − (−9,94058)(10 ) = ±495,2 lb/pulg 202 20 6 2 2 7 −5 −4 σx (x = L) = ±0,5(10 ) (2,47974)(10 ) + (2)(−9,94058)(10 ) = ±992,2 lb/pulg 202 20 y, la tensi´ on axial calculada mediante σx = E = E(u2 − u1 )/L es σx = 107
−1,74704(10−4 ) 2 = −87,35 lb/pulg 20
Luego, superponiendo los resultados, podemos indicar que la magnitud de tensi´on m´as grande ocurre en el nodo 2, en el que la tensi´on normal axial compresiva se agrega a la porci´on compresiva de la distribuci´ on de tensi´ on normal proveniente de la flexi´on, para dar como resultado final σxm´ax = −1079,6 lb/pulg
2
(compresi´on)
La evaluaci´ on de las tensiones internas en el elemento 2 es mucho m´as simple, puesto que no se requiere efectuar una transformaci´ on de desplazamientos (los desplazamientos globales de soluci´on hallados, son al mismo tiempo desplazamientos de tipo local — referidos a su propio sistema coordenado); > y este breve c´ alculo se deja al lector como ejercicio complementario a ´este ejemplo.
4.8.
El elemento rectil´ıneo general
Un elemento rectil´ıneo tri–dimensional general es capaz de presentar deformaciones axiales, torsionales, como tambi´en deflexiones flexionantes en dos planos espaciales. Para examinar las caracter´ısticas
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
112
y
z q z(x)
w1
x
z
y1
(a) Definici´ on de sistema coordenado local
w2 x
2
1 L
y2
(b) Desplazamientos nodales locales y solicitaci´ on
Figura 4.15: El elemento rectil´ıneo general tri–dimensional
de rigidez de tal elemento y obtener la matriz de rigidez para el mismo, nosotros primero extendemos el elemento marco de la secci´ on anterior para incluir la flexi´on en dos planos mutuamente ortogonales, y luego agregaremos la capacidad de respuesta torsional. La Figura 4.15(a) muestra un elemento marco con un sistema coordenado local o propio del mismo, en el que el eje x corresponde al eje longitudinal del miembro y se asume que pasa a trav´ez del centroide de todas las secciones transversales a lo largo de la longitud. Los ejes y y z se asumen que corresponden a los ejes principales de los momentos de inercia de ´area de la secci´on transversal [29]. Si ´este no es el caso, el tratamiento de la flexi´ on simult´anea en dos planos y la superposici´on de efectos de comportamiento seg´ un los estados de solicitaci´on al que est´a sometido este elemento no producir´a los resultados correctos que son esperados [43]. Para la flexi´ on alrededor del eje z (i.e., el plano de flexi´on es el plano xy), la matriz de rigidez de elemento est´ a dada por la Ecuaci´ on (4.37). Para la flexi´on alrededor del eje y, el plano de flexi´on es el plano xz, como se aprecia en la Figura 4.15(b), que muestra un elemento viga definido por los nodos 1 y 2, sujeto a una carga distribuida qz (x) que suponemos act´ ua seg´ un la direcci´on z positiva. Los desplazamientos nodales en la direcci´ on z se denotan como w1 y w2 ; mientras que las rotaciones nodales son θy1 y θy2 . Para este caso, es necesario agregar el sub´ındice del eje y a las rotaciones nodales para identificar espec´ıficamente el eje sobre el que las rotaciones son medidas. En este contexto, las rotaciones correspondientes al plano de flexi´on xy se denotan θz1 y θz2 de aqu´ı en adelante. Tambi´en es importante notar que, en la Figura 4.15(b), el eje y es perpendicular al plano de la p´agina con el sentido positivo ingresando hacia ella. Por consiguiente, las rotaciones mostradas son positivas sobre el eje y por la regla de mano–derecha. Notando la diferencia en el sentido positivo de la rotaci´on relativa a los desplazamientos lineales, un desarrollo an´alogo a aquel usado para el elemento viga en las Secciones 4.3 y 4.4 resulta en la matriz de rigidez de elemento para el plano xz, considerado plano de flexi´on del elemento, como
[ ke ]xz
12 −6L −12 −6L E Iy −6L 4L2 6L 2L2 = 3 −12 6L 12 6L L −6L 2L2 6L 4L2
(4.49)
Las u ´nicas diferencias entre la matriz de rigidez en el plano de flexi´on xz y aquella correspondiente para el plano xy, se ve que son los cambios de signo en los t´erminos fuera de la diagonal–principal, y el hecho que la rigidez caracter´ıstica depende del momento de inercia de ´area Iy , que en este caso es el pertinente por ser el eje y aquel alrededor del cual ocurre la curvatura del elemento. Combinando en secuencia la matriz de rigidez de elemento en su comportamiento axial, la matriz de rigidez flexionante en el plano xy, y la matriz de rigidez flexionante en el plano xz dada por la Ecuaci´on (4.49), las ecuaciones de equilibrio de elemento para un miembro estructural que soporta
4.8. EL ELEMENTO RECTIL´INEO GENERAL
113
flexi´on en dos planos, con rigidez axial adicionalmente, se escriben en forma matricial como u1 fx1 u2 fx2 υ f 1 y 1 Mz1 θz1 [kbarra ] [ 0 ] [0] υ2 fy2 [ ke ] = [ 0 ] [kviga ]xy [ 0 ] = Mz2 θz2 [0] [ 0 ] [kviga ]xz w1 fz1 θ y1 My 1 w2 fz2 θ y2 My 2
(4.50)
donde la matriz indicada en la anterior ecuaci´on es la matriz de rigidez de elemento [ ke ] desacoplada, los s´ımbolos υ y w denotan desplazamientos, θ especifica rotaciones, f denota fuerzas de reacci´on internas, y M identifica momentos de reacci´on internos; todos ellos de car´acter nodal y referidos al propio sistema coordenado de elemento (sistema local). Por ejemplo para el caso de flexi´on del elemento en el plano xz, las cargas nodales equivalentes correspondientes a una carga linealmente distribuida qz (x) aplicada al elemento, se calculan en base a la equivalencia de trabajo mec´ anico (como se lo hizo en la Secci´on 4.6). Para una carga distribuida linealmente y uniforme a lo largo de toda la longitud del elemento, actuando seg´ un el sentido positivo del eje z, qz (x) = qz (cte), el vector de cargas nodales equivalentes se demuestra que es qz L 2 f qz −qz L2 1 Mqz1 12 (4.51) = qz L fqz 2 2 Mqz2 qz L2 12
valores que se obtienen utilizando las relaciones integrales que involucran las funciones de interpolaci´on polin´ omicas y´ a especificadas anteriormente (polinomios de Hermite), con la u ´nica variante que las funciones de interpolaci´ on asociadas a las rotaciones deben ser cambiadas de signo para tener consistencia con la definici´ on de estos desplazamientos angulares alrededor del eje y, tal como muestra la Figura 4.15(b).
L 1
T1
G, J
Mx1
T2
Mx2 2
x
(a) Eje circular con solicitaci´ on torsional
x
(b) Notaci´ on torsional de elemento finito
Figura 4.16: El elemento rectil´ıneo eje circular La adici´ on de torsi´ on al elemento rectil´ıneo general es cumplida con referencia a la Figura 4.16(a) que muestra un cilindro circular sujeto a solicitaci´on torsional (al cual de forma com´ un se lo denomina eje) mediante momentos torsores o cuplas aplicadas en planos transversales al eje axial en sus secciones ubicadas en los extremos de este miembro circular. Un elemento finito correspondiente se muestra en la Figura 4.16(b), donde los nodos son los puntos 1 y 2 coincidentes con los centroides de las secciones transversales extremas; el eje del cilindro es el eje x, y los momentos torsores son positivos acorde a la regla de mano–derecha. Por la teor´ıa elemental de mec´anica de s´olidos deformables, es bien conocido
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
114
que el ´angulo de torsi´ on por unidad de longitud de un cilindro circular el´astico, de seccci´on transversal uniforme, sujeto a un torque T est´ a dado por φ=
dθ T = dx GJ
(4.52)
donde J es el momento polar de inercia del ´area se secci´on transversal y G es el m´odulo de elasticidad transversal del material, o m´ odulo de Young. Como el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud es constante, el ´ angulo total de rotaci´ on del elemento puede expresarse en t´erminos de las rotaciones nodales y el momento torsor aplicado como θx2 − θx1 =
TL GJ
(4.53)
y, de aqu´ı resulta GJ (θx2 − θx1 ) = kT (θx2 − θx1 ) (4.54) L donde kT = GJ/L es el coeficiente de rigidez de resorte torsional equivalente para el eje. La comparaci´ on de la Ecuaci´ on (4.54) con la Ecuaci´on (2.2) para un resorte linealmente el´astico y la consideraci´ on de la condici´ on de equilibrio Mx1 + Mx2 = 0, permite directamente plantear las ecuaciones de comportamiento mec´ anico de equilibrio de elemento: G J 1 −1 θx1 Mx1 = (4.55) θx2 Mx2 L −1 1 T =
de modo que la matriz de rigidez torsional del elemento eje es G J 1 −1 [ k ]eje = L −1 1
(4.56)
Mientras que este desarrollo es, hablando estrictamente, aplicable s´olo a una secci´on transversal circular, una rigidez torsional equivalente Jeq G/L es conocida para muchas secciones transversales estructurales comunes, las cuales pueden obtenerse de los manuales de propiedades estructurales normales o de textos de mec´ anica de s´ olidos. Agregando las caracter´ısticas torsionales al elemento rectil´ıneo general, las ecuaciones que gobienan su comportamiento mec´ anico resultan ser u1 fx1 fx2 u2 υ f 1 y 1 Mz1 θz1 [kbarra ] [ 0 ] [0] [0] υ f y 2 2 [ 0 ] [kviga ]xy [ 0 ] [ 0 ] Mz2 θz2 (4.57) = fz1 w1 [0] [ 0 ] [k ] [ 0 ] viga xz My1 θ y1 [0] [0] [ 0 ] [keje ] f w 2 z 2 My2 θ y2 θ M x x 1 1 θx2 Mx2 y la matriz de rigidez final para un elemento rectil´ıneo general tri–dimensional se observa que es una matriz sim´etrica de dimensi´ on 12×12 compuesta de matrices individuales de rigidez que representan comportamiento axial, comportamiento flexionante en dos planos, y comportamiento torsional. El elemento rectil´ıneo general puede utilizarse en los an´alisis de elemento finito de estructuras marco tri–dimensionales. Como con la mayor´ıa de los elementos finitos, es a menudo necesario transformar
4.9. COMENTARIOS FINALES
115
las matrices de elemento desde el sistema coordenado local hacia el sistema de coordenadas globales. El procedimiento de transformaci´ on es bastante similar a aquel discutido para el elemento barra y los elementos viga bi–dimensionales; excepto, por supuesto, que con un grado de complejidad algebr´aica agregada, proveniente del tama˜ no de la matriz de rigidez y ciertos detalles requeridos para describir la orientaci´ on espacial relativa del elemento. Estos detalles en el desarrollo de formulaci´on completa del comportamiento mec´ anico del elemento rectil´ıneo general los dejamos a la curiosidad del lector. Un libro que presenta el m´etodo dir´ecto de rigidez aplicado a elementos estructurales lineales es uno que escrib´ı hace tiempo atr´ as [20], el cual es una fuente de consulta documental muy recomendada.
4.9.
Comentarios finales
En este cap´ıtulo, se formularon elementos finitos para la deflexi´on de una viga usando la teor´ıa de flexi´ on elemental de la mec´ anica b´asica de materiales s´olidos. Los elementos resultantes son muy u ´tiles en el proceso de modelado de las estructuras marco en dos o tres dimensiones. Un elemento general tridimensional desarrollado al final de ´este cap´ıtulo que incluye efectos axiales, flexionantes, y torsionales; en efecto, fu´e obtenido aplicando el principio de superposici´on de comportamiento mec´anico a cuatro estructurales mucho m´as simples: un elemento barra, dos elementos viga, y un elemento eje. En el desarrollo de los elementos viga, el endurecimiento de los elementos que se debe a las cargas tensoras, la posibilidad de pandeo bajo carga axial compresiva, y los efectos de los esfuerzos cortantes transversales, no han sido incluidos en la formulaci´on general planteada en el cap´ıtulo. Pero, sin embargo, debemos mencionar que los paquetes de software de elemento finito comerciales, consideran cada una de estas preocupaciones mediante una opci´on que puede tomarse en cuenta en el momento de la entrada de datos, a discreci´ on del si es que ´este desea utilizarlos en el proceso de c´alculo de su dise˜ no.
Problemas propuestos 4.1. Se conectan dos elementos viga id´enticos a un nodo com´ un como es mostrado en la Figura P4.1. Asumiendo que los desplazamientos nodales υi , θi son conocidos, usar la Ecuaci´on (4.23) para mostrar que la tensi´ on normal interna σx es, en general, discontinua en el l´ımite com´ un de ambos elementos (i.e., en el nodo 2). Bajo que condicion(es) la tensi´on normal interna ser´ıa continua entre elementos?.
1
2
3
Figura P4.1 4.2. Para el elemento viga cargado como muestra la Figura P4.2, construya los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector internos. Cual es la importancia de estos diagramas respecto a las Ecuaciones (4.10), (4.13), y la relaci´on V = dM/dx de la teor´ıa de la mec´anica de s´olidos deformables b´ asica ?.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
116
F
F 1 M1
M2 2
L
Figura P4.2 4.3. Para una viga uniformemente cargada como se muestra en la Figura P4.3, la teor´ıa de mec´anica de s´olidos d´ a la deflexi´ on m´ axima como 5 q L4 υm´ax = − 384 E Iz en x = L/2. Tratar esta viga como un solo elemento finito y calcular la deformaci´on m´axima. C´omo se comparan los valores hallados ?. Existe adecuada coincidencia seg´ un el criterio de comparaci´on planteado ?. y q
x L
Figura P4.3 4.4. El elemento viga mostrado en la Figura P4.4 se solicita mediante una carga linealmente variable de intensidad m´ axima q0 . Usando el criterio del principio de equivalencia del trabajo mec´anico, determine las fuerzas y momentos nodales equivalentes. y q0
x
L
Figura P4.4 4.5. Use los resultados del Problema 4.4 para calcular la deflexi´on en el nodo 2 de la viga mostrada en la Figura P4.5, si la estructura se trata como un solo elemento finito. y q0 1
Figura P4.5
E, Iz, L
2
x
Problemas propuestos
117
4.6. Para el elemento viga de la Figura P4.5, calcule la fuerza y el momento de reacci´on en el apoyo empotrado (nodo 1). Calcule tambi´en la tensi´on normal m´axima debida a la flexi´on, asumiendo que la altura de la viga es 2h. C´omo se hace la comparaci´on del valor de tensi´on obtenido ˙ con la tensi´ on m´ axima proporcionada por la teor´ıa b´asica de la mec´anica de s´olidos deformables?. 4.7. Repita el Problema 4.5 usando dos elementos de longitudes iguales. Para este problema, considere: E = 3×107 lb/pulg2 , Iz = 0,1 pulg4 , L = 10 pulg, q0 = 10 lb/pulg. 4.8. Considere la viga mostrada en la Figura P4.8. Cual es el n´ umero m´ınimo de elementos que pueden usarse para modelar este problema con adecuada exactitud? Construya el vector de carga nodal global correspondiente a su respuesta. P
q0
L/3
L/3
L/3
Figura P4.8 4.9. Cual es la justificaci´ on para escribir la Ecuaci´on (4.26) en la forma de la Ecuaci´on (4.27) ?. 4.10. — 4.11. — 4.12. — 4.13. — 4.14. — 4.15. Para cada viga mostrada en la figura asociada, calcule la deflexi´ on en los puntos nodales. El m´odulo de elasticidad es E = 107 lb/pulg2 y la secci´ on transversal de cada una de las vigas es como se muestra en cada figura. Tambi´en calcule la tensi´ on normal flexionante m´axima en cada caso. Use el m´etodo de elemento finito elaborando para cada situaci´ on un modelo con el n´ umero m´ınimo de elementos. 10 lb/pulg 500 lb 10 pulg
2 p u l g
30 pulg
0.5 pulg
1 pulg
10 pulg
10 pulg
Figura P4.10
Figura P4.11 200 lb 18 pulg
40 mm
45 N/m
10 mm 30 mm
6 pulg
0.5 pulg
2 pulg
400 lb/pulg
1 pulg
0.3 m
Figura P4.12
0.3 m
Figura P4.13 45 N/m
40 mm
10 mm 30 mm
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
118
500 lb 10 pulg
200 lb 8 pulg
8 pulg D
2 pulg
300 lb
200 lb 10 pulg
20 pulg
10 pulg 2 pulg
D2 = 1.0 pulg
D1 = 1.5 pulg
400 lb-pulg
0.25 pulg
Figura P4.14
Figura P4.15
4.16. El elemento viga de secci´ on transversal variable mostrado en la Figura P4.16, tiene espesor t uniforme (perpendicular al dibujo) y var´ıa linealmente en altura desde un valor 2h en su extremo izquierdo hasta h en el extremo derecho. Empezando con la Ecuaci´on (4.27), deduzca la expresi´ on de energ´ıa de deformaci´ on para el elemento en una forma similar a aquella utilizada para establecer la Ecuaci´ on (4.29). y
h
2h
x
L
Figura P4.16 4.17. Usar los resultados del Problema 4.16. para deducir el valor de la componente k11 de la matriz de rigidez de elemento. 4.18. La matriz de rigidez completa en todos sus t´erminos del elemento de secci´on transversal linealmente variable del Problema 4.16. est´a dada por 243 156L −243 87L 2 Eth3 −156L 42L2 156L 56L [ ke ] = 243 −87L 60L3 −243 −156L 87L 42L2 −87L 45L2 t =0.25 pulg t =0.25 pulg
0.875 pulg
1 pulg
10 lb
10 lb
0.5 pulg
0.5 pulg
6 pulg
6 pulg
12 pulg
(a)
(b)
Figura P4.18
a. Usando la matriz de rigidez especificada anteriormente con E = 107 lb/pulg2 , calcular la deflexi´ on del nodo 2 para el elemento cargado como se muestra en la Figura P4.18(a). b. Aproximar el elemento original por dos elementos de secci´on transversal constante como se aprecia en la Figura P4.18(b), y calcular la deflexi´on m´axima. c. Que resultado arroja la comparaci´on de las soluciones obtenidas para los incisos anteriores ?.
Problemas propuestos
119
d. Evaluar mediante ambos modelos la tensi´on normal m´axima proveniente de la flexi´on y comparar los resultados. 4.19. Las seis ecuaciones de equilibrio est´atico de un elemento marco plano en el sistema coordenado local (propio del mismo elemento) se expresan en forma matricial como [ ke ]{δe } = {fe }, con el vector {δe } dado como en la Ecuaci´on (4.45), [ ke ] por la Ecuaci´on (4.46), y {fe } como el vector de cargas nodales locales definido mediante T {fe } = f1x f1y M1 f2x f2y M2 Para un elemento orientado en un ´angulo ψ arbitrario respecto al eje X del sistema global coordenado, convertir las ecuaciones de equilibrio hacia el sistema coordenado global y verificar el cumplimiento de la Ecuaci´ on (4.48). 4.20. Use la Ecuaci´ on (4.47) para expresar la energ´ıa de deformaci´on acumulada por un elemento marco en t´erminos de los desplazamientos globales. Aplicar el principio de la energ´ıa potencial m´ınima para deducir la expresi´on matricial que describe el comportamiento mec´anico de equi´ librio est´ atico referida al sistema coordenado global. (Advertencia: Este procedimiento puede resultar muy tedioso, si es que usted no sistematiza su deducci´on). 4.21. La estructura marco bidimensional mostrada en la Figura P4.21 est´a compuesta de dos de acero estructural (E = 107 lb/pulg2 ) con dimensiones de secci´on rectangular de 2×4 pulg, donde la dimensi´ on de 2 pulg es perpendicular al plano de carga o plano que contiene la estructura. Todas las conexiones se tratan como uniones soldadas. Usando dos elementos marco–plano y la numeraci´ on de nodos mostrada, determine 30 pulg 20 lb/pulg
3
1200 lb
2 1500 lb _ pulg
30 pulg
1
Figura P4.21
a. b. c. d. e.
La matriz de rigidez global. El vector de cargas nodales globales (de toda la estructura). Las componentes de desplazamiento en el nodo 2. Las fuerzas y momentos de reacci´on de apoyo en los nodos 1 y 3. La tensi´ on normal m´ axima en cada uno de los elementos.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
120
4.22. Repetir el Problema 4.21. para el caso en el que la conexi´on entre elementos en el nodo 2 es una conexi´on articulada (que no transmite momentos flectores). 4.23. La estructura marco mostrada en la Figura P4.23 es la estructura soporte para un guinche localizado en el punto de aplicaci´ on de la carga W. Los apoyos en A y B son completamente fijos (apoyos empotrados). Se sueldan otras conexiones a esta estructura. Asumiendo que la estructura va a ser modelada usando el n´ umero m´ınimo de elementos marco:
w A
B
Figura P4.23 a. b. c. d.
Cuantos elementos son necesarios en el modelo ?. Cual es el tama˜ no de la matriz de rigidez global y´a ensamblada ?. Cuales son las condiciones de borde l´ımite de restricci´on de desplazamiento ?. Cual es el tama˜ no de la matriz de rigidez reducida luego que se han aplicado las condiciones de restricci´ on ?. e. Asumiendo que una soluci´ on de elemento finito es obtenida para este problema, cuantos pasos ser´an necesarios para extablecer la exactitud de la soluci´on hallada ?.
4.24. Repetir el Problema 4.23. para la estructura marco plano mostrada en la Figura P4.24.
w
Figura P4.24 4.25. Verificar la exactitud de la Ecuaci´ on (4.51) por un proceso de c´alculo dir´ecto. 4.26. La viga en voladizo esquematizada en la Figura P4.26 est´a sometida a solicitaci´on flexionante en dos planos. Las cargas son aplicadas tal que los planos de flexi´on corresponden a los momentos principales de inercia. Notando que no est´an presentes ninguna carga axial o torsional, modele la viga como un solo elemento finito (esto es, construya la matriz de rigidez de dim 8×8 que s´olo contiene coeficientes asociados con las condiciones de flexi´on) y calcular las deflexiones del extremo libre, en el nodo 2. Determine la ubicaci´on exacta y magnitud de la m´axima tensi´on normal proveniente de la flexi´ on en dos planos. (Use E = 207 GPa).
Problemas propuestos
121
y
y 1.5 m
500 N
z x
z
6 cm 3 cm
300 N
Figura P4.26 4.27. Repetir el Problema 4.26. para el caso en el cual las fuerzas concentradas aplicadas son reemplazadas por una carga uniformemente distribuida a lo largo de toda la longitud del miembro, con componentes qy = 6 N/cm y qz = 4 N/cm actuando seg´ un las direcciones positivas y y z del sistema coordenado, respectivamente.
Capítulo
5
El m´ etodo de residuos ponderados
Hemos mencionado que el m´etodo de elemento finito es un procedimiento para obtener soluciones aproximadas a problemas gobernados por ecuaciones diferenciales (tanto ordinarias como parciales). En este Cap´ıtulo mostraremos como hallar la soluci´on de una ecuaci´on diferencial convirti´endola en una relaci´ on integral para la cual exigimos la minimizaci´on del error residual en el mismo dominio de definici´ on original. Con este objetivo presentaremos el m´etodo de residuos ponderados, y una variante del mismo que da lugar al elemento finito de Galerkin. La utilizaci´ on de este tipo particular de elemento finito (formulado originalmente por Galerkin) es relativamente sencilla en su formulaci´on asociada a problemas que plantea la mec´anica del medio cont´ınuo; por ello explotando esta singular ventaja mostramos aplicaciones de este m´etodo particular a los elementos estructurales barra y viga, y tambi´en abordamos el problema de transmis´on de calor uni–dimensional, como una simple muestra de su potencialidad.
5.1.
Introducci´ on
Los cap´ıtulos 2, 3, y 4 introdujeron algunos de los conceptos b´asicos del m´etodo de elemento finito en t´erminos de los llamados elementos lineales. El resorte lineal el´astico, el elemento barra, el elemento viga, el elemento eje, y el elemento marco son elementos lineales porque sus propiedades estructurales pueden describirse en funci´on de una sola variable espacial que identifica la posici´on a lo largo del eje longitudinal del elemento. Las relaciones fuerza–desplazamiento para los elementos lineales son establecidas de manera dir´ecta, cuando estas relaciones se describen a partir de los conceptos elementales de la mec´ anica de materiales s´olidos deformables. Para extender el m´etodo de elemento finito a situaciones m´ as generales, particularmente las aplicaciones no–estructurales, se requieren de t´ecnicas matem´ aticas adicionales. En este cap´ıtulo, el m´etodo de errores residuales ponderados se describe en general y se da ´enfasis al m´etodo de Galerkin de residuos ponderados [51] como una herramienta para la formulaci´ on de modelos de elemento finito para esencialmente cualquier problema de campo gobernado por una ecuaci´on diferencial. 123
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
124
5.2.
El m´ etodo de residuos ponderados
Es un hecho b´ asico que la mayor´ıa de los problemas pr´acticos en ingenier´ıa son gobernados por ecuaciones diferenciales. Debido a las complejidades de geometr´ıa y solicitaci´on externa aplicada, raramente es posible hallar soluciones exactas a las ecuaciones gobernantes. Por consiguiente, es indispensable la aplicaci´on de t´ecnicas de aproximaci´ on para resolver las ecuaciones diferenciales que plantea el an´alisis de ingenier´ıa efectuado sobre el problema de inter´es. De hecho, el m´etodo de elemento finito es una de tales t´ecnicas. Sin embargo, el m´etodo de elemento finito est´a basado en muchas otras t´ecnicas aproximadas m´as–fundamentales, una de las cuales es discutida en detalle en esta secci´on y subsecuentemente ser´a aplicada a la formulaci´ on de elemento finito. El m´etodo de residuos ponderados (MRP) es una t´ecnica aproximada para resolver problemas de valores l´ımite que utiliza funciones de ensayo o prueba que satisfacen las condiciones l´ımite prescritas y plantean una formulaci´ on integral para minimizar el error, en un sentido promediado, sobre el dominio de definici´on del problema. El concepto general se describe aqu´ı en t´erminos de un caso uni–dimensional pero, como se muestra en los cap´ıtulos siguientes, la extensi´on a dos y tres dimensiones es relativamente directa. Dada una ecuaci´ on diferencial de la forma general a≤x≤b
D[ y(x), x ] = 0
(5.1)
sujeta a las condiciones de borde homog´eneas y(a) = y(b) = 0
(5.1a)
el m´etodo de residuos ponderados busca una soluci´on aproximada en la forma y ∗ (x) =
n X
ci Ni (x)
(5.2)
i=1
donde y ∗ es la soluci´ on aproximada expresada como el producto de ci , par´ametros constantes desconocidos inicialmente y por ser determinados, y Ni (x) funciones de ensayo (i = 1; n). El mayor requisito puesto sobre las funciones de ensayo es que ellas sean funciones isibles; es decir, las funciones de ensayo deben ser cont´ınuas sobre el dominio de inter´es y deben satisfacer las condiciones de borde especificadas exactamente. Adem´ as, las funciones de ensayo deben ser seleccionadas para satisfacer la “f´ısica” del problema en un sentido general. Dadas ´estas condiciones algo flojas, es muy improbable que la soluci´on representada por la Ecuaci´ on (5.2) sea exacta. En cambio, la substituci´on de la soluci´on supuesta en la ecuaci´ on diferencial [Ecuaci´on (5.1)], arrojar´a un error residual (de ahora en adelante simplemente llamado residuo) tal que R(x) = D[ y ∗ (x), x ] 6= 0
(5.3)
donde R(x) es el residuo (tambi´en llamado error residual). Notemos que el residuo tambi´en es una funci´on de los par´ ametros ci desconocidos. El m´etodo de residuos ponderados requiere que los par´ametros ci sean evaluados de modo que Z
b
wi (x)R(x)dx = 0
i = 1; n
(5.4)
a
donde wi (x) representa n funciones de ponderaci´ on arbitrarias. Nosotros observamos que, en el proceso de integraci´on, la Ecuaci´ on (5.4) resulta en n ecuaciones algebr´aicas que pueden resolverse para los n valores de los par´ ametros ci . En resumen, la Ecuaci´on (5.4) expresa que la suma (integral) de los errores residuales ponderados sobre el dominio del problema es cero (tratando que la aproximaci´on planteada coincida con la soluci´ on exacta). Debido a los requisitos impuestos sobre las funciones de ensayo, la soluci´ on es al final exacta en los puntos extremos del dominio (las condiciones de borde
´ 5.2. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
125
l´ımite deben satisfacerse) pero, en general, en cualquier punto interior el error residual es distinto de cero. Como se discute posteriormente en consecuencia, el MRP puede capturar la soluci´on ex´acta bajo ciertas condiciones, pero ´esta ocurrencia es la excepci´on en lugar de la regla. Existen muchas variaciones del MRP, y las t´ecnicas var´ıan principalmente en el modo en el que los factores de ponderaci´ on son determinados o seleccionados. Las t´ecnicas m´as comunes y usuales son la colocaci´ on de punto, colocaci´ on del subdominio, m´ınimos cuadrados, y el m´etodo de Galerkin [51]. Como ´este u ´ltimo es bastante simple en su uso y es prontamente adaptable al m´etodo de elemento finito, nosotros discutiremos s´ olamente el m´etodo de Galerkin. En el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin, las funciones de ponderaci´on son escogidas de modo que sean id´enticas a las funciones de ensayo o prueba; es decir, wi (x) = Ni (x)
i = 1; n
(5.5)
Por consiguiente, los par´ ametros desconocidos son determinados mediante Z
b
Z wi (x)R(x)dx =
a
b
Ni (x)R(x)dx = 0
i = 1; n
(5.6)
a
produciendo de nuevo n ecuaciones algebr´aicas para la evaluaci´on de los par´ametros desconocidos. Los ejemplos siguientes ilustran detalles del procedimiento. Ejemplo 5.1. Utilice el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin para obtener una soluci´on aproximada de la ecuaci´on diferencial d2 y − 10x2 = 5 0≤x≤1 dx2 con las condiciones de borde extremo y(0) = y(1) = 0. > Soluci´ on La presencia del t´ermino cuadr´ atico en la ecuaci´on diferencial sugiere que las funciones de prueba con aspecto polinomial son apropiadas en este caso. Para condiciones de borde extremo l´ımite homog´eneas en x = a y x = b, la forma general N (x) = (x − xa )p (x − xb )q con p y q siendo n´ umeros enteros positivos, autom´aticamente satisfacen las condiciones de borde y son cont´ınuas en el dominio xa ≤ x ≤ xb . Usando una funci´on de prueba individual, la forma m´as simple que satisface las condiciones de borde establecidas para el problema, resulta ser N1 (x) = x(x − 1) en virtud que xa = 0 y xb = 1. Usando esta funci´on de prueba, la soluci´on aproximada a la ecuaci´on diferencial planteada, estar´ a dada por la Ecuaci´on (5.2) que en el caso particular resulta y ∗ (x) = c1 x(x − 1) y la primera y segunda derivadas son dy ∗ = c1 (2x − 1) dx d2 y ∗ = 2c1 dx2
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
126
respectivamente. (Vemos a estas alturas, que la soluci´on de ensayo seleccionada no satisface la f´ısica del problema, puesto que hemos obtenido una segunda derivada de valor constante. La ecuaci´on diferencial es tal que la segunda derivada debe ser una funci´on cuadr´atica de x. No obstante estas observaciones, continuaremos el ejemplo para ilustrar el procedimiento). La substituci´ on de la segunda derivada de y ∗ (x) en la ecuaci´on diferencial proporciona el error residual como R(c1 , x) = 2c1 − 10x2 − 5 el cual claramente es no–nulo. La substituci´on en la Ecuaci´on (5.6) nos d´a Z 1 x(x − 1)(2c1 − 10x2 − 5)dx = 0 0
la cual despu´es de la integraci´ on arroja como resultado c1 = 4, de modo que la soluci´on aproximada se expresa como y ∗ (x) = 4 x(x − 1) Para este ejemplo relativamente simple, podemos comparar el resultado de soluci´on aproximada con la soluci´on exacta, obtenida por doble integraci´on de la ecuaci´on diferencial planteada como sigue: Z 2 Z 10x3 d y dy = dx = (10x2 + 5)dx = + 5x + C1 2 dx dx 3 Z Z 10x3 dy 5x2 5x4 y(x) = dx = + 5x + C1 dx = + + C1 x + C2 dx 3 6 2 Aplicando la condici´ on de borde y(0) = 0 obtenemos C2 = 0; mientras que la condici´on y(1) = 0 proporciona 5 5 + + C1 = 0 6 2 de donde C1 = −10/3. De aqu´ı, la soluci´ on exacta vendr´a dada por y(x) =
5 4 5 2 10 x + x − x 6 2 3 x
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
- 0.2 - 0.4 y(x) - 0.6 - 0.8 -1.0
Exacta Galerkin
- 1.2
Figura 5.1: Gr´ aficas de las soluciones del Ejemplo 5.1 Una comparaci´ on gr´ afica de las dos soluciones se bosqueja en la Figura 5.1, la cual muestra que la soluci´on aproximada est´ a en acuerdo razonable con la soluci´on exacta. Sin embargo, debemos notar
´ 5.2. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
127
que la soluci´ on aproximada de un solo t´ermino es sim´etrica sobre el intervalo de inter´es. Puede verse que esto no es correcto, simplemente examinando la ecuaci´on diferencial. La perturbaci´on principal en la ecuaci´ on diferencial (escrita en la forma d2 y/dx2 = 10x2 + 5) proviene del t´ermino cuadr´atico en x; por consiguiente, es improbable que la soluci´on sea sim´etrica. El ejemplo siguiente expande la soluci´on > aproximada y muestra c´ omo el m´etodo converge hacia la soluci´on exacta. Ejemplo 5.2. Obtener una soluci´ on aproximada de dos–t´erminos de clase Galerkin al problema planteado en el Ejemplo 5.1, usando las funciones de prueba N1 (x) = x(x − 1)
N2 (x) = x2 (x − 1)
> Soluci´ on La soluci´ on aproximada con dos t´erminos en este caso es y ∗ (x) = c1 x(x − 1) + c2 x2 (x − 1) y la segunda derivada es d2 y ∗ = 2c1 + 2c2 (3x − 1) dx2 Substituyendo en la ecuaci´ on diferencial, obtenemos el residuo siguiente: R(x, c1 , c2 ) = 2c1 + 2c2 (3x − 1) − 10x2 − 5 Utilizando las funciones de prueba como funciones de ponderaci´on, por el m´etodo de Galerkin, las ecuaciones residuales resultan Z 1 x(x − 1)[2c1 + 2c2 (3x − 1) − 10x2 − 5]dx = 0 Z
0 1
x2 (x − 1)[2c1 + 2c2 (3x − 1) − 10x2 − 5]dx = 0
0
Luego de la integraci´ on y simplificaci´on de t´erminos, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones algebr´aico c2 4 c1 + =0 − − 3 6 3 c1 2c2 3 − − + =0 6 15 4 La soluci´ on simult´ anea del sistema anteriormente planteado, arroja como resultado c1 =
19 6
c2 =
5 3
de modo que la soluci´ on aproximada de dos t´erminos es y ∗ (x) =
19 5 5 3 19 x(x − 1) + x2 (x − 1) = x3 + x2 − x 6 3 3 2 6
Para comparaci´ on se dibujan: la soluci´on exacta, y las soluciones de uno y dos t´erminos, en una sola gr´afica que se muestra en la Figura 5.2. Las diferencias entre la soluci´on exacta y la soluci´on aproximada > Galerkin de dos t´erminos, son escasamente discernibles porque la coincidencia es casi plena.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
128
x 0
0
0.1
0.3
0.2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
- 0.2 - 0.4 y(x) - 0.6 - 0.8 -1.0
Exacta 1 Término 2 Términos
- 1.2
Figura 5.2: Gr´ aficas de las soluciones del Ejemplo 5.2 Ejemplo 5.3. Use el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin para obtener la aproximaci´on de un–t´ermino a la soluci´on de la ecuaci´ on diferencial d2 y + y = 4x dx2
0≥x≥1
con las condiciones de borde: y(0) = 0, y(1) = 1. > Soluci´ on Aqu´ı las condiciones de borde l´ımite no son homog´eneas [y(1) 6= 0], de modo que se requiere una modificaci´on al m´etodo presentado. Al contrario del caso de condiciones de borde l´ımite homog´eneas, no es posible construir una soluci´ on de ensayo de la forma c1 N1 (x) que satisfaga las dos condiciones l´ımite declaradas. En cambio, asumimos una soluci´on de prueba como y ∗ (x) = c1 N1 (x) + f (x) donde N1 (x) satisface las condiciones de borde homog´eneas, y f (x) se escoge de modo que satisfaga las condiciones de borde no–homog´eneas. (Notemos que, si ambas condiciones de borde fuesen no– homog´eneas, dos de tales funciones deber´ıan ser incluidas). Una de las soluciones aproximadas ser´ıa y ∗ (x) = c1 x(x − 1) + x la cual satiaface y(0) = 0 y y(1) = 1, id´enticamente como puede comprobarse. La substituci´ on en la ecuaci´ on diferencial proporciona el error residual R(c1 , x) =
d2 y ∗ + y ∗ − 4x = 2c1 + c1 x2 − c1 x + x − 4x = c1 x2 − c1 x + 2c1 − 3x dx2
y, la integral residual ponderada llega a ser Z 1 Z 1 N1 (x)R(c1 , x)dx = x(x − 1)(c1 x2 − c1 x + 2c1 − 3x)dx = 0 0
0
Aunque el manipuleo algebr´ aico es tedioso, la integraci´on es directa y proporciona c1 = 5/6. Por tanto, la soluci´on aproximada es 5 5 1 y ∗ (x) = x(x − 1) + x = x2 + x 6 6 6
´ 5.2. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
129
Como en el ejemplo anterior, tenemos el lujo de comparar la soluci´on aproximada con la soluci´on exacta, la cual es y(x) = 4 x − 3,565 sin x
1.2 Exacta Galerkin
1.0
0.8
y(x) 0.6 0.4
0.2 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Figura 5.3: Gr´aficas de las soluciones del Ejemplo 5.3 La soluci´ on aproximada y la soluci´on exacta se muestran en la Figura 5.3 para una comparaci´on. De nuevo, se observa coincidencia razonable de resultados; pero podr´ıa mejorarse agregando una segunda > funci´on de ensayo a la soluci´ on aproximada, como lo hicimos en el ejemplo anterior. C´omo uno sabe cu´ ando la soluci´ on del MRP es bastante exacta ?. Es decir, c´omo nosotros determinamos si la soluci´ on est´ a cerca de la soluci´on exacta ?. Esta pregunta de convergencia debe plantearse en todas las t´ecnicas de soluci´ on aproximadas. Si nosotros no conocemos la soluci´on exacta, y raramente lo hacemos, debemos desarrollar alg´ un criterio para determinar el grado de exactitud de nuestra soluci´on aproximada. En general, para el m´etodo de los residuos ponderados, el procedimiento es continuar obteniendo soluciones mientras se incremente el n´ umero de funciones de ensayo y notar el comportamiento de la soluci´ on al introducir estas variaciones. Si la soluci´on cambia muy poco cuando aumentamos el n´ umero de funciones de ensayo, podemos decir que la soluci´on converge. Ahora, si la soluci´on converge a la soluci´ on correcta o verdadera es todav´ıa otra pregunta a ser respondida. El detalle de estas cuestiones est´ a m´ as all´ a del alcance de este libro, un gran cuerpo de la matem´atica te´orica est´a dirigida a las preguntas sobre convergencia y si la convergencia es hacia la soluci´on correcta. En el contexto de este trabajo, nosotros asumimos que una soluci´on que converge, lo hace hacia la soluci´on correcta. Ciertas pruebas de car´ acter externo al procedimiento de la soluci´on, pueden hacerse para determinar la “racionalidad” de una soluci´on num´erica en el caso de problemas f´ısicos. Estas pruebas incluyen el equilibrio est´ atico y din´ amico, el equilibrio de energ´ıa, el balance de calor y flujo fluido, y muchos otros que se discutir´ an en los cap´ıtulos siguientes. Seguramente usted tiene la impresi´on que en los ejemplos anteriores se aplic´o una metodolog´ıa de prueba de ensayo–error; sin embargo ello est´a muy alejado de la realidad. El encontrar funciones de prueba para aplicaci´ on del m´etodo de residuos ponderados no es aleatorio como podr´ıa suponerse, porque si se usara ´esta t´ecnica se deber´ıa tener una gran experiencia en el conocimiento del an´alisis funcional. En los ejemplos anteriores, nosotros usamos funciones de prueba “preparadas” para satisfacer autom´aticamente las condiciones de borde l´ımite, pero las mismas no se basaron en un procedimiento sistem´atico. Mientras que absolutamente nada est´a equivocado con este procedimiento, presentamos ahora un procedimiento basado en funciones de ensayo polin´omicas, que dan un m´etodo sistem´atico para aumentar el n´ umero de funciones de ensayo y, de ello, una ayuda en la examinaci´on del problema
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
130
de convergencia de la soluci´ on aproximada. El procedimiento se ilustra en el contexto del ejemplo siguiente. Ejemplo 5.4. Resuelva el problema de los Ejemplos 5.1 y 5.2, asumiendo una forma polin´omica general para la soluci´on aproximada, como la siguiente y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · > Soluci´ on Para un primer ensayo, tomamos s´ olo la forma cuadr´atica y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 y, aplicamos las condiciones de borde para obtener y ∗ (0) = 0 = c0 y ∗ (1) = 0 = c1 + c2 La segunda ecuacion de condici´ on l´ımite muestra que c1 y c2 no son independientes si la condici´on l´ımite homog´enea se satisface exactamente. En cambio, obtenemos la relaci´on de restricci´on c2 = −c1 . La soluci´on de ensayo se vuelve y ∗ (x) = c1 x + c2 x2 = c1 x − c1 x2 = c1 x(1 − x) y es lo mismo que la soluci´ on obtenida en el Ejemplo 5.1, si c1 = −4. Luego, agregamos el t´ermino c´ ubico y escribimos la soluci´on de ensayo como y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 La aplicaci´on de las condiciones de borde resulta en y ∗ (0) = 0 = c0 y ∗ (1) = 0 = c1 + c2 + c3 as´ı que tenemos la relaci´ on de restricci´ on c1 + c2 + c3 = 0. Expresando esta ecuaci´on de restricci´on como c3 = −(c1 + c2 ), la soluci´ on de ensayo resulta y ∗ (x) = c1 x + c2 x2 + c3 x3 = c1 x + c2 x2 − (c1 + c2 )x3 = c1 x(1 − x2 ) + c2 x2 (1 − x) y hemos obtenido dos funciones de ensayo, cada una que satisface id´enticamente las condiciones de borde l´ımite. La determinaci´ on de las constantes para la soluci´on de dos–t´erminos se deja como ejercicio de fin de cap´ıtulo. En cambio, nosotros agregaremos el t´ermino con exponente 4, y examinaremos la soluci´on de ensayo. y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 y las condiciones de borde dan c0 = 0 c1 + c2 + c3 + c4 = 0 Usamos la relaci´ on de restricci´ on para eliminar (arbitrariamente) el coeficiente c4 [ es decir que tomamos c4 = −(c1 + c2 + c3 ) ], para obtener y ∗ (x) = c1 x + c2 x2 + c3 x3 − (c1 + c2 + c3 )x4 = c1 x(1 − x3 ) + c2 x2 (1 − x2 ) + c3 x3 (1 − x)
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
131
Substituyendo en la ecuaci´ on diferencial, el error residual resulta ser R(x, c1 , c2 , c3 ) = −12c1 x2 + c2 (2 − 12x2 ) + c3 (6x − 12x2 ) − 10x2 − 5 = −12(c1 + c2 + c3 + 5/6)x2 + 6c3 x + (2c2 − 5) Si ponemos la expresi´ on residual igual a cero, e igualamos los coeficientes de las potencias de x, hallamos que el residuo es exactamente nulo si c1 = − de modo que: y ∗ (x) =
10 3
c2 =
5 2
c3 = 0
c4 =
5 6
5 4 5 2 10 x + x − x ; y hemos obtenido la soluci´on exacta. 6 2 3
>
El procedimiento detallado en el ejemplo anterior representa un procedimiento sistem´atico para desarrollar funciones de ensayo polin´omicas y tambi´en es aplicable al caso m´as habitual de condiciones l´ımite no–homog´eneas. Algebr´ aicamente, el proceso es directo pero se pone bastante tedioso cuando el n´ umero de funciones de ensayo es aumentado (i.e., el orden del polinomio). Habiendo perfilado la t´ecnica general del m´etodo de residuos ponderados de Galerkin, ahora desarrollaremos el m´etodo de elemento finito de Galerkin basado en el MRP.
5.3.
El m´ etodo de elemento finito Galerkin
El m´etodo cl´ asico de residuos ponderados descrito en la secci´on anterior utiliza funciones de ensayo que son globales; es decir, cada funci´on de ensayo debe aplicarse sobre el dominio entero de inter´es e id´enticamente debe satisfacer las condiciones l´ımite. Particularmente en los casos pr´acticos de los problemas bi y tri–tridimensionales gobernados por ecuaciones diferenciales parciales, el “descubrimiento” de funciones de prueba apropiadas y la determinaci´on de la exactitud de las soluciones resultantes es tarea formidable. Sin embargo, el concepto de minimizar el error residual es r´apidamente adaptado al contexto del elemento finito usando el desarrollo propuesto por Galerkin como sigue a continuaci´on. Por motivos pedag´ ogicos y prop´ ositos ilustrativos, consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial d2 y + f (x) = 0 dx2
a≤x≤b
(5.7)
sujeta a las condiciones de borde y(a) = ya
y(b) = yb
(5.7a)
El dominio del problema es dividido en M “elementos” [v´ease la Figura 5.3(a)] los que en conjunto contienen M + 1 valores xi de la variable independiente, siendo que x1 = xa y xM +1 = xb para asegurar la inclusi´ on de los l´ımites globales. Una soluci´on aproximada es asumida en la forma M +1
y ∗ (x) =
X
yi ni (x)
(5.8)
i=1
donde yi es el valor de la funci´ on soluci´on en x = xi y ni (x) es la correspondiente funci´on de prueba. Notemos que, en esta formulaci´ on, los par´ametros constantes desconocidos ci del m´etodo de residuos ponderados llegan a ser valores discretos desconocidos de la funci´on soluci´on evaluada en puntos espec´ıficos del dominio. Tambi´en existe una diferencia mayor en las funciones de ensayo. Como es usado en la Ecuaci´ on(5.8), las funciones de ensayo ni (x) son no–nulas s´olamente sobre una porci´on peque˜ na
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
132
n1(x) 1
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
n2(x) 1
n3(x) 1
n4(x) 1
2
1 x1 ( xa )
x2
3
M xM
x3
xM+1 ( xb )
(a) Dominio xa ≤ x ≤ xb discretizado en M elementos
(b) Primeras cuatro funciones de ensayo
Figura 5.4: Discretizaci´ on del dominio y funciones de ensayo de soluci´on aproximada. del dominio global del problema. Espec´ıficamente, una funci´on de ensayo ni (x) es no–nula en el intervalo xi−1 < x < xi+1 , y para facilidad de ilustraci´on, usamos funciones lineales definidas como sigue: x − xi−1 ni (x) = xi−1 ≤ x ≤ xi xi − xi−1 xi+1 − x (5.9) xi ≤ x ≤ xi+1 ni (x) = xi+1 − xi ni (x) = 0 x < xi−1 x > xi+1 Claramente, en este caso, las funciones de ensayo son simplemente funciones de interpolaci´on absolutamente lineales, tales que el valor de la soluci´on y ∗ (x) en xi < x < xi+1 es una combinaci´on lineal de los valores “nodales” adyascentes yi y yi+1 . Las primeras cuatro funciones de ensayo son como las mostradas en la Figura 5.3(b); y observamos que, en el intervalo x2 < x < x3 por ejemplo, la soluci´on aproximada como es dada por la Ecuaci´ on (5.8) es y ∗ (x) = y2 n2 (x) + y3 n3 (x) = y2
x3 − x x − x2 + y3 x3 − x2 x3 − x2
(5.10)
(Las funciones de ensayo usadas aqu´ı son lineales, pero se pueden usar funciones de orden–superior como mostraremos posteriormente cuando apliquemos la t´ecnica al an´alisis del elemento viga). La substituci´ on de la soluci´ on asumida descrita por la Ecuaci´on (5.8) en la Ecuaci´on (5.7) gobernante del problema, proporciona el error residual como M M +1 2 ∗ +1 X d y X d2 R(x, yi ) = + f (x) = {yi ni (x)} + f (x) (5.11) dx2 dx2 i=1 i=1 al cual aplicamos el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin usando como funciones de ponderaci´on las funciones de interpolaci´ on aqu´ı planteadas, para obtener Zxb
Zxb nj (x)R(x, yi )dx =
xa
xa
M +1
X d2 nj (x) {yi ni (x)} + f (x) dx = 0 dx2 i=1
j = 1; M + 1
(5.12)
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
133
En vista de la Ecuaci´ on (5.9) y la Figura 5.3(b), observamos que, en cualquier intervalo arbitrario xj ≤ x ≤ xj+1 , s´ olo dos de las funciones de ensayo son no–nulas. Tomando esta observaci´on en cuenta, la ecuaci´ on anterior puede expresarse como xZj+1
nj (x)
d2 {y n (x) + y n (x)} + f (x) dx = 0 j j j+1 j+1 dx2
j = 1; M + 1
(5.13)
xj
La integraci´ on de la Ecuaci´ on (5.13) proporciona M + 1 ecuaciones algebr´aicas en los M + 1 valores nodales soluci´ on yj desconocidos, y estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como [ K ]{y} = {F }
(5.14)
donde simb´ olicamente [ K ] es la matriz de “rigidez” del sistema, {y} es el vector de “desplazamientos” nodales, y {F } es el vector de “fuerzas” nodales. La Ecuaci´on (5.12) es la declaraci´on formal del m´etodo de elemento finito Galerkin e incluye ambos pasos de definici´on: la formaci´on del elemento y su ensamble en el sistema. Escrito en t´erminos de integraci´on sobre el dominio completo del problema, ´esta formulacin muestra claramente la base matem´atica en el m´etodo de residuos ponderados. Sin embargo, las Ecuaciones (5.13) muestran que la integraci´on sobre s´olo cada elemento es requerida para cada una de las ecuaciones. Ahora procedemos a examinar la formulaci´on del elemento separado individualmente, basada en el m´etodo de Galerkin.
5.3.1.
Formulaci´ on de elemento
Si la soluci´ on exacta para la Ecuaci´on (5.7) se obtiene, entonces esa soluci´on satisface la ecuaci´on en cualquier subdominio en (a, b) tambi´en. Considere el problema d2 y + f (x) = 0 dx2
xj ≤ x ≤ xj+1
(5.15)
donde xj y xj+1 est´ an contenidos en (a, b) y definen los nodos de un elemento finito. Las apropiadas condiciones de borde aplicables a la Ecuaci´on (5.15) son y(xj ) = yj
y(xj+1 ) = yj+1
(5.15a)
y estos son los valores inc´ ognita de la soluci´on en los puntos extremos del subdominio. A continuaci´on, proponemos una soluci´ on aproximada de la forma y (e) (x) = yj N1 (x) + yj+1 N2 (x)
(5.16)
donde el super–´ındice (e) indica que la soluci´on es para el elemento finito planteado anteriormente, y las funciones de interpolaci´ on N1 y N2 son definidas ahora como xj+1 − x xj+1 − xj x − xj N2 (x) = xj+1 − xj N1 (x) =
xj ≤ x ≤ xj+1
(5.17a)
xj ≤ x ≤ xj+1
(5.17b)
Note usted la relaci´ on entre las funciones de interpolaci´on definidas en las Ecuaciones (5.17) y las funciones de ensayo en la Ecuaci´ on (5.9). Las funciones de interpolaci´on corresponden a las porciones superpuestas de las funciones de ensayo aplicables en el dominio de un solo elemento. Tambi´en note que las funciones de interpolaci´ on satisfacen las condiciones N1 (x = xj ) = 1 N2 (x = xj ) = 0
N1 (x = xj+1 ) = 0 N2 (x = xj+1 ) = 1
(5.18)
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
134
de modo que las condiciones de borde (nodales) especificadas en la Ecuaci´on (5.15a), se satisfacen id´enticamente. La substituci´ on de la soluci´on asumida en la Ecuaci´on (5.15) d´a el residuo como R(e) (x, yj , yj+1 ) =
d2 d2 y (e) + f (x) = [yj N1 (x) + yj+1 N2 (x)] + f (x) 6= 0 dx2 dx2
(5.19)
donde el super–´ındice es usado nuevamente para indicar que el residuo calculado es para el elemento. Aplicando el criterio de los residuos ponderados de Galerkin, resulta en xZj+1
xZj+1 (e)
Ni (x)R (x, yj , yj+2 )dx = xj
Ni (x)
d2 y (e) + f (x) dx = 0 dx2
i = 1, 2
(5.20)
xj
o tambi´en xZj+1
d2 y (e) dx + Ni (x) dx2
xZj+1
Ni (x)f (x)dx = 0
i = 1, 2
(5.21)
xj
xj
como las ecuaciones residuales de elemento. Aplicando integraci´ on por partes a la primera integral resulta en xZj+1 xZj+1 x dy (e) j+1 dNi dy (e) Ni (x) − dx + Ni (x)f (x)dx = 0 dx xj dx dx xj
i = 1, 2
(5.22)
xj
lo cual, despu´es de la evaluaci´ on del t´ermino no–integral y reordenando es equivalente al sistema de dos ecuaciones siguiente xZj+1
dN1 dy (e) dx = dx dx
xj xZj+1 xj
xZj+1 xj
dN2 dy (e) dx = dx dx
dy (e) N1 (x)f (x)dx + dx xj
xZj+1
N2 (x)f (x)dx + xj
dy (e) dx xj+1
(5.23a)
(5.23b)
Notemos que en el proceso de obtenci´ on de las Ecuaciones (5.23) hemos hecho uso de las propiedades expl´ıcitamente indicadas en la Ecuaci´ on (5.18) en la evaluaci´on de las funciones de interpolaci´on en los nodos del elemento. La integraci´ on por partes de uno de los t´erminos de la Ecuaci´on (5.21) trae tres beneficios destacables 1. El orden m´ as alto de las derivadas que aparecen en las ecuaciones de elemento ha sido reducido en una unidad. 2. Como se observar´ a explcitamente, la matriz de rigidez fue hecha sim´etrica. Si nosotros no integr´aramos por partes, una de las funciones de ensayo en cada ecuaci´on ser´ıa diferenciada dos veces y la otra funci´ on de ensayo no se diferenciar´ıa en absoluto. 3. La integraci´ on por partes introduce las condiciones de borde gradiente (de la pendiente de la funci´on) en los nodos del elemento. La importancia f´ısica de las condiciones l´ımite de gradiente se pondr´an claras en las aplicaciones f´ısicas subsecuentes.
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
135
Poniendo j = 1 por simplicidad de notaci´on, y substituyendo la Ecuaci´on (5.16) en las Ecuaciones (5.23) resulta Zx2
dN1 dx
x1
Zx2
Zx2 dy (e) dN1 dN2 y1 + y2 dx = N1 (x)f (x)dx + dx dx dx x1
(5.24a)
Zx2 dy (e) dN1 dN2 y1 + y2 dx = N2 (x)f (x)dx + dx dx dx x2
(5.24b)
x1
dN2 dx
x1
x1
las cuales son de la forma k11 k21
k12 k22
y1 F1 = y2 F2
(5.25)
Los t´erminos de la matriz de coeficientes (elementos de rigidez) est´an definidos por Zx2 kij =
dNi dNj dx dx
i, j = 1, 2
(5.26)
x1
y las fuerzas nodales de elemento est´an dadas por los lados derechos de las Ecuaciones (5.24).
3 x3
4 x4
x5
y3(4) = y3(4) dy (3) dy (4) 6= dx x4 dx x4 Figura 5.5: Dos elementos unidos en un nodo com´ un Si el procedimiento descrito de Galerkin para la formulaci´on de elemento se sigue y las ecuaciones del sistema son ensambladas de la manera usual como en el m´etodo directo de rigidez, las ecuaciones resultantes del sistema son id´enticas en cada aspecto a aqu´ellas obtenidas por el procedimiento representado por la Ecuaci´ on (5.11). Es importante observar que, durante el proceso de ensamble, cuando dos elementos se unen en un nodo com´ un como en la Figura 5.5, por ejemplo, la ecuaci´on ensamblada del sistema para el nodo contiene un t´ermino en el lado derecho de la forma dy (3) dy (4) − + (5.27) dx x4 dx x4 Si la soluci´ on de elemento finito fuera la soluci´on exacta, las primeras derivadas de cada elemento indicadas en la Ecuaci´ on (5.27) deber´ıan ser iguales y el valor de la expresi´on deber´ıa ser cero. Sin embargo, las soluciones de elemento finito raramente son exactas, por lo que ´estos t´erminos no son, en general, cero. No obstante, en el procedimiento de ensamble, se asume que en todos los nodos interiores, las condiciones de gradiente que posee la variable involucrada aparecen como iguales y opuestas en los elementos adyacentes y as´ı la cancelaci´on se efect´ ua a menos que una influencia externa act´ ue en el nodo. Sin embargo, en los nodos de borde l´ımite globales, los t´erminos gradiente pueden especificar condiciones l´ımite o representar “reacciones” obtenidas mediante la fase de soluci´on. De hecho, una t´ecnica muy poderosa para obtener exactitud de las soluciones de elemento finito es examinar la magnitud de las discontinuidades del gradiente en los nodos o, m´as generalmente, en fronteras de inter–elementos.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
136
La minimizaci´ on de las discontinuidades que presentan la derivadas sucesivas de la variable involucrada en el fen´ omeno en estudio tiene estrecha relaci´on con la convergencia de la soluci´on aproximada obtenida por aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito hacia la soluci´on anal´ıtica exacta. Esto resulta evidente del hecho que si por ejemplo se minimizan las discontinuidades que presenta la primera derivada de la variable de inter´es, el “ajuste” que posee la soluci´on aproximada descrita por la funci´on no–derivada aproximada es mucho m´ as estrecho con relaci´on a la funci´on de soluci´on exacta del problema. Ejemplo 5.5. Use el m´etodo de Galerkin para formular un elemento finito lineal que permita resolver la siguiente ecuaci´on diferencial dy d2 y − 4x = 0 x 2+ dx dx con las condiciones de borde l´ımite: y(1) = y(2) = 0 > Soluci´ on Primero, notemos que la ecuaci´ on diferencial es equivalente a d dy x − 4x = 0 dx dx la cual, luego de dos integraciones directas y la aplicaci´on de las condiciones de borde, tiene la soluci´on exacta 3 y(x) = x2 − ln x − 1 ln 2 Para la soluci´ on de elemento finito, la aproximaci´on m´as simple es usar un elemento con dos nodos extremos para el cual la soluci´ on de elemento se asume como x2 − x x − x1 y(x) = N1 (x) y1 + N2 (x) y2 = y1 + y2 x2 − x1 x2 − x1 donde y1 y y2 son los valores nodales. La ecuaci´on residual para el elemento es Zx2 dy d x − 4x dx = 0 i = 1, 2 Ni dx dx x1
que luego de ser integrada por partes en su primer t´ermino adopta la forma x Zx2 Zx2 dy 2 dNi dy Ni x − x dx − 4 x Ni dx = 0 i = 1, 2 dx x1 dx dx x1
x1
Substituyendo la forma propuesta para la soluci´on de elemento y reordenando, tenemos x Zx2 Zx2 dNi dN1 dN2 dy 2 x y1 + y2 dx = Ni x − 4 x Ni dx i = 1, 2 dx dx dx dx x1 x1
x1
Expandiendo las dos ecuaciones representadas por el u ´ltimo resultado despu´es de la substituci´on de las funciones de interpolaci´ on y las primeras derivadas de las mismas, resulta Zx2 Zx2 dy 1 x2 − x x (y1 − y2 ) dx = −x1 −4 x dx 2 (x2 − x1 ) dx x1 x2 − x1 1 (x2 − x1 )2
x1 Zx2 x1
x1
Zx2 x − x1 dy x (y2 − y1 ) dx = x2 −4 x dx dx x2 x2 − x1 x1
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
137
La integraci´ on de los t´erminos a la izquierda de la igualdad revela la matriz de rigidez de elemento como x22 − x21 1 −1 [ k (e) ] = 2(x2 − x1 )2 −1 1 mientras que las condiciones de borde gradiente y las fuerzas nodales son evidentes en el lado derecho de las ecuaciones posteriores al signo de igualdad. Para ilustrar, se formula una soluci´on de dos–elementos tomando los nodos igualmente espaciados en x = 1 – 1,5 – 2, como sigue. Elemento 1
F1(1)
x1 = 1 Z = −4
x2 = 1,5 1,5
x
1,5 − x dx = −1,1666 . . . 1,5 − 1
x
x−1 dx = −1,3333 . . . 1,5 − 1
1
Z F2(1) = −4 1
k = 2,5
1,5
Elemento 2 x1 = 1,5 x2 = 2 k = 3,5 Z 2 2−x dx = −1,6666 . . . F1(2) = −4 x 2 − 1,5 1,5 Z 2 x − 1,5 (2) dx = −1,8333 . . . F2 = −4 x 2 − 1,5 1,5 Las ecuaciones de elemento son entonces dy (1) −1,1667 + dx 2,5 −2,5 y1 x1 = −2,5 2,5 y2(1) dy −1,3333 + 1,5 dx
x2
dy (2) −1,1667 − 1,5 dx 3,5 −3,5 y1 x 2 = (2) −3,5 3,5 y2 −1,8333 + 2 dy dx
x3
Denotando los valores nodales del sistema como Y1 , Y2 , Y3 en x = 1 – 1,5 – 2 respectivamente; las ecuaciones ensambladas del sistema son −1,1667 + dy dx 2,5 −2,5 0 Y1 x1 −2,5 6 −3,5 Y2 = −3 0 −3,5 3,5 Y3 −1,8333 + 2 dy dx
x3
Aplicando las condiciones de borde globales Y1 = Y3 = 0, la segunda de las ecuaciones indicadas d´a Y2 = −0,5 y la substituci´ on de este valor en las otras dos ecuaciones proporciona los valores de los gradientes en los l´ımites como dy dy = −2,4167 = 1,7917 dx x1 dx x3 Para comparaci´ on la soluci´ on exacta arroja los siguientes valores soluci´on dy dy Y2 = −0,5049 = −2,4167 = 1,8360 dx x1 dx x3
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
138
Aunque los detalles de c´ alculo num´erico se dejan como ejercicio para el lector al final del cap´ıtulo, aqu´ı presentamos una soluci´ on de cuatro–elementos para este ejemplo (nuevamente usando nodos igualmente espaciados en xi = 1,0 – 1,25 – 1,5 – 1,75 – 2,0) cuyo desarrollo se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones globales −0,5417 − dy dx 4,5 −4,5 0 0 0 Y1 x1 −4,5 10 −5,5 0 0 −1,25 Y 2 Y3 = 0 −5,5 12 −6,5 0 −1,5 0 0 −6,5 14 −7,5 −1,75 Y4 0 0 0 −7,5 7,5 Y5 −0,9583 + 2 dy dx
x5
Aplicando las condiciones de borde Y1 = Y5 = 0 y resolviendo el sistema 3×3, se obtienen los siguientes resultados Y2 = −0,4026 Y3 = −0,5047 Y4 = −0,3603 dy dy = −2,350 = 1,831 dx dx x1
x5
x 0
0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.5
- 0.1 - 0.2 y(x) - 0.3 - 0.4 -0.5
Exacta 2 Elementos 4 Elementos
- 0.6
Figura 5.6: Gr´ aficas de las soluciones del Ejemplo 5.5 Para efectuar la comparaci´ on pertinente, se muestran las gr´aficas obtenidas de las soluciones de dos y cuatro–elementos juntamente con la soluci´on exacta, en la Figura 5.6. La soluci´on de dos–elementos se ve que es una aproximaci´ on grosera excepto en los nodos del elemento y la discontinuidad de la derivada se aprecia ser significante. La soluci´on de cuatro–elementos tiene los valores calculados de y(x) en los nodos, que son casi id´enticos a la soluci´on exacta. Con cuatro–elementos, las magnitudes de las discontinuidades de las primeras derivadas en los nodos son reducidas, pero todav´ıa aparentemente muy aproximadas a los valores exactos. > El ejemplo anterior claramente muestra la convergencia de la soluci´on aproximada hacia la soluci´on exacta a medida que el n´ umero de elementos utilizado en el modelo de elemento finito de Galerkin se incrementa. N´ otese adem´ as que la soluci´ on aproximada se podr´ıa optimizar si se utilizaran funciones de prueba de orden–superior.
5.4.
Aplicaci´ on en elementos estructurales
Habiendo demostrado mediante los Ejemplos anteriores que el m´etodo de elemento finito de Galerkin funciona muy adecuadamente en la obtenci´on de soluciones aproximadas para ecuaciones diferen-
´ EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES 5.4. APLICACION
139
ciales planteadas en un contexto estr´ıctamente matem´atico, es oportuno proceder a la aplicaci´on del m´etodo explicado recientemente a ecuaciones diferenciales que gobiernan problemas de ´ındole f´ısica. En los siguientes ac´ apites mostraremos la aplicaci´on del m´etodo de Galerkin a un par de situaciones del ´ambito de la mec´ anica estructural que y´a fueron abordadas por t´ecnicas m´as elementales.
5.4.1.
El elemento barra
Reconsiderando la barra el´ astica o elemento axial del Cap´ıtulo 2 y recordando que ´este es un elemento que posee deformaci´ on unitaria constante (por consiguiente, tensi´on interna constante), la ecuaci´on de equilibrio aplicable se obtiene usando las Ecuaciones (2.27) y (2.28) como sigue d d2 u(x) dσx =0 = (Ex ) = E dx dx dx2
(5.28)
donde hemos asumido el m´ odulo de elasticidad constante, y hemos expresado la deformaci´on unitaria interna en t´erminos del campo de desplazamientos internos. Denotando con L la longitud del elemento, el campo de desplazamientos es discretizado acorde con la Ecuaci´on (2.16) como x x u(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 = 1 − u1 + u2 (5.29) L L Y, puesto que el dominio de inter´es es el volumen del elemento, la ecuaci´on residual de Galerkin llega a ser 2 ZZZ ZL 2 d u) Ed u Ni (x) E 2 dV = Ni Adx = 0 i = 1, 2 (5.30) dx dx2 0
V
donde dV = A dx, siendo A el ´ area de la secci´on transversal del elemento. Integrando por partes y re–ordenando, obtenemos L ZL dNi du du AE dx = Ni A E (5.31) dx dx dx 0 0
la cual, usando la Ecuaci´ on (5.29) llega a ser ZL AE 0
ZL AE 0
dN1 d du (N1 u1 + N2 u2 )dx = −A E = −A E |x=0 = −A σx |x=0 dx dx dx x=0
(5.32a)
dN2 d du (N1 u1 + N2 u2 )dx = A E = A E |x=L = A σx |x=L dx dx dx x=L
(5.32b)
Interpretando los t´erminos que aparecen en el lado derecho de las anteriores ecuaciones, notamos que, para el elemento barra las condiciones de borde del gradiente simplemente representan las fuerzas externas aplicadas en los puntos nodales extremos del elemento, ya que f = σ A. Las Ecuaciones (5.32) f´ acilmente son combinadas para ser presentadas en forma matricial como ZL " dN1 AE 0
dN1 dx dx dN1 dN2 dx dx
dN1 dN2 dx dx dN2 dN2 dx dx
# dx
u1 f1 = u2 f2
(5.33)
donde los coeficientes de la matriz son integrados independientemente (la integral de una matriz es igual a la integral de los t´erminos que la definen).
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
140
Efectuando primeramente las derivadas de las funciones de interpolaci´on y luego integrando los coeficientes de la matriz, como puede comprobarse se obtiene la siguiente relaci´on A E 1 −1 u1 f1 = (5.34) u2 f2 L −1 1 la cual como puede verificarse es el mismo resultado que fu´e obtenido en el Cap´ıtulo 2 para el elemento barra (v´ease la Ecuaci´ on (2.32) y compare). Esto simplemente ilustra la equivalencia del m´etodo de Galerkin y los m´etodos de equilibrio y energ´ıa (teorema de Castigliano) usados anteriormente para la formulaci´on de elemento finito del elemento barra.
5.4.2.
El elemento viga
La aplicaci´ on del m´etodo de Galerkin al elemento viga empieza con la consideraci´on de las condiciones de equilibrio de una porci´ on diferencial tomada a lo largo del eje longitudinal de una viga cargada como se muestra en la Figura 5.7, donde q(x) representa una carga distribu´ıda expresada como la fuerza transversal actuante por unidad de longitud, V el esfuerzo cortante interno, y M el momento flector interno. Considerando que q puede variar arbitrariamente, se asume que es constante sobre una longitud diferencial dx que consideramos. La condici´on de equilibrio de fuerzas en la direcci´on y es y
q(x)
M+ dM dx dx
M
x V
dx
V+ dV dx dx
Figura 5.7: Porci´ on diferencial de una viga cargada dV −V + V + dx + q(x)dx = 0 dx de donde
dV = −q(x) (5.35) dx El equilibrio de momentos alrededor de un punto en la cara izquierda del elemento es expresado como dM dV dx M+ dx − M + V + dx dx + [ q(x)dx ] =0 dx dx 2 lo cual, despreciando infinit´esimos de segundo orden proporciona dM = −V dx
(5.36)
Combinando las ecuaciones (5.35) y (5.36) obtenemos d2 M = q(x) dx2 Recordando, de la teor´ıa elemental de mec´anica de s´olidos, que la f´ormula de flexi´on correspondiente a las convenciones de signo de la Figura 5.7 es M = E Iz
d2 υ dx2
(5.37)
´ EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES 5.4. APLICACION
141
(donde siguiendo la notaci´ on del Cap´ıtulo 4, υ representa el desplazamiento en la direcci´on y), que en combinaci´ on con la Ecuaci´ on 5.42 proporciona la ecuaci´on gobernante para la flexi´on de la viga como E Iz
d4 υ = q(x) dx4
(5.38)
El m´etodo del elemento finito de Galerkin es aplicado tomando la soluci´on del desplazamiento en la forma 4 X υ(x) = N1 (x)υ1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)υ2 + N4 (x)θ2 = Ni (x)δi (5.39) i=1
como en el Cap´ıtulo 4, usando las funciones de interpolaci´on establecidas en la Ecuaci´on (4.16). Por consiguiente, las ecuaciones residuales del elemento son Zx2
d2 d2 υ Ni (x) E Iz 2 − q(x) dx = 0 dx dx2
i = 1; 4
(5.40)
x1
Integrando por partes el t´ermino derivado, y asumiendo constante el coeficiente de rigidez E Iz tenemos x Zx2 Zx2 d3 υ 2 dNi d3 υ Ni (x) E Iz − E Iz dx − Ni q(x)dx = 0 i = 1; 4 (5.41) dx3 x1 dx dx3 x1
x1
y subsecuentemente V =−
d dM =− dx dx
E Iz
d2 υ dx2
= −E Iz
d3 υ dx3
(5.42)
donde observamos que el primer t´ermino de la Ecuaci´on (5.41) representa las condiciones de fuerza cortante en los nodos del elemento. Integrando de nuevo por partes y reordenando obtenemos Zx2 E Iz
d2 Ni d2 υ dx = dx2 dx2
x1
Zx2 x1
x x d2 υ 2 d3 υ 2 dNi + E Iz Ni q(x)dx − Ni E Iz dx3 x1 dx dx2 x1
i = 1; 4
(5.43)
y, por la Ecuaci´ on (5.37), el u ´ltimo t´ermino en lado derecho introduce las condiciones del momento en los l´ımites del elemento. La integraci´on por partes se realiz´o dos veces en el desarrollo precedente por razones similares a aquellas mencionadas en el contexto del elemento barra. Procediendo as´ı, el orden de los dos t´erminos derivados que aparecen en la primera integral en la Ecuaci´on (5.43) es el mismo, y la matriz de rigidez resultante es de ese modo sim´etrica, y las fuerzas cortantes junto a los momentos flexionantes en los nodos del elemento aparecen expl´ıcitamente ahora en las ecuaciones de elemento. La Ecuaci´ on (5.43) puede ser escrita en forma matricial como: [ k ]{δ} = {f }, donde los coeficientes de la matriz de rigidez est´ an definidos como Zx2 kij = E Iz
d2 Ni d2 Nj dx dx2 dx2
i, j = 1; 4
(5.44)
x1
que es id´entico al resultado previamente obtenido por otros m´etodos. Los coeficientes del vector de fuerza de elemento se definen por Zx2 fi = x1
x x d2 υ 2 d3 υ 2 dNi Ni q(x)dx − Ni E Iz + E Iz dx3 x1 dx dx2 x1
i = 1; 4
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
142
o, usando las Ecuaciones (5.37) y (5.42), Zx2 fi =
x2 dN x2 i Ni q(x)dx + Ni V (x) + M (x) dx x1 x1
i = 1; 4
(5.45)
x1
donde el t´ermino integral representa a las fuerzas y momentos nodales equivalentes producidos por la carga distribu´ıda. Si ´esta funci´ on de distribuci´on de carga cumple q(x) = q = const. (positivo ascendente); efectuando la substituci´ on de las funciones de interpolaci´on en la Ecuaci´on (5.45) y la evaluaci´on del proceso de integraci´ on que resulta, se demuestra que el vector de fuerzas nodales equivalentes de elemento es qL 2 − V1 2 qL − M 1 12 {f } = (5.46) qL + V2 2 qL2 − 12 + M2 La solicitaci´on nodal equivalente as´ı calculada para el elemento finito, con los nodos 1 y 2 ubicados en sus extremos es mostrada en la Figura (5.8). (N´otese la convenci´on de signo que se adopta en este caso — fuerzas positivas seg´ un el sentido y +, y momentos positivos seg´ un el sentido z +). qL
M1
y
qL q
2
2
V2 M2
1 2
qL 12
V1
2
L
qL2
x
12
Figura 5.8: Solicitaci´on nodal de elemento viga Cuando dos elementos viga concurren y comparten un nodo com´ un, una de las dos siguientes posibilidades ocurre con respecto a las condiciones del esfuerzo cortante y el momento flector internos que act´ uan en los nodos extremos del elemento 1. Si ninguna fuerza o momento externos est´an aplicado en el nodo, los valores del esfuerzo cortante y el momento flector de la Ecuaci´ on (5.46) para los elementos adyacentes son iguales y opuestos en sentido de actuaci´ on, cancel´ andose en el paso del proceso de ensamblaje. 2. Si una fuerza o un momento concentrado est´a aplicado en el nodo, la suma de los esfuerzos cortantes o momentos flectores de borde l´ımite para los elementos adyacentes deben igualar la fuerza o momento externo aplicado, repectivamente. La Ecuaci´on (5.46) muestra que los efectos de una carga distribu´ıda se asigna a los nodos del elemento. Los paquetes de software de elemento finito a menudo permiten al especificar una “presi´on” en la cara transversal de la viga. La presi´ on especificada realmente representa una carga distribu´ıda y es convertida a cargas equivalentes nodales internamente en el mismo software.
5.5.
Conducci´ on de calor uni–dimensional
La aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito Galerkin al problema uni–dimensional de conducci´on de calor en estado–estacionario (permanente) se desarrolla con referencia a la Figura 5.9(a), la cual muestra un cuerpo s´ olido que s´ olo sufre conducci´on de calor en la direcci´on del eje x. Las superficies del cuerpo normales a ´este eje se asume que est´an perfectamente aisladas t´ermicamente, para que ninguna p´erdida de calor ocurra a trav´es de estas superficies. La Figura 5.9(b)
´ DE CALOR UNI–DIMENSIONAL 5.5. CONDUCCION
qx(xa )
143
aislado
A
a qx(xb )
qx + dqx dx dx
qx b
x
(a) Esquema del sistema
dx (b) Porci´ on diferencial
Figura 5.9: Transmisi´on de calor uni–dimensional muestra el volumen de control utilizado en el an´alisis, el cual es una porci´on de longitud diferencial dx del cuerpo que se asume que es de ´ area de secci´on–transversal A constante y de propiedades materiales uniformes. El principio de la conservaci´on de energ´ıa se aplica para obtener la ecuaci´on gobernante como sigue: Eent + Egen = Einc + Esal (5.47) La ecuaci´ on anterior establece que la energ´ıa que entra en el volumen de control m´as la energ´ıa generada internamente por cualquier de fuente de calor presente, debe igualar al incremento de la energ´ıa interior m´ as la energ´ıa que sale del volumen de control. Como se ver´a, lo que hicimos fu´e un simple balance energ´etico en una determinada regi´on delimitada del espacio (el volumen elemental componente del cuerpo). Para el volumen de la Figura 5.9(b), durante un intervalo dt de tiempo, la Ecuaci´ on (5.47) se expresa como ∂qx qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx + dx A dt (5.48) ∂x donde: qx = flujo cal´ orico a trav´es de la superficie frontera (W/m2 , Btu/hr-ft2 ) Q = rapidez de generaci´ on de calor interno (W/m3 , Btu/hr-ft3 ) U = energ´ıa interna (W, Btu) El u ´ltimo t´ermino del lado derecho de la Ecuaci´on (5.48) representa la expansi´on en serie de Taylor truncada en dos–t´erminos del calor q(x, t) evaluado en x = dx. N´otese que aqu´ı utilizamos derivadas parciales porque consideramos ´esta funci´on cont´ınua dependiente de dos variables, la posici´on espacial y el tiempo. El flujo cal´ orico es expresado en t´erminos del gradiente de temperatura mediante la ley de Fourier de conducci´ on del calor ∂T qx = −kx (5.49) ∂x donde kx es la conductividad t´ermica del material en la direcci´on x (W/m-◦ C, Btu/hr-ft-◦ F), y la variable T = T (x, t) es el campo de temperaturas interno. El incremento de la energ´ıa interna es valorada por ∆U = c ρ A dx dT (5.50) donde: c = calor espec´ıfico del material (J/Kg-◦ C, Btu/slug-◦ F) ρ = densidad del material (Kg/m3 , slug/ft3 ) Substituyendo las Ecuaciones (5.49) y (5.50) en la Ecuaci´on (5.48) obtenemos ∂ ∂T Q A dx dt = c ρ A dx dT + −kx A dx dt ∂x ∂x
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
144
Asumiendo que la conductividad t´ermica es constante, la ecuaci´on anterior puede ser escrita como Q = cρ
∂T ∂2T − kx 2 ∂t ∂x
(5.51)
Por ahora, s´ olo estamos interesados en la transferencia de calor en estado–estacionario, y es as´ı cuando el r´egimen de conducci´ on de calor se efect´ ua en r´egimen permanente (independiente del tiempo) se debe cumplir ∂T /∂t = 0, y la ecuaci´ on gobernante resulta ser kx
d2 T +Q=0 dx2
(5.52)
Luego, el m´etodo de elemento finito Galerkin se aplica a la Ecuaci´on (5.52) para obtener las ecuaciones de elemento. Se usa un elemento de dos–nodos con funciones de interpolaci´on lineales y la distribuci´on de temperatura en el elemento es expresada como T (x) = N1 (x)T1 + N2 (x)T2
(5.53)
donde T1 y T2 son las temperaturas en los nodos 1 y 2, que definen el elemento, y las funciones de interpolaci´on N1 y N2 son dadas por las Ecuaciones (5.17). Como en ejemplos previos, la substituci´on de la soluci´on discretizada [Ec. (5.53)] en la ecuaci´on diferencial gobernante [Ec. (5.52)] resulta en las integrales residuales: Zx2 d2 T kx 2 + Q Ni (x) A dx = 0 i = 1, 2 (5.54) dx x1
donde notamos que la integraci´ on es sobre el volumen del elemento; esto es, el dominio del problema, con dV = Adx. Integrando el primer t´ermino por partes (debido a razones y´a discutidas) tendremos x Zx2 Zx2 dT 2 dNi dT − kx A kx A Ni (x) dx + A Q Ni (x)dx = 0 dx x1 dx dx x1
i = 1, 2
(5.55)
x1
Evaluando el primer t´ermino entre los l´ımites indicados, sustituyendo la Ecuaci´on (5.53) en el segundo t´ermino y re–ordenando, la ecuaci´ on anterior se convierte en las dos ecuaciones siguientes Zx2 kx A x1 Zx2
kx A
dN1 dx dN2 dx
Zx2 dN1 dN2 dT T1 + T2 dx = Q N1 (x)dx − kx A dx dx dx x1
(5.56a)
dT Q N2 (x)dx − kx A dx x2
(5.56b)
dN1 dN2 T1 + T2 dx = dx dx
x1
x1 Zx2 x1
Las Ecuaciones (5.56) pueden ser escritas de modo comp´acto en la forma matricial siguiente: [ k ]{T } = {fQ } + {fg }
(5.57)
donde [ k ] es la matriz de conductancia (“rigidez”) de elemento, que tiene sus coeficientes definidos por la relaci´on indicial Zx2 dNl dNm klm = kx A dx l, m = 1, 2 (5.58) dx dx x1
´ DE CALOR UNI–DIMENSIONAL 5.5. CONDUCCION
145
Derivando las funciones de interpolaxi´on y realizando las integraciones indicadas en la relaci´on anterior, se demuestra que la matriz de conductividad t´ermica resulta kx A 1 −1 [k] = (5.59) L −1 1 El primer t´ermino del lado–derecho de la Ecuaci´on (5.57) es el vector de impulsi´on cal´orica (“fuerza”) nodal proveniente de la generaci´on de calor interno, con valores definidos por Zx2 {fQ1 } = A
Q N1 dx x1 Zx2
{fQ2 } = A
(5.60) Q N2 dx
x1
donde impl´ıcitamente asumimos que Q = Q(x). En el caso que la rapidez de generaci´on de calor es constante; es decir Q = Q0 (cte), el vector de impulsi´on cal´orica nodal resulta Q0 A L 1 {fQ } = (5.61) 1 2 En cambio, el segundo t´ermino del lado derecho {fg }, representa al vector de las condiciones gradiente de borde en los nodos del elemento y mide el flujo cal´orico intercambiado por el elemento con el entorno circundante a trav´es de sus superficies extremas. Usando la Ecuaci´on (5.49), este vector est´a descrito por el arreglo ( ) ( −dT ) q x1 dx x1 =A (5.62) {fg } = kx A dT −q x dx x 2
2
Los coeficientes que definen el vector de flujo cal´orico son tales que, en nodos internos donde los elementos se juntan, los valores de elementos adyascentes son iguales pero opuestos en sentido, de modo que se cancelan matem´ aticamente en el proceso de ensamble. En los nodos externos; es decir en los extremos del cuerpo a analizarse, los valores de gradiente pueden estar especificados como flujo de calor conocido entrante y saliente, o pueden ser calculados si la condici´on l´ımite especificada es una temperatura. En el u ´ltimo caso, el c´ omputo del gradiente es an´alogo a calcular las fuerzas de reacci´on en un modelo estructural. Otro aspecto tambi´en es notable en la ecuaci´on gobernante del proceso de transmisi´on del calor por conducci´ on uni–dimensional modelado mediante el elemento finito Galerkin que desarrollamos, ya que tambi´en notamos que el ´ area es un t´ermino com´ un en las ecuaciones precedentes y, desde que se asume que es constante sobre toda la longitud del elemento, podr´ıa ignorarse en cada t´ermino. Sin embargo, como se ver´ a en los cap´ıtulos posteriores, cuando tomamos en cuenta otras condiciones de transferencia de calor, el ´ area debe permanecer en las ecuaciones tal como est´a definida. Estos conceptos se ilustran en el ejemplo siguiente. Ejemplo 5.6. La varilla circular (cilindro recto) mostrada en la Figura 5.10 tiene un di´ametro externo de 60 mm, longitud de 1 m, y est´ a perfectamente aislada t´ermicamente en su circunferencia. La mitad izquierda del cilindro es aluminio, para el que kx = 200 W/m-◦ C y la mitad derecha que es de material cobre tiene kx = 389 W/m-◦ C. El extremo derecho del cilindro se mantiene a una temperatura de 80◦ C, mientras que el extremo izquierdo est´a sujeto a una rapidez de entrada de calor de 4000 W/m2 . Usando cuatro elementos de igual–longitud, determine la distribuci´on de temperatura en estado–estacionario en el interior del cilindro.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
146 qent
1
1 0.25 m
2
qsal
Cu
Al
2 0.25 m
3
3 0.25 m
4
4
5
0.25 m
Figura 5.10: Varilla circular del Ejemplo 5.6 > Soluci´ on Los elementos y nodos se escogen como se muestra en la parte inferior de la Figura 5.10. Para los elementos de aluminio 1 y 2, las matrices de conductancia son iguales y est´an determinadas por kx A 1 −1 200(π/4)(0,06)2 1 −1 1 −1 [ kal ] = = = 2,26 W/◦ C −1 1 −1 1 L −1 1 0,25 mientras, que para los elementos de cobre 3 y 4, kx A 1 −1 389(π/4)(0,06)2 1 −1 1 −1 = = 4,40 W/◦ C [ kcu ] = −1 1 −1 1 L −1 1 0,25 Aplicando las condiciones de extremo T5 = 80◦ C y q1 = 4000 W/m2 , el sistema de ecuaciones ensamblado es 4000 T1 11,31 2,26 −2,26 0 0 0 −2,26 4,52 −2,26 0 0 0 T2 0 π(0,06)2 0 0 0 T −2,26 6,66 −4,40 0 = = 3 4 0 0 T4 0 −4,40 8,80 −4,40 0 −q5 −0,0028 q5 80 0 0 0 −4,40 4,40 Tomando en consideraci´ on el valor de la temperatura conocida T5 , las primeras cuatro ecuaciones del anterior sistema pueden ser escritas como 11,31 T1 2,26 −2,26 0 0 −2,26 4,52 −2,26 0 0 T2 = 0 −2,26 6,66 −4,40 0 T3 352,0 T4 0 0 −4,40 8,80 Para hallar la soluci´ on, el sistema de ecuaciones es triangularizado (usado aqu´ı simplemente para ilustrar un m´etodo de soluci´ on alternativo) mediante los siguientes pasos. Reemplazamos la segunda ecuaci´on por la suma de la primera y segunda ecuaciones para obtener 2,26 −2,26 0 0 T1 11,31 0 2,26 −2,26 0 T2 = 11,31 0 −2,26 6,66 −4,40 T3 0 0 0 −4,40 8,80 T4 352,0 Luego, reemplazamos la tercera ecuaci´ on por la suma de la segunda y la tercera ecuaci´on 2,26 −2,26 0 0 T1 11,31 0 2,26 −2,26 0 T2 = 11,31 0 0 4,40 −4,40 T3 11,31 0 0 −4,40 8,80 T4 352,0
5.6. COMENTARIOS FINALES
147
Finalmente, reeeplazamos la cuarta ecuaci´on por la suma de la tercera y cuarta ecuaci´on 2,26 −2,26 0 0 T1 11,31 0 2,26 −2,26 0 T2 = 11,31 0 0 4,40 −4,40 T3 11,31 0 0 0 4,40 T4 363,31 El sistema triangularizado as´ı puede resolverse f´acilmente por sustituci´on regresiva empezando de la u ´ltima ecuaci´ on, y terminando en la primera. Los valores soluci´on, como puede comprobarse, resultan T4 = 82,57◦ C
T3 = 85,15◦ C
T2 = 90,14◦ C
T1 = 95,15◦ C
La quinta ecuaci´ on del sistema es −4,40 T4 + 4,40(80) = −0,0028 q5 la cual puede resolverse substituyendo el valor de T4 hallado previamente para dar como soluci´on q5 = 4038,6 W/m
2
Como se asume que es una situaci´on de estado–estacionario, el flujo de calor del extremo derecho del cilindro, en el nodo 5, debe ser precisamente igual al flujo de entrada en el extremo izquierdo. La diferencia en este caso simplemente es debido a errores de redondeo de decimales en los c´omputos, que fueron efectuados mediante una calculadora de mano para este ejemplo. Si los valores se computan a “exactitud de m´ aquina” y ning´ un redondeo intermedio se usa, el valor del flujo de calor en el nodo 5 deber´ıa ser exactamente 4000 W/m2 . De hecho, puede mostrarse que, para este ejemplo, la soluci´on > de elemento finito es exacta. Mediante los diversos ejemplos que fueron mostrados en ´este cap´ıtulo, se puede apreciar que hemos sistematizado la concepci´ on b´ asica del m´etodo de elemento finito y la hemos generalizado al tratamiento y soluci´ on de las ecuaciones diferenciales. Por ello, podemos afirmar que ahora disponemos de una herramienta muy poderosa para analizar los diversos problemas que plantean las diversas ciencias de la ingenier´ıa, en la que casi la totalidad de los fen´omenos f´ısicos que se presentan en ellas se describen mediante correspondientes ecuaciones diferenciales gobernantes de dichos fen´omenos.
5.6.
Comentarios finales
El m´etodo de residuos ponderados, sobre todo la encarnaci´on del m´etodo de elemento finito de Galerkin, es una herramienta matem´atica poderosa que proporciona una t´ecnica para formular una soluci´on aproximada de elemento finito a pr´acticamente cualquier problema para el cual la ecuaci´on diferencial gobernante y las condiciones de borde l´ımite pueden escribirse. Para las situaciones en las que un principio como el primer teorema de Castigliano o el principio de energ´ıa potencial m´ınima es aplicable, el m´etodo de Galerkin produce la misma formulaci´on exactamente. En los cap´ıtulos subsecuentes, el m´etodo de Galerkin se extiende a casos bi y tri–tridimensionales de an´alisis estructural, transferencia de calor, y flujo fluido. Antes de examinar las aplicaciones espec´ıficas, examinaremos en el pr´ oximo cap´ıtulo, los requisitos generales de las funciones de interpolaci´on para la formulaci´ on de una aproximaci´ on de elemento finito a cualquier tipo de problema.
Problemas propuestos 5.1. Verificar el proceso de integraci´on y la subsecuente determinaci´on de c1 en el Ejemplo 5.1.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
148
5.2. Usando el procedimiento discutido en el Ejemplo 5.4, determine las funciones de ensayo para el problema del Ejemplo 5.1. 5.3. Se ha establecido que las funciones de ensayo usadas en el m´etodo de residuos ponderados generalmente satisfacen la f´ısica del problema descrita por la ecuaci´on diferencial a ser resuelta. Por qu´e la funci´ on de ensayo asumida en el Ejemplo 5.3 no satisface la f´ısica del problema ?. 5.4. Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes y las condiciones de borde declaradas, obtenga una soluci´ on de un–t´ermino usando el m´etodo de Galerkin de residuos ponderados y la funci´on de ensayo especificada. En cada caso, compare la soluci´on de un–t´ermino con la soluci´on exacta. a.
d2 y + y = 2x dx2 y(0) = 0
b.
N1 (x) = x(1 − x2 )
y(1) = 0
d2 y + y = 2 sin x dx2 y(0) = 0
c.
0≤x≤1
y(1) = 0
N1 (x) = sin πx
dy + y 2 = 4x dx y(0) = 0
d.
0≤x≤1 N1 (x) = x2 (1 − x)
y(1) = 0 dy −y =2 dx
y(0) = 0 e.
0≤x≤1
0 ≤ x ≤ 10 N1 (x) = x2 (10 − x)
y(10) = 0
d2 y dy −3 +y =x dx2 dx y(0) = 0
y(1) = 0
0≤x≤1 N1 (x) = x(1 − x)2
5.5. (a)–(e) Para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas en el Problema 5.4, usar el m´etodo del Ejemplo 5.4 para determinar las funciones de prueba para una soluci´on aproximada de dos– t´erminos, usando el m´etodo de Galerkin de residuos ponderados. 5.6. Para la soluci´ on de cuatro–elementos del Ejemplo 5.5, verificar la exactitud del sistema de ecuaciones ensambladas. Aplicar las condiciones de borde y resolver el sistema reducido de ecuaciones as´ı obtenido. Calcular las primeras derivadas en cada nodo de cada uno de los elementos. Son las derivadas cont´ınuas a lo largo de las conexiones nodales entre elementos ?. 5.7. Cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes representa un problema f´ısico, como es indicado. Para cada caso dado, formule las ecuaciones de elemento finito (es decir, determine la matriz de rigidez y los vectores de carga) usando el m´etodo de elemento finito de Galerkin basado en un elemento con longitd L con dos–nodos ubicados en sus extremos, y aplicando las funciones de interpolaci´ on siguientes:
N1 (x) = 1 −
x L
N2 (x) =
x L
Problemas propuestos
149
a. Conducci´ on de calor uni–dimensional con generaci´on de calor interno variando linealmente kx A
d2 T + Q0 A x = 0 dx2
donde kx , Q0 y A son constantes. b. Conducci´ on de calor uni–dimensional con convexi´on superficial kx A
d2 T − h P T = h P Ta dx2
donde kx , A, h, P , y Ta son constantes. c. Torsi´ on de una barra circular el´astica GJ
d2 θ =0 dx2
donde G, y J son constantes. 5.8. Una viga que se deforma en un plano espacial (plano x–y) est´a sujeta a una carga distribu´ıda variando linealmente, dada por q(x) = q0 x, 0 ≤ x ≤ L, donde q0 es una constante y L es la longitd total de la viga. Para un elemento finito localizado entre nodos arbitrarios en posiciones xi y xj , de modo que xi < xj y Le = xj −xi es la longitud del elemento; determine las componentes del vector de cargas nodales equivalentes usando el m´etodo de elemento finito Galerkin (Notar que ´esto es simplemente el u ´ltimo t´ermino en la Ecuaci´on (5.41) ajustado apropiadamente para la ubicaci´ on del elemento gen´erico mencionado anteriormente). 5.9. Repetir el Problema 5.8 para una carga distribu´ıda cuadr´aticamente q(x) = q0 x2 . 5.10. Considerando los resultados de los Problema 5.8 ´o 5.9, son las cargas distribu´ıdas convertidas en cargas puntuales asignadas a los nodos del elemento en base al equilibrio est´atico?. Si su respuesta es afirmativa, demu´estrelo; pero si su respuesta es no, indicar por qu´e, y c´omo se hace la distribuci´ on?. 5.11. Un cilindro adelgazado que est´a perfectamente aislado t´ermicamente en su periferia se mantiene a una temperatura constante de 212◦ F en x = 0 y a temperatura de 80◦ F en x = 4 pulg. El di´ ametro del cilindro var´ıa de 2 pulg en x = 0 a 1 pulg en x = L = 4 pulg. por la Figura P5.11. El coeficiente de conductancia es kx = 64 Btu/hr-pie-◦ F. Formule un modelo de cuatro elementos finitos de ´este problema y resuelva el mismo para las temperaturas nodales y los valores de flujo cal´ orico en los l´ımites de los elementos. Use el m´etodo de elemento finito de Galerkin. 4 pulg
d = 1 pulg x T = 80° F
d = 2 pulg T = 212° F
aislado
Figura P5.11 5.12. Considere un miembro prism´ atico adelgazado sujeto a una carga axial de tracci´on–compresi´on como el mostrado en la Figura P5.12. El ´area de secci´on–transversal var´ıa como A = A0 (1−x/2L),
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
150
donde L es la longitud del miembro y A0 es el ´area en x = 0. Dada la ecuaci´on gobernante E
d2 u =0 dx2
como en la Ecuaci´ on (5.28), obtener las ecuaciones de elemento finito Galerkin por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (5.30). x A = A0 1 2L
(
)
A0 x L
Figura P5.12 5.13. Muchos sistemas de software de elemento finito tienen la provisi´on para un elemento viga adelgazada. Empezando con la Ecuaci´ on (5.40), notando que el momento de inercia centroidal Iz no es constante; desarrolle las ecuaciones de elemento finito para un elemento viga adelgazado. 5.14. Use los resultados del Problema 5.13 para determinar la matriz de rigidez del elemento viga adelgazada mostrado en la Figura P5.14. 6 pulg
2 pulg
1 pulg
t = 0.75 pulg (espesor) E = 3 x 107 lb/pulg 2
Figura P5.14 5.15. Considere un problema bidimensional gobernado por la ecuaci´on diferencial ∂2φ ∂2φ + 2 =0 ∂x2 ∂y (´esta es la ecuaci´ on de Laplace) en un dominio bidimensional especificado con condiciones de borde l´ımite establecidas. C´ omo har´ıa usted para aplicar el m´etodo de elemento finito de Galerkin a este problema ?. 5.16. Revise la Ecuaci´ on (5.21). Si nosotros no integramos por partes y simplemente sustitu´ımos la forma de soluci´ on discretizada, cu´ al es el resultado? Explique. 5.17. Dada la ecuaci´ on diferencial d2 y + 4y = x dx2
Problemas propuestos
151
asuma la soluci´ on como una funci´on expandida en serie de potencias y(x) =
n X
ai xi = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
i=0
y obtener las relaciones que gobiernan los coeficientes de la soluci´on en serie de potencias. C´omo este procedimiento se compara al m´etodo de Galerkin ?. 5.18. La ecuaci´ on diferencial
dy +y =3 dx
tiene como soluci´ on exacta y(x) = 3 + C e−x donde C es un par´ ametro constante. Asuma que el dominio de definici´on es 0 ≤ x ≤ 1 y la condici´ on de borde especificada es y(0) = 0. Mostrar que, si el procedimiento del Ejemplo 5.4 es seguido, se obtiene la soluci´ on exacta.
Capítulo
6
Funciones de interpolaci´ on
El m´etodo de elemento finito es una t´ecnica de discretizaci´on del dominio en el que est´a definido el problema de inter´es, el cual se asume gobernado por una ecuaci´on diferencial. Para encontrar una soluci´on aproximada, ´este dominio es subdividido en regiones de menor tama˜ no (los elementos finitos), que contienen puntos previamente escogidos (los nodos) en los cuales se establecer´an los valores de la variable dependiente asociada con la ecuaci´on diferencial que describe el problema, cuando se resuelva la ecuaci´ on asociada que plantea el m´etodo de elemento finito. Pero, seg´ un esta explicaci´on solo se conocer´ıa el valor de la funci´ on involucrada en el problema en un n´ umero limitado de puntos del dominio completo de definici´ on. Para salvar esta aparente incongruencia, en el proceso mismo de formulaci´on del elemento finito se incorporan las denominadas funciones de interpolaci´on, que permiten obtener los valores aproximados que toma la funci´ on dependiente del problema en cualquier punto interno del subdominio definido para el elemento en base a los valores nodales especificados para el mismo (de aqu´ı el nombre de funciones de interpolaci´ on). En ´este Cap´ıtulo realizaremos un estudio detallado de las funciones de interpolaci´on, sus propiedades, las limitaciones que incorporan en el proceso de modelado y otros temas de importancia relacionados con su comportamiento en relaci´on con el tipo de elemento al cual se asocian.
6.1.
Introducci´ on
Los elementos estructurales introducidos en los cap´ıtulos anteriores fueron formulados sobre la base de principios conocidos de la teor´ıa de la mec´anica de s´olidos. Tambi´en se ha mostrado, por el ejemplo que fu´e desarrollado, c´ omo el m´etodo de Galerkin puede aplicarse a un problema de conducci´on de calor. Este cap´ıtulo examina los requisitos para las funciones de interpolaci´on en t´erminos de la exactitud de la soluci´ on y la convergencia hacia la soluci´on exacta de un problema general de alguna variable de campo para un an´ alisis de elemento finito. Se desarrollan funciones de interpolaci´on para varios elementos comunes en forma geom´etrica en una, dos, y tres dimensiones; y estas funciones se usan para formular las ecuaciones de elemento finito para varios tipos de problemas f´ısicos en el resto 153
154
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
del texto. Con la excepci´ on del elemento viga, todas las funciones de interpolaci´on discutidas en este cap´ıtulo son aplicables a los elementos finitos usados para obtener soluciones a problemas que se dice que son C 0 –cont´ınuos. Esta terminolog´ıa significa que, a trav´es de los l´ımites del elemento, s´olamente las derivadas de orden–cero del campo variable (i.e., la propia variable de campo) son cont´ınuas. Por otro lado, la formulaci´ on del elemento viga es tal que este elemento exhibe continuidad–C 1 , desde que la primera derivada del desplazamiento transversal (i.e., la pendiente de la deformaci´on) es cont´ınua a trav´es de los l´ımites del elemento, como fu´e discutido previamente y repetido despu´es para dar ´enfasis a este aspecto. En general, en un problema que tiene continuidad–C n , las derivadas de la variable de campo hasta e incluyendo la derivada de n–´esimo orden son cont´ınuas a trav´es de las fronteras del elemento.
6.2.
Requisitos de compatibilidad e integridad
Los elementos lineales (resorte, barra, viga, eje) ilustran los procedimientos generales usados para formular y resolver un problema de elemento finito y son bastante u ´tiles para analizar estructuras de los tipos cercha y marco (planas o espaciales). Dichas estructuras, sin embargo, tienden a estar bien definidas en t´erminos del n´ umero y tipo de elementos usados. En la mayor´ıa de los problemas de ingenier´ıa, el dominio de inter´es es un cuerpo s´olido continuo, a menudo de forma irregular en el que la conducta de una o m´ as variables de campo es gobernada por una o m´as ecuaciones diferenciales parciales. El objetivo del m´etodo de elemento finito es discretizar el dominio en varios elementos finitos para los cuales las ecuaciones gobernantes son ecuaciones algebr´aicas. La soluci´on del sistema resultante de ecuaciones algebr´ aicas entonces da una soluci´on aproximada al problema. Como con cualquier t´ecnica aproximada, la pregunta que imperativamente debemos realizar es: Cu´an exacta es la soluci´on hallada ?. En el an´alisis de elemento finito, la exactitud de la soluci´on se juzga en t´erminos de la convergencia, a medida que la “malla” de elementos es refinada (que significa el uso de un mayor n´ umero de elementos de dimensiones cada vez m´ as peque˜ nas, o el incremento de un mayor n´ umero de nodos manteniendo el tama˜ no de los elementos). Hay dos m´etodos principales de refinamiento de la malla de elementos. El primero, conocido como refinamiento–h, se refiere al proceso de aumentar el n´ umero de elementos usados para modelar un dominio dado; por consiguiente, reducir el tama˜ no del elemento individual. En el segundo m´etodo, denominado refinamiento–p, el tama˜ no del elemento permanece inalterado, pero el orden de los polinomios usados como funciones de interpolaci´on se incrementa. El objetivo del refinamiento de la malla en cualquier m´etodo es obtener soluciones secuenciales que exhiban convergencia asint´ otica hacia los valores que representan la soluci´on exacta. Mientras que la teor´ıa espec´ıfica para ello est´ a m´ as all´ a del alcance de este libro, las pruebas matem´aticas de convergencia de las soluciones de elemento finito para corregir las soluciones obtenidas estar´an basadas en un procedimiento espec´ıfico de refinamiento de malla regular definido en [1]. Aunque las pruebas est´an basadas en mallas de elementos regulares, las mallas irregulares o no–estructuradas (como en la Figura 1.7) puede dar resultados muy buenos. De hecho, el uso de mallas no–estructuradas es el caso que se presenta m´as a menudo, puesto que: (1) la geometr´ıa que est´a siendo modelada es m´as a menudo irregular y (2) la discretizaci´ on autom´ atica que ofrece la mayor´ıa de los paquetes de software de elemento finito producen mallas irregulares. Un ejemplo que ilustra el refinamiento–h regular as´ı como la convergencia de la soluci´on se indica en la Figura 6.1(a), la cual muestra una placa el´astica rectangular de espesor uniforme empotrada en un borde y sujeta a una carga concentrada en un v´ertice. Este problema es modelado usando elementos rectangulares de tensi´on plana (v´ease el Cap´ıtulo 9) y se usaron tres mallas en la sucesi´ on, como muestran las Figuras 6.1(b) a 6.1(d). La convergencia de la soluci´on se bosqueja en la Figura 6.1(e), en t´erminos de la tensi´on normal m´axima en la direcci´on transversal a la carga aplcada al cuerpo. Para este ejemplo, la soluci´on exacta se toma como la m´axima
6.2. REQUISITOS DE COMPATIBILIDAD E INTEGRIDAD
F
155
máx 0
exacta
(a) 1 elemento
(b) 4 elementos
4
1 (c) 16 elementos
16
64 N e
(e) Convergencia hacia la soluci´ on exacta
(d) 64 elementos
Figura 6.1: Discretizaci´ on del dominio y convergencia de la soluci´on aproximada tensi´on normal flexionante calculada usando la teor´ıa de la viga elemental. La verdadera soluci´on exacta es la soluci´ on de tensi´ on plana de la teor´ıa de elasticidad. Sin embargo, la tensi´on normal m´axima no cambia apreciablemente en la soluci´ on que provee la teor´ıa de elasticidad, comparada con aquella que se obtiene aplicando la teor´ıa b´ asica de mec´anica de s´olidos deformables. La necesidad para la convergencia durante el refinamiento regular de la malla est´a bastante clara. Si la convergencia no se obtiene, el ingeniero que usa el m´etodo de elemento finito no tiene absolutamente ninguna indicaci´ on si los resultados son buena muestra de una significativa aproximaci´on hacia la soluci´on correcta. Para un problema de campo general en el que la variable de inter´es se expresa basado en un elemento en la forma discretizada φ(e) (x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z)φi
(6.1)
i=1
donde M es el n´ umero de grados de libertad del elemento, las funciones de interpolaci´on deben satisfacer dos condiciones primarias para asegurar la convergencia durante el refinamiento de la malla: los requisitos de compatibilidad e integridad, descritos como sigue.
6.2.1.
Compatibilidad
A lo largo de los l´ımites del elemento, la variable de campo y sus derivadas parciales hasta un orden menor en una unidad a la derivada de mayor–orden que aparece en la formulaci´ on integral de las ecuaciones de elemento, deben ser cont´ınuas. Dada la representaci´on discretizada de la Ecuaci´on (6.1), se sigue que las funciones de interpolaci´on deben satisfacer esta condici´on, desde que estas funciones determinan la variaci´ on espacial de la variable de campo. Recordando la aplicaci´ on del m´etodo de Galerkin a la formulaci´on de las ecuaciones de elemento de una cercha, la primera derivada del desplazamiento aparece en la Ecuaci´on (5.31). Por consiguiente, el desplazamiento debe ser cont´ınuo a trav´es de los l´ımites del elemento, pero ninguna de las derivadas del desplazamiento se exige que sea cont´ınua a trav´es de dichos l´ımites. De hecho, como fu´e observado previamente, el elemento barra componente de una cercha es un elemento de tensi´on normal interna constante; as´ı la primera derivada es, en general, discont´ınua en los bordes de interconexi´on entre elementos. Semejantemente, la formulaci´on del elemento viga, Ecuaci´on (5.43), incluye la segunda derivada del desplazamiento, y la compatibilidad requiere la continuidad del desplazamiento y la pendiente (primera derivada) — ambos — en las fronteras del elemento. Adem´ as de satisfacer el criterio para la convergencia, la condici´on de compatibilidad puede interpretarse con un significado f´ısico tambi´en. En los problemas estructurales, el requisito de continuidad del desplazamiento a lo largo de los l´ımites del elemento asegura que ning´ un hueco o grieta se desarrolle en
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
156
la estructura durante la deformaci´ on como resultado del procedimiento de modelado. Semejantemente el requisito de continuidad de la pendiente de la deformaci´on para el elemento viga asegura que no se desarrollen dobleces en la estructura deformada. En los problemas de transmisi´on de calor, el requisito de compatibilidad previene la posibilidad f´ısicamente inaceptable de discontinuidades de salto en la distribuci´on de temperatura.
6.2.2.
Integridad
En el l´ımite, a medida que el tama˜ no del elemento tiende a cero en el refinamiento de la malla, la variable de campo y sus derivadas parciales hasta, e incluyendo, la derivada de mayor–orden que aparecen en la formulaci´ on integral deben ser capaces de asumir valores constantes. De nuevo, debido a la discretizaci´ on, el requisito de integridad es directamente aplicable a las funciones de interpolaci´on. El requisito de integridad asegura que el campo de desplazamientos dentro de un elemento estructural pueda asumir un valor constante, representando el movimiento de cuerpo r´ıgido, por ejemplo. Similarmente, la pendiente constante de un elemento viga representa la rotaci´on de cuerpo r´ıgido, mientras que un estado de temperatura constante en un elemento t´ermico corresponde a la nulidad de flujo cal´orico a trav´es del elemento. Adem´as de la consideraci´on de movimiento de cuerpo r´ıgido, el requisito de integridad tambi´en asegura la posibilidad de valores constantes de (por lo menos) las primeras derivadas. Este rasgo asegura que un elemento finito es capaz de poseer tensi´on interna constante, flujo de calor constante, o velocidad fluida constante, por ejemplo. La discusi´ on anterior de convergencia y los requisitos para las funciones de interpolaci´on no est´an por ning´ un medio planteados de modo riguroso ni evidentemente detallados. Las referencias [1, 51] proporcionan al lector interesado un estudio en profundidad de los detalles te´oricos acerca de ´estos temas. El prop´ osito aqu´ı es presentar los requisitos y demostrar la aplicaci´on de los mismos al desarrollo de funciones de interpolaci´ on apropiadas a un n´ umero de elementos normalmente usados de varias formas y complejidad en su formulaci´ on matem´atica.
6.3.
Formas polinomiales: Elementos uni–dimensionales
Como ilustramos por los m´etodos y ejemplos del Cap´ıtulo 5, la formulaci´on de caracter´ısticas de elemento finito, requieren la diferenciaci´ on e integraci´on de las funciones de interpolaci´on en diversas maneras. Debido a la simplicidad con la que las funciones de formas polin´omicas pueden diferenciarse y pueden integrarse, los polinomios son normalmente las funciones de interpolaci´on m´as comunes usadas. Haciendo memoria del desarrollo de elemento barra del Cap´ıtulo 2, el campo de desplazamientos internos se expresa mediante el polinomio de primer–grado u(x) = a0 + a1 x
(6.2)
En t´erminos de los desplazamientos nodales, la Ecuaci´on (6.2) se determina que es equivalente a x x u1 + u2 (6.3) u(x) = 1 − L L Los coeficientes a0 y a1 son obtenidos aplicando las condiciones nodales: u(0) = u1 y u(L) = u2 . Entonces, colectando los coeficientes de los desplazamientos nodales, las funciones de interpolaci´on se obtienen como x x N1 (x) = 1 − N2 (x) = (6.4) L L La Ecuaci´ on (6.3) muestra que, si u1 = u2 , el campo de desplazamientos corresponde al de movimiento de cuerpo r´ıgido, y no ocurre ninguna deformaci´on interna del elemento. La primera derivada de la Ecuaci´on (6.3) con respecto a x proporciona un valor constante que, como sabemos, representa la deformaci´on unitaria axial del elemento. De aqu´ı, el elemento barra satisface el requisito de integridad,
6.3. FORMAS POLINOMIALES: ELEMENTOS UNI–DIMENSIONALES
157
puesto que el desplazamiento y la deformaci´on pueden tomar valores constantes sin tener en cuenta el tama˜ no del elemento. Tambi´en notamos que el elemento barra satisface el requisito de compatibilidad autom´aticamente, puesto que s´ olamente el desplazamiento est´a involucrado en la formulaci´on, y la compatibilidad del desplazamiento se refuerza en las conexiones nodales por medio del procedimiento de ensamble del sistema. A la luz del requisito de integridad, podemos ver ahora esa opci´on de la representaci´on polin´omica lineal del campo de desplazamiento, descrita por la Ecuaci´on (6.2), no era arbitraria. La inclusi´on del t´ermino a0 constante asegura la posibilidad de movimiento de cuerpo r´ıgido, mientras que para proveer una primera derivada constante se incluye el t´ermino de primer–orden. M´as all´a, s´ olo dos condiciones pueden ser incluidas en la representaci´on, como s´olo dos condiciones de borde deben satisfacerse, correspondiendo a los dos grados de libertad que posee el elemento (los desplazamientos de sus extremos). Rec´ıprocamente, si el t´ermino lineal fuera reemplazado por un t´ermino cuadr´atico a2 x2 , por ejemplo, los coeficientes todav´ıa podr´ıan obtenerse para satisfacer matem´aticamente las condiciones de desplazamiento nodal, pero una primera derivada constante (de valor distinto que cero) no podr´ıa obtenerse bajo ninguna circunstancia. La determinaci´ on de las funciones de interpolaci´on para el elemento de una cercha, como simplemente fu´e descrito, es bastante simple. No obstante, el procedimiento es t´ıpico de usarse para determinar las funciones de interpolaci´ on para cualquier elemento en el que se utilicen polinomios. Antes de la examinaci´ on de elementos m´ as complejos, volvemos a desarrollar las funciones de interpolaci´on del elemento viga con referencia espec´ıfica a los requisitos de compatibilidad e integridad. Recordando del Cap´ıtulo 5, que la formulaci´ on ´ıntegral [mediante el m´etodo de Galerkin, Ecuaci´on (5.43)] para el elemento viga incluye la segunda derivada del desplazamiento, la condici´on de compatibilidad requiere que el desplazamiento y su primera derivada (la pendiente de la deformaci´on) sean funciones cont´ınuas en los l´ımites del elemento. Incluyendo las pendientes en los nodos del elemento como variables nodales adem´ as de los desplazamientos nodales; la condici´on de compatibilidad est´a satisfecha por medio del procedimiento de ensamblaje del sistema. Como hemos visto, el elemento viga tiene 4 grados de libertad y el campo de desplazamientos internos se representa como el polinomio c´ ubico υ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
(6.5)
qu´e finalmente ser´ a expresado en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y las variables nodales como υ1 θ1 (6.6) υ(x) = N1 υ1 + N2 θ1 + N3 υ2 + N4 θ2 = N1 N2 N3 N4 υ2 θ2 Re–escribiendo la Ecuaci´ on (6.5) como producto matricial
υ(x) = 1 x
x2
a0 a1 x3 a2 a3
(6.7)
las condiciones nodales dυ = θ1 dx x=0
υ(x = 0) = υ1
υ(x = L) = υ2
dυ = θ2 dx x=L
son aplicadas para obtener
υ1 = 1
0
0
a0 a1 0 a2 a3
θ1 = 0
1
0
a0 a1 0 a2 a3
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
158
υ2 = 1 L
L2
a0 a1 L3 a2 a3
θ2 = 0
1
a0 a1 2L 3L2 a2 a3
´ Estas cuatro u ´ltimas ecuaciones son combinadas en forma matricial equivalente como υ1 1 0 0 0 a0 a1 θ1 0 1 0 0 = υ2 1 L L2 L3 a2 θ2 0 1 2L 3L2 a3
(6.8)
El sistema representado por la Ecuaci´ on (6.8) puede resolverse para las constantes polin´omicas desconocidas ai (i = 1; 4) invirtiendo la matriz de coeficientes, para obtener 1 a0 0 a1 = −3 a2 L2 2 a3 3 L
0 1
0 0
−2 L 1 L2
3 L2 −2 L3
0 υ1 0 θ1 −1 υ2 L 1 θ2 2
(6.9)
L
Las funciones de interpolaci´ on pueden obtenerse ahora sustituyendo los coeficientes dados por la Ecuaci´on (6.9) en la Ecuaci´ on (6.5) y colectando los coeficientes de las variables nodales. Sin embargo, el siguiente procedimiento es m´ as directo y algebr´aicamente m´as simple. Sustituya la Ecuaci´on (6.9) en la Ecuaci´on (6.7) e iguale a la Ecuaci´ on (6.6) para obtener 1 0 x3 −3 L2
0 1
0 0
−2 L 1 L2
3 L2 −2 L3
υ(x) = 1 x x2
2 L3
= N1
N2
N3
0 υ1 0 θ1 −1 υ2 L 1 θ2 2 L
υ1 θ1 N4 υ2 θ2
De donde resulta que las funciones de interpolaci´on son 1 0 x3 −3 L2
N1
N2
N3
N4 = 1 x x2
2 L3
0 1
0 0
−2 L 1 L2
3 L2 −2 L3
0 0 −1 L
(6.10)
1 L2
y, note que los resultados de la Ecuaci´ on (6.10) son id´enticos a los hallados en la Ecuaci´on (4.16). El lector puede preguntarse por qu´e repetimos el desarrollo de las funciones de interpolaci´on del elemento viga. El prop´ osito es doble: (1) para establecer un procedimiento general para el uso con las representaciones polin´ omicas de la variable de campo y (2) para volver a revisar la formulaci´on de elemento viga por lo que se refiere a los requerimientos de compatibilidad e integridad. El procedimiento general comienza con expresar la variable de campo como un polinomio de orden uno menos que el n´ umero de grados de libertad exhibido por el elemento. Usando los ejemplos del elemento barra y el elemento viga, se ha mostrado que un elemento de dos–nodos puede tener 2 grados de libertad, como en el elemento barra d´ onde s´olo se requiere continuidad del desplazamiento; o 4 grados de libertad, como en el elemento viga d´onde la continuidad de la pendiente (derivada) tambi´en se requiere. Luego las condiciones nodales (de borde) son aplicadas y los coeficientes del polinomio se
6.3. FORMAS POLINOMIALES: ELEMENTOS UNI–DIMENSIONALES
159
calculan en concordancia. Finalmente, los coeficientes polin´omicos se sustituyen en la representaci´on de la variable de campo en t´erminos de las variables nodales para obtener la forma expl´ıcita de las funciones de interpolaci´ on. El examen de la condici´ on de integridad para el elemento viga requiere un proceso de pensamiento m´as detallado. La representaci´ on polin´omica del campo de desplazamiento es tal que s´olo se garantiza que la tercera derivada tenga un valor constante, desde que cualquier derivada de orden–menor involucra la variable espacial. Sin embargo, si nosotros examinamos las condiciones bajo las cuales el elemento sufre traslaci´ on de cuerpo r´ıgido, por ejemplo; encontramos que las fuerzas nodales deben ser de igual magnitud e id´entico sentido, y los momentos nodales aplicados deben ser ambos cero. Tambi´en, para traslaci´ on de cuerpo r´ıgido, las pendientes de la funci´on de desplazamiento en los nodos del elemento son nulas. En el tal caso, la segunda derivada de la deflexi´on, directamente proporcional al momento flexionante, es cero; y el esfuerzo cortante, directamente relacionado a la tercera derivada del desplazamiento transversal, es constante. (Simplemente recuerde las relaciones de definici´on del esfuerzo cortante y el momento flector internos, de la teor´ıa de mec´anica de los materiales). Por consiguiente, la representaci´ on de la variable de campo como un polinomio c´ ubico, permite la traslaci´on de cuerpo r´ıgido. En el caso del elemento viga, tambi´en debemos verificar la posibilidad de rotaci´on de cuerpo r´ıgido. Esta consideraci´ on, como tambi´en aqu´ellas de momento flexionante y esfuerzo cortante constantes, se dejan al lector como problemas de fin de cap´ıtulo.
6.3.1.
Elementos unidimensionales de orden–superior
Al formular el elemento barra y el elemento de conducci´on de calor uni–dimensional (Cap´ıtulo 5), s´olo consideramos elementos rectil´ıneos que tienen un solo grado de libertad en cada uno de los dos nodos ubicados en sus puntos extremos. Aunque este elemento es bastante apropiado para los problemas considerados, de ning´ un modo es el u ´nico elemento uni–dimensional que puede formularse para un tipo de problema dado.
1
L
L
2
2
2
x
3
Figura 6.2: Elemento lineal tri–nodal La Figura 6.2 muestra un elemento l´ınea de tres–nodos, en el que el nodo 2 es un nodo interior. Como fu´e mencionado brevemente en el Cap´ıtulo 1, un nodo interior no se conecta a cualquier otro nodo en cualquier otro elemento adyascente en el modelo. La inclusi´on del nodo interior es una herramienta matem´ atica para aumentar el orden de aproximaci´on de la variable de campo. Asumiendo que tratamos s´olamente con 1 grado de libertad en cada nodo, la representaci´on polin´omica apropiada del campo variable es φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 (6.11) y las condiciones nodales son φ(x = 0) = φ1
φ x=
L 2
= φ2
φ(x = L) = φ3
(6.11a)
Aplicando el procedimiento general delineado previamente en el contexto del elemento viga, aplicamos las condiciones nodales (de borde) para obtener 1 φ1 φ2 = 1 φ3 1
0 L 2 L
a0 L a1 4 a2 L2 0
(6.12)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
160
de donde las funciones de interpolaci´ on se obtienen mediante la siguiente secuencia 1 0 0 φ1 a0 4 −1 −3 a1 = L φ2 L L 2 −4 2 a2 φ3 2 2 2 L
L
L
1 −3 φ(x) = 1 x x2 L 2 L2
= N1
N2
0 4 L −4 L2
φ1 −1 φ2 L 2 φ3 2 0
L
φ1 N3 φ2 φ3
x x2 N1 (x) = 1 − 3 + 2 2 L L x x N2 (x) = 4 1− L L x x N3 (x) = 2 −1 L L 1.0
(6.13)
N2
0.8 0.6 0.4 N3
N1 0.2 0.0
0.5
1.0
s (x/L)
- 0.2
Figura 6.3: Funciones de interpolaci´on del elemento lineal tri–nodal Notemos que cada funci´ on de interpolaci´on var´ıa cuadr´aticamente en x y tiene valor unitario en su nodo asociado y valor cero en los otros dos nodos, como es ilustrado en la Figura 6.3. Estas observaciones llevan a un m´etodo abreviado de preparar las funciones de interpolaci´on para un elemento rectil´ıneo C 0 como productos de monomios como sigue. Sea la variable s = x/L tal que s1 = 0, s2 = 1/2, s3 = 1 sean las coordenadas adimensionales de los nodos 1, 2, y 3, respectivamente. En lugar de seguir el procedimiento formal usado previamente; nosotros suponemos, por ejemplo, N1 (s) = C1 (s − s2 )(s − s3 )
(6.14)
donde C1 es una constante. El primer t´ermino monomio asegura que N1 toma valor cero en el nodo 2, y el segundo t´ermino monomio asegura lo mismo en el nodo 3. Por consiguiente, necesitamos determinar s´olo el valor de C1 que proporciona un valor de unidad al nodo 1. Substituyendo s = 0 en la u ´ltima ecuaci´on junto a los valores coordenados de los otros dos nodos, obtenemos N1 (s = 0) = C1 0 − 21 (0 − 1)
6.3. FORMAS POLINOMIALES: ELEMENTOS UNI–DIMENSIONALES
161
que nos proporciona C1 = 2; por lo que N1 (x) = 2 s −
1 2
(s − 1)
(6.15a)
Siguiendo una l´ ogica y procedimiento similar, tambi´en obtenemos N2 (x) = −4s(s − 1) N3 (x) = 2s s − 21
(6.15b) (6.15c)
Si substitu´ımos s = x/L en las Ecuaciones (6.15), y expandimos los t´erminos, se demuestra que los resultados son id´enticos a aquellos dados en la Ecuaci´on (6.13). El procedimiento basado en t´erminos monomiales puede ser extendido a elementos rectil´ıneos de cualquier orden, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.1. Utilice el m´etodo monomial para obtener las funciones de interpolaci´on para el elemento rectl´ıneo de cuatro–nodos mostrado en la Figura 6.4. L
L
L
3
3
3
1
4
3
2
x
Figura 6.4: Elemento lineal cuatri–nodal > Soluci´ on Usando s = x/L, tendremos: s1 = 0, s2 = 1/3, s3 = 2/3, y s4 = 1. Los t´erminos monomiales de inter´es son: s, s − 1/3, s − 2/3, y s − 1. Los productos monomiales que postulamos ser´an: N1 (s) = C1 s −
1 3
N3 (s) = C3 s s −
1 3
s−
2 3
(s − 1)
(s − 1)
N2 = C2 s s −
2 3
N4 = C4 s s −
1 3
(s − 1) s − 23
que autom´ aticamente satisfacen las condiciones requeridas de valor–nulo en nodos no asociados para cada una de las funciones de interpolaci´on. Aqu´ı, necesitamos evaluar s´olamente las constantes Ci de modo que Ni (s = si ) = 1 (i = 1; 4). Aplicando esta condici´on gen´erica de valor unitario a cada una de las funciones, obtenemos N1 (0) = 1 = C1 − 31 − 23 (−1) N2 13 = 1 = C2 13 − 13 − 23 N3 23 = 1 = C3 23 13 − 13 N4 (1) = 1 = C4 (1) 23 13 que tiene como soluci´ on al conjunto: C1 =
−9 2 ,
C2 =
27 2 ,
C3 =
−27 2 ,
C4 = 92 .
Reemplazando ´estos valores, las funciones de interpolaci´on del elemento rectil´ıneo cuatri–nodal resultan N1 (s) = − 92 s − 13 s − 23 (s − 1) 2 N2 (s) = 27 2 s s − 3 (s − 1) 1 N3 (s) = − 27 2 s s − 3 (s − 1) N4 (s) = 92 s s − 13 s − 23 >
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
162
6.4.
Formas polinomiales: isotrop´ıa geom´ etrica
La discusi´ on anterior de elementos uni–dimensionales (lineales) revel´o que la representaci´on polin´omica de la variable de campo debe contener el mismo n´ umero de t´erminos como el n´ umero de grados de libertad nodales. Adem´ as, para satisfacer el requisito de integridad, la representaci´on polin´omica para un elemento con M –grados de libertad debe contener todas las potencias de la variable independiente hasta e incluyendo el orden M − 1. Otra manera de declarar el u ´ltimo requisito es que el polinomio est´e completo. En dos y tres dimensiones, las representaciones polin´omicas de la variable de campo, en general, satisfacen los requisitos de compatibilidad e integridad si la expresi´on polinomial exhibe la propiedad conocida como isotrop´ıa geom´etrica [1]. Una funci´on matem´atica satisface la isotrop´ıa geom´etrica si la forma funcional que la describe no sufre cambio alguno bajo una traslaci´on o rotaci´on de coordenadas. En dos dimensiones, un polinomio completo de orden M puede expresarse como (2) N t X PM (x, y) = ak xi y j i+j ≤M (6.16) k=0 (2)
donde Nt = [(M + 1)(M + 2)]/2 es el n´ umero total de t´erminos. Un polinomio completo como es expresado por la Ecuaci´ on (6.16) satisface la condici´on de isotrop´ıa geom´etrica, desde que las dos variables, x e y, son inclu´ıdas en cada t´ermino en similares potencias. Por consiguiente, una traslaci´on o rotaci´on de coordenadas no afecta a ninguna de las variables independientes en esta expresi´on matem´atica. Un m´etodo gr´ afico de verificar a los polinomios bi–dimensionales completos es el llamado tri´ angulo de Pascal mostrado en la Figura 6.5. Cada l´ınea horizontal representa un polinomio de orden M . Un polinomio completo de orden M debe contener todos los t´erminos mostrados sobre la l´ınea horizontal de referencia. Por ejemplo, un polinomio cuadr´atico completo en dos dimensiones debe contener seis t´erminos. De aqu´ı, para usarlo en la representaci´on de una variable de campo asociada a un elemento finito, una expresi´ on cuadr´ atica completa requiere seis grados de libertad nodales en el elemento. Nosotros examinamos este caso particular en el contexto de los elementos triangulares en la pr´oxima secci´on. 1
y
x x2
x4
xy
xy
Cuadrático 3
xy
xy 3
y 2
2
x3
Lineal 2
x2y2
y 3
xy
Cúbico 4
y
Cuártico
Figura 6.5: El tri´ angulo de Pascal para polinomios en dos dimensiones Adem´as de los polinomios completos, los polinomios incompletos tambi´en exhiben isotrop´ıa geom´etrica si el polinomio incompleto es sim´etrico. En este contexto, la simetr´ıa implica que las variables independientes aparecen como “pares iguales y opuestos”, asegurando que cada variable independiente juegue un rol igual en el polinomio. Por ejemplo, el polinomio cuadr´atico incompleto de cuatro–t´erminos P (x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 no es sim´etrico, como all´ı existe un t´ermino cuadr´atico en x, pero el correspondiente t´ermino cuadr´atico
´ 6.4. FORMAS POLINOMIALES: ISOTROP´IA GEOMETRICA
163
en y no aparece. Por otra parte, el polinomio cuadr´atico incompleto, P (x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy es sim´etrico, ya que el t´ermino cuadr´atico establece igual “peso” para ambas variables independientes. Una manera muy conveniente de visualizar algunos de los polinomios sim´etricos pero incompletos de un orden dado normalmente usados, tambi´en son identificados por el tri´angulo de Pascal. Nuevamente, refiri´endonos a la Figura 6.5, las l´ıneas punteadas muestran los t´erminos que deben ser inclu´ıdos en un ´ polinomio incompleto todav´ıa sim´etrico de un orden dado. (Estos son, por supuesto, no s´olo los u ´nicos polinomios incompletos, sim´etricos, que pueden ser construidos). Todos los t´erminos sobre las l´ıneas punteadas deben ser incluidas en una representaci´on polinomial si la funci´on exhibe isotrop´ıa geom´etrica. Este rasgo de los polinomios se utiliza en una magnitud significativa en el siguiente desarrollo de las varias funciones de interpolaci´ on de elemento que formularemos. 1
x
z y xz
2
x
z xy x2z
x3
2
yz 2
y
2
zx
z3
xyz
x2y
z2y y2x
yz2 3
y
Figura 6.6: La pir´ amide de Pascal para polinomios en tres dimensiones Como en el caso bi–dimensional, para satisfacer los requisitos de isotrop´ıa geom´etrica, la expresi´on polin´omica de la variable de campo en tres dimensiones debe ser completa o incompleta, pero sim´etrica. La integridad y simetr´ıa tambi´en pueden ser interpretadas gr´aficamente por la “pir´ amide de Pascal ” mostrada en la Figura 6.6. Aunque el caso tridimensional es un poco m´as dif´ıcil de visualizar, la premisa b´asica se mantiene inalterable en el sentido que cada variable independiente debe poseer igual “fuerza” en el polinomio como todas las dem´ as. Por ejemplo, el polinomio cuadr´atico tri–dimensional P (x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 x2 + a5 y 2 + a6 z 2 + a7 xy + a8 xz + a9 yz es completo y podr´ıa aplicarse a un elemento que tiene 10 nodos. Similarmente, una forma sim´etrica, incompleta, como P (x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 x2 + a5 y 2 + a6 z 2 o, bien P (x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 xy + a5 xz + a6 yz podr´ıa usarse para elementos que tienen siete grados de libertad nodales (un caso improbable, sin embargo).
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
164
La isotrop´ıa geom´etrica no es un requisito absoluto para la representaci´on de la variable de campo [1], mediante funciones de interpolaci´ on. Como fu´e demostrado por muchos investigadores, realmente se usan a menudo las representaciones incompletas y la convergencia de la soluci´on a´ un as´ı es lograda. Sin embargo, en t´erminos de refinamiento–h, el uso de representaciones geom´etricamente isotr´opicas garantiza la satisfacci´ on de los requerimientos de compatibilidad e integridad. Para el m´etodo de refinamiento–p, el lector debe recordar que las funciones de interpolaci´on en cualquier an´alisis de soluci´on mediante aproximaci´ on por el m´etodo de elemento finito son aproximaciones a la soluci´on del problema mediante funciones de expansi´on en serie de potencias. Cuando nosotros aumentamos el n´ umero de nodos del elemento, el orden de las funciones de interpolaci´on se incrementa y, a medida que el n´ umero de nodos tiende hacia infinito, la expresi´on polin´omica de la variable de campo se aproxima a la expansi´on en serie de potencias de la soluci´on verdadera.
6.5.
Elementos triangulares
Las funciones de interpolaci´ on para los elementos triangulares se formulan inherentemente en dos dimensiones y una familia de tales elementos existen. La Figura 6.7 muestra los primeros tres elementos (lineal, cuadr´ atico, y c´ ubico) de la familia. Note que, en el caso del elemento c´ ubico existe un nodo interior. El nodo interior se requiere para obtener isotrop´ıa geom´etrica, como ser´a discutido posteriormente.
(a) lineal
(b) cuadr´ atico
(c) c´ ubico
Figura 6.7: Elementos finitos triangulares El uso de los elementos triangulares no se limita a problemas bi–dimensionales. De hecho, los elementos triangulares pueden ser usados en casos tri–dimensionales con simetr´ıa axial (discutido luego en este cap´ıtulo) as´ı como en an´ alisis estructurales que involucran alabeo por flexi´on fuera del plano que contiene al sistema, como en placas y estructuras de c´ascara. En los u ´ltimos casos, los grados de libertad nodales incluyen las primeras derivadas as´ı como la propia variable de campo. Aunque los problemas de placas y c´ ascaras est´ an fuera del alcance de este libro, aludiremos de nuevo brevemente a esos problemas en el Cap´ıtulo 9. 3(x 3 , y 3)
y
2(x 2 , y 2) 1(x 1 , y 1)
x Figura 6.8: Elemento finito triangular general con tres–nodos v´ertice La Figura 6.8 muestra un elemento finito triangular general, de tres-nodos ubicados en sus v´ertices, al cual asociamos un sistema de coordenadas propio del mismo elemento que es, por ahora, supuesto de ser igual que el sistema global. Aqu´ı, se supone que s´olo 1 grado de libertad es asociado con cada
6.5. ELEMENTOS TRIANGULARES
165
nodo. Por las condiciones anteriores, expresamos la variable de campo en la forma polinomial φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y
(6.17)
Aplicando las condiciones nodales φ(x1 , y1 ) = φ1
φ(x2 , y2 ) = φ2
φ(x3 , y3 ) = φ3
y, siguiendo el procedimiento general anteriormente delineado; obtenemos 1 x1 y1 a0 φ1 1 x2 y2 a1 = φ2 1 x3 y3 a2 φ3
(6.17a)
(6.18)
Para hallar los coeficientes polin´ omicos, debemos invertir la matriz de coeficientes en la ecuaci´on precedente. La inversi´ on de la matriz es algebr´aicamente tediosa pero dir´ecta, y encontramos 1 [ φ1 (x2 y3 − x3 y2 ) + φ2 (x3 y1 − x1 y3 ) + φ3 (x1 y2 − x2 y1 ) ] 2A 1 a1 = [ φ1 (y2 − y3 ) + φ2 (y3 − y1 ) + φ3 (y1 − y2 ) ] 2A 1 a2 = [ φ1 (x3 − x2 ) + φ2 (x1 − x3 ) + φ3 (x2 − x1 y1 ) ] 2A a0 =
Substituyendo los valores en la Ecuaci´on (6.17) y agrupando los coeficientes de las variables nodales, obtenemos 1 n φ(x, y) = [ (x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y ]φ1 2A (6.19) + [ (x3 y1 − x1 y3 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3 )y ]φ2 o + [ (x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y ]φ3 Dada la forma de la Ecuaci´ on (6.19), se observa que las funciones de interpolaci´on son 1 [ (x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y ] 2A 1 N2 (x, y) = [ (x3 y1 − x1 y3 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3 )y ] 2A 1 N3 (x, y) = [ (x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y ] 2A
N1 (x, y) =
(6.20a) (6.20b) (6.20c)
donde A es el ´ area del elemento triangular. Dadas las coordenadas de los tres v´ertices de un tri´angulo, puede demostrarse que el ´ area viene determinada por 1 x1 y1 1 A = 1 x2 y2 (6.21) 2 1 x3 y3 Note que la forma algebr´ aicamente compleja de las funciones de interpolaci´on se presenta principalmente por la elecci´ on del sistema coordenado de elemento de la Figura 6.8. Como la representaci´on lineal de la variable de campo exhibe isotrop´ıa geom´etrica, la ubicaci´on y orientaci´on de los ejes coordenados locales (de elemento) pueden escogerse arbitrariamente sin afectar los resultados de la interpolaci´ on. Por ejemplo, si el sistema coordenado de elemento mostrado en la Figura 6.9 se utiliza, se consigue una simplificaci´ on algebr´aica considerable. En el sistema de coordenadas mostrado, y con
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
166
3(x 3 , y 3)
y x 2(x 2 , 0) 1(0, 0) Figura 6.9: Sistema coordenado local para elemento finito triangular los valores de posici´ on espacial asignados a los v´ertices, tenemos x1 = y1 = y2 = 0, 2A = x2 y3 ; y las funciones de interpolaci´ on resultan N1 (x, y) =
1 [ x2 y3 − y3 x + (x3 − x2 )y ] x2 y3
1 [ y3 x − x3 y ] x2 y3 y N3 (x, y) = y3 N2 (x, y) =
(6.22a) (6.22b) (6.22c)
las cuales son claramente de formas m´ as simples que las que presentan las Ecuaciones (6.20). La simplificaci´ on efectuada no tiene ninguna repercusi´on en el c´alculo num´erico de valores de la variable de campo al interior del elemento. Sin embargo, si el sistema de coordenadas es orientado como en la Figura 6.9, las matrices caracter´ısticas del elemento deben transformarse a un sistema de coordenadas global com´ un durante el proceso de ensamble del modelo. (Recuerde la transformaci´on de matrices de rigidez demostrada anteriormente para los elementos barra y marco). Como los modelos de elemento finito normalmente emplean un gran n´ umero de elementos, los c´alculos adicionales para la transformaci´on del elemento realmente requieren cierto consumo de tiempo apreciable. Por consiguiente, la eficacia computacional se mejora si cada sistema de coordenadas de elemento se orienta tal que los ejes sean paralelos a los ejes globales. En este caso, el paso de transformaci´on es entonces innecesario cuando el ensamble del modelo tiene lugar. En la pr´actica, los paquetes de software de elemento finito m´as comerciales proveen el uso de ambos sistemas coordenados de elemento como opciones para el [6]. Retornando a la Ecuaci´ on (6.11), observe que es posible para la variable de campo asumir un valor constante, seg´ un el requisito de integridad, y que las primeras derivadas parciales con respecto a las variables independientes x e y son constantes. Lo u ´ltimo muestra que las pendientes de la variable de campo son constantes en ambas direcciones coordenadas. Para un elemento estructural plano, esto produce componentes de deformaci´ on constantes al interior del elemento. De hecho, en las aplicaciones estructurales, el elemento triangular de tres–nodos normalmente es conocido como un tri´ angulo de deformaci´ on constante (TDC, de modo abreviado). En el caso de la transmisi´on de calor, el elemento triangular analizado produce pendientes de temperatura constantes; por consiguiente, flujo de calor constante dentro de un elemento.
6.5.1.
Coordenadas de ´ area
Cuando las funciones de interpolaci´ on para el elemento triangular son expresadas en coordenadas Cartesianas, las expresiones obtenidas son algebr´aicamente complejas. Adicionalmente, las integraciones requiridas para obtener las matrices caracter´ısticas de elemento son realmente embarazosas. Una simplificaci´on considerable de las funciones de interpolaci´on as´ı como de las integraciones requeridas, se obtiene mediante el uso de las denominadas coordenadas de ´ area.
6.5. ELEMENTOS TRIANGULARES
167 3
A1
A2 P
A3
2
1
´ Figura 6.10: Areas asociadas a un punto P interno La Figura 6.10 muestra un elemento triangular de tres–nodos dividido en tres ´areas definidas por los nodos y un punto interior arbitrario P (x, y). Nota: El punto P no es un nodo. Las coordenadas de ´area del punto P se definen como L1 =
A1 A
L2 =
A2 A
L3 =
A3 A
(6.23)
donde A es el ´ area total del tri´ angulo. Claramente, las coordenadas de ´area no son independientes, puesto que la relaci´ on entre ellas se describe mediante L1 + L2 + L3 = 1
(6.24)
La dependencia anterior es realmente esperada, puesto que la Ecuaci´on (6.23) expresa la ubicaci´on de un punto en dos–dimensiones usando tres coordenadas. L1
3
= 0
L1
, P
3
= 0.5
P 2 L1
2
=
1
1
(a) Puntos con L1 constante
(b) L´ıneas de L1 constante
1
Figura 6.11: Propiedades de las coordenadas de ´area Las propiedades importantes de las coordenadas de ´area para la aplicaci´on a elementos finitos triangulares se examinan ahora con referencia a la Figura 6.11. En la Figura 6.11(a), se indica una l´ınea segmentada paralela al lado definido por los nodos 2 y 3. Para dos puntos cualquiera P y P 0 en esta l´ınea, las ´ areas de los tri´ angulos formados por los nodos 2 y 3 juntamente a P o P 0 son id´enticas. Esto es porque la base y altura de cualquier tri´angulo as´ı formado son constantes. M´as a´ un, a medida que la l´ınea segmentada se mueve m´as cerca al nodo 1, el ´area A1 aumenta linealmente y toma el valor A1 = A, cuando es evaluada en el nodo 1. Por consiguiente, la coordenada de ´area L1 es constante en cualquier l´ınea paralela al lado del tri´angulo opuesto al nodo 1 y var´ıa linealmente desde un valor unitario en el nodo 1 hasta un valor nulo a lo largo del lado definido por los nodos 2 y 3, como es mostrado en la Figura 6.11(b). Similares argumentos pueden hacerse para la conducta de las coordenadas L2 y L3 . Estas observaciones pueden usarse para escribir las condiciones siguientes que
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
168
son satisfechas por las coordenadas de ´ area cuando son evaluadas en los nodos: Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3:
L1 = 1 L2 = 1 L3 = 1
L2 = L3 = 0 L1 = L3 = 0 L1 = L2 = 0
(6.25)
Las condiciones expresadas por las Ecuaciones (6.25) son ex´actamente los requisitos que deben ser satisfechos por las funciones de interpolaci´ on en los nodos de un elemento triangular. As´ı que podemos expresar la variable a ser modelada como φ(x, y) = L1 φ1 + L2 φ2 + L3 φ3
(6.26)
en t´erminos de las coordenadas de ´ area. Es ´esta representaci´on de la variable de campo diferente de la expresada por la Ecuaci´ on (6.19) ?. Si las coordenadas de ´area se expresan expl´ıcitamente en t´erminos de las coordenadas nodales, las dos representaciones desarrolladas se demuestra que son id´enticas. Las verdaderas ventajas de las coordenadas de ´area se ven m´as r´apidamente en el desarrollo de funciones de interpolaci´ on para los elementos de orden–superior y realizando las integraciones de varias formas a ser planteadas en t´erminos de las funciones de interpolaci´on.
6.5.2.
Elemento triangular de seis–nodos
=
3
0
3
L3=1 L2= 0.5
L1
L = 2 0
Un elemento finito de seis–nodos se muestra en la Figura 6.12(a). Los nodos adicionales 4, 5, y 6 son localizados en los puntos medios de las aristas del elemento.
L1
= 0.5 5 L3
=
5
6
L = 2 1
0.5
6
=0 2 L3
L1 =
1
4
1
2 4
1
(a) Ubicaci´ on de puntos nodales
(b) L´ıneas de Li (i = 1; 3) constante
Figura 6.12: Elementos triangulares de seis–nodos Como tenemos ahora seis nodos, una representaci´on polin´omica de la variable de campo es φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2
(6.27)
que finalmente ser´ a expresada en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y los valores nodales como φ(x, y) =
6 X
Ni (x, y)φi
(6.28)
i=1
Como de costumbre, cada funci´ on de interpolaci´on debe ser tal que su valor es la unidad cuando es evaluada en su nodo asociado y cero cuando se eval´ ua en cualquiera de los otros cinco nodos. M´as a´ un, cada funci´ on de interpolaci´ on es una expresi´on cuadr´atica, en virtud que la representaci´on de la variable de campo es cuadr´ atica.
6.5. ELEMENTOS TRIANGULARES
169
La Figura 6.12(b) muestra el elemento de seis-nodos con las l´ıneas de valores constantes de las coordenadas de ´ area atravesando los nodos. Usando esta figura y un poco de l´ogica, las funciones de interpolaci´ on son f´ acilmente “constru´ıdas” en coordenadas de ´area. Por ejemplo, para la funci´on de interpolaci´ on N1 (x, y) = N1 (L1 , L2 , L3 ) se debe tener valor nulo en los nodos 2, 3, 4, 5, y 6. Notando que L1 = 1/2 en los nodos 4 y 6, la inclusi´on del t´ermino L1 − 1/2, asegura un valor cero en esos dos nodos. Similarmente, L1 = 0 en los nodos 2, 3, 4; as´ı el t´ermino L1 satisface las condiciones en esos tres nodos. Por consiguiente, proponemos 1 N1 = L1 L1 − (6.29) 2 Sin embargo, la evaluaci´ on de la Ecuaci´on (6.29) en el nodo 1, donde L1 = 1, resulta en N1 = 1/2. Como N1 debe tomar valor unitario en el nodo 1, ´esta funcion de interpolaci´on propuesta como prueba es modificada a 1 = L1 (2 L1 − 1) (6.30a) N1 = 2 L1 L1 − 2 la cual satisface las condiciones requeridas en cada uno de los seis nodos y es una funci´on cuadr´atica, puesto que L1 es una funci´ on lineal de x e y. Aplicando las condiciones nodales requeridas a las restantes cinco funciones de interpolaci´on en turno secuencial, se demuestra que como resultado de un desarrollo similar al efectuado obtenemos N2 = L2 (2 L2 − 1)
(6.30 b)
N3 = L3 (2 L3 − 1)
(6.30 c)
N4 = 4 L1 L2
(6.30 d)
N5 = 4 L2 L3
(6.30 e)
N6 = 4 L1 L3
(6.30 f)
Usando este procedimiento completamente dir´ecto, pueden construirse las funciones de interpolaci´on para los elementos triangulares adicionales de orden–superior. El elemento finito triangular c´ ubico de 10–nodos se deja como un ejercicio para el lector al final del cap´ıtulo.
6.5.3.
Integraci´ on en coordenadas de ´ area
Como vimos en el Cap´ıtulo 5 y encontraremos de nuevo en los cap´ıtulos siguientes, se requiere la integraci´ on de varias formas de las funciones de interpolaci´on sobre el dominio de un elemento, en el ciclo de formular las matrices y vectores caracter´ısticos de elemento cuando un determinado problema es modelado de forma discreta mediante la t´ecnica de utilizaci´on del m´etodo de elemento finito. Cuando estos componentes matem´ aticos son expresados en t´erminos de las coordenadas de ´area, las integrales de la forma ZZ La1 Lb2 Lc3 dA A
(donde A es el ´ area total del tri´ angulo definido por los nodos 1, 2 y 3) deben ser a menudo evaluadas. La relaci´ on ZZ a! b! c! La1 Lb2 Lc3 dA = (2A) (6.31) (a + b + c + 2)! A
ha sido demostrada [14] ser v´ alida para todos los exponentes a, b, c, que son n´ umeros enteros positivos (recuerde que 0 ! = 1). De aqu´ı, utilizando esta simple f´ormula, la integraci´on de las funciones de interpolaci´ on expresadas en t´erminos de las coordenadas de ´area es completamente dir´ecta !.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
170
Ejemplo 6.2. Como ser´a mostrado en el Cap´ıtulo 7, los t´erminos de convecci´on de la matriz de “rigidez” para un elemento bi–dimensional en transferencia de calor son de la forma Z kij = h Ni Nj dA A
donde h es el coeficiente de convecci´ on y A es el ´area del elemento. Use las funciones de interpolaci´on para un elemento triangular de seis–nodos dados por las ecuaciones (6.30) para calcular el valor de k24 . > Soluci´ on Usando las Ecuaciones (6.30b) y (6.30d), tenemos N2 = L2 (2 L2 − 1)
N4 = 4 L1 L2
de modo que (si asumimos h de valor constante) Z Z Z k24 = h N2 N4 dA = h L2 (2 L2 − 1) 4 L1 L2 dA = h (8L1 L32 − 4L1 L2 ) dA A
A
A
Aplicando la Ecuaci´ on (6.31), tendremos Z h 8L1 L32 dA = 8h(2A)
96hA 2hA (1!)(3!)(0!) = = (1 + 3 + 0 + 2)! 720 15
A
Z h
4L1 L2 dA = 8h(2A)
(1!)(2!)(0!) 16hA 2hA = = (1 + 2 + 0 + 2)! 120 15
A
Luego k24 =
6.6.
2hA 2hA − =0 15 15
>
Elementos rectangulares
Los elementos rectangulares son convenientes para modelar geometr´ıas regulares, pueden ser usados junto con los elementos triangulares, y forman la base para el desarrollo de elementos cuadril´ateros generales. El elemento m´ as simple de la familia de los elementos rectangulares es el rect´angulo de cuatro–nodos mostrado en la Figura 6.13, d´onde se asume que los lados del rect´angulo son paralelos a los ejes Cartesianos globales. Por convenci´on, numeramos los nodos secuencialmente en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj o anti–horario, como se muestra en la gr´afica de referencia. Como all´ı existen cuatro nodos y 4 grados de libertad (uno por cada nodo), usamos un polinomio de cuatro–t´erminos como expresi´on apropiada para la funci´on que describe a la variable de campo. Puesto que no hay ning´ un polinomio completo de cuatro–t´erminos en dos dimensiones, subsecuentemente la expresi´ on sim´etrica, incompleta: φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy es usada para asegurar isotrop´ıa geom´etrica. Aplicando las cuatro condiciones nodales, forma matricial tendremos φ1 1 φ2 1 = φ 1 3 φ4 1
(6.32)
y escribiendo el sistema de ecuaciones as´ı obtenido en x1 y1 x1 y1 a0 x2 y2 x2 y2 a1 (6.33) x3 y3 x3 y3 a2 x4 y4 x4 y4 a3
6.6. ELEMENTOS RECTANGULARES
171 4(x 4 , y 4)
3(x 3 , y 3)
1(x 1 , y 1)
2(x 2 , y 2)
y x
Figura 6.13: Elemento rectangular con nodos v´ertice de donde, simb´ olicamente se obtiene la soluci´on para los coeficientes polinomiales como a0 1 a1 1 = 1 a 2 a3 1
x1 x2 x3 x4
−1 x1 y1 φ1 x2 y2 φ2 x3 y3 φ3 x4 y4 φ4
y1 y2 y3 y4
En t´erminos de los valores nodales, la variable de campo es luego descrita como
φ(x, y) = 1 x y
xy {a} = 1 x y
1 1 xy 1 1
x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 y4
−1 φ1 x1 y1 φ2 x2 y2 φ3 x3 y3 φ4 x4 y4
(6.34)
de la cual, las funciones de interpolaci´on pueden ser deducidas si se compara esta u ´ltima ecuaci´on con la expresi´ on gen´erica para la descripci´on de la variable de campo en t´erminos de las funciones de interpolaci´ on Ni = Ni (x, y), y los valores nodales: φ(x, y) = N1 φ1 + N2 φ2 + N3 φ3 + N4 φ4
(6.34a)
La forma de la Ecuaci´ on (6.34) sugiere que las expresiones de las funciones de interpolaci´on en t´erminos de las coordenadas nodales son algebr´aicamente complejas. Afortunadamente, la complejidad puede reducirse por una elecci´ on m´ as juiciosa de las coordenadas. Para el elemento rectangular, introduciremos coordenadas normalizadas (tambi´on conocidas como coordenadas naturales o coordenadas serendipity) r y s como y − y¯ x−x ¯ s= (6.35) r= a b donde 2a y 2b son las magnitudes del ancho y el alto del rect´angulo, respectivamente; y las coordenadas del centroide del elemento vienen dadas por x ¯=
x1 + x2 2
y¯ =
y1 + y4 2
(6.35a)
como se muestra en la Figura 6.14(a). Por consiguiente, r y s son tales que el rango de sus valores van de −1 a +1, y las coordenadas nodales son como en la Figura 6.14(b). Aplicando las condiciones que deben satisfacerse por cada funci´on de interpolaci´on en cada nodo, obtenemos (esencialmente por inspecci´on) N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s) N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s) N1 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s) N1 (r, s) = 14 (1 − r)(1 + s)
(6.36)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
172 4
4 (–1, 1)
3
s
3 (1, 1)
s
y
r
r
y x
1
2
2 (1, –1)
1(–1, –1)
x (a) Traslaci´ on hacia coordenadas naturales
(b) Coordenadas naturales – nodos
Figura 6.14: Elemento finito rectangular de cuatro–nodos As´ı, la funci´on que describe a la variable de campo en t´erminos de las funciones de interpolaci´on en coordenadas naturales y los valores nodales de ´esta funci´on, resulta φ(r, s) = N1 (r, s)φ1 + N2 (r, s)φ2 + N3 (r, s)φ3 + N4 (r, s)φ4
(6.37)
Como en el caso de elementos triangulares que usan coordenadas de ´area, las funciones de interpolaci´on son algebr´ aicamente mucho m´ as simples cuando se expresan en t´erminos de coordenadas naturales. No obstante, todas las condiciones requeridas se satisfacen y la forma funcional es id´entica a la que expresaba la variable de campo en la Ecuaci´on (6.32). Tambi´en como con las coordenadas de ´area, las integraciones que involucran las funciones de interpolaci´on expresadas en coordenadas naturales se simplifican enormemente, desde que los integrandos son polinomios relativamente simples (para elementos rectangulares) y los l´ımites de integraci´on (cuando se integra sobre el ´area del elemento) son −1 y +1. La discusi´ on futura de tales requisitos de integraci´on, las t´ecnicas de integraci´on particularmente num´ericas, y otros temas de detalle, se posponen hasta despu´es en este cap´ıtulo. 7
4
3
s
y
r
8
x
5
1
6
2
Figura 6.15: Elemento rectangular de ocho–nodos Para desarrollar un elemento rectangular de orden–superior, la progresi´on l´ogica es poner un nodo adicional en el punto medio de cada arista del elemento, como en la Figura 6.15. Sin embargo, esto propone un problema inmediato. La inspecci´on del tri´angulo de Pascal (v´ease la Figura 6.5) muestra que no podemos construir un polinomio completo que tiene ocho t´erminos, pero tenemos la opci´on de escoger entre dos polinomios c´ ubicos incompletos, sim´etricos: φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 + a6 x3 + a7 y 3 2
2
2
φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x + a4 xy + a5 y + a6 x y + a7 xy
(6.38a) 2
(6.38b)
En lugar de decidir con escoger una o la otra expresi´on, usaremos las coordenadas naturales y las condiciones nodales que deben satisfacerse por cada funci´on de interpolaci´on para obtener las condiciones de normalizaci´ on de las funciones. Por ejemplo, la funci´on de interpolaci´on N1 debe valer cero en todos los nodos excepto en el nodo 1, d´onde su valor debe ser unitario. En los nodos 2, 3, y 6, r = 1, as´ı incluyendo el t´ermino r − 1 se satisface la condici´on nula en esos nodos. Similarmente, en los nodos 4 y 7, s = 1 por lo que el t´ermino s − 1 asegura la condici´on cero en esos dos nodos. Finalmente, en el nodo 5, (r, s) = (0, −1), y en el nodo 8, (r, s) = (−1, 0). De aqu´ı, en los nodos 5 y 8, el t´ermino r + s + 1 es id´enticamente cero. Usando este razonamiento, la funci´on de interpolaci´on asociada con el nodo 1 debe ser de la forma N1 (r, s) = (1 − r)(1 − s)(r + s + 1)
6.7. ELEMENTOS TRI–DIMENSIONALES
173
Evaluando en el nodo 1 donde (r, s) = (−1, −1), obtenemos N1 = −4; de modo que se requiere una correcci´ on para obtener un valor unitario. La forma final es entonces N1 (r, s) = 41 (r − 1)(1 − s)(r + s + 1)
(6.39a)
Un procedimiento paralelo para las funciones de interpolaci´on asociadas con los otros tres nodos v´ertice proporciona N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s)(s − r + 1) (6.39b) N3 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s)(r + s − 1)
(6.39c)
N4 (r, s) = 14 (r − 1)(1 + s)(r − s + 1)
(6.39d)
La forma de las funciones de interpolaci´on asociadas con los nodos ubicados a la mitad de las aristas es tan simple de obtener como las funciones asociadas con los nodos–v´ertice. Por ejemplo, N5 tiene un valor cero en los nodos 2, 3, y 6, si contiene el t´ermino r − 1; y es tambi´en cero en los nodos 1, 4, y 8, si el t´ermino 1 + r es inclu´ıdo. Finalmente, si un valor nulo debe obtenerse en el nodo 7, donde (r, s) = (0, 1), la inclusi´ on del t´ermino s − 1 debe efectuarse. Por tanto, despu´es de evaluar la funci´on de prueba en el nodo 5 de los productos monomiales de los t´erminos previamente identificados, resulta que la funci´ on de interpolaci´ on apropiada es N5 (r, s) = 12 (1 + r)(1 − r)(1 − s) = 21 (1 − r2 )(s − 1)
(6.39e)
donde el coeficiente principal asegura un valor unitario en el nodo 5. Para los otros nodos ubicados a la mitad de los lados, las funciones siguientes: N6 (r, s) = 12 (1 + r)(1 − s2 )
(6.39f)
N7 (r, s) = 21 (1 − r2 )(1 + s)
(6.39g)
N8 (r, s) = 21 (1 − r)(1 − s2 )
(6.39h)
son determinadas de la misma manera. Muchos otros elementos rectangulares, de orden consecutivamente superior, se han desarrollado para aplicaciones m´ as espec´ıficas [1]. En general, estos elementos de orden–superior incluyen nodos interiores que en el modelado son molestos, porque ellos no pueden conectarse a los nodos de otros elementos. Los nodos interiores se eliminan matem´aticamente en un paso intermedio del proceso de ensamble. La eliminaci´ on de estos nodos superfluos es tal que los efectos mec´anicos de los nodos interiores se asignan apropiadamente a los nodos externos que se ubican en la frontera l´ımite del elemento.
6.7.
Elementos tri–dimensionales
Como en el caso bidimensional, hay dos familias principales de elementos tri–dimensionales. Una de ellas est´ a basada en la extensi´ on de los elementos triangulares hacia los tetraedros y la otra en la extensi´on de los elementos rectangulares hacia paralelep´ıpedos rectangulares (a menudo simplemente llamados elementos ladrillo). Las t´ecnicas algebr´aicamente embarazosas para obtener las funciones de interpolaci´on en coordenadas Cartesianas globales ha sido ilustrado para los elementos bi–dimensionales. Esos desarrollos no se repiten aqu´ı para los elementos tri–dimensionales; los procedimientos son algebr´aicamente id´enticos, pero a´ un m´as complejos. En cambio, utilizaremos una aproximaci´on m´as amena usando las coordenadas naturales para desarrollar las funciones de interpolaci´on para las dos familias b´ asicas de los elementos tetra´edricos y palalelep´ıpedos.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
174
6.7.1.
Elemento tetra´ edrico de cuatro–nodos
Un elemento tetra´edrico de cuatro–nodos es mostrado en la Figura 6.16(a) en relaci´on a un sistema coordenado global Cartesiano. Los nodos se numeran de 1 a 4; por convenci´on el nodo 1 puede seleccionarse arbitrariamente y entonces se especifican los nodos 2 a 4 en un sentido anti–horario desde el nodo inicial 1. (Esta convenci´ on es igual que la usada por la mayor´ıa del software comercial de an´alisis de elemento finito y es muy importante para asegurar geom´etricamente tetraedros correctos en isotrop´ıa. Por otro lado, la definici´ on del elemento tetra´edrico para los modelos de elemento finitos es tan compleja que es casi siempre acompa˜ nada de capacidades de auto–generaci´on de mallas mediante paquetes de software espec´ıfico.) 3
3
P 2 4
2 4
1
1
(a) Ubicaci´ on de nodos
(b) Punto interno P
Figura 6.16: El elemento tetra´edrico de cuatro–nodos De una manera an´ aloga al usar coordenadas de ´area, ahora introducimos el concepto de coordenadas de volumen usando la Figura 6.16(b). El punto P (x, y, z) es un punto arbitrario en el interior de un tetraedro definido por los cuatro nodos. Como se indica por las l´ıneas segmentadas, el punto P y los cuatro nodos definen otros cuatro tetraedros que tienen los vol´ umenes V1 = vol(P234)
V2 = vol(P1234)
V3 = vol(P124)
V4 = vol(P123)
(6.40)
Las coordenadas de volumen se definen como L1 =
V1 V
L2 =
V2 V
donde V es el volumen total del elemento, dado por 1 x1 1 1 x2 V = 6 1 x3 1 x4
L3 =
V3 V
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
L4 =
V4 V
(6.41)
(6.42)
Como las coordenadas de ´ area, las coordenadas de volumen no son independientes pues cumplen L1 + L2 + L3 + L4 = 1
(6.43)
esto en virtud que debe satisfacerse la relaci´on obvia: V1 + V2 + V3 + V4 = V . Ahora examinemos la variaci´ on de las coordenadas de volumen a trav´es del elemento. Por ejemplo, si el punto P corresponde al nodo 1, encontramos que V1 = V , V2 = V3 = V4 = 0. Por consiguiente L1 = 1, L2 = L3 = L4 = 0 en el nodo 1. Como P se mueva fuera del nodo 1, V1 disminuye l´ınealmente, ya que el volumen de un tetraedro es directamente proporcional a su altura (la distancia perpendicular de P al plano definido por los nodos 2, 3, y 4) y el ´area de su base (el tri´angulo formado por los nodos 2, 3, y 4). En cualquier plano paralelo al tri´angulo base de nodos 2, 3, 4, el valor de L1 es constante. De importancia particular es que, si P se ubica en el plano de los nodos 2, 3, 4, el valor de L1 es cero.
6.7. ELEMENTOS TRI–DIMENSIONALES
175
Id´enticas observaciones se aplican a las coordenadas de volumen L2 , L3 , y L4 . As´ı que las coordenadas de volumen satisfacen todas las condiciones nodales requeridas para las funciones de interpolaci´on, y podemos expresar el campo variable como φ(x, y, z) = L1 φ1 + L2 φ2 + L3 φ3 + L4 φ4
(6.44)
La representaci´ on expl´ıcita de las funciones de interpolaci´on (i.e., las coordenadas de volumen) en t´erminos de las coordenadas globales es, como fu´e declarado, algebr´aicamente compleja pero dir´ecta. Afortunadamente, dicha representaci´on expl´ıcita generalmente no es requerida, cuando la formulaci´on del elemento puede efectuarse usando s´olo coordenadas de volumen. Como con las coordenadas de ´area, la integraci´ on de funciones en coordenadas de volumen (requerida en el desarrollo de las matrices y vectores caracter´ısticos del elemento) es relativamente simple. Las integrales de la forma ZZZ La1 Lb2 Lc3 Ld4 dV V
donde a, b, c, d son enteros positivos y V es el volumen total del elemento, aparecen en la formulaci´on del elemento para varios problemas f´ısicos. Como con las coordenadas de ´area, la integraci´on en coordenadas de volumen es dir´ecta [14], y tenemos la f´ormula de integraci´on ZZZ a! b! c! d! (6V ) (6.45) La1 Lb2 Lc3 Ld4 dV = (a + b + c + d + 3)! V
que es la analog´ıa en tres dimensiones de la Ecuaci´on (6.31). Como otra analog´ıa con los elementos triangulares bi–dimensionales, el elemento tetra´edrico es muy u ´til en modelar geometr´ıas irregulares. Sin embargo, este elemento no es particularmente vers´atil de usar junto con otros tipos de elementos, estr´ıctamente como resultado de las configuraciones nodales. Esta incompatibilidad se discute en las secciones siguientes. Como un comentario final, en el elemento tetra´edrico de cuatro–nodos, notamos que la representaci´on de la variable de campo, como es dada por la Ecuaci´ on (6.44), es una funci´on lineal de las coordenadas Cartesianas. Por consiguiente, todas las primeras derivadas parciales de la variable de inter´es son constantes. En aplicaciones estructurales, el elemento tetra´edrico es un elemento de tensi´on constante; en general, el elemento exhibe gradientes constantes de la variable seg´ un las tres direcciones coordenadas. 3
10
9 8 2
7 4 6
5 1
(a) Elemento de 10 nodos
(b) Elemento de 20 nodos
Figura 6.17: Elementos tetra´edricos de orden–superior Otros elementos de la familia del tetraedro se muestran en la Figura 6.17. Las funciones de interpolaci´on para los elementos esquematizados son prontamente escritas en coordenadas de volumen, como se lo hace para los elementos triangulares bi–dimensionales de orden–superior. Note particularmente que el segundo elemento de la familia tiene 10 nodos y una forma c´ ubica para la variable de campo y las funciones de interpolaci´ on. No puede construirse un elemento tetra´edrico cuadr´atico que exhiba isotrop´ıa geom´etrica a´ un cuando los nodos interiores sean inclu´ıdos.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
176
6.7.2.
Elemento ladrillo de ocho–nodos
El llamado elemento ladrillo de ocho–nodos (paralelep´ıpedo rectangular) se muestra en la Figura 6.18(a) en referencia con un sistema de coordenadas Cartesianas global. Aqu´ı, utilizamos las coordenadas naturales r, s, t de la Figura 6.18(b), definidas como 8
7
2c
(1, 1, -1)
(-1, 1, -1)
3
4
2b
s
5
(-1, 1, 1)
6
y 1
z
(1, 1, 1)
t
(-1, -1, -1)
2a
r (1, -1, -1)
2
x (-1, -1, 1)
(a) Ubicaci´ on de nodos
(1, -1, 1)
(b) Coordenadas naturales
Figura 6.18: Elemento ladrillo de ocho–nodos
r=
x−x ¯ a
s=
y − y¯ b
t=
z − z¯ c
(6.46)
donde 2a, 2b, 2c son las dimensiones del elemento seg´ un las direcciones x, y y z, respectivamente. Y, las coordenadas del centroide del elemento resultan ser x ¯=
x2 − x1 2
y¯ =
y3 − y2 2
z¯ =
z5 − z1 2
(6.47)
Las coordenadas naturales se definen de tal modo que los valores de las coordenadas var´ıan entre −1 y +1 sobre el dominio del elemento. Como con el elemento rectangular plano, las coordenadas naturales proveen un desarrollo r´ apido de las funciones de interpolaci´on usando los t´erminos monomiales apropiados para satisfacer las condiciones nodales. Como ilustramos el procedimiento en varios desarrollos anteriores, no repetiremos los detalles aqu´ı. En cambio, simplemente escribiremos las funciones de interpolaci´ on en t´erminos de las coordenadas naturales y demandamos que el lector verifique el cumplimiento de todas las condiciones nodales. Las funciones de interpolaci´on son N1 = 18 (1 − r)(1 − s)(1 + t)
N2 = 18 (1 + r)(1 − s)(1 + t)
N3 = 18 (1 + r)(1 + s)(1 + t)
N4 = 18 (1 − r)(1 + s)(1 + t)
N5 = 18 (1 − r)(1 − s)(1 − t)
N6 = 18 (1 + r)(1 − s)(1 − t)
N7 = 18 (1 + r)(1 + s)(1 − t)
N8 = 81 (1 − r)(1 + s)(1 − t)
(6.48)
y la variable de campo es descrita como φ(x, y, z) =
8 X
Ni (r, s, t)φi
(6.49)
i=1
Si la Ecuaci´ on (6.49) se expresa en t´erminos de coordenadas globales Cartesianas, se halla que es de la forma φ(x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 xy + a5 xz + a6 yz + a7 xyz (6.50) mostrando que la variable de campo es expresada como un polinomio sim´etrico, incompleto. La isotrop´ıa geom´etrica, por tanto, est´ a asegurada. El requisito de compatibilidad es satisfecho, como lo es la condici´on de integridad. Recordando que la integridad requiere que las primeras derivadas parciales
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
177
deben ser capaces de asumir valores constantes (para los problemas C 0 ). Si, por ejemplo, nosotros tomamos la primera derivada parcial de la Ecuaci´on (6.50) con respecto a x, obtenemos ∂φ = a1 + a4 y + a5 z + a7 yz ∂x que ciertamente no parece ser a primera vista constante. Sin embargo, si aplicamos la operaci´on derivativa secuencial a la Ecuaci´ on (6.49) notando que ∂φ ∂φ ∂r 1 ∂φ = = ∂x ∂r ∂x a ∂r donde hemos usado la Ecuaci´ on (6.46); el resultado es ∂φ 1 1 = (1 − s)(1 + t)(φ2 − φ1 ) + (1 + s)(1 + t)(φ3 − φ4 ) ∂x 8a 8a 1 1 + (1 − s)(1 − t)(φ6 − φ5 ) + (1 + s)(1 − t)(φ7 − φ8 ) 8a 8a
(6.51)
Refiri´endonos a la Figura 6.18, observamos que, si el gradiente de la variable de campo en la direcci´on x es constante, ∂φ/∂x = C, los valores nodales est´an relacionados por ∂φ dx = φ1 + C(2a) ∂x ∂φ φ6 = φ5 + dx = φ5 + C(2a) ∂x
φ2 = φ1 +
∂φ dx = φ4 + C(2a) ∂x ∂φ φ7 = φ8 + dx = φ8 + C(2a) ∂x φ3 = φ4 +
Substituyendo estas relaciones en la Ecuaci´on (6.51), obtenemos ∂φ 1 = [ (1 − s)(1 + t)(2aC) + (1 + s)(1 + t)(2aC) ∂x 8a + (1 − s)(1 + t)(2aC) + (1 + s)(1 − t)(2aC) ]
(6.52a)
lo cual, despu´es de la expansi´ on y simplificaci´on de t´erminos comunes, resulta en ∂φ =C ∂x
(6.52b)
Observando que este resultado es v´alido para cualquier punto dentro el elemento, se sigue que que la funci´ on de interpolaci´ on especificada, de hecho permite un gradiente constante en la direcci´on x. Procedimientos similares muestran que las otras derivadas parciales tambi´en satisfacen la condici´on de integridad.
6.8.
Formulaci´ on isoparam´ etrica
El m´etodo de elemento finito es una t´ecnica poderosa para analizar problemas de ingenier´ıa que involucran geometr´ıas complejas, e irregulares. Sin embargo, los elementos bi y tri–dimensionales discutidos hasta ahora en este cap´ıtulo (el tri´angulo, el rect´angulo, el tetraedro, el ladrillo) no siempre pueden usarse eficazmente para las geometr´ıas irregulares. Considere el ´ area plana mostrada en la Figura 6.19(a), la cual va a ser discretizada mediante una malla de elementos finitos. Una posible malla que usa elementos triangulares se muestra en la Figura 6.19(b). Note que la “fila” de elementos m´as externos proveen una aproximaci´on cordal al l´ımite circular, y a medida que el tama˜ no de los elementos se disminuye (y el n´ umero de elementos se incrementa), la aproximaci´ on se pone en aumento m´as cercana a la geometr´ıa real. Sin embargo, tambi´en notamos que los elementos en las “filas” internas se ponen en aumento delgadas (es decir, la
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
178
(a) Sector circular – dominio
(b) Elementos triangulares
(c) Elementos rectangulares
(d) Elementos rectangulares y cuadril´ ateros
Figura 6.19: Ejemplo de proceso de discretizaci´on en elementos finitos proporci´on de altura a la base es grande). En general, la proporci´on de la dimensi´on caracter´ıstica m´as grande de un elemento a la dimensi´ on caracter´ıstica m´as peque˜ na es conocida como la proporci´ on de aspecto. El aumento de proporciones de aspecto grandes incrementa la inexactitud de la representaci´on de elemento finito y tiene un efecto perjudicial sobre la convergencia de las soluciones de elemento finito [37]. Una proporci´ on de aspecto de 1 es ideal pero no siempre puede mantenerse. (Los paquetes comerciales de software de elementos finitos proporcionan advertencias cuando la proporci´on de aspecto de un elemento excede algunos l´ımites predeterminados). En la Figura 6.19(b), para mantener una proporci´on de aspecto razonable para los elementos internos, ser´ıa necesario reducir la altura de cada fila de elementos a medida que nos aproximemos hacia el centro del sector. Esta observaci´ on tambi´en considera los requisitos de convergencia del m´etodo de refinamiento–h. Aunque el elemento triangular puede servir para aproximar estrechamente un l´ımite curvado, otras consideraciones dictan un n´ umero relativamente grande de ´estos elementos y el tiempo de c´omputo asociado en el procesamiento num´erico de la soluci´on. Si consideramos elementos rectangulares como en la Figura 6.19(c) (una malla intencionalmente cruda para prop´ ositos ilustrativos), los problemas est´an aparentes. A menos que los elementos sean muy peque˜ nos, el ´ area del dominio excluido del modelo (los sectores triangulares en el borde circular) puede ser significativa. Para el caso esquematizado, un n´ umero grande de elementos cuadrados muy peque˜ nos aproxima mejor la geometr´ıa del dominio. A estas alturas, el lector astuto puede pensar: Por qu´e no usar elementos triangulares y rectangulares en la misma malla para mejorar el modelo ?. De hecho, una combinaci´on de tipos del elemento puede usarse para mejorar la exactitud geom´etrica del modelo. Las ´areas triangulares mencionadas de la Figura 6.19(c) podr´ıan ser modeladas por elementos triangulares de tres–nodos. Tal combinaci´on de tipos del elemento podr´ıa no ser lo mejor en t´erminos de exactitud de la soluci´on, puesto que el elemento rectangular y el elemento triangular tienen, necesariamente, diferente orden de las representaciones polin´omicas de la variable de campo. La variable es cont´ınua a trav´es de tales l´ımites del elemento; esto es garantizado por la interconexi´ on de elementos y la formulaci´on de elemento finito. Sin embargo, las condiciones en las derivadas de la variable de campo para los dos tipos de elemento son bastante diferentes. Sobre un l´ımite curvo como es el mostrado, el elemento triangular usado para llenar los “huecos” que dejan los elementos rectangulares tambi´en pueden tener caracter´ısticas de proporci´on de
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
179
aspecto adversas. Ahora examine la Figura 6.19(d) que muestra la misma ´area discretizada con elementos rectangulares y un nuevo elemento aplicado cerca de la periferia del dominio. El nuevo elemento tiene cuatro nodos, los lados rectos, pero no es rectangular. (Por favor notar que la malla mostrada es intencionalmente tosca para los prop´ ositos de ilustraci´on). El nuevo elemento es conocido como un elemento cuadril´ atero bi–dimensional general y se ve adecuado para discretizar como el elemento rectangular as´ı como tambi´en en aproximaci´ on al l´ımite curvo, tal como el elemento triangular. El elemento cuadril´atero de cuatro–nodos es derivado del elemento rectangular de cuatro–nodos tambi´en (conocido como elemento padre) mediante un proceso de mapeo cartogr´ afico. 4(x 4 , y 4)
3(x 3 , y 3)
3(1 , 1)
4(-1 , 1) s
y
r
1(x 1 , y 1)
1(-1 , -1)
x
2(1 , -1)
2(x 2 , y 2)
Figura 6.20: Mapeo de elemento rectangular en elemento cuadril´atero La Figura 6.20 muestra el elemento padre y sus coordenadas (r, s) naturales y el elemento cuadril´atero en un sistema coordenado Cartesiano global. La geometr´ıa del elemento cuadril´atero se describe por
x=
4 X
Gi (x, y)xi
(6.53a)
Gi (x, y)yi
(6.53b)
i=1
y=
4 X i=1
donde los t´erminos Gi (x, y) pueden considerarse funciones de interpolaci´on geom´etricas, y cada una de dichas funciones est´ a asociada con un nodo particular del elemento cuadril´atero. Dada la geometr´ıa y la forma de las Ecuaciones (6.53), cada funci´on Gi (x, y) debe asumir valor unitario cuando es evaluada en el nodo asociado y anularse en cada uno de los otros tres nodos. ´ Estas condiciones son ex´ actamente las mismas que aquellas que imponemos sobre las funciones de interpolaci´ on del elemento padre. Consecuentemente, las funciones de interpolaci´on para el elemento padre pueden ser usadas para las funciones geom´etricas, si el mapeo de coordenadas es tal que (r, s) = (−1, −1) 7→ (x1 , y1 ) (r, s) = (1, 1) 7→ (x3 , y3 )
(r, s) = (1, −1) 7→ (x2 , y2 ) (r, s) = (−1, 1) 7→ (x4 , y4 )
(6.54)
donde el s´ımbolo 7→ se lee “se mapea a” o “corresponde a”. Note usted que las coordenadas (r, s) usadas aqu´ı no son las mismas que aquellas definidas en la Ecuaci´on (6.35). En cambio, ´estas son las coordenadas rectangulares reales de los v´ertices del elemento padre unidad. Por consiguiente, las expresiones geom´etricas se vuelven x=
4 X
Ni (r, s)xi
(6.55a)
Ni (r, s)yi
(6.55b)
i=1
y=
4 X i=1
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
180
Claramente, tambi´en podemos expresar la variaci´on de la variable de campo en el elemento cuadril´atero como 4 X φ(x, y) = φ(r, s) = Ni (r, s)φi (6.56) i=1
si el mapeo descrito por las Ecuaciones (6.54) es utilizado, porque todas las condiciones nodales requeridas se satisfacen. Puesto que las mismas funciones de interpolaci´on se usan para la variable de campo y la descripci´on de la geometr´ıa del elemento, el procedimiento es conocido como mapeo isoparam´etrico (par´ametro constante). El elemento definido por dicho procedimiento es conocido como un elemento isoparam´etrico. El mapeo de los bordes l´ımites del elemento es ilustrado en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6.3. La Figura 6.21 muestra un elemento cuadril´atero en coordenadas globales. Mostrar que el mapeo descrito por la Ecuaci´ on (6.55), describe correctamente la l´ınea que conecta los nodos 2 y 3; y determinar las coordenadas (x, y) correspondientes a (r, s) = (1, 0,5). 4(x 4 , y 4)
3(x 3 , y 3)
3(1 , 1)
4(-1 , 1) s
y
r
1(x 1 , y 1)
1(-1 , -1)
2(x 2 , y 2)
x
2(1 , -1)
Figura 6.21: Elemento cuadril´atero para el Ejemplo 6.3 > Soluci´ on Primero, determinamos la ecuaci´ on de la l´ınea que pasa a trav´es de los nodos 2 y 3 estrictamente por geometr´ıa, usando la ecuaci´ on de una l´ınea recta y = mx + b. Usando las coordenadas conocidas de los nodos 2 y 3, tenemos Nodo 2: 1 = 3m + b Nodo 3: 2 = 2,5m + b Resolviendo simult´ aneamente, la pendiente es m = −2 y la intercepci´on es b = 7. Luego, la arista del elemento que une los nodos 2–3 tiene como ecuaci´on que la describe y = −2x + 7 Usando las funciones de interpolaci´ on dadas en la Ecuaci´on (6.36) y substituyendo las coordenadas nodales (x, y), el mapeo geom´etrico de la Ecuaci´on (6.55) llega a ser x = 41 (1 − r)(1 − s)(1) + 14 (1 + r)(1 − s)(3) + 14 (1 + r)(1 + s)(2,5) + 14 (1 − r)(1 + s)(1,25) y = 14 (1 − r)(1 − s)(1) + 14 (1 + r)(1 − s)(1) + 14 (1 + r)(1 + s)(2) + 14 (1 − r)(1 + s)(1,75) Notando que la arista 2–3 corresponde a r = 1, las u ´ltimas dos ecuaciones llegan a ser x = 32 (1 − s) + 45 (1 + s) =
11 4
y = 12 (1 − s) + (1 + s) =
+ 21 s
3 2
− 14 s
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
181
Eliminando s de las expresiones anteriores, se obtiene 2x + y =
14 2
lo cual es lo mismo que y = −2x + 7 como se desea. Para (r, s) = (1, 0,5), obtenemos x= y=
11 1 4 − 4 (0,5) = 2,625 3 1 2 + 2 (0,5) = 1,75
> Al formular las matrices caracter´ısticas de elemento, se requieren varias derivadas de las funciones de interpolaci´ on con respecto a las coordenadas globales, como previamente fu´e demostrado. En los elementos isoparam´etricos, la geometr´ıa del elemento y la variaci´on de las funciones de interpolaci´on se expresan en t´erminos de las coordenadas naturales del elemento padre, para que se levante alguna complicaci´ on matem´ atica adicional. Espec´ıficamente, nosotros debemos evaluar ∂Ni /∂x y ∂Ni /∂y (y, posiblemente, derivadas de orden–superior). Puesto que las funciones de interpolaci´on se expresan en coordenadas (r, s); formalmente podemos escribir estas derivadas como ∂Ni ∂Ni ∂r ∂Ni ∂s = + ∂x ∂r ∂x ∂s ∂x ∂Ni ∂Ni ∂r ∂Ni ∂s = + ∂y ∂r ∂y ∂s ∂y
(6.57)
Sin embargo, a menos que lleguemos a invertir las relaciones en la Ecuaci´on (6.55), las derivadas parciales de las coordenadas naturales con respecto a las coordenadas globales no son conocidas. Como es casi imposible invertir la Ecuaci´ on (6.55) hacia expresiones algebr´aicas expl´ıcitas, debe tomarse una diferente concepci´ on del problema. Tomemos una aproximaci´ on indirecta, primero examinando las derivadas parciales de la variable de campo con respecto a las coordenadas naturales. De la Ecuaci´on (6.56), las derivadas parciales de la variable de inter´es con respecto a las coordenadas naturales se expresan formalmente como ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r
(6.58)
∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
A la luz de la Ecuaci´ on (6.56), el c´omputo de las derivadas parciales de la variable de campo requiere del c´ alculo previo de las derivadas parciales de cada funci´on de interpolaci´on como ∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s Si la Ecuaci´ on (6.59) recientemente deducida ∂N ∂x i ∂r ∂r = ∂N ∂x i ∂s ∂s
i = 1; 4
la escribimos en forma matricial, tendremos ∂Ni ∂y ∂r ∂x i = 1; 4 ∂Ni ∂y ∂y ∂s
(6.59)
(6.60)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
182
observamos que el vector 2×1 en el lado izquierdo es conocido, puesto que las funciones de interpolaci´on son expresadas expl´ıcitamente en coordenadas naturales. Similarmente, los t´erminos de la matriz de coeficientes 2×2 en el lado derecho son conocidos por la Ecuaci´on (6.55). Este arreglo, conocido como matriz Jacobiana, denotada [ J ], es dada por ∂x ∂r [J ] = ∂x ∂s
4 X ∂Ni xi ∂r ∂r i=1 = X 4 ∂y ∂Ni xi ∂s ∂s i=1 ∂y
4 X ∂Ni i=1 4 X i=1
yi ∂Ni yi ∂s ∂r
(6.61)
Si la inversa de la matriz Jacobiana puede determinarse, la Ecuaci´on (6.60) puede ser resuelta para las derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on con respecto a las coordenadas globales para obtener ∂N ∂N ∂Ni i i ∂x I11 I12 ∂r ∂r −1 = [J ] = i = 1; 4 (6.62) I21 I22 ∂Ni ∂Ni ∂Ni ∂y ∂s ∂s con los coeficientes de la inversa de la matriz Jacobiana denotados como Iij por conveniencia. La Ecuaci´ on (6.62) puede usarse para obtener las derivadas parciales de la variable de campo con respecto a las coordenadas globales, como es requerido al discretizar una ecuaci´on diferencial gobernante por el m´etodo de elemento finito. Adem´as, las derivadas son requeridas al evaluar las variables “secundarias”, incluyendo la deformaci´on (luego la tensi´on) en los problemas estructurales y ´ el flujo cal´orico en la transmisi´ on de calor. Estos y otros problemas ser´an ilustrados en los cap´ıtulos subsecuentes. Como tambi´en sabemos, se requieren varias integraciones para obtener las matrices y vectores caracter´ısticos del elemento. Por ejemplo, al evaluar los coeficientes de la matriz de conductancia para los elementos de transmisi´ on de calor bi–dimensionales, integrales de la forma ZZ ∂Ni ∂Nj dA ∂x ∂x A
ser´an encontradas; y la integraci´ on deber´ a ser realizada tomando como dominio el ´area del elemento en coordenadas globales. Sin embargo, para un elemento isoparam´etrico como el cuadril´atero discuti´endose en estos p´arrafos, las funciones de interpolaci´ on fueron puestas en t´erminos de las coordenadas del elemento padre. De aqu´ı, es necesario transformar tales integrales hacia las coordenadas naturales. De la Ecuaci´on (6.62), tenemos ∂Ni ∂Nj ∂Ni ∂Ni ∂Nj ∂Nj = I11 + I12 I11 + I12 ∂x ∂x ∂r ∂s ∂r ∂s de modo que el sub–integrando es transformado usando los coeficientes de [ J ]−1 . Como se muestra en un curso de c´ alculo avanzado [15], la relaci´on de transformaci´on para el ´area diferencial dA = dx dy = | J | dr ds requiere la determinaci´ on del determinante de la matriz Jacobiana. As´ı, las integrales descritas previamente llegan a ser evaluadas mediante la expresi´on ZZ A
∂Ni ∂Nj ∂x ∂x
Z1 Z1
dA =
−1 −1
∂Ni ∂Ni I11 + I12 ∂r ∂s
∂Nj ∂Nj I11 + I12 | J | dr ds ∂r ∂s
(6.63)
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
183
Dichas integrales ser´ an discutidas con gran detalle en cap´ıtulos posteriores en el contexto de problemas espec´ıficos. La intenci´ on de ´esta discusi´on es enfatizar la importancia de la matriz Jacobiana en el desarrollo de los elementos isoparam´etricos. En lugar de trabajar con funciones de interpolaci´on individuales, es conveniente combinar las Ecuaciones (6.59) y (6.60) en forma matricial como ∂[ N ] ∂x ∂y ∂[ N ] ∂x ∂r ∂r ∂r = (6.64) ∂[ N ] ∂x ∂y ∂[ N ] ∂y ∂s ∂s ∂s donde [ N ] es la matriz fila 1×4 de las funciones de interpolaci´on [ N ] = N1 N2 N3 N4 y, la Ecuaci´ on (6.64) en notaci´ on matricial es lo mismo que ∂ ∂x ∂y ∂ ∂r ∂r ∂x ∂r [N ] [N ] = ∂ ∂x ∂y ∂ ∂y ∂s ∂s ∂s
(6.65)
Usaremos esta notaci´ on matricial con ventaja en cap´ıtulos posteriores, cuando examinemos aplicaciones espec´ıficas. Mientras que la formulaci´ on isoparam´etrica descrita previamente es matem´aticamente dir´ecta, la complejidad algebr´ aica de su aplicaci´on en un caso pr´actico es significativa, como es mostrado en el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.4. Determine la matriz Jacobiana para un elemento cuadril´atero bi–dimensional de cuatro–nodos que tiene por elemento padre aquel que posee las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.36) > Soluci´ on Las derivadas parciales de x e y respecto de r y s, por las Ecuaciones (6.36) y (6.55), son 4
∂x X ∂Ni = xi = ∂r ∂r i=1
1 4
[ −(1 − s)x1 + (1 − s)x2 + (1 + s)x3 − (1 + s)x4 ]
1 4
[ −(1 − s)y1 + (1 − s)y2 + (1 + s)y3 − (1 + s)y4 ]
1 4
[ −(1 − r)x1 − (1 + r)x2 + (1 + r)x3 + (1 − r)x4 ]
1 4
[ −(1 − r)y1 − (1 + r)y2 + (1 + r)y3 + (1 − r)y4 ]
4
∂y X ∂Ni = yi = ∂r ∂r i=1 4
∂x X ∂Ni = xi = ∂s ∂s i=1 4
∂y X ∂Ni = yi = ∂s ∂s i=1
La matriz Jacobiana es entonces " 1 (1 − s)(x2 − x1 ) + (1 + s)(x3 − x4 ) [J ] = 4 (1 − r)(x4 − x1 ) + (1 + r)(x3 − x2 )
(1 − s)(y2 − y1 ) + (1 + s)(y3 − y4 )
#
(1 − r)(y4 − y1 ) + (1 + r)(y3 − y2 )
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
184
Note usted que hallar la inversa de esta matriz Jacobiana en forma expl´ıcita no es una tarea envidiable. A veces, ´esto es imposible excepto en ciertos casos especiales. Por esta raz´on, la formulaci´on isoparam´etrica de elemento se lleva a cabo usando la integraci´on num´erica, como ser´a discutido en la > Secci´on 6.10. La formulaci´ on isoparam´etrica no est´ a por ning´ un medio limitada a los elementos padre lineales. Se han formulado muchos elementos isoparam´etricos de orden–superior usados con ´exito [1]. La Figura 6.22 muestra elementos isoparam´etricos que se corresponden al tri´angulo de seis–nodos y al rect´angulo de ocho–nodos. Debido al trazado a ser descrito por funciones cuadr´aticas de los elementos padre, los elementos param´etricos resultantes poseen l´ımites curvados que tambi´en se describen por funciones cuadr´aticas de las coordenadas globales. Tales elementos pueden usarse para aproximar estrechamente a contornos irregulares. Sin embargo, debe notarse que los elementos curvos no hacen una coincidencia perf´ecta con una curva l´ımite especificada del dominio que est´a siendo modelado.
(a) Tri´ angulo de seis–nodos
(b) Rect´ angulo de ocho–nodos
Figura 6.22: Mapeo isoparam´etrico hacia elementos curvos
6.9.
Elementos de simetr´ıa axial
Muchos problemas tri–dimensionales en ingenier´ıa exhiben simetr´ıa alrededor de un eje de rotaci´on. Dichos problemas, que tienen como dominio un volumen de revoluci´on, conocidos como problemas con simetr´ıa axial, pueden ser resueltos usando elementos finitos bi–dimensionales, que se describen m´as convenientemente en coordenadas cil´ındricas (r, θ, z). Las condiciones requeridas para un problema que posea la propiedad de simetr´ıa axial son como sigue: 1. El dominio del problema debe poseer un eje de simetr´ıa que es convencionalmente tomado como el eje z; es decir, el dominio es geom´etricamente un s´olido de revoluci´on. 2. Las condiciones de borde l´ımite son sim´etricas alrededor del eje de revoluci´on; as´ı, todas las condiciones l´ımite son independientes de la coordenada circunferencial. 3. Todas las condiciones de carga son sim´etricas alrededor del eje de revoluci´on; as´ı, ellas tambi´en son independientes de la coordenada circunferencial. En adici´on, las propiedades materiales deben ser sim´etricas alrededor del eje de revoluci´on. Esta condici´on es, por supuesto, autom´ aticamente satisfecha para los materiales isotr´opos. Si estas condiciones se cumplen, la variable de campo es una funci´on de s´olo las coordenadas radial y axial (r, z), y descrita matem´ aticamente por ecuaciones gobernantes bi–dimensionales. La Figura 6.23(a) muestra una secci´ on transversal de un cuerpo con simetr´ıa axial que se asume es el dominio de un problema con simetr´ıa axial (cuerpo cil´ındrico tronco–c´onico). La secci´on transversal podr´ıa representar la pared de un recipiente de presi´on para un an´alisis de tensi´on o de trasmisi´on de calor, una regi´ on anular de flujo fluido, o un horno de fundici´on para la producci´on de acero; para mencionar simplemente algunos ejemplos. En la Figura 6.23(b), se muestra un elemento triangular de tres–nodos que tiene coordenadas nodales (ri , zi ), que est´a ubicado en una posici´on gen´erica circunferencial θ arbitraria. En el caso de un fen´ omeno f´ısico en el que la variable de inter´es exhibe propiedad
6.9. ELEMENTOS DE SIMETR´IA AXIAL
185
3(r 3 , z 3)
z
z
r
2(r 2 , z 2)
1(r 1 , z 1)
r (a) Cuerpo con simetr´ıa axial
(b) Elemento Triangular en coordenadas cil´ındricas
Figura 6.23: Esquemas de an´alisis en problemas con simetr´ıa axial de simetr´ıa axial, ´esta es discretizada como φ(r, z) =
3 X
Ni (r, z)φi
(6.66)
i=1
donde las funciones de interpolaci´ on Ni (r, z) deben satisfacer las condiciones nodales usuales (asumir valor unitario en el nodo asociado, y valor nulo en los otros dos nodos). Notando que las condiciones nodales est´an satisfechas por las funciones de interpolaci´on definidas por la Ecuaciones (6.20), si nosotros simplemente sustituimos r por x y z por y, se obtienen inmediatamente las funciones de interpolacin para el elemento triangular con simetr´ıa axial. Similarmente, las funciones de interpolaci´ on en t´erminos de las coordenadas de ´area son tambi´en aplicables. Subsecuentemente, por definici´ on de un problema con simetr´ıa axial; el problema mismo, y por consiguiente su soluci´ on es independiente de la coordenada circunferencial, para que sean v´alidas las funciones de interpolaci´ on que aqu´ı planteamos. Por consiguiente, cualquier elemento bi–dimensional y las funciones de interpolaci´ on asociadas pueden usarse para los elementos con simetr´ıa axial. Pero, cu´al es la diferencia con el elemento triangular bi–dimensional en el plano x–y ?. El elemento con simetr´ıa axial es f´ısicamente tri–dimensional. Como mostramos en la Figura 6.24, el elemento triangular con simetr´ıa axial es realmente un prisma de revoluci´on. Los “nodos” son c´ırculos alrededor del eje de revoluci´ on del cuerpo, y las condiciones nodales est´an satisfechas en cada punto a lo largo de la circunferencia definida por el nodo de un elemento bi–dimensional que hipot´eticamente rota un ´angulo θ = 2π rad alrededor del eje de simetr´ıa axial. Aunque nosotros usamos un elemento triangular para ilustrar el concepto, reiteramos que cualquier elemento bi–dimensional puede usarse para formular un elemento con simetr´ıa axial. Como se muestra en los cap´ıtulos subsecuentes en el contexto de problemas espec´ıficos con simetr´ıa axial, la integraci´ on de varias formas de las funciones de interpolaci´on sobre el volumen dominio de definici´ on se requieren para la formulaci´on del elemento. Simb´olicamente, tales integrales son representadas como ZZZ ZZZ F (r, θ, z) = f (r, θ, z)dV = f (r, θ, z) r dr dθ dz (6.67) V
donde V es el volumen dominio de la integral (el volumen del elemento), y dV = r dr dθ dz es el volumen diferencial esquematizado en la Figura 6.25. Para problemas con simetr´ıa axial, la integral es independiente de la coordenada circunferencial θ, de modo que la integraci´on indicada en la Ecuaci´on (6.67)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
186
z
r
Figura 6.24: Elemento con simetr´ıa axial basado en elemento triangular se convierte en
ZZ F (r, θ, z) = F (r, z) = 2π
f (r, z) r dr dz
(6.68)
A
La Ecuaci´ on (6.68) muestra que las operaciones de integraci´on requeridas para la formulaci´on de los elementos con simetr´ıa axial, son distintamente diferentes de aqu´ellas para los elementos bi– dimensionales; aunque las funciones de interpolaci´on sean esencialmente id´enticas. Como fu´e declarado, mostraremos aplicaciones de elementos con simetr´ıa axial en los cap´ıtulos subsecuentes. Tambi´en, cualquier elemento bi–dimensional puede convertirse prontamente en un elemento de simetr´ıa axial, con tal que la verdadera naturaleza tri–dimensional del elemento sea tomada en cuenta cuando se formulen las matrices caracter´ısticas asociadas al mismo.
d dz dr
r
Figura 6.25: Diferencial de volumen en coordenadas cil´ındricas Ejemplo 6.5. En los siguientes cap´ıtulos, veremos que integrales de la forma Z Ni Nj dV V
donde Ni y Nj son funciones de interpolaci´on y V es el volumen del elemento, deben ser evaluadas en la formulaci´on de las matrices de elemento. Evaluar la integral con i = 1 y j = 2 para un elemento con simetr´ıa axial basado en un tri´ angulo de tres nodos, usando las coordenadas de ´area como funciones de interpolaci´ on. > Soluci´ on Para el elemento con simetr´ıa axial, usamos la Ecuaci´on (6.68) para escribir Z Z Z Ni Nj dV = 2π Ni Nj r dr dz = 2π Li Lj r dr dz V
A
A
6.9. ELEMENTOS DE SIMETR´IA AXIAL
187
donde A es el ´ area del elemento. Debido a la presencia de la variable r en el integrando, la f´ormula de integraci´on, Ecuaci´on (6.31), no puede aplicarse directamente. Sin embargo, podemos expresar r en t´erminos de las coordenadas nodales r1 , r2 , r3 y las coordenadas de ´area, como r = L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 Luego, notando que dr dz = dA, tenemos Z Z 2π Li Lj r dr dz = 2π Li Lj (L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 )dA A
A
lo cual s´ı posee la forma adecuada para que pueda aplicarse la f´ormula de integraci´on. Para i = 1 y j = 2, la integral llega a ser Z Z 2π L1 L2 r dr dz = 2π L1 L2 (L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 )dA A
A
Z = 2πr1
Z
2
L1 L2 dA + 2πr2 A
2
Z
L1 L2 dA + 2πr3 A
L1 L2 L3 dA A
Aplicando la f´ ormula de integraci´ on (Ec. (6.31)) a cada una de las tres integrales de la derecha, Z (1!)(2!)(0!) (1!)(1!)(1!) (2!)(1!)(0!) + r2 + r3 2π L1 L2 r dr dz = 4πA r1 (2 + 1 + 0 + 2)! (1 + 2 + 0 + 2)! (1 + 1 + 1 + 2)! A 2r1 2r2 r3 πA = 4πA + + = (2r1 + 2r2 + r3 ) 120 120 120 30
>
La t´ecnica de integraci´ on usada en el Ejemplo 6.5 tambi´en es aplicable a los elementos triangulares de lados–rectos de orden–superior, como mostramos en el pr´oximo ejemplo. Ejemplo 6.6. Para un elemento de simetr´ıa axial basado en el elemento cuadr´atico triangular de seis–nodos, que tiene funciones de interpolaci´ on dadas por la Ecuacin (6.30), eval´ ue la integral Z I = N2 N4 dV V
> Soluci´ on Usando la Ecuaci´ on (6.68) Z Z Z I = N2 N4 dV = 2π N2 N4 r dr dz = 2π L2 (2L2 − 1)(4L2 L2 ) r dr dz V
A
A
Ahora observe que, aunque las funciones de interpolaci´on var´ıan cuadr´aticamente sobre el ´area del elemento, las coordenadas de ´ area, por definici´on, var´ıan linealmente. Puesto que los lados del elemento son rectos, la coordenada radial todav´ıa puede expresarse como r = L1 r1 + L2 r2 + L3 r3
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
188
por tanto, tendremos Z L2 (2L2 − 1)(4L2 L2 ) (L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 ) dA
I = 2π A
O, desarrollando un poco m´ as Z I =16π
(L21 L32 r1 + L1 L42 r2 + L1 L32 L3 r3 ) dA
A
Z − 8π
(L21 L22 r1 + L1 L32 r2 + L1 L22 L3 r3 ) dA
A
Aplicando la f´ ormula de integraci´ on, Ecuaci´on (6.31), a cada una de las seis integrales presentadas aqu´ı (lo cual se deja como ejercicio para el lector), hallamos que I=
6.10.
πA (6r2 − 4r1 − 2r3 ) 315
>
Integraci´ on num´ erica: Cuadratura Gaussiana
En ´este y los anteriores cap´ıtulos mostramos que para la formulaci´on de las matrices caracter´ısticas de elemento se requiere la integraci´ on de varias funciones de la variable involucrada en el fen´omeno bajo estudio. El Cap´ıtulo 5 revela que el m´etodo de Galerkin requiere la integraci´on de ciertas funciones sobre el dominio del elemento (como vimos, el volumen f´ısico), una vez para cada funci´on de interpolaci´on (la soluci´on de ensayo). De hecho, se requiere una integraci´on individual para cada coeficiente de la matriz de rigidez de un elemento finito. Adem´as, las integraciones se requieren para obtener las cargas nodales equivalentes asociadas a las cargas puntuales o distribu´ıdas actuantes al interior del elemento, en los problemas de mec´ anica estructural. En este cap´ıtulo, enfocamos nuestra atenci´on principalmente en las formas funcionales polin´omicas de las representaciones discretizadas de la variable de campo. En la formulaci´on subsecuente de las matrices caracter´ısticas de elemento, nos enfrentamos con integraciones de formas polin´omicas. Un polinomio simple es relativamente f´ acil de integrar en forma cerrada (obteniendo expl´ıcitamente la soluci´on ex´acta). En muchos casos, sin embargo, los integrandos son funciones racionales, es decir, proporciones de polinomios; y ´estas son bastante tediosas de integrar directamente. En cualquier caso, en el contexto del m´etodo de elemento finito, d´onde se manipulan grandes n´ umeros de elementos, que requiere un gr´ an n´ umero de integraciones, y los m´etodos anal´ıticos no son eficientes en tales casos. Los paquetes de software de elemento finito no incorporan integraci´on expl´ıcita de las ecuaciones de formulaci´on de elemento. En cambio, ellos usan t´ecnicas num´ericas, la m´as popular de las cuales es la cuadratura Gaussiana (o cuadratura de Gauss–Legendre) que se puede encontrar detalladamente documentada en [11]. El concepto de cuadratura Gaussiana se ilustra primero en una dimensi´on, en el contexto de una integral de la forma Zx2 I = h(x) dx (6.69) x1
Mediante el cambio de variable: r = ax + b, ´esta ecuaci´on integral puede ser convertida a Z1 I=
f (r) dr −1
(6.70)
´ NUMERICA: ´ 6.10. INTEGRACION CUADRATURA GAUSSIANA
189
con dr = a dx. Los coeficientes a y b son determinados para que los l´ımites de integraci´on resulten ser menos y m´ as la unidad. Esto es convencional para el procedimiento de integraci´on num´erica y tambi´en concuerda muy bien con el rango de las coordenadas naturales de muchos de los elementos discutidos en este cap´ıtulo. Por el procedimiento de integraci´on Gaussiana, la integraci´on representada por la Ecuaci´on (6.70) puede aproximarse por I∼ =
m X
Wi f (ri )
(6.71)
i=1
donde Wi son los factores de ponderaci´ on Gaussiana y ri son conocidos como los puntos de muestreo o puntos Gauss. Los factores de ponderaci´on y los puntos de prueba o muestreo son determinados [15] para minimizar el error, particularmente en t´erminos de las funciones polin´omicas. De particular importancia en el an´ alisis de elemento finito, un polinomio de orden n puede integrarse exactamente. Tabla 6.1: Puntos de muestreo y factores de ponderaci´on para usar integraci´on num´erica mediante cuadratura Gaussiana m
ri
Wi
1
0,0
2,0
2
0,577350269189626 -0,577350269189626
1,0 1,0
3
0,0 0,774596669241483 -0,774596669241483
0,888888888888889 0,555555555555556 0,555555555555556
4
0,339981043583856 -0,339981043583856 0,861136311590453 -0,861136311590453
0,652145154862526 0,652145154862526 0,347854845137454 0,347854845137454
Refiri´endonos a la Ecuaci´ on (6.71), el uso de m puntos de muestreo y factores de ponderaci´on, resulta en un valor exacto de la integral para un polinomio de orden 2m − 1, si los puntos de muestra y ´ los factores de ponderaci´ on son escogidos de acuerdo con la Tabla 6.1. (Esta es una Tabla compendiada, que proporciona valores suficientes para la integraci´on exacta de un polinomio de orden siete o menor). Esto significa, por ejemplo, que una expresi´on polin´omica c´ ubica se integra exactamente por medio de la Ecuaci´ on (6.71), usando s´ olo dos puntos muestrales y evaluando el integrando en esos puntos, multiplicando por los factores de ponderaci´on, y sumando los resultados. Para ilustrar c´ omo los puntos de muestreo y los factores de ponderaci´on son determinados, formalmente integramos un polinomio gen´erico en una dimensi´on como
∗
Z1
I =
(a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · + an rn ) dr = 2 a0 +
2 3
a2 +
2 5
a3 + · · · +
2 n+1
an
(6.72)
−1
y observamos que, debido a la simetr´ıa de los l´ımites de integraci´on, todas las potencias impares se integran hacia un valor cero. Tambi´en notamos que asumimos aqu´ı que n es un entero par. La
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
190
aproximaci´on a la integral por la Ecuaci´ on (6.71) es I∗ ∼ =
m X
Wi f (ri ) = W1 (a0 + a1 r1 + a2 r12 + a3 r13 + · · · + an r1n )
i=1
+ W2 (a0 + a1 r2 + a2 r22 + a3 r23 + · · · + an r2n ) + W3 (a0 + a3 r2 + a2 r32 + a3 r33 + · · · + an r3n ) .. .
(6.73)
2 3 n + Wm (a0 + a1 rm + a2 rm + a3 rm + · · · + an rm )
Comparando las Ecuaciones (6.72) y (6.73) en t´erminos de los coeficientes aj del polinomio, las aproximaci´on de la Ecuaci´ on (6.73) llega a ser exacta si m X i=1 m X i=1
Wi = 2
Wi ri3 = 0
······
m X i=1 m X i=1 m X i=1
W i ri = 0 Wi ri4 =
m X i=1
2 5
Wi rin−1 = 0
Wi ri2 =
2 3
(6.74)
······ m X i=1
Wi rin =
2 n+1
donde m es el n´ umero de puntos (Gauss) de muestreo de integraci´on. La Ecuaci´ on (6.74) representa n ecuaciones en 2m + 1 inc´ognitas. Los valores desconocidos son los factores de ponderaci´ on Wi , los valores de los puntos de muestreo ri , y lo m´as problem´atico, el n´ umero de los puntos de prueba m. Aunque no es nuestra pretensi´on el desarrollo completo de la teor´ıa de cuadratura Gaussiana, nosotros ilustraremos con un ejemplo c´omo los puntos de muestreo y los factores de ponderaci´ on pueden determinarse usando las ecuaciones y la l´ogica. Primero, notemos que las ecuaciones que corresponden a las potencias impares del polinomio indican una suma cero. Segundo, notemos que la primera ecuaci´ on es aplicable sin tener en cuenta el orden del polinomio; es decir, los factores de ponderaci´ on deben sumar al valor de 2, si la exactitud es lograda. Por ejemplo, si tenemos un polinomio lineal, n = 1, las primeras dos de las Ecuaciones (6.74) son aplicables y llevan a la conclusi´ on que necesitamos un punto u ´nico de prueba o testeo, y que los valores apropiados del factor de ponderaci´ on y el punto de muestreo para satisfacer las dos ecuaciones (en este caso) son: W1 = 2 y r1 = 0. Luego, considere el caso de un polinomio c´ ubico, n = 3. En este caso, tenemos m m m X i=1
Wi = 2
X i=1
W i ri = 0
X i=1
Wi ri2 =
2 3
representando tres ecuaciones en 2m + 1 inc´ognitas. Si permiti´eramos que m = 1, las primeras dos ecuaciones llevan a W1 = 2, r1 = 0, pero la tercera ecuaci´on no puede satisfacerse. Por otra parte, si m = 2, tendremos W1 + W2 = 2
W 1 r 1 + W 2 r2 = 0
W1 r12 + W2 r22 =
2 3
un sistema de tres ecuaciones con cuatro inc´ognitas. Evidentemente, no podemos resolver directamente ´este sistema de ecuaciones, pero si examinamos el caso: W1 = W2 = 1 y r1 = −r2 , las primeras dos ecuaciones se satisfacen; y la tercera ecuaci´on llega a ser q r12 + r22 = 2r12 = 23 ⇒ r1 = 13 = 0,57735 . . . correspondiendo exactamente a la segunda entrada en la Tabla 6.1. Estos factores de ponderaci´on y los puntos de Gauss tambi´en integran exactamente un polinomio cuadr´atico. Se insta al lector a notar que, debido al resultado nulo despu´es de integrar las potencias impares en el polinomio, se obtienen
´ NUMERICA: ´ 6.10. INTEGRACION CUADRATURA GAUSSIANA
191
los resultados exactos para dos ´ ordenes polin´omicos para cada serie de puntos de muestreo y factores de ponderaci´ on. Esta discusi´ on por ning´ un medio est´a pensada en ser matem´aticamente rigurosa en t´erminos de la teor´ıa que subyace debajo de la integraci´on num´erica. El intento es dar alguna visi´on razonable acerca de los valores num´ericos presentados en la Tabla 6.1, simplemente. Ejemplo 6.7. Evaluar la integral Z1 f (r) =
(r2 − 3r + 7) dr
−1
usando cuadratura Gaussiana, de modo que el resultado sea exacto. > Soluci´ on Como el integrando es un polinomio cuadr´atico (de orden 2), tenemos para una integraci´on exacta 2m − 1 = 2, que resulta en el n´ umero requerido de puntos de muestreo como m = 3/2. El n´ umero calculado de puntos de prueba debe redondearse al valor del entero m´as cercano, por lo que en ´este caso debemos usar dos puntos de prueba. Por la Tabla 6.1, los puntos de muestreo son ri = ±0,5773503 y los factores de ponderaci´ on son Wi = 1,0 (i = 1, 2). Por consiguiente, Z1
(r2 − 3r + 7) dr = (1)[(0,5773503)2 − 3(0,5773503) + 7]
−1
+ (1)[(−0,5773503)2 − 3(−0,5773503) + 7] Z1
(r2 − 3r + 7) dr = 14,666667
−1
Este resultado se verifica prontamente como exacto, de hecho efectuando la integraci´on normal y directa puede probarse lo afirmado. > El procedimiento de integraci´ on num´erica mediante cuadratura Gaussiana no est´a por ning´ un medio limitado a una dimensi´ on. En el an´ alisis de elemento finito, integrales de las formas Z1 Z1 I=
f (r, s) dr ds −1 −1
(6.75)
Z1 Z1 Z1 I=
f (r, s, t) dr ds dt −1 −1 −1
son encontradas frecuentemente. Considerando la primera de las Ecuaciones (6.75), integramos primero respecto a r (utilizando la t´ecnica de cuadratura Gaussiana) para obtener Z1 Z1 I=
f (r, s) dr ds =
Z1 X m
Z1 Wi f (ri , s) ds =
−1 i=1
−1 −1
g(s) ds −1
la cual, en turno, es integrada nuevamente v´ıa cuadratura Gaussiana para obtener I=
m X j=1
Wj g(sj )
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
192
Combinando estas dos u ´ltimas ecuaciones, hallamos que para una integral doble Z1 Z1
f (r, s) dr ds ∼ =
m X n X
Wj Wi f (ri , sj )
(6.76)
j=1 i=1
−1 −1
Las ecuaciones deducidas muestran que, para la integraci´on en dos dimensiones simplemente aplicamos el procedimiento de Gauss secuencialmente, as´ı como cuando integramos formalmente. En cada paso, si deseamos un resultado exacto, el n´ umero de los puntos de prueba (y tambi´en, los factores de ponderaci´on) son escogidos por el orden de los t´erminos polin´omicos respectivos en r y s. El resultado num´erico es exacto. En la pr´ actica, el n´ umero de puntos de muestra se escoge a ser el mismo para cada paso de integraci´ on, con el orden–superior prevaleciendo, como es ilustrado en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6.8. Usar el procedimiento de cuadratura Gussiana para obtener un valor exacto para la integral Z1 Z1 I=
(r3 − 1)(s − 1)2 dr ds
−1 −1
> Soluci´ on Considerando primero la integraci´ on con respecto a r, tenemos un orden c´ ubico del polinomio que requiere dos puntos de muestreo; los cuales por la Tabla 6.1 son ri = ±0,5773503 y cada uno de los factores de ponderaci´ on son la unidad. Similarmente, para la integraci´on con respecto a s, el orden del polinomio es cuadr´ atico de modo que los factores son los mismos. (En la siguiente soluci´on, notamos √ que, por simplicidad de presentaci´ on, que los puntos de muestreo son num´ericamente id´enticos a 3/3). La Ecuaci´on (6.76) para este ejemplo se desarrolla como I=
2 X 2 X
Wj Wi f (ri , sj ) =
√ 3 3 3
√ √ 2 √ 3 2 − 3 3 3 −1 + − 1 − 1 − 1 3 3 3
j=1 i=1
+
√ 3 3 3
√ √ 2 √ 3 2 − 3 − 3 − 3 −1 − 1 + − 1 − 1 3 3 3
= 5,33333333 Y, como de nuevo puede verificarse por la integraci´on directa, que el resultado es exacto.
>
Un procedimiento an´ alogo muestra que, para el caso tri–dimensional, Z1 Z1 Z1
f (r, s, t) dr ds dt ∼ =
l X m X n X
Wk Wj Wi f (ri , sj , tk )
(6.77)
k=1 j=1 i=1
−1 −1 −1
Como en el caso de la integraci´ on en una y dos dimensiones, la aproximaci´on descrita por la Ecuaci´on (6.77) puede dar un valor exacto para un integrando polin´omico si los puntos de muestreo se seleccionan previamente como se describi´ o. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento. Ejemplo 6.9. Usar el procedimiento de cuadratura Gussiana para obtener un valor exacto para la integral Z1 Z1 Z1 I= −1 −1 −1
r2 (s2 − 1)(t4 − 2) dr ds dt
´ NUMERICA: ´ 6.10. INTEGRACION CUADRATURA GAUSSIANA
193
> Soluci´ on En este caso tenemos un polinomio cuadr´atico en r, de modo que se requieren dos puntos de muestreo; √ con ri = ±0,5773503 = 3/3, con factores de ponderaci´on Wi = √ 1. La funci´on cuadr´atica en s similarmente requiere dos puntos de muestreo en sj = ±0,5773503 = 3/3, con factores de ponderaci´on Wj = 1. Para la funci´ on de cuarto orden en t, se requieren tres puntos de muestreo para conseguir una soluci´on exacta, siendo los valores muestrales y factores de ponderaci´on, por la Tabla 6.1 t1 = 0,0 t2 = 0,7745967 t3 = −0,7745967
W1 = 0,8888889 W2 = 0,5555556 W3 = 0,5555556
Para una soluci´ on exacta, entonces tendremos I∼ =
3 X 2 X 2 X
Wk Wj Wi f (ri , sj , tk )
k=1 j=1 i=1
de modo que se requieren un total de 12 puntos de muestreo. Los c´alculos requeridos para la evaluaci´on de la integral triple planteada en este ejemplo se resumen en la Tabla 6.2. De modo, que para este ejemplo particular obtenemos Z1 Z1 Z1 I=
r2 (s2 − 1)(t4 − 2) dr ds dt = 3,2
−1 −1 −1
y, el resultado es exacto !.
>
Tabla 6.2: Puntos de muestreo, factores de ponderaci´on, y c´alculos para el Ejemplo 6.9 Pto
ri
sj
tk
Wi
Wj
Wk
f (ri , sj , tk )
Suma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735
0,57735 0,57735 0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735
0 0,774597 -0,774597 0 0,774597 -0,774597 0 0,774597 -0,774597 0 0,774597 -0,774597
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0,88888889 0,55555556 0,55555556 0,88888889 0,55555556 0,55555556 0,88888889 0,55555556 0,55555556 0,88888889 0,55555556 0,55555556
0,395062 0,202469 0.202469 0,395062 0,202469 0,202469 0,395062 0,202469 0,202469 0,395062 0,202469 0,202469
0,395062 0,597531 0,8 1,195062 1,397531 1,6 1,995062 2,197531 2,4 2,795062 2,997531 3,2
No olvide usted que el procedimiento de cuadratura Gaussiana se basa en la formulaci´on de una relaci´on integral que hace que el error residual se minimice. En el caso de obtener un error residual de valor nulo, obviamente ´esto es indicaci´on que se ha logrado obtener la soluci´on exacta para el problema. Para que el lector no caiga en la impresi´on falsa que la integraci´on num´erica siempre puede hacerse exacta, presentamos el ejemplo siguiente para ilustrar que (1) la integraci´on num´erica no siempre es exacta, pero (2) la integraci´ on num´erica converge al valor exacto a medida que el n´ umero de puntos de muestreo utilizados en el proceso se aumente.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
194
Ejemplo 6.10. Usar el procedimiento de cuadratura Gussiana para evaluar la integral Z1 I=
r2 − 1 dr (r + 3)2
−1
usando uno, dos, y tres puntos de muestreo > Soluci´ on El procedimiento de integraci´ on requiere que evaluemos el integrando en puntos discretos y sumemos el resultado como sigue (no presentamos todos los detalles de c´alculo: el lector queda desafiado a verificar nuestros c´alculos aqu´ı presentados). Un punto de integraci´ on W1 = 2 r1 = 0 −1 I∼ = −0,666667 =2 3 Dos puntos de integraci´ on
√
W1 = W2 = 1
Tres puntos de integraci´ on W1 = 0,8888888
3 3 I∼ = −0,16568 r1 =
W2 = 0,5555555 . . . r1 = 0
r2 = −r1
W3 = −0,5555555 . . .
r2,3 = ±0,7745966 I∼ = −0,15923
Continuando con la integraci´ on mediante cuatro puntos de muestreo, obtenemos I∼ = −0,15891 De aqu´ı, vemos que ocurre convergencia hacia un valor determinado. Si el resultado exacto se obtiene por proceso de integraci´ on formal, el resultado es: I = −0,15888. Como es mostrado por este ejemplo, el procedimiento de integraci´ on num´erica Gaussiana, no siempre es exacto pero tiene, de hecho, convergencia hacia las soluciones exactas a medida que el n´ umero de puntos de prueba muestral o puntos de Gauss utilizados en la aplicaci´on de la t´ecnica se incrementa. >
6.11.
Comentarios finales
Los desarrollos presentados en este cap´ıtulo muestran c´omo las funciones de interpolaci´on para elementos uni, bi, y tri–dimensionales pueden obtenerse mediante un procedimiento sistem´atico. Tambi´en, vimos que el procedimiento algebr´ aicamente es muy tedioso, pero a menudo puede aliviarse usando la intuici´on y la l´ ogica cuando se aplican coordenadas naturales. Las funciones de interpolaci´on discutidas son formas polinomiales estandar, pero por ning´ un medio son funciones exhaustivas que se han desarrollado para el uso en el an´ alisis de elemento finito. Por ejemplo, no hicimos ninguna menci´on de los polinomios de Legendre o los polinomios de Hermite para la aplicaci´on a los elementos finitos. ´ Estas y otras formas son bien conocidas y discutidas en la literatura especializada de elemento finito. Como el objetivo de este texto es presentar los principios b´asicos de an´alisis del elemento finito, el material de este cap´ıtulo tiene la intenci´on de cubrir los conceptos b´asicos de las funciones de
Problemas propuestos
195
interpolaci´ on sin proponer que sean absolutamente comprensivos en todas sus variantes. El tratamiento desarrollado aqu´ı forma una base para la formulaci´on de modelos de elemento finito de varios problemas f´ısicos en los cap´ıtulos siguientes. En general, cada elemento y las funciones de interpolaci´on asociadas a ´el se discutieron aqu´ı para que posteriormente se apliquen a problemas espec´ıficos, como se ilustrar´a en el resto del texto.
Problemas propuestos 6.1. Verifique que la Ecuaci´ on (6.6), con las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.10), permite traslaci´ on de cuerpo r´ıgido de un elemento viga bidimensional. (Nota: Para la traslaci´ on de cuerpo r´ıgido: υ1 = υ2 , θ1 = θ2 = 0). 6.2. Verifique que la Ecuaci´ on (6.6), con las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.10), permite rotaci´ on de cuerpo r´ıgido de un elemento viga bidimensional. (Nota: En este caso, para la rotaci´ on de cuerpo r´ıgido: υ1 = υ2 = 0, θ1 = θ2 ). 6.3. Considere el caso de un elemento viga bidimensional sujeto a un estado de flexi´on pura. Demostrar que la que la Ecuaci´ on (6.6) se convierte en d2 υ/dx2 = cte como es requerido en esta situaci´ on. 6.4. Demuestre que el esfuerzo cortante interno en un elemento viga bidimensional es constante, indiferentemente de los valores de los desplazamientos nodales. 6.5. Demuestre que la funci´ on de interpolaci´on N1 (s) en el Ejemplo 6.1 es lo mismo que (s − s2 )(s − s3 )(s − s4 ) (s − s1 )(s − s3 )(s − s4 )
N1 (s) =
(Nota: N1 (s), como aqu´ı es dado, es un caso particular de los Polinomios de Lagrange de orden n, definidos mediante n Y s − si Lj (s) = s − si i=1 j i6=j
donde el s´ımbolo
Q
indica el producto de todos los t´erminos).
6.6. Use la definici´ on de los polinomios de Lagrange dada en el Problema 6.5 para hallar los polinomios c´ ubicos correspondientes a j = 2 y j = 3. 6.7. Use los polinomios de Lagrange para determinar las funciones de interpolaci´on para el elemento lineal de cinco–nodos mostrado en la Figura P6.7. 1
x1 = 2
2
3
4
5
x
x2 = 2,25 x32 = 2,5 x4 = 2,75 x5 = 3
Figura P6.7 6.8. El polinomio cuadr´ atico P (x, y) = a0 + a1 x2 + a2 xy + a3 y 2 es incompleto, pero sim´etrico. Es esta funci´on apropiada para representar una variable de campo en un elemento rectangular de cuatro–nodos para el que se especifica un grado de libertad por
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
196
nodo ?. Explicar. 6.9. Determinar todos los posibles polinomios incompletos de cuarto–orden, sim´etricos, en dos dimensiones. C´ uales de ´estos piensa usted que son apropiados para modelar problemas de C 0 en an´alisis de elemento finito ?. 6.10. Repetir el Problema 6.9 para polinomios c´ ubicos en tres dimensiones. 6.11. Deducir la Ecuaci´ on (6.21), que permite el c´alculo del ´area de un elemento triangular en t´erminos de sus coordenadas nodales. 6.12. Demostrar que las Ecuaciones (6.19) y (6.26) son id´enticas. 6.13. Usando coordenadas de ´ area, desarrolle las funciones de interpolaci´on para un elemento triangular de 10–nodos, como el mostrado en la Figura P6.13. Note que los nodos est´an igualmente espaciados sobre sus aristas.
3 7 8 9 1
6 10 4
2 5
Figura P6.13 6.14. Mostrar que el nodo 10 en la Figura P6.13 est´a localizado en el centroide del elemento triangular. 6.15. Use la f´ ormula de integraci´ on para coordenadas de ´area para evaluar las siguientes integrales en t´erminos del ´ area total A de elemento. ZZ ZZ a. L22 (2L2 − 1)2 dA b. 4L1 L2 L3 (2L2 − 1) dA ZAZ c.
ZAZ
L31 L2 L3 dA
d.
A
4L1 L32 L3 dA
A
6.16. Las funciones de interpolaci´ on para el elemento rectangular de cuatro–nodos como es dado por la Ecuaci´ on (6.36) es tal que 4 X Ni (r, s) = 1 i=1
Cual es la significaci´ on de ´esta observaci´on ?. 6.17. Mostrar que la Ecuaci´ on (6.36) es tal que valores constantes de las derivadas parciales ∂φ/∂r y ∂φ/∂s son posibles en un elemento. Note que esto asegura la satisfacci´on del requisito de integridad para los problemas de C 0 . 6.18. Dos elementos triangulares de tres–nodos comparten un l´ımite com´ un, como es mostrado en la Figura P6.18. Demostrar que la variable de campo es continua a trav´es de este borde l´ımite inter–elementos.
Problemas propuestos
3
197
4
1 2
Figura P6.18 6.19. Repetir el Problema 6.18 para los dos elementos rectangulares de cuatro–nodos mostrados en la Figura P6.19. Las funciones de interpolaci´on son aquellas dadas por las Ecuaciones (6.36). 4
3
6
1
2
5
Figura P6.19 6.20. Examine el comportamiento de las derivadas parciales ∂φ/∂r ∂φ/∂s. a trav´es y a lo largo del contorno inter–elementos definido por los nodos 2 y 3 en el Problema 6.19. 6.21. Determinar las condiciones de continuidad de las funciones φ, ∂φ/∂r, ∂φ/∂s; sobre la frontera entre los dos elementos rectangulares de ocho–nodos mostrados en la Figura P6.21. Las funciones de interpolaci´ on son aquellas especificadas por las Ecuaciones (6.39). 9
10
6
11
12
8
7
1
2
13
3
4
5
Figura P6.21 6.22. Verificar que las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.39) satisfacen la condici´ on 8 X
Ni (r, s) = 1
i=1
6.23. Verificar que la Ecuaci´ on (6.42) define correctamente el volumen de un tetraedro. 6.24. En el Ejemplo 6.5, la expresi´on r = L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 es usada para permitir la aplicaci´on de la f´ ormula de integraci´ on en coordenadas de ´area. Probar que ´esta expresi´on es correcta. 6.25. Use la f´ ormula de integraci´ on de la Ecuaci´on (6.31) para confirmar el resultado del Ejemplo 6.6.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
198
6.26. Use la f´ ormula de integraci´ on para coordenadas de ´area para mostrar que Z A=
ZZ dA =
Z 2 Z1 1−L dL1 dL2 dx dy = 0
A
0
6.27. Considerar el elemento cuadril´ atero isoparam´etrico mostrado en la Figura P6.27. Trace el punto: r = 0,5 s = 0 en el elemento padre correspondiente al punto f´ısico en el elemento cuadril´atero. 3 (2.4, 2.6) 4 (2, 2.5)
y x
2 (2.5, 2.1) 1 (2, 2)
Figura P6.27 6.28. Refiri´endonos de nuevo al elemento en la Figura P6.27, trace la l´ınea r = 0 en el elemento padre correspondiente al elemento f´ısico. Trace el mapeo en un dibujo a escala geom´etrica apropiada del elemento cuadril´ atero. 6.29. Repetir el problema 6.28 para la l´ınea s = 0 en el elemento padre correspondiente al elemento f´ısico. 6.30. Considere el elemento lineal de dos–nodos mostrado en la Figura P6.30 con las funciones de interpolaci´ on N1 (r) = 1 − r N2 (r) = r Usando esta descripci´ on como el elemento padre, examine el mapeo isoparam´etrico x = N1 (r) x1 + N2 (r) x2 para valores arbitrarios de x1 y x2 , de modo que x1 < x2 . a. Que caracter´ıstica principal ha sido cumplida por el mapeo efectuado ?. b. Determine la matriz Jacobiana para la transformaci´on
r r1 = 0
r2 = 1
Figura P6.30 6.31. Considere el elemento lineal de tres–nodos mostrado en la Figura P6.31 con las funciones de interpolaci´ on N1 (r) = (2r − 1)(r − 1)
N2 (r) = 4r(1 − r)
N3 (r) = r(2r − 1)
Usando esta descripci´ on como el elemento padre en el mapeo isoparam´etrico x = N1 (r) x1 + N2 (r) x2 + N3 (r) x3
Problemas propuestos
199
con x1 < x2 < x3 ; pero por otra parte coordenadas nodales arbitrarias. a. C´ omo la coordenada x var´ıa entre los nodos del elemento isoparam´etrico ?. b. Ha cambiado la geometr´ıa b´asica del elemento desde aqu´el del elemento padre ?. c. Determine la matriz Jacobiana para la transformaci´on. d. Hallar la inversa de la matriz Jacobiana.
r r2 = 0.5
r1 = 0
r3 = 1
Figura P6.31 6.32. Considere nuevamente el elemento l´ıneal de tres–nodos de la Figura P6.31 como el elemento padre para el mapeo bi–dimensional definido por x = N1 (r) x1 + N2 (r) x2 + N3 (r) x3 y = N1 (r) y1 + N2 (r) y2 + N3 (r) y3 donde (xi , yi ) son las coordenadas del nodo i. a. Sea (x1 , y1 ) = (1, 1); (x2 , y2 ) = (2, 3); (x3 , y3 ) = (4, 2). Trazar la geometr´ıa del elemento isoparam´etrico a escala. b. Podr´ a el elemento isoparam´etrico resultante ser usado en un an´alisis de elemento finito de conducci´ on de calor (refi´erase al Cap´ıtulo 5) a trav´es de un s´olido curvado con superficies idealmente aisladas ?. Explique su respuesta. 6.33. Demostrar por integraci´ on anal´ıtica que el resultado dado en el Ejemplo 6.9 es exacto. 6.34. Usar la t´ecnica de cuadratura Gaussiana para obtener los valores exactos de las siguientes integrales. Verificar la exactitud por medio de integraci´on anal´ıtica. Z3
Z6
2
(x − 1) dx
a.
b.
Z1
3
(y + 2y) dy
0
c. −1
1
Z1 d.
Z1
(r4 + 3r2 ) dr
(4r3 + r) dr
e.
−1
(r4 + r3 + r2 + r + 1) dr
−1
6.35. Usar la t´ecnica de cuadratura Gaussiana para obtener los valores exactos de las siguientes integrales. Verificar la exactitud por medio de integraci´on anal´ıtica. Z1 Z2 a.
Z1 Z1 xy dx dy
0
b.
Z1 Z1
2
(r + s) dr ds
c.
−1 −1
0
Z1 Z1 d.
(r3 − 1r)(s2 + s) dr ds
−1 −1
(r5 − 2r)(s3 + s) dr ds
Z1 Z1 e.
−1 −1
(6r4 − 1)(s2 + s + 1) dr ds
−1 −1
6.36. Usar la t´ecnica de cuadratura Gaussiana para obtener los valores exactos de las siguientes integrales. Verificar la exactitud por medio de integraci´on anal´ıtica. Z2 Z2 Z2 a.
Z1 Z1 Z1 xy dx dy dz
0
0
0
2
(r − 1)(s − 2)t dr ds dt
b. −1 −1 −1
Z1 Z1 Z1 c. −1 −1 −1
r3 s2 t3 dr ds dt
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
200
Z1 Z1 Z1
4
Z1 Z1 Z1
2
(r − 2) (s − 1)t dr ds dt
d. −1 −1 −1
e.
(r3 − r)(s + 4)(t2 − 1) dr ds dt
−1 −1 −1
6.37. Evaluar cada una de las siguientes integrales usando dos–puntos de cuadratura Gaussiana. Comparar cada uno de los resultados con la correspondiente soluci´on anal´ıtica. Z1 a.
Z1
2
cos π r dr
b.
−1
r dr +1
−1
Z1 c.
r2 Z1 Z1
sin πr cos πr dr −1
d.
r2 s dr ds + s2 )
(r3 −1 −1
6.38. Repita el Problema 6.37 usando tres–puntos de cuadratura Gaussiana. Convergen los resultados hacia las soluciones exactas ?. 6.39. La integral Z1
(r3 + 2r2 + 1) dr
−1
puede evaluarse exactamente usando dos–puntos de cuadratura Gaussiana. Examine el efecto en el resultado, si la integraci´ on de tres–puntos es aplicada.
Capítulo
7
Transmisi´ on del calor
Una de las grandes ´ areas de conocimiento que forma parte de la mec´anica general est´a relacionada con el estudio del campo de temperaturas en cierto dominio espacial y el comportamiento de sus variaciones, lo cual genera procesos de transmisi´on de calor. Esta forma de energ´ıa tiene b´asicamente tres modos de transferencia: conducci´ on, convecci´on, y radiaci´on. Las primeras dos formas est´a gobernadas por ecuaciones lineales de comportamiento, y la u ´ltima corresponde a un proceso no–lineal por lo que no ser´a tratada en este documento. En este Cap´ıtulo estudiaremos los procesos de transmisi´on de calor por conducci´on y convecci´on primeramente con detalle en dominios uni y bi–dimensionales, estableciendo la formulaci´on de elemento finito en ambos casos, la imposici´ on de las condiciones de borde o frontera, y tambi´en las condiciones de simetr´ıa que permiten la reducci´ on del modelo de an´alisis. Posteriormente a este desarrollo, generalizaremos las formulaciones efectuadas hacia dominios espaciales (3–D). Otro tema que ser´a objeto de nuestro estudio est´ a relacionado con el proceso de transmisi´on de calor con transporte de masa. Tambi´en desarrollaremos ecuaciones de elemento finito para los fen´omenos de transferencia de calor con simetr´ıa axial, y finalmente efectuaremos una breve introduci´on a una de las t´ecnicas de elemento finito para respuesta transitoria (variable en el tiempo) aplic´andola al caso de transmisi´on de calor uniaxial.
7.1.
Introducci´ on
En este cap´ıtulo, el m´etodo de Galerkin introducido en el Cap´ıtulo 5 y los conceptos de funci´on de interpolaci´ on del Cap´ıtulo 6, son aplicados a variadas situaciones de transmisi´on de calor. Se discuten los procesos de conducci´ on y convecci´on para problemas uni, bi, y tri–dimensionales. Las condiciones de borde l´ımite y las funciones impulsivas incluyen flujo de calor prescrito, superficies aisladas, temperaturas prescritas, y transmisi´on de calor por convecci´on hacia ambientes circundantes. Tambi´en es desarrollado el caso uni–dimensional de transmisi´on de calor con transporte de masa. El caso tri–dimensional con simetr´ıa axial se desarrolla en detalle usando elementos bi–dimensionales apropiadamente modificados y funciones de interpolaci´on asociadas a ellos. 201
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
202
La transferencia de calor por radiaci´ on no se discute, debido a la naturaleza no–lineal de este fen´omeno f´ısico. Sin embargo, examinamos la transferencia de calor transitoria e incluimos una introducci´on a las t´ecnicas de diferencias finitas para la soluci´on de problemas variables en el tiempo.
7.2.
Conducci´ on uni–dimensional: elemento cuadr´ atico
En el Cap´ıtulo 5 introducimos el concepto de conducci´on de calor uni–dimensional por medio del m´etodo de elemento finito Galerkin. En los ejemplos del Cap´ıtulo 5, usamos elementos finitos rectil´ıneos, de dos–nodos para ilustrar los conceptos involucrados. Dado el desarrollo de los conceptos generales de interpolaci´ on en el Cap´ıtulo 6, ahora aplicaremos un elemento de orden–superior (cuadr´atico) a un ejemplo anterior para demostrar que (1) el procedimiento b´asico de formulaci´on del elemento es inalterado, (2) el procedimiento de ensamble del sistema no cambia, y (3) los resultados son bastante similares. Ejemplo 7.1. Resuelva el Ejemplo 5.4 usando elementos rectil´ıneos de tres–nodos, estando los mismos igualmente espaciados. El problema y los datos num´ericos se repiten aqu´ı como la Figura 7.1(a). Aislado
80°C
Al
Cu
0.5 m
0.5 m
kal= 200 W/m-°C
kcu= 389 W/m-°C
1
2
3
4
5
{ {
qent
E1
(a) Disposici´ on geom´ etrica y dimensiones
E2
(b) Modelo de dos elementos
Figura 7.1: Esquemas gr´aficos del Ejemplo 7.1 > Soluci´ on Por la Ecuaci´ on (5.55), las ecuaciones de elemento son x Zx2 Zx2 dT 2 dNi dT − kx A dx + A Q Ni (x) dx kx A Ni (x) dx x1 dx dx x1
i = 1; 3
x1
donde ahora existen tres funciones de interpolaci´on por cada elemento (igual al n´ umero de nodos que ´este posee). Las funciones de interpolaci´ on para un elemento lineal de tres–nodos, por las Ecuaciones (6.15), son N2 (s) = −4s(s − 1) N3 (s) = 2s s − 12 N1 (s) = 2 s − 12 (s − 1) Los coeficientes de la matriz de conductancia son luego calculados como Zx2 kij = kx A
dNi dNj dx dx dx
i, j = 1; 3
x1
y, las componentes del vector de generaci´ on de calor se determinan por Zx2 fQi =
Q Ni dx x1
i = 1; 3
´ UNI–DIMENSIONAL: ELEMENTO CUADRATICO ´ 7.2. CONDUCCION
203
que en este ejemplo tiene todos los t´erminos de valor nulo, porque no existe fuente de calor interna. En t´erminos de la coordenada adimensional s = x/L, tenemos dx = Lds y d/dx = (1/L)d/ds; de modo que los coeficientes de la matriz de conductancia se expresan como kx A kij = L
Z1
dNi dNj ds ds ds
i, j = 1; 3
0
Las derivadas de las funciones de interpolaci´on son dN1 = 4s − 3 ds
dN2 = 4(1 − 2s) ds
dN3 = 4s − 1 ds
Luego, sustituyendo estas derivadas en la f´ormula gen´erica de los coeficientes de la matriz de conductancia Z1 Z1 kx A kx A 2 k11 = (4s − 31) ds = (16s2 − 24s + 9)ds L L 0
=
kx A L
0
1 7 kx A 16s 2 − 12s + 9s = 3 3L 0 3
Con procedimiento matem´ atico id´entico, determinamos los coeficientes restantes de la matriz de conductancia, −8 kx A kx A 16 kx A k12 = k21 = k13 = k31 = k22 = 3L 3L 3L k23 = k32 =
−8 kx A 3L
k33 =
7 kx A 3L
Un modelo de dos–elementos con los n´ umeros de nodo asignados como se muestra en la Figura 7.1(b) servir´a para analizar el problema. Sustituyendo los valores num´ericos, obtenemos, para la la mitad de la varilla de aluminio (elemento 1), 7 −8 1 2,6389 −3,0159 0,3770 2 (200)(π/4)(0,006) −8 16 −8 = −3,0159 6,0319 −3,0159 [ k (1) ] = 3(0,5) 1 −8 7 0,3770 −3,0159 2,6389 y, para la porci´ on de cobre (elemento 2), 7 −8 1 5,1327 −5,8660 0,7332 2 (389)(π/4)(0,006) −8 16 −8 = −5,8660 11,7320 −5,8660 [ k (2) ] = 3(0,5) 1 −8 7 0,7332 −5,8660 5,1327 En los nodos interiores de cada elemento, los t´erminos de flujo son cero, debido a la naturaleza de las funciones de interpolaci´ on [ N2 (x1 ) = N2 (x2 ) = 0 ]. Similarmente, en la uni´on entre los dos elementos, el flujo debe ser cont´ınuo y las funciones de impulsi´on cal´orica son cero. Como ning´ un calor interior se genera, Q = 0, y esa porci´on del vector de fuerza es cero para cada elemento. Siguiendo el procedimiento de ensamblaje directo, la matriz de conductancia del sistema, se demuestra que es 2,6389 −3,0159 0,3770 0 0 −3,0159 6,0319 −3,0159 0 0 W/◦ C 0,3770 −3,0159 7,7716 −5,8660 0,7332 [K ] = 0 0 −5,8660 11,7320 −5,8660 0 0 0,7332 −5,8660 5,1327
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
204
y notamos en particular que el “traslape” s´olo existe en la junta entre los elementos. El t´ermino gradiente en el nodo 1 se calcula como dT = q1 A = 4000( π4 )0,0062 = 11,3097 W fg1 = −kx A dx x1 mientras que el flujo de calor en el nodo 5 es una inc´ognita a ser calculada mediante las ecuaciones del sistema. Con estas consideraciones, el sistema de ecuaciones gobernantes resulta 2,6389 −3,0159 0,3770 0 0 T1 11,3097 −3,0159 6,0319 −3,0159 0 0 T2 0 0,3770 −3,0159 7,7716 −5,8660 0,7332 T3 = 0 0 0 − 5,8660 11,7320 −5,8660 T 0 4 0 0 0,7332 −5,8660 5,1327 80 −A q5 Antes de a resolver para las temperaturas nodales desconocidas T1 a T4 , la condici´on de borde no–homog´enea T5 = 80◦ C debe considerarse con propiedad. En este caso, reducimos el sistema de ecuaciones a dimensi´ on 4×4 transponiendo el u ´ltimo t´ermino de la tercera y cuarta ecuaciones al lado derecho para obtener 11,3097 T1 11,3907 2,3689 −3,0159 0,3770 0 T2 −3,0159 6,0319 −3,0159 0 0 0 = = 0,3770 −3,0159 7,7716 −5,8660 T3 −0,7332(80) −58,6560 489,2800 5,8660(80) 0 0 −5,8660 11,7320 T4 Resolviendo las ecuaciones por eliminaci´on Gaussiana (v´ease el Ap´endice C), las temperaturas nodales son T1 = 95,11◦ C
T2 = 95,14◦ C
T3 = 85,14◦ C
T4 = 82,574◦ C
y, el flujo de calor a trav´es del nodo 5 es calculado haciendo uso de la quinta ecuaci´on que fu´e eliminada −A q5 = 0,7332 T3 − 5,8660 T4 + 5,1327(80) = 40001,9 W/m
2
lo cual se observa estar en muy razonable acuerdo num´erico con el calor entrante a trav´es del nodo 1. (N´otese que seg´ un este resultado, el balance cal´orico del sistema se cumple casi exactamente). > La soluci´on para las temperaturas nodales en este ejemplo es id´entica para ambas: las funciones de interpolaci´ on lineales y cuadr´ aticas. De hecho, la soluci´on que nosotros obtuvimos es la soluci´on exacta (Problema 7.1) representada por una distribuci´on de temperatura lineal en cada mitad de la barra. Puede mostrarse [1] que, si una soluci´on exacta existe y las funciones de interpolaci´on usadas en la formulaci´on del elemento finito incluyen los t´erminos que aparecen en la soluci´on exacta, entonces la soluci´on de elemento finito corresponde a la soluci´on exacta. En este ejemplo, las funciones de interpolaci´on cuadr´ aticas incluyen los t´erminos lineales adem´as de los t´erminos cuadr´aticos y as´ı captura la soluci´on lineal, exacta. El ejemplo siguiente ilustra este rasgo en t´erminos de la representaci´on de la variable de campo. Ejemplo 7.2. Para la representaci´ on cuadr´ atica de la variable de campo φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 determinar la forma expl´ıcita de los coeficientes a0 , a1 , a2 en t´erminos de las variables nodales si los tres nodos est´ an igualmente espaciados. Luego usar los resultados del Ejemplo 7.1 para mostrar que
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
205
a2 = 0 para ese ejemplo. > Soluci´ on Usando las funciones de interpolaci´ on del Ejemplo 7.1, podemos escribir la representaci´on de la variable de inter´es en t´erminos de la variable adimensional s = x/L como φ(s) = (2s2 − 3s + 1)φ1 + 4s(s − 1)φ2 + s(2s − 1)φ3 Colectando coeficientes similares de las potencias de s, φ(s) = φ1 + (4φ2 − 3φ1 − φ3 )s + (2φ1 − 4φ2 + 2φ3 )s2 De donde resulta: a0 = φ1 a1 = 4φ2 − 3φ1 − φ3 a2 = 2φ1 − 4φ2 + 2φ3 Usando los resultados para la temperatura del Ejemplo 7.1 para el elemento de aluminio, tendremos φ1 φ2 φ3 a2
= T1 = 95,14 = T2 = 90,14 = T3 = 85,14 = 2(95,14) − 4(90,14) + 2(85,14) = 0
Para el elemento 2, que representa la porci´on de cobre de la varilla, se obtiene el mismo resultado. >
7.3.
Conducci´ on uni–dimensional con convecci´ on
La conducci´ on de calor uni–dimensional en la que ning´ un calor fluye de la superficie del cuerpo bajo consideraci´ on (como en la Figura 5.9), normalmente no se encuentra. Una situaci´on m´as pr´actica existe cuando el cuerpo es rodeado por un medio fluido, y el flujo de calor ocurre desde la superficie hacia el fluido v´ıa un proceso de convecci´on. La Figura 7.2(a) muestra un cuerpo s´olido que usamos para desarrollar un modelo uni–dimensional de transferencia de calor incluyendo conducci´on y convecci´on. Note usted que la representaci´ on es igual que en la Figura 5.9, con la excepci´on muy importante que la hip´otesis de una superficie aislada es dejada de lado. En cambio, se asume que el cuerpo est´a rodeado por un medio fluido al cual el calor se transfiere por convecci´on. Si el fluido est´a en movimiento como resultado de alguna influencia externa (un ventilador o una bomba, por ejemplo), el calor convectivo transferido es llamado convecci´ on forzada. Por otra parte, si el movimiento del fluido s´olo existe como resultado del calor transferido, tenemos lo que se llama convecci´ on natural. qent
qh
Ta Convección
A qsal
qx
Q U
qx + dqx dx dx
dx (a) Modelo general
(b) Volumen de control diferencial
Figura 7.2: Conducci´on uni–dimensional con superficie de convecci´on La Figura 7.2(b) muestra un volumen de control de longitud diferencial que se asume que tiene un ´area de secci´ on –transversal constante y propiedades materiales uniformes. La transferencia de calor
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
206
convectiva a trav´es de la superficie, denotada qh , representa la rapidez de flujo de calor (flujo cal´orico) a trav´es de la superficie medida por unidad de ´area. Para aplicar el principio de conservaci´on de energ´ıa al volumen del control, necesitamos s´ olo agregar el t´ermino de convecci´on a la Ecuaci´on (5.48) para obtener ∂qx qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx + dx A dt + qh P dx dt (7.1) ∂x donde todos los t´erminoss son como previamente se han definido, excepto que P es la dimensi´on perif´erica del elemento diferencial y qh el flujo de calor debido a convecci´on. El flujo de calor convectivo es dado por la relaci´ on conocida para ´este fen´omeno [46] de transmisi´on de calor. qh = h(T − Ta )
(7.2)
donde: h = coeficiente de convecci´ on, W/(m2 -◦ C), Btu/(hr-pie2 -◦ F) T = temperatura de la superficie limitante externa del cuerpo Ta = temperatura del medio fluido circundante Substituyendo la expresi´ on para qh , y asumiendo condiciones de estado estacionario (r´egimen permanente) de modo que ∆U = 0, la Ecuaci´ on (7.1) llega a ser QA = A
dqx + h P (T − Ta ) dx
(7.3)
la cual, mediante la ley de Fourier indicada por la Ecuaci´on (5.49), se convierte a kx
d2 T hP +Q= (T − Ta ) dx2 A
(7.4)
donde se ha asumido que el coeficiente de conducci´on kx es de valor constante. La Ecuaci´ on (7.4) representa la formulaci´on uni–dimensional de transmisi´on de calor por conducci´on y convecci´on simult´ aneas. Note que la temperatura en cualquier posici´on x a lo largo de la longitud del cuerpo no es verdaderamente constante, debido al proceso de convecci´on considerado existente. No obstante, si el ´ area de secci´ on–transversal es relativamente peque˜ na comparada con la longitud, el modelo uni–dimensional puede dar resultados u ´tiles si reconocemos que las temperaturas calculadas representan valores promedio sobre una secci´on transversal.
7.3.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Para desarrollar las ecuaciones de elemento finito, un elemento lineal de dos–nodos para el que T (x) = N1 (x)T1 + N2 (x)T2
(7.5)
es usado en conjunci´ on con el m´etodo de Galerkin. Para la Ecuaci´on (7.4), las ecuaciones residuales en analog´ıa con la Ecuaci´ on (5.54), son expresadas como Zx2 d2 T hP kx 2 + Q − (T − Ta ) Ni (x) A dx = 0 dx A
i = 1, 2
x1
o en forma m´ as desarrollada Zx2 Zx2 Zx2 d2 T A kx 2 Ni (x)dx − hP T (x)Ni (x) + A QNi (x)dx dx x1
x1
Zx2 + hP Ta
Ni (x)dx = 0 x1
x1
i = 1, 2
(7.6)
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
207
Integrando el primer t´ermino por partes y reordenando Zx2 kx A
dNi dT dx + hP dx dx
x1
Zx2 T (x)Ni (x)dx x1
Zx2
Zx2 QNi (x)dx + hP Ta
=A
x1
x1
(7.7) x dT 2 Ni (x)dx + kx ANi (x) dx x1
i = 1, 2
Substituyendo la expresi´ on para T (x) definida por la Ecuaci´on (7.5), obtenemos Zx2 kx A
dNi dx
Zx2 dN1 dN2 T1 + T2 dx + hP Ni (x)[ N1 (x)T1 + N2 (x)T2 ]dx dx dx
x1
x1
Zx2
Zx2 QNi (x)dx + hP Ta
=A
x1
x1
(7.8)
x dT 2 Ni (x)dx + kx ANi (x) dx x1
i = 1, 2
Las dos relaciones representadas por la Ecuaci´on (7.8) son convenientemente combinadas en forma matricial re–escribiendo la ecuaci´ on (7.5) como T1 T (x) = N1 N2 = [ N ]{T } T2 y, substituyendo para obtener Zx2 kx A
Zx2 dN {T }dx + hP [ N ]T [ N ]{T }dx dx
dN dx
T
Zx2
x Zx2 dT 2 T Q[ N ] dx + hP Ta [ N ]T dx + kx A[ N ]T dx x1
x1
x1
=A x1
(7.9)
x1
La Ecuaci´ on (7.9) est´ a en la forma deseada de ecuaci´on gobernante de elemento finito: [ k (e) ]{T } = {fQ(e) } + {fh(e) } + {fg(e) }
(7.10)
donde [ k (e) ] es la matriz de conductancia, definida como Zx2 [k
(e)
] = kx A x1
dN dx
T
Zx2 dN dx + hP [ N ]T [ N ] dx dx
(7.11)
x1
La primera integral es id´entica a aquella de la Ecuaci´on (5.58), representando el efecto de conducci´on axial, mientras que la segunda integral se relaciona con la convecci´on, presente ahora en el comportamiento del elemento. Sin p´erdida de generalidad podemos hacer que x1 = 0 y x2 = L, de modo que con este cambio las funciones de interpolaci´ on son ahora x x N2 (x) = (7.12) N1 (x) = 1 − L L Los resultados de la primera integral son como los dados en la Ecuaci´on (5.59), as´ı que necesitamos realizar s´ olamente las integraciones correspondientes al segundo t´ermino (v´ease el Problema 7.2) para obtener kx A 1 −1 hP L 2 1 (e) [k ] = + = [ kc(e) ] + [ kh(e) ] (7.13) 1 2 L −1 1 6
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
208
donde [ kc(e) ] y [ kh(e) ] representan las porciones conductiva y convectiva de la matriz, respectivamente. particularmente note que ambas matrices componentes son sim´etricas. Los vectores de funci´ on impelente cal´ orica en el lado derecho de la Ecuaci´on(7.10) incluyen la ´ generaci´on de calor interior y t´erminos de flujo de frontera l´ımite, como en el Cap´ıtulo 5. Estos son dados por L R QN1 dx {fQ(e) } = A 0L (7.14) R QN2 dx 0
( dT ) − dx 0 q q1 (e) = A x=0 = A {fg } = kx A dT qx=L −q2
(7.15)
dx L
donde q1 y q2 son los valores de flujos frontera en los nodos 1 y 2, respectivamente. En adici´on, la funci´on de calor impelente proveniente de la convecci´on es L R N dx hP T 1 1 a (e) 0 = (7.16) {fh } = hP Ta L R 1 L N2 dx 0
donde es evidente que la fuerza de convecci´on total de elemento es simplemente localizada por igual en cada nodo, como la generaci´ on interna de calor Q, asumiendo que este par´ametro es de valor constante.
7.3.2.
Condiciones de borde
En el caso uni–dimensional de trasmisi´on de calor bajo consideraci´on, deben especificarse dos condiciones de borde. T´ıpicamente, esto significa que, si el modelo de elemento finito del problema est´a compuesto de M elementos, una condici´on l´ımite es impuesta al nodo 1 del elemento 1, y la segunda condici´ on l´ımite se impone al nodo 2 del elemento M . Las condiciones de borde l´ımite son de tres tipos: 1 CB1
2
3
M2
M1
M
M1 CB2 Convección
Figura 7.3: Especificaci´ on de condiciones de borde convectivas 1. Temperatura impuesta. La temperatura en un nodo extremo es un valor conocido; esta condici´on ocurre cuando un extremo del cuerpo est´a sujeto a un proceso de temperatura constante, y el calor es removido desde dicho proceso por el cuerpo. 2. Flujo cal´ orico impuesto. La rapidez de flujo de calor hacia, o fuera de, un extremo del cuerpo es especificado; aunque distintivamente posible en un sentido matem´atico, este tipo de condici´on l´ımite no se encuentra a menudo en la pr´actica. 3. Convecci´ on a trav´es de nodo extremo. En este caso, el extremo del cuerpo est´a en o con un fluido de temperatura ambiente conocida y el flujo de conducci´on en la frontera l´ımite es removido mediante proceso de convecci´ on hacia el medio fluido. Asumiendo que esta condici´on se aplica al nodo 2 del elemento M de un modelo de elemento finito, como se muestra en la Figura 7.3, la condici´on l´ımite de convecci´ on se expresa como dT = −qM +1 = −h(TM +1 − Ta ) (7.17) kx dx M +1
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
209
indicando que el flujo de calor de conducci´on en el nodo extremo final debe llevarse fuera del elemento por convecci´ on desde ese nodo. El ´area para la convecci´on en la Ecuaci´on 7.19 es el ´area transversal particular del elemento M ; como esta ´area es com´ un a cada uno de los tres t´erminos en la ecuaci´ on, el ´ area se ha omitido. Una explicaci´on de los signos algebr´aicos en la Ecuaci´on (7.17) es apropiada aqu´ı. Si TM +1 > Ta , el gradiente de temperatura es negativo (dada la direcci´on positiva del eje x como es mostrada); por consiguiente, el flujo y la convecci´on son t´erminos positivos. El ejemplo siguiente ilustra la aplicaci´on de un problema de conducci´on/convecci´on uni–dimensional. Ejemplo 7.3. La Figura 7.4(a) muestra un esquema de una aleta cil´ındrica que es uno de los varios dispositivos peque˜ nos de intercambio de calor. El extremo izquierdo de la aleta est´a sujeta a una temperatura constante de 180◦ F. El extremo derecho de este cuerpo peque˜ no est´a en o con un ba˜ no de agua fr´ıa mantenida a una temperatura constante de 40◦ F. 72 F
180 F
40 F 4 pulg (a) Varilla cil´ındrica peque˜ na
1 T = 180° F
3
2 1
4 3
2
5 4
q = h( T5 – 40 )
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 7.4: Esquemas gr´aficos del Ejemplo 7.3 La superficie exterior del cuerpo est´a en o con el aire en movimiento que permanece a una temperatura de 72◦ F. Los datos f´ısicos complementarios, son dados como sigue: D = 0,5 pulg,
◦
L = 4 pulg, 2
haire = 50 Btu/(hr-pie -◦ F),
kx = 120 Btu/(hr-pie- F) 2
hagua = 100 Btu/(hr-pie -◦ F)
Use cuatro elementos de igual–longitud, con dos–nodos extremos, para obtener una soluci´on de elemento finito para la distribuci´ on de temperatura a lo largo de la longitud de la aleta y el flujo de calor circulante a trav´es del cuerpo cil´ındrico peque˜ no. > Soluci´ on La Figura 7.4(b) muestra los elementos, la numeraci´on de nodos, y las condiciones de borde impuestas al problema. Estas u ´ltimas son expresadas como: T1 = 180◦ F
En el nodo 1: En el nodo 5:
kx
dT = −q5 = −h(T5 − 40) dx 5
Los datos geom´etricos de elemento son entonces Le = 1 pulg,
P = π0,5 = 1,5708 pulg,
A = (π/4)0,52 = 0,1963 pulg2
210
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
Los coeficientes principales de los t´erminos de la matriz de conductancia son 0,1963 120 kx A 144 ◦ = 1,9630 Btu/(hr- F) = 1 Le 12 1,5708 1 50 haire P Le 12 12 ◦ = = 0,0909 Btu/(hr- F) 6 6 donde debe notarse la conversi´ on de pulgadas a pies. Substituyendo en la Ecuaci´ on (7.13), la matriz de conductancia de los elementos resulta ser 1 −1 2 1 2,1448 −1,8721 (e) [ k ] = 1,9630 + 0,0909 = −1 1 1 2 −1,8721 2,1448 Siguiendo el procedimiento de ensamble dir´ecto, la matriz de conductancia del sistema es 2,1448 −1,8721 0 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 [K ] = 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 0 0 −1,8721 2,1448 Notemos que el traslape de coeficientes sucede s´olamente en aquellas ubicaciones donde se tienen nodos que son compartidos por elementos adyascentes. Como no se tiene una fuente de calor interna, fQ = 0, y las componentes de la impulsi´on convectiva, por la Ecuaci´ on (7.16), resultan ser 1 50 1,5708 (72) 12 hP Ta L 1 19,6375 (e) 12 = Btu/hr = {fh } = 19,6375 1 2 2 Ensamblando las contribuciones de cada elemento en los nodos, se obtiene el vector de impulsi´on cal´orica convectiva 19,6375 39,2750 {Fh } = 39,2750 Btu/hr 39,2750 19,6375 debe notarse la cancelaci´ on de t´erminos en las conexiones nodales; mientras que el vector gradiente del sistema llega a ser simplemente Aq1 Aq1 Aq1 0 0 0 0 0 0 {Fg } = = = 0 0 0 −Aq5 −Ahagua (T5 − 40) −0,1364 T5 + 5,4542 y la condici´on de borde de interfase aleta–agua ha sido incorporada expl´ıcitamente. Notemos que, como resultado de la condici´on de borde convectiva, un t´ermino que contiene la temperatura nodal T5 aparece en el vector gradiente; ´este t´ermino es transpuesto en las ecuaciones finales, y resulta en un incremento del coeficiente K55 en la matriz del sistema. Por tanto, las ecuaciones ensam-
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
211
bladas finales son 2,1448 −1,8721 0 0 0 180 19,6375 + Aq1 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 0 T2 39,2750 T3 = 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 39,2750 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 T4 39,2750 0 0 0 −1,8721 2,2812 T5 25,0917 Eliminando la primera ecuaci´ on teniendo el cuidado de incluir el efecto de la temperatura especificada en el nodo 1 en las ecuaciones restantes, se obtiene 4,2896 −1,8571 0 0 T2 376,2530 −1,8721 4,2896 −1,8721 T3 39,2750 0 = 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 T4 39,2750 0 0 −1,8721 2,2812 T5 25,0917 Resolviendo el sistema aplicando el m´etodo de eliminaci´on Gaussiana, las temperaturas nodales soluci´on se obtienen como T2 = 136,16◦ F T3 = 111,02◦ F T4 = 97,23◦ F T5 = 90,79◦ F El flujo de calor en el nodo 1 es calculado por sustituci´on regresiva del valor T2 hallado en la primera ecuaci´on (que fu´e eliminada del sistema original) 2,1448(180) − 1,8721(136,16) = 19,6375 + Aq1 Aq1 = 111,5156 Btu/hr 111,5156 2 ≈ 81, 805 Btu/hr-ft q1 = 0,1963/144 Aunque la longitud del cuerpo cil´ındrico en este ejemplo es bastante peque˜ na, el uso de s´olo cuatro elementos representa una malla de elementos bastante tosca. Para ilustrar el efecto, recuerde que para el elemento lineal de dos–nodos extremos, la primera derivada de la variable de campo; en este caso el gradiente de temperatura, es constante. Es decir, que podr´ıamos usar el siguiente c´alculo dT ∆T ∆T = = dx ∆x Le Utilizando las temperaturas nodales calculadas, los gradientes de temperatura en los diversos elementos son Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3: Elemento 4:
◦ dT 136,16 − 180 F = = −43,84 dx 1 pulg ◦ dT 111,02 − 136,16 F = = −25,14 dx 1 pulg ◦ dT 97,23 − 111,02 F = = −13,79 dx 1 pulg ◦ dT 90,79 − 97,23 F = = −6,44 dx 1 pulg
donde la longitud es expresada en pulg, por conveniencia num´erica. Los valores de gradiente calculados muestran discontinuidades significativas en las conexiones nodales. A medida que el n´ umero de elementos se incremente, la magnitud de dichos saltos de discontinuidad en los valores del gradiente de temperatura decrecen significativamente a medida que la aproximaci´on de elemento finito converge hacia la soluci´ on verdadera.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
212
Para ilustrar la convergencia como tambi´en el efecto sobre los valores del gradiente, se ha obtenido una soluci´on con ocho–elementos para ´este problema. La tabla 7.1 muestra los valores soluci´on de las temperaturas nodales para ambos modelos: de cuatro y de ocho elementos. Note que, en la tabla mencionada, los valores indicados con ‘ ∗ ’ son valores interpolados, y no son valores nodales. Tabla 7.1: Temperaturas nodales soluci´on , Cuatro elementos
Ocho elementos
x (pulg)
◦
T ( F)
T (◦ F)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
180,00 158,08* 136,16 123,59* 111,02 104,13* 97,23 94,01* 90,79
180,00 155,31 136,48 122,19 111,41 103,41 97,62 93,63 91,16
>
7.4.
Transmisi´ on de calor bi–dimensional
Un caso en el que puede considerarse que la transferencia de calor es adecuadamente descrita por una formulaci´ on bi–dimensional se muestra en la Figura 7.5. La aleta rectangular tiene dimensiones a×b×t, donde el espesor t se asume de dimensi´on muy peque˜ na comparada con a y b. Un borde de la aleta est´a sujeta a una temperatura conocida mientras los otros tres bordes y las caras de la aleta est´an en o con un fluido. La transmisi´on de calor ocurre entonces desde el centro mediante conducci´on a trav´es de la aleta hacia sus bordes y caras, d´onde la convecci´on toma lugar. La situaci´on as´ı planteada podr´ıa representar una aleta refrigerante removiendo calor desde alg´ un proceso o una aleta calor´ıfica que transfiere calor desde una fuente de energ´ıa hacia un espacio circundante que lo rodea, el cual est´ a ocupado por un fluido. qh
b
T
qh
qh a
t
Figura 7.5: Conducci´on y convecci´on bi–dimensional Para desarrollar las ecuaciones gobernantes, nos referimos a un elemento diferencial de un cuerpo s´olido que tiene una dimensi´ on peque˜ na en la direcci´on z, como en la Figura 7.6; y examinamos el principio de conservaci´ on de energ´ıa para el elemento diferencial. Como estamos tratando ahora en dos dimensiones, todas las derivadas son ahora derivadas parciales. De nuevo, sobre los bordes x + dx y y + dy, los t´erminos de flujo de calor se han expandido en serie de Taylor, truncando el desarrollo en
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
213
el t´ermino de primer orden . Asumimos que el elemento diferencial esquematizado en la figura est´a en el interior del cuerpo, para que la convecci´on s´olo ocurra en las superficies del elemento y no a lo largo de sus bordes. Aplicando la Ecuaci´ on (5.47) bajo la hip´otesis de conndiciones de r´egimen estacionario (es decir, ∆U = 0), obtenemos qy + qy dy y
qh A Q , U qx dx
dy
qx + qx dx x
dx qy
h ( T – Ta )
Figura 7.6: Esquema de balance cal´orico
∂qx ∂qy qx t dy + qy t dx + Q t dx dy = qx + dx tdy + qy + dy tdx ∂x ∂y + 2 h (T − Ta )dx dy
(7.18) (7.19)
donde: t = espesor del elemento diferencial h = coeficiente de convecci´ on desde las superficies del elemento diferencial Ta = temperatura ambiente del medio fluido circundante Usando la ley de Fourier seg´ un las direcciones coordenadas qx = −kx
∂T ∂x
qy = −ky
∂T ∂y
(7.20)
luego, substituyendo y simplificando obtenemos ∂ ∂T ∂ ∂T Q t dx dy = −kx t dx dy + −ky t dx dy + 2 h (T − Ta )dx dy ∂x ∂x ∂y ∂y donde kx y ky son las conductividades t´ermicas en las direcciones x y y, respectivamente. La ecuaci´on anterior se simplifica a ∂T ∂ ∂T ∂ t kx + t ky + Q t = 2 h (T − Ta ) (7.21) ∂x ∂x ∂y ∂y La Ecuaci´ on (7.21) es la ecuaci´ on gobernante de conducci´on bi–dimensional con convecci´on desde las superficies del cuerpo. La convecci´ on desde los bordes o aristas es tambi´en posible, como ser´a discutido subsecuentemente en t´erminos de las condiciones de borde.
7.4.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Desarrollando una aproximaci´ on de elemento finito a la conducci´on bi–dimensional con convecci´on, tomamos una aproximaci´ on general inicialmente; es decir, no se usa una geometr´ıa espec´ıfica de alg´ un
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
214
elemento t´ıpico. En cambio, asumimos un elemento bi–dimensional que posee M nodos, tales que la distribuci´on de temperatura en el elemento se describe por T (x, y) =
M X
Ni (x, y) Ti = [ N ]{T }
(7.22)
i=1
donde Ni (x, y) es la funci´ on de interpolaci´ on asociada con la temperatura nodal Ti , [ N ] es la matriz fila de funciones de interpolaci´ on, y {T } es la matriz columna (vector) de temperaturas nodales. Aplicando el m´etodo de elemento finito Galerkin, las ecuaciones residuales correspondientes a la ecuaci´on (7.21) son ZZ ∂ ∂T ∂ ∂T Ni (x, y) t kx + t ky + Q t − 2 h (T − Ta ) dA = 0 i = 1; M (7.23) ∂x ∂x ∂y ∂y A
donde se supone que el espesor t es constante y la integraci´on es sobre el ´area del elemento. (Hablando estrictamente, la integraci´ on es sobre el volumen del elemento, ya que ´este es el dominio de inter´es). Para desarrollar las ecuaciones de elemento finito para el caso bi–dimensional, se requiere un poco de manipulaci´on matem´ atica. y (x1, y1)
a’
(x2, y1)
b’
x
dy
qx (x1, y)
qx (x2, y)
dx (x1, y1)
a
(x2, y1)
b
(a) Elemento t´ıpico
(b) Flujo de calor en x
Figura 7.7: Esquemas de flujo de calor de borde l´ımite en elemento rectangular Considere las primeras dos integrales en la Ecuaci´on (7.23) como ZZ ZZ ∂qy ∂ ∂ ∂qx ∂T ∂T Ni + Ni dA = −t Ni + Ni dA t kx ky ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y A
A
y, note que hemos usado la ley de Fourier descita por la Ecuaci´on (7.20). Por ilustraci´on ahora asumiremos un elemento rectangular, como el mostrado en la Figura 7.7(a), y examinemos ZZ t
∂qx Ni dA = t ∂x
Integrando por partes en x, con u = Ni y dv =
t
∂qx Ni dx, dy ∂x
y1 x1
A
ZZ
Zy2 Zx2
∂qx Ni dA = t ∂x
Zy2 y1 Zy2
A
=t
∂qx dx, obtenemos formalmente ∂x
Zy2 Zx2 x2 ∂Ni qx Ni dy = −t qx dx dy ∂x x1 y1 x1
x2 qx Ni dy + t
Z kx
x1
y1
A
∂T ∂Ni dA ∂x ∂x
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
215
Ahora, examinemos el significado f´ısico del t´ermino Zy2 t
Zy2 x2 qx Ni dy = t [ qx (x2 , y)Ni (x2 , y) − qx (x1 , y)Ni (x1 , y) ]dy x1
y1
y1
El integrando es el valor ponderado (Ni es la funci´on escalar de ponderaci´on) del flujo de calor en la direcci´on x a trav´es de los bordes a–a0 y b–b0 en la Figura 7.7(b). De aqu´ı, cuando integramos en y, obtenemos la diferencia en la rapidez de flujo de calor ponderado en la direcci´on x a trav´es de b–b0 y a–a0 , respectivamente. Notando el hecho obvio que la rapidez de flujo de calor en la direcci´on x a trav´es de los l´ımites horizontales a–b y a0 –b0 es cero, la integral sobre el ´area del elemento es equivalente a una integral alrededor de la periferia del mismo, como es dado por ZZ I t qx Ni dA = t qx Ni nx dS A
S
En esta ecuaci´ on, S es la longitud perif´erica del elemento y nx es la componente del vector unitario normal saliente (perpendicular) a la periferia. En nuestro ejemplo, usando un elemento rectangular, tendremos nx = 1 a lo largo de b–b0 , nx = 0 sobre b0 –a0 , nx = −1 a lo largo de a0 –a, y nx = 0 sobre la porci´ on a–b. Note usted que el uso de la componente x del vector normal unitario asegura que la naturaleza direccional del flujo de calor se considere apropiadamente. Por razones te´oricas m´as all´a del alcance de este texto, la integraci´ on alrededor de la periferia S ser´a tomada en direcci´on contraria a las agujas del reloj; es decir, positivamente, por la regla de la mano derecha. Un argumento id´entico y desarrollo similar mostrar´an que, para los t´erminos en la direcci´on–y en la Ecuaci´ on (7.23), ZZ I Z ∂ ∂T ∂T ∂Ni t ky Ni dA = −t qy Ni ny dS − ky dA ∂y ∂y ∂y ∂y S
A
A
Estos argumentos, basados en el caso espec´ıfico de un elemento rectangular, tienen la intenci´on de mostrar una aplicaci´ on de una relaci´on general conocida como el teorema de Green–Gauss (tambi´en conocido como el teorema de Green en el plano) declarado como sigue: Sean F (x, y) y G(x, y) funciones continuas definidas en una regi´ on del plano x–y (para nuestros prop´ositos la regi´on es el ´area de un elemento); entonces I ZZ ∂F ∂G β +β = ( βF nx + βGny )dS ∂x ∂y A S (7.24) ZZ ∂F ∂β ∂G ∂β − + dA ∂x ∂x ∂y ∂y A
Retornando a la Ecuaci´ on (7.23), hagamos que: F = kx
∂T ∂G , G = ky , β = Ni (x, y); y apliquemos ∂x ∂y
el teorema de Green–Gauss para obtener ZZ ∂ ∂T ∂ ∂T kx Ni + ky Ni dA t ∂x ∂x ∂y ∂y A I ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni = −t ( qx nx + qy ny )Ni dS − t kx + ky dA ∂x ∂x ∂y ∂y S
(7.25)
A
La aplicaci´ on del teorema de Green–Gauss, como en este desarrollo, es la contraparte bi–dimensional de la integraci´ on por partes en una dimensi´on. El resultado es que hemos introducido los t´erminos de
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
216
gradiente de borde l´ımite como es indicado por la primera integral en el lado derecho de la Ecuaci´on (7.25) y asegura que la matriz de conductancia sea sim´etrica, por la segunda integral, como se ver´a en el resto del desarrollo. Retornando a la relaci´ on residual de Galerkin representada por la Ecuaci´on (7.23) y sustituyendo las relaciones desarrolladas mediante el teorema de Green–Gauss (siendo cuidadosos en observar los signos aritm´eticos), la Ecuaci´ on (7.23) llega a ser ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni + ky t dA + 2h T Ni dA kx ∂x ∂x ∂y ∂y A ZZ ZZ I = Q Ni t dA + 2 h Ta Ni dA − t ( qx nx + qy ny )Ni dS
ZZ A
A
A
(7.26) i = 1; M
S
que representa al sistema de M ecuaciones para la formulaci´on de elemento finito bi–dimensional mediante el m´etodo de Galerkin. En analog´ıa con el caso uni–dimensional de la Ecuaci´on (7.7), observamos que el lado de la izquierda incluye la distribuci´on de temperatura desconocida mientras el lado derecho est´a compuesto de funciones impelentes, representando generaci´on de calor interior, convecci´on desde la superficie, y flujo de calor de borde l´ımite. En este punto, convertimos a notaci´ on matricial para facilidad de interpretaci´on por empleo de la Ecuaci´on (7.22) para convertir la Ecuaci´ on (7.26) a T ZZ ∂N ∂N ∂N + ky {T } t dA + 2h [ N ]T [ N ]{T }dA ∂x ∂y ∂y A ZZ ZZ I = Q [ N ]T t dA + 2 h Ta [ N ]T dA − qs ns [ N ]T t dS
ZZ
kx
A
∂N ∂x
T
A
A
(7.27)
S
la cual es de la forma [ k (e) ]{T } = {fQ(e) } + {fh(e) } + {fg(e) }
(7.28)
como es deseado. La comparaci´ on de las Ecuaciones (7.27) y (7.28) revela que la matriz de conductancia es ZZ [ k (e) ] =
kx
A
∂N ∂x
T
T ZZ ∂N ∂N ∂N + ky t dA + 2h [ N ]T [ N ]dA ∂x ∂y ∂y
(7.29)
A
la cual para un elemento que tiene M nodos es una matriz M ×M sim´etrica. Mientras usemos el t´ermino matriz de conductancia, el primer t´ermino integral en la derecha de la Ecuaci´on (7.29) representa la conducci´on pura (similar a la matriz de “rigidez”), mientras que la segunda integral representa la convecci´on desde las superficies laterales del elemento al medio ambiente circundante. Si las superficies laterales no exhiben convecci´ on (es decir, las superficies se aislan t´ermicamente), los t´erminos de la convecci´on son removidos poniendo h = 0. Note que, en muchos de los paquetes de software de elemento finito, la porci´ on de la convecci´ on en la matriz de conductancia no es autom´aticamente incluida en la formulaci´on de la matriz de elemento. En cambio, sobre la superficie lateral (como tambi´en en los bordes) los efectos de la convecci´ on son especificados aplicando “cargas” de convecci´on a las superficies como sea apropiado. El software entonces modifica las matrices de elemento como es requerido en este caso. Las funciones impelentes de efecto cal´ orico sobre el elemento se describen mediante matrices co-
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
217
lumna (vectores), que se especifican acorde a ZZ ZZ {fQ(e) } = Q [ N ]T t dA = Q {N } t dA A
(7.30a)
A
ZZ
(e)
ZZ T
{fh } = 2 h Ta
(7.30b)
qs ns {N } t dS
(7.30c)
A
I {fg(e) } = −
{N } dA
[ N ] dA = 2 h Ta A
I qs ns [ N ]T t dS = −
S
S
donde [ N ]T = {N } es la matriz columna M ×1 (vector) de las funciones de interpolaci´on. Las Ecuaciones (7.28) a (7.30) representan la formulaci´on general de un elemento finito para conducci´on de calor bi–dimensional con convecci´on desde sus superficies. Note en particular que estas ecuaciones son v´ alidas para un elemento arbitrario que tiene M nodos, y por consiguiente cualquier orden de sus funciones de interpolaci´on (lineal, cuadr´atica, c´ ubica, etc) asociadas. En los siguientes ejemplos, mostramos el uso de geometr´ıas espec´ıficas de elemento y las ecuaciones desarrolladas para ellos.
7.4.2.
Condiciones de borde
Las condiciones de borde para la conducci´on bi–dimensional con convecci´on puede ser de tres tipos, como es ilustrado por la Figura 7.8 para un dominio bi–dimensional general. Sobre la porci´on S1 de la superficie l´ımite, la temperatura se prescribe como un valor constante conocido TS1 = T ∗ . En un modelo de elemento finito donde existe un sub–dominio de tal tipo, cada nodo de un elemento localizado sobre S1 tiene temperatura conocida y las ecuaciones de equilibrio nodal correspondientes se vuelven ecuaciones de “reacci´ on”. Las “fuerzas” de reacci´on son el flujo de calor en los nodos ubicados sobre S1 . Usando los paquetes de software de elemento finito, tales condiciones se traducen como datos de entrada; el del software ingresa tales datos en el programa como apropiados en los nodos aplicables del modelo de elemento finito (en este caso, las temperaturas especificadas). h ( T – Ta ) S3 T = T*
S1
q*
S2
Figura 7.8: Especificaci´on de condiciones de borde El flujo de calor en la porci´ on S2 del borde l´ımite se prescribe como qS2 = q ∗ . Esto es an´alogo a las fuerzas nodales especificadas en un problema estructural. De aqu´ı, para todos los elementos que tienen nodos ubicados sobre S2 , la Ecuaci´ on (7.30c) d´a las correspondientes funciones de impulsi´on cal´orica nodales como I (e) {fg } = − q ∗ nS2 {N } t dS2 (7.31) S2
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
218
Finalmente, una porci´ on S3 del borde l´ımite ilustra una condici´on de convecci´on. En esta situaci´on, el flujo de calor en el borde l´ımite debe ser equilibrado por la p´erdida de calor por convecci´on desde S3 . Para todos los elementos que tienen bordes coincidentes en S3 , la condici´on de convecci´on se expresa como I I {fg(e) } = − qS3 nS3 {N } t dS3 = − h(T (e) − Ta ){N } t dS3 S3
S3
Notando que el lado derecho de la anterior ecuaci´on involucra a las temperaturas nodales, re–escribimos la ecuaci´on como I I {fg(e) } = − h[ N ]T [ N ]{T } t dS3 + h Ta {N } t dS3 (7.32) S3
S3
y observamos que, cuando ´esta relacion se inserta en la Ecuaci´on (7.28), el primer t´ermino integral del lado derecho de la Ecuaci´ on (7.32) adiciona “rigidez” a coeficientes espec´ıficos de la matriz de conductancia asociados con los nodos que se ubican sobre la frontera S3 . Para generalizar, re–escribimos la Ecuaci´on (7.32) como {fg(e) } = −[ kh(e)S ]{T } + {fh(e) } (7.33) S donde (e)
I h [ N ]T [ N ] t dS
[ khS ] =
(7.34)
S
es la contribuci´ on a la matriz de conductancia de elemento que se debe a la convecci´on sobre la porci´on S del borde l´ımite del elemento y I {fh(e) }= S
h Ta {N } t dS
(7.35)
S
es la funci´on impelente cal´ orica asociada con la convecci´on sobre S. Incorporando la Ecuaci´ on (7.33) en el interior de la Ecuaci´on (7.28), tendremos [ k (e) ]{T } = {fQ(e) } + {fh(e) } + {fg(e) } + {fh(e) } S donde la matriz de conductancia de elemento est´a dada ahora por T T ZZ (e) ∂N ∂N ∂N ∂N k + ky t dA = kx ∂x ∂x ∂y ∂y A ZZ I + 2h [ N ]T [ N ]dA + h [ N ]T [ N ] t dS A
(7.36)
(7.37)
S
la cual expl´ıcitamente incluye la convecci´ on de borde sobre la(s) porcion(es) S del l´ımite perimetral del elemento sujeta(s) al fen´ omeno de convecci´on. Ejemplo 7.4. Determine la matriz de conductancia (excluyendo la convecci´on del borde) para un elemento rectangular de cuatro–nodos, que tiene 0,5 pulg de espesor y los lados iguales a 1 pulg. El material tiene propiedades t´ermicas kx = ky = 20 Btu/(hr-pie-◦ F) y h = 50 Btu/(hr-pie2 -◦ F). > Soluci´ on El elemento es numerado en sus nodos como se muestra en la Figura 7.9 y las funciones de interpolaci´on, seg´ un las Ecuaciones (6.36) son N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s)
N2 (r, s) = 14 (1 + r)(1 − s)
N3 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s)
N4 (r, s) = 14 (1 − r)(1 + s)
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
219 3
4 s
r
2
1
Figura 7.9: Numeraci´on de nodos
en t´erminos de las coordenadas normalizadas r y s. Para el elemento rectangular de lados iguales, tenemos: 2a = 2b = 1 pulg, y dA = dx dy = ab dr ds. Las derivadas parciales en t´erminos de las coordenadas normalizadas, obtenidas mediante aplicaci´on de la regla de la cadena, son ∂Ni ∂r 1 ∂Ni = = ∂x ∂r ∂x a ∂Ni ∂s 1 ∂Ni = = ∂y ∂s ∂x b
∂Ni ∂r ∂Ni ∂s
i = 1; 4 i = 1; 4
Luego, la Ecuaci´ on (7.29) llega a ser
k
(e)
Z1 =
kx
T
∂N ∂r
∂N ∂r
T 1 ∂N 1 ∂N + ky t a b dr ds a2 ∂s ∂s b2
−1
Z1 + 2h
[ N ]T [ N ] a b dr ds
−1
o, en una base t´ermino a t´ermino, Z1 Z1 kij =
∂Ni ∂Nj 1 ∂Ni ∂Nj 1 kx + ky ∂r ∂r a2 ∂s ∂s b2
t a b dr ds
−1 −1
Z1 Z1 Ni Nj a b dr ds
+ 2h
i, j = 1; 4
−1 −1
simplificando se tiene Z1 Z1 kij =
∂Ni ∂Nj b ∂Ni ∂Nj a kx + ky ∂r ∂r a ∂s ∂s b
t dr ds
−1 −1
Z1 Z1 + 2h −1 −1
Ni Nj a b dr ds
i, j = 1; 4
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
220
Asumiendo que los coeficientes de conductividad seg´ un ambas direcciones son constantes, tendremos b kij = kx t a
Z1 Z1
∂Ni ∂Nj a dr ds + ky t ∂r ∂r b
−1 −1
Z1 Z1
∂Ni ∂Nj dr ds ∂s ∂s
−1 −1
Z1 Z1 + 2hab
Ni Nj dr ds
i, j = 1; 4
−1 −1
Las derivadas parciales requeridas son ∂N1 ∂r ∂N2 ∂r ∂N3 ∂r ∂N4 ∂r
∂N1 ∂s ∂N2 ∂s ∂N3 ∂s ∂N4 ∂s
= 14 (s − 1) = 14 (1 − s) = 14 (1 + s) = − 14 (1 + s)
= 14 (r − 1) = − 41 (1 + r) = 14 (1 + r) = 14 (1 − r)
Substituyendo valores num´ericos (notando que a = b), como ejemplo para el primero de los coeficientes obtenemos Z1 Z1 1 1 0,5 2 2 k11 = 20 (s − 1) + (r − 1) dr ds 16 16 12 −1 −1
Z1 Z1 + 2 (50)
1 (1 − r)2 (1 − s)2 16
0,5 12
2 dr ds
−1 −1
Integrando primero sobre r,
k11
20(0,5) = 16(12)
Z1 −1
k11 =
1 2 Z1 1 3 1 (r − 1)3 100 0,5 2 (1 − r) (s − 1) r + ds − (1 − s) ds 3 16 12 3 −1 −1 −1 2
−1
20(0,5) 16(12)
2 Z1 Z1 100 0,5 8 8 (s − 1)2 (2) + ds + (1 − s)2 ds 3 16 12 3 −1
−1
Luego, integrando sobre s, tendremos k11
20(0,5) = 16(12)
k11 =
20(0,5) 16(12)
1 2 1 2(s − 1)3 8 100 0,5 8 (1 − s)3 + s − 3 3 16 12 3 3 −1 −1
16 16 + 3 3
+
100 16
0,5 12
2 8 8 ◦ = 0,6327 Btu/(hr- F) 3 3
El procedimiento de integraci´ on anal´ıtica desarrollado recientemente para determinar k11 no es el m´etodo usado por los paquetes de software de elemento finito; en cambio, se usan los m´etodos num´ericos, principalmente el procedimiento de cuadratura de Gauss discutido en el Cap´ıtulo 6. Si nosotros examinamos los t´erminos en los integrandos de la ecuaci´on que define kij , encontramos que dichas expresiones son funciones cuadr´ aticas de r y s. Por consiguiente, las integrales pueden evaluarse
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
221
exactamente usando dos puntos de Gauss en r y s. Por la Tabla 6.1, los puntos de Gauss requeridos y los factores de ponderaci´ on son: ri , sj = ±0,57735 y Wi , Wj = 1 (i, j = 1, 2). Usando el procedimiento num´erico para k11 , podemos escribir k11
b = kx t a
Z1 Z1
1 a (s − 1)2 dr ds + ky t 16 b
−1 −1
Z1 Z1
1 (r − 1)2 dr ds 16
−1 −1
Z1 + 2hab
1 (r − 1)2 (s − 1)2 dr ds 16
−1
k11 = kx t
b a
2 X 2 X i=1 j=1
+ 2hab
2
2
a XX 1 1 Wi Wj (sj − 1)2 + ky t Wi Wj (ri − 1)2 16 b i=1 j=1 16
2 X 2 X 1 Wi Wj (1 − ri )2 (1 − sj )2 16 i=1 j=1
y, usando los puntos de integraci´ on como tambi´en los valores de los factores de ponderaci´on especificados, resulta b 1 4 a 1 k11 = kx t + ky t + 2hab a 3 b 3 9 Es sumamente importante notar que el resultado expresado en la ecuaci´on precedente es el valor correcto de k11 para cualquier elemento rectangular usado para el an´alisis de conducci´on de calor bi– dimensional discutido en esta secci´ on. Las integraciones no necesitan ser repetidas para cada uno de los elementos; s´ olo las cantidades geom´etricas y los valores de conductancia necesitan ser substituidos para obtener el valor buscado. De hecho, si substituimos los valores para este ejemplo, obtenemos ◦
k11 = 0,6327 Btu/(hr- F) seg´ un el procedimiento de integraci´ on num´erica. Prosiguiendo con la aplicaci´ on del procedimiento de integraci´on Gaussiana (el c´alculo de algunos de ´estos t´erminos ser´ an evaluados como problemas de fin–de–cap´ıtulo), encontramos ◦
k11 = k22 = k33 = k44 = 0,6327 Btu/(hr- F) Porqu´e estos valores son id´enticos ?. ◦ Los coeficientes fuera de la diagonal principal en la matriz de conductancia medidos en Btu/(hr- F) (nuevamente utilizando el procedimiento de integraci´on num´erica) son calculados como k12 = −0,1003 k23 = −0,1003 Y, de los resultados previos, la matriz 0,6327 −0,1003 (e) [k ] = −0,2585 −0,1003
k13 = −0,2585 k24 = −0,2585
k14 = −0,1003 k34 = −0,1003
de conductancia de elemento es −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 Btu/(hr-◦ F) −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327
>
Ejemplo 7.5. La Figura 7.10(a) muestra una aleta calor´ıfica bi–dimensional. La aleta cuadrada se conecta a una
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
222
tuber´ıa en su borde izquierdo, y la tuber´ıa transporta agua a una temperatura constante de 180◦ F. La aleta est´a rodeada por el aire atmosf´erico que est´a a temperatura de 68◦ F. Las propiedades t´ermicas de la aleta son como aquellas dadas en el Ejemplo 7.4. Use cuatro elementos rectangulares de cuatro–nodos de igual-tama˜ no para obtener una soluci´ on de elemento finito para la distribuci´on de temperatura en r´egimen de estado estacionario en la aleta.
3
2 pulg 2 p u l g
180° F
6
5
2
1
5 180° F 2
1 1
180° F
68° F
4
7
(b) Modelo de elementos finitos 2 pulg
5
2
8
2 p u l g
2
1
(a) Aleta cuadrada bi–dimensional
2 pulg
3
4 68° F
9
(c) Elemento 1
8 68° F 7
4
4
2 p u l g
(d) Elemento 2
Figura 7.10: Transmisi´on de calor desde una aleta plana
> Soluci´ on La Figura 7.10(b) muestra el modelo de cuatro elementos finitos juntamente con la numeraci´on global asignada a los nodos. dado el esquema de numeraci´on establecido, tenemos condiciones de temperatura constante en los nodos 1, 2, y 3, de modo que T1 = T2 = T3 = 180◦ F mientras que en los otros lados, tenemos condiciones de borde de convecci´on que requieren un poco de an´alisis para ser aplicadas. Para el elemento 1, mostrado en la Figura 7.5(c), por ejemplo, la convecci´on ocurre a lo largo del borde 1–2, pero no a lo largo de los otros tres bordes del elemento. Notando que s = −1 y N3 = N4 = 0 sobre los puntos del borde 1–2, la Ecuaci´on (7.34) llega a ser 2 1 − r2 0 0 Z1 1 − r Z1 (1 − r)2 1 + r hta (1 + r)2 0 0 1−r dr [ kh(1)S ] = 41 h t 0 0 1 − r 1 + r 0 0 a dr = 4 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 Efectuando la integraci´ on 8 hta 4 (1) [ khS ] = 4(3) 0 0
y reemplazando datos 4 0 0 2 8 0 0 = 50(0,5) 0 0 0 4(3)(12)2 0 0 0 ◦
donde las unidades son Btu/(hr- F).
8 4 0 0
4 8 0 0
0 0 0 0
0 0,0579 0 = 0,0290 0 0 0 0
0,0290 0 0 0,0579 0 0 0 0 0 0 0 0
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
223
El vector fuerza de convecci´ on de borde para el elemento 1 es, por la Ecuaci´on (7.35), 1 − r 2 2 5,9028 1 Z hTa t hTa ta 2 50(68)(0,5)2 2 5,9028 1 + r (1) {fhS } = = Btu/hr 0 a dr = 2 0 = 0 0 2 2(12)2 −1 0 0 0 0 donde nuevamente utilizamos s = −1 y N3 = N4 = 0 a lo largo del borde del elemento que conecta los nodos 1 y 2. Luego consideremos el elemento 2. Como se muestra en la Figura 7.5(d), la convecci´on ocurre a lo largo de dos bordes del elemento definidos por los nodos 1–2 (s = −1) y los nodos 2–3 (r = 1). Para el elemento 2, la Ecuaci´ on (7.34) es 0 Z1 Z1 1 − r ht 1 + r 1 − r 1 + r 0 0 a dr + 1 − s 0 1 − s 1 + s 0 b ds [ kh(2)S ] = 1 + s 0 4 −1 −1 0 0 Despu´es de integrar se obtiene 8 hta (2) 4 [ khS ] = 4(3) 0 0
4 8 0 0
0 0 0 0
0 0 0 htb 0 + 0 4(3) 0 0 0
0 8 4 0
0 4 8 0
0 0 0 0
y, puesto que a = b, 8 50(0,5)2 (2) 4 [ khS ] = 4(3)(12)2 0 0
4 16 4 0
0 4 8 0
0,0579 0,0290 0 0 0 0 = 0,0290 0,1157 0,0290 0 Btu/(hr-◦ F) 0 0,0290 0,0579 0 0 0 0 0 0 0
Igualmente, el vector fuerza de convecci´on de borde se obtiene por la integraci´on a lo largo de los dos bordes, como 5,9028 2 0 Z1 Z1 1 − r 2 hTa t 11,8056 4 1 + r a dr + 1 − s b ds = 50(68)(0,5) Btu/hr = {fh(2) } = S 1 + s 5,9028 2 2 0 2(12)2 −1 −1 0 0 0 0 Id´enticos procedimientos aplicados a los lados adecuados de los elementos 3 y 4 dan como resultado: 0 0 0 0 0 0 0 0 2 50(0,5) 0 8 4 0 0 = 0 0,0579 0,0290 Btu/(hr-◦ F) [ kh(3)S ] = 2 0 4 16 4 0 0,0290 0,1157 0,0290 4(3)(12) 0 0 4 8 0 0 0,0290 0,0579 0 0 0 0 0 0 0 0 50(0,5)2 0 0 0 0 0 0 = 0 0 Btu/(hr-◦ F) [ kh(4)S ] = 2 0 0 0,0579 0,0290 4(3)(12) 0 0 8 4 0 0 4 8 0 0 0,0290 0,0579 0 5,9028 (3) {fhS } = Btu/hr 11,8056 5,9028
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
224
0 0 {fh(4) } = Btu/hr S 5,9028 5,9028 Como no se genera ning´ un calor interno (no existe fuente de calor), el correspondiente vector “fuerza” de impulsi´ on cal´ orica para cada elemento es cero; ´esto es ZZ (e) {fQ } = Q{N }dA = 0 e = 1; 4 A
Por otro lado, cada elemento exhibe convecci´on desde sus superficies, de modo que el vector “fuerza” de convecci´on lateral es Z1 Z1 (1 − r)(1 − s) ZZ 1 (1 + r)(1 − s) a b dr ds {fh(e) } = 2hTa {N }dA = 2hTa S (1 + r)(1 + s) 4 −1 −1 A (1 − r)(1 + s) lo cual evaluado num´ericamente d´ a como resultado 11,8056 4 4 2hTa ab 4 2(50)(68)(0,5)2 4 11,8056 (e) Btu/hr = = {fhS } = 11,8056 4 4 4 4(12)2 11,8056 4 4
e = 1; 4
y notamos que, puesto que el elemento es cuadrado, las fuerzas de convecci´on de superficie son distribu´ıdas igualmente a cada uno de los cuatro nodos del elemento. En el Ejemplo 7.4 anterior, calculamos la matriz de conductancia b´asica, que no consideraba el efecto de convecci´ on por los bordes del elemento; dicha matriz calculada es para recordarla ahora 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 Btu/(hr-◦ F) e = 1; 4 [ k (e) ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 a la que debemos sumar las matrices de convecci´on de borde aqu´ı calculadas para obtener las matrices de conductancia verdaderas de los elementos del presente ejemplo. Las ecuaciones globales para el modelo de cuatro–elementos pueden ser ahora ensambladas escribiendo las relaciones de correspondencia nodales desde coordenadas locales (de elemento) hacia las coordenadas globales (v´ease la definici´ on de los vectores de ubicaci´on de desplazamiento en la P´agina 63 del Cap´ıtulo 3), como {D(1) } = 1 4 5 2 {D(2) } = 4 7 8 5 {D(3) } = 5 8 9 6 {D(4) } = 2 5 6 3 y, a˜ nadiendo los coeficientes de convecci´ on de borde calculados en este ejemplo a las matrices b´asicas de conductancia, para obtener las matrices de conductancia (“rigidez”) globales de elemento, tendremos 0,6906 −0,0713 −0,2585 −0,1003 −0,0713 0,6906 −0,1003 −0,2585 [ K1 ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
0,6906 −0,0713 2 [K ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 [ K3 ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 4 [K ] = −0,2585 −0,1003
225
−0,0713 −0,2585 −0,1003 0,7484 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,6906 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6906 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,7484 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,6906 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6906 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,6906
Utilizando el m´etodo de ensamblaje–directo (superposici´on de coeficientes) con las relaciones de asignaci´ on nodal local–hacia–global y´a establecidas, la matriz de conductancia global del sistema (en este caso la placa completa) es
0,6906 −0,1003 0 −0,0713 [K ] = −0,2585 0 0 0 0
−0,1003 0 −0,0713 −0,2585 0 0 0 0 1,2654 −0,1003 −0,2585 −0,2006 −0,2585 0 0 0 −0,1003 0,6906 0 −0,2585 −0,0713 0 0 0 −0,2585 01,3812 −0,2006 0 −0,0713 −0,2585 0 −0,2006 −0,2585 −0,2006 2,5308 −0,2006 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 −0,0713 0 −0,2006 1,3812 0 −0,2585 −0,0713 0 0 −0,0713 −0,2585 0 0,7484 −0,2585 0 0 0 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 1,3812 −0,0713 0 0 0 −0,2585 −0,0713 0 −0,0713 0,7484
El vector de temperaturas nodales es 180 180 180 T4 {T } = T5 T6 T 7 T 8 T9 y tenemos expl´ıcitamente incorporadas las condiciones de borde de temperatura pre-establecida. Ensamblando el vector de impulsi´on cal´orica global, notando que no existe generaci´on interna de calor por no existir fuente cal´ orica interna alguna, obtenemos 17,7084 + F1 35,4168 + F2 17,7084 + F3 35,4168 47,2224 {F } = Btu/hr 35,4168 23,6112 35,4168 23,6112
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
226
donde usamos F1 , F2 , y F3 como notaci´ on general para indicar que ´estos t´erminos son las “fuerzas de reacci´on” desconocidas. De hecho, como se mostrar´a luego, estos t´erminos son las componentes de flujo de calor en los nodos 1, 2, y 3. Habiendo y´ a evaluado todos los arreglos matriciales asociados con el comportamiento t´ermico de la placa, las ecuaciones globales para el modelo de cuatro–elementos resultan ser 0,6906 −0,1003 0 −0,0713 −0,2585 0 0 0 0
−0,1003 1,2654 −0,1003 −0,2585 −0,2006 −0,2585 0 0 0
0 −0,1003 0,6906 0 −0,2585 −0,0713 0 0 0
−0,0713 −0,2585 0 1,3812 −0,2006 0 −0,0713 −0,2585 0
−0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2006 2,5308 −0,2006 −0,2585 −0,2006 −0,2585
0 −0,2585 −0,0713 0 −0,2006 1,3812 0 −0,2585 −0,0713
0 0 0 −0,0713 −0,2585 0 0,7484 −0,2585 0
0 0 0 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 1,3812 −0,0713
0 17,7084 + F1 180 0 35,4168 + F2 180 0 17,7084 + F3 180 0 T4 35,4168 −0,2585 47,2224 = T5 35,4168 −0,0713 T6 23,6112 0 T 7 35,4168 T −0,0713 8 T 23,6112 0,7484 9
Teniendo en cuenta las temperaturas especificadas en los nodos 1, 2, y 3, las ecuaciones globales para las temperaturas desconocidas llegan a ser 94,7808 T4 1,3812 −0,2006 0 −0,0713 −0,2585 0 T5 −0,2006 2,5308 −0,2006 −0,2585 −0,2006 −0,2585 176,3904 94,7808 T 0 −0,2006 1,3812 0 −0,2585 −0,0713 6 = T7 23,6112 −0,0713 −0,2585 0 0,7484 −0,2585 0 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 1,3812 −0,0713 35,4168 T8 0 −0,2585 −0,0713 0 −0,0713 0,7484 23,6112 T9 Se insta al lector notar que, para llegar al u ´ltimo resultado, nosotros particionamos la matriz global como es mostrado por las l´ıneas segmentadas y aplicamos la Ecuaci´on (3.38a) para obtener las ecuaciones que gobiernan a los grados de libertad “activos”. Es decir, la matriz particionada es de la forma [Krr ] [Kra ] {Tr } {Fr } = [Kar ] [Kaa ] {Ta } {Fa } donde el sub´ındice r denota los t´erminos asociados con temperaturas restringidas (especificadas), y el sub´ındice a denota t´erminos asociados con las temperaturas activas (desconocidas). De aqu´ı, el sistema de ecuaciones 6×6 anterior representa a la ecuaci´on [Kaa ]{Ta } = {Fa } − [Kar ]{Tr } que se obtiene desde la segunda ecuaci´ on de la forma particionada general, y que ahora propiamente incluye los efectos de temperaturas especificadas como funciones impelentes sobre el lado derecho de la ecuaci´on gobernante de los grados de libertad (temperaturas) activos. La soluci´on simult´ anea de las ecuaciones globales (en este caso, nosotros invertimos la matriz de conductancia del sistema reducido mediante un apropiado programa computacional de manipulaci´on matricial) proporciona el valor de las temperaturas inicialmente desconocidas, T4 106,507 T5 111,982 T6 106,507 ◦ = F T7 89,041 T8 90,966 T9 89,041
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
227
Si nosotros ahora realizamos la sustituci´on regresiva de las temperaturas nodales calculadas en las primeras tres ecuaciones globales que fueron desechadas, espec´ıficamente, 0,6906 T1 − 0,1003 T2 − 0,0713 T4 − 0,2585 T5 = 17,7084 + F1 −0,1003 T1 + 1,2654 T2 − 0,1003 T3 − 0,2585 T4 − 0,2006 T5 − 0,2585 T6 = 35,4168 + F2 −0,1003 T2 + 0,6906 T3 − 0,2585 T5 − 0,0713 T6 = 17,7084 + F3 de donde obtenemos los valores de flujo cal´orico en los nodos 1, 2, y 3, de nuestro modelo de an´alisis F1 52,008 F2 = 78,720 Btu-hr F3 52,008 Note que, en t´erminos del particionamiento matricial general que efectuamos, ahora estamos resolviendo [Krr ]{Tr } + [Kra ]{Ta } = {Fr } para obtener los valores desconocidos en {Fr }. Puesto que no hay ninguna convecci´on desde los bordes definidos por los nodos 1–2 y 1–3, y se especifica la temperatura en estos bordes; las “fuerzas de reacci´on” representan la entrada de calor (el flujo) por estos bordes y debe estar en equilibrio con la p´erdida de calor por convecci´on por las superficies laterales del cuerpo, y sus bordes, en una situaci´on de estado–estacionario (independiente del tiempo). Este equilibrio es una verificaci´on que puede y debe hacerse para valorar la exactitud de una soluci´ on de elemento finito en un problema de transmisi´on de calor, y es an´alogo a verificar el equilibrio est´ atico de una soluci´ on de elemento finito asociado a un problema estructural en el ´area de la mec´anica de s´ olidos deformables. > El Ejemplo 7.5 se desarroll´ o en gran detalle para se˜ nalar los procedimientos sistem´aticos necesarios para ensamblar las matrices y vectores de fuerza (impulsi´on cal´orica) globales. El lector astuto se podr´a dar cuenta que, siguiendo la soluci´on presentada, pueden usarse condiciones de simetr´ıa que simplifiquen la matem´ atica en la b´ usqueda de la soluci´on. Como es mostrado en la Figura 7.11(a), existe un eje (plano) de simetr´ıa a trav´es del centro horizontal de la placa. Por consiguiente, el problema puede reducirse a un modelo de dos–elementos, como es mostrado en la Figura 7.11(b). A lo largo del borde de simetr´ıa, las componentes de flujo de calor en direcci´on y est´an en equilibrio, y este borde puede tratarse como un borde perfectamente aislado. Uno podr´ıa usar entonces s´olo dos elementos, con el l´ımite apropiadamente ajustado en sus condiciones de borde para obtener la misma soluci´on como en el ejemplo. 2 T = 180° F
Plano de simetría
(a) Condici´ on de simetr´ıa vertical
1
6
4 2
1 3
5
(b) Modelo optimizado de dos elementos
Figura 7.11: Modificaci´on del modelo para el Ejemplo 7.5
7.4.3.
Condiciones de simetr´ıa
Como mencionamos previamente en relaci´on con el Ejemplo 7.5, las condiciones de simetr´ıa pueden usarse para reducir el tama˜ no de un modelo de elemento finito (o cualquier otro modelo computacional).
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
228
Generalmente, la simetr´ıa se observa geom´etricamente; es decir, el dominio f´ısico de inter´es es sim´etrico alrededor de un eje o un plano. La simetr´ıa geom´etrica no es, sin embargo, suficiente para asegurar que un problema sea sim´etrico. Adem´ as, las condiciones de borde l´ımite y las cargas aplicadas deben ser sim´etricas con referencia al eje o plano de simetr´ıa geom´etrica tambi´en. y
h, Ta
y h, Ta
2b
h, Ta
x
Q
b h, Ta
2a
(a) Fuente cal´ orica interna
a
(b) Convecci´ on completa
x
(c) Modelo reducido y
aislado
y
qy = 0 h, Ta
aislado
x
(d) Modelo reducido
h, Ta
h, Ta
(e) Aislamiento de borde
qx = 0
2b
a
x
(f) Modelo reducido
Figura 7.12: Ejemplos de simetr´ıa dictadas por las condiciones de borde l´ımite
Para ilustrar este concepto, considere la Figura 7.12(a), que muestra una placa rectangular delgada que tiene una fuente de calor localizada en su centro geom´etrico. El modelo es de una aleta refigerante removiendo calor de una fuente central (una tuber´ıa que contiene fluido caliente, por ejemplo) mediante proceso de conducci´ on y convecci´on desde la aleta. Claramente, la situaci´on planteada es geom´etricamente sim´etrica. Pero, la situaci´on es un problema sim´etrico ?. La carga es sim´etrica, desde que la fuente de calor se localiza centralmente en el dominio. Tambi´en asumimos que kx = ky para que las propiedades materiales sean sim´etricas. De aqu´ı, debemos examinar las condiciones de borde para determinar si la simetr´ıa existe. Si, por ejemplo, como mostramos en la Figura 7.12(b), la temperatura ambiente externa a la aleta es uniforme alrededor de la misma y los coeficientes de convecci´on son los mismos en todas las superficies; el problema es sim´etrico seg´ un los ejes x e y, y puede resolverse mediante el modelo de la Figura 7.12(c). Para esta situaci´on, note que el calor de la fuente es conducido radialmente y, por consiguiente, a trav´es del eje x el flujo de calor qy es cero y; a trav´es del eje y, el flujo de calor qx debe ser tambi´en cero. Estas observaciones revelan las condiciones de borde para el modelo de “cuarta–simetr´ıa” mostrado en la Figura 7.12(d) donde la funci´on de impulsi´on de calor interior se toma como Q/4. Por otro lado, asumamos que el borde superior de la placa se aisla perfectamente, como se muestra en la Figura 7.12(e). En este caso, no tenemos condiciones sim´etricas sobre el eje x pero simetr´ıa sobre el eje y s´ı existe. Para estas condiciones, podemos usar el modelo de “media–simetr´ıa” mostrado en la Figura 7.12(f), usando la condici´on de simetr´ıa (de borde) que qx = 0 a trav´es de x = 0 y aplicando el t´ermino de generaci´on de calor interior igual a Q/2. Puede usarse la simetr´ıa para reducir significativamente el tama˜ no de los modelos de elemento finito. Debe recordarse que la simetr´ıa simplemente no es una ocurrencia geom´etrica. Para la existencia de simetr´ıa en un sentido f´ısico completo, la geometr´ıa, la carga, las propiedades materiales, y las condiciones de borde, deben ser todas sim´etricas (sobre un eje, o un plano) para poder reducir el tama˜ no del modelo de an´ alisis.
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
7.4.4.
229
Resultantes de elemento
En el an´ alisis que hicimos de la transmisi´on de calor, la variable nodal primaria que se debe calcular es la temperatura. Pero, m´ as a menudo en ese tipo de an´alisis nosotros estamos interesados en la cantidad de calor transferida, que en las temperaturas nodales. (Esto es an´alogo a los problemas estructurales: En dicho campo resolvemos el problema para los desplazamientos nodales, pero estamos m´as interesados en variables secundarias como las tensiones). En los an´alisis de elemento finito de los problemas de transmisi´ on de calor, debemos sustituir regresivamente la soluci´on de las temperaturas nodales en las ecuaciones de “reacci´on” para obtener los valores de flujo de calor globales. (Como en el Ejemplo 7.5, cuando resolvimos las matrices particionadas para los valores de flujo de calor en los nodos restringidos, donde se tienen temperaturas prescritas). Similarmente, podemos sustituir las temperaturas nodales halladas como soluci´on, para obtener estimaciones de propiedades de trasferencia de calor de elementos individuales tambi´en. Las componentes de flujo de calor para un elemento bi–dimensional, por la ley de Fourier, son qx(e) = −kx
M X ∂Ni (e) ∂T (e) = −kx T ∂x ∂x i i=1 M
(e)
qy
(7.38)
X ∂Ni (e) ∂T (e) = −ky = −ky T ∂y ∂y i i=1
donde nuevamente denotamos el n´ umero total de nodos del elemento como M . Con la excepci´on del elemento triangular de tres–nodos v´ertice, las componentes de flujo cal´orico dadas por la Ecuaci´on (7.38) no son constantes porque var´ıan con la posici´on en el elemento. Como un ejemplo, las componentes para el elemento rectangular de cuatro–nodos se calculan r´apidamente usando las funciones de interpolaci´on de las Ecuaciones (6.36), repetidas aqu´ı como, N1 (r, s) = 14 (1 − r)(1 − s)
N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s)
N3 (r, s) = 14 (1 + r)(1 + s)
N4 (r, s) = 41 (1 − r)(1 + s)
Recordando que, 1 ∂ ∂ = ∂x a ∂r
y
∂ 1 ∂ = ∂y b ∂s
tendremos para la estimaci´ on de las componentes de flujo cal´orico: (e)
qx
4 −kx X ∂Ni (e) −kx = T = [ (s − 1)T1(e) + (1 − s)T2(e) + (1 + s)T3(e) − (1 + s)T4(e) ] a i=1 ∂r i 4a
qy(e) =
4 −ky X ∂Ni (e) −ky T = [ (r − 1)T1(e) − (1 + r)T2(e) + (1 + r)T3(e) + (1 − r)T4(e) ] b i=1 ∂s i 4b
y, estas expresiones se simplifican a −kx [ (1 − s)(T2(e) − T1(e) ) + (1 + s)(T3(e) − T4(e) ) ] a −ky = [ (1 − r)(T4(e) − T1(e) ) + (1 + r)(T3(e) − T2(e) ) ] b
qx(e) = (e)
qy
(7.39)
Las componentes de flujo, por consiguiente los gradientes de temperatura, var´ıan linealmente en un elemento rectangular de cuatro–nodos. Sin embargo, recuerde que, para una formulaci´on de tipo C 0 ; los gradientes no son, en general, funciones cont´ınuas sobre los bordes l´ımite del elemento. Por consiguiente, las componentes de flujo de calor asociados con un elemento individual son habitualmente
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
230
tomados a ser los valores calculados en el centroide del elemento. Para el elemento rectangular, el centroide se localiza en (r, s) = (0, 0), as´ı que los valores centroidales de flujo cal´orico en el elemento son simplemente −kx qx(e) = [ T2(e) + T3(e) − T1(e) − T4(e) ] a (7.40) −ky (e) (e) (e) (e) (e) [ T3 + T4 − T1 − T2 ] qy = b Los valores centroidales calculados por la Ecuaci´on (7.40), en general, son bastante exactos para una malla fina de elementos. Algunos paquetes de software de elemento finito computan los valores en los puntos de integraci´ on (los puntos Gauss) y promedian esos valores para obtener un valor representativo a ser aplicado al centroide del elemento. En cualquier caso, los valores calculados son necesarios para determinar la convergencia de la soluci´ on y deben ser verificados en cada fase de un an´alisis de elemento finito. Los valores centroidales de la variable de campo involucrada en un determinado fen´omeno que es analizado mediante el m´etodo de elemento finito tiene la interpretaci´on simple de ser el valor m´as representativo de todos los valores asociados de la funci´on que est´a siendo manipulada con todos los puntos contenidos en el sub–dominio definido por el elemento. Por ello, puede ser tomado como valor promedio de un gran n´ umero de valores dato, o como valor promedio de la funci´on aproximatoria utilizada para hallar la soluci´ on. Ejemplo 7.6. Calcular las componentes del flujo de calor centroidal para los elementos 2 y 3 del Ejemplo 7.5. > Soluci´ on Desde el Ejemplo 7.4 tenemos a = b = 0,5 pulg, kx = ky = 20 Btu/(hr-pie-◦ F) y desde el Ejemplo 7.5, el vector de temperaturas nodales es 180 T1 180 T2 T3 180 106,507 T4 {T } = T5 = 111,982 ◦ F 106,507 T6 89,041 T 7 90,966 T 8 89,041 T9 Para el elemento 2, la relaci´ on de correspondencia nodal de elemento hacia el sistema global puede ser escrita como (2) T1 T2(2) T3(2) T4(2) = T4 T7 T8 T5 = 106,507 89,041 90,966 111,982 Ahora, substituyendo valores num´ericos en la Ecuaci´on (7.40), −12(20) 2 [ 89,041 + 90,966 − 106,507 − 111,982 ] = 4617,84 Btu/(hr-pie ) 4(0,5) −12(20) 2 = [ 90,966 + 111,982 − 106,507 − 89,041 ] = −888,00 Btu/(hr-pie ) 4(0,5)
qx(2) = qy(2)
y, debido a las condiciones de simetr´ıa, tendremos 2
qx(3) = 4617,84 Btu/(hr-pie ) 2
qy(3) = 888,00 Btu/(hr-pie )
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
231
como puede verificarse por c´ alculo directo. Recordando que estos valores son calculados en la ubicaci´on coincidente con el centroide del elemento. > Las resultantes de elemento que representan los efectos de convecci´on tambi´en pueden ser prontamente calculados una vez que la soluci´on de las temperaturas nodales sea conocida. Las resultantes de convecci´ on son de inter´es particular, puesto que ´estas representan la fuente primaria de remoci´on (o absorci´ on) de calor para un cuerpo s´olido. El flujo de calor convectivo, por la Ecuaci´on (7.2), es 2
qx = h(T − Ta ) Btu/(hr-pie ) ´o W/m
2
(7.41)
donde todos los t´erminos tienen el significado previamente establecido. De aqu´ı, la rapidez de flujo de calor convectivo total desde una superficie de ´area A es ZZ ˙ Hh = h(T − Ta )dA (7.42) A
Para un elemento individual, la tasa de flujo de calor convectivo es ZZ ZZ H˙ h(e) = h(T (e) − T a)dA = h([ N ]{T } − Ta )dA A
(7.43)
A
El ´area de integraci´ on en ´esta ecuaci´on incluye todas las porciones del elemento sujetas a condiciones de convecci´ on. En el caso de un elemento bi–dimensional, el ´area puede incluir las superficies laterales (es decir, la convecci´ on perpendicular al plano del elemento) as´ı como el ´area de los bordes del elemento localizados en una frontera l´ımite libre que sea parte de la superficie perimetral externa de todo el cuerpo. Ejemplo 7.7. Determine la rapidez de flujo de calor convectivo total para el elemento 3 del Ejemplo 7.5. > Soluci´ on Primero notamos que, para el elemento 3, la relaci´on de correspondencia local–a–global para las temperaturas nodales es (3) T2(3) T3(3) T4(3) = T5 T8 T9 T6 T1 Segundo, el elemento 3 est´ a sujeto a convecci´on en ambas superficies laterales, as´ı como tambi´en en los dos bordes definidos por los nodos 8–9 y 6–9. Por consiguiente, se requieren tres integraciones como sigue: ZZ ZZ H˙ (e) = 2 h( [ N ]{T } − Ta )dA(e) + h( [ N ]{T } − Ta )dA8−9 h
A8−9
A(e)
ZZ +
h( [ N ]{T } − Ta )dA6−9
A6−9 (e)
donde A es el ´ area del elemento en el plano x–y, y el multiplicador (2) en el primer t´ermino integral aparece porque se toma en cuenta ambas superficies laterales. Transformando la primera integral hacia coordenadas normalizadas, resulta en Z1 Z1
Z1 Z1 ( [ N ]{T } − Ta )dr ds = 2hab
I1 = 2hab −1 −1
2hA = 4
−1 −1
Z1 Z1 [ N ] dr ds {T } − 2hATa −1 −1
Z1 Z1 [ N ] dr ds {T } − 2habTa −1 −1
dr ds
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
232
Por consiguiente, necesitamos integrar las funciones de interpolaci´on s´olo sobre el ´area del elemento, ya que todos los otros t´erminos son constantes conocidas. Por ejemplo, Z1 Z1
Z1 Z1 N1 dr ds =
−1 −1
1 4 (1
−1 −1
1 1 (1 − s)2 1 (1 − r)2 − r)(1 − s)dr ds = =1 4 2 2 −1 −1
Un resultado id´entico se obtiene cuando las otras tres funciones de interpolaci´on se integran. La integral correspondiente a la convecci´ on desde las superficies laterales del elemento tiene como resultado final entonces (3) T1 + T2(3) + T3(3) + T4(3) I1 = 2hA − Ta 4 El primer t´ermino dentro los par´entesis es el promedio de las temperaturas nodales, y esto es un resultado general para el elemento rectangular. Sustituyendo los valores num´ericos 2(50)(1)2 111,982 + 90,966 + 89,041 + 106,507 − 68 = 21,96 Btu/hr I1 = 144 4 Luego, consideramos los t´erminos de convecci´on a trav´es de la superficie perimetral del elemento. A lo largo de la superficie l´ımite que conecta los nodos 8–9, ZZ I2 = h([ N ]{T } − Ta )dA8−9 A8−9
y, puesto que r = 1 a lo largo de este borde, dA8−9 = t b ds, y la integral llega a ser Z1 ([ Nr=1 ]{T } − Ta ) ds
I2 = h t b −1
Z1 = htb
1 4
0
Z1
1 − s 1 + s 0 ds {T } − h t b Ta
−1
ds
−1
= h(2 t b) 0 21 12 0 {T } − h(2 t b)Ta (3) T2 + T3(3) = h Aarista − Ta 2 De nuevo, observamos que aparece la temperatura media de los nodos asociados con el ´area del borde que en este caso consideramos. Declarado de otra manera, el ´area de convecci´on se asigna igualmente a los dos nodos, y ´este es otro resultado general para el elemento rectangular. Insertando los valores num´ericos, 50(0,5)(1) 90,966 + 89,041 − 68 = 3,82 Btu/hr I2 = 144 2 Por analog´ıa, la convecci´ on de borde a lo largo de la arista 6–9 es (3) T3 + T4(3) 50(0,5)(1) 89,041 + 106,507 I3 = h Aarista − Ta = − 68 = 5,17 Btu/hr 2 144 2 La tasa de flujo de calor convectivo para el elemento 3, es entonces finalmente H˙ h(3) = I1 + I2 + I3 = 21,96 + 3,82 + 5,17 = 30,95 Btu/hr
>
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
7.4.5.
233
Generaci´ on interna de calor
A este punto en la discusi´ on actual de transferencia de calor, s´olo han sido considerados ejemplos que no tienen ninguna generaci´ on de calor interior (Q = 0). Tambi´en, para la transferencia de calor bi– dimensional, consideramos s´ olo cuerpos delgados como las aletas. Ciertamente ´estos no son los u ´nicos casos de inter´es. Considere la situaci´on de un cuerpo de ´area de secci´on transversal constante que tiene la longitud mucho m´ as grande que las dimensiones transversales particulares, como mostramos en la Figura 7.13(a) (usamos una secci´on transversal rectangular s´olo por conveniencia). Adem´as, una fuente de calor interior es incrustada en su interior, la cual se extiende paralela a la longitud del cuerpo prism´ atico recto. Los ejemplos pr´acticos incluyen la tabladura de una loza plana que contiene una tuber´ıa de agua caliente o vapor para calentar un ambiente; y una acera, o la v´ıa de un puente que tienen cables calor´ıficos empotrados para prevenir la acumulaci´on de hielo. La fuente de generaci´on de calor interior en esta situaci´ on es conocida como una fuente lineal. y
x
y
z
x
Fuente de calor
(a) Disposici´ on geom´ etrica
(b) Representaci´ on 2–D
Figura 7.13: Cuerpo largo, delgado, con fuente de calor interior. Excepto muy cerca de los extremos de dicho cuerpo, los efectos de transmisi´on de calor en la direcci´on z pueden despreciarse y la situaci´on en tal caso puede ser tratada como un problema bi– dimensional, como se muestra en la Figura 7.13(b). Asumiendo que las dimensiones transversales de la tuber´ıa o cable de calor son peque˜ nas en comparaci´on a la secci´on transversal del cuerpo, la fuente se trata como si actuara en un solo punto en la secci´on transversal. Si modelamos el problema mediante aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito, c´omo consideramos la fuente cal´orica en la formulaci´on ?. Por la primera de las Ecuaciones (7.30), el vector de fuerza nodal que corresponde a la generaci´on de calor interior es, ZZ ZZ {fQ(e) } = Q[ N ]T t dA = Q{N } t dA (7.44) A
A
donde como antes t es el espesor del elemento. En este tipo de problema, es costumbre tomar el valor de t como la unidad, para que todos los c´alculos est´en determinados por unidad de longitud. De acuerdo con esta convenci´ on, la intensidad de la fuente cal´orica se denota por Q∗ , teniendo t´ıpicamente ´este par´ametro unidades expresadas como Btu/(hr-pie2 ) ´o W/m2 . La Ecuaci´on (7.44) se convierte entonces en ZZ ZZ (e) ∗ T {fQ } = Q [ N ] dA = Q∗ {N } dA (7.45) A
A
La pregunta es ahora matem´ atica: C´omo hacemos para integrar una funci´on aplicable a un solo punto en un dominio bi–dimensional ?. Matem´aticamente, la operaci´on es bastante simple si se introduce el concepto del delta de Dirac o funci´ on de impulso unitario. Nosotros escogemos no tomar
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
234
estrictamente el desarrollo matem´ atico; sin embargo, en el inter´es de lograr una respuesta a la interrogante planteada, usamos una concepci´ on basada en la l´ogica y toda la informaci´on anterior presentada sobre las funciones de interpolaci´ on. 3
Q*
P(x0 , y0)
2
1
Figura 7.14: Fuente cal´orica concentrada S´olo por prop´ ositos ilustrativos, asumamos que la fuente de calor est´a localizada en un punto conocido P = (x0 , y0 ) en el interior de un elemento triangular de tres–nodos, como se muestra en la Figura 7.14. Si conocemos la temperatura en cada uno los tres nodos del elemento, entonces la temperatura en el punto P es una combinaci´on ponderada de las temperaturas nodales. Hacia este punto en el texto, el lector es bien consciente que los factores de ponderaci´on son las funciones de interpolaci´on asociadas al elemento. Si se interpolan los valores nodales en un punto espec´ıfico, un valor en dicho punto debe asignarse propiamente a los nodos v´ıa las mismas funciones de interpolaci´on evaluadas en el punto. Usando esta premisa, las “fuerzas” nodales para el elemento triangular resultan (asumiendo el valor Q∗ constante) ZZ Z Z N1 (x0 , y0 ) N2 (x0 , y0 ) dA (7.46) {fQ(e) } = Q∗ [ N (x0 , y0 ) ]T dA = Q∗ N (x , y ) 3 0 0 A A Para un elemento triangular de tres–nodos v´ertice, las funciones de interpolaci´on (por el Cap´ıtulo 6) son simplemente las coordenadas de ´ area, por lo que tenemos ahora Z Z L1 (x0 , y0 ) L1 (x0 , y0 ) L2 (x0 , y0 ) dA = Q∗ A L2 (x0 , y0 ) {fQ(e) } = Q∗ (7.47) L (x , y ) L (x , y ) 3 0 0 3 0 0 A Ahora consideremos la “conducta” de las coordenadas de ´area cuando la posici´on del punto interior P var´ıa en el elemento. Como P se acerque al nodo 1, por ejemplo, la coordenada de ´area L1 se acerca al valor unidad. Claramente, si la fuente cal´orica se localiza en el nodo 1, el valor entero de la intensidad de la fuente debe asignarse a ese nodo. Un argumento similar puede hacerse para cada uno de los otros nodos. Otro punto muy importante para observar aqu´ı es que los montos de la generaci´on de calor total como es asignado a los nodos por la Ecuaci´on (7.47) es equivalente a la magnitud de la intensidad de la fuente. Si nosotros sumamos las contribuciones nodales individuales dadas por la Ecuaci´on (7.47), obtenemos 3 3 X X Q∗i (e) = (L(e) + L(e) + L3(e) )Q∗ A = Q∗ A 1 2 i=1 3 P
(e)
i=1
ya que: Li = 1, es una relaci´ on que por definici´on debe cumplirse para las coordenadas de ´area. i=1 El an´alisis anterior que usa la l´ ogica y nuestro conocimiento de las funciones de interpolaci´on, evidentemente no posee rigor matem´ atico formal. Si nos acercamos a la situaci´on de una fuente cal´orica lineal matem´aticamente, el resultado ser´ a exactamente igual que el que obtuvimos por la Ecuaci´on (7.47)
7.5. TRANSFERENCIA DE CALOR CON TRANSPORTE DE MASA
235
para el elemento triangular. Para cualquier elemento escogido, el vector “fuerza” correspondiente a una fuente cal´ orica de tipo lineal (tenga presente que, en dos–dimensiones esto aparece como una fuente puntual) tendr´ a contribuciones nodales que son establecidas por ZZ {N (x0 , y0 )} dA = Q∗ A{N (x0 , y0 )} {fQ(e) } = Q∗ (7.48) A
As´ı, una fuente de generaci´ on de calor interior es r´apidamente asignada a los nodos de un elemento finito mediante las funciones de interpolaci´on evaluadas en el punto de ubicaci´on de dicha fuente, del elemento espec´ıfico aplicado en el an´alisis.
7.5.
Transferencia de calor con transporte de masa
Las formulaciones y ejemplos de elemento finito presentados previamente trataron con los medios s´olidos en los que el calor fluye como resultado de la conducci´on y la convecci´on. Una complicaci´on adicional aparece cuando el medio de inter´es es un fluido en movimiento. En tal caso, el calor fluye por conducci´ on, convecci´ on, y el movimiento del medio material. El u ´ltimo efecto, llamado transporte de masa, es considerado aqu´ı para el caso uni-dimensional. qent = q
x
Convección
qh
+q
m
qsal
qx+qm
Q, U dx
(a) Esquema de planteamiento
qx + dqx dx dx dqm dx + qm + dx
(b) Balance de energ´ıa
Figura 7.15: Conducci´ on, convecci´on y transporte de masa uni–dimensional. La Figura 7.15(a) es esencialmente la Figura 7.2(a) con una diferencia f´ısica mayor. El volumen mostrado en la Figura 7.15(a) representa un flujo fluido (como en una tuber´ıa, por ejemplo) y el calor se transporta como resultado del flujo. El flujo de calor asociado con el transporte de masa es denotado como qm , como es indicado en la figura. El t´ermino de flujo cal´orico adicional proveniente del transporte de masa est´ a dado por qm = m ˙ cT (7.49) el cual se lo mide en Watt (W) ´ o Btu/hr; y donde m ˙ es el flujo m´asico (kg/hr ´o slug/hr), c es el calor espec´ıfico del fluido (W-hr/kg-◦ C) ´ o Btu/(slug-◦ F), y T (x) es la temperatura del fluido (◦ C ´o ◦ F). Un volumen de control de longitud dx se muestra en la Figura 7.15(b), donde los t´erminos de flujo han sido expresados como dos t´erminos de la expansi´on en serie de Taylor, como en deducciones anteriores. Aplicando el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, en analog´ıa con la Ecuaci´on (7.1), dqx qx A dt + qm dt + Q A dx dt =∆U + qx + dx A dt dx dqm + qm + dx dt + qh P dx dt dx Considerando condiciones de estado estacionario, ∆U = 0, usando las Ecuaciones (5.45) y (7.2), reemplazando y simplificando obtenemos d dT dqm hP kx +q = + (T − Ta ) dx dx dx A
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
236
donde todos los t´erminos y´ a fueron definidos previamente. Sustituyendo qm desde la Ecuaci´on (7.49), obtenemos d dT d mc ˙ hP kx +q = T + (T − Ta ) dx dx dx A A la cual, para propiedades materiales constantes y flujo m´asico constante (estado estacionario) se convierte en mc ˙ dT d2 T hP kx 2 + Q = + (T − Ta ) (7.50) dx A dx A Con la excepci´ on del t´ermino de transporte de masa, la Ecuaci´on (7.50) es id´entica a la Ecuaci´on (7.4). Por consiguiente, si nosotros aplicamos el m´etodo de elemento finito de Galerkin, el procedimiento y los resultados son id´enticos a aqu´ellos de la Secci´on 7.3, excepto por t´erminos adicionales en la matriz de rigidez que provienen del transporte de masa. En lugar de repetir la deducci´on de t´erminos conocidos, desarrollaremos s´ olo los t´erminos adicionales. Si la Ecuaci´on (7.50) es substituida en las ecuaciones residuales para el elemento lineal de dos–nodos, seg´ un la Ecuaci´on (7.6), los t´erminos adicionales son Zx2 dT Ni dx i = 1, 2 (7.51) m ˙ c dx x1
Si substituimos la expresi´ on para el campo de temperaturas como indica la Ecuaci´on (7.5), la relaci´on anterior se convierte a Zx2 dN1 dN2 m ˙ c T1 + T2 Ni dx i = 1, 2 dx dx x1
Por consiguiente, la matriz de rigidez adicional que es resultado del transporte de masa es dN Zx2 N1 1 dx [ km˙ ] = m ˙ c dN1 N2 x1 dx
dN2 dx dx dN2 N2 dx N1
(7.52)
Ejemplo 7.8. Evaluar expl´ıcitamente la matriz de rigidez asociada al transporte de masa para un elemento lineal con dos–nodos en sus extremos, descrita por la Ecuaci´on (7.52). > Soluci´ on Las funciones de interpolaci´ on en este caso son N1 = 1 −
x L
N2 =
x L
de donde, las derivadas requeridas resultan dN1 1 =− dx L
dN2 1 = dx L
Utilizando el cambio de variable s = x/L, la Ecuaci´on (7.52) se transforma en m ˙ c [ km˙ ] = L
Z1 (s − 1) −s 0
" −1 (1 − s) 2 L ds = m ˙ c −1 s 2
1 2 1 2
# =
m ˙ c −1 2 −1
1 1
Por el resultado obtenido, notamos que la matriz no es sim´etrica como talvez se esperaba.
>
7.5. TRANSFERENCIA DE CALOR CON TRANSPORTE DE MASA
237
Usando el resultado del Ejemplo 7.8, la matriz de rigidez para un elemento uni–dimensional de transmisi´ on de calor con conducci´ on, convecci´on, y transporte de masa est´a dada por (e) kx A 1 −1 hP L 2 1 m ˙ c −1 1 k = + + 1 2 L −1 1 6 2 −1 1 (7.53) (e) (e) (e) = [ kc ] + [ kh ] + [ km˙ ] donde los t´erminos de conducci´ on y convecci´on son id´enticos a aqu´ellos obtenidos en la Ecuaci´on (7.13). Note usted que las funciones impelentes y las condiciones de borde para el problema uni–dimensional con transporte de masa son las mismas que aquellas dadas en la Secci´on 7.3, por las Ecuaciones (7.14) hasta (7.17). Ejemplo 7.9. La Figura 7.16(a) muestra un tubo de pared delgada que es parte de un refrigerador de aceite. El aceite del artefacto entra al tubo por su extremo izquierdo a una temperatura de 50◦ C con una tasa de flujo de 0,2 kg/min. El tubo est´ a rodeado por aire que fluye a una temperatura constante de 15◦ C. Las propiedades t´ermicas del aceite son como sigue: ◦
Conductividad t´ermica: kx = 0,156 W/(m- C) ◦ Calor espec´ıfico: c = 0,523 W-hr/(kg- C) El coeficiente de convecci´ on entre la superficie externa del tubo y el aire circundante es h = 300 W/(m2 -◦ C). El espesor de pared del tubo es tal que los efectos de conducci´on son despreciables; es decir, la temperatura de la pared es constante a trav´es de su espesor y es la misma que la temperatura del aceite en o con la pared en cualquier posici´on a lo largo de la longitud del tubo. Usando cuatro elementos finitos de dos–nodos, obtenga una soluci´on aproximada para la distribuci´on de la temperatura a lo largo de la longitud del tubo y determine la cantidad de calor removida mediante el proceso de convecci´ on. Aire, 15° C T = 50° C
20 mm
• m
• m 1
100 cm
(a) Esquema de planteamiento y datos
3
2 1
2
4 3
5 4
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 7.16: Tubo refrigerante de aceite para el Ejemplo 7.9 > Soluci´ on El modelo de elemento finito se muestra esquem´aticamente en la Figura 7.16(b), usando elementos de igual longitud L = 25 cm = 0,025 m. El ´area de secci´on transversal es A = (π/4)(20/1000)2 = 3,14(10−4 ) m2 . Y la dimensi´ on perif´erica (la circunferencia) de cada elemento es P = (20/1000) = 6,28(10−2 ) m. La matriz de rigidez para cada elemento (note que todos los elementos son id´enticos) se calcula mediante la Ecuaci´ on (7.53) como sigue: kx A 1 −1 0,156(3,14)(10−4 ) 1 −1 1,9594 −1,9594 (e) [ kc ] = = = (10−3 ) −1 1 −1,9594 1,9594 L −1 1 0,025 [ kh(e) ] =
hP L 2 1 6
300(6,28)(10−2 )(0,025) 2 1 = 2 1 6
1 0,157 = 2 0,0785
0,0785 0,157
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
238
(e)
[ km˙
m ˙ c −1 ]= 2 −1
(0,2)(60)(0,523) −1 1 = 1 −1 2
(e) [ k (e) ] = [ kc(e) ] + [ kh(e) ] + [ km ˙ ]=
1 −3,138 3,138 = 1 −3,138 3,138
−2,9810 3,2165 −3,0595 3,2950
En este punto, debemos notar que los efectos de transporte de masa dominan la matriz de rigidez y nosotros anticipamos que el calor disipado es muy peque˜ no, ya que la mayor´ıa del calor se lleva lejos con el flujo. Tambi´en observe que, debido a las magnitudes relativas de los datos, los efectos de la conducci´on han sido despreciados. Ensamblando la matriz de rigidez global mediante el procedimiento familiar, obtenemos −2,9810 3,2165 0 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 [K ] = 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 0 −3,0595 3,2950 La funci´on impelente de convecci´ on (disipaci´on de calor al medio circundante) para cada elemento por la Ecuaci´ on (7.16), es (e)
{fh
h P Ta L }= 2
300(6,28)(10−2 )(15)(0,025) 1 1 3,5325 = = 1 1 3,5325 2
Como no existe ninguna generaci´ on de calor interior, la contribuci´on por elemento de la Ecuaci´on (7.14) es cero. Finalmente, debemos examinar las condiciones de borde. En el nodo 1, la temperatura est´a especificada, pero el flujo de calor q1 = F1 es desconocido; en el nodo 5 (la salida), el flujo cal´orico tambi´en es desconocido. Al contrario de los ejemplos anteriores donde una condici´on de borde de convecci´ on exist´ıa; aqu´ı, asumimos que el calor removido en el nodo 5 es estrictamente un resultado del transporte de masa. F´ısicamente, esto significa que definimos el problema de modo que la transferencia de calor termine en el nodo 5 y el calor remanente en el flujo en este nodo (la salida) se retira mediante alg´ un otro proceso. Por consiguiente, no consideramos una condici´on de borde de conducci´on o convecci´ on en el nodo 5. En cambio, entonces calculamos la temperatura en el nodo 5 luego que el calor se ha removido en este nodo mediante la relaci´on de transporte de masa. En t´erminos del modelo de elemento finito, esto significa que no consideramos el flujo de calor a trav´es del nodo 5 como una inc´ ognita (fuerza de reacci´ on). Con esta explicaci´on en mente, ensamblamos el vector de fuerza global desde los vectores de fuerza de elemento para obtener 3,5325 + F1 7,065 7,065 {F } = 7,065 3,5325 Las ecuaciones del sistema ensambladas, representadas por la ecuaci´on matricial condensada gobernante del fen´ omeno de transmi´ on de calor, [ K ]{T } = {F }, resultan ser entonces −2,9801 3,2165 0 0 0 T1 3,5325 + F1 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 T2 7,065 T3 = 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 7,065 T4 7,065 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 0 −3,0595 3,2950 T5 3,5325
´ DE CALOR TRI–DIMENSIONAL 7.6. TRANSMISION
239
Aplicando la condici´ on de borde de temperatura conocida en el nodo 1, T1 = 50◦ C, el sistema de ecuaciones reducido resulta ser 0,314 3,2165 0 0 T2 160,04 −3,0595 0,314 3,2165 0 T3 = 7,065 0 −3,0595 0,314 3,2165 T4 7,065 0 0 −3,0595 3,2950 T5 3,5325 que d´a la siguiente soluci´ on para las temperaturas nodales T2 47,448 T3 45,124 ◦ = C T4 42,923 T5 40,928 Como se ha visto que los efectos de conducci´on son despreciables, el flujo cal´orico a la entrada se calcula como qent = qm˙ 1 = m ˙ c T1 = 0,2(60)(0,523)(50) = 3138 W mientras, que en el nodo 5, el flujo cal´orico a la salida se eval´ ua como qsal = qm˙ 5 = m ˙ c T5 = 0,2(60)(0,523)(40,928) = 2568,6 W Los resultados muestran que s´ olo aproximadamente el 18 por ciento de calor de entrada es removido, por lo que el tubo refrigerante no es muy eficiente. >
7.6.
Transmisi´ on de calor tri–dimensional
Como el procedimiento general para el an´alisis del fen´omeno de intercambio de calor se ha establecido previamente, la ecuaci´ on gobernante para la transferencia de calor en tres dimensiones no se deduce en detalle aqu´ı. En cambio, simplemente presentamos la ecuaci´on gobernante en estado–estacionario como ∂ ∂ ∂T ∂T ∂T ∂ kx + ky + kz +Q=0 (7.54) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z y, notamos que solamente inclu´ımos los efectos de conducci´on y la presencia de una fuente cal´orica interna. En el caso tri–dimensional, los efectos de convecci´on se tratan m´as eficazmente como condiciones de borde l´ımite, como se discute m´ as adelante. El dominio para el cual la Ecuaci´on (7.54) se aplica, est´a representada por una malla de elementos finitos en la que la distribuci´ on de temperatura es discretizada como T (x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z)Ti = [ N ]{T }
(7.55)
i=1
donde M es el n´ umero de nodos por elemento. La aplicaci´on del m´etodo de Galerkin a la ecuaci´on (7.54) proporciona M ecuaciones residuales: ZZZ ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T kx + ky + kz + Q Ni dV = 0 i = 1, . . . , M (7.56) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V
donde, como es usual, V es el volumen del elemento.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
240
De una manera an´ aloga a la presentada en la Secci´on 7.4 para el caso bi–dimensional, los t´erminos derivados pueden escribirse como ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂Ni kx Ni = kx Ni − kx ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂Ni ky Ni = ky Ni − ky (7.57) ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂Ni kz Ni = kz Ni − kz ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z y las ecuaciones residuales llegan a ser ZZZ ZZZ ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T kx Ni + ky Ni + kz Ni dV + Q Ni dV ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V V ZZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni = kx + ky + kz dV i = 1, . . . , M ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(7.58)
V
La integral en el lado izquierdo de la Ecuaci´on (7.58) contiene una diferencial exacta en el dominio tri–dimensional especificado, y puede reemplazarse por una integral sobre la superficie l´ımite de dicho volumen usando el teorema de Green en tres dimensiones: Si F (x, y, z), G(x, y, z), y H(x, y, z) son funciones cont´ınuas definidas en una regi´on del espacio xyz (el volumen del elemento en nuestro contexto), entonces ZZZ ZZ ∂F ∂G ∂H + + dV = (F nx + G ny + H nz ) dA (7.59) ∂x ∂y ∂z V
A
donde A es el ´ area de la superficie cerrada limitante del volumen V considerado, y nx ny nz son las componentes Cartesianas del vector normal unitario saliente asociado con el ´area diferencial perteneciente a la superficie cerrada. Este teorema es la contraparte tri–dimensional de la integraci´on por partes discutida previamente en este cap´ıtulo. Invocando la ley de Fourier y comparando la Ecuaci´on (7.59) con el primer t´ermino de la Ecuaci´on (7.58), tenemos ZZ ZZZ − (qx nx + qy ny + qz nz )Ni dA + Q Ni dV A
V
ZZZ =
∂T ∂Ni ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni kx + ky + kz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(7.60)
dV
i = 1, . . . , M
V
Insertando la forma matricial de la Ecuaci´ on (7.55) y reordenando, obtenemos ZZZ ∂[ N ] ∂Ni ∂[ N ] ∂Ni ∂[ N ] ∂Ni kx + ky + kz {T }dV ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V ZZZ ZZ = Q Ni dV − (qx nx + qy ny + qz nz )Ni dA i = 1, . . . , M V
(7.61)
A
La Ecuaci´ on (7.61) representa un sistema de M ecuaciones algebr´aicas en las M temperaturas nodales {T } desconocidas. Con la excepci´on que los efectos de convecci´on no son incluidos aqu´ı, la
´ DE CALOR TRI–DIMENSIONAL 7.6. TRANSMISION
241
Ecuaci´ on (7.61) es an´ aloga al caso bi–dimensional representado por la Ecuaci´on (7.26). En notaci´on matricial, el sistema de ecuaciones para la formulaci´on tri–dimensional es ZZZ ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] kx + ky + kz dV {T } ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V ZZZ ZZ (7.62) T T = Q [ N ] dV − (qx nx + qy ny + qz nz )[ N ] dA V
A
y, ´esta ecuaci´ on est´ a en la forma deseada [ k (e) ]{T (e) } = {fQ(e) } + {fq(e) }
(7.62a)
Comparando las u ´ltimas dos ecuaciones, podemos ver que la matriz de conductancia (rigidez) de elemento resulta ser ZZZ ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + ky + kz dV (7.63) [ k (e) ] = kx ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V
el vector impelente cal´ orico que representa la generaci´on de calor interno vemos que es ZZZ {fQ(e) } = Q [ N ]T dV
(7.64)
V
y el vector impelente nodal asociado con el flujo de calor a trav´es de la superficie limitante del elemento evidentemente resulta ser ZZ {fq(e) } = − (qx nx + qy ny + qz nz )[ N ]T dA (7.65) A
Estas u ´ltimas tres ecuaciones son v´alidas para cualquier tipo de elemento tri–dimensional que sea utilizado en el modelo de elemento finito que sea postulado para obtener una soluci´on aproximada al problema de transferencia de calor en un dominio tri–dimensional (espacial).
7.6.1.
Ensamble del sistema y condiciones de borde
El procedimiento para ensamblar las ecuaciones globales para un modelo tri–dimensional en el an´alisis de transferencia de calor es id´entico al de los problemas uni y bi–dimensionales. Se selecciona el tipo de elemento (tetrah´edrico, ladrillo, s´olido cuadril´atero, por ejemplo) basado en las consideraciones geom´etricas, principalmente. El volumen es entonces dividido en una malla de elementos definiendo primero los nodos (en el sistema coordenado global) a lo largo del volumen, entonces cada elemento por la sucesi´ on y el n´ umero de nodos requeridos para cada tipo del elemento. Las relaciones de correspondencia nodal de sistema coordenado local–hacia–global son entonces determinadas para cada elemento, y la matriz de rigidez (conductancia) global se ensambla. Similarmente, el vector de fuerza (impulsi´on cal´orica) global se ensambla agregando las contribuciones del elemento a los nodos comunes de dos o m´as elementos interconectados. El u ´ltimo procedimiento es directo en el caso de generaci´on de calor interior, como se expresa por la Ecuaci´on (7.64). Sin embargo, en el caso de los t´erminos gradiente de elemento, expresados por la Ecuaci´on (7.65), el procedimiento se describe mejor en t´erminos de las condiciones de borde globales. En el caso de transferencia de calor tri–dimensional, tenemos los mismos tres tipos de condiciones del borde l´ımite como en dos dimensiones: (1) temperaturas especificadas, (2) flujo de calor especificado, y (3) condiciones de convecci´ on. El primer caso, de temperaturas predeterminadas, se tiene en
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
242 y
z
1
qx
2
qx 2
x (a) Dos elementos tri–dimensionales conectados
›
›
1 n1 = (1, 0, 0) n2 = (–1, 0, 0)
x
(b) Vista lateral de la cara com´ un
Figura 7.17: Cancelaci´ on de t´erminos gradiente en conducci´on de calor.
cuenta de la manera usual; reduciendo el sistema de ecuaciones simplemente sustituyendo las temperaturas nodales conocidas en el sistema de ecuaciones gobernantes del fen´omeno. Los u ´ltimos dos casos involucran s´ olo elementos que tienen superficies (caras del elemento) pertenecientes a la superficie exterior l´ımite del volumen global. Para ilustrar esto, la Figura 7.17(a) muestra dos elementos del tipo ladrillo que comparten una cara com´ un en un modelo de elemento finito y´a ensamblado. Por conveniencia, tomamos la cara com´ un de modo que sea perpendicular al eje x. En la Figura 7.17(b), los dos elementos se muestran separadamente con las componentes del vector normal unitario identificado con la cara compartida. Para transmisi´ on de calor de estado–estacionario, el flujo de calor a trav´es de la cara en an´alisis es el mismo para cada elemento y, puesto que los vectores unitarios normales est´an opuestos en sentido, los t´erminos de gradiente de fuerza se cancelan al superponerse. El resultado es completamente an´ alogo al de las fuerzas internas en un problema estructural, por la tercera ley de Newton, o principio de acci´ on–reacci´ on. Por consiguiente, en los l´ımites de inter–elemento (que son ´areas para los elementos tri–dimensionales), los t´erminos de impulsi´on cal´orica de elemento definidos por la Ecuaci´ on (7.65) producen suma de valor cero en el proceso de ensamblaje global. Cu´al de las ´ areas de superficie de elemento que son parte del ´area de la superficie limitante del volumen bajo estudio deben modelarse del modo discutido previamente ?. Generalmente, estas ´areas externas est´an sujetas a condiciones de convecci´on. Para dichas condiciones de borde convectivas, las condiciones de flujo de la Ecuaci´ on (7.65) deben estar en equilibrio con la convecci´on desde el ´area de inter´es. Matem´ aticamente, la condici´ on se expresa como ZZ ZZ (e) T {fq } = − (qx nx + qy ny + qz nz )[ N ] dA = − qn n ˆ [ N ]T dA A
ZZ = − h(T (e) − Ta )[ N ]T dA
A
(7.66)
A
donde qn es el flujo normal al ´ area de la superficie A de una cara espec´ıfica del elemento sobre el borde l´ımite global y n ˆ es el vector normal unitario exterior a esa cara. Como en el an´alisis bi–dimensional, el t´ermino de convecci´ on en la integral u ´ltima de la Ecuaci´on (7.66) se agrega a la matriz de rigidez cuando se sustituye la expresi´ on para T (e) en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y las temperaturas nodales. Similarmente, los t´erminos de temperatura ambiente se agregan al vector de la funci´on cal´orica impelente. En la mayor´ıa de los paquetes comerciales de software de elemento finito, los elementos tri– dimensionales de transmisi´ on de calor disponibles no consideran el vector gradiente de fuerza representado por la Ecuaci´ on (7.66). En lugar de ello, tales programas calculan la matriz de rigidez (global) del sistema s´olo en base a la conductancia, y dejan al que especifique el flujo o las condiciones
´ DE CALOR CON SIMETR´IA AXIAL 7.7. TRANSMISION
243
de borde convectivas (y las condiciones de temperatura especificada, por supuesto) como parte de los datos de carga (entrada). Debido al volumen algebr´ aico de c´alculo requirido, no se presentan aqu´ı ejemplos de transferencia de calor tri–dimensional general. Algunos problemas tri–dimensionales son incluidos en los ejercicios de fin–de–cap´ıtulo, y se piensa que los mismos deben ser resueltos por t´ecnicas de alg´ un programa espec´ıfico de computadora digital que trate modelos de elemento finito en transferencia de calor en un ´ambito espacial.
7.7.
Transmisi´ on de calor con simetr´ıa axial
El Cap´ıtulo 6 ilustr´ o el m´etodo para utilizar elementos bi–dimensionales y funciones de interpolaci´on asociadas para los problemas de simetr´ıa axial (problemas en realidad espaciales). Aqu´ı, desarrollamos la formulaci´ on de elemento finito para resolver problemas de transmisi´on de calor con simetr´ıa axial. En la Figura 7.18 se muestra un cuerpo de revoluci´on sujeto a una entrada de calor en su base, y se asume que la entrada de calor es sim´etrica alrededor del eje de revoluci´on. Piense en la situaci´on
z r
qz
Figura 7.18: Un caso de transmisi´on de calor con simetra axial como un reservorio cil´ındrico calentado por una fuente cal´orica, como una llama de gas. Por ejemplo, esta situaci´ on podr´ıa representar un crisol peque˜ no para fundir metales antes de ser conformados por vaciado posterior en un molde apropiado. Cuando un problema con simetr´ıa axial es tridimensional, la relaci´on b´asica gobernante que describe el fen´ omeno de transmisi´ on de calor es la Ecuaci´on (7.54), reiterada aqu´ı bajo la hip´otesis de homogeneidad de las propiedades cal´oricas del cuerpo, que en este caso significa que: kx = ky = kz = k, y por ello tendremos: 2 ∂ T ∂2T ∂2T k + + +Q=0 (7.67) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 La Ecuaci´ on (7.67) es aplicable s´ olo a conducci´on de estado–estacionario y est´a expresada en coordenadas rectangulares. Para los problemas con simetr´ıa axial, el uso de un sistema coordenado cil´ındrico (r, θ, z) es mucho m´ as apropiado para formular el problema. Para convertir la ecuaci´on hacia coordenadas cil´ındricas, las derivadas parciales con respecto a x y y en la Ecuaci´on (7.67) deben ser convertidas matem´ aticamente en las correspondientes derivadas parciales con respecto a la coordenada radial r y la coordenada tangencial (circunferencial) θ. En el tratamiento siguiente, presentamos el desarrollo general, pero dejamos los detalles de deducci´on como un ejercicio de fin–de–cap´ıtulo. Las relaciones b´ asicas de transformaci´on entre las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas cil´ındricas — polares — (r, θ) son x = r cos θ (7.68) y = r sin θ
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
244
e inversamente, r2 = x2 + y 2 y tan θ = x Por la regla de la cadena de diferenciaci´on tenemos ∂T ∂r ∂T ∂T = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂T ∂T ∂r ∂T = + ∂y ∂r ∂y ∂θ
(7.69)
∂θ ∂x ∂θ ∂y
(7.70)
Por diferenciaci´ on impl´ıcita de la Ecuaci´ on (7.69), 2r
∂r = 2x ∂x
⇒
∂r x = = cos θ ∂x r
2r
∂r = 2y ∂y
⇒
∂r y = = sin θ ∂y r
1 ∂θ y =− 2 sec2 θ ∂x x
⇒
sin θ ∂θ =− ∂x r
1 ∂θ 1 = 2 sec θ ∂y x
⇒
∂θ cos θ = ∂y r
de modo que las Ecuaciones (7.70) llegan a ser ∂T ∂T sin θ = cos θ − ∂x ∂r r ∂T cos θ ∂T = sin θ + ∂y ∂r r
∂T ∂θ ∂T ∂θ
Para las segundas derivadas parciales, entonces tendremos ∂ ∂T ∂2T ∂ ∂T sin θ ∂ ∂T = = cos θ − ∂x2 ∂x ∂x ∂r ∂x r ∂θ ∂x 2 ∂ T ∂ ∂T ∂ ∂T cos θ ∂ ∂T = = sin θ + ∂y 2 ∂y ∂y ∂r ∂y r ∂θ ∂y
(7.71)
(7.72)
Aplicando las Ecuaciones (7.71) a las operaciones indicadas en las Ecuaciones (7.72) d´a como resultado (con uso apropiado de identidades trigonom´etricas) ∂2T ∂2T ∂2T 1 ∂T 1 ∂T + = + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂r2 r ∂r r ∂θ2
(7.73)
donde la derivaci´ on representa un cambio general de coordenadas. Para relacionar a un problema con simetr´ıa axial, recordemos que no hay dependencia del fen´omeno en estudio con relaci´on a la coordenada tangencial θ. Por consiguiente, cuando las Ecuaciones (7.67) y (7.73) son combinadas, la ecuaci´on gobernante para la transmisi´ on de calor con simetr´ıa axial es 2 ∂ T 1 ∂T ∂2T k + + +Q=0 (7.74) ∂r2 r ∂r ∂z 2 y, por supuesto, notamos con claridad la ausencia de la coordenada tangencial.
´ DE CALOR CON SIMETR´IA AXIAL 7.7. TRANSMISION
7.7.1.
245
Formulaci´ on de elemento finito
Por el procedimiento general, el volumen total del dominio con simetr´ıa axial es discretizado en elementos finitos. En cada elemento, la distribuci´on de temperatura es expresada en t´erminos de las temperaturas nodales y las funciones de interpolaci´on como T
(e)
=
M X
Ni (r, z)Ti(e)
(7.75)
i=1
donde, como es usual, M es el n´ umero de nodos de elemento. Note particularmente que las funciones de interpolaci´ on var´ıan con la coordenada radial r y la coordenada axial z. La aplicaci´on del m´etodo de Galerkin usando las Ecuaciones (7.74) y (7.75) proporciona las ecuaciones residuales ZZZ 2 1 ∂T ∂ T ∂2T + + Q Ni r dr dθ dz = 0 k + ∂r2 r ∂r ∂z 2
i = 1, . . . , M
(7.76)
V
Observando que, para el caso de simetr´ıa axial, el integrando es independiente de la coordenada tangencial, la Ecuaci´ on (7.76) se convierte en ZZ 2 ∂ T 1 ∂T ∂2T 2π k + + + Q Ni r dr dz = 0 ∂r2 r ∂r ∂z 2
i = 1, . . . , M
A(e)
donde A(e) es el ´ area del elemento en el plano r–z. Los primeros dos t´erminos del integrando pueden ser combinados para obtener ZZ 1 ∂ ∂T ∂2T 2π k r + + Q Ni r dr dz = 0 r ∂r ∂r ∂z 2
i = 1, . . . , M
A(e)
Observando que r es independiente de z, la u ´ltima ecuaci´on podr´ıa escribirse como ZZ ∂ ∂T ∂ ∂T 2π k r + r + Q r Ni dr dz = 0 ∂r ∂r ∂z ∂z
i = 1, . . . , M
(7.77)
A(e)
Como en previos desarrollos, invocamos la regla de la cadena de diferenciaci´on como, por ejemplo, ∂T ∂ r Ni = Ni r ∂r ∂r ∂ ∂T ∂ Ni r = r Ni ∂r ∂r ∂r ∂ ∂r
⇒
∂T ∂r
∂T ∂r
+r
∂T ∂Ni ∂r ∂r
−r
∂T ∂Ni ∂r ∂r
Notando que ´esta u ´ltima ecuaci´ on es tambi´en aplicable a la variable z, las relaciones residuales representadas por la Ecuaci´ on (7.77) pueden ser escritas como ZZ 2π A(e)
ZZ ∂T ∂ ∂T r Ni + r Ni dr dz + 2π Q Ni r dr dz ∂r ∂z ∂z A(e) ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni = 2π k + r dr dz i = 1, . . . , M ∂r ∂r ∂z ∂z
∂ k ∂r
A(e)
(7.78)
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
246
El primer integrando en el lado izquierdo de la Ecuaci´on (7.78) es una diferencial exacta en dos dimensiones, y el teorema de Green–Gauss puede ser aplicado para obtener I ZZ ∂T ∂T 2π k nr + k nz r Ni dS + 2π Q Ni r dr dz ∂r ∂z (e) (e) S A (7.79) ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni + r dr dz i = 1, . . . , M = 2π k ∂r ∂r ∂z ∂z A(e)
donde S es el borde l´ımite (periferia) del elemento, y nr , nz son las componentes radial y axial del vector normal unitario saliente asociado con el borde perif´erico. Aplicando la ley de Fourier en coodenadas cil´ındricas ∂T ∂T qz = −k (7.80) qr = −k ∂r ∂z y, notando la analog´ıa con la Ecuaci´ on (7.25), re–escribimos la Ecuaci´on (7.79) como ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni + 2πk r dr dz ∂r ∂r ∂z ∂z (e) A ZZ I (7.81) = 2π Q Ni r dr dz − 2π qs ns Ni r dS i = 1, . . . , M A(e)
S (e)
El t´ermino com´ un 2π podr´ıa omitirse, pero lo dejamos como un recordatorio de la naturaleza tridimensional de un problema con simetr´ıa axial. En particular, note que este t´ermino, en conjunci´on con r en el integrando de la u ´ltima integral en el lado derecho de la Ecuaci´on (7.81), refuerza el hecho que los l´ımites del elemento son realmente superficies de revoluci´on. Notando que la Ecuaci´ on (7.81) representa realmente a un sistema de M ecuaciones, las mismas podr´ıan ser escritas en forma matricial comp´acta como [ k (e) ]{T (e) } = {fQ(e) } + {fg(e) }
(7.82)
donde [ k (e) ] es la matriz de conductancia de elemento, que tiene coeficientes individuales definidos como ZZ ∂Ni ∂Nj ∂Ni ∂Nj kij = 2πk + r dr dz i, j = 1, . . . , M (7.83) ∂r ∂r ∂z ∂z A(e)
y {T } es la matriz columna (vector) de temperaturas nodales de elemento, por la Ecuaci´on (7.75). Las funciones impelentes cal´ oricas de elemento incluyen los t´erminos asociados con la generaci´on interna de calor, dados por ZZ (e)
{fQ(e) } = 2π
Q {N } r dr dz
(7.84)
A(e)
y las componentes de gradiente de borde (flujo cal´orico) I (e) {fg } = −2π qs ns {N } r dS
(7.85)
S (e)
Como se ha discutido para otros casos, sobre los bordes l´ımites comunes a dos elementos interconectados, los t´erminos de flujo se auto–cancelan en el procedimiento de ensamble del modelo. Por consiguiente, la Ecuaci´ on (7.85) es aplicable s´olamente a los l´ımites del elemento ubicados sobre una superficie libre. Para dichas superficies, las condiciones de borde son de uno de los tres tipos delineados antes en secciones previas: temperatura especificada, flujo de calor especificado, o condiciones de convecci´on.
´ DE CALOR CON SIMETR´IA AXIAL 7.7. TRANSMISION
247
Ejemplo 7.10. Calcule los coeficientes de la matriz de conductancia para un elemento con simetr´ıa axial basado en el elemento triangular plano de tres–nodos ubicados en sus v´ertices. > Soluci´ on El elemento y las coordenadas nodales son como se muestra en la Figura 7.19 (recuerde que el elemento es en realidad un cuerpo de revoluci´ on). De la discusi´on efectuada en el Cap´ıtulo 6, si vamos a deducir las funciones de interpolaci´ on desde los principios b´asicos, primero expresamos la variaci´on de temperatura en los puntos del elemento como T (r, z) = a0 + a1 r + a2 z = N1 (r, z)T1 + N2 (r, z)T2 + N3 (r, z)T3 aplique las condiciones nodales, y resuelva para las constantes. Reordenando los resultados en t´erminos
z 3
(r3 , z3)
2
(r2 , z2)
1 (r , z ) 1
1
r Figura 7.19: Secci´on transversal de elemento con simetr´ıa axial. de las temperaturas nodales entonces se revelan las funciones de interpolaci´on. Sin embargo, los resultados son exactamente iguales que aqu´ellos del Cap´ıtulo 6, si nosotros reemplazamos x y y simplemente con r y z; as´ı que las funciones de interpolaci´on son de la forma 1 (b1 + c1 r + d1 z) 2A(e) 1 (b2 + c2 r + d2 z) N2 (r, z) = 2A(e) 1 N3 (r, z) = (b3 + c3 r + d3 z) 2A(e) N1 (r, z) =
donde
b 1 = r 2 z3 − r 3 z2 c1 = z2 − z3 d 1 = r3 − r1
b 2 = r 3 z 1 − r 1 z3 c2 = z3 − z1 d 2 = r1 − r 3
b 3 = r 1 z2 − r 2 z1 c3 = z1 − z2 d 3 = r 2 − r1
y A(e) es el ´ area del elemento en el plano r-z. Puesto que las funciones de interpolaci´on son lineales, las derivadas parciales son constantes, de modo que la Ecuaci´on (7.83) queda como ZZ ∂Ni ∂Nj ∂Ni ∂Nj + r dr dz kij = 2πk ∂r ∂r ∂z ∂z A(e) ZZ πk = (ci cj + di dj ) r dr dz i, j = 1; 3 2(A(e) )2 A(e)
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
248
Recordando conceptos de mec´ anica elemental, vemos que la integral que aparece en la anterior ecuaci´on representa el primer momento de ´area del elemento alrededor del eje z, por lo que tendremos apelando a la definici´ on del centroide de un ´area plana ZZ r dr dz = r¯ A(e) A(e)
donde r¯ es la coordenada radial del centroide del elemento. Los coeficientes de la matriz de conductancia del elemento son entonces kij =
πk r¯ (ci cj + di dj ) 2(A(e) )2
i, j = 1; 3
de donde la simetr´ıa de la matriz de conductancia de elemento es completamente evidente.
7.8.
>
Transmisi´ on de calor transitoria
El tratamiento de an´ alisis de elemento finito de la transmisi´on de calor tiene, a este punto, la restricci´on de estar limitado a los casos de condiciones de estado estacionario (no–transitorio). Ninguna dependencia del tiempo es incluida en los an´alisis efectuados, cuando hemos asumido condiciones tales que un estado de r´egimen se alcanza, y las condiciones transientes no son de inter´es.Ciertamente, los efectos transitorios — dependientes del tiempo — son a menudo efectos bastante importantes, y dichos efectos determinan cuando se logra un estado estacionario y que tipo de estado ser´a ´este. Para ilustrar la transferencia de calor dependiente del tiempo en el contexto de an´alisis de elemento finito, discutimos aqu´ı el caso uni–dimensional. El caso de conducci´on uni–dimensional sin convecci´on se detalla en el Cap´ıtulo 5. La ecuaci´ on gobernante, por la consideraci´on de balance de energ´ıa en un volumen de control, Ecuaci´ on (5.48), es ∂T qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx + dx A dt (7.86) ∂x donde la distribuci´ on de temperatura T (x, t) es asumida ahora que es dependiente de ambas variables: la posici´on y el tiempo. M´ as a´ un, el cambio en la energ´ıa interna U no es cero. M´as bien, el incremento en la energ´ıa interna durante un intervalo de tiempo peque˜ no se describe por la Ecuaci´on (5.50), y la ecuaci´on diferencial que gobierna la distribuci´on de temperatura, Ecuaci´on (5.51), es ahora kx
∂T ∂2T + Q = cρ ∂x2 ∂t
(7.87)
donde c es el calor espec´ıfico del material y ρ su densidad; mientras que t denota a la variable tiempo. Para la conducci´ on dependiente del tiempo, la ecuaci´on gobernante es una ecuaci´on diferencial parcial de segundo–orden con coeficientes constantes. La aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito para la soluci´on de la Ecuaci´on (7.87) procede dividiendo el dominio del problema en elementos de longitud finita, uni–dimensionales, y discretizando la distribuci´on de temperatura dentro de cada elemento como T (x, t) = N1 (x, t) T1 (t) + N2 (x, t) T2 (t) = [ N (x) ]{T (t)}
(7.88)
la cual es la misma que la Ecuaci´ on (5.53) con la notable excepci´on que las temperaturas nodales son funciones del tiempo. Apliquemos ahora el m´etodo de elemento finito de Galerkin a la Ecuaci´on (7.87) para obtener las ecuaciones residuales Zx2 x1
∂T ∂2T kx 2 + Q − c ρ ∂x ∂t
Ni (x) A dx
i = 1, 2
(7.89)
´ DE CALOR TRANSITORIA 7.8. TRANSMISION
249
Notando que ∂2T ∂ Ni 2 = ∂x ∂x
∂T Ni ∂x
−
∂Ni ∂T ∂x ∂x
las ecuaciones residuales pueden ser re–ordenadas y expresadas como Zx2
∂Ni ∂T kx A dx + ∂x ∂x
x1
Zx2 cρ
∂T Ni A dx ∂t
Zx2
x1
Zx2 Q Ni A dx +
=
(7.90) ∂ kx ∂x
∂T Ni ∂x
A dx
i = 1, 2
x1
x1
Comparando la Ecuaci´ on (7.90) a las Ecuaciones (5.56), observamos que la primera integral en la izquierda incluye la matriz de conductancia, la primera integral en la derecha es la funci´on impelente asociada con la generaci´ on de calor interior, y la segunda integral en la derecha representa a las condiciones l´ımite de gradiente. Utilizando la Ecuaci´on (7.88), la Ecuaci´on (7.90) puede escribirse en forma matricial detallada como Zx2 N1 N1 cρA N2
N2
T˙ dx ˙1 T2
x1
Zx2 " dN1 # dx dN2 dx
+ kx A x1
(7.91) dN
1
dx
dN2 dx
T1 dx = {fQ } + {fg } T2
donde por convenci´ on matem´ atica el operador de derivaci´on temporal se especifica con un punto encima d la variable de inter´es ( dt { } ≡ {˙}). Note usted que las derivadas de las funciones de interpolaci´on se han expresado ahora como derivadas ordinarias, como es apropiado en este caso. La Ecuaci´on (7.91) se expresa m´ as a menudo como [ C (e) ]{T˙ (e) } + [ k (e) ]{T (e) } = {fQ(e) } + {fg(e) }
(7.92)
donde [ C (e) ] es la matriz de capacitancia de elemento, definida por [ C (e) ] = c ρ A
Zx2 N1 N1 N2 x1
N2 dx = c ρ A
Zx2 [ N ]T [ N ] dx
(7.93)
x1
y, como se implica por el nombre, indica la capacidad del elemento para el almacenamiento de calor. La matriz de capacitancia definida por la Ecuaci´on (7.93) es conocida como la matriz de capacitancia consistente. La matriz de capacitancia consistente se llama as´ı porque se formula sobre la base de las mismas funciones de interpolaci´ on usadas para describir la distribuci´on espacial de temperatura. En nuestra deducci´ on, usando el m´etodo de Galerkin, la matriz consistente es un resultado natural del procedimiento matem´ atico. Una deducci´on alternativa produce una matriz de capacitancia llamada de par´ ametros concentrados. Considerando que la matriz consistente distribuye la capacitancia a lo largo del elemento en virtud de las funciones de interpolaci´on que utiliza; la matriz de capacitancia de par´ametros concentrados atribuye la capacidad de almacenamiento estrictamente a los nodos independiente y exclusivamente. La diferencia entre las dos concepciones se discutir´a aqu´ı en t´erminos de la transferencia de calor y, con m´ as detalle en el Cap´ıtulo 10, en el contexto de la din´amica estructural. El procedimiento de ensamble del modelo para un problema de transmisi´on de calor transiente es exactamente igual que para un problema de estado–estacionario, con la excepci´on notable que tambi´en debemos ensamblar una matriz de capacitancia global. Las reglas son las mismas. Los nodos
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
250
de elemento se asignan a los nodos globales mediante relaciones de correspondencia, y los coeficientes de la matriz de capacitancia de elemento son a˜ nadidos a las posiciones globales apropiadas en la matriz de capacitancia de todo el sistema; ex´ actamente como con los coeficientes de la matriz de conductancia. De aqu´ı, por el ensamble del sistema, obtenemos el sistema de ecuaciones globales [ C ]{T˙ } + [ K ]{T } = {FQ } + {Fg }
(7.94)
donde debemos recordar que el vector fuerza de gradiente {Fg } est´a compuesto de: (1) los valores de flujo de calor desconocidos a ser determinados (las reacciones desconocidas) ´o (2) los t´erminos de convecci´on a ser equilibrados con el flujo en un nodo del borde l´ımite.
7.8.1.
M´ etodos de diferencias finitas para respuesta transiente: Condiciones iniciales
El procedimiento de discretizaci´ on de elemento finito ha reducido el problema uni–dimensional de transmisi´on de calor transiente a t´erminos algebr´aicos en la variable espacial mediante las funciones de interpolaci´on. Todav´ıa la Ecuaci´ on (7.94) representa una serie de ecuaciones diferenciales en el tiempo, acopladas, de primer–orden. Por consiguiente, a diferencia del caso de estado–estacionario, no hay una soluci´on dir´ecta y cerrada; sino m´ ultiples soluciones como el sistema responde a las condiciones dependientes del tiempo. Las condiciones de borde l´ımite para un problema transitorio son de los tres tipos discutidos para el caso de estado–estacionario: temperaturas nodales especificadas, flujo de calor especificado, o condiciones de convecci´on. Sin embargo, notemos que las condiciones de borde tambi´en pueden ser dependientes del tiempo. Por ejemplo, una temperatura nodal especificada podr´ıa incrementarse linealmente con el tiempo a algunos valores especificados finales. En adici´on, una fuente de generaci´on de calor interior Q podr´ıa tambi´en variar con el tiempo. Una aproximaci´ on normalmente usada para obtener las soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias en forma de la Ecuaci´ on (7.94) es el m´etodo de diferencias finitas. Como fu´e discutido brevemente en el Cap´ıtulo 1, el m´etodo de diferencias finitas est´a basado en aproximar las derivadas de una funci´on como cambios incrementales en el valor de la funci´on correspondientes a los cambios finitos en el valor de la variable independiente. Recuerde que la primera derivada de una funci´on variable en el tiempo f (t) se define por df f (t + ∆t) − f (t) f˙ = = l´ım dt ∆t→0 ∆t
(7.95)
en lugar de requerir que ∆t tienda a cero, obtenemos una aproximaci´on al valor de la derivada usando un valor peque˜ no, no–nulo, de ∆t para obtener f (t + ∆t) − f (t) f˙ ∼ = ∆t
(7.96)
y el valor seleccionado de ∆t es conocido como el paso de tiempo. Para aplicar el procedimiento a la transmisi´on de calor transitoria, aproximamos la derivada temporal del vector de temperaturas nodales como {T˙ } ∼ =
{T (t + ∆t)} − {T (t)} ∆t
(7.97)
Substituyendo en la Ecuaci´ on (7.94), la misma llega a ser [C ]
{T (t + ∆t)} − {T (t)} + [ K ]{T (t)} = {FQ (t)} + {Fg (t)} ∆t
(7.98)
Notemos que, si las temperaturas nodales son conocidas al instante t y las funciones impelentes se eval´ uan en el mismo momento t, la u ´ltima ecuaci´on puede resolverse, algebr´aicamente, para las
´ DE CALOR TRANSITORIA 7.8. TRANSMISION
251
temperaturas nodales al instante t + ∆t. Denotando el instante al i–´esimo paso de tiempo como ti = i(∆t), i = 0, 1, 2, . . .; obtenemos [ C ]{T (ti+1 )} = [ C ]{T (ti )} − [ K ]{T (ti )}∆t + {FQ (ti )}∆t + {Fg (ti )}∆t
(7.99)
como el sistema de ecuaciones algebr´aicas que pueden resolverse para {T (ti+1 )}. Formalmente, la soluci´on se obtiene multiplicando la Ecuaci´on (7.99) por la inversa de la matriz de capacitancia. Para matrices grandes, comunes a los modelos de elemento finito, la inversi´on de la matriz es muy ineficaz; de modo que otras t´ecnicas deben ser utilizadas como la eliminaci´on Gaussiana, por ejemplo, que se usa muy a menudo. Note, sin embargo, que el sistema de ecuaciones algebr´aicas dado por la Ecuaci´on (7.99) s´olo debe resolverse una vez para obtener una soluci´on expl´ıcita para las temperaturas nodales al tiempo ti+1 partiendo del conocimiento del comportamiento del sistema al tiempo ti . El m´etodo recientemente descrito es conocido como esquema de diferencia progresivo (tambi´en conocido como el m´etodo de Euler ) y la Ecuaci´on (7.99) es una relaci´on de recurrencia de dos–puntos. Si el estado del sistema (las temperaturas nodales y las funciones impelentes) son conocidas en un momento dado, la Ecuaci´ on (7.99) proporciona el estado al pr´oximo instante discreto (despu´es que ha transcurrido un paso de tiempo ∆t). Resolver el sistema secuencialmente en valores crecientes de la variable independiente es a menudo llamado marcha de tiempo futuro. Para comenzar el procedimiento de obtener la soluci´on, el estado del sistema debe conocerse en el instante inicial t = 0. Por consiguiente, las condiciones iniciales deben especificarse adem´as de las condiciones de borde aplicables. Recuerde que la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer–orden contiene una constante de integraci´on. Como tenemos una de tales ecuaciones correspondientes a cada temperatura nodal, el valor de esa temperatura nodal debe ser especificada al tiempo cero. Si las condiciones iniciales son bien conocidas, la relaci´on de recurrencia puede usarse para calcular efectivamente las temperaturas nodales en el transcurrir del tiempo. Antes de discutir otros esquemas de soluci´ on y las ramificaciones de la selecci´on del paso de tiempo, presentamos el siguiente ejemplo simple. Ejemplo 7.11. La Figura 7.20(a) muestra una varilla cil´ındrica que tiene di´ametro de 12 mm y longitud de 100 mm. Este objeto s´ olido cil´ındrico es de un material que tiene conductividad t´ermica de 230 W/(m-◦ C), calor especfico de 900 J/(kg-◦ C), y densidad de 2700 kg/m3 . El extremo derecho de la varilla se pone en o con un medio a una temperatura constante de 30◦ C. Al tiempo inicial (t = 0), la varilla entera est´ a a una temperatura de 30◦ C cuando una fuente de calor se aplica al extremo izquierdo, elevando la temperatura de esta superficie inmediatamente a 80◦ C y manteniendo esa temperatura indefinidamente. La superficie lateral del objeto se encuentra perfectamente aislado t´ermicamente del medio circundante. Usando el m´etodo de diferencia progresiva y cuatro elementos de dos–nodos, determine las distribuciones de temperatura (ambas) transitoria y de estado–estacionario en la varilla. Considere que no se genera ning´ un calor interior. Aislado T = 30° C, t<0
d
T = 80° C, t>0
L (a) Disposici´ on geom´ etrica y dimensiones
30°C 1 1
25 mm
3
2 2
3
4 4
5
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 7.20: Esquemas gr´aficos del Ejemplo 7.11 > Soluci´ on En la soluci´ on para este ejemplo, preparamos el procedimiento general y presentaremos los resultados para una soluci´ on usando un paso de tiempo para la porci´on transiente. La numeraci´on de nodos y
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
252
elementos son como se muestra en la Figura 7.20(b). Puesto que la longitud y el ´area de cada elemento son comunes a ellos, evaluamos la matriz de capacitancia de elemento como 900(2700) π4 (0,012)2 (0,025) 2 1 cρAL 2 1 2,2902 1,1451 ◦ [ C (e) ] = = = J/ C 1 2 1 2 1,1451 2,2902 6 6 donde impl´ıcitamente hemos realizado las integraciones indicadas en la Ecuaci´on (7.93) y dejamos los detalles como un ejercicio de fin–de–cap´ıtulo. Similarmente, la matriz de conductancia del elemento es 200 π4 (0,012)2 1 −1 k A 1 −1 0,9408 −0,9408 ◦ = = W/ C [ k (e) ] = −1 1 −0,9408 0,9408 L −1 1 0,025 Para el caso uni–dimensional con geometr´ıa uniforme y propiedades materiales conocidas, el ensamblaje del sistema es dir´ecto (se produce traslape de coeficientes en ubicaciones de los nodos de interconexi´on entre elementos), y puede usted verificar que los resultados de las matrices globales son 2,2902 1,1451 0 0 0 1,1451 4,5804 1,1451 0 0 1,1451 4,5804 1,1451 0 [C ] = 0 0 0 1,1451 4,5804 1,1451 0 0 0 1,1451 2,2902 0,9408 −0,9408 0 0 0 −0,9408 1,8816 −0,9408 0 0 0 −0,9408 1,8816 −0,9408 0 [K ] = 0 0 −0,9408 1,8816 −0,9408 0 0 0 −0,9408 0,9408 Como no se genera ning´ un calor interior {FQ } = 0 y, como tenemos temperaturas de borde especificadas, el t´ermino del flujo cal´ orico impelente es desconocido. Note que, en el caso transitorio, las condiciones de flujo en los l´ımites (las “reacciones”) son dependientes del tiempo y pueden ser calculados en cada paso de tiempo, como se explicar´a. De aqu´ı, el “vector de fuerza” gradiente es q1 A 0 0 {Fg } = 0 −q5 A Habiendo tenido cuidado de las condiciones de borde, ahora consideramos las condiciones iniciales y examinamos la totalidad de las condiciones en el procedimiento de soluci´on. Debe ser claro que, desde que tenemos especificadas las temperaturas de dos nodos; la soluci´on deseada debe proporcionar las temperaturas de los otros tres nodos y, por consiguiente, el modelo reducido debe ser un sistema 3×3. La reducci´ on del modelo hacia un sistema 3×3 es cumplido mediante las siguientes observaciones: 1.
Si T1 = 80◦ C = cte, entonces T˙1 = 0
2.
Si T5 = 30◦ C = cte, entonces T˙5 = 0
Las ecuaciones pueden modificarse en concordancia con esto. En este ejemplo, las ecuaciones generales se modifican a 0 80 q1 A T˙ 2 T2 0 ˙ 0 [ C ] T3 + [ K ] T 3 = T4 0 T˙ 4 30 −q5 A 0
´ DE CALOR TRANSITORIA 7.8. TRANSMISION
253
Consecuentemente, la primera y quinta ecuaciones resultan en forma desarrollada 1,1451 T˙2 + 0,9408(80) − 0,9408 T2 = q1 A 1,1451 T˙4 − 0,9408 T4 + 0,9408(30) = −q5 A respectivamente. Las tres ecuaciones sobrantes son luego escritas como 4,5804 1,1451 0
1,8816 −0,9408 0 0 T˙2 T2 75,264 1,1451 T˙3 + −0,9408 1,8816 −0,9408 T3 = 0 ˙ 4,5804 0 −0,9408 1,8816 T4 28,224 T4
1,1451 4,5804 1,1451
Para este ejemplo, la matriz de capacitancia es tacional) para obtener 0,2339 [ C ]−1 = −0,0624 0,0156
invertida (usando un programa de c´alculo compu −0,0624 0,0156 0,2495 −0,0624 −0,0624 0,2339
donde [ C ] ahora representa a la matriz de capacitancia reducida. Utilizando la Ecuaci´on (7.99) y pre–multiplicando por [ C ]−1 d´ a como resultado 0,4988 −0,3521 0,0880 T2 T2 T2 18,0456 T3 = T3 − −0,3521 0,5869 −0,3521 T3 ∆t + −6,4558 ∆t 7,7762 T4 i+1 0,0880 −0,3521 0,4988 T4 i T4 i que representa, como dijimos, una relaci´on de recurrencia de dos puntos. 70
T2
T , °C
60 50
T3
40
T4
30
20
0
5
10
15
t , seg
20
25
30
Figura 7.21: Variaci´on temporal de las temperaturas nodales. Debido a la matriz peque˜ na involucrada, la relaci´on de recurrencia se program´o en una hoja de c´alculo estandar que usa un paso de tiempo de ∆t = 0,1 seg. Los c´alculos para las temperaturas nodales T2 , T3 , y T4 se llevan a cabo hasta que un estado invariable (estacionario) se alcance. Las historias de variaci´ on temporal de cada una de las temperaturas nodales se muestran en la Figura 7.21. La figura muestra que en estado–estacionario las condiciones T2 = 67,5◦ C, T3 = 55◦ C, y T4 = 42,5◦ C se logran en aproximadamente en 30 seg. Interesantemente, los resultados tambi´en muestran que las temperaturas de los nodos 3 y 4 inicialmente disminuyen. Tales fen´omenos son f´ısicamente inaceptables y est´an asociados con el uso de una matriz de capacitancia consistente, como se discute con algo m´as de detalle en el Cap´ıtulo 10. >
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
254
7.8.2.
M´ etodos de diferencia central y diferencia regresiva
El m´etodo de diferencia progresiva discutido previamente y usado en el Ejemplo 7.11 es uno de los tres m´etodos de diferencias finitas normalmente usados. Los otros son el m´etodo de diferencia regresiva y el m´etodo de diferencia central. Cada uno de ´estos es discutido a su vez y una sola relaci´on de recurrencia de dos–puntos se desarrolla incorporando los tres m´etodos. En el m´etodo de diferencia regresiva, la aproximaci´on finita a la primera derivada en el instante t es expresada como ∼ T (t) − T (t − ∆t) T˙ (t) = (7.100) ∆t de modo que, en efecto, rastreamos hacia atr´as en el tiempo para aproximar la derivada durante el paso de tiempo anterior. Sustituyendo esta relaci´on en la Ecuaci´on (7.94) d´a [C ]
T (t) − T (t − ∆t) + [ K ]{T (t)} = {FQ (t)} + {Fg (t)} ∆t
En este m´etodo, evaluamos las temperaturas nodales en el instante t basados en el estado del sistema en el instante t − ∆t. Si ahora introducimos la notaci´on t = ti , ti−1 = t − ∆t, i = 1, 2, . . . Usando la notaci´ on descrita y re–ordenando, la ecuaci´on anterior se vuelve ( [ C ] + [ K ]∆t ){T (ti )} = [ C ]{T (ti−1 )} + {FQ (ti )}∆t + {Fg (ti )}∆t
i = 1, 2, . . .
Si las temperaturas nodales son conocidas al tiempo ti−1 , la ecuaci´on reci´en planteada puede resolverse para las temperaturas nodales al pr´oximo paso de tiempo (es supuesto que las funciones de impulsi´on en el lado derecho son conocidas y pueden determinarse al instante ti ). Notando que el ´ındice de tiempo es relativo, la ecuaci´ on precedente tambi´en puede expresarse como ( [ C ] + [ K ]∆t ){T (ti+1 )} = [ C ]{T (ti )} + {FQ (ti )}∆t + {Fg (ti )}∆t
i = 1, 2, . . .
(7.101)
Si comparamos la Ecuaci´ on (7.101) con la Ecuaci´on (7.99), encontramos que la diferencia mayor surge en el tratamiento de la matriz de conductancia. En el u ´ltimo caso, los efectos de conductancia son, en efecto, puestos en vigencia durante el paso de tiempo. En el caso del m´etodo de diferencia progresiva, Ecuaci´ on (7.99), los efectos de la conductancia son mantenidos constantes al paso de tiempo previo. Tambi´en observamos que la Ecuaci´ on (7.101) no puede ser resuelta a cada paso de tiempo por “simple” inversi´ on de la matriz de capacitancia. El coeficiente matricial en el lado izquierdo cambia a cada paso de tiempo; por consiguiente, m´etodos m´as eficientes generalmente se usan para resolver la Ecuaci´on (7.101). Otro procedimiento de aproximaci´ on a la primera derivada es el m´etodo de diferencia central. Como el nombre implica, el m´etodo es un compromiso de proceso intermedio entre los m´etodos de diferencia progresiva y regresiva. En un esquema de diferencia central, la variable dependiente y todas las funciones impulsivas se eval´ uan en el centro (el punto medio) del paso de tiempo. En otros t´erminos, se usan valores promedio. En el contexto de la transmisi´on de calor transitoria, la derivada temporal de la temperatura todav´ıa es aproximada por la Ecuaci´on (7.97) pero los otros t´erminos en la Ecuaci´on (7.98) son evaluados en el punto medio del paso de tiempo. Usando esta aproximaci´on, la Ecuaci´on (7.98) llega a ser {T (t + ∆t)} − {T (t)} {T (t + ∆t)} + {T (t)} C + [K ] ∆t 2 (7.102) {FQ (t + ∆t)} + {FQ (t)} {Fg (t + ∆t)} + {Fg (t)} = + 2 2 Las funciones impelentes en el lado derecho de la Ecuaci´on (7.102) son: o bien funciones conocidas y pueden evaluarse, o “reacciones” que son subsecuentemente calculadas mediante las ecuaciones de restricci´on. El lado izquierdo de la Ecuaci´on (7.102) es ahora, sin embargo, bastante diferente, en
7.9. COMENTARIOS FINALES
255
que las inc´ ognitas a cada paso Ti (t + ∆t) aparecen en t´erminos de las matrices de capacitancia y conductancia. Multiplicando por ∆t y re–ordenando la Ecuaci´on (7.102), obtenemos ∆t ∆t [C ] + [K ] {T (t + ∆t)} = [ C ] − [ K ] {T (t)} 2 2 (7.103) {Fg (t + ∆t)} + {Fg (t)} {FQ (t + ∆t)} + {FQ (t)} + + 2 2 ´ Esta u ´ltima ecuaci´ on puede resolverse para las temperaturas nodales desconocidas en el instante t + ∆t y la “marcha” de la soluci´ on puede progresar en el tiempo hasta que se alcance un estado de r´egimen estacionario. En general, los m´etodos de diferencia central son m´as exactos que los m´etodos de diferencia progresiva o regresiva, ´esto porque no se da preferencia a cualquiera de las dos temperaturas en t ´o t + ∆t ya que, m´ as bien, se d´ a creencia igual a ambas. En los m´etodos de diferencia finita, el par´ametro importante para hallar la exactitud requerida de la soluci´ on gobernante es el paso de tiempo seleccionado ∆t. En una manera similar al m´etodo de elemento finito, en el que mientras f´ısicamente m´as peque˜ nos son los elementos, la soluci´on obtenida es mejor; el m´etodo de diferencia finita converge m´as r´apidamente a la verdadera soluci´on a medida que el paso de tiempo se disminuye en su magnitud. Estas ideas se desarrollan con mayor amplitud en el Cap´ıtulo 10, cuando examinemos el comportamiento din´amico de las estructuras.
7.9.
Comentarios finales
En el presente Cap´ıtulo 7, extendemos la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito hacia dominios bi y tri–dimensionales, as´ı como a aquellos con simetr´ıa axial, para los problemas que habitualmente se presentan en la transmisi´ on de calor. Aunque la mayor parte del cap´ıtulo se enfoca hacia las condiciones de estado–estacionario, tambi´en presentamos los m´etodos de diferencia finita normalmente utilizados para examinar los efectos transitorios. La base de nuestra aproximaci´on hacia la soluci´on es el m´etodo de elemento finito de Galerkin, y este texto se queda con ese procedimiento porque el mismo es general en su aplicaci´ on. Cuando procedamos posteriormente con las aplicaciones hacia la mec´anica de fluidos, la mec´ anica de s´ olidos, y la din´amica estructural en los siguientes cap´ıtulos, ratificaremos que el m´etodo de Galerkin ser´ a la base para el desarrollo de muchos de los modelos de elemento finito que formularemos.
Problemas propuestos 7.1. Para el Ejemplo 7.1, determine la soluci´on exacta integrando la Ecuaci´on (5.52) y aplicando las condiciones de borde para evaluar las constantes de integraci´on. 7.2. Verificar los t´erminos relacionados a la convecci´on en la Ecuaci´on (7.13) por procedimiento de integraci´ on directa. 7.3. Para los datos presentados en el Ejemplo 7.4, use la cuadratura Gaussiana con cuatro puntos de integraci´ on (dos en r, y dos en s) para evaluar los coeficientes de la matriz de rigidez. Los resultados obtenidos, est´ an de acuerdo con los valores presentados en el ejemplo?. 7.4. Usando las temperaturas nodales y valores de flujo de calor calculados en el Ejemplo 7.5, realice un c´ alculo de verificaci´ on del balance de flujo de calor. Es decir, determine si la entrada de calor est´ a en equilibrio con la p´erdida de calor debido a la convecci´on. C´omo esta comprobaci´on indica la exactitud de la soluci´ on de elemento finito?.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
256
7.5. Considere una clavija cil´ındrica de transferencia de calor mostrada en la Figura P7.5. La base de la clavija se sostiene a temperatura constante de 100◦ C (i.e., agua hirviente). La punta del cuerpo y sus superficies laterales sufren convecci´on hacia un fluido que permanece a temperatura ambiente Ta . Los coeficientes de convecci´on para la punta y las superficies laterales son iguales. Se proporcionan como datos: kx = 380 W/m-◦ C, L = 8 cm, h = 2500 W/m2 -◦ C, d = 2 cm, Ta = 30◦ C. Use un modelo de elemento finito con dos elementos y funciones de interpolaci´on lineales (i.e., un elemento de dos–nodos) para determinar las temperaturas nodales y el calor removido desde la clavija. Asuma que no existe ninguna generaci´on de calor interior. h, Ta h, Ta
100º C d
L
Figura P7.5 7.6. Repita el Problema 7.5 usando cuatro elementos. Est´a indicada la convergencia en esta nueva soluci´on ?. 7.7. La clavija de la Figura P7.5 representa una unidad calor´ıfica en un calentador de agua. La base de la clavija se sostiene a la temperatura de 30◦ C. Este objeto s´olido est´a rodeado por agua fluyendo a 55◦ C. La generaci´ on de calor interior ser´a tomada con un valor constante de Q = 25 W/cm3 . Todos los otros datos son proporcionados en el Problema 7.5. Use un modelo de dos– elementos para determinar las temperaturas nodales y la rapidez de flujo de calor neto desde la clavija. 7.8. Resuelva el Problema 7.5 bajo la hip´ otesis que la clavija tiene una secci´on transversal cuadrada de 1 cm de arista. C´ omo se comparan los resultados en referencia con la rapidez de calor removido ?. 7.9. La eficiencia de la clavija mostrada en la Figura P7.5 puede definirse de varias maneras. Una manera es asumir que la m´ axima transmisis´on de calor ocurre cuando la clavija entera est´a a la misma temperatura como su base (en el Problema 7.5, 100◦ C), para que la convecci´on sea maximizada. Entonces escribimos ZL h P (Tb − Ta )dx + h A (Tb − Ta )
qm´ax = 0
donde Tb representa la temperatura de la base, P es la dimensi´on perimetral, y A es el ´area de la secci´ on transversal de la clavija. La transferencia de calor real qreal es menor que qm´ax , de modo que definimos la eficiencia como qreal η= qm´ax Use esta definici´ on para determinar la eficiencia de la clavija del Problema 7.5. 7.10. La Figura P7.10 representa el tubo de un radiador de una m´aquina automotriz. El refrigerante del artefacto se hace circular a trav´es del tubo a una rapidez constante determinada por la bomba de agua. La refrigeraci´ on es principalmente mediante la convecci´on del aire fluido alrededor del tubo como resultado del movimiento del veh´ıculo. El refrigerante entra en el tubo a una temperatura de 195◦ F y la tasa de flujo es de 0,3 galones por minuto (el peso espec´ıfico
Problemas propuestos
257
es 68,5 lb/pie3 ). Los datos f´ısicos son como sigue: L = 18 pulg, d = 0,3125 pulg, kx = 225 Btu/hr-pie-◦ F, h = 37 Btu/ft2 -hr-◦ F. Determine la matriz de rigidez y el vector de carga para un elemento de longitud arbitraria usado para modelar este problema, asumiendo condiciones de estado–estacionario. Es la hip´otesis de r´egimen de estado–estacionario razonable para este caso espec´ıfico ?. Taire= 20 C
t =0.03 pulg
d
• m
L Figura P7.10 7.11. Use los resultados del Problema 7.10 para modelar el tubo con cuatro elementos de igual longitud, y determine las temperaturas nodales y el flujo de calor total de convecci´on desde la superficie. 7.12. Considere la clavija de transferencia de calor adelgazada mostrada en la Figura P7.12(a). La base de la clavija se sostiene a la temperatura constante Tb , mientras las superficies laterales y la punta son rodeadas por un medio fluido mantenido a una temperatura constante Ta . La conductancia kx y el coeficiente de convecci´on h son constantes conocidas. La Figura P7.12(b) muestra la clavija modelada como cuatro elementos finitos adelgazados. La Figura P7.12(c) muestra el mismo objeto modelado como cuatro elementos de secci´on–transversal constante, con el ´area de cada elemento igual al ´ area media de la clavija real. Cuales son los pros y contras de los dos modelos de aproximaci´ on postulados ?. Tenga presente que el uso de cuatro elementos es s´ olo un punto de partida, ya que muchos m´as elementos se requieren para obtener una soluci´on convergente. C´ omo la declaraci´on anterior afecta su respuesta ?. h, Ta
Tb
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
h, Ta (a) Prototipo real
(b) Primer modelo
(c) Segundo modelo
Figura P7.12 7.13. Una clavija cil´ındrica se construye de un material para el que la conductividad t´ermica disminuye con la temperatura seg´ un la ley kx = k0 − c T donde c es una constante positiva. Para esta situaci´on, muestre que la ecuaci´on gobernante para el problema de conducci´ on uni–dimensional con convecci´on en r´egimen de estado–estacionario est´ a dada por d dT hP d2 T cT +Q= (T − Ta ) k0 2 − dx dx dx A
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
258
7.14. La ecuaci´ on gobernante para la situaci´on descrita en el Problema 7.13 es no–lineal. Si el m´etodo de elemento finito de Galerkin es aplicado, una integral de la forma Zx2
d Ni dx
dT cT dx
dx
x1
aparece en la formulaci´ on de la matriz de conductancia de elemento. Integrar este t´ermino por partes y discutir los resultados en t´erminos de las condiciones de borde de flujo cal´orico y la matriz de conductancia. 7.15. Una pared vertical de construcci´ on tipo “sandwich” mostrada en la Figura P7.15(a) se sostiene a una temperatura constante de T1 = 68◦ F en una superficie y T2 = 28◦ F en la otra superficie. Usando s´ olo tres elementos (uno para cada material), como en la P7.15(b), determine las temperaturas nodales y el flujo de calor a trav´es de la pared por unidad de ´area perpendicular al dibujo. Las dimensiones de la pared en las direcciones y y z son muy grandes en comparaci´on al espesor de pared.
T1
a
5/8 pulg
b
2 pulg
(a) Prototipo real de la pared
c
T2
x
1
1
2 2
3 3
4
5/8 pulg
(b) Modelo de elementos finitos
Figura P7.15 7.16. La pared del Problema 7.15 lleva un cable el´ectrico centralmente localizado, el cual debe ser tratado como una fuente de calor l´ıneal de intensidad Q∗ = const, como se muestra en la Figura P7.16. Con este cambio, todav´ıa el problema puede tratarse como uni–dimensional ?. Si su respuesta es afirmativa, resuelva el problema usando tres elementos como en el Problema 7.15. Si su respuesta es negativa, explique.
Q
Figura P7.16 7.17. Una situaci´ on com´ un en el proceso de tratamiento de pol´ımeros se bosqueja en la Figura P7.17, la cual muestra una tuber´ıa “encamizada”. La tuber´ıa interna es acero inoxidable que tiene conductividad t´ermica k; la tuber´ıa exterior es acero al carbono y se supone que est´a perfectamente aislada t´ermicamente. La regi´ on anular entre las tuber´ıas, de espesor t, contiene un medio de transferencia de calor a una temperatura constante T1 . La tuber´ıa interna contiene material del pol´ımero que fluye con rapidez de flujo m´asico m ˙ constante. El coeficiente de convecci´on entre la pared de la tuber´ıa de acero inoxidable y el pol´ımero es h. El calor espec´ıfico del pol´ımero c
Problemas propuestos
259
tambi´en se toma como un valor constante. Es ´este un problema uni–dimensional ?. C´omo podr´ıa usted resolver este problema usando el m´etodo de elemento finito ?.
Acero al carbono
t
T1 Acero inoxidable h Flujo c, m
R x
Figura P7.17 7.18. Un calentador de acondicionamiento ambiental (a menudo incorrectamente llamado radiador, desde que su modo de transferencia de calor es la convecci´on) est´a compuesto de una tuber´ıa central que contiene agua caliente a temperatura constante, como se bosqueja en la Figura P7.18. Varias placas de transferencia de calor bi–dimensional son adosadas a la tuber´ıa como es mostrado. Las aletas se espacian igualmente a lo largo de la longitud de la tuber a. Cada aleta tiene espesor de 0,125 pulg y poseen dimensiones globales de 4 pulg × 4 pulg. La convecci´on desde los bordes de la periferia de las aletas puede despreciarse. Considere la tuber´ıa como una fuente cal´ orica puntual de intensidad Q∗ = 600 Btu/hr-pie2 y determine el calor neto transferido al aire ambiente a 20◦ C, si el coeficiente de convecci´on es h = 300 Btu/(hr-pie2 -◦ F). Use cuatro elementos finitos con funciones de interpolaci´on lineales (considere aqu´ı las condiciones de simetr´ıa).
Figura P7.18 7.19. Uno que seriamente considere las condiciones de simetr´ıa del Problema 7.18 podr´ıa formular que existe cuarta simetr´ıa en la situaci´on planteada, y que cuatro elementos podr´ıan representar a 16 elementos en el dominio del problema completo. Cuales son las condiciones de borde l´ımite para el modelo sim´etrico ?. Explique claramente su concepci´on del modelo reducido que puede plantearse. 7.20. Las aletas rectangulares mostradas en la Figura P7.20 est´an montadas en una tuber´ıa centralmente localizada que transporta agua caliente. La temperatura en la superficie de o entre la aleta y la tuber´ıa es una constante T1 . Para cada caso mostrado, determine las condiciones de simetr´ıa aplicables y las condiciones de borde l´ımite aplicables a un modelo de elemento finito.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
260
T1 Ta
Ta
Ta
(a)
Ta
Ta
T2
T2
Ta
T1
(b)
(c)
(d)
Figura P7.20 Note que los bordes que se muestran achurados est´an aislados perfectamente, y se asume que los coeficientes de convecci´ on sobre todas las superficies son la misma constante. 7.21. Resuelva el Ejemplo 7.5 usando el modelo de dos–elementos mostrado en la Figura 7.11(b). C´omo se hace la comparaci´ on de resultados con aqu´ellos del modelo de cuatro–elementos? 7.22. El elemento rectangular mostrado en la Figura P7.22 contiene una fuente cal´orica l´ıneal de intensidad constante Q∗ localizada en el centroide del elemento. Determine el vector de impulsi´on cal´orica asociado {fQ(e) }. 3
4 (2, 4)
(4, 4)
Q*
y
1
(4, 2)
(2, 2)
2
x
Figura P7.22 7.23. Determine las componentes de la funci´on impelente de generaci´on de calor {fQ(e) } para el elemento con simetr´ıa axial del Ejemplo 7.10 para el caso de generaci´on de calor interior uniforme Q. 7.24. Una tuber´ıa de acero (di´ ametro externo de 60 mm y espesor de pared de 5 mm) contiene agua fluyendo a una temperatura constante de 80◦ C, como es mostrado en la Figura P7.24. El coeficiente de convecci´ on entre el agua y la tuber´ıa es de 2000 W/m2 -◦ C. La tuber´ıa est´a rodeada ◦ por aire a 20 C, y la convecci´ on en la superficie externa de la tuber´ıa es 20 W/m2 -◦ C. La conducvidad t´ermica del material de la tuber´ıa es 60 W/m-◦ C. Determine las matrices de rigidez y las funciones de impulsi´ on cal´ orica nodales para los dos elementos con simetr´ıa axial mostrados. 7.25. Ensamble las ecuaciones globales para los dos elementos del Problema 7.24. Use la numeraci´on global de nodos mostrada en la Figura P7.25. Calcule las temperaturas nodales, y encuentre el flujo de calor neto (por unidad de ´ area superficial) hacia el aire circundante. 4
5
1
1
6
2
2
Figura P7.25
3
Problemas propuestos
261
1
Flujo
2
z r
Figura P7.24 7.26. Resuelva el problema del Ejemplo 7.11 usando un paso de tiempo ∆t = 0,01 seg. C´omo los resultados obtenidos ahora se comparan a aqu´ellos de la soluci´on del ejemplo ?.
Capítulo
8
Mec´ anica de fluidos
En el anterior Cap´ıtulo vimos la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a uno de los campos de la mec´ anica no–estructural: los fen´ omenos que se presentan en la transmisi´on de calor. Otro campo muy amplio de la mec´ anica general es aquel que tiene como objetivo el estudio de comportamiento de dos estados agregados de la materia: los l´ıquidos y los gases, a los cuales de manera gen´erica se los denomina como fluidos. En este Cap´ıtulo desarrollaremos las ecuaciones gobernantes de elemento finito para flujo incompresible, es decir el estudio de movimiento de un medio fluido que tiene densidad invariable (un l´ıquido); introduciremos los conceptos de funci´on de corriente y funci´on potencial de velocidad en flujo ideal bi–dimensional en r´egimen permanente. Y, para abordar los problemas que se presentan en la realidad, de manera breve realizaremos una introducci´on al estudio del flujo viscoso con inercia.
8.1.
Introducci´ on
El tema general de la mec´ anica de fluidos abarca una amplia gama de problemas de inter´es en las aplicaciones de ingenier´ıa. La definici´on m´as b´asica de un fluido es declarar que dicho medio es un material que adopta la forma del recipiente que lo contiene, manifestando ello su enorme deformabilidad. As´ı, ambos: l´ıquidos y gases son medios fluidos. Alternativamente, puede establecerse que un material que, en s´ı mismo, no puede soportar tensiones cortantes (tangenciales), es un fluido. El lector familiarizado con la teor´ıa de energ´ıa de distorsi´on de s´olidos, recordar´a que esa distorsi´on geom´etrica es el resultado de la tensi´ on cortante que act´ ua internamente; mientras que las tensiones normales actuantes tienen como resultado el cambio volum´etrico. As´ı, un fluido r´apidamente se distorsiona, porque la resistencia a la solicitaci´ on de tipo cortante es muy reducida, y dicha distorsi´on resulta en el flujo (movimiento) del medio fluido. El comportamiento f´ısico de l´ıquidos y gases es muy diferente. Las diferencias en su conducta dan lugar a varios campos menores en la mec´anica de fluidos. En general, los l´ıquidos exhiben densidad constante y el estudio de la mec´ anica de fluidos referente a los l´ıquidos generalmente se lo identifica como an´ alisis de flujo incompresible. Por otro lado, los gases son altamente compresibles (recuerde la 263
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
264
llamada ley de Boyle de la f´ısica elemental [48]) y dependientes de las variaciones de temperatura. Por consiguiente, los problemas de mec´ anica de fluidos que involucran a los gases son clasificados como casos de flujo compresible. Adem´as de las consideraciones de compresibilidad, el grado relativo al cual un fluido puede resistir alg´ un monto de esfuerzo cortante deriva en otra clasificaci´on de problemas de la mec´anica de fluidos. (Sin tener en cuenta la definici´ on, todos los fluidos pueden soportar alguna cantidad de solicitaci´on cortante). La resistencia de un fluido para soportar la acci´on de tensiones cortantes es incluida en la propiedad material conocida como viscosidad. En un sentido muy pr´actico, la viscosidad es una medida del “espesor” de un fluido. Considere las diferencias encontradas al revolver un recipiente conteniendo agua y otro que contenga melaza. El acto de revolver introduce tensiones cortantes en el fluido. El “aguarr´as” (thinner), es menos viscoso en comparaci´on, y por tanto m´as f´acil que revolver que el agua; el “m´as espeso”, m´ as viscoso, en este caso ser´ıa la melaza que es m´as dura de revolver. El efecto f´ısico se representa por las tensiones cortantes aplicados al “agitador” por el medio fluido (por el principio de acci´on–reacci´ on). El concepto de viscosidad es incluido en la ley de viscosidad de Newton [18], el cual establece que las tensiones cortantes internas en un medio fluido son proporcionales al gradiente de velocidad del movimiento.
.
. U y
U h
h
. u(y) y
x (a) Esquema gr´ afico del fen´ omeno
(b) Perfil de velocidades
Figura 8.1: Placa plana m´ovil en o con un fluido En un caso uni–dimensional, el gradiente de velocidad y la ley de Newton de viscosidad pueden describirse en referencia a la Figura 8.1(a). Una placa larga y delgada se est´a moviendo con velocidad U˙ en la direcci´ on x, estando separada de una superficie fija localizada en y = 0 por una pel´ıcula fluida delgada de espesor h que llena el espacio entre la placa y la superficie est´atica. Los experimentos muestran que el fluido se adhiere a ambas superficies, de modo que la velocidad de flujo en la superficie fija es cero; y en la placa m´ ovil, la velocidad fluida es U˙ (este fen´omeno es conocido como la condici´on de ausencia de deslizamiento). Si la presi´ on es constante a trav´es del medio fluido, la distribuci´on de velocidad entre la placa m´ ovil y la superficie fija es lineal, como se muestra en la Figura 8.1(b), por lo que la velocidad fluida en cualquier punto est´a dada por y u(y) ˙ = U˙ (8.1) h Para mantener el movimiento, debe aplicarse a la placa una fuerza en la direcci´on del movimiento. La fuerza es requerida para mantener a la placa en equilibrio (suponiendo que su velocidad de movimiento es constante), puesto que el fluido ejerce una fuerza de fricci´on que se opone al movimiento. Es conocido a partir de los experimentos que la fuerza tangencial por unidad de ´area (es decir la tensi´on cortante proveniente de la fricci´ on) requerida para mantener el movimiento es dir´ectamente proporcional a la velocidad U˙ de la placa m´ ovil, e inversamente proporcional a la distancia h. En general, la tensi´on cortante friccional se describe en la ley de Newton de la viscosidad como τ =µ
du˙ dy
(8.2)
donde la constante de proporcionalidad µ es llamada viscosidad absoluta (din´amica) del fluido. La viscosidad absoluta (de ahora en adelante simplemente viscosidad ) es una propiedad material fundamental de los medios fluidos desde que, como es mostrado por la Ecuaci´on (8.2), establece que la habilidad de un fluido de soportar tensiones cortantes depende directamente de la viscosidad.
´ 8.2. ANALISIS DE FLUJO INCOMPRESIBLE
265
La importancia relativa de los efectos de viscosidad permite todav´ıa establecer otra serie de problemas de la mec´ anica de fluidos, como mencionamos. Los fluidos que exhiben una viscosidad muy peque˜ na son denominados no–viscosos, y en ellos se ignoran los t´erminos que contienen como variables a las tensiones cortantes; por otro lado, los fluidos con viscosidad significativa deben considerarse que est´an asociados con tensiones cortantes de magnitud apreciable. Para poner la discusi´on en perspectiva, el agua es considerada como fluido viscoso incompresible; mientras que aire es un fluido muy compresible pero todav´ıa no–viscoso. En general, los l´ıquidos son m´as a menudo tratados como incompresibles pero los efectos de la viscosidad dependen espec´ıficamente del fluido. Los gases, por otro lado, generalmente son tratados como compresibles pero no–viscosos. En este cap´ıtulo, examinaremos s´olo el flujo fluido incompresible. La matem´atica y el estudio previo requerido para el an´ alisis de flujo compresible est´a juzgado m´as all´a del alcance de este texto. Nosotros, sin embargo, introduciremos los efectos de viscosidad en el contexto del flujo bi–dimensional y presentaremos la formulaci´ on de elemento finito b´asico para resolver tales problemas. La extensi´on al flujo fluido tri–dimensional necesariamente no es tan dir´ecta como en el caso de la transmisi´on de calor y en la mec´ anica de s´ olidos (como ser´a mostrado en el Cap´ıtulo 9). Nuestra introducci´on al an´alisis de elemento finito de los problemas de flujo fluido muestra que los conceptos desarrollados algo extensos en el texto, pueden ser de hecho aplicados al flujo de fluidos pero; en el caso general, las ecuaciones resultantes, aunque de tipo algebr´aico como es esperado por la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito, resultan ser no–lineales y deben aplicarse procedimientos especiales para la obtenci´on de la soluci´ on.
8.2.
An´ alisis de flujo incompresible
Una de las leyes f´ısicas m´ as importantes gobernante del movimiento de cualquier medio cont´ınuo es el principio de conservaci´ on de la masa. La ecuaci´on deducida por la aplicaci´on de este principio es conocida como ecuaci´ on de continuidad. La Figura 8.2 muestra un volumen diferencial (un volumen de control infinitesimal) localizado en una posici´on arbitraria, fija en un flujo fluido tri–dimensional. Con respecto a una serie fija de ejes Cartesianos, las componentes de velocidad paralelas a los ejes x, y y z se denotan como u, v, y w, respectivamente. (Note que aqu´ı adoptamos la convenci´on estandar de la mec´ anica de fluidos, para denotar las velocidades sin el “punto” encima del s´ımbolo).
dy y w
u
y
z
u
w w dz z
u dx x
x
Figura 8.2: Especificaci´on de condiciones de borde convectivas El principio de conservaci´ on de la masa requiere que la rapidez de cambio de masa dentro del volumen debe estar en equilibrio con la proporci´on de flujo de masa neta que atravieza dicho volumen. La masa total dentro del volumen es ρdV , y puesto que el volumen elemental dV es constante, debemos
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
266
tener
X ∂ρ m ˙ = (8.3) (m ˙ ent − m ˙ sal ) dV = m ˙ = ∂t V S S donde S es la superficie cerrada limitante del volumen diferencial considerado, y m ˙ = dm/dt es la velocidad de variaci´ on de la masa fluida en la regi´on espacial pertinente especificada como dominio. Aqu´ı usamos una derivada parcial porque la densidad puede variar en el espacio as´ı como tambi´en en el tiempo. Usando las componentes de velocidad mostradas, la rapidez de cambio de masa en el volumen de control que es resultado del flujo en la direcci´on x es ∂(ρ u) m ˙ x = ρ u dy dz − ρ u + dx dy dz (8.4a) ∂x
mientras que los t´erminos correspondientes del flujo en las direcciones y y z son: ∂(ρ υ) m ˙ y = ρ υ dx dz − ρ υ + dy dx dz ∂y ∂(ρ w) dz dx dy m ˙ z = ρ w dx dy − ρ w + ∂z
(8.4b)
(8.4c)
La tasa de cambio temporal de la masa transportada por el medio fluido es entonces ∂(ρ u) ∂(ρ υ) ∂(ρ w) ∂ρ dV = m ˙ x+m ˙ y +m ˙z=− + + dx dy dz ∂t ∂x ∂y ∂z Notando que dV = dx dy dz, la ecuaci´ on anterior puede ser escrita como ∂ρ ∂(ρ u) ∂(ρ υ) ∂(ρ w) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
(8.5)
La Ecuaci´on (8.5) es la ecuaci´ on de continuidad para un flujo general tri–dimensional expresada en coordenadas Cartesianas. Restringiendo la discusi´ on al flujo estacionario (invariable con respecto a tiempo) de un fluido incompresible, la densidad es independiente del tiempo y las coordenadas espaciales, de modo que la Ecuaci´on (8.5) llega a ser: ∂u ∂υ ∂w + + =0 (8.6) ∂x ∂y ∂z La Ecuaci´on 8.6 es la ecuaci´ on de continuidad para flujo tri–dimensional, incompresible, estacionario, ´ expresada en coordenadas Cartesianas. Esta es una de las ecuaciones primarias en importancia de la mec´anica del medio fluido y, nosotros la usaremos extensivamente en el desarrollo de una aproximaci´on de an´alisis mediante elementos finitos a cierto tipo de problemas que se presentan de manera habitual en la mec´anica de fluidos.
8.2.1.
Flujo rotacional e irrotacional
Similar a la din´ amica del cuerpo r´ıgido, en la din´amica del medio fluido debe darse cierta consideraci´on acerca de si el movimiento de flujo representa traslaci´on, rotaci´on, o una combinaci´on de los dos tipos de movimiento. Generalmente, en la mec´anica de fluidos, la rotaci´on pura (es decir, rotaci´on sobre un punto fijo) no es de tanta preocupaci´on como en la din´amica del cuerpo r´ıgido. En cambio, nosotros clasificamos el movimiento fluido como rotatorio (traslaci´on y rotaci´on combinadas) o irrotacional (s´ olo traslaci´ on). Debido a la deformabilidad inherente de los fluidos, las definiciones de traslaci´on y rotaci´ on realmente no son iguales que para los cuerpos r´ıgidos. Para entender la diferencia, enfocamos nuestra atenci´ on en la definici´ on de rotaci´on en relaci´on con el movimiento de un fluido.
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
267
Se dice que un campo de flujo es irrotacional si un elemento t´ıpico del fluido movi´endose en el espacio no sufre ninguna rotaci´ on neta. Un cl´asico ejemplo usado a menudo para explicar el concepto es el de los carruajes de pasajero en una rueda de Ferris (m´as conocida como rueda de Chicago, que se ven en las ferias de diversiones). Como la rueda gire a trav´es de una revoluci´on (una vuelta completa), los carruajes tambi´en se mueven a trav´es de una trayectoria circular, pero permanecen en una orientaci´ on relativa fija con respecto al campo gravitatorio (asumiendo que los pasajeros tienen buen comportamiento, y no hacen una payasada como pararse de cabeza, por ejemplo). Como el conjunto de carruajes conectados a la periferia de la rueda retorna al punto de partida, la orientaci´on angular de cualquier carruaje es exactamente igual que en la orientaci´on inicial, de modo que no ocurre ninguna rotaci´ on neta en el intervalo de duraci´on del entretenimiento.
t
t
t + dt
(a) Flujo irrotacional
t + dt
(b) Flujo rotacional
Figura 8.3: Elemento de un fluido movi´endose en un ducto Para relacionar ´este concepto al flujo fluido, consideremos la Figura 8.3 que muestra dos posibilidades de un flujo bi–dimensional a trav´es de un conducto. La Figura 8.3(a) muestra un elemento de fluido en movimiento rotatorio. Note que, en este caso, nosotros esquematizamos a dicho elemento comport´ andose esencialmente como un s´olido. Claramente apreciamos que el fluido ha sufrido traslaci´on y rotaci´ on. La Figura 8.3(b) muestra la misma situaci´on que en el caso de flujo irrotational. El elemento se ha deformado (angularmente), y nosotros indicamos esa deformaci´on angular mediante una distorsi´ on geom´etrica del elemento en un tiempo posterior. Si no ocurre la distorsi´on mostrada en el esquema de la Figura 8.3(b), el flujo se define como irrotacional. Como se muestra en la mayor´ıa de los libros de texto de mec´ anica de fluidos b´asica [18], las condiciones para la irrotacionalidad en el flujo tri–dimensional son ∂υ ∂u − = 0, ∂x ∂y
∂w ∂u − = 0, ∂x ∂z
∂w ∂υ − =0 ∂y ∂z
(8.7)
Esta ecuaci´ on proviene de la definici´ on de velocidad angular de deformaci´on interna en un medio fluido, ~ = 1 ∇×V ~ ; siendo ω ~ el ~ V que sint´eticamente se expresa como: ω ~ = 21 rot ~ el vector velocidad angular, V 2 ~ vector que describe el campo de velocidad V ≡ (u, υ, w), y ∇ el operador vectorial nabla. Cuando las expresiones dadas por las Ecuaciones (8.7) no son satisfechas, el flujo es rotatorio y las variaciones de la velocidad angular o rotatoria pueden definirse en t´erminos de las derivadas parciales de la misma ecuaci´ on. En este texto, nosotros consideramos s´olo flujos irrotacionales y no procedemos m´as all´ a de las relaciones indicadas en la Ecuaci´on (8.7).
8.3.
La funci´ on de corriente
A continuaci´ on consideramos el caso de flujo bi–dimensional, estacionario, e incompresible. (Note que impl´ıcitamente estamos asumiendo que los efectos de la viscosidad son despreciables). Aplicando estas restricciones, la ecuaci´ on de continuidad es ∂u ∂υ + =0 ∂x ∂y
(8.8)
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
268
y las condiciones de irrotacionalidad del flujo fluido se reducen a ∂u ∂υ − =0 ∂y ∂x
(8.9)
Las Ecuaciones (8.8) y (8.9) son satisfechas si introducimos (definimos) la funci´on de corriente ψ(x, y) de modo que las componentes de la velocidad est´en dadas por u(x, y) =
∂ψ ∂y
υ(x, y) = −
∂ψ ∂x
(8.10)
Estas componentes autom´ aticamente satisfacen la ecuaci´on de continuidad. La condici´on de irrotacionalidad, Ecuaci´ on (8.9), llega a ser ∂u ∂υ ∂ − = ∂y ∂x ∂y
∂ψ ∂y
−
∂ ∂x
−
∂ψ ∂x
=
∂2ψ ∂2ψ + = ∇2 ψ = 0 ∂x2 ∂y 2
(8.11)
La Ecuaci´ on (8.11) es la famosa ecuaci´ on de Laplace, la cual es ecuaci´on gobernante para muchos fen´omenos f´ısicos. El s´ımbolo ∇ representa al vector de derivaci´on espacial parcial, com´ unmente llamado operador nabla, definido en general por ∇≡ˆ ı
∂ ∂ ˆ ∂ en coordenadas cartesianas, y ∇2 ≡ ∇◦∇ + ˆ +k ∂x ∂y ∂z
Examinemos ahora la importancia f´ısica de la funci´on de corriente ψ(x, y) en relaci´on con el flujo bi–dimensional. En particular, consideramos las l´ıneas en el plano x–y (conocidas como l´ıneas de corriente) a lo largo de las cuales la funci´on de corriente es constante. Si la funci´on de corriente es constante, podemos escribir ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 dψ = ∂x ∂y o bien: dψ = −υ dx + u dy = 0 El vector tangente en cualquier punto sobre la l´ınea de corriente es nt = dxˆ ı + dyˆ , y el vector ˆ velocidad del fluido en el mismo punto es V = uˆ ı + υˆ . Por tanto, el vector V ×nt = (−υ dx + u dy)k tiene magnitud cero, por la u ´ltima ecuaci´ on. El producto vectorial de dos vectores no–nulos es cero, s´olo si los vectores son paralelos. Por tanto, en cualquier punto sobre una l´ınea de corriente, el vector velocidad del fluido es tangente a la l´ınea de corriente.
8.3.1.
Formulaci´ on de elemento finito
El desarrollo de las caracter´ısticas de elemento finito para flujo fluido basado en la funci´on de corriente es dir´ecta, ya que (1) la funci´ on de corriente ψ(x, y) es una funci´on escalar desde la cual las componentes del vector velocidad se obtienen por proceso de diferenciaci´on y (2) la ecuaci´on gobernante es esencialmente la misma que aquella para la conducci´on de calor bi–dimensional. Para entender la importancia del u ´ltimo punto, reexamine la Ecuaci´on (7.21) y la serie ψ = T , kx = ky = 1, Q = 0, y h = 0. El resultado es la ecuaci´ on de Laplace que gobierna la funci´on de corriente La funci´on de corriente sobre el dominio de inter´es es discretizada en elementos finitos que poseen M nodos, del modo siguiente: ψ(x, y) =
M X i=1
Ni (x, y)ψi = [ N ]{ψ}
(8.12)
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
269
Usando el m´etodo de Galerkin, las ecuaciones residuales de elemento son 2 Z ∂ ψ ∂2ψ Ni (x, y) + dx dy = 0 i = 1; M ∂x2 ∂y 2
(8.13)
A(e)
o, tambi´en
Z [ N ]T
∂2ψ ∂2ψ + ∂x2 ∂y 2
dx dy = 0
(8.13a)
A(e)
La aplicaci´ on del teorema de Green–Gauss proporciona Z Z Z ∂ψ ∂[ N ]T ∂ψ ∂ψ [ N ]T nx dS − dx dy + ny dS [ N ]T ∂x ∂x ∂x ∂y S (e)
A(e)
Z −
S (e)
T
∂[ N ] ∂ψ dx dy = 0 ∂y ∂y
(8.14)
A(e)
donde S representa el borde l´ımite del elemento y (nx , ny ) son las componentes del vector normal unitario saliente al borde. Usando las Ecuaciones (8.10) y (8.12) resulta en Z Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + dx dy{ψ} = [ N ]T ( u ny − υ x )dS (8.15) ∂x ∂x ∂y ∂y S (e)
A(e)
y, ´esta ecuaci´ on es de la forma requerida [ k (e) ]{ψ} = {f (e) } La matriz de rigidez de elemento (de dimensi´on M ×M ) es Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] (e) [k ] = + dx dy ∂x ∂x ∂y ∂y
(8.15a)
(8.16)
A(e)
y las fuerzas nodales son representadas por el vector (de dimensi´on M ×1) o matriz columna Z (e) {f } = [ N ]T ( u ny − υ x )dS
(8.17)
S (e)
Puesto que las fuerzas nodales se obtienen mediante integraci´on a lo largo de los l´ımites del elemento y los vectores normales unitarios para los elementos adyacentes son iguales y en sentidos opuestos, las fuerzas en los l´ımites de inter–elementos (elementos adyascentes que comparten un borde l´ımite com´ un) se cancelan durante el proceso de ensamblaje. Por consiguiente, las fuerzas definidas por la Ecuaci´ on (8.17) necesitan ser calculadas s´olo para los l´ımites del elemento que coinciden con los l´ımites globales del dominio en an´ alisis. Esta observaci´on est´a siguiendo consideraciones similares efectuadas previamente en el contexto de otros tipos de problemas.
8.3.2.
Condiciones de borde
Como la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de corriente es una ecuaci´on diferencial de segundoorden, en derivadas parciales y con dos variables independientes; por tanto, deben especificarse y satisfacerse cuatro condiciones de borde para obtener la soluci´on a un problema f´ısico. La manera en la cual las condiciones l´ımite se aplican a un modelo de elemento finito es discutido en relaci´on a la
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
270
Figura 8.4(a). La figura muestra un campo de flujo entre dos placas paralelas que forman un canal de cauce convergente. Las placas se asumen suficientemente largas en la direcci´on z de forma que el flujo puede modelarse adecuadamente como bi–dimensional. Debido a la simetr´ıa, consideramos s´olo la mitad superior del campo de flujo, como en la Figura 8.4(b). La secci´on a–b se asume que est´a bastante lejos de la secci´on convergente, de modo que la velocidad fluida s´olo tiene una componente en la direcci´on x. Puesto que nosotros examinamos s´ olo flujo estacionario, la velocidad en a–b es Uab = const. Un argumento similar se aplica a la secci´ on c–d, situada m´as adelante, y denotamos la componente de velocidad–x en esa secci´ on como Uab = const. Cu´an lejano r´ıo arriba o r´ıo abajo es bastante para hacer estas asunciones ?. La respuesta es una cuesti´on de convergencia de la soluci´on. Las distancias involucradas deben aumentar hasta que no exista ninguna diferencia discernible en la soluci´on de flujo. Como una regla de tipo pr´ actico, las distancias deben ser 10 a 15 veces la anchura del cauce de flujo. y b Uab
c Ucd
a
d
x
(a) Esquema del prototipo real
2
b
Uab
c Ucd
1 a
d (b) Modelo de media simetr´ıa
b c a
d
(c) Modelo de elementos finitos triangulares
Figura 8.4: Flujo uniforme dentro de un ducto convergente Como resultado de la simetr´ıa e irrotacionalidad del flujo, no puede haber componente de velocidad en la direcci´on y a lo largo de la l´ınea y = 0 (es decir, el eje x). La velocidad a lo largo de esta l´ınea es en absoluto tangente a la misma en todos los valores de x. Dadas estas observaciones, el eje x es una l´ınea de corriente; de aqu´ı, ψ = ψ1 = cte a lo largo del eje. Similarmente, a lo largo de la superficie de la placa superior, no hay ninguna componente de velocidad normal a la placa (imprenetrabilidad), as´ı que ´este contorno tambi´en debe ser una l´ınea de corriente a lo largo de la cual ψ = ψ2 = cte. Los valores de ψ1 y ψ2 son dos de las condiciones de borde requeridas. Recordando que las componentes de velocidad se definen como las primeras derivadas parciales de la funci´on de corriente, ´esta debe tener forma conocida involucrando dentro de s´ı una constante. Por ejemplo, una funci´on de corriente con la forma ψ(x, y) = C + f (x, y) no contribuye ninguna condici´on de velocidad asociada con la constante
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
271
C. Por tanto, un valor (constante) de la funci´on de corriente puede ser arbitrariamente especificado. En este caso, nosotros escogemos poner ψ1 = 0. Para determinar el valor de ψ2 , notamos que, en la secci´on a–b (que hemos escogido arbitrariamente como x = 0), la velocidad es u=
∂ψ ψ2 − ψ1 ψ2 = Uab = cte = = ∂y y b − ya yb
(8.18)
de donde: ψ2 = yb Uab . En cualquier punto sobre a–b, tenemos ψ = (ψ2 /yb )y = Uab y, de modo que el valor de la funci´ on de corriente en cualquier nodo de elemento finito localizado sobre a–b es conocido. Similarmente, puede mostrarse que ψ = (ψ2 /yc )y a lo largo de c–d, de modo que los valores nodales en esa l´ınea tambi´en son conocidos. Si estos argumentos son considerados cuidadosamente, vemos que las condiciones l´ımite sobre las “esquinas” o v´ertices del dominio son cont´ınuas y bien definidas. Luego consideramos las condiciones de fuerza a trav´es de las secciones a–b y c–d. Como notamos, las componentes de velocidad–y a lo largo de estas secciones son cero. Adem´as, las componentes–y de los vectores normales unitarios a estas secciones tambi´en son cero. Usando ´estas observaciones junto con la Ecuaci´ on (8.17), las fuerzas nodales sobre los nodos de cualquier elemento localizado en estas secciones son cero. La ocurrencia de fuerzas nulas es equivalente a establecer que las l´ıneas de corriente son normales a los bordes l´ımite. Si ahora utilizamos una malla de elementos triangulares (por ejemplo), como en la Figura 8.4(c), y seguimos el procedimiento general de ensamblaje del sistema, obtenemos una serie de ecuaciones globales de la forma [ K ]{ψ} = {F } (8.19) La funci´ on impelente en el lado derecho es cero en todos los nodos interiores. En los nodos ubicados en el borde l´ımite sobre las seccciones a–b y c–d, observamos que las fuerzas nodales son tambi´en cero. En todos los nodos de elementos situados sobre la l´ınea y = 0, los valores nodales de la funci´on de corriente son ψ = 0; mientras que en todos los nodos de los elementos localizados sobre el perfil de la placa superior los valores se especifican como ψ = yb Uab . Las condiciones ψ = 0 son an´alogas a la especificaci´ on de desplazamientos nulos en un problema estructural. Con estas condiciones, las inc´ognitas son las fuerzas ejercidas sobre esos nodos. Similarmente, la especificaci´on de valores no– nulos de la funci´ on de corriente a lo largo del perfil de la placa superior es an´alogo a un desplazamiento especificado. La inc´ ognita es la fuerza requerida para inducir ese desplazamiento. La situaci´ on aqu´ı es un poco m´ as complicada matem´aticamente, cuando tenemos valores especificados nulos y no–nulos de la variable nodal. En lo siguiente, asumimos que las ecuaciones del sistema se han ensamblado, y re–ordenamos las ecuaciones de modo que la matriz columna de valores nodales sea {ψ0 } (8.20) {ψ} = {ψc } {ψd } donde {ψ0 } representa todos los nodos a lo largo de la l´ınea de corriente para los cuales ψ = 0; {ψc } representa a todos los nodos sobre los cuales el valor de ψ es especificado o conocido; y finalmente {ψd } corresponde a todos los nodos para los cuales la funci´on de corriente ψ es desconocida. El vector de fuerza global correspondiente es {F } 0 {F } = {Fc } (8.21) {0} y notamos que en todos los nodos en los cuales ψ no es conocida son nodos internos en los cuales las fuerzas nodales se conoce que deben tomar valor nulo, por las razones que y´a se explicaron.
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
272
Usando la notaci´ on previamente nando la matriz de rigidez) como [ K00 ] [ Kc0 ] [ Kd 0 ]
definida, las ecuaciones del sistema pueden re–escibirse (particio {ψ0 } {F0 } [ Kcc ] [ Kcd ] {ψc } = {Fc } [ Kdc ] [ Kdd ] {ψd } {0} [ K0c ] [ K0d ]
(8.22)
puesto que {ψ0 } = {0}, la primera serie de las ecuaciones particionadas resulta [ K0c ]{ψc } + [ K0d ]{ψd } = {F0 }
(8.23)
y los valores de {F0 } pueden ser obtenidos s´olamente despu´es de haber resuelto para {ψd } usando las restantes ecuaciones. De aqu´ı, la Ecuaci´ on (8.23) es an´aloga a las ecuaciones de fuerzas de reacci´on en los problemas estructurales y puede ser eliminada del sistema temporalmente. Las ecuaciones remanentes que conforman el modelo reducido asociado son [ Kcc ] [ Kcd ] {ψc } {Fc } = (8.24) [ Kdc ] [ Kdd ] {ψd } {0} y debe notarse que, aunque la matriz de rigidez es sim´etrica, [ Kcd ] y [ Kdc ] no son las mismas. La primera partici´ on de la Ecuaci´ on (8.24) es tambi´en una serie de ecuaciones de “reacci´on” dadas por [ Kcc ]{ψc } + [ Kcd ]{ψd } = {Fc }
(8.25)
y ´estas son usadas para determinar {Fc } pero, nuevamente, despu´es que {ψd } sea determinado. La segunda ecuaci´ on proveniente de la partici´on efectuada en el modelo reducido especificado por la Ecuaci´on (8.24) es [ Kdc ]{ψc } + [ Kdd ]{ψd } = {0} (8.26) y, ´estas ecuaciones tienen como soluci´ on formal {ψd } = [ Kdd ]−1 [ Kdc ]{ψc }
(8.27)
considerando que los valores en {ψc } son constantes conocidas. Obtenida la soluci´on b´asica mediante la Ecuaci´on (8.27), las “reacciones” en las Ecuaciones (8.23) y (8.25) pueden ser ahora calculadas dir´ectamente por substituci´ on. Como las componentes de velocidad son de importancia mayor en un problema de flujo fluido, debemos luego utilizar la soluci´ on obtenida para los valores nodales de la funci´on de corriente para evaluar las componentes de velocidad. Este c´alculo es f´acilmente realizado mediante la Ecuaci´on (8.12) en la que la funci´ on de corriente es discretizada en t´erminos de los valores nodales. Una vez que completamos el procedimiento de soluci´ on y´a descrita para los valores de la funci´on de corriente en los nodos, las componentes de velocidad en cualquier punto de un elemento finito especificado son M
u(x, y) =
∂ψ X ∂Ni ∂[ N ]T = ψi = {ψ} ∂y ∂y ∂y i=1
M X ∂ψ ∂Ni ∂[ N ]T υ(x, y) = − =− ψi = − {ψ} ∂x ∂x ∂x i=1
(8.28)
Por ejemplo, note que si se usa un elemento triangular de tres–nodos, las componentes de velocidad como est´an definidas en la Ecuaci´ on (8.28) tienen valores constantes en cualquier lugar sobre el elemento y son discontinuas a trav´es de los l´ımites de elementos interconectados. Por consiguiente, se requiere un gran n´ umero de elementos peque˜ nos para obtener una aceptable exactitud en la soluci´on. La aplicaci´on de la funci´on de corriente a un ejemplo num´erico se posterga hasta que discutamos una aproximaci´on alternativa basada en la funci´ on potencial de velocidad, en la pr´oxima secci´on.
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
8.3.3.
273
La funci´ on potencial de velocidad
Otra t´ecniva para resolver un problema de flujo bi–dimensional, incompresible, no–viscoso, es incluir la funci´ on potencial de velocidad. En este m´etodo, suponemos la existencia de una funci´ on potencial φ(x, y) tal que ∂φ ∂φ u(x, y) = − υ(x, y) = − (8.29) ∂x ∂y y notamos que las componentes de velocidad definidas por la Ecuaci´on (8.29) autom´aticamente satisfacen la condici´ on de irrotacionalidad. La substituci´on de las definiciones de velocidad en la ecuaci´on de continuidad para flujo bi–dimensional proporciona ∂u ∂υ ∂2φ ∂2φ + 2 =0 + = ∂x ∂y ∂x2 ∂y
(8.30)
y, nuevamente, obtenemos la ecuaci´ on de Laplace como ecuaci´on gobernante para flujo bi–dimensional descrita por una funci´ on potencial. Examinemos la formulaci´ on potencial en t´erminos del ejemplo anterior de un flujo convergiendo entre dos placas paralelas. Refiri´endonos nuevamente a la Figura 8.4(a), ahora observamos que, a lo largo de las l´ıneas en las que la funci´on potencial es constante, nosotros podemos escribir dφ =
∂φ ∂φ dx + dy = −( u dx + υ dy ) = 0 ∂x ∂y
(8.31)
Observando que la cantidad u dx + υ dy es la magnitud del producto escalar del vector velocidad y el vector tangente a la l´ınea de potencial constante, concluimos que el vector velocidad en cualquier punto sobre una l´ınea de potencial constante es perpendicular a la l´ınea. De aqu´ı, las l´ıneas de corriente y las l´ıneas de potencial de velocidad constante (l´ıneas equipotenciales) forman una “red” ortogonal (conocida como el flujo neto) como mostramos esquem´aticamente en la Figura 8.5. Cte.
Cte.
a
c
d
b
Cte.
Figura 8.5: Flujo neto de l´ıneas de corriente y potencial de velocidad constantes La formulaci´ on de elemento finito de un flujo incompresible, no–viscoso, irrotacional, en t´erminos del potencial de velocidad es bastante similar a aquella planteada para la aproximaci´on mediante la funci´on de corriente, ya que la ecuaci´on gobernante es la ecuaci´on de Laplace en ambos casos. Por analog´ıa directa con las Ecuaciones (8.12) a (8.14), podemos escribir φ(x, y) =
M X
Ni (x, y)φi = [ N ]{φ}
(8.32)
i=1
Z Ni (x, y) A(e)
∂2φ ∂2φ + 2 ∂x2 ∂y
dx dy = 0
i = 1; M
(8.33)
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
274
Z T
[N ]
∂2φ ∂2φ + 2 ∂x2 ∂y
dx dy = 0
(8.33a)
A(e)
Z [ N ]T S (e)
Z Z ∂φ ∂[ N ]T ∂φ nx dS − dx dy + [ N ]T ∂x ∂x ∂x A(e) S (e) Z T ∂[ N ] ∂φ − dx dy = 0 ∂y ∂y
∂φ ny dS ∂y (8.34)
A(e)
Utilizando la Ecuaci´ on (8.32) en las integrales de ´area de la Ecuaci´on (8.34), y substituyendo las componentes de velocidad en las integrales de borde, obtenemos Z
∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + ∂x ∂x ∂y ∂y
Z dx dy{φ} = −
[ N ]T ( u nx + υ ny )dS
(8.35)
S (e)
A(e)
o, en forma resumida [ k (e) ]{φ} = {f (e) }
(8.35a)
La matriz de rigidez de elemento se observa que es id´entica a aquella del m´etodo de la funci´on de l´ınea de corriente. El vector de fuerza nodal es significativamente diferente, sin embargo. Note que, en la integral de la derecha en la Ecuaci´ on (8.35), el t´ermino entre par´entesis es el producto escalar del vector velocidad y el vector normal unidad en un borde l´ımite del elemento. Por consiguiente, las fuerzas nodales son asignadas a los nodos del flujo a trav´es de los l´ımites del elemento. (Recuerde que asumimos dimensi´ on de valor unidad en la direcci´on z, para que los t´erminos en el lado derecho de la Ecuaci´on (8.35) son los caudales volum´etricos). Como es usual, en los l´ımites de los elementos interiores, las contribuciones de elementos adyacentes son iguales pero de sentido opuesto y se cancelan durante el paso de ensamblaje del sistema. S´ olo los elementos en los l´ımites globales tienen componentes de fuerza nodales no–nulas. Ejemplo 8.1. Para ilustrar ambos m´etodos: la funci´ on de l´ınea de corriente y el potencial de velocidad, ahora examinaremos el caso de un cilindro puesto transversalmente a una corriente de flujo uniforme, como es mostrado en la Figura 8.6(a). Las hip´ otesis que hacemos a esta situaci´on, son 1. Lejos aguas arriba del cilindro, el campo de flujo es uniforme con u = U = cte y υ = 0. 2. Las dimensiones en la direcci´ on z son grandes, para que el flujo pueda ser considerado bi–dimensional. 3. Lejos aguas abajo del cilindro, el flujo es de nuevo uniforme de acuerdo con la hip´otesis 1.
> Soluci´ on Aqu´ı plantearemos una discusi´ on detallada, pero general, del enfoque de an´alisis que se puede establecer para este problema aplicando modelos de elemento finito asociados con las dos concepciones de formulaci´on desarrolladas anteriormente.
Formulaci´ on de potencial de velocidad
Dadas las hip´ otesis y la geometr´ıa del problema, necesitamos considerar s´olo una cuarta parte del campo de flujo, como se muestra en la Figura 8.6(b), debido a la simetr´ıa. Las condiciones de borde
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
275
y
U x
(a) Esquema del prototipo real
U yb
b
c
Cte. x
d a
e
(b) Modelo de cuarta simetr´ıa
Figura 8.6: Flujo uniforme alrededor de un cilindro en un ducto
primero se establecen para la formulaci´on de potencial de velocidad. A lo largo de la recta x = 0 (a–b), tenemos u = U = cte y υ = 0. De modo que, ∂φ ∂x ∂φ υ(0, y) = 0 = − ∂y u(0, y) = U = −
y el vector normal unitario (saliente) a esta superficie es (nx , ny ) = (−1, 0). De aqu´ı, para cada elemento que tiene lados (y por tanto nodos) sobre el l´ımite a–b, el vector de fuerza nodal resulta ser para ellos Z Z (e) T {f } = − [ N ] ( u nx + υ ny )dS = U [ N ]T dS S (e)
S (e)
y el camino de integraci´ on simplemente es dS = dy entre los nodos del elemento. Note el cambio en signo, debido a la orientaci´ on del vector normal exterior. De aqu´ı, las fuerzas asociadas con el flujo en la regi´on son positivas y las fuerzas asociadas con la salida son negativas. (El signo asociados con las fuerzas de flujo de entrada y salida depende de la elecci´on de signos en la Ecuaci´on (8.29). Si, en la Ecuaci´ on (8.29) escogemos signos positivos, la formulaci´on es esencialmente la misma). Las condiciones de simetr´ıa son tales que, sobre la superficie (borde) c–d, las componentes de velocidad–y son cero y x = xc , as´ı podemos escribir υ=−
∂φ(xc , y) ∂φ =− =0 ∂y ∂y
Esta relaci´ on puede satisfacerse si φ es independiente de la coordenada y, ´o si φ(xc , y) es constante. La primera posibilidad es bastante improbable y requiere que asumamos cierta forma de la soluci´on. De aqu´ı, la conclusi´ on es que la funci´on potencial de velocidad debe asumir un valor constante sobre c–d. Note que, sin embargo, esta conclusi´on no implica que la componente–x de velocidad sea cero.
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
276
A lo largo de b–c, la velocidad fluida tiene s´olo una componente–x (debido a la impenetrabilidad), de modo que podemos escribir esta condici´on de borde como ∂φ ∂φ ∂φ = nx + ny = −( u nx + υ ny ) = 0 ∂n ∂x ∂y y puesto que υ = 0 y nx = 0 sobre este borde, hallamos que todas las fuerzas nodales son cero a lo largo del segmento b–c, pero los valores de la funci´on potencial de velocidad son desconocidos. El mismo argumento se aplica para e–d. Usando las condiciones de simetr´ıa a lo largo de esta superficie, no hay velocidad perpendicular a este sub–contorno, y arribamos a la misma conclusi´on: los nodos del elemento tienen valores de fuerza nodales nulos, pero simult´aneamene valores desconocidos de la funci´on potencial de velocidad. En resumen, para la formulaci´ on de funci´on potencial de velocidad, las condiciones de borde pertinentes son: 1. 2. 3. 4.
L´ımite L´ımite L´ımite L´ımite
a–b: b–b: c–d: a–e–d:
φ desconocido, fuerzas conocidas φ desconocido, fuerzas= 0 φ = cte, fuerzas desconocidas φ desconocido, fuerzas= 0
Ahora consideremos el ensamble de las ecuaciones globales. Por el procedimiento conocido de ensamblaje, las ecuaciones resultantes del proceso en forma matricial pueden escribirse [ K ]{φ} = {F } y el vector fuerza en el lado derecho de la ecuaci´on contiene valores conocidos como tambi´en desconocidos.El vector de valores de potencial nodales es desconocido — no tenemos valores especificados. Sabemos que, a lo largo de c–d, los valores de la funci´on potencial son constantes, pero no conocemos el valor de dichas constantes. Sin embargo, a la luz de la Ecuaci´on (8.29), las componentes de velocidad est´an definidas en t´erminos de las derivadas parciales, as´ı una constante arbitraria en la funci´on potencial no es de ninguna consecuencia, como con la formulaci´on de funci´on de corriente. Por consiguiente, necesitamos especificar s´ olo un valor arbitrario de φ en los nodos sobre c–d en el modelo, y el sistema de ecuaciones se hace soluble.
Formulaci´ on de funci´ on de corriente
Desarrollar el modelo de elemento finito para este problema particular en t´erminos de la funci´on de corriente es algo m´ as simple que para el potencial de velocidad. Por razones que se ponen claras cuando se establecen las condiciones de borde, tambi´en necesitamos considerar s´olo una cuarta parte del campo de flujo. El modelo tambi´en es como el mostrado en la Figura 8.6(b). A lo largo de a–e, las condiciones de simetr´ıa son tales que las componentes de velocidad–y son cero. Sobre el segmento e–d, las componentes de velocidad normales al cilindro deben ser cero, por condici´on que el cilindro es impenetrable. De aqu´ı, el segmento a–e–d es una l´ınea de corriente y arbitrariamente podemos establecer ψ = 0 sobre dicha l´ınea de corriente. Claramente, la superficie superior b–c tambi´en es una l´ınea de corriente y, usando los argumentos anteriores del ejemplo de flujo convergente, tenemos que ψ = U yb a lo largo de este borde. (Note que, si hubi´eramos escogido el valor de la funci´on de corriente a lo largo de a–e–d como una constante no–nula C, el valor a lo largo de b–c ser´ıa ψ = U yb + C). Sobre a–b y c–d, las fuerzas nodales son cero, tambi´en por la discusi´on anterior, y los valores nodales de la funci´on de corriente son desconocidos. Excepto por las diferencias geom´etricas, el procedimiento de soluci´on es igual que para el flujo convergente analizado anteriormente. Una malla relativamente tosca de elementos cuadril´ateros de cuatro–nodos usada para resolver este problema mediante la funci´ on de corriente se muestra en la Figura 8.7(a). Para el c´alculo num´erico, se usan los valores: U = 40, distancia a–b = yb = 5, y radio del cilindro = 1.
14
43
13
53
40
49
36
12
34
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7 2
0
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6
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31
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4 3
52 50
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22
21
20
17
1
24
23
(b) L´ıneas de corriente (φ = cte) de la soluci´ on de elemento finito.
Figura 8.7: Modelo para flujo uniforme alrededor de un cilindro en un ducto; 40 elementos.
(a) Malla de elementos finitos para la soluci´ on de funci´ on de corriente.
8
15
16
48
18
200
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION 277
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
278
Tabla 8.1: Valores nodales seleccionados – Soluci´on del Ejemplo 8.1 Nodo
ψEF
ψexacto
VEF
Vexacto
1 2 8 16 20 21 22 23 24 45 46
0 0 0 123,63 142,48 100,03 67,10 40,55 18,98 67,88 103,87
0 0 0 122,17 137,40 99,37 64,67 39,36 18,28 65,89 100,74
75,184 1,963 38,735 40,533 44,903 47,109 51,535 57,836 68,142 41,706 42,359
80 0 38,4 40,510 42,914 45,215 49,121 55,499 65,425 40,799 41,018
Las l´ıneas de corriente resultantes (l´ıneas de ψ = cte) se muestran en la Figura 8.7(b). Recordando que las l´ıneas de corriente son l´ıneas para las cuales la velocidad del fluido es tangente en todos los puntos, los resultados parecen ser correctos intuitivamente. Note que, sobre el l´ımite izquierdo, las l´ıneas de corriente parecen ser casi perpendiculares a dicho l´ımite, como se requiere si la condici´on de velocidad uniforme en ese l´ımite sea satisfecha. Para el problema que nos ocupa, tenemos el lujo de comparar los resultados del an´alisis mediante elementos finitos con una soluci´ on “aproximadamente exacta” la cual proporciona la funci´on de corriente como la expresi´ on siguiente ψ=U
x2 + y 2 − R2 y x2 + y 2
Esta soluci´ on es realmente para un cilindro en una corriente de flujo uniforme de extensi´on indefinida en ambas direcciones x y y (de aqu´ı, el uso de la denominaci´on “aproximadamente exacta” que emitimos) pero es suficiente para los prop´ ositos de comparaci´on. La Tabla 8.1 presenta valores obtenidos por la soluci´ on de elemento finito y la soluci´on anal´ıtica precedente en algunos nodos seleccionados en el modelo. Tambi´en se muestra la magnitud calculada de la velocidad del fluido en esos puntos. Los errores nominales en la soluci´ on de elemento finito versus la soluci´on anal´ıtica son aproximadamente del 4 por ciento para el valor de la funci´ on de corriente, y un 6 por ciento para la magnitud de la velocidad. Aunque no mostramos aqu´ı, se us´o una malla refinada de elementos consistente en 218 elementos para evaluar una segunda soluci´ on y los errores disminuyeron a menos de 1 por ciento para el valor de la funci´ on de corriente y la magnitud de la velocidad. > En p´arrafos anteriores del cap´ıtulo, se menciona la analog´ıa entre el problema de conducci´on de calor y la formulaci´ on de funci´ on de corriente en problemas de flujo fluido. Puede ser de inter´es del lector notar que la soluci´ on de la funci´ on de corriente presentada en el Ejemplo 8.1 se genera usando un paquete de software comercial y un elemento de transmisi´on de calor bi–dimensional. El software particular utilizado no contiene un elemento fluido del tipo requerido para el problema. Sin embargo, poniendo las conductividades t´ermicas en valor unidad y especificando la generaci´on de calor interior nula; el problema, matem´ aticamente, es el mismo. Es decir, las temperaturas nodales se vuelven valores nodales de la funci´ on de corriente. Similarmente, las derivadas espaciales de la temperatura (los valores de flujo cal´orico) se convierten en las componentes de velocidad del flujo fluido, si los cambios de signo apropiados se tienen en cuenta. La similitud matem´atica de los dos problemas es ilustrada m´as adelante por la soluci´on de elemento finito del ejemplo anterior que usa la funci´on potencial de velocidad.
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
279
Con la puntualizaci´ on anterior, impl´ıcitamente estamos indicando que fen´omenos f´ısicos de naturaleza distinta pueden estar gobernados por una misma ecuaci´on matem´atica. Para el caso espec´ıfico mencionado anteriormente, esta relaci´on matem´atica es la ecuaci´on de Laplace. Ejemplo 8.2. Obtenga una soluci´ on de elemento finito para el problema del Ejemplo 8.1 mediante aproximaci´on del potencial de velocidad, usando, espec´ıficamente, la formulaci´on de transferencia de calor modificada como sea requerida. > Soluci´ on Primero notemos las analog´ıas de los fen´omenos f´ısicos involucrados ∂φ ⇒ qx = − kx ∂x ∂φ υ=− ⇒ qy = − ky ∂y u=−
∂T ∂x ∂T ∂y
de modo que, si kx = ky = 1; entonces el potencial de velocidad es directamente an´alogo a la temperatura, y las componentes de velocidad son an´alogos a los correspondientes t´erminos de flujo. De aqu´ı, las condiciones de borde en t´erminos de las variables t´ermicas, llegan a ser qx = U qy = 0 sobre a–b qx = qy = 0 sobre a–c y a–e–d T = cte = 0 sobre c–d (el valor es arbitrario) La Figura 8.8 muestra una malla de elemento finito planteada para hallar la soluci´on, en la que se trazan las l´ıneas de potencial de velocidad constante φ = cte (en la soluci´on de problema t´ermico, ´estas l´ıneas son l´ıneas de temperatura constante, o isotermas). Una comparaci´on directa entre esta soluci´on de elemento finito y otra descrita por una aproximaci´on de funci´on de corriente no es posible; ya que las mallas de elemento usadas en los modelos son diferentes. Sin embargo, podemos evaluar la exactitud de la soluci´ on para el potencial de velocidad por el examen de los resultados en lo que se refiere a las condiciones de borde l´ımite. Por ejemplo, a lo largo del borde superior horizontal, la componente–y de velocidad debe ser cero, ´esto sigue del hecho que las l´ıneas de φ constante deben ser perpendiculares al borde l´ımite. Visualmente, esta condici´on parece ser razonablemente bien–satisfecha en la Figura 8.8. Un examen de los datos reales presenta un cuadro ligeramente diferente. La Tabla 8.2 muestra un listado de las componentes de velocidad calculadas en cada nodo a lo largo de la superficie superior. Claramente, los valores de la componente y de velocidad V no son cero, de manera que soluciones adicionales que usen mallas refinadas de elemento finito deben plantearse para obtener una soluci´on mucho m´ as ´ optima. Tabla 8.2: Valores nodales seleccionados – Soluci´on del Ejemplo 8.2 Nodo
u
υ
4 19 20 21 5
40,423 41,019 42,309 43,339 43,676
0,480 0,527 0,594 0,516 0,002
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
280
18
14
19
17
51
41
20
48 16 35 46
21
42
47 53
27
49 45
44
22
37 25
40
15 43
34
38
39
23
31
32
52 50
30 29
33
36
8
13
12
26
11
4 3 5
28 10
9
24 1
6 7 2
Figura 8.8: L´ıneas de potencial de velocidad φ = cte para el Ejemplo 8.2 > Observando que los m´etodos de la funci´on de corriente y el potencial de velocidad son accesibles para resolver los mismos tipos de problemas, la pregunta se plantea acerca de cual de ellos debe seleccionarse en un caso dado. En cada aproximaci´on, la matriz de rigidez es la misma, mientras que las fuerzas nodales difieren en la formulaci´on pero requieren la misma informaci´on b´asica. De aqu´ı, concluimos que no hay ninguna diferencia significativa entre los dos procedimientos. Sin embargo, si uno usa la formulaci´ on de la funci´ on de corriente, la geometr´ıa que posee el flujo fluido (es decir las trayectorias que son seguidas por las part´ıculas fluidas en movimiento) es prontamente visualizada, desde que la velocidad es tangente a las l´ıneas de corriente. Tambi´en puede demostrarse [18] que la diferencia en el valor de dos l´ıneas de corriente adyacentes, es igual a la tasa de flujo circulante (por unidad de profundidad) entre esas l´ıneas de corriente.
8.3.4.
Flujo alrededor de m´ ultiples cuerpos
Para un flujo ideal (no–viscoso, incompresible) alrededor de m´ ultiples cuerpos, el m´etodo de funci´on de corriente es bastante directo de aplicar, sobre todo en el an´alisis de elemento finito, si las condiciones de l´ımite apropiadas pueden determinarse. Para empezar la explicaci´on, revisemos el flujo alrededor de un cilindro como en el Ejemplo 8.1. Observando que la Ecuaci´on (8.11), la cual gobierna el comportamiento de la funci´ on de corriente es lineal, el principio de superposici´on de efectos es aplicable; es decir, la suma de dos soluciones cualquiera a la ecuaci´on, tambi´en es una soluci´on. En particular, consideramos que la funci´ on de corriente est´a dada por ψ(x, y) = ψ1 (x, y) + a ψ2 (x, y)
(8.36)
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
281
donde a es una constante a ser determinada. Las condiciones de borde en las superficies horizontales (S1 ) son satisfechas por ψ1 , mientras las condiciones de borde sobre la superficie del cilindro (S2 ) ser´an satisfechas por ψ2 . La constante a debe ser determinada de modo que la combinaci´on de las dos funciones de corriente satisfaga una condici´on conocida en alg´ un punto del flujo fluido. De aqu´ı, las condiciones sobre las dos soluciones (funciones de corriente) son En todo el dominio: ∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ1 + =0 ∂x2 ∂y 2 (8.37) ∂ 2 ψ2 ∂ 2 ψ2 + =0 ∂x2 ∂y 2 mientras que en las fronteras: ψ1 ψ1 ψ2 ψ2
= U yb =0 =0 =1
sobre sobre sobre sobre
S1 S2 S1 S2
(8.38)
Debe notar que el valor de ψ2 es (temporalmente) puesto igual a la unidad sobre la superficie del cilindro. El procedimiento es entonces obtener dos soluciones de elemento finito, una para cada funci´on de corriente, y las condiciones de borde asociadas. Dadas las dos soluciones, la constante a puede ser determinada y la soluci´ on completa se hace conocida. La constante a, por ejemplo, es hallada calculando la velocidad en una posici´on muy lejos agua arriba (donde la velocidad es conocida) y calculando esta constante para coincidir con esa condici´on conocida. En el caso de flujo uniforme alrededor de un cilindro, las soluciones dan el resultado trivial que a = cte arbitraria, ya que tenemos una sola superficie en el flujo, y por tanto una constante arbitraria solamente. La situaci´ on es diferente, sin embargo, si nosotros tenemos m´ ultiples cuerpos, como es discutido luego. S1
a U
S2
S3 b
Figura 8.9: Dos cuerpos en el interior de un flujo uniforme Considere la Figura 8.9, que muestra dos cuerpos de forma arbitraria localizados en el interior de un flujo fluido ideal, el cual tiene un perfil de velocidades uniforme aguas arriba a una distancia relativamente grande de los dos obst´aculos. En este caso, consideramos tres soluciones a la ecuaci´on gobernante, para que la funci´ on de corriente pueda representarse por [1] ψ(x, y) = ψ1 (x, y) + a ψ2 (x, y) + b ψ3 (x, y)
(8.39)
donde a y b son constantes a ser determinadas. De nuevo, nosotros sabemos que cada soluci´on independiente en la Ecuaci´ on (8.39) debe satisfacer la Ecuaci´on (8.11) y, recordando que la funci´on de corriente debe asumir un valor constante sobre una superficie impenetrable, podemos expresar las condiciones
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
282
de borde l´ımite en cada soluci´ on como ψ1 ψ1 ψ2 ψ2 ψ3 ψ3
= U yb =0 =0 =1 =0 =1
sobre sobre sobre sobre sobre sobre
S1 S2 y S3 S2 y S3 S2 S1 y S1 S3
(8.40)
Para obtener una soluci´ on para el problema de flujo mostrado en la Figura 8.9, debemos 1. Obtener una soluci´ on para ψ1 satisfaciendo la ecuaci´on gobernante y las condiciones de borde establecidas para ψ1 . 2. Obtener una soluci´ on para ψ2 satisfaciendo la ecuaci´on gobernante y las condiciones de borde establecidas para ψ2 . 3. Obtener una soluci´ on para ψ3 satisfaciendo la ecuaci´on gobernante y las condiciones de borde establecidas para ψ3 . 4. Combinar los resultados en (para este caso) dos puntos d´onde la velocidad o la funci´on de corriente es conocida en valor, para determinar las constantes a y b en la Ecuaci´on (8.39). Para este ejemplo, dos punto cualquiera en la secci´ on a–b son apropiados, ya que sabemos que la velocidad es uniforme en esa secci´ on. Como una nota pr´ actica, este procedimiento generalmente no es incluido en paquetes de software de elemento finito. Uno debe, de hecho, obtener las tres soluciones y calcular manualmente las constantes a y b; entonces ajustar las condiciones l´ımite (los valores constantes de la funci´on de corriente) para la entrada en la pr´ oxima corrida del software. En este caso, no s´olo los resultados computados (los valores de la funci´on de corriente, y velocidades) sino tambi´en los valores de las constantes calculadas a y b son consideraciones para la convergencia de las soluciones de elemento finito. El procedimiento descrito puede parecer tedioso, y es de cierta magnitud, pero las alternativas (otras diferentes del an´alisis de elemento finito) son mucho m´ as embarazosas.
8.4.
Flujo viscoso incompresible
Los flujos idealizados no–viscosos analizados mediante la funci´on de corriente o la funci´on potencial de velocidad pueden revelar valiosa informaci´on en muchos casos. Ya que ning´ un fluido es de verdad no–viscoso, la exactitud de estos an´ alisis disminuyen con la viscosidad creciente de un fluido real. Para ilustrar los efectos de la viscosidad (y las complicaciones que surgen) ahora examinaremos la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a una clase restringida de flujos viscosos incompresibles. Las hip´otesis y restricciones aplicables a los desarrollos siguientes son 1. El flujo puede ser considerado bi–dimensional. 2. Ninguna transferencia de calor est´ a involucrada. 3. La densidad y la viscosidad son par´ ametros constantes. 4. El flujo es estacionario con respecto al tiempo.
8.4. FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
283
Bajo estas condiciones, las afamadas ecuaciones de Navier–Stokes [39] – [21], que representan la conservaci´ on del momentum lineal, pueden reducirse a [24]
ρu
∂ 2 u ∂p ∂u ∂u ∂2u + ρυ −µ 2 −µ 2 + = FBx ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
∂2υ ∂p ∂υ ∂υ ∂2υ ρu + ρυ −µ 2 −µ 2 + = FBy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y donde: u, υ = ρ= p= µ= FBx , FBy =
(8.41)
componentes de velocidad en x y y, respectivamente densidad del fluido presi´ on interior del fluido viscosidad absoluta del fluido componentes de fuerza m´asica seg´ un x y y, respectivamente
Note cuidadosamente que la Ecuaci´on (8.41) es no–lineal, debido a la presencia de los t´erminos de inercia convectiva de la forma ρ u (∂u/∂x). En lugar de tratar aqu´ı directamente los t´erminos no–lineales, consideremos el siguiente caso especial.
8.4.1.
Flujo de Stokes
Para flujo fluido en el que las velocidades son muy peque˜ nas, los t´erminos de inercia (i.e., los t´erminos no–lineales precedentes) puede demostrarse que son despreciables comparados con los efectos viscosos. Dicho tipo de flujo, conocido como flujo de Stokes (o flujo de arrastre), normalmente es encontrado en el procesamiento de fluidos de alta–viscosidad, como los pol´ımeros fundidos por ejemplo. Despreciando los t´erminos de inercia, las ecuaciones de conservaci´on del momentum lineal se transforman a −µ
∂2u ∂ 2 u ∂p − µ + = FBx ∂x2 ∂y 2 ∂x
∂2υ ∂2υ ∂p −µ 2 − µ 2 + = FBy ∂x ∂y ∂y
(8.42)
La Ecuaci´ on (8.42) y la condici´ on de continuidad, Ecuaci´on (8.8), forman un sistema de tres ecuaciones en las tres inc´ ognitas: u(x, y), v(x, y), y p(x, y). De aqu´ı, una formulaci´on de elemento finito incluye tres variables nodales, y ´estas son discretizadas como
u(x, y) =
M X
Ni (x, y)ui = [ N ]T {u}
i=1
υ(x, y) =
M X
Ni (x, y)υi = [ N ]T {υ}
(8.43)
i=1
p(x, y) =
M X
Ni (x, y)pi = [ N ]T {p}
i=1
La aplicaci´ on del m´etodo de Galerkin a un elemento finito bidimensional (asumiendo que tiene espesor
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
284
uniforme unitario en la direcci´ on z) proporciona las ecuaciones residuales Z ∂2u ∂ 2 u ∂p Ni −µ 2 − µ 2 + − FBx dA = 0 ∂x ∂y ∂x A( e)
Z Ni
∂2υ ∂2υ ∂p −µ 2 − µ 2 + − FBy ∂x ∂y ∂y
dA = 0
i = 1; M
(8.44)
A( e)
Z Ni
∂u ∂υ + ∂x ∂y
dA = 0
A( e)
Como los procedimientos requeridos para obtener las varias matrices de elemento fueron explicados en detalle en los desarrollos anteriores, no examinaremos la Ecuaci´on (8.44) en su integridad. En cambio, se desarrollan s´ olo unos cuantos t´erminos representativos, y los resultados restantes son declarados por simple inferencia. Primero, consideremos los t´erminos viscosos que contienen segundas derivadas espaciales de las componentes de velocidad como 2 Z ∂ u ∂2υ + dA i = 1; M (8.45) µ Ni ∂x2 ∂y 2 A(e)
el cual puede ser expresado como Z Z ∂Ni ∂u ∂Ni ∂u ∂u ∂ ∂u ∂ Ni + Ni dA + µ + dA − µ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
i = 1; M
(8.46)
A(e)
A(e)
La aplicaci´on del teorema de Green–Gauss a la primera integral en la Ecuaci´on (8.46) proporciona Z Z ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u − µ Ni + Ni dA = − µ Ni nx + ny dS i = 1; M (8.47) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y A(e)
S (e) (e)
donde S es el borde l´ımite del elemento y (nx , ny ) son las componentes del vector normal unitario exterior al l´ımite. De aqu´ı, la integral en la Expresi´on (8.45) se vuelve 2 Z Z ∂ u ∂2u ∂u ∂u − µNi + n + n dA = − µN x y dS i ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y A(e) S (e) (8.48) Z ∂Ni ∂u ∂Ni ∂u + µ + dA i = 1; M ∂x ∂x ∂y ∂y A(e)
Note que el primer t´ermino en el lado derecho de la Ecuaci´on (8.48) representa un t´ermino de fuerza nodal de borde para el elemento. Dichos t´erminos provienen del efecto de las tensiones cortantes actuantes en el interior del fluido. Como observamos muchas veces, estas condiciones se cancelan en los l´ımites de inter–elementos y s´ olo deben ser considerados en los l´ımites globales de un modelo de elemento finito. De aqu´ı, estas condiciones s´olo son consideradas en el paso de ensamblaje del modelo. La segunda integral en la Ecuaci´ on (8.48) es una porci´on de la matriz de “rigidez” para el problema de flujo fluido, y cuando este t´ermino se relaciona con la componente de velocidad seg´ un la direcci´on x y la viscosidad, denotamos esta porci´ on de la matriz como [ kuµ ]. Recordando que la Ecuaci´on (8.48) representa en realidad un sistema de M ecuaciones algebr´aicas, la integral se convierte a una forma matricial usando la primera de las Ecuaciones (8.43) para obtener Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] 2 + ∂y dA {u} = [ kuµ ]{u} (8.49) µ ∂x ∂x ∂y ∂y A(e)
8.4. FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
285
Usando el mismo procedimiento con el segundo t´ermino de la Ecuaci´on (8.44), los resultados son similares. Seg´ un un desarrollo apropiado, obtenemos el resultado an´alogo 2 Z Z ∂υ ∂ υ ∂2υ ∂υ + dA = − µN − µNi n + n i x y dS ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y S (e) A(e) (8.50) Z ∂Ni ∂υ ∂Ni ∂υ + µ + dA i = 1; M ∂x ∂x ∂y ∂y A(e)
Procediendo como antes, podemos escribir las integrales de ´area en la derecha como Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] µ + dA {υ} = [ kυµ ]{υ} ∂x ∂x ∂y ∂y
(8.51)
A(e)
Considerando luego los t´erminos asociados con la presi´on y convirtiendo a notaci´on matricial, el primer t´ermino de la Ecuaci´ on 8.53 se desarrolla como Z ∂[ N ] dA{p} = [ kpx ]{p} (8.52) [ N ]T ∂x A(e)
y, similarmente las segundas ecuaciones del momentum contienen Z ∂[ N ] [ N ]T dA{p} = [ kpy ]{p} ∂y
(8.53)
A(e)
Las componentes de fuerza nodales que corresponden a las fuerzas m´asicas (medidas por unidad de volumen) son prontamente mostradas que est´an dadas por Z {fBx } = [ N ]T FBx dA A(e)
(8.54)
Z [ N ]T FBy dA
{fBy } = A(e)
Combinando la notaci´ on desarrollada en las Ecuaciones (8.43) a (8.54), resulta que las ecuaciones de conservaci´ on del momentum lineal para el elemento finito son kuµ {u} + [ kpx ]{p} = {fBx } + {fxτ } (8.55) kυµ {υ} + [ kpy ]{p} = {fBy } + {fyτ } donde, para la integridad, se han inclu´ıdo las fuerzas nodales que corresponden a las integrales sobre ´ los l´ımites del elemento S (e) en las Ecuaciones (8.48) y (8.50). (Estos t´erminos est´an denotados como: {fxτ } y {fyτ } en la ecuaci´ on anterior). Finalmente, la ecuaci´ on de continuidad se expresa en t´erminos de las velocidades nodales en forma matricial como Z Z ∂[ N ] ∂[ N ] dA{u} + [ N ]T dA{υ} = [ ku ]{u} + [ kυ ]{υ} = 0 (8.56) [ N ]T ∂x ∂y A(e)
A(e)
donde
ku = [ kpx ] =
Z [ N ]T
∂[ N ] dA ∂x
A(e)
Z
∂[ N ] [N ] dA ∂y T
[ kυ ] = [ kpy ] = A(e)
(8.57)
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
286
Como es formulado aqu´ı, las Ecuaciones (8.55) y (8.56) son un sistema de 3M ecuaciones algebr´aicas gobernando los 3M valores nodales desconocidos {u}, {υ}, {p} y pueden expresarse formalmente como el sistema [ kuµ ] [ 0 ] [ kpx ] {u} {fBx } [ 0 ] [ kυµ ] [ kpy ] {υ} = {fBy } (8.58) [ ku ] [ kυ ] [ 0 ] {p} {0} que nuevamente, se puede escribir en notaci´on mucho m´as comp´acta como [ k (e) ]{δ (e) } = {f (e) }
(8.58a)
donde [ k (e) ] representa la matriz completa de rigidez de elemento. Note que la matriz de rigidez de elemento est´ a compuesta de nueve M ×M submatrices, y aunque las submatrices individuales son sim´etricas, la matriz de rigidez no es sim´etrica. El desarrollo que lleva a la Ecuaci´ on (8.58) est´a basado en la evaluaci´on de las componentes de velocidad y la presi´ on en el mismo n´ umero de nodos. Esto no es necesariamente el caso para un elemento fluido. La investigaci´ on computacional [26] demuestra que una mejor exactitud se obtiene si las componentes de velocidad se eval´ uan en un n´ umero m´as grande de nodos que las presiones. En otras palabras, las componentes de velocidad son discretizadas usando funciones de interpolaci´on de orden–superior que aquellas usadas para la presi´on. Por ejemplo, un elemento triangular cuadr´atico de seis–nodos podr´ıa ser usado para las velocidades, mientras la variable presi´on s´olo se interpola en los nodos v´ertice, usando funciones de interpolaci´on lineales. En tal caso, la Ecuaci´on(8.57) no se emplea. El arreglo de las ecuaciones y la definici´on asociada de la matriz de rigidez de elemento en la Ecuaci´on (8.58) est´ a basada en el ordenamiento de las variables nodales como {δ}T = u1
u2
u3
υ1
υ2
υ3
p1
p2
p3
(usando un elemento de tres–nodos, por ejemplo). Tal clasificaci´on puede ser adecuada para ilustrar el desarrollo de las ecuaciones de elemento. Sin embargo, si las ecuaciones globales para un modelo de elementos m´ ultiples no–id´enticos matem´ aticamente se ensambla y las variables nodales globales son similarmente ordenadas, esto es, {∆}T = U1
U2
...
V1
V2
...
P1
P2
...
PN
los requisitos computacionales son prohibitivamente ineficaces, porque la matriz de rigidez global tiene un ancho–de–banda muy grande. Por otro lado, si las variables nodales son ordenadas como {∆}T = U1
V1
P1
U2
V2
P2
...
UN
VN
PN
la eficacia computacional se mejora enormemente, cuando el ancho–de–banda de la matriz es significativamente reducida. Para una discusi´ on m´ as detallada acerca de matrices banda y t´ecnicas computacionales asociadas, vea la Referencia [51] en la cual encontrar´a usted una explicaci´on muy pedag´ogica. Ejemplo 8.3. Considere el flujo entre las placas rectas de la Figura 8.4 sea ahora uno viscoso, que genera arrastre y determine las condiciones de borde lmite para un modelo de elemento finito. Asuma que el flujo es totalmente desarrollado en las secciones a–b y c–d y que la tasa de flujo de volumen constante por unidad de espesor es Q. > Soluci´ on Para el flujo totalmente desarrollado, los perfiles de velocidad en a–b y c–d son parab´olicos, como es
8.4. FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
287
y b
c a
d
x
c b (a) Campo de velocidades de flujo S2 S1 S3 S4
(b) Condiciones de borde perimetral
Figura 8.10: Flujo desarrollado en el interior de un ducto convergente mostrado en la Figura 8.10(a). Denotando las velocidades m´aximas en estas secciones como Uab y Ucd , tenemos y2 u(xa , y) = Uab 1 − 2 yb υ(xa , y) = 0 u(xc , y) = Ucd
y2 1− 2 yd
υ(xc , y) = 0 La tasa de flujo de volumen fluido o caudal volum´etrico es obtenido integrando los perfiles de velocidad en los dominios de sus correspondientes ´areas de flujo. Zyb Q=2
Zyd u(xa , y)dy = 2
0
u(xc , y)dy 0
Substituyendo las expresiones de los perfiles de velocidad e integrando, obtenemos Uab =
3Q 4yb
Ucd =
3Q 4yd
y as´ı las componentes de velocidad en todos los nodos de los elementos en a–b y c–d son conocidas. Luego considere el o entre el fluido y la placa a lo largo de b–c. Como en los casos de flujo no–viscoso discutidos antes, invocamos la condici´on de impenetrabilidad para observar que las componentes de velocidad normal a este l´ımite son cero. Adem´as, puesto que el flujo es viscoso, invocamos la condici´ on de no–deslizamiento, la cual requiere que las componentes tangenciales de velocidad tambi´en sean cero en la interfase fluido–s´olido. De aqu´ı, para todos los nodos del elemento en b–c, ambas componentes de velocidad ui y υi son cero. Las condiciones de borde finales requeridas son obtenidas observando la condici´on de simetr´ıa a lo largo de a–d, d´ onde υ = υ(x, 0) = 0. Las condiciones de borde se resumen luego en referencia a la
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
288
Figura 8.10(b) como: UI = Uab
y2 1 − I2 yb
y2 UI = Ucd 1 − I2 yd
VI = 0
sobre S1 (a–b)
VI = 0 sobre S2 (b–c)
UI = VI = 0 sobre S3 (c–d) VI = 0 sobre S4 (d–a) donde I es un nodo de elemento sobre uno de los segmentos globales de borde del dominio modelado, mostrado en la Figura 8.10(b). Las ecuaciones del sistema correspondientes a cada una de las velocidades nodales especificadas que fueron resumidas se convierten en ecuaciones de restricci´on, y se las elimina mediante los procedimientos usuales antes de resolver para las variables nodales desconocidas. Asociada con cada una de las velocidades especificadas existe una fuerza de “reacci´on” representada por las fuerzas provenientes de la tensi´on cortante (tangencial) en las Ecuaciones (8.47), y estas fuerzas pueden ser calculadas ´ usando las ecuaciones de restricci´ on despu´es que se obtiene la soluci´on global. Este es el caso para todas las ecuaciones asociadas con los nodos del elemento sobre los segmentos S1 , S2 , y S3 . Sobre S4 , la situaci´on es un poco diferente y el comentario adicional siguiente lo explica. Como las componentes de velocidad en la direcci´ on x a lo largo de S4 no est´an especificadas, una pregunta se plantea acerca de la disposici´ on de las fuerzas relacionadas con la tensi´on cortante en la direcci´on x. Estas fuerzas son definidas por Z ∂u ∂u nx + ny dS {fxτ } = µ Ni ∂x ∂y S (e)
como fueron inclu´ıdas en la Ecuaci´ on (8.48). En el l´ımite en cuesti´on, el vector normal unitario exterior se define por (nx , ny ) = (0, −1), por lo que el primer t´ermino en esta integral es cero. En vista de las condiciones de simetr´ıa sobre a–c, tambi´en tenemos ∂u/∂y = 0, de modo que las fuerzas cortantes en direcci´on x a lo largo de S4 tambi´en son cero. Con esta observaci´on y las condiciones de borde planteadas, las ecuaciones de comportamiento globales se vuelen un sistema d´ocil de ecuaciones algebr´aicas que pueden ser resueltas para los valores desconocidos de las variables nodales. >
8.4.2.
Flujo viscoso con inercia
Habiendo discutido flujos lentos, en los que los t´erminos de inercia eran despreciables, ahora consideraremos el caso m´ as general, que mencionamos es no–lineal. Todos los desarrollos de la secci´on anterior sobre el flujo de Stokes son aplicables aqu´ı; ahora agregamos los t´erminos no–lineales asociados con los t´erminos de inercia convectiva. Considerando la primera de las Ecuaciones (8.41), agregamos un t´ermino de la forma Z Z ∂u ∂[ N ] ∂[ N ] ∂u +υ dA ⇒ ρ [ N ]{u} {u} + [ N ]{υ} {u} dA (8.59) ρ u ∂x ∂y ∂x ∂y A(e)
A(e)
y, de la segunda relaci´ on establecida en las Ecuaciones (8.41) se obtiene Z Z ∂υ ∂[ N ] ∂υ ∂[ N ] ρ u +υ dA ⇒ ρ [ N ]{u} {υ} + [ N ]{υ} {υ} dA ∂x ∂y ∂x ∂y A(e)
(8.60)
A(e)
Como es expresado, la Ecuaci´ on (8.59) no es conformable a la multiplicaci´on matricial, impidiendo escribir la expresi´ on en la forma [ k ]{u}, y ´este es un resultado directo de la no–linealidad de las ecuaciones. Un tratamiento completo de las ecuaciones no–lineales que gobiernan el flujo fluido viscoso est´a m´as all´a del alcance de este texto; pero discutiremos una aproximaci´on iterativa para el problema.
8.5. RESUMEN FINAL
289
Asumamos que para una geometr´ıa bi–dimensional particular, tenemos resuelto el problema de flujo de Stokes y tenemos disponibles todas las velocidades nodales del modelo de elemento finito. Para cada elemento individual en el modelo de la malla de elementos utilizada en el dise˜ no del problema, denotamos la soluci´ on de flujo de Stokes para las componentes de la velocidad media (evaluadas en el centroide de cada elemento) como (¯ u, υ¯); luego, expresamos la aproximaci´on para los t´erminos de inercia, como fu´e ejemplificado por la Ecuaci´on (8.60), como Z
∂u ∂u ρ u +υ ∂x ∂y
Z dA =
A(e)
∂[ N ] ∂[ N ] ρ u ¯ + υ¯ ∂x ∂y
dA{u} = [ kuυ ]{u}
(8.61)
A(e)
Similarmente, hallamos que la contribuci´on al momentum lineal en la direcci´on y resulta ser Z
∂υ ∂υ +υ ρ u ∂x ∂y
A(e)
Z dA =
∂[ N ] ∂[ N ] ρ u ¯ + υ¯ ∂x ∂y
dA{υ} = [ kυu ]{υ}
(8.62)
A(e)
Las Ecuaciones (8.61) y (8.62) se refieren a un elemento individual. Los procedimientos de ensamblaje de ´estos t´erminos son iguales que lo discutido antes; ahora podemos agregar los t´erminos adicionales a la matriz de rigidez como resultado de la inercia del medio fluido en movimiento. Estas condiciones son r´ apidamente identificables en las Ecuaciones (8.61) y (8.62). En el flujo de inercia viscoso, la soluci´ on requiere iteraci´ on para lograr resultados satisfactorios. El uso de las velocidades del flujo de Stokes y las presiones representan s´olo la primera iteraci´on (aproximaci´on). En cada iteraci´on, las recientemente nuevas componentes de velocidad calculadas se usan para la pr´oxima iteraci´on. Para el flujo de arrastre (Stokes) y el flujo con inercia, las ecuaciones gobernantes tambi´en pueden ser desarrolladas en t´erminos de una funci´on de corriente [1]. Sin embargo, la ecuaci´on gobernante resultante individual del sistema, en cada caso, se encuentra que es de cuarto orden. Por consiguiente, para hallar la soluci´ on se requieren utilizar elementos que exhiben un orden de mayor continuidad que C0 ; o sea que los elementos usados en el modelo de an´alisis son de hecho m´as complicados en su manipulaci´ on matem´ atica.
8.5.
Resumen final
La aplicaci´ on del m´etodo del elemento finito a los problemas de flujo fluido es, en un sentido, bastante dir´ecta y, en otro sentido, muy compleja. En los casos idealizados de flujo no–viscoso, el problema de elemento finito se formula f´acilmente en t´erminos de una sola variable. Tales problemas no son ni rutinarios ni realistas, porque ning´ un fluido es de verdad carente de viscosidad. Como mostramos, la introducci´ on de la propiedad muy real de viscosidad fluida produce ecuaciones gobernantes de comportamiento no–lineales, que hacen del m´etodo de elemento finito para el an´alisis de ´estos problemas muy dif´ıcil y embarazoso, para decir lo menos. La moderna literatura de mec´ anica de fluidos est´a al corriente con los resultados de la investigaci´on en la aplicaci´ on de m´etodos de elemento finito a los problemas que se presentan en este campo de la ingenier´ıa. La literatura es muy voluminosa, de hecho, y usted percibir´a que no citamos las referencias intencionadamente; pero el lector encontrar´a muchos paquetes de software de elemento finito que inclu´ yen elementos fluidos de varios tipos. Estos programas computacionales incluyen “elementos tuber´ıa”, “elementos fluidos ac´ usticos”, y “combinaci´on de elementos”. Sin embargo, se advierte al ser consciente de las restricciones e hip´ otesis que subyacen en la formulaci´on de las “diversas clases” de elementos fluidos disponibles en un software dado y del cuidado en la aplicaci´on de los mismos.
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
290
Problemas propuestos 8.1. Por la definici´ on estandar de viscosidad descrita en la Secci´on 8.1, c´omo usted describir´ıa f´ısicamente la propiedad de viscosidad, en t´erminos de un ejemplo cotidiano (ya no use el agua y la melaza — pues y´ a usamos ese ejemplo). 8.2. C´omo usted dise˜ nar´ıa un experimento para determinar la viscosidad relativa entre dos fluidos ?. Qu´e fluidos usted podr´ıa usar en esta prueba ?. 8.3. Indague en un texto de mec´ anica de fluidos o en un libro de referencia. C´ ual es la definici´on de un fluido Newtoniano ?. 8.4. La Ecuaci´ on(8.5) es una ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales bastante complicada; que es lo que realmente ella significa ?. Explique c´omo esa ecuaci´on toma la forma muy simple de la Ecuaci´on (8.6). 8.5. Si usted examina visualmente un flujo fluido, puede determinar si el mismo es rotatorio o irrotacional ?. Por qu´e ?. Por qu´e no ?. 8.6. Por qu´e usamos el teorema de Green–Gauss para transitar desde la Ecuaci´on (8.13) a la Ecuaci´on (8.14) ?. Refi´erase a conceptos desarrollados en el Cap´ıtulo 5 para emitir su respuesta. 8.7. Recordando que la Ecuaci´ on (8.17) est´a basada en asumir profundidad de magnitud unidad en un flujo bi–dimensional, qu´e representan f´ısicamente las fuerzas nodales en dicha relaci´on matem´atica ?. 8.8. Para el elemento triangular de tres–nodos mostrado en la Figura P8.8, calcule las fuerzas nodales que corresponden a las condiciones de flujo mostradas, asuma una profundidad de magnitud unitaria perpendicular al plano que contiene al elemento. 3 (0, 1)
2
U
1 (0, 0)
(1, 0)
Figura P8.8 8.9. Por la Ecuaci´ on (8.28), c´ omo var´ıan las componentes de velocidad del fluido dentro de: a. Un elemento triangular de tres–nodos. b. Un elemento rectangular de cuatro–nodos. c. Un elemento triangular de seis–nodos. d. Un elemento rectangular de ocho–nodos. e. Dadas las preguntas a–d, c´ omo decide usted qu´e elemento usar en un an´alisis de elemento finito?. 8.10. Nosotros mostramos, en este cap´ıtulo, que los dos m´etodos presentados: la funci´on de corriente
Problemas propuestos
291
y el potencial de velocidad son gobernados por la ecuaci´on de Laplace. Muchos otros problemas f´ısicos se gobierna por esta ecuaci´on. Consulte referencias matem´aticas y halle otras aplicaciones de la ecuaci´ on de Laplace. Mientras usted est´a en ´este tema (y aprendiendo que la historia de vuestra profesi´ on es parte de formarse como ingeniero), averig¨ ue algo m´as sobre Laplace. 8.11. Considere el flujo uniforme (ideal) mostrado en la Figura P8.11. Use los cuatro elementos triangulares mostrados para calcular la funci´on de corriente y derivar las componentes de velocidad. Note que, en este caso, si usted no obtiene un campo de flujo uniforme, ha cometido errores en la formulaci´ on o sus c´ alculos. Los l´ımites horizontales ser´an tomados como superficies fijas. El nodo 3 se halla ubicado en el centroide del dominio rectangular. (0, 2)
5
4
(3, 2)
4 U
1
3
3
2
Y
1(1, 0)
(3, 0)
2
X
Figura P8.11 8.12. Ahora repita el Problema 8.11 con el flujo de entrada mostrado en la Figura P8.12. Cambia la formulaci´ on b´ asica de elemento finito ?. Tuvo usted que re–definir la geometr´ıa o los elementos ?. Su respuesta a esta pregunta le dar´a visi´on acerca de c´omo usar el software de elemento finito. Una vez que la geometr´ıa y los elementos se han definido, varios problemas pueden ser resueltos cambiando simplemente las condiciones de borde o las funciones impelentes. 5
4 4 1
3
3
2 U
1
2
Figura P8.12 8.13. Considere la situaci´ on de flujo mostrada en la Figura P8.13. Aguas arriba, el flujo es uniforme. En un punto conocido entre las dos paredes s´olidas, existe una fuente de intensidad constante Q (volumen por unidad de tiempo) que podr´ıa representar la acci´on de una bomba hidr´aulica, por ejemplo. C´ omo se considerar´ıa la fuente en una formulaci´on de elemento finito ?. (Examine la analog´ıa con una situaci´ on similar en la transmisi´on de calor).
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
292
Q U
Figura P8.13 8.14. Revise el Ejemplo 8.1 y asuma que el cilindro es una varilla calor´ıfica sostenida a una temperatura de su superficie T0 constante. El flujo de entrada uniforme est´a en una temperatura conocida Ti < T0 . Los l´ımites horizontales se aislan perfectamente y se asumen condiciones de flujo de estado–estacionario. En el contexto del an´alisis de elemento finito, c´omo pueden resolverse independientemente el problema de flujo fluido y el problema de transferencia de calor ?.
Capítulo
9
Mec´ anica de s´ olidos
En los primeros Cap´ıtulos de este documento, efectuamos un desarrollo del m´etodo de elemento finito aplicado al an´ alisis estructural tomando como base de los procedimientos de formulaci´on al elemento rectil´ıneo, el cual de acuerdo a su comportamiento mec´anico como respuesta a la solicitaci´on aplicada recibe distintas denominaciones como: barra, viga, marco, y eje. Como indicamos all´ı, estos elementos pueden combinarse para conformar estructuras reticuladas compuestas de elementos rectil´ıneos interconectados. En ´este Cap´ıtulo trataremos con el desarrollo de formulaci´on del m´etodo de elemento finito para estudiar el comportamiento de respuesta mec´anica de deformaci´on producida debida a solicitaci´on externa aplicada en cuerpos planos y espaciales, con el objetivo de determinar la distribuci´on de tensiones internas en ellos. Y, como tema complementario a este estudio, analizaremos las caracter´ısticas de comportamiento mec´ anico de ejes de secci´on transversal no–circular, sometidos a solicitaci´on torsional.
9.1.
Introducci´ on
Los elementos barra y viga discutidos en los Cap´ıtulos 2 a 4 son elementos l´ıneales, ya que se requiere un s´olo eje coordenado para definir el marco de referencia de elemento (sistema coordenado local); y de aqu´ı, las matrices que gobiernan su comportamiento mec´anico. Como fu´e mostrado, estos elementos pueden usarse con ´exito para modelar estructuras del tipo cercha y estructuras tipo p´ortico en dos y tres dimensiones. Sin embargo, para la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a las estructuras s´olidas m´ as generales, los elementos l´ıneales son de uso muy reducido. En cambio, se necesitan otros elementos que puede emplearse para modelar geometr´ıas complejas sujetas a varios tipos de carga y condiciones de restricci´ on. En este cap´ıtulo, desarrollamos las ecuaciones de elemento finito para el uso de elementos bi y tri– dimensionales en el an´ alisis de tensiones de cuerpos s´olidos linealmente el´asticos. Usaremos el principio de energ´ıa potencial m´ınima para los desarrollos, porque ese principio es algo m´as f´acil de aplicar a los problemas de la mec´ anica de s´ olidos que el m´etodo de Galerkin. Debe darse ´enfasis, sin embargo, a que el m´etodo de Galerkin es el procedimiento m´as general y aplicable a un rango m´as amplio de 293
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
294
problemas que se presentan en el ´ ambito de la ingenier´ıa. El tri´angulo de deformaci´ on constante (TDC) para tensi´on plana es considerado primero, ya que ´este es el elemento m´ as simple para desarrollar matem´aticamente. Se muestra tambi´en que el procedimiento es com´ un a otros elementos; y se usa un elemento rectangular de deformaci´on plana para demostrar la generalidad del procedimiento. En la intenci´on de abordar el an´alisis de situaciones planas y espaciales m´ as complejas, se examinan los elementos: cuadril´atero plano, de simetr´ıa axial, y los elementos tridimensionales generales. Tambi´en presentamos una aproximaci´on para la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito en la soluci´on de problemas de torsi´on de ejes de secci´on transversal no–circular.
9.2.
Tensi´ on plana
Una situaci´ on que normalmente ocurre en la mec´anica de s´olidos, conocido como tensi´ on plana, es definida por las hip´ otesis siguientes junto con la Figura 9.1: y
y F2
x
f(x , y)
z
F1 t
Figura 9.1: Ilustraci´ on de condiciones de tensi´on plana 1. El cuerpo es delgado seg´ un una direcci´on coordenada espacial (la direcci´on z por convenci´on) comparado con las otras dimensiones; la dimensi´on seg´ un la direcci´on z (de ahora en adelante, el espesor) es uniforme y sim´etrico alrededor del plano x–y. El espesor t, en general, es por lo menos un–d´ecimo menor que la dimensi´on m´as peque˜ na en el plano x–y; lo que nos permite dar la calificaci´ on de “peque˜ no espesor” al cuerpo en an´alisis, que com´ unmente se lo denomina placa plana. 2. La solicitaci´ on aplicada al cuerpo est´ a contenida totalmente en el plano del mismo cuerpo; es decir todas las fuerzas aplicadas est´ an contenidas en el plano x–y. 3. El material del cuerpo es linealmente el´astico, isotr´opico, y homog´eneo. La u ´ltima hipo´ otesis no se requiere en realidad para el an´alisis de tensi´on plana, pero se utiliza en este texto porque consideramos s´ olo deformaciones el´asticas. Dada una situaci´ on que satisface las hip´otesis de tensi´on plana, las u ´nicas componentes de tensi´on no–nulas son: σx , σy y τxy . Debemos notar que las tensiones nominales perpendiculares al plano x–y (σz , τxz , y τyz ) son cero como resultado de las hip´otesis de tensi´on plana que adoptamos. Por tanto, las ecuaciones de equilibrio (v´ease el Ap´endice B) para tensi´on plana son ∂σx ∂τxy + =0 ∂x ∂x ∂σy ∂τxy + =0 ∂y ∂y
(9.1)
´ PLANA 9.2. TENSION
295
donde impl´ıcitamente asumimos que τxy = τyx . Utilizando las relaciones el´ asticas tensi´on–deformaci´on deducidas en el Ap´endice B, la serie de Ecuaciones (B.14) con σz = τxz = τyz = 0, las componentes de tensi´on no–nulas pueden expresarse como (v´ease el Problema 9.1) E σx = (x + νy ) 1 − ν2 E (y + νx ) σy = (9.2) 1 − ν2 E τxy = γxy = Gγxy 2(1 + ν) donde E es el m´ odulo de elasticidad lineal y ν es la relaci´on de Poisson para el material. En la relaci´on tensi´on–deformaci´ on tangencial o cortante, el m´odulo de elasticidad transversal G = E/2(1 + ν) ha sido introducido. Las relaciones tensi´ on–deformaci´on dadas por la Ecuaci´on (9.2) pueden ser convenientemente escritas en forma matricial: 1 ν 0 x σx E ν 1 0 y σy = (9.3) 1 − ν2 1−ν γxy τxy 0 0 2 y, en forma condensada {σ} = [ D ]{}
(9.3a)
donde σx {σ} = σy τxy es la matriz columna (vector) de componentes de tensi´on interna actuantes, 1 ν 0 E ν 1 0 [D] = 1 − ν2 1−ν 0 0 2
(9.4)
es la matriz de propiedades el´ asticas del material, y x {} = y γxy es la matriz columna (vector) de componentes de deformaci´on unitaria. Para un estado plano de tensiones, la energ´ıa volum´etrica acumulada por proceso de deformaci´on, puede obtenerse a partir de la Ecuaci´on (2.39), reduciendo los t´erminos que aqu´ı no son tomados en cuenta; y resulta dUe = 21 ( σx x + σy y + τxy γxy ) (9.5) ue = dV o usando notaci´ on matricial, ue = 12 {}T {σ} = 21 {}T [ D ]{}
(9.6)
El uso de {}T permite la operaci´ on de multiplicaci´on matricial para reproducir la forma cuadr´atica de la energ´ıa volum´etrica de deformaci´ on acumulada. Note que cualquier relaci´on cuadr´atica en cualquier ´ variable κ puede ser expresada como {κ}T [ Ω ]{κ}, donde [ Ω ] es una matriz de coeficientes. Este es tema de un problema de fin–de–cap´ıtulo.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
296
La energ´ıa de deformaci´ on total acumulada en un cuerpo que ocupa cierto volumen y est´a sujeto a un estado de tensi´ on plana viene dada por proceso de integraci´on de la Ecuaci´on (9.6) Ue =
1 2
ZZZ {}T [ D ]{}dV
(9.7)
V
donde V es el volumen total del cuerpo. En el caso de que el mismo sea una placa plana, podemos tomar dV = t dx dy. La forma de la Ecuaci´ on (9.7) se encontrar´a de hecho en general para aplicarse y no se restringe al caso de tensi´ on plana. En otras situaciones, las componentes de tensi´on y la matriz de propiedades materiales puede definirse de manera diferente, pero la forma de la expresi´on de la energ´ıa de deformaci´on no cambia. Usaremos este resultado frecuentemente en la aplicaci´on del principio de energ´ıa potencial m´ınima en los siguientes desarrollos de deducci´on.
9.2.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Efectuaremos la formulaci´ on de elemento finito tomando como base de desarrollo al elemento triangular de tres–nodos v´ertice, por ser el elemento m´as simple en su manipuleo matem´atico. La Figura 9.2(a) muestra a este elemento, que se asume representa un sub–dominio de un cuerpo sujeto a un estado de tensi´ on plana. Los nodos son numerados como se muestra, y los desplazamientos nodales seg´ un la direcci´ on cooordenada x se denotan como u1 , u2 y u3 , mientras que los desplazamientos seg´ un la direcci´on coordenada y son υ1 , υ2 , y υ3 . (Para el estado de tensi´on plana, los desplazamientos en direcci´on transversal o paralelos al eje z se desprecian).
3 3
f3y 3
u3
2 1 2 1
f3x
f2y u2
u1
(a) Desplazamientos nodales
f1y 2
f2x
1 f1x (b) Fuerzas nodales
Figura 9.2: Notaci´ on para elemento triangular en tensi´on plana Como hicimos notar en la introducci´ on, el campo de desplazamientos internos presente en los problemas estructurales es un campo vectorial y debe ser discretizado de manera acorde con ello. Para el elemento triangular en tensi´ on plana, nosotros escribimos el campo discretizado del desplazamiento como u(x, y) = N1 (x, y)u1 + N2 (x, y)u2 + N3 (x, y)u3 = [ N ]{u} υ(x, y) = N1 (x, y)υ1 + N2 (x, y)υ2 + N3 (x, y)υ3 = [ N ]{υ}
(9.8)
donde N1 , N2 , y N3 , son las funciones de interpolaci´on como son definidas en la Ecuaci´on (6.20). Usando la representaci´ on discretizada del campo de desplazamiento, las componentes de deformaci´on
´ PLANA 9.2. TENSION
297
unitaria son ∂u ∂N1 ∂N2 ∂N3 = u1 + u2 + u3 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂υ = υ1 + υ2 + υ3 y = ∂y ∂y ∂y ∂y ∂u ∂υ ∂N1 ∂N2 ∂N3 γxy = + = u1 + u2 + u3 ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂N1 ∂N2 ∂N3 + υ1 + υ2 + υ3 ∂x ∂x ∂x x =
(9.9)
Definiendo la matriz columna (vector) de componentes de desplazamiento de elemento como u1 u2 u3 (e) {δ } = (9.10) υ1 υ2 υ3 el vector de deformaciones unitarias de elemento puede expresarse como u1 ∂N1 ∂N2 ∂N3 0 0 0 u2 ∂x ∂x ∂x u 3 ∂N ∂N ∂N (e) 1 2 3 0 0 {} = ∂y ∂y ∂y υ = [ B ]{δ } 0 1 ∂N2 ∂N3 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N1 υ2 ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x υ3
(9.11)
donde [ B ] es la matriz 3×6 de derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on, tambi´en conocida como matriz de relaci´ on deformaci´ on–desplazamiento. Refiri´endonos a la Ecuaci´on (6.20), observamos que las derivadas parciales que aparecen en Ecuaci´on (9.11) son constantes, puesto que las funciones de interpolaci´ on son lineales en las variables espaciales. De aqu´ı, las componentes de deformaci´on unitaria son constantes a trav´es del volumen del elemento. Por consiguiente, el elemento triangular de tres–nodos para tensi´ on plana es conocido como un tri´ angulo de deformaci´ on constante. Por analog´ıa directa con la Ecuaci´on 9.10, la energ´ıa de deformaci´on el´astica del elemento es ZZZ ZZZ 1 1 {}T [ D ]{}dV (e) = {δ (e) }T [ B ]T [ D ][ B ]{δ (e) }dV (e) (9.12) Ue = 2 2 V
V
Como se ver´ a en subsecuentes ejemplos, la Ecuaci´on (9.12) es una relaci´on generalmente aplicable para valorar la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica de elementos estructurales. Para el tri´angulo de deformaci´on constante, observamos que las deformaciones unitarias son constantes sobre el volumen del elemento. Asumiendo que similarmente las propiedades el´asticas no var´ıan, la Ecuaci´on (9.12) simplemente se vuelve ZZZ 1 Ue(e) = {δ (e) }T [ B ]T [ D ][ B ]{δ (e) } dV (e) 2 V (9.13) 1 (e) T (e) T (e) = {δ } (V [ B ] [ D ][ B ]) {δ } 2 donde V (e) es el volumen total del elemento. Considerando que las fuerzas de elemento se aplican en los v´ertices del mismo, como se muestra en la Figura 9.2(b), (para ´esta formulaci´ on de elemento requerimos que las fuerzas act´ uen exclusivamente en
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
298
los nodos del elemento; las fuerzas distribu´ıdas son consideradas posteriormente), el trabajo mec´anico efectuado por las fuerzas aplicadas puede ser expresado como W = f1x u1 + f2x u2 + f3x u3 + f1y υ1 + f2y υ2 + f3y υ3
(9.14)
y vemos que la notaci´ on del sub´ındice se pone bastante pesada en el caso del an´alisis de tensi´on bi–dimensional. Para simplificar la notaci´ on, podemos definir el vector de cargas nodales de elemento como el ordenamiento f1x f2x f3x {f } = (9.15) f1y f2y f3y as´ı que podemos expresar el trabajo de las fuerzas externas, usando la Ecuaci´on (9.10), como W = {δ}T {f }
(9.16)
Por la Ecuaci´ on (2.33), la energ´ıa potencial total para un elemento es entonces Π = Ue − W =
V (e) (e) T {δ } [ B ]T [ D ][ B ]{δ (e) } − {δ}T {f } 2
(9.17)
Si el elemento es una porci´ on de una estructura m´as grande que est´a en equilibrio, entonces el elemento debe estar en equilibrio. Por consiguiente, la energ´ıa potencial total del elemento debe ser m´ınima (consideramos s´ olo equilibrio estable), y para conseguir esta condici´on m´ınima, debemos tener matem´aticamente ∂Π i = 1; 6 (9.18) ∂δi Si las operaciones matem´ aticas indicadas en la Ecuaci´on (9.18) son efectuadas sobre la Ecuaci´on (9.17), el resultado es la relaci´ on matricial V (e) [ B ]T [ D ][ B ]{δ} = {f }
(9.19)
[ k ]{δ} = {f }
(9.19a)
la cual es de la forma donde [ k ] es la matriz de rigidez de elemento, definida por [ k ] = V (e) [ B ]T [ D ][ B ]
(9.20)
y debemos tener presente en mente que estamos tratando en este punto s´olamente con un elemento triangular de deformaci´ on constante. Este desarrollo te´ orico puede no ser obvio para el lector. Para hacer el proceso m´as claro, especialmente la aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (9.18), examinemos la matriz de rigidez de elemento en m´as detalle. Primero, representamos la Ecuaci´ on (9.17) como Π=
1 {δ}T [ k ]{δ} − {δ}T {f } 2
y expandiendo formalmente la relaci´ on para obtener la funci´on cuadr´ atica Π = 21 ( k11 δ12 + 2k12 δ1 δ2 + 2k13 δ1 δ3 + · · · + k66 δ62 ) − ( f1x δ1 + f2x δ2 + · · · + f3y δ6 )
´ PLANA 9.2. TENSION
299
La representaci´ on de la funci´ on cuadr´atica de energ´ıa potencial total es caracter´ıstica de los sistemas linealmente el´ asticos. (Recuerde las expresiones obtenidas para la energ´ıa de deformaci´on de los elementos resorte y barra del Cap´ıtulo 2). Las derivadas parciales de la ecuaci´on anterior son entonces de la forma ∂Π = k11 δ1 + k12 δ2 + k13 δ3 + k14 δ4 + k15 δ5 + k16 δ6 − f1x = 0 ∂δ1 ∂Π = k21 δ1 + k22 δ2 + k23 δ3 + k24 δ4 + k25 δ5 + k26 δ6 − f2x = 0 ∂δ2 ´ por ejemplo. Estas u ´ltimas relaciones son las ecuaciones escalares que representan el equilibrio est´atico de los nodos 1 y 2 seg´ un la direcci´on coordenada x. Las restantes cuatro ecuaciones similarmente representan relaciones de equilibrio est´atico en las direcciones coordenadas y y z respectivas. Como estamos tratando con un elemento el´astico, la matriz de rigidez debe ser sim´etrica. Examinando cualquiera de las u ´ltimas ecuaciones, debemos tener que debe cumplirse k12 = k21 , por ejemplo. Si este es el caso, no puede ser obvio en la consideraci´on de la Ecuaci´on (9.20), puesto que [ D ] es una matriz sim´etrica, pero la matriz [ B ] no es sim´etrica. Una propiedad fundamental de la multiplicaci´on de matrices (v´ease el Ap´endice A) es como sigue: Si [ G ] es una matriz n×n real, sim´etrica, y [ F ] es una matriz n×m real; la matriz producto triple [ F ]T [ G ][ F ] es una matriz m×m real, sim´etrica. As´ı, la matriz de rigidez como est´ a dada por la Ecuaci´on (9.20) es una matriz 6×6 real, sim´etrica, desde que la matriz [ D ] es 3×3 y sim´etrica, adem´as que [ B ] es una matriz 6×3 real.
9.2.2.
Evaluaci´ on de la matriz de rigidez
La matriz de rigidez para el elemento triangular de deformaci´on constante, dada por la Ecuaci´on (9.20), se eval´ ua ahora en detalle. Las funciones de interpolaci´on, por las Ecuaciones (6.20), son N1 (x, y) = = N2 (x, y) = = N3 (x, y) = =
1 [ (x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y ] 2A 1 ( α1 + β1 x + γ1 y ) 2A 1 [ (x3 y1 − x1 y3 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3 )y ] 2A 1 ( α2 + β2 x + γ2 y ) 2A 1 [ (x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y ] 2A 1 ( α3 + β3 x + γ3 y ) 2A
(9.21)
de modo que las derivadas parciales requeridas son ∂N1 1 = (y2 − y3 ) = ∂x 2A ∂N3 1 = (y1 − y2 ) = ∂x 2A
β1 2A β3 2A
∂N2 1 β2 = (y3 − y3 ) = ∂x 2A 2A ∂N1 1 γ1 = (x3 − x2 ) = ∂y 2A 2A
∂N2 1 γ2 = (x1 − x3 ) = ∂y 2A 2A
∂N3 1 γ3 = (x2 − x1 ) = ∂y 2A 2A
La matriz [ B ] de relaci´ on deformaci´on–desplazamiento es por tanto β1 β2 β3 0 0 0 1 0 0 0 γ1 γ2 γ3 [B ] = 2A γ1 γ2 γ3 β1 β2 β3
(9.22)
(9.23)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
300
Notando que, para un espesor constante, Ecuaci´on (9.20) resulta en β1 0 β2 0 β3 0 Et [k] = 2 4A(1 − ν ) 0 γ1 0 γ2 0 γ3
el volumen del elemento es V (e) = t A, la substituci´on en la γ1 γ2 1 γ3 ν β1 0 β2 β3
ν 1 0
0 β1 0 0 1−ν γ1 2
β2 0 γ2
β3 0 γ3
0 γ1 β1
0 γ2 β2
0 γ3 β3
Realizando las multiplicaciones matriciales indicadas en esta u ´ltima ecuaci´on, la matriz de rigidez de elemento resulta en 2 β1 + Cγ12 Et [ k ] = 4A(1−ν 2 )
β1 β2 + Cγ1 γ2 β22 + Cγ22
β1 β3 + Cγ1 γ3 β2 β3 + Cγ2 γ3 β32 + Cγ32
SIM
1+ν 2 β1 γ1
νβ2 γ1 + Cβ1 γ2 νβ3 γ1 + Cβ1 γ3 γ12 + Cβ12
νβ1 γ2 + Cβ2 γ1 1+ν 2 β2 γ2 νβ3 γ2 + Cβ2 γ3 γ1 γ2 + Cβ1 β2 γ22 + Cβ22
νβ1 γ3 + Cβ3 γ1 νβ2 γ3 + Cβ3 γ2 1+ν 2 β3 γ3 (9.24) γ1 γ3 + Cβ1 β3 γ2 γ3 + Cβ2 β3 γ22 + Cβ32
donde C = (1 − ν)/2. La Ecuaci´ on (9.24) es la representaci´on expl´ıcita de la matriz de rigidez para un elemento triangular de deformaci´ on constante en tensi´on plana, presentada s´olamente por prop´ositos ilustrativos. En cualquier paquete de software de elemento finito, dicha representaci´on expl´ıcita no es utilizada; en cambio, el producto triple matricial de la Ecuaci´on (9.20) es aplicada directamente para obtener la matriz de rigidez.
9.2.3.
Cargas distribu´ıdas y fuerzas de cuerpo
Frecuentemente, las condiciones de borde para los problemas estructurales involucran cargas distribu´ıdas sobre alguna porci´ on del l´ımite geom´erico. Dichas cargas pueden provenir de la presi´on aplicada (la tensi´on normal) o de las cargas tangenciales. En tensi´on plana, ´estas cargas distribu´ıdas act´ uan en los bordes del elemento que se ubican en el l´ımite global del sistema. Como un ejemplo general, la Figura 9.3(a) muestra un elemento TDC que tiene cargas normales y tangenciales pn y pt que act´ uan a lo largo del borde definido por los nodos 2 y 3 del elemento. El espesor del elemento se denota por t consider´andolo invariable, y se asume que las cargas son expresadas en t´erminos de fuerza por unidad de ´area. Aqu´ı buscamos reemplazar las cargas distribu´ıdas con la acci´on de fuerzas concentradas equivalentes aplicadas en los nodos 2 y 3. Siguiendo el procedimiento de energ´ıa potencial m´ınima, las cargas nodales concentradas equivalentes son determinadas de modo que el trabajo mec´anico sea el mismo que aqu´el realizado por las cargas distribu´ıdas. Primero, las cargas distribu´ıdas se convierten a cargas equivalentes seg´ un las direcciones del sistema coordenado global, como en la Figura 9.3(b), mediante px = pn n x − pt n y py = p n n y + p t n y
(9.25)
donde nx ny corresponden al las componentes del vector normal unitario saliente con respecto al borde que conecta los nodos 2 y 3. Aqu´ı usamos la notaci´on p para identificar a las cargas distribu´ıdas aplicadas, ya que las unidades se corresponden con aquellas de la presi´on. El trabajo mec´anico realizado por las cargas distribu´ıdas es Z3 Wp = t
Z3 px u(x, y)dS + t
2
py υ(x, y)dS 2
(9.26)
´ PLANA 9.2. TENSION
301
(p)
f3y 3
3
3
pt
f3x( p )
n
py
pn
1
px
1
2
(a) Cargas distribu´ıdas
f2y( p ) 1
2
(b) Cargas globales
2
f2x( p )
(c) Fuerzas nodales
Figura 9.3: Conversi´ on de cargas distribu´ıdas en cargas concentradas nodales
donde las integraciones se realizan a lo largo del borde definido por los nodos 2 y 3. Recordando que la funci´ on de interpolaci´ on N1 (x, y) es cero a lo largo del borde 2–3, las representaciones de elemento finito de los desplazamientos a lo largo del borde son u(x, y) = N2 (x, y)u2 + N3 (x, y)u3 υ(x, y) = N2 (x, y)υ2 + N3 (x, y)υ3 Reemplazando estas relaciones, la expresi´on del trabajo mec´anico se convierte a Z3 Wp = t
px [ N2 (x, y)u2 + N3 (x, y)u3 ]dS 2
Z3 +t
py [ N2 (x, y)υ2 + N3 (x, y)υ3 ]dS 2
la cual es de la forma (p) (p) (p) (p) Wp = f2x u2 + f3x u3 + f2y υ2 + f3y υ3
La comprarci´ on de ´estas dos u ´ltimas ecuaciones proporcionan las fuerzas nodales equivalentes mediante las relaciones Z3 (p) 2x
f
=t
Z3 (p) 3x
px N2 (x, y)dS
f
=t
2
Z3 (p) 2y
f
=t
px N3 (x, y)dS 2
(9.27)
Z3 (p) 3y
py N2 (x, y)dS
f
2
=t
py N3 (x, y)dS 2
como se indica en la Figura 9.3(c). Generalizando ´este resultado para el caso en el que se tengan cargas distribu´ıdas actuando a lo largo de un borde cualquiera del elemento triangular, el vector de cargas nodales equivalentes puede expresarse en forma comp´acta, y est´a determinado por: Z {f (p) } =
[ N ]T S
px t dS py
(9.28)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
302
donde: N1 N2 N3 [ N ]T = 0 0 0
0 0 0 N1 N2 N3
(p) f1x (p) f 2x (p) f 3x {f (p) } = (p) f1y (p) f2y (p) f3y
(9.28a)
Recordando de nuevo para enfatizar que N1 (x, y) es cero a lo largo del camino de integraci´on, le sugerimos escribir en detalle la Ecuaci´ on (9.28) para asegurarse que el resultado obtenido es el mismo que aqu´ı hallamos. Aunque el desarrollo presentado anteriormente se ubica en el contexto del elemento triangular con tres–nodos v´ertice, se demostrar´a que la Ecuaci´on (9.28) es general y aplicable a todo tipo de elementos bi–dimensionales, y requiere s´olo una modificaci´on menor para su aplicaci´on a los problemas tri–dimensionales. Ejemplo 9.1. Dado el elemento triangular de deformaci´ on plano mostrado en la Figura 9.4(a), determine las fuerzas nodales equivalentes a las cargas distribudas mostradas por medio del m´etodo de equivalencia de trabajo discutido previamente. El espesor del elemento es 0,2 pulg y de valor uniforme. 300 psi
3
3
(1, 2)
40
Y 1
2
2
1
20
(1, 0)
(0, 0)
10
10
100 psi
X (a) Cargas distribu´ıdas
(b) Fuerzas nodales equivalentes
Figura 9.4: Elemento triangular solicitado por cargas distribu´ıdas
> Soluci´ on Usando las coordenadas nodales especificadas, las funciones de interpolaci´on (con el ´area del elemento de valor unitario, A = 1) son N1 (x, y) = 12 ( 2 − 2x ) = 1 − x N2 (x, y) = 12 ( 2x − y ) N3 (x, y) = 12 y
´ PLANA 9.2. TENSION
303
A lo largo del borde 1–2, y = 0, px = 0, py = −100 psi; por tanto, la Ecuaci´on (9.28) llega a ser 1−x 0 1−x 0 0 x x 0 0 0 1 Z Z 0 0 0 0 0 0 0 (p) dx = t dS = 0,2 f1−2 = lb 0 1 − x 1 − x −10 −100 0 −100 0 0 S 0 x x −10 0 0 0 0 0 Para el borde 2–3, tenemos: x = 1, px = 150y, py = 0; de modo que 0 0 0 0 0 1 − y/2 1 − y/2 0 0 20 Z2 Z 150y 150y y/2 0 y/2 0 40 (p) dy = t dS = 0,2 f2−3 = lb 0 0 0 1 − y/2 1 − y/2 0 0 0 S 0 y/2 0 y/2 0 0 0 0 0 0 Combinando los resultados, el vector de fuerzas nodales equivalentes que se obtiene desde las cargas distribu´ıdas para el elemento mostrado, es entonces (p) f1x 0 f (p) 20 2x (p) f 40 3x (p) (p) (p) lb = f = f1−2 + f2−3 = (p) −10 f1y −10 (p) f2y 0 (p) f3y cuyas componentes son mostradas en la Figura 9.4(b).
>
Adem´ as de las cargas de borde distribu´ıdas en los l´ımites del elemento, tambi´en pueden actuar las llamadas fuerzas de cuerpo, tambi´en denominadas fuerzas m´ asicas. En general, una fuerza de cuerpo es una fuerza ejercida sin o directo que act´ ua sobre un cuerpo en base o por unidad de masa. Las fuerzas de cuerpo normalmente encontradas son la que provienen de la atracci´on gravitatoria (el peso), la fuerza centr´ıfuga que proviene del movimiento rotatorio, y la fuerza magn´etica. Actualmente, consideramos s´ olo el caso bi–dimensional en el que la fuerza de cuerpo se describe por el vector , en el cual FBX y FBY son las componentes de fuerza por unidad de masa actuante {FB } = FFBX BY sobre el cuerpo en las direcciones coordenadas respectivas. Como con las cargas distribu´ıdas, las fuerzs de cuerpo deben ser reemplazadas por fuerzas nodales equivalentes. Considerando una masa diferencial dm = ρ t dx dy que tiene asociados los desplazamientos (u, υ) en las direcciones coordenadas, el trabajo mec´anico elemental hecho por las fuerzas de cuerpo es dWb = FBX dm u + FBY dm υ = ρ FBX u t dx dy + ρ FBY υ t dx dy
(9.29)
Considerando que el volumen de inter´es es un elemento TDC en el que los desplazamientos son expresados en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y los desplazamientos nodales como u1 u2 u(x, y) N1 N2 N3 0 0 0 u3 = υ(x, y) 0 0 0 N1 N2 N3 υ1 υ2 υ3
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
304
el trabajo mec´ anico total efectuado por las fuerzas de cuerpo actuando sobre el elemento es expresado en t´erminos de los desplazamientos nodales como ZZ Wb = ρ t FBX ( N1 u1 + N2 u2 + N3 u3 )dx dy A
(9.30)
ZZ + ρt
FBY ( N1 υ1 + N2 υ2 + N3 υ3 )dx dy A
Como se desea, la Ecuaci´ on (9.30) est´ a en la forma (b) (b) (b) (b) (b) (b) Wb = f1x u1 + f2x u2 + f3x u3 + f1y υ1 + f2y υ2 + f3y υ3
(9.31)
en t´erminos de las fuerzas nodales concentradas. El super´ındice (b) es utilizado para indicar que se trata de una fuerza de cuerpo (body, en ingl´es) nodal equivalente. La comparaci´on de las u ´ltimas dos ecuaciones proporciona las componentes de fuerza nodal como ZZ (b) fix = ρt Ni FBX dx dy i = 1; 3 (b)
ZAZ
fiy = ρ t
(9.32) Ni FBY dx dy
i = 1; 3
A
Las componentes de fuerza nodal equivalente a las fuerzas de cuerpo aplicadas pueden ser tambi´en escritas en forma matricial comp´ acta, del modo siguiente: ZZ FBX (b) T {f } = ρ t [N ] dx dy (9.33) FBY A
Aunque el desarrollo efectuado se circunscribe al contexto espec´ıfico de un elemento triangular en deformaci´on constante en tensi´ on plana, la Ecuaci´on (9.33) demuestra ser un resultado general para elementos bi–dimensionales. Una expresi´on bastante similar puede obtenerse con muy ligeras modificaciones para los elementos tri–dimensionales. Ejemplo 9.2. Determine las componentes de fuerza nodal equivalente que representan a la fuerza de cuerpo para el elemento del Ejemplo 9.1, si la fuerza de cuerpo es la atracci´on gravitatoria en la direcci´on y, para la cual FBX 0 2 {FB } = = pulg/seg FBY −386,4 conociendo adem´ as que la densidad del material que compone el elemento es ρ = 7,3×10−4 slug/pulg2 . > Soluci´ on Como la componente x de la fuerza del cuerpo es cero, las componentes seg´ un x del vector de fuerza nodal lo ser´an tambi´en, por lo que no necesitamos considerar esas componentes. Las componentes en y se calculan usando la segunda de las Ecuaciones (9.32): ZZ (b) fiy = ρt Ni FBY dx dy i = 1; 3 A
´ PLANA 9.2. TENSION
305
Del Ejemplo previo, las funciones de interpolaci´on son N1 (x, y) = 12 ( 2 − 2x ) = 1 − x N2 (x, y) = 12 ( 2x − y ) N3 (x, y) = 12 y Entonces tendremos, en este caso, ZZ ZZ (b) f1y = ρ t FBY N1 dx dy = ρ t FBY (1 − x) dx dy ZAZ (b) f2y = ρt
ZAZ FBY N2 dx dy = ρ t
ZAZ (b) 3y
f
= ρt
ZAZ FBY N3 dx dy = ρ t
A
FBY (2x − y) dx dy 2 FBY y dx dy 2
A
Los l´ımites de integraci´ on deben determinarse en base a la geometr´ıa del ´area. En este ejemplo, nosotros utilizaremos a x como la variable de integraci´on b´asica y calcularemos los l´ımites de integraci´on sobre y en t´erminos de x. Para el elemento bajo consideraci´on: x var´ıa entre cero y uno; en cambio y es la funci´ on lineal y = 2x, de forma que las integraciones se convierten en (b) 1y
f
= ρ t FBY
Z1 Z2x Z1 (1 − x)dy dx = ρ t FBY 2x(1 − x)dy dx 0
0
0
1 ρ t FBY 2x3 = = ρ t FBY x2 − = −0,0189 lb 3 3 0 Z1 Z1 Z2x ρ t FBY 1 2x2 dx = ρ t FBY 2 (2x − y)dy dx = 2 0 0 0 ρ t FBY 2 ρ t FBY = = = −0,0189 lb 2 3 3 Z1 Z2x Z1 ρ t FBY ρ t FBY ρ t FBY = y dy dx = 2x2 dx = = −0,0189 lb 2 2 3
(b) f2y
(b) f3y
0
0
0
Los resultados nos muestran que la fuerza de cuerpo aplicada al elemento, se distribuye equitativamente en sus nodos. > Si ahora combinamos los conceptos desarrollados para el elemento TDC en tensi´on plana, tenemos una ecuaci´ on general de elemento que incluye directamente las fuerzas nodales aplicadas, las fuerzas nodales equivalentes para las cargas distribu´ıdas de borde, y las fuerzas nodales equivalentes para las fuerzas de cuerpo, como [ k ]{δ} = {f } + {f (p) } + {f (b) } (9.34) donde la matriz de rigidez est´ a dada por la Ecuaci´on (9.20) y los vectores de carga son como hemos descrito. La Ecuaci´ on (9.34) es generalmente aplicable a elementos finitos usados en el an´alisis el´astico. Como se aprender´ a estudiando el an´alisis de elemento finito avanzado, la Ecuaci´on (9.34) puede complementarse por la suma de vectores de fuerza que provienen de la deformaci´on pl´astica, gradientes t´ermicos, o las propiedades del material dependientes de la temperatura, deformaci´on por efectos de radiaci´ on t´ermica, y los efectos din´ amicos de la aceleraci´on de movimiento.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
306
9.3.
Deformaci´ on plana
Se dice que un cuerpo s´ olido est´ a en un estado de deformaci´on plana si satisfacen todas las hip´otesis de la teor´ıa de tensi´ on plana excepto que el espesor del cuerpo (la longitud en la direcci´on z) es grande comparada con la dimensi´ on menor en el plano x–y. Matem´aticamente, la deformaci´on plana se define como un estado de carga y geometr´ıa tal que z =
∂w =0 ∂z
γxz =
∂u ∂w + =0 ∂z ∂x
γyz =
∂υ ∂w + =0 ∂z ∂y
(9.35)
(V´ease el Ap´endice B para una discusi´ on de las relaciones generales tensi´on–deformaci´on). F´ısicamente, la interpretaci´ on es que el cuerpo es tan largo en la direcci´on z que la deformaci´on normal, inducida s´ olo por el efecto de Poisson, es tan peque˜ no que puede considerarse despreciable y; cuando asumimos que s´ olo son aplicadas cargas en el plano x–y, las deformaciones cortantes o angulares tambi´en son peque˜ nas y se desprecian. (Uno podr´ıa pensar en deformaci´on plana como en el ejemplo de una represa hidroel´ectrica: una estructura grande, larga, y sujeta a carga transversal proveniente de la presi´on del agua, no como una viga). Bajo las condiciones prescritas para la deformaci´on plana, las ecuaciones constitutivas de las componentes no–nulas de tensi´on resultan ser E [ (1 − ν)x + νy ] (1 + ν)(1 − 2ν) E σy = [ (1 − ν)y + νx ] (1 + ν)(1 − 2ν) E τxy = γxy = G γxy 2(1 + ν) σx =
(9.36)
y, aunque no es nula, la tensi´ on normal en la direcci´on z es considerada despreciable, comparada con las otras componentes de tensi´ on. La energ´ıa de deformaci´ on el´ astica para un cuerpo de volumen V , en deformaci´on plana, es ZZZ 1 ( σx x + σy y + τxy γxy )dV Ue = 2 V
la cual puede ser expresada en notaci´ on matricial como 1 Ue = 2
ZZZ
σx
V
σy
x τxy y dV γxy
(9.37)
Combinando las ecuaciones (9.36) y (9.37), y considerable manipuleo algebr´aico, se demuestra que la energ´ıa el´astica de deformaci´ on est´ a dada por ZZZ E 1 x y γxy Ue = 2 (1 + ν)(1 − 2ν) V (9.38) 1−ν ν 0 x 1−ν 0 y dV × ν 1−2ν γxy 0 0 2 y es similar al caso de tensi´ on plana, y podemos expresar la energ´ıa de deformaci´on el´astica como ZZZ 1 Ue = {}T [ D ]{}dV (9.39) 2 V
´ PLANA 9.3. DEFORMACION
307
con la excepci´ on que la matriz de propiedades el´asticas para deformaci´on plana se define ahora como 1−ν ν 0 E ν 1−ν 0 (9.39a) [D] = (1 + ν)(1 − 2ν) 1−2ν 0 0 2 Para expresar la energ´ıa de deformaci´on el´astica en t´erminos de la variable de campo primaria (el campo de desplazamientos interno) debemos hallar previamente las componentes de deformaci´on unitaria, que expresadas en t´erminos de las componentes de desplazamiento son x =
∂u ∂x
y =
∂υ ∂y
γxy =
∂u ∂υ + ∂y ∂x
(9.40)
Hasta aqu´ı hemos desarrollado la teor´ıa b´asica y general para la evaluaci´on de la energ´ıa de deformaci´on el´astica de un cuerpo sometido a un estado de deformaci´on plana. La aplicaci´on de las ecuaciones deducidas depender´ a de la elecci´ on del tipo de elemento plano que se adec´ ue de mejor manera a la geometr´ıa del dominio espacial bajo an´alisis. Para un elemento rectangular de cuatro–nodos (por ejemplo, s´olamente), la matriz columna de componentes de deformaci´ on se expresa como u1 u2 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 u3 ∂x ∂x ∂x ∂x x u4 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 (9.41) {} = y = ∂y ∂y ∂y ∂y υ 1 γxy ∂N2 ∂N3 ∂N4 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 ∂N1 υ2 ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂x υ3 υ4 en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y los desplazamientos nodales. Como es de costumbre, la Ecuaci´ on (9.41) se escribe en forma matricial comp´acta como {} = [ B ]{δ}
(9.41a)
donde [ B ] representa la matriz de derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on, y {δ} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales. De aqu´ı, la energ´ıa total de deformaci´on el´astica del elemento resulta ser ZZZ 1 1 Ue = {δ}T [ B ]T [ D ][ B ]dV {δ} = {δ}T [ k ]{δ} (9.42) 2 2 V
y la matriz de rigidez de elemento nuevamente est´a dada como ZZZ [k] = [ B ]T [ D ][ B ] dV (e)
(9.42a)
V
Las funciones de interpolaci´ on para el elemento rectangular de cuatro–nodos v´ertice, por la Ecuaci´on (6.36), recordemos que son N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s)
N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s)
N3 (r, s) = 14 (1 + r)(1 + s)
N4 (r, s) = 41 (1 − r)(1 + s)
(9.43)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
308
(1, 1)
(–1, 1)
4
3
s
2b
r
2
1 (–1, –1)
(1, –1)
2a Figura 9.5: Elemento rectangular y cooordenadas naturales con las coordenadas naturales definidas como en la Figura 9.5. Para calcular las componentes de deformaci´on en t´erminos de las coordenadas naturales, se aplica la regla de la cadena para obtener ∂ ∂ ∂r 1 = = ∂x ∂r ∂x a ∂ ∂ ∂s 1 = = ∂y ∂s ∂y b
∂ ∂r ∂ ∂s
(9.44)
Estas relaciones de transformaci´ on de operadores diferenciales desde el sistema coordenado rectangular hacia el sistema de coordenadas naturales son necesarias para evaluar las deformaciones unitarias producidas en el elemento. Por ejemplo si tomamos el desplazamiento horizontal en cualquier punto interno del elemento rectangular de cuatro nodos v´ertice que estamos manejando, el mismo est´a aproximado mediante las funciones de interpolaci´on previamente especificadas como u(r, s) = N1 (r, s)u1 + N2 (r, s)u2 + N3 (r, s)u3 + N4 (r, s)u4 que acorde con la Ecuaci´ on (9.43) en forma desarrollada resulta u(r, s) = 41 (1 − r)(1 − s)u1 + 14 (1 + r)(1 − s)u2 + 14 (1 + r)(1 + s)u3 + 14 (1 − r)(1 + s)u4 Por la definici´ on de deformaci´ on unitaria seg´ un la direcci´on x tendremos entonces, 1 ∂u ∂u = ∂x a ∂r 1 ∂ 1 = [ (1 − r)(1 − s)u1 + 14 (1 + r)(1 − s)u2 + 41 (1 + r)(1 + s)u3 + 14 (1 − r)(1 + s)u4 ] a ∂r 4 1 = [ (s − 1)u1 + (1 − s)u2 + (1 + s)u3 − (1 + s)u4 ] 4a
x =
Las otras componentes de deformaci´ on unitaria se calculan mediante las relaciones que fueron establecidas previamente (o, v´ease el Ap´endice B). Realizando las diferenciaciones indicadas, se demuestra que las componentes de la deformaci´ on unitaria son u1 u2 s−1 1−s 1+s 1+s u3 − 0 0 0 0 4a 4a 4a 4a x u 4 r−1 1+r 1+r 1−r y 0 0 0 0 − = (9.45) 4b 4b 4b 4b υ 1 γxy r−1 1+r 1+r 1−r s−1 1−s 1+s 1+s − 4b − 4a υ2 4b 4b 4b 4a 4a 4a υ 3 υ4
´ PLANA 9.3. DEFORMACION
309
mostrando que la deformaci´ on normal x var´ıa linealmente en la direcci´on y, la deformaci´on normal y var´ıa linealmente en la direcci´ on x, y la deformaci´on cortante γxy var´ıa linealmente en ambas direcciones coordenadas (comprendiendo que la coordenada natural r corresponde al eje x, y la coordenada natural s corresponde al eje y). A partir de la Ecuaci´ on (9.45), la matriz [ B ] r´apidamente se identifica como s−1 1−s 1+s − 1+s 0 0 0 0 4a 4a 4a 4a 1+r 1−r r−1 − 1+r 0 0 0 (9.46) [B ] = 4b 4b 4b 4b 0 r−1 1+r 1+s 1+r 1−r s−1 1−s 1+s − 4b − 4a 4b 4b 4b 4a 4a 4a de aqu´ı, la matriz de rigidez de elemento est´a dada, formalmente, por ZZZ (e) k = [ B ]T [ D ][ B ]dV (e) V (e) s−1 4a 1−s 4a 1+s 4a Z1 Z1 − 1+s 4a
E tab = (1 + ν)(1 − 2ν)
−1 −1
s−1 4a
0
×
r−1 4b
0 0 0 0 r−1 4b − 1+r 4b 1+r 4b 1−r 4b
0 0 0 0
r−1 4b − 1+r 4b 1+r 4b 1−r 1 4b s−1 4a 1−s 4a 1+s 4a 1+s − 4a
−ν ν 0
0
1−s 4a
1+s 4a
− 1+s 4a
0
0
0
0
0
0
− 1+r 4b
− 1+r 4b
1+r 4b
1−r 4b
r−1 4b s−1 4a
1+r 4b 1+s 4a
1−s 4a
ν 1−ν 0
0 0 (1+ν)(1−2ν) 2(1+ν)
(9.47)
1−r 4b − 1+s 4a
dr ds
La matriz de rigidez de elemento como est´a definida por la Ecuaci´on (9.47) es una matriz 8×8 sim´etrica; que por consiguiente, contiene 36 coeficientes independientes. De aqu´ı, se requieren 36 integraciones para obtener la matriz de rigidez completa de forma expl´ıcita. Las integraciones son directas pero algebr´ aicamente tediosas. Aqu´ı, nosotros desarrollamos s´olo un t´ermino de la matriz de rigidez en detalle, y luego discutimos los m´etodos num´ericos m´as eficaces usados en los diversos paquetes de software de elemento finito. Si llevamos a efecto los productos matriciales reci´en indicados, el primer t´ermino diagonal de la matriz de rigidez se halla que es (e) 11
k
E tb = 16 a(1 + 2ν)
Z1 Z1 −1 −1
E ta (s − 1) dr ds + 32 b(1 + ν) 2
Z1 Z1
(r − 1)2 dr ds
(9.48)
−1 −1
y, se eval´ ua de la manera siguiente 1 1 E tb 2(s − 1)3 E ta 2(r − 1)3 + 16 a(1 + 2ν) 3 32 b(1 + ν) 3 −1 −1 16 E ta 16 E tb + = 16 a(1 + 2ν) 3 32 b(1 + ν) 3
(e) k11 =
(9.48a)
Debe usted notar que los integrandos son funciones cuadr´aticas de las coordenadas naturales. De hecho, el an´ alisis de la Ecuaci´ on (9.47) revela que cada t´ermino de la matriz de rigidez del elemento
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
310
requiere la integraci´ on de funciones cuadr´ aticas de las coordenadas naturales. De la discusi´on acerca del m´etodo de integraci´ on Gaussiana (Cap´ıtulo 6), que un polinomio cuadr´atico puede ser integrado ex´actamente usando s´ olo dos puntos de integraci´on (o evaluaci´on). Como aqu´ı tratamos con procesos de integraci´on en dos dimensiones, debemos evaluar el integrando en los puntos de Gauss √ √ 3 3 ri = ± sj = ± 3 3 con factores de ponderaci´ on Wi = Wj = 1. Si aplicamos la t´ecnica de integraci´on para la evaluaci´on (e) de k11 ; obtenemos como es esperado, un resultado id´entico al que hallamos reci´en. M´as importante, el procedimiento de integraci´ on de Gauss puede ser aplicado directamente a la Ecuaci´on (9.47) para obtener la matriz de rigidez de elemento como
2 2 X X k (e) = t a b Wi Wj [ B(ri , sj ) ]T [ D ][ B(ri , sj ) ]
(9.49)
i=1 j=1
donde el producto triple matricial se eval´ ua cuatro veces, de acuerdo con el n´ umero de puntos requerido por la integraci´ on. Las sumas y multiplicaciones matriciales necesarias en la Ecuaci´on (9.49) se programan f´acilmente e idealmente satisfacen la aplicaci´on de la computadora digital. Aunque la Ecuaci´ on(9.49) se ha escrito espec´ıficamente para el ‘cado de un elemento rectangular de cuatro–nodos, la misma es aplicable tambi´en a elementos de orden–superior. Recuerde que, a medida que el orden del polinomio se incrementa, la integraci´on exacta mediante la cuadratura Gaussiana requiere el incremento en valor de los puntos de integraci´on y los factores de ponderaci´on. Utilizando los valores indicados en la Tabla 6.1, la implementaci´on computarizada de la Ecuaci´on (9.49) puede adaptarse f´acilmente a elementos de orden superior. Nosotros usamos el elemento triangular para ilustrar la tensi´on plana y el elemento rectangular para ilustrar la deformaci´ on plana. Si los desarrollos se siguen claramente, es aparente que ambos elementos pueden usarse para ambos estados de tensiones. La u ´nica diferencia est´a en las relaciones de tensi´on–deformaci´ on exhibidas por la matriz de propiedades materiales [ D ]. Esta aseveraci´on es cierta para cualquier forma y orden de elemento (en t´erminos del n´ umero de nodos y el orden de las funciones o polinomios de interpolaci´ on). El uso de los elementos triangular y rectangular en los ejemplos, no significa que sean de alguna forma restrictivos s´olo a los casos analizados en los ejemplos presentados.
9.4.
Formulaci´ on isoparam´ etrica
Aunque los elementos triangular y rectangular y´a discutidos son u ´tiles para el an´alisis de problemas planos en la mec´ anica de s´ olidos, ellos exhiben limitaciones. Geom´etricamente, el elemento triangular es bastante u ´til modelando formas irregulares que tienen l´ımites curvos. Sin embargo, puesto que las tensiones al interior del elemento son constantes, se requiere un n´ umero grande de peque˜ nos elementos para obtener una exactitud razonable, en particular en las ´areas de elevados gradientes de tensi´on, como las discontinuidades geom´etricas de entalladuras, perforaciones y otras. En comparaci´on, el elemento rectangular proporciona una variaci´ on lineal m´as razonable de las componentes de tensi´on, pero no es adecuado para modelar las formas irregulares. Un elemento que tiene la caracter´ıstica deseable de variaci´on de tensi´ on en el elemento, as´ı como la habilidad de aproximar estrechamente las curvas, es el elemento cuadril´ atero de cuatro–nodos. Desarrollaremos ahora el elemento cuadril´atero usando una formulaci´on isoparam´etrica adaptable a tensi´on plana o deformaci´on plana. Un elemento cuadril´ atero general se muestra en la Figura 9.6(a), que tiene numeraci´on de nodos y desplazamientos nodales como se indica. Las coordenadas del nodo i son (xi , yi ) y se refieren a un sistema coordenado global. El elemento se forma por mapeo del elemento generador (elemento padre) mostrado en la Figura 9.6(b), usando los procedimientos desarrollados en la Secci´on 6.8. Recordando que, en la aproximaci´ on isoparam´etrica, las funciones de mapeo geom´etrico son id´enticas a las funciones
´ ISOPARAMETRICA ´ 9.4. FORMULACION
311
3 3
4 4
u3 (–1, 1)
u4
s
(1, 1)
3
4
2 1
r u2
2
y 1 x
2
1
u1
(–1, –1)
(a) Elemento isoparam´ etrico
(1, –1)
(b) Elemento generador
Figura 9.6: Elemento cuadril´atero isoparam´etrico plano de interpolaci´ on usadas para discretizar los desplazamientos, el proceso de mapeo geom´etrico se define por 4 X Ni (r, s)xi x= i=1
y=
4 X
(9.50) Ni (r, s)yi
i=1
y las funciones de la interpolaci´ on son como fueron especificadas en la Ecuaci´on (9.43), de modo que los desplazamientos se describen como u(x, y) =
4 X
Ni (r, s)ui
i=1
υ(x, y) =
4 X
(9.51) Ni (r, s)υi
i=1
Ahora, las complicaciones matem´aticas surgen cuando se calculan las componentes de deformaci´on como son dadas por la Ecuaci´ on (9.40) y re–escrita aqu´ı como ∂u ∂ 0 ∂x x ∂x ∂υ ∂ u {} = y = = 0 ∂y (9.52) υ ∂y ∂u ∂υ ∂ ∂ γxy ∂y + ∂x ∂y ∂x Utilizando la Ecuaci´ on (6.58) con φ = u, tenemos ∂u ∂x ∂u ∂u = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂u ∂x ∂u ∂u = + ∂s ∂x ∂s ∂y
∂y ∂r ∂y ∂s
con similares expresiones para la derivada parcial del desplazamiento υ. Escribiendo la ecuaci´on anterior en forma matricial ( ) " #( ) ( ) ∂u ∂r ∂u ∂s
=
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x ∂s ∂y ∂s
∂u ∂x ∂u ∂y
= [J ]
∂u ∂x ∂u ∂y
(9.53)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
312
y la matriz Jacobiana es identificada como "
J11 [J ] = J21
# " ∂x J12 ∂r = ∂y J22 ∂r
∂x ∂s ∂y ∂s
# (9.53a)
como en la Ecuaci´ on (6.58). Note que, por el mapeo geom´etrico definido por la Ecuaci´on (9.50), las componentes de [ J ] son conocidas como las funciones provenientes de las derivadas parciales de las funciones de interpolaci´ on y las coordenadas nodales en el plano x–y. Por ejemplo, 4
J11 =
∂x X ∂Ni = xi = 14 [ (s − 1)x1 + (1 − s)x2 + (1 + s)x3 − (1 + s)x4 ] ∂r ∂r i=1
resulta ser un polinomio de primer–orden en la coordenada (de mapeo) natural s. Los otros t´erminos son polinomios de primer–orden similares. Formalmente, la Ecuaci´ on (9.53) puede resolverse para las derivadas parciales de la componente de desplazamiento u con respecto a x y y, multiplicando por la inversa de la matriz Jacobiana. Como fu´e indicado en el Cap´ıtulo 6, hallar la inversa de la matriz Jacobiana no es una tarea envidiable. En cambio, los m´etodos num´ericos son usados, de nuevo basados en la cuadratura Gaussiana, y el resto de la derivaci´ on aqu´ı apunta hacia ese fin. En lugar de invertir la matriz Jacobiana, la Ecuaci´on (9.53) puede resolverse mediante la regla de Cramer. La aplicaci´on de la regla de Cramer resulta en ∂u J 12 ∂r ( ) ∂u ∂s J22 ∂u ∂u 1 ∂r J22 −J12 = = ∂u ∂x |J | |J | ∂s J ∂u 11 ∂r ( ) J21 ∂u ∂u ∂u 1 ∂s ∂r −J21 J11 = = ∂u ∂y |J | |J | ∂s ´o, en una forma m´ as comp´ acta, (
∂u ∂x ∂u ∂s
)
1 J22 = | J | −J21
−J12 J11
( ∂u ) ∂r ∂u ∂s
(9.54)
El determinante de la matriz Jacobiana | J |, es com´ unmente llamado simplemente Jacobiano. Puesto que las funciones de interpolaci´on son las mismas para ambas componentes de desplazamiento, un procedimiento id´entico resulta en ( ) ( ∂υ ) ∂υ 1 J22 −J12 ∂x ∂r = (9.55) ∂υ ∂υ −J21 J11 | J | ∂s ∂s para las derivadas parciales de la componente υ de desplazamiento con respecto a las coordenadas globales. Volvamos al problema de calcular las componentes de deformaci´on por la Ecuaci´on (9.52). Utilizando las Ecuaciones (9.54) y (9.55), las componentes de deformaci´on son expresadas como ∂u ∂u ∂u ∂r ∂r J22 −J12 0 0 x ∂x ∂u ∂u 1 ∂υ ∂s ∂s 0 0 −J21 J11 ∂υ = [ G ] ∂υ = (9.56) {} = y = ∂y | J | −J21 J11 ∂u ∂υ ∂r ∂r J −J γxy 22 12 + ∂y
∂x
∂υ ∂s
∂υ ∂s
´ ISOPARAMETRICA ´ 9.4. FORMULACION
313
donde introducimos una nueva matriz, a la cual convenimos en llamarla matriz de mapeo geom´etrico, definida como J −J12 0 0 1 22 0 0 −J21 J11 [G] = (9.56a) |J | −J21 J11 J22 −J12 Ahora, debemos expandir la matriz columna en el extremo del lado derecho de la Ecuaci´on (9.56) en t´erminos de la aproximaci´ on discretizada de los desplazamientos. Mediante la Ecuaci´on (9.51), tenemos u1 u2 ∂u ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r u 3 ∂u ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 u4 ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s = (9.57) ∂υ ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 υ 0 0 0 ∂r 0 1 ∂r ∂r ∂r ∂r ∂υ υ2 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s υ3 υ4 donde volvemos a enfatizar que las derivadas parciales indicadas son funciones conocidas de las coordenadas naturales del elemento padre. Por notaci´on resumida, la Ecuaci´on (9.57) se vuelve a escribir como ∂u ∂r ∂u ∂s = [ P ]{δ} (9.58) ∂υ ∂r ∂υ ∂s
en la que [ P ] es la matriz de derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on con respecto a las coordenadas naturales, y {δ} es el vector de componentes de los desplazamientos nodales. Combinando las Ecuaciones (9.56) y (9.58), obtenemos la cotizada relaci´on para las componentes de deformaci´ on en t´erminos de las componentes de los desplazamientos nodales como {} = [ G ][ P ]{δ}
(9.59)
y, por analog´ıa con los desarrollos efectuados previamente, la matriz [ B ] = [ G ][ P ] ha sido determinada, de modo que se cumpla la relaci´on b´asica: {} = [ B ]{δ}; de forma que la matriz de rigidez de elemento est´e definida por Z [ k (e) ] = t
[ B ]T [ D ][ B ]dA
(9.60)
A
con t que representa el espesor constante del elemento, y la integraci´on es realizada sobre el ´area del mismo (en el plano f´ısico x–y). En la Ecuaci´on (9.60), la rigidez podr´ıa representar un elemento de tensi´ on plana o un elemento de deformaci´on plana, dependiendo del modo en el que la matriz de propiedades materiales [ D ] es definida por la Ecuaci´on (9.4) ´o (9.39a), respectivamente. (Tambi´en note que, para tensi´ on plana, es de costumbre tomar el espesor del elemento como la unidad). La integraci´ on indicada por la Ecuaci´on (9.60) est´a en el espacio global x–y, pero la matriz [ B ] se define en t´erminos de las coordenadas naturales en el elemento del espacio generador o padre. Por consiguiente, se requiere un poco m´as de an´alisis para obtener una forma final. En el espacio f´ısico, tenemos: dA = dy dx, pero deseamos integrar usando coordenadas naturales sobre sus rangos respectivos de −1 a +1. En el caso del elemento rectangular de cuatro–nodos, la conversi´on es dir´ecta, porque x s´olo est´ a relacionado a r, y y s´ olo est´a relacionado a s, como es indicado en la Ecuaci´on (9.44). En el caso del elemento isoparam´etrico que estamos tratando, la situaci´on no es tan simple. La deducci´on no se repite aqu´ı, pero se muestra en muchos de los textos de c´alculo [15] que dA = dx dy = | J |dr ds
(9.61)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
314
de aqu´ı, la Ecuaci´ on (9.60) llega a ser Z1 Z1
ZZ (e)
T
[ B ]T [ D ][ B ]| J |dr ds
[ B ] [ D ][ B ]| J |dr ds = t
[k ] = t
(9.62)
−1 −1
A
Como puede notarse, los coeficientes en la matriz [ B ] son funciones conocidas de las coordenadas naturales, como lo es el Jacobiano | J |. Los t´erminos en la matriz de rigidez representada por la Ecuaci´on 9.86, de hecho, son integrales de relaciones racionales (fracciones) de polinomios y las integraciones son extremadamente dificultosas, usualmente imposibles de realizarse exactamente. En cambio, se usa la t´ecnica de cuadratura Gaussiana y las integraciones se reemplazan con las sumas del integrando evaluado en los puntos de Gauss especificados como fu´e definido en el Cap´ıtulo 6. Para p puntos de integraci´on en la variable r y q puntos de integraci´on en la variable s, la matriz de rigidez se aproxima mediante q p X X (e) Wi Wj [ B(ri , sj ) ]T [ D ][ B(ri , sj ) ]| J(ri , sj ) | (9.63) [k ] = t i=1 j=1
Puesto que [ B ] incluye el determinante de la matriz de Jacobi en el denominador, la integraci´on num´erica generalmente no produce una soluci´on exacta, ya que el cociente de polinomios no necesariamente es un polinomio. No obstante, el procedimiento de cuadratura Gaussiana se usa para este elemento, y y´a que el integrando es una funci´on cuadr´atica en r y s, se obtienen muy buenos resultados. En el tal caso, nosotros usamos dos puntos de Gauss para cada variable, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 9.3. Eval´ ue la matriz de rigidez para el elemento isoparam´etrico cuadril´atero mostrado en la Figura 9.7 (las dimensiones mostradas est´ an en pulg) para tensi´on plana con E = 30(10)6 psi, ν = 0,3. El espesor del elemento (seg´ un direcci´ on perpendicular al dibujo) es t = 1 pulg. Note que las propiedades aqu´ı establecidas, corresponden a aqu´ellas del acero comercial. 3 (2.25, 1.5)
(1.25, 1)
4
y x
1 (1, 0)
2 (2, 0)
Figura 9.7: Elemento isoparam´etrico cuadril´atero > Soluci´ on Las funciones de mapeo de transformaci´ on geom´etrica son x(r, s) = 41 [ (1 − r)(1 − s)(1) + (1 + r)(1 − s)(2) + (1 + r)(1 + s)(2,25) + (1 − r)(1 + s)(1,25) ] y(r, s) = 41 [ (1 − r)(1 − s)(0) + (1 + r)(1 − s)(0) + (1 + r)(1 + s)(1,5) + (1 − r)(1 + s)(1) ]
´ ISOPARAMETRICA ´ 9.4. FORMULACION
315
de ´estas relaciones, los coeficientes de la matriz Jacobiana son ∂x 1 = ∂r 2 ∂x 1 J21 = = ∂s 2 y el determinante, o Jacobiano, es J11 =
∂y 1 = (0,5 − 0,5s) ∂r 4 ∂y 1 = = (2,5 − 0,5r) ∂s 4
J12 = J22
| J | = J11 J22 − J12 J21 =
1 16 (4
− r + s)
Por consiguiente, la matriz geom´etrica [ G ] de la Ecuaci´on (9.56a) es conocida en t´erminos de las proporciones de los monomios en r y s como 2,5 − 0,5r −(0,5 − 0,5s) 0 0 4 0 0 −2 2 [G] = 4−r+s −2 2 2,5 − 0,5r −(0,5 − 0,5s) Para tensi´ on plana, con los valores dados, la matriz de propiedades materiales resulta 1 ν 0 1 0,3 0 E ν 1 0 = 32,97(10)6 0,3 1 0 psi [D] = 1 − ν2 1−ν 0 0 0,35 0 0 2 Luego, notamos que, puesto que la matriz de derivadas parciales [ P ] como es definida en la Ecuaci´on (9.58) tambi´en est´ a compuesta de monomios en r y s, s−1 1−s 1 + s −(1 + s) 0 0 0 0 1 r − 1 −(1 + r) 1 + r 1−r 0 0 0 0 [P ] = (9.64) 0 0 0 0 s − 1 1 − s 1 + s −(1 + s) 4 0 0 0 0 r − 1 −(1 + r) 1 + r 1−r la matriz de rigidez de la Ecuaci´ on (9.62) ya no es m´as compuesta de funciones cuadr´aticas en las coordenadas naturales. De aqu´ı, seleccionamos cuatro puntos de integraci´on (puntos de prueba de Gauss) dados por √ 3 ri = sj = ± i, j = 1, 2 3 y, por la Tabla 6.1 los factores de ponderaci´on deben ser Wi = Wj = 1,0
i, j = 1, 2
Luego, la matriz de rigidez de elemento, de acuerdo con la Ecuaci´on (9.63), estar´a determinada mediante la relaci´ on [k (e) ] = t
2 X 2 X
Wi Wj [ B(ri , sj ) ]T [ D ][ B(ri , sj ) ]| J(ri , sj ) |
i=1 j=1
Los resultados num´ericos para este ejemplo son obtenidos mediante un programa computacional escrito en MatLab usando las funciones de construcci´on de matrices que posee este paquete de software matem´ atico. Por la corrida del programa, se obtuvo el siguiente resultado 2305 −1759 −617 72 798 −152 −214 −432 −1759 1957 471 −669 −52 −522 14 560 −617 471 166 −19 −214 41 57 116 72 −669 −19 616 −533 633 143 −244 (e) 103 lb/pulg [k ] = −52 −214 −533 1453 −169 −389 −895 798 −152 −522 −41 633 −169 993 45 −869 −214 14 57 143 −389 45 104 240 −432 560 116 −244 −895 −869 240 1524
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
316
Claramente se v´e que la matriz es sim´etrica y definida positiva; adem´as puede usted comprobar que la misma es una matriz singular, lo cual se puede verificar calculando el determinante de la matriz que debe arrojar como resultado un valor nulo. > Ejemplo 9.4. Un ejemplo cl´ asico de an´ alisis de tensi´ on plana se muestra en la Figura 9.8(a). Una placa uniforme delgada con un orificio circular central de radio a, est´a sujeta a una tensi´on uniaxial σ0 . Use el m´etodo de elemento finito para determinar el factor de concentraci´on de tensiones, dados los siguientes datos f´ısicos: σ0 = 1000 psi, a = 0,5 pulg, h = 3 pulg, w = 6 pulg, E = 107 psi, ν = 0,3.
a
0
0
2h
2w
(a) Esquema de an´ alisis 4
19
20
5
23
22
21
37 18 40
42
36
44
25
33
17
38
35
48
32
34
46 45
3
24
39
43
16
15
14
13
12
26 29 41
47 30 31 7 11 10 9 8 2
27 28 6 1
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 9.8: Placa plana rectangular con orificio central, sometida a solicitaci´on axial > Soluci´ on La soluci´on para este ejemplo fu´e obtenida usando un software comercial de elemento finito con elementos cuadril´ ateros planos. La malla de elementos inicial (algo tosca), mostrada en la Figura 9.8(b), est´a compuesta de 33 elementos. Note usted que las condiciones de simetr´ıa se han usado para reducir el modelo a un cuarto de su tama˜ no original y las condiciones de borde l´ımite correspondientes son como se muestran en la figura. Para este modelo, la tensi´on m´axima (como es esperado) se espera que ocurra en el nodo 1 (la parte superior del agujero); y la corrida del programa d´a como resultado que esta variable tiene una magnitud de 3101 psi. Para examinar la convergencia de la soluci´on, un modelo refinado se muestra en la Figura 9.9(c), usando 101 elementos. Para este modelo, la tensi´on m´axima ocurre tambi´en en el nodo 1 y tiene una magnitud calculada de 3032 psi. De aqu´ı, se aprecia que entre los dos modelos, los valores de tensi´on m´axima han cambiado en el orden de 2,3 por ciento. Es interesante notar que el desplazamiento m´aximo dado por los dos modelos es esencialmente el mismo. Esta observaci´on refuerza la necesidad
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
317
(a) Modelo de 101 elementos finitos
(b) Modelo de 192 elementos finitos
Figura 9.9: Mallas refinadas para evaluar la convergencia de la soluci´on de examinar las variables derivadas para la convergencia, no simplemente las variables directamente computadas. Como un paso final examinando la convergencia, el modelo mostrado en la Figura 9.9(d) que contiene 192 elementos tambi´en se resuelve. (Los n´ umeros de los nodos se eliminan para claridad de visualizaci´ on). La tensi´ on m´ axima calculada, de nuevo se presenta en el nodo 1, con una magnitud de 3024 psi; o sea un min´ usculo cambio con respecto al modelo previo, que nos permite concluir que la convergencia se ha logrado. (El cambio en el desplazamiento m´aximo es esencialmente nada). De aqu´ı, concluimos que el factor de concentraci´on de tensiones, definido como: Kt = σm´ax /σ0 = 3024/1000 = 3,024 es aplicable a la geometr´ıa y carga de este ejemplo. Es interesante notar que el factor de concentraci´on de tensiones te´ orico (de aqu´ı, el sub´ındice t) para este problema calculado por la teor´ıa matem´atica de la elasticidad es exactamente 3. El mismo resultado se muestra en muchos textos sobre dise˜ no de m´aquinas y an´ alisis de tensiones [47]. >
9.5.
An´ alisis de tensiones en simetr´ıa axial
El concepto de simetr´ıa axial se discute en el Cap´ıtulo 6 en t´erminos de las funciones generales de interpolaci´ on. Aqu´ı, especializamos el concepto de simetr´ıa axial al an´alisis de los problemas de tensi´on el´astica. Para satisfacer las condiciones de simetr´ıa axial, el problema debe ser tal que 1. El cuerpo s´ olido bajo tensi´ on debe ser un s´olido de revoluci´on; por convenci´on, el eje de revoluci´on es el eje z en un sistema de coordenadas cil´ındrico (r, θ, z).
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
318
2. La carga aplicada sobre el cuerpo es sim´etrica alrededor del eje z. 3. Todas las condiciones de borde l´ımite (restricciones) son sim´etricas alrededor del eje z. 4. Las propiedades materiales tambi´en son sim´etricas (autom´aticamente satisfecho por un material linealmente el´ astico, homog´eneo, e isotr´opo). Si estas condiciones est´ an satisfechas, el campo de desplazamientos internos es independiente de la coordenada tangencial θ, y por tanto el an´alisis de tensiones es matem´aticamente bi–dimensional, aunque el problema f´ısico sea tri–dimensional. Para desarrollar las ecuaciones de simetr´ıa axial, examinamos la Figura 9.10(a), la cual representa a un s´olido de revoluci´on que satisface los requisitos precedentes. La Figura 9.10(b) es un elemento diferencial del cuerpo en el plano r–z; es decir, cualquier secci´on a trav´es del cuerpo para el cual θ es constante. Sin embargo, nosotros no podemos ignorar la coordenada tangencial completamente, ya que como es mostrado en la Figura 9.10(c), hay una tensi´on en la direcci´ on tangencial (recuerde la definici´on b´asica de tensi´on anular en los recipientes de presi´on de pared delgada tratado en el curso de mec´anica de materiales) la cual proviene del cambio de magnitud de la dimensi´ on de cualquier segmento de arco circular trazado desde el eje de simetr´ıa. Note que, en direcci´ on radial, el elemento tambi´en sufre un desplazamiento, que introduce incremento en la circunferencia y por tanto tambi´en tensiones asociadas.
dr
z
u)d (r rd
dV
d dz
(a) Secci´ on de corte
d
r
dr
r
(b) Volumen diferencial (elemento finito)
u
u u dr r
r
(c) Elemento diferencial (Plano r–θ)
Figura 9.10: Cuerpo s´ olido de revoluci´on, con simetr´ıa axial. Denotamos el desplazamiento radial como u, el desplazamiento tangencial (circunferencial) como υ, y el desplazamiento axial como w. De la Figura 9.10(c), la deformaci´on unitaria radial es 1 ∂u ∂u r = u+ dr − u = (9.65) dr ∂r ∂r La deformaci´on unitaria axial es 1 z = dz
∂w w+ dz − w ∂z
=
∂w ∂z
(9.66)
y estas relaciones son como es esperado, puesto que el plano r–z es efectivamente igual que en un sistema coordenado rectangular. En la direcci´ on circunferencial, el elemento diferencial sufre una expansi´on definida considerando la longitud de arco original en comparaci´on con la longitud de arco deformada. Antes de la la deformaci´ on, la longitud del arco es ds = r dθ; mientras que despu´es de la deformaci´on, la longitud del arco es ds = (r + u) dθ. La deformaci´on unitaria tangencial es por tanto θ =
(r + u) dθ − r dθ u = r dθ r
(9.67)
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
319
y observamos que, aunque el problema es independiente de la coordenada tangencial θ, la deformaci´on tangencial debe ser considerada en la formulaci´on del problema. Note que, si r = 0, la expresi´on precedente para la deformaci´ on unitaria tangencial es matem´aticamente molesta, porque la divisi´on entre cero se indica. La situaci´ on ocurre, por ejemplo, si nosotros examinamos las tensiones en un cuerpo s´ olido en rotaci´ on, en cuyo caso las tensiones son inducidas por la fuerza centr´ıfuga (la aceleraci´on normal). Adicional discusi´ on sobre ´este problema es incluido despu´es, cuando tratemos el tema concerniente con la formulaci´ on del elemento finito. Adicionalmente, las deformaciones unitarias cortantes son ∂u ∂w + ∂z ∂r =0 =0
γrz = γrθ γθz
(9.68)
Si sustituimos las componentes de deformaci´on en las relaciones tensi´on–deformaci´on generalizadas del Ap´endice B (y, en este caso, utilizamos θ = y), obtenemos E [ (1 − ν)r + ν(θ + z ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E [ (1 − ν)θ + ν(r + z ) ] σθ = (1 + ν)(1 − 2ν) E σz = [ (1 − ν)z + ν(r + θ ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E γrz = Gγrz τrz = 2(1 + ν) σr =
(9.69)
Por conveniencia para el desarrollo conceptual en elemento finito, la Ecuaci´on (9.69) es expresada en forma matricial como 1−ν ν ν 0 σr r ν θ E 1 − ν ν 0 σθ (9.70) = ν 1−ν 0 z σz (1 + ν)(1 − 2ν) ν 1−2ν γrz τrz 0 0 0 2 en la cual identificamos la matriz de propiedades materiales para elasticidad con simetr´ıa axial, la cual es dada por 1−ν ν ν 0 ν E 1−ν ν 0 [D] = (9.70a) ν 1−ν 0 (1 + ν)(1 − 2ν) ν 1−2ν 0 0 0 2
9.5.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Recuerde de la discusi´ on general de funciones de interpolaci´on en el Cap´ıtulo 6, que esencialmente cualquier elemento bi–dimensional puede usarse para generar un elemento de simetr´ıa axial. Como mencionamos all´ı, por definici´ on, no existe ninguna dependencia en esta clase de problemas de la coordenada θ y de ning´ un desplazamiento de tipo circunferencial (tangencial); por lo que el campo de desplazamientos para el problema de tensi´on con simetr´ıa axial puede expresarse como u(r, z) =
M X
Ni (r, z) ui
i=1
w(r, z) =
M X i=1
(9.71) Ni (r, z) wi
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
320
con ui y wi representando los desplazamientos nodales radial y tangencial, respectivamente. Para prop´ositos ilustrativos, ahora consideramos el caso de un elemento triangular de tres–nodos v´ertice. Las componentes de deformaci´ on unitaria, en este caso, llegan a ser 3
r =
∂u X ∂Ni = ui ∂r ∂r i=1
θ =
u X Ni = ui r r i=1
3
3
(9.72)
∂w X ∂Ni = wi w = ∂z ∂z i=1 γrz =
3 3 X ∂Ni ∂u ∂w X ∂Ni + = ui + wi ∂z ∂r ∂z ∂r i=1 i=1
y, estas relaciones son expresadas convenientemente en forma matricial como u1 ∂N1 ∂N2 ∂N3 0 0 0 r ∂r ∂r ∂r u2 N2 N3 N1 θ 0 0 0 u3 r r r = ∂N1 ∂N2 ∂N3 w 0 0 1 0 z ∂z ∂z ∂z w2 γrz ∂N2 ∂N3 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N1 ∂z ∂z ∂z ∂r ∂r ∂r w3
(9.73)
Siguiendo los desarrollos anteriores, la Ecuaci´on (9.73) se denota {} = [ B ]{δ}, con [ B ] representando la matriz 4×6 que involucra a las derivadas espaciales de las funciones de interpolaci´on. As´ı la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica total de los elementos, como es descrita por la Ecuaci´on (9.12) ´o (9.42) puede evaluarse; y la matriz de rigidez resulta ser ZZZ [ k (e) ] = [ B ]T [ D ][ B ]dV (e) (9.74) V (e)
Aunque la Ecuaci´ on (9.74) est´ a poni´endose bastante familiar, una palabra o dos de cuatela son apropiadas. Primero recuerde en particular que, aunque las funciones de interpolaci´on usadas aqu´ı son en dos dimensiones, el elemento de simetr´ıa axial es de verdad tri–dimensional (toroidal). Segundo, el elemento no es un elemento de deformaci´on constante, debido a la variaci´on inversa de θ con la posici´on radial, de modo que el integrando en la Ecuaci´on (9.74) no es constante. Finalmente, note que la matriz [ D ] es significativamente diferente comparada con su contraparte de las matrices de propiedades materiales para tensi´ on y deformaci´on planas. Tomando la primera observaci´on en cuenta y recordando la Ecuaci´ on (9.70), la matriz de rigidez se define por ZZ (e) [ k ] = 2π [ B ]T [ D ][ B ] r dr dz (9.75) A(e)
y es una matriz 6×6 sim´etrica, que en teor´ıa requiere la evaluaci´on de 21 integrales. La integraci´on expl´ıcita de t´ermino–por–t´ermino no es recomendable, debido a la complejidad algebr´aica. Cuando se requiere una exactitud elevada, se utiliza la integraci´on num´erica de tipo–Gaussiana usando puntos de integraci´on espec´ıficamente determinados para regiones triangulares [45]. Otra aproximaci´on es evaluar la matriz [ B ] en el centroide del elemento en un plano r–z. En este caso, las matrices en el integrando se vuelven constantes y la matriz de rigidez se aproxima por ¯ ]T [ D ][ B ¯] [ k (e) ] ∼ = 2 π r¯ A[ B
(9.76)
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
321
¯ ] la matriz gradiente espacial de las donde r¯ denota la posici´ on radial del centroide del elemento y [ B funciones de interpolaci´ on evaluada en el punto centroidal tambi´en. Por supuesto que la exactitud de la aproximaci´ on mejora a medida que el tama˜ no del elemento sea disminuido. Refiri´endonos a una observaci´ on anterior, la formulaci´on de la matriz [ B ] es molesta si la condici´on r = 0 es incluida en el dominio de an´alisis. En esta ocurrencia, tres coeficientes de la Ecuaci´on (9.73) explotan, debido a la divisi´ on por cero. Si la matriz de rigidez se eval´ ua usando la aproximaci´on centroidal de la Ecuaci´ on (9.76), ´este problema se evita ya que la coordenada radial del centroide de cualquier elemento no puede ser cero en un modelo de elemento finito con simetr´ıa axial. No obstante, las componentes de tensi´ on y deformaci´on radial y tangencial no pueden evaluarse en los nodos para los cuales r = 0. F´ısicamente, sabemos que los desplazamientos radiales y tangenciales en r = 0 en un problema con simetr´ıa axial deben ser cero. Matem´aticamente, la observaci´on no se considera en la formulaci´ on general de elemento finito, que es para un dominio arbitrario. Una t´ecnica para evitar el problema es incluir un agujero, coincidiendo con el eje z y teniendo un radio muy peque˜ no, pero finito [1]. De este modo, la malla de elementos finitos del modelo matem´atico de an´alisis no contiene ning´ un punto para el cual se tenga la condici´on r = 0, de nulidad de la coordenada radial.
9.5.2.
Cargas de elemento
Los problemas de simetr´ıa axial involucran a menudo fuerzas de superficie en forma de presi´on interior o externa, y fuerzas de cuerpo (m´asicas) provenientes de la rotaci´on del cuerpo (la fuerza centr´ıfuga) y del campo gravitatorio (el peso propio). En cada caso, las influencias externas anteriores que son tomadas como cargas distribu´ıdas, se reducen a fuerzas nodales usando el concepto de equivalencia de trabajo mec´ anico previamente introducido en p´arrafos anteriores. 3
pz
pz pr
dS
z r
1
pr
2
(a) Elemento t´ıpico cargado
(b) Longitud diferencial de borde
Figura 9.11: Cargas distribu´ıdas en elemento con simetr´ıa axial. El elemento triangular de simetr´ıa axial mostrado en la Figura 9.11(a) est´a sujeto a presiones pr y pz en las direcciones radial y axial, respectivamente. Las fuerzas nodales equivalentes son determinadas por analog´ıa con la Ecuaci´ on (9.28), con la notable excepci´on indicada en la Figura 9.11(b), la que muestra una longitud diferencial dS del borde del elemento en cuesti´on. Como dS se localiza a una distancia radial r desde el eje de simetr´ıa, el ´area en que el act´ uan las componentes de presi´on es dA = 2π r dS. Entonces, las fuerzas nodales estar´an dadas por (p) Z fr pr T {f (p) } = = 2 π [ N ] r dS (9.77) fz(p) pz S
donde el camino de integraci´ on S es el borde del elemento. En esta expresi´on, [ N ]T es como est´a definida por la Ecuaci´ on (9.28a). Ejemplo 9.5. Calcule las fuerzas nodales que corresponden a una presi´on radial uniforme pr = 10 psi (lb/pulg2 ) actuando sobre el elemento de simetr´ıa axial como es mostrado en la Figura 9.12. Los valores de las coordenadas indicadas en la gr´ afica est´an medidas en pulg.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
322 3 (3, 1)
10 psi
z 1 (3, 0)
2 (4, 0)
r
Figura 9.12: Elemento triangular cargado > Soluci´ on Como se tiene presi´ on en un solo borde (o cara) del elemento, y ´esta solo posee componente radial (no existe componente axial), inmediatamente observamos que fr2 = fz1 = fz2 = fz3 = 0 Las componentes de fuerza nodal no–nulas son Z fr1 = 2 π
N1 pr r dS S Z
fr3 = 2 π
N3 pr r dS S
Usando la Ecuaci´ on (9.21) con r, z en lugar de x, y; las funciones de interpolaci´on son N1 = 4 − r − z N2 = r − 3 N3 = z y, a lo largo del camino de integraci´ on (r=3), tendremos N1 = 1 − z N2 = 0 N3 = z Si el camino de integraci´ on es desde el nodo 1 hasta el nodo 3, dS = dz, y Z1 (1 − z) dz = 30π lb
fr1 = 2 π(10)(3) 0
Z1 fr3 = 2 π(10)(3)
z dz = 30π lb 0
Debemos notar que, si el camino de integraci´on es tomado en sentido opuesto (i.e., desde el nodo 3 hasta el nodo 1), entonces dS = − dz. Pero, ´esto no afecta en nada el procedimiento marcado en el proceso de soluci´ on, y usted puede demostrar que se obtiene el mismo resultado !. >
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
323
Las fuerzas de cuerpo actuando sobre los elementos de simetr´ıa axial se consideran de una manera similar a aquella discutida para el elemento de tensi´on plana, aunque debemos tomar en cuenta las diferencias geom´etricas. Si las fuerzas de cuerpo (fuerza por unidad de masa) RB and ZB act´ uan en las direcciones radial y axial, respectivamente; las fuerzas nodales equivalentes son calculadas como ZZ RB {f B } = 2 π ρ [ N ]T r dr dz (9.78) ZB A(e)
Para el elemento triangular de tres–nodos, [ N ]T ser´ıa de nuevo como es dada en la Ecuaci´on (9.28a). La extensi´ on de ´este concepto a otros tipos de elementos es similar. Generalmente, la fuerza de cuerpo radial proviene de la rotaci´on de un cuerpo de simetr´ıa axial alrededor del eje z. Para velocidad angular ω constante, la componente de fuerza de cuerpo radial RB es igual a la magnitud de la componente de aceleraci´on normal que surge del movimiento circular rotacional r ω 2 y est´ a dirigida en direcci´on radial positiva. Otro tipo de fuerza de cuerpo importante es aquella que proviene de la acci´ on del campo garvitatorio terrestre. Esta fuerza es tomada s´olo con componente axial seg´ un direcci´ on negativa del eje z, y su intensidad es id´entica al valor de magnitud de la gravedad estandar g. Ejemplo 9.6. El elemento de simetr´ıa axial de la Figura 9.12 es parte de un cuerpo que gira con velocidad angular ω constante de 10 rad/seg alrededor del eje z, y adem´as est´a sujeto a la acci´on de la gravedad. Calcule las fuerzas nodales equivalentes para esta solicitaci´on combinada aplicada al elemento. La densidad ρ tiene valor de magnitud 7,3(10)−4 lb-seg2 /pulg4 . > Soluci´ on Para las condiciones establecidas, tendremos 2
RB = r ω 2 = 100 r pulg/seg
ZB = −g = −386,4 pulg/seg
2
Utilizando las funciones de interpolaci´on como fueron establecidas en el Ejemplo 9.5, ZZ fr1 = 2 π ρ
4−r Z4 Z N1 RB r dr dz = 2 π ρ(100) (4 − r − z) r2 dz dr = 0,84 lb 3
A
ZZ fr2 = 2 π ρ
3
A
ZZ fr3 = 2 π ρ
fz1 = 2 π ρ
0
4−r Z4 Z N3 RB r dr dz = 2 π ρ(100) z r2 dz dr = 0,84 lb 3
A
ZZ
0
4−r Z4 Z N2 RB r dr dz = 2 π ρ(100) (r − 3) r2 dz dr = 0,98 lb
0
4−r Z4 Z N1 ZB r dr dz = −2 π ρ(386,4) (4 − r − z) r dz dr = −1,00 lb 3
A
0
4−r Z4 Z
ZZ N2 ZB r dr dz = −2 π ρ(386,4)
fz2 = 2 π ρ
(r − 3) r dz dr = −1,08 lb 3
A
ZZ fz3 = 2 π ρ A
0
4−r Z4 Z N3 ZB r dr dz = −2 π ρ(386,4) z r dz dr = −1,00 lb 3
0
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
324
Las integraciones requeridas para obtener los resultados dados son directas, pero algebr´aicamente tediosas. Otro acercamiento a la soluci´ on que puede usarse y es incrementalmente exacta para un decremento en el tama˜ no del elemento, es evaluar la fuerza de cuerpo y el integrando en el centroide de la secci´on transversal del ´ area del elemento como una aproximaci´on. Usando esta aproximaci´on, puede ser demostrado que ZZ r¯ A Ni (¯ r, z¯) r¯ dz dr = i = 1; 3 3 A
as´ı que las fuerzas de cuerpo se asignan equitativamente a cada uno de los nodos. Para el ejemplo presente, el resultado es fr1 = fr2 = fr3 = 0,88 lb fz1 = fz2 = fz3 = −1,03 lb Note usted que, dentro de la exactitud num´erica usada aqu´ı, la fuerza radial total y la fuerza total axial son las mismas para los dos m´etodos presentados. >
9.6.
Elementos de tensi´ on tri–dimensionales generales
Aunque las condiciones de tensi´ on plana, deformaci´on plana, y simetr´ıa axial frecuentemente son encontradas, la mayor´ıa de las veces la geometr´ıa de una estructura y las cargas aplicadas son tales que existe un estado tri–dimensional general de tensiones. En el caso general, hay tres componentes de desplazamiento u, v, y w en las direcciones de los ejes x, y, y z, respectivamente; y seis componentes de deformaci´on dadas por (v´ease el Ap´endice B) ∂u ∂x x ∂υ ∂y y ∂w z ∂z {} = = ∂u ∂υ γxy ∂y + ∂x γ ∂u ∂w xz ∂z + ∂x γyz ∂υ + ∂w ∂z
(9.79)
∂y
Por conveniencia de presentaci´ on, las relaciones deformaci´on–desplazamiento de la ecuaci´on anterior pueden ser expresadas como ∂ ∂x
0
0 0 {} = ∂ ∂y ∂ ∂z 0
∂ ∂y
0 ∂ ∂x
0 ∂ ∂z
0
0 ∂ u u ∂z υ = [L] υ 0 w w ∂ ∂x
(9.80)
∂ ∂y
y la matriz [ L ] es una matriz 6×3 de operadores de derivaci´on parcial espacial. Las relaciones tensi´ on–deformaci´ on, especificadas por las Ecuaciones (B.14), son expresadas en
´ TRI–DIMENSIONALES GENERALES 9.6. ELEMENTOS DE TENSION
325
forma matricial como σx σy σz {σ} = τxy τxz τyz 1−ν ν ν E = (1 + ν)(1 − 2ν) 0 0 0
ν 1−ν ν 0 0 0
ν ν 1−ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν 2
0 0
0 0 0 0 1−2ν 2
0
x y z = [ D ]{} γxy γxz 1−2ν γyz 0 0 0 0 0
(9.81)
2
Note que, para el caso general, la matriz de propiedades materiales [ D ] es una matriz 6×6 que involucra s´ olo el m´ odulo de elasticidad y la relaci´on de Poisson (nosotros continuamos restringiendo la presentaci´ on a la elasticidad lineal). Tambi´en note que las componentes del desplazamiento son funciones continuas de las coordenadas Cartesianas.
9.6.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Siguiendo el procedimiento general establecido en el contexto de los elementos bi–dimensionales, un elemento tri–dimensional de deformaci´on el´astica que tiene M nodos, se formula discretizando primero las componentes del desplazamiento como u(x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z) ui
i=1
υ(x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z) υi
(9.82)
i=1
w(x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z) wi
i=1
Como es de costumbre, los desplazamientos nodales Cartesianos son ui , υi , y wi ; mientras que Ni (x, y, z) es la funci´ on de interpolaci´on asociada con el nodo i. En este punto, no hacemos ninguna hip´otesis con respecto a la forma del elemento o el n´ umero de nodos del mismo. En cambio, simplemente notemos que las funciones de interpolaci´on pueden ser cualquiera de aqu´ellas discutidas en el Cap´ıtulo 6 para los elementos tri–dimensionales. Introduciendo el vector (matriz columna) de desplazamientos nodales T {δ} = u1 u2 · · · uM υ1 υ2 · · · υM w1 w2 · · · wM (9.83) La representaci´ on discretizada del campo de desplazamientos puede escribirse en forma matricial como [N ] [0] [0] u υ = [ 0 ] [ N ] [ 0 ] {δ} = [ N[3] ]{δ} (9.84) w [0] [0] [N ] En la u ´ltima ecuaci´ on, cada submatriz [ N ] es una matriz fila 1×M que tiene como coeficientes a las funciones de interpolaci´ on [ N ] = N1 N2 · · · NM (9.84a)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
326
as´ı, la matriz que hemos escogido denotar como [ N[3] ] es una matriz 3×3M compuesta de funciones de interpolaci´on y muchos valores cero. Antes de proceder, enfatizamos que el orden de los desplazamientos nodales en la Ecuaci´ on (9.83) es conveniente para los prop´ositos de desarrollo, pero es ineficaz para los prop´ositos computacionales. Se obtiene una mayor eficiencia computacional en la fase de soluci´on del modelo si el vector de desplazamientos se define como: T {δ} = u1 υ1 w1 u2 υ2 w2 · · · · · · uM υM wM Recordando las Ecuaciones (9.7) y (9.17), la energ´ıa potencial total de un elemento puede expresarse como ZZZ 1 {}T [ D ]{}dV − {δ}T {f } (9.85) Π = Ue − W = 2 V
El vector de fuerzas nodales de elemento es definido como el ordenamiento en columna de las componentes de fuerza aplicadas en los nodos seg´ un las componentes de desplazamiento y´a especificadas; por tanto, T (9.86) {f } = f1x f2x · · · fM x f1y f2y · · · fM y f1z f2z · · · fM z y puede incluir los efectos de fuerzas concentradas aplicadas a los nodos, fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas de cuerpo, y fuerzas nodales equivalentes a las cargas de presi´on aplicadas. Considerado los desarrollos anteriores, la Ecuaci´on (9.85) puede expresarse [usando las Ecuaciones (9.80), (9.81), y (9.84)], como ZZZ 1 Π = Ue − W = {δ}T [ L ]T [ N[3] ]T [ D ][ L ][ N[3] ]{δ}dV − {δ}T {f } (9.87) 2 V
Como las componentes de desplazamiento nodales son independientes de la integraci´on sobre el volumen, la Ecuaci´ on (9.87) puede escribirse como ZZZ 1 Π = Ue − W = {δ}T [ L ]T [ N[3] ]T [ D ][ L ][ N[3] ]dV {δ} − {δ}T {f } (9.88) 2 V
la cual es de la forma Π = Ue − W =
1 {δ}T 2
ZZZ [ B ]T [ D ][ B ]dV {δ} − {δ}T {f }
(9.88a)
V
En la Ecuaci´ on (9.88a), la matriz deformaci´on–desplazamiento est´a dada por ∂ 0 0 ∂x ∂ 0 0 ∂y [0] [0] ∂ [N ] 0 0 ∂z [ B ] = [ L ][ N[3] ] = ∂ [0] [N ] [0] ∂ ∂y ∂x 0 [ 0 ] [ 0 ] [ N ] ∂ ∂ 0 ∂x ∂z ∂ ∂ 0 ∂z ∂y
(9.89)
y se observa que es una matriz 6×3M compuesta de las primeras derivadas parciales de las funciones de interpolaci´ on. La aplicaci´ on del principio de energ´ıa potencial m´ınima a la Ecuaci´on (9.88a) d´a, en analog´ıa con la Ecuaci´on (9.19), ZZZ [ B ]T [ D ][ B ]dV {δ} = {f } V
(9.90)
´ DE DEFORMACIONES Y TENSIONES 9.7. EVALUACION
327
como el sistema de ecuaciones nodales de equilibrio para un elemento de tensi´on tri–dimensional general. De ´esta u ´ltima ecuaci´ on, identificamos la matriz de rigidez de elemento como ZZZ [k] = [ B ]T [ D ][ B ]dV (9.90a) V
y la matriz de rigidez de elemento as´ı definida es una matriz 3M ×3M sim´etrica, como es esperado para un elemento el´ astico lineal. Las integraciones indicadas en la Ecuaci´on (9.90) dependen del tipo de elemento espec´ıfico en cuesti´ on. Para un elemento tetra´edrico lineal de cuatro–nodos (v´ease la Secci´on 6.7), todas las derivadas parciales de las coordenadas de volumen son constantes, as´ı que las deformaciones son constantes — ´esta es la analog´ıa tri–dimensional a un tri´angulo de deformaci´on constante en dos dimensiones. En el elemento tetra´edrico lineal, los coeficientes de la matriz [ B ] son constantes y las integraciones se reducen a una constante que multiplica al volumen del elemento. Si el elemento a ser desarrollado es un elemento ladrillo de ocho–nodos, las funciones de interpolaci´on, Ecuaci´ on (6.48), son tales que las tensiones var´ıan linealmente y el integrando en la Ecuaci´on (9.90) no es constante. Los integrandos resultan ser polinomios en las variables espaciales; sin embargo, y por consiguiente, adecuadas para un proceso de integraci´on mediante cuadratura Gaussiana en tres dimensiones. Similarmente, para los elementos de orden–superior, las integraciones requeridas para formular la matriz de rigidez son realizadas num´ericamente. El elemento ladrillo de ocho–nodos puede transformarse en un elemento paralelep´ıpedo de forma generalizada usando el procedimiento isoparam´etrico discutido en la Secci´on 6.8. Si el elemento de ocho–nodos se usa como el elemento generador (padre), el elemento isoparam´etrico resultante tiene caras o superficies l´ımite planas y es an´alogo al elemento cuadril´atero bi–dimensional. En cambio, si el elemento generador es de funciones de interpolaci´on de orden–superior, el elemento isoparam´etrico mapeado resulta ser un elemento con superficies generales (curvadas). Sin tener en cuenta el tipo de elemento espec´ıfico o los tipos de funciones de interpolaci´on usados en un an´ alisis tri–dimensional de elemento finito, el procedimiento para ensamblar las ecuaciones de equilibrio globales es el mismo que fu´e discutido varias veces, as´ı que no hacemos labor alguna en este punto. Como en los desarrollos anteriores, las ecuaciones globales y´a ensambladas son de la forma [ K ]{∆} = {F }
(9.91)
con [ K ] representando la matriz de rigidez global ensamblada, {∆} representando el vector columna de desplazamientos globales, y {F } representando el vector columna de cargas nodales aplicadas. Las fuerzas nodales pueden incluir fuerzas aplicadas directamente a los nodos, fuerzas concentradas nodales de trabajo–equivalente que corresponden a las fuerzas de cuerpo, y fuerzas que provienen de la presi´on aplicada en las caras del elemento.
9.7.
Evaluaci´ on de deformaciones y tensiones
Usando el m´etodo de rigidez expuesto en este texto, la fase de soluci´on de un an´alisis de elemento finito produce el c´ alculo de los desplazamientos nodales desconocidos, como tambien las fuerzas de reacci´on en los nodos restringidos (aquellos impedidos de desplazarse). El c´alculo de las componentes de deformaci´ on, y luego las componentes de tensi´on, es una fase secundaria (post–procesamiento) del an´alisis. Una vez que los desplazamientos nodales son conocidos, las componentes de deformaci´on (en cada nodo del modelo) se calculan r´ apidamente usando la Ecuaci´on (9.80); la cual, dada la discretizaci´on en el contexto del elemento finito, llega a ser u {} = [ L ] υ = [ L ][ N[3] ]{δ} = [ B ]{δ} (9.92) w
328
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
Debe darse ´enfasis a que la Ecuaci´ on (9.92) representa el c´alculo de las componentes de deformaci´on para un elemento individual y debe llevarse a cabo para cada elemento en el modelo de elemento finito. Sin embargo, el c´ alculo es dir´ecto, puesto que la matriz [ B ] se ha evaluado para cada uno de ellos al determinar su correspondiente matriz de rigidez, como contribuciones de los elementos a la matriz de rigidez global. Similarmente, las componentes de tensi´on de elemento se calculan como σ = [ D ][ B ]{δ}
(9.93)
y la matriz de propiedades materiales [ D ] depende del estado de tensiones internas, como previamente fu´e discutido. Las Ecuaciones (9.92) y (9.93) son generales en el sentido que las ecuaciones son v´alidas para cualquier estado de tensiones, si la matriz de deformaci´on–desplazamiento [ B ] y la matriz de propiedades materiales [ D ] se definen apropiadamente para un estado particular de tensiones. (En este contexto, recuerde que nosotros s´ olo consideramos la deformaci´on el´astica lineal en este texto). Las componentes de deformaci´ on y tensi´on del elemento, como son calculadas, se expresan en el sistema de coordenadas del mismo elemento (sistema coordenado local). En general, para los elementos normalmente usados en el an´ alisis de tensiones, el sistema de coordenadas para cada elemento es igual que el sistema coordenado global. Es un hecho de naturaleza humana, sobre todo de los ingenieros, que nosotros seleccionemos el marco referencial m´as simple para describir una ocurrencia particular o un ´ evento (cualquier fen´ omeno f´ısico). Esta es una manera de decir que nosotros tendemos a escoger un sistema de coordenadas por la conveniencia del mismo, y esa conveniencia se relaciona m´as a menudo con la geometr´ıa del problema que est´ a siendo analizado. El sistema de coordenadas seleccionado raramente, alguna vez, corresponde a las condiciones de carga m´axima. Espec´ıficamente, si nosotros consideramos el c´alculo de tensiones de elemento representado por la Ecuaci´on (9.93), las componentes de tensi´ on son referidas, y calculadas con referencia, a un sistema de coordenadas Cartesiano especificado de principio. Para determinar la carga cr´ıtica en cualquier modelo, debemos aplicar una de las llamadas teor´ıas de falla–mec´ anica. Cuando limitamos la discusi´on a una conducta linealmente el´ astica, la “falla” en nuestro contexto es el estado de fluencia del material. Hay varias teor´ıas de falla mec´ anica normalmente aceptadas que toman la fluencia del material como estado cr´ıtico asociado al estado general de tensiones actuante en el punto m´as peligroso de la estructura (denominado tambi´en punto cr´ıtico). Los dos criterios m´as comunmente aplicados son: la teor´ıa de tensi´ on cortante m´ axima y la teor´ıa de energ´ıa de distorsi´ on. Nosotros discutiremos brevemente cada una de ´estas. En un estado general de tensiones tri–dimensional, las tensiones normales principales σ1 σ2 y σ3 est´an dadas por las ra´ıces de la ecuaci´ on c´ ubica representada por la anulaci´on del determinante de la ecuaci´ on caracter´ıstica asociada al tensor de tensiones que se presenta en el punto cr´ıtico de la estructura [47]. σx − λ σx τxy τxz 1 0 0 τxy τxz σy − λ τyz = 0 (9.94) det ( [ σ ] − λ[ I ] ) = det τxy σy τyz − λ 0 1 0 = τxy τxz τxz τyz σz 0 0 1 τyz σ z − λ La soluci´on de ´esta ecuaci´ on, representada por las ra´ıces λi (i = 1; 3) del polinomio que se obtiene desarrollando la expresi´ on anterior; se identifican precisamente con las tensiones normales principales; es decir: λi = σi (i = 1; 3). Habitualmente, las tensiones principales son ordenadas de modo que: σ1 > σ2 > σ3 . Por la convenci´on usual, una tensi´ on normal positiva corresponde a tracci´on, mientras una tensi´on normal negativa es compresi´on. As´ı, aunque σ3 es algebr´ aicamente la m´as peque˜ na de las tres tensiones principales, puede representar una tensi´ on compresiva que tiene significativamente la magnitud m´as grande. Tambi´en recuerde que las tensiones principales ocurren en planos mutuamente ortogonales (los planos principales) y las componentes de tensi´ on cortante sobre dichos planos principales son nulas. Habiendo calculado las tensiones normales principales, la tensi´on cortante m´axima que se produce en el mismo punto del cuerpo donde se ha especificado el estado de tensiones interno (en el punto
´ DE DEFORMACIONES Y TENSIONES 9.7. EVALUACION
329
cr´ıtico), est´ a dada por τm´ax = M´ax
|σ1 − σ2 | |σ1 − σ3 | |σ2 − σ3 | , , 2 2 2
(9.95)
Se conoce que las tres componentes de tensi´on cortante determinadas por la Ecuaci´on (9.95), ocurren sobre planos que est´ an orientados a 45◦ con respecto a la orientaci´on espacial de los planos principales. La teor´ıa de tensi´ on cortante m´ axima (TTCM) sostiene que la falla–mec´anica (fluencia del material) en un estado general de tensiones ocurre cuando la tensi´on cortante m´axima, como es dada por la Ecuaci´ on (9.95), iguala o excede a la tensi´on cortante m´axima que ocurre en un ensayo de tracci´on simple asociado al punto de fluencia. Es bastante f´acil demostrar que la tensi´on cortante m´axima, en una prueba de tensi´ on uniaxial cuando la solicitaci´on aplicada iguala al valor de tensi´on normal del l´ımite de fluencia, tiene valor igual a la mitad la tensi´on de resistencia a la fluencia del material, denotada como Sy . De aqu´ı, el valor de falla–mec´anica en la TTCM es τm´ax = Sy /2 = Sys . En esta notaci´on, Sy es la resistencia mec´ anica del material (id´entica a la tensi´on normal de fluencia σF ) y Sys representa la resistencia mec´ anica a la solicitaci´on cortante o tangencial. La teor´ıa de energ´ıa de distorsi´ on (TED) est´a basada en la capacidad de almacenamiento de la ´ energ´ıa de deformaci´ on en un material bajo un estado dado de tensiones. Esta teor´ıa sostiene que un estado de tensiones compresivo o de tensiones uniforme (tambi´en conocido como estado de tensi´ on hidrost´ atica) no causa la distorsi´ on y, de aqu´ı, no contribuye a la fluencia del material. M´as propiamente, ´esta teor´ıa establece que la falla–mec´anica se produce cuando la energ´ıa de distorsi´on causada por las tensiones cortantes actuantes en el punto cr´ıtico de la estructura, hacen que se exceda la capacidad de almacenamiento de energ´ıa del material. Si las tensiones principales han sido calculadas, la energ´ıa de tensi´on el´ astica total est´ a dada por ZZZ 1 ( σ1 1 + σ2 2 + σ3 3 )dV Ue = 2 V (9.96) 1 2 2 2 = [ σ + σ2 + σ3 − 2ν( σ1 σ2 + σ1 σ3 + σ2 σ3 ) ]V 2E 1 Para arrivar a la determinaci´ on de la energ´ıa de distorsi´on, es necesario considerar la denominada tensi´ on media hidrost´ atica, definida por σ 1 + σ2 + σ 3 3
(9.97)
2 3σmed (1 − 2ν) V 2E
(9.98)
σmed = y la correspondiente energ´ıa de deformaci´on es Uhid =
Luego, la energ´ıa de distorsi´ on est´a definida como Ud = Ue − Uhid Despu´es de un considerable monto de manipulaci´on algebr´aica, la energ´ıa de distorsi´on en t´erminos de las componentes de tensiones principales, se encuentra que est´a dada por 1/2 1 + ν (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 Ud = V 3E 2
(9.99)
La TED establece que la falla–mec´anica (fluencia) ocurre en un estado general de tensiones cuando la energ´ıa de distorsi´ on por unidad de volumen iguala o excede a la energ´ıa de distorsi´on por unidad de volumen que ocurre en una prueba de tracci´on simple (ensayo de tensi´on uniaxial). Es relativamente
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
330
f´acil demostrar (v´ease el Problema 9.20) que, en el ensayo de tracci´on simple, la energ´ıa de distorsi´on est´a dada por 1+ν 2 Ud = S V (9.100) 3E y y, como antes, usamos el s´ımbolo Sy para denotar la resistencia a la fluencia del material en solicitaci´on normal. De aqu´ı, las Ecuaciones (9.99) y (9.100) dan el criterio de falla (en fluencia) para la TED como
(σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 2
1/2 ≥ Sy
(9.101)
La TED como es descrita en la Ecuaci´ on (9.101) proporciona el concepto de una tensi´on equivalente (conocida hist´ oricamente como la tensi´ on de Von Mises) definida como (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 = 2
σVM
1/2 (9.102)
y, la falla mec´ anica seg´ un la TED podr´ıa ser escrita ahora como: σVM ≥ Sy . Por qu´e entramos en detalle en ´estas teor´ıas de falla–mec´anica en el contexto del an´alisis de elemento finito ?. Como se habr´ a notado previamente, las componentes de tensi´on y deformaci´on son calculadas en el sistema coordenado especificado. El sistema coordenado raramente es tal que se obtienen las condiciones de tensi´ on m´ aximas autom´ aticamente. Aqu´ı est´a el punto: Esencialmente cada paquete de software de elemento finito no s´ olo computa las componentes de tensi´on y deformaci´on en los sistemas coordenados de elemento y global, sino tambi´en las tensiones principales y la tensi´on equivalente (de Von Mises) para cada elemento. Para decidir si un dise˜ no es aceptable (y es por esto que nosotros usamos el MEF, no es as´ı ?), debemos examinar la propensi´on a la falla–mec´anica. El examen de los datos de tensi´ on es la responsabilidad del de software del MEF. El software no produce los resultados que indiquen falla–mec´ anica a menos que el analista considere cuidadosamente los datos en t´erminos de un criterio espec´ıfico como los que hemos mencionado anteriormente. Entre los itemes relacionados con tensi´ on – y – deformaci´on generalmente disponibles como resultado de la soluci´ on, est´ an: las tensiones calculadas (en el sistema coordenado especificado), las tensiones principales, la tensi´ on equivalente (de Von Misses), las deformaciones principales, y la energ´ıa de deformaci´on. Con la excepci´ on de la energ´ıa de deformaci´on, los datos de tensi´on est´an disponibles sobre una base nodal o de elemento. La diferencia entre ambos es significativa, y el analista debe ser agudamente consciente de esta distinci´ on. Puesto que las componentes de deformaci´on (por consiguiente, las componentes de tensi´ on) no son en general cont´ınuas sobre los l´ımites del elemento, se calculan las tensiones nodales basado en los valores promedio de todos los elementos conectados a un nodo espec´ıfico. Por otra parte, las tensiones de elemento representan valores calculados en el centroide del elemento. De aqu´ı, los datos de tensi´ on de elemento son m´as exactos y deben usarse haciendo uso de los conceptos de la ingenier´ıa del dise˜ no. Para ilustrar todo esto, presentamos algunos de los datos de tensi´on obtenidos en la soluci´on del Ejemplo 9.4 basado en elementos cuadril´ ateros bi-dimensionales, de cuatro–nodos. En el modelo, el nodo 107 (seleccionado al azar) es com´ un a cuatro elementos. La Tabla 9.1 muestra un listado de las tensiones computadas en este nodo en t´erminos de los cuatro elementos conectados a ´el. Los valores se obtienen calculando las tensiones nodales para cada uno de los cuatro elementos independientemente, y extrayendo luego los valores para el nodo com´ un. La u ´ltima fila de la tabla presenta los valores promedio de las tres componentes de tensi´ on en el nodo com´ un. Claramente, las tensiones nodales no son cont´ınuas de elemento–a–elemento en el nodo com´ un. Como previamente se discuti´o, las magnitudes de las discontinuidades deben disminuir a medida que la malla de elementos usada en el modelo sea refinada. En contraste, las componentes de tensi´ on de elemento para los mismos cuatro elementos est´an mostradas en la Tabla 9.2. Los valores listados en la tabla se computan en el centroide del elemento, y se incluye la tensi´ on equivalente (de Von Mises) como fu´e definida previamente. Aunque no se
´ 9.8. CONSIDERACIONES PRACTICAS
331
Tabla 9.1: Valores de tensi´on (psi) computados en el nodo 107 del Ejemplo 9.4.
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 12 Elemento 99 Promedio
σx
σy
τxy
2049,3 2149,4 1987,3 1853,8 2009,8
187,36 315,59 322,72 186,88 253,14
118,41 91,89 204,13 378,36 198,19
Tabla 9.2: Componentes de tensi´on (psi) para cuatro elementos que comparten un nodo com´ un en el Ejemplo 9.4.
Elemento Elemento Elemento Elemento
1 2 12 99
σx
σy
τxy
σVM
2553,5 1922,7 1827,5 2189,0
209,71 351,69 264,42 249,14
179,87 43,55 154,44 480,57
2475,8 1774,8 1731,5 2236,4
incluy´o en la tabla, las componentes de tensi´on principales tambi´en est´an disponibles desde la soluci´on hallada. En general, las tensiones del elemento deben usarse en la evaluaci´on de los resultados, sobre todo en t´erminos de la aplicaci´ on de las teor´ıas de falla–mec´anica, para decidir si el dise˜ no estructural efectuado es el adecuado.
9.8.
Consideraciones pr´ acticas
Probablemente el paso m´ as cr´ıtico en la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito es la elecci´on del tipo de elemento para un problema dado. Los elementos s´olidos discutidos en ´este cap´ıtulo est´an entre los elementos m´ as simples disponibles para el uso en el an´alisis de tensiones. Muchos m´as tipos de elementos est´ an disponibles para el analista de problemas a ser resueltos por aplicaci´on del m´etodo de elemento finito. (Un sistema de software comercial medianamente completo tiene no menos de 140 tipos de elementos). Las diferencias en los elementos durante el an´alisis de tensiones caen en tres categor´ıas: (1) el n´ umero de nodos; y de aqu´ı, el orden polin´omico de las funciones de interpolaci´on; (2) el tipo de conducta material (tensi´ on el´ astica, pl´astica, t´ermica, por ejemplo); y (3) la solicitaci´on y la geometr´ıa de la estructura a ser modelada (tensi´on plana, deformaci´on plana, simetr´ıa axial, tri–dimensional general, flexi´ on, torsi´ on, etc). Como un ejemplo, considere la Figura 9.13 que muestra una placa delgada rectangular apoyada en sus v´ertices y cargada por una distribuci´on de presi´on p(x, y) actuando en la direcci´on z negativa. El modo primario de deformaci´ on de la placa es flexi´on en la direcci´on z. Para describir adecuadamente la conducta de este cuerpo a la solicitaci´on impuesta a ´el, un elemento finito usado para modelar la placa debe ser tal que la continuidad de pendiente de la deformaci´on en ambos planos x–z y y–z est´e asegurada. Por consiguiente, un elemento s´olido tridimensional como el descrito en la Secci´on 6.6 no ser´ıa apropiado ya que s´ olo las componentes del desplazamiento son inclu´ıdas como las variables nodales. En cambio, un elemento que incluya derivadas parciales que representan las pendientes de la deformaci´ on deben ser consideradas como variables nodales. Se han desarrollado elementos placa
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
332
z p(x, y)
y x
Figura 9.13: Ejemplo de placa delgada sometida a flexi´on plana sobre la base de la teor´ıa de placas delgadas (usualmente estudiada en los programas de post– grado) en la que la deformaci´ on por flexi´ on est´a gobernada por una ecuaci´on en derivadas parciales de cuarto orden. El m´ as simple de tales elementos es uno de cuatro–nodos que usa funciones de interpolaci´on c´ ubicas y tiene 4 grados de libertad (el desplazamiento, dos pendientes de deformaci´on, y una segunda derivada mixta) en cada nodo [1]. Una situaci´on similar existe con las estructuras tipo c´ascara (placa delgada curva). Se requieren elementos especiales (y disponibles) para el an´alisis estructural de estructuras c´ ascara. El punto mayor aqu´ı es que el analista de elemento finito posea una amplitud de conocimiento y experiencia pr´actica para volverse de verdad h´abil en seleccionar el tipo del elemento correcto para un modelo de elemento finito y, poder interpretar los resultados del an´alisis como consecuencia. Una vez que el tipo de elemento se ha seleccionado, la tarea luego es definir la geometr´ıa del modelo como una malla de elementos finitos. En la forma m´as rudimentaria, esta tarea involucra definir la ubicaci´on de las coordenadas de cada nodo en el modelo (note que, por defecto, los nodos definen la geometr´ıa) seguida por la definici´ on de todos los elementos en t´erminos de los nodos. Hace muchos a˜ nos, en el desarrollo inicial del m´etodo de elemento finito, las tareas de definici´on de nodos y elementos eran una labor extenuante, porque las definiciones requer´ıan el uso de declaraciones espec´ıficas del idioma de un sistema de software de elemento finito particular. Las tareas eran laboriosas, para decir lo menos, y muy propensas a la introducci´ on de errores. Con la tecnolog´ıa actualmente en uso, las bases de datos de los sistemas de dise˜ no asistido por computadora (CAD — Computer Aided Design), las interfases gr´aficas de , y la portabilidad de lenguajes, hacen que la tarea de elaborar una malla de elementos finitos como modelo se haya simplificado enormemente. Ahora es posible, con muchos programas de AEF, la “importaci´ on” de la geometr´ıa de un componente, estructura, o ensamblar directamente desde un sistema CAD, de modo la geometr´ıa no necesite ser definida. El software de elemento finito puede crear entonces autom´aticamente una malla de elementos finitos para representar la geometr´ıa. Las ventajas de esta capacidad incluyen: (1) el analista de elemento finito no tiene la necesidad de re–definir la geometr´ıa; por consiguiente, (2) los intentos de dise˜ no no se cambian inadvertidamente; y (3) el analista de elemento finito es liberado de la carga de especificar los detalles de la definici´on de nodos y elementos. La mayor desventaja, sin embargo, es que el analista no posee control directo de la operaci´ on de elaborar la malla de elementos finitos. La palabra “directo” aqu´ı es enfatizada. En la creaci´on de malla autom´atica, el del software tiene alg´ un control sobre el proceso de generar la malla. Hay dos tipos generales de software de auto–mallado, generalmente referidos como mallado libre y mallado trazado. En el mallado libre se especifica una descripci´ on general, cualitativa, yendo desde un mallado tosco a otro muy refinado, con 10 o m´as gradaciones entre los extremos. El software entonces genera la malla de acuerdo con estas especificaciones. En el mallado trazado, el especifica la informaci´on cuantitativa con respecto al espaciamiento de nodos, el tama˜ no de los elementos, y el software usa la informaci´on prescrita para generar los nodos y elementos. En ambos m´etodos, el del software tiene alg´ un grado de control sobre la malla de elementos a ser generada. Un aspecto muy importante de generar un modelo con una malla de elementos es asegurar que, en las regiones de discontinuidad geom´etrica, debe definirse una malla m´as fina (elementos m´as peque˜ nos).
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
333
Esto es verdad en todos los an´ alisis de elemento finito (estructural, t´ermico, y de fluidos), porque se conoce que los gradientes son m´ as elevados en tales ´areas y se exigen mallas m´as finas para describir adecuadamente la conducta f´ısica. En el mallado trazado, esto se define por el del software. Afortunadamente, en el mallado libre, este aspecto se considera en el mismo software. Como un ejemplo, nos referimos al Ejemplo 9.4 en el que examinamos el factor de concentraci´on de tensiones para una perforaci´ on circular en una placa delgada sometida a un esfuerzo de tracci´on. La soluci´on fu´e modelada usando el procedimiento de mallado libre de un sistema de software de elemento finito. La Figura 9.8(b) es una malla tosca como es generada por el software. La geometr´ıa se define por cuatro l´ıneas rectas y un arco de cuarto-c´ırculo; ´estos, a su vez, definen una sola ´area de inter´es porque en realidad se ha definido el contorno l´ımite. Habiendo especificado el tipo del elemento (en este caso un elemento cuadril´ atero de tensi´ on plana, el´ astico), el proceso de mallado libre se usa para generar los elementos como es mostrado en la figura. Es importante notar que la malla relativamente se hace fina en la vecindad del arco que representa el agujero. Esto se genera autom´aticamente por el software debido al reconocimiento de la geometr´ıa. Los modelos de malla–refinada de las Figuras 9.9(a) y 9.9(b) tambi´en son generados por la rutina de mallado libre. De cada uno de estos casos, vemos que, no s´olo se hace el incremento del n´ umero de los elementos, pero el tama˜ no relativo de los mismos en la vecindad del agujero se mantiene relativo a los elementos que fueron removidos lejos de la discontinuidad. Las capacidades del software de elemento finito de generar la malla autom´aticamente como brevemente describimos aqu´ı, es sumamente importante para reducir la carga de definir un modelo de elemento finito de cualquier situaci´ on geom´etrica (sobretodo si la misma es algo complicada) y deben usarse a la magnitud m´ axima, explotando toda la potencialidad del software que est´a siendo utilizado. Sin embargo, recuerde que los resultados de un an´alisis de elemento finito deben ser juzgados por el conocimiento humano de los principios del dise˜ no en ingenier´ıa. La definici´on automatizada del modelo mediante una malla apropiada de elementos finitos, es una finura del software de elemento finito moderno; el an´ alisis automatizado de resultados no lo es. El an´ alisis de resultados es la fase de post–procesamiento del tratamiento de elemento finito. Los modelos pr´ acticos contienen centenares, si no miles, de elementos; y de ello n´ umero igual o mayor de desplazamientos, tensiones, deformaciones, y as´ı siguiendo, que han sido calculados por el software y que est´ an disponibles para todos y cada uno de los elementos. La revisi´on de valores num´ericos a trav´es de los datos de salida del programa puede ser una tarea aparentemente interminable. Afortunadamente, el software de elemento finito tiene, como parte de la fase de post–procesamiento, rutinas para ordenar los datos de los resultados de muchas maneras. De importancia particular en el an´alisis de tensiones, los datos pueden ordenarse en orden ascendente o descendente de esencialmente cualquier componente de tensi´ on escogido por el . De aqu´ı, uno puede determinar r´apidamente la tensi´on m´axima equivalente (de Von Misses) por ejemplo, y determinar la ubicaci´on de esa tensi´on por la posici´on del elemento asociado en el modelo elaborado. Adem´as, con la tecnolog´ıa de la computadora moderna, es posible producir parcelas de contorno de tensi´on de color–codificado de un modelo entero, para observar visualmente la distribuci´ on de tensiones, el aspecto geom´etrico de la deformaci´on producida, la distribuci´ on de energ´ıa de deformaci´on, y muchos otros criterios que incorporan estos programas de software comerciales con capacidad de salida gr´afica visual.
9.9.
Torsi´ on no–circular
La torsi´ on (retorcimiento) de estructurales que tienen secciones transversales circulares es un problema com´ un estudiado en la mec´anica elemental de s´olidos deformables. (Recuerde que anteriormente nosotros desarrollamos un elemento finito para dichos casos). Una hip´otesis trascendental (y la asunci´ on es bastante v´ alida para la deformaci´on el´astica) en la torsi´on de de secci´on circular es que las secciones planas previas a la deformaci´on permanecen planas despu´es de producirse la torsi´ on del miembro (com´ unmente denominado eje). En el caso de torsi´on de un eje de secci´on transversal no–circular, esta hip´ otesis no es v´alida y el problema es de hecho m´as complicado.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
334
y
y dS
P
P’
z T
d
z
x (a) Eje no–circular sometido a torsi´ on
(b) Movimiento de un punto
xy
xy xz
(x, y)
xz
y 0
dS
z (c) Elemento diferencial superficial
(d) Componentes de tensi´ on cortante
Figura 9.14: Eje recto de secci´ on transversal no–circular general sometido a torsi´on.
Un miembro estructural general sujeto a torsi´on se muestra en la Figura 9.14(a). El eje mostrado est´a solicitado por un torque T que act´ ua sobre el eje x, y se asume que la secci´on transversal de forma geom´etrica establecida es uniforme a lo largo de la longitud. Un punto arbitrario localizado en una secci´on transversal en una posici´ on gen´erica x se muestra en Figura 9.14(b). Si la secci´on transversal efect´ ua una rotaci´ on a trav´es del ´ angulo θ, el punto se mueve a trav´es del arco ds y las componentes de desplazamiento seg´ un las direcciones y y z son υ = −z θ w = yθ
(9.103)
respectivamente. Puesto que el ´ angulo de torsi´on var´ıa a lo largo de la longitud del miembro, conclu´ımos que las componentes de desplazamiento de la Ecuaci´on (9.103) se describen por υ = υ(x, z)
w = w(x, y)
(9.104)
Debido a la secci´ on transversal no–circular del eje, las secciones planas despu´es de la deformaci´on no permanecen planas; en cambio, all´ı se presenta un alabeo de la secci´on transversal. De aqu´ı, el desplazamiento en la direcci´ on x est´ a descrito por u = u(y, z)
(9.105)
Aplicando las definiciones de las componentes de deformaci´on normales a las Ecuaciones (9.104) y
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
335
(9.105), encontramos ∂u =0 ∂x ∂υ y = =0 (9.106) ∂y ∂w z = =0 ∂z y, por las relaciones tensi´ on–deformaci´on, se sigue que σx = σy = σz = 0. Para calcular las componentes de tensi´ on cortante, introducimos el ´ angulo de torsi´ on por unidad de longitud φ = dθ/dx, de modo que la rotaci´ on de cualquier secci´ on transversal puede expresarse como θ = φ x. Las componentes de desplazamiento se expresan entonces como x =
u = u(x, y)
υ = −φ x z
w = φxy
(9.107)
y las componentes de tensi´ on cortante son ∂u ∂u ∂υ + = − φz ∂y ∂x ∂y ∂u ∂w ∂u = + = + φy ∂z ∂x ∂z ∂υ ∂w + =0 = ∂z ∂y
γxy = γxz γyz
(9.108)
Y, de las relaciones tensi´ on–deformaci´on, se sigue que las u ´nicas componentes de tensi´on no nulas son τxy y τxz ; y las u ´nica ecuaci´ on de equilibrio (v´ease el Ap´endice B) que no se satisface id´enticamente llega a ser ∂τxy ∂τxz + =0 (9.109) ∂y ∂z Ahora, planteamos la hip´ otesis de la existencia de una funci´on escalar Ψ = Ψ(y, z), de modo que se cumplan las relaciones ∂Ψ ∂Ψ τxy = τxz = − (9.110) ∂z ∂y En el contexto del problema de torsi´on, la funci´on escalar planteada es conocida como la funci´ on de tensi´ on de Prandtl, y es generalmente an´aloga a la funci´on de corriente y la funci´on potencial introducidas en el Cap´ıtulo 8 para el flujo de un fluido ideal. Si las relaciones de la Ecuaci´on (9.110) se sustituyen en la Ecuaci´ on (9.109), encontramos que la condici´on de equilibrio es autom´aticamente satisfecha. Para descubrir la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de tensi´on, nosotros calculamos las componentes de tensi´ on como ∂u τxy = G γxy = G − φz ∂y (9.111) ∂u + φy τxz = G γxz = G ∂z y, notamos que 2 ∂τxy ∂ u = G γxy = G −φ ∂z ∂y∂z (9.112) 2 ∂τxz ∂ u = G γxz = G +φ ∂y ∂y∂z Combinando las dos u ´ltimas ecuaciones, resulta en ∂τxy ∂τxz ∂2Ψ ∂2Ψ − = + = −2Gφ ∂z ∂y ∂y 2 ∂z 2
(9.113)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
336
como la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de tensi´on de Prandtl. Como con las formulaciones efectuadas para la mec´ anica de fluidos del Cap´ıtulo 8, note la analog´ıa de la Ecuaci´on (9.113) con el caso de transmisi´ on de calor por conducci´ on. Aqu´ı el t´ermino 2Gφ es an´alogo a la generaci´on de calor interior Q.
9.9.1.
Condiciones de borde
En la superficie externa del miembro de torsi´on, ninguna tensi´on act´ ua normal a la superficie, as´ı que la resultante de las componentes de tensi´on cortante debe ser tangente a la superficie. Esto se ilustra en la Figura 9.14(c) que muestra un elemento diferencial de la superficie dS (con el sentido positivo definido por la regla de la mano derecha). Para que la tensi´on normal sea cero, debemos tener τxy sin α − τxz cos α = 0 o, tambi´en dy dz − τxz =0 ds ds Substituyendo las relaciones para la funci´ on de tensiones, obtenemos τxy
∂Ψ dz ∂Ψ dy dΨ + = =0 ∂z ds ∂y ds ds
(9.114)
lo cual muestra que el valor de la funci´ on de tensi´on es constante sobre la superficie del eje. El valor es arbitrario y m´ as a menudo es tomado como cero.
9.9.2.
Torque
La formulaci´ on de la funci´ on de tensi´ on del problema de torsi´on como es dada previamente, no incluye expl´ıcitamente el torque (o momento torsor) aplicado. Para obtener una expresi´on que relacione el torque aplicado y la funci´ on de tensi´on, debemos considerar la condici´on de equilibrio de momentos. Refiri´endonos al elemento diferencial de una secci´on transversal cualquiera mostrado en la Figura 9.14(d), el torque diferencial que corresponde a las tensiones cortantes que act´ uan sobre el elemento es dT = (y τxz − z τxy )dA y el torque total es calculado como ZZ ZZ ZZ ∂Ψ ∂Ψ T = (y τxz − z τxy )dA = − y +z dy dz = 2 Ψ dA ∂y ∂z A
A
(9.115)
A
El resultado final en ´esta u ´ltima ecuaci´ on es obtenido mediante integraci´on por partes, y notando la condici´on Ψ = 0 sobre la superficie del eje. Notemos adem´as que por la f´ormula obtenida, la magnitud del torque es igual al doble del volumen bajo la funci´on generadora de tensiones de Prandtl.
9.9.3.
Formulaci´ on de elemento finito
Desde que la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de tensi´on es an´aloga a la ecuaci´on de conducci´on de calor, no es necesario repetir los detalles de formulaci´on del elemento. En cambio, reiteramos las analog´ıas y apuntamos una diferencia muy distinta en c´omo un an´alisis del elemento finito del problema de torsi´on se conduce cuando la funci´ on de tensi´on es utilizada. Primero, notemos que la funci´on de tensi´on es discretizada como M X Ψ(y, z) = Ni (y, z)Ψi (9.116) i=1
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
337
as´ı que los c´ omputos del elemento finito producen valores nodales an´alogos a las temperaturas nodales (con los valores de conductividad puestos como la unidad). Segundo, el t´ermino de torsi´on, 2Gφ es an´alogo a la generaci´ on de calor interior Q. Sin embargo, el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud φ realmente es la variable desconocida que nosotros deseamos calcular en primer lugar. Preferiblemente, en tal tipo de problema, especificamos la geometr´ıa, las propiedades materiales, y el torque aplicado; entonces calculamos el ´ angulo de torsi´on por unidad de longitud as´ı como los valores de tensi´on. Sin embargo, la formulaci´ on aqu´ı es tal que nosotros debemos especificar un valor para el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud, calcular luego los valores nodales de la funci´on de tensi´on, entonces obtener el torque sumando las contribuciones de todos los elementos a la Ecuaci´on (9.115). Puesto que la ecuaci´ on gobernante es lineal, el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud y el torque calculado pueden ser escalados en la proporci´on que sea requerida. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 9.7. La Figura 9.15(a) muestra la secci´ on transversal de un eje que tiene forma cuadrada con 25 mm de longitud de aristas. El material tiene m´odulo de elasticidad transversal de 80 Gpa, y su longitud es de 1 m. Este elemento est´ a fijo (empotrado) en un extremo y sujeto a la acci´on de un torque T en el otro extremo. Determine el ´ angulo total de torsi´on si el torque aplicado es de 100 N-m. 25 mm
3
4 1 2
1 (a) Secci´ on transversal
2
(b) Modelo de an´ alisis
Figura 9.15: Eje de secci´on cuadrada en solicitaci´on torsional.
> Soluci´ on Observando las condiciones de simetr´ıa, modelamos un cuarto de la secci´on transversal usando elementos triangulares lineales de tres–nodos, como en la Figura 9.15(b). Para simplicidad de ilustraci´on, usamos s´ olo dos elementos y notamos que, en los nodos 2, 3, y 4, el valor de la funci´on de tensi´on se especifica como cero, ya que estos nodos se ubican sobre la superficie del eje. Tambi´en notamos que los planos de simetr´ıa son tales que las derivadas parciales de la funci´on de tensi´on sobre dichos planos son cero. Estas condiciones corresponden a flujo de calor normal de valor nulo (aislamiento perfecto) en un problema de conducci´ on. Las matrices de rigidez de elemento est´an dadas por T T Z Z ∂N ∂N ∂N ∂N [ k (e) ] = + dA ∂y ∂y ∂zy ∂z A
y las fuerzas nodales de elemento son ZZ {f
(e)
2Gφ[ N ]T dA
}= A
(Observe el uso de las coordenadas y y z en concordancia con el sistema coordenado utilizado en los desarrollos previos). Estas relaciones son obtenidas por analog´ıa con la Ecuaci´on (7.27), para conducci´on de calor. Las funciones de interpolaci´on son como est´an definidas en la Ecuaci´on (9.21).
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
338
Elemento 1 1 (625 − 25y) 2A 1 N2 = (25y − 25z) 2A 1 N3 = (25z) 2A N1 =
∂N1 25 =− ∂y 2A ∂N2 25 = ∂y 2A ∂N3 =0 ∂y
∂N1 =0 ∂z ∂N2 25 =− ∂z 2A ∂N3 25 = ∂z 2A
Puesto que las derivadas parciales son todas constantes, la matriz de rigidez es −25 0 1 1 25 −25 25 0 + −25 0 −25 25 [ k (1) ] = 4A 4A 0 25 o bien desarrollando 625 −625 0 0 0 0 1 1 −625 625 0 + 0 625 −625 = 1250 1250 0 0 0 0 −625 625 0,5 −0,5 0 1 −0,5 = −0,5 0 −0,5 0,5
k
(1)
Se puede demostrar que el vector de fuerzas nodales de elemento est´a dado por 1 2GφA 1 {f (1) } = 3 1 que nosotros dejamos de momento en esta forma general. Elemento 2 1 ∂N1 ∂N1 25 (625 − 25z) =0 =− 2A ∂y ∂z 2A ∂N2 25 ∂N2 1 N2 = (25y) = =0 2A ∂y 2A ∂z 1 ∂N3 25 ∂N3 25 N3 = (25z − 25y) =− = 2A ∂y 2A ∂z 2A 0 −25 (2) 1 1 k 25 0 25 −25 + 0 −25 0 25 = 4A 4A −25 25 0 0 0 625 0 −625 (1) 1 1 0 0 625 −625 + 0 0 k = 1250 1250 0 −625 625 −625 0 625 0,5 0 −0,5 0,5 −0,5 = 0 −0,5 −0,5 1,0 N1 =
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
339
Para el elemento 2, las fuerzas nodales tambi´en est´an dadas por 1 2GφA 1 {f (2) } = 3 1 Notando las correspondencias de grados de libertad nodales de elemento hacia grados de libertad nodales globales, las ecuaciones ensambladas del sistema, son 1 −0,5 0 −0,5 Ψ1 2 −0,5 Ψ2 2GφA 1 1 −0,5 0 = 0 −0,5 1 −0,5 Ψ3 2 3 −0,5 0 −0,5 1 Ψ4 1 Puesto que los nodos 2, 3, y 4 est´ an sobre la superficie exterior, debemos poner Ψ2 = Ψ3 = Ψ4 = 0 para obtener la soluci´ on 4GφA Ψ1 = 3 Todav´ıa no hemos dirigido el problema al hecho que el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud es desconocido y continuamos ignorando ese problema temporalmente, puesto que para este muy simple modelo de dos–elementos podemos continuar con la soluci´on manual. El torque est´a determinado por la Ecuaci´ on (9.115) como ZZ T =
Ψ dA A
pero la integraci´ on es sobre la secci´ on transversal entera. De aqu´ı, debemos sumar la contribuci´on de cada elemento y, en este caso, ya que aplicamos las condiciones de simetr´ıa para reducir el modelo a un cuarto de su tama˜ no original, multiplicamos el resultado por 4. Para cada elemento, la contribuci´on hacia el torque es ZZ (e) T =2 [ N (e) ] dA Ψ(e) A
y, para el elemento lineal triangular esto simplemente llega a ser T (e) =
2A (e) (Ψ1 + Ψ(e) + Ψ(e) 2 3 ) 3
Respondiendo al uso de la simetr´ıa, el torque total indicado por nuestra soluci´on de dos–elementos, es T =4
2A (1) 64 (Ψ1 + Ψ(2) GφA2 2 ) = 3 9
o, tambi´en T 64 = GA2 φ 9 Ahora dirigimos el problema hacia el ´angulo desconocido de torsi´on por unidad de longitud. Notando que, en la u ´ltima ecuaci´ on, la proporci´on es constante para el m´odulo de elasticidad transversal especificado y el ´ area de secci´ on transversal particular del elemento, podr´ıamos simplemente especificar un valor arbitrario de φ, siguiendo el procedimiento de soluci´on para calcular el torque correspondiente, calculando la proporci´ on, y escalando el resultado como sea necesitado. Por ejemplo, si nosotros hubi´esemos asumido φ = 10−6 rad/mm, nuestro resultado ser´ıa T =
64 (80)(103 )(10−6 )(312,5)2 = 55555,6 N-mm 9
⇒
T = 55,6 N-m
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
340
As´ı, para contestar la pregunta original, calculamos el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud correspondiente al torque especificado como φ=
100 (10−6 ) ∼ = 1,8(10−6 ) rad/mm 55,6
y el ´angulo de torsi´ on total (considerando toda la longitud) ser´ıa θ = φ L = 1,8(10−6 )(1000) = 1,8(10−3 ) rad o, alrededor de 0,1◦ . La soluci´ on exacta [42] para este problema, muestra que el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud es de magnitud φ = 1,42(10−6 ) rad/mm. De aqu´ı, la soluci´on de nuestro modelo muy simple (solamente con dos–elementos) tiene un error porcentual de aproximadamente 27 % !. Seguramente usted piense que un error de tal magnitud es inaceptable, y verdaderamente est´a en lo cierto. Pero, no olvide que el ejemplo que presentamos y desarrollamos en su soluci´on aproximada mediante el m´etodo de elemento finito tiene simplemente prop´ositos educativo–pedag´ogicos. Obviamente, podr´ıamos obtener una soluci´ on de mayor exactitud refinando la malla de elementos utilizada; pero para ello, deber´ıamos considerar el uso de un paquete de software de elemento finito. >
9.10.
Resumen
En este cap´ıtulo, presentamos el desarrollo de los elementos finitos m´as b´asicos usados en el an´alisis de tensiones en la mec´ anica del s´ olido deformable. Como el m´etodo de elemento finito fu´e originalmente desarrollado para el an´ alisis de tensiones, el rango de elementos y tipos de problemas que en ese entonces pod´ıan ser analizados por el m´etodo era muy grande, y usted podr´a imaginarse que en la actualidad casi cualquier problema de mec´ anica de s´olidos puede ser abordado hacia su soluci´on aproximada mediante el m´etodo de elemento finito. Nuestra descripci´on de los conceptos b´asicos tiene la intenci´on simplemente de dar la visi´ on al lector de los procedimientos generales para desarrollar las ecuaciones de elemento y entender las ramificaciones del desarrollo cuando se escoge un elemento espec´ıfico; de aqu´ı, proporcionar una metodolog´ıa sistem´ atica para efectuar la formulaci´on de un modelo para los varios estados de tensi´ on que se presentan en los diversos problemas que plantea la mec´anica de s´olidos. Como fu´e mencionado en el contexto de la placa en estado flexionante en la Secci´on 9.8, el an´alisis de elemento finito involucra muchos temas avanzados en ingenier´ıa que no necesariamente se cubren en un programa de pre–grado. El lector interesado deber´a entonces poder referirse luego a muchos textos de nivel–avanzado en el m´etodo de elemento finito para realizar un estudio mucho m´as extenso. El intento aqu´ı es introducir los conceptos b´asicos y generar el inter´es de aprender mucho m´as acerca de ´este apasionante asunto.
Problemas propuestos 9.1. Use las relaciones generales tensi´ on–deformaci´on del Ap´endice B y las hip´otesis de tensi´on plana para deducir las Ecuaciones (9.2). T 9.2. Sea {z} una matriz columna N ×1 (o vector, si lo desea) de la forma: z1 z2 · · · zN , y sea [ A ] una matriz N ×N de coeficientes reales. Demostrar que la matriz producto {z}T [ A ]{z} siempre resulta ser una funci´ on escalar cuadr´atica, dependiente de las componentes zi del vector mencionado. En este caso tambi´en se dice que {z}T [ A ]{z} define una forma cuadr´ atica. 9.3. Empezando con las relaciones generales tensi´on–deformaci´on el´asticas, deduzca la Ecuaci´on (9.36) para las condiciones de deformaci´ on plana.
Problemas propuestos
341
9.4. Determine la matriz de deformaci´on–desplazamiento [ B ] para un elemento triangular de tres– nodos en deformaci´ on plana. 9.5. Determine la matriz de deformaci´on–desplazamiento [ B ] para un elemento rectangular de cuatro–nodos en tensi´ on plana. 9.6. Usando las funciones de interpolaci´on dadas en la Ecuaci´on (9.21), determine la expresi´on expl´ıc´ıta para la energ´ıa de deformaci´on en un elemento triangular de tres–nodos en tensi´on plana. 9.7. El elemento triangular de deformaci´on constante mostrado en la Figura P9.7 est´a sujeto a una presi´ on uniformemente distribu´ıda como es mostrada. Determine las fuerzas nodales equivalentes a la solicitaci´ on de presi´ on aplicada. Las coordenadas indicadas se miden en pulg. 3
(0.5, 2)
p0 2 (1, 1)
1 (0, 0)
Figura P9.7 9.8. El elemento triangular de deformaci´on constante mostrado en la Figura P9.8 se solicita mediante una presi´ on linealmente variable como es mostrado, y una fuerza de cuerpo que proviene de la gravedad (g = 386,4 pulg/seg2 ) en la direcci´on y negativa. Determine las fuerzas nodales equivalentes para este elemento as´ı solicitado. Las coordenadas indicadas se miden en pulg. 2 (0.5, 1)
3 (– 0.1, 0.8)
p0
1 (0, 0)
Figura P9.8 9.9. El elemento de la Figura P9.7 es de un material que tiene m´odulo de elasticidad de valor E = 1,5×107 psi y la relaci´ on de Poisson es ν = 0,3. Determine la matriz de rigidez del elemento, si el mismo se encuentra en estado de tensi´on plana. 9.10. Repetir el Problema 9.9 considerando ahora un estado de deformaci´on plana. 9.11. Repetir el Problema 9.9, considerando ahora que el elemento se trata de uno con simetr´ıa axial
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
342
en tensi´ on plana. 9.12. La carga global del elemento en el Problema 9.7 es tal que los desplazamientos nodales son: u1 = 0,003, υ1 = 0, u2 = 0,001, υ2 = 0,0005, u3 = 0,0015, υ3 = 0 (valores medidos en pulg). Calcule la deformaci´ on, la tensi´ on, y la energ´ıa de deformaci´on del elemento, asumiendo condiciones de tensi´ on plana. 9.13. Repetir el problema 9.12 para condiciones de deformaci´on plana. 9.14. Una placa rectangular delgada de espesor unitario es apoyada y cargada como se muestra en la P9.14. El material es acero para el que E = 3×107 y ν = 0,3. Usando los cuatro elementos triangulares de deformaci´ on constante mostrados por las l´ıneas segmentadas, calcular la deflexi´on del punto A. Compare la energ´ıa total de deformaci´on con el trabajo mec´anico realizado por el sistema de fuerzas externas. p0 = 300 psi
20 pulg
A 30 pulg
Figura P9.14 9.15. Integre la Ecuaci´ on (9.48) por el procedimiento num´erico Gaussiano para verificar la Ecuaci´on (9.48a) producida como resultado del proceso de integraci´on. 9.16. Un elemento triangular de tres–nodos v´ertice que tiene las coordenadas nodales indicadas (medidas en mm), mostrado en la Figura P9.16, ser´a usado como un elemento de simetr´ıa axial. Las propiedades materiales son: E = 82 GPa y ν = 0,3. Calcule la matriz de rigidez de elemento usando la definici´ on exacta de la Ecuaci´on (9.75) y la aproximaci´on centroidal de la Ecuaci´on (9.76). Son significativamente diferentes los resultados obtenidos ?. 3 (15, 10)
1 (10, 0)
2 (20, 10)
Figura P9.16 9.17. El elemento de simetr´ıa axial en la Figura P9.16 est´a sujeto a una presi´on normal uniforme p0 ,
Problemas propuestos
343
que act´ ua en la superficie definida por los nodos 1 y 3. Calcule las fuerzas nodales equivalentes. 9.18. El elemento de simetr´ıa axial en la P9.16 es parte de un cuerpo que gira alrededor del eje z a una rapidez angular constante de 3600 revoluciones por minuto. Determine las fuerzas nodales equivalentes correspondientes. 9.19. Considere el elemento tri–dimensional de orden–superior mostrado en la Figura P9.19, que se asume est´ a sujeto a un estado general de tensiones. El elemento tiene 20 nodos, pero no todos ellos se muestran por claridad visual. a. Cu´ al es el orden del polinomio que se usa para las funciones de interpolaci´on ? b. C´ omo las deformaciones (y, las tensiones) var´ıan con la posici´on en el elemento ? c. Cu´ al es el tama˜ no de la matriz de rigidez ? d. Qu´e ventajas y desventajas son aparentes usando este elemento en comparaci´on con un elemento ladrillo de ocho–nodos ? p0 = 300 psi
20 pulg
A 30 pulg
Figura P9.19 9.20. Mostrar que la energ´ıa de distorsi´on en un ensayo de tracci´on simple, en el punto l´ımite de fluencia del material, est´ a dada por la Ecuaci´on (9.100). 9.21. El an´ alisis de elemento finito de un cierto componente d´a como resultado los siguientes valores de tensiones normales principales: σ1 = 200 MPa, σ2 = 0, σ3 = −90 MPa. Si la tensi´on normal l´ımite de fluencia del material es σF = 270 MPa, se estar´a produciendo falla mec´anica seg´ un el criterio de la energ´ıa de distorsi´on ?. Si no es as´ı, cu´al es el “factor de seguridad” (la relaci´on de la resistencia mec´ anica comparada con la tensi´on equivalente) ?. 9.22. Repetir el Problema 9.21 si la teor´ıa de falla aplicable es la del criterio de tensi´on cortante m´ axima. 9.23. El problema de torsi´ on como fu´e desarrollado en la Secci´on 9.9 tiene una ecuaci´on gobernante an´ aloga al de conducci´ on de calor bi–dimensional. La funci´on de tensi´on es an´aloga a la temperatura, y el ´ angulo de torsi´ on por unidad de longitud 2G es an´alogo a la generaci´on de calor interior Q. a. C´ uales cantidades de transmisi´on de calor son an´alogas a las componentes de tensi´on cortante en el problema de torsi´ on ? b. Si uno resolviera un problema de torsi´on usando el software del elemento finito para transmisi´ on de calor bi–dimensional, c´omo se calcular´ıa el torque ? 9.24. El problema de torsi´ on como fu´e desarrollado en la Secci´on 9.9 es bi–dimensional cuando se
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
344
propuso en t´erminos de la funci´ on de tensi´on de Prandtl. Podr´ıan usarse los elementos s´olidos el´asticos tri–dimensionales (como el elemento ladrillo de ocho–nodos) para modelar el problema de torsi´ on ?. Si su respuesta es afirmativa, c´omo se aplicar´ıa una carga torsional pura ?. 9.25. La Figura P9.25 muestra la secci´ on transversal de un eje hexagonal usado en acople de transmisi´on de potencia de cambio–r´ apido. El m´odulo de elasticidad transversal del material es 1,2×107 psi y la longitud del eje es 12 pulg. Determine el ´angulo total de torsi´on cuando el eje se sujeta a un torque neto de 250 lb-pie. Use elementos triangulares lineales y tome ventaja de todas las condiciones apropiadas de simetr´ıa.
z
y
0,875 pulg
Figura P9.25
Capítulo
10
Din´ amica estructural
Hasta ahora (en Cap´ıtulos previos) hemos discutido la formulaci´on del m´etodo de elemento finito aplicado al an´ alisis estructural con condiciones de solicitaci´on de carga est´atica; sin embargo, en muchas aplicaciones nosotros requerimos la determinaci´on de tensiones y desplazamientos bajo condiciones de carga din´ amica. Para dichos casos, en adici´on a las caracter´ısticas de rigidez estructural previamente deducidas, tambi´en debemos introducir las propiedades de inercia para describir las caracter´ısticas din´amicas del comportamiento evolutivo temporal de la estructura. Este Cap´ıtulo presenta una introducci´on a la teor´ıa general de la din´amica estructural con particular ´enfasis en la representaci´on de elemento finito para el sistema el´ astico cont´ınuo real que es de nuestro inter´es.
10.1.
Introducci´ on
Adem´ as de su versatilidad para los an´alisis de caracter´ıstica est´atica, el m´etodo de elemento finito es una herramienta poderosa para analizar la respuesta din´amica de estructuras. Como fu´e ilustrado en el Cap´ıtulo 7, el m´etodo de elemento finito en combinaci´on con el m´etodo de diferencias finitas puede ser usado para examinar la respuesta transitoria en situaciones de transmisi´on de calor variable en el tiempo. Una similar aproximaci´on puede usarse para analizar la respuesta din´amica transitoria de estructuras mec´ anicas. Sin embargo, en el an´alisis de estructuras, est´a disponible una herramienta adicional. Dicha herramienta, conocida como an´ alisis modal, tiene su base en el hecho que cada estructura mec´ anica exhibe modos naturales de vibraci´on (de respuesta din´amica) y ´estos modos pueden calcularse r´ apidamente cuando son conocidas las caracter´ısticas de inercia de la estructura. Como y´ a se indic´ o, en este Cap´ıtulo, introducimos el concepto de modos naturales de vibraci´on mediante el sistema oscilador arm´ onico simple. Usando los conceptos de elemento finito desarrollados en los cap´ıtulos anteriores, el oscilador arm´onico simple se representa como un sistema de elemento finito y son introducidas las ideas b´ asicas de frecuencia natural y modo de vibraci´on asociado. El oscilador arm´onico simple de un solo grado de libertad se extiende entonces en su an´alisis hacia sistemas con m´ ultiples grados de libertad, para mostrar la existencia de frecuencias naturales m´ ultiples, as´ı como modos de vibraci´ on asociados a estas frecuencias. Desde esta base, procedemos a elaborar los an´alisis 345
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
346
din´amicos m´as generales usando el m´etodo de elemento finito.
10.2.
El oscilador arm´ onico simple
El as´ı llamado oscilador arm´ onico simple es una combinaci´on de un resorte lineal el´astico que tiene una longitud libre (indeformada) L y una masa concentrada m conectada a ´el, como se muestra en la Figura 10.1(a). La masa del resorte es considerada despreciable, y se asume que el sistema est´a sujeto a la acci´on de la gravedad en direcci´ on vertical, y el extremo superior del resorte est´a conectado a un soporte de apoyo r´ıgido. Con el sistema en equilibrio como se muestra en la Figura 10.1(b), la fuerza gravitatoria est´ a en equilibrio con la fuerza del resorte para que P
Fx = mg − kδest = 0
(10.1)
donde δest es que el alargamiento de equilibrio est´atico del resorte y x es medido positivo extendi´endose hacia abajo de ´esta singular posici´ on (la de equilibrio est´atico); es decir, cuando x = 0, el sistema est´a en su posici´on de inmovilidad.
L
k +x
k(estx)
L
k +x
est
m
est
+x
x
m
m mg (a) Diagrama esquem´ atico
(b) Equilibrio est´ atico
(c) Condici´ on din´ amica
Figura 10.1: El oscilador arm´onico simple. Si, por alguna acci´ on externa, la masa se cambia de sitio de su posici´on de equilibrio, el sistema de fuerzas se desequilibra, como es mostrado por el diagrama de cuerpo–libre de la Figura 10.1(c). En este caso, debemos aplicar la segunda ley de Newton para obtener P
Fx = m ax = m
d2 x = mg − k(δest + x) dt2
(10.2)
Incorporando la condici´ on de equilibrio expresada por la Ecuaci´on (10.1), se demuestra que la Ecuaci´on (10.2) se convierte en d2 x m 2 + kx = 0 (10.3) dt La Ecuaci´ on (10.3) es una ecuaci´ on diferencial ordinaria de segundo–orden con coeficientes constantes. (Y, f´ısicamente, asumimos que los coeficientes k y m son positivos). La Ecuaci´on (10.3) es expresada m´as a menudo p en una forma equivalente introduciendo la denominada frecuencia natural circular, definida por ω = k/m. Entonces, reordenando tendremos d2 x + ω2 x = 0 dt2
(10.3a)
´ 10.2. EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
347
La soluci´ on general para la Ecuaci´on (10.3a) sabemos que es x(t) = A sin ωt + B cos ωt
(10.4)
donde A y B son las constantes de integraci´on. Recuerde usted que la soluci´on de una ecuaci´on diferencial de segundo–orden requiere la especificaci´on de dos constantes para determinar la soluci´on a un problema espec´ıfico. Cuando la ecuaci´on diferencial describe la respuesta temporal de un sistema mec´ anico, las constantes de integraci´on son m´as a menudo llamadas condiciones iniciales de movimiento. La Ecuaci´ on (10.4) muestra que la variaci´on del desplazamiento de la masa como una funci´on del tiempo es per´ odica. Usando identidades trigonom´etricas b´asicas, ´esta ecuaci´on puede ser expresada de manera equivalente como x(t) = C sin(ωt + φ) (10.5) donde las constantes A y B han sido reemplazadaspor las constantes de integraci´on C y φ. Por la Ecuaci´ on (10.5), la masa oscila sinusoidalmente a una frecuencia circular ω, y con amplitud constante C. El a ´ngulo de fase φ es indicativo de la posici´on al instante inicial t = 0, ya que x(0) = C sin φ. Tambi´en note que, puesto que x(t) se mide alrededor de la posici´on de equilibrio, la oscilaci´on ocurre alrededor de dicha posici´ on. La frecuencia circular del movimiento arm´onico producido es r k rad/seg (10.6) ω= m el cual es un par´ ametro de valor constante determinado por las caracter´ısticas f´ısicas del sistema. En este caso simple, la frecuencia natural circular depende de la constante de rigidez del resorte y de la masa s´ olamente. Por tanto, si la masa es desplazada de la posici´on de equilibrio y luego es soltada, el movimiento oscilatorio ocurre con una frecuencia determinada por los par´ametros f´ısicos del sistema. En el caso descrito, el movimiento oscilatorio producido es denominado vibraci´ on libre, puesto que el sistema est´ a libre de la acci´ on de cualquier perturbaci´on externa que obligue al movimiento exceptuando la atracci´ on gravitatoria naturalmente presente. Luego, consideremos el oscilador arm´onico simple en el contexto del m´etodo de elemento finito. Desde el Cap´ıtulo 2, la matriz de rigidez del resorte es 1 −1 (e) [k ] = k (10.7) −1 1 y las ecuaciones de equilibrio para el elemento son (representadas en forma matricial) 1 −1 u1 f1 k = −1 1 u2 f2
(10.8)
la cual es id´entica a la Ecuaci´ on (2.4). Sin embargo, el elemento resorte no est´a en equilibrio est´atico, de manera que debemos examinar las fuerzas nodales en detalle. La Figura 10.2 muestra diagramas de cuerpo–libre del elemento resorte y la masa conectada a ´el. Estos diagramas muestran una situaci´on instant´anea durante la fase de movimiento, y de aqu´ı son diagramas de cuerpo–libre din´ amicos. Como la masa propia del resorte se considera despreciable, la Ecuaci´ on (10.8) es v´ alida para el elemento resorte. Para la masa, tendremos P
Fx = m ax = m
d2 u2 = mg − f2 dt2
(10.9)
de la cual, la fuerza en el nodo 2 es f2 = m g − m
d2 u2 dt2
(10.10)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
348
f1 1
u1
f2 k m 2
u2
f2
mg
(a) Resorte
(b) Masa
Figura 10.2: Fuerzas din´ amicas actuantes y diagramas de cuerpo libre Substituyendo esta relaci´ on en la Ecuaci´ on (10.8), resulta 1 −1 u1 f1 k = −1 1 u2 mg − mu ¨2 donde u ¨2 = d2 u2 /dt2 . El efecto din´ amico de la inercia de la masa conectada es mostrada en la segunda ecuaci´on que se representa en forma matricial en esta u ´ltima ecuaci´on; la cual podr´ıa ser re–escrita como 0 0 u ¨1 1 −1 u1 f1 +k = (10.11) 0 m u ¨2 −1 1 u2 mg donde hemos introducido la matriz de masa, definida por el arreglo 0 0 [m] = 0 m y la matriz columna (vector) de aceleraciones nodales u ¨1 {¨ u} = u ¨2
(10.12)
(10.13)
Para el oscilador arm´ onico simple de la Figura 10.1, tenemos la condici´on de restricci´on (borde) que establece u1 = 0, de modo que la primera de las Ecuaciones (10.11) simplemente llega a ser: −ku2 = f1 , mientras que la segunda ecuaci´ on es mu ¨ 2 + k u2 = m g (10.14) Note usted que la Ecuaci´ on (10.14) no es la misma que la Ecuaci´on (10.3). Pero, las dos ecuaciones representan el mismo fen´ omeno f´ısico ?. Para mostrar que la respuesta es afirmativa, resolveremos la Ecuaci´on (10.14) y compararemos el resultado con la soluci´on dada en la Ecuaci´on (10.5). Recordando que la soluci´ on de cualquier ecuaci´on diferencial es la suma de la soluci´on homog´enea (complementaria) y la soluci´ on particular; ambas soluciones deben ser obtenidas a partir de la Ecuaci´on (10.14), puesto que la misma es no–homog´enea (i.e., el t´ermino del lado derecho no es nulo). Poniendo el lado derecho igual a cero, para obtener la forma de la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada, vemos que se obiene la misma Ecuaci´on (10.3), y por analog´ıa la soluci´on homog´enea es u2h (t) = C sin(ωt + φ)
(10.15)
donde C, ω, y φ son como se defini´ o previamente. La soluci´on particular debe satisfacer la Ecuaci´on (10.14) exactamente para todos los valores de tiempo. Como el lado derecho de la ecuaci´on es constante, la soluci´ on particular deber´ a ser tambi´en constante; de aqu´ı u2p (t) =
mg = δest k
(10.16)
´ 10.2. EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
349
la cual representa la soluci´ on de equilibrio est´atico por la Ecuaci´on (10.1). La soluci´on completa es luego u2 (t) = u2h (t) + u2p (t) = δest + C sin(ωt + φ) (10.17) La ecuaci´ on (10.17) representa una oscilaci´on sinusoidal alrededor de la posici´on de equilibrio y es, por tanto, la misma soluci´ on que la que se establece en la Ecuaci´on (10.5). Conocido el desplazamiento del nodo 2, la fuerza de reacci´ on en el nodo 1 es obtenida mediante la ecuaci´on de restricci´on, como f1 = −k u2 (t) = −k[ δest + C sin(ωt + φ) ]
(10.18)
La amplitud C y el ´ angulo de fase φ son determinados por aplicaci´on de las condiciones iniciales de movimiento, como es ilustrado en el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.1. Un oscilador arm´ onico simple tiene coeficiente de rigidez de resorte k = 25 lb/pulg, y peso mg = 20 lb. La masa de este sistema es desplazada hacia abajo una distancia de 1,5 pulg desde la posici´on de equilibrio. La masa es soltada desde esa posici´on con velocidad inicial cero en t = 0. Determinar: (a) la frecuencia natural circular (b) la amplitud del movimiento oscilatorio, y (c) el ´angulo de fase sel movimiento peri´ odico producido. > Soluci´ on La frecuencia natural circular es r ω=
k = m
s
25 = 21,98 20/386,4
rad/seg
donde, por consistencia de unidades, la masa es obtenida del peso usando g = 386,4 pulg/seg2 . Las condiciones iniciales proporcionadas para el problema son u2 (t = 0) = δest + 1,5
pulg
u˙ 2 (t = 0) = 0
pulg/seg
y la deflexi´ on est´ atica es δest = W/k = 20/25 = 0,8 pulg. Luego, tendremos u2 (0) = 2,3 pulg. El movimiento del nodo 2 (y por tanto, de la masa) est´a dado por la Ecuaci´on (10.17) como u2 (t) = 0,8 + C sin(ωt + φ)
pulg
y la velocidad resulta derivando la expresi´on para el desplazamiento u˙ 2 (t) =
du2 = 21,98 C cos(21,98t + φ) dt
pulg/seg
Aplicando las condiciones iniciales, resulta el par de ecuaciones simult´aneas u2 (t = 0) = 2,3 = 0,8 + C sin φ u˙ 2 (t) = 0 = 21,98 C cos φ La ecuaci´ on para la velocidad inicial se satisface siempre que C = 0 ´o φ = π/2. Si lo anterior es verdadero, la ecuaci´ on de desplazamiento inicial no puede ser satisfecha, por lo que conclu´ımos que φ = π/2. Substituyendo en la ecuaci´on de desplazamiento, entonces hallamos que la amplitud C toma el valor de 1.5 pulg. La soluci´ on de movimiento completa es entonces: π u2 (t) = 0,8 + 1,5 sin 21,98 t + = 0,8 + 1,5 cos(21,98 t) pulg 2
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
350
indicando que la masa oscila 1,5 pulg encima y debajo de la posici´on de equilibrio est´atico de manera cont´ınua en el tiempo, y completa un ciclo de movimiento cada 2π/21,98 seg. Luego, la frecuencia c´ıclica es ω 21,98 f= = = 3,5 ciclos/seg (Hz) 2π 2π La frecuencia c´ıclica es referida a menudo simplemente como la frecuencia natural. El tiempo requerido para completar un ciclo de movimiento es conocido como el periodo de oscilaci´ on, y est´a dado por el valor inverso de la frecuencia; es decir τ=
10.2.1.
1 1 = = 0,286 seg f 3,5
>
Vibraci´ on forzada
La Figura 10.3 muestra un oscilador arm´onico simple en el que la masa se perturba mediante la acci´on de una fuerza externa variable en el tiempo F (t). El movimiento resultante es conocido como vibraci´ on forzada, debido a la presencia de la funci´on impelente externa. Como la u ´nica diferencia en los diagramas de cuerpo–libre aplicables es la fuerza externa que act´ ua sobre la masa del sistema, la forma de las ecuaciones de elemento finito pueden escribirse directamente modificando la Ecuaci´on (10.11) como 0 0 u ¨1 1 −1 u1 f1 = (10.19) +k 0 m u ¨2 −1 1 u2 m g + F (t) Mientras la ecuaci´ on de restricci´ on para la fuerza de reacci´on en el nodo 1 es inalterada, la ecuaci´on diferencial para el movimiento del nodo 2 es ahora mu ¨2 + k u2 = mg + F (t)
(10.20)
k +x
m F(t)
Figura 10.3: Oscilador arm´onico simple forzado La soluci´on completa de la Ecuaci´ on (10.20) es la suma de la soluci´on homog´enea y dos soluciones particulares, puesto que existen dos t´erminos no–nulos en el lado derecho de la ecuaci´on diferencial. Como y´a hemos obtenido la soluci´ on particular asociada al t´ermino inhomog´eneo mg, enfocaremos nuestra atenci´ on a la obtenci´ on de la soluci´on particular asociada a la fuerza perturbante externa aplicada. La soluci´ on de inter´es debe satisfacer la ecuaci´on mu ¨2 + k u2 = F (t)
(10.21)
de modo exacto para todo instante de tiempo. Dividiendo entre la masa, obtenemos u ¨ 2 + ω 2 u2 =
F (t) m
(10.22)
´ 10.2. EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
351
donde ω 2 = k/m es el cuadrado de la frecuencia natural circular del sistema. De particular importancia en el an´ alisis din´ amico estructural es el caso cuando las funciones de perturbaci´on externas exhiben variaci´on de tipo sinusoidal en el tiempo, ya que tales fuerzas son bastante com´ unes. Por consiguiente, consideramos el caso en que F (t) = F0 sin ωf t (10.23) donde F0 es la amplitud o valor m´ aximo de la fuerza, y ωf es la frecuencia circular de la funci´on perturbadora, o la frecuencia forzada por brevedad. Con este tipo de funci´on impelente, la Ecuaci´on (10.22) resulta F0 sin ωf t (10.24) u ¨ 2 + ω 2 u2 = m Para satisfacer exactamente esta ecuaci´on diferencial, el lado izquierdo de la misma deber´a contener una funci´ on senoidal, y como la segunda derivada de esta funci´on tambi´en es una funci´on senoidal, suponemos una soluci´ on de la forma: u2 (t) = U sin ωf t, donde U es una constante a ser determinada. Derivando temporalmente dos veces esta soluci´on de prueba y reemplazando en la ecuaci´on diferencial, −U ωf2 sin ωf t + U ω 2 sin ωf t =
F0 sin ωf t m
de donde obtenemos para el valor de la amplitud U=
F0 /m ω 2 − ωf2
(10.25)
La soluci´ on particular que representa la respuesta de un oscilador arm´onico simple a una fuerza perturbadora de variaci´ on senoidal en el transcurrir del tiempo es entonces u2 (t) =
F0 /m sin ωf t ω 2 − ωf2
(10.26)
El movimiento representado por la Ecuaci´on (10.26) se llama m´as a menudo simplemente la respuesta forzada y exhibe dos caracter´ısticas importantes: (1) la frecuencia de la respuesta forzada es igual que la frecuencia de la funci´ on perturbadora, y (2) si la frecuencia circular de la funci´on perturbante est´a muy cercana a la frecuencia natural circular del sistema, el denominador en la Ecuaci´on (10.26) se pone de valor muy peque˜ no. Esto u ´ltimo es una observaci´on sumamente importante, ya que el resultado de esta condici´ on es una amplitud muy grande de movimiento. En el caso en el que ωf = ω, la Ecuaci´ on (10.26) indica una amplitud infinita. Esta condici´on es conocida como resonancia, y por esta raz´ on, la frecuencia natural circular del sistema es a menudo denominada frecuencia resonante. Matem´ aticamente, la Ecuaci´ on (10.26) no es una soluci´on v´alida para la condici´on resonante (v´ease el Problema 10.5); sin embargo, la soluci´on correcta para la condici´on resonante no obstante exhibe el crecimiento ilimitado de la amplitud con el transcurrir del tiempo. El oscilador arm´ onico simple previamente modelado no contiene ning´ un dispositivo para la disipaci´on de energ´ıa (amortiguamiento). Por consiguiente, la soluci´on de vibraci´on libre, Ecuaci´on (10.17), representa un movimiento que contin´ ua perp´etuamente. F´ısicamente, tal movimiento no es posible, puesto que todos los sistemas contienen alg´ un tipo de mecanismo de dispersi´on de energ´ıa, como la fricci´on interior o externa, la resistencia del aire, o dispositivos dise˜ nados espec´ıficamente para el prop´osito de atenuar la amplitud de la oscilaci´on a medida que transcurra el tiempo. Similarmente, la amplitud infinita indicada para la condici´ on resonante del sistema no puede lograrse en un sistema real debido a la presencia de amortiguamiento. Sin embargo, amplitudes relativamente grandes en magnitud (pero limitadas) ocurren cerca de la frecuencia resonante. De aqu´ı, la condici´on resonante deber´a ser evitada en lo posible. Como ser´ a mostrado posteriormente, los sistemas f´ısicos realmente exhiben frecuencias naturales m´ ultiples, de forma que tambi´en existen m´ ultiples condiciones resonantes. Cuando se describe el movimiento din´amico oscilatorio en un sistema simple que cuelga en configuraci´ on vertical a partir de la posici´on de equilibrio est´atico, vimos que la fuerza de peso propio
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
352
(proveniente de la acci´ on del campo gravitatorio) no tiene participaci´on en la ecuaci´on gobernante. A continuaci´on mostraremos que en un sistema que oscila en configuraci´on horizontal tampoco aparece el peso propio en la ecuaci´ on gobernante del movimiento vibratorio que se produce. +y
u
u
k m +x
F(t)
y
(a) Oscilador simple forzado
Fk
F(t) Ff
0
N
x
W
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 10.4: Sistema oscilatorio simple en configuraci´on horizontal Consideremos entonces un oscilador simple consistente de una masa conectada a un resorte de coeficiente de rigidez conocido, el cual es obligado a oscilar por aplicaci´on de una fuerza perturbadora externa como se muestra en la Figura 10.4(a). Suponemos adem´as que la masa oscila horizontalmente en o con una superficie r´ıgida horizontal completamente lisa, de modo que el coeficiente de fricci´on entre las superficies en o es de valor nulo. En la Figura 10.4(b) mostramos el diagrama de cuerpo libre para la masa en un instante de movimiento gen´erico, en el que la misma est´a apartada en cierto monto u medido a partir de la condici´on del resorte en su longitud natural no–cargado. Las fuerzas que se presentan asociadas al movimiento son: la fuerza perturbadora externa F (t), la fuerza recuperadora de resorte Fk = ku, la fuerza de peso propio W = mg, la fuerza de reacci´on normal N , y la fuerza de fricci´on Ff = µN = 0 que en nuestro caso es nula debido a que el coeficiente de fricci´on es de valor nulo (µ = 0). Aplicando la segunda ley de Newton seg´ un ambas direcciones coordenadas: horizontal x y vertical y; primero en direcci´ on horizontal, tendremos: P
Fx = m ax
⇒
F (t) − Fk − Ff = m ax
donde la aceleraci´ on en direcci´ on horizontal es valorada mediante: ax = u ¨. Reemplazando las relaciones previas para las fuerzas en la primera ecuaci´on y ordenando: m¨ u + ku = F (t) que resulta ser ex´ actamente igual a la Ecuaci´on (10.21), la cual gobierna la oscilaci´on forzada medida a partir de la configuraci´ on de equilibro est´atico del sistema (resorte con longitud indeformada). Seg´ un direcci´ on vertical, la masa del oscilador no posee desplazamiento alguno (por ende la aceleraci´on ay en dicha direcci´ on es nula); por lo que aplicando la segunda ley seg´ un dicha direcci´on, tenemos P Fy = m ay ⇒ N − W = 0 es decir que seg´ un direcci´ on vertical tendr´ıamos: N = W = mg, significando ´esto que el sistema se encuentra en equilibrio din´ amico en todo instante seg´ un esta direcci´on. Por los resultados previos obtenidos, demostramos que la oscilaci´on del sistema simple en configuraci´on horizontal es ex´ actamente la misma que se produce en una configuraci´on vertical del mismo, a sola condici´on que los desplazamientos sean medidos a partir de la configuraci´on de equilibrio est´atico de forma que la fuerza de peso propio sea absorvida por la fuerza de deflexi´on est´atica del resorte.
10.3.
Sistemas con m´ ultiples grados de libertad
La Figura 10.5 muestra un sistema de dos elementos resorte a los que se han conectado masas concentradas en los nodos 2 y 3 en el sistema de coordenadas global. Como en los ejemplos anteriores,
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
353
el sistema est´ a sujeto a la acci´ on de la gravedad y el resorte superior se conecta a un apoyo r´ıgido en el nodo 1. 1
3k
U1
2
m
U2 2k
3
m
U3
Figura 10.5: Oscilador arm´onico doble (con dos grados de libertad) Aqu´ı es de inter´es la respuesta din´amica del sistema cuando la condici´on de equilibrio se perturba por alguna influencia externa y luego se lo deja libre para que oscile sin ninguna fuerza externa. Nosotros podr´ıamos tomar la concepci´ on de la mec´anica Newtoniana y dibujar los diagramas de cuerpo–libre apropiados, para luego aplicar la segunda ley de Newton de movimiento para obtener las ecuaciones gobernantes. En lugar de ello, tomamos la concepci´on de elemento finito para formular este problema. En esta instancia presente, el procedimiento de ensamblar la matriz de rigidez del sistema deber´ıa ser rutinario. Siguiendo el procedimiento que y´a fue explicado, obtenemos 3k −3k 0 (10.27) [ K ] = −3k 5k −2k 0 −2k 2k como la matriz de rigidez global del sistema. Pero, qu´e de la matriz de masa/inercia ?. Como las masas est´an concentradas en los nodos de ambos elementos resorte donde precisamente est´an definidos los grados de libertad, definimos la matriz de masa del sistema como 0 0 0 (10.28) [ M ] = 0 m 0 0 0 m Recordando que la ecuaci´ on de movimiento vibratorio general de un sistema con varios grados de ¨ } + [ K ]{U } = {F }, en el caso presente esta libertad est´ a representada por la relaci´on concisa: [ M ]{U resulta ¨1 0 0 0 U 3k −3k 0 U1 R1 ¨ 0 m 0 U + −3k 5k −2k U2 = mg (10.29) ¨2 0 0 m 0 −2k 2k U3 mg U3 donde R1 es la fuerza de reacci´ on din´amica de empotramiento en el nodo 1. Invocando la condici´ on de restricci´on de desplazamiento en el apoyo fijo, U1 = 0, la ecuaci´on anterior se reduce y convierte en ¨2 m 0 U 5k −2k U2 mg + = ¨3 0 m U −2k 2k U3 mg el cual es un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de segundo–orden, en los dos desplazamientos desconocidos del sistema U2 y U3 . Como las fuerzas gravitatorias indicadas por la funci´on perturbante representan la condici´on de equilibrio est´atico, ´estas son ignoradas (o lo que es
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
354
equivalente a medir los desplazamientos a partir de la configuraci´on de equilibrio est´atico) y el sistema de ecuaciones puede re–escribirse como ¨2 m 0 U 5k −2k U2 0 + = (10.30) ¨3 0 m U −2k 2k U3 0 Como un aspecto pr´ actico, la mayor´ıa de los paquetes de software de elemento finito no incluyen el peso estructural en un an´ alisis de tipo din´amico. En cambio, la inclusi´on del peso estructural es una opci´on que debe ser seleccionada por el del software, si as´ı lo considera pertinente. El hecho de incluir los efectos gravitatorios es un juicio hecho por el analista, basado en el problema espec´ıfico de una geometr´ıa y carga estructural dada. El sistema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias homog´eneas de segundo–orden dadas por la Ecuaci´on (10.30), representa la respuesta de vibraci´on–libre del sistema de 2 grados–de–libertad de la Figura 10.5. Como el sistema es uno libremente oscilante, buscamos las soluciones en formas de movimiento arm´ onico como U2 (t) = A2 sin(ωt + φ) (10.31) U3 (t) = A3 sin(ωt + φ) donde A2 y A3 son las amplitudes de vibraci´on de los nodos 2 y 3 (o de las masas conectadas a estos nodos); ω es un par´ ametro desconocido que se identifica con la frecuencia circular arm´onica supuesta de movimiento; y φ es el ´ angulo de fase de dicho movimiento. Tomando las segundas derivadas con respecto al tiempo de las soluciones supuestas y sustituyendo en la Ecuaci´on (10.30), resulta en 0 A2 5k −2k A2 0 2 m sin(ωt + φ) = −ω sin(ωt + φ) + 0 m A3 −2k 2k A3 0 o, de forma m´ as ordenada 5k − mω 2 −2k
−2k 2k − mω 2
A2 0 sin(ωt + φ) = A3 0
(10.32)
La Ecuaci´ on (10.32) es un sistema de dos ecuaciones algebraicas homog´eneas, que debe resolverse para las amplitudes de vibraci´ on A2 y A3 . Del ´algebra lineal, un sistema de ecuaciones algebr´aicas homog´eneas tiene soluciones no–triviales (distintas de cero) si y s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes se anula. Por consiguiente, para hallar soluciones no–triviales deber´a cumplirse: 5k − mω 2 −2k =0 (10.33) −2k 2k − mω 2 lo cual d´a la ecuaci´ on escalar algebr´ aica (5k − mω 2 )(2k − mω 2 ) − 4k 2 = 0
(10.34)
Esta ecuaci´ on es conocida como la ecuaci´ on caracter´ıstica o ecuaci´ on de frecuencias del sistema f´ısico. Como k y m son constantes positivas conocidas, la misma es tratada como una ecuaci´on cuadr´atica en la inc´ognita ω 2 , y puede ser resuelta por la f´ormula cuadr´atica para obtener dos ra´ıces ω12 =
k m
ω2 = 6
k m
o de modo m´ as expl´ıcito r
r k k ω1 = ω2 = 6 (10.35) m m En rigor matem´ atico, hay cuatro ra´ıces, desde que los valores negativos correspondientes a la Ecuaci´on (10.35) tambi´en satisfacen la ecuaci´on de frecuencia. Estos valores negativos se rechazan,
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
355
porque una frecuencia negativa no tiene ning´ un significado f´ısico y el uso de valores negativos en la soluci´on supuesta [Ecuaci´ on (10.31)] introduce s´olo un cambio de fase y representa el mismo movimiento como aquel que corresponde a la ra´ız positiva. El sistema de 2 grados–de–libertad de la Figura 10.5 entonces posee dos frecuencias naturales circulares de oscilaci´ on libre. Como es de costumbre, aqu´ella que es num´ericamente m´as peque˜ na de las dos se designa como ω1 y es conocida como la frecuencia fundamental. La tarea pendiente ahora es determinar las amplitudes A2 y A3 en la soluci´on supuesta. Para este prop´osito, la Ecuaci´on (10.32) es 5k − mω 2 −2k A2 0 = −2k 2k − mω 2 A3 0 Como esta ecuaci´ on representa una serie de ecuaciones homog´eneas, no podemos encontrar ning´ un valor absoluto de las amplitudes. Sin embargo, podemos obtener informaci´on con respecto a las relaciones num´ericas entre las amplitudes como sigue. Si sustituimos ω 2 = ω12 = k/m en cualquier ecuaci´on algebr´aica, obtenemos A3 = 2A2 , lo cual define la relaci´on de amplitudes A3 /A2 = 2 para el primero, o modo fundamental de vibraci´ on. Esto es, si el sistema oscila a su frecuencia fundamental ω1 , la amplitud de oscilaci´ on de m2 es dos veces que la de m1 . (Note usted que somos incapaces de calcular el valor absoluto de cualquier amplitud; s´ olo la proporci´on de ellas puede determinarse. Los valores absolutos dependen de las condiciones iniciales de movimiento, como se ilustra posteriormente). Las ecuaciones de desplazamientos para el modo fundamental son entonces U2 (t) = A(1) sin(ω1 t + φ1 ) 2 (1) U3 (t) = A3 sin(ω1 t + φ1 ) = 2A(1) sin(ω1 t + φ1 ) 2
(10.36)
donde el super´ındice en las amplitudes es usado para indicar que los desplazamientos corresponden a la vibraci´ on asociada a la frecuencia fundamental (o del modo primario). Luego, sustituimos la segunda frecuencia natural circular ω 2 = ω22 = 6k/m en cualquier ecuaci´on y se obtiene la relaci´ on A3 = −0,5A2 que define la segunda proporci´on de amplitudes como A3 /A2 = −0,5. As´ı que, en el segundo el modo natural de vibraci´on, las masas se mueven en direcciones opuestas. Los desplazamientos correspondientes a la segunda frecuencia son entonces U2 (t) = A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2 (2) U3 (t) = A3 sin(ω2 t + φ2 ) = −0,5A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2
(10.37)
donde nuevamente el super´ındice se refiere a la frecuencia de vibraci´on asociada (en este caso, al segundo modo de vibraci´ on). Por consiguiente, la respuesta de vibraci´on–libre del sistema de 2 grados–de–libertad est´a dada por U2 (t) = A(1) sin(ω1 t + φ1 ) + A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2 2 (1) U3 (t) = 2A2 sin(ω1 t + φ1 ) − 0,5A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2
(10.38)
y notamos que existen cuatro constantes desconocidas en la soluci´on anterior; espec´ıficamente, ´estas (2) son las amplitudes A(1) y los ´ angulos de fase φ1 y φ2 . La evaluaci´on de estas constantes se presenta 2 , A2 mediante un ejemplo que es desarrollado a continuaci´on. Dependiendo del fundamento matem´atico que posee el lector, el an´alisis del problema de vibraci´on de 2 grados–de–libertad puede reconocerse como un problema de auto–valores [32]. Las frecuencias naturales circulares calculadas son los valores propios del problema y las proporciones de amplitud representan los vectores propios asociados a estos valores propios. La Ecuaci´on (10.38) representa la respuesta del sistema en t´erminos de los modos de vibraci´on naturales. Tal soluci´on es a menudo llamada a obtenerse por superposici´ on modal o simplemente an´ alisis modal. Para representar la soluci´on completa para el sistema, usamos la notaci´on matricial ( ) ( ) ( ) U2 (t) A(1) A(2) 2 2 = sin(ω1 t + φ1 ) + sin(ω2 t + φ2 ) (10.39) U3 (t) 2A(1) −0,5A(2) 2 2
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
356
lo cual nos muestra que los modos de vibraci´on interact´ uan para producir la respuesta total completa del sistema. Esto es lo mismo que decir que la respuesta del sistema es obtenida por superposici´on (suma algebr´aica) de los modos naturales de vibraci´on. Ejemplo 10.2. Dado el sistema de la Figura 10.5, con k = 40 lb/pulg. y mg = W = 20 lb, determine: (a) Las frecuencias naturales del sistema. (b) La respuesta libre, si las condiciones iniciales son: U2 (t = 0) = 1 pulg.
U˙ 2 (t = 0) = U˙ 3 (t = 0) = 0
U3 (t = 0) = 0,5 pulg.
Estas condiciones iniciales se especifican con referencia a la posici´on de equilibrio est´atico del sistema, para que las funciones de desplazamiento calculadas no incluyan el efecto del campo gravitatorio. > Soluci´ on Por la Ecuaci´ on (10.35), las frecuencias naturales circulares son: s r r k 40 40(386,4) ω1 = = = = 27,8 rad/seg m 20/g 20 s r r 6k 6(40) 6(40)(386,4) ω2 = = = = 68,1 rad/seg m 20/g 20 La respuesta en vibraci´ on–libre es dada por la Ecuaci´on(10.38) como U2 (t) = A(1) sin(27,8t + φ1 ) + A(2) sin(68,1t + φ2 ) 2 2 (1) U3 (t) = 2A2 sin(27,8t + φ1 ) − 0,5A(2) sin(68,1t + φ2 ) 2 Las amplitudes y ´ angulos de fase son determinados aplicando las condiciones iniciales, que son U2 (0) = 1 = A(1) sin φ1 + A(2) sin φ2 2 2 (1) U3 (0) = 0,5 = 2A2 sin φ1 − 0,5A(2) sin φ2 2 (1) U˙ 2 (0) = 0 = 27,8A2 cos φ1 + 68,1A(2) cos φ2 2
U˙ 3 (0) = 0 = 2(27,8)A(1) cos φ1 − 0,5(68,1)A(2) cos φ2 2 2 Las condiciones iniciales producen un sistema de cuatro ecuaciones algebr´aicas en las cuatro inc´ognitas (2) A(1) on de las ecuaciones no es trivial, debido a la presencia de las funciones 2 , A2 , φ1 , y φ2 . La soluci´ trigonom´etricas. Denotando P = A(1) sin φ1 y Q = A(2) sin φ2 , las ecuaciones de condiciones iniciales 2 2 de desplazamiento resultan ser P +Q=1 2P − 0,5Q = 0,5 las cuales son f´ acilmente resueltas para obtener P = A(1) sin φ1 = 0,4 2
y
Q = A(2) sin φ2 = 0,6 2
Similarmente, poniendo R = A(1) cos φ1 y S = A(2) cos φ2 , las condiciones iniciales de velocidad resultan 2 2 ser 27,8R + 68,1S = 0 y 2(27,8)R − 0,5(68,1)S = 0 representando un sistema homog´eneo en R y S. Existen soluciones no–triviales s´olamente si el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. En este caso, el determinante no es nulo, lo cual puede
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
357
verificarse dir´ectamente mediante un breve c´alculo; y por tanto existen soluciones no–triviales. Por ello, R = S = 0. Bas´ andonos en un argumento f´ısico, los ´angulos de fase no pueden ser ambos nulos, de modo que podemos concluir que: cos φ1 = cos φ2 = 0, y de estas relaciones: φ1 = φ2 = π/2. De aqu´ı se sigue que la funci´ on seno de los ´ angulos de fase adoptan valor unitario; y por ende: A(1) = 0,4 y A(2) = 0,6. 2 2 Sustituyendo las amplitudes as´ı calculadas en la soluci´on general, y notando que sin(ωt+π/2) = cos ωt, la respuesta en vibraci´ on–libre de cada una de las masas oscilantes resulta ser U2 (t) = 0,4 cos 27,8t + 0,6 cos 68,1t U3 (t) = 0,8 cos 27,8t − 0,3 cos 68,1t La respuesta de desplazamiento de cada masa se ve que es una combinaci´on de movimientos correspondientes a las frecuencias naturales circulares del sistema. Tal fen´omeno es caracter´ıstico de sistemas estructurales que vibran. Adem´ as, resulta completamente evidente que todos los modos naturales de > vibraci´ on participan en el movimiento general de una estructura.
10.3.1.
Sistemas con varios grados de libertad
Como fu´e ilustrado por el sistema de dos resortes y masas, hay dos frecuencias naturales y dos modos naturales de vibraci´ on. Si extendemos el an´alisis a un sistema de varios resortes y masas, el que tiene N grados de libertad, como es mostrado en la Figura 10.6, que muestra al sistema en configuraci´on horizontal en su disposici´ on geom´etrica. Sabemos que si el sistema estuviera en configuraci´on vertical (colgando), la oscilaci´ on vertical producida alrededor de su configuraci´on de equilibrio est´atico (en este caso, y´ a vimos que la fuerza de peso propio no interviene en la descripci´on din´amica del movimiento oscilatorio) ser´ıa gobernada por una id´entica ecuaci´on diferencial que aquella que gobierna la oscilaci´on del sistema en una configuraci´ on horizontal. k2
k1 m1
k3 m2
kN mN
Figura 10.6: Sistema oscilatorio con m´ ultiples grados de libertad Si aplicamos el procedimiento de ensamble para un an´alisis de elemento finito, las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del sistema son en forma matricial concisa ¨ } + [ K ]{U } = {0} [ M ]{U
(10.40)
donde [ M ] es la matriz de masa y [ K ] es la matriz de rigidez del sistema. Para determinar las frecuencias naturales y los modos normales de vibraci´on del sistema, asumimos como en los casos de 1 y 2 grados–de–libertad que la soluci´on es de la forma Ui (t) = Ai sin(ωt + φ)
(10.41)
La sustituci´ on de la soluci´ on asumida en la ecuaci´on gobernante proporciona la ecuaci´on de frecuencia del sistema, como [ K ] − ω 2 [ M ] = 0 (10.42) que es un polinomio de grado N en la variable ω 2 . La soluci´on de la Ecuaci´on (10.42) d´a como resultado N frecuencias naturales ωj que, para los sistemas estructurales, puede demostrarse que son valores reales pero no necesariamente distintos; es decir, pueden ocurrir ra´ıces repetidas. Como se discuti´ o muchas veces, las ecuaciones de elemento finito no pueden resolverse a menos que las condiciones l´ımite sean aplicadas para que las ecuaciones se conviertan en inhomog´eneas. Un fen´omeno similar existe al determinar las frecuencias naturales y modos de vibraci´on de un sistema oscilatorio. Si
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
358
el sistema no est´ a restringido en su movimiento, es posible el movimiento de cuerpo r´ıgido y una o m´as de las frecuencias naturales calculadas tendr´an valor cero. Un sistema tri–dimensional no–restringido tiene seis frecuencias naturales estimadas–nulas, correspondientes a la traslaci´on espacial de cuerpo r´ıgido en las tres direcciones espaciales del sistema de coordenadas y a las rotaciones de cuerpo r´ıgido alrededor de los tres ejes coordenados. Por consiguiente, si el cuerpo o sistema estructural se halla inadecuadamente restringido, exhibir´ a ra´ıces repetidas nulas de la ecuaci´on de frecuencia o ecuaci´on caracter´ıstica; lo cual es indicativo de la posibilidad de existencia de movimiento de cuerpo r´ıgido para el sistema. Asumiendo que las restricciones son apropiamente aplicadas, las frecuencias resultantes a partir de la soluci´on de la Ecuaci´ on (10.42) se sustituyen una a la vez en la Ecuaci´on (10.40), y las proporciones de amplitud (autovectores) se calculan para cada modo natural de vibraci´on. La soluci´on general para cada grado de libertad es entonces expresada como N X
Ui (t) =
(j)
Ai sin(ωj t + φj )
i = 1; N
(10.43)
j=1
mostrando que el desplazamiento de cada masa es la suma de contribuciones de todos y cada uno de los N modos naturales de vibraci´ on. Las soluciones de desplazamiento expresadas por la Ecuaci´on (10.43) se dice que son obtenidas por superposici´ on modal, ya que las mismas se obtienen sumando las soluciones independientes de las ecuaciones diferenciales de movimiento para cada uno de los grados de libertad. Ejemplo 10.3. Determine las frecuencias naturales y los vectores de amplitud modales para el sistema oscilatorio m´ ultiple de 3 grados–de–libertad mostrado en la Figura 10.7(a).
k
2k
k
m
m
2m
(a) Esquema f´ısico del sistema U1 = 0
k 1
U3
U2
2k
m 2
U4
k
m 3
2m
4
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 10.7: Sistema oscilatorio m´ ultiple para el Ejemplo 10.3 > Soluci´ on El modelo de an´ alisis es mostrado en la Figura 10.7(b), con los nodos numerados como se muestra en los cuales se supone se han concentrado las masas correspondientes. Ensamblando la matriz de rigidez global, ´esta resulta en k −k 0 0 −k 3k −2k 0 [K ] = 0 −2k 3k −k 0 0 −k k
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
359
Similarmente, la matriz de masa global y´a ensamblada es 0 0 0 0 0 m 0 0 [M ] = 0 0 m 0 0 0 0 2m Debido a la condici´ on de restricci´ on U1 = 0, la ecuaci´on gobernante de movimiento del sistema reducido resulta ser ¨2 m 0 0 U 3k −2k 0 U2 0 ¨ 0 m 0 U + −2k 3k −k U3 = 0 ¨3 0 0 2m 0 −k k U4 0 U4 N´otese que para escribir la ecuaci´ on precedente, anulamos la primera fila y primera columna de las matrices de rigidez y masa, que est´ an asociadas con el grado de libertad nulo U1 . Asumiendo una respuesta sinusoidal especificada mediante: Ui = Ai sin(ωt + φ) (i = 2; 4), y sustituyendo en la ecuaci´ on de movimiento, nos permite obtener como ecuaci´on de frecuencias a la relaci´on 3k − ω 2 m −2k 0 2 −2k =0 3k − ω m −k 0 −k k − 2ω 2 m Expandiendo el determinante y simplificando, obtenemos 2 3 k k k ω 4 + 7,5 ω2 − =0 ω 6 − 6,5 m m m relaci´on que puede ser tratada como una ecuaci´on c´ ubica en la inc´ognita ω 2 . Poniendo ω 2 = C(k/m), la ecuaci´ on de frecuencia se convierte en 3 k 3 2 (C − 6,5C + 7,5C − 1) =0 m la cual tiene como ra´ıces C1 = 0,1532
C2 = 1,2912
C3 = 5,0556
Las correspondientes frecuencias naturales circulares, por tanto resultan ser r r r k k k ω1 = 0,3914 ω2 = 1,1363 ω3 = 2,2485 m m m Para obtener las proporciones de amplitud, sustitu´ımos las frecuencias naturales circulares en las ecuaciones de amplitud, una a la vez, pudi´endose poner (arbitrariamente) Ai2 = 1 (i = 1, 2, 3) y resolver para las amplitudes Ai3 y Ai4 . Por ejemplo, usando la primera frecuencia natural ω1 (3k − ω12 m)A(1) − 2kA(1) =0 2 3 −2kA(1) + (3k − ω12 m)A(1) − kA(1) =0 2 3 4 −kA(1) + (k − 2ω12 m)A(1) =0 3 4 p sustituyendo ω1 = 0,3914 k/m, obtenemos
(1) 2
−2A
2,847A(1) − 2A(1) =0 2 3 (1) + 2,847A3 − A(1) =0 4 (1) (1) −A3 + 0,694A4 = 0
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
360
Como y´a fu´e discutido, las ecuaciones de amplitudes conforman un sistema homog´eneo para el que no pueden obtenerse soluciones expl´ıcitas. Podemos, sin embargo, determinar las proporciones de amplitud poniendo A(1) = 1 para obtener 2 A(1) = 1,4235 3
A(1) = 2,0511 4
El vector de amplitudes correspondiente al modo fundamental de vibraci´on asociado con ω1 es entonces 1 1,4235 {A(1) } = A(1) 2 2,0511 y ´este es el vector–propio que corresponde al valor–propio ω1 . Procediendo id´enticamente con los valores para las otras dos frecuencias, ω2 y ω3 , los vectores de amplitud resultantes son 1 1 0,8544 −1,0279 {A(2) } = A(2) y {A(3) } = A(3) 2 2 −0,5399 0,1128 > Este ejemplo ilustra que un sistema con N grados–de–libertad presenta N modos naturales de vibraci´on definidos por las N frecuencias naturales circulares existentes y los correspondientes N vectores de amplitud asociados (que definen las formas modales naturales de vibraci´on). Aunque los ejemplos desarrollados trataron con sistemas discretos masa–resorte, los cuales pueden ser f´acilmente visualizados por sus masas en su comportamiento vibracional, los sistemas estructurales modelados mediante la t´ecnica de elemento finito presentan tambi´en N frecuencias naturales circulares y N modos de vibraci´on natural asociados, d´ onde N es el n´ umero de grados de libertad (los desplazamientos en los sistemas estructurales) representados en el modelo de elemento finito. La exactitud de las frecuencias calculadas as´ı como el uso de los modos naturales de vibraci´on para examinar la respuesta a las fuerzas perturbadoras externas se delinea siguiendo ´estos mismos conceptos como ser´a mostrado en siguientes secciones.
10.4.
El elemento barra: matriz de masa consistente
En las discusiones precedentes de sistemas masa–resorte, la matriz de masa (inercia) en cada caso es una matriz con t´erminos concentrados (en la diagonal principal), puesto que cada masa se ubica directamente en los nodos del elemento. En estos casos simples, despreciamos la masa de los diversos elementos resorte comparadas con las masas concentradas. En el caso general de estructuras s´olidas, la masa est´a geom´etricamente distribu´ıda en todo el volumen espacial ocupado por la estructura y las propiedades de inercia de la misma dependen directamente de la distribuci´on de masa. Para ilustrar los efectos de masa distribu´ıda, consideraremos primero la vibraci´on longitudinal (axial) de uno de los elementos estructurales m´ as simples, el elemento–barra del Cap´ıtulo 2. x
u (x , t) x u1 (x1 , t) (a) Desplazamientos nodales e interno
u2 (x2 , t)
dx (b) Elemento diferencial
Figura 10.8: El elemento barra vibratorio y diagrama de cuerpo libre diferencial
10.4. EL ELEMENTO BARRA: MATRIZ DE MASA CONSISTENTE
361
El elemento–barra mostrado en la Figura 10.8(a) es el mismo que aqu´el introducido y estudiado en el Cap´ıtulo 2, con la diferencia muy importante que las fuerzas aplicadas y los desplazamientos se asumen ahora dependientes del tiempo, como es indicado. El diagrama de cuerpo–libre de un elemento diferencial de longitud dx se muestra en la Figura 10.8(b), d´onde el ´area de la secci´on transversal A es asumida constante. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento diferencial d´a ∂σ ∂2u (10.44) σ+ A − σ A = (ρ A dx) 2 ∂x ∂t donde ρ es la densidad del material de la barra. Note el uso de operadores derivativos parciales, porque se considera ahora que el desplazamiento depende de dos variables: la posici´on y el tiempo. Sustituyendo la relaci´ on de tensi´ on–deformaci´on especificada por la ley de Hoocke σ = E = E(∂u/∂x), la Ecuaci´ on (10.44) se convierte en ∂2u ∂2u = ρ (10.45) E ∂x2 ∂t2 siendo ´esta ecuaci´ on denominada ecuaci´ on de onda uni–dimensional, ya que la misma gobierna la propagaci´ on de ondas de desplazamiento en una barra axial homog´enea. En el caso din´ amico, el desplazamiento axial es discretizado como u(x, t) = N1 (x)u1 (t) + N2 (x)u2 (t)
(10.46)
donde los desplazamientos nodales se expresan ahora expl´ıcitamente como dependientes del tiempo, pero las funciones de interpolaci´ on permanecen dependientes s´olo en la variable espacial. Por consiguiente, las funciones de interpolaci´ on son id´enticas a aqu´ellas usadas previamente para situaciones de equilibrio est´ atico que involucran al elemento–barra: N1 (x) = 1−x/L y N2 (x) = x/L. La aplicaci´on del m´eodo de Galerkin a la Ecuaci´ on (10.45) en analog´ıa a la Ecuaci´on (5.26) proporciona las ecuaciones residuales como ZL ∂2u ∂2u Ni (x) E − ρ 2 A dx = 0 i = 1, 2 (10.47) ∂x2 ∂t 0
Asumiendo propiedades materiales constantes para el elemento, la Ecuaci´on (10.47) puede ser escrita como ZL ZL ∂2u ∂2u ρ A Ni (x) 2 dx = A E Ni (x) 2 dx i = 1, 2 (10.48) ∂t ∂x 0
0
El tratamiento matem´ atico del lado derecho de la Ecuaci´on (10.48) es id´entico al que fu´e presentado en el Cap´ıtulo 5 y no se repite aqu´ı; de otra manera recordemos que el resultado del proceso de integraci´on y combinaci´ on de las dos ecuaciones residuales en forma matricial es E A 1 −1 u1 f1 = ⇒ [ k ]{u} = {f } (10.49) u2 f2 L −1 1 Sustituyendo la aproximaci´ on discretizada para el desplazamiento interno u(x, t), la integral en el lado izquierdo de la Ecuaci´ on (10.48) resulta ZL ρA 0
∂2u Ni (x) 2 dx = ρ A ∂t
ZL Ni (N1 u ¨ 1 + N2 u ¨2 ) dx
i = 1, 2
(10.50)
0
donde la notaci´ on de doble punto sobre los desplazamientos nodales indica doble derivaci´on respecto al tiempo. Las dos relaciones representadas por la Ecuaci´on (10.50) son escritas en forma matricial como ZL 2 ρAL 2 1 u ¨1 N1 N1 N2 u ¨1 = [ m ]{¨ u} (10.51) ρA dx = N1 N2 N22 u ¨2 1 2 u ¨2 6 0
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
362
donde se utilizaron como funciones de interpolaci´on: N1 (x) = 1 − x/L y N2 (x) = x/L. Recomendamos al lector verificar el resultado aqu´ı presentado efectuando las integraciones indicadas previamente. Tambi´en notemos que la matriz de masa es sim´etrica, pero n´o singular. La Ecuaci´on (10.51) define la matriz de masa consistente para el elemento–barra. Ele t´ermino ‘consistente’ es usado aqu´ı, debido a que las funciones de interpolaci´ on en la formulaci´on de la matriz de masa son las mismas funciones de interpolaci´on que aproximan o describen la variaci´on espacial del desplazamiento. En resumen podemos decir que la matriz de masa as´ı obtenida es consistente con el campo de desplazamientos internos. Combinando las Ecuaciones (10.49) y (10.51) como es indicado por la Ecuaci´on (10.48), obtenemos las ecuaciones din´ amicas de elemento finito para un elemento–barra, como ρAL 2 1 u E A 1 −1 u1 ¨1 f1 + = (10.52) 1 2 u ¨ −1 1 u f2 6 L 2 2 o, en forma sint´etica [ m ]{¨ u} + [ k ]{u} = {f }
(10.52a)
Notemos que en la ecuaci´ on desarrollada, el producto ρ A L = m es la masa total del elemento, por 21 e el segundo lo que la matriz de masa puede escribirse: [ m ] = m 6 1 2 . (Puede usted explicar porqu´ t´ermino del lado izquierdo en esta misma ecuaci´on es positivo ?). Es importante percibir tambi´en que la ecuaci´on sint´etica anterior tiene aspecto matem´atico id´entico que la Ecuaci´on (10.21), la cual gobierna el comportamiento de un oscilador simple forzado, s´olo que aqu´ı esa ecuaci´on se escribe en notaci´on matricial !. Dadas las ecuaciones gobernantes, ahora determinemos las frecuencias naturales de un elemento– barra en vibraci´ on axial. Por la discusi´ on anterior de vibraci´on libre, ponemos al vector de fuerza nodal en valor cero y escribimos la ecuaci´ on de frecuencia como [ k ] − ω2 [ m ] = 0 para obtener k − ω2 m 3 − k + ω 2 m 6
− k + ω2 m 6 =0 k − ω2 m 3
Expandiendo el determinante en la ecuaci´ on previa, obtenemos la ecuaci´on caracter´ıstica como m 2 m 2 k − ω2 − k + ω2 =0 (10.53) 3 6 o, de modo equivalente ω
2
k ω − 12 m 2
2 =0
(10.53a)
La Ecuaci´ on (10.53a) tiene como ra´ıces ω 2 = 0 y ω 2 = 12k/m. La ra´ız nula se presenta porque nosotros no especificamos ninguna restricci´on sobre el elemento; de ello, el movimiento del cuerpo r´ıgido es posible y representado por la frecuencia natural circular estimada de valor cero. La frecuencia natural circular no–nula corresponde a las ondas de desplazamiento axiales en la barra, las cuales por ejemplo podr´ıan ocurrir si la barra libre se sometiese a un impulso axial en uno de sus extremos. En tal caso, el movimiento de cuerpo r´ıgido ocurrir´ tambi´en se presentar´ıa la p ıa pero simult´aneamente p vibraci´on axial con la frecuencia circular ω1 = 12k/m = (3,46/L) E/ρ. El ejemplo siguiente ilustra la determinaci´ on de las frecuencias naturales circulares para una barra restringida en su traslaci´on espacial. Ejemplo 10.4. Usando un modelo de dos elementos finitos de id´entica longitud, determine las frecuencias naturales circulares del eje s´ olido de secci´ on transversal circular empotrado en un extremo, el cual es mostrado
10.4. EL ELEMENTO BARRA: MATRIZ DE MASA CONSISTENTE
363
A, E,
1
x
1
L
(a) Eje circular del Ejemplo 10.4
L/2
2 2
L/2
3
(b) Modelo de elemento finito
Figura 10.9: Eje circular s´olido en vibraci´on axial en la Figura 10.9(a). > Soluci´ on En la Figura 10.9(b) mostramos el modelo de elemento finito donde especificamos la numeraci´on de nodos a ser utilizada en la b´ usqueda de soluci´on al problema planteado. El coeficiente de rigidez caracter´ıstico de cada uno de los elementos es k=
2E A EA = L/2 L
de modo que las matrices de rigidez de cada elemento resultar´an ser 2E A 1 −1 [k (1) ] = [k (2) ] = −1 1 L La masa de cada uno de los elementos es m = ρV = ρ A
L ρAL = 2 2
y, las matrices de masa consistentes de elemento resultan ser por tanto ρAL 2 1 [m(1) ] = [m(2) ] = 12 1 2 Siguiendo el procedimiento de ensamble dir´ecto, la matriz de rigidez global es 1 −1 0 2E A −1 2 −1 [K ] = L 0 −1 1 y la matriz de masa consistente global es 2 ρAL 1 [M ] = 12 0
1 4 1
0 1 2
por lo que las ecuaciones globales de movimiento son entonces ¨1 2 1 0 U 1 −1 0 U1 0 2E A ρAL ¨ 1 4 1 U −1 2 −1 U2 = 0 + ¨2 12 L 0 1 2 0 −1 1 U3 0 U3 Aplicando la condici´ on de restricci´on U1 = 0, tendremos a ¨2 ρAL 4 1 U 2E A 2 −1 U2 0 = ¨3 + L −1 1 U3 0 12 1 2 U
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
364
como las ecuaciones homog´eneas que gobiernan la vibraci´on libre del eje. Por conveniencia, la u ´ltima ecuaci´on es re–escrita como ¨2 24E 2 −1 U2 4 1 U 0 = ¨3 + ρL2 −1 1 1 2 U U3 0 Asumiendo respuesta senoidal para los grados de libertad activos (desplazamientos) del sistema U2 = A2 sin(ωt + φ)
U3 = A3 sin(ωt + φ)
derivando temporalmente dos veces y sustituyendo en la ecuaci´on gobernante reducida, ´esta resulta en 24E 2 −1 A2 0 2 4 1 −ω + sin(ωt + φ) = A3 0 1 2 ρL2 −1 1 De nuevo, obtenemos una serie de ecuaciones algebraicas homog´eneas que tiene soluciones no–triviales (distintas de cero) s´ olo si el determinante de la matriz de coeficientes se anula. Denotando como λ = 24E/ρL2 , la ecuaci´ on de frecuencias se d´a por el desarrollo del determinante 2λ − 4ω 2 −λ − ω 2 −λ − ω 2 λ − 2ω 2 = 0 el cual, luego de ser expandido y simplificado, se convierte en 7ω 4 − 10λω 2 + λ2 = 0 Tratando la ecuaci´ on caracter´ıstica (ecuaci´on de frecuencias anterior) como una ecuaci´on cuadr´atica en ω 2 , las ra´ıces son obtenidas como ω12 = 0,1082λ
ω22 = 1,3204λ
substituyendo el valor de λ que fu´e adoptado, las frecuencias naturales del sistema desarrolladas en todos sus t´erminos resultan ser s s 5,629 E 1,611 E 2 2 ω2 = [rad/seg] ω1 = L ρ L ρ Para prop´ ositos de comparaci´ on, notamos que la soluci´on exacta [53] para las frecuencias naturales circulares de una barra en la vibraci´ p on axial proporcionan la frecuencia natural circular p fundamental o primaria como ω1 = (1,571/L) E/ρ y la segunda frecuencia como ω2 = (4,712/L) E/ρ. Por consiguiente, el error para la frecuencia fundamental calculada es aproximadamente de 2,5 por ciento, mientras el error en la segunda frecuencia es aproximadamente de 19 por ciento. Tambi´en es informativo notar (v´ease el Problema 10.12) que, si se utiliza la aproximaci´on de matriz de masa concentrada para este ejemplo, obtenemos s s 1,531 E 3,696 E ω12 = ω22 = [rad/seg] L ρ L ρ como resultados para las dos frecuencias naturales circulares de vibraci´on del eje circular empotrado en un extremo. > La soluci´on para el Ejemplo 10.4 proporciona dos frecuencias naturales circulares para la vibraci´on axial libre de una barra empotrada en un extremo. Pero, debe resultar claro que tal eje tiene un n´ umero infinito de frecuencias naturales, como cualquier elemento o estructura en la cual la masa se
10.5. EL ELEMENTO VIGA
365
ha distribuido continuamente. En el modelado de elemento finito, las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el movimiento de sistemas continuos son discretizadas en un n´ umero finito de ecuaciones algebr´aicas para las soluciones aproximadas. De aqu´ı, el n´ umero de frecuencias asequible mediante una aproximaci´ on de elemento finito est´a limitado por la discretizaci´on inherente al modelo dicretto utilizado para resolver el problema. Las caracter´ısticas de inercia de un elemento–barra tambi´en pueden representarse por una matriz de masa concentrada (en los puntos nodales), similar a la aproximaci´on usada en los ejemplos de sistemas masa–resorte presentados previamente en este cap´ıtulo. En la aproximaci´on de la matriz concentrada, la mitad la masa total del elemento se asume que se concentra en cada nodo y el material que los conecta es tratado como un resorte sin masa, pero con rigidez axial. La matriz de masa concentrada para un elemento–barra es entonces ρAL 1 0 (10.54) [m] = 0 1 2 El uso de matrices de masa concentrada ofrece ventajas computacionales. Puesto que la matriz de masa de elemento tambi´en es diagonal, las matrices de masa globales resultar´an diagonales. Por otro lado, aunque las matrices de masa consistentes computacionalmente son m´as dif´ıciles en su uso, puede demostrarse que mantienen los l´ımites superiores para las frecuencias naturales circulares [1]. No existe ninguna prueba similar para las matrices concentradas. No obstante, las matrices concentradas se usan a menudo, particularmente con los elementos barra y viga, para obtener predicciones bastante exactas de respuesta din´ amica.
10.5.
El elemento viga
Ahora desarrollaremos la matriz de masa para un elemento–viga en vibraci´on flexionante. Primero, la matriz de masa consistente es obtenida usando una aproximaci´on an´aloga a aquella para el elemento– barra de la secci´ on anterior. La Figura 10.10 muestra un elemento diferencial de una viga en flexi´on bajo la hip´ otesis que las cargas aplicadas son dependientes del tiempo. Como la situaci´on es de alguna q(x, t)
M
y
M V
x
dx
M dx x
V V dx x
Figura 10.10: Elemento diferencial de una viga en vibraci´on flexionante manera similar a aquella presentada en la Figura 5.7 excepto por el uso de derivadas parciales, aplicamos la segunda ley de Newton de movimiento al elemento diferencial en la direcci´on y para obtener P ∂V ∂2υ Fy = m ay ⇒ V + dx − V − q(x, t)dx = (ρ A dx) 2 ∂x ∂t donde ρ es la densidad del material y A es el ´area de la secci´on transversal del elemento. La cantidad ρA representa la cantidad de masa por unidad de longitud en la direcci´on x. La ecuaci´on recientemente escrita se simplifica a ∂V ∂2υ − q(x, t) = ρ A 2 (10.55) ∂x ∂t Como estamos tratando con la teor´ıa de deflexi´on peque˜ na en la flexi´on de la viga; las pendientes de la viga, y por consiguiente las rotaciones, son peque˜ nas. Por tanto, despreciamos la inercia rotacional
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
366
del elemento de viga diferencial y aplicamos la ecuaci´on de equilibrio de momentos. El resultado es id´entico al obtenido en la Ecuaci´ on (5.36), repetida aqu´ı como ∂M = −V ∂x Sustituyendo la relaci´ on de momento flector – esfuerzo cortante en la Ecuaci´on (10.55) tenemos −
∂2υ ∂2M − q(x, t) = ρ A 2 2 ∂x ∂t
(10.56)
Finalmente, la f´ ormula de flexi´ on ∂2υ ∂x2 es sustitu´ıda en la Ecuaci´ on (10.56) para obtener la ecuaci´on diferencial gobernante de la vibraci´on flexionante del elemento viga, la cual resulta ∂2υ ∂2υ ∂2 − 2 E Iz 2 − q(x, t) = ρ A 2 ∂x ∂x ∂t M = E Iz
Bajo la presunci´ on de invariabilidad del m´odulo de elasticidad E y el momento de inercia transversal Iz , la ecuaci´on anterior puede escribirse ρA
∂2υ ∂4υ + E I = −q(x, t) z ∂t2 ∂x4
(10.57)
Como en el caso del elemento–barra, la deflexi´on transversal flexionante de la viga es discretizada usando las mismas funciones de interpolaci´ on desarrolladas para la viga en condici´on est´atica formulada previamente. Ahora, sin embargo, se asume que los desplazamientos nodales son dependientes del tiempo. De aqu´ı, υ(x, t) = N1 (x)υ1 (t) + N2 (x)θ1 (t) + N3 (x)υ2 (t) + N4 (x)θ2 (t)
(10.58)
y las funciones de interpolaci´ on son como fueron dadas en la Ecuaci´on (4.16) ´o (4.20). La aplicaci´on del m´etodo de Galerkin a la Ecuaci´ on (10.57) para un elemento finito de longitud L resulta en las ecuaciones residuales ZL
∂2υ ∂4υ Ni (x) ρ A 2 + E Iz 4 + q ∂t ∂x
=0
i = 1; 4
(10.59)
0
Como los u ´ltimos dos t´erminos del integrando son los mismos que los tratados en la Ecuaci´on (5.40), el desarrollo de la matriz de rigidez y el vector de fuerza nodal no se repiten aqu´ı. En cambio, enfocamos nuestra atenci´ on en el primer t´ermino del integrando, el cual representa a los coeficientes de la matriz de masa. Para cada una de las cuatro relaciones representadas por la Ecuaci´on (10.59), el primer t´ermino de la ´ıntegral resulta ser υ¨1 ZL ZL ¨ θ1 ρ A Ni (N1 υ¨1 + N2 θ¨1 + N3 υ¨2 + N4 θ¨2 )dx = ρ A Ni [ N ]dx i = 1; 4 (10.60) υ¨2 0 0 θ¨2 y, cuando todas las cuatro ecuaciones se expresan en forma matricial, los coeficientes de inercia llegan a ser υ¨1 υ¨1 ZL ¨ ¨ θ1 θ1 T (e) ρ A [ N ] [ N ]dx = [m ] (10.61) υ¨2 υ¨2 ¨ ¨ 0 θ2 θ2
10.5. EL ELEMENTO VIGA
367
Entonces, la matriz de masa consistente para un elemento bi–dimensional viga estar´a dada por ZL (e)
[m
[ N ]T [ N ]dx
] = ρA
(10.62)
0
La sustituci´ on de las funciones de interpolaci´on en la ecuaci´on anterior, y la evaluaci´on de las integrales resultantes, como puede comprobarse dan como resultado final para la matriz de masa 156 22L 54 −13L ρAL 4L2 13L −3L2 22L (10.63) [ m(e) ] = 54 13L 156 −22L 420 2 2 −13L −3L −22L 4L y debe notarse que hemos asumido el ´area de la secci´on transversal del elemento como un valor constante en este desarrollo. Combinando la matriz de masa con los resultados previamente obtenidos para la matriz de rigidez y el vector de fuerza, las ecuaciones de elemento finito de movimiento para un elemento–viga, son υ¨1 −V1 (t) υ1 L Z ¨ −M 1(t) θ1 θ1 (e) (e) T (10.64) = − [ N ] q(x, t)dx + + [k ] [m ] V 2(t) υ2 υ¨2 ¨ 0 M2 (t) θ2 θ2 y todas las cantidades son como fueron previamente definidas. En el caso din´amico, los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes internas actuantes en los extremos del elemento pueden ser dependientes del tiempo, como y´ a fu´e indicado. Los procedimientos de ensamble para el elemento viga incluyendo la matriz de masa son id´enticos a aqu´ellos para el caso de equilibrio est´atico. La matriz de masa global es directamente ensamblada, usando las matrices de masa de elemento individual junto con las relaciones de desplazamientos locales– a–globales. Aunque el ensamble del sistema es procesalmente dir´ecto, el proceso es evidentemente tedioso cuando es llevado a cabo a mano. Por consiguiente, no intentaremos elaborar un ejemplo complejo; en cambio, examinaremos un ejemplo relativamente simple de determinaci´on de frecuencias naturales. Ejemplo 10.5. Usando un modelo de un solo elemento finito, determine las frecuencias naturales circulares de vibraci´on de una viga en voladizo de longitud determinada, para la cual se asumen constantes sus propiedades materiales y geom´etricas. y E, Iz 1
2
x
L
Figura 10.11: Viga en voladizo del Ejemplo 10.5 > Soluci´ on La viga en voladizo es mostrada en la Figura 10.11, con el nodo 1 en el soporte empotrado y el nodo 2 en su extremo libre. La viga tiene longitud L, ´area transversal A, m´odulo de elasticidad E, momento de inercia centroidal Iz , y densidad ρ.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
368
Para este caso, las condiciones de borde extremo (restricciones de movimiento en el apoyo empotrado) son: υ1 = θ1 = 0. En vibraci´ on libre, la fuerza y el momento aplicados en el extremo libre (nodo 2) son: V2 = M2 = 0 y no existe ninguna carga distribu´ıda aplicada al elemento, q = 0. Bajo estas condiciones, las primeras dos ecuaciones representadas por la Ecuaci´on 10.79 son ecuaciones de restricci´on y no son de inter´es en este caso. Usando las condiciones de restricci´on y las fuerzas desconocidas aplicadas (reacciones de apoyo V1 y M1 , podemos desechar las ecuaciones asociadas a estas condiciones. Las dos u ´ltimas ecuaciones, asociadas a los grados de libertad activos, resultan por tanto ρ A L 156 −22L υ¨2 E Iz 12 −6L υ2 0 + 3 = 2 2 ¨ −6L 4L −22L 4L θ 0 θ2 420 L 2 Por conveniencia computacional, las ecuaciones anteriores se escriben como 420E Iz 12 −6L υ2 0 156 −22L υ¨2 = + θ2 0 −22L 4L2 θ¨2 m L3 −6L 4L2 con m = ρ A L representando la masa total de la viga. Asumiendo respuesta senoidal de los desplazamientos, la ecuaci´ on de frecuencia resulta ser 12λ − 156ω 2 −6λL + 22ω 2 L =0 −6λL + 22ω 2 L 4L2 (λ − ω 2 ) donde λ = 420EIz /mL3 . Despu´es de expandir el determinante y realizar un considerable monto de manipulaci´on algebr´aica, la ecuaci´on de frecuencia se demuestra que es 5ω 4 − 102λω 2 + 3λ2 = 0 Resolviendo la ecuaci´ on anterior por la f´ ormula cuadr´atica, se obtienen como raices ω12 = 0,02945λ
ω22 = 20,73λ
y sustituyendo el valor de λ en t´erminos de los valores param´etricos de la viga, obtenemos r r E Iz E Iz ω2 = 92,50 [rad/seg] ω1 = 3,517 3 mL m L3 como las aproximaciones de elemento finito a las primeras dos frecuencias naturales circulares. Para comparaci´on de resultados, puede demostrarse que la soluci´on exacta proporciona los valores siguientes: r r E Iz E Iz ex ex ω1 = 3,516 ω2 = 22,03 [rad/seg] 3 mL m L3 La frecuencia fundamental calculada mediante un solo elemento es esencialmente igual que la soluci´on exacta, mientras que la segunda frecuencia calculada es considerablemente m´as grande que el valor exacto correspondiente. Como anotamos previamente, un sistema continuo exhibe un infinito n´ umero de modos naturales; nosotros obtuvimos s´olo dos modos en este ejemplo. Si el n´ umero de los elementos finitos en el modelo se aumenta, el n´ umero de frecuencias (los modos naturales) que pueden calcularse se incrementa en la misma medida en la que se incrementa el n´ umero de grados libertad utilizados en el modelo. De hecho entonces, la exactitud de las frecuencias calculadas mejora. Si el ejemplo actual es refinado usando dos elementos que tienen longitud L/2 y se repite el procedimiento de soluci´ on aqu´ı desarrollado, podemos calcular cuatro frecuencias naturales; las dos primeras de ellas en su menor valor num´erico de magnitud est´an dadas por r r E Iz E Iz ω2 = 24,50 [rad/seg] ω1 = 3,516 3 mL m L3
10.6. MATRIZ DE MASA PARA UN ELEMENTO GENERAL
369
y observamos que la segunda frecuencia natural circular ha mejorado significativamente en valor (en comparaci´ on con la soluci´ on exacta). Tambi´en se verifica que las frecuencias tercera y cuarta de esta soluci´on son bastante m´ as grandes que los valores exactos conocidos. > Como est´ a indicado por el ejemplo anterior, el n´ umero de frecuencias naturales y modos de vibraci´on que pueden evaluarse depende directamente del n´ umero de grados de libertad del modelo de elemento finito. Tambi´en, como se esperar´ıa para la convergencia, a medida que el n´ umero de grados de libertad aumente, las frecuencias calculadas tendr´an valores m´as pr´oximos a aquellos considerados exactos. Como una regla general, los valores m´as inferiores (num´ericamente) convergen m´as r´apidamente hacia los valores exactos. Mientras esto se discute en m´as detalle en conjunci´on con ejemplos espec´ıficos a seguir, podemos postular una regla general para el an´alisis de frecuencias, como sigue: Si el analista de elemento finito est´ a interesado en las frecuencias naturales circulares de los primeros p modos de vibraci´ on de una estructura, deber´ıan calcularse un m´ımimo de 2p modos para ella. Note que esto implica la capacidad de calcular un subconjunto de las frecuencias en lugar de todas las frecuencias de un modelo. De hecho, esto es posible y sumamente importante, a partir del hecho que un modelo del elemento finito pr´ actico puede tener miles de grados de libertad, y por consiguiente miles de frecuencias naturales. La carga computacional de calcular todas las frecuencias es agobiante e innecesaria, como se discute en la siguiente secci´ on.
10.6.
Matriz de masa para un elemento general
En los ejemplos anteriores se trataron sistemas relativamente simples compuestos de resortes lineales y entre los sistemas con distribuci´ on cont´ınua de masa, los elementos barra y viga. En estos casos, la aplicaci´ on dir´ecta de la segunda ley de Newton y el m´etodo del elemento finito de Galerkin llevaron directamente a la formulaci´ on de las ecuaciones matriciales de movimiento; y tambi´en a la especificaci´on de las matrices de masa de elemento. Para elementos estructurales m´as generales, se prefiere una aproximaci´ on basada en conceptos energ´eticos, como para los an´alisis est´aticos. La aproximaci´on a ser desarrollada aqu´ı est´ a basada en la mec´anica Lagrangiana y usa un m´etodo de energ´ıa basado levemente en las ecuaciones de Lagrange de movimiento [22]. Antes de examinar un caso general, consideraremos el oscilador arm´onico simple de la Figura 10.1. En una posici´ on arbitraria x con el sistema asumido en condici´on de movimiento, la energa cin´etica de la masa es 1 T = mx˙ 2 2 y la energ´ıa potencial total es Ue =
1 k(δest + x)2 − mg(δest + x) 2
de aqu´ı, la energ´ıa mec´ anica total resulta ser Em = T + Ue =
1 1 mx˙ 2 + k(δest + x)2 − mg(δest + x) 2 2
(10.65)
Como el modelo del oscilador arm´onico simple no contiene ning´ un mecanismo para la remoci´on de energ´ıa, podemos aplicar el principio de conservaci´on de la energa mec´anica; luego, podemos escribir dEm = 0 = mx¨ ˙ x + k(δest + x)x˙ − mg x˙ dt simplificando t´erminos y ordenando m¨ x + k(δest + x) = mg
(10.66)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
370
w dV u
z
x
y
Figura 10.12: Elemento diferencial de un s´olido tri–dimensional y el resultado es ex´ actamente el mismo que obtuvimos por aplicaci´on de la segunda ley de Newton, seg´ un la Ecuaci´ on (10.2). Para el caso general, consideramos el cuerpo tridimensional mostrado en la Figura 10.12 y examinamos el comportamiento din´ amico de una masa diferencial dm = ρ dV = ρ dx dy dz localizada en una posici´on espacial arbitraria (x, y, z). El desplazamiento de la masa diferencial seg´ un las direcciones coordenadas se describe por las componentes de desplazamiento (u, υ, w); y de aqu´ı, las componentes de velocidad son (u, ˙ υ, ˙ w) ˙ respectivamente. Como previamente examinamos la energ´ıa potencial, enfocamos ahora nuestra atenci´ on en la energ´ıa cin´etica de la masa diferencial dada por dT =
1 1 2 (u˙ + υ˙ 2 + w˙ 2 )dm = (u˙ 2 + υ˙ 2 + w˙ 2 )ρ dx dy dz 2 2
La energ´ıa cin´etica total del cuerpo es obtenida integrando la relaci´on anterior ZZZ ZZZ 1 1 (u˙ 2 + υ˙ 2 + w˙ 2 )dm = (u˙ 2 + υ˙ 2 + w˙ 2 )ρ dx dy dz T = 2 2
(10.67)
donde el proceso de integraci´ on es realizado sobre la toda la masa (volumen) del cuerpo. Considerado que el cuerpo pasa a ser un elemento finito con el campo de desplazamientos discretizado como M X Ni (x, y, z)ui (t) = [ N ]{u} u(x, y, z, t) = i
υ(x, y, z, t) =
M X
Ni (x, y, z)υi (t) = [ N ]{υ}
(10.68)
i
w(x, y, z, t) =
M X
Ni (x, y, z)wi (t) = [ N ]{w}
i
donde M es el n´ umero de nodos que posee el elemento. De aqu´ı, las componentes del campo de velocidades se expresan como ∂u u˙ = = [ N ]{u} ˙ ∂t ∂υ (10.69) υ˙ = = [ N ]{υ} ˙ ∂t ∂w w˙ = = [ N ]{w} ˙ ∂t La energ´ıa cin´etica del elemento expresada en t´erminos de las velocidades nodales y las funciones de interpolaci´ on es luego escrita como ZZZ 1 (e) T = ( {u} ˙ T [ N ]T [ N ]{u} ˙ + {υ} ˙ T [ N ]T [ N ]{υ} ˙ + {w} ˙ T [ N ]T [ N ]{w} ˙ )ρdV (e) (10.70) 2 V (e)
10.6. MATRIZ DE MASA PARA UN ELEMENTO GENERAL
371
Denotando las velocidades nodales como ˙ {u} ˙ = {υ} ˙ {δ} {w} ˙
(10.71)
una matriz columna (vector) de dimensi´on 3M ×1, la energ´ıa cin´etica es expresada ahora como Z Z Z [ N ]T [ N ] 0 0 1 ˙ T ˙ T [ m(e) ]{δ} ˙ ˙ = 1 {δ} ρ dV (e) {δ} 0 [ N ]T [ N ] 0 T (e) = {δ} (10.72) 2 2 T 0 0 [ N ] [ N ] (e) V y la matriz de masa de elemento es identificada luego como Z Z Z [ N ]T [ N ] 0 0 ρ dV (e) 0 [ N ]T [ N ] 0 [ m(e) ] = T 0 0 [N ] [N ] V (e)
(10.73)
Debe notarse que, en la Ecuaci´ on (10.73), los t´erminos ceros realmente representan matrices nulas de dimensi´ on M ×M . Por consiguiente, la matriz de masa como fu´e deducida, es una matriz 3M ×3M que es tambi´en r´ apidamente identificada como matriz sim´etrica. Asimismo debemos notar que la matriz de masa de la Ecuaci´ on (10.73) es una matriz de masa consistente. El ejemplo siguiente ilustra los c´omputos necesarios para evaluar esta matriz asociada a un elemento bi–dimensional. Ejemplo 10.6. Determinar la matriz de masa para el elemento recangular bi–dimensional mostrado en la Figura 10.13. El elemento tiene un espesor uniforme de 5 mm y una densidad igual a 7,83×10−6 Kg/mm3 . 4 (10, 30)
3 (40, 30)
s r
y
1 (10, 10)
2 (40, 10)
x
Figura 10.13: Elemento rectangular del Ejemplo 10.6 > Soluci´ on De acuerdo con la Ecuaci´ on (6.36), las funciones de interpolaci´on en t´erminos de las coordenadas naturales con origen en el centroide del elemento son N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s) N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s) N3 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s) N4 (r, s) = 14 (1 − r)(1 + s) con r = (x−25)/15 y s = (y −20)/10. Para realizar la integraci´on en coordenadas naturales: dx = 15 dr y dy = 10 ds. La matriz de masa es de dimensi´on 8×8, y los t´erminos no nulos est´an dados por Z1 Z1
ZZZ T
[ N ] [ N ] ρ dV V (e)
(e)
= ρt −1 −1
Z1 Z1 T
[ N ] [ N ](15 dr)(10 ds) = 750 ρ −1 −1
[ N ]T [ N ] dr ds
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
372
En esta soluci´ on, calcularemos solamente un par de coeficientes como ilustraci´on del m´etodo para luego presentar el resultado completo. Por ejemplo Z1 Z1
750 N1 dr ds = ρ 16 2
m11 = 750 ρ −1 −1
Z1 Z1
(1 − r)2 (1 − s)2 dr ds
−1 −1 3 1
1 (1 − s)3 750 64 750 (1 − r) = = ρ ρ = 2,6 (10−3 ) [Kg] 16 3 3 16 9 −1 −1 De modo completamente similar, Z1 Z1 m12 = 750 ρ
750 N1 N2 dr ds = ρ 16
−1 −1
Z1 Z1
(1 − r2 )(1 − s)2 dr ds
−1 −1 3 1
1 750 (1 − s)3 750 32 r = ρ r− (−1) = ρ = 1,3 (10−3 ) [Kg] 16 3 −1 3 16 9 −1 Si llevamos a cabo todas las integraciones indicadas para formar la matriz de masa, el resultado final para el elemento finito rectangular es 2,6 1,3 1,3 2,6 0,7 1,3 1,3 0,7 (e) [m ] = 0 0 0 0 0 0 0 0
0,7 1,3 1,3 0,7 2,6 1,3 1,3 2,6 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2,6 1,3 0,7 1,3
0 0 0 0 1,3 2,6 1,3 0,7
0 0 0 0 0 0 0 0 (10−3 ) [Kg] 0,7 1,3 1,3 0,7 2,6 1,3 1,3 2,6
Observamos que la matriz de masa de elemento es sim´etrica, como era esperado. Tambi´en notamos que almacenar todos los valores de la matriz entera como es mostrado ser´ıa bastante ineficaz, puesto que s´olo es necesario almacenar los coeficientes de la sub–matriz 4×4 de coeficientes no–nulos que se aprecia ubicada en la diagonal principal del arreglo anterior. > Habiendo desarrollado una formulaci´ on general para la matriz de masa de un elemento finito, retornamos a la determinaci´ on de las ecuaciones de movimiento de una estructura modelada mediante el m´etodo de elemento finito y sujeta a solicitaci´on din´amica (es decir, cargas aplicadas dependientes del tiempo). Si nosotros tenemos a mano, como lo hicimos, las matrices de masa y rigidez de un elemento finito, podemos ensamblar las ecuaciones globales para dicho modelo de elemento finito de una estructura y obtener una expresi´ on para la energ´ıa total en la forma E=
1 1 {q} ˙ T [ M ]{q} ˙ + {q}T [ K ]{q} − {q}T {F } 2 2
(10.74)
donde {q} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales descritos en el sistema global coordenado (o tambi´en llamados grados de libertad nodales globales), y todos los dem´as t´erminos son como fueron definidos previamente. (En este punto, reiteramos que la Ecuaci´on (10.74) modela la respuesta de un sistema el´ astico ideal, que no contiene ning´ un mecanismo para la disipaci´on de
10.6. MATRIZ DE MASA PARA UN ELEMENTO GENERAL
373
energ´ıa). De modo m´ as expl´ıcito, para un sistema con N grados de libertad tendremos: q1 q˙1 q q˙2 2 . . . . . . {q} = ⇒ {q} ˙ = qi q˙i . .. . . . qN q˙N Para un sistema como el descrito, la energ´ıa mec´anica total es constante, de modo que dE/dt = 0. Como la energ´ıa mec´ anica se expresa como una funci´on de la velocidad y el desplazamiento, el procedimiento de minimizaci´ on considerando E = E(q˙1 , · · · , q˙N , q1 , · · · , qN ) como expresi´on equivalente desarrollada de la Ecuaci´ on (10.74), requiere que ∂E ∂ q˙i ∂E ∂qi dE = + =0 dt ∂ q˙i ∂t ∂qi ∂t
i = 1; N
(10.75)
La aplicaci´ on del proceso de minimizaci´on a la energ´ıa total expresada por la Ecuaci´on (10.74) usando las relaciones generalizadas expresadas por la u ´ltima ecuaci´on, como puede comprobarse conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales inhomog´eneo, el cual puede escribirse concisamente mediante la siguiente expresi´ on sint´etica [ M ]{¨ q } + [ K ]{q} = {F } (10.76) La Ecuaci´ on (10.75) no es necesariamente exacta rigurosamente en todos los casos. Sin embargo, para los sistemas en consideraci´ on aqu´ı, en los cuales no existen mecanismos de remoci´on de energ´ıa y la energ´ıa potencial total incluye el efecto de la solicitaci´on externa, las ecuaciones resultantes del movimiento son las mismas que aquellas que se obtienen por aplicaci´on de la teor´ıa Lagrangiana y los principios variacionales [23]. El examen de la Ecuaci´ on (10.76) a la luz de hechos conocidos sobre las matrices de rigidez y masa revela que las ecuaciones diferenciales est´an acopladas, por lo menos mediante la matriz de rigidez que se conoce es sim´etrica pero no diagonal. Cualquiera de las ecuaciones asociada a alg´ un grado de libertad contiene a los dem´ as grados de libertad del sistema, por ello decimos que las ecuaciones est´an acopladas. Los fen´ omenos incluidos aqu´ı son llamados de acoplamiento el´ astico, en virtud que las condiciones de acoplamiento provienen de la matriz de rigidez el´astica. En las matrices de masa consistentes, las ecuaciones tambi´en se acoplan por la naturaleza no–diagonal de la matriz de masa; por consiguiente, el t´ermino de acoplamiento inercial es utilizado cuando la matriz de masa no es diagonal. El obtener las soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas generalmente no es un procedimiento dir´ecto. Sin embargo, mostramos que las caracter´ısticas modales inclu´ıdas en las ecuaciones de movimiento pueden usarse con ventaja en la determinaci´on de la respuesta del sistema a funciones perturbadoras arm´onicas (senoidales). La respuesta arm´ onica es una capacidad de esencialmente cualquier paquete de software de elemento finito, y las t´ecnicas generales de evaluaci´on de respuesta son mostradas en la secci´on siguiente, despu´es de una discusi´on breve acerca de los modos naturales de vibraci´ on. En ausencia de fuerzas nodales externamente aplicadas, la Ecuaci´on (10.76) es un sistema de N ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas de segundo-orden, con el tiempo como variable independiente. De aqu´ı, nosotros tendremos un problema de auto–valores en el que los valores propios son las frecuencias naturales circulares de oscilaci´on del sistema estructural, y los vectores propios asociados son los vectores de amplitud (los modos de oscilaci´on). La ecuaci´on de frecuencia est´a representada por el desarrollo del determinante [ K ] − ω2 [ M ] = 0 (10.77) Cuando se expande el determinante anterior, se obtiene un polinomio de orden N en la variable ω 2 . La soluci´ on de la ecuaci´ on polin´ omica de frecuencias proporciona N frecuencias naturales circulares y
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
374
N vectores de amplitud modales asociados. La respuesta de vibraci´on–libre de tal sistema se describe entonces por la suma (superposici´ on) de los modos naturales de vibraci´on como δi (t) =
N X
Ai(j) sin(ωj t + φj )
j = 1; N
(10.78)
j=1
debi´endose notar que la superposici´ on indicada por ´esta ecuaci´on es v´alida solamente para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. En la ecuaci´ on (10.76), los t´erminos A(j) i y φj deben ser determinados para satisfacer las condiciones iniciales dadas. En concordancia con los ejemplos anteriores para los sistemas m´as simples, sabemos que los vectores de amplitud para una frecuencia modal dada pueden determinarse con una sola constante desconocida, de forma que podemos escribir los vectores de amplitud modales como 1 β2(i) (i) (i) (i) β 3 {A } = A1 i = 1; N (10.79) .. . (i) βN donde los t´erminos β son constantes conocidas que son resultado de la substituci´on de las frecuencias naturales circulares en las ecuaciones gobernantes para las amplitudes. Para un sistema que tiene y φi (i = 1; N ) en la soluci´on N grados de libertad, tendremos 2N constantes desconocidas A(i) 1 del movimiento. Las constantes son determinadas por la aplicaci´on de 2N condiciones iniciales, que generalmente se especifican como los desplazamientos y las velocidades de los nodos en el instante t = 0. Mientras los modos naturales de vibraci´on libre son importantes en s´ı mismos, la aplicaci´on del an´alisis modal a la respuesta arm´ onicamente forzada de sistemas estructurales es un concepto muy importante. Antes del examen de la respuesta forzada, deduciremos una propiedad muy importante de los modos principales de vibraci´ on.
10.7.
Ortogonalidad de los modos principales
Los modos principales de vibraci´ on de sistemas con m´ ultiples grados de libertad comparten una propiedad matem´ atica fundamental conocida como ortogonalidad. La respuesta de vibraci´on–libre de un sistema con m´ ultiples grados–de–libertad se describe por la Ecuaci´on (10.76) considerando nula la perturbaci´on externa actuante sobre el sistema [ M ]{¨ q } + [ K ]{q} = {0}
(10.80)
Asumiendo que esta ecuaci´ on ha sido resuelta para las frecuencias naturales circulares y los vectores de amplitud modales mediante una soluci´ on asumida de la forma qi (t) = Ai sin(ωt + φ); entonces la substituci´on de cualquier frecuencia particular ωi en la Ecuaci´on (10.80) d´a como resultado [ K ]{A(i) } − ωi2 [ M ]{A(i) } = 0
(10.81)
y para cualquier otra frecuencia distinta ωj , tendremos [ K ]{A(j) } − ωj2 [ M ]{A(j) } = 0
(10.82)
Multiplicando la Ecuaci´ on (10.81) por {A(j) }T , y la Ecuaci´on (10.82) por {A(i) }T d´a las relaciones {A(j) }T [ K ]{A(i) } − ωi2 {A(j) }T [ M ]{A(i) } = 0 {A(i) }T [ K ]{A(j) } − ωj2 {A(i) }T [ M ]{A(j) } = 0
10.7. ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS PRINCIPALES
375
Sustrayendo la primera ecuaci´ on de la segunda, tendremos {A(j) }T [ M ]{A(i) }(ωi2 − ωj2 ) = 0
i 6= j
(10.83)
Para arrivar al resultado representado por la Ecuaci´on (10.83), utilizamos la identidad proveniente del ´algebra matricial: [ A ]T [ B ][ C ] = [ C ]T [ B ][ A ], donde [ A ], [ B ], y [ C ], son matrices arbitrarias para las cuales el triple producto est´a definido con apropiada congruencia dimensional. Como las dos frecuencias naturales circulares en la Ecuaci´on (10.83) son distintas, concluimos que {A(j) }T [ M ]{A(i) } = 0
i 6= j,
i, j = 1; N
(10.84)
La Ecuaci´ on (10.84) es la declaraci´on matem´atica de la propiedad de ortogonalidad de los modos principales de vibraci´ on. La propiedad de ortogonalidad proporciona una t´ecnica matem´atica muy poderosa para desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con m´ ultiples grados de libertad. Para un sistema que exhibe N grados de libertad, nosotros definimos la matriz modal como una matriz N ×N en la que las columnas son los vectores de amplitud para cada modo natural de vibraci´on; es decir, [ A ] = {A(1) } {A(2) } · · · {A(N ) } (10.85) y consideramos el producto matricial triple [ S ] = [ A ]T [ M ][ A ]. Por la condici´on de ortogonalidad, Ecuaci´ on (10.84), cada t´ermino o coeficiente fuera de la diagonal–principal de la matriz representada por el producto triple, es cero; y por tanto, la matriz [ S ] es una matriz diagonal. Los coeficientes (no–nulos) que se ubican sobre la diagonal principal, tienen las magnitudes Sii = {A(i) }T [ M ]{A(i) }
i = 1, N
Como cada vector de amplitud modal s´olo es conocido dentro de una constante m´ ultiple (recuerde que en los ejemplos previos nosotros pusimos A(i) = 1 arbitrariamente), los vectores de amplitud 1 modales pueden manipularse de modo que los coeficientes diagonales descritos por la ecuaci´on anterior pueden hacerse que asuman cualquier valor num´erico deseado. En particular, si el valor es seleccionado como la unidad, entonces se cumplir´a {A(i) }T [ M ]{A(i) } = 1
i = 1, N
(10.86)
entonces se dice que los vectores de amplitud modales son ortonormales, y el producto triple matricial llega a ser [ S ] = [ A ]T [ M ][ A ] = [ I ] (10.87) donde [ I ] es la matriz identidad de dimensi´on N ×N . Normalizar los vectores de amplitud modales por la Ecuaci´on (10.86) es un procedimiento directo, como sigue. Permitamos que una amplitud modal espec´ıfica sea representada por la Ecuaci´on (10.79) en la que al primer t´ermino se le asigna valor unidad arbitrariamente. El t´ermino diagonal correspondiente de la matriz modal es entonces N X N X
(i) mjk {A(i) j }{Ak } = Sii = cte.
j=1 k=1
Si re–definimos los coeficientes del vector de amplitudes modal de modo que {A(i) {A(i) j } j } √ s = {A(i) } = j N P N Sii P (i) mjk {A(i) j }{Ak }
i = 1, N
j=1 k=1
la matriz descrita por la Ecuaci´ on (10.87) es de hecho la matriz de identidad.
(10.88)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
376
Habiendo establecido el concepto de ortogonalidad y normalizado la matriz modal, retornamos al problema general descrito por la Ecuaci´ on (10.76), en la que ya no se asume que el vector de fuerza es cero. Por razones que se pondr´ an claras posteriormente, introducimos el cambio de variables {q} = [ A ]{p}
(10.89)
donde {p} es la matriz columna (vector) de desplazamientos generalizados que son combinaciones lineales de los desplazamientos nodales reales {q}, y [ A ] es la matriz modal normalizada. La Ecuaci´on (10.76) se vuelve entonces [ M ][ A ]{¨ p} + [ K ][ A ]{p} = {F } pre–multiplicando por [ A ]T , obtenemos [ A ]T [ M ][ A ]{¨ p} + [ A ]T [ K ][ A ]{p} = [ A ]T {F } Utilizando el principio de ortogonalidad, vemos que esta ecuaci´on se convierte en [ I ]{¨ p} + [ A ]T [ K ][ A ]{p} = [ A ]T {F }
(10.90)
Ahora debemos examinar los efectos de rigidez como son representados por [ A ]T [ K ][ A ]. Dado que [ K ] es una matriz sim´etrica, el producto triple [ A ]T [ K ][ A ] tambi´en es una matriz sim´etrica. Siguiendo el desarrollo anterior de ortogonalidad de los modos principales, se muestra f´acilmente que el producto triple [ A ]T [ K ][ A ] resulta ser una matriz diagonal. Los valores de los coeficientes diagonales son encontrados multiplicando la Ecuaci´ on (10.81) por {A(i) }T para obtener {A(i) }T [ K ]{A(i) } − ωi2 {A(i) }T [ M ]{A(i) } = 0
i = 1, N
Si los vectores de amplitud modales se han normalizado como fu´e descrito anteriormente, la ecuaci´on previa resulta ser entonces {A(i) }T [ K ]{A(i) } = ωi2 i = 1, N (10.91) de aqu´ı, la matriz producto triple [ A ]T [ K ][ A ] produce una matriz diagonal que tiene como coeficientes a los cuadrados de las frecuencias naturales circulares de los modos principales de vibraci´on; es decir, ω1 0 · · · 0 0 ω22 · · · · T (10.92) [ A ] [ K ][ A ] = · · · · · · 2 0 · · · · ωN Finalmente, la Ecuaci´ on (10.90) se convierte en [ I ]{¨ p} + [ ω 2 ]{p} = [ A ]T {F }
(10.93)
con la matriz [ ω 2 ] representada por la matriz diagonal definida en la Ecuaci´on (10.92). Cuando ´esta ecuaci´on matricial es desarrollada, se obtiene un sistema de ecuaciones que tienen la forma p¨i + ωi2 pi = F˜i
i = 1; N
(10.93a)
o sea que cualquier ecuaci´ on que contiene una variable pi cualquiera, no contiene a las dem´as; habi´endose, por tanto, logrado desacoplar las ecuaciones de movimiento.
10.7. ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS PRINCIPALES
377
Ejemplo 10.7. Usando los datos del Ejemplo 10.3, normalice la matriz modal y verifique que se cumplen las relaciones deducidas anteriormente: [ A ]T [ M ][ A ] = [ I ] y [ A ]T [ K ][ A ] = [ ω 2 ]. > Soluci´ on Para el primer modo (modo fundamental) de vibraci´on, tendremos m 0 1 S11 = {A(1) }T [ M ]{A(1) } = 1 1,4325 2,0511 0 m 0 1,4325 = 11,4404 m 0 0 2m 2,0511 √ as´ı que el primer vector de amplitud modal se normaliza dividiendo cada t´ermino por S11 = 3,3824 m , lo que proporciona el vector normalizado como 0,2956 1 0,4289 {A(1) } = √ m 0,6064 Aplicando el mismo procedimiento a los vectores de amplitud modal del segundo y tercer modo de vibraci´ on, obtenemos 0,6575 0,6930 1 1 70,5618 −0,7124 {A(3) } = √ {A(2) } = √ m −0,3550 m 0,0782 y la matriz modal normalizada es 0,2956 0,6575 0,6930 1 [ A ] = √ 0,4289 0,5618 −0,7124 m 0,6064 −0,3550 0,0782 Para verificar el cumplimiento de la Ecuaci´on (10.87) formamos el producto triple m 0 0 0,2956 0,4289 0,6064 1 0,6575 0,5618 −0,3550 0 m 0 [ A ]T [ M ][ A ] = m 0 0 2m 0,6930 −0,7124 0,0782 0,2956 0,6575 0,6930 1 0 0 0,5618 −0,7124 = 0 1 0 = [ I ] × 0,4289 0,6064 −0,3550 0,0782 0 0 1 y, vemos que la relaci´ on se cumple exactamente. El producto triple con respecto a la matriz de rigidez 0,2956 0,4289 k 0,6575 0,5618 [ A ]T [ K ][ A ] = m 0,6930 −0,7124 0,2956 0,6575 0,5618 × 0,4289 0,6064 −0,3550
es 0,6064 3 −2 0 −0,3550 −2 3 −1 0,0782 0 −1 1 0,6930 −0,7124 0,0782
el cual se eval´ ua como 0,1532 k 0 [ A ]T [ K ][ A ] = m 0
2 0 0 ω1 1,2912 0 =0 0 5,0557 0
y, tambi´en se cumple la relaci´ on que fu´e deducida.
0 ω22 0
0 0 = [ ω2 ] ω32 >
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
378
10.8.
Respuesta arm´ onica mediante superposici´ on modal
La condici´ on de ortogonalidad de los modos principales es especialmente u ´til en el an´alisis de la respuesta de estado estacionario de modelos de elemento finito hacia funciones de solicitaci´on arm´onica. En este contexto, una funci´ on impelente arm´onica se describe como F (t) = F0 sin ωf t d´onde F0 es la magnitud de fuerza y ωf es la frecuencia circular de la funci´on impelente (ambos valores considerados constantes). Antes de aplicar el m´etodo de superposici´on de los modos de vibraci´on, debe realizarse un an´alisis modal completo para obtener las frecuencias naturales circulares del sistema y normalizar los vectores de amplitud modales (de aqu´ı, obtenemos la matriz modal). Usando las t´ecnicas de la secci´on anterior, las ecuaciones de movimiento para el caso de sistemas forzados llegan a ser [ I ]{¨ p} + [ ω 2 ]{p} = [ A ]T {F }
(10.94)
Asumiendo que el modelo estructural bajo consideraci´on exhibe N grados de libertad totales, la Ecuaci´on (10.94) representa una serie de N ecuaciones diferenciales lineales inhomog´eneas desacopladas, las que tienen la forma p¨i + ωi2 pi =
N X
A(i) j Fj (t)
i = 1; N
(10.95)
j=1
Observando que el lado–derecho de la ecuaci´on anterior es una combinaci´on lineal conocida de fuerzas arm´onicas (´estas son llamadas fuerzas generalizadas), la soluci´on a cada una de las ecuaciones es una suma de soluciones particulares que corresponden a cada uno de los t´erminos de fuerza arm´onica. Por analog´ıa con el procedimiento usado para el an´alisis de la vibraci´on forzada de un sistema de un solo grado–de–libertad en la Secci´ on 10.2, las soluciones de la Ecuaci´on (10.95) estar´an dadas por pi (t) =
N X A(i) j Fj 0 sin ωjf t 2 ω − ωjf t j=1 i
i = 1; N
(10.96)
De aqu´ı, los desplazamientos generalizados pi (t) se representan por una combinaci´on de movimientos arm´onicos independientes que tienen frecuencias que corresponden a las frecuencias impelentes. Note usted que, si una frecuencia impelente es cercana en valor a una de las frecuencias naturales, el t´ermino del denominador se hace muy peque˜ no y la amplitud de la respuesta forzada se hace muy grande; por tanto, hay muchas posibilidades para una condici´on resonante. El m´etodo de superposici´ on de los modos de vibraci´on proporciona conveniencia matem´atica en la obtenci´on de la respuesta forzada, porque las ecuaciones de movimiento se desacoplan y la determinaci´on de la soluci´ on es directa. Sin embargo, la Ecuaci´on (10.96) d´a el comportamiento de respuesta de los desplazamientos generalizados en lugar de los desplazamientos nodales reales, debido a la transformaci´on descrita por la Ecuaci´ on (10.89). Como la matriz modal es conocida, la conversi´on de los desplazamientos generalizados hacia los desplazamientos reales requiere s´olo la multiplicaci´on de la soluci´on previa obtenida por la matriz modal normalizada. Ejemplo 10.8. Considere nuevamente el sistema de tres grados–de–libertad del Ejemplo 10.3, y determine la respuesta de estado estacionario cuando una fuerza horizontal F = F0 sin ωf t es aplicada a la masa ubicada en el nodo 3. > Soluci´ on Para las condiciones especificadas, el vector de fuerza impelente aplicada es 0 {F (t)} = F0 sin ωf t 0
´ ´ MODAL 10.8. RESPUESTA ARMONICA MEDIANTE SUPERPOSICION
y las fuerzas generalizadas resultar´ an 0,2956 1 {F˜ } = [ A ]T {F } = √ 0,6575 m 0,6930
379
ser 0,4289 0,6064 0 0,4209 F sin ω t 0 √ f 0,5618 −0,3550 F0 sin ωf t = 0,5618 m −0,7124 0,0782 0 −0,7124
Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas generalizadas son entonces 0,4209F0 sin ωf t √ m 0,5618F0 sin ωf t √ p¨2 + ω12 p2 = m −0,7124F sin ωf t √0 p¨3 + ω12 p3 = m
p¨1 + ω12 p1 =
para las cuales, puede demostrarse que las soluciones son p1 (t) =
0,4209F0 sin ωf t √ (ω12 − ωf2 ) m
p2 (t) =
0,5618F0 sin ωf t √ (ω22 − ωf2 ) m
p3 (t) =
−0,7124F0 sin ωf t √ (ω32 − ωf2 ) m
Los desplazamientos nodales reales, x(t) = q(t) en este caso, son obtenidos por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (10.89): ω0,4209 2 −ω 2 1 f 0,2956 0,6575 0,6930 F sin ω t 1 0,5618 0 √ f 0,4289 0,5618 −0,7124 {x} = [ A ]{p} = √ ω22 −ωf2 m 0,6064 −0,3550 0,0782 m −0,7124 ω32 −ωf2
Expandiendo, los desplazamientos de estado estacionario est´an dados por ! 0,1244 0,3694 −0,4937 F0 sin ωf t √ x1 (t) = + 2 + 2 ω12 − ωf2 ω2 − ωf2 ω3 − ωf2 m ! 0,1772 0,3156 0,5075 F0 sin ωf t √ x2 (t) = + 2 + 2 2 2 2 2 ω1 − ωf ω2 − ωf ω3 − ωf m ! −0,1994 −0,0557 F0 sin ωf t 0,2552 √ + 2 + 2 x3 (t) = ω12 − ωf2 ω2 − ωf2 ω3 − ωf2 m Unas cuantas observaciones necesitan ser efectuadas con respecto a los desplazamientos calculados en este ejemplo: 1. El desplazamiento de cada masa es una oscilaci´on senoidal alrededor de la posici´on de equilibrio, y la frecuencia circular de la oscilaci´on es igual que la frecuencia de la funci´on impelente. 2. Las caracter´ısticas de los modos principales de vibraci´on se reflejan en las soluciones, debi´endose a los efectos de las frecuencias naturales circulares y los vectores de amplitud modales, determinando las amplitudes de la oscilaci´ on forzada.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
380
3. Las soluciones del desplazamiento representan s´olo el movimiento forzado de cada masa; y adicionalmente, la vibraci´ on libre tambi´en puede existir en superposici´on con la respuesta forzada. 4. No est´an incorporados mecanismos de dispersi´on de energ´ıa en el modelo. > El m´etodo de superposici´ on modal puede parecer bastante complicado y, al intentar obtener las soluciones manualmente, el m´etodo es de hecho tedioso. Sin embargo, los c´alculos requeridos son prontamente adecuados a las t´ecnicas computacionales y pueden ser f´acilmente programadas. Las ramificaciones adicionales de las t´ecnicas computacionales para el m´etodo de superposici´on modal se discutir´an en un siguiente ac´ apite.
10.9.
Disipaci´ on de energ´ıa: amortiguamiento estructural
A este punto, las t´ecnicas del an´ alisis din´amico trataron s´olamente con sistemas estructurales en los que no hay ning´ un mecanismo para la dispersi´on de energ´ıa. Como fu´e declarado antes, todos los sistemas reales exhiben tal dispersi´ on y, los diferentes modelos simples presentados, no oscilan por siempre como es predecido por las soluciones de los modelos ideales. En los sistemas estructurales, el fen´omeno de dispersi´ on de energ´ıa es llamado amortiguamiento. El amortiguamiento puede asumir muchos formas f´ısicas, incluyendo dispositivos espec´ıficamente dise˜ nados para el prop´osito (dispositivos amortiguadores pasivos y activos), la fricci´on de deslizamiento, y la disipaci´on interna caracter´ıstica de los materiales sujetos a carga c´ıclica. En esta secci´on, empezamos con un modelo idealizado de amortiguamiento para el oscilador arm´ onico simple y luego se extiende el concepto de amortiguamiento a los modelos estructurales a escala completa o reales.
c
k
cx
kx
m
m +x
(a) Diagrama esquem´ atico
(b) Esquema del amortiguador
(c) Diagrama de cuerpo libre
Figura 10.14: El oscilador arm´onico simple amortiguado. La Figura 10.14(a) muestra un oscilador arm´onico simple al que se ha agregado un disipador de energ´ıa. Un disipador es un dispositivo amortiguador que utiliza un pist´on que se mueve en el interior de un cilindro cerrado herm´etico que contiene un fluido viscoso para remover la energ´ıa mediante la tensi´on cortante en el fluido que produce generaci´on de calor asociado al trabajo mec´anico de las fuerzas de fricci´ on que surgen por la existencia de dichas tensiones internas. El pist´on t´ıpicamente tiene agujeros peque˜ nos para permitir al fluido a atravezarlo pero por otra parte se sella en su periferia, como esquem´aticamente se muestra en la Figura 10.14(b). La fuerza ejercida por tal dispositivo se conoce que es directamente proporcional a la velocidad del pist´on como indicamos mediante la relaci´on siguiente: fc = c x˙
(10.97)
donde fc es la fuerza de amortiguaci´ on, c es el coeficiente de amortiguamiento del dispositivo y x˙ es la velocidad de la masa que se asume dir´ecta y r´ıgidamente conectada al pist´on del amortiguador. El diagrama din´ amico de cuerpo–libre de la Figura 10.14(c) representa la situaci´on en un momento arbitrario con el sistema en movimiento. Como en el caso no–amortiguado considerado anteriormente,
´ DE ENERG´IA: AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL 10.9. DISIPACION
381
asumimos que el desplazamiento es medido desde la posici´on de equilibrio est´atico. Bajo las condiciones establecidas, la ecuaci´ on de movimiento de la masa es m¨ x + cx˙ + kx = 0
(10.98)
Debido al aspecto matem´ atico que tiene esta ecuaci´on diferencial, se asume la soluci´on en forma exponencial, como x(t) = C est (10.99) donde C y s son constantes a ser determinadas. La sustituci´on de la soluci´on asumida en la ecuaci´on diferencial d´ a como resultado (ms2 + cs + k)C est = 0 Como buscamos soluciones no–triviales v´alidas para cualquier instante de tiempo, concluimos que ms2 + cs = k = 0
(10.100)
debe cumplirse si queremos obtener una soluci´on general. La Ecuaci´on (10.100) es la ecuaci´on caracter´ıstica (tambi´en llamada ecuaci´ on de frecuencia) para el sistema amortiguado de un solo grado–de– libertad. De los an´ alisis de vibraci´ on no–amortiguada, sabemos que la frecuencia natural dada por ω 2 = k/m es una propiedad importante del sistema, por lo que modificamos la ecuaci´on caracter´ıstica y la presentamos como c s2 + s + ω 2 = 0 m Resolviendo esta ecuaci´ on mediante la f´ormula cuadr´atica, obtenemos dos soluciones como es esperado, las cuales est´ an dadas por " # r 1 c 2 c 2 2 s1 = − − 4ω 2 m m (10.101) " # r 1 c 2 c 2 s2 = + − 4ω 2 2 m m La m´as importante caracter´ıstica de las ra´ıces es el valor (c/m)2 − 4ω 2 , y para el mismo existen tres casos de importancia: 1. Si (c/m)2 − 4ω 2 > 0, las ra´ıces son reales, distintas, y negativas; y la respuesta del desplazamiento es la suma de funciones exponenciales decrecientes. 2. Si (c/m)2 − 4ω 2 = 0, tenemos un caso de ra´ıces repetidas; para esta situaci´on, el desplazamiento tambi´en se muestra ser exponencial decreciente. Es conveniente definir esto como un caso cr´ıtico y permitir que el valor del coeficiente de amortiguamiento c corresponda al llamado coeficiente de amotiguamiento cr´ıtico cc . De aqu´ı, c2c = 4ω 2 m2 ´o cc = 2mω. 3. Si (c/m)2 − 4ω 2 < 0, las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica son imaginarias; y en este caso puede demostrarse [53] que representan oscilaciones sinusoidales decrecientes. Sin tener en cuenta la cantidad de amortiguamiento presente, la respuesta de vibraci´on–libre, como es mostrado por el an´ alisis precedente, es una funci´on exponencialmente decreciente en el tiempo. Esto d´a mayor credibilidad a nuestra discusi´on anterior de respuesta arm´onica, en la que ignoramos las vibraciones libres. En general, la respuesta del sistema se define principalmente por las funciones impelentes aplicadas, porque las vibraciones naturales (libres, principales) desaparecen en cierto tiempo por el amortiguamiento presente. La respuesta de un sistema masa–resorte amortiguado correspondiente a cada uno de los tres casos de amortiguamiento se muestra en la Figura 10.15.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
382
x(t)
x(t) Xe
x(t)
t
1 t
1
1 t
(a) Respuesta sub–amortiguada
(b) Respuesta de amortiguamiento cr´ıtico
t
(c) Respuesta sobre–amortiguada
Figura 10.15: Respuesta libre del oscilador arm´onico simple amortiguado. Ahora definimos la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico como ζ = c/cc = c/2m y notamos que, si ζ > 1, tendremos movimiento sobre–amortiguado; si ζ = 1, se dice que el movimiento es cr´ıticamente amortiguado; y si ζ < 1, el movimiento es sub–amortiguado. Como la mayor´ıa de los sistemas estructurales son sub–amortiguados, enfocamos nuestra atenci´on en el caso de ζ < 1. Para esta situaci´on, se demuestra f´acilmente [53] que la respuesta de un oscilador arm´onico sub–amortiguado se describe por x(t) = e−ζωt (A sin ωd t + B cos ωd t) donde ωd es la frecuencia natural circular amortiguada, definida por c 2 k ωd2 = (1 − ζ 2 ) ω 2 = 1 − 2m m
(10.102)
(10.103)
y los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales del movimiento. Aunque s´olo demostramos el efecto del amortiguamiento mediante el an´alisis del oscilador arm´onico simple amortiguado, podemos establecer algunas conclusiones que son aplicables a cualquier sistema estructural: Las frecuencias naturales de vibraci´ on de un sistema est´an reducidas por el efecto del amortiguamiento, como es mostrado por la Ecuaci´on (10.103). Las vibraciones libres decaen exponencialmente hacia cero, debido a los efectos del amortiguamiento presente en todo sistema vibratorio. En virtud de la anterior conclusi´ on; en el caso de vibraci´on forzada, la soluci´on de estado– estacionario (luego que los efectos transitorios han desaparecido) s´olo se establece por las funciones impelentes. Se asume que el amortiguamiento es linealmente proporcional a las velocidades nodales.
10.9.1.
Amortiguamiento estructural general
Una estructura el´ astica sujeta a carga din´amica no tiene, en general, elementos espec´ıficos amortiguadores conectados. En cambio, las caracter´ısticas de disipaci´on de energ´ıa de la estructura son inherentes a sus propiedades mec´ anicas. Por ejemplo, c´omo se hace para que una viga en voladizo, cuando es “tocada” en su extremo libre, finalmente deje de vibrar?. (Si el lector tiene una regla flexible a mano, puede realizar muchos experimentos para mostrar el cambio en la frecuencia fundamental como una funci´ on de longitud de la viga as´ı como el decaimiento del movimiento). La respuesta a la vibraci´on amortiguada es compleja. Por ejemplo, las estructuras est´an expuestas al aire atmosf´erico, por lo que la resistencia del aire es un factor que determina la amortiguaci´on. En general, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad cuadr´atica media, por lo que este efecto es no–lineal. Afortunadamente, la resistencia del aire en la mayor´ıa de los casos es despreciable. Por otra parte, la fricci´on interior de un material no es despreciable y debe ser considerada.
´ DE ENERG´IA: AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL 10.9. DISIPACION
383
c 2
1
x
k Figura 10.16: Modelo de elemento–barra amortiguada Si incorporamos los conceptos de amortiguamiento como fueron aplicados al oscilador arm´onico simple, las ecuaciones de movimiento del modelo de elemento finito de una estructura llegan a ser en forma matricial [ M ]{¨ q } + [ C ]{q} ˙ + [ K ]{q} = {F (t)} (10.104) donde [ C ] es la matriz de amortiguamiento viscoso del sistema, ensamblada por las reglas usuales. Por ejemplo, un elemento–barra con amortiguamiento es modelado matem´aticamente como un resorte lineal y un amortiguador conectados en paralelo a los nodos del elemento como se ve en la Figura 10.16. La matriz de amortiguamiento de elemento es entonces c −c 1 −1 [ C (e) ] = =c (10.105) −c c −1 1 y, las ecuaciones de movimiento de elemento son [ M (e) ]{¨ u} + [ C (e) ]{u} ˙ + [ K (e) ]{u} = {f (e) }
(10.106)
La matriz de amortiguamiento de elemento es sim´etrica y singular, y los coeficientes individuales son asignados a la matriz de amortiguamiento global de la misma manera como se lo hace con las matrices de masa y rigidez. El ensamble de las ecuaciones globales de movimiento para un modelo de elemento finito de una estructura amortiguada es simple. La determinaci´on de los coeficientes de amortiguamiento viscoso efectivos para los elementos estructurales, sin embargo, no es tan simple. El amortiguamiento debido a la fricci´on interior es conocido como amortiguamiento estructural, y experimentos en muchos materiales el´asticos diferentes han mostrado que la p´erdida de energ´ıa por ciclo de movimiento en el amortiguamiento estructural es proporcional a la rigidez del material y al cuadrado de la amplitud del desplazamiento [53]. Es decir, ∆Uciclo = λ k X 2
(10.107)
donde λ es un coeficiente adimensional de amortiguamiento estructural, k es la rigidez del material, y X es la amplitud del desplazamiento. Igualando la p´erdida de energ´ıa por ciclo a la p´erdida de energ´ıa por ciclo para amortiguamiento viscoso, se obtiene un coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente: λk (10.108) ceq = ω donde ω es la frecuencia circular de oscilaci´on. El hecho que el coeficiente de amortiguamiento equivalente dependa de la frecuencia es algo molesto, puesto que la implicaci´on es que se requieren coeficientes diferentes para p las frecuencias diferentes. Si consideramos un sistema de un solo grado–de–libertad para el cual ω = k/m, el coeficiente de amortiguamiento equivalente dado por la Ecuaci´on (10.108) llega a ser √ λk k ceq = = λp = λ km (10.109) ω k/m indic´andonos que el coeficiente de amortiguamiento es proporcional, por lo menos en un sentido general, a la rigidez y la masa. Retornaremos brevemente a esta observaci´on l´ıneas m´as adelante. Luego consideramos la aplicaci´ on de la transformaci´on usando la matriz modal normalizada, como fu´e descrito en la Secci´ on 10.7. Aplicando la transformaci´on a la Ecuaci´on (10.104) resulta en {¨ p} + [ A ]T [ C ][ A ]{p} ˙ + [ A ]T [ K ][ A ]{p} = [ A ]T {F (t)}
(10.110)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
384
F´acilmente se demuestra que la matriz de amortiguamiento transformada [ C 0 ] = [ A ]T [ C ][ A ]
(10.111)
es matriz sim´etrica, pero no necesariamente diagonal. La transformaci´on no necesariamente produce ecuaciones de movimiento desacopladas, y la simplificaci´on del m´etodo de superposici´on modal no es aplicable en generalidad. Pero, sin embargo, si la matriz de amortiguamiento es tal que [ C ] = α[ M ] + β[ K ]
(10.112)
[ C 0 ] = α[ A ]T [ M ][ A ] + β[ A ]T [ K ][ A ] = α[ I ] + β[ ω 2 ]
(10.113)
donde α y β son constantes, entonces
es una matriz diagonal y las ecuaciones diferenciales de movimiento resultan ser desacopladas. Notemos que la proposici´ on de la Ecuaci´ on(10.112) permite directamente la diagonalizaci´on de la matriz de amortiguamiento como es mostrado por la Ecuaci´on (10.113). De aqu´ı, la Ecuaci´on (10.110) se convierte en {¨ p} + (α[ I ] + β[ ω 2 ]){p} ˙ + [ ω 2 ]{p} = [ A ]T {F (t)} (10.114) Como el sistema de ecuaciones diferenciales representado por ecuaci´on matricial anterior est´a desacoplado, examinaremos la soluci´ on de una cualquiera de las ecuaciones componentes p¨i + (α + βωi2 )p˙i + ωi2 pi =
N X
A(i) j Fj (t)
(10.115)
j=1
donde N es el n´ umero total de grados de libertad de la estructura. Sin p´erdida de generalidad y por conveniencia pedag´ ogica, nosotros consideramos la Ecuaci´on (10.115) para solamente uno de los t´erminos del lado derecho, asumiendo que es una fuerza arm´onica tal que p¨i + (α + βωi2 )p˙i + ωi2 pi = F0 sin ωf t y asumimos que la soluci´ on es p(t) = Xi sin ωf t + Yi cos ωf t
(10.116)
La substituci´ on de la soluci´ on asumida en la ecuaci´on gobernante nos proporciona −Xi ωf2 sin ωf t − Yi ωf2 sin ωf t + (α + βωi2 )ωf (Xi cos ωf t − Yi sin ωf t) ωi2 Xi sin ωf t + ωi2 cos ωf t = F0 sin ωf t Igualando coeficientes de t´erminos que multiplican a las funciones sin y cos, se obtienen las siguientes ecuaciones algebr´ aicas " #( ) ( ) ωi2 − ωf2 −ωf (α + βωi2 ) Xi F0 = 2 2 2 ωf (α + βωi ) ωi − ωf Yi 0 para la determinaci´ on de las amplitudes del desplazamiento forzado; siendo las soluciones: Xi =
F0 (ωi2 − ωf2 ) (ωi2 − ωf2 )2 + ωf (α + βωi2 )2
−F0 ωf (α + βωi2 ) Yi = 2 (ωi − ωf2 )2 + ωf (α + βωi2 )2
(10.117)
Para examinar el car´ acter de la soluci´ on representada por la Ecuaci´on (10.116), convertimos de modo equivalente esta expresi´ on a pi (t) = Zi sin(ωf t + φi )
´ DE ENERG´IA: AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL 10.9. DISIPACION
con
Zi =
q Xi2 + Yi2
y φi = tan−1
385
Yi Xi
para obtener F0
pi (t) = q
(ωi2 − ωf2 )2 + ωf (α + βωi2 )2
sin(ωf t + φi )
−ωf (α + βωi2 ) ωi2 − ωf2
−1
φi = tan
(10.118)
! (10.118a)
De nuevo, la matem´ atica requerida para obtener estas soluciones es algebr´aicamente tediosa; sin embargo, las Ecuaciones (10.118) y (10.118a) son absolutamente generales, en el sentido que las ecuaciones dan la soluci´ on para cada grado de libertad en la Ecuaci´on (10.114), con tal de que sean aplicadas fuerzas nodales arm´ onicas. Tales soluciones se generan f´acilmente por un software de computadora digital. Los desplazamientos reales se obtienen entonces por la aplicaci´on de la Ecuaci´on (10.89), como en el caso de sistemas no–amortiguados. El amortiguamiento viscoso equivalente descrito en la Ecuaci´on (10.112) es conocido como amortiguamiento de Rayleigh [27] y es usado muy a menudo en el an´alisis estructural. Puede demostrarse, por la comparaci´ on hacia un sistema de un solo grado–de–libertad amortiguado que α + βωi2 = 2ωi ζi
(10.119)
donde ζi es la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del i–´esimo modo de vibraci´on; ´esto es, ζi =
βωi α + 2ωi 2
(10.120)
representa el grado de amortiguamiento para el i–´esimo modo. Esta ecuaci´on proporciona un medio simple para estimar α y β, si son conocidas estimaciones reales del grado de amortiguamiento para dos modos de oscilaci´ on. Las estimaciones reales la mayor´ıa de las veces generalmente son obtenidas experimentalmente. El ejemplo siguiente ilustra los c´alculos pertinentes y el efecto en otros modos. Ejemplo 10.9. Los experimentos en una estructura prototipo indican que la fracci´on efectiva de amortiguamiento cr´ıtico es ζ = 0,03 (3 por ciento) cuando la frecuencia de la oscilaci´on es ω = 5 rad/seg y ζ = 0,1 (10 por ciento) para una frecuencia de ω = 15 rad/seg. Determine los coeficientes de amoriguamiento de Rayleigh para estas condiciones conocidas. > Soluci´ on Aplicando la Ecuaci´ on (10.120) a cada una de las condiciones conocidas obtenemos α 5β + 2(5) 2 α 15β 0,1 = + 2(15) 2
0,03 =
La soluci´ on simult´ anea de este par de ecuaciones algebr´aicas provee los coeficientes de Rayleigh como α = −0,0375
β = 0,0135
Si fu´eramos a aplicar el amortiguamiento equivalente dado por estos valores al espectro completo de frecuencias de una estructura, la fracci´on efectiva de amortiguamiento cr´ıtico para cualquier modo estar´ıa dada por −0,0375 + 0,0135 ωi2 ζi = 2 ωi
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
386
0.25 0.2 0.15
i 0.1 0.05 0
0.05 1
3
5
7
9
11 13
15 i
17
19
21 23 25
27
29
Figura 10.17: Factor de amortiguamiento cr´ıtico en funci´on de la frecuencia para el Ejemplo 10.9.
Si los valores de α y β se aplican a un sistema de m´ ultiples grados–de–libertad, la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico para cada frecuencia es diferente. Para ilustrar la variaci´on, la Figura 10.9 muestra la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico modal como una funci´on de la frecuencia de oscilaci´on modal. La gr´afica muestra que, por supuesto, las proporciones para frecuencias especificadas son exactas y las fracciones de amortiguamiento var´ıan significativamente para otras frecuencias. > El amortiguamiento de Rayleigh tal como se describi´o, no es la u ´nica formulaci´on para el amortiguamiento estructural usado en el an´ alisis de elemento finito. Los paquetes de software del elemento finito tambi´en incluyen opciones para especificar el amortiguamiento como una propiedad dependiente del material, o como una propiedad mec´ anica propia de la estructura, as´ı como tambi´en permiten definir el amortiguamiento especificando los elementos de amortiguaci´on (los elementos finitos) que pueden agregarse a cualquier posici´ on geom´etrica en la estructura. La u ´ltima capacidad le permite al analista de elemento finito examinar los efectos de disipaci´on de energ´ıa en estos elementos cuando son aplicados a situaciones espec´ıficas.
10.10.
Respuesta din´ amica transitoria
En el Cap´ıtulo 7, se hizo una introducci´on a los m´etodos de diferencias finitas para la integraci´on num´erica directa de modelos de elemento finito para problemas de transmisi´on de calor. En esas aplicaciones, tratamos con una variable de campo escalar, la temperatura, y ecuaciones gobernantes de primer–orden. Por consiguiente, s´ olo necesitamos desarrollar las aproximaciones de diferencias finitas a las primeras derivadas. Para los sistemas din´amicos estructurales, tenemos una serie de ecuaciones diferenciales de segundo–orden: ¨ } + [ C ]{U˙ } + [ K ]{U } = {F (t)} [ M ]{U
(10.121)
representando al modelo de elemento finito ensamblado de una estructura sujeta a funciones impelentes generales (no–arm´ onicas). Aplicando los m´etodos de diferencias finitas a la Ecuaci´on (10.121), asumimos que el estado del sistema es conocido en el instante t y deseamos calcular los desplazamientos en el momento t + ∆t; es decir, deseamos resolver ¨ (t + ∆t)} + [ C ]{U˙ (t + ∆t)} + [ K ]{U (t + ∆t)} = {F (t + ∆t)} [ M ]{U
(10.122)
´ 10.10. RESPUESTA DINAMICA TRANSITORIA
387
para el vector {U (t + ∆t)}. Muchas t´ecnicas de diferencias finitas existen para resolver el sistema de ecuaciones representado por la Ecuaci´ on (10.122). Aqu´ı, nosotros describimos el m´etodo de Newmark [40] tambi´en llamado m´etodo de aceleraci´ on constante. En el m´etodo de Newmark, se supone que la aceleraci´on durante ¨med . Para la condici´on de un paso de tiempo de integraci´ on ∆t es constante y con un valor medio U aceleraci´ on constante, nosotros podemos escribir las relaciones cinem´aticas ¨med U (t + ∆t) = U (t) + U˙ (t)∆t + U
∆t2 2
(10.123a)
¨med ∆t U˙ (t + ∆t) = U˙ (t) + U
(10.123b)
donde la constante de aceleraci´ on media o promedio es ¨ ¨ ¨med = U (t + ∆t) − U (t) U 2
(10.123c)
Combinando las Ecuaciones (10.123a) y (10.123c) obtenemos ¨ (t + ∆t) + U ¨ (t) ] ∆t U (t + ∆t) = U (t) + U˙ (t)∆t + [ U 4
2
la cual es resuelta para la aceleraci´ on al instante t + ∆t para obtener ¨ (t + ∆t) = 4 [ U (t + ∆t) − U (t) ] − 4 U˙ (t) − U ¨ (t) U ∆t2 ∆t
(10.124)
Si tambi´en sustitu´ımos las Ecuaciones (10.123c) y (10.124) en la Ecuaci´on (10.123b), hallaremos que la velocidad al instante t + ∆t viene dada por 2 U˙ (t + ∆t) = [ U (t + ∆t) − U (t) ] − U˙ (t) ∆t
(10.125)
Las Ecuaciones (10.124) y (10.125) expresan la aceleraci´on y la velocidad al instante t + ∆t, en t´erminos de condiciones conocidas en el paso de tiempo previo y el desplazamiento en el instante t + ∆t. Si estas relaciones son sustitu´ıdas en la Ecuaci´on (10.122), obtenemos, luego de efectuar algo de manipulaci´ on algebr´ aica 2 4 [ M ]{U (t + ∆t)} + [ C ]{U (t + ∆t)} + [ K ]{U (t + ∆t)} 2 ∆t ∆t ¨ (t)} + 4 {U˙ (t)} + 4 {U (t)} = {F (t + ∆t)} + [ M ] {U ∆t ∆t2 2 + [ C ] {U˙ (t) + {U (t)} ∆t
(10.126)
Esta ecuaci´ on es la relaci´ on de recurrencia para el m´etodo de Newmark. Aunque la relaci´on puede parecer complicada, debe comprenderse que las matrices de masa, amortiguamiento, y rigidez son conocidas; para que las ecuaciones sean simplemente un sistema algebr´aico en los desplazamientos desconocidos al momento t + ∆t. El lado derecho del sistema es conocido en t´erminos de la soluci´on en un paso de tiempo anterior y las fuerzas aplicadas. La Ecuaci´on (10.126) es a menudo escrita simb´olicamente como ¯ ]{U (t + ∆t)} = {Fef (t + ∆t)} [K (10.127) donde: ¯]= [K
4 2 [M ] + [C ] + [K ] ∆t2 ∆t
(10.127a)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
388
4 ˙ 4 ¨ {Fef (t + ∆t)} = {F (t + ∆t)} + [ M ] {U (t)} + {U (t)} {U (t)} + ∆t ∆t2 2 + [ C ] {U˙ (t) + {U (t)}} ∆t
(10.127b)
El sistema de ecuaciones algebr´ aicas representado por la Ecuaci´on (10.127) puede resolverse a cada paso de tiempo para los desplazamientos desconocidos. Para un paso de tiempo constante ∆t, ¯ ] (a menudo denominada matriz de rigidez din´ la matriz [ K amica) es constante y s´olo se necesita calcularla una vez. El lado derecho {Fef (t + ∆t)} (llamado vector fuerza din´ amica efectiva) debe, por supuesto, ser renovado a cada paso de tiempo. En cada paso o incremento de tiempo de avance en la soluci´on, el sistema de ecuaciones algebr´ aicas debe resolverse para obtener los desplazamientos al final del intervalo. Por esta raz´ on, el procedimiento es conocido como un m´etodo impl´ıcito. Por substituci´on regresiva a trav´es de las relaciones apropiadas, tambi´en pueden obtenerse valores para las velocidades y aceleraciones al final del intervalo de tiempo, lo cual permite avanzar al siguiente paso de tiempo. Se conoce que el m´etodo de Newmark es incondicionalmente estable [9]. Aunque los detalles del m´etodo est´an fuera del alcance de este texto, la no–estabilidad (o m´as propiamente la inestabilidad) de las t´ecnicas de diferencias finitas significa que, bajo ciertas condiciones, los desplazamientos calculados pueden crecer sin l´ımite a medida que el procedimiento de la soluci´on “avance” en el tiempo. Se conocen varios m´etodos de diferencias finitas que son condicionalmente estables, significando esto que los resultados exactos s´ olo se obtienen si el paso de tiempo ∆t es menor que un determinado valor ´ cr´ıtico prescrito. Este no es el caso con el m´etodo de Newmark. Esto no significa, sin embargo, que los resultados son independientes del paso de tiempo seleccionado. La exactitud de cualquier t´ecnica de diferencias finitas mejora a medida que el paso de tiempo es reducido en su magnitud, y este fen´omeno es una preocupaci´ on de la convergencia, similar al refinamiento de la malla en un modelo de elemento finito. Para la evaluaci´ on de la respuesta din´ amica de un modelo de elemento finito, nosotros debemos preocuparnos no s´ olo con la convergencia relacionada a la malla misma de elemento finito, sino tambi´en con la convergencia del intervalo de tiempo del m´etodo de diferencias finitas seleccionado. Como ser´a discutido en la siguiente secci´ on, el software de elemento finito para la respuesta transitoria din´amica requiere que el especifique “los intervalos de carga”, los cuales representan el cambio de la solicitaci´ on aplicada como una funci´ on del tiempo. El software entonces resuelve las ecuaciones de elemento finito como si el problema fuese uno de equilibrio est´atico en la condici´on de carga especificada. Es muy importante notar que las ecuaciones del sistema representadas por la Ecuaci´on (10.127) est´an basadas en el modelo de elemento finito, aunque el procedimiento de soluci´on es la t´ecnica de diferencias finitas para problemas variables en el tiempo.
10.11.
An´ alisis din´ amico estructural
En esta secci´ on presentamos una breve introducci´on al an´alisis din´amico estructural a trav´es de uno de los tipos de estructura m´ as simple de describirse: la cercha plana, compuesta de elementos barra interconectados en sus extremos mediante uniones articuladas y en conjunto contenidos en un u ´nico plano espacial, el cual tambi´en ser´ a considerado el plano de carga, o sea aquel que contiene a todas las fuerzas nodales aplicadas a esta estructura. La matriz de masa consistente de elemento–barra definida en la Ecuaci´on (10.51) s´olo es v´alida para vibraci´on axial. Cuando estos elementos se usan para modelar estructuras cercha bi y tri–dimensionales, se requieren consideraciones adicionales, y modificar la matriz de masa de acuerdo con ello. Cuando una cercha sufre deformaci´ on, sea est´ atica o din´amicamente, los elementos individuales experimentan desplazamiento axial y transversal simult´aneamente siendo ´estos el resultado del desplazamiento estructural global y las interconexiones del elemento a los nodos. En el Cap´ıtulo 3, se ignor´o el desplazamiento transversal de los elementos en el desarrollo de la matriz de rigidez ya que all´ı asumimos
´ ´ 10.11. ANALISIS DINAMICO ESTRUCTURAL
389
rigidez transversal nula debido a la hip´otesis de conexiones articuladas, que permiten la rotaci´on libre. Sin embargo, en el el caso din´ amico, el movimiento transversal introduce cierto monto de energ´ıa cin´etica adicional que debe tenerse en cuenta. 2 u2
(x, t)
2
1 u(x, t)
u1 1
dx (a) Desplazamientos nodales
(b) Elemento diferencial
Figura 10.18: Elemento barra en movimiento bi–dimensional. En la Figura 10.18(a) mostramos un elemento barra en situaci´on din´amica de deformaci´on, donde tambi´en se indican los desplazamientos nodales que se presentan en sus puntos extremos. Consideremos ahora el volumen diferencial de este elemento barra que como dijimos sufre ambos desplazamientos: axial y transversal, como es mostrado en la Figura 10.18(b). Aqu´ı, asumimos una situaci´on din´amica tal que ambas componentes del desplazamiento var´ıan con la posici´on y el tiempo. La energ´ıa cin´etica de la masa elemental contenida en el volumen diferencial considerado es entonces " 2 # 2 1 ∂u ∂υ 1 dT = ρ A dx (10.128) + = ρ A dx ( u˙ 2 + υ˙ 2 ) 2 ∂t ∂t 2 y la energ´ıa cin´etica total de la barra es obtenida mediante proceso de integraci´on sobre toda la longitud del elemento ZL ZL 1 1 2 T = ρ A u˙ dx + ρ A υ˙ 2 dx (10.129) 2 2 0
0
Observando que el desplazamiento transversal puede expresarse en t´erminos de los desplazamientos transversales de los nodos del elemento, usando las mismas funciones de interpolaci´on para el desplazamiento axial, tenemos u(x, t) = N1 (x) u1 (t) + N2 (x) u2 (t) υ(x, t) = N1 (x) υ1 (t) + N2 (x) υ2 (t) Empleando notaci´ on matricial, las velocidades se escriben u˙ 1 u(x, ˙ t) = N1 N2 = [ N ]{u} ˙ u˙ 2 υ˙ 1 υ(x, ˙ t) = N1 N2 = [ N ]{υ} ˙ υ˙ 2
(10.130)
(10.131)
y la energ´ıa cin´etica de elemento se convierte en ZL ZL 1 1 T ˙ [ N ] [ N ]dx{u} ˙ + ρ A {υ} ˙ [ N ]T [ N ]dx{υ} ˙ T = ρ A {u} 2 2 0
0
(10.132)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
390
Si definimos el vector de velocidades nodales de elemento mediante el arreglo u˙ 1 ˙ = υ˙ 1 {δ} u˙ 2 υ˙ 2
(10.133)
la expresi´on de la energ´ıa cin´etica de elemento puede ser re–escrita en la forma 2 0 N1 N2 0 ZL N1 0 1 ˙ T 1 ˙ T (e) ˙ N1 N2 0 N1 N2 ˙ dx{δ} [ m ]{δ} = {δ} ρA T = {δ} 2 N1 N2 0 N2 0 2 2 0 0 N1 N2 0 N22 A partir de la Ecuaci´ on (10.134), la matriz de masa de elemento–barra dimensional es identificada como 2 0 N 0 N 2 0 1 N2 1 L Z ρ A L 0 N N 0 N N 1 2 1 2 0 2 dx = [ m(e) ] = ρ A N1 N2 0 N22 0 6 1 0 0 0 N1 N2 0 N22 0 1
(10.134)
en movimiento plano bi– 1 0 2 0
0 1 0 2
(10.135)
La matriz de masa definida por la Ecuaci´on (10.135) se describe en el sistema coordenado de elemento (sistema local), ya que las direcciones axial y transversal se definen en t´erminos del eje axial del elemento. C´ omo, entonces, esta matriz de masa es transformada al sistema de coordenadas global de una estructura ?. Recuerde que, en el Cap´ıtulo 3, los desplazamientos axiales del elemento se expresan en t´erminos de los desplazamientos globales mediante una transformaci´on de rotaci´on del eje axial x del elemento. Reiteramos, que los desplazamientos transversales no fueron considerados en dicha oportunidad, porque ninguna rigidez fu´e asociada con el movimiento transversal. Ahora, sin embargo, los desplazamientos transversales deben ser incluidos en la transformaci´on hacia las coordenadas globales debido a la energ´ıa cin´etica asociada con la masa que estamos considerando. U4
2
u2 2
U3
Figura 10.19: Desplazamientos nodales La Figura 10.19 muestra un solo nodo de un elemento–barra orientado en un ´angulo θ relativo al eje de X de un sistema coordenado global. Los desplazamientos nodales en el marco referencial del elemento son u2 , υ2 y los correspondientes desplazamientos globales son U3 y U4 , respectivamente. Como el desplazamiento en ambos sistemas coordenados debe ser el mismo, tendremos u2 = U3 cos θ + U4 sin θ υ2 = −U3 sin θ + U4 cos θ o, escritas estas relaciones en forma matricial u2 cos θ = υ2 − sin θ
sin θ cos θ
U3 U4
´ ´ 10.11. ANALISIS DINAMICO ESTRUCTURAL
391
Como similares relaciones se cumplen tambi´en en el otro nodo del elemento, la transformaci´on completa de los desplazamientos nodales es u1 cos θ υ1 − sin θ = u 0 2 υ2 0
sin θ cos θ 0 0
0 0 cos θ − sin θ
0 U1 0 U2 sin θ U3 cos θ U4
(10.136)
que sint´eticamente podr´ıamos escribir como: {δ} = [ R ]{U }. Si derivamos temporalmente estas relaciones, podemos ver que las velocidades nodales se transforman mediante la misma matriz de rotaci´on aqu´ı determinada; si sustitu´ımos en la expresi´on de la energ´ıa cin´etica, se demuestra que la matriz de masa de elemento en el sistema coordenado global es [ M (e) ] = [ R ]T [ m(e) ][ R ]
(10.137)
Cuando se realizan las multiplicaciones indicadas en esta ecuaci´on, para un ´angulo arbitrario de orientaci´on espacial, se encuentra que la matriz de masa global resultante para un elemento–barra resulta ser 2 0 1 0 ρAL 0 2 0 1 (10.138) [ M (e) ] = 1 0 2 0 6 0 1 0 2 y el resultado es exactamente igual que la matriz de masa en el sistema coordenado de elemento, sin tener en cuenta la orientaci´ on del mismo en el sistema global. Este fen´omeno no deber´ıa ser ninguna sorpresa, ya que la masa es una propiedad escalar absoluta y por consiguiente independiente del sistema coordenado. Un desarrollo similar lleva a la misma conclusi´on cuando un elemento–barra se usa para modelar estructuras tri–dimensionales del tipo cercha. La complicaci´ on descrita para incluir los efectos de la inercia transversal adicional del elemento– barra tambi´en es aplicable al elemento viga uni–dimensional (en flexi´on). La matriz de masa para el elemento viga dada por la Ecuaci´on (10.63) s´olo es aplicable en un modelo uni-dimensional. Si el elemento de flexi´ on se usa en modelar estructuras del tipo marco bi o tri–dimensionales, debe usarse la consideraci´ on adicional en la formulaci´on de la matriz de masa de elemento que se debe a los efectos de inercia axiales. Para los elementos marco, los paquetes de software de elemento finito incluyen los efectos axiales (es decir, el elemento marco es una combinaci´on del elemento barra y el elemento viga) y todos los efectos de inercia apropiados son incluidos en la formulaci´on de la matriz de masa consistente. Ejemplo 10.10. Como un ejemplo completo de an´ alisis modal, retornamos a la consideraci´on de la estructura cercha plana de la Secci´ on 3.7, repetida aqu´ı como la Figura 10.20. Notemos que, para el presente ejemplo, las cargas est´ aticas aplicadas en el ejemplo previo han sido removidas. Como aqu´ı estamos interesados en la respuesta en vibraci´ on libre de la estructura, las cargas est´aticas no tienen ninguna consecuencia en el an´alisis din´ amico. Con la especificaci´on adicional que la densidad del material de todas las barras es ρ = 2,6(10)−4 lb-seg2 /pulg4 , resolvemos el problema de auto–valores para determinar las frecuencias naturales circulares y los vectores de amplitud modal asociados, para la vibraci´on–libre de la estructura. > Soluci´ on Como la matriz de rigidez y´ a fu´e ensamblada, el procedimiento no se repite aqu´ı. Debemos, sin embargo, ensamblar la matriz de masa usando la codificaci´on num´erica que es mostrada en la Figura 10.20(b). Las matrices de masa en el sistema local y el sistema global coordenado para el elemento barra en
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
392
40 pulg
U4
40 pulg
U8
3
2
U11 6
4
2
Y
U12
6
U7
U3 40 pulg
7
4
U2
8
U6 1
U1
1
(a) Geometr´ıa y dimensiones
U10
5 3
U5
5
U9
X
(b) Etiquetado estructural
Figura 10.20: Cercha bi–dimensional en voladizo del Ejemplo 10.10
vibraci´on bi–dimensional son id´enticas, y est´an dadas por la Ecuaci´on (10.138) como U1
U2
U3
2 ρAL (e) 0 [M ] = 6 1 0
0 2 0 1
1 0 2 0
U4
0 U1 1 U2 0 U3 2 U4
donde el etiquetado de filas y columnas con los grados de libertad nodales globales de elemento nos servir´a para ensamblar los coeficientes en la matriz de masa estructural. Como los elementos 1, 3, 4, 5, 7 y 8, tienen la misma longitud, ´area, y densidad; tendremos
M (1) = [ M (3) ] = [ M (4) ] = [ M (5) ] = [ M (7) ] = [ M (8) ] 5,2 0 2 0 1 0 0 5,2 (2,6)(10)−4 (1,5)(40) 0 2 0 1 = 1 0 2 0 = 2,6 0 6 0 2,6 0 1 0 2
2,6 0 5,2 0
0 2,6 (10)−3 lb-seg2 /pulg 0 5,2
mientras que para los elementos 2 y 6, 2 0 1 0 √ (2) 2,6(10)−4 (1,5)(40 2) 0 2 0 1 M = [ M (6) ] = 1 0 2 0 6 0 1 0 2 7,36 0 3,68 0 07,36 0 3,68 (10)−3 lb-seg2 /pulg = 3,68 0 7,36 0 0 3,68 0 7,36
Etiquetando filas y columnas de estas matrices con los grados de libertad nodales globales pertinentes, mostrados en la Figura 10.20(b), y procediendo con el ensamblaje se demuestra que la matriz de masa global estructural resulta
´ ´ 10.11. ANALISIS DINAMICO ESTRUCTURAL 12,56 0 0 0 2,6 0 [M ] = 3,68 0 0 0 0 0
0 0 0 2,6 0 12,56 0 0 0 2,6 0 5,2 0 0 0 0 0 5,2 0 0 0 0 0 7,8 0 2,6 0 0 0 7,8 0 2,6 0 2,6 0 3,68 0 2,6 0 2,6 0 0 0 2,6 0 0 0 0 0 2,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3,68 0 2,6 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6 0
393 0 3,68 0 2,6 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6
0 0 0 0 2,6 0 3,68 0 17,76 0 2,6 0
0 0 0 0 0 2,6 0 3,68 0 17,76 0 2,6
0 0 0 0 0 0 2,6 0 2,6 0 10,4 0
0 0 0 0 0 0 (10)−3 0 2,6 0 2,6 0 10,4
Aplicando las condiciones de restricci´on de desplazamiento: U1 = U2 = U3 = U4 = 0, la matriz de masa para los grados de libertad activos llega a ser 7,8 0 2,6 0 2,6 0 0 0 0 7,8 0 2,6 0 2,6 0 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6 0 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6 (10)−3 lb-seg2 /pulg [ Ma ] = 3,68 0 17,76 0 2,6 0 2,6 0 0 2,6 0 3,68 0 17,76 0 2,6 0 0 2,6 0 2,6 0 10,4 0 0 0 0 2,6 0 2,6 0 10,4 Extrayendo los datos desde la Secci´on 3.7, espec´ıficamente desde el Ejemplo 3.3, la matriz de rigidez para los grados de libertad activos es 7,5 0 0 0 −3,75 0 0 0 0 3,75 0 −3,75 0 0 0 0 0 0 10,15 0 −1,325 1,325 −3,75 0 0 −3,75 0 6,4 1,325 −1,325 0 0 (10)5 lb/pulg [ Ka ] = 0 −1,325 1,325 5,075 −1,325 0 0 −3,75 0 0 1,325 −1,325 −1,325 5,075 0 −3,75 0 0 −3,75 0 0 0 3,75 0 0 0 0 0 0 −3,75 0 3,75 El modelo de elemento finito para la cercha plana exhibe 8 grados de libertad; de aqu´ı, la ecuaci´on caracter´ıstica se obtiene por desarrollo del determinante [ K a ] − ω 2 [ Ma ] = 0 lo cual d´ a, te´ oricamente, ocho frecuencias naturales de oscilaci´on y ocho formas modales correspondientes (los vectores de amplitud modal). Para este ejemplo, los modos naturales se calcularon usando la edici´on acad´emica del programa ANSYS [6], con los resultados mostrados en la Tabla 10.1. Los vectores de amplitud modal correspondientes (normalizados respecto a la matriz de masa, como fu´e discutido relativo al proceso de ortogonalizaci´on) se muestran en la Tabla 10.2. Se observa que las frecuencias son bastante grandes en magnitud. La frecuencia fundamental, aproximadamente 122 ciclos/seg, est´a m´as all´a de la interfaz general de percepci´on del ojo humano (30 ciclos/seg ´ o Hz es el l´ımite inferior aceptado, basado en los gr´aficos de investigaci´on por simulaci´on mediante computadora [25]). Las frecuencias altas no son raras en estructuras del tipo cercha plana. Los datos usados en este ejemplo corresponden aproximadamente a las propiedades materiales del aluminio; p un material ligero con buena rigidez relativa a su peso propio. Recordando la relaci´on b´asica ω = k/m (f = ω/2π), es razonable esperar frecuencias naturales de elevada magnitud.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
394
Tabla 10.1: Modos naturales de vibraci´on Modo i
ωi [rad/seg]
fi [ciclos/seg]
1 2 3 4 5 6 7 8
767,1 2082,3 2958,7 4504,8 6790,9 7975,9 8664,5 8977,4
122,1 331,4 470,9 716,9 1080,8 1269,4 1379,0 1428,8
Tabla 10.2: Vectores de amplitud modal normalizados Modo i Desplazamiento
1
2
3
4
5
6
7
8
U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12
0, 2605 2, 207 −0, 7754 2, 128 0, 5156 4, 118 −0, 7894 4, 213
2, 194 −3, 282 0, 7169 −2, 686 3, 855 2, 556 0, 9712 2, 901
1, 213 3, 125 2, 888 1, 957 1, 706 −1, 459 4, 183 −1, 888
−3, 594 −2, 1412 2, 370 −0, 4322 −3, 934 1, 133 4, 917 2, 818
−1, 445 5, 826 −0, 142 −4, 274 −0, 055 0, 908 0, 737 0, 604
−1, 802 −0, 934 −3, 830 0, 569 1, 981 1, 629 6, 077 −3, ,400
4, 772 1, 058 −2, 174 −0, 341 −2, 781 −3, 319 4, 392 4, 828
−4, 368 0, 727 −0, 464 0, 483 3, 956 −4, 407 −1, 205 5, 344
Las formas modales proporcionan una indicaci´on de la naturaleza geom´etrica de los modos naturales en los cuales la estructura oscila de forma superpuesta entre todos los modos presentes. Como tales, los n´ umeros en la Tabla 10.2 no son en nada indicativos de los valores de amplitud; en cambio, ´estos son valores relativos del movimiento de cada nodo. Es m´as provechoso examinar gr´aficas de las formas modales; es decir, bosquejos de la estructura que muestren de hecho la forma en la cual la estructura oscila en uno cualquiera de sus modos naturales mediante la representaci´on de las amplitudes relativas de los desplazamientos nodales en el modo de vibraci´on que es de inter´es. Con este fin, presentamos la forma correspondiente al modo fundamental de vibraci´on (primer modo) en la Figura 10.21(a). Notemos que en este modo fundamental, la cercha vibra como una viga en voladizo en referencia a los nodos restringidos. Por otro lado, la Figura 10.21(b) ilustra la forma modal para el modo secundario de oscilaci´on. En el segundo modo, la estructura exhibe un movimiento de tipo antisim´etrico en el cual las “mitades” de la estructura se mueven en direcciones opuestas entre si. El examen de los otros modos de vibraci´ on revela diferencias adicionales en las formas modales. Notando que la Tabla 10.2 es, de hecho, la matriz modal; resulta relativamente simple verificar el cumplimiento de las relaciones de ortogonalidad de las formas modales realizando multiplicaciones matriciales para las relaciones: [ A ]T [ Ma ][ A ] = [ I ] [ A ]T [ Ka ][ A ] = [ ω 2 ] Con razonable exactitud num´erica, las relaciones indicadas anteriormente se cumplen para este ejemplo. Dejamos los detalles de verificaci´ on como ejercicio para el lector. >
´ 10.12. CONSIDERACIONES PRACTICAS
(a) Modo fundamental o primero
395
(b) Segundo modo de vibraci´ on
Figura 10.21: Formas modales para la cercha del Ejemplo 10.10.
10.12.
Consideraciones pr´ acticas
El problema mayor inherente al an´alisis estructural din´amico es el consumo de tiempo y la cantidad costosa de c´ omputo requerido. En una t´ecnica de diferencias finitas, como aquella representada por la Ecuaci´ on (10.127), el sistema de ecuaciones debe resolverse a cada paso de tiempo secuencial sobre el intervalo de tiempo total de inter´es. Para la convergencia, el paso de tiempo generalmente es bastante peque˜ no, de modo que la cantidad de c´omputo requerida es grande. En el an´alisis modal, la dificultad est´a presente en el c´ alculo de frecuencias naturales y los vectores de amplitud modal asociados. Como los modelos pr´ acticos de elemento finito pueden contener muchos miles de grados de libertad, el tiempo gastado en calcular todas las frecuencias y formas modales es prohibitivo. Afortunadamente, para obtener aproximaciones razonables de respuesta din´amica, raramente es necesario resolver el problema completo de auto–valores. Dos argumentos pr´acticos est´an debajo de la declaraci´on precedente. Primero, las frecuencias estimadas de menor valor en magnitud y las formas modales correspondientes son las m´as importantes en la descripci´ on de la conducta estructural. Esto es porque las frecuencias estimadas superiores representan m´ as a menudo la vibraci´on de elementos individuales y no contribuyen significativamente en conjunto a la respuesta estructural. Segundo, cuando las estructuras se sujetan a funciones impelentes dependientes del tiempo, el rango de las frecuencias forzadas es razonablemente predecible. Por consiguiente, s´ olo las frecuencias naturales del sistema alrededor de ese rango son de preocupaci´ on al examinar las posibilidades de resonancia que pudieran presentarse. Basado en estos argumentos, se han desarrollado muchas t´ecnicas que permiten el c´alculo (aproximadamente) de un subconjunto de frecuencias naturales y formas modales de un sistema estructural modelado por elementos finitos. Aunque una discusi´on completa de los detalles est´a m´as all´a del alcance de este texto, la siguiente discusi´on explica las premisas b´asicas (v´ease K. J. Bathe [27] para una descripci´ on muy buena y rigurosa de las varias t´ecnicas existentes). Usando nuestra notaci´on, el problema de auto–valores que debe ser resuelto para obtener las frecuencias naturales y las formas modales es escrito como [ K ]{A} = ω 2 [ M ]{A} (10.139) El problema representado por la Ecuaci´on (10.139) es reducido en su complejidad por un procedimiento de condensaci´ on est´ atica (o, m´as a menudo, por reducci´ on de Guyan [31]) usando la hip´otesis que toda la masa estructural puede concentrarse en algunos grados de libertad espec´ıficos, sin afectar significativamente a las frecuencias y las formas modales de inter´es. Usando el sub´ındice ‘a’ (activo) para representar los grados de libertad de inter´es, y el sub´ındice ‘p’ (pasivo) para denotar todos los otros grados de libertad; la Ecuaci´ on (10.139) puede ser particionada en la forma siguiente [ Kaa ] [ Kap ] {Aa } [ M ] [ 0 ] {A } a aa = ω2 (10.140) [ Kpa ] [ Kpp ] {Ap } [ 0 ] [ 0 ] {Ap }
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
396
En la Ecuaci´ on (10.140), [ Maa ] es una matriz diagonal, ya que la masa se ha concentrado en los grados de libertad de inter´es. Los grados de libertad pasivos son s´olo as´ı considerados en el sentido que nosotros asignamos masa de valor nulo a esos desplazamientos. La ecuaci´on que proviene de la parte inferior de la partici´ on de la Ecuaci´ on (10.140) es [ Kpa ] {Aa } + [ Kpp ] {Ap } = {0}
(10.141)
y esta ecuaci´on puede resolverse como {Ap } = −[ Kpp ]−1 [ Kpa ]{Aa }
(10.142)
para eliminar a los grados de libertad pasivos reunidos en {Ap }. Substituyendo la ecuaci´on anterior en la ecuaci´on resultante del desarrollo de la parte superior de la partici´on indicada en la Ecuaci´on (10.140), obtenemos ( [ Kaa ] − [ Kap ][ Kpp ]−1 [ Kpa ] ){Aa } = ω 2 [ Maa ]{Aa }
(10.143)
como el problema reducido de auto–valores. Notemos que todos los coeficientes de la matriz de rigidez original se retienen, pero no aqu´ellos coeficientes de la matriz de masa. Otra manera de decir esto es que la matriz de rigidez es exacta, pero la matriz de masa es aproximada. La parte dif´ıcil de este procedimiento de reducci´on radica en la selecci´on de los grados de libertad a ser retenidos y asociados con los coeficientes de masa concentrada. Afortunadamente, los sistemas de software de elemento finito tienen tal selecci´on construida en el programa computacional interno mismo. El generalmente s´ olo tiene la necesidad de especificar el n´ umero de grados de libertad a ser retenido, y el software selecciona esos grados de libertad basado en las proporciones m´as peque˜ nas de los coeficientes que se ubican en la diagonal principal de las matrices de rigidez y masa. Otros algoritmos son utilizados si el est´ a interesado en obtener los modos din´amicos dentro de una frecuencia espec´ıfica. En cualquier caso, los grados de libertad que se retienen para el an´alisis son llamados a menudo grados de libertad din´ amicos o grados de libertad maestros. Esta discusi´ on tiene significado como informaci´on general y no se representa un m´etodo directo y r´apido para reducir y resolver problemas de auto–valores. De hecho, la referencia a la Ecuaci´on (10.142) muestra que el procedimiento requiere hallar la inversa de una matriz grande para lograr la reducci´on. No obstante ello, se han desarrollado variadas t´ecnicas alrededor de la idea general de la reducci´on ´ matricial. Estas incluyen: iteraci´ on de subespacio [28] y el m´etodo de Lanczos [7]. El de un particular sistema de software de an´ alisis de elemento finito debe familiarizarse con las varias opciones presentadas por el an´ alisis din´ amico, como tambi´en con los m´ ultiples esquemas computacionales que est´an disponibles, dependiendo del tama˜ no del modelo y las necesidades del .
10.13.
Resumen
En ´este Cap´ıtulo se introduce la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a la din´amica estructural en el contexto general de sistemas lineales. Las ideas b´asicas de frecuencia natural y formas modales son introducidas usando sistemas discretos masa–resorte y sistemas cont´ınuos mediante los elementos estructurales generales. Se d´ a ´enfasis al uso de los modos naturales de vibraci´on para resolver problemas m´as generales de vibraci´ on forzada. Adem´ as, se desarrolla el m´etodo de Newmark de diferencias finitas para resolver la respuesta transitoria de sistemas vibratorios debida a funciones generales de solicitaci´on variable en el tiempo. El cap´ıtulo s´ olo tiene pretenci´on de ser una simple introducci´on general a la din´amica estructural. De hecho, muchos textos especializados de an´alisis din´amico mediante elementos finitos est´an en su redacci´ on completamente consagrados al tema aqu´ı presentado de manera muy concisa.
Problemas propuestos
397
Problemas propuestos 10.1. Verifique por sustituci´ on directa que la Ecuaci´on (10.4) es la soluci´on general de la Ecuaci´ on (10.3). 10.2. Un oscilador arm´ onico simple tiene m = 3 kg, k = 5 N/mm. La masa recibe un impacto tal que la velocidad inicial es 5 mm/seg y el desplazamiento inicial es cero. Calcule la vibraci´on libre resultante para un instante gen´erico posterior. 10.3. La deflexi´ on de equilibrio est´atico de un sistema masa–resorte como el de la Figura 10.1 se mide y resulta ser 1.4 cm. Calcule la frecuencia natural circular, la frecuencia c´ıclica, y el per´ıodo de las vibraciones libres. 10.4. Mostrar que la amplitud de la respuesta forzada, dada por la Ecuaci´on (10.25), se puede expresar como X0 U= r 6= 1 1 − r2 donde X0 = F0 /k es la deflexi´ on est´ atica equivalente y r = ω/ωf es la relaci´ on de frecuencias. 10.5. Determine la soluci´ on a la Ecuaci´on (10.24) para el caso ωf = ω. Note que, para esta condici´on, la Ecuaci´ on (10.26) no es la soluci´on correcta. 10.6. Combine las Ecuaciones (10.4) y (10.26) para obtener la respuesta completa o total de oscilador arm´ onico simple, incluyendo ambos t´erminos: libre y forzado. Mostrar que para condiciones iniciales dadas como: x(t = 0) = x0 y x(t ˙ = 0) = υ0 , la respuesta total del sistema es x(t) =
υ0 X0 sin ωt + x0 cos ωt + ( sin ωf t − r sin ωt ) ω 1 − r2
con X0 y r como fueron definidos en el Problema 10.4. 10.7. Use el resultado del Problema 10.6 con x0 = υ0 = 0, r = 0,95, X0 = 2, ωf = 10 rad/seg y trazar la respuesta completa x(t) para algunos ciclos de movimiento. 10.8. Para el problema planteado en el Ejemplo 10.2, qu´e condiciones iniciales se requerir´ıan para que el sistema se mueva: (a) en el modo fundamental solamente ´o (b) s´olo en el segundo modo de vibraci´ on?. 10.9. Usando los datos y la soluci´ on del Ejemplo 10.2, normalice la matriz modal por el procedimiento desarrollado en la Secci´ on 10.7 y verificar que las ecuaciones diferenciales son desacopladas por el procedimiento, al ser ´este aplicado. 10.10. Usando la soluci´ on de dos–elementos dada en el Ejemplo 10.4, determine los vectores de amplitud modales. Normalice estos vectores hallados y muestre que el producto matricial [ A ]T [ M ][ A ] es la matriz identidad o unitaria. 10.11. El sistema de 2 grados–de–libertad mostrado en la Figura 10.5 est´a sujeto a una fuerza externa F2 = 10 sin 8t lb aplicada en el nodo 2 y a otra fuerza externa F3 = 6 sin 4t lb aplicada al nodo 3. Use la matriz modal normalizada para desacoplar las ecuaciones diferenciales y resolver el sistema desacoplado para hallar la respuesta forzada de los desplazamientos nodales. Use los datos num´ericos del Ejemplo 10.2. 10.12. Resuelva el problema del Ejemplo 10.4 usando dos elementos barra de igual longitud, exceptuando que las matrices de masa son concentradas; es decir, tome las matrices de masa de elemento
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
398
como el arreglo siguiente (1)
[m
(2)
] = [m
ρAL 1 ]= 0 4
0 1
C´omo las frecuencias naturales calculadas ahora se comparan con aquellas obtenidas utilizando matrices de masa consistentes en el modelo ?. 10.13. Obtenga una soluci´ on refinada para el Ejemplo 10.4 usando tres elementos de igual longitud y matrices de masa de par´ ametros concentrados. C´omo se comparan las frecuencias de oscilaci´on con la soluci´ on de dos–elementos ?. 10.14. Considerado los grados de libertad rotacionales involucrados en un elemento viga, c´omo se definir´ıa una matriz de masa concentrada para un elemento viga con ´estas caracter´ısticas?. 10.15. Verificar por integraci´ on directa la exactitud de los coeficientes de la matriz de masa consistente para el elemento viga, presentada por la Ecuaci´on (10.63). 10.16. Verificar usando integraci´ on num´erica Gaussiana, el resultado de la matriz de masa del Ejemplo 10.6. 10.17. Mostrar que, dentro de la exactitud del c´alculo num´erico efectuado, la suma de todos los coeficientes en la matriz de masa de elemento rectangular en el Ejemplo 10.6 es dos veces la masa total del elemento. Por qu´e ?. 10.18. Cuales son los valores de los coeficientes de una matriz de masa de par´ametros concentrados para el elemento del Ejemplo 10.6 ?. 10.19. Asumir que las ecuaciones de respuesta din´amica para un elemento finito han sido desacopladas y se dan por la Ecuaci´ on (10.94), pero las fuerzas externas no son senoidales. C´omo resolver´ıa usted las ecuaciones diferenciales para una funci´on o funciones de solicitaci´on general ?. 10.20. Proporcionados los datos de la soluci´on del Ejemplo 10.7, asumir que el sistema se cambia para incluir amortiguamiento, de modo que la matriz del sistema que representa este efecto (despu´es de imponer la condici´ on u1 = 0) est´ a dada por 2c −c 0 [ C ] = −c 2c −c 0 −c c Mostrar que el producto matricial: [ A ]T [ C ][ A ] no produce una matriz diagonal. 10.21. Realizar las multiplicaciones de matrices indicada en la Ecuaci´on (10.137) para verificar el resultado mostrado por la Ecuaci´ on (10.138). 10.22. Para la cercha analizada en el Ejemplo 10.10, reformular la matriz de masa del sistema usando matrices de masa de elemento que sean de par´ametros concentrados. Resu´elva nuevamente el problema para hallar las frecuencias y formas modales asociadas usando el software de elemento finito disponible para usted; si el paquete tiene disponible la matriz de masa concentrada como una opci´ on (la mayor´ıa del software de elemento finito incluye esta opci´on). 10.23. Si usted formalmente aplica un procedimiento de reducci´on como fu´e mostrado en la Secci´on 10.12, qu´e grados de libertad ser´ıan importantes retener si, digamos, nosotros deseamos calcular s´ olamente cuatro de las ocho frecuencias naturales circulares ?. 10.24. La viga simplemente apoyada mostrada en la Figura P10.24, tiene longitud y m´odulo de rigidez a la flexi´ on EI de magnitud conocidas. Esta estructura es solicitada din´amicamente mediante
Problemas propuestos
399
una carga linealmente distribu´ıda de intensidad constante, la cual var´ıa en el tiempo seg´ un forma senoidal, donde la amplitud q0 y la frecuencia ωf son par´ametros de magnitudes constantes especificadas. Determinar la respuesta temporal de la viga en estado de vibraci´on inducida por la carga din´ amica aplicada. Le sugerimos que utilice un modelo de dos elementos finitos de longitud id´entica. y
q0 sin ft
x
EI
L
Figura P10.24 10.25. Aplique el procedimiento de reducci´on desarrollado en la Secci´on 10.12, desechando las rotaciones en los extremos de la viga del Problema anterior, y calcule nuevamente las frecuencias naturales circulares asociadas al sistema en su movimiento de vibraci´on libre. Que conclusiones puede usted obtener de la comparaci´on de los resultados obtenidos, con aquellos que fueron calculados en el problema anterior ?.
A
Apéndice ´ Temas de ´ adelgebra lineal Temas Algebra Lineal
El ´algebra matricial representa operaciones matem´aticas realizadas sobre un grupo de cantidades num´ericas o algebr´ aicas en un modo que un solo s´ımbolo es suficiente para denotar al grupo completo, el cual posee los elementos que lo componen ordenados en filas y columnas. Estos grupos son representados por matrices, las cuales pueden ser concebidas como un tipo condensado de notaci´on para dicho ordenamiento. Cuando el ´ algebra matricial es usado en el m´etodo de elemento finito, las propiedades organizativas de las matrices permiten una compilaci´on sistem´atica de los datos requeridos, y el an´alisis en s´ı mismo puede entonces ser definido como una secuencia de operaciones matriciales; las cuales pueden ser programadas dir´ectamente en un computador digital. As´ı, el uso pr´ actico de los m´etodos computacionales de c´alculo num´erico aplicados al an´alisis de comportamiento fenomenol´ ogico de un sistema el cual se discretiza en sub–unidades muy peque˜ nas (elementos finitos) est´ a basado en el ´algebra matricial; a causa de que es solamente en una forma matricial que los procesos de formulaci´ on y soluci´on pueden ser expresados de manera concisa y comp´acta (adem´as de elegante!). En este ap´endice presentamos solo algunos temas particulares del ´algebra lineal que ser´an necesarios para comprender los procedimientos de an´alisis discutidos en Cap´ıtulos anteriores, o para expandir algunos t´ opicos que requieren de cierta explicaci´on adicional de algunos aspectos matem´aticos que en el desarrollo terico previamente efectuado no fueron tratados con profundidad. Desde un punto de vista estr´ıctamente pr´ actico, el algebra matricial es esencialmente una herramienta efectiva con la cual se puede manipular grandes series de datos num´ericos. Asumo que el lector posee conocimiento previo de ´algebra lineal y teor´ıa matricial, por lo que ´este Ap´endice tiene como objetivo simplemente recordar aquellos conceptos m´as u ´tiles en la elaboraci´on de la teor´ıa matem´ atica asociada con la formulaci´on eminentemente matricial del m´etodo de elemento finito. La mayor virtud que posee una formulaci´on te´orica que es elaborada simb´olicamente haciendo uso del ´ algebra matricial es que las ecuaciones condensadas mediante este procedimiento son extremadamente concisas. A esta enorme ventaja debemos a˜ nadir otra no menos importante, y es que por el hecho de trabajar mediante arreglos de cantidades num´ericas escrupulosamente ordenados, las 401
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
402
operaciones entre estas entidades tambi´en tienen la virtud de ser asimismo extremadamente concisas cuando son convertidas en algoritmos matem´aticos que pueden ser escritos en alg´ un lenguaje apropiado de computador para generar un programa autom´atico de ejecuci´on, apelando a la notaci´on indicial que impl´ıcitamente est´ a contenida en la definici´on de las matrices.
A.1.
Def iniciones
La descripci´ on matem´ atica de muchos problemas f´ısicos se simplifica a menudo por el uso de arreglos rectangulares de cantidades escalares de la forma: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n (A.1) [A] = . .. .. .. .. . . . am1 am2 · · · amn Tal arreglo es conocido como una matriz, y los valores escalares que componen este arreglo en filas y columnas son los elementos de la matriz. La posici´on de cada elemento aij es identificado por el sub´ındice de la fila i y el sub´ındice de la columna j. Por estas consideraciones, se puede denotar a la matriz anterior de forma comp´ acta: [ A ] = [ aij ] (i = 1; m | j = 1; n). El n´ umero de filas y columnas determina el orden de una matriz. Una matriz teniendo m filas y n columnas se dice ser de orden “m por n” (normalmente denotada como m×n). Tambi´en se dice que tiene dimensi´ on m×n, y se escribe dim(m×n). Si el n´ umero de filas y columnas del arreglo de coeficientes es el mismo (n = m), la matriz es una matriz cuadrada y se dice que es de orden n; o alternativamente de dim(n). Una matriz que tiene s´olo una fila es llamada matriz f ila o vector f ila. Similarmente, una matriz con una sola columna es denominada matriz columna o vector columna. La dimensi´on de estos u ´ltimos arreglos es id´entico al n´ umero de coeficientes, t´erminos, o valores num´ericos individuales, que los mismos poseen. Si las filas y columnas de una matriz [ A ] se intercambian, la matriz resultante de tal operaci´on es conocida como la transpuesta de [ A ], denotada por [ A ]T . Para la matriz definida en la Ecuaci´on (A.1), su transpuesta asociada es: a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 [ A ]T = . (A.2) .. .. .. .. . . . a1n
a2n
··· T
y observamos que, si [ A ] es de orden m×n, entonces [ A ] [ A ] est´a dada por: 2 −1 [A] = 4 0
amn es de orden n×m. Por ejemplo, si la matriz
3 2
la transpuesta de la matriz [ A ] especificada anteriormente resulta ser: 2 4 [ A ]T = −1 0 3 2 A continuaci´ on se definen varios tipos especiales e importantes de matrices. Una matriz diagonal es un arreglo cuadrado compuesto de elementos tales que aij = 0, ∀i 6= j. Por consiguiente, los u ´nicos t´erminos no–nulos son aqu´ellos situados sobre la diagonal principal (l´ınea hipot´etica que v´a desde el v´ertice superior izquierdo hacia el v´ertice inferior derecho). Por ejemplo, 2 0 0 [ A ] = 0 −1 0 0 0 4
´ A.2. OPERACIONES ALGEBRAICAS
403
es una matriz diagonal. Una matriz identidad, llamada tambi´en matriz unitaria (denotada [ I ]) es una matriz diagonal en la que los valores de los t´erminos no–nulos son todos unitarios. De aqu´ı, 1 0 0 [ I ] = 0 1 0 0 0 1 es una matriz identidad de orden o dimensi´on 3. Una matriz nula (tambi´en conocida como matriz cero [ 0 ]) es una matriz de cualquier orden, en la que los valores de todos sus elementos son 0. Una matriz sim´etrica es una matriz cuadrada compuesta de elementos tales que los valores ubicados fuera de la diagonal principal son sim´etricos con respecto a dicha l´ınea hipot´etica. Matem´aticamente, la simetr´ıa se expresa como: aij = aji , ∀i 6= j. Por ejemplo, la matriz 2 −2 0 [ A ] = −2 4 −3 0 −3 1 es una matriz sim´etrica. Debe notarse que la transpuesta de una matriz sim´etrica es la misma que la matriz original; es decir que si [ A ] es matriz sim´etrica, para ella se cumple: [ A ] = [ A ]T . Una matriz sim´etrica oblicua es un arreglo cuadrado en el que los t´erminos diagonales aii tienen un valor de 0, y los coeficientes fuera de la diagonal principal tienen valores tales que aij = −aji . Un ejemplo de una matriz sim´etrica oblicua es 0 −2 3 0 4 [A] = 2 −3 −4 0 Para una matriz sim´etrica oblicua, observamos que la transpuesta se obtiene cambiando el signo algebr´aico de cada elemento de la matriz original.
A.2.
Operaciones algebr´ aicas
La adici´ on y substracci´ on de matrices puede ser definida solamente para matrices de id´entica dimensi´ on. Si [ A ] y [ B ] son ambas matrices de orden m×n, se dice que son conformables para las operaciones de suma y/o substracci´ on. La suma de dos matrices de dimensi´on m×n es una nueva matriz de la misma dimensi´ on, la cual tiene valores que son obtenidos sumando los elementos correspondientes de las matrices originales. Simb´ olicamente, la suma de matrices se expresa como [C ] = [A] + [B ] donde:
cij = aij + bij
i = 1; m
(A.3) j = 1; n
(A.3a)
La operaci´ on de substracci´ on matricial se define similarmente, s´olo que en lugar de sumar t´erminos se los sustrae. La adici´ on de matrices es una operaci´on que cumple las reglas de conmutatividad y asociatividad ; es decir, [A] + [B ] = [B ] + [A] (A.4) [ A ] + ([ B ] + [ C ]) = ([ A ] + [ B ]) + [ C ]
(A.5)
El producto de un valor escalar y una matriz, es una nueva matriz en la que cada elemento de la matriz original se multiplica por el escalar. Si un escalar u multiplica la matriz [ A ], entonces [B ] = u[A]
(A.6)
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
404
donde los elementos de [ B ] est´ an dados por: bij = u aij
i = 1; m
j = 1; n
(A.6a)
La multiplicaci´ on de matrices est´ a definida de manera tal que facilita la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales simult´ aneas. El producto de dos matrices [ A ] y [ B ] denotada como: [C ] = [A][B ]
(A.7)
existe solamente si el n´ umero de columnas en [ A ] es igual al n´ umero de filas en [ B ]. Si ´esta condici´on se satisface, se dice que las matrices son conformables para la multiplicaci´ on. Si [ A ] es de orden m×p y [ B ] es de orden p×n, la matriz producto [ C ] = [ A ] [ B ] es una matriz de dimensi´on m×n que tiene sus elementos definidos por p X cij = aik bkj (A.7a) k=1
Luego, cada elemento cij es la suma de los productos de los elementos en la i–´esima fila de [ A ] y los correspondiente elementos de la j–´esima columna de [ B ]. Cuando nos referimos a la matriz producto [ C ] = [ A ] [ B ], la matriz [ A ] es denominada premultiplicador y la matriz [ B ] postmultiplicador. En general, la multiplicaci´ on matricial no es conmutativa; esto es, [ A ] [ B ] 6= [ B ] [ A ]
(A.8)
La multiplicaci´ on matricial satisface las leyes asociativa y distributiva; por tanto, acorde con ello podemos escribir: [ A ] ([ B ] [ C ]) = ([ A ] [ B ]) [ C ] [ A ] ([ B ] + [ C ]) = [ A ] [ B ] + [ A ] [ C ] ([ A ] + [ B ]) [ C ] = [ A ] [ C ] + [ B ] [ C ]
(A.9)
Adem´as de ser no–commutativa, el ´ algebra de matrices difiere del ´algebra escalar de otras maneras diversas. Por ejemplo, la igualdad [ A ] [ B ] = [ A ] [ C ] no necesariamente implica que [ B ] = [ C ], desde que el sumar algebr´ aicamente est´ a involucrado en formar productos de la matriz. Como otro ejemplo, si el producto de dos matrices es nulo, es decir: [ A ] [ B ] = [ 0 ], el resultado no necesariamente implica que cualquiera [ A ] ´ o [ B ] sea una matriz nula.
A.3.
Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que es u ´nico para una matriz dada. El determinante de una matriz n×n es representado smb´olicamente como a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det[ A ] = | A | = . (A.10) .. .. .. .. . . . an1 an2 · · · ann y es evaluado acorde a un procedimiento completamente espec´ıfico. Primero, consideremos una matriz de dimensi´on 2×2 a11 a12 [A] = (A.11) a21 a22 para la cual el determinante es definido como a11 a12 ≡ a11 a22 − a12 a21 |A| = a21 a22
(A.12)
´ MATRICIAL A.4. INVERSION
405
Dada la definici´ on de la Ecuaci´ on (A.12), el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden puede ser ahora determinado. A continuaci´ on, consideremos una matriz de dimensi´on 3×3, para la cual el determinante a11 a12 a13 (A.13) | A | = a21 a22 a23 a31 a32 a33 est´a definido por la relaci´ on siguiente: | A | ≡ a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a11 (a21 a32 − a22 a31 )
(A.14)
Notamos que las expresiones entre par´entesis de la ecuaci´on anterior, son los determinantes de sub– matrices de segundo orden obtenidas eliminando la primera fila y la primera, segunda, y tercera columnas; respectivamente. Estos son conocidos como los menores asociados con el determinante original. Un menor de un determinante es otro determinante formado removiendo un igual n´ umero de filas y columnas desde el determinante original. El menor obtenido eliminando la fila i y la columna j es denotado | Mij |. Usando esta notaci´on, la Ecuaci´on (A.14) podr´ıa escribirse | A | = a11 | M11 | − a12 | M12 | + a13 | M13 |
(A.15)
y se dice que el determinante ha sido expandido en t´erminos de los cofactores de la primera fila. Los cofactores de un elemento aij son obtenidos aplicando el apropiado signo algebr´aico al menor | Mij | como sigue: Si la suma del n´ umero de fila i y el n´ umero de columna j es par, el signo del cofactor es positivo; pero, si i + j es impar, el signo del cofactor es negativo. Denotando el cofactor como Cij , podemos escribir Cij = (−1)i+j | Mij | (A.16) As´ı, el determinante dado en la Ecuaci´on (A.15) puede ser expresado en t´erminos de los cofactores como | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 (A.17) El determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden puede ser obtenido expandiendo el determinante en t´erminos de los cofactores de cualquier fila i acorde con |A| =
n X
aij Cij
(A.18)
aij Cij
(A.19)
j=1
´o cualquier columna j como |A| =
n X i=1
La aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (A.18) ´o (A.19) requiere que los cofactores Cij sean tambi´en expandidos hasta el punto que todos los menores sean de orden 2 y puedan ser evaluados por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (A.12).
A.4.
Inversi´ on matricial
La inversa de una matriz cuadrada [ A ] es una matriz de dimensi´on id´entica denotada por [ A ]−1 y satiface la condici´ on [ A ]−1 [ A ] = [ A ] [ A ]−1 = [ I ] (A.20) esto es, el producto de una matriz cuadrada y su inversa d´a como resultado la matriz identidad de la misma dimensi´ on que la matriz involucrada en el proceso de inversi´on matricial. El concepto de
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
406
inversa de una matriz es de importancia primordial en la soluci´on de ecuaciones lineales simult´aneas por m´etodos matriciales. Consideremos el sistema algebr´aico siguiente: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = y1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = y2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = y3
(A.21)
que puede ser escrito en forma matricial comp´acta como
donde:
[ A ]{x} = {y} a11 a12 a13 [ A ] = a21 a22 a23 a31 a32 a33
(A.22) (A.22a)
es denominada matriz de coef icientes del sistema, x1 {x} = x2 x3 es la matriz (vector) columna de valores inc´ognita, y y1 {y} = y2 y3
(A.22b)
(A.22c)
es la matriz (vector) columna de valores independientes conocidos (“perturbaci´on aplicada”). Si la inversa de la matriz [ A ] puede ser determinada, podemos pre–multiplicar ambos lados de la Ecuaci´on (A.22) por la inversa para obtener [ A ]−1 [ A ]{x} = [ A ]−1 {y} Notando que
(A.23)
[ A ]−1 [ A ]{x} = ([ A ]−1 [ A ]){x} = [ I ]{x} = {x}
la soluci´on para las ecuaciones simult´ aneas es dada por la Ecuaci´on (A.23) dir´ectamente como {x} = [ A ]−1 {y}
(A.24)
Mientras que ´este desarrollo fu´e presentado en el contexto de un sistema de tres ecuaciones, el resultado de soluci´on obtenido, descrito resumidamente por la Ecuaci´on (A.24), es aplicable a cualquier n´ umero de ecuaciones algebr´ aicas simult´ aneas, y da soluci´on u ´nica para el sistema de ecuaciones. La inversa de la matriz [ A ] puede ser determinada en t´erminos de sus cofactores y su determinante, como sigue a continuaci´ on: Sea la matriz de cofactores [ C ] aquel arreglo cuadrado que tiene como elementos a los cofactores definidos en la Ecuaci´on (A.16), es decir [ C ] = [ Cij ]. La adjunta de [ A ] se define como adj[ A ] = [ C ]T (A.25) La inversa de la matriz [ A ] es luego dada formalmente por [ A ]−1 =
adj[ A ] |A|
(A.26)
Si el determinante de [ A ] es 0, la Ecuaci´ on (A.26) precedente muestra que la inversa no existe. En este caso, se dice que la matriz es singular (que no posee inversa), y la Ecuaci´on(A.24) no provee una soluci´on para el sistema de ecuaciones. La singularidad de la matriz de coeficientes indica una de las
´ MATRICIAL A.5. PARTICION
407
dos posibilidades: (1) no existe soluci´on, o (2) existen soluciones m´ ultiples (no–´ unica). En el u ´ltimo caso, las ecuaciones algebr´ aicas no son linealmente independientes. El c´ alculo de la inversa de una matriz por la Ecuaci´on (A.26) es embarazoso y no muy pr´actico. Afortunadamente, existen t´ecnicas mucho m´as eficaces. Una de ellas es el m´etodo de reducci´on de Gauss–Jordan, que se ilustra usando una matriz de dimensi´on 2×2. La esencia del m´etodo de Gauss–Jordan es realizar operaciones simples con filas y columnas de la matriz de coeficientes, de tal modo que la matriz sea reducida a una matriz identidad. La secuencia de operaciones requeridas para lograr esta reducci´on producen la inversa. Si nosotros dividimos la primera fila por a11 , la operaci´ on es la misma que la multiplicaci´on a12 1 1 0 a11 a12 a11 [B1 ][ A ] = a11 = a21 a22 a21 a22 0 1 A continuaci´ on, multiplicamos la primera fila por a21 y sustraemos de la segunda fila, lo cual es equivalente a la multiplicaci´ on matricial [B2 ][B1 ][ A ] =
1 −a21
0 1 1 a21
a12 a12 1 1 a21 a11 = = a12 0 a22 − a21 a22 0 a11
a12 a11 | A | a11
Multiplicando la segunda fila por a11 /| A |: 1 [B3 ][B2 ][B1 ][ A ] = 0
1 a11 0 |A| 0
a12 1 a11 = | A | 0 a11
a12 a11 1
Finalmente, multiplicando la segunda fila por a12 /a11 y sustrayendo de la primera fila: a12 a12 1 1 − a11 a11 = 1 0 = [ I ] [B4 ][B3 ][B2 ][B1 ][ A ] = 0 1 0 1 0 1 Considerando la Ecuaci´ on (A.20), vemos que [ A ]−1 = [B4 ][B3 ][B2 ][B1 ] Si efectuamos las multiplicaciones que se establecen en esta u ´ltima relaci´on, se demuestra que el resultado obtenido es 1 a22 −a12 [ A ]−1 = −a a11 |A| 21 Esta aplicaci´ on del procedimiento de inversi´on matricial de Gauss–Jordan puede aparecer absolutamente tediosa, pero el procedimiento es muy efectivo cuando este algoritmo es convertido en un programa inform´atico de implementaci´ on computarizada.
A.5.
Partici´ on matricial
Cualquier matriz puede ser sub–dividida o particionada en un determinado n´ umero de sub–matrices de menor orden que la original. El concepto de particionamiento matricial es m´as u ´til en reducir el tama˜ no de un sistema de ecuaciones y resolverlo para valores especificados de una sub–serie de las
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
408
variables dependientes. Consideremos un sistema de n ecuaciones algebr´aicas lineales simult´aneas, las que gobiernan el comportamiento de n variables inc´ognita xi expresadas en forma matricial como [ A ]{X} = {F }
(A.27)
en la cual deseamos eliminar las primeras p inc´ognitas. La ecuaci´on matricial puede ser escrita en forma particionada como [ A11 ] [ A12 ] {X1 } {F1 } = (A.28) [ A21 ] [ A22 ] {X2 } {F2 } donde el orden de las sub–matrices es como sigue dim[ A11 ] = p×p dim[ A12 ] = p×(n − p) dim[ A21 ] = (n − p)×p dim[ A22 ] = (n − p)×(n − p) dim{X1 }, {F1 } = p×1 dim{X2 }, {F2 } = (n − p)×1
(A.29)
La serie completa de ecuaciones puede ser ahora escrita en t´erminos de la partici´on matricial efectuada como [ A11 ] {X1 } + [ A12 ] {X2 } = {F1 } [ A21 ] {X1 } + [ A22 ] {X2 } = {F2 }
(A.30)
Las primeras p ecuaciones (la partici´ on superior) se resuelven como {X1 } = [ A11 ]−1 ({F1 } − [ A12 ] {X2 })
(A.31)
(asumiendo impl´ıcitamente que la inversa de la matriz [ A11 ] existe). La sustituci´on de ´esta soluci´on obtenida en las restantes n − p ecuaciones (la partici´on inferior), d´a como resultado la relaci´on ([ A22 ] − [ A21 ][ A11 ]−1 [ A12 ]) {X2 } = {F2 } − [ A21 ][ A11 ]−1 {F1 }
(A.32)
La Ecuaci´on (A.32) es la serie reducida de n − p ecuaciones algebr´aicas que representan al sistema original y contienen todos los efectos de las primeras p ecuaciones que fueron eliminadas. En el contexto del an´alisis de elemento finito, este procedimiento es referido como condensaci´ on est´ atica. Como otra aplicaci´ on (com´ unmente encontrada en el an´alisis por elemento finito), consideramos el caso en el que los valores particionados {X1 } son conocidos pero los correspondientes valores de la partici´on del lado–derecho {F1 } son desconocidos. En esta clase de ocurrencia, las ecuaciones particionadas inferiores se resuelven dir´ectamente para {X2 } obteni´endose {X2 } = [ A22 ]−1 ({F2 } − [ A21 ]{X1 })
(A.33)
Los valores desconocidos de {F1 } pueden ser calculados dir´ectamente usando las ecuaciones de la partici´on superior.
Apéndice
B
Ecuaciones de elasticidad
El an´ alisis de comportamiento est´atico de un cuerpo s´olido deformable considerado como una entidad u ´nica es efectuada mediante aplicaci´on de las conocidas ecuaciones de equilibrio. Pero, adicionalmente debe tambi´en indagarse el comportamiento de car´acter interno que posee la materia contenida en el interior del volumen espacial ocupado por el mismo. As´ı, para establecer una determinaci´on anal´ıtica de la distribuci´on de tensiones y deformaciones (est´aticas o din´ amicas) en una estructura bajo solicitaci´on externa prescrita, debemos obtener una soluci´on a los principios b´ asicos de la teor´ıa de elasticidad; satisfaciendo las condiciones de contorno impuestas sobre fuerzas y/o desplazamientos. Similarmente, en los m´etodos matriciales de an´alisis en mec´anica de s´ olidos, debemos tambi´en utilizar los mismos principios traducidos en ecuaciones b´asicas de la elasticidad. Estos principios fundamentales son mencionados a continuaci´on, con el n´ umero de ecuaciones que proporcionan (mostrados entre par´entesis) para una estructura general tri–dimensional: ecuaciones de deformaci´ on–desplazamientos ecuaciones de tensi´ on–deformaci´on ecuaciones de equilibrio (o movimiento)
(6) (6) (3)
Luego, existen quince ecuaciones disponibles para obtener soluciones para quince variables desconocidas, tres desplazamientos, seis tensiones, y seis deformaciones. Para problemas bi–dimensionales tenemos ocho ecuaciones con dos desplazamientos, tres tensiones, y tres deformaciones. Pueden formularse ecuaciones adicionales pertinentes a la continuidad de deformaciones y desplazamientos (ecuaciones de compatibilidad) y tambi´en referentes a condiciones de borde sobre fuerzas y/o desplazamientos. Con el objetivo de proveer una r´apida referencia para el desarrollo de la teor´ıa general del m´etodo de elemento finito aplicado a la mec´anica del s´olido deformable, todas las ecuaciones b´asicas de la teor´ıa de elasticidad necesarias son resumidas en este Ap´endice; y cuando sea conveniente, ellas son tambi´en presentadas en forma matricial. Aqu´ı solamente presentamos las ecuaciones estrictamente necesarias que fueron utilizadas en Cap´ıtulos previos, sin entrar en mayores detalles de su deducci´on y su significado f´ısico en el contexto de la teor´ıa de la mec´ anica del medio cont´ınuo s´olido deformable. Si el contenido de ´este Ap´endice le resulta insuficiente a usted para comprender ciertos conceptos que fueron elaborados, apoyados en las 409
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
410
ecuaciones aqu´ı presentadas, le recomiendo la consulta de cualquier libro que trate acerca de la teor´ıa cl´asica de elasticidad.
B.1.
Relaciones desplazamiento–deformaci´ on
En general, el concepto de deformaci´ on normal se introduce y define en el contexto del ensayo de tracci´on uniaxial, cuando un cuerpo largo, prism´atico, homog´eneo, de seccci´on transversal constante, se solicita axialmente mediante dos fuerzas aplicadas en sus extremos. La longitud elongada (deformada) L de una porci´ on del esp´ecimen que est´ a siendo testeado (llamado tambi´en probeta de ensayo de tracci´on), que inicialmente tiene longitud original indeformada L0 , es medida y la correspondiente deformaci´on normal unitaria est´ a definida mediante la relaci´on simple =
∆L L − L0 = L0 L0
(B.1)
la cual es simplemente interpretada como el “cambio en longitud, por unidad de longitud original” o defomaci´on producida comparada con la longitud original; y se observa que ´esta es una cantidad adimensional (carente de dimensiones). Similarmente, la idea de deformaci´ on cortante unitaria es a menudo introducida en t´erminos de una prueba de torsi´ on simple de una varilla que tiene una secci´on transversal circular. En cada caso, la geometr´ıa y las condiciones de carga del elemento de prueba se dise˜ nan para producir un estado simple y uniforme de tensi´ on, dominado por una componente mayor que genere el efecto deseado. En estructuras reales sujetas a cargas que operan de manera rutinaria, la deformaci´on no es generalmente uniforme ni limitada a una sola componente (se presenta un estado de deformaciones combinado). En cambio, la deformaci´ on var´ıa a lo largo de la geometr´ıa y puede describirse en base a seis componentes independientes, incluyendo ambos tipos de ellas: deformaci´on normal y tangencial o cortante. Por consiguiente, estamos obligados a examinar las definiciones apropiadas de la deformaci´on en un punto. Para el caso general, denotamos como u = u(x, y, z), υ = υ(x, y, z), y w = w(x, y, z) a los desplazamientos seg´ un las direcciones coordenadas x, y, y z, respectivamente. (Los desplazamientos tambi´en pueden variar con el tiempo; pero, por ahora, nosotros s´olo consideraremos el caso est´atico). Pero, previamente al desarrollo espec´ıfico que pretendemos de la deformaci´on, mencionaremos un importante teorema del an´ alisis funcional, el cual lo utilizaremos para evaluar los desplazamientos. Si Ψ = Ψ(x, y, z) es una funci´ on cont´ınua definida en cierto dominio espacial; la variaci´on infinitesimal de la misma cuando pasamos del punto P (x, y, x) a otro aleda˜ no P 0 (x+dx, y, z) efectuando un corrimiento infinitesimal (desplazamiento) dx desde el punto original hacia el punto final; debe ser una cantidad infinitesimal tambi´en, la cual puede obtenerse por expansi´on en serie de potencias de Taylor alrededor del punto referencial de la manera siguiente: Ψ(x + dx, y, z) = Ψ(x, y, z) + dΨ
= Ψ(x, y, z) + dx
1 ∂2Ψ 2 1 ∂3Ψ 3 1 ∂Ψ dx + dx + dx + · · · · · · 1! ∂x 2! ∂x2 3! ∂x3
Debido a que la magnitud del desplazamiento involucrado es de car´acter infinitesimal, resulta que los t´ orden superior erminos de al segundo del lado derecho de la ecuaci´on son de magnitud despreciable dx dx2 dx3 on anterior puede ser aproximada por la relaci´on m´as 1! 2! 3! · · · . Por tanto, la ecuaci´ sencilla: ∂Ψ(x, y, z) Ψ(x + dx, y, z) ∼ dx (B.2) = Ψ(x, y, z) + ∂x Bas´andonos en esta breve deducci´ on, relaciones similares pueden escribirse para las variaciones infinitesimales de la funci´ on Ψ(x, y, z) seg´ un las otras direcciones espaciales. La Figura B.1(a) muestra un elemento infinitesimal que tiene longitud de aristas indeformadas dx, dy, dz localizado en un punto arbitrario (x, y, z) en el interior de un cuerpo s´olido. Por simplicidad,
´ B.1. RELACIONES DESPLAZAMIENTO–DEFORMACION
411 dx dx
x
x P
dy
Q
P
P
Q
Q
dz dx
y z
u
x
(a) Solicitaci´ on normal
u u dx x
(b) Deformaci´ on normal
xy
u y
C
C
dy xy B
y z
dz dx
A
A
x
B
(c) Solicitaci´ on tangencial
x
(d) Deformaci´ on tangencial
Figura B.1: Deformaci´on normal y tangencial de un elemento diferencial.
asumimos primero que este elemento est´a cargado en tensi´on seg´ un la direcci´on x s´olamente y examinamos la deformaci´ on resultante como es mostrado (muy exageradamente) en la Figura B.1(b). El desplazamiento del punto P es u, mientras que del punto Q es u + ∂u ∂x dx de modo que la longitud deformada en la direcci´ on x est´ a dada por ∂u ∂u 0 dx − u = dx + dx (B.3) dx = dx + uQ − uP = dx + u + ∂x ∂x Note usted que hemos hecho uso de la Ecuaci´on (B.2) para aproximar el desplazamiento axial en la posici´ on (x + dx, y, z). La deformaci´on normal unitaria en la direcci´on x del punto en an´alisis es entonces dx0 − dx ∂u x = = (B.4) dx ∂x La consideraci´ on similar de cambios de longitud en las direcciones y y z, proporcionan las definiciones generales de las componentes de deformaci´on normales asociadas como y =
∂υ ∂y
y
z =
∂w ∂z
(B.5)
Para examinar la distorsi´ on del s´olido infinitesimal, ahora consideraremos la situaci´on mostrada en la Figura B.1(c) en la que las tensiones aplicadas a la superficie de modo tangencial resultan en otro tipo de defomaci´ on del elemento, como mostramos en la Figura B.1(d). A diferencia de la tensi´on normal, los efectos de la solicitaci´ on tangencial aplicada se ve que produce distorsiones de la forma rectangular original del s´ olido (lo convierten en un rombo). Tal distorsi´on es cuantificada por los cambios angulares, y consecuentemente definimos la deformaci´on cortante unitaria como un cambio en el ´angulo de ´ aquel que era originalmente un ´angulo recto. En una primera lectura, esto puede parecer redundante pero no lo es. Considere la definici´on en el contexto de la Figura B.1(c) y B.1(d); el ´angulo ABC era un ´ angulo recto en el estado indeformado, pero se ha distorsionado a A0 BC 0 por la solicitaci´ on cortante aplicada. El cambio del ´angulo est´a compuesto de dos partes, denotadas como α y
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
412
β y, dadas por las pendientes BA0 y BC 0 , respectivamente como ∂υ/∂x y ∂u/∂y. As´ı, la deformaci´on unitaria cortante es ∂u ∂υ γxy = + (B.6) ∂y ∂x donde el sub´ındice doble se usa para indicar el plano en el que ocurre el cambio angular. La consideraci´on similar de la distorsi´ on en los planos xz y yz resulta en γxz =
∂u ∂w + ∂z ∂x
y
γyz =
∂υ ∂w + ∂z ∂y
(B.7)
como las componentes de deformaci´ on cortante unitaria, respectivamente. Las Ecuaciones (B.4) a (B.7) proporcionan las definiciones b´asicas de las seis componentes de deformaci´on independientes posibles en la deformaci´on tri–dimensional. Debe darse ´enfasis a que ´estas relaciones de deformaci´ on–desplazamiento s´olo son v´alidas para deformaciones peque˜ nas. En el caso de ocurrir grandes deformaciones, se deben incluir condiciones adicionales como resultado de las caracter´ısticas de la geometr´ıa y el material. Es conveniente expresar las relaciones deformaci´on– desplazamiento deducidas anteriormente, en forma matricial. Para lograr esta tarea, definimos el vector desplazamiento como u(x, y, z) (B.8) {δ} = υ(x, y, z) w(x, y, z) (notando que este vector define un campo vectorial de desplazamientos cont´ınuo) y el vector de deformaciones (unitarias) lo definimos como el ordenamiento x y z {} = γxy γxz γyz
(B.9)
Con las definiciones previas, las relaciones deformaci´on–desplazamientos son luego expresadas en forma comp´acta como {} = [ L ]{δ}
(B.10)
donde [ L ] es la matriz operador de derivaci´on parcial espacial con coeficientes pertinentes,
∂ ∂x 0 0 [L] = ∂ ∂y ∂ ∂z 0
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x 0 ∂ ∂z
0 0 ∂ ∂z 0 ∂ ∂x ∂ ∂y
(B.11)
´ ´ B.2. RELACIONES TENSION–DEFORMACI ON
B.2.
413
Relaciones tensi´ on–deformaci´ on
Las ecuaciones entre la tensi´ on y deformaci´on aplicables a un material particular son conocidas como las ecuaciones constitutivas para ese material. En el tipo m´as general de material posible, se muestra en un trabajo avanzado de la mec´ anica del medio cont´ınuo que las ecuaciones constitutivas pueden contener hasta 81 constantes materiales independientes. Sin embargo, para un material homog´eneo, isotr´opico, linealmente el´ astico, se demuestra prontamente que se exigen s´olo dos constantes materiales independientes necesaria para especificar completamente las relaciones. Estas dos constantes deben ser bastante familiares desde la teor´ıa elemental de la mec´anica de materiales como el m´ odulo de elasticidad (el m´odulo de Young) y la relaci´ on de Poisson. Refiri´endonos de nuevo a la prueba de tensi´on uniaxial simple (ensayo de tracci´ on simple), el m´odulo de elasticidad se define como la pendiente de la curva de tensi´ on–deformaci´ on en la regi´ on el´astica del material, o σx (B.12) E= x donde se asume que el eje de carga del esp´ecimen de prueba corresponde al eje x. Como la deformaci´on es adimensional, las unidades del m´ odulo de elasticidad ser´an las mismas que aquellas de la tensi´on; o sea que esta constante se expresa en lb/pulg2 ´o en megapascales (MPa). La relaci´ on de Poisson, denotada con el s´ımbolo ν, es una medida del fen´omeno muy conocido que un cuerpo el´ astico deformado en una direcci´on tambi´en experimenta deformaci´on en direcciones mutuamente perpendiculares. En la prueba de tensi´on uniaxial, el alargamiento del esp´ecimen de prueba en direcci´ on de la carga es acompa˜ nada por la contracci´on en el plano perpendicular a la direcci´on de la carga. Si el eje de carga es x, esto significa que el esp´ecimen cambia sus dimensiones y as´ı experimenta deformaciones en las direcciones y y z tambi´en, aunque no existan cargas externas seg´ un esas direcciones. Formalmente, la relaci´on de Poisson se define como ν=−
contracci´ on lateral unitaria elongaci´ on axial unitaria
(B.13)
y notamos la relaci´ on de Poisson es algebr´aicamente positiva y el signo negativo asegura esto; puesto que el numerador y el denominador siempre tienen signos opuestos. As´ı, en la prueba de tracci´on simple, si x representa la deformaci´on que es el resultado de la carga aplicada, las componentes de deformaci´ on transversales inducidas est´an dadas por y = z = −x . Las relaciones tensi´ on–deformaci´on generales para un material homog´eneo, isotr´opico, linealmente el´astico, sujeto a una deformaci´ on tri–dimensional general son como sigue: σx = σy = σz = τxy = τxz = τyz =
E [ (1 − ν)x + ν(y + z ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E [ (1 − ν)y + ν(x + z ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E [ (1 − ν)z + ν(x + y ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E γxy = Gγxy 2(1 + ν) E γxz = Gγxz 2(1 + ν) E γyz = Gγyz 2(1 + ν)
(B.14a) (B.14b) (B.14c) (B.14d) (B.14e) (B.14f)
donde introdujimos el m´ odulo de elasticidad transversal tambi´en llamado m´odulo de rigidez cortante, definido por E G= (B.15) 2(1 + ν)
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
414
Podemos observar de las relaciones generales planteadas, que las componentes normales de tensi´on y deformaci´on se inter–relacionan en un modo bastante complicado a trav´es del efecto de Poisson, pero son independientes de las tensiones cortantes. Similarmente, las componentes de deformaci´on tangencial o cortante no est´ an afectadas por las tensiones normales. La notaci´on de sub´ındice doble usada para las tensiones cortantes se explica como sigue: El primer sub´ındice define la direcci´ on axial perpendicular a la superficie en la cual las tensiones cortantes act´ uan, mientras el segundo sub´ındice denota el eje paralelo a la tensi´on cortante. As´ı, el sub´ındice xy denota una tensi´ on cortante actuando en la direcci´on del eje x en una superficie perpendicular al eje y. Mediante el equilibrio de momentos aplicado al volumen elemental, f´acilmente se puede demostrar que deber´an cumplirse las relaciones siguientes: τxy = τyx
τxz = τzx
τyz = τzy
La notaci´on de doble sub´ındice tambi´en se aplica a las tensiones normales; pero en todos los casos se verifica que ´estos sub´ındices se repiten, por lo que convencionalmente se lo escribe una sola vez. Las relaciones tensi´ on–deformaci´ on pueden expresarse f´acilmente en forma matricial definiendo la matriz de propiedades materiales [ D ] como 1−ν ν ν [D] = 0 0 0
ν 1−ν ν 0 0 0
ν ν 1−ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν 2
0 0
0 0 0 0 1−2ν 2
0
0 0 0 0 0 1−2ν 2
(B.16)
y escribiendo σx σy σz = [ D ]{} = [ D ][ L ]{δ} {σ} = τxy τxz τyz
(B.17)
Aqu´ı {σ} denota la matriz columna 6×1 (vector) de componentes de tensi´on actuantes. Nosotros no usamos el t´ermino enfatizado de vector, ya que es m´as habitual que las componentes de las tensiones aplicadas se ordenen en una matriz cuadrada a la que se denomina tensor de tensiones.
B.3.
Ecuaciones de equilibrio
Para obtener las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo s´olido deformado, examinamos el estado general de tensiones en un punto arbitrario en el cuerpo mediante un elemento diferencial, como el mostrado en la Figura B.2. Se asume que todas las componentes de tensi´on var´ıan espacialmente, y estas variaciones se expresan en t´erminos de expansi´on en serie de Taylor truncadas en primer–orden, como se indica. Adem´ as de las componentes de tensi´on mostradas, se asume que el elemento est´a sujeto a una fuerza de cuerpo que tiene componentes axiales Bx , By , Bz . La fuerza de cuerpo se expresa como fuerza por unidad de volumen y representa la acci´on de una influencia externa que afecta al cuerpo en conjunto. La fuerza de cuerpo m´ as com´ un es aquella que proviene de la atracci´on gravitatoria, mientras que las fuerzas magn´eticas y centr´ıfugas tambi´en son ejemplos de ´este tipo de fuerza. Aplicando la condici´ on de equilibrio de fuerzas en la direcci´on del eje x para el elemento de la
B.4. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
415 y
xy xy dy y
y dy y yz yz dy y
z
xz yz xz xy
x
dy x
xz
dz yz yz dz z
xz
xz dz z
z
xz dx x
xy
dx
x dx x
xy dx x
yz xy
z dz z
y
Figura B.2: Elemento tri–dimensional en estado general de tensiones Figura B.2, d´ a como resultado ∂τxy ∂σx dx dy dz − σx dy dz + τxy + dy dx dz − τxy dx dz σx + ∂x ∂y ∂τxz dz dx dy − τxz dx dy + Bx dx dy dz = 0 + τxz + ∂z
(B.18)
Expandiendo y simplificando la Ecuaci´on (B.18), se obtiene ∂σx ∂τxy ∂τxz + + + Bx = 0 ∂x ∂y ∂z
(B.19)
Similarmente, aplicando las condiciones de equilibrio de fuerzas seg´ un las direcciones coordenadas y y z obtenemos ∂τxy ∂σy ∂τyz + + + By = 0 (B.20) ∂x ∂y ∂z ∂τxz ∂τyz ∂σz + + + Bz = 0 ∂x ∂y ∂z
(B.21)
respectivamente.
B.4.
Ecuaciones de compatibilidad
Las Ecuaciones (B.4) a (B.7) definen seis componentes de deformaci´on en t´erminos de tres componentes de desplazamiento. Una premisa fundamental de la teor´ıa de la mec´anica del medio cont´ınuo es que un cuerpo cont´ınuo permanece con esa caracter´ıstica durante y despu´es de la deformaci´on.
416
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
Por consiguiente, el desplazamiento y las funciones de tensi´on deben ser continuas y real valoradas. Dado un campo de desplazamiento cont´ınuo u, υ, w, es directo evaluar las componentes de deformaci´on unitaria cont´ınua mediante las relaciones de deformaci´on–desplazamiento que fueron previamente establecidas. Sin embargo, el caso inverso es algo m´as complicado. Es decir, dado un campo de seis componentes de deformaci´ on continuas, real–valoradas, tenemos seis ecuaciones diferenciales parciales a resolver para obtener las componentes del desplazamiento. En este caso, no hay seguridad que los desplazamientos resultantes reunir´ an los requisitos de continuidad y valoraci´on real. Para asegurar que los desplazamientos sean cont´ınuos cuando se los calcula de esta manera, se han deducido relaciones adicionales entre las componentes de tensi´ on, y ´estas son conocida como ecuaciones de compatibilidad. Hay seis ecuaciones de compatibilidad independientes, una de las cuales es ∂ 2 y ∂ 2 γxy ∂ 2 x + = 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y
(B.22)
Las otras cinco ecuaciones son relaciones de segundo–orden similares. Aunque no se usan estas relaciones expl´ıcitamente en este texto, las ecuaciones de compatibilidad son completamente esenciales en los m´etodos avanzados de la mec´ anica del medio cont´ınuo y la teor´ıa de elasticidad.
Apéndice
C
Soluci´ on de ecuaciones
Consideremos el sistema generalizado de ecuaciones lineales conformado por un conjunto de n relaciones algebr´ aicas del tipo: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = f1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = f2 .. .. .. .. . . ··· . . an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = fn donde: aij (i, j = 1; n); fi (i = 1; n) ∈ R son valores num´ericos conocidos, y xi (i = 1; n) ∈ R son valores inicialmente desconocidos o inc´ ognitas del sistema de ecuaciones, que debemos determinar para que las mismas se cumplan simult´ aneamente. Matricialmente, el conjunto de relaciones anteriores se puede escribir: a11 a12 · · · a1n x1 f1 a21 a22 · · · a2n x2 f2 .. .. .. .. = .. . . ··· . . . an1
an2
···
ann
xn
fn
Sint´eticamente podemos expresar la relaci´on matricial anterior representativa del sistema de ecuaciones lineales, como: [ A ]{x} = {f }, donde los vectores {x}, {f } ∈ Rn ; y la matriz cuadrada [ A ] ∈ Rn×n . En t´erminos matem´ aticos formales, una ecuaci´on del tipo anterior es el resultado final del m´etodo de elemento finito, cuando el mismo es aplicado a un fen´omeno f´ısico cuyo comportamiento de respuesta est´a enmarcado en el denominado r´egimen estacionario o permanente (temporalmente no–evolutivo). El modelo matem´ atico elaborado aplicando la t´ecnica de discretizaci´on que fu´e desarrollada con relativo detalle en sus fundamentos m´ as esenciales en los diversos Cap´ıtulos de este documento, vimos que desemboca inevitablemente en un sistema lineal de ecuaciones algebr´aico que como paso final requiere ser resuelto. En ´este Ap´endice presentamos algunas pocas de las variadas t´ecnicas existentes para dicho fin. La elecci´ on de los m´etodos aqu´ı mostrados es en cierta manera algo arbitaria, ya que en 417
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
418
la actualidad los algoritmos de soluci´ on num´erica de ecuaciones matriciales como las anteriormente descritas conforman un verdadero mundo en el ´ambito del ´algebra lineal.
C.1.
M´ etodo de Cramer
El m´etodo de Cramer, tambi´en conocido como la regla de Cramer, proporciona un medio sistem´atico de resolver las ecuaciones lineales que se hallan en muchos problemas que plantea el ´algebra lineal. En la pr´actica, el m´etodo se aplica mejor a sistemas de no m´as de cuatro o cinco ecuaciones (si el proceso se efect´ ua manualmente). No obstante, el m´etodo proporciona la visi´on en ciertas condiciones con respecto a la existencia de soluciones y es incluido aqu´ı por esa raz´on. Considere el sistema de ecuaciones a11 x1 + a12 x2 = f1 a21 x1 + a22 x2 = f2
(C.1)
[ A ]{x} = {f }
(C.1a)
o en forma matricial Multiplicando la primera ecuci´ on por a22 , la segunda por a12 , y sustrayendo la segunda de la primera resulta (a11 a22 − a12 a21 )x1 = f1 a22 − f1 a12 De aqu´ı, si (a11 a22 − a12 a21 ) 6= 0, resolvemos para x1 dando como resultado x1 =
f1 a22 − f1 a12 a11 a22 − a12 a21
(C.2)
Mediante un procedimiento completamente similar se obtiene x2 =
f2 a11 − f1 a21 a11 a22 − a12 a21
(C.3)
Note que el denominador de cada soluci´ on es el mismo e igual al determinante de la matriz de coeficientes [ A ], el mismo que se define mediante a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 |A| = (C.4) a21 a22 y, nuevamente se asume que el determinante es no–nulo. Ahora, considere el numerador de la Ecuaci´on (C.2), como sigue. Reemplace la primera columna de la matriz de coeficientes [ A ] con la matriz columna (vector) del lado derecho {f }, y calcule el determinante de la matriz resultante (denotada como [ A1 ]) para obtener f1 a12 = f1 a22 − f2 a12 | A1 | = (C.5) f2 a22 El determinante as´ı obtenido es exactamente el numerador de la ecuaci´on (C.2). Si nosotros, similarmente reemplazamos la segunda columna de [ A ] con el vector columna del lado derecho de la ecuaci´on que representa al sistema de ecuaciones, tendremos a11 f1 = f2 a11 − f1 a21 | A2 | = (C.6) a21 f2 y, el resultado de ´esta ecuaci´ on es id´entico al numerador de la Ecuaci´on (C.3). Aunque el m´etodo presentado se circunscribe a un sistema de s´ olamente dos ecuaciones, el resultado es aplicable a cualquier
´ DE GAUSS C.2. ELIMINACION
419
n´ umero de ecuaciones lineales algebr´aicas como sigue: Regla de Cramer : Dado un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales en n inc´ognitas xi , (i = 1; n) que es expresado en forma matricial como [ A ]{x} = {f }
(C.7)
donde {f } es conocido; las soluciones est´an dadas por las relaciones de determinantes xi =
| Ai | |A|
i = 1; n
(C.8)
donde se supone que | A | = 6 0 Las matrices [ Ai ] est´ an formadas reemplazando la i–´esima columna de la matriz de coeficientes [ A ] con el vector de t´erminos independientes {f }. Note usted que si el vector de t´erminos independientes es nulo, {f } = {0}, la regla de Cramer proporciona el resultado trivial {x} = {0}. Ahora consideremos el caso en el que el determinante de la matriz de coeficientes es cero, | A | = 0. En este evento, las soluciones representadas por la Ecuaci´on (C.1) son, formalmente, 0x1 = f1 a22 − f2 a12 0x2 = f2 a11 − f1 a21 y este par de ecuaciones debe ser considerado bajo dos casos de posibilidad: 1. Si los lados derechos de estas ecuaciones son no–nulos; ninguna soluci´on existe, puesto que no podemos multiplicar cualquier n´ umero por 0 y obtener un resultado no–nulo. 2. Si los lados derechos son 0, las ecuaciones indican que cualquier par de valores x1 y x2 son soluciones; este caso corresponde a las ecuaciones homog´eneas que ocurre si {f } = {0}. As´ı, un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales algebr´aico puede tener soluciones no–triviales si y s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes es 0. El hecho es, sin embargo, que las soluciones no son justamente cualquier par de valores arbitrarios de x1 y x2 , y vemos esto examinando el determinante | A | = a11 a22 − a12 a21 = 0 y, de aqu´ı:
a11 a12 = a21 a22
´ Esta u ´ltima ecuaci´ on establece que los coeficientes de x1 y x2 en las dos ecuaciones est´an en proporci´on constante. As´ı, las ecuaciones no son independientes y, de hecho, representan una sola l´ınea recta en el plano x1 –x2 (y n´ o 2 rectas que se interceptan en el punto soluci´on del sistema). Entonces, existe un n´ umero infinito de soluciones (x1 , x2 ), pero tambi´en existe una relaci´on entre las coordenadas x1 y x2 . El argumento simplemente presentado para dos ecuaciones, tambi´en es general y sirve para cualquier n´ umero de ecuaciones. Si el sistema es homog´eneo, existen soluciones no–triviales s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes es 0.
C.2.
Eliminaci´ on de Gauss
En el Ap´endice A, tratamos con la matem´atica de matrices, y tambi´en fu´e discutido el concepto de invertir la matriz de coeficientes para obtener la soluci´on a un sistema de ecuaciones algebr´aicas lineales. Para los grandes sistemas de ecuaciones, el c´alculo de la inversa de la matriz de coeficientes consume
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
420
demasiado tiempo y es computacionalmente ineficiente. Afortunadamente, la operaci´on de invertir la matriz no es necesaria para obtener las soluciones. Muchos otros m´etodos son computacionalmente m´as eficaces. El m´etodo de eliminaci´ on de Gauss es una de tales t´ecnicas. La eliminaci´on de Gauss utiliza simples operaciones algebr´ aicas (la multiplicaci´on, divisi´on, suma, y substracci´on) para eliminar sucesivamente las inc´ ognitas de un sistema de ecuaciones generalmente descrito por a11 a12 · · · a1n x1 f1 a21 a22 · · · a2n x f2 2 [ A ]{x} = {f } ⇒ . = (C.9a) .. .. .. .. .. .. . . . . . an1 an2 · · · ann xn fn para que el sistema de ecuaciones se transforme a la forma
[ B ]{x} = {g}
⇒
b11 0 0 0
b12 b22 0 0
··· ··· .. . 0
b1n x1 g1 x2 g2 b2n = .. . . . .. .. bnn xn gn
(C.9b)
En la Ecuaci´ on (C.9b), la matriz de coeficientes original se ha transformado a una forma triangular superior, pues como se aprecia todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero. En esta forma, la soluci´ on para xn simplemente es gn /bnn , y los restantes valores xi se obtienen por sucesiva substituci´ on regresiva en las ecuaciones sobrantes. El m´etodo de Gauss es f´ acilmente adaptable a la implementaci´on en computadora, como es descrito por el algoritmo siguiente. Para la forma general de la Ecuaci´on (C.9a), primero deseamos eliminar x1 desde la segunda hasta la n–´esima ecuaciones. Para lograr esta tarea, debemos realizar operaciones de fila tal que los elementos de la matriz de coeficientes ai1 = 0 (i = 2; n). Seleccionando el coeficiente a11 como el elemento pivote, podemos multiplicar la primera fila por a21 /a11 y substraer el resultado de la segunda fila para obtener a21 =0 a(1) 21 = a21 − a11 a11 a21 a(1) 22 = a22 − a12 a11 .. .. (C.10) . . a21 a(1) 2n = a2n − a1n a11 a21 f2(1) = f2 − f1 a11 En estas relaciones, el exponente se usa para indicar que los resultados son de la operaci´on sobre la primera columna. El mismo procedimiento se usa para eliminar x1 de las ecuaciones restantes; es decir, multiplicar la primera ecuaci´ on por ai1/a11 y substraer el resultado de la ecuaci´on i–´esima. (Note que, si ai1 es 0, no se requiere ninguna operaci´ on). El procedimiento resulta en a(1) i1 = 0 a(1) ij fi(1)
i = 2; n ai1 = aij − a1j i = 2; n a11 ai1 = fi − f1 i = 2; n a11
j = 2; n
(C.11)
El resultado de la operaci´ on usando a11 como elemento pivote est´a representado simb´olicamente
´ L–U C.3. DESCOMPOSICION
como
421
a11 0 .. . 0
a12 a(1) 22 .. .
··· ··· .. .
a(1) n2
···
a1n x1 f1 f2(1) a2n x2 = .. .. .. . . . (1) a(1) x f n nn n
y la variable x1 ha sido eliminada de todas las ecuaciones, excepto de la primera. El procedimiento luego toma el (recientemente calculado) coeficiente a(1) 22 como elemento pivote y las operaciones se repiten para que todos los elementos en la segunda columna debajo de a(1) 22 se vuelvan 0. Llevando a cabo los c´ omputos, usando sucesivamente cada elemento diagonal como elemento pivote, el sistema de ecuaciones se transforma a la forma de la Ecuaci´on (C.9b). La soluci´on se obtiene entonces, como fu´e mencionado, por substituci´ on regresiva xn =
gn bnn
.. . xi
1
(gn−1 − bn−1 xn ) bn−1,n−1 .. . n X 1 gii − bij xj = bii j=i+1
xn−1 =
(C.12)
El procedimiento de eliminaci´ on de Gauss es f´acilmente programado usando el almacenamiento de arreglos (matrices) y las funciones de c´alculo de bucle reiterado (DO loops), y es mucho m´as eficiente que invertir la matriz de coeficientes. Si la matriz de coeficientes es sim´etrica (com´ un a muchas formulaciones de elemento finito), los requerimientos de almacenamiento para la matriz pueden ser reducidos considerablemente, y el algoritmo de eliminaci´on de Gauss tambi´en se simplifica.
C.3.
Descomposici´ on L–U
Otro m´etodo eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el as´ı–llamado m´etodo de descomposici´ on L–U (Lower–Upper
). En este m´etodo, un sistema de ecuaciones lineales algebr´ aico, como en la Ecuaci´on (C.9a), va a ser resuelto. El procedimiento consiste en descomponer la matriz de coeficientes [ A ] en dos matrices caracter´ısticas [ L ] y [ U ], de modo que L11 0 ··· 0 U11 U12 · · · U1n L21 L22 · · · 0 0 U22 · · · U2n [ A ] = [ L ][ U ] = . (C.13) . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. Ln1 Ln1 · · · Lnn 0 ··· 0 Unn De aqu´ı, [ L ] es una matriz triangular inferior (lower) y [ U ] es una matriz triangular superior (upper). Aqu´ı, asumimos que [ A ] es una matriz cuadrada n×n de coeficientes conocidos. La expansi´on de la Ecuaci´ on (C.13) muestra que tenemos un sistema de ecuaciones con un n´ umero mayor de inc´ognitas que el n´ umero de ecuaciones, as´ı que la descomposici´on en la representaci´on L–U no est´a bien definida. En el m´etodo L–U, los elementos diagonales de [ L ] deben tener valor unidad, para que 1 0 ··· 0 L21 1 · · · 0 [L] = . (C.14) . . .. .. .. . .. Ln1
Ln1
···
1
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
422
Para ilustraci´ on, consideramos un sistema 3×3 a11 a12 a13 1 a21 a22 a23 = L21 a31 a32 a33 L31
y escribimos 0 0 U11 1 0 0 L32 1 0
U12 U22 0
U13 U23 U33
la cual representa en forma desarrollada a las siguientes nueve ecuaciones: a11 a12 a21 a22 a13 a31 a32 a23 a33
= U11 = U12 = L21 U11 = L21 U12 + U22 = U13 = L31 U11 = L31 U12 + L32 U22 = L21 U13 + U23 = L31 U13 + L32 U23 + U33
(C.15)
´ Este sistema de ecuaciones est´ a escrito en una secuencia de modo que, en cada paso, s´olamente una inc´ognita individual aparece en la ecuaci´ on. Si re–escribimos la matriz de coeficientes [ A ], y la dividimos en “zonas” como À Á Â a11 a12 a13 [ A ] = a21 a22 a33 a31 a32 a33 Con referencia al conjunto de Ecuaciones (C.15), observamos que la primera ecuaci´on corresponde a la zona 1, las siguientes tres ecuaciones representan la zona 2, y las u ´ltimas cinco ecuaciones representan la zona 3. En cada zona, las ecuaciones incluyen s´olo los elementos de [ A ] que est´an en la zona y s´olo los elementos de [ L ] y [ U ] de las zonas previas y la zona actual. De aqu´ı, el procedimiento de descomposici´on L–U descrito aqu´ı tambi´en es conocido como el m´etodo de zona activa. Para un sistema de n ecuaciones, el procedimiento es r´apidamente generalizado para obtener los siguientes resultados: U1i = a1i i = 1; n Lii = 1 i = 1; n (C.16) ai1 Li1 = i = 2; n U11 Los siguientes t´erminos obtenidos desde la zona activa i (i = 2; n), son dados por las relaciones: aij − Lij = Uji = aji −
j−1 X
Lim Umj
m=1
Ujj j−1 X
Ljm Umi
j = 2; (i − 1) i 6= j (C.17)
m=1
Uii = aii −
i−1 X
Lim Umi
m=1
As´ı, el procedimiento de descomposici´ on es dir´ecto y muy adecuado para su implementaci´on computarizada.
´ FRONTAL C.4. SOLUCION
423
Ahora que el procedimiento de descomposici´on se ha desarrollado, nosotros volvemos a la tarea de resolver las ecuaciones. Cuando nosotros tenemos las ecuaciones ahora expresadas en la forma de matrices triangulares [L] y [U] como [ L ][ U ]{x} = {f } (C.18) vemos que el producto [ U ]{x} = {z} es una matriz columna n×1 (vector), de modo que el sistema original de Ecuaciones (C.18) ahora resulta [ L ]{z} = {f }
(C.19)
y debido a la estructura triangular de la matriz de coeficientes de la u ´ltima ecuaci´on, la soluci´on es obtenida f´ acilmente (en orden) como z1 = f1 zi = fi −
i−1 X
Lij zj
i = 2; n
(C.20)
j=1
La formaci´ on de las soluciones intermedias, representadas por las Ecuaciones (C.20) mediante sustituci´on hacia adelante, generalmente es llamada barrido progresivo. Con los valores zi (i = 1; n) conocidos desde la Ecuaci´on (C.20), podemos ahora resolver la ecuaci´on subsidiaria [ U ]{x} = {z} para las inc´ognitas originales xi (i = 1; n) como zn xn = Unn n (C.21) X 1 xi = Uij xj zi − Uii j=i+1 El proceso de soluci´ on representado por las Ecuaciones (C.21) mediante sustituci´on hacia atr´as es conocido como barrido regresivo. En el m´etodo L–U, el mayor tiempo computacional se expende descomponiendo la matriz de coeficientes en las formas triangulares. Sin embargo, este paso necesita ser efectuado una sola vez; despu´es del cual pueden aplicarse los procesos de barrido progresivo y barrido regresivo para cualquier n´ umero de funciones perturbadoras {f } que figuran en el lado derecho de la ecuaci´on original. M´as a´ un, si la matriz de coeficientes es sim´etrica y con aspecto de banda alrededor de la diagonal principal (como es el caso que m´ as a menudo se presenta en el an´alisis de elemento finito), el m´etodo de descomposici´ on L–U puede ser bastante eficaz.
C.4.
Soluci´ on frontal
El m´etodo de soluci´ on frontal (tambi´en conocido como soluci´ on de ola delantera) es un m´etodo especialmente eficiente para resolver ecuaciones de elemento finito, ya que la matriz de coeficientes (la matriz de rigidez) es generalmente sim´etrica y con forma banda. En el m´etodo frontal, el ensamblaje de la matriz de rigidez del sistema se combina con la fase de soluci´on. El m´etodo produce una reducci´on considerable en los requisitos de memoria de computadora, especialmente para los modelos grandes. La t´ecnica se describe con referencia a la Figura C.1, que muestra un ensamble de elementos barra uni–dimensionales. Para este ejemplo simple, sabemos que las ecuaciones del sistema son de la forma K11 K12 0 0 0 0 U1 F1 U2 K12 K22 K23 F2 0 0 0 0 K K K 0 0 U F 23 33 34 3 3 = (C.22) 0 0 K34 K44 K45 0 U4 F4 0 0 0 K45 K55 K56 U5 F56 0 0 0 0 K56 K66 U6 F6
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
424
Claramente, la matriz de rigidez es banda y esparcida (muchos coeficientes son de valor cero). En la t´ecnica de soluci´ on frontal, la matriz de rigidez del sistema entero no es ensamblada como tal. En cambio, el m´etodo utiliza el hecho que un grado de libertad (desconocido) puede eliminarse cuando las filas y columnas de la matriz de rigidez correspondientes a ese grado de libertad est´an completas. En este contexto, eliminar un grado de libertad significa que podemos escribir una ecuaci´on para ese grado de libertad en t´erminos de los otros grados de libertad y las funciones impelentes. Cuando tal ecuaci´on se obtiene, se escribe a un archivo y es removida de la memoria. Como es mostrado luego, el resultado neto es la triangularizaci´ on de la matriz de rigidez del sistema y las soluciones son obtenidas por simple substituci´ on regresiva. Por simplicidad de ilustraci´ on, sea que cada elemento en la Figura C.1 tenga rigidez caracter´ıstica k. Empezamos definiendo una matriz nula [ K ] de dim6×6 y procedemos con el paso de ensamblaje, tomando los elementos en orden num´erico. Agregando la matriz de rigidez para el elemento 1 a la matriz del sistema, obtenemos k −k 0 0 0 0 F1 U1 −k k 0 0 0 0 U F2 2 0 0 0 0 0 0 U3 = F3 (C.23) 0 0 0 0 0 0 U4 F4 0 0 0 0 0 0 U5 F56 0 0 0 0 0 0 U6 F6 Puesto que U1 s´ olo est´ a asociado con el elemento 1, el desplazamiento U1 no aparece en ninguna de las otras ecuaciones y puede eliminarse ahora. (Para ilustrar el efecto sobre la matriz, realmente no eliminamos el grado de libertad de las ecuaciones). La primera fila de la Ecuaci´on (C.23) es kU1 − kU2 = F1
(C.24)
y puede resolverse para U1 una vez que U2 es conocido. Matem´aticamente eliminando U1 de la segunda fila, tenemos F1 U1 k −k 0 0 0 0 U2 0 0 0 0 0 0 F1 + F2 0 0 0 0 0 0 U3 F 3 (C.25) 0 0 0 0 0 0 U4 = F4 0 0 0 0 0 0 U5 F5 0 0 0 0 0 0 F6 U6 Luego, “procesamos” el elemento 2 y a˜ nadimos los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento a las ubicaciones pertinentes en la matriz de coeficientes del sistema para obtener k −k 0 0 0 0 U1 F1 0 k −k 0 0 0 F1 + F2 U2 0 −k k 0 0 0 U3 F3 = (C.26) 0 0 0 0 0 0 U4 F4 0 0 0 0 0 0 U5 F5 0 0 0 0 0 0 U6 F6
5 6
U4, F4
U5, F5
U6, F6
3
4 5
U3, F3
4
U2, F2 2
3
U1, F1 1
2
1
Figura C.1: Sistema de elementos barra inter–conectados
x
´ C.5. EXACTITUD DE LA SOLUCION
El desplazamiento U2 no aparece en ninguna obtener k −k 0 0 0 0 k −k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
425
de las ecuaciones restantes y es ahora eliminado para 0 U1 F1 0 U F + F 2 1 2 0 U3 F1 + F2 + F3 = (C.27) 0 U4 F4 0 F5 U5 0 U6 F6
En secuencia, procediendo con los elementos restantes, y siguiendo el procedimiento de eliminaci´on de la variable que aparece en cada paso de ensamble, finalmente se demuestra que obtenemos k −k 0 0 0 0 U1 F1 0 k −k 0 0 0 U F + F 2 1 2 0 0 k −k 0 0 U F + F + F 3 1 2 3 = (C.28) 0 0 0 k −k 0 U4 F1 + F2 + F3 + F4 0 0 0 0 k −k U5 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 0 0 0 0 −k k U6 F6 Notando que la u ´ltima relaci´ on en la ecuaci´on matricial gobernante del sistema, Ecuaci´on (C.28), es una ecuaci´ on de restricci´ on (y podr´ıa ignorarse de principio), observamos que el procedimiento conduce a una matriz de rigidez triangularizada del sistema reducido (aquel que no considera grados de libertad restringidos), sin ensamblar formalmente esa matriz. Si nosotros sacamos la ecuaci´on de restricci´on, las ecuaciones restantes son F1 U1 k −k 0 0 0 0 k −k 0 F1 + F2 0 U2 U3 = 0 0 F + F + F k −k 0 (C.29) 1 2 3 0 0 F + F + F + F U 0 k −k 1 2 3 4 4 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 U5 0 0 0 0 k que pueden ser f´ acilmente resueltas por substituci´on regresiva. Tambi´en notamos que se asume que las fuerzas son conocidas. El m´etodo de soluci´ on frontal se ha descrito en t´erminos de elementos uni–dimensionales por simplicidad. De hecho, la velocidad y eficacia del procedimiento son de m´as ventaja en modelos bi y tri–dimensionales grandes. El m´etodo se discute brevemente aqu´ı para que el lector que usa un paquete de software de elemento finito que utiliza internamente una soluci´on del tipo ola–delantera, tenga un poco de informaci´ on sobre el procedimiento que maneja el algoritmo computacional de soluci´on del modelo de elementos finitos construido, seguramente tambi´en de forma interna y autom´atica.
C.5.
Exactitud de la soluci´ on
Las soluciones num´ericas generalmente obtenidas mediante t´ecnicas computacionales son raramente exactas; ya que, los valores num´ericos obtenidos como soluci´on de un an´alisis matricial como es el m´etodo de elemento finito resultan ser simplemente una aproximaci´on de la conducta real presentada por el sistema bajo an´ alisis. Generalmente el novato de un software de elemento finito est´a tentado de ingresar sus datos al programa con tantos lugares decimales como la computadora pueda desplegar, pensando as´ı que de esta manera la soluci´ on obtenida tendr´a una exactitud elevada; nada m´as falso !. Nosotros sabemos que las dimensiones, propiedades materiales, y las acciones impelentes aplicadas al sistema llevan una precisi´ on impl´ıcita que normalmente es menor que el n´ umero de d´ıgitos en los datos de salida num´erica de la computadora. Por consiguiente, el dise˜ nador debe interpretar la exactitud de
426
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
los resultados obtenidos por la aplicaci´ on del programa de c´alculo autom´atico sin estar enga˜ n´andose a s´ı mismo en creer cada d´ıgito desplegado en la soluci´on. La manera en la cual nosotros describimos num´ericamente un sistema para el an´alisis mediante una t´ecnica discreta como es el m´etodo de elemento finito, es una fuente adicional de error potencial. Por ejemplo en el ´ ambito de la mec´ anica estructural, para definir un elemento viga por ejemplo, las cargas distribu´ıdas aplicadas sobre la misma deben representarse como cargas nodales concentradas en el modelo de elemento finito; esta tarea, conocida como modelado o idealizaci´on de la solicitaci´on aplicada al sistema (estructura), puede introducir enormes errores si se efect´ ua inadecuadamente. Adem´as, el software y hardware de la computadora establecen l´ımites en la exactitud de la soluci´on. Por ello, al analizar los resultados de salida num´erica proporcionados por cualquier programa computacional de elemento finito debemos identificar todas las probables fuentes de error; para poder mejorar u optimizar el modelo constru´ıdo mediante ´esta t´ecnica en la discretizaci´on del dominio de nuestro particular problema. Y de ser posible, indagar acerca de los algoritmos matem´aticos que implementa el programa utilizado, para as´ı poder comprender la esencia de su funcionamiento interno; para ello el debe sentirse instado a consultar cualquiera de los muchos textos excelentes de an´alisis num´erico para una discusi´ on m´ as detallada de los temas que aqu´ı mencionamos.
Apéndice
D
El programa FEPC
Como y´ a fu´e mencionado anteriormente, el m´etodo de elemento finito es un m´etodo discreto que proporciona soluciones aproximadas a problemas que est´an gobernados por ecuaciones diferenciales. A diferencia del m´etodo de diferencias finitas, el cual es una aproximaci´on a la ecuaci´on diferencial; el m´etodo de elemento finito es en realidad una aproximaci´on hacia la soluci´on de la misma. En el contexto del m´etodo de elemento finito, tambi´en mencionamos que la convergencia hacia la soluci´on exacta se produce a medida que la malla de elementos utilizada en el modelo sea refinada; es decir, que se incremente el n´ umero de elementos utilizados para la discretizaci´on del dominio y simult´aneamente se reduzca su tama˜ no. Este u ´ltimo aspecto conlleva la dificultad que al elaborar un modelo que tenga estas caracter´ısticas, el mismo llegar´a a contener un n´ umero muy grande de nodos, lo cual genera la imposibilidad de su manipulaci´on ayudado de un simple calculador de bolsillo. Por ello, se requieren programas computacionales que conformen un paquete de c´alculo completo que permita la implementaci´ on del m´etodo de elemento finito en forma automatizada. Una variedad de especializaciones bajo el ´ambito de la ingeniera mec´anica tal como lo es la aeron´autica, biomec´ anica, y las industrias automotrices, todas com´ unmente usan el an´alisis de elementos finitos integrado en el dise˜ no y desarrollo de sus productos. Varios paquetes modernos de AEF incluyen componentes espec´ıficos como el t´ermico (termal), electromagn´etico, fluido y ambientes de trabajo estructural. Por ejemplo, en una simulaci´on estructural el an´alisis de elementos finitos ayuda a producir visualizaciones de rigidez y fuerza y adem´as ayuda a minimizar peso, materiales y costos. El m´etodo de elemento finito permite una detallada visualizaci´on de la ubicaci´on en donde las estructuras se doblan o tuercen, e indica la distribuci´on de tensiones y los desplazamientos que generan la deformaci´on, la cual tambi´en puede ser apreciada visualmente. Los programas computacionales de an´alisis de elementos finitos proveen un amplio rango de opciones de simulaci´on para controlar la complejidad de ambos, el modelado y el an´ alisis de un sistema. De forma similar, el nivel deseado de precisi´on y los requerimientos de tiempo computacional asociados pueden ser manejados simult´aneamente para atender a la mayor´ıa de las aplicaciones de ingenier´ıa. El an´ alisis de elementos finitos, permite la construcci´on de dise˜ nos enteros, su refinaci´on y la optimizaci´ on de ´estos antes de que el dise˜ no sea manufacturado. Esta poderosa herramienta de dise˜ no ha mejorado en gran forma, ambos, el est´andar de los mismos procesos de dise˜ no en ingenier´ıa y la 427
´ APENDICE D. EL PROGRAMA FEPC
428
metrolog´ıa del proceso del dise˜ no en muchas aplicaciones industriales. La introducci´on del an´alisis de elementos finitos ha reducido el tiempo que se toma para llevar productos desde el concepto hasta la l´ınea de producci´ on. A trav´es de la mejora de dise˜ nos de prototipos iniciales usando el m´etodo de elemento finito se han acelerado, principalmente, las pruebas y el desarrollo de fabricaci´on. En resumen, los beneficios del an´ alisis de elementos finitos mediante t´ecnicas computacionales proporcionan: una alta precisi´on, dise˜ no mejorado, y una mejor percepci´on de los par´ametros cr´ıticos de dise˜ no, prototipos virtuales, menos prototipos de r´eplica del modelo f´ısico involucrado, y ciclo de dise˜ no m´as r´apido y econ´omico, alza en la productividad y en las ganancias. Los paquetes comerciales de an´ alisis mediante aplicaci´on del m´etodo de elemento finito poseen todas las virtudes indicadas en p´ arrafos anteriores; sin embargo el proceso de aprendizaje del uso de tales herramientas requiere que el mismo se inicie con un paquete relativamente sencillo de uso, que incluso incorpore aspectos pedag´ ogicos de ense˜ nanza hacia el y posea relativa versatilidad que permita resolver problemas que son planteados en un contexto de car´acter acad´emico. Uno de tales paquetes es el que describimos muy resumidamente en el presente Ap´endice.
D.1.
El programa computacional FEPC
Con el permiso de propiedad del Dr. Charles E. Knight, el programa de Elemento Finito para Computadora Personal (FEPC — Finite Element Personal Computer) est´a disponible para los s de este texto a trav´es del sitio de Internet: http://www.mhhe.com/hutton <www.mhhe.com/hutton> FEPC es un paquete de software de elemento finito que soporta los siguientes elementos: barra, viga, plano, y de simetr´ıa axial; y por ello est´a limitado a aplicaciones estructurales bi–dimensionales. El programa primigenio: M´etodo de Elemento Finito para Dise˜ no Mec´anico del Dr. Knight tambi´en est´a disponible v´ıa el sitio Web indicado, e incluye los conceptos b´asicos as´ı como un ap´endice que delinea las capacidades de FEPC y sus limitaciones. El material siguiente es una descripci´on general de las bondades del programa y sus restricciones. Un manual de completo como gu´ıa de manejo del programa est´ a disponible en el sitio Web. FEPC realmente es una serie de tres programas (m´odulos de sub–rutinas programadas) que realizan las operaciones de pre–proceso (desarrollo del modelo), soluci´on del modelo (que ha sido elaborado), y post–proceso (an´ alisis de resultados). FEPCIP es el procesador de entrada entrada (IP – Input Processor) usado para ingresar y verificar un modelo, adem´as de preparar los archivos de datos de entrada para la soluci´ on del programa efectuado en otro m´odulo de FEPC. Otro m´odulo es FEPCOP que funciona como procesador de salida (OP – Output Processor), el cual lee los archivos de salida que proporciona el m´ odulo de soluci´ on, y produce los despliegues gr´aficos. Todos los programas son manejados mediante un men´ u principal, con bifurcaci´on autom´atica a sub–men´ us cuando sea apropiado. El men´ u de los archivos del procesador de entrada se usa para recuperar un modelo previamente guardado o para guardar un nuevo modelo. Los modelos se guardan como nombre.MOD, donde nombre es la denominaci´on especificada por el para su proyecto y puede contener un m´ aximo de 20 caracteres. El archivo de an´alisis, que llega a ser la entrada real a la fase de soluci´ on de FEPC es el archivo nombre.ANA, el cual adopta el mismo nombre asignado por el al proyecto de an´ alisis del problema mediante modelo de elemento finito que se est´e resolviendo con el paquete.
D.2.
Pre–procesamiento
La definici´ on del modelo se activa por el men´ u de datos del modelo (Model Data). La selecci´on de datos del modelo permite el a un sub–men´ u usado para definir el tipo de elemento, las propiedades materiales, los nodos, los elementos, las restricciones (impedimentos de desplazamiento),
´ D.3. SOLUCION
429
y las cargas. El tipo del elemento est´ a limitado al uso de elementos: barra (cercha), viga, tensi´on plana, deformaci´ on plana, o de simetr´ıa axial. S´olo un tipo de elemento individual puede usarse en un modelo (el programa no tiene capacidad de combinar elementos de distinto tipo). M´as de 10 series de propiedades materiales pueden usarse en un modelo y deben definirse en orden num´erico. Los nodos pueden ser definidos por la entrada directa del n´ umero de nodo y sus coordenadas (X, Y ) correspondientes (referidas al sistema global coordenado). Siempre se definen los nodos para los elementos barra y viga de esta manera. Los nodos para los elementos planos y de simetr´ıa axial tambi´en pueden ser definidos por entrada directa; pero la capacidad de generaci´on de malla autom´atica para dominios bi–dimensionales (´areas en 2—D) se incluye, aspecto que se discute posteriormente. Similarmente, los elementos son definidos por la especificaci´ on de sus nodos y el n´ umero de propiedad de material asignado a ellos. Para los elementos barra y viga, el orden de la especificaci´on de nodos no tiene ninguna consecuencia. Sin embargo, para los elementos planos y de simetr´ıa axial los nodos deben especificarse en un sentido contrario a las agujas del reloj (sentido anti–horario) alrededor del ´area del elemento. Las restricciones de desplazamiento son aplicados poniendo los valores y seleccionando el nodo al que dichos valores se aplican. Las cargas son aplicadas como fuerzas nodales o como presiones de borde para los elementos s´olidos en 2–D. La secci´ on de generaci´ on autom´atica de malla (Automesh Generation) en 2–D, es usada para generar una serie de elementos planos interconectados que definen el ´area en estudio para dominios bi–dimensionales en modelos de tensi´on plana, deformaci´on plana, o de simetr´ıa axial. La aproximaci´on utilizada es un mapeo de transformaci´on de coordenadas de una malla de elementos rectangulares en un ´area cerrada entera que traza una malla de elementos en el ´area geom´etrica especificada. El ´area geom´etrica es definida usando puntos que se utilizan para definir l´ıneas y arcos que delimiten el ´area por especificaci´ on de su per´ımetro externo. La malla entera de elementos se limita por ´estas l´ıneas que corresponden a las l´ıneas y arcos del ´area geom´etrica. La malla entera est´a limitada por elementos rectangulares (o cuadrados) en el mapa entero del ´area, tomando a los nodos del elemento en el ´area geom´etrica correspondiente. El proceso de mapeo cartogr´afico es iterativo y consiste en distorsionar la malla de ´ area entera generada, para lograr encajar en el ´area geom´etrica. As´ı, el tiene alg´ un control sobre el tama˜ no y forma del elemento utilizado mediante el tama˜ no de la malla entera que est´a siendo generada.
D.3.
Soluci´ on
Cuando un modelo ha sido definido y se ha guardado como nombre.ANA, la soluci´on es generada por el programa FEPC.EXE. Durante la ejecuci´on, se generan y guardan varios otros archivos. Tambi´en, se emiten mensajes de pantalla para informar del progreso en la fase de soluci´on. Un listado de todos los resultados de salida impresa se guarda en el archivo nombre.LST. Este archivo contiene los datos de entrada, todos los datos de salida num´erica, y cualquier mensaje de error emitido durante la ejecuci´on. Se crean dos archivos adicionales para el uso del procesador de salida de resultados. Los datos de nodos y elementos se almacenan en el archivo nombre.MSH y los datos de desplazamientos nodales y tensiones de elemento se guardan en el archivo nombr e.NVL, el cual se utilizar´a en la fase posterior.
D.4.
Post–procesamiento
El procesador del salida FEPCOP.EXE se usa para desplegar los resultados de la soluci´on en forma gr´afica. (El formulario impreso de los datos num´ericos de salida se almacenan previamente en el archivo nombre.LST). Los resultados de desplazamientos pueden desplegarse como una figura de la malla de elementos deformada sobrepuesta encima de una figura del modelo indeformado. Los desplazamientos son escalados en su magnitud de modo exagerado, de manera que el aspecto deformado de la estructura se aprecie con claridad.
´ APENDICE D. EL PROGRAMA FEPC
430
Para los modelos s´ olidos bi–dimensionales, las componentes de tensi´on pueden desplegarse como gr´aficas de contorno (similares a las l´ıneas de nivel topogr´afico). Las componentes de tensi´on disponibles de la soluci´ on obtenida son las componentes de tensi´on: normal, cortante, y de Von Misses para tensi´on plana y deformaci´ on plana; y las componentes radial, axial, cortante, y perim´etrica (tangencial) para modelos de simetr´ıa axial. Para modelos que usan elementos barra o viga, las componentes de tensi´on se trazan como gr´ aficas de c´ odigo de barras.
D.5.
Detalles del paquete
FEPC Versi´ on 3.3 es un programa que realiza an´alisis de tensiones de elemento finito de cerchas tri–dimensionales y vigas bi–dimensionales, s´olidos planos, o estructuras con simetr´ıa axial. El paquete contiene los archivos ejecutables, un archivo de instrucciones iniciales para cargar este sistema a un computador personal, el archivo de documentaci´on de gu´ıa de , un archivo de la documentaci´on propia del paquete, y alg´ un modelo simple de ejemplo de muestra. Como en todo procedimiento computacional de este tipo, primero, haga copias de seguridad de todos los archivos que descargue desde el sitio se˜ nalado en Internet, luego de haber descomprimido el archivo que se proporciona para descarga. Entonces copie el archivo *. EXE al directorio desde el cual usted desea operarlos. Los archivos de los datos pueden estar en otro directorio, o en el mismo donde reside el m´odulo principal de procesamiento; pero en una carpeta diferente. Los archivos que se crean durante la ejecuci´ on de FEPC residir´ an en el mismo directorio como el archivo de entrada *. ANA que usted ingrese al paquete. Los programas trabajar´an cuando sean copiados hacia el disco duro. Hay tambi´en un simple modelo de muestra, *. MOD, y an´alisis, *. ANA, archivos que se proveen junto con los programas espec´ıficos del paquete, que pueden recuperarse en FEPCIP o pueden correrse en FEPC. El archivo de gu´ıa del que es nombrado FEPC33.DOC puede desplegarse en cualquier editor de texto, y ser impreso, para estudiar los comandos y respuestas de los programas. Esta versi´ on comercial de los programas de FEPC es actualmente dimensionada para correr en un computador personal con 640K de memoria interna. Los l´ımites de dimensi´on para las variables que controlan internamente a los programas son: 600 nodos, 600 elementos, 10 materiales, 100 puntos, 30 l´ıneas, y 20 arcos. Tambi´en, el tama˜ no del modelo global est´a limitado en FEPC basado en el n´ umero total de nodos y el ancho de banda promedio nodal. Por ejemplo, 600 nodos con un ancho de banda promedio nodal de 15; 500 con 18, o 400 con 24, son todos los tama˜ nos de modelos m´aximos que pueden correrse en FEPC. Los l´ımites de dimensi´ on para la generaci´on de malla autom´atica de elementos en FEPCIP son I=25 por J=60. Por consiguiente un modelo puede construirse en FEPCIP a´ un dentro del l´ımite m´aximo de 600 nodos, y sin embargo exceder el l´ımite del n´ umero de elementos que resulta demasiado grande para correr en FEPC; por ello se recomienda que se planee cuidadosamente estos aspectos al elaborar el modelo de an´ alisis. El procedimiento para resolver un problema es ejecutar FEPCIP para crear el modelo, ejecutar FEPC para resolver las ecuaciones, y ejecutar FEPCOP para desplegar los resultados. Los programas contenidos en el m´ odulo FEPCIP presentan al diversos men´ us para una entrada interactiva, comprobaci´on y acopio de datos para la elaboraci´on de un modelo. Esto crea un archivo de an´alisis usado como entrada para FEPC (el m´ odulo principal de procesamiento num´erico). Ejecutando el m´odulo FEPC se produce un archivo listado de resultados de suceptible copia impresa y archivos de resultados adicionales usados como entrada para FEPCOP, que es el m´odulo de despliegue gr´afico del paquete. Los despliegues gr´ aficos del aspecto deformado de la estructura y gr´aficas de la distribuci´on de tensiones internas pueden ser producidos entonces por FEPCOP. Estos programas de la versi´ on comercial son provistos para su uso a trav´es del pago de una cuota de registro. Ellos son programas registrados en propiedad del autor y no son autorizados para ser copiados o distribuidos sin el corresponiente permiso escrito; pero usted puede hacer las copias de seguridad que sean necesarias para su propio uso.
Apéndice
E
Problemas de proyecto
Los problemas contenidos en ´este Cap´ıtulo tienen relativa dimensi´on, los cuales no son posibles de resolverse haciendo uso de un calculador de bolsillo, ni tampoco un programa de c´alculo num´erico matricial. Puede usted pensar que tienen caracter´ıstica de ser mini–proyectos; los que pueden servir en un proceso de evaluaci´ on final de la parte pr´actica del m´etodo de elemento finito a trav´es de ciertos problemas aqu´ı planteados, los cuales podr´ıan ser considerados proyectos simulados de fin de materia. En general, los problemas se asociaron con los Cap´ıtulos 3, 4, y 9; los que pueden resolverse usando el software FEPC (v´ease el Ap´endice D) si otro paquete computacional no est´a disponible. El instructor que utilize este libro para ense˜ nar el manejo de un paquete de dise˜ no mec´anico mediante elemento finito, puede escoger cambiar a su discreci´on: las cargas, las propiedades materiales, o las dimensiones de geometr´ıa de la estructura, para cualquiera de estos problemas.
E.1.
Cap´ıtulo 3
Los problemas E.3.1 – E.3.7 involucran cerchas bidimensionales. En cada problema, determine la magnitud y ubicaci´ on de la deformaci´on m´axima, la tensi´on en cada miembro, y las fuerzas de reacci´on de apoyo. Use las reacciones calculadas para verificar el equilibrio global o de toda la estructura. Los n´ umeros de nodos se incluyen s´ olo para referencia y pueden cambiarse a discreci´on del analista. E.3.1 Para la estructura en la Figura E 3.1, cada miembro es de acero, el cual tiene m´odulo de elasticidad lineal E = 30(106 ) psi y el ´ area de su secci´on–transversal es 1,2 pulg2 . E.3.2 Todos los componentes de la estructura mostrada en la Figura E 3.2, son tubos redondos con di´ ametro exterior de 100 mm y espesor de pared de 10 mm. El m´odulo de elasticidad es 207 GPa. E.3.3 Todos los de la cercha en la Figura E 3.3, son listones de madera con secci´on transversal rectangular de 2 pulg × 4 pulg, que tienen m´odulo de elasticidad E = 3(106 ) psi. 431
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
432
1000 lb
1000 lb
1000 lb
7
1000 lb
1000 lb
9
5
6 pies 11
3
500 lb
500 lb
1
6
4
2 3 pies
3 pies
8
3 pies
12
10 3 pies
3 pies
3 pies
Figura E 3.1 5 kN 9 kN 5 9 kN 7 3m
5 kN
9 3 4
6
10
8
4m
4m
4m
9m
1
2
3m
3m
Figura E 3.2 600 lb
12 pies
12 pies
9 pies
12 pies 6
700 lb
400 lb
4
700 lb
9 pies
7
18 pies
3
8
1
2 18 pies
5 18 pies
18 pies
Figura E 3.3 E.3.4 Los de la cercha de la Figura E 3.4, son elementos tubulares de aluminio que tienen di´ametro exterior de 2,5 pulg y 0,25 pulg de espesor de pared. El m´odulo de elasticidad es de 107 psi.
E.1. CAP´ITULO 3
433
5000 lb
3000 lb
3000 lb
7
3 pies 9
5
3 pies 1000 lb
1000 lb
6
3 pies 11
3
4
8
3 pies
2
10
3 pies
1
12 6 pies
6 pies
6 pies
6 pies
6 pies
6 pies
Figura E 3.4 800 lb 400 lb
3
5 pies
200 lb
200 lb
2
1
4 5
2 pies
2 pies
14 pies
Figura E 3.5 5 kN
5 kN
5 kN
3 kN
2m
2m
2m
2m
4 kN
2
8
5
10
11
3m
7
4
9
3 kN
3m
1
3
6 3 kN
Figura E 3.6
18 pies
18 pies
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
434
E.3.5 Todos los de la estructura en la Figura E 3.5, son id´enticos con ´area de secci´on transversal rectangular de 1,6 pulg × 2 pulg y m´odulo de elasticidad E = 15(106 ) psi. E.3.6 En la estructura mostrada en la Figura E 3.6, los horizontales son barras de secci´on cuadrada s´ olida de acero con dimensi´on b´asica de 30 mm de arista; todos los otros son pletinas de hoja de acero planas de 6 mm de espesor por 50 mm de ancho. Use E = 207 GPa como valor del m´ odulo de elasticidad. Son las tensiones calculadas de magnitud razonable para el acero estructural ?. E.3.7 La cercha mostrada en la Figura E 3.7 est´a compuesta de elementos s´olidos redondos de acero de 2 pulg de di´ ametro. El m´ odulo de elasticidad de todos ellos es 30(106 ) psi. Aparte de las tensiones internas y la deformaci´on producida, que preocupaciones deben ser consideradas para verificaci´ on con esta estructura ?. Haga que su respuesta se relacione a los valores de tensi´ on relativamente bajos, que fueron calculados. 2000 lb
4
1000 lb
1200 lb 1500 lb
4 pies 6
3
8 pies
6 pies
2
12 pies
5
6 pies
12 pies
1
7
Figura E 3.7
E.2.
Cap´ıtulo 4
Los problemas en esta secci´ on se tratan de estructuras del tipo marco (es decir, estructuras en las que las uniones son r´ıgidas y transmiten momento de flexi´on, diferentes a las uniones articuladas que interconectan los elementos en una estructura tipo cercha). E.4.1 – E.4.7 Resolver los problemas E.3.1–E.3.7, respectivamente, asumiendo que las uniones son r´ıgidas (mediante soldadura o roblonado ribeteado). La informaci´on adicional requerida es como sigue: Para el Problema E.3.1: Iz = 0,4 pulg4 . Para el Problema E.3.5: Iz = 0,53 pulg4 . E.4.8 La Figura E 4.8 muestra un modelo b´asico de un marco de bicicleta. Todos los son tuber´ıa redonda de 1 pulg de di´ ametro externo y 0,1 pulg de espesor de pared; y el marco est´a constru´ıdo de titanio que tiene un m´odulo de elasticidad de 15(106 ) psi. Determine la defle-
E.2. CAP´ITULO 4
435
xi´on m´ axima y las tensiones internas en cada miembro. Las coordenadas nodales (medidas en pulgadas) de la estructura son como sigue: Coordenadas nodales 300 lb
50 lb
Nodo
x
y
1 2 3 4 5 6 7
0 18 11 9 27 29 36
0 0 14 18 18 14 0
5
4
6
3
7
1
2
Figura E 4.8
E.4.9 Determine la deflexi´ on m´ axima y la tensi´on interna m´axima en la estructura marco mostrada en la Figura E 4.9, si los estructurales son tubos s´olidos de aluminio de 1 pulg de di´ ametro, para los cuales E = 107 psi. 200 lb-pie 500 lb 2
3
1800 lb-pie
8 pies
1
4 8 pies
Figura E 4.9
E.4.10 La Figura E 4.10 muestra un arco que es la estructura de apoyo principal para una pasarela. Esta estructura se construye con perfiles I de acero AISC 6I17.5 estandar (momento de inercia centroidal Iz = 26,0 pulg4 ; ´area A = 5,02 pulg2 ; altura h = 6 pulg). Use elementos marco rectos para modelar este puente y examine la convergencia de la soluci´on a medida que el n´ umero de elementos se aumenta de 6 a 12 a 18. En la evaluaci´on de convergencia, examine ambos valores de la deflexi´on y la tensi´on interna. Tambi´en note que, debido a la direcci´ on de carga, deben ser incluidos los efectos axiales; para ello considere que E = 3(107 ) psi.
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
436
5 pies
5 pies
5 pies
5 pies
5 pies
5 pies
2000 lb 1500 lb
1500 lb
1000 lb
1000 lb
6 pies
Figura E 4.10 E.4.11 La estructura marco mostrada en la Figura E 4.11 est´a compuesta de cuadrados s´olidos de 10 mm de arista, que tienen m´odulo de elasticidad de 100 GPa. Determine la deformaci´ on m´ axima, la m´ axima pendiente de la deformaci´on, y la tensi´on m´axima. 500 N/m
3m
2,5 m
1,5 m
Figura E 4.11
E.4.12 La estructura mostrada en la Figura E 4.12 es un modelo del soporte de una luminaria de un poste ligero para una autopista. Para la uniformidad en la carga del viento, los estructurales son tubos circulares. El di´ametro externo de cada miembro es de 3,0 pulg y el espesor de pared es 0,25 pulg. Calcule la deflexi´on en cada junta estructural y determine las m´aximas tensiones. Examine los efectos en su soluci´on al usar m´as elementos (es decir, refine la malla). Considere que el m´ odulo de elasticidad es E = 107 psi.
3,75 pies 2 pies 800 lb 8 pies
Figura E 4.12
4 pies
1500 lb
E.3. CAP´ITULO 7
E.3.
437
Cap´ıtulo 7
E.7.1 Una aleta de transferencia de calor redonda adelgazada (conocida como aleta de alfiler) se aisla alrededor de su circunferencia, como es mostrado en la Figura E 7.1. El extremo final (D = 12 mm) se mantiene a una temperatura constante de 90◦ C, mientras el extremo m´as peque˜ no (d = 6 mm) est´ a a 30◦ C. Determine el flujo de calor de estado estacionario a trav´es de la aleta directamente usando una malla de elementos con aristas rectas. La conductividad t´ermica del material es k = 200 W/m-◦ C. Aislado
12 mm
6 mm
150 mm
Figura E 7.1
E.7.2 Un conducto rectangular del sistema de calefacci´on en una casa tiene dimensiones de 12 pulg × 18 pulg como es mostrado en la Figura E 7.2. El conducto se aisla con una capa uniforme de fibra de vidrio de 1 pulg de espesor. El conducto (metal en plancha de acero) se mantiene a una temperatura constante de 115◦ F. La temperatura ambiente del aire alrededor del conducto es de 55◦ F. (a) Calcule la distribuci´ on de temperatura en el aislamiento y la p´erdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante. La conductividad t´ermica del aislamiento es uniforme en todas las direcciones y tiene valor k = 0,025 Btu/hr-pie-◦ F; el el coeficiente de convecci´on al aire ambiente es h = 5 Btu/hr-ft2 -◦ F. (b) Repita los c´ alculos para un espesor de aislamiento de 2 pulg. o
Ta = 115 F o
T0 = 55 F
12 pulg
18 pulg
Figura E 7.2
E.7.3 La Figura E 7.3 representa una secci´on transversal de una barra larga aislada en las superficies superior e inferior; de aqu´ı, el problema ser´a tratado como bi–dimensional sobre una base por unidad de longitud. El borde izquierdo se mantiene a una temperatura constante de 100◦ C, mientras que el borde derecho se mantiene a 26◦ C. El material tiene la conductividad uniforme k = 35 W/m-◦ C. Determine la distribuci´on de temperatura y el flujo de calor de estado–estacionario. Qu´e elemento usted deber´ıa usar ? (triangular, rectangular ?. Realice el an´ alisis con elementos diferentes para observar las diferencias en las soluciones). Refine la malla y examine la convergencia.
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
438
45 cm
100° C
26° C
100 cm
Figura E 7.3 E.7.4 Un tubo delgado de cobre (di´ ametro de 12 mm) conteniendo agua a una temperatura media de 95◦ C est´ a empotrado en una placa s´olida larga y delgada, como se muestra en la Figura E 7.4. Los bordes verticales est´ an aislados. Los bordes horizontales se exponen a una temperatura ambiente de 20◦ C y el coeficiente de convecci´on asociado es h = 20 W/m2 -◦ C. El material tiene conductividad uniforme k = 200 W/m-◦ C. Calcule el flujo de calor neto de estado estacionario, y la distribuci´ on de temperatura en la secci´on transversal. Ta = 20° C 25 mm
95° C
50 mm
Figura E 7.4 E.7.5 La Figura E 7.5 muestra una secci´on transversal horizontal de una chimenea que evac´ ua los gases generados por una estufa de madera. El flujo gaseoso se a´ısla con ladrillo refractario de 6 pulg de espesor y teniendo una conductividad uniforme k = 2, 5 Btu/hr-pies-◦ F. La chimenea est´a rodeada por el aire a temperatura ambiente de 40◦ F, y el coeficiente de convecci´on es 5 Btu/hr-pie2 -◦ F. Determine la distribuci´on de temperaturas en el ladrillo refractario y la p´erdida de calor por unidad de longitud. 6 pulg
o
12 pulg o
1200
F
20 pulg
Figura E 7.5
40
F
E.3. CAP´ITULO 7
439
E.7.6 La aleta de transferencia de calor mostrada en laFigura E 7.6 se conecta a una tuber´ıa que lleva un fluido a una temperatura promedio de 120◦ C. El espesor de la aleta es 3 mm. Este dispositivo de disipaci´ on de calor est´a rodeado por aire a temperatura de 30◦ C y sujeto a convecci´ on en todas las superficies con coeficiente h = 20 W/m2 -◦ C. El material de la aleta tiene conductividad uniforme k = 50 W/m-◦ C. Determine el flujo de transferencia de calor desde la aleta y la distribuci´on de temperatura en la misma. o
10 35 mm
25 mm o
120 C
100 mm
Figura E 7.6
E.7.7 La secci´ on transversal mostrada es de un paso peatonal en una galer´ıa comercial, despu´es de haber empotrado los cables de calor para prevenir la acumulaci´on de hielo en la ´epoca de invierno. Los bordes verticales est´an aislados y las superficies horizontales est´an en las temperaturas de r´egimen mostradas. El material tiene una conductividad uniforme k = 0, 6 Btu/hr-pies-◦ F y los cables tienen una potencia fuente cal´orica de 200 Btu/hr-pulg. Calcule el flujo neto de transmisi´ on de calor y la distribuci´on de temperatura en la secci´on mostrada. o
32
F
2 pulg
8 pulg
12 pulg o
15 F
Figura E 7.7
E.4.
Cap´ıtulo 9
E.9.1 La viga en voladizo mostrada en la Figura E 9.1 est´a sujeta a una carga concentrada F aplicada en su extremo libre. Modele esta viga usando elementos tri–dimensionales del tipo ladrillo y compare la soluci´on de elemento finito con la soluci´on que proporciona la teor´ıa de la viga elemental. C´ omo hace usted para aplicar la carga concentrada en el modelo de elemento finito ?.
L E
h F b
Figura E 9.1
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
440
E.9.2 Refi´erase a un texto normal de dise˜ no mec´anico y obtenga los par´ametros geom´etricos de una involuta estandar del perfil de un diente de engranaje. Asumiendo que el diente est´a empotrado al di´ ametro de la corona de ´este elemento mec´anico, determine la distribuci´on de tensiones en el diente del engranaje cuando la carga act´ ua en: (a) el extremo del diente y (b) en un punto sobre el di´ ametro pitch. (c) Tienen sus resultados concordancia con la teor´ıa cl´ asica de engranajes ?. E.9.3 Un placa plana de 25 mm de espesor est´a cargada como se muestra en la Figura E 9.3; el material tiene m´ odulo de elasticidad E = 150 GPa y coeficiente de Poisson igual a 0,3. Determine la deflexi´ on m´ axima, la tensi´on normal m´axima, y las fuerzas de reacci´on asumiendo un estado plano de tensiones. 10 000 N
3m
9m
Figura E 9.3
E.9.4 Repita el Problema E.9.3, si el espesor var´ıa desde 25 mm en el extremo izquierdo, a 15 mm en el extremo derecho. E.9.5 Una placa delgada de acero, de 0,5 pulg de espesor se sujeta a la carga mostrada (v´ease la Figura E 9.5). Determine el desplazamiento m´aximo y la distribuci´on de tensiones en la placa. Use como valor del m´ odulo de elasticidad E = 30(106 ) lb/pulg2 , y coeficiente de Poisson igual a 0,3. 50 lb-pulg
15 pulg
40 pulg
150 lb
Figura E 9.5
E.9.6 Una placa delgada uniforme sujeta a una tensi´on uniforme en sus extremos como es mostrada en la Figura E 9.6, tiene un agujero rectangular central. Use el m´etodo de elemento finito para determinar el factor de concentraci´on de tensiones alrededor de la perforaci´on. Use las propiedades materiales del acero en sus c´alculos. Sus resultados cambiar´ıan si usted usa las propiedades materiales del aluminio ?. S´ı, N´o, Por qu´e ?. 6 pulg
0
0
3 pulg 0,5 pulg
Figura E 9.6
E.3. CAP´ITULO 7
441
E.9.7 La Figura E 9.7 muestra una situaci´on com´ un en el dise˜ no mec´anico. Un filete redondeado es usado para permitir la transici´on entre secciones que tienen dimensiones diferentes. Use el m´etodo de elemento finito para determinar el factor de concentraci´on de tensiones alrededor del radio del filete en el cambio de la secci´on. El espesor del material es 0,25 pulg y el m´odulo de elasticidad 15(106 ) psi. C´omo usted modela la solicitaci´on del momento aplicado como carga ?. 55 mm
50 mm
7,5 mm
25 mm
40 mm 4000 N-m
4000 N-m
Figura E 9.7
E.9.8 La placa del escudete mostrado en la Figura E 9.8 est´a conectada en su parte superior izquierda por medio de un remache ribeteado de 1,5 cm de di´ametro y sostenida en su extremo inferior (modelado como una conexi´on articulada fija). La placa est´a cargada como es mostrado en el esquema. Asumiendo que el remache es una conexi´on r´ıgida, calcule la distribuci´on de tensiones alrededor de la circunferencia del remache. Tambi´en determine la deflexi´on m´axima. El escudete tiene espesor de 14 mm, m´odulo de elasticidad 207 GPa, y coeficiente de Poisson 0,28.
2,5 cm 5 cm
40 cm 8000 N
45 cm Figura E 9.8
E.9.9 A menudo se usan ejes de secciones no circulares para los acoplamientos de r´apido–cambio. La Figura E 9.9 muestra una secci´on transversal hexagonal usada para tal prop´osito. La longitud del eje es 6 pulg y est´a sujeto a un torque neto de 2800 lb-pulg. Si el material es acero, calcule el ´ angulo total de torsi´on. (Nota: es muy probable que su software de elemento finito no tenga un elemento directamente aplicable a este problema. Por tanto, es posible que pueda requerirse aplicar analog´ıa.)
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
442
1 pulg
Figura E 9.9
E.5.
Cap´ıtulo 10
E.10.1 Para cada cercha de los Problemas E.3.1 — E.3.7 y E.4.1 — E.4.7, determine las cuatro frecuencias naturales m´ as bajas y las formas modales correspondientes. C´omo ´estas var´ıan con uniones articuladas versus la hip´otesis de uniones r´ıgidas ?. (Note que, d´onde un material no se especifica, usted puede adoptar a discreci´on el valor de la densidad). E.10.2 Use la capacidad de an´ alisis modal de su software de elemento finito para determinar las frecuencias naturales y las formas modales asociadas, de la viga en voladizo mostrada en la Figura E 10.2. Use el refinamiento de malla para observar la convergencia de las frecuencias. Compare con los valores publicados en cualquier texto normal de vibraciones mec´anicas. Qu´e representan las frecuencias m´as elevadas ?. Cu´antas frecuencias recomienda usted que se deber´ıan calcular ?. Porqu´e ?.
, E, Iz A L
Figura E 10.2
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444
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Jaime G. Molina P. Catedr´atico Em´erito Ingenier´ıa Mec´anica U. M. S. A.
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La presentaci´ on y disposici´ on en conjunto de: ´todo de elemento finito ” “ fundamentos del me incluye materia preliminar, cuerpo de texto y materia posterior. Adem´ as tambi´ en incluye un cd en la contratapa, que contiene archivos electr´ onicos complementarios al documento. La propiedad intelectual de este trabajo se transfiere a la U.M.S.A.
Instituci´ on patrocinante y el autorProcesado conceden licencia para Procesadocopiar,La distribuir Procesado Procesado y/o modificar este documento seg´ un las condiciones
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Derechos No Reservados: 2010. jaime g. molina p.
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Dedicatoria A quien fu´e el primero en mostrarme el m´etodo de elemento finito, y se convirti´ o luego en mi amigo y principal mentor : PhD.Eng. J. Roger Saravia Luna† . A todos ustedes quienes con sacrificio y tal vez noches de desvelo, estudien este documento con el ´animo de aprender algo nuevo. A mi hermano y amigos de mi entorno m´as cercano, por comprender mi aislamiento de ellos necesario para escribir esta obra. A la eterna memoria de mis padres, quienes me dieron la oportunidad de haberme educado para alcanzar mis metas anheladas.
Jaime G. Molina P. Verano de 2010
Fundamentos del M´ etodo de Elemento Finito Primera Edici´ on
Jaime G. Molina P. Catedr´ atico Em´erito Ingenier´ıa Mec´ anica U. M. S. A.
´Indice de Contenido
1. Conceptos b´ asicos 1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Concepci´ on del m´etodo de elemento finito ? 1.2.1. Convergencia del m´etodo . . . . . . 1.2.2. El m´etodo de diferencias finitas . . . 1.3. Procedimiento general . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Pre–procesamiento . . . . . . . . . . 1.3.2. Procesamiento o Soluci´on . . . . . . 1.3.3. Post–procesamiento . . . . . . . . . 1.4. Breve historia del m´etodo de elemento finito 1.5. Ejemplos de an´ alisis de elemento finito . . . 1.6. Objetivos del documento . . . . . . . . . . .
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1 1 2 4 7 9 10 10 10 11 12 14
2. An´ alisis uni–dimensional 2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El resorte linealmente el´ astico . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Ensamble del sistema en coordenadas globales . 2.3. El elemento barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Energ´ıa de deformaci´ on el´ astica . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Primer teorema de Castigliano . . . . . . . . . 2.5. Energ´ıa potencial m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. El m´ etodo dir´ ecto de rigidez 49 3.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Ecuaciones de equilibrio nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 v
vi 3.3. Transformaci´ on de elemento . . . . . . . . . . 3.3.1. Cosenos directores . . . . . . . . . . . 3.4. Ensamble de la matriz de rigidez global . . . 3.5. Condiciones de borde, y fuerzas de restricci´on 3.6. Deformaciones y tensiones de elemento . . . . 3.7. Un ejemplo completo . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Cerchas tri–dimensionales . . . . . . . . . . . 3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Elementos de f lexi´ on 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . 4.2. Teor´ıa elemental de vigas . . . . . 4.3. El elemento viga . . . . . . . . . . 4.4. Matriz de rigidez de elemento viga 4.5. Vector de carga de elemento . . . . 4.6. Cargas nodales equivalentes . . . . 4.7. El elemento marco . . . . . . . . . 4.8. El elemento rectil´ıneo general . . . 4.9. Comentarios finales . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . .
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5. El m´ etodo de residuos ponderados 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. El m´etodo de residuos ponderados . . 5.3. El m´etodo de elemento finito Galerkin 5.3.1. Formulaci´ on de elemento . . . 5.4. Aplicaci´ on en elementos estructurales . 5.4.1. El elemento barra . . . . . . . 5.4.2. El elemento viga . . . . . . . . 5.5. Conducci´ on de calor uni–dimensional . 5.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . .
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6. Funciones de interpolaci´ on 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Requisitos de compatibilidad e integridad . . . . . . . 6.2.1. Compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Integridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Formas polinomiales: Elementos uni–dimensionales . . 6.3.1. Elementos unidimensionales de orden–superior 6.4. Formas polinomiales: isotrop´ıa geom´etrica . . . . . . . 6.5. Elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Coordenadas de ´ area . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Elemento triangular de seis–nodos . . . . . . . 6.5.3. Integraci´ on en coordenadas de ´area . . . . . . . 6.6. Elementos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Elementos tri–dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Elemento tetra´edrico de cuatro–nodos . . . . . 6.7.2. Elemento ladrillo de ocho–nodos . . . . . . . . 6.8. Formulaci´ on isoparam´etrica . . . . . . . . . . . . . . .
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vii 6.9. Elementos de simetr´ıa axial . . . . . . . . . . 6.10. Integraci´ on num´erica: Cuadratura Gaussiana 6.11. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Transmisi´ on del calor 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Conducci´ on uni–dimensional: elemento cuadr´atico . . . . . . . 7.3. Conducci´ on uni–dimensional con convecci´on . . . . . . . . . . . 7.3.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Transmisi´ on de calor bi–dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Condiciones de simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4. Resultantes de elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5. Generaci´ on interna de calor . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Transferencia de calor con transporte de masa . . . . . . . . . . 7.6. Transmisi´ on de calor tri–dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Ensamble del sistema y condiciones de borde . . . . . . 7.7. Transmisi´ on de calor con simetr´ıa axial . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Transmisi´ on de calor transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1. M´etodos de diferencias finitas para respuesta transiente: Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2. M´etodos de diferencia central y diferencia regresiva . . . 7.9. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Mec´ anica de fluidos 8.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. An´ alisis de flujo incompresible . . . . . . . . 8.2.1. Flujo rotacional e irrotacional . . . . 8.3. La funci´ on de corriente . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . 8.3.2. Condiciones de borde . . . . . . . . 8.3.3. La funci´ on potencial de velocidad . . 8.3.4. Flujo alrededor de m´ ultiples cuerpos 8.4. Flujo viscoso incompresible . . . . . . . . . 8.4.1. Flujo de Stokes . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Flujo viscoso con inercia . . . . . . . 8.5. Resumen final . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . .
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263 . 263 . 265 . 266 . 267 . 268 . 269 . 273 . 280 . 282 . 283 . 288 . 289 . 290
9. Mec´ anica de s´ olidos 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Tensi´ on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . 9.2.2. Evaluaci´ on de la matriz de rigidez . . . 9.2.3. Cargas distribu´ıdas y fuerzas de cuerpo 9.3. Deformaci´ on plana . . . . . . . . . . . . . . . .
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293 293 294 296 299 300 306
viii 9.4. Formulaci´ on isoparam´etrica . . . . . . . . . . . . 9.5. An´alisis de tensiones en simetr´ıa axial . . . . . . 9.5.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . 9.5.2. Cargas de elemento . . . . . . . . . . . . . 9.6. Elementos de tensi´ on tri–dimensionales generales 9.6.1. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . 9.7. Evaluaci´ on de deformaciones y tensiones . . . . . 9.8. Consideraciones pr´ acticas . . . . . . . . . . . . . 9.9. Torsi´ on no–circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . 9.9.2. Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.3. Formulaci´ on de elemento finito . . . . . . 9.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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310 317 319 321 324 325 327 331 333 336 336 336 340 340
10.Din´ amica estructural 10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. El oscilador arm´ onico simple . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Vibraci´ on forzada . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Sistemas con m´ ultiples grados de libertad . . . . . 10.3.1. Sistemas con varios grados de libertad . . . 10.4. El elemento barra: matriz de masa consistente . . . 10.5. El elemento viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Matriz de masa para un elemento general . . . . . 10.7. Ortogonalidad de los modos principales . . . . . . 10.8. Respuesta arm´ onica mediante superposici´on modal 10.9. Disipaci´ on de energ´ıa: amortiguamiento estructural 10.9.1. Amortiguamiento estructural general . . . . 10.10.Respuesta din´ amica transitoria . . . . . . . . . . . 10.11.An´alisis din´ amico estructural . . . . . . . . . . . . 10.12.Consideraciones pr´ acticas . . . . . . . . . . . . . . 10.13.Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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401 . 402 . 403 . 404 . 405 . 407
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409 . 410 . 413 . 414 . 415
´ A. Temas de Algebra Lineal A.1. Definiciones . . . . . . . A.2. Operaciones algebr´ aicas A.3. Determinantes . . . . . A.4. Inversi´ on matricial . . . A.5. Partici´ on matricial . . .
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B. Ecuaciones de elasticidad B.1. Relaciones desplazamiento–deformaci´on B.2. Relaciones tensi´ on–deformaci´ on . . . . . B.3. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . B.4. Ecuaciones de compatibilidad . . . . . .
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ix C. Soluci´ on de ecuaciones C.1. M´etodo de Cramer . . . C.2. Eliminaci´ on de Gauss . C.3. Descomposici´ on L–U . . C.4. Soluci´ on frontal . . . . . C.5. Exactitud de la soluci´ on
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D. El programa FEPC D.1. El programa computacional FEPC D.2. Pre–procesamiento . . . . . . . . . D.3. Soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . D.4. Post–procesamiento . . . . . . . . D.5. Detalles del paquete . . . . . . . .
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E. Problemas de proyecto E.1. Cap´ıtulo 3 . . . . . . E.2. Cap´ıtulo 4 . . . . . . E.3. Cap´ıtulo 7 . . . . . . E.4. Cap´ıtulo 9 . . . . . . E.5. Cap´ıtulo 10 . . . . .
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xi
Prefacio
´todo de Elemento Finito”, tiene pretensi´on de ser La presente obra: “Fundamentos del Me libro de texto para un curso terminal de pre–grado o inicial de nivel–superior (post–grado), dise˜ nado para ser inclu´ıdo en los programas de estudio de ingenier´ıa. La orientaci´on tem´atica de su contenido se adapta muy apropiadamente a los programas de estudio de ingenier´ıa mec´anica e ingenier´ıa civil, aunque podr´ıa ser considerado tambi´en como libro de consulta en otros campos de la ingenier´ıa o en un curso de matem´ atica aplicada. El m´etodo de elemento finito es una t´ecnica de an´alisis y dise˜ no ampliamente utilizada actualmente, que es esencial para los estudiantes de ingenier´ıa que poseen rudimentos b´asicos de la teor´ıa y aplicaciones de los m´etodos discretos de an´alisis. Persiguiendo el objetivo de aprender algo m´as sobre el m´etodo, a finales del a˜ no 2006 en la Universidad de Calghary — en Canad´a — fu´ı invitado para elaborar y ense˜ nar una serie de “temas especiales” como parte de un simposio de charlas complementarias al curso extraordinario de modalidad electiva del m´etodo de elemento finito, implementado el segundo semestre de dicho a˜ no en la universidad mencionada. El curso estaba compuesto de aproximadamente tres–cuartas partes de teor´ıa y una cuarta parte de uso de software comercial destinado a la resoluci´ on de los problemas asignados a lo largo del curso. Subsecuentemente, desde dicha ´epoca, el curso se ha convertido en uno regularmente ofrecido como asignatura de especialidad de modalidad obligatoria en el programa de ingenier´ıa mec´anica, y generalmente posee una demanda muy alta de estudiantes interesados en aprender esta materia (incluso como asignatura electiva, para ser cursada por estudiantes pertenecientes a otras carreras de ingenier´ıa). Durante el proceso de desarrollo para el curso, los responsables de impartirlo nunca estuvimos satisfechos con cualquier texto que se us´o en el mismo, y nosotros probamos muchos libros escritos sobre el tema, por cierto. Encontramos que los textos disponibles se ubicaban a un extremo u otro de nuestras pretensiones; a saber, en algunos esencialmente ninguna teor´ıa y mucha aplicaci´on de software; o toda la teor´ıa y ninguna aplicaci´on de software. Los planteamientos pedag´ogicos anteriores, en mi opini´ on, representan: el primero, entrenamiento extensivo usando programas computacionales (adecuado para quien domina la teor´ıa y se inmiscuye exclusivamente con las aplicaciones del m´etodo); mientras que el segundo pretende desarrollo extensivo te´orico sin acercamiento al software asociado al m´etodo (adecuado para quien pretende dominar la teor´ıa, sin inmiscuirse en la aplicaci´on pr´actica).
xii En esa ´epoca esperaba que la experiencia que relato en anteriores p´arrafos se replicara en la universidad donde imparto ense˜ nanza. Y afortunadamente, en la actualidad, por la apertura del ciclo de Postgrado con el Programa de Maestr´ıa en Ciencias de la Ingenier´ıa Mec´anica, tengo la oportunidad de hacer el intento de replicar de alguna manera la experiencia acad´emica antes comentada. Es pretensi´ on de ´este documento ubicarse en lo posible en un punto medio donde ciertamente se d´e preferencia a la elaboraci´ on te´ orica, pero sin omitir los aspectos de tipo pr´actico mediante utilizaci´on de software adecuado para ello. Esto porque consideramos este documento como un libro de texto adecuado a un curso introductorio al m´etodo de elemento finito. En tal virtud, los problemas propuestos para ser resueltos computacionalmente no son de un gran volumen de datos de entrada, de modo que para resolverlos podr´ıa utilizarse incluso un paquete de caracter acad´emico (existen muchos de descarga gratuita en diversos portales de la red Internet). Pedag´ogicamente, yo creo que proporcionar entrenamiento pr´actico al estudiante pre–graduado en el uso de un paquete de software particular, sin proporcionarle conocimiento de la concepci´on te´orica subyascente en los programas computacionales que conforman el paquete, es un perjuicio al estudiante y puede ser hasta peligroso para sus futuros empleadores. Me considero que soy agudamente consciente que la mayor´ıa de los programas de estudio en ingenier´ıa, tienen un paquete espec´ıfico de software de elemento finito disponible para el uso del estudiante; y simult´aneamente yo no creo que el texto que los estudiantes usen s´ olo deba exclusivamente atarse en su desarrollo te´orico a ese espec´ıfico software. Por consiguiente, he escrito este texto para que sea considerado independiente de cualquier software en particular. Doy ´enfasis a la teor´ıa b´ asica del m´etodo de elemento finito, en un contexto que pueda entenderse por cualquier estudiante com´ un de ingenier´ıa, y dejo las porciones espec´ıficas de utilizaci´on de software a la curiosidad e inquietud del lector, para que ´el mismo complemente su aprendizaje incorporando la parte pr´ actica de utilizaci´ on de ´esta herramienta computacional de manera individual y autodidacta. Como el texto est´ a elaborado para un curso introductorio al m´etodo de elemento finito, los requisitos de conocimiento previo comprenden: los principios de la mec´anica general en sus partes componentes est´atica y din´ amica, la mec´ anica de materiales, la mec´anica de fluidos, la termodin´amica y la transmisi´on de calor, y finalmente el c´ alculo infinitesimal en concepci´on de las operaciones b´asicas de integraci´on y derivaci´ on de funciones, juntamente con la aplicaci´on a la soluci´on de las ecuaciones diferenciales. Por necesidad, y cuando sea ineludible, se introducen ecuaciones diferenciales en derivadas parciales al interior del desarrollo te´ orico presentado; pero de una manera que pueda entenderse sin mayor dificultad, basado en los requisitos previos declarados. Las aplicaciones del m´etodo de elemento finito a la transmisi´on del calor y la mec´anica del medio fluido son incluidas en Cap´ıtulos espec´ıficos, pero las deducciones necesarias son tales que los cursos anteriores en esos temas se requieren solamente por los conceptos fundamentales de definici´on que fueron supuestamente elaborados en dichos cursos precedentes. Seguramente, muchos estudiantes habr´an tomado cursos regulares previos de transferencia de calor y mec´anica de fluidos, y los temas aqu´ı presentados pueden suponerse que resultar´ an ser extensi´on natural de aquellos temas fundamentales que los estudiantes poseen como conocimiento previo a este curso. Advierto que esta obra no es completamente in´edita en autor´ıa; mucha parte de su contenido es traducci´on e interpretaci´ on libre del texto: “Fundamentals of the Finite Element Analysis” de David D. c Hutton (McGraw Hill – Higher Education Publications, 1st. Ed., 2004 , International Edition), con la autorizaci´on del autor para efectuar una traducci´on no literal de las partes de inter´es. Otras partes de desarrollo te´orico sobretodo, son tambi´en traducciones no–literales de diversos documentos (art´ıculos y partes menores de otros libros descargados desde la red Internet), y una parte algo menor es de autor´ıa propia en concepci´ on y redacci´ on, la cual se ha incorporado en forma de p´arrafos intermedios de explicaci´on m´ as detallada de los temas que son tratados. El contenido del presente documento, seccionado siguiendo un formato estandar pre–establecido, incluye los temas siguientes: Cap´ıtulo 1 — es una introducci´ on general al m´etodo del elemento finito, e incluye una descripci´on del concepto b´ asico de dividir un dominio en una serie de sub–dominios de tama˜ no finito. El
xiii m´etodo de diferencias finitas se presenta para comparaci´on con el m´etodo de elemento finito. Un procedimiento general en la secuencia de definici´on, soluci´on, y la interpretaci´on de resultados asociados con el modelo matem´atico de an´alisis se discute, y se relaciona a la serie generalmente aceptada de: pre–procesamiento, soluci´on, y post–procesamiento. Tambi´en se incluye una historia breve del m´etodo de elemento finito, como tambi´en algunos ejemplos que ilustran la aplicaci´on del m´etodo. Cap´ıtulo 2 — introduce el concepto de matriz de rigidez de elemento finito, y la ecuaci´on del campo de desplazamientos asociado, en t´erminos de las denominadas funciones de interpolaci´on, usando el resorte lineal como un elemento finito. Este elemento mec´anico (el resorte lineal el´astico) es conocido por la mayor´ıa de estudiantes pre–graduados, por lo que su comportamiento mec´anico no debe ser nuevo para ellos. Sin embargo, la representaci´on del resorte lineal como un elemento finito es nueva, y la virtud de ´este enfoque es que proporciona un ejemplo simple y conciso del m´etodo de elemento finito. La premisa de formulaci´on del elemento resorte es extendida al elemento barra, y se introducen los m´etodos de concepci´on energ´etica. El primer teorema de Castigliano es aplicado, como representaci´on del principio de energ´ıa potencial m´ınima. El teorema de Castigliano es un m´etodo simple para introducir al estudiante pre–graduado a los principios de minimizaci´ on funcional sin el uso expl´ıcito del c´alculo variacional. Cap´ıtulo 3 — utiliza el elemento barra del Cap´ıtulo anterior para ilustrar el ensamble global de las ecuaciones de equilibrio para una estructura compuesta de muchos elementos finitos. Se desarrolla la transformaci´ on de las ecuaciones gobernantes de comportamiento mec´anico desde las coordenadas del elemento hacia las coordenadas globales (de la estructura), y se ilustra el procedimiento con ejemplos bi y tri–dimensionales. El m´etodo directo de rigidez se utiliza y se presentan dos m´etodos para el ensamble de la matriz de rigidez global. Se discute la aplicaci´on de condiciones de borde l´ımite y la soluci´ on de las ecuaciones de restricci´on. Se muestra tambi´en el uso de la soluci´ on b´ asica del desplazamiento para obtener la tensi´on interna del elemento, y se muestra a la tensi´ on como una importante operaci´on de la etapa de post–procesamiento. Cap´ıtulo 4 — introduce el elemento viga como un elemento flexible y tem´aticamente como puente a los requisitos de continuidad para los elementos de orden–superior. Se introduce el concepto de continuidad de la derivada espacial y esto requiere un ajuste a las funciones de interpolaci´on asumidas, para asegurar la continuidad requerida por la soluci´on. Se discuten los vectores de carga nodales en el contexto de cargas discretas y distribu´ıdas, usando el m´etodo de equivalencia del trabajo mec´ anico. Los Cap´ıtulos 2, 3, y 4, introducen los procedimientos b´asicos de elemento–finito modelando los sistemas considerados en el contexto de elementos estructurales simples que deben ser muy conocidos por el estudiante desde el requisito previo de su curso de mec´anica de materiales. As´ı, el ´enfasis en la parte inicial del curso en que el texto es usado puede estar enmarcado en la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito hacia situaciones simples, sin la introducci´on de nuevos conceptos f´ısicos. Los elementos barra y viga pueden usarse para proporcionar al estudiante problemas pr´ acticos de estructuras reticuladas compuestas de elementos rectil´ıneos, cuya soluci´on deba ser hallada aplicando el software disponible para el m´etodo de elemento finito. Cuando el alumno adquiera dominio (en el contexto bidimensional) de manejo de los elementos barra y viga, este conocimiento proporciona un ´ ambito adecuado para que se pueda combinar este desarrollo te´orico y generar el elemento marco, adecuado para el an´alisis o dise˜ no de estructuras tipo p´ortico. Cap´ıtulo 5 — es el trampol´ın hacia los conceptos m´as avanzados de an´alisis por aplicaci´on del m´etodo de elemento finito. El m´etodo de residuos ponderados se introduce como la t´ecnica fundamental que ser´ a utilizada en el resto del texto. El m´etodo de Galerkin se utiliza exclusivamente desde que particularmente he encontrado que este m´etodo es comprensible para el estudiante, y es d´ocil a la formulaci´ on de una gama amplia de problemas que se presentan en los diversos campos de la ingenier´ıa. El material en este Cap´ıtulo repite los desarrollos de los elementos barra y viga presentados anteriormente desde una perspectiva diferente, pero tambi´en extiende el concepto de
xiv elemento finito a la trasferencia de calor uni–dimensional. La aplicaci´on a los elementos barra y viga ilustran que el m´etodo est´ a de acuerdo con el desarrollo te´orico presentado previamente en los Cap´ıtulos 2–4. La introducci´ on de los procesos de transferencia de calor expone al estudiante a aplicaciones adicionales del m´etodo de elemento finito, que probablemente sean nuevas para ´el. Cap´ıtulo 6 — es una descripci´ on plena de los requisitos a cumplir por las funciones de interpolaci´on usadas en modelos de elemento finito, asociados con cualquier problema f´ısico. Se delinean los requisitos de continuidad e integridad. Se definen las coordenadas naturales (polinomiales), las coordenadas superficiales, y las coordenadas de volumen; todas ellas se usan para desarrollar las funciones de interpolaci´ on para varios tipos de elementos en dos y tres dimensiones. El concepto de mapeo isoparam´etrico se introduce en el contexto del elemento cuadril´atero plano. Como un aspecto precursor a los Cap´ıtulos siguientes, se introduce el concepto de integraci´on num´erica usando la cuadratura Gaussiana, y se incluyen varios ejemplos de muestra de aplicaci´on de ´estos conceptos. Tambi´en se incluye el uso de elementos bidimensionales para modelar dominios tridimensionales que poseen simetr´ıa axial. Cap´ıtulo 7 — se presenta el m´etodo de Galerkin para desarrollar las ecuaciones de elemento finito para varias situaciones normalmente encontradas en procesos de transferencia de calor. Se discuten las formulaciones uni, bi, y tri–dimensionales para la transferencia de calor por conducci´on y convecci´ on. Aspectos asociados con el fen´omeno de radiaci´on no son incluidos, por el hecho que esta forma particular de transmisi´ on de calor introduce t´erminos de car´acter no–lineal en las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema, aspecto para el que los estudiantes pre– graduados no est´ an preparados por el nivel de los temas abordados en ´este documento. Pero, en compensaci´ on se incluye la transmisi´ on de calor con transporte de masa. El m´etodo de diferencias finitas junto con el m´etodo del elemento finito se utiliza para presentar m´etodos para analizar y resolver problemas de transferencia de calor transitorio, es decir dependientes del tiempo. Cap´ıtulo 8 — presenta las aplicaciones del elemento finito a la mec´anica de fluidos. Las ecuaciones generales gobernantes del flujo fluido son muy complejas y no–lineales, de modo que el tema se introduce por medio del estudio del flujo ideal. Se ilustra el uso de las funciones de corriente y potencial de velocidad, y se advierten las restricciones aplicables para casos diversos. Se incluyen problemas de ejemplo para hacer notar la analog´ıa con la transferencia de calor y se usan soluciones de elemento finito de procedimientos de transmisi´on de calor para resolver problemas de flujo ideales. Una discusi´ on breve acerca del flujo viscoso muestra la presencia de efectos no–lineales cuando se considera el comportamiento de un flujo fluido real (no ideal). Cap´ıtulo 9 — aplica el m´etodo de elemento finito a los problemas de la mec´anica del medio s´olido deformable bajo la condici´ on que la respuesta del material a una solicitaci´on externa es linealmente el´astica y la deformaci´ on producida es muy peque˜ na. Se definen formulaciones de elemento finito para los problemas de tensi´ on y deformaci´on planas, y se desarrollan soluciones para cada caso. Se incluyen los estados tridimensionales generales de tensi´on y tambi´en estados de tensi´on con simetr´ıa axial. As´ı mismo, se desarrolla un modelo para la torsi´on de secciones no–circulares usando la funci´ on de tensiones de Prandtl. El prop´osito de la secci´on dedicada al problema de torsi´on es que el estudiante tome conciencia que todos los objetos solicitados torsionalmente no siempre son de secci´ on transversal circular, y que el an´alisis a usarse en tales situaciones debe ajustarse para satisfacer la geometr´ıa real que posee dicho elemento. Cap´ıtulo 10 — introduce el concepto de movimiento din´amico de estructuras. No se presume que el estudiante ha tomado un curso formal de vibraciones mec´anicas; como resultado, este Cap´ıtulo incluye una introducci´ on b´ asica a la teor´ıa de vibraci´on. La mayor´ıa de este material resume lo estrictamente necesario para comprender la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a la mec´anica de vibraciones. El concepto de la matriz de masa o de inercia se desarrolla mediante una serie de ejemplos de simple comprensi´ on, como los sistemas masa–resorte; y entonces se extienden los conceptos y´ a desarrollados hacia el estudio de los cuerpos continuos s´olidos deformables. Se definen las matrices de masa consistentes y se usan en los ejemplos presentados. El an´alisis modal es el
xv m´etodo b´ asico presentado para hallar la respuesta din´amica; de modo que una cantidad considerable de material del texto se consagra a la determinaci´on de los modos naturales de vibraci´on, la ortogonalidad de los mismos, y la superposici´on modal para establecer la respuesta del sistema debida a la perturbaci´ on aplicada. Se incluye la combinaci´on del m´etodo de diferencias finitas y el m´etodo de elementos finitos para resolver problemas estructurales din´amicos transitorios, o sea variables en el tiempo. Hacia el final del libro se incluye una serie de Ap´endices, en los cuales se provee material a los estudiantes que podr´ıa ser nuevo para ellos, o que pueden tener la condici´on de material y´a conocido en forma previa y que de alguna manera constituyan conceptos te´oricos que hayan sido y´a olvidados debido a su escasa utilizaci´ on en el transcurso del tiempo hasta llegar a esta instancia de aprendizaje del m´etodo de elemento finito. Esta serie se compone de los siguientes temas: Ap´ endice A — es una revisi´ on del ´algebra matricial y debe ser material conocido por el estudiante desde un curso de ´ algebra lineal, com´ un en todos los programas de estudio de ingenier´ıa. Ap´ endice B — establece las relaciones constitutivas tridimensionales generales para un material el´ astico, homog´eneo, e is´ otropo. Yo he encontrado durante los a˜ nos que imparto clases de mec´anica de s´ olidos, que los estudiantes de pre–grado no tienen un dominio firme de estas relaciones. En general, el estudiante ha sido expuesto a tantos casos especiales que las ecuaciones tridimensionales no son comprendidas de verdad. Ap´ endice C — cubre tres m´etodos para resolver ecuaciones algebraicas lineales. Algunos estudiantes pueden usar este material como algoritmos para programar m´etodos de soluci´on. S´olamente inclu´ımos ´este Ap´endice para que el lector sea consciente de los algoritmos que tienen presencia debajo del software que usar´ an en el proceso de resolver computacionalmente los problemas de elemento finito que les sean planteados. Ap´ endice D — describe las capacidades computacionales b´asicas del software denominado FEPC. El programa de elemento finito para computador personal — FEPC (Finite Element Personal Computer) — fu´e desarrollado por el Dr. Charles Knight en el Instituto Polit´ecnico de Virginia y la Universidad Estatal; y se usa junto con este texto haciendo uso del permiso de registro de propiedad. Los programas del Dr. Knight permiten el an´alisis de problemas bi–dimensionales usando elementos: barra, viga y superficiales planos. El Ap´endice describe en general las capacidades y limitaciones del software. El programa FEPC est´a disponible para el estudiante mediante el portal de sitio en Internet: www.mhhe.com/hutton. Ap´ endice E — incluye los problemas (tipo mini–proyecto simulado) para varios cap´ıtulos del texto que deben ser resueltos mediante software de elemento finito. La dimensi´on de los problemas planteado no es tan grande, existiendo posibilidad de ser resueltos tambi´en mediante un peque˜ no paquete de caracter´ıstica acad´emica (existen algunos que pueden descargarse desde la red Internet). Adicionalmente, en el transcurrir del tiempo se agregar´an problemas de esta clase a ´este Ap´endice (en ediciones posteriores del libro) y tambi´en a alg´ un sitio WEB a ser creado, en la perspectiva de continuar la base de ejercicios propuestos que fueron puestos en este Ap´endice. El presente libro fu´e escrito para servir de material bibliogr´afico principal (libro de texto) en el curso regular del m´etodo de elemento finito, que se dicta en el programa de Postgrado de Maestr´ıa en Ciencias de la Ingenier´ıa Mec´ anica, de la Universidad Mayor de San Andr´es (UMSA) – La Paz, bolivia. Agradezco a las autoridades de la carrera de Ingenier´ıa Mec´anica de la UMSA por depositar su confianza y brindarme total respaldo para cumplir las funciones de docente de esta asignatura. Asimismo, agradezco la orientaci´ on de mi amigo: PhD.Eng. J. Roger Saravia Luna (†), en la estructuraci´on del contenido tem´ atico y sus sabios consejos para abordar la redacci´on de ´este documento.
Jaime G. Molina P. Verano de 2010
´todo fundamentos del me de elemento finito
Capítulo
1
Conceptos b´ asicos
El m´etodo de elemento finito es un m´etodo num´erico general para la aproximaci´on de soluciones de ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales) muy utilizado en diversos problemas principalmente de ingenier´ıa y f´ısica–matem´ atica aplicada. T´ıpicamente el m´etodo de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de la variable dependiente del problema y, posteriormente, a trav´es de relaciones generales y constitutivas se calculan las variables secundarias de inter´es luego que se ha obtenido la soluci´on para el modelo de elemento finito que ha sido formulado. Esta t´ecnica tuvo su origen en el tratamiento de problemas planteados por la mec´anica de s´olidos deformables, pero en la actualidad es m´as generalmente aplicable a cualquier problema de la mec´anica de medios continuos (que involucra a todos los estados agregados de la materia). El m´etodo de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de c´alculo complejos (en dos o tres dimensiones). Adem´as el m´etodo es f´ acilmente adaptable a problemas de transmisi´on de calor, de mec´anica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (fluidodin´amica) o de campo electromagn´etico. Dada la imposibilidad pr´ actica de encontrar la soluci´on anal´ıtica de estos problemas, con frecuencia en la pr´actica ingenieril los m´etodos num´ericos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la u ´nica alternativa pr´ actica de c´ alculo. Una importante propiedad del m´etodo es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente m´ as finas, la soluci´on num´erica calculada converge r´apidamente hacia la soluci´on exacta del sistema de ecuaciones.
1.1.
Introducci´ on
El m´etodo de elemento finito (MEF), a veces llamado an´ alisis de elemento finito (AEF), es una t´ecnica computacional usada para obtener soluciones aproximadas de problemas con valores l´ımite en diversos campos de la ingenier´ıa. Declarado de manera simple, los problemas con valores l´ımite son problemas matem´ aticos en los cu´ ales una o m´as variables dependientes deben satisfacer una ecuaci´on diferencial en todas partes dentro de un dominio conocido de variables independientes y satisfacer 1
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
2
condiciones espec´ıficas en el l´ımite del dominio de definici´on del problema. Los problemas de valores l´ımite tambi´en se llaman a veces problemas de campo. El campo es el dominio de inter´es y a menudo representa una estructura f´ısica. Las variables de campo son las variables dependientes de inter´es gobernadas por la ecuaci´ on diferencial. Las condiciones l´ımite son los valores especificados de las variables de campo (o variables relacionadas como sus derivadas) sobre los l´ımites del campo. Dependiendo del tipo de problema f´ısico que se analiza, las variables de campo pueden incluir desplazamiento f´ısico, temperatura, flujo de calor, y velocidad de flujo, para mencionar s´olamente algunas variables que se presentan.
1.2.
Concepci´ on del m´ etodo de elemento finito ?
Se introducir´ an las t´ecnicas y terminolog´ıa generales del an´alisis de elemento finito con referencia a la Figura 1.1, desarrollando el concepto b´ asico del m´etodo. La figura mencionada muestra un volumen de alg´ un material o materiales que poseen propiedades f´ısicas conocidas. El volumen representa el dominio de un problema de valor l´ımite a ser resuelto. Por simplicidad, en este punto, asumimos un caso bi–dimensional con una sola variable de campo φ(x, y) para ser determinada en cada punto P (x, y) tal que una ecuaci´ on gobernante conocida (o ecuaciones) se satisfagan exactamente en cada uno de tales puntos pertenecientes al dominio espacial para la variable φ en cuesti´on (en la Figura 1.1(a) mostramos el dominio al que nos estamos refiriendo). Note que esto implica que se obtiene una soluci´on matem´atica exacta; es decir, la soluci´ on es una expresi´on algebr´aica de forma–cerrada de las variables independientes y talvez algunos par´ ametros del dominio. En los problemas pr´acticos, el dominio puede ser geom´etricamente complejo, como sucede a menudo; como tambi´en resulta engorrosa la ecuaci´on gobernante del problema y es muy baja la probabilidad de obtener una soluci´on exacta de forma– cerrada para la situaci´ on as´ı planteada. Por consiguiente, soluciones aproximadas basadas en t´ecnicas num´ericas y el c´ omputo digital son m´ as a menudo obtenidas en an´alisis de ingenier´ıa para los problemas complejos. El an´ alisis de elemento finito es una t´ecnica basada en un proceso de discretizaci´on del dominio de definici´ on del problema, que es muy poderosa para obtener tales soluciones aproximadas con una exactitud muy buena cuando la discretizaci´on del dominio es refinada. (x, y)
(x, y)
y
y x
2
x
P(x,y)
3 1
(a) Dominio de definici´ on de la variable de campo φ(x, y)
(b) Elemento finito triangular con nodos v´ ertice
(x, y) y x
(c) Discretizaci´ on parcial del dominio mediante elementos finitos
Figura 1.1: Dominio bi–dimensional general y discretizaci´on del mismo
´ DEL METODO ´ 1.2. CONCEPCION DE ELEMENTO FINITO ?
3
Un peque˜ no elemento triangular que encierra un sub–dominio de tama˜ no–finito del ´area de inter´es se muestra en la Figura 1.1(b). Que este elemento no sea un elemento diferencial de tama˜ no dx×dy hace del mismo un elemento finito; es decir, un elemento de dimensiones finitas (n´o infinitesimales !). Cuando nosotros tratamos este ejemplo como un problema bi–dimensional, se supone que el espesor en la direcci´ on z es constante y la dependencia seg´ un esta direcci´on no se indica en la ecuaci´on diferencial. Los v´ertices del elemento triangular se numeran para indicar que estos puntos son los nodos del elemento finito. Un nodo es un punto espec´ıfico perteneciente al elemento finito en el que el valor de la variable de campo va a ser calculado expl´ıcitamente. Los nodos exteriores son localizados en los l´ımites del elemento finito y podr´ıan usarse para conectar un elemento dado a elementos finitos adyacentes. Los nodos que no se ubican en los l´ımites del elemento son nodos interiores y no pueden ser conectados a los nodos de cualquier otro elemento. El elemento triangular de la Figura 1.1(b) tiene s´olo nodos en sus v´ertices, y por ello los mismos son nodos exteriores. Si s´ olo se computan los valores de la variable de campo en los nodos del elemento, c´omo se obtienen los valores en otros puntos dentro de un elemento finito?. La respuesta a esta crucial pregunta contiene la esencia del m´etodo de elemento finito: Los valores de la variable de campo calculados para los nodos se usan para aproximar los valores en los puntos no–nodales (es decir, en todos los puntos al interior del elemento) mediante un procedimiento de interpolaci´on usando los valores nodales y´a calculados en forma previa. Para el ejemplo del elemento triangular con nodos en sus v´ertices, en el que los nodos son todos exteriores, la variable de campo en cualquier otro punto dentro del elemento y en sus aristas limitantes, se describe por la relaci´ on aproximada φ(x, y) = N1 (x, y)φ1 + N2 (x, y)φ2 + N3 (x, y)φ3
(1.1)
donde φ1 , φ2 , y φ3 son los valores de la variable de campo en los puntos nodales, y N1 , N2 , y N3 son las funciones de interpolaci´ on, tambi´en conocidas como funciones de forma o funciones de mezcla. En el ´ambito del m´etodo de elemento finito, los valores nodales de la variable de campo se tratan como constantes desconocidas que ser´ an determinadas. Las funciones de interpolaci´on son m´as a menudo formas polin´ omicas de las variables independientes, deducidas para satisfacer ciertas condiciones requeridas en los nodos. Estas condiciones son discutidas en detalle en los cap´ıtulos subsecuentes. El punto relevante a ser enunciado aqu´ı es que las funciones de interpolaci´on son predeterminadas, con formas de funciones conocidas de las variables independientes; y estas funciones describen la variaci´on de la variable de campo dentro del elemento finito. Se dice que el elemento triangular descrito por la Ecuaci´on (1.1) tiene 3 grados de libertad, en virtud que se requieren tres valores nodales de la variable de campo para describir a la variable dependiente ´ en todos los puntos que conforman el elemento. Este ser´ıa el caso si la variable de campo representa una cantidad escalar, como la temperatura en un problema de trasmisi´on de calor , por ejemplo (v´ease el Cap´ıtulo 7). Si el dominio de Figura 1.1 representa un cuerpo s´olido delgado, sujeto a un estado de tensi´ on plana (v´ease el Cap´ıtulo 9); la variable de campo se adopta como el vector desplazamiento interno y en ´este caso deben computarse los valores de dos componentes en cada nodo. En este u ´ltimo caso, el elemento triangular con nodos en sus tres v´ertices tiene 6 grados de libertad. En general, el n´ umero de grados de libertad asociados con un elemento finito es igual al producto del n´ umero de nodos y el n´ umero de valores del campo variable (y posiblemente sus derivadas) que deben calcularse en cada nodo. En esta instancia surge otra pregunta: C´omo este procedimiento basado en el elemento, puede ser ahora aplicado sobre el dominio entero de inter´es ?. Como se bosqueja en la Figura 1.1(c), cada elemento se conecta mediante sus nodos exteriores a los otros elementos circundantes a ´el. Las ecuaciones de elemento finito se formulan de modo que, en las conexiones nodales, el valor de la variable en cualquier punto de conexi´ on com´ un es el mismo para cada elemento que concurre a dicha ubicaci´on y est´a conectado al nodo. As´ı, se asegura la continuidad de la variable de campo (variable dependiente en el problema) en los puntos nodales. De hecho, las formulaciones de elemento finito son tales que la continuidad del campo variable lo largo de los l´ımites de elementos aleda˜ nos que comparten dicho l´ımite tambi´en se asegura. Este rasgo de imposici´on sobre el m´etodo en cuanto a la continuidad de la
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
4
variable que est´ a siendo modelada y aproximada mediante el m´etodo de elemento finito, evita la posibilidad f´ısicamente inaceptable de existencia de huecos o discontinuidades en el dominio considerado. En problemas estructurales, tales huecos f´ısicamente representar´ıan la separaci´on del material. En los procesos de transmisi´ on de calor, un “hueco” se manifestar´ıa en s´ı–mismo en la forma de posibilidad de valores de magnitud de temperaturas diferentes correspondientes al mismo punto f´ısico, lo cual por cierto es una completa aberraci´ on. Aunque la continuidad del campo variable de elemento a elemento adyascente es inherente a la formulaci´on de elemento finito, la continuidad de los gradientes (i.e., derivadas) del campo de la variable ´ dependiente generalmente no existe. Esta es una observaci´on cr´ıtica hacia el m´etodo de elemento finito. En la mayor´ıa de los casos, dichas derivadas son de m´as inter´es que los valores del campo variable en s´ı–mismo. Por ejemplo, en los problemas estructurales la variable de campo es el desplazamiento, pero el verdadero inter´es est´ a m´ as a menudo en la deformaci´on y la tensi´on. Como la deformaci´on unitaria (al igual que la tensi´ on interna) est´a definida en t´erminos de las primeras derivadas espaciales de las componentes de desplazamiento, por lo que se refiere a esta variable mec´anica resultar´a que no es cont´ınua sobre la frontera l´ımite del elemento (exceptuando sus puntos nodales exteriores). Sin embargo, las magnitudes de las discontinuidades de las derivadas de la funci´on que se est´e manipulando pueden ser usadas para evaluar la exactitud de la soluci´on y su convergencia hacia la soluci´on real (o ex´acta) a medida que el n´ umero de elementos se incrementa, como se ilustra a trav´es del ejemplo que a continuaci´on mostraremos.
1.2.1.
Convergencia del m´ etodo
El proceso de representar un dominio f´ısico con elementos finitos es referido como un proceso de discretizaci´ on, y la serie resultante de elementos es conocida como la malla de elemento finito. Como la mayor´ıa de las geometr´ıas de elemento normalmente usadas tienen como fronteras lados rectos, generalmente es imposible incluir el dominio f´ısico entero en la malla de elementos, si el dominio incluye l´ımites curvados. Tal situaci´ on se muestra en la Figura 1.2(a), donde un dominio f´ısico superficial de l´ımite–curvo se discretiza (bastante groseramente) usando elementos cuadrados, siendo el n´ umero de ellos 45. Una malla m´ as refinada en el proceso de partici´on para el mismo dominio se muestra en Figura 1.2(b), usando peque˜ nos, y m´ as numerosos elementos del mismo tipo (la malla contiene 83 elementos). Se nota a simple vista que la malla refinada incluye significativamente una mayor superficie del dominio f´ısico en la representaci´ on de elemento finito, y los l´ımites curvados son m´as estrechamente aproximados (elementos triangulares podr´ıan aproximar los l´ımites a´ un de mejor manera).
(a) Modelo discreto elaborado mediante uso de elementos cuadrados
(b) Malla de elemento finito refinada usando elementos m´ as peque˜ nos
Figura 1.2: Dominio bi–dimensional arbitrario con l´ımite curvado Si las funciones de interpolaci´ on satisfacen ciertos requisitos matem´aticos (v´ease el Cap´ıtulo 6), una soluci´on de elemento finito para un problema particular converge hacia la soluci´on exacta del problema a medida que el modelo utilizado sea asociado a una malla de elementos de menor tama˜ no. Es decir, a manera que el n´ umero de elementos se incrementa y se disminuyen las dimensiones f´ısicas
´ DEL METODO ´ 1.2. CONCEPCION DE ELEMENTO FINITO ?
5
de los mismos, la soluci´ on de elemento finito cambia incrementalmente hacia la soluci´on correcta. Los cambios incrementales decrecen con el proceso de refinamiento de la malla y la aproximaci´on hacia la soluci´on exacta se verifica que tiene forma asint´otica. Para ilustrar la convergencia del m´etodo, consideraremos un problema relativamente simple que tiene una soluci´ on conocida. La Figura 1.3(a) muestra un cuerpo s´olido de forma cil´ındrica tronco– c´onica, empotrado en un extremo y sujeto a una carga de tracci´on en su otro extremo libre. Asumiendo que el desplazamiento del punto de la carga aplicada sea de inter´es en su evaluaci´on, se obtiene una primera aproximaci´ on de soluci´on considerando el cuerpo como cil´ındrico de secci´on transversal uniforme, teniendo ´esta variable magnitud igual al valor medio del ´area transversal del cuerpo original (v´ease la Figura 1.3b).
r0 x L
r
L
A=
A0+AL 2
P (a) Esquema del sistema f´ısico
(c) Modelo de dos elementos finitos
(b) Modelo de un elemento finito
(d) Modelo de cuatro elementos finitos
Figura 1.3: Barra cil´ındrica tronco–c´onica solicitada axialmente y su modelado La varilla uniforme gruesa de la Figura 1.3(b) es un elemento finito barra (v´ease el Cap´ıtulo 2); as´ı, nuestra primera aproximaci´ on es un modelo de un solo elemento finito. La soluci´on es obtenida usando la teor´ıa de la mec´ anica de materiales. Luego, modelamos el cilindro de secci´on transversal linealmente– variable mediante dos barras uniformes en serie, como se muestra en la Figura 1.3(c). En el modelo de dos elementos, cada uno de ellos es de longitud igual a la mitad de la longitud total del cilindro original y tienen un ´ area de secci´ on transversal igual al ´area media de la correspondiente mitad de longitud del cuerpo s´ olido original; las cuales puede obtenerse en base a la ecuaci´on: r(x) = r0 − (x/L)(r0 − rL ), que describe la variaci´ on del radio con respecto a la ubicaci´on seg´ un direcci´on axial para el cuerpo tronco– c´onico original. El proceso de refinamiento de la malla se contin´ ua, elaborando un modelo de cuatro elementos como se ve en la Figura 1.3(d), y as´ı sucesivamente. En el modelo de cuatro elementos, la longitud de los mismos es la cuarta parte de la longitud del cuerpo original y su secci´on transversal
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
6
tiene ´area id´entica al ´ area media del pedazo correspondiente del objeto cil´ındrico tronco–c´onico, como se v´e en la Figura reci´en mencionada. En todos los modelos presentados en la Figura 1.3, en trazo punteado mostramos el objeto s´ olido cil´ındrico tronco–c´onico original. Para este problema simple, el desplazamiento del extremo inferior del cilindro δ(x = L) para cada uno de los modelos de elementos finitos es como se muestra en la Figura 1.4(a), d´onde la l´ınea s´olida representa la soluci´ on exacta (conocida). La convergencia de las soluciones de elemento finito hacia la soluci´on exacta se indica claramente en la gr´afica mencionada mediante una l´ınea curva segmentada.
Solución exacta Solución aproximada (cuatro elementos)
(x/L)
( x L )
Solución exacta
0
1
2
3
4
Número de elementos
(a) Convergencia seg´ un el n´ umero de elementos
5
0
0.25
0.5
0.75
1.0
x/L
(b) Comparaci´ on de soluciones obtenidas
Figura 1.4: Prueba de convergencia del m´etodo de elemento finito Por otra parte, si trazamos el desplazamiento como una funci´on de la posici´on a lo largo de la longitud del cilindro, podemos observar la convergencia as´ı como tambi´en la naturaleza aproximada de las soluciones de elementos finitos. La Figura 1.4(b) muestra la soluci´on exacta y la soluci´on del desplazamiento para el modelo de cuatro-elementos. En primer lugar, podemos notar que la variaci´on del desplazamiento en cada elemento es una aproximaci´on lineal a la verdadera soluci´on no–lineal. La variaci´on lineal en los sub–dominios es directamente atribuible al hecho que las funciones de interpolaci´on para un elemento–barra son lineales. Segundo, notamos que cuando la malla es refinada, la soluci´on del desplazamiento converge hacia la soluci´on no–lineal en cada punto del dominio de definici´on del problema. El p´arrafo anterior discuti´ o la convergencia del desplazamiento del extremo del cilindro tronco–c´onico. Como se ver´ a en el Cap´ıtulo 2, el desplazamiento es la variable de campo primaria en los problemas estructurales. En la mayor´ıa de los problemas, sin embargo, estamos interesados principalmente en las tensiones inducidas por las cargas especificadas. Las tensiones deben ser calculadas a trav´es de las relaciones tensi´on–deformaci´ on apropiadas (ley de Hocke generalizada), y las componentes de deformaci´on unitaria se obtienen de la soluci´ on del campo de desplazamientos. De aqu´ı, tensiones y deformaciones se refieren, por guardar esta dependencia, como variables derivadas. Por ejemplo, si trazamos la variaci´ on te´orica de las tensiones internas para el ejemplo del cuerpo ci´ındrico tronco–c´ onico reci´en citado, obtenida desde la soluci´on ex´acta, como tambi´en las soluciones de elemento finito para los modelos de dos y cuatro elementos como se muestra en la Figura 1.5 (donde σ0 = P/A0 ), observamos que las tensiones son constantes en el interior de cada elemento y representan una soluci´ on discontinua del problema por lo que se refiere a las tensiones y deformaciones. Tambi´en notamos que, a medida que aumenta el n´ umero de los elementos en el modelo, los saltos de las discontinuidades en la tensi´ on interna disminuyen en su magnitud. Este fen´omeno es caracter´ıstico del m´etodo de elemento finito. La formulaci´on del m´etodo de elemento finito para un problema dado es tal que la variable de campo primaria es continua de elemento al elemento adyascente, pero las variables derivadas (como la tensi´ on interna, por ejemplo) no necesariamente poseen continuidad. En
´ DEL METODO ´ 1.2. CONCEPCION DE ELEMENTO FINITO ?
7
el proceso l´ımite de refinamiento de la malla, las variables derivadas se ponen cada vez m´as cercanas al estado de continuidad si el n´ umero de elementos de la malla se incrementa. 4.5 4.0
Solución exacta Dos elementos Cuatro elementos
3.5
0
3.0 2.5
2.0
1.5
1.0
0
0.25
0.5
0.75
1.0
x/L
Figura 1.5: Comparaci´on de soluciones para la tensi´on interna Nuestro ejemplo muestra c´ omo la soluci´on de elemento finito converge a la soluci´on exacta conocida (la exactitud de la soluci´ on en este caso es aquella marcada por la teor´ıa de la mec´anica de los materiales). Si nosotros conocemos la soluci´on exacta, no estar´ıamos aplicando el m´etodo de elemento finito !. As´ı, se plantea la interrogante: C´omo aseguramos nosotros la exactitud de una soluci´on obtenida mediante el m´etodo de elemento finito para un problema con una soluci´on te´orica desconocida ?. La respuesta a esta pregunta no es simple. Si nosotros no tuvi´eramos la l´ınea s´olida en la Figura 1.5 que representa la soluci´ on exacta, todav´ıa podr´ıamos discernir la convergencia hacia la soluci´on. La convergencia de un m´etodo num´erico (como el m´etodo de elemento finito) no est´a dada por ninguna convicci´ on de que los medios utilizados indiquen que la convergencia es precisamente hacia la soluci´on correcta (porque podr´ıa suceder que la aproximaci´on sea hacia un valor err´oneo). Una persona que usa la t´ecnica de an´ alisis de elemento finito, debe examinar la soluci´on muy met´odicamente por lo que se refiere a: (1) la convergencia num´erica, (2) la racionalidad (el resultado obtenido, tiene sentido f´ısico ?), (3) si las leyes f´ısicas del problema est´an satisfechas (La estructura est´a en equilibrio ? Existe balance entre el calor de entrada y el calor de salida ?), y (4) si los valores de las discontinuidades de las variables derivadas en los l´ımites inter–elementos son razonables. Deben proponerse muchas de tales preguntas y deben examinarse prioritariamente las respuestas antes de aceptar los resultados de un an´alisis de elemento finito como representativos de una soluci´on correcta y u ´til para los prop´ositos del dise˜ no.
1.2.2.
El m´ etodo de diferencias finitas
El m´etodo de diferencias finitas es otra t´ecnica num´erica frecuentemente usada para obtener soluciones aproximadas de problemas gobernados por ecuaciones diferenciales. Se discuten detalles de la t´ecnica en el Cap´ıtulo 7, en el contexto de trasmisi´on de calor transitorio (variable en el tiempo). El m´etodo tambi´en se ilustra en el Cap´ıtulo 10 para el an´alisis din´amico transitorio de estructuras. Aqu´ı, presentamos los conceptos b´ asicos del m´etodo de diferencias finitas por prop´ositos de comparaci´on con el m´etodo de elemento finito. El m´etodo de diferencias finitas est´a basado en la definici´on de la derivada de una funci´on cualquiera f (x), esto es f (x + ∆x) − f (x) df (x) = l´ım (1.2) ∆x→0 dx ∆x
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
8
donde x es la variable independiente. En el m´etodo de diferencias finitas, como su nombre implica, las derivadas son calculadas mediante la Ecuaci´on (1.2) usando peque˜ nos, pero finitos, valores del incremento de la variable independiente ∆x para obtener df (x) f (x + ∆x) − f (x) ≈ dx ∆x
(1.3)
Una ecuaci´on diferencial tal como df +x=0 dx
0≤x≤1
es expresada como f (x + ∆x) − f (x) +x=0 ∆x seg´ un el m´etodo de diferencias finitas. Esta ecuaci´on puede ser re–escrita de la manera siguiente f (x + ∆x) = f (x) − x∆x
(1.4)
donde debemos advertir que la igualdad debe ser tomada como “aproximadamente igual ”. De la teor´ıa de ecuaciones diferenciales, nosotros sabemos que la soluci´on de una ecuaci´on diferencial de primer– orden contiene una constante de integraci´on. La constante de integraci´on debe ser determinada de modo que una condici´ on pre–establecida (una condici´on l´ımite o una condici´on inicial) sea satisfecha. En el actual ejemplo, asumiremos que la condici´on especificada es x(0) = A (cte). Si escogemos un paso de integraci´ on ∆x que sea un valor constante y peque˜ no (no se exige que el paso de integraci´on sea necesariamente constante), entonces podemos escribir xi+1 = xi + ∆x
i = 0, 1, . . . , N
(1.5)
donde N es el n´ umero total de pasos requeridos para cubrir el dominio de definici´on de la variable independiente. La Ecuaci´ on (1.4) entonces puede escribirse como fi+1 = fi − xi ∆x
f0 = A
i = 0, 1, . . . , N
(1.6)
La Ecuaci´on (1.6) es conocida como una relaci´ on de recurrencia y provee una aproximaci´on al valor de la funci´on desconocida f (x) en un n´ umero determinado de puntos discretos en el dominio del problema. Para ilustrar este m´etodo alternativo, la Figura 1.6 muestra la soluci´on exacta f (x) = 1 − x2 /2 , y una soluci´on de diferencias finitas obtenida con ∆x = 0,1 y considerando como valor de la constante f0 = A = 1. La soluci´ on de diferencias finitas s´olo es mostrada en los puntos discretos de evaluaci´on de la funci´on. La manera de variaci´ on de la funci´on entre los puntos calculados no es conocida en el m´etodo de diferencias finitas; pero, mostramos una curva de ajuste en trazo segmentado que pasa a trav´es de los puntos calculados. Uno puede, sin embargo, interpolar linealmente los valores hallados para producir una aproximaci´ on a la curva de la soluci´on exacta; pero, la manera de efectuar este proceso de interpolaci´on no es algo relevante, ni de determinaci´on “a priori ” en el m´etodo de diferencias finitas. Para contrastar el m´etodo de diferencias finitas con el m´etodo de elemento finito, notamos que, en el m´etodo de elemento finito, la variaci´ on de la variable de campo en el dominio f´ısico es una parte integral del procedimiento. Es decir, basados en las funciones de interpolaci´on seleccionadas, la variaci´on de la variable de campo a lo largo de un elemento finito se especifica como una parte integral de la formulaci´on del problema. En el m´etodo de diferencias finitas, ´este no es el caso: La variable de campo se computa s´olo en puntos especificados. La ramificaci´on mayor de este contraste es que las derivadas (hasta un cierto nivel) pueden evaluarse en el procedimiento de elemento finito, considerando que en contraposici´on el m´etodo de diferencias finitas s´olo proporciona datos en la propia variable (y n´o en cantidades que provengan de ella). En un problema estructural por ejemplo, ambos m´etodos proporcionan las soluciones del desplazamiento, pero la soluci´on de elemento finito puede usarse para calcular
1.3. PROCEDIMIENTO GENERAL
9
1.0
0.8
Solución exacta Solución mediante diferencia finitas
f(x)
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Figura 1.6: Comparaci´on de soluciones
las componentes de tensi´ on directamente (en t´erminos de la primera derivada). Para obtener datos de tensi´ on en el m´etodo de diferencias finitas se requieren consideraciones adicionales no inherentes al modelo matem´ atico mismo. Hay tambi´en ciertas similitudes entre los dos m´etodos. Los puntos de integraci´on en el m´etodo de diferencias finitas son an´ alogos a los nodos en un modelo de elemento finito. La variable de inter´es se eval´ ua expl´ıcitamente en dichos puntos. Tambi´en, como el paso de integraci´on (el tama˜ no del paso) en el m´etodo de diferencias finitas es muy reducido si se desea un grado aceptable de exactitud, se espera que la soluci´ on obtenida por ´este m´etodo tenga convergencia hacia la soluci´on exacta. Esto es similar a la convergencia esperada de una soluci´on de elemento finito del modo en el que la malla de elementos es refinada. En ambos casos, el refinamiento representa la reducci´on del modelo matem´atico desde t´erminos finitos hasta infinitesimales. Y en ambos casos, las ecuaciones diferenciales son reducidas a ecuaciones algebr´ aicas. Probablemente la manera m´ as descriptiva de contrastar los dos m´etodos es notar que el m´etodo de diferencias finitas modela la ecuacion diferencial del problema y usa la integraci´on num´erica para obtener la soluci´ on en los puntos de discretizaci´on. El m´etodo de elemento finito modela el dominio entero del problema y usa principios f´ısicos conocidos para desarrollar ecuaciones algebr´aicas que describen las soluciones aproximadas. As´ı, el m´etodo de diferencias finitas modela las ecuaciones diferenciales gobernantes del fen´ omeno en estudio, mientras que el m´etodo de elemento finito puede decirse que modela el problema f´ısico m´ as estrechamente desde el principio. Como se observar´a en el resto de este texto, hay casos en que una combinaci´on de los m´etodos de elemento finito y diferencias finitas es muy u ´til y eficaz para obtener soluciones a los problemas que plantea la ingenier´ıa, particularmente donde los efectos din´ amicos (transitorios) son importantes.
1.3.
Procedimiento general
Ciertos pasos en la formulaci´ on de un an´alisis de elemento finito de un problema f´ısico son comunes a todos los an´ alisis de caracter´ıstica discreta, sea ´este estructural, transmisi´on de calor, flujo fluido, o alg´ un otro problema. Estos pasos son incluidos en los paquetes comerciales de elemento finito (algunos se mencionan en los p´ arrafos siguientes) y son impl´ıcitamente incorporados en este texto, aunque nosotros no necesariamente nos referiremos expl´ıcitamente a estos pasos en los cap´ıtulos siguientes. Los pasos se describen como sigue:
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
10
1.3.1.
Pre–procesamiento
El paso de pre–procesamiento es, muy generalmente, descrito como el proceso de definir al modelo e incluye las siguientes acciones a ejecutar: Definir Definir Definir Definir Definir Definir Definir
el dominio geom´etrico del problema. el tipo del elemento a ser utilizado (v´ease el Cap´ıtulo 6). las propiedades materiales de los elementos. las propiedades geom´etricas de los elementos (la longitud, el ´area, etc). las conectividades de los elementos (el modelo de la malla). las restricciones f´ısicas (condiciones de borde l´ımite). la solicitaci´ on o perturbaci´ on externa.
El paso de pre–procesamiento (la definici´on del modelo) es realmente cr´ıtico. En ning´ un caso es m´as apropiado el ejemplo del axioma relacionado con los procesos relacionados con el uso de la computadora “basura entrante, resulta en basura saliente”. Una soluci´on de elemento finito perfectamente calculada num´ericamente no posee absolutamente ning´ un valor si corresponde a un p´esimo proceso de modelado, o a un problema err´ oneamente planteado.
1.3.2.
Procesamiento o Soluci´ on
Durante la fase de soluci´ on, el software de elemento finito ensambla las ecuaciones algebr´aicas gobernantes en forma matricial y calcula los valores desconocidos de las variables primarias del campo involucrado en el problema. Los valores computados se usan luego por substituci´ on regresiva para evaluar las variables adicionales, derivadas o secundarias, como las fuerzas de reacci´on, tensiones de elemento, flujo de calor, velocidades y aceleraciones de movimiento, etc. Como no es raro para el modelo de elemento finito el ser representado por miles de ecuaciones en un problema ampuloso, se usan t´ecnicas especiales de soluci´on para reducir los requisitos del almacenamiento de datos y el tiempo de c´ omputo. Para problemas lineales, que presenta por ejemplo la est´atica, tenemos un algoritmo muy eficiente que est´a basado en un procedimiento de eliminaci´on de Gauss (v´ease el Ap´endice C), que normalmente se usa. Aunque una discusi´on completa de los varios algoritmos de soluci´ on est´ a fuera del alcance de este texto, el lector interesado encontrar´a una discusi´on completa en cualquier libro avanzado del m´etodo de elemento finito (por ejemplo, recomiendo consultar el libro de K.J. Bathe [27]).
1.3.3.
Post–procesamiento
El an´alisis y la evaluaci´ on de los resultados de la soluci´on es denominado como post–procesamiento. El software asociado a este proceso importante del m´etodo de elemento finito contiene rutinas sofisticadas usadas para ordenar, imprimir, y trazar los resultados seleccionados de una soluci´on que haya sido obtenida. Los ejemplos de operaciones que puede lograrse en esta fase incluyen Clasificar las tensiones internas de elemento en orden de magnitud. Verificar el equilibrio est´ atico estructural. Calcular factores de seguridad de dise˜ no. Bosquejar la deformaci´ on estructural producida. Producir esquemas din´ amicos de la respuesta del modelo. Producir gr´ aficas de color–codificado para el campo de temperaturas. Puesto que los datos de la soluci´ on pueden manipularse de muchas maneras en la fase final de post–procesamiento, el objetivo m´ as importante es aplicar de modo leg´ıtimo el juicio de ingenier´ıa con el objetivo de determinar las condiciones bajo las cuales los resultados de la soluci´on obtenida son f´ısicamente razonables.
´ 1.4. BREVE HISTORIA DEL METODO DE ELEMENTO FINITO
1.4.
11
Breve historia del m´ etodo de elemento finito
Las ra´ıces matem´ aticas del m´etodo de elemento finito se remontan hacia atr´as por lo menos hacia mediados del siglo pasado. Los m´etodos aproximados para resolver ecuaciones diferenciales que usan soluciones de ensayo son a´ un m´ as antig¨ uos en origen. Lord Rayleigh [49] y Ritz [55] usaron las funciones de ensayo (en nuestro contexto, funciones de interpolaci´on) para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales. Galerkin [19] us´ o el mismo concepto para la soluci´on. La desventaja en todos los procedimientos m´ as primigenios, comparados al m´etodo de elemento finito moderno, son que las funciones de ensayo deben aplicarse sobre el dominio entero del problema de inter´es. Mientras que el m´etodo de Galerkin provee una base muy fuerte para el m´etodo de elemento finito (v´ease el Cap´ıtulo 5). No fu´e hasta los a˜ nos cuarenta del siglo anterior, cuando Courant [44] introdujo el concepto de funciones continuas–por–tramos en un sub–dominios, lo cual hizo que el elemento finito tenga su partida de nacimiento e impulso inicial de desarrollo real. Hacia finales de 1940, ingenieros aeron´auticos estaban tratando con la invenci´on del motor de reacci´on y las necesidades para efectuar an´alisis m´as sofisticados de estructuras del armaz´on de los aeroplanos para que resista cargas m´as grandes asociadas con las velocidades m´as elevadas. Estos ingenieros, sin el beneficio del uso de computadoras modernas, desarrollaron los m´etodos matriciales de an´alisis de fuerzas, colectivamente conocidos como el m´etodo de flexibilidad, en el que las variables desconocidas son las fuerzas y las variables conocidas son los desplazamientos. El m´etodo de elemento finito, en su forma m´ as a menudo usada, corresponde al m´etodo de desplazamientos en el que las variables desconocidas son los desplazamientos del sistema en respuesta a los conjuntos de fuerza aplicados. En este texto, nosotros nos adherimos exclusivamente al m´etodo de desplazamiento. Como se ver´a a medida que avancemos en el desarollo te´orico, el t´ermino desplazamiento es bastante general en el m´etodo del elemento finito y puede representar al desplazamiento f´ısico, la temperatura, o la velocidad de un fluido, por ejemplo. El t´ermino “elemento finito” fu´e usado por primera vez por Clough [54] hacia fines del a˜ no 1960, en el contexto del an´alisis plano de tensiones y ha estado en uso com´ un desde esa ´epoca. Durante las d´ecadas de 1960 y 1970, el m´etodo de elemento finito fu´e extendido hacia las aplicaciones en la flexi´ on de placas, pandeo de c´ascaras, recipientes de presi´on, y los problemas tridimensionales generales en el an´ alisis estructural el´ astico [33, 34] como tambi´en problemas de flujo fluido y trasmisi´on de calor [8, 17]. Tambi´en ocurrieron durante este per´ıodo de tiempo extensiones del m´etodo al estudio de las grandes deformaciones y el an´alisis din´amico [35, 50]. Una excelente historia del m´etodo de elemento finito y bibliograf´ıa detallada es dada por Noor [36]. El m´etodo de elemento finito es intensivo en su uso con computador, por la caracter´ıstica de requerir para su funcionamiento efectuar operaciones con matrices muy grandes. En los primeros a˜ nos, se realizaron las aplicaciones usando los sistemas inform´aticos grandes que estaban disponibles en el momento, se consideraba que era un m´etodo muy poderoso y la herramienta de gran velocidad ´optima para el uso en el an´ alisis y dise˜ no en ingenier´ıa. Hacia mediados de los a˜ nos 1960, el c´odigo de software de elemento finito NASTRAN [41] se desarroll´o junto con el programa de exploraci´on espacial de los Estados Unidos en la NASA. Reconociendo este hecho, NASTRAN fue el primer paquete de elemento finito cap´az de abordar problemas de gran magnitud. Era, y todav´ıa es, capaz de manipular centenares de miles de grados de libertad asociados con el campo nodal de la variable de inter´es. Despu´es del acontecimiento de la publicaci´on de este paquete computacional, a lo largo de los a˜ nos posteriores se han introducido muchos paquetes de software comerciales para el an´ alisis de elemento finito. Entre ´estos podemos mencionar a: ANSYS [5], ALGOR [3], COSMOS/M [4]; SIMULIA–ABAQUS [2]; y LISA [38]; como simplemente una peque˜ na muestra. En el ambiente computacional de hoy, la mayor´ıa de ´estos paquetes pueden usarse en computadoras de escritorio, port´ atiles y en las m´ aquinas en estaciones de trabajo en empresas consultoras para obtener soluciones a problemas grandes en la est´atica y el an´alisis estructural din´amico, transferencia de calor, flujo fluido, electromagnetismo, y respuesta s´ısmica de edificaciones, como algunos ejemplos de aplicaci´ on del m´etodo.
12
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
En este texto, nosotros no hacemos ´enfasis en la utilizaci´on de un c´odigo particular o software de elemento finito. M´ as bien, desarrollamos los fundamentos necesarios para comprender la amplia filosof´ıa inherente a este tema, para permitirle al lector usar tales paquetes de software con metodolog´ıa ordenada en un entendimiento de intenci´ on de aplicaci´on completamente educada de cualquiera de los paquetes. En este sentido, obramos con la filosof´ıa de preservar absoluta libertad de acci´on acad´emica en el proceso de aprendizaje de cualquier paquete computacional de elemento finito por parte del estudiante.
1.5.
Ejemplos de an´ alisis de elemento finito
Presentamos ahora, brevemente, unos ejemplos de los tipos de problemas que pueden ser analizados mediante el m´etodo de elemento finito. La Figura 1.7 muestra la malla de elementos finitos asociada a una regi´on rectangular con un agujero central. El ´area ha sido discretizada con una rejilla de elementos finitos bi–dimensionales, asumiendo para ellos un espesor constante en la direcci´on perpendicular al dibujo. Debemos notar que la malla de elementos es irregular: Las formas (tri´angulos y cuadril´ateros) de los elementos y los tama˜ nos var´ıan. En particular, notemos que alrededor de la discontinuidad geom´etrica de la perforaci´ on, los elementos son de tama˜ no m´as peque˜ no. Esto no s´olo representa una mejora en la exactitud geom´etrica en el entorno de la discontinuidad, ya que tambi´en contribuye con la exactitud de la soluci´ on, como se discutir´a en los cap´ıtulos subsecuentes.
Figura 1.7: Malla de elementos finitos sobre una regi´on rectangular que posee una perforaci´ on circular central (elementos cuadril´ateros). La malla de elemento finito mostrada en la Figura 1.7 podr´ıa representar el modelo de elemento finito de variados problemas f´ısicos. Por ejemplo, para el an´alisis de tensiones internas, la geometr´ıa podr´ıa representar una placa plana delgada con una perforaci´on circular central sujeta a solicitaci´on aplicada en las aristas l´ımite mediante cargas contenidas en el propio plano de la placa. En este caso, la soluci´on de elemento finito se usar´ıa para examinar los efectos de concentraci´on de tensiones en la vecindad del agujero. La malla de elementos mostrada tambi´en podr´ıa representar el caso de flujo fluido alrededor de un cilindro redondo s´ olido. Todav´ıa podemos pensar otra aplicaci´on, el modelo mostrado podr´ıa representar una aleta de transmisi´ on de calor atravezada por una tuber´ıa (el agujero) desde la cual el calor se transfiere a la aleta para ser luego dispersado hacia el medio ambiente. En cada caso, la formulaci´on de las ecuaciones gobernantes del comportamiento f´ısico de los elementos en respuesta a las influencias externas realmente es diferente para los problemas antes mencionados. La Figura 1.8(a) muestra un m´ odulo de una cercha tri–dimensional que alguna vez fu´e considerado como un bloque–constructivo o m´ odulo b´asico para la construcci´on de una estaci´on espacial [52]. Dise˜ nado para plegarse en forma de acorde´ on en un volumen peque˜ no para su transporte hacia la ´orbita
´ 1.5. EJEMPLOS DE ANALISIS DE ELEMENTO FINITO
13
planetaria; el m´ odulo cuando era desplegado, se extend´ıa a las dimensiones globales de 1,4 m × 1,4 m × 2,8 m. Conectando por sus extremos estos m´ odulos, se pod´ıa armar una estructura esencialmente de cualquier tama˜ no que se desee. La estructura se analiz´o mediante el m´etodo de elemento finito para determinar las caracter´ısticas de vibraci´on en funci´on del n´ umero de m´odulos que participaban para establecer la longitud global, cuando el mismo era variado. Como las conexiones entre los varios estructurales es del tipo alfiler o de juntas de r´otula (articuladas), se us´o en el modelo un elemento axial simple solicitado en estado de tracci´on–compresi´on (v´ease el Cap´ıtulo 2). El modelo de elemento finito de un m´ odulo estaba compuesto de 33 elementos. Una muestra de la forma de vibraci´on (la deformaci´ on producida asociada al modo principal) de una cercha de cinco–m´odulos se muestra en la Figura 1.8(b).
(a) M´ odulo b´ asico de cercha tri–dimensional
(b) Deformaci´ on modal fundamental
Figura 1.8: M´ odulo plegable de cercha y deformaci´on de una estructura ensamblada usando estas unidades modulares. El ejemplo de la cercha plegable recientemente descrito involucra una estructura bastante grande modelada por un n´ umero peque˜ no de elementos finitos relativamente largos. En contraste, la Figura 1.9 muestra que el modelo del elemento finito de un tubo muy delgado dise˜ nado para uso en una aplicaci´on de un intercambiador de calor muy comp´acto. El tubo tiene di´ametro interno de 0,976 pulg, espesor de pared 0,00197 pulg, y longitud total de 36 pulg. El material considerado para la construcci´on del tubo fu´e una aleaci´ on de cobre y titanio. Debido al espesor de pared, se encontraron que los tubos del prototipo eran muy fr´ agiles y dif´ıciles de manejar sin causarles da˜ no. Los objetivos del an´alisis de elemento finito eran examinar la flexi´on, la torsi´on, y las cargas de pandeo permisibles. La figura muestra la malla de elemento finito usada para modelar una secci´on del tubo de s´olo 0,25 pulg de longitud. Este modelo contiene 1920 elementos s´olidos tridimensionales, y cada uno de ellos tiene ocho nodos con 3 grados de libertad en cada nodo. Era requerido un n´ umero tan grande de elementos para una estructura peque˜ na en la consideraci´on de lograr exactitud computacional en los resultados. La caracter´ıstica involucrada aqu´ı es la llamada relaci´ on de aspecto de los elementos, lo cual se define y discute en los cap´ıtulos subsecuentes. Como un u ´ltimo ejemplo, la Figura 1.10(a) representa al modelo de elemento finito del componente de transporte de carga principal de un dispositivo de pr´otesis (para sustituir una mano). El dispositivo tiene intenci´ on de acoplar esta mano a un brazo artificial. En el uso, la mano permitir´ıa armar al amputado de un brazo m´ as corto para permitirle el levantamiento de pesas como parte de un programa de salud. El modelo de elemento finito fue usado para determinar la distribuci´on de tensiones en el componente por lo que se refiere al rango de peso a cargarse por anticipado, para determinar un tama˜ no apropiado de este dispositivo y tambi´en para seleccionar el material m´as ´optimo. La Figura 1.10(b) muestra un prototipo constru´ıdo de la mano, una vez que el proceso de dise˜ no ha sido completado.
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
14
Figura 1.9: Modelo de elemento finito para un tubo de intercambiador de calor
(a) Modelo de mano prot´ etica
(b) Prototipo f´ısico fabricado
Figura 1.10: Modelo de elemento finito de pr´otesis de una mano
Los ejemplos mostrados en esta secci´ on evidentemente no pueden ser resueltos manualmente debido al elevado n´ umero de elementos contenidos en la malla que define el modelo de an´alisis; por ello para obtener la soluci´ on de los problemas que plantean deber´a hacerse uso de m´etodos computacionales implementados en paquetes inform´ aticos de c´alculo num´erico.
1.6.
Objetivos del documento
Como y´a fu´e manifestado, este libro: “Fundamentos del M´etodo de Elemento Finito” fu´e escrito para su uso en cursos terminales de pre–grado o iniciales de post–grado, en programas de estudios de ingenier´ıa. La mayor´ıa de los libros de texto disponibles acerca del m´etodo de elemento finito son ´ escritos para cursos de nivel especializado (en programas de doctorado, por ejemplo). Estos textos son pesados en la teor´ıa de an´ alisis de elemento finito y utilizan t´ecnicas matem´aticas muy elaboradas (notablemente, el c´ alculo variacional) que no est´an usualmente en el repertorio de temas conocidos por estudiantes de ingenier´ıa pre–graduados. El conocimiento de t´ecnicas matem´aticas avanzadas no se
1.6. OBJETIVOS DEL DOCUMENTO
15
requiere para el uso exitoso de este texto. El estudio del requisito previo est´a basado en las asignaturas m´as comunes de cualquier programa de estudios de ingenier´ıa: el ´algebra lineal, el c´alculo a trav´es de las ecuaciones diferenciales, y la serie usual de est´atica, din´amica y mec´anica de materiales. Aunque no es requerido, el estudio previo de mec´anica de fluidos y transmisi´on del calor ser´ıa de mucha ayuda. Dado como conocido todo este cimiento tem´atico acad´emico, el m´etodo de elemento finito se desarrolla en base a las leyes f´ısicas m´ as utilizadas (el equilibrio, la conservaci´on de masa, la conservaci´on de la energ´ıa, y otras). Se d´ a cierto ´enfasis al principio de energ´ıa potencial m´ınima (ver el Cap´ıtulo 2), y el m´etodo de elemento finito de Galerkin (introducido y desarrollado en el Cap´ıtulo 5). A medida que usted como lector progrese a trav´es del texto, descubrir´a que cubrimos una cantidad significativa de la teor´ıa de elemento finito adem´as de la aplicaci´on mediante ejemplos con graduaci´on de dificultad. Dada la disponibilidad de muchos poderosos y sofisticados paquetes de software de elemento finito, por qu´e la necesidad de estudiar la teor´ıa ?. El m´etodo de elemento finito es una herramienta, y como cualquier otra herramienta, usarla sin la instrucci´on apropiada realmente puede ser hasta peligroso. Mi premisa es que una instrucci´on apropiada en este contexto incluye comprender la teor´ıa b´ asica de la formulaci´ on subyacente en los modelos de elementos finitos de problemas f´ısicos. Como fu´e establecido previamente, el an´alisis cr´ıtico de los resultados de un modelo computacional de elemento finito es esencial, desde que esos resultados pueden en el futuro convertirse en la base para el dise˜ no. El conocimiento de la teor´ıa es necesaria para un apropiado proceso de modelado y la evaluaci´ on de los resultados computacionales.
Capítulo
2
An´ alisis uni–dimensional
En ´este cap´ıtulo primero estableceremos las propiedades de rigidez de los elementos m´as simples que pueden elaborarse asociados con la metodolog´ıa que pretendemos desarrollar a lo largo de los cap´ıtulos subsecuentes; dichos elementos son aquellos que se denominan uni–dimensionales, debido a que en su descripci´ on de comportamiento requieren solamente de una direcci´on espacial. Por simplicidad en la descripci´ on de las relaciones carga–desplazamiento, utilizaremos primero un sistema referencial coordenado definido con origen en alg´ un punto del elemento, marco referencial al que lo consideraremos fijo y solidario respecto a este cuerpo s´olido deformable. Tambi´en definiremos un segundo sistema coordenado referencial, respecto del cual se efect´ ua la descripci´ on de comportamiento de toda la estructura (y por supuesto, de todos los elementos que la ´ componen). Este sistema coordenado lo escogeremos con origen en alg´ un punto arbitrario del espacio con orientaci´ on espacial de ejes coincidente a ´aquel que posee el sistema coordenado propio del elemento t´ıpico escogido para ser analizado. La coincidencia de orientaci´on espacial de ambos sistemas de ejes es una exigencia en el cap´ıtulo presente, pero no es una restricci´on de la aplicaci´on general del m´etodo de elemento finito. En base a las ecuaciones que dan la descripci´on de las propiedades de rigidez del elemento t´ıpico respecto de su propio sistema coordenado, efectuaremos un proceso de transformaci´on de ´este sistema hacia el marco global u ´nico y com´ un estructural (aqu´ı algunas veces se requiere efectuar una transformaci´ on de rotaci´ on y traslaci´ on del sistema de ejes coordenados). Al efectuar este procedimiento, habremos logrado establecer la descripci´on de las propiedades de rigidez del elemento t´ıpico respecto ahora del marco referencial de toda la estructura; de modo que y´a sea posible aplicar el principio de superposici´ on para lograr establecer las relaciones carga–desplazamiento de todo el sistema o estructura. Esto u ´ltimo, tiene la analog´ıa de armar un rompe–cabezas con las piezas individuales dispuestas sobre un hipot´etico tablero. En esencia, y de modo literal muy resumido, ´este ser´a el procedimiento general que aplicaremos con el objetivo de establecer las propiedades de rigidez de los diversos elementos t´ıpicos con los cuales se conforman los diversos sistemas que son objeto de an´alisis en ´este documento. 17
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
18
2.1.
Introducci´ on
Las caracter´ısticas primarias de un elemento finito son incluidas en la matriz de rigidez de elemento. Para un elemento finito estructural, la matriz de rigidez contiene informaci´on de su geometr´ıa y su conducta material, que indica la resistencia del elemento a la deformaci´on cuando sobre el mismo se aplica un estado de carga. La deformaci´on producida puede incluir efectos axiales, flexionantes, torsionales y cizallantes. Para elementos finitos usados en an´alisis no–estructural, como flujo fluido y transmisi´on de calor, tambi´en se usa el t´ermino matriz de rigidez, ya que este arreglo de coeficientes representa la resistencia del elemento al cambio de su estado cuando es expuesto a las influencias externas. Este cap´ıtulo desarrolla las caracter´ısticas de elemento finito de dos elementos estructurales uni– dimensionales, relativamente simples: un resorte lineal el´ astico y un miembro en estado de tensi´ on– compresi´ on. Se seleccionan estas entidades como elementos introductorios porque la conducta de cada uno de ellos es relativamente muy conocida a partir de materia te´orica que normalmente estudiamos en ingenier´ıa, como son los temas de est´ atica y mec´anica de materiales. As´ı, el “puente” hacia el m´etodo de elemento finito no es obscurecido por teor´ıas nuevas para el estudiante de ingenier´ıa. M´as bien, construimos sobre los principios conocidos de la ingenier´ıa, para introducir los fundamentos del m´etodo de elemento finito. El resorte lineal y el miembro de tensi´on–compresi´on (de ahora en adelante referido como un elemento–barra, tambi´en conocido en la literatura de elemento finito como: list´on, baqueta, o elemento de cercha) tambi´en se usan para introducir el concepto de funciones de interpolaci´ on. Como mencionamos brevemente en el Cap´ıtulo 1, la premisa b´asica del m´etodo de elemento finito es describir la variaci´ on cont´ınua de la variable de campo (en este cap´ıtulo, el desplazamiento f´ısico) en t´erminos de los valores discretos adoptados en los puntos nodales del elemento para esta variable de inter´es. En el interior de un elemento finito, as´ı como a lo largo de sus l´ımites (aplicable en los problemas bi y tri– tridimensionales), la variable de campo se describe por funciones de interpolaci´on (v´ease el Cap´ıtulo 6) que deben satisfacer condiciones prescritas. El an´alisis de elemento finito est´ a basado, dependiendo del tipo de problema, en varios principios f´ısico/matem´aticos. En la presente introducci´on al m´etodo, mostramos varios de tales principios aplicables al an´alisis de elemento finito. Primero, y principalmente, para los sistemas de resortes y barras interconectadas utilizamos el principio de equilibrio est´atico, pero — y ´esto es esencial — inclu´ımos la deformaci´ on en el desarrollo del an´ alisis; es decir, no estamos tratando con aspectos relacionados a la mec´anica de cuerpo r´ıgido. Para la extensi´ on del m´etodo de elemento finito a los sistemas estructurales el´asticos m´as complicados, tambi´en establecemos y aplicamos el primer teorema de Castigliano [43] y el principio ampliamente usado de la energ´ıa potencial m´ınima [16]. El primer teorema de Castigliano, en la forma aqu´ı presentada, puede parecer ser nuevo para el lector. El primer teorema es la contraparte y complemento del segundo teorema, el cual se encuentra m´as a menudo en el estudio elemental de la mec´anica de materiales [29]. Ambos teoremas relacionan desplazamientos y las fuerzas aplicadas, a las condiciones de equilibrio de un sistema mec´ anico; en t´erminos de la energ´ıa acumulada al interior del material por el proceso de deformaci´ on. El uso aqu´ı del primer teorema de Castigliano es para el prop´osito distinto de introducir el concepto de energ´ıa potencial m´ınima sin tener que recurrir a principios matem´aticos del c´alculo variacional, los cuales se ubican m´as all´a del nivel matem´atico pensado para este texto.
2.2.
El resorte linealmente el´ astico
Un resorte el´ astico lineal es un dispositivo mec´anico capaz de soportar s´olamente carga axial y es constru´ıdo de modo tal que, sobre un rango que operaci´on razonable (significando la extensi´on o compresi´on m´ as all´ a de la longitud indeformada), el alargamiento o la contracci´on del resorte es directamente proporcional a la carga axial aplicada. La constante de proporcionalidad entre la deformaci´on y la carga es llamada constante de resorte, o coeficiente de rigidez [47], generalmente denotado como k, y tiene representaci´ on dimensional de fuerza por unidad de longitud.
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
19
u1
Fuerza, f
La formulaci´ on del resorte lineal como un elemento finito es logrado con referencia a la Figura 2.1(a). Como un resorte el´ astico soporta s´ olo carga axial, seleccionamos un sistema de coordenadas de elemento (tambi´en conocido como sistema coordenado local ) como un eje x orientado a lo largo de la longitud del resorte con origen en el extremo izquierdo, como se muestra. El sistema coordenado local es solidario al elemento (est´ a adherido a ´el) y es escogido as´ı, por conveniencia geom´etrica y por simplicidad en la descripci´ on de la conducta del elemento. El elemento o el sistema de coordenadas local se contrasta con el sistema de coordenadas global. El sistema de coordenadas global es aquel sistema en el cual se describe la conducta de una estructura completa (de ah´ı su denominaci´on de global). Por estructura completa se significa al ensamblaje de muchos elementos finitos (en este punto, varios resortes), sistema para el cual deseamos evaluar la respuesta a las condiciones de carga aplicada. En este cap´ıtulo, tratamos con casos en los que los sistemas de coordenadas locales y globales son esencialmente el mismo, excepto para una traslaci´ on del origen que podr´ıa considerarse si fuese necesario. En casos bi y tri–dimensionales, sin embargo, las distinciones de los sistemas coordenados es bastante diferente y requiere transformaci´on matem´ atica de los sistemas coordenados de elemento hacia una base com´ un. La base com´ un es el sistema de coordenadas global.
u2
k 1
k
f1 1
f2 x
2
(a) Fuerzas y desplazamientos nodales de elemento
Deflexión, u2 u1 (b) Curva carga – deformaci´ on
Figura 2.1: Elemento resorte lineal con nodos extremos El comportamiento de un resorte linealmente el´astico es tal que la magnitud de fuerza a aplicarse requerida para producir una deformaci´on de magnitud determinada, es dir´ecta y estr´ıctamente proporcional a la magnitud de ´esta deformaci´on. Esta conducta caracter´ıstica nos indica que la ley carga–deformaci´ on que gobierna el comportamiento de un resorte en este caso corresponde a una ley lineal, como se muestra en la Figura 2.1(b); donde la pendiente de la recta representativa de la ley gobernante de su comportamiento se identifica con el coeficiente de rigidez de dicho resorte. Retornando nuestra atenci´ on hacia la Figura 2.1(a), los puntos extremos del resorte son los nodos y los desplazamientos nodales se denotan por u1 y u2 , y se muestran con orientaci´on seg´ un el sentido positivo del eje coordenado referencial. Si estos desplazamientos nodales son conocidos, la elongaci´on o contracci´ on total del resorte es conocida, como tambi´en la fuerza neta en el resorte. En este punto de nuestro desarrollo, requerimos que las fuerzas s´olo se apliquen al elemento en los nodos (las fuerzas distribu´ıdas al interior de un elemento se consideran despu´es para otros tipos de elementos), y ´estas cargas aplicadas son denotadas como f1 y f2 , y tambi´en se muestran ambas con sentido positivo respecto del eje de referencia establecido para la descripci´on. Asumiendo que ambos desplazamiento nodales son nulos cuando el resorte tiene su longitud natural, es decir est´ a indeformado; resulta que la deformaci´on neta cuando ocurren estos desplazamientos vendr´a dada por δ = u2 − u1 (2.1) y la fuerza axial resultante sobre el resorte es f = k δ = k(u2 − u1 ) como se bosqueja en la Figura 2.1(b).
(2.2)
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
20
En este caso, la condici´ on de equilibrio est´atico la escribimos f1 + f2 = 0, o de manera equivalente f1 = −f2 ; y podemos re–escribir la Ecuaci´ on 2.2 en t´erminos de las fuerzas nodales aplicadas, como f1 = −k(u2 − u1 ) f2 = k(u2 − u1 )
(2.3a) (2.3b)
notando que como alternativa escogimos tomar f = −f1 = f2 , como par de fuerzas que solicitan en tracci´on al resorte. Estas dos u ´ltimas ecuaciones pueden ser expresadas en forma matricial (v´ease el Ap´endice A para una revisi´ on de ´ algebra lineal) como k −k u1 f1 = (2.4) −k k u2 f2 o escrita en forma comp´ acta y sint´etica [ke ]{u} = {f } donde
[ke ] =
k −k
−k 1 −1 =k k −1 1
(2.5)
(2.6)
es definida como la matriz de rigidez del elemento resorte en el sistema local coordenado (o sistema propio del elemento), {u} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales, y {f } es la matriz columna (vector) de cargas nodales de elemento (en cap´ıtulos subsecuentes la notaci´on matricial es usada extensivamente. Una matriz general es designada entre par´entesis rectos [ ] y una matriz columna (o vector) entre par´entesis rizados o llaves { }). La Ecuaci´ on (2.6) muestra que la matriz de rigidez de elemento para el resorte el´astico lineal es una matriz de dimensi´ on 2×2 (´esto es, 2 filas y 2 columnas). Esto corresponde al hecho que el elemento exhibe dos desplazamientos nodales (o grados de libertad) y que los dos desplazamientos no son independientes (es decir, el cuerpo es cont´ınuo y el´astico). Adem´as, la matriz es sim´etrica. Una matriz sim´etrica tiene t´erminos fuera de la diagonal principal tales que kij = kji . La simetr´ıa de la matriz de rigidez es indicativa del hecho que el cuerpo es linealmente el´astico y cada desplazamiento se relaciona al otro por el mismo fen´ omeno f´ısico. Por ejemplo, si una fuerza F (positiva, o de tracci´on) es aplicada al nodo 2 con el nodo 1 sostenido fijamente, el desplazamiento relativo de los dos nodos es igual como si la fuerza fuese sim´etricamente aplicada (negativa, o de tracci´on) al nodo 1 con el nodo 2 inm´ovil o fijo. (Se ven contra–ejemplos a la simetr´ıa en an´alisis de transferencia de calor y flujo fluido en los Cap´ıtulos 7 y 8). Como se ver´a a medida que se desarrollen elementos estructurales m´as complicados, ´este es un resultado general: Un elemento que exhibe N grados de libertad, tiene una matriz de rigidez correspondiente cuya dimensi´on es N ×N . Luego, consideremos la soluci´ on del sistema de ecuaciones representada sint´eticamente por la Ecuaci´on (2.5). En general, las fuerzas nodales se prescriben (son datos) y el objetivo es resolver para los desplazamientos nodales desconocidos. Formalmente, la soluci´on se representa por {u} = [ke ]−1 {f }
(2.7)
donde [ke ]−1 es la inversa de la matriz de rigidez de elemento. Sin embargo, esta matriz inversa no existe, desde que el determinante de la matriz de rigidez de elemento es id´enticamente cero. Por consiguiente, la matriz de rigidez de elemento es singular, y esto tambi´en demuestra ser un resultado general en la mayor´ıa de los casos. La importancia f´ısica de la naturaleza singular de la matriz de rigidez de elemento es encontrada por re–examinaci´ on de la Figura 2.1(a), que muestra que ninguna restricci´on del desplazamiento en cualquier lugar se ha impuesto en el movimiento del elemento resorte; es decir, el resorte no est´ a conectado a cualquier objeto f´ısico o apoyo que prevendr´ıa o limitar´ıa el movimiento de cualquiera de sus nodos. Sin restricciones al movimiento, no es posible resolver individualmente
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
21
para los desplazamientos nodales. En cambio, s´olo la diferencia en los desplazamientos nodales puede determinarse, como esta diferencia representa el alargamiento o contracci´on del elemento–resorte debido a efectos el´ asticos de su comportamiento. Como ser´ a discutido en m´ as detalle en la formulaci´on general de las funciones de interpolaci´on (Cap´ıtulo 6) y la din´ amica estructural (Cap´ıtulo 10), una formulaci´on apropiada de elemento finito debe permitir un valor constante de la variable de campo. En el ejemplo que aqu´ı es de nuestro inter´es, esto significa movimiento de cuerpo r´ıgido para el resorte; es decir que se mueve estando deformado simult´aneamente. Nosotros podemos identificar la capacidad de movimiento de cuerpo r´ıgido por lo que se refiere a un solo resorte (el elemento) y en el contexto de varios elementos conectados (un sistema o estructura completa) que tiene capacidad de movimiento com´ un de conjunto. Para un solo, elemento no restringido, si las fuerzas arbitrarias son aplicadas a cada nodo, el resorte no s´olo se deforma axialmente, adem´as tambi´en surge una aceleraci´on seg´ un la segunda ley de Newton. De esto concluimos que no s´olo existe deformaci´ on sino tambi´en movimiento total del elemento (el mismo se mueve como cuerpo r´ıgido, pero en configuraci´ on estable deformada). Si, en un sistema conectado de elementos resorte, la respuesta del sistema completo es tal que los nodos 1 y 2 de un elemento particular se desplazan la misma cantidad, no hay ninguna deformaci´on el´astica del resorte y por consiguiente ninguna fuerza el´astica en el mismo. Esta situaci´ on f´ısica debe ser incluida en la formulaci´on del elemento. La capacidad de movimiento de cuerpo r´ıgido se indica matem´aticamente por la singularidad de la matriz de rigidez de elemento. Cuando la matriz de rigidez se formula en base a la deformaci´ on del elemento, no podemos esperar calcular los desplazamientos nodales si no hay ninguna deformaci´on del mismo. La Ecuaci´ on (2.7) indica la operaci´on matem´atica de invertir la matriz de rigidez para obtener la soluci´ on. En el contexto de un elemento individual, la naturaleza singular de una matriz de rigidez de elemento evita esta operaci´ on, ya que la inversa de una matriz singular no existe. Como se ilustra profusamente en el resto del texto, la soluci´on general de un problema de elemento finito, en una descripci´ on global, como algo opuesto al contexto de un solo elemento, involucra la soluci´on de ecuaciones del aspecto matem´ atico mostrado en la Ecuaci´on (2.5). Para modelos reales de elemento finito, los cuales son de grandes dimensiones en t´erminos de la matriz de rigidez de toda la estructura involucrada, cuya dimensi´ on sea N ×N, N >> 10 ; el calcular su inversa es un procedimiento verdaderamente muy ineficaz, y de p´erdida de tiempo si se pretende usar una simple calculadora electr´onica. Para estas situaciones, otras t´ecnicas de soluci´on m´as eficaces est´an disponibles, y ´estas se discuten m´as adelante. (Muchos de los problemas propuestos de fin–de–cap´ıtulo incluidos en este texto son de orden peque˜ no y pueden resolverse eficazmente mediante proceso de inversi´on matricial usando un software con hoja de c´ alculo, o paquetes destinados espec´ıficamente al c´omputo num´erico matricial, como Mathlab, Mathematica, o MathCad).
2.2.1.
Ensamble del sistema en coordenadas globales
La deducci´ on de la matriz de rigidez para un elemento–resorte fu´e basada en condiciones de equilibrio est´ atico. El mismo procedimiento puede aplicarse a un sistema de varios elementos–resorte conectados, escribiendo la ecuaci´ on de equilibrio para cada nodo. Sin embargo, en lugar de dibujar diagramas de cuerpo–libre de cada nodo y escribir formalmente las ecuaciones de equilibrio, ´estas relaciones pueden obtenerse m´ as eficazmente considerando el efecto de cada elemento separadamente y agregando luego la contribuci´ on de fuerza de elemento a cada ecuaci´on nodal. Este proceso se describe como “ensamble”, cuando nosotros tomamos los componentes individuales de rigidez y los “reunimos juntos” para obtener las ecuaciones del sistema. Para ilustrar, v´ıa un ejemplo simple, el ensamble de caracter´ısticas de elemento en las ecuaciones globales (o de sistema), consideraremos como sistema a un par de elementos resorte lineales conectados como mostramos en la Figura 2.2; que adem´as est´an sujetos a cargas aplicadas en sus extremos. Por generalidad, se asume que los resortes tienen diferentes coeficientes de rigidez k1 y k2 , pero de valores constantes. Los nodos se numeran 1, 2, y 3 como se muestra, con los resortes compartiendo el nodo 2 como la conexi´ on f´ısica entre ellos. Note que ´estos son los n´ umeros de nodo globales. Los
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
22
U1
U2 2
1
F1 1
U3 F3
F2 2
k1
x
3
k2
Figura 2.2: Sistema de dos resortes conectados en serie desplazamientos nodales globales se identifican como U1 , U2 , y U3 ; d´onde la letra may´ uscula se usa para indicar que las cantidades representadas son globales o desplazamientos del sistema (no confundirlos con los desplazamientos de elemento individuales). Similarmente, las fuerzas nodales aplicadas son F1 , F2 , y F3 .
u(1) 1 1
f1(1) 1
u(2) 1
u(1) 2 f2(1)
2
f2(2)
2
k1
2
(a) Elemento 1
f3(2) 3
k2 (b) Elemento 2
f2(1)+f2(2)
f1(1)
F1
u(2) 2
f3(2)
F2 2
1 (c) Nodo 1
F3 3
(d) Nodo 2
(e) Nodo 3
Figura 2.3: Diagramas de cuerpo–libre de elementos y nodos Asumiendo que el sistema de dos elementos–resorte est´a en perfecto equilibrio est´atico, examinamos los diagramas de cuerpo–libre de los resortes individualmente ahora referidos a sus propios sistemas coordenados (sistemas coordenados locales), que se aprecian en las Figuras 2.3(a) y 2.3(b); las cuales expresan las condiciones de equilibrio para cada resorte. Ahora, usando la Ecuaci´on (2.4) para cada uno de los esquemas, tenemos " #( ) ( ) k1 −k1 u(1) f1(1) 1 = (2.8a) −k1 k1 u(1) f2(1) 2 "
k2 −k2
−k2 k2
#( ) ( ) u(2) f2(2) 1 = u(2) f3(2) 2
(2.8b)
donde el super–´ındice identifica al n´ umero de elemento que est´a siendo analizado. Para comenzar a “ensamblar ” las ecuaciones de equilibrio que describen el comportamiento del sistema de dos resortes,se deben establecer las condiciones de compatibilidad de desplazamientos; las cuales relacionan los desplazamientos del elemento a los desplazamientos del sistema. Estas ecuaciones son escritas, haciendo referencia a las Figuras 2.2 y 2.3(a) y (b), como u(1) = U1 1
u(1) = U2 2
u(2) = U2 1
u(2) = U3 2
(2.9)
Las condiciones de compatibilidad establecen el hecho f´ısico que los resortes est´an conectados en el nodo 2, y permanecen conectados a ´este nodo despu´es de la deformaci´on; y por tanto deben tener el mismo desplazamiento nodal en ´este punto de conexi´on. As´ı, la continuidad del desplazamiento
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
23
elemento–a–elemento se refuerza en las conexiones nodales. Sustituyendo las Ecuaciones (2.9) en las Ecuaciones (2.8), obtenemos " #( ) ( ) k1 −k1 U1 f1(1) = (2.10a) −k1 k1 U2 f2(1) "
k2 −k2
−k2 k2
#( ) ( ) U2 f2(2) = U3 f3(2)
(2.10b)
Aqu´ı, usamos la notaci´ on fi(j) para representar la fuerza ejercida sobre el elemento j en el nodo i. Las Ecuaciones (2.10) son las formulaciones de equilibrio est´atico para cada elemento–resorte expresadas en t´erminos de los desplazamientos globales especificados. En esta forma, las ecuaciones claramente muestran que los elementos se conectan f´ısicamente en el nodo 2, y tienen el mismo desplazamiento U2 en ese nodo. Estas ecuaciones no son todav´ıa adecuadas para una combinaci´on dir´ecta, porque los vectores desplazamiento no son los mismos. Nosotros podemos expandir ambas ecuaciones matriciales hacia una dimensi´ on 3×3 como sigue (expresando formalmente el hecho que el elemento 1 no se conecta al nodo 3 y el elemento 2 no est´a conectado al nodo 1): k1 −k1 0 U1 f1(1) −k1 k1 0 U2 = f2(1) (2.11a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k2 −k2 U2 = f2(2) (2.11b) (2) f3 0 −k2 k2 U3 Aqu´ı, debemos notar que en la Ecuaci´on (2.11a) podr´ıamos poner U3 , y U1 en la Ecuaci´on (2.11b) en los vectores desplazamiento, en lugar de los valores nulos expl´ıcitos que pusimos (verifique usted que las ecuaciones desarrolladas son id´enticas con este cambio propuesto). La superposici´ on de las ecuaciones anteriores, como se puede f´acilmente comprobar, d´a como resultado k1 −k1 0 U1 f1(1) −k1 k1 + k2 −k2 U2 = f2(1) + f2(2) (2.12) 0 −k2 k2 U3 f3(2) Luego, refiri´endonos a los diagramas de cuerpo–libre de cada uno de los nodos, diagramados en las Figuras 2.3(c), 2.3(d), y 2.3(e); nos muestran que las condiciones de equilibrio est´atico imponen el cumplimiento de las relaciones f1(1) = F1
f2(1) + f2(2) = F2
f3(2) = F3
respectivamente. Sustituyendo en la Ecuaci´on (2.12), obtenemos el resultado final k1 −k1 0 U1 F1 −k1 k1 + k2 −k2 U2 = F2 0 −k2 k2 U3 F3
(2.13)
(2.14)
Esta ecuaci´ on podr´ıamos escribirla en forma sint´etica: [K ]{U } = {F }, cuya forma es similar al de la Ecuaci´ on (2.5). Sin embargo, la Ecuaci´on (2.14) representa a las relaciones que gobiernan al sistema compuesto de dos elementos resorte inter–conectados. Por consideraci´on dir´ecta de las condiciones de equilibrio est´ atico, hemos obtenido la matriz de rigidez del sistema [K] (note el uso del s´ımbolo en may´ uscula), llamada tambi´en matriz de rigidez global, como k1 −k1 0 [K ] = −k1 k1 + k2 −k2 (2.15) 0 −k2 k2
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
24
Notemos que la matriz de rigidez del sistema impl´ıcitamente contiene las siguientes propiedades: (1) es sim´etrica, como es el caso con todos los sistemas lineales referidos a sistemas coordenados ortogonales (cuyos ejes est´ an en cuadratura unos respecto a los otros); (2) es singular, desde que no se aplican restricciones para prevenir el movimiento de cuerpo r´ıgido de todo el sistema; y (3) la matriz del sistema simplemente es una superposici´ on de las matrices de rigidez de los elementos individuales con la asignaci´ on apropiada de los desplazamientos nodales de elemento (desplazamientos locales) y asociados con los coeficientes de rigidez a los desplazamientos nodales del sistema (desplazamientos globales). El procedimiento del superposici´ on se formaliza en el contexto de estructuras del tipo marco en los p´arrafos siguientes. Ejemplo 2.1. Considere el sistema de dos elementos–resorte mostrado en la Figura 2.2, dado que el Nodo 1 se sujeta a un apoyo fijo proporcionando la restricci´on del desplazamiento U1 = 0. Considerando los valores: k1 = 50 lb/in, k2 = 75 lb/in, F1 = F2 = 75 lb; determinar los desplazamientos U2 y U3 . > Soluci´ on Sustituyendo los valores especificados en la Ecuaci´on (2.14), tendremos 50 −50 0 0 F1 −50 125 −75 U2 = 75 0 −75 75 U3 75 y notamos que, debido al valor de desplazamiento nulo en el nodo 1, la fuerza nodal F1 se convierte en una fuerza de reacci´ on desconocida (´esta ser´ıa la reacci´on de apoyo). Formalmente, la primera ecuaci´on algebr´aica representada en esta ecuaci´ on matricial llega a ser −50 U2 = F1 y esta es conocida como una ecuaci´ on de restricci´ on, ya que representa la condici´on de equilibrio de un nodo en el cual el desplazamiento est´ a restringido (con un valor pre–establecido). Desechando la primera ecuaci´ on del sistema anterior, la segunda y tercera ecuaciones se escriben ahora como 125 −75 U2 75 = −75 75 U3 75 2 1 75 75 [ 75 = 3750 la cual puede ser resuelta usando la t´ecnica de inversi´on matricial, U 75 125 ] { 75 }, que U3 proporciona los valores: U2 = 3 in, y U3 = 4 in. Note usted que la matriz de las ecuaciones gobernantes de los desplazamientos desconocidos se obtiene simplemente desechando la primera fila y columna de la matriz 3×3 del sistema, puesto que el desplazamiento restringido es cero. Luego, el impedimento impuesto no afecta los valores de los desplazamientos activos (usamos el t´ermino “activo” para referirnos a los desplazamientos que son desconocidos y deben evaluarse). La substituci´on de los valores calculados de U2 y U3 en la ecuaci´on de restricci´on proporciona el valor F1 = −150 lb, que est´a claramente en equilibrio con las fuerzas nodales aplicadas de 75 lb. cada una. Tambi´en podemos verificar el equilibrio del elemento, escribiendo las ecuaciones para cada uno de ellos " #( ) ( ) ( ) 50 −50 0 f1(1) −150 = = lb para el elemento 1 −50 50 3 f2(1) 150 "
75 −75
#( ) ( ) ( ) −75 3 f2(2) −75 = = lb 75 4 f3(2) 75
para el elemento 2
Este u ´ltimo c´ alculo resulta ser una verificaci´on de la soluci´on obtenida para los desplazamientos.
>
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
25
El Ejemplo 2.1 ilustra el procedimiento general para la soluci´on de modelos de elemento finito: Formular las ecuaciones de equilibrio del sistema, aplicar las condiciones de restricci´on especificadas, resolver la serie reducida de ecuaciones para los desplazamientos “activos”, y sustituir los desplazamientos evaluados en las ecuaciones de restricci´on para obtener las reacciones desconocidas. Aunque no es directamente aplicable para el elemento–resorte, en las formulaciones de elemento finito m´as generales, los desplazamientos calculados son tambi´en sustituidos en las relaciones desplazamiento – deformaci´on para obtener las deformaciones unitarias; y ´estas son, a su vez, sustituidas en las ecuaciones de tensi´on–deformaci´ on unitaria aplicables, para obtener los valores de tensi´on interna de elemento. Ejemplo 2.2. La Figura 2.4(a) muestra un sistema de tres resortes linealmente el´asticos que soportan tres cuerpos con pesos de igual magnitud, suspendidos en un plano vertical. Tratando los resortes como elementos finitos, determine el desplazamiento vertical de cada cuerpo.
1
3k
U1
3k
W
1
2
U2
2k
2k
2
3
W
U3 k
3
k 4
U4
W
(a)
(b)
Figura 2.4: Sistema de pesos y resortes > Soluci´ on Para tratar esto como un problema de elemento finito, nosotros asignamos cierta codificaci´on num´erica a los nodos y elementos como se muestra en la Figura 2.4(b) e ignoramos, por el momento, que el desplazamiento U1 se conoce que tiene valor nulo por la restricci´on de movimiento impuesto por el apoyo fijo. Por la Ecuaci´ on (2.6), la matriz de rigidez de cada elemento es (pre–procesamiento)
3k −3k [k ] = −3k 3k 2k −2k [k (2) ] = −2k 2k k −k (3) [k ] = −k k (1)
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
26
Las relaciones de desplazamientos nodales locales – hacia – globales, son u(1) = U1 1
u(1) = u(2) = U2 2 1
u(2) = u(3) = U3 2 1
u(3) = U4 2
Procediendo como en el ejemplo anterior, escribimos las ecuaciones individuales de elemento como (1) 3k −3k 0 0 U1 f1 −3k 3k 0 0 U2 f2(1) = 0 0 0 0 U3 0 0 0 0 0 U4 0 0 0 0 0 U1 0 (2) 0 2 −2k 0 U2 = f1(2) 0 −2k 2k 0 U3 f2 0 0 0 0 U4 0 0 U1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U2 = 0 0 k −k U3 f1(3) (3) f2 0 0 −k k U4 Sumando estas ecuaciones, factorizando el par´ametro k que es com´ un a todas las matrices, 3 −3 0 0 F1 U1 −3 5 −2 0 U2 W = k 0 −2 3 −1 U3 W W U4 0 0 −1 1
(1)
donde hemos utilizado el hecho que la suma de las fuerzas de elemento en cada nodo debe igualar a la fuerza aplicada a ese nodo y; en el nodo 1, la fuerza actuante es una reacci´on desconocida. Aplicando la restricci´ on de desplazamiento U1 = 0 (esto es todav´ıa pre–procesamiento), obtenemos −3 k U2 = F1 como la ecuaci´ on de restricci´ on y la ecuaci´on 5 −2 k −2 3 0 −1
(2)
matricial 0 U2 1 −1 U3 = W 1 1 U4 1
(3)
para los desplazamientos activos. Nuevamente, notemos que la Ecuaci´on (3) se obtiene eliminando la Ecuaci´on de restricci´ on (2) de la Ecuaci´ on (1) de comportamiento global estructural. La soluci´on simult´ anea (procesamiento) del sistema de ecuaciones algebr´aicas representadas por la Ecuaci´on (3) d´ a los desplazamientos inc´ ognitas con los valores indicados a continuaci´on U2 =
W k
U3 =
2W k
U4 =
3W k
y la Ecuaci´on (2) proporciona como fuerza de reacci´on de apoyo (´esto es post–procesamiento) F1 = −3 W Debemos notar que la fuerza de reacci´ on de apoyo equilibra la fuerza externa aplicada al sistema (o peso total de los cuerpos que cuelgan). >
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
27
Notemos que la soluci´ on aqu´ı hallada aplicando el m´etodo de elemento finito para el ejemplo anterior, es ex´ actamente aquella que hubi´esemos obtenido mediante aplicaci´on de las conocidas ecuaciones de equilibrio est´ atico. Tambi´en notemos que hemos seguido el procedimiento general de utilizaci´on del m´etodo, consistente de los pasos secuenciales siguientes: Formular las matrices de rigidez individuales de elemento. Escribir las relaciones de transformaci´on de desplazamientos locales hacia globales. Ensamblar la ecuaci´ on de equilibrio global en forma matricial. Reducir la ecuaci´ on matricial seg´ un las restricciones especificadas. Resolver el sistema de ecuaciones para los desplazamientos nodales desconocidos (variables primarias). Resolver las ecuaciones de restricci´on para las fuerzas de reacci´on (variables secundarias) por substituci´ on–regresiva. Ejemplo 2.3. La Figura 2.5 muestra un sistema de tres elementos resorte lineales conectados en configuraci´on en serie. La numeraci´ on de nodos y elementos adoptada es como se indica. El nodo 1 se fija r´ıgidamente para prevenir el movimiento, y en el nodo 3 se d´a un desplazamiento especificado δ como es mostrado. Las fuerzas F2 = −F y F4 = 2F est´an aplicadas en los nodos 2 y 4. Determine el desplazamiento de cada nodo y la fuerza requerida en el nodo 3 para las condiciones especificadas previas. F2 = – F
1 1
k
3 2
3
3k
2k
2
4
F4 = 2 F
Figura 2.5: Sistema de resortes conectados en serie > Soluci´ on Este ejemplo incluye una condici´ on de borde no–homog´enea. En los ejemplos anteriores, las condiciones l´ımite se representaron por desplazamientos de valor nulo. En este ejemplo, tenemos ambos tipos: condiciones de desplazamiento nulo (homog´eneo) y de magnitud especificada (no–homog´eneo). El tratamiento algebr´ aico debe ser diferente como sigue. Las ecuaciones de equilibrio del sistema se expresan en forma matricial (v´ease el Problema 2.6) como
k −k 0 0
−k 4k −3k 0
0 −3k 5k −2k
0 U1 F1 F1 0 U2 = F2 = −F −2k F3 F3 U3 2k U4 F4 2F
Substituyendo las condiciones especificadas U1 = 0 y U3 = δ resulta el sistema algebr´aico de ecuaciones k −k 0 0 0 F1 −k 4k −3k 0 U2 = −F (1) 0 −3k 5k −2k δ F3 0 0 −2k 2k U4 2F
28
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
Puesto que U1 = 0, removemos la primera fila y columna para obtener 4k −3k 0 U2 −F −3k 5k −2k δ = F3 0 −2k 2k U4 2F
(2)
juntamente con −k U2 = F1 , como ecuaci´ on de restricci´on. Pero, la serie de ecuaciones obtenida claramente muestra que simplemente no podemos eliminar la fila y columna que corresponden al desplazamiento no–nulo especificado, porque ´este par´ametro aparece en las ecuaciones que gobiernan los desplazamientos activos. Para ilustrar un procedimiento general, volvemos a escribir la u ´ltima ecuaci´on reorden´andola como 5k −3k −2k δ F3 −3k 4k 0 U2 = −F −2k 0 2k U4 2F Si efectuamos un procedimiento de partici´ on matricial de acuerdo a dimensiones que sean convenientes, tendr´ıamos 5k −3k −2k δ F3 −3k 4k (3) 0 U2 = −F −2k 0 2k 2F U4 En t´erminos generales la ecuaci´ on anterior podr´ıamos escribirla como [Kδδ ] [KδU ] {δ} {Fδ } = [KU δ ] [KU U ] {U } {FU }
(4)
donde la identificaci´ on de las submatrices y subvectores involucrados en esta descripci´on comp´acta es dir´ecta, si se comparan las anteriores dos ecuaciones. −3k 4k 0 T [Kδδ ] = [5k] [KδU ] = −3k −2k [KU δ ] = [KδU ] = [KU U ] = −2k 0 2k U2 −F {δ} = {δ} {U } = {Fδ } = {F3 } {FU } = U4 2F Del desarrollo de la segunda “fila” de la Ecuaci´on (4) obtenemos la relaci´on [KU δ ]{δ} + [KU U ]{U } = {FU } la cual puede ser resuelta para los desplazamientos globales inc´ognita, dando como ecuaci´on de soluci´on {U } = [KU U ]−1 ( {FU } − [KU δ ]{δ} )
(5)
con tal que la matriz [KU U ]−1 exista. Desde que las condiciones de restricci´on han sido aplicadas correctamente, la matriz inversa para nuestro ejemplo s´ı existe y est´a dada por 1 0 [KU U ]−1 = 4k 1 0 2k Substituyendo en la Ecuaci´ on (5), la soluci´on para los desplazamientos inicialmente desconocidos resulta F 3δ 1 + − 0 −F + 3kδ U2 4k 4k 4 {U } = = = (6) 1 U4 2F + 2kδ F +δ 0 2k k
´ 2.2. EL RESORTE LINEALMENTE ELASTICO
29
Del desarrollo de la primera “fila” de la Ecuaci´on (4) obtenemos la relaci´on [Kδδ ]{δ} + [KδU ]{U } = {Fδ }
(7)
la cual, al ser substituida por la soluci´on para los desplazamientos ahora y´a conocidos, proporciona la soluci´on para las fuerzas asociadas con los desplazamientos no–homog´eneos que han sido especificados. Reemplazando la soluci´ on previamente obtenida, especificada por la Ecuaci´on (6), tendremos
F3 = 5 k δ − 3k
F 3δ − + 3 5 4k 4 2k = kδ − F 4 F +δ 4 k
(8)
Finalmente, de la ecuaci´ on de restricci´on para el desplazamiento homog´eneo (nulo), hallamos la fuerza de apoyo fijo 3 F − kδ (9) F1 = − k U2 = 4 4 Como comprobaci´ on de los resultados, podemos reemplazar los desplazamientos especificados y calculados en las ecuaciones individuales de elemento, para verificar que el equilibrio est´atico se satisface. Elemento 1
k −k
−k k
0 U2
) ( ) ( 3 F f1(1) −k U2 4k δ − 4 = = = k U2 f2(1) −3k δ + F 4
4
lo cual muestra que las fuerzas nodales sobre el elemento 1 son iguales y de sentido opuesto como es requerido para el equilibrio est´ atico. Elemento 2
−3k 3k
3k −3k
U2 U3
−3k 3k
3k = −3k
) ( F − 4k + 34 δ
=
δ
( 3F ) − 4k − 34 k δ 3F 4k
+ 43 k δ
) ( f2(2) = f3(2)
Esto muestra que se verifica el equilibrio de ´este elemento. Elemento 3
2k −2k
−2k 2k
U3 U4
2k = −2k
−2k 2k
F k
δ +δ
( (3) ) f3 −2F = = 2F f4(3)
Luego, el elemento 3 tambi´en se encuentra en completo equilibrio est´atico.
>
En este Ejemplo, mostramos principalmente el m´etodo general de soluci´on de la ecuaci´on gobernante reducida, luego de haber eliminado las condiciones de borde homog´eneas asociadas con los desplazamientos nulos. Para resolver dicho sistema reducido de ecuaciones algebr´aicas, que contiene condiciones de borde no–homog´eneas (desplazamientos no–nulos de valor especificado), se requiere efectuar un reordenamiento de coeficientes para poder efectuar luego un procedimiento de particionamiento de la ecuaci´ on matricial reducida. Establecimos el procedimiento general de soluci´on que b´asicamente consiste en el desarrollo de las sub–ecuaciones matriciales que resultan de haber efectuado la partici´on de los arreglos (matriz y vectores) que describen el comportamiento mec´anico del sistema y´a reducido previamente; y la soluci´ on de dichas sub–ecuaciones para las inc´ognitas pertinentes.
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
30
2.3.
El elemento barra
Mientras que el resorte el´ astico lineal sirve para introducir el concepto de la matriz de rigidez, la utilidad de tal elemento en el an´ alisis de elemento finito de cualquier sistema real est´a bastante limitada. Ciertamente, se usan resortes en maquinarias en muchos casos comunes y la disponibilidad de una representaci´on de elemento finito de un resorte lineal es bastante u ´til en situaciones as´ı planteadas. El elemento resorte tambi´en se usa a menudo para representar la naturaleza el´astica de apoyos o soportes para sistemas m´ as complicados. Un elemento generalmente m´as aplicable, todav´ıa similar, es una barra el´astica sujeta a fuerzas axiales s´ olamente. Este elemento que nosotros simplemente lo llamamos elemento–barra, es particularmente u ´til en el an´alisis de estructuras de armaz´on de elementos rectos bi y tri–dimensionales. La formulaci´ on de las caracter´ısticas de elemento finito de un elemento–barra el´astico est´a basado en las hip´ otesis siguientes: 1. La barra es geom´etricamente recta. 2. El material obedece la ley de Hocke. 3. Las fuerzas s´ olo est´ an aplicadas en los extremos de la barra. 4. La barra s´ olo soporta carga de tipo axial. La u ´ltima hip´ otesis se traduce como que los efectos de flexi´on, torsi´on, y cizalladura no se transmiten a elementos aleda˜ nos por la naturaleza de sus conexiones hacia estos otros elementos. Esta asunci´on, aunque es bastante restrictiva, no es impr´ acticable; esta condici´on se satisface si la barra se conecta a otros estructurales mediante uniones articuladas (2–D) o juntas esf´ericas (3–D). Las hip´otesis 1 y 4, en combinaci´ on, muestran que esto es inherente a un elemento uni–dimensional, significando que el desplazamiento el´ astico de cualquier punto a lo largo de la barra puede expresarse en t´erminos de una sola variable independiente. Como se ver´a, sin embargo, el elemento barra puede usarse en el modelado de estructuras bi y tri–dimensionales. El lector reconocer´a este elemento como el miembro de dos-fuerzas, muy familiar a partir del curso de est´atica elemental; que como caracter´ıstica principal, para el equilibrio est´ atico, requiere que las fuerzas ejercidas en los extremos del elemento deben ser colineales, iguales en magnitud, y opuestas en sentido. u1
u2
1
2
x
x
u(x) L
Figura 2.6: Diagrama esquem´atico del elemento – barra La Figura 2.6 muestra una barra el´ astica de longitud L, la cual no est´a apoyada y es asociada a un sistema coordenado uniaxial denotado como x con su origen coincidente con el extremo izquierdo del elemento (el nodo 1). Este es el sistema coordenado de elemento o marco de referencia local. Denotando el desplazamiento axial a lo largo de la longitud de la barra en cualquier posici´on como u(x), definimos los nodos 1 y 2 a cada extremo de la barra como se muestra, e introducimos los desplazamientos nodales u1 = u(x = 0) y u2 = u(x = L). As´ı, tenemos la variable cont´ınua de campo u(x), la cual ser´ a expresada (aproximadamente) en t´erminos de las variables de desplazmiento nodales u1 y u2 . Para lograr esta discretizaci´ on, asumimos la existencia de funciones de interpolaci´ on N1 (x) y N2 (x) (tambi´en conocidas como funciones de forma o funciones de mezcla) tales que u(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2
(2.16)
2.3. EL ELEMENTO BARRA
31
N´otese que usando los valores extremos de elemento u1 y u2 estamos planteando que podemos hallar el desplazamiento u(x) de cualquier punto interno haciendo uso de las funciones N1 (x) y N2 (x); lo que sin duda representa el planteamiento de un proceso de interpolaci´on matem´atica. De ah´ı el nombre de funciones de interpolaci´ on para las funciones de la variable independiente: N1 y N2 . Debe darse ´enfasis a que, aunque se indica una igualdad en la Ecuaci´on (2.16), la relaci´on planteada para los elementos finitos en general, es una aproximaci´on. Para el elemento–barra la relaci´on, sin embargo, de hecho es ex´ acta. Para determinar las funciones de interpolaci´on, requerimos que los valores de frontera l´ımite de u(x) (los desplazamientos nodales) sean id´enticamente satisfechos por la discretizaci´ on planteada, de modo que u(x = 0) = u1
u(x = L) = u2
(2.17)
Las Ecuaciones (2.16) y (2.17) conducen a las siguientes condiciones l´ımite (nodales) N1 (0) = 1
N2 (0) = 0
(2.18)
N1 (L) = 0
N2 (L) = 1
(2.19)
que deben satisfacerse por las funciones de interpolaci´on. Se requiere que la expresi´on para el desplazamiento, la Ecuaci´ on (2.16), satisfaga las condiciones de extremo (nodales) id´enticamente; puesto que los nodos ser´ an los puntos de conexi´on entre los elementos y las condiciones de continuidad del desplazamiento se refuerzan en dichas conexiones. Como tenemos dos condiciones que deben satisfacerse por cada una de las dos funciones uni–dimensionales, las formas m´as simples para las funciones de interpolaci´ on son las expresiones polinomiales: N1 (x) = a0 + a1 x
(2.20)
N2 (x) = b0 + b1 x
(2.21)
donde los coeficientes polin´ omicos ser´an determinados mediante el cumplimiento de las condiciones de borde l´ımites (nodales). Notamos aqu´ı que existe un n´ umero ilimitado de expresiones matem´aticas que podr´ıan asumirse como funciones de interpolaci´on, a s´ola condici´on que satisfagan las condiciones de borde requeridas. Las razones para escoger una forma lineal para las funciones de interpolaci´on en este caso particular se explican en detalle en el Cap´ıtulo 6. La aplicaci´ on de las condiciones representadas por la Ecuaci´on (2.18) nos proporciona: a0 = 1, b0 = 0, mientras que la Ecuaci´ on (2.19) d´a como resultados a1 = −(1/L) y b1 = 1/L. Por consiguiente, las funciones de interpolaci´ on son N1 (x) = 1 − x/L N2 (x) = x/L
(2.22a) (2.22b)
y la funci´ on de desplazamiento, o variable cont´ınua de campo, es representada por la discretizaci´on u(x) = (1 − x/L)u1 + (x/L)u2
(2.23)
Como se encontrar´ a subsecuentemente m´as conveniente, la Ecuaci´on (2.23) puede expresarse en forma matricial como u1 u(x) = N1 (x) N2 (x) = [N ]{u} (2.24) u2 donde [N ] es la matriz fila de funciones de interpolaci´on y {u} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales. Habiendo expresado el campo de desplazamientos en t´erminos de las variables nodales, el resto de la tarea obligada es determinar la relaci´on existente entre los desplazamientos nodales y las fuerzas aplicadas en dichos puntos extremos del elemento, para obtener la matriz de rigidez del elemento barra.
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
32
Recordando la mec´ anica elemental de materiales, la deformaci´on δ de una barra el´astica de longitud L y ´area de secci´ on tansversal A uniforme, cuando es sujeta a una carga axial P , est´a dada por δ=
PL EA
(2.25)
donde E es el m´ odulo de elasticidad lineal del material. De aqu´ı obtenemos P = ELA δ, que comparada con la relaci´on carga–deformaci´ on del resorte el´astico lineal P = k δ, nos proporciona el coeficiente de rigidez equivalente del elemento–barra EA P = (2.26) k= δ L y podr´ıamos, por analog´ıa con el resorte el´astico lineal, inmediatamente escribir la matriz de rigidez como nos indica la Ecuaci´ on (2.6). Mientras el resultado as´ı obtenido es precisamente correcto, nosotros tomaremos una concepci´ on de deducci´ on m´as general para ilustrar los procedimientos a ser usados con formulaciones de elemento m´ as complicadas. Finalmente, deseamos calcular los desplazamientos nodales dada alguna condici´on de carga impuesta sobre el elemento. Para obtener las ecuaciones necesarias de equilibrio que relacionen los desplazamientos a las fuerzas aplicadas, procedemos el c´alculo desde el desplazamiento hacia la deformaci´on unitaria, luego hacia la tensi´ on interna, y finalmente hacia la carga aplicada; como se muestra a continuaci´on. En solicitaci´ onl uniaxial, como en el elemento – barra, necesitamos considerar s´olo la componente de deformaci´ on normal unitaria, definida como x =
du dx
(2.27)
la cual, cuando es aplicada a la Ecuaci´ on (2.23), d´a como resultado x =
u2 − u1 δ = L L
(2.28)
que muestra que el elemento barra es un elemento de deformaci´on constante. Esto est´a de acuerdo con la teor´ıa de resistencia de materiales: El elemento tiene ´area de secci´on transversal constante, y est´a sujeto a fuerzas constantes aplicadas en los puntos extremos (los nodos), as´ı que la tensi´on interna no var´ıa a lo largo de la longitud. La tensi´ on axial interna, por la ley de Hocke, es entonces σx = Ex = E
u2 − u1 L
(2.29)
y la fuerza axial asociada es luego P = σx A =
EA (u2 − u1 ) L
(2.30)
Tomando cuidado para observar la correcta convenci´on de signo algebraico, la Ecuaci´on (2.30) es ahora usada para relacionar las fuerzas nodales aplicadas f1 y f2 a los desplazamientos nodales u1 y u2 . Aqu´ı podr´ıamos apelar a la analog´ıa de comportamiento mec´anico del elemento–barra con el elemento resorte (equivalente) el cual es mostrado en la Figura 2.1(a). Observando que, si la Ecuaci´on (2.30) tiene un signo positivo, el elemento est´ a en solicitaci´on de tracci´on y la fuerza nodal f2 debe estar en la direcci´on de la coordenada positiva mientras que la fuerza nodal f1 debe ser igual en magnitud y de sentido opuesto para preservar el equilibrio; por consiguiente, AE (u2 − u1 ) L EA f2 = (u2 − u1 ) L
f1 = −
(2.31a) (2.31b)
2.3. EL ELEMENTO BARRA
33
Las Ecuaciones (2.31) son expresadas en forma matricial seg´ un la expresi´on E A 1 −1 u1 f1 = u2 f2 L −1 1
(2.32)
La comparaci´ on de la Ecuaci´ on (2.32) y la Ecuaci´on (2.4) muestra que la matriz de rigidez para el elemento–barra est´ a dada por E A 1 −1 (2.33) [ke ] = L −1 1 Como es el caso con el resorte lineal, observamos que la matriz de rigidez para el elemento barra es sim´etrica, singular, y de orden 2×2 en correspondencia con los dos desplazamientos nodales o grados de libertad. Debe darse ´enfasis a que la matriz de rigidez dada por la Ecuaci´on (2.33) est´a expresada en el sistema coordenado de elemento (sistema local) que en este caso es uni–dimensional. La aplicaci´on de la formulaci´ on de ´este elemento al an´alisis de estructuras bi y tri–dimensionales es considerada en el pr´oximo cap´ıtulo. Ejemplo 2.4. La Figura 2.7(a) muestra una barra el´astica adelgazada sujeta a una carga de tracci´on P aplicada en un extremo, estando fijo el otro extremo. El ´area de la seci´on–transversal var´ıa linealmente desde A0 en el extremo fijo x = 0, hasta A0 /2 en x = L. Calcular el desplazamiento del extremo libre de la barra (a) modelando este cuerpo como un solo elemento que tiene ´area de secci´on transversal igual al ´area de la barra real en su punto medio a lo largo de su longitud, (b) usando dos elementos barra de igual longitud y similarmente evaluando el ´area en el punto medio de cada uno de los segmentos, y (c) usando la integraci´ on para obtener la soluci´on exacta. (x) A0
x
x
A0
1
x
A0
1
7A0/8
L
3A0/4
L
2
L x
5A0/8
A0/2
A20/2
P
P
(a) Sistema original
(b) Modelo de 1 elemento
A(x)
L/2
L/2
3
P
P
(c) Modelo de 2 elementos
(d) Tensi´ on normal
Figura 2.7: Barra tronco–c´onica y modelos de elemento finito > Soluci´ on (a) Para un solo elemento, el ´ area de secci´on–transversal es 3A0 /4 y el “coeficiente de rigidez equivalente” de resorte es AE 3A0 E k= = L 4L y la ecuaci´ on matricial gobernante del comportamiento de elemento (o estructura, en ´este caso) es 3A0 E 1 −1 U1 F1 = −1 1 U P 4L 2 El elemento y los puntos nodales del mismo son como se muestran en la Figura 2.7(b). Los desplazamientos de estos puntos (grados de libertad) se asumen estar definidos seg´ un la direcci´on x. Aplicando
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
34
la condici´on de restricci´ on U1 = 0, encontramos U2 =
4P L PL = 1,333 3A0 E A0 E
como el desplazamiento en x = L. (b) Dos elementos de igual longitud L/2 con los puntos nodales asociados a cada uno de ellos se muestran en la Figura 2.7(c). Los desplazamientos de estos puntos (grados de libertad) se asumen estar definidos seg´ un la direcci´ on x. Para el elemento 1, A1 = 7A0 /8, por lo que el coeficiente de rigidez de resorte equivalente resulta 7A0 E 7A0 E A1 E = = k1 = L1 8(L/2) 4L mientras que para el elemento 2 tenemos A2 =
5A0 8
y, luego
k2 =
A2 E 5A0 E 5A0 E = = L2 8(L/2) 4L
Puesto que ninguna carga est´ a aplicada en el centro de la barra, las ecuaciones de equilibrio para el sistema de dos elementos es k1 −k1 0 U1 F1 −k1 k1 + k2 −k2 U2 = 0 0 −k2 k2 U3 P Aplicando la condici´ on de restricci´ on U1 = 0, el sistema anterior se reduce a k1 + k2 −k2 U2 0 = −k2 k2 U3 P De la primera ecuaci´ on de ´este sistema obtenemos U2 =
k2 U3 k1 + k2
Reemplazando en la segunda ecuaci´ on y evaluando para el desplazamiento inc´ognita, se comprueba que resulta PL k1 + k2 48P L = 1,371 U3 = P = k1 k2 35A0 E A0 E (c) Para obtener la soluci´ on ex´ acta, nos referimos a la Figura 2.7(d), en la que mostramos un diagrama de cuerpo–libre de una secci´ on de la barra entre una posici´on arbitraria x y el extremo x = L de ella. Para el equilibrio, x σx A = P y, puesto que A = A(x) = A0 1 − 2L la variaci´on de tensi´ on axial interna a lo largo de la longitud de la barra se describe por σx =
P A0 1 −
x 2L
Luego, aplicando la ley de Hocke, la deformaci´on unitaria axial vendr´a determinada por x =
σx P = E E A0 1 −
x 2L
2.3. EL ELEMENTO BARRA
35
Pero, por definici´ on sabemos que la deformaci´on unitaria se relaciona con el campo de desplazamientos interno u = u(x) mediante la conocida relaci´on: x = du/dx. Ahora, como la barra est´a fijada en x = 0, el desplazamiento en cualquier posici´on gen´erica x estar´a determinado por Z x Z x x P dx 2P L x dx = u(x) = = − [ln(2L − x) − ln(2L)] x E A E A 0 1 − 2L 0 0 0 0 2P L 2P L 2L =− [ln(2L − x) − ln(2L)] = ln E A0 E A0 2L − x Cuando evaluamos esta funci´ on en la posici´on correspondiente al extremo libre del cuerpo, donde est´a aplicada la carga, obtenemos el valor del desplazamiento en dicho punto que en este caso corresponde a la deformaci´ on neta del cuerpo tronco–c´onico; entonces 2P L 2L = u(L) = δ = u(x) ln E A0 2L − L x=L PL 2P L ln 2 = 1,386 = E A0 E A0 2.0
1.4 Soluc. Exácta Un elemento Dos elementos
1.6
P 0 0 A 0
1.0 0.8
1.4 1.2 1.0
u(x)
Soluc. Exácta Un elemento Dos elementos
1.8
1.2
0.6
0.8 0.6
0.4
0.4 0.2 0
0.2 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x L (a) Campo de desplazamiento interno
0.9
1.0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x L (b) Tensi´ on normal axial interna
0.8
0.9
1.0
Figura 2.8: Comparaci´ on de soluciones exactas y mediante elementos finitos La comparaci´ on de los resultados de las partes (b) y (c) revela que la soluci´on de dos elementos exhibe un error porcentual relativo de s´olo aproximadamente 1 por ciento comparado con la soluci´on exacta obtenida mediante la teor´ıa de mec´anica de los materiales. La Figura 2.8(a) muestra la variaci´on del desplazamiento a lo largo de la longitud para las tres soluciones obtenidas. Notemos que la soluci´on proporcionada por el modelo de dos elementos finitos es m´as cercana a la soluci´on exacta que la soluci´on obtenida utilizando un solo elemento finito, ´esto en el dominio de definici´on del problema; pero, al comparar la soluci´ on proporcionada para la deformaci´on neta (el desplazamiento del extremo libre) con la soluci´ on ex´ acta, se calcula que el error porcentual relativo es de 3,8 %, lo cual no es un error demasiado grosero. Es sumamente importante notar, sin embargo, que la tensi´on normal axial calculada para las soluciones de elemento finito var´ıan significativamente respecto de aquellas que describen la soluci´on exacta. La tensi´ on normal axial para la soluci´on de dos–elementos se muestra en la Figura 2.8(b), junto con la tensi´ on calculada proveniente de la soluci´on exacta. Note particularmente la discontinuidad de valores de tensi´ on calculados para los dos elementos en el punto de conexi´on nodal entre ellos. Esto es t´ıpico de las variables derivadas, o secundarias, como la deformaci´on unitaria o la tensi´on interna,
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
36
cuando son calculadas en el m´etodo de elemento finito. A medida que m´as y m´as elementos peque˜ nos sean usados en el modelo, los valores de tales discontinuidades disminuyen, indicando la convergencia hacia la soluci´ on exacta. En los an´ alisis estructurales, el del elemento finito est´a m´as a menudo interesado en las tensiones que los desplazamientos, de aqu´ı es esencial que se supervise la convergencia de las variables secundarias. > El ejemplo que resolvimos anteriormente claramente nos muestra que el m´etodo de elemento finito es un m´etodo aproximado, y como tal posee falencias inherentes a su propia naturaleza. Sin embargo, es posible corregir los errores que se presentan apelando a ciertas modificaciones en el proceso de formulaci´on de los elementos. Para el ejemplo anterior, se lograr´ıa un resultado m´as ´optimo si el campo de desplazamientos interno en cada uno de los elementos se asume con variaci´on cuadr´atica respecto a la posici´ on; con ello, las deformaciones unitarias y tambi´en las tensiones normales internas tendr´ıan variaci´ on lineal, porque las deformaciones se relacionan a los desplazamientos mediante la primera derivada y las tensiones son dir´ectamente proporcionales a las deformaciones. Este modo de aplicar el m´etodo de elemento finito conduce a los llamados elementos de orden superior, tema que ser´a tratado en cap´ıtulos posteriores.
2.4.
Energ´ıa de deformaci´ on el´ astica
Cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo, el trabajo mec´anico hecho por dichas fuerzas es convertido, en general, en una combinaci´ on de energ´ıas cin´etica y potencial. En el caso de un cuerpo el´astico, restringido de alg´ un modo para prevenir el movimiento, todo el trabajo se almacena en el interior del cuerpo como energ´ıa potencial el´astica que tambi´en es normalmente llamada energ´ıa de deformaci´ on. Aqu´ı, ´esta energ´ıa se denota mediante Ue y el trabajo mec´anico por W . De la est´atica elemental, el trabajo mec´ anico realizado por una fuerza F~ como su punto de aplicaci´on se mueve a lo largo de una trayectoria desde la posici´ on 1 hasta la posici´on 2 es definido como 2
Z
~ F~ ◦ dr
W =
(2.34)
1
~ es el desplazamiento infinitesimal medido sobre la trayectoria de movimiento. Si utilizamos donde dr un sistema coordenado rectangular, considerando que en dicho sistema podr´ıamos escribir ˆ F~ = Fx ˆı + Fy ˆ + Fz k
~ = dxˆı + dy ˆ + dz k ˆ dr
y
el trabajo mec´ anico valorado en este sistema coordenado, viene determinado por la relaci´on Z x2 Z y2 Z z2 W = Fx dx + Fy dy + Fz dz x1
y1
z1
k L0
F0
k L0
0
(a) Carga sobre el resorte
Fuerza, F
F F0 A=W=Ue
k 1
Deformación,
(b) Respuesta est´ atica
0
(c) Trabajo – Energ´ıa
Figura 2.9: El resorte linealmente el´astico (comportamiento est´atico)
(2.35)
´ ELASTICA ´ 2.4. ENERG´IA DE DEFORMACION
37
Para deformaciones linealmente el´asticas, la deflexi´on es directamente proporcional a la fuerza aplicada, por ejemplo, como se muestra en la Figura 2.9(a) para un resorte el´astico lineal consideramos una situaci´ on en la que se aplica una carga axial determinada; como efecto de ello ocurre una deflexi´on o deformaci´ on del resorte, pudi´endose verificar que la magnitud de la misma es dir´ectamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. As´ı, el comportamiento de respuesta est´atica del resorte se representa como una l´ınea recta que parte del origen, correspondiente al estado indeformado (resorte no–cargado). La pendiente de la l´ınea representativa de la relaci´on fuerza–deformaci´on es el coeficiente de rigidez constante, tal que se cumple F = k δ, como se aprecia en la Figura 2.9(b). Por consiguiente, el trabajo requerido para deformar dicho resorte en un monto arbitrario δ0 desde su longitud libre indeformada es Z δ0 Z δ0 1 F dδ = k δ dδ = k δ02 = Ue (2.36) W = 2 0 0 La interpretaci´ on que podemos dar a la energ´ıa de deformaci´on el´astica, o equivalentemente al trabajo gastado en deformar el resorte, es que cualquiera de estas cantidades tiene valor de magnitud igual al ´area bajo la curva de respuesta est´ atica. El ´area identificada corresponde a la superficie de un tri´angulo, entonces A = 21 δ0 F0 = 21 δ0 k δ0 = 12 kδ02 = W = Ue , como se muestra en la Figura 2.9(c). Tambi´en observamos que el trabajo y la energ´ıa potencial el´astica resultante son funciones cuadr´ati´ cas del desplazamiento, y tienen representaci´on dimensional en unidades de fuerza–longitud. Este es un resultado general para sistemas linealmente el´asticos, como se ver´a en muchos ejemplos a lo largo de este texto. Utilizando la Ecuaci´ on (2.25), la energ´ıa de deformaci´on para una barra el´astica axialmente cargada, impedida de moverse en un extremo, puede escribirse inmediatamente como Ue =
1 2 1 AE 2 kδ = δ 2 0 2 L
(2.37)
Sin embargo, para un prop´ osito m´ as general, este resultado se convierte a una forma diferente (aplicable a un elemento barra s´ olamente) como sigue: 1 1 AE Ue = k δ02 = 2 2 L
PL EA
2
1 = 2
P A
P EA
AL =
1 σV 2
(2.38)
donde σ es la tensi´ on normal axial interna, la deformaci´on axial unitaria, y V es el volumen total del material deformado; y la cantidad 12 σ es la energ´ıa de deformaci´ on por unidad de volumen, tambi´en conocida como densidad de energ´ıa de deformaci´ on. En la Ecuaci´on (2.38) los valores de tensi´on y deformaci´ on unitaria corresponden a los valores finales asociados con la fuerza aplicada. El factor 1/2 surge de la relaci´ on lineal entre la tensi´on y la deformaci´on debido a c´omo la carga es aplicada desde cero hasta el valor final P . En general, para solicitaci´on uniaxial, la energ´ıa de deformaci´on por unidad de volumen se define por Z dUe = σ d (2.39) ue = dV 0 la cual se extiende a estados m´ as generales de deformaci´on en los cap´ıtulos subsecuentes. Notamos que la Ecuaci´ on (2.39) representa el ´area bajo el diagrama tensi´on–deformaci´on unitaria el´astica que describe la ley de Hocke. En el siguiente ac´ apite, usaremos la relaci´on de trabajo–energ´ıa de deformaci´on, para obtener las ecuaciones gobernantes para el elemento – barra, usando el teorema siguiente.
2.4.1.
Primer teorema de Castigliano
Para un sistema el´ astico en equilibrio, la derivada parcial de la energ´ıa total de deformaci´ on con respecto a la deflexi´ on en un punto, es igual a la fuerza aplicada seg´ un la direcci´ on de la deflexi´ on en dicho punto.
38
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
Consideremos un cuerpo el´ astico sujeto a N fuerzas Fj para el cual la energ´ıa total de deformaci´on se expresa como N Z δj X Ue = W = Fj dδj (2.40) j=1
0
donde δj es la deflexi´ on en el punto de aplicaci´on de la fuerza Fj en la direcci´on de la l´ınea de acci´on de la fuerza. Si todos los puntos de aplicaci´on de carga est´an fijos excepto uno, digamos, i, y en ese punto se induce una deflexi´ on de un monto infinitesimal ∆δi por una fuerza incremental infinitesimal ∆Fi aplicada, el cambio en la energ´ıa de deformaci´on es Z ∆Ue = ∆W = Fi ∆δi +
∆δi
∆Fi dδi
(2.41)
0
donde se asume que la fuerza original Fi es constante durante el cambio infinitesimal efectuado. El t´ermino integral en la Ecuaci´ on (2.41) involucra el producto de cantidades infinitesimales, que producen un infinit´esimo de segundo orden que puede despreciarse por su orden de magnitud comparado con el t´ermino que lo antecede en la misma ecuaci´on. Despreciando el t´ermino identificado, la relaci´on anterior se reduce a ∆Ue = Fi ∆δi la cual en el l´ımite cuando ∆δi → 0, se convierte en ∂Ue = Fi ∂δi
(2.42)
El primer teorema de Castigliano es una herramienta poderosa para la formulaci´on de elemento finito, como se ilustra ahora para el elemento barra. Combinando las Ecuaciones (2.28), (2.29), y (2.38), la energ´ıa total de deformaci´ on para este elemento finito est´a dada por 1 1 Ue = σx x V = E 2 2
u2 − u1 L
2 AL
(2.43)
Aplicando el teorema de Castigliano con respecto a cada uno de los desplazamientos, se obtiene ∂Ue AE (u1 − u2 ) = f1 = ∂u1 L ∂Ue AE = (u2 − u1 ) = f2 ∂u2 L
(2.44a) (2.44b)
las cuales como puede observarse son id´enticas a las Ecuaciones (2.31). N´otese que en el ´ ambito del m´etodo de elemento finito, la formulaci´on energ´etica es una metodolog´ıa alternativa al m´etodo de equilibrio de fuerzas que inicialmente aplicamos en los desarrollos iniciales de ´este cap´ıtulo. Est´ a demostrado que los m´etodos de an´alisis basados en una concepci´on Newtoniana y los m´etodos de an´ alisis basados en una concepci´on de tipo energ´etico, necesariamente conducen a soluciones id´enticas cuando son aplicados a un mismo problema, preservando obviamente las hip´otesis asumidas para ambos casos. El primer teorema de Castigliano tambi´en es aplicable a los desplazamientos angulares. En el caso de rotaci´ on, la derivada parcial de la energ´ıa de deformaci´on con respecto a un desplazamiento angular es igual al momento/torque aplicado al punto concerniente en el sentido de la rotaci´on. El ejemplo siguiente ilustra la aplicaci´ on de este concepto en t´erminos de un miembro simple torsional, m´as propiamente un eje de secci´ on transversal circular.
´ ELASTICA ´ 2.4. ENERG´IA DE DEFORMACION
39
Ejemplo 2.5. Un eje circular s´ olido de radio R y longitud L, se somete a la acci´on de un torque constante T . El eje est´a fijo en un extremo, como es mostrado en la Figura 2.10. Formule la energ´ıa de deformaci´on el´astica en t´erminos del ´ angulo de torsi´on en x = L, y mostrar que el primer teorema de Castigliano proporciona la expresi´ on correcta para el torque aplicado
R
T
L
Figura 2.10: Eje circular sometido a torsi´on > Soluci´ on De la teor´ıa de mec´ anica de s´ olidos, la tensi´on cortante en cualquier secci´on transversal a lo largo de la longitud del miembro est´ a determinada por Tr J
τ=
donde r es la distancia radial variable medida desde el eje axial que atravieza el centro de la superficie circular, y J es el momento polar de inercia de la secci´on transversal. Considerando un comportamiento el´astico del material, tendremos γ=
τ G
donde G es el m´ odulo de elasticidad transversal (m´odulo de Young) del material, γ es la deformaci´on angular unitaria (desplazamiento angular por unidad de longitud); y entonces la energ´ıa de deformaci´on de estado torsional es por analog´ıa con la energ´ıa de deformaci´on en estado axial de solicitaci´on Ue =
=
1 2
Z τ γ dV = V
T2 2 J2 G
Z 0
LZ
1 2
Z
L
Z
0
A
r2 dA dx =
A
Tr J
Tr GJ
dA dx
T2 L 2GJ
donde hemos utilizado la definici´ on del momento polar de inercia Z J= r2 dA A
Nuevamente, invocando los resultados que proporciona la mec´anica de s´olidos, el ´angulo de torsi´on al final del miembro se conoce que es TL θ= GJ
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
40
de modo que la energ´ıa de deformaci´ on puede ser escrita como 1 L Ue = 2 GJ
GJ θ L
2 =
GJ 2 θ 2L
Y ahora, utilizando el primer teorema de Castigliano, tendremos GJ θ ∂Ue =T = ∂θ L que es exactamente la relaci´ on deducida por la teor´ıa de la mec´anica de s´olidos. El lector puede pensar que usamos un razonamiento circular en este ejemplo (volvimos al mismo lugar desde el cual empezamos), ya que que utilizamos muchos resultados previamente conocidos. Sin embargo, la formulaci´ on de la energ´ıa de deformaci´on debe estar basada en relaciones conocidas de tensi´on y deformaci´ on unitaria; y la aplicaci´on del teorema de Castigliano es, de hecho, un concepto diferente. > Para sistemas linealmente el´ asticos, la formulaci´on de la energ´ıa de deformaci´on en t´erminos de los desplazamientos es relativamente dir´ecta. Como fu´e establecido previamente, la energ´ıa de deformaci´on para un sistema el´ astico es una funci´ on cuadr´atica de los desplazamientos. La naturaleza cuadr´atica es explicada de modo simplista por los hechos que, en deformaci´on el´astica, la tensi´on interna es proporcional a la fuerza (en este caso, al momento o torque), y la deformaci´on unitaria es proporcional a la tensi´on, y la deformaci´ on unitaria es proporcional al desplazamiento (o rotaci´on). Y, desde que la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica es igual al trabajo mec´anico expendido, resulta una funci´on cuadr´atica. Por consiguiente, la aplicaci´ on del primer teorema de Castigliano resulta en ecuaciones algebr´aicas lineales que relacionan los desplazamientos a las fuerzas aplicadas. Esta declaraci´on sigue del hecho que la derivada de un t´ermino cuadr´ atico es lineal. Los coeficientes de los desplazamientos en las ecuaciones resultantes son los componentes de la matriz de rigidez del sistema para la cual la funci´on de energ´ıa de deformaci´on se escribe. Tal concepci´ on de an´alisis basado en conceptos energ´eticos es el m´etodo m´as simple y dir´ecto para establecer la matriz de rigidez de muchos elementos finitos estructurales. Ejemplo 2.6. La Figura 2.11 muestra un sistema compuesto de cuatro resortes conectados en serie y paralelo. (a) Aplicar el primer teorema de Castigliano para obtener la matriz de rigidez del sistema. Los verticales ubicados en los nodos 2 y 3 se consideran r´ıgidos. (b) Resolver el modelo matem´ atico planteado para los desplazamientos activos y la fuerza transmitida hacia el apoyo en el nodo 1 si k1 = 4 N/mm F2 = −30 N
k2 = 6 N/mm F3 = 0
k3 = 3 N/mm F4 = 50 N
k2 k1 1
k3 2
F2
3
F4 4
k2
Figura 2.11: Sistema de resortes interconectados > Soluci´ on (a) La energ´ıa total de deformaci´ on del sistema de cuatro resortes mostrado en la figura, se expresa en
´ ELASTICA ´ 2.4. ENERG´IA DE DEFORMACION
41
t´erminos de los desplazamientos nodales y los diversos coeficientes de rigidez de los mismos, mediante la relaci´ on Ue = 12 k1 (U2 − U1 )2 + 2 [ 21 k2 (U3 − U2 )2 ] + 12 k3 (U4 − U3 )2 Aplicando el teorema de Castigliano, usando cada uno de los desplazamientos nodales en turno sucesivo ∂Ue ∂U1 ∂Ue ∂U2 ∂Ue ∂U3 ∂Ue ∂U4
= F1 = k1 (U2 − U1 )(−1) = k1 U1 − k1 U2 = F2 = k1 (U2 − U1 ) + 2k2 (U3 − U2 )(−1) = −k1 U1 + (k1 + 2k2 )U2 − 2k2 U3 = F3 = 2k2 (U3 − U2 ) + k3 (U4 − U3 )(−1) = −2k2 U2 + (2k2 + k3 )U3 − k3 U4 = F4 = k3 (U4 − U3 ) = −k3 U3 + k3 U4
Este sistema de ecuaciones lineales algebr´aico puede escribirse en forma de arreglo matricial seg´ un k1 −k1 0 0 U1 F1 −k1 k1 + 2k2 U2 F2 −2k 0 2 = 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 U3 F3 0 0 −k3 k3 U4 F4 y, la matriz de rigidez que es mostrada en la ecuaci´on precedente fu´e hallada por aplicaci´on del teorema de Castigliano. (b) Substituyendo los valores num´ericos especificados en el planteamiento del problema, la ecuaci´on matricial gobernante del comportamiento est´atico del sistema llega a ser 0 F1 4 −4 0 0 −4 16 −12 0 U2 −30 = 0 −12 15 −3 U3 0 50 0 0 −3 3 U4 Eliminando la ecuaci´ on de restricci´on debido a la condici´on U1 = 0, la ecuaci´on matricial reducida asociada con los desplazamientos activos es 16 −12 0 U2 −30 −12 15 −3 U3 = 0 0 −3 3 U4 50 que resolveremos manipulando las ecuaciones para convertir la matriz de coeficientes (la matriz de rigidez) en una forma triangular–superior; es decir, que todos los t´erminos debajo de la diagonal principal se vuelvan ceros. Paso 1
Multiplicar la primera ecuaci´on (fila) por 12, multiplicar la segunda ecuaci´on (fila) por 16, agregar las dos filas y reemplazar la segunda ecuaci´on con la ecuaci´on resultante de la suma, para obtener 16 −12 0 U2 −30 0 96 −48 U3 = −360 0 −3 3 U4 50
Paso 2
Multiplicar la tercera ecuaci´on por 32, a˜ nadir a la segunda ecuaci´on, y reemplazar la tercera ecuaci´ on con el resultado. Esto proporciona la forma triangularizada deseada 16 −12 0 U2 −30 0 96 −48 U3 = −360 0 0 48 U4 1240
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
42
En esta forma, las ecuaciones pueden resolverse ahora por “sustituci´ on regresiva”, y ser´a encontrado que, a cada paso, hay s´ olo un valor desconocido. En este caso, la secuencia es U4 =
1240 = 25,83 mm 48
1 [ −360 + 48(25,83) ] = 9,17 mm 96 1 U2 = [ −30 + 12(9,17) ] = 5,0 mm 16 La fuerza de reacci´ on en el nodo 1 se obtiene a partir de la ecuaci´on de restricci´on que fu´e desechada en la soluci´on de los grados de libertad no–restringidos U3 =
F1 = −4 U2 = −4 (5,0) = −20 N y, podemos observar que el sistema se encuentra en equilibrio est´atico, desde que la suma de fuerzas externas actuantes sobre el sistema (inclu´ıda la reacci´on de apoyo) es id´enticamente cero, como se requiere. > En este Ejemplo hemos mostrado una t´ecnica de soluci´on de la ecuaci´on matricial gobernante del comportamiento est´ atico del sistema, la cual consiste en efectuar transformaciones con las filas de la matriz de coeficientes (la matriz de rigidez global), de modo que al final de las mismas la apariencia de dicho arreglo sea de forma triangular–superior; entonces luego dicho sistema as´ı transformado es f´acilmente resuelto evaluando el conjunto de ecuaciones de “atr´as para adelante”, es decir en forma inversa (o regresiva) sustituyendo en cada nueva instancia la soluci´on hallada en la instancia anterior.
2.5.
Energ´ıa potencial m´ınima
El primer teorema de Castigliano es precursor del principio general de la energ´ıa potencial m´ınima. Hay muchas maneras de declarar este principio, y el mismo ha sido rigurosamente probado [16]. Aqu´ı, nosotros estableceremos el principio sin proporcionar la prueba, pero esperamos que el lector comparare los resultados con el primer teorema de Castigliano. El principio de energ´ıa potencial m´ınima se declara como sigue: De todos los estados de desplazamiento de un cuerpo o estructura, sujeta a carga externa, que satisface las condiciones geom´etricas de borde (los desplazamientos impuestos), el estado de desplazamientos que tambi´en satisface las ecuaciones de equilibrio es aquel en el que la energ´ıa potencial total es un m´ınimo para el equilibrio estable. Damos ´enfasis a que la energ´ıa potencial total debe ser considerada en la aplicaci´on de este principio. La energ´ıa potencial total incluye la energ´ıa potencial el´astica almacenada (la energ´ıa de deformaci´on) as´ı como la energ´ıa potencial de las cargas aplicadas. Como es de costumbre, usamos el s´ımbolo Π para la energ´ıa potencial total y dividimos dicha energ´ıa en dos partes, una porci´on asociada con la energ´ıa de deformaci´on Ue y otra porci´ on asociada con la energ´ıa proveniente del sistema de fuerzas externas aplicadas UF . La energ´ıa potencial total es por tanto Π = Ue + UF
(2.45)
donde debemos hacer notar que el t´ermino “fuerzas” externas es generalizado, porque tambi´en debe incluir torques o momentos si estos existen. En este texto, s´ olo trataremos con sistemas el´asticos sujetos a sistemas de fuerzas conservativas. Una fuerza conservativa se define como aquella que realiza trabajo mec´anico de magnitud independiente del camino de movimiento, de modo tal que el trabajo en este caso es reversible o recuperable. El ejemplo m´as com´ un de una fuerza no–conservativa, tambi´en llamada disipativa, es la fuerza de fricci´on
2.5. ENERG´IA POTENCIAL M´INIMA
43
de deslizamiento. Como la fuerza de fricci´on siempre act´ ua oponi´endose al movimiento, el trabajo realizado por las fuerzas de fricci´ on siempre es negativo y su resultado es la p´erdida de energ´ıa. Esta p´erdida se muestra f´ısicamente como el calor generado producto del trabajo mec´anico efectuado por la fricci´ on. Por otro lado, el trabajo mec´anico hecho por una fuerza conservativa, Ecuaci´on (2.34), es reversible, y por consiguiente recuperable, si la fuerza se libera. Por consiguiente, el trabajo mec´anico de una fuerza conservativa se considera que es equivalente a una p´erdida en la energ´ıa potencial asociada; es decir, UF = −W (2.46) donde W es el trabajo mec´ anico definido por la integral del producto escalar especificado en la Ecuaci´on (2.34). Entonces, la energ´ıa potencial total de modo equivalente podr´a ser valorada mediante Π = Ue − W
(2.47)
Como mostramos en los ejemplos siguientes y las aplicaciones a la mec´anica del medio s´olido deformable en el Cap´ıtulo 9, el t´ermino de energ´ıa de deformaci´on Ue es una funci´on cuadr´atica de los desplazamientos del sistema y el t´ermino de trabajo mec´anico W es una funci´on lineal de los desplazamientos. Rigurosamente, la minimizaci´on de la energ´ıa potencial total es un problema de c´alculo variacional [30]. Nosotros no suponemos que el p´ ublico intencional de este texto est´e familiarizado con el c´alculo de variaciones. M´ as bien, aqu´ı simplemente imponemos la minimizaci´on seg´ un el principio de c´alculo de derivaci´ on de funciones de variables m´ ultiples. Si tenemos una expresi´on de energ´ıa potencial total que es una funci´ on, digamos, de N desplazamientos Ui , i = 1, . . . , N ; ´esto es Π = Π(U1 , U1 , . . . , UN )
(2.48)
entonces la energ´ıa potencial total ser´a minimizada si hacemos cumplir las relaciones ∂Π =0 ∂Ui
i = 1, 2, . . . , N
(2.49)
La Ecuaci´ on (2.49) se mostrar´ a como relaci´on que representa a las N ecuaciones algebr´aicas que conforman la aproximaci´ on de elemento finito a la soluci´on de las ecuaciones diferenciales gobernantes de la respuesta de un sistema estructural debida a la solicitaci´on externa impuesta sobre dicho sistema. Ejemplo 2.7. Repetir el Ejemplo 2.6, hallando la soluci´on aplicando el principio de energ´ıa potencial m´ınima. > Soluci´ on Del planteamiento de soluci´ on del Ejemplo mencionado anterior, la energ´ıa de deformaci´on el´astica es Ue =
1 2
k1 (U2 − U1 )2 + 2 [ 21 k2 (U3 − U2 )2 ] +
1 2
k3 (U4 − U3 )2
y la energ´ıa potencial asociada al sistema de fuerzas aplicadas es UF = −W = −F1 U1 − F2 U2 − F3 U3 − F4 U4 De aqu´ı, la energ´ıa potencial total vendr´a expresada por Π = Ue − W = +
1 2
1 2
k1 (U2 − U1 )2 + 2 [ 12 k2 (U3 − U2 )2 ]
k3 (U4 − U3 )2 − F1 U1 − F2 U2 − F3 U3 − F4 U4
En este ejemplo, el principio de energ´ıa potencial m´ınima requiere que ∂Π =0 ∂Ui
i = 1; 4
44
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
aplicando en secuencia la ecuaci´ on recursiva anterior incrementando el ´ındice gen´erico desde su valor inicial, tendremos ∂Π = k1 (U2 − U1 )(−1) − F1 = k1 U1 − k1 U2 − F1 = 0 ∂U1 ∂Π = k1 (U2 − U1 ) + 2 k2 (U3 − U2 )(−1) − F2 ∂U2 = −k1 U1 + (k1 + k2 )U2 − 2 k2 U3 − F2 = 0 ∂Π = 2 k2 (U3 − U2 ) + k3 (U4 − U3 )(−1) − F3 ∂U3 = −2 k2 U2 + (2 k2 + k3 )U3 − k3 U4 − F3 = 0 ∂Π = k3 (U4 − U3 ) − F4 = −k3 U3 + k3 U4 − F4 = 0 ∂U4 El sistema de ecuaciones lineales algebr´ aico, cuando se ordena en forma matricial d´a como resultado F1 U1 k1 −k1 0 0 −k1 k1 + 2k2 F2 −2k 0 U 2 2 = 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 F3 U3 0 0 −k3 k3 F4 U4 y podemos ver que resulta id´entico al resultado previamente obtenido. Consecuentemente ya no resolvemos el ejemplo num´ericamente en virtud que este procedimiento y´a fu´e efectuado en el ejemplo previo a ´este. > En este punto, como complemento de car´acter te´orico, re–examinaremos la ecuaci´on de energ´ıa global del Ejemplo 2.7 para desarrollar una forma m´as general, la cual ser´a de valor significativo en los sistemas m´ as complicados a ser discutidos en los cap´ıtulos siguientes. El vector de desplazamiento global, o de sistema, es U1 U2 {U } = U3 U4 y, como fu´e deducido, la matriz de rigidez del sistema (o, matriz de rigidez global) es k1 −k1 0 0 −k1 k1 + 2k2 −2k2 0 [K ] = 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 0 0 −k3 k3 Si ahora realizamos el producto matricial triple indicado a continuaci´on T 1 1 U1 U2 U3 U4 2 {U } [ K ]{U } = 2 k1 −k1 0 0 U1 −k1 k1 + 2k2 −2k 0 2 U2 × 0 −2k2 2k2 + k3 −k3 U3 0 0 −k3 k3 U4 y, si llevamos a cabo las operaciones de multiplicaci´on matricial, encontraremos que la expresi´on resultante es id´entica a aquella obtenida para la energ´ıa de deformaci´on del sistema. Generalizando
2.6. RESUMEN
45
este procedimiento, podemos indicar que la matriz resultado del producto triple especificado en la relaci´on anterior, representa la energ´ıa de deformaci´on de cualquier sistema el´astico. Ue = 12 {U }T [ K ]{U }
(2.50)
Si la energ´ıa de deformaci´ on puede expresarse en la forma de este producto triple, la matriz de rigidez global podr´ a f´ acilmente ser extractada de dicha relaci´on, puesto que los desplazamientos nodales globales de la estructura son en principio prontamente identificables.
2.6.
Resumen
Dos elementos mec´ anicos lineales, el resorte el´astico idealizado y un miembro el´astico en solicitaci´on de tracci´ on/compresi´ on (el elemento–barra) han sido usados para introducir los conceptos b´asicos involucrados en la formulaci´ on de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un elemento finito. Las ecuaciones del elemento se obtienen por una concepci´on de equilibrio est´atico dir´ecto y tambi´en alternativamente por un m´etodo basado en la energ´ıa de deformaci´on el´astica, usando el primer teorema de Castigliano. Tambi´en se introdujo el principio de energ´ıa potencial m´ınima como una alternativa equivalente de formulaci´ on de problemas estructurales a ser resueltos mediante un modelo de elemento finito. El pr´ oximo cap´ıtulo muestra c´omo el elemento–barra uni–dimensional puede usarse para demostrar los procedimientos de ensamble en modelos compuestos de varios elementos finitos, en el contexto de estructuras simples que se desarrollan en dos y tres dimensiones del espacio. k1
Problemas propuestos un 2.1. — 2.2. — 2.3. Para cada conjunto de resortes conectados del modo aqu´ı mostrado, seg´ se aprecia en las Figuras P2.1 – P2.2 – P2.3; determine la matriz de rigidez global usando el procedimiento de ensamblaje de sistemas desarrollado en la Secci´on 2.2. k1
k2 2
1
k3 1
4
3
4
3
2
k3
Figura P2.1
Figura P2.2
k1
k2 2
1
k3
k2
k1
kN 2
kN1
3
N 1
N
Figura P2.3 2.4. Para el conjunto de resortes conectados como se muestra, determinar la fuerza F3 requerida para desplazar el nodo 2 un monto de δ = 0.75 pulg. hacia la derecha. Tambi´en calcular el desplazamiento del nodo 3. Considere que, k1 = 50 lb/pulg
k1 1
Figura P2.4
2
k2
F3 3
y
k2 = 25 lb/pulg
´ CAP´ITULO 2. ANALISIS UNI–DIMENSIONAL
46
2.5. En el ensamble de resortes conectados como se muestra en la Figura, las fuerzas F2 y F4 van a ser aplicadas de modo que la fuerza resultante sobre el elemento 2 sea cero y el nodo 4 se desplace un monto δ = 1 pulg. Determinar (a) los valores requeridos de las fuerzas F2 y F4 , (b) el desplazamiento del nodo 2, y (c) la fuerza de reacci´on en el nodo 1.
F2
k1 1
k3
k2
4
3
2
F4
k2 40 lb/in
k1 k3 30 lb/in Figura P2.5
2.6. Verificar la matriz de rigidez global hallada en el Ejemplo 2.3 usando (a) un procedimiento de ensamble dir´ecto y (b) el primer teorema de Castigliano. 2.7. Dos vagones de un tren son conectados por el arreglo de resortes mostrados en la Figura. (a) Determinar la serie completa de ecuaciones de equilibrio para el sistema en la forma [ K ]{U } = {F }. (b) Si k = 50 lb/pulg, F1 = 20 lb, y F2 = 15 lb, calcular el desplazamiento de cada vag´on y la fuerza actuante en cada resorte. 2k
F1
F2
k
k
2k
Figura P2.7 2.8. Usar el primer teorema de Castigliano para obtener la representaci´on matricial de las ecuaciones de equilibrio est´ atico para el sistema de resortes mostrado en la Figura.
k1
F2
1
F3
k2 2
3
k3
F4
k4 5
4
Figura P2.8 2.9. En el Problema 2.8, sea el valor de los par´ametros mostrados k1 = k2 = k3 = k4 = 10 N/mm, F2 = 20 N, F3 = 25 N, F4 = 40 N; resolver para (a) los desplazamientos nodales, (b) las fuerzas de reacci´ on en los nodos 1 y 5, y (c) la fuerza en cada resorte. 2.10. Una barra de acero sujeta a solicitaci´on de compresi´on es modelada mediante dos elementos – barra, como se muestra en la Figura. Determinar los desplazamientos nodales y la tensi´on normal en cada elemento. Que otras variables importantes se podr´ıan calcular en este problema ?. 0.5 m 1
8 kN/m
2 1 E = 207 GPa
Figura P2.10
0.5 m 2 A = 500 mm2
12 kN 3
Problemas propuestos
47
2.11. La Figura muestra el ensamble de dos elementos – barra, construidos de diferentes materiales. Determinar los desplazamientos nodales, la tensi´on normal en cada elemento, y la fuerza de reacci´ on de apoyo. E1 , L1 , A1 E2 , L2 , A2
1 2 1
2 X 104 lb
2
3
7
E2= 10 lb/in2 L2= 20 in A2= 2.25 in2
7
E1= 1.5 X 10 lb/in2 L1= 20 in A1= 4 in2
Figura P2.11 2.12. Obtener la soluci´ on del modelo de cuatro elementos para la barra tronco–c´onica analizada en el Ejemplo 2.4. Bosquejar la gr´afica de la tensi´on normal en los elementos versus la soluci´on exacta. Usar los siguientes valores num´ericos: E = 107 lb/pulg
2
A0 = 4 pulg2
L = 20 pulg
P = 4000 lb
2.13. Un peso W es suspendido de un plano vertical conectado a un resorte lineal que tiene coeficiente de rigidez k conocido. Mostrar que la posici´on de equilibrio est´atico corresponde a un valor de energ´ıa potencial total m´ınimo. 2.14. Para un elemento – barra se propone discretizar el campo de desplazamientos interno mediante la relaci´ on funcional u(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 con las siguientes funciones de interpolaci´on πx 2L πx N2 (x) = sin 2L N1 (x) = cos
Son ´estas funciones de interpolaci´on v´alidas ?. (Sugerencia: Considere las variaciones de tensi´on y deformaci´ on unitaria al interior del elemento). 2.15. El elemento torsional mostrado en la Figura tiene secci´on transversal circular y comportamiento el´ astico. Los desplazamientos nodales son las rotaciones θ1 y θ2 , y las cargas nodales asociadas son los torques aplicados T1 y T2 . Usar el principio de energ´ıa potencial m´ınima para deducir las ecuaciones de comportamiento est´atico de elemento en forma matricial.
1 ,T
R
1
L 2 ,T
2
Figura P2.15
Capítulo
3
El m´ etodo dir´ ecto de rigidez
En el Cap´ıtulo anterior efectuamos una introducci´on a la formulaci´on del m´etodo de elemento finito utilizando para ello los elementos uni–dimensionales: resorte, barra y eje, efectuando tambi´en un an´alisis de sistemas peque˜ nos conformados mediante interconexi´on de ´estos elementos. Obtuvimos la ecuaci´on gobernante del sistema por aplicaci´on de condiciones de equilibrio nodal. Tambi´en efectuamos una introduci´ on a los denominados m´etodos energ´eticos de formulaci´on, y vimos que los mismos producen soluciones id´enticas a aquellas obtenidas mediante las leyes de equilibrio est´atico. En ´este cap´ıtulo mostraremos el modo en el que se pueden analizar sistemas estructurales de relativo mayor tama˜ no compuestos particularmente de elementos barra interconectados entre s´ı en sus puntos extremos. Efectuaremos una discusi´on mucho m´as detallada de las ecuaciones de equilibrio de los puntos relevantes (nodos) de una estructura. Tamb´ıen mostraremos los procesos de transformaci´on de los sistemas de ejes coordenados utilizados en el an´alisis, que posteriormente nos permitir´a efectuar el procedimiento de ensamblaje estructural que se traduce en el planteamiento de la ecuaci´on gobernante del comportamiento del sistema. Mostraremos como se aplican las condiciones de borde o contorno impuestas sobre el modelo matem´ atico elaborado, y finalmente efectuaremos una descripci´on de la obtenci´ on de variables secundarias de inter´es como son las deformaciones, reacciones de apoyo, y las tensiones internas que aparecen en la estructura deformada.
3.1.
Introducci´ on
Los elementos que tienen geometr´ıa y comportamiento uni–dimensional (elementos lineales simples) discutidos en el Cap´ıtulo 2 introdujeron los conceptos de nodos, desplazamientos nodales, y matrices de rigidez de elemento. En este cap´ıtulo, es considerada la creaci´on de un modelo de elemento finito de un sistema mec´ anico compuesto de cualquier n´ umero de elementos. La discusi´on se limita a las estructuras tipo cercha o armadura que nosotros definimos como estructuras compuestas de el´asticos rectos sujetos s´ olamente a fuerzas axiales. La satisfacci´on de esta restricci´on requiere que todos los de la estructura sean elementos barra y que los mismos se inter–conecten mediante uniones articuladas tal que cada elemento sea libre de rotar alrededor de la junta de uni´on. Aunque 49
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
50
el elemento barra es inherentemente uni–dimensional, el mismo se usa eficazmente en el an´alisis de serchas bi y tri–dimensionales, como se muestra en los ac´apites siguientes. 7
3
Y
3
10
2
4
6
8
2
X 1
5
7 6 4
9
(a) Interconexi´ on de elementos
(b) Detalle de conexi´ on
Figura 3.1: Estructura cercha plana y punto nodal de conexi´on El sistema de coordenadas global es el marco de referencia en el que se expresan los desplazamientos de la estructura y normalmente es escogido por conveniencia acorde a la consideraci´on de la geometr´ıa global que tiene todo el sistema. Considerando la cercha en voladizo simple mostrada en la Figura 3.1(a), es l´ ogico seleccionar los ejes globales X–Y como paralelos a los “ejes” geom´etricos predominantes de la cercha, como es mostrado. Si examinamos la junta rodeada de un c´ırculo, por ejemplo, vuelta a dibujar en la Figura 3.1(b); observamos que cinco nodos de elemento son f´ısicamente conectados a un nodo global estructural y que el eje local x de cualquier elemento no coincide con el eje X global. La conexi´ on f´ısica y la orientaci´on geom´etrica variable de los elementos permiten plantear las premisas siguientes inherentes al m´etodo de elemento finito: 1. El desplazamiento nodal del extremo cada uno de los elementos conectados en un punto com´ un debe ser el mismo que el desplazamiento del nodo de conexi´on al que concurren en el sistema de coordenadas globales; la formulaci´ on matem´atica, como se ver´a, refuerza este requerimiento (al que se denomina compatibilidad de desplazamiento). 2. Las caracter´ısticas f´ısicas (en este caso, la matriz de rigidez y la fuerza axial) de cada elemento debe ser transformado, matem´ aticamente, al sistema coordenado global para representar las propiedades estructurales en el sistema global en un marco de referencia matem´aticamente consistente. 3. Los par´ametros individuales de elemento de preocupaci´on a ser evaluados (por ejemplo para el elemento barra, la tensi´ on axial) son determinados despu´es de haber hallado la soluci´on del problema en el sistema de coordenadas global por la transformaci´on de resultados retornando al marco de referencia local de elemento (post–procesamiento). Por qu´e estamos basando la formulaci´ on te´orica sobre los desplazamientos?. Generalmente, un dise˜ no ingenieril est´ a m´ as interesado en la tensi´on interna a la cual cada miembro de la cercha est´a sujeto, para comparar este valor de tensi´ on con una propiedad material conocida, como la tensi´on l´ımite de fluencia del material (valor coincidente con su resistencia mec´anica). La comparaci´on de los valores de tensi´on calculados con las propiedades materiales, puede llevar a cambios del dise˜ no en cuanto al material a utilizarse o las propiedades geom´etricas de los elementos individuales (en el caso del elemento barra, el ´area de su secci´ on transversal). La respuesta a las diversas preguntas radica en la naturaleza de los problemas f´ısicos que se presentan. Es mucho m´as f´acil estimar la solicitaci´on (las fuerzas y momentos aplicados) a la que una estructura est´a sujeta, que las deformaciones ocurridas por esta causa en tal estructura. Si las cargas externas se especifican, las relaciones entre la solicitaci´on aplicada y los desplazamientos producidos son formuladas en t´erminos de la matriz de rigidez y resolvemos las ecuaciones planteadas as´ı para los desplazamientos inc´ognita. La substituci´on–regresiva de los desplazamientos en las ecuaciones de elemento individual nos dan entonces las deformaciones y las tensiones ´ en cada elemento como es deseado. Este es el m´etodo de rigidez y se usa exclusivamente en este texto.
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL
51
En el procedimiento alternativo, conocido como el m´etodo de flexibilidad [10], los desplazamientos se toman como las cantidades conocidas y el problema se formula tal que las fuerzas (m´as generalmente, las componentes de tensi´ on) son las variables desconocidas. Una discusi´on similar se aplica a los problemas no–estructurales. En una situaci´on de trasferencia de calor, el ingeniero est´a m´as a menudo interesado en la proporci´ on de flujo de calor entrante, o saliente, de un dispositivo particular. Mientras que la temperatura es ciertamente de preocupaci´on, ´esta no es la variable primaria de inter´es. No obstante, los problemas de transmisi´on de calor generalmente se formulan de modo que la temperatura es la variable dependiente primaria y el flujo de calor es una variable secundaria, que es calculada en analog´ıa con la tensi´ on en los problemas estructurales; es decir luego de haber calculado el campo de temperaturas. Retornando a la consideraci´ on de la Figura 3.1(b), d´onde m´ ultiples elementos se conectan a un nodo global, la geometr´ıa de la conexi´ on determina las relaciones entre los desplazamientos de elemento y los desplazamientos globales as´ı como las contribuciones de elementos individuales a la rigidez estructural global. En el m´etodo directo de rigidez, la matriz de rigidez de cada elemento se transforma desde el sistema coordenado local hacia el sistema coordenado global. Los t´erminos individuales de cada matriz de rigidez transformada de elemento se agregan entonces directamente a la matriz de rigidez global como es determinado por la conectividad del elemento (not´andose que, las relaciones de conectividad aseguran la compatibilidad de desplazamientos en las juntas y nodos d´onde los elementos son conectados). Por ejemplo y simplemente por intuici´on en este punto, los elementos 3 y 7 en la Figura 3.1(b) deber´ıan contribuir s´ olamente a la rigidez en la direccin global X; los elementos 2 y 6 deben contribuir a la rigidez en ambas direcciones globales X y Y ; y finalmente el elemento 4 s´olo debe contribuir a la rigidez seg´ un la direcci´ on global Y . La transformaci´on de elemento y el procedimiento de ensamblaje de la matriz de rigidez a ser desarrollados en este cap´ıtulo de hecho verifican los argumentos intuitivos que aqu´ı hicimos. El procedimiento directo de ensamble de rigidez, subsecuentemente descrito, tiene como resultado ex´actamente el mismo sistema de ecuaciones como se obtendr´ıa por aplicaci´on de un equilibrio est´atico formal. Por un an´ alisis de equilibrio formal, queremos decir que las ecuaciones de equilibrio para cada junta (el nodo) en la estructura se expresan expl´ıcitamente, incluyendo los efectos de la deformaci´on. Esto no debe confundirse con el m´etodo de juntas [13], que consiste s´olo en la evaluaci´on de las fuerzas y no toma en consideraci´ on el desplazamiento del punto nodal donde se impone el equilibrio est´atico. Ciertamente, si la fuerza en cada miembro es conocida, las propiedades f´ısicas del elemento pueden servir para evaluar el desplazamiento. Sin embargo, el reforzar los criterios de compatibilidad de desplazamientos en las conexiones (los nodos globales) es algebr´aicamente tedioso. De aqu´ı, tenemos otro argumento para la aplicaci´on del m´etodo de rigidez: La compatibilidad de desplazamientos est´a asegurada a trav´es del procedimiento de formulaci´on misma. Concedido el hecho que tenemos que “volver hacia atr´ as” para obtener la informaci´on de verdadero inter´es (la deformaci´on y la tensi´on interna), aseguramos que este retroceso en el c´alculo num´erico es algebr´aicamente f´acil y directo, como se ilustrar´ a mediante una serie de ejemplos.
3.2.
Ecuaciones de equilibrio nodal
Para ilustrar la conversi´ on requerida de propiedades de elemento a un sistema coordenado global, consideramos el elemento barra uni-dimensional como un miembro estructural de una cercha bidimensional. Mediante este ejemplo relativamente simple, se ilustra el procedimiento de ensamblaje de esencialmente cualquier formulaci´ on de problema de elemento finito. Escogemos este tipo del elemento (en este caso tenemos s´ olo una opci´ on, el elemento barra); especificamos la geometr´ıa del problema (la conectividad de elementos); formulamos el sistema de ecuaciones algebr´aico que gobiernan el problema (en este caso, el equilibrio est´ atico); especificamos las condiciones de borde (los desplazamientos conocidos y las fuerzas externas aplicadas); resolvemos el sistema de ecuaciones para los desplazamientos globales; y usamos la sustituci´ on regresiva para obtener las variables secundarias, incluyendo la defor-
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
52
maci´on unitaria, la tensi´ on, y las fuerzas de reacci´on en las ubicaciones restringidas (condiciones de borde) donde la estructura se conecta hacia sus apoyos. Se aconseja al lector que tome nota que s´olo usamos el t´ermino variable secundaria en el sentido matem´atico; la deformaci´ on y tensi´ on s´ olo son secundarias en el sentido que son evaluadas despu´es que los valores de la soluci´ on general para los desplazamientos hayan sido calculados. En el ´ambito de la mec´anica estructural, los valores de tensi´ on y deformaci´on son de importancia primaria en el dise˜ no. U6
F 3Y 2
x
3
U4
F3 X
2
U5
2
U6 U5
U3
2 1
Y
1
x 1 1
U2
X
U1
(a) Interconexi´ on de elementos
(b) Especificaci´ on de desplazamientos
Figura 3.2: Estructura cercha plana de dos elementos La conversi´ on de ecuaciones de elemento desde las coordenadas propias del mismo (sistema local coordenado) hacia las coordenadas globales y el ensamble de las ecuaciones de equilibrio globales se describe primero en el caso bidimensional con referencia a la Figura 3.2(a). La figura muestra una simple cercha bidimensional compuesta de dos estructurales unidos por conexiones articuladas y sujetos a las fuerzas externas aplicadas mostradas. Se toman las conexiones articuladas como los nodos de los dos elementos considerados; se numeran los nodos y los elementos, as´ı como tambi´en se muestra el sistema coordenado global seleccionado para efectuar el an´alisis. Los desplazamientos globales correspondientes se muestran en la Figura 3.2(b). La convenci´on usada aqu´ı para los desplazamientos globales es que U2i−1 es el desplazamiento en la direcci´on global X del nodo i, y U2i es el desplazamiento del nodo i en la direcci´ on global Y . La convenci´on adoptada no es de ning´ un motivo restrictivo; la convenci´ on se selecciona tal que los desplazamientos en la direcci´on del eje X global sean numerados de manera impar y los desplazamientos en la direcci´on del eje global Y sean numerados de modo par. (Al usar software de elemento finito, usted hallar´a que los desplazamientos globales se denotan como U V W ; o tambi´en como UX UY UZ ; etc). El ´angulo de orientaci´on espacial de elemento θ se mide como positivo desde el eje X del sistema coordenado global, hacia el eje x del sistema coordenado local propio del elemento como se muestra tambi´en en la Figura 3.2(a). Los n´ umeros asignados a los nodos se muestran encerrados en c´ırculos , umeros asignados a los elementos se i en cambio los n´ los muestra encerrados en rect´ angulos j . En las diversas variables que se asocian con los elementos, se usa el n´ umero del mismo como super´ındice encerrado entre par´entesis del modo (j ). Para obtener las condiciones de equilibrio, se elaboran diagramas de cuerpo–libre de los nodos de conexi´on y de los elementos, los cuales son mostrados en la Figura 3.3. Debe notarse que las fuerzas externas se numeran con la misma convenci´on adoptada para la codificaci´on de los desplazamientos globales. Para el nodo 1, seg´ un la Figura 3.3(a), tenemos las ecuaciones de equilibrio siguientes seg´ un las direcciones globales X e Y , respectivamente: F1 − f1(1) cos θ1 = 0 (1) 1
F2 − f
sin θ1 = 0
(3.1a) (3.1b)
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL
F2
53
(2)
f2
F6
2 F3
F1
(2)
f3
F4
1
(1)
F5
f3
(1)
f1
(a) Nodo 1
(b) Nodo 2
(c) Nodo 3
(1)
f3
(2)
f3 (2)
f2
(1)
f1
2
1
(d) Elemento 1
(e) Elemento 2
Figura 3.3: Diagramas de cuerpo libre de nodos y elementos
Para el nodo 2, con referencia a la Figura 3.3(b) F3 − f2(2) cos θ2 = 0
(3.2a)
F4 − f2(2) sin θ2 = 0
(3.2b)
Mientras que basados en la Figura 3.3(c), para el nodo 3 podemos escribir F5 − f3(1) cos θ1 − f3(2) cos θ2 = 0 (1) 3
F6 − f
(2) 3
sin θ1 − f
cos θ2 = 0
(3.3a) (3.3b)
Las Ecuaciones (3.1) a (3.3) simplemente representan las condiciones de equilibrio est´atico desde un punto de vista de mec´ anica de cuerpo r´ıgido. Asumiendo que las cargas externas F5 y F6 son conocidas, estas seis ecuaciones de equilibrio nodales formalmente contienen a ocho inc´ognitas (las fuerzas). Desde que la cercha del ejemplo es est´ aticamente indeterminada, podemos invocar condiciones de equilibrio adicionales aplicables a la estructura en conjunto as´ı como tambi´en para aquellos elementos individuales que la componen [v´ease las Figuras 3.3(d) y 3.3(e)] y eventualmente resolver para todas las fuerzas. Sin embargo, un procedimiento m´ as sistem´atico se obtiene si la formulaci´on es transformada para que las inc´ ognitas sean los desplazamientos nodales. Una vez que la transformaci´on ha sido realizada, encontramos que el n´ umero de inc´ ognitas es exactamente el mismo que el n´ umero de ecuaciones de equilibrio nodales. Adem´ as, la indeterminaci´on est´atica se acomoda autom´aticamente a este procedimiento sin ning´ un tipo de an´ alisis adicional. Como el lector puede recordar del estudio de mec´anica de materiales, la soluci´ on de sistemas est´aticamente indeterminados requiere la especificaci´on de una o m´as relaciones de compatibilidad de desplazamiento; de aqu´ı, resulta evidente que la formulaci´on de desplazamiento del m´etodo de elemento finito incluye tales situaciones. Para ilustrar la transformaci´ on a los desplazamientos, la Figura 3.2(a) muestra un elemento barra conectado a los nodos i y j en una posici´on general en una estructura cercha bidimensional (2–D). Como resultado de la carga externa actuante sobre la estructura, asumimos que los puntos nodales extremos sufren desplazamientos en el propio plano, como es mostrado en Figura 3.2(b). Desde que el
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
54
j
(e) u2(e) v2
(e)
u2
(e)
U4
j
j (e)
U3 deformado
X original
x
i
(e)
U2 (e)
v1
u1(e)
i
(a) Orientaci´ on espacial
u1(e)
i
(b) Desplazamientos generales
(e)
U1
(c) Desplazamientos globales
Figura 3.4: Desplazamientos en un elemento barra
elemento debe permanecer conectado a las juntas estructurales, los nodos del elemento conectados en dichos puntos, deben sufrir los mismos desplazamientos. Esto significa que el elemento no s´olo tiene movimiento axial sino rotaci´ on tambi´en. Para describir la rotaci´on, agregamos los desplazamientos v1 y v2 a los nodos 1 y 2 del elemento, respectivamente, en la direcci´on perpendicular al eje x del elemento. Debido a la asunci´ on de conexiones articuladas lisas en los puntos de juntura, los desplazamientos perpendiculares no son asociados con la rigidez del elemento; no obstante, estos desplazamientos deben existir para que el elemento contin´ ue conectado a la junta estructural para que los desplazamientos del elemento sean compatibles con (es decir, iguales que) los desplazamientos de la junta. Aunque el elemento sufre una rotaci´ on, para los prop´ositos de c´alculo, en general se asume que el ´angulo de la ´ orientaci´on despu´es de producirse la deformaci´on es igual que en la estructura indeformada. Este es resultado de la asunci´ on de deformaciones el´asticas peque˜ nas, y se usa a lo largo del texto. Para relacionar ahora los desplazamientos nodales de elemento referidos a las coordenadas locales con los desplazamientos del mismo elemento referidos en las coordenadas globales, la Figura 3.2(c) muestra los desplazamientos nodales de elemento en el sistema global usando la notaci´on U1(e) U2(e) U3(e) U4(e)
= desplazamiento = desplazamiento = desplazamiento = desplazamiento
del del del del
nodo nodo nodo nodo
1 1 2 2
del del del del
elemento elemento elemento elemento
en en en en
la la la la
direcci´on X global direcci´on Y global direcci´on X global direcci´on Y global
De nuevo, note el uso de letras may´ uscula para las cantidades globales y la notaci´on usada como exponente para referirse a un elemento individual. Como los desplazamientos nodales deben ser los mismos en los dos sistemas coordenados, podemos igualar las componentes del vector de desplazamiento global a los desplazamientos referidos al sistema coordenado de elemento (o sistema local) para obtener las relaciones u(e) = U1(e) cos θ + U2(e) sin θ 1 v1(e) = −U1(e) sin θ + U2(e) cos θ u(e) = U3(e) cos θ + U4(e) sin θ 2 v2(e) = −U3(e) sin θ + U4(e) cos θ
(3.4a)
(3.4b)
Como y´a lo dijimos, las componentes v de desplazamiento no son asociadas con la rigidez del elemento, y por ende tampoco se asocian con las fuerzas actuantes sobre el mismo; de modo que
3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO NODAL
55
podemos expresar la deformaci´ on axial del elemento como δ (e) = u(e) − u(e) = (U3(e) − U1(e) ) cos θ + (U4(e) − U2(e) ) sin θ 2 1
(3.5)
La fuerza axial neta actuante sobre el elemento es entonces f (e) = k (e) δ (e) = k (e) {(U3(e) − U1(e) ) cos θ + (U4(e) − U2(e) ) sin θ}
(3.6)
Utilizando la Ecuaci´ on (3.6) para el elemento 1, acorde con la Figura 3.3(d), y notando que para ´este elemento los desplazamientos propios se relacionan con los desplazamientos globales asignados a la estructura mediante: U1(1) = U1 , U2(1) = U2 , U3(1) = U5 , y U4(1) = U6 , tenemos la fuerza actuante sobre el elemento 1 como f3(1) = −f1(1) = k (1) δ (1) = k (1) {(U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 }
(3.7)
Y, similarmente para el elemento 2, de acuerdo con la Figura 3.3(e), f3(2) = −f2(2) = k (2) δ (2) = k (2) {(U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 }
(3.8)
Notemos que, al escribir las anteriores dos ecuaciones u ´ltimas, invocamos la condici´on que los desplazamientos del nodo 3 (U5 y U6 ) son los mismos para cada elemento. Para reiterar ´esto, esta hip´otesis es actualmente un requerimiento; puesto que sobre una base f´ısica, la estructura debe permanecer conectada mediante sus juntas despu´es de la deformaci´on. La compatibilidad de desplazamientos en los nodos es un requerimiento fundamental del m´etodo de elemento finito. Sustituyendo las Ecuaciones (3.7) y (3.8) en las condiciones nodales de equilibrio establecidas previamente mediante las Ecuaciones (3.1) a (3.3), obtenemos −k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] cos θ1 = F1
(3.9)
−k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] sin θ1 = F1
(3.10)
−k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] cos θ2 = F3
(3.11)
−k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] sin θ2 = F4
(3.12)
k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] cos θ1 + k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] cos θ2 = F5
(3.13)
k (1) [ (U5 − U1 ) cos θ1 + (U6 − U2 ) sin θ1 ] sin θ1 + k (2) [ (U5 − U3 ) cos θ2 + (U6 − U4 ) sin θ2 ] sin θ2 = F6
(3.14)
Las Ecuaciones (3.9) hasta (3.14) son equivalentes al arreglo matricial siguiente
−k (1) c2 θ1 −k (1) sθ1 cθ1 F1 U1 −k (1) sθ1 cθ1 −k (1) s2 θ1 (2) 2 (2) U F 2 2 −k c θ −k sθ cθ 2 2 2 (2) (2) 2 U F 3 3 −k sθ cθ −k s θ 2 2 2 = F4 U4 k (1) c2 θ1 + k (1) sθ1 cθ1 + −k (1) c2 θ1 k (1) sθ1 cθ1 −k (2) sθ2 cθ2 −k (2) s2 θ2 (2) 2 U5 F5 k (2) sθ2 cθ2 k c θ2 (1) (1) 2 k sθ1 cθ1 + k s θ1 + U6 F6 (1) (1) 2 (2) (2) 2 −k sθ1 cθ1 −k s θ1 −k sθ2 cθ2 −k s θ2 (2) (2) 2 k sθ2 cθ2 k s θ2 (3.15) donde usamos la notaci´ on sθ ≡ sin θ, cθ ≡ cos θ, s2 θ ≡ sin2 θ, c2 θ ≡ cos2 θ; para abreviar espacio en las columnas de la matriz de coeficientes del sistema. k (1) c2 θ1 k (1) sθ1 cθ1 0 0
k (1) sθ1 cθ1 k (1) s2 θ1 0 0
0 0 k (2) c2 θ2 k (2) sθ2 cθ2
0 0 k (2) sθ2 cθ2 k (2) s2 θ2
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
56
Las seis ecuaciones algebraicas representadas por la Ecuaci´on (3.15) expresan la serie completa de condiciones de equilibrio para la estructura cercha de dos-elementos. Esta ecuaci´on puede ser escrita de manera compacta y sint´etica como [ K ] {U } = {F } (3.16) donde [ K ] es la matriz de rigidez estructural, {U } es el vector de desplazamientos nodales estructural, y {F } es el vector de cargas nodales aplicadas estructural. Todos estos arreglos ser´an denominados globales puesto que est´ an referidos y descritos desde el sistema coordenado global utilizado en el an´alisis del problema. Observamos que la matriz de rigidez global es un arreglo cuadrado de dimensi´on 6×6 correspondiente a los seis desplazamientos globales posibles que posee la estructura. La aplicaci´on de las condiciones de borde y la soluci´ on del sistema de ecuaciones algebr´aicas que est´an representadas por la ecuaci´ on matricial obtenida como en el ejemplo se difieren por el momento hasta algo m´as adelante, quedando estos temas pendientes de discusi´on.
3.3.
Transformaci´ on de elemento
La formulaci´ on de ecuaciones globales de elemento finito por aplicaci´on directa de las condiciones de equilibrio, como en la secci´ on anterior, demuestra ser bastante embarazoso a´ un para el m´as simple de los modelos. Al escribir las ecuaciones de equilibrio nodales en el sistema de coordenadas global e introducir la formulaci´ on del desplazamiento, el procedimiento de la secci´on anterior impl´ıcitamente transform´o las caracter´ısticas individuales de elemento (la matriz de rigidez) hacia el sistema global. Un m´etodo directo para transformar las caracter´ısticas de rigidez en una base elemento–por–elemento se desarrolla ahora en la preparaci´ on para el uso en el procedimiento de ensamble directo de la siguiente secci´on. Recordando que las ecuaciones de equilibrio est´atico del elemento barra expresadas en el sistema coordenado propio del mismo elemento fueron escritas como (e) A E 1 −1 u(e) ke −ke u(e) f1 1 1 = = (3.17) (e) u(e) −k k u f2(e) L −1 1 e e 2 2 o, en forma sint´etica [ k (e) ]{u(e) } = {f (e) }
(3.17a)
el objetivo presente es transformar estas ecuaciones de equilibrio hacia el sistema coordenado global en la forma (e) (e) F U 1(e) 1(e) F2 U 2 (3.18) = [ K (e) ] (e) (e) F U 3(e) 3(e) F4 U4 que puede escribirse [ K (e) ]{U (e) } = {F (e) } (e)
(3.18a)
En ´esta ecuaci´ on [ K ] representa la matriz de rigidez de elemento en el sistema coordenado global, el vector {F (e) } en el lado–derecho contiene las componentes de fuerza nodal aplicadas sobre el elemento referidas al sistema coordenado global tambi´en, y {U (e) } es el vector de desplazamientos nodales globales de elemento que contiene como coeficientes a las componentes de desplazamiento U1 y U3 que son paralelas al eje X global, y tambi´en a U2 y U4 que son paralelas al eje Y global. Las relaciones entre los desplazamientos axiales de elemento en el sistema coordenado local y los desplazamientos del mismo elemento en el sistema coordenado global [Ecuaciones (3.4)] son u(e) = U1(e) cos θ + U2(e) sin θ 1 u(e) = U3(e) cos θ + U4(e) sin θ 2
´ DE ELEMENTO 3.3. TRANSFORMACION
57
las que pueden ser escritas en forma matricial como (e) cos θ u1 = u(e) 0 2
sin θ 0
0 cos θ
(e) (e) U1 U (e) 1(e) 0 U2 U2 = [R] (e) (e) sin θ U U 3(e) 3(e) U4 U4
(3.19)
o, en forma resumida {u(e) } = [ R(e) ]{U (e) }
(3.19a)
donde [ R(e) ] =
cos θ 0
sin θ 0
0 cos θ
0 sin θ
(3.20)
es la matriz de transformaci´ on de desplazamientos nodales globales de elemento hacia los desplazamientos nodales axiales del mismo. (Nuevamente debemos notar que los desplazamientos nodales de elemento en direcci´ on transversal al mismo, o perpendiculares al eje x, que fueron denotados como v1(e) y v1(e) no son considerados en el desarrollo de la matriz de rigidez; estos desplazamientos juegan un rol preponderante en el an´ alisis din´ amico que se presenta en el Cap´ıtulo 10). Substituyendo ahora la Ecuaci´ on (3.19) en la Ecuaci´ on (3.17) obtenemos
ke −ke
−ke ke
cos θ 0
sin θ 0
0 cos θ
(e) U 1(e) f1(e) U2 0 = f2(e) U (e) sin θ 3(e) U4
(3.21)
resumidamente [ k (e) ][ R(e) ]{U (e) } = {f (e) }
(3.21a)
A pesar de haber transformado las ecuaciones de equilibrio desde los desplazamientos locales hacia los desplazamientos globales como inc´ognitas, las ecuaciones se expresan todav´ıa en el sistema de coordenadas de elemento. La primera relaci´on de la Ecuaci´on (3.21) desarrollada, es la condici´on de equilibrio para el nodo 1 en el sistema coordenado local o de elemento. Si multiplicamos esta ecuaci´on por cos θ, obtendremos la ecuaci´on de equilibrio para el nodo en la direcci´on X del sistema coordenado global. Similarmente, multiplicando por sin θ, se obtiene la ecuaci´on de equilibrio seg´ un la direcci´ on Y global. Aplicando ex´actamente el mismo procedimiento con la segunda ecuaci´on de equilibrio en el nodo 2, se obtiene la ecuaci´on de equilibrio nodal referido al sistema coordenado global. Las mismas operaciones descritas anteriormente se obtienen si pre–multiplicamos ambos de la Ecuaci´ on 3.21 por [ R(e) ]T , la transpuesta de la matriz de transformaci´on de desplazamientos; esto es en forma desarrollada, (e) (e) U cos θ 0 f cos θ 1 1 (e) (e) (e) ke −ke U2 sin θ 0 f1 f1 sin θ (e) T (e) [R ] [R ] = = (3.22) −ke ke U (e) 0 cos θ f2(e) f (e) cos θ 3(e) 2(e) U4 0 sin θ f2 sin θ Claramente el t´ermino del lado–derecho de la ecuaci´on anterior representa al vector de fuerzas nodales aplicadas al elemento referido al sistema coordenado global; y en esencia mediante la operaci´on de pre–multiplicaci´ on matricial efectuada en realidad hemos realizado un proceso de transformacion de fuerzas nodales locales hacia fuerzas nodales globales del elemento. Esta transformaci´on se describe sint´eticamente por la ecuaci´ on {F (e) } = [ R(e) ]T {f (e) } (3.22a)
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
58
As´ı, de esta manera, la Ecuaci´ on (3.22) puede ser escrita como (e) (e) U F 1(e) 1(e) k −k U F2 e e 2 [ R(e) ]T [ R(e) ] = (e) (e) −ke ke U F 3(e) 3(e) U4 F4
(3.23)
´ Esta ecuaci´on matricial representa a las condiciones de equilibrio est´atico nodal del elemento, expresada en el sistema coordenado global. Comparando este resultado con la Ecuaci´on (3.18), la matriz de rigidez de elemento en el marco referencial global coordenado se ve que est´a dada por [ K (e) ] = [ R(e) ]T [ k (e) ][ R(e) ]
(3.24)
Si adoptamos la notaci´ on resumida: sin θ ≡ s y cos θ ≡ c, y realizando el desarrollo de la multiplicaci´on matricial indicada en la ecuaci´ on precedente, obtenemos 2 c sc −c2 −sc sc EA s2 −sc −s2 (3.25) [ K (e) ] = ke ke = 2 −c −sc c2 sc L 2 2 −sc −s sc s o, de modo m´ as resumido utilizando el concepto de matriz particionada 2 [ Θ ] −[ Θ ] c sc [ K (e) ] = ke donde [Θ] = sc s2 −[ Θ ] [ Θ ]
(3.25a)
El examen de la Ecuaci´ on (3.25) muestra que la simetr´ıa de la matriz de rigidez de elemento se preserva en la transformaci´ on hacia las coordenadas globales. Adem´as, aunque no resulta obvio por simple inspecci´ on, puede demostrarse que el determinante es cero, indicando esto que despu´es de la transformaci´on, la matriz de rigidez permanece siendo singular. Esto es algo esperado, puesto que como previamente fu´e discutido, es posible el movimiento de cuerpo r´ıgido del elemento en ausencia de restricciones especificadas para dicha posibilidad.
3.3.1.
Cosenos directores
En la pr´actica, un modelo del elemento finito se construye definiendo los nodos en ubicaciones espaciales de coordenadas determinadas seguidas por la definici´on de elementos mediante la especificaci´on de los nodos conectados por cada uno de ellos. Para el caso a mano, los nodos i y j est´an definidos en coordenadas globales por (Xi , Yi ) y (Xj , Yj ) respectivamente. Usando las coordenadas nodales as´ı especificadas, la longitud del elemento se calcula prontamente como L = [ (Xj − Xi )2 + (Yj − Yi )2 ]1/2
(3.26)
y, el vector unitario que direcciona espacialmente al elemento desde el nodo i hasta el nodo j es por tanto ˆ = 1 [ (Xj − Xi )ˆI + (Yj − Yi )ˆJ ] = cos θXˆI + cos θY ˆJ λ (3.27) L donde ˆI y ˆJ son vectores unitarios coincidentes con los ejes X e Y del sistema coordenado global, como se aprecia en la Figura 3.5. Recordando la definici´ on del producto escalar de dos vectores y refiri´endonos de nuevo a las Figuras 3.5 y 3.2(a), los valores trigonom´etricos requeridos para construir la matriz de transformaci´on de
3.4. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
59
Y j
Yj
Y Yi
L X
i
J
X I
Xi
Xj
Figura 3.5: Especificaci´on de orientaci´on del elemento barra elemento tambi´en se determinan r´ apidamente a partir de las coordenadas nodales como los cosenos directores que aparecen en la Ecuaci´on (3.27). Xj − Xi L Y − Yi j ˆ ◦ˆJ = sin θ = cos θY = λ L
ˆ ◦ˆI = cos θ = cos θX = λ
(3.28a) (3.28b)
As´ı, la matriz de rigidez de un elemento barra en coordenadas globales puede ser completamente determinada por la especificaci´ on de las coordenadas nodales (ubicaci´on espacial de sus puntos extremos), el ´area de su secci´ on transversal, y el m´odulo de elasticidad del material del elemento.
3.4.
Ensamble de la matriz de rigidez global
Habiendo establecido el procedimiento de transformaci´on de las caracter´ısticas del elemento barra uni–dimensional en el sistema coordenado global de una estructura bi–dimensional, plantearemos ahora un m´etodo de obtener las ecuaciones de equilibrio global mediante un procedimiento de ensamble elemento–por–elemento. La t´ecnica de ensamble dir´ecto de la matriz de rigidez global para un modelo de elemento finito de una cercha se discute en t´erminos del sistema simple de dos–elementos mostrado en la Figura 3.2. Asumiendo ser completamente especificadas la geometr´ıa y propiedades del material, la matriz de rigidez de elemento en el marco referencial global puede formularse para cada elemento usando la Ecuaci´ on (3.25) para obtener (1) (1) (1) (1) k11 k12 k13 k14 k (1) k (1) k (1) k (1) 21 22 23 24 [ K (1) ] = (1) (3.29a) (1) (1) (1) k31 k32 k33 k34 (1) k41
(1) k42
(1) k43
(1) k44
(2) k11 k (2) 21 [ K (2) ] = (2) k31 (2) k41
(2) k12 (2) k22 (2) k32 (2) k42
(2) k13 (2) k23 (2) k33 (2) k43
(2) k14 (2) k24 (2) k34
para el elemento 1, y
(3.29b)
(2) k44
para el elemento 2. Estas dos matrices en conjunto contienen 32 coeficientes, los cuales deber´an formar la matriz de rigidez del sistema de dimensi´on 6×6 conteniendo 36 coeficientes. Para “congregar” las
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
60
matrices de rigidez de elemento individual en la matriz de rigidez global, es necesario observar la correspondencia de desplazamientos individuales de elemento con los desplazamientos globales y ubicar los t´erminos asociados de rigidez de elemento a la correcta ubicaci´on en la matriz de rigidez global. Para el elemento 1 de la Figura 3.2, los desplazamientos de ´este elemento se corresponden con los desplazamientos globales a trav´es de las relaciones (e) U1 U1 (e) U U2 2 {U (1) } = ⇒ (3.30a) U (e) U5 3(e) U4 U6 mientras que para el elemento 2 (e) U U3 1(e) U2 U4 (2) {U } = ⇒ (e) U3(e) U5 U4 U6
(3.30b)
Las ecuaciones anteriores son las relaciones de conectividad para la cercha, y expl´ıcitamente indican c´omo cada elemento est´ a conectado en la estructura. Por ejemplo la ecuaci´on (3.30a) claramente muestra que el elemento 1 no est´ a asociado con los desplazamientos globales U3 y U4 (por tanto, no est´a conectado al nodo global 2) y, de aqu´ı, no contribuye a los coeficientes de rigidez que afectan esos desplazamientos. Esto significa que el elemento 1 no tiene efecto en la tercera y cuarta filas y columnas de la matriz de rigidez global. Similarmente, el elemento 2 no contribuye en nada a la primera y segunda filas y columnas del arreglo de coeficientes de rigidez globales. En lugar de escribir las relaciones individuales de desplazamiento para cada uno de los elementos, es preferible y conveniente poner todos los datos de desplazamientos globales de todos los elementos en un arreglo tabular como el mostrado en la Tabla 3.1. Tabla 3.1: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6
1 2 0 0 3 4
0 0 1 2 3 4
La primera columna contiene la serie completa de desplazamientos globales en orden num´erico. Cada columna subsiguiente representa un elemento y contiene el n´ umero de los desplazamientos de elemento que corresponden al desplazamiento global en cada fila. Una entrada de valor nulo indica ninguna conexi´ on, por consiguiente ninguna contribuci´on de rigidez. Los t´erminos individuales en la matriz de rigidez global son obtenidos entonces asignando la ubicaci´on de los coeficientes de rigidez de acuerdo a las condiciones indicadas por la Tabla 3.1 como sigue: K11 K12 K13 K14
(1) = k11 +0 (1) = k12 +0 =0+0 =0+0
K23 K24 K25 K26
=0+0 =0+0 (1) = k23 +0 (1) = k24 + 0
K36 K44 K45 K46
(2) = 0 + k14 (2) = 0 + k22 (2) = 0 + k23 (2) = 0 + k24
3.4. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
(1) K15 = k13 +0 (1) K16 = k14 + 0 (1) K22 = k22 +0
61
(2) K33 = 0 + k11 (2) K34 = 0 + k12 (2) K35 = 0 + k13
(1) (2) K55 = k33 + k33 (1) (2) K56 = k34 + k34 (1) (2) K66 = k44 + k44
donde la simetr´ıa conocida de la matriz de rigidez se ha usado impl´ıcitamente para evitar la repetici´on. Se demuestra prontamente que la matriz de rigidez global resultante es id´entica en cada t´ermino a ´ aquella obtenida en la Secci´ on 3.2 mediante ecuaciones de equilibrio. Este es el m´etodo dir´ecto de rigidez; la matriz de rigidez global es “ensamblada” por la suma directa de los coeficientes de rigidez de elemento individuales mediante la tabla de correspondencia de desplazamientos nodales que define la conectividad del elemento. Ejemplo 3.1. Para la cercha plana mostrada en la Figura 3.2, θ1 = π/4, θ2 = 0, y las propiedades de elementos son tales que k1 = A1 E1 /L1 , k2 = A2 E2 /L2 . Transformar la matriz de rigidez local de cada elemento hacia el sistema global coordenado, y ensamblar la matriz de rigidez global para la estructura. > Soluci´ on
√ Para el elemento 1, cos θ1 = sin θ1 = 2/2 y c2 θ1 = s2 θ1 estos valores en la Ecuaci´ on (3.25), resulta 1 1 k 1 1 1 [ K (1) ] = −1 −1 2 −1 −1
= sθ1 cθ1 = 1/2; de modo que sustituyendo −1 −1 −1 −1 1 1 1 1
Para el elemento 2, cos θ2 = 1, sin θ2 = 0, lo cual d´a la matriz 1 0 −1 0 0 0 [ K (2) ] = k2 −1 0 1 0 0 0
de rigidez transformada 0 0 0 0
Ensamblando la matriz de rigidez dir´ectamente, usando las ecuaciones (3.30a) y (3.30b) se obtiene K11 K12 K13 K14 K15 K16 K22
= k1 /2 = k1 /2 =0 =0 = −k1 /2 = −k1 /2 = k1 /2
K23 K24 K25 K26 K33 K34 K35
=0 =0 = −k1 /2 = −k1 /2 = k12 =0 = −k2
K36 K44 K45 K46 K55 K56 K66
=0 =0 =0 =0 = k1 /2 + k2 = k1 /2 = k1 /2
La matriz de rigidez global de la estructura es entonces formada con los coeficientes anteriores, resultando el arreglo de coeficientes siguiente k1 /2 k1 /2 0 0 −k1 /2 −k1 /2 k1 /2 k1 /2 0 0 −k1 /2 −k1 /2 0 0 k2 0 −k2 0 [K ] = 0 0 0 0 0 0 −k1 /2 −k1 /2 −k2 0 k1 /2 + k2 k1 /2 −k1 /2 −k1 /2 0 0 k1 /2 k1 /2 >
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
62
La representaci´ on previamente descrita del m´etodo dir´ecto de rigidez es concreta pero embarazosa e ineficaz en la pr´ actica. El problema principal inherente al m´etodo presentado radica en el hecho que cada t´ermino de la matriz de rigidez global se calcula secuencialmente y acompa˜ nada de esta construcci´on secuencial se requiere que cada elemento sea considerado a cada paso. A continuaci´on describiremos una t´ecnica que es mucho m´ as eficaz y bien–adecuada a las operaciones que pueden efectuarse mediante una computadora digital. En este segundo m´etodo, la matriz de rigidez de elemento para cada elemento componente de la estructura es considerada en secuencia, y los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento se agregan a la matriz de rigidez global mediante las relaciones de conectividad nodal establecidas para un elemento por vez. As´ı, todos los t´erminos de una matriz de rigidez de elemento individual se agregan a la matriz de rigidez global, despu´es de lo cual no existe necesidad que dicho elemento sea considerado posteriormente. Para ilustrar esta t´ecnica alternativa, volvemos a escribir las Ecuaciones (3.29) como
[ K (1) ] =
1
2
5
6
(1) k11 (1) k21 (1) k31 (1) k41
(1) k12 (1) k22 (1) k32 (1) k42
(1) k13 (1) k23 (1) k33 (1) k43
(1) k14 (1) k24 (1) k34 (1) k44
3
4
5
6
(2) 11
(2) 12
(2) 13
1
2 5
(3.31a)
6
para el elemento 1, y [ K (2) ] =
k (2) k21 (2) k31 (2) k41
k (2) k22 (2) k32 (2) k42
k (2) k23 (2) k33 (2) k43
(2) k14 (2) k24 (2) k34 (2) k44
3
4 5
(3.31b)
6
para el elemento 2. En este bosquejo de las matrices de rigidez para los dos elementos individuales, los n´ umeros a la derecha de cada fila y encima de cada columna indican el desplazamiento global asociado con la fila y columna correspondiente de la matriz de rigidez del elemento. As´ı, combinamos la tabla de correspondencia de desplazamientos nodales con las matrices de rigidez de elemento individuales. Para las matrices de elemento, cada coeficiente individual se etiqueta ahora como asociado con una posici´on en fila–columna espec´ıfica de la matriz de rigidez global y puede agregarse directamente a esa ubicaci´on. (2) componente del elemento 2 debe ser Por ejemplo, la Ecuaci´ on (3.31b) muestra que el coeficiente k24 agregado al coeficiente de rigidez global K46 (y v´ıa simetr´ıa al K64 ). As´ı, podemos tomar cada elemento en turno y agregar los coeficientes individuales de la matriz de rigidez del mismo a las posiciones apropiadas en la matriz de rigidez global, aprovechando el proceso de etiquetado o codificaci´on num´erica asignada (con los desplazamientos globales especificados por elemento) a filas y columnas de cada matriz de rigidez de elemento. Muchas veces este m´etodo es tambi´en llamado “m´etodo de ensamble dir´ecto por transporte de coeficientes”. Y, en la aplicaci´ on de esta metodolog´ıa se procede secuencialmente en orden ascendente: primero se ensamblan los coeficientes de la matriz de rigidez global del elemento 1 en la matriz de rigidez global de estructura (que inicialmente se puede suponer que es una matriz nula, con todos sus coeficientes iniciales igual a cero), luego se repite el proceso para la matriz de rigidez del elemento 2; y as´ı siguiendo. Si en una instancia intermedia al transportar cierto coeficiente de la matriz de rigidez de elemento hacia la matriz de rigidez global ocurre que la ubicaci´on en esta u ´ltima ya est´a ocupada por determinado valor, se debe efectuar la suma algebr´aica con el n´ umero pre–existente y reemplazar el resultado en dicha ubicaci´ on. La forma de las Ecuaciones (3.31) son convenientes s´olo para prop´ositos ilustrativos. Para c´alculos reales, la inclusi´ on de los n´ umeros de desplazamiento globales dentro la matriz de rigidez de elemento es pesada computacionalmente. Una t´ecnica de algoritmo din´amico conveniente para aplicaciones
3.4. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
63
computacionales se describe posteriormente. Las convenciones siguientes se adoptan para una cercha 2–D modelada por elementos barra lineales: 1. Los nodos globales a los que cada elemento se conecta son denotados por i y j. 2. El origen del sistema coordenado de elemento (sistema coordenado local) se ubica con su origen en coincidencia con el nodo i, y el eje x de este sistema tiene un sentido positivo en la direcci´on del nodo i al nodo j. 3. Los desplazamientos globales en los nodos del elemento son: U2i−1 , U2i , U2j−1 , y U2j ; como fu´e denotado en la Secci´ on 3.2. Usando estas convenciones, toda la informaci´on requerida para definir la conectividad del elemento y ensamblar la matriz de rigidez global es incluida en una tabla de conectividad nodal de elemento, que establece un listado de los n´ umeros de elemento en secuencia y muestra los n´ umeros globales nodales i y j a los que cada elemento se conecta. Para la cercha de dos elementos mostrado en la Figura 3.2, los datos requeridos son como los mostrados en la Tabla 3.2. Tabla 3.2: Conectividad nodal de elemento Nodos Elemento
Nodo i
Nodo j
1 2
1 2
3 3
Usando los datos nodales de la Tabla 3.2, nosotros definimos, para cada elemento, un vector fila (de dimensi´ on 1×4) denominado vector de ubicaci´ on de desplazamientos, como {D(e) } = 2i − 1 2i 2j − 1 2j (3.32) donde cada valor es el n´ umero del desplazamiento global que corresponde a las filas y columnas 1, 2, 3, 4 respectivamente, de la matriz de rigidez de elemento. Para la cercha plana de la Figura 3.2, los vectores de ubicaci´ on de desplazamientos son {D(1) } = 1 2 5 6 (3.33a) (2) {D } = 3 4 5 6 (3.33b) Antes de proceder, notemos la cantidad de informaci´on que puede ser obtenida desde una simple vista de la Tabla 3.2. Con la geometr´ıa de la estructura definida, las coordenadas globales (X, Y ) de cada nodo son especificadas. Usando ´estos datos, la longitud de cada elemento y los cosenos directores de orientaci´ on espacial relativa del elemento se calculan mediante las Ecuaciones (3.26) y (3.28), respectivamente. La especificaci´ on del ´area de secci´on–transversal A y el m´odulo de elasticidad E de cada elemento, permite el c´ omputo de la matriz de rigidez de elemento en el marco referencial global usando la Ecuaci´ on (3.25). Finalmente, los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento y´a calculados se agregan a la matriz de rigidez global mediante el procedimiento de ensamble a trav´es del transporte de coeficientes usando el vector de ubicaci´on de desplazamientos especificado para el elemento que est´a siendo manipulando. En el contexto del ejemplo actual, el lector debe imaginar un arreglo cuadrado de una serie de 6×6 “buzones” que representan la matriz de rigidez global, cada uno de los cuales est´a originalmente vac´ıo (es decir, el coeficiente de rigidez inicialmente contenido es cero). Luego, entonces consideramos
64
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
la matriz de rigidez de un elemento individual en el marco referencial global. Usando luego el vector de ubicaci´on de desplazamientos establecido para el elemento (“las direcciones de correo”), los valores individuales de la matriz de rigidez del elemento se ponen en el buz´on apropiado. De este modo, cada elemento es procesado en secuencia y sus caracter´ısticas de rigidez agregadas a la matriz global. Despu´es de que todos los elementos se procesan del modo anteriormente indicado, la serie de buzones contiene la matriz de rigidez global estructural.
3.5.
Condiciones de borde, y fuerzas de restricci´ on
Habiendo obtenido la matriz de rigidez global mediante las ecuaciones de equilibrio o el procedimiento de ensamble dir´ecto, las ecuaciones de desplazamiento del sistema para el ejemplo de cercha plana mostrada en la Figura 3.2 son de la forma U1 F1 U F2 2 U3 F3 (3.34) = [K ] U4 F4 F5 U5 F6 U6 Como fu´e indicado, la matriz de rigidez global es una matriz singular; por consiguiente, una soluci´on u ´nica a la Ecuaci´ on anterior no puede obtenerse directamente. Sin embargo, desarrollando estas ecuaciones, nosotros no hemos tenido en cuenta todav´ıa las restricciones impuestas sobre los desplazamientos del sistema, por las condiciones de apoyo que deben existir para evitar el movimiento de cuerpo r´ıgido. En este ejemplo, observamos que las condiciones de borde l´ımite de desplazamiento son U1 = U2 = U3 = U4 = 0
(3.35)
dejando s´olo U5 y U6 para ser determinados. Sustituyendo los valores de las condiciones de borde anteriormente especificadas y expandiendo la Ecuaci´on (3.34), tendremos formalmente K15 U5 + K16 U6 = F1 K25 U5 + K26 U6 = F2 K35 U5 + K36 U6 = F3 K45 U5 + K46 U6 = F4 K55 U5 + K56 U6 = F5 K56 U5 + K66 U6 = F6
(3.36)
como las ecuaciones del sistema reducido (´esto es la serie particionada de ecuaciones matriciales, escrita expl´ıcitamente para los desplazamientos activos). En este ejemplo, F1 , F2 , F3 , y F4 son las componentes de las fuerzas de reacci´ on de apoyo en los nodos restringidos 1 y 2, mientras F5 y F6 son las componentes globales de fuerza externa aplicada en el nodo 3. Dadas las componentes de fuerza externa aplicada a la estructura, las dos u ´ltimas relaciones del sistema de Ecuaciones (3.36) pueden resolverse expl´ıcitamente para los desplazamientos U5 y U6 . Los valores obtenidos para estos dos desplazamientos se sustituyen entonces en las ecuaciones de restricci´on (las primeras cuatro de las Ecuaciones (3.36)) y las componentes de fuerza de reacci´on en los apoyos pueden ser calculadas. Un procedimiento m´ as general de aplicaci´on de condiciones de borde y evaluaci´on de reacciones de apoyo es como sigue. Suponiendo que el sub´ındice r denote a los desplazamientos restringidos y el sub´ındice a denote a los desplazamientos no–restringidos (activos), el sistema de ecuaciones puede
3.6. DEFORMACIONES Y TENSIONES DE ELEMENTO
particionarse (v´ease el Ap´endice A) para obtener [Krr ] [Kra ] {Ur } {Fr } = [Kar ] [Kaa ] {Ua } {Fa }
65
(3.37)
donde los valores de los desplazamientos restringidos {Ur } son conocidos (pero no necesariamente nulos), como son las fuerzas externas aplicadas {Fa }. As´ı, las inc´ognitas o desplazamientos activos, se obtienen mediante la ecuaci´ on inferior resultante de la partici´on como [Kar ]{Ur } + [Kaa ]{Ua } = {Fa } −1
{Ua } = [Kaa ]
( {Fa } − [Kar ]{Ur } )
(3.38a) (3.38b)
donde hemos asumido que los desplazamientos especificados {Ur } no son necesariamente cero, aunque ´este normalmente es el caso en una estructura tipo cercha. (De nuevo, notemos que, para la eficacia num´erica se aplican otros m´etodos distintos a la inversi´on matricial para obtener las soluciones formalmente representadas por la Ecuaci´ on (3.38b) para los desplazamientos inc´ognita). Dada la soluci´on para los desplazamientos activos, las reacciones se obtienen de la partici´on superior de la Ecuaci´on (3.37) como {Fr } = [Krr ]{Ur } + [Kra ]{Ua } (3.39) donde [Kra ] = [Kar ]T por la propiedad de simetr´ıa de la matriz de rigidez global estructural.
3.6.
Deformaciones y tensiones de elemento
El paso computacional final en el an´alisis de elemento finito de una estructura cercha es utilizar los desplazamientos globales obtenidos en el paso de la soluci´on para determinar la deformaci´on y la tensi´ on interna en cada elemento de la cercha. Para un elemento que une los nodos i y j, los desplazamientos nodales referidos al sistema local coordenado o propio del mismo elemento vienen dados por la Ecuaci´ on (3.19) como u1(e) = U1(e) cos θ + U2(e) sin θ u
(e) 2
(e) 3
=U
(e) 4
cos θ + U
sin θ
(3.40a) (3.40b)
y la deformaci´ on axial unitaria (utilizando la Ecuaci´on (2.27), la discretizaci´on, y las funciones de interpolaci´ on expresadas mediante la Ecuaci´on(2.23)) es entonces u1(e) d du(e) (x) (e) N1 (x) N2 (x) = = u2(e) dx dx x x i u1(e) d h 1 − (e) = (3.41) L L(e) u2(e) dx (e) u(e) − u(e) u1 −1 1 = = 2 (e) 1 (e) (e) (e) u2 L L L donde L(e) es la longitud del elemento, y los valores u(e) y u(e) pueden valorarse usando la relaci´on de 1 2 (e) (e) (e) transformaci´ on de desplazamientos {u } = [ R ]{U }, que simplemente es la ecuaci´on sint´etica que representa a las Ecuaciones (3.40). La diferencia de desplazamientos locales de extremo de elemento, es decir la deformaci´ on axial del mismo, se obtiene a partir de ´estas relaciones; que escrita en forma matricial resulta ser (e) U 1(e) U2 u(e) − u(e) = δ (e) = − cos θ − sin θ cos θ sin θ (e) 2 1 U 3(e) U4
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
66
Reemplazando esta u ´ltima relaci´ on en la Ecuaci´on 3.41, adoptando la notaci´on resumida para las funciones trigonom´etricas, se obtiene finalmente (e) U1 U2(e) 1 (e) = (e) −cθ −sθ cθ sθ (3.42) U3(e) L (e) U4 La tensi´on normal axial interna luego puede ser hallada apelando a la aplicaci´on de la ley de Hooke σ (e) = E (e) (e)
(3.43)
donde E (e) es el m´ odulo de elasticidad de elemento. Ahora, considerando la u ´ltima ecuaci´on, la tensi´on normal axial al interior del elemento en cualquier posici´on o secci´on de corte hipot´etica, en forma desarrollada resulta tener el aspecto aqu´ı mostrado (e) U1 U2(e) E (e) (e) (3.44) σ = (e) −cθ −sθ cθ sθ U3(e) L (e) U4 Del modo en el cual el elemento barra fu´e formulado aqu´ı, un valor de tensi´on axial positivo indica que el elemento est´ a en tracci´ on y un valor negativo indica compresi´on, por la convenci´on usual adoptada para las tensiones normales. Un aspecto interesante de tener en cuenta es que el valor de tensi´on normal al interior del elemento es de valor constante, por los t´erminos en la ecuaci´on que la definen. N´ otese adem´ as que el c´ alculo de tensi´on normal interna indicado en la Ecuaci´on (3.44) debe ser realizado en una base elemento–por–elemento. Si se desea, las fuerzas del elemento pueden ser obtenidas mediante la Ecuaci´ on (3.21), para poder efectuar una prueba de verificaci´on del c´alculo num´erico efectuado ya que para los coeficientes de este vector debe cumplirse la condici´on b´asica de equilibrio est´atico f1(e) = −f2(e) . Ejemplo 3.2. La cercha de dos–elementos mostrada en la Figura 3.6 est´a sujeta a las cargas externas indicadas. Usando la misma numeraci´ on para nodos y elementos como se aprecia en la Figura 3.2, determine las componentes del desplazamiento del nodo 3, las componentes de las fuerzas de reacci´on en los nodos 1 y 2, y los desplazamientos locales de elemento, tensiones internas, y fuerzas nodales locales. Los elementos tienen m´ odulo de elasticidad E1 = E2 = 107 lb/pulg2 y las ´areas de sus secciones transversales son A1 = A2 = 1,5 pulg2 . > Soluci´ on Las coordenadas nodales son tales que √ las orientaciones espaciales resultan θ1 = π/4 y θ2 = 0, y las longitudes de elemento son L1 = 404 + 4062 ≈ 56,57 pulg, L2 = 40 pulg. La rigidez de resorte equivalente para cada barra en este caso resulta ser A1 E1 1,5×107 = = 2,65×105 lb/pulg L1 56,57 A2 E2 1,5×107 k2 = = = 3,75×105 lb/pulg L2 40 k1 =
Como los ´angulos de orientaci´ on de elemento y la numeraci´on esquem´atica adoptada son iguales que en el Ejemplo 3.1, podemos usar el resultado de ese ejemplo para escribir la matriz de rigidez global
3.6. DEFORMACIONES Y TENSIONES DE ELEMENTO
300 lb
( 0, 40 )
2
2
67
( 40, 40 )
3
500 lb
1 ( X, Y ) [ pulg ]
1 ( 0, 0 )
Figura 3.6: Cercha de dos–elementos y solicitaci´on como
1,325 1,325 0 0 −1,325 −1,325 1,325 1,325 0 0 −1,325 −1,325 0 0 3,750 0 −3,75 0 ×105 lb/pulg [K ] = 0 0 0 0 0 0 −1,325 −1,325 −3,75 0 5,075 1,325 −1,325 −1,325 0 0 1,325 1,325
Incorporando las restricciones de desplazamiento U1 = U2 = U3 = U4 = 0 y la solicitaci´on nodal aplicada a la estructura, las ecuaciones globales de equilibrio resultan ser 1,325 1,325 0 0 −1,325 −1,325 F1 0 0 0 −1,325 −1,325 1,325 1,325 F2 0 0 0 3,75 0 −3,75 0 0 F 5 3 10 = F4 0 0 0 0 0 0 0 −1,325 −1,325 −3,75 0 5,075 1,325 U 500 5 300 U 6 −1,325 −1,325 0 0 1,325 1,325 en las que las l´ıneas divisorias al interior de los arreglos matriciales representan el proceso de particionamiento realizado, con el mismo esquema de la Ecuaci´on (3.37). De aqu´ı, los desplazamientos activos estan gobernados por la ecuaci´ on U5 500 5 5,075 1,325 10 = 1,325 1,325 U6 300 La soluci´ on simult´ anea de ambas ecuaciones proporciona los siguientes valores para las componentes de desplazamiento del nodo 3 U5 = 5,333×10−4 pulg
U6 = 1,731×10−3 pulg
Como todos los desplazamientos restringidos tienen valor nulo, de la misma ecuaci´on gobernante del comportamiento del sistema, mostrada en forma particionada, se puede obtener la siguiente ecuaci´on para el c´ alculo de las fuerzas de reacci´on de apoyo F1 −1,325 −1,325 −300 F2 −300 5 −1,325 −1,325 0,5333 −3 = 10 10 = lb F3 −3,75 0 1,731 −200 F4 0 0 0
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
68
Podemos notar que una vez calculadas las reacciones de apoyo, es posible efectuar una verificaci´on de las condiciones de equilibrio est´ atico completo de la estructura. Si usted realiza el c´alculo, podr´a comprobar que la suma de fuerzas seg´ un las direcciones globales X e Y son simult´aneamente nulas y la suma de momentos respecto al eje global Z es id´enticamente cero. Para el elemento 1, los desplazamientos nodales locales, o sea referidos al sistema coordenado propio del mismo elemento, pueden calcularse aplicando la ecuaci´on de transformaci´on de desplazamientos, {u(e) } = [ R(e) ]{U (e) }, lo que d´ a como resultado U1 √ 0 (1) 2 1 1 0 0 u1 U2 0 0 (1) −3 = [ R ] = 10 = 10−3 pulg u(1) 0 0 1 1 U 0,5333 1,6 2 5 2 U6 1,731 La tensi´on normal axial interna de elemento puede calcularse ahora usando la Ecuaci´on (3.44), que aplicada al elemento 1 d´ a como resultado U1 U2 E (1) (1) σ = (1) −cθ1 −sθ1 cθ1 sθ1 U5 L U6 0 √ 0 −3 2 107 2 −1 −1 1 1 10 = 283,03 lb/pulg = 0,5333 56,57 2 1,731 donde el signo positivo de esta tensi´ on normal interna nos indica que el elemento est´a en estado de solicitaci´on de tracci´ on. Las fuerzas nodales locales de elemento, es decir aquellas fuerzas que act´ uan con direcci´on axial en los puntos extremos del elemento, se calculan aplicando la Ecuaci´on (3.17). Para el elemento 1 tendr´ıamos (1) f1 1 −1 u(1) 1 −1 0 −424 5 −3 1 = k = 2,65 × 10 10 = lb 1 f2(1) −1 1 u(1) −1 1 1,6 424 2 y los signos algebr´ aicos de la soluci´ on obtenida para las fuerzas nodales axiales de elemento tambi´en indican solicitaci´ on de tracci´ on. Para el elemento 2, la misma secuencia de procedimiento proporciona U3 0 (2) 0 0 u1 U4 1 0 0 0 (2) −3 10 = 10−4 pulg = [R ] = u(2) U5 0 0 1 0 0,5333 0,5333 2 1,731 U6
σ (2) =
=
(2) f1 1 = k2 f2(2) −1
U3 U4 E (2) −cθ −sθ cθ sθ 2 2 2 2 L(2) U5 U6 0 0 −3 107 2 −1 0 1 0 10 = 133,32 lb/pulg 0,5333 40 1,731 −1 u(2) 1 −1 0 −200 5 −3 1 lb = 3,75×10 10 = 1 u(2) −1 1 0,5333 200 2
que tambi´en indican que este elemento est´ a sometido a tracci´on.
>
3.7. UN EJEMPLO COMPLETO
69
6000 lb 40 pulg
U4
40 pulg
3
2
4000 lb 40 pulg
U8
6
8
U6 1
2000 lb
U11
4
2
U2
2000 lb
U12
6
U7
U3
Y
7
4
1
U1
(a) Dimensiones y solicitaci´ on
U10
5 3
U5
5
U9
X
(b) Etiquetado estructural
Figura 3.7: Cercha bi–dimensional en voladizo Se piensa que el m´etodo finito es un procedimiento de prop´osito general para analizar problemas en los cuales la soluci´ on general no es conocida; sin embargo, es informativo en los ejemplos de este cap´ıtulo (desde que el elemento barra posee una formulaci´on exacta) verificar las soluciones en t´erminos de la tensi´ on axial simplemente calculada como σ = F/A para un miembro axialmente cargado. Se invita al lector a calcular la tensi´ on axial por la f´ormula simple de tensi´on normal para cada uno de los ejemplos a fin de verificar que las soluciones basadas en el m´etodo de elemento finito son completamente correctas.
3.7.
Un ejemplo completo
En esta secci´ on mostraremos el conjunto de conceptos elaborados hasta aqu´ı a trav´es de un ejemplo que consideramos completo, el cual mostrar´a los detalles de los pasos de aplicaci´on del m´etodo de elemento finito en el an´ alisis de una estructura plana compuesta de barras rectil´ıneas interconectadas mediante juntas articuladas por sus extremos (estructura cercha bi–dimensional), la cual es solicitada en su propio plano. Ejemplo 3.3. Como un ejemplo completo de una estructura tipo cercha bi–dimensional, la estructura mostrada en la Figura 3.7(a) es analizada para obtener desplazamientos, fuerzas de reacci´on, deformaciones unitarias y tensiones internas. Considere que el ´area de secci´on transversal de todos los elementos es A = 1,5 pulg, y que el material de todos ellos es el mismo con m´odulo de elasticidad E = 107 psi (lb/pulg2 ). > Soluci´ on Aunque no incluimos los detalles de c´alculo num´erico, el ejemplo ilustra los pasos requeridos, en secuencia, para un an´ alisis de elemento finito. Paso 1. Especificar el sistema global coordenado, asignar n´ umeros a los nodos, especificar los elementos, establecer la conectividad de los diversos elementos, y definir las componentes de desplazamientos nodales globales, como se muestra en la Figura 3.7(b). Paso 2. Calcular los valores del coeficiente de rigidez de resorte equivalente k = E A/L para todos los elementos k (1) = k (3) = k (4) = k (5) = k (7) = k (8) = k (1) = k (3) =
1,5(107 ) = 3,75×105 lb/pulg. 40
1,5(107 ) √ = 2,65×105 lb/pulg. 40 2
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
70
Paso 3. Transformar las matrices de rigidez locales de elemento hacia el sistema global coordenado. Utilizando la Ecuaci´ on (3.25) con los valores de los siguientes ´angulos de orientaci´on espacial θ1 = θ3 = θ5 = θ7 = 0
θ4 = θ8 = π/2
θ2 = π/4
tenemos
θ6 = 3π/4
1 0 0 (1) (3) (5) (7) 5 0 [ K ] = [ K ] = [ K ] = [ K ] = 3,75×10 −1 0 0 0 0 0 0 0 2,65×105 1 0 −1 (4) (8) 5 0 [ K ] = [ K ] = 3,75×10 [ K (2) ] = 0 0 0 0 2 0 −1 0 1 1 −1 −1 1 2,65×105 1 −1 −1 1 [ K (6 ] = −1 1 1 −1 2 1 −1 −1 1
−1 0 1 0 1 1 −1 −1
0 0 0 0 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1
Paso 4a. Construir la tabla de correspondencia de desplazamientos locales – hacia – globales. Con referencia a la Figura 3.7(b), las relaciones de desplazamientos y conectividad se muestran en la Tabla 3.3 Tabla 3.3: Conectividad y relaci´on de desplazamientos nodales Desp. Glob.
Desp. Elem. 1
Desp. Elem. 2
Desp. Elem. 3
Desp. Elem. 4
Desp. Elem. 5
Desp. Elem. 6
Desp. Elem. 7
Desp. Elem. 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0 3 4 0 0 0 0
0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 0 3 4 0 0
0 0 0 0 0 0 3 4 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 4
0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4
Paso 4b. Alternativa y m´ as eficazmente, formamos la tabla de conectividad de nodos de elemento (Tabla 3.4), y los correspondientes vectores de ubicaci´on de desplazamientos globales de elemento para cada miembro componente de la estructura, lo cual es mostrado en la serie siguiente {D(1) } = 1 2 5 6 {D(2) } = 1 2 7 8 {D(3) } = 3 4 7 8 {D(4) } = 5 6 7 8 {D(5) } = 5 6 9 10 {D(6) } = 9 10 7 8 {D(7) } = 7
8
11
12
{D(8) } = 9
10
11
12
3.7. UN EJEMPLO COMPLETO
71
Tabla 3.4: Conectividad nodal en elementos Nodo Elem.
i
j
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 3 5 4 5
3 4 4 4 5 4 6 6
Paso 5. Ensamblar la matriz de rigidez global ya sea por el Paso 4a o aplicando el Paso 4b. Los coeficientes de la matriz de rigidez global estructural son: (1)
(2)
(1)
(2)
K11 =k11 +k11 =(3,75+2,65/2)105
K12 =k12 +k12 =(0+2,65/2)105
K13 =K14 =0
K15 =k13 =−3,75(105 )
(1)
(1)
(2)
K16 =k14 =0
K17 =k13 =−(2,65/2)105
(2) K18 =k14 =−(2,65/2)105
K19 =K1,10 =K1,11 =K1,12 =0
(2) (1) K22 =k22 +k22 =0+(2,65/2)105
K23 =K24 =0
(1) K25 =k23 =0
K26 =k24 =0
(1)
(2)
(2)
K27 =k23 =−(2,65/2)105
K28 =k24 =−(2,65/2)105
K29 =K2,10 =K2,11 =K2,12 =0
(1) K33 =k33 =(3,75/2)105
(3)
K34 =k12 =0
K35 =K36 =0
(3) K37 =k13 =−3,75(105 )
K38 =k14 =0
K39 =K3,10 =K3,11 =K3,12 =0
K44 =k22 =0
K45 =K46 =0
K47 =k23 =0
(3)
(3) (3)
(3)
K48 =k24 =0
K49 =K4,10 =K4,11 =K4,12 =0
(5) (4) (1) K55 =k33 +k11 +k11 =(3,75+0+3,75)105
K56 =k34 +k12 +k12 =0
(4) K57 =k13 =0
(4) K58 =k14 =0
(5)
(2)
(4)
(5)
K66 =k44 +k22 +k22 =(0+3,75+0)105
(4)
(4)
K68 =k24 =−3,75(105 )
K67 =k23 =0 (5) K69 =k23 =0
(5) K6,10 =k24 =0 (3)
(4)
(6)
(7)
K77 =k33 +k33 +k33 +k33 +k11
=(2,65/2+3,75+0+2,65/2+3,75)105 K6,11 =K6,12 =0 (6) K7,10 =k23 =(2,65/2)105 (7)
K7,12 =k14 =0 (6)
K89 =k14 =(2,65/2)105 (6)
(5)
K5,10 =k14 =0
K5,11 =K5,12 =0
K8,10 =k24 =−(2,65/2)105 (7) K8,12 =k24 =0
(4)
(5)
K59 =k13 =−3,75(1−5 )
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
(6)
(7)
K78 =k34 +k34 +k34 +k34 +k12
=(2,65/2+0+0−2,65/2+0)105 (6)
K79 =k13 =−(2,65/2)105 (7) K7,11 =k13 =(−3,75(105 ) (2)
(3)
(4)
(6)
(7)
K88 =k44 +k44 +k44 +k44 +k22
=(2,65/2+0+3,75+2,65/2+0)105 (7)
K8,11 =k23 =0 (5) (6) (8) K99 =k33 +k11 +k11 =(3,75+2,65/2+0)105
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
72 (5)
(6)
(8)
K9,10 =k34 +k12 +k12 =(0−2,65/2+0)105
(8)
K9,11 =k13 =0 (5)
(6)
(8)
(8)
K10,10 =k44 +k22 +k22 =(0+2,65/2+3,75)105
K10,11 =k23 =0
(8)
K10,12 =k24 =−(3,75)105
(8) (7) K11,11 =k33 +k33 =(3,75+0)105
(8) (7) K11,12 =k34 +k34 =0+0=0
K9,12 =k14 =0
(7)
(8)
(8)
K12,12 =k44 +k44 =(0+3,75)105
Paso 6. Aplicar las restricciones como son dictadas por las condiciones de borde. En este ejemplo, los nodos 1 y 2 est´ an conectados a apoyos articulados fijos, de modo que las restricciones de desplazamiento en estos puntos se traducen como U1 = U2 = U3 = U4 = 0 Por tanto, las primeras cuatro ecuaciones en la ecuaci´on matricial gobernante pueden desecharse. Esto u ´ltimo es equivalente a eliminar las cuatro primeras filas y las cuatro primeras columnas de la matrix 12×12 de coeficientes del sistema [ K ]{U } = {F } la eliminaci´ on de cierto n´ umero de ecuaciones es posible en este caso, por la consideraci´on que en este ejemplo particular los desplazamientos restringidos son todos nulos. Si es que no lo fueran, las restricciones son consideradas como en la Ecuaciones (3.38b) y (3.39), en cuyo caso las restriciones no–nulas imponen fuerzas adicionales sobre los desplazamientos no–restringidos. Las fuerzas restringidas (reacciones de apoyo) no pueden ser obtenidas hasta que los desplazamientos activos no hayan sido calculados. Pero, en el problema que estamos analizando si podemos efectuar la reducci´ on del problema por imposici´on de las condiciones de borde en los apoyos. Efectuando la eliminaci´ on que fu´e mencionada anteriormente, las ecuaciones globales que gobiernan el comportamiento resultan 0 U5 −2000 U6 0 U 7 0 U8 [ Kaa ] = 2000 U9 0 U10 4000 U11 6000 U12 como relaciones que describen el comportamiento del sistema estructural reducido solamente a los desplazamientos activos. Paso 7. Resolver las ecuaciones que corresponden a los desplazamientos no–restringidos. Para el ejemplo actual, las ecuaciones se resuelven usando un programa de hoja de c´alculo, invirtiendo la (relativamente peque˜ na) matriz global de rigidez para obtener U5 0,02133 U6 0,04085 U −0,01600 7 U8 0,04619 = pulg U9 0,04267 U10 0,15014 U11 −0,00533 U12 0,16614 Paso 8. Aplicar un proceso de substituci´ on – regresiva de los datos soluci´on de los desplazamientos para poder calcular las fuerzas de reacci´on de apoyo. Utilizando la Ecuaci´on (3.39), con la condici´on
3.7. UN EJEMPLO COMPLETO
73
{Ur } = {0}, usamos las cuatro ecuaciones previamente ignoradas para evaluar las componentes de fuerza actuantes en los nodos 1 y 2 (conectados a los apoyos de la estructura). Las ecuaciones de restricci´ on son de la forma Ki5 U5 + Ki6 U6 + · · · + Ki12 U12 = Fi
i = 1; 4
y, substituyendo los valores de desplazamiento previamente hallados, se obtiene como soluci´on para las fuerzas de reacci´ on de apoyo F1 −12000 F2 −4000 = lb F3 6000 F4 0 Se deja a la inquietud del lector la utilizaci´on de ´estas componentes de fuerzas de reacci´on para efectuar una verificaci´ on del equilibrio est´atico global de la estructura. Paso 9. Calcular la deformaci´ on y la tensi´on en cada elemento. La tarea mayor de evaluaci´on de valores efectuada en el Paso 7 proporciona las componentes de desplazamiento de cada nodo en el sistema coordenado global. Con esta informaci´on y los desplazamientos restringidos conocidos, los desplazamientos de cada uno de los elementos en su propio sistema de coordenadas puede obtenerse (aplicando las ecuaciones de transformaci´on de desplazamientos); de aqu´ı, la deformaci´on y la tensi´ on normal interna en cada elemento puede calcularse. Por ejemplo, para el elemento 2 tenemos u(2) = U1 cos θ2 + U2 sin θ2 = 0 1
√ u(2) = U7 cos θ2 + U8 sin θ2 = (−0,01600 + 0,04618) 2/2 2 = 0,02134 pulg
La deformaci´ on axial unitaria en el elemento 2 es entonces (2) =
0,02134 u(2) − u(2) 2 1 √ = 3,771×10−4 = L(2) 40 2
y la correspondiente tensi´ on normal axial es σ (2) = E (2) (2) = 107 ×3,771×10−4 = 3771 psi S´olo se presentan los resultados para elemento 2 como un ejemplo. En cualquier software de elemento finito, los resultados para cada elemento est´an disponibles y pueden ser examinados por el del programa, como ´el desee (´esto es parte del post–procesamiento). Se muestran resultados para cada uno de los ocho elementos en la Tabla 3.5; y por la convenci´on usual de signos para tensiones, los valores positivos indican tensi´on de tracci´on mientras los valores negativos corresponden a tensi´ on de compresi´on. Para obtener los resultados presentados para este ejemplo, nosotros usamos el programa de hoja de c´alculo MathCad para invertir la matriz de rigidez y poder calcular los desplazamientos activos en un proceso semi–manual; tambi´en utilizamos un paquete de software de elemento finito muy popular (Abaqus), y comprobamos que las soluciones resultantes de cada procedimiento fueron id´enticas. > El ejemplo que resolvimos muestra los pasos de procedimiento secuenciales a ser aplicados para analizar una estructura cercha plana. Este procedimiento es general y puede aplicarse en el mismo orden con el que aqu´ı fu´e aplicado. Seguramente usted percibir´a que existe ligera diferencia en el procedimiento cuando se utilice un programa computacional para resolver ´este problema. Sin embargo, el tener conocimiento de las operaciones necesarias para hallar variables de inicio desconocidas es lo que vale en la soluci´ on manual que presentamos en este ejemplo.
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
74
Tabla 3.5: Deformaci´on y tensi´on en elementos Elem. (e)
(e) ×10−4
σ (e) [psi]
1 2 3 4 5 6 7 8
5,33 3,77 -4,0 1,33 5,33 -5,67 2,67 4,00
5333 3771 -4000 1333 5333 -5657 2667 4000
U3j-1 U3j
U3i-1
Y
U3i
j
U3j-2
y x
i
z
Z
(e)
U3i-2
X
Figura 3.8: Elemento barra en un sistema global coordenado 3–D
3.8.
Cerchas tri–dimensionales
Las cerchas tridimensionales (3–D) tambi´en pueden modelarse usando el elemento barra, previniendo que las conexiones entre los elementos son tales que s´olo se transmite carga axial. Estrictamente hablando, esto requiere que todas las conexiones sean juntas de r´ otula esf´erica. Incluso cuando la restricci´on de conexi´ on no se satisface precisamente, el an´alisis de una cercha 3–D usando elementos barra es a menudo de mucho valor porque permite obtener estimaciones preliminares de las tensiones en los componentes de la estructura, que en el contexto del dise˜ no mec´anico es valioso en la determinaci´on de las propiedades estructurales requeridas. Refiri´endonos a la Figura 3.8 que muestra un elemento barra uni–dimensional conectado a los nodos i y j en un marco de referencia global tri– dimensional, el vector unitario a lo largo del eje del elemento (es decir, el eje de referencia del mismo) expresado en el sistema global es
o bien
ˆ (e) = 1 [ (Xj − Xi )ˆI + (Yj − Yi )ˆJ + (Zi )K ˆ] λ L
(3.45)
ˆ (e) = cos θXˆI + cos θY ˆJ + cos θZ K ˆ λ
(3.45a)
3.8. CERCHAS TRI–DIMENSIONALES
75
As´ı, los desplazamientos del elemento se expresan en componentes en el sistema global coordenado 3–D como u(e) = U1(e) cos θx + U2(e) cos θy + U3(e) cos θz 1 u
(e) 2
(e) 4
=U
(e) 5
cos θx + U
(e) 6
cos θy + U
cos θz
(3.46a) (3.46b)
Aqu´ı, usamos la anotaci´ on que los desplazamientos 1 y 4 de elemento est´an en la direcci´on X global, los desplazamientos 2 y 5 se producen seg´ un la direcci´on Y global, y los desplazamientos de elemento 3 y 6 est´ an en la direcci´ on Z global. En analog´ıa con la Ecuaci´ on (3.19), las Ecuaciones (3.46) pueden ser expresadas matricialmente como (e) U1 (e) U 2 (e) (e) cos θx cos θy cos θz 0 0 0 u1 U3 = (3.47) u(e) 0 0 0 cos θx cos θy cos θz U4(e) 2 U (e) 5(e) U6 o en forma resumida,
u(e) = [ R(e) ]{U (e) }
(3.47a)
(e)
donde [ R ] es la matriz de transformaci´on de desplazamientos, que mapea los desplazamientos de direcci´on axial uni–dimensional de los nodos extremos del elemento hacia el sistema coordenado global tri–dimensional. Siguiendo un procedimiento id´entico al usado para el caso bi–dimensional en la Secci´on 3.3, la matriz de rigidez de elemento en el sistema de coordenadadas locales (propio del elemento) se transforma hacia las coordenadas globales 3–D mediante [ K (e) ] = [ R(e) ]T [ k (e) ][ R(e) ]
(3.48)
−1
1 donde [ k (e) ] = ke −1 , ke = ELA , es la matriz de rigidez local de elemento. Sustituyendo la 1 matriz de transformaci´ on de desplazamientos de elemento como tambi´en la matriz de rigidez local en la ecuaci´ on anterior, y realizando las multiplicaciones requeridas, se demuestra que se obtiene como resultado 2 cx cy cx cz cx [ Θ ] −[ Θ ] cy cz c2y [ K (e) ] = ke (3.49) donde [ Θ ] = cy cx −[ Θ ] [ Θ ] cz cx cz cy c2z
As´ı como en la matriz de rigidez bi–dimensional, la notaci´on resumida adoptada para este caso es cx ≡ cos θx
cy ≡ cos θy
cz ≡ cos θz
(3.49a)
El ensamble de la matriz de rigidez global (es decir, las ecuaciones de equilibrio est´atico), es id´entico al procedimiento discutido para el caso bidimensional con la obvia excepci´on que ser´an considerados tres desplazamientos para cada nodo. Ejemplo 3.4. La cercha de tres–miembos mostrada en la Figura 3.9(a) es conectada por juntas de r´otula y abrazadera esf´ericas, estando fijos los nodos 1, 2, y 3. Una fuerza de 5000 lb est´a aplicada en el nodo 4 en la direcci´on Y negativa, como es mostrado. Cada uno de los tres es id´entico y exhibe caracter´ıstica de una rigidez axial de 3×105 lb/pulg. Calcular las componentes del desplazamiento del nodo 4 usando un modelo de elemento finito con elementos barra como fu´e descrito. > Soluci´ on Primero, debemos notar que la cercha 3–D con cuatro nodos tiene 12 posibles desplazamientos. Sin
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
76
U5
(0, 0, -30) 2
Y
X
Z
2
X
U2
U11 1 4
U3
(0, 0, 30) (0, -30, 0)
2
Z
4
(40, 0, 0) 1
U4
U6
Y
5000 lb
1
U12
U1 U8
3 (x, y, z) [pulg]
U9
(a) Disposici´ on geom´ etrica
3
U10
3
U7
(b) Codificaci´ on estructural
Figura 3.9: Cercha tri–dimensional con solicitaci´on aplicada embargo, desde que los nodos 1, 2, y 3 son fijos, se conocen nueve de los posibles desplazamientos los que tienen valor nulo. Por consiguiente, necesitamos ensamblar s´olo una porci´on de la matriz de rigidez del sistema para resolver el problema y hallar los tres desplazamientos desconocidos. Utilizando el esquema de numeraci´ on mostrado en Figura 3.9(b) y la tabla de correspondencia de desplazamientos locales–hacia–globales (Tabla 3.6), necesitamos s´olo considerar las ecuaciones K10,10 K10,11 K10,12 U10 0 K11,10 K11,11 K11,12 U11 = −5000 K12,10 K12,11 K12,12 U12 0
Tabla 3.6: Correspondencia de desplazamientos nodales Desp. Glob.
Desp. Elem. 1
Desp. Elem. 2
Desp. Elem. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 0 0 0 0 0 0 4 5 6
0 0 0 1 2 3 0 0 0 4 5 6
0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Antes de ensamblar los coeficientes requeridos en la matriz de rigidez del sistema, debemos transformar las matrices locales de rigidez individuales hacia el sistema de coordenadas globales como sigue. Elemento 1.
ˆ (1) = 1 [ (40 − 0)ˆI + (0 − 0)ˆJ + (0 − 30)K ˆ ] = 0,8ˆI − 0,6K ˆ λ 50
3.8. CERCHAS TRI–DIMENSIONALES
77
aplicando la Ecuaci´ on (3.45); y por tanto ci´on (3.49) resulta 0,64 0 (1) 5 −0,48 [ K ] = 3×10 −0,64 0 0,48
cx = 0,8, cy = 0, y cz = −0,6. Ahora, aplicando la Ecua-
Elemento 2.
Elemento 3.
0 −0,48 −0,64 0 0,48 0 0 0 0 0 0 0,36 0,48 0 −0,36 lb/pulg 0 0,48 0,64 0 −0,48 0 0 0 0 0 0 −0,36 −0,48 0 0,36
ˆ (2) = 1 [ (40 − 0)ˆI + (0 − 0)ˆJ + (0 − (−30))K ˆ ] = 0,8ˆI + 0,6K ˆ λ 50 0,64 0 0,48 −0,64 0 −0,48 0 0 0 0 0 0 0,48 0 0,36 −0,48 0 −0,36 (2) 5 lb/pulg [ K ] = 3×10 −0,64 0 −0,48 0,64 0 0,48 0 0 0 0 0 0 −0,48 0 −0,36 0,48 0 0,36 ˆ (3) = 1 [ (40 − 0)ˆI + (0 − (−30))ˆJ + (0 − 0)K ˆ ] = 0,8ˆI + 0,6ˆJ λ 50 0,64 0,48 0 −0,64 −0,48 0 0,48 0,36 0 −0,48 −0,36 0 0 0 0 0 0 0 (3) 5 lb/pulg [ K ] = 3×10 0,48 0 −0,64 −0,48 0 0,64 −0,48 −0,36 0 0,48 0,36 0 0 0 0 0 0 0
Refiri´endonos a las u ´ltimas tres filas de la tabla de correspondencia de desplazamientos, los coeficientes requeridos de la matriz de rigidez global se ensamblan como sigue (1) (2) (3) K10,10 = k44 + k44 + k44 = 3×105 (0,64 + 0,64 + 0,64) = 5,76×105 lb/pulg (1) (2) (3) K10,11 = K11,10 = k45 + k45 + k45 = 3×105 (0 + 0 + 0,48) = 1,44×105 lb/pulg (1) (2) (3) K10,12 = K12,10 = k46 + k46 + k46 = 3×105 (−0,48 + 0,48 + 0) = 0 lb/pulg (1) (2) (3) K11,11 = k55 + k55 + k55 = 3×105 (0 + 0 + 0,36) = 1,08×105 lb/pulg (1) (2) (3) K11,12 = K12,11 = k56 + k56 + k56 = 3×105 (0 + 0 + 0) = 0 lb/pulg (1) (2) (3) K12,12 = k66 + k66 + k66 = 3×105 (0,36 + 0,36 + 0) = 2,16×105 lb/pulg
El sistema de ecuaciones a ser resuelto para los desplazamientos del nodo 4 es entonces 5,76 1,44 0 U10 0 0 U11 = −5000 105 × 1,44 1,08 0 0 2,16 U12 0 F´acilmente se comprueba que la soluci´on viene dada por U10 = 0,01736 pulg
U11 = −0,06944 pulg
U12 = 0 pulg
>
Aunque el an´ alisis completo no fu´e conducido en el contexto de este ejemplo, las fuerzas de reacci´on, las deformaciones, y las tensiones de elemento ser´ıan determinadas por los mismos procedimientos seguidos en Secci´ on 3.7 para el caso de una cercha bi–dimensional. Debe se˜ nalarse que los procedimientos
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
78
requeridos para obtener los resultados de los elementos individuales son prontamente obtenidos por las operaciones matriciales descritas previamente. Una vez que los desplazamientos globales activos han sido calculados, las restantes variables secundarias (as´ı llamadas) como la deformaci´on, la tensi´on interna, y las fuerzas axiales de elemento, se pueden calcular f´acilmente usando las matrices y funciones de interpolaci´ on de desplazamiento desarrolladas en la formulaci´on del problema original.
3.9.
Resumen
Este cap´ıtulo desarrolla el procedimiento completo para realizar un an´alisis de elemento finito de una estructura y lo ilustra mediante varios ejemplos. Aunque s´olo el elemento axial simple se ha usado, el procedimiento descrito es com´ un al m´etodo de elemento finito para todos los tipos de an´alisis y elementos utilizados en ellos, como se pondr´a en claro en los cap´ıtulos subsecuentes. El m´etodo directo de rigidez es de lejos la t´ecnica m´ as expedita para ensamblar las matrices de sistema requeridas para el an´alisis de elemento finito, y los procedimientos de c´alculo secuencial aqu´ı presentados tambi´en son muy adecuados para generar los algoritmos de programaci´on que efect´ uen la valoraci´on autom´atica de variables de inter´es durante la implementaci´on del m´etodo en una computadora digital.
Problemas propuestos 3.1. En la cercha de dos elementos mostrada en la Figura 3.2; considere los valores siguientes de orientaci´ on espacial: θ1 = 45◦ , θ2 = 15◦ , y de solicitaci´on F5 = 5000 lb, F6 = 3000 lb. a. Usando s´ olamente las ecuaciones de equilibrio est´atico de fuerzas, hallar las fuerzas que act´ uan en cada elemento, como tambi´en las fuerzas de reacci´on de apoyo. b. Asumiendo que cada miembro tiene coeficiente de rigidez axial de resorte equivalente igual a ke = 52000 lb/pulg, hallar la deformaci´on axial en cada miembro. c. Utilizando la soluci´ on obtenida en el inciso b, calcular las componentes de desplazamiento del nodo 3. 3.2. Calcular los desplazamientos X e Y del nodo 3 usando procedimientos de elemento finito y los datos proporcionados en el Problema 3.1. Tambi´en calcular la fuerza en cada elemento. Que grado de exactitud se alcanza en la soluci´on de ´este problema comparado con los resultados obtenidos en el Problema 3.1 anterior. 3.3. Verificar la exactitud de la Ecuaci´ on (3.25), efectuando la multiplicaci´on directa de las matrices involucradas en la relaci´ on que define este arreglo matricial. 3.4. Mostrar que la matriz de rigidez transformada hacia el sistema coordenado global del elemento barra t´ıpico perteneciente a una estructura cercha bi–dimensional, dada por la Ecuaci´on (3.25), es una matriz singular. 3.5. Cada uno de los elementos barra mostrados en la Figura P3.5 tiene secci´on transversal circular s´olida de di´ ametro d = 0,5 pulg. El material de composici´on de estos es acero de bajo contenido de carb´ on, con m´ odulo de elasticidad lineal E = 3×107 psi. Las coordenadas nodales indicadas est´ an dadas referidas a un sistema global coordenado X–Y (en pulg). Determinar la matriz de rigidez global de cada uno de estos elementos.
Problemas propuestos
79
(30, 30)
2
(5, 30)
2
2
(30, 15)
Y 1
1
(0, 0)
(20, 10)
X
1
(a)
(0, 0)
(b)
(c)
Figura P3.5 3.6. Repetir el Problema 3.5 para los elementos barra mostrados en la Figura P3.6. Para estos elementos d = 40 mm, E = 69 GPa, y las coordenadas nodales indicadas est´an en metros. (-0.3, 3)
1
(0, 0)
2
2
(0.4, 0.2) 1
(0.1, 0.1) 1 2
(1, 2)
(0.2, -0.2)
(a)
(b)
(c)
Figura P3.6 3.7. Para cada una de las estructuras mostradas en la Figura P3.7, construir una tabla de correspondencia de desplazamientos locales–hacia–globales, como aquella mostrada en la Tabla (3.1). 3
3
2
5
6
7
5
7
10
9
9
14
13
11
11
18
15
17
21
19
1
12 1
4
2
8
4
6
12
8
16
20
10
(a) 7
4
6 10
6 8 4 3
5
5
9
7
3
6
6
8
12
3 2
5
8 4
2
2
11 13
5
1
10
3 2
7
1
1
(b) 3
1
4
(c)
9
7
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
80
6 9
10
5
8 12
6 3
9 5
2
11
7
17 13
3
1
4
2
1
7
8
4
14
15 10
11 16
(d)
Figura P3.7 2
3
2
1
5
6
7
5
3
1 4
4
(e)
Figura P3.7 3.8. Para cada una de las cerchas de la Figura P3.7, expresar los datos de conectividad para cada elemento en la forma de la Ecuaci´ on (3.32) 3.9. Para cada uno de los elementos mostrados en la Figura P3.9, los desplazamientos globales han sido calculados como U1 = 0,05 in, U2 = 0,02 in, U3 = 0,075 in, U4 = 0,09 in. El ´area transversal de todos los elementos es A = 0,75 pulg2 y el m´odulo de elasticidad es E = 107 lb/pulg2 . Usando ecuaciones de elemento finito calcule: a. b. c. d.
El desplazamiento axial en cada nodo ubicado en sus extremos. La deformaci´ on neta producida en cada elemento. La tensi´ on normal axial interna. Las fuerzas axiales nodales actuantes en los extremos.
Los valores de tensi´ on normal interna calculados, coinciden con el valor simple σ (e) = f (e) /A(e) ?. U4 U4
U3 U3
U4 U3
U2
45 °
U1
U2
30 °
U1
(a)
Figura P3.9
110 ° U2 U1
(b)
(c)
Problemas propuestos
81
3.10. La cercha plana mostrada en la Figura P3.10 est´a sujeta a una carga vertical descendente en el nodo 2. Determine mediante el m´etodo dir´ecto de rigidez la deflexi´on del nodo 2 referido al sistema coordenado global especificado, y la tensi´on axial interna en cada uno de los elementos. Considere que para ambos elementos A = 0,5 pulg y E = 3×106 lb/pulg2 .
Y
X
(0, 0)
(40, 0) 3
1
2
(30, -10) 1500 lb
Figura P3.10 3.11. La cercha plana mostrada en la Figura P3.11 est´a compuesta de que tienen secci´on transversal cuadrada de 15 mm × 15 mm, y m´odulo de elasticidad E = 69 GPa. a. Ensamblar la matriz de rigidez global. b. Calcular los desplazamientos nodales en el sistema coordenado global para las cargas aplicadas mostradas. c. Evaluar la tensi´ on axial interna en cada uno de los elementos. 3 kN
3
5 kN
1.5 m
4
2
1 1.5 m
Figura P3.11 3.12. Repetir el Problema 3.11 asumiendo que los elementos 1 y 4 son removidos. En que porcentaje var´ıan las tensiones internas en los elementos que permanecen soportando la carga aplicada ?. 3.13. La cercha en voladizo mostrada en la Figura P3.13 fu´e constru´ıda para soportar un guinche con sistema de cables (no mostrado) para levantar y descargar materiales de construcci´on en un edificio en construcci´ on. Los componentes de esta cercha son listones de madera pino, con dimensiones de secci´on transversal rectangular de 1.75 pulg × 3.5 pulg; y m´odulo de elasticidad E = 2×106 lb/pulg2 . Usando el m´etodo dir´ecto de rigidez, calcular a. Las componentes de desplazamiento global de todos los nodos no–restringidos. b. Las tensiones axiales internas para todos los componentes de la estructura.
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
82
c. Las fuerzas de reacci´ on de apoyo en todos los nodos restringidos. d. Verificar el cumplimiento de las condiciones de equilibrio est´atico para los elementos as´ı como tambi´en para toda la estructura. 4
5
2 3
5000 lb
Nodo
X
1
0
0
45°
2 3
0
96
X
4
Y
1
5
Y
96
96
96 192
151.4 96 (pulg)
Figura P3.13 3.14. La Figura P3.14 muestra una cercha plana de dos– soportada por un resorte lineal el´astico. Los componentes de la cercha son de secci´on transversal circular s´olida teniendo di´ ametro d = 20 mm y m´ odulo de elasticidad E = 80 GPa. El resorte lineal tiene coeficiente de rigidez constante de k = 5 N/mm. a. Ensamblar la matriz de rigidez global y calcular los desplazamientos globales de los nodos no–restringidos. b. Calcular las fuerzas de reacci´ on de apoyo y verificar las condiciones de equilibrio est´atico para la estructura. c. Verificar el balance de energ´ıa del sistema. Est´a la energ´ıa de deformaci´on interna acumulada balanceada con el trabajo mec´ anico de las fuerzas aplicadas ?.
3m 15 kN 50° 4m
k
Figura P3.14 3.15. Repetir el Problema 3.14 si el resorte es removido, y evaluar la m´axima variaci´on porcentual relativa en las tensiones internas de los elementos componentes de la estructura.
Problemas propuestos
83
3.16. Debido a una conexi´ on de apoyo defectuosa, el nodo 1 en el Problema 3.13 se desplaza horizontalmente 0,5 mm a la izquierda cuando la carga es aplicada. Repita los c´alculos efectuados para esta nueva condici´ on. La soluci´on cambia, o no lo hace ?. Por qu´e razones?. 3.17. Dado el siguiente sistema de ecuaciones tricial 10 −10 −10 20 0 −10 0 0
lineales simult´aneas, representado por la ecuaci´ on ma 0 0 x1 F1 −10 0 x F2 2 = 20 −10 x3 F3 −10 10 x4 F4
y las condiciones especificadas x1 = 0
x3 = 1,5
F2 = 20
F4 = 35
calcular x2 y x2 . Efectuar el intercambio de filas y columnas de modo que x1 y x3 correspondan a las primeras dos filas del sistema y usar el procedimiento de particionamiento matricial, como se indica en la Ecuaci´ on (3.37) para obtener la soluci´on requerida. 3.18. Dado el sistema
50 −50 0 0 U1 30 U2 F2 −50 100 −50 0 = 0 40 U3 −50 75 −25 40 0 0 −25 25 U4
y las condici´ on especificada U2 = 0,5; determinar el valor de todas las inc´ognitas sobrantes aplicando el procedimiento sugerido en el problema anterior. 3.19. Para la cercha mostrada en la Figura P3.19, resolver para los desplazamientos globales en el nodo 3 y las tensiones internas en cada elemento. Los componentes de la estructura tienen ´ area de secci´ on transversal A = 1,0 pulg2 y m´odulo de elasticidad E = 1,5×107 lb/pulg2 . 4 2400 lb
72 pulg
60° 3
1
30°
60°
1800 lb
2
Figura P3.19 3.20. Cada elemento barra mostrado en la Figura P3.20 es parte de una cercha tri–dimensional. Las cooordenadas nodales (en pulg) est´an especificadas en un sistema global coordenado X–Y –Z. Considerando un ´ area de secci´on transversal A = 2 pulg2 y m´odulo de elasticidad E = 3×107 2 lb/pulg para los componentes; calcular la matriz de rigidez global de cada uno de los
´ ´ CAP´ITULO 3. EL METODO DIRECTO DE RIGIDEZ
84
elementos. (50, 40, 30)
1
2
(30, 30, -20)
2
(0, 80, 0)
1
(0, 0, 0)
1
(0, 0, 0)
2
(0, -80, 0)
2
(0, 0, 0) 1
(a)
(10, 10, 0)
(b)
(c)
(d)
Figura P3.20 3.21. Verificar la Ecuaci´ on (3.49) mediante c´alculo dir´ecto del producto matricial indicado. 3.22. Mostrar que la tensi´ on axial interna en un elemento barra de una cercha tri–dimensional es dada por i u(e) E h dN2 (x) 1 1 −1 1 [ R(e) ]{U (e) } = σ = E = E dN (e) dx) dx u2 L notar que esta relaci´ on es la misma que para un elemento barra de una cercha bi–dimensional. 3.23. Determinar las tensiones normales axiales y las fuerzas nodales locales para cada elemento mostrado en la Figura P3.20, asumiendo que el nodo 1 est´a fijo y el nodo 2 tiene como desplazamientos globales U4 = U5 = U6 = 0,06 pulg. 3.24. Utilizar las Ecuaciones (3.46) para expresar la energ´ıa de deformaci´on el´astica acumulada en el interior de un elemento barra en t´erminos de los desplazamientos globales. Aplicar el primer teorema de Castigliano y mostrar que la matriz de rigidez global es id´entica a aquella que est´a determinada por la Ecuaci´ on (3.49). 3.25. Repetir el problema anterior usando el principio de energ´ıa potencial m´ınima. 3.26. Ensamblar la matriz de rigidez global de la cercha tri–dimensional mostrada en la Figura P3.26 y evaluar las componentes de desplazamiento en el nodo 4. Tambi´en, calcular la tensi´on axial interna en cada elemento. Tomar como valores num´ericos para el ´area de secci´on transversal A = 1,5 pulg2 y el m´ odulo de elasticidad E = 107 lb/pulg2 , para todos los elementos.
Y 1
3
2
Z
4 FY=-1500 lb
Nodo X
X
Y
Z
1
0
0
0
2 3
0
0
30
40
0
0
4
30
-20
25 (pulg)
Figura P3.26
Capítulo
4
Elementos de f lexi´ on
Un elemento estructural rectil´ıneo esbelto puede ser cargado seg´ un la direcci´on axial propia del mismo; pero tambi´en puede ser cargado transversalmente a ´esta direcci´on. En tal caso decimos que el elemento est´ a sometido a una solicitaci´on de tipo flexionante, cuyo efecto principal es producir una deformaci´ on que lo convierte en un elemento que adquiere cierto monto de curvatura. Este comportamiento es caracter´ıstico de un elemento estructural al que com´ unmente se lo denomina viga. En este Cap´ıtulo, desarrollaremos la formulaci´on mediante el m´etodo de elemento finito de una viga para establecer sus propiedades de rigidez, el tratamiento de la solicitaci´on aplicada para convertir cualquier carga distribu´ıda en un sistema de cargas concentradas nodales, ya que as´ı lo requiere el modelo matem´ atico de an´ alisis. Este procedimiento ser´a efectuado en base a la utilizaci´on del concepto de equivalencia de trabajo mec´ anico. Finalmente generalizaremos los conceptos elaborados para formular ecuaciones que describan el comportamiento mec´anico del elemento rectil´ıneo general (en tres dimensiones) el cual es miembro componente de las denominadas estructuras reticuladas de elementos lineales.
4.1.
Introducci´ on
Los elementos uni–dimensionales, cargados axialmente discutidos en los Cap´ıtulos 2 y 3 son bastante u ´tiles en el an´ alisis de la respuesta presentada por muchas estructuras simples. Sin embargo, la restricci´ on marcada que estos elementos no son capaces de transmitir efectos flexionantes (debido a momentos actuantes) evitan su uso en modelar estructuras que son m´as comunes de encontrarse, las que tienen juntas de uni´ on soldadas o remachadas entre elementos. En este cap´ıtulo, la teor´ıa elemental de la viga es aplicada para desarrollar un elemento flexionante (viga) que sea capaz de exhibir propiamente efectos de flexi´ on transversal o curvatura durante su deformaci´on. El elemento se presenta primero como una l´ınea (elemento uni–dimensional) capaz de flexionarse en un plano espacial. En el contexto de desarrollar las ecuaciones discretizadas para este elemento, presentamos un procedimiento general para determinar las funciones de interpolaci´on usando una forma polin´omica supuesta para la variable de campo. El desarrollo posteriormente se extiende a la flexi´on en dos–planos y los efectos de 85
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
86
carga axial y torsi´ on se agregan finalmente para lograr plantear un elemento rectil´ıneo de comportamiento de respuesta mec´ anica completamente general, con el que se puede modelar cualquier tipo de estructura espacial conformada con elementos de geometr´ıa rectil´ınea.
4.2.
Teor´ıa elemental de vigas
La Figura 4.1(a) muestra una viga simplemente apoyada sujeta a una carga transversal general q(x), distribuida longitudinalmente, que se asume es expresada en t´erminos de fuerza por unidad de longitud. El sistema de coordenadas utilizado es como se muestra, con el eje x que representa la coordenada axial y el eje y la coordenada transversal. Las hip´otesis usuales de la teor´ıa elemental de vigas son aplicables aqu´ı: 1. La viga es cargada transversalmente, seg´ un la direcci´on y perpendicular a su l´ınea axial (llamada tambi´en eje neutro). 2. Las deflexiones producidas en la viga son muy peque˜ nas en comparaci´on con las dimensiones caracter´ısticas propias de longitud y secci´on transversal. 3. El material de la viga es linealmente el´astico, is´otropo, y homog´eneo. 4. La viga es prism´ atica, y la secci´ on transversal tiene un eje de simetr´ıa en el plano de deformaci´on flexionante. o d
y
+M
q = q(x)
+V
+M
y
x
ds dx
(a) Viga simplemente apoyada
(b) Porci´ on de viga deformada
+V (c) Convenci´ on de signos
Figura 4.1: Estructura viga en solicitaci´on flexionante Las ramificaciones de hip´ otesis del punto 4 son ilustradas en la Figura 4.2 que muestra dos secciones transversales que satisfacen la asunci´ on y una secci´on adicional que no lo hace. Las secciones transversales cuadradas y triangulares son sim´etricas sobre el plano x–y, y s´olo se flexionan en ese mismo plano. Por otro lado, la secci´ on de forma en L no posee ninguna simetr´ıa y su curvatura durante la deformaci´on queda fuera del plano x–y, incluso bajo carga aplicada s´olamente en dicho mismo plano. Con respecto a la figura, la hip´ otesis 2 puede cuantificarse aproximadamente para significar que la deflexi´on m´axima de la viga sea mucho menor que la dimensi´on de menor longitud lineal de su secci´on transversal h. Una regla generalmente aplicable es que la deflexi´on m´axima sea menor que 0,1 h. Considerado una longitud diferencial dx de una viga despu´es de flexionarse como en la Figura 4.1(b) la superficie del fondo o inferior ha aumentado en longitud. De aqu´ı, debe necesariamente existir una “capa” que debe permanecer indeformada durante la deflexi´on de la viga. Asumiendo que esta superficie est´a localizada a una distancia ρ desde el centro de curvatura O y escogiendo esta capa (que recordemos, es conocida como la superficie neutra) para corresponderse a la coordenada y = 0, la longitud despu´es de la deformaci´ on flexionante producida en cualquier posici´on y se expresa como ds = (ρ − y)dθ
(4.1)
4.2. TEOR´IA ELEMENTAL DE VIGAS
87
h
(a) Secci´ on cuadrada
(b) Secci´ on triangular
(c) Secci´ on en L
Figura 4.2: Ejemplos de secci´on transversal de viga
y la deformaci´ on unitaria flexionante es entonces x =
ds − dx (ρ − y)dθ − ρdθ y = =− dx ρdθ ρ
(4.2)
Desde los conceptos b´ asicos de c´ alculo diferencial, el radio de curvatura de una linea curva plana est´a dada por 3/2 dυ 1 + ( )2 dx (4.3) ρ= d2 υ dx2 donde υ = υ(x) representa la curva de deflexi´on de la superficie neutra. Siguiendo la teor´ıa de la desviaci´on peque˜ na, las pendientes de las rectas tangentes a la curva de deformaci´ on son tambi´en peque˜ nas, de modo que la Ecuaci´on (4.3) se aproxima por ρ∼ =
1 d2 υ dx2
(4.4)
luego la deformaci´ on normal en la direcci´on del eje longitudinal como resultado de la flexi´on producida en la viga es d2 υ x = −y 2 (4.5) dx y la tensi´ on normal interna correspondiente es por la ley de Hooke σx = E x = − E y
d2 υ dx2
(4.6)
donde E es el m´ odulo de elasticidad del material de la viga. La Ecuaci´on (4.6) muestra que, en una secci´on transversal dada, la tensi´ on normal var´ıa linealmente con la distancia desde la superficie neutra. Como ninguna fuerza axial neta est´a actuando en la secci´on transversal de la viga, la fuerza resultante de la distribuci´ on de tensiones normales dada por la Ecuaci´on (4.6) debe ser cero. Por consiguiente, en cualquier posici´ on axial x a lo largo de la longitud, tendremos Z Z d2 υ Fx = σx dA = − E y 2 dA = 0 (4.7) A A dx Notando que en una secci´ on transversal arbitraria la curvatura es constante, la Ecuaci´on (4.7) implica que necesariamente debe cumplirse Z y dA = 0 (4.8) A
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
88
lo cual se satisface si el plano x–z (y = 0) pasa a trav´es del centroide del ´area plana. As´ı, obtenemos el resultado muy conocido que la superficie neutra es perpendicular al plano de flexi´on y atraviesa el centroide del ´ area de la secci´ on transversal de la viga. Similarmente, el momento interno de flexi´on en una secci´on transversal debe ser equivalente al momento resultante de la distribuci´ on de tensiones normales, entonces Z Z d2 υ y 2 dA (4.9) M (x) = − y σx dA = E 2 dx A A El t´ermino integral en laR Ecuaci´ on (4.9) representa el momento de inercia de la secci´on transversal alrededor del eje z, Iz = A y 2 dA, de modo que la expresi´on del momento flexionante se vuelve M (x) = E Iz
d2 υ dx2
(4.10)
Combinando las Ecuaciones (4.6) y (4.10), obtenemos la ecuaci´on de tensi´on normal interna para el estado de solicitaci´ on flexionante de la viga: σx = −
M (x) y d2 υ = −yE 2 Iz dx
(4.11)
Notemos que el signo negativo en la Ecuaci´on (4.11) asegura que, cuando la viga se sujeta a un momento flexionante positivo por la convenci´on de signos mostrado en la Figura 4.1(c), se obtienen los valores de tensi´ on correctamente; es decir, compresivo (negativo) y traccionante (positivo), dependiendo del signo del valor y de ubicaci´ on donde se calcula la tensi´on normal.
4.3.
El elemento viga
Usando la teor´ıa de la viga elemental, la viga bi–dimensional o elemento de flexi´ on se desarrolla ahora con la ayuda del primer teorema de Castigliano. Las hip´otesis y restricciones que subyacen debajo del desarrollo son iguales que aquellas de la teor´ıa de viga elemental con la adici´on de 1. El elemento es de longitud L y posee dos nodos, uno en cada extremo. 2. El elemento se conecta a los otros circundantes solamente en los nodos. 3. La carga aplicada sobre el elemento ocurre solo en los nodos Recordando que la premisa b´ asica de la formulaci´on de elemento finito es expresar la variaci´on cont´ınua de la variable de campo en t´erminos de un n´ umero finito de valores evaluados en los nodos del elemento, notamos que, para el elemento de flexi´on, el campo variable de inter´es es el desplazamiento transversal υ = υ(x) de la superficie neutra fuera de su posici´on recta indeformada. Como se muestra en la Figura 4.3(a) y 4.3(b), la deflexi´ on transversal de una viga es tal que la variaci´on de desviaci´on respecto a la condici´ on indeformada a lo largo de la longitud no es adecuadamente descrita por el desplazamiento de sus puntos extremos solamente. Las deflexiones de los extremos pueden ser id´enticas, como es ilustrado, mientras que la deformaci´on de los dos casos en puntos intermedios realmente es diferente. Por consiguiente, la formulaci´ on del elemento de flexi´on debe tener en cuenta la pendiente de la deformaci´on (la rotaci´ on) de la viga as´ı como el desplazamiento de los puntos extremos. Adem´as de evitar la potencial ambigedad de desplazamientos, la inclusi´on de las rotaciones nodales del elemento viga aseguran la compatibilidad de rotaciones en las conexiones nodales entre los elementos, evitando la discontinuidad f´ısicamente inaceptable bosquejada en la Figura 4.3(c), en la que dos tramos aleda˜ nos de la viga tienen pendiente de deformaci´ on diferentes en un punto nodal com´ un. A la luz de estas observaciones con respecto a las rotaciones, las variables nodales a ser asociadas con un elemento de flexi´ on son las que se muestran en la Figura 4.4. Los nodos de elemento 1 y 2 est´an
4.3. EL ELEMENTO VIGA
1
89
2
2
1
(a) Deformaci´ on c´ oncava
(b) Deformaci´ on c´ onvexa
(c) Pendiente discont´ınua
Figura 4.3: Ejemplos de deformaci´on de una viga
y 2
1 1 1
2 2
x
L
Figura 4.4: Desplazamientos nodales de elemento viga localizados en los extremos del elemento, y las variables nodales son los desplazamientos transversales υ1 y υ2 en estos nodos, as´ı como tambi´en las pendientes (rotaciones) θ1 y θ2 . Las variables nodales como son mostradas est´ an definidas en la direcci´on positiva de los ejes utilizados como sistema coordenado, y deber´ a ser notado que los ´ angulos de deformaci´on (rotaciones) ser´an especificados en radianes. Por conveniencia, el exponente (e) que indica las propiedades del elemento no se usa por el momento, como debe ser entendido en el contexto que la discusi´on actual se aplica y circunscribe a un solo elemento. Cuando elementos m´ ultiples est´en involucrados en los ejemplos a seguir, la notaci´on del exponente se restaura. La funci´ on de desplazamiento υ(x) va a ser discretizada tal que υ(x) = f (υ1 , υ2 , θ1 , θ2 , x)
(4.12)
sujeta a las condiciones de borde υ(x = x1 ) = υ1 υ(x = x2 ) = υ2 dυ = θ1 dx x=x1 dυ = θ2 dx x=x2
(4.12a)
Antes de proceder, nosotros asumimos que el sistema de coordenadas de elemento (o sistema coordenado local) es escogido tal que x1 = 0 y x2 = L, para simplificar la presentaci´on algebr´aicamente. (Esto no es para nada restrictivo, desde que L = x2 − x1 en cualquier caso). Considerado las cuatro condiciones de borde l´ımite y la naturaleza uni–dimensional del problema por lo que se refiere a la variable independiente, asumimos la funci´on de desplazamiento en la forma υ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
(4.13)
El escoger una funci´ on c´ ubica para describir el campo de desplazamientos internos al elemento no es arbitrario. Aunque los requisitos generales de las funciones de interpolaci´on se discutir´an en el Cap´ıtulo 6, hacemos algunas observaciones pertinentes aqu´ı. Claramente, con la especificaci´on de cuatro condiciones de borde, podemos determinar no m´as de cuatro constantes en la funci´on de desplazamiento
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
90
supuesta. Segundo, en vista de las Ecuaciones (4.10) y (4.13), la segunda derivada de la funci´on de desplazamiento asumida υ(x) es lineal; entonces, el momento flexionante var´ıa linealmente, a lo sumo, a lo largo de la longitud del elemento. Esto est´a de acuerdo con la hip´otesis que las cargas s´olo son aplicadas en los nodos del elemento, como es indicado por el diagrama de momentos flexionantes de un elemento cargado mostrado en la Figura 4.5. Si una carga distribuida se aplicara al elemento en toda su longitud, el momento flexionante variar´ıa por lo menos cuadr´aticamente. MZ
F1L + M2_ M1 F1L _ M1 F2
F1
M2
x 1 _
2
M1
M1
(a) Diagrama de momentos
(b) Cargas positivas
Figura 4.5: El elemento t´ıpico viga cargado La aplicaci´ on de las condiciones de borde especificadas por las Ecuaciones (4.12a) en sucesi´on d´a como resultado el sistema υ(x = 0) = υ1 = a0
(4.14a) 2
3
υ(x = L) = υ2 = a0 + a1 L + a2 L + a3 L dυ = θ1 = a1 dx x=0 dυ = θ2 = a1 + 2a2 L + 3a3 L2 dx
(4.14b) (4.14c) (4.14d)
x=L
Las Ecuaciones (4.14) se resuelven simult´ aneamente para obtener los coeficientes en t´erminos de las variables de desplazamiento nodal como a0 = υ1
(4.15a)
a1 = θ1
(4.15b)
3 (υ2 − υ1 ) − L2 2 a3 = 3 (υ1 − υ2 ) + L a2 =
1 (θ2 − θ1 ) L 1 (θ1 + θ2 ) L2
(4.15c) (4.15d)
Substituyendo las Ecuaciones (4.15) en la Ecuaci´on (4.13) y colectando los coeficientes de las variables nodales mediante procedimiento de factorizaci´on, resulta la siguiente expresi´on que aproxima el campo de desplazamientos (deflexiones verticales) internos en el elemento 3x2 2x3 2x2 x3 υ(x) = 1 − 2 + 3 υ1 + x − + 2 θ1 L L L L (4.16) 2 3x 2x3 x3 x2 + − 3 υ2 + − θ2 L2 L L2 L la cual es de la forma υ(x) = N1 (x)υ1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)υ2 + N4 (x)θ2
(4.17)
4.3. EL ELEMENTO VIGA
91
o, en notaci´ on matricial,
υ(x) = N1
N2
N3
υ1 θ1 N4 = [ N (x) ]{δ}] υ2 θ2
(4.17a)
donde N1 , N2 , N3 , y N4 , son las funciones de interpolaci´on (polinomios de Hermite) que describen la distribuci´ on de desplazamientos en t´erminos de las variables nodales contenidas en el vector de desplazamientos nodales {δ}, el que se describe desde el sistema coordenado local (propio del mismo elemento). Las funciones polin´ omicas obtenidas en este proceso deductivo, denominadas como dijimos polinomios de Hermite, expl´ıcitamente est´ an definidas por las relaciones 2x3 3x2 + 3 2 L L 2x3 3x2 N3 = N3 (x) = 2 − 3 L L
2x2 x3 + 2 L L x3 x2 N4 = N4 (x) = 2 − L L
N2 = N2 (x) = x −
N1 = N1 (x) = 1 −
(4.18)
Para el elemento de flexi´ on (elemento viga), es conveniente introducir una nueva variable definida como la coordenada de posici´ on longitudinal adimensional, mediante ξ=
x L
(4.19)
En funci´ on de esta nueva variable, la Ecuaci´on (4.16) se transforma en υ(x) = (1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 ) υ1 + L(ξ − 2ξ 2 + ξ 3 ) θ1 + (3ξ 2 − 2ξ 3 ) υ2 + Lξ 2 (ξ − 1) θ2
(4.20)
donde 0 ≤ ξ ≤ 1. Esta forma provee caracter´ıstica de facilidad de evaluaci´on de las integraciones requeridas para completar el desarrollo de las ecuaciones de elemento, que ser´an obtenidas en la pr´oxima secci´on. Como fu´e discutido en el Cap´ıtulo 3, los desplazamientos son importantes, pero el ingeniero est´a m´as a menudo interesado en examinar las tensiones asociadas con las condiciones de carga. Usando la Ecuaci´ on (4.11) en conjunci´ on con la Ecuaci´on (4.17a), nos permite obtener la distribuci´on de tensiones normales internas para una secci´ on transversal localizada en una posici´on axial gen´erica x, la cual se presenta como d2 [N ] σx (x, y) = − y E {δ} (4.21) dx2 Puesto que la tensi´ on normal interna var´ıa linealmente en una secci´on transversal (secci´on de corte), los valores m´ aximo y m´ınimo en cualquier posici´on axial ocurren sobre las superficies exteriores del elemento, donde la distancia y medida desde la superficie neutra es de mayor magnitud, o la m´as grande. Como es de costumbre, nosotros tomamos la tensi´on m´axima como el valor m´as grande de tensi´on de tracci´on (positiva) y el valor m´ınimo como el valor m´as grande (negativo) de tensi´on compresiva. De aqu´ı, volvemos a escribir la Ecuaci´ on (4.21) como σx = ym´ax E
d2 [N ] {δ} dx2
(4.22)
y ser´a entendido que la Ecuaci´ on (4.22) representa los valores m´aximo y m´ınimo de tensi´on normal en cualquier secci´ on transversal definida por la coordenada axial x. Tambi´en ymax representa a las distancias m´ as grandes (una positiva, otra negativa) medidas desde la superficie neutra hasta las
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
92
superficies externas (superior e inferior) del elemento. Sustituyendo las funciones de interpolaci´on y llevando a cabo las diferenciaciones indicadas, obtenemos 12x 6 6x 4 6 12x σ(x) = ym´ax E − 2 υ1 + − θ1 + − 3 υ2 L3 L L2 L l2 L (4.23) 6x 2 + − θ2 L2 L Observando que la Ecuaci´ on (4.23) indica una variaci´on lineal de la tensi´on normal a lo largo de la longitud del elemento y subsecuentemente, una vez que la soluci´on de los desplazamientos se obtiene, los valores nodales son constantes conocidas; as´ı necesitamos calcular s´olamente los valores de tensi´on en las secciones transversales correspondientes a los nodos; es decir, en x = 0 y x = L correspondientes a los extremos del elemento. Los valores de tensi´on en las secciones nodales est´an dadas por 2 6 (υ − υ ) − (2θ + θ ) (4.24a) σx (x = 0) = ym´ax E 2 1 1 2 L2 L 6 2 σx (x = L) = ym´ax E (4.24b) (υ1 − υ2 ) + (2θ2 + θ1 ) L2 L Los c´alculos de tensi´ on normal interna se ilustran en los ejemplos desarrollados en p´aginas siguientes.
4.4.
Matriz de rigidez de elemento viga
Podemos ahora utilizar la aproximaci´ on discretizada del desplazamiento del elemento de flexi´on para la deformaci´ on, la tensi´ on, y la energ´ıa de deformaci´on exhibidas por el elemento bajo la carga aplicada. La energ´ıa de deformaci´ on total se expresa como Z 1 σx x dV (4.25) Ue = 2 V donde V es volumen total del elemento. Substituyendo las Ecuaciones (4.5) y (4.6) para la tensi´on y la deformaci´on unitaria 2 2 Z E d υ Ue = y2 dV (4.26) 2 V dx2 la cual puede ser escrita como E Ue = 2
Z 0
L
d2 υ dx2
2 Z
2
y dA dx
(4.27)
A
Nuevamente reconocemos la integral de ´ area como el momento de inercia Iz alrededor del eje centroidal perpendicular al plano de flexi´ on, y por ello tendremos 2 Z E Iz L d 2 υ Ue = dx (4.28) 2 dx2 0 La Ecuaci´ on (4.28) representa la energ´ıa de deformaci´on flexionante para cualquier secci´on transversal constante de la viga que obedece las hip´otesis de la teor´ıa elemental de vigas rectas. Para la energ´ıa de deformaci´ on del elemento finito que est´a desarroll´andose, sustituimos la relaci´on discretizada de desplazamiento de la Ecuaci´ on (4.17) para obtener E Iz Ue = 2
Z 0
L
d2 N1 d2 N2 d2 N3 d2 N4 υ + θ + υ + θ2 1 1 2 dx2 dx2 dx2 dx2
2 dx
(4.29)
4.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA
93
como aproximaci´ on para la energ´ıa de deformaci´on el´astica. Enfatizamos que la Ecuaci´on (4.29) es una aproximaci´ on porque la funci´ on de desplazamiento discretizada no es en general una soluci´on exacta para el problema de flexi´ on de una viga. Aplicando el teorema de Castigliano a la funci´on de energ´ıa de deformaci´on con respecto al desplazamiento nodal υ1 , se obtiene la fuerza transversal en el nodo 1 como L
Z
∂Ue = F1 = E Iz ∂υ1
0
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ1 + θ1 + υ2 + θ2 2 2 2 dx dx dx dx2
d2 N1 dx dx2
(4.30)
mientras que la aplicaci´ on del teorema con respecto al desplazamiento rotacional en el mismo nodo proporciona el momento flexionante como ∂Ue = M1 = E Iz ∂θ1
L
Z
0
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ1 + θ1 + υ2 + θ2 2 2 2 dx dx dx dx2
d2 N2 dx dx2
(4.31)
d2 N3 dx dx2
(4.32)
d2 N4 dx dx2
(4.33)
Para el nodo 2, los resultados son L
∂Ue = F2 = E Iz ∂υ2
Z
∂Ue = M2 = E Iz ∂θ2
Z
0 L
0
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ + θ + υ + θ2 1 1 2 dx2 dx2 dx2 dx2
d2 N2 d2 N3 d2 N4 d2 N1 υ1 + θ1 + υ2 + θ2 2 2 2 dx dx dx dx2
Las Ecuaciones (4.30) a (4.33) algebr´ aicamente relacionan los cuatro valores de desplazamientos nodales a las cuatro fuerzas nodales aplicadas (aqu´ı usamos el vocablo fuerza en un sentido general, el cual tambi´en incluye a los momentos aplicados), y son de la forma k11 k21 k31 k41
k12 k22 k32 k42
k13 k23 k33 k43
F1 k14 υ1 M k24 θ 1 1 = k34 F2 υ2 M2 k44 θ2
(4.34)
donde kmn (m, n = 1; 4) son los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento. Por comparaci´on de las Ecuaciones (4.30) a (4.33) con las ecuaciones algebr´aicas representadas matricialmente por la Ecuaci´ on (4.34), podemos apreciar que se cumple la ecuaci´on recursiva Z kmn = knm = E Iz 0
L
d 2 Nm d2 Nn dx dx2 dx2
m, n = 1; 4
(4.35)
y la matriz de rigidez de elemento es matriz sim´etrica, como deber´ıa esperarse por el comportamiento mec´anico lineal el´ astico del elemento. Antes de calcular los coeficientes de la matriz de rigidez, es conveniente convertir la integraci´on hacia la variable de longitud adimensional ξ = x/L, notando que L
Z
Z f (x) dx =
0
1
f (ξ) dξ
y
0
d 1 d = dx L dξ
de modo que las integrales de la Ecuaci´on (4.35) se convierten a Z kmn = knm = E Iz 0
L
E Iz d 2 Nm d2 Nn dx = 3 2 2 dx dx L
Z 0
1
d2 Nm d2 Nn dξ dξ 2 dξ 2
m, n = 1; 4
(4.36)
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
94
Los coeficientes de la matriz de rigidez son luego evaluados como k11
k12 k13 k14
Z Z 36 E Iz L 2 E Iz L 2 (12ξ − 6) dξ = (4ξ − 4ξ + 1)dξ = 3 L L3 0 0 36 E Iz 4 12 E Iz = −2+1 = L3 3 L3 Z L E Iz 6 E Iz = k21 = 3 (12ξ − 6)(6ξ − 4)Ldξ = L L2 0 Z L E Iz 12 E Iz = k31 = 3 (12ξ − 6)(6 − 12ξ)dξ = − L L3 0 Z L 6 E Iz E Iz (12ξ − 6)(6ξ − 2)Ldξ = = k41 = 3 L L2 0
Continuando con las integraciones, se demuestra que los coeficientes de rigidez faltantes son 4 E Iz L 12 E Iz = L3
6 E Iz L2 6 E Iz =− L3
k22 =
k23 = k32 = −
k24 = k42 =
k33
k34 = k43
k44 =
2 E Iz L
4 E Iz L
La matriz de rigidez completa para el elemento viga sometido a flexi´on es luego escrita como 12 6L −12 6L E Iz 6L 4L2 −6L 2L2 (4.37) [ ke ] = 3 L −12 −6L 12 −6L 2 2 6L 2L −6L 4L La simetr´ıa de la matriz de rigidez de elemento est´a clara, como previamente fu´e observado. De nuevo, la matriz de rigidez de elemento se muestra que es singular desde que es posible el movimiento de cuerpo r´ıgido, a menos que el elemento est´e restringido de alguna manera a poder desplazarse. La matriz de rigidez como es dada por la Ecuaci´on (4.37) es v´alida en cualquier sistema consistente de unidades de medida, a condici´ on que los grados de libertad rotacionales (pendientes de la deformaci´on) se expresen en radianes.
4.5.
Vector de carga de elemento
En las Ecuaciones (4.30) a (4.33), las fuerzas y momentos de elemento se trataron como es requerido por el primer teorema de Castigliano, es decir actuantes seg´ un la direcci´on de los desplazamientos asociados. Estas direcciones son tomadas seg´ un las direcciones positivas supuestas de los desplazamientos nodales. Sin embargo, como mostramos en las Figuras 4.6(a) y 4.6(b), la convenci´on usual para la fuerza cortante y el momento flexionante en una viga son tales que F1 −V1 M1 −M1 ⇒ (4.38) F2 V2 M2 M2 En la Ecuaci´ on (4.38), la matriz columna (vector) en la izquierda representa fuerzas y momentos nodales positivos seg´ un la convenci´ on de la formulaci´on de elemento finito. En cambio, el lado derecho
4.5. VECTOR DE CARGA DE ELEMENTO
F1
P0
F2
1
95
M0
M2
x
2
M1
(a) Convenci´ on de cargas positivas m´ etodo de elemento finito V2
M1 1
V
}
_
+ P0
x
M2 2
V1
M M0 } +
(b) Convenci´ on de cargas positivas mec´ anica de s´ olidos
x (c) Diagramas de esfuerzos internos
Figura 4.6: El elemento t´ıpico viga sometido a cargas
contiene los correspondientes esfuerzos cortantes y momentos flexionantes internos de acuerdo a la convenci´ on usual de signos adoptado en la mec´anica de s´olidos o resistencia de materiales. Si se unen dos elementos de flexi´on a un nodo com´ un, los esfuerzos cortantes internos son iguales y opuestos en sentido a menos que una fuerza externa est´e aplicada en ese nodo, en cuyo caso la suma de las fuerzas cortantes interiores debe igualar a la carga externa aplicada. Por consiguiente, cuando nosotros ensamblamos el modelo de elemento finito usando elementos de flexi´on, la fuerza en un nodo es simplemente igual a cualquier fuerza externa actuante en ese nodo. Un similar argumento sostiene el an´alisis para los momentos flexionantes. En el punto de conexi´on entre dos elementos (i.e., un nodo), los momentos de flexi´ on internos son iguales y opuestos en sentido, as´ı se auto–equilibran, a menos que un momento flexionante concentrado est´e aplicado en ese nodo. En este evento, los momentos interiores se suman al momento externo aplicado. Estas observaciones se ilustran en la Figura 4.6(c), que muestra una viga simplemente apoyada sujeta a una fuerza y a un momento concentrados que act´ uan en el punto medio de la longitud de la viga. Como es mostrado por el diagrama de esfuerzos cortantes, un salto de discontinuidad ocurre en el punto de aplicaci´on de la fuerza concentrada, y la magnitud de la discontinuidad es id´entica a la magnitud de la fuerza externa aplicada. Similarmente, el diagrama de momentos flectores muestra un salto de discontinuidad en el momento flector que es igual a la magnitud del momento flexionante externo aplicado en ese punto. Por consiguiente, si la viga fuese dividida en dos elementos finitos con un nodo de interconexi´on ubicado a la mitad de la longitud de la viga, la fuerza neta actuante en el nodo ser´ıa la fuerza externa aplicada y el momento neto en el mismo nodo ser´ıa el momento externo aplicado.
Ejemplo 4.1. La Figura 4.7(a) muestra una viga est´aticamentye indeterminada sujeta a una carga transversal aplicada en la mitad de su longitud. Usando dos elementos finitos de flexi´on, obtener una soluci´on para la deflexi´on vertical de la secci´ on media longitudinal de la viga (donde la carga se aplica). > Soluci´ on Puesto que los elementos finitos de flexi´on requieren que las cargas aplicadas act´ uen exclusivamente en sus puntos nodales (es decir, en sus extremos), los elementos a definirse necesariamente deber´an ser de longitud L/2 como se muestra en la Figura 4.7(b), para que la carga concentrada externa aplicada
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
96 y
P x L 2
L 2
1
(a) Esquema de solicitaci´ on y apoyos
1 1 0
2
1
2
1
1
2
2
3
(b) Codificaci´ on estructural adoptada y
3 0
2
3 3
2
P
3PL/16 1
3
3
2
L/2 11P/16
(c) Bosquejo de la deformaci´ on
x
L/2 5P/16
(d) Solicitaci´ on externa completa
Figura 4.7: Viga simplemente apoyada cargada a la mitad de su longitud sea una carga nodal. Las matrices de rigidez de los elementos individuales son entonces 12 6L/2 −12 6L/2 2 2 E Iz 6L/2 4L /4 −6L/2 2L /4 [ k (1) ] = [ k (2) ] = 3 −12 −6L/2 12 −6L/2 (L/2) 6L/2 2L2 /4 −6L/2 4L2 /4 12 3L −12 3L 8 E Iz L2 −3L L2 /2 3L = 12 −3L L3 −12 −3L 3L L2 /2 −3L L2 Notemos que particularmente la longitud de cada elemento es L/2, y dicha longitud fu´e usada en la valoraci´on de las matrices de rigidez locales de ambos elementos. Las condiciones de borde apropiadas en este caso, con referencia a la Figura 4.7(b) donde se definen los grados de libertad globales, son: υ1 = θ1 = υ3 = 0; mientras que la correspondencia de desplazamientos locales–hacia–globales se muestra en la Tabla 4.1. Tabla 4.1: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 0 0
0 0 1 2 3 4
Ensamblando la matriz de rigidez global, apelando a la Tabla 4.1 de correspondencia de desplazamientos, obtenemos en orden los siguientes coeficientes de este arreglo matricial (usando tambi´en la propiedad de simetr´ıa). 96 E Iz L3 24 E Iz = L2
4 E Iz L
(1) K11 = k11 =
(1) K24 = k24 =
(1) K12 = k12
K25 = K26 = 0
16 E Iz L −24 E Iz = L2
(1) (2) K44 = k44 + k22 =
(2) K45 = k23
4.5. VECTOR DE CARGA DE ELEMENTO −96 E Iz L3 24 E Iz = L2 8 E Iz = L −24 E Iz = L2
97 192 E Iz L3
(1) K13 = k13 =
(1) (2) K33 = k33 + k11 =
(1) K14 = k14
(1) (2) K34 = k34 + k12 =0
(1) K22 = k22
(1) K23 = k23
(2) K55 = k33
−96 E Iz L3 24 E Iz = L2
(2) K35 = k13 =
(2) K56 = k34
(2) K36 = k14
(2) K66 = k44
Usando la forma general [ K ]{U } = {F } para de ecuaciones como 96 24L −96 24L 8L2 −24L E Iz 192 −96 −24L 2 0 L3 24L 4L 0 0 −96 0 0 24L
4 E Iz L 96 E Iz = L3 −24 E Iz = L2 8 E Iz = L
(2) K46 = k24 =
el modelo matem´atico de an´alisis, obtenemos el sistema 24L 0 0 υ1 F1 θ1 4L2 0 0 M1 0 −96 24L υ2 F2 = 16L2 −24L 4L2 θ2 M2 −24L 96 24L υ F3 3 4L2 24L 8L2 θ3 M3
Invocando las condiciones de borde l´ımite previamente especificadas υ1 = θ1 = υ3 = 0, y eliminando filas y columnas asociadas con estas variables nulas, obtenemos el sistema reducido de ecuaciones como 192 0 24L υ2 −P E Iz 0 0 16L2 4L2 θ2 = L3 0 24L 4L2 8L2 θ3 N´otese que aqu´ı hemos incorporado la fuerza vertical externa aplicada en el nodo 2, la cual act´ ua con sentido opuesto al desplazamiento vertical asociado en dicho nodo estructural (que establece la direcci´on positiva en dicho punto); por ello el signo negativo para esta acci´on actuante sobre la estructura en nuestro modelo (F2 = −P ). La soluci´on simult´anea del sistema previamente planteado, como se puede comprobar, d´ a como resultado υ2 =
−7 P L3 768 E Iz
θ2 =
−P L2 128 E Iz
θ3 =
P L2 32 E Iz
Un bosquejo de la deformaci´ on de la viga se muestra en la Figura 4.7(c), donde la l´ınea horizontal segmentada representa a la estructura indeformada, el que se obtiene considerando los valores de soluci´on para los desplazamientos nodales previamente encontrados. Ahora, la substituci´ on de los valores de los desplazamientos nodales hallados como soluci´on previa en las ecuaciones de restricci´ on (aquellas ecuaciones que fueron eliminadas en el proceso de reducci´on del modelo), permite evaluar las fuerzas de reacci´on de apoyo seg´ un el siguiente procedimiento E Iz 11P (−96υ2 + 24Lθ2 ) = L3 16 E Iz 5P F3 = 3 (−96υ2 − 24Lθ2 − 24Lθ3 ) = L 16 E Iz 3P L M1 = 3 (−24Lυ2 + 4L2 θ2 ) = L 16 F1 =
Estos valores obtenidos nos permiten efectuar una verificaci´on del cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio est´ atico global de toda la estructura considerada como sistema. Con referencia a la Figura 4.7(d), tenemos sumando algebr´aicamente las fuerzas P
Fy =
11P 5P −P + =0 16 16
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
98
y sumando los momentos con relaci´ on a un eje perpendicular a la Figura que pase por el nodo 1, P
Mz =
L 5P 3P L −P + L=0 16 2 16
Luego, la soluci´ on de elemento finito satisface ex´actamente las ecuaciones de equilibrio para la estructura analizada, lo cual es indicativo que no se cometieron errores en el procedimiento de aplicaci´on del m´etodo; y tambi´en permite aceptar la soluci´on obtenida como satisfactoria. > El lector astuto puede desear comparar los resultados del Ejemplo 4.1 con aquellos obtenidos de alguna tabla de deflexiones estandar de vigas en diferentes disposiciones de apoyo y solicitaci´on; en cuyo caso se encontrar´ a que los resultados est´an en exacto acuerdo con la teor´ıa elemental de vigas rectas. En general, el m´etodo de elemento finito es un m´etodo aproximado; pero en el caso de flexi´on simple, los resultados son exactos en ciertos casos. En este ejemplo, la ecuaci´on de la deflexi´on de la superficie neutra es una ecuaci´ on c´ ubica y, puesto que las funciones de interpolaci´on utilizadas son c´ ubicas tambi´en, los resultados son exactos. Cuando existen cargas distribu´ıdas, sin embargo, los resultados no son necesariamente exactos, como se mostrar´a y discutir´a luego.
4.6.
Cargas nodales equivalentes
La restricci´ on que las cargas s´ olo se apliquen en los nodos del elemento t´ıpico viga (elemento de flexi´on) debe revisarse en cuanto a este requerimiento si por ejemplo una carga distribuida est´a presente actuando al interior del elemento. El procedimiento usual es reemplazar la carga distribuida con fuerzas y momentos nodales de modo que el trabajo mec´anico realizado por el sistema de cargas nodales sea equivalente a aquel que es efectuado por la carga distribuida original. Las cargas concentradas as´ı halladas adem´ as deben ser consistentes con el campo de desplazamientos internos especificado para el elemento que se est´ a analizando. q
qL
qL
2
2
1 1
2
L
x
2 2
(a) Solicitaci´ on original actuante
2
qL
qL
12
12
(b) Cargas nodales equivalentes
Figura 4.8: Carga linealmente distribuida uniforme aplicada a un elemento Refiri´endonos a la Figura 4.8, el trabajo mec´anico realizado por la carga distribuida original puede expresarse como Z L W = q(x)υ(x)dx (4.39) 0
donde q(x) es la funci´ on de carga linealmente distribu´ıda actuante al interior del elemento. Esta funci´on es una relaci´on que describe de forma general la carga aplicada al interior del elemento. (Es posible escribir esta funci´ on con la metodolog´ıa de uso de funciones singulares, que permite incorporar fuerzas y momentos flectores puntuales que act´ uen a interior del elemento). El objetivo aqu´ı es determinar las cargas nodales equivalentes (cargas concentradas actuando en los extremos del elemento), de modo que el trabajo mec´anico efectuado por estas acciones sea el mismo que el trabajo en el sistema original. El trabajo mec´anico de las cargas equivalentes es Weq = F1eq υ1 + M1eq θ1 + F2eq υ2 + M2eq θ2
(4.40)
donde F1eq , F2eq son las fuerzas nodales equivalentes en los nodos 1 y 2, respectivamente; y M1eq , M2eq son los momentos nodales equivalentes. Substituyendo la funci´on de desplazamiento discretizada dada
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
99
por la Ecuaci´ on (4.17), la integral de trabajo mec´anico original resulta Z
L
q(x)[N1 (x)υ1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)υ2 + N4 (x)θ2 ]dx
W = 0
o, desarrollando t´erminos Z
!
L
Z
!
L
q(x)N2 (x)dx θ1
q(x)N1 (x)dx υ1 +
W =
0
0
Z
!
L
Z
q(x)N3 (x)dx υ2 +
+
!
L
(4.41)
q(x)N4 (x)dx θ2
0
0
La comparaci´ on de las Ecuaciones (4.40) y (4.41), por la hip´otesis planteada W = Weq , nos muestra que se deber´ an cumplir las relaciones siguientes Z
L
F1eq =
q(x)N1 (x)dx
(4.42a)
q(x)N2 (x)dx
(4.42b)
q(x)N3 (x)dx
(4.42c)
q(x)N4 (x)dx
(4.42d)
0
Z
L
M1eq = 0
Z
L
F2eq = 0
Z M2eq =
L
0
De aqu´ı, el vector de fuerza nodal que representa una carga distribu´ıda arbitraria en base a la equivalencia de trabajo mec´ anico est´a dado por las Ecuaciones (4.42). Por ejemplo, para una carga uniforme aplicada al elemento q(x) = q constante, incorporando las funciones de interpolaci´on indicadas por las Ecuaciones (4.18); y efectuando las integraciones como se indican en las ecuaciones precedentes d´a como resultado qL 2 F1eq 2 qL M1eq 12 (4.43) = F2eq qL 2 M2eq −qL2 12
La equivalencia basada en la equiparaci´on de trabajo mec´anico de una carga uniformemente distribuida a las correspondientes cargas nodales en un elemento viga t´ıpico, se muestra en la Figura 4.8. Ejemplo 4.2. La viga simplemente apoyada mostrada en la Figura 4.9(a) est´a solicitada por una fuerza transversal linealmente distribuida uniforme. Usando dos elementos de igual longitud y las cargas nodales equivalentes de trabajo mec´ anico, obtenga una soluci´on de elemento finito para la deflexi´on a la mitad de la longitud de la viga y comparar la soluci´on obtenida con aquella que proporciona la teor´ıa elemental de vigas rectas. > Soluci´ on Primero numeramos los nodos y elementos como es mostrado por la Figura 4.9(b), y tambi´en notamos que las condiciones de borde l´ımite son en este caso: υ1 = υ3 = 0. Tambi´en podr´ıamos notar la condici´ on de simetr´ıa de deformaci´ on que impone θ2 = 0. Sin embargo, en este caso, permitimos que
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
100 y
x L
1
2
3
(b) Codificaci´ on estructural adoptada 2
qL
2
qL
q
2
qL
48
48
3
2
2
1
3 L 2
L 2
2
2
48
1
3 3
2
1
1
(a) Esquema de solicitaci´ on y apoyos
q
2
1
q
qL
qL
qL
4
4
4
(c) Solicitaci´ on en los elementos
(d) Cargas nodales equivalentes
Figura 4.9: Viga simplemente apoyada cargada con fuerza distribuida uniforme
ese hecho ocurra como resultado del proceso de soluci´on. Las matrices de rigidez de ambos elementos son id´enticas, dadas por
12 6L/2 −12 6L/2 2 2 E Iz 6L/2 4L /4 −6L/2 2L /4 [ k (1) ] = [ k (2) ] = 3 −12 −6L/2 12 −6L/2 (L/2) 2 6L/2 2L /4 −6L/2 4L2 /4 12 3L −12 3L 8 E Iz L2 −3L L2 /2 3L = 12 −3L L3 −12 −3L 3L L2 /2 −3L L2 (nuevamente notamos que hemos usado una longitud igual a L/2 para evaluar los t´erminos de la matriz de rigidez de ambos elementos). La correspondencia de desplazamientos de elemento y desplazamientos globales asignados a la estructura, es mostrada en la Tabla 4.2 que describe las relaciones de conectividad. Tabla 4.2: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 0 0
0 0 1 2 3 4
Ahora, usando como referencia la Tabla 4.2, podemos proceder a efectuar el proceso de ensamblaje de coeficientes de la matriz de rigidez global de la estructura. Se demuestra que la aplicaci´on del procedimiento mencionado, produce la matriz de rigidez global de la viga que f´acilmente usted comprueba
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
101
que es
12 3L −12 3L 0 0 3L L2 −3L L2 /2 0 0 8 E Iz −12 −3L 24 0 −12 3L [K ] = 2 2 2 3L L /2 0 2L −3L L /2 L3 0 0 −12 −3L 12 3L 0 0 3L L2 /2 3L L2
(♠)
Las cargas de trabajo – equivalente para cada elemento se calculan en base al esquema presentado en la Figura 4.9(c), y las cargas nodales equivalentes resultantes se muestran en la Figura 4.9(d). Estas cargas se calcularon adaptando la Ecuaci´on (4.43) tomando q(x) = −q (ya que la carga act´ ua en direcci´on y negativa), y longitud igual a L/2. Observando que existen reacciones de apoyo en los nodos 1 y 3, en adici´ on a las cargas nodales equivalentes calculadas como solicitaci´on externa proveniente de la carga distribuida aplicada, las ecuaciones globales de equilibrio llegan a ser −qL + F1 4 υ1 −qL2 48 θ 1 −qL υ2 2 = [K ] θ2 0 υ −qL 3 + F 3 4 θ3 qL2 48
donde la matriz de rigidez del sistema est´a definida en la Ecuaci´on (♠). Ahora, si aplicamos las condiciones de restricci´on de desplazamientos que se presentan en los apoyos; es decir υ1 = υ3 = 0, podemos obtener un sistema reducido eliminando la primera y quinta filas y columnas asociadas con estos desplazamientos. Aplicando este procedimiento resulta como ecuaci´on gobernante de los desplazamientos activos 2 −qL2 2 48 L −3L L /2 0 −qL θ1 8 E Iz −3L 24 0 3L υ2 2 = 0 2L2 L2 /2 L3 L2 /2 0 θ2 θ3 0 3L L2 /2 L2 qL2 48
la cual, en soluci´ on simult´ anea de inc´ognitas (por ejemplo aplicando la t´ecnica de inversi´on matricial ayudado mediante un paquete de evaluaci´on matricial como MathCad, que tiene capacidad de operar algebr´aicamente arreglos matriciales), d´a como resultado θ1 = −
qL3 24EIz
θ2 = 0
υ2 = −
5qL4 384EIz
θ3 =
qL3 24EIz
Como es esperado, la pendiente de deformaci´on de la viga a la mitad de su longitud es cero, y puesto que la carga y las condiciones de apoyo son sim´etricas, la soluci´on de la deformaci´on tambi´en es sim´etrica, como se aprecia por los valores de magnitud de las rotaciones en los extremos de la viga. El desplazamiento nodal planteado como inc´ognita primaria del problema, obtenido como soluci´on mediante aplicaci´ on del an´ alisis de elemento finito en este ejemplo, es exactamente el mismo resultado que se obtiene por la teor´ıa b´ asica de la mec´anica de s´olidos deformables. Esto es debido a la aplicaci´on de las cargas nodales equivalentes obtenidas por el principio de equivalencia de trabajo mec´anico. Sin embargo, la forma de deflexi´ on general como es dada por la soluci´on de elemento finito no es la misma que el resultado que proporciona la mec´anica de s´olidos deformables. La ecuaci´on que describe la desviaci´ on de la superficie neutra es una funci´on cuadr´atica de la posici´on x y, puesto que las funciones de interpolaci´ on usadas en el modelo de elemento finito son c´ ubicas, la curva de deflexi´on var´ıa en algo > con respecto a la soluci´ on que podemos considerar exacta.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
102
Ejemplo 4.3. En la Figura 4.10(a), la viga OC es soportada por una conexi´on articulada lisa en O y tambi´en en B por una varilla el´ astica BD, que a su vez se inmoviliza en el punto D a trav´es de conexiones articuladas. Una carga concentrada F = 10 kN es aplicada en C. Determine la deflexi´on del punto C y la tensi´on axial en el miembro BD. El m´ odulo de elasticidad de la viga es 207 GPa (acero) y la dimensi´on de la arista de su secci´ on transversal cuadrada es de 40 mm. Para la varilla el´astica BD, el m´odulo de elasticidad es 69 GPa (aluminio) y el ´ area de su secci´on transversal es de 78,54 mm2 .
D
U7
Y 10 kN
200 mm
U1 O
U5
U3
C
B 300 mm
3
U2
300 mm
(a) Esquema de solicitaci´ on y apoyos
1
2
U4
U6
X
(b) Sistema coordenado global y codificaci´ on estructural
u2(3) 2(3)
(1)
1
(1)
1
2(1)
u1(3)
(1)
2
1(3)
1(2)
2(2)
(2)
2
(2)
1
(c) Desplazamientos individuales de elemento
Figura 4.10: Sistema de viga cargada conectada a varilla vertical fija > Soluci´ on Este es el primer ejemplo en el que nosotros usamos tipos m´ ultiples de elementos, cuando la viga es modelada con elementos de flexi´ on y la varilla el´astica como un elemento barra. Claramente, el miembro horizontal est´ a sujeto a cargas transversales flexionantes, de modo que las asunciones de elemento barra no se aplican a este miembro. Por otro lado, el miembro de apoyo vertical est´a sujeto s´olo a carga axial, puesto que las conexiones articuladas no pueden transmitir momentos. Por consiguiente, usamos dos tipos de elementos diferentes para simplificar el modelado y la soluci´on. El sistema coordenado global y las variables globales se muestran en la Figura 4.10(b), donde el sistema es dividido en dos elementos flexionantes (1 y 2) y un elemento barra (3). Para los prop´ositos de etiquetado num´erico en la matriz de rigidez global, se usa el esquema de desplazamientos detallado en la Tabla 4.3. Aunque la notaci´ on mostrada en la Figura 4.10(b) puede parecer ser incoherente con la notaci´on previa, es m´as simple en t´erminos de numerar sucesivamente los desplazamientos en las ecuaciones globales. Por la asignaci´ on apropiada de desplazamientos de elemento con los desplazamientos globales (relaciones de conectividad), la distinci´ on entre los desplazamientos lineales y rotatorios est´a clara. Los desplazamientos de elemento individual se muestran en la Figura 4.10(c), donde claramente indicamos al elemento barra en su configuraci´ on general bi–dimensional; aunque, en este caso, nosotros sabemos que υ1(3) = υ2(3) = 0 y esos desplazamientos se ignoran en el proceso de b´ usqueda de la soluci´on. La correspondencia de desplazamientos de elemento se muestra en la Tabla 4.4. Para los elementos
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
103
Tabla 4.3: Notaci´on de desplazamientos nodales globales y locales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Figura 4.10(b)
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
Desplazamientos Elemento 3
1 2 3 4 5 6 7
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7
υ1(1) θ1(1) υ2(1) θ2(1) 0 0 0
0 0
0 0 u(3) 1 0 0 0 u(3) 2
υ1(2) θ1(2) υ2(2) θ2(2) 0
Tabla 4.4: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
Desplazamientos Elemento 3
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 0 0 0
0 0 1 2 3 4 0
0 0 1 0 0 0 3
viga, el momento de inercia alrededor del eje de z es calculado en base a la f´ormula general conocida para el momento de inercia centroidal de un rect´angulo Iz =
bh3 a4 404 = = = 213333 mm4 12 12 12
Para los elementos 1 y 2, k1 = k2 =
EIz (207×103 )213333 = = 1635,6 N/mm L3 3003
de modo que las matrices de rigidez locales de elemento son [por la Ecuaci´on (4.37)] 12 1800 −12 1800 1800 360000 −1800 180000 [ k (1) ] = [ k (2) ] = 1635,6 −12 −1800 12 −1800 1800 180000 −1800 360000 mientras que para el elemento 3 k3 =
EA (69×103 )78,54 = = 27096 N/mm L 200
de modo que la matriz de rigidez local para este elemento es 1 −1 (3) [ k ] = 27096 −1 1
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
104
Ensamblando la matriz de rigidez global utilizando la Tabla 4.4 de correspondencia de desplazamientos (notando que usamos un “atajo” para el elemento 3, puesto que la rigidez del elemento en la direcci´on X global, se asume despreciable), obtenemos los resultados mostrados en la Ecuaci´on (f). 1
[K ] =
2
3 6
4
5
6
7
−19627,2
2,944×10
6
0
0
0
19627,2
2,944×10
2,944×106
5,888×108
−2,944×106
2,944×108
0
0
0
−19627,2
−2,944×106
66350,4
0
−19627,2
2,944×106
−27096
2,944×106
2,944×108
0
11,78×108
−2,944×106
2,944×108
0
0
0
−19627,2
−2,944×106
19627,2
−2,944×106
0
0
0
2,944×106
2,944×108
−2,944×106
5,889×108
0
0
0
−27096
0
0
0
27096
1 2 3 4 5 6 7
(f) Las condiciones de restricci´ on de desplazamientos son U1 = U7 = 0, y el vector de fuerza externa aplicada sobre la estructura es R1 F1 0 M1 0 F2 0 M2 = F3 −10000 0 M 3 R4 F4 donde usamos R para indicar una fuerza de reacci´on de apoyo. Si aplicamos las condiciones de restricci´on de desplazamientos que se presentan en los apoyos de la estructura, obtenemos una ecuaci´on reducida pues debemos desechar dos filas y dos columnas del sistema original gobernante del comportamiento mec´ anico. Reduciendo el sistema y hallando la soluci´on para los desplazamientos activos, se demuestra que obtenemos θ1 υ2 θ2 υ3 θ3
= 9,3638×10−4 rad = −0,73811 mm = −0,0092538 rad = −5,5523 mm = −0,019444 rad
(Notemos que intencionalmente tomamos m´as d´ıgitos decimales significativos de los necesarios, para evitar inexactitudes de “redondeo de fracciones” en los c´alculos secundarios). Para obtener la tensi´on axial en el miembro BD, utilizamos la Ecuaci´on (3.44) con θ(3) = π/2: 0 1 −0,7381 3 0 −1 0 1 σBD = 69×10 = 254,65 MPa 0 200 0 El resultado positivo nos indica tensi´ on de tracci´on en este elemento barra (la varilla de aluminio). Las fuerzas de reacci´ on de apoyo se obtienen por substituci´on de los desplazamientos calculados en la primera y s´eptima ecuaciones (las ecuaciones de restricci´on que fueron desechadas en el proceso de reducci´on del sistema): R1 =2,944(106 )[9,3638(10−4 )] − 19627(−0,73811) ∼ −10000 N + 2,944(106 )(−0,0092538) = R4 = − 27096(−0,73811) + 27096(0) ∼ = 20000 N
4.6. CARGAS NODALES EQUIVALENTES
105
y dentro de la exactitud num´erica usada en este ejemplo, el sistema est´a en equilibrio est´atico. Se insiste al lector a verificar el equilibrio de momentos con relaci´on al nodo del extremo izquierdo de la viga y notar que, por est´ atica simplemente, la fuerza en el elemento 3 debe ser 20,000 N y la tensi´on normal axial calculada por σ = F/A resultar´ıa ser 254,65 MPa (el mismo valor que se obtuvo anteriormente). Las tensiones normales provenientes de la flexi´on en los nodos extremos de los elementos que modelan la viga son evaluadas mediante las Ecuaciones (4.24), notando que para la secci´on transversal cuadrada ym´ax/m´ın = 20 mm. Para el elemento 1, σx(1) (x = 0) = ±20(207)(103 )
2 6 (−0,738 − 0) − (−(2)0,00092 − 0,0092) ≈ 0 MPa 3002 300
en el nodo 1. Debemos notar que la tensi´on calculada en el nodo 1 deber´ıa ser id´enticamente cero, porque este nodo coincide con un apoyo articulado fijo que no puede soportar momentos flexionantes. Para el nodo 2 del elemento 1, hallamos σx(1) (x = L) = ±20(207)(103 )
2 6 (0 + 0,738) + (−(2)0,00092 − 0,0092) ≈ ±281,3 MPa 3002 300
Para el elemento 2, similarmente calculamos las tensiones en cada nodo como σx(2) (x = 0) = ±20(207)(103 )
6 2 (−5,548 + 0,738) − (−(2)0,00092 − 0,0194) ≈ ±281,3 MPa 3002 300
2 6 (−0,73811 + 5,5523) + (−(2)0,001944 − 0,009538) ≈ 0 MPa σx (x = L) = ±20(207)(10 ) 3002 300 (2)
3
y los u ´ltimos resultados tambi´en son los esperados, porque el extremo derecho de la viga est´a libre de momento flexionante externo actuante en dicho punto. Aqu´ı necesitamos observar cuidadosamente que las tensiones normales provenientes de la flexi´on en la viga tienen id´entico valor en el nodo de interconexi´ on 2 entre elementos (lo que indica cumplimiento continuidad de la tensi´on normal interna en ´ la frontera l´ımite de estos elementos, en este caso particular). Esta no es la situaci´on usual en el an´alisis por elemento finito. La formulaci´ on efectuada requiere continuidad de desplazamientos (deformaciones transversales) y rotaciones (pendientes de la deformaci´on) pero, en general, no exige continuidad de las derivadas de orden superior al primero para la variable de campo de inter´es que en este caso es la deflexi´on transversal. Puesto que el elemento de flexi´ on desarrollado aqu´ı est´a basado en una funci´on de desplazamiento c´ ubica, el elemento no exhibe a menudo continuidad en el momento flector interno que es dir´ectamente proporcional a la segunda derivada de la deflexi´on (y por tanto tampoco en la tensi´on normal interna — que depende del momento flector). La convergencia de las derivadas de funciones es relevante para examinar la exactitud de una soluci´on de elemento finito a un problema dado. Nosotros debemos examinar el comportamiento num´erico de las variables derivadas a medida que el modelo de elemento finito est´e asociado a una “malla” que es refinada (cuando se usa un mayor n´ umero de elementos de > tama˜ no m´ as peque˜ no). El ejemplo anterior muestra que es posible combinar elementos de distinto comportamiento mec´anico en una sola estructura, y que el procedimiento de pasos secuenciales que maneja el m´etodo de elemento finito se mantiene invariable; es decir que la secuencia de c´alculo num´erico al tratar cualquier elemento espec´ıfico es el mismo, obviamente respetando sus peculiaridades de comportamiento mec´anico. El proceso de ensamblaje estructural es ex´actamente el mismo que fu´e aplicado en ejemplos anteriores, y el procedimiento de soluci´on del modelo matem´atico de an´alsis (ecuaci´on gobernante) es de hecho invariable.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
106
j
i
ui
i
j
i
j
uj
Figura 4.11: Desplazamientos nodales de elemento marco
4.7.
El elemento marco
La mayor limitaci´ on del elemento de flexi´on (elemento viga) desarrollado hasta ahora, es que la solicitaci´on aplicada debe ser transversal al eje del elemento (fuerzas perpendiculares al eje axial). Eficazmente, esto significa que el elemento s´olo puede usarse en modelado de extremo–a–extremo de estructuras viga lineales. Si el elemento se formula para soportar tambi´en carga axial, la aplicabilidad de tal elemento se acrecenta favorablemente. Un elemento con ´estas caracter´ısticas, al que denominaremos elemento marco, se muestra en la Figura 4.11, el cual adem´as de aceptar desplazamientos transversales y rotaciones en sus puntos extremos (nodos) adem´as, tambi´en permite la existencia de desplazamientos seg´ un direcci´ on axial. As´ı, el elemento marco permite la aplicaci´on de carga transversal y axial simult´ aneamente, actuando sobre este particular miembro. Debe se˜ nalarse que hay muchas consecuencias de esta extensi´ on aparentemente simple. Si la carga axial es compresiva, el elemento podr´ıa ingresar a un estado de pandeo; y, si la carga axial es de tracci´on y significativamente grande, un fen´omeno conocido como endurecimiento por tensi´ on puede ocurrir. El fen´omeno de endurecimiento por tensi´on puede asemejarse al efecto de pulsar una cuerda de guitarra. Cuando la tensi´on se aumenta, la cuerda se pone m´ as resistente al movimiento perpendicular al eje geom´etrico axial de la propia cuerda. El mismo efecto ocurre en los estructurales sometidos a tensi´on. Como se muestra en la Figura 4.12, en una viga sujeta a carga transversal y axial simult´aneas, el efecto de la carga axial sobre la flexi´on est´a dir´ectamente relacionada a la deflexi´on producida, puesto que la desviaci´on transversal en un punto espec´ıfico se convierte en el brazo del momento flector para la carga axial presente. En los casos de peque˜ na desviaci´ on transversal el´astica, el momento flexionante adicional atribuible a la carga axial es despreciable. Sin embargo, en la mayor´ıa de los paquetes de software de elemento finito, los an´alisis de pandeo y endurecimiento por tensi´on est´an disponibles como opciones cuando tal elemento es usado en el an´ alisis. (El lector debe estar prevenido que los efectos de pandeo y endurecimiento por tensi´on s´olamente son verificados si el del software expl´ıcitamente los especifica). Para el prop´osito presente, nosotros asumimos que las cargas axiales son tales que estos efectos secundarios no son de preocupaci´ on, y la carga axial es independiente de los efectos de flexi´on. En tal caso, el comportamiento mec´ anico axial del elemento marco se considera independiente del comportamiento transversal y se puede usar el principio de superposic´on de efectos. En este sentido podemos considerar al elemento–marco como superposici´ on del elemento–viga y el elemento–barra. M M
F
M
F
x
(x)
F
F M(x) = M - F(x)
(a) Solicitaci´ on sobre elemento marco
M(x)
(b) Efecto mec´ anico del esfuerzo axial
Figura 4.12: Reducci´ on de la rigidez flexionante por efectos axiales Siendo este el caso, nosotros simplemente podemos agregar el comportamiento de rigidez axial del elemento barra al comportamiento de rigidez flexionante del elemento viga para obtener la matriz de rigidez de dimensi´ on 6×6 (por el n´ umero de desplazamientos nodales – v´ease la Figura 4.11) del
4.7. EL ELEMENTO MARCO
107
elemento marco, entonces −EA L EA L
0
0
0
0
0
0
0
0
0 [ ke ] = 0 0
0
0
0
12EIz L3 6EIz L2 −12EIz L3 6EIz L2
6EIz L2 4EIz L −6EIz L2 3 2EIz L
−12EIz L3 −6EIz L2 12EIz L3 −6EIz L2
EA L −EA L
0 0
6EIz L2 2EIz L −6EIz L2
(4.44)
4EIz L
la cual se v´e que es simplemente en notaci´on concisa particionada [kbarra ] [ 0 ] [ ke ] = [ 0 ] [kviga ]
(4.44a)
que representa una superposici´ on no–acoplada de rigideces axial y transveral del elemento lineal que estamos desarrollando. Agregando la capacidad axial al elemento viga se elimina la restricci´on que tales elementos se alineen linealmente y habilitan el uso del elemento en el an´alisis de estructuras tipo marco plano (llamados tambi´en p´ orticos) en el que las juntas de uni´on poseen resistencia a la flexi´on; es decir transmiten momentos flexionantes. Para tales aplicaciones, la orientaci´on del elemento en el sistema de coordenadas global debe ser considerada, como era el caso con el elemento barra de una cercha plana. U5
2 2
U6
x
u2
Y
U4
y
U2 1
u1
U3
1
(a) Referidos al sistema coordenado local
U1
X
(b) Referidos al sistema coordenado global
Figura 4.13: Desplazamientos nodales del elemento marco La Figura 4.13(a) muestra un elemento marco orientado a un ´angulo ψ arbitrario respecto del eje X de un sistema referencial coordenado global, y muestra los desplazamientos nodales del elemento referidos a su propio sistema coordenado. Aqu´ı, nosotros usamos el s´ımbolo ψ para indicar el ´angulo de orientaci´ on para evitar confusi´ on con la deformaci´on angular nodal, denotada como θ. La Figura 4.13(b) muestra los desplazamientos globales asignados al elemento, donde de nuevo hemos adoptado un solo s´ımbolo para los desplazamientos con un sub–´ındice que se incrementa num´ericamente de nodo a nodo. Antes de proceder, notemos que es conveniente aqu´ı re–ordenar los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento dada por la Ecuaci´ on (4.44), para que el vector de desplazamientos de elemento en el marco de referencia local sea establecido como u1 υ1 θ1 {δ} = (4.45) u2 υ2 θ2
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
108
y, la matriz de rigidez de elemento referido a su propio sistema coordenado como EA L 0 0 [ ke ] = −EA L 0 0
0
0
12EIz L3 6EIz L2
6EIz L2 4EIz L
0
0
−12EIz L3 6EIz L2
−62EIz L2 2EIz L
−EA L 0 0 EA L 0 0
0 −12EIz L3 −6EIz L3 0 12EIz L3 −6EIz L4
0
0 −6EIz L2 4EIz L 6EIz L2 2EIz L
(4.46)
Usando la Figura 4.13, los desplazamientos locales del elemento son escritos en t´erminos de los desplazamientos globales como u1 = U1 cos ψ + U2 sin ψ υ1 = −U1 sin ψ + U2 cos ψ θ1 = U3 u2 = U4 cos ψ + U5 sin ψ υ2 = −U4 sin ψ + U5 cos ψ θ2 = U6 Si las relaciones anteriores las escribimos en forma matricial, resulta cos ψ sin ψ 0 0 0 0 u1 U1 U2 − sin ψ cos ψ 0 0 0 0 υ 1 U 0 0 1 0 0 0 θ1 3 = 0 0 0 cos ψ sin ψ 0 u2 U4 U5 0 0 0 − sin ψ cos ψ 0 υ 2 U6 0 0 0 0 0 1 θ2
(4.47)
o, en forma sint´etica {δ} = [ R ]{U }, donde [ R ] es la matriz de transformaci´on de desplazamientos de elemento marco. De manera exactamente an´aloga a aquella planteada en la Secci´on 3.3, f´acilmente se demuestra que la matriz de rigidez global de elemento (dimensi´on 6×6) referida al sistema coordenado de toda la estructura est´ a dada por [ Ke ] = [ R ]T [ ke ][ R ] (4.48) Debido a su complejidad algebr´ aica, la Ecuaci´on(4.48) no se extiende aqu´ı para obtener un resultado general. M´ as bien, los c´ alculos indicados fueron desarrollados para describir las caracter´ısticas espec´ıficas del elemento y mejor ser´ıa que sean realizados en su valoraci´on num´erica por un programa de computadora. El ensamble de las ecuaciones del sistema para un modelo de elemento finito que usa el elemento marco, es efectuado de manera id´entica a los procedimientos seguidos para las cerchas, como fu´e discutido en el Cap´ıtulo 3. El ejemplo simple siguiente ilustra el procedimiento. Ejemplo 4.4. El marco de la Figura 4.14(a) est´ a compuesto de dos elementos id´enticos que tienen secci´on transversal cuadrada de 1 pulg de arista, y un m´ odulo de elasticidad de 107 lb/pulg2 . Los apoyos en O y C ser´an considerados completamente fijos (empotrados). La viga horizontal est´a sujeta a una carga uniforme de intensidad 10 lb/pulg, como se muestra. Use dos elementos marco para calcular los desplazamientos
4.7. EL ELEMENTO MARCO
109
10 lb/pulg
Y u2
B
C
U5
U9
U4
20 pulg
2
U6 20 pulg
U8
v2 2
U7
1
u1
U2 v1 U3
O (a) Solicitaci´ on aplicada y apoyos
U1
1
X
(b) Codificaci´ on estructural adoptada
(c) Elemento 1
Figura 4.14: Marco plano solicitado por carga distribuida y la rotaci´ on en B. > Soluci´ on Usando los datos especificados, el ´ area de secci´on transversal es A = 1×1 = 1 pulg2 , y el momento de inercia alrededor del eje z centroidal es Iz = a4 /12 = 14 /12 = 0,083 pulg4 . Denotando el miembro OB como el elemento 1 y el miembro BC como el elemento 2, se v´e que ambos tienen id´entica longitud L = 20 pulg. Las matrices de rigidez locales, o sea referidas a los sistemas coordenados propios de cada elemento son id´enticas y est´ an definidas por la Ecuaci´on (4.46). Evaluando num´ericamente con los datos anteriores, tendr´ıamos 5(105 ) 0 0 −5(105 ) 0 0 0 1250,4 12504 0 −1250,4 12504 0 12504 166720 0 −12504 83360 [ k (1) ] = [ k (2) ] = −5(105 ) 0 0 5(105 ) 0 0 0 −1250,4 −12504 0 1250,4 −12504 0 12504 83360 0 −12504 166720 Escogiendo el sistema coordenado global y la numeraci´on de desplazamientos como en la Figura 4.14(b), observamos que el elemento 2 no requiere ninguna transformaci´on, puesto que su sistema coordenado local es de ejes paralelos al sistema global, con el que est´a alineado en todas las direcciones espaciales. Por ello, la matriz de rigidez local previamente calculada es la misma que su matriz de rigidez global; es decir: [ K (2) ] = [ k (2) ]. Sin embargo, como es mostrado en la Figura 4.14(c), el elemento 1 requiere transformaci´ on. Usando ψ = π/2, las Ecuaciones (4.47) y (4.48) se aplican para obtener 1250,4 0 −12504 1250,4 0 −12504 0 5(105 ) 0 0 −5(105 ) 0 −12504 0 166720 12504 0 83360 (2) [K ] = 1250,4 0 12504 1250,4 0 12504 0 −5(105 ) 0 0 5(105 ) 0 −12504 0 83360 12504 0 166720 Note particularmente c´ omo la matriz de rigidez del elemento 1 cambia como resultado de la rotaci´on de 90◦ . Los valores de los coeficientes individuales en la matriz de rigidez est´an inalterados, pero su ubicaci´ on se altera. La posici´ on de los t´erminos en la matriz de rigidez se cambia para reflejar, bastante simplemente, las direcciones de los desplazamientos transversales asociados con la flexi´on y aquellos
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
110
axiales asociados con el alargamiento o la contracci´on cuando se describe el comportamiento mec´anico del elemento en el sistema global coordenado. Tabla 4.5: Correspondencia de desplazamientos nodales Desplazamientos Globales
Desplazamientos Elemento 1
Desplazamientos Elemento 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 0 0 0
0 0 0 1 2 3 4 5 6
La correspondencia de desplazamientos se muestra en la Tabla 4.5, y la matriz de rigidez del sistema ensamblada por el procedimiento de transporte de coeficientes se muestra en la Ecuaci´on (?). Notemos, como de costumbre, el “traslape” de las matrices de rigidez de elemento en los desplazamientos asociados con los nodos comunes. En estas posiciones en la matriz de rigidez global, los t´erminos de rigidez de los elementos individuales son aditivos (algebr´aicamente). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1250,4 0 −12504 1250,4 0 −12504 0 0 0 0 500000 0 0 −500000 0 0 0 0 −12504 0 166720 12504 0 833360 0 0 0 1250,4 0 1250 501250,4 0 12504 −500000 0 0 0 −500000 0 0 501250,4 12504 0 −1250,4 12504 [ K ]= −12504 0 83360 12504 12504 333440 0 −12504 83360 0 0 0 −500000 0 0 500000 0 0 0 0 0 0 −1250,4 −12504 0 1250,4 −12504 0 0 0 0 12504 83360 0 −12504 166720
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(?) Usando la matriz de rigidez de sistema calculada previamente, y usando los resultados obtenidos en la Ecuaci´on (4.43) para las cargas nodales equivalentes a la carga distribuida actuante sobre el elemento 2, las ecuaciones de equilibrio de la estructura congregadas por el ensamble efectuado son RX1 U1 R X1 U2 R Y 1 U 3 M R1 U 4 0 [ K ] U5 = −100 U6 −333,3 U 7 R X3 U 8 R − 100 Y 3 U9 MR3 + 333,3 donde denotamos las fuerzas en los nodos 1 y 3 como las componentes de reacci´on, debidas a las restricciones de desplazamiento U1 = U2 = U3 = U7 = U8 = U9 = 0. Tomando ´estas restricciones en
4.8. EL ELEMENTO RECTIL´INEO GENERAL
111
consideraci´ on, las ecuaciones a ser resueltas para los desplazamientos activos son entonces 501250,4 0 12504 U4 0 0 501250,4 12504 U5 = −100 12504 12504 333440 U6 333,3 La soluci´ on simult´ anea d´ a los valores de desplazamiento siguientes U4 = 2,47974(10−5 ) pulg U5 = −1,74704(10−4 ) pulg U6 = −9,94058(10−4 ) rad Como de costumbre, las componentes de reacci´on de apoyo pueden obtenerse sustituyendo los desplazamientos calculados en las seis ecuaciones de restricci´on que a´ un no fueron consideradas. Para el elemento marco (viga con capacidad axial), el c´alculo de tensi´on normal interna debe tomar en consideraci´ on la superposici´on de tensi´on normal proveniente de la flexi´on y la tensi´on axial directa. Para el elemento 1, por ejemplo, usamos la Ecuaci´on (4.47) con ψ = π/2 para calcular los desplazamientos locales del elemento como U1 0 1 0 0 0 0 u1 0 U2 −1 0 0 0 0 0 υ1 0 U3 0 0 0 1 0 0 0 θ1 = = −4 U4 −1,74704(10 ) u2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 −2,47974(10−5 ) U5 υ 2 −4 −9,94058(10 ) U6 0 0 0 0 0 1 θ2 Las tensiones normales provenientes de la flexi´on se calculan en los nodos 1 y 2 aplicando las Ecuaciones (4.24) como 6 2 2 −5 −4 7 σx (x = 0) = ±0,5(10 ) (−2,47974)(10 ) − (−9,94058)(10 ) = ±495,2 lb/pulg 202 20 6 2 2 7 −5 −4 σx (x = L) = ±0,5(10 ) (2,47974)(10 ) + (2)(−9,94058)(10 ) = ±992,2 lb/pulg 202 20 y, la tensi´ on axial calculada mediante σx = E = E(u2 − u1 )/L es σx = 107
−1,74704(10−4 ) 2 = −87,35 lb/pulg 20
Luego, superponiendo los resultados, podemos indicar que la magnitud de tensi´on m´as grande ocurre en el nodo 2, en el que la tensi´on normal axial compresiva se agrega a la porci´on compresiva de la distribuci´ on de tensi´ on normal proveniente de la flexi´on, para dar como resultado final σxm´ax = −1079,6 lb/pulg
2
(compresi´on)
La evaluaci´ on de las tensiones internas en el elemento 2 es mucho m´as simple, puesto que no se requiere efectuar una transformaci´ on de desplazamientos (los desplazamientos globales de soluci´on hallados, son al mismo tiempo desplazamientos de tipo local — referidos a su propio sistema coordenado); > y este breve c´ alculo se deja al lector como ejercicio complementario a ´este ejemplo.
4.8.
El elemento rectil´ıneo general
Un elemento rectil´ıneo tri–dimensional general es capaz de presentar deformaciones axiales, torsionales, como tambi´en deflexiones flexionantes en dos planos espaciales. Para examinar las caracter´ısticas
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
112
y
z q z(x)
w1
x
z
y1
(a) Definici´ on de sistema coordenado local
w2 x
2
1 L
y2
(b) Desplazamientos nodales locales y solicitaci´ on
Figura 4.15: El elemento rectil´ıneo general tri–dimensional
de rigidez de tal elemento y obtener la matriz de rigidez para el mismo, nosotros primero extendemos el elemento marco de la secci´ on anterior para incluir la flexi´on en dos planos mutuamente ortogonales, y luego agregaremos la capacidad de respuesta torsional. La Figura 4.15(a) muestra un elemento marco con un sistema coordenado local o propio del mismo, en el que el eje x corresponde al eje longitudinal del miembro y se asume que pasa a trav´ez del centroide de todas las secciones transversales a lo largo de la longitud. Los ejes y y z se asumen que corresponden a los ejes principales de los momentos de inercia de ´area de la secci´on transversal [29]. Si ´este no es el caso, el tratamiento de la flexi´ on simult´anea en dos planos y la superposici´on de efectos de comportamiento seg´ un los estados de solicitaci´on al que est´a sometido este elemento no producir´a los resultados correctos que son esperados [43]. Para la flexi´ on alrededor del eje z (i.e., el plano de flexi´on es el plano xy), la matriz de rigidez de elemento est´ a dada por la Ecuaci´ on (4.37). Para la flexi´on alrededor del eje y, el plano de flexi´on es el plano xz, como se aprecia en la Figura 4.15(b), que muestra un elemento viga definido por los nodos 1 y 2, sujeto a una carga distribuida qz (x) que suponemos act´ ua seg´ un la direcci´on z positiva. Los desplazamientos nodales en la direcci´ on z se denotan como w1 y w2 ; mientras que las rotaciones nodales son θy1 y θy2 . Para este caso, es necesario agregar el sub´ındice del eje y a las rotaciones nodales para identificar espec´ıficamente el eje sobre el que las rotaciones son medidas. En este contexto, las rotaciones correspondientes al plano de flexi´on xy se denotan θz1 y θz2 de aqu´ı en adelante. Tambi´en es importante notar que, en la Figura 4.15(b), el eje y es perpendicular al plano de la p´agina con el sentido positivo ingresando hacia ella. Por consiguiente, las rotaciones mostradas son positivas sobre el eje y por la regla de mano–derecha. Notando la diferencia en el sentido positivo de la rotaci´on relativa a los desplazamientos lineales, un desarrollo an´alogo a aquel usado para el elemento viga en las Secciones 4.3 y 4.4 resulta en la matriz de rigidez de elemento para el plano xz, considerado plano de flexi´on del elemento, como
[ ke ]xz
12 −6L −12 −6L E Iy −6L 4L2 6L 2L2 = 3 −12 6L 12 6L L −6L 2L2 6L 4L2
(4.49)
Las u ´nicas diferencias entre la matriz de rigidez en el plano de flexi´on xz y aquella correspondiente para el plano xy, se ve que son los cambios de signo en los t´erminos fuera de la diagonal–principal, y el hecho que la rigidez caracter´ıstica depende del momento de inercia de ´area Iy , que en este caso es el pertinente por ser el eje y aquel alrededor del cual ocurre la curvatura del elemento. Combinando en secuencia la matriz de rigidez de elemento en su comportamiento axial, la matriz de rigidez flexionante en el plano xy, y la matriz de rigidez flexionante en el plano xz dada por la Ecuaci´on (4.49), las ecuaciones de equilibrio de elemento para un miembro estructural que soporta
4.8. EL ELEMENTO RECTIL´INEO GENERAL
113
flexi´on en dos planos, con rigidez axial adicionalmente, se escriben en forma matricial como u1 fx1 u2 fx2 υ f 1 y 1 Mz1 θz1 [kbarra ] [ 0 ] [0] υ2 fy2 [ ke ] = [ 0 ] [kviga ]xy [ 0 ] = Mz2 θz2 [0] [ 0 ] [kviga ]xz w1 fz1 θ y1 My 1 w2 fz2 θ y2 My 2
(4.50)
donde la matriz indicada en la anterior ecuaci´on es la matriz de rigidez de elemento [ ke ] desacoplada, los s´ımbolos υ y w denotan desplazamientos, θ especifica rotaciones, f denota fuerzas de reacci´on internas, y M identifica momentos de reacci´on internos; todos ellos de car´acter nodal y referidos al propio sistema coordenado de elemento (sistema local). Por ejemplo para el caso de flexi´on del elemento en el plano xz, las cargas nodales equivalentes correspondientes a una carga linealmente distribuida qz (x) aplicada al elemento, se calculan en base a la equivalencia de trabajo mec´ anico (como se lo hizo en la Secci´on 4.6). Para una carga distribuida linealmente y uniforme a lo largo de toda la longitud del elemento, actuando seg´ un el sentido positivo del eje z, qz (x) = qz (cte), el vector de cargas nodales equivalentes se demuestra que es qz L 2 f qz −qz L2 1 Mqz1 12 (4.51) = qz L fqz 2 2 Mqz2 qz L2 12
valores que se obtienen utilizando las relaciones integrales que involucran las funciones de interpolaci´on polin´ omicas y´ a especificadas anteriormente (polinomios de Hermite), con la u ´nica variante que las funciones de interpolaci´ on asociadas a las rotaciones deben ser cambiadas de signo para tener consistencia con la definici´ on de estos desplazamientos angulares alrededor del eje y, tal como muestra la Figura 4.15(b).
L 1
T1
G, J
Mx1
T2
Mx2 2
x
(a) Eje circular con solicitaci´ on torsional
x
(b) Notaci´ on torsional de elemento finito
Figura 4.16: El elemento rectil´ıneo eje circular La adici´ on de torsi´ on al elemento rectil´ıneo general es cumplida con referencia a la Figura 4.16(a) que muestra un cilindro circular sujeto a solicitaci´on torsional (al cual de forma com´ un se lo denomina eje) mediante momentos torsores o cuplas aplicadas en planos transversales al eje axial en sus secciones ubicadas en los extremos de este miembro circular. Un elemento finito correspondiente se muestra en la Figura 4.16(b), donde los nodos son los puntos 1 y 2 coincidentes con los centroides de las secciones transversales extremas; el eje del cilindro es el eje x, y los momentos torsores son positivos acorde a la regla de mano–derecha. Por la teor´ıa elemental de mec´anica de s´olidos deformables, es bien conocido
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
114
que el ´angulo de torsi´ on por unidad de longitud de un cilindro circular el´astico, de seccci´on transversal uniforme, sujeto a un torque T est´ a dado por φ=
dθ T = dx GJ
(4.52)
donde J es el momento polar de inercia del ´area se secci´on transversal y G es el m´odulo de elasticidad transversal del material, o m´ odulo de Young. Como el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud es constante, el ´ angulo total de rotaci´ on del elemento puede expresarse en t´erminos de las rotaciones nodales y el momento torsor aplicado como θx2 − θx1 =
TL GJ
(4.53)
y, de aqu´ı resulta GJ (θx2 − θx1 ) = kT (θx2 − θx1 ) (4.54) L donde kT = GJ/L es el coeficiente de rigidez de resorte torsional equivalente para el eje. La comparaci´ on de la Ecuaci´ on (4.54) con la Ecuaci´on (2.2) para un resorte linealmente el´astico y la consideraci´ on de la condici´ on de equilibrio Mx1 + Mx2 = 0, permite directamente plantear las ecuaciones de comportamiento mec´ anico de equilibrio de elemento: G J 1 −1 θx1 Mx1 = (4.55) θx2 Mx2 L −1 1 T =
de modo que la matriz de rigidez torsional del elemento eje es G J 1 −1 [ k ]eje = L −1 1
(4.56)
Mientras que este desarrollo es, hablando estrictamente, aplicable s´olo a una secci´on transversal circular, una rigidez torsional equivalente Jeq G/L es conocida para muchas secciones transversales estructurales comunes, las cuales pueden obtenerse de los manuales de propiedades estructurales normales o de textos de mec´ anica de s´ olidos. Agregando las caracter´ısticas torsionales al elemento rectil´ıneo general, las ecuaciones que gobienan su comportamiento mec´ anico resultan ser u1 fx1 fx2 u2 υ f 1 y 1 Mz1 θz1 [kbarra ] [ 0 ] [0] [0] υ f y 2 2 [ 0 ] [kviga ]xy [ 0 ] [ 0 ] Mz2 θz2 (4.57) = fz1 w1 [0] [ 0 ] [k ] [ 0 ] viga xz My1 θ y1 [0] [0] [ 0 ] [keje ] f w 2 z 2 My2 θ y2 θ M x x 1 1 θx2 Mx2 y la matriz de rigidez final para un elemento rectil´ıneo general tri–dimensional se observa que es una matriz sim´etrica de dimensi´ on 12×12 compuesta de matrices individuales de rigidez que representan comportamiento axial, comportamiento flexionante en dos planos, y comportamiento torsional. El elemento rectil´ıneo general puede utilizarse en los an´alisis de elemento finito de estructuras marco tri–dimensionales. Como con la mayor´ıa de los elementos finitos, es a menudo necesario transformar
4.9. COMENTARIOS FINALES
115
las matrices de elemento desde el sistema coordenado local hacia el sistema de coordenadas globales. El procedimiento de transformaci´ on es bastante similar a aquel discutido para el elemento barra y los elementos viga bi–dimensionales; excepto, por supuesto, que con un grado de complejidad algebr´aica agregada, proveniente del tama˜ no de la matriz de rigidez y ciertos detalles requeridos para describir la orientaci´ on espacial relativa del elemento. Estos detalles en el desarrollo de formulaci´on completa del comportamiento mec´ anico del elemento rectil´ıneo general los dejamos a la curiosidad del lector. Un libro que presenta el m´etodo dir´ecto de rigidez aplicado a elementos estructurales lineales es uno que escrib´ı hace tiempo atr´ as [20], el cual es una fuente de consulta documental muy recomendada.
4.9.
Comentarios finales
En este cap´ıtulo, se formularon elementos finitos para la deflexi´on de una viga usando la teor´ıa de flexi´ on elemental de la mec´ anica b´asica de materiales s´olidos. Los elementos resultantes son muy u ´tiles en el proceso de modelado de las estructuras marco en dos o tres dimensiones. Un elemento general tridimensional desarrollado al final de ´este cap´ıtulo que incluye efectos axiales, flexionantes, y torsionales; en efecto, fu´e obtenido aplicando el principio de superposici´on de comportamiento mec´anico a cuatro estructurales mucho m´as simples: un elemento barra, dos elementos viga, y un elemento eje. En el desarrollo de los elementos viga, el endurecimiento de los elementos que se debe a las cargas tensoras, la posibilidad de pandeo bajo carga axial compresiva, y los efectos de los esfuerzos cortantes transversales, no han sido incluidos en la formulaci´on general planteada en el cap´ıtulo. Pero, sin embargo, debemos mencionar que los paquetes de software de elemento finito comerciales, consideran cada una de estas preocupaciones mediante una opci´on que puede tomarse en cuenta en el momento de la entrada de datos, a discreci´ on del si es que ´este desea utilizarlos en el proceso de c´alculo de su dise˜ no.
Problemas propuestos 4.1. Se conectan dos elementos viga id´enticos a un nodo com´ un como es mostrado en la Figura P4.1. Asumiendo que los desplazamientos nodales υi , θi son conocidos, usar la Ecuaci´on (4.23) para mostrar que la tensi´ on normal interna σx es, en general, discontinua en el l´ımite com´ un de ambos elementos (i.e., en el nodo 2). Bajo que condicion(es) la tensi´on normal interna ser´ıa continua entre elementos?.
1
2
3
Figura P4.1 4.2. Para el elemento viga cargado como muestra la Figura P4.2, construya los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector internos. Cual es la importancia de estos diagramas respecto a las Ecuaciones (4.10), (4.13), y la relaci´on V = dM/dx de la teor´ıa de la mec´anica de s´olidos deformables b´ asica ?.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
116
F
F 1 M1
M2 2
L
Figura P4.2 4.3. Para una viga uniformemente cargada como se muestra en la Figura P4.3, la teor´ıa de mec´anica de s´olidos d´ a la deflexi´ on m´ axima como 5 q L4 υm´ax = − 384 E Iz en x = L/2. Tratar esta viga como un solo elemento finito y calcular la deformaci´on m´axima. C´omo se comparan los valores hallados ?. Existe adecuada coincidencia seg´ un el criterio de comparaci´on planteado ?. y q
x L
Figura P4.3 4.4. El elemento viga mostrado en la Figura P4.4 se solicita mediante una carga linealmente variable de intensidad m´ axima q0 . Usando el criterio del principio de equivalencia del trabajo mec´anico, determine las fuerzas y momentos nodales equivalentes. y q0
x
L
Figura P4.4 4.5. Use los resultados del Problema 4.4 para calcular la deflexi´on en el nodo 2 de la viga mostrada en la Figura P4.5, si la estructura se trata como un solo elemento finito. y q0 1
Figura P4.5
E, Iz, L
2
x
Problemas propuestos
117
4.6. Para el elemento viga de la Figura P4.5, calcule la fuerza y el momento de reacci´on en el apoyo empotrado (nodo 1). Calcule tambi´en la tensi´on normal m´axima debida a la flexi´on, asumiendo que la altura de la viga es 2h. C´omo se hace la comparaci´on del valor de tensi´on obtenido ˙ con la tensi´ on m´ axima proporcionada por la teor´ıa b´asica de la mec´anica de s´olidos deformables?. 4.7. Repita el Problema 4.5 usando dos elementos de longitudes iguales. Para este problema, considere: E = 3×107 lb/pulg2 , Iz = 0,1 pulg4 , L = 10 pulg, q0 = 10 lb/pulg. 4.8. Considere la viga mostrada en la Figura P4.8. Cual es el n´ umero m´ınimo de elementos que pueden usarse para modelar este problema con adecuada exactitud? Construya el vector de carga nodal global correspondiente a su respuesta. P
q0
L/3
L/3
L/3
Figura P4.8 4.9. Cual es la justificaci´ on para escribir la Ecuaci´on (4.26) en la forma de la Ecuaci´on (4.27) ?. 4.10. — 4.11. — 4.12. — 4.13. — 4.14. — 4.15. Para cada viga mostrada en la figura asociada, calcule la deflexi´ on en los puntos nodales. El m´odulo de elasticidad es E = 107 lb/pulg2 y la secci´ on transversal de cada una de las vigas es como se muestra en cada figura. Tambi´en calcule la tensi´ on normal flexionante m´axima en cada caso. Use el m´etodo de elemento finito elaborando para cada situaci´ on un modelo con el n´ umero m´ınimo de elementos. 10 lb/pulg 500 lb 10 pulg
2 p u l g
30 pulg
0.5 pulg
1 pulg
10 pulg
10 pulg
Figura P4.10
Figura P4.11 200 lb 18 pulg
40 mm
45 N/m
10 mm 30 mm
6 pulg
0.5 pulg
2 pulg
400 lb/pulg
1 pulg
0.3 m
Figura P4.12
0.3 m
Figura P4.13 45 N/m
40 mm
10 mm 30 mm
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
118
500 lb 10 pulg
200 lb 8 pulg
8 pulg D
2 pulg
300 lb
200 lb 10 pulg
20 pulg
10 pulg 2 pulg
D2 = 1.0 pulg
D1 = 1.5 pulg
400 lb-pulg
0.25 pulg
Figura P4.14
Figura P4.15
4.16. El elemento viga de secci´ on transversal variable mostrado en la Figura P4.16, tiene espesor t uniforme (perpendicular al dibujo) y var´ıa linealmente en altura desde un valor 2h en su extremo izquierdo hasta h en el extremo derecho. Empezando con la Ecuaci´on (4.27), deduzca la expresi´ on de energ´ıa de deformaci´ on para el elemento en una forma similar a aquella utilizada para establecer la Ecuaci´ on (4.29). y
h
2h
x
L
Figura P4.16 4.17. Usar los resultados del Problema 4.16. para deducir el valor de la componente k11 de la matriz de rigidez de elemento. 4.18. La matriz de rigidez completa en todos sus t´erminos del elemento de secci´on transversal linealmente variable del Problema 4.16. est´a dada por 243 156L −243 87L 2 Eth3 −156L 42L2 156L 56L [ ke ] = 243 −87L 60L3 −243 −156L 87L 42L2 −87L 45L2 t =0.25 pulg t =0.25 pulg
0.875 pulg
1 pulg
10 lb
10 lb
0.5 pulg
0.5 pulg
6 pulg
6 pulg
12 pulg
(a)
(b)
Figura P4.18
a. Usando la matriz de rigidez especificada anteriormente con E = 107 lb/pulg2 , calcular la deflexi´ on del nodo 2 para el elemento cargado como se muestra en la Figura P4.18(a). b. Aproximar el elemento original por dos elementos de secci´on transversal constante como se aprecia en la Figura P4.18(b), y calcular la deflexi´on m´axima. c. Que resultado arroja la comparaci´on de las soluciones obtenidas para los incisos anteriores ?.
Problemas propuestos
119
d. Evaluar mediante ambos modelos la tensi´on normal m´axima proveniente de la flexi´on y comparar los resultados. 4.19. Las seis ecuaciones de equilibrio est´atico de un elemento marco plano en el sistema coordenado local (propio del mismo elemento) se expresan en forma matricial como [ ke ]{δe } = {fe }, con el vector {δe } dado como en la Ecuaci´on (4.45), [ ke ] por la Ecuaci´on (4.46), y {fe } como el vector de cargas nodales locales definido mediante T {fe } = f1x f1y M1 f2x f2y M2 Para un elemento orientado en un ´angulo ψ arbitrario respecto al eje X del sistema global coordenado, convertir las ecuaciones de equilibrio hacia el sistema coordenado global y verificar el cumplimiento de la Ecuaci´ on (4.48). 4.20. Use la Ecuaci´ on (4.47) para expresar la energ´ıa de deformaci´on acumulada por un elemento marco en t´erminos de los desplazamientos globales. Aplicar el principio de la energ´ıa potencial m´ınima para deducir la expresi´on matricial que describe el comportamiento mec´anico de equi´ librio est´ atico referida al sistema coordenado global. (Advertencia: Este procedimiento puede resultar muy tedioso, si es que usted no sistematiza su deducci´on). 4.21. La estructura marco bidimensional mostrada en la Figura P4.21 est´a compuesta de dos de acero estructural (E = 107 lb/pulg2 ) con dimensiones de secci´on rectangular de 2×4 pulg, donde la dimensi´ on de 2 pulg es perpendicular al plano de carga o plano que contiene la estructura. Todas las conexiones se tratan como uniones soldadas. Usando dos elementos marco–plano y la numeraci´ on de nodos mostrada, determine 30 pulg 20 lb/pulg
3
1200 lb
2 1500 lb _ pulg
30 pulg
1
Figura P4.21
a. b. c. d. e.
La matriz de rigidez global. El vector de cargas nodales globales (de toda la estructura). Las componentes de desplazamiento en el nodo 2. Las fuerzas y momentos de reacci´on de apoyo en los nodos 1 y 3. La tensi´ on normal m´ axima en cada uno de los elementos.
´ CAP´ITULO 4. ELEMENTOS DE FLEXION
120
4.22. Repetir el Problema 4.21. para el caso en el que la conexi´on entre elementos en el nodo 2 es una conexi´on articulada (que no transmite momentos flectores). 4.23. La estructura marco mostrada en la Figura P4.23 es la estructura soporte para un guinche localizado en el punto de aplicaci´ on de la carga W. Los apoyos en A y B son completamente fijos (apoyos empotrados). Se sueldan otras conexiones a esta estructura. Asumiendo que la estructura va a ser modelada usando el n´ umero m´ınimo de elementos marco:
w A
B
Figura P4.23 a. b. c. d.
Cuantos elementos son necesarios en el modelo ?. Cual es el tama˜ no de la matriz de rigidez global y´a ensamblada ?. Cuales son las condiciones de borde l´ımite de restricci´on de desplazamiento ?. Cual es el tama˜ no de la matriz de rigidez reducida luego que se han aplicado las condiciones de restricci´ on ?. e. Asumiendo que una soluci´ on de elemento finito es obtenida para este problema, cuantos pasos ser´an necesarios para extablecer la exactitud de la soluci´on hallada ?.
4.24. Repetir el Problema 4.23. para la estructura marco plano mostrada en la Figura P4.24.
w
Figura P4.24 4.25. Verificar la exactitud de la Ecuaci´ on (4.51) por un proceso de c´alculo dir´ecto. 4.26. La viga en voladizo esquematizada en la Figura P4.26 est´a sometida a solicitaci´on flexionante en dos planos. Las cargas son aplicadas tal que los planos de flexi´on corresponden a los momentos principales de inercia. Notando que no est´an presentes ninguna carga axial o torsional, modele la viga como un solo elemento finito (esto es, construya la matriz de rigidez de dim 8×8 que s´olo contiene coeficientes asociados con las condiciones de flexi´on) y calcular las deflexiones del extremo libre, en el nodo 2. Determine la ubicaci´on exacta y magnitud de la m´axima tensi´on normal proveniente de la flexi´ on en dos planos. (Use E = 207 GPa).
Problemas propuestos
121
y
y 1.5 m
500 N
z x
z
6 cm 3 cm
300 N
Figura P4.26 4.27. Repetir el Problema 4.26. para el caso en el cual las fuerzas concentradas aplicadas son reemplazadas por una carga uniformemente distribuida a lo largo de toda la longitud del miembro, con componentes qy = 6 N/cm y qz = 4 N/cm actuando seg´ un las direcciones positivas y y z del sistema coordenado, respectivamente.
Capítulo
5
El m´ etodo de residuos ponderados
Hemos mencionado que el m´etodo de elemento finito es un procedimiento para obtener soluciones aproximadas a problemas gobernados por ecuaciones diferenciales (tanto ordinarias como parciales). En este Cap´ıtulo mostraremos como hallar la soluci´on de una ecuaci´on diferencial convirti´endola en una relaci´ on integral para la cual exigimos la minimizaci´on del error residual en el mismo dominio de definici´ on original. Con este objetivo presentaremos el m´etodo de residuos ponderados, y una variante del mismo que da lugar al elemento finito de Galerkin. La utilizaci´ on de este tipo particular de elemento finito (formulado originalmente por Galerkin) es relativamente sencilla en su formulaci´on asociada a problemas que plantea la mec´anica del medio cont´ınuo; por ello explotando esta singular ventaja mostramos aplicaciones de este m´etodo particular a los elementos estructurales barra y viga, y tambi´en abordamos el problema de transmis´on de calor uni–dimensional, como una simple muestra de su potencialidad.
5.1.
Introducci´ on
Los cap´ıtulos 2, 3, y 4 introdujeron algunos de los conceptos b´asicos del m´etodo de elemento finito en t´erminos de los llamados elementos lineales. El resorte lineal el´astico, el elemento barra, el elemento viga, el elemento eje, y el elemento marco son elementos lineales porque sus propiedades estructurales pueden describirse en funci´on de una sola variable espacial que identifica la posici´on a lo largo del eje longitudinal del elemento. Las relaciones fuerza–desplazamiento para los elementos lineales son establecidas de manera dir´ecta, cuando estas relaciones se describen a partir de los conceptos elementales de la mec´ anica de materiales s´olidos deformables. Para extender el m´etodo de elemento finito a situaciones m´ as generales, particularmente las aplicaciones no–estructurales, se requieren de t´ecnicas matem´ aticas adicionales. En este cap´ıtulo, el m´etodo de errores residuales ponderados se describe en general y se da ´enfasis al m´etodo de Galerkin de residuos ponderados [51] como una herramienta para la formulaci´ on de modelos de elemento finito para esencialmente cualquier problema de campo gobernado por una ecuaci´on diferencial. 123
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
124
5.2.
El m´ etodo de residuos ponderados
Es un hecho b´ asico que la mayor´ıa de los problemas pr´acticos en ingenier´ıa son gobernados por ecuaciones diferenciales. Debido a las complejidades de geometr´ıa y solicitaci´on externa aplicada, raramente es posible hallar soluciones exactas a las ecuaciones gobernantes. Por consiguiente, es indispensable la aplicaci´on de t´ecnicas de aproximaci´ on para resolver las ecuaciones diferenciales que plantea el an´alisis de ingenier´ıa efectuado sobre el problema de inter´es. De hecho, el m´etodo de elemento finito es una de tales t´ecnicas. Sin embargo, el m´etodo de elemento finito est´a basado en muchas otras t´ecnicas aproximadas m´as–fundamentales, una de las cuales es discutida en detalle en esta secci´on y subsecuentemente ser´a aplicada a la formulaci´ on de elemento finito. El m´etodo de residuos ponderados (MRP) es una t´ecnica aproximada para resolver problemas de valores l´ımite que utiliza funciones de ensayo o prueba que satisfacen las condiciones l´ımite prescritas y plantean una formulaci´ on integral para minimizar el error, en un sentido promediado, sobre el dominio de definici´on del problema. El concepto general se describe aqu´ı en t´erminos de un caso uni–dimensional pero, como se muestra en los cap´ıtulos siguientes, la extensi´on a dos y tres dimensiones es relativamente directa. Dada una ecuaci´ on diferencial de la forma general a≤x≤b
D[ y(x), x ] = 0
(5.1)
sujeta a las condiciones de borde homog´eneas y(a) = y(b) = 0
(5.1a)
el m´etodo de residuos ponderados busca una soluci´on aproximada en la forma y ∗ (x) =
n X
ci Ni (x)
(5.2)
i=1
donde y ∗ es la soluci´ on aproximada expresada como el producto de ci , par´ametros constantes desconocidos inicialmente y por ser determinados, y Ni (x) funciones de ensayo (i = 1; n). El mayor requisito puesto sobre las funciones de ensayo es que ellas sean funciones isibles; es decir, las funciones de ensayo deben ser cont´ınuas sobre el dominio de inter´es y deben satisfacer las condiciones de borde especificadas exactamente. Adem´ as, las funciones de ensayo deben ser seleccionadas para satisfacer la “f´ısica” del problema en un sentido general. Dadas ´estas condiciones algo flojas, es muy improbable que la soluci´on representada por la Ecuaci´ on (5.2) sea exacta. En cambio, la substituci´on de la soluci´on supuesta en la ecuaci´ on diferencial [Ecuaci´on (5.1)], arrojar´a un error residual (de ahora en adelante simplemente llamado residuo) tal que R(x) = D[ y ∗ (x), x ] 6= 0
(5.3)
donde R(x) es el residuo (tambi´en llamado error residual). Notemos que el residuo tambi´en es una funci´on de los par´ ametros ci desconocidos. El m´etodo de residuos ponderados requiere que los par´ametros ci sean evaluados de modo que Z
b
wi (x)R(x)dx = 0
i = 1; n
(5.4)
a
donde wi (x) representa n funciones de ponderaci´ on arbitrarias. Nosotros observamos que, en el proceso de integraci´on, la Ecuaci´ on (5.4) resulta en n ecuaciones algebr´aicas que pueden resolverse para los n valores de los par´ ametros ci . En resumen, la Ecuaci´on (5.4) expresa que la suma (integral) de los errores residuales ponderados sobre el dominio del problema es cero (tratando que la aproximaci´on planteada coincida con la soluci´ on exacta). Debido a los requisitos impuestos sobre las funciones de ensayo, la soluci´ on es al final exacta en los puntos extremos del dominio (las condiciones de borde
´ 5.2. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
125
l´ımite deben satisfacerse) pero, en general, en cualquier punto interior el error residual es distinto de cero. Como se discute posteriormente en consecuencia, el MRP puede capturar la soluci´on ex´acta bajo ciertas condiciones, pero ´esta ocurrencia es la excepci´on en lugar de la regla. Existen muchas variaciones del MRP, y las t´ecnicas var´ıan principalmente en el modo en el que los factores de ponderaci´ on son determinados o seleccionados. Las t´ecnicas m´as comunes y usuales son la colocaci´ on de punto, colocaci´ on del subdominio, m´ınimos cuadrados, y el m´etodo de Galerkin [51]. Como ´este u ´ltimo es bastante simple en su uso y es prontamente adaptable al m´etodo de elemento finito, nosotros discutiremos s´ olamente el m´etodo de Galerkin. En el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin, las funciones de ponderaci´on son escogidas de modo que sean id´enticas a las funciones de ensayo o prueba; es decir, wi (x) = Ni (x)
i = 1; n
(5.5)
Por consiguiente, los par´ ametros desconocidos son determinados mediante Z
b
Z wi (x)R(x)dx =
a
b
Ni (x)R(x)dx = 0
i = 1; n
(5.6)
a
produciendo de nuevo n ecuaciones algebr´aicas para la evaluaci´on de los par´ametros desconocidos. Los ejemplos siguientes ilustran detalles del procedimiento. Ejemplo 5.1. Utilice el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin para obtener una soluci´on aproximada de la ecuaci´on diferencial d2 y − 10x2 = 5 0≤x≤1 dx2 con las condiciones de borde extremo y(0) = y(1) = 0. > Soluci´ on La presencia del t´ermino cuadr´ atico en la ecuaci´on diferencial sugiere que las funciones de prueba con aspecto polinomial son apropiadas en este caso. Para condiciones de borde extremo l´ımite homog´eneas en x = a y x = b, la forma general N (x) = (x − xa )p (x − xb )q con p y q siendo n´ umeros enteros positivos, autom´aticamente satisfacen las condiciones de borde y son cont´ınuas en el dominio xa ≤ x ≤ xb . Usando una funci´on de prueba individual, la forma m´as simple que satisface las condiciones de borde establecidas para el problema, resulta ser N1 (x) = x(x − 1) en virtud que xa = 0 y xb = 1. Usando esta funci´on de prueba, la soluci´on aproximada a la ecuaci´on diferencial planteada, estar´ a dada por la Ecuaci´on (5.2) que en el caso particular resulta y ∗ (x) = c1 x(x − 1) y la primera y segunda derivadas son dy ∗ = c1 (2x − 1) dx d2 y ∗ = 2c1 dx2
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
126
respectivamente. (Vemos a estas alturas, que la soluci´on de ensayo seleccionada no satisface la f´ısica del problema, puesto que hemos obtenido una segunda derivada de valor constante. La ecuaci´on diferencial es tal que la segunda derivada debe ser una funci´on cuadr´atica de x. No obstante estas observaciones, continuaremos el ejemplo para ilustrar el procedimiento). La substituci´ on de la segunda derivada de y ∗ (x) en la ecuaci´on diferencial proporciona el error residual como R(c1 , x) = 2c1 − 10x2 − 5 el cual claramente es no–nulo. La substituci´on en la Ecuaci´on (5.6) nos d´a Z 1 x(x − 1)(2c1 − 10x2 − 5)dx = 0 0
la cual despu´es de la integraci´ on arroja como resultado c1 = 4, de modo que la soluci´on aproximada se expresa como y ∗ (x) = 4 x(x − 1) Para este ejemplo relativamente simple, podemos comparar el resultado de soluci´on aproximada con la soluci´on exacta, obtenida por doble integraci´on de la ecuaci´on diferencial planteada como sigue: Z 2 Z 10x3 d y dy = dx = (10x2 + 5)dx = + 5x + C1 2 dx dx 3 Z Z 10x3 dy 5x2 5x4 y(x) = dx = + 5x + C1 dx = + + C1 x + C2 dx 3 6 2 Aplicando la condici´ on de borde y(0) = 0 obtenemos C2 = 0; mientras que la condici´on y(1) = 0 proporciona 5 5 + + C1 = 0 6 2 de donde C1 = −10/3. De aqu´ı, la soluci´ on exacta vendr´a dada por y(x) =
5 4 5 2 10 x + x − x 6 2 3 x
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
- 0.2 - 0.4 y(x) - 0.6 - 0.8 -1.0
Exacta Galerkin
- 1.2
Figura 5.1: Gr´ aficas de las soluciones del Ejemplo 5.1 Una comparaci´ on gr´ afica de las dos soluciones se bosqueja en la Figura 5.1, la cual muestra que la soluci´on aproximada est´ a en acuerdo razonable con la soluci´on exacta. Sin embargo, debemos notar
´ 5.2. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
127
que la soluci´ on aproximada de un solo t´ermino es sim´etrica sobre el intervalo de inter´es. Puede verse que esto no es correcto, simplemente examinando la ecuaci´on diferencial. La perturbaci´on principal en la ecuaci´ on diferencial (escrita en la forma d2 y/dx2 = 10x2 + 5) proviene del t´ermino cuadr´atico en x; por consiguiente, es improbable que la soluci´on sea sim´etrica. El ejemplo siguiente expande la soluci´on > aproximada y muestra c´ omo el m´etodo converge hacia la soluci´on exacta. Ejemplo 5.2. Obtener una soluci´ on aproximada de dos–t´erminos de clase Galerkin al problema planteado en el Ejemplo 5.1, usando las funciones de prueba N1 (x) = x(x − 1)
N2 (x) = x2 (x − 1)
> Soluci´ on La soluci´ on aproximada con dos t´erminos en este caso es y ∗ (x) = c1 x(x − 1) + c2 x2 (x − 1) y la segunda derivada es d2 y ∗ = 2c1 + 2c2 (3x − 1) dx2 Substituyendo en la ecuaci´ on diferencial, obtenemos el residuo siguiente: R(x, c1 , c2 ) = 2c1 + 2c2 (3x − 1) − 10x2 − 5 Utilizando las funciones de prueba como funciones de ponderaci´on, por el m´etodo de Galerkin, las ecuaciones residuales resultan Z 1 x(x − 1)[2c1 + 2c2 (3x − 1) − 10x2 − 5]dx = 0 Z
0 1
x2 (x − 1)[2c1 + 2c2 (3x − 1) − 10x2 − 5]dx = 0
0
Luego de la integraci´ on y simplificaci´on de t´erminos, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones algebr´aico c2 4 c1 + =0 − − 3 6 3 c1 2c2 3 − − + =0 6 15 4 La soluci´ on simult´ anea del sistema anteriormente planteado, arroja como resultado c1 =
19 6
c2 =
5 3
de modo que la soluci´ on aproximada de dos t´erminos es y ∗ (x) =
19 5 5 3 19 x(x − 1) + x2 (x − 1) = x3 + x2 − x 6 3 3 2 6
Para comparaci´ on se dibujan: la soluci´on exacta, y las soluciones de uno y dos t´erminos, en una sola gr´afica que se muestra en la Figura 5.2. Las diferencias entre la soluci´on exacta y la soluci´on aproximada > Galerkin de dos t´erminos, son escasamente discernibles porque la coincidencia es casi plena.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
128
x 0
0
0.1
0.3
0.2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
- 0.2 - 0.4 y(x) - 0.6 - 0.8 -1.0
Exacta 1 Término 2 Términos
- 1.2
Figura 5.2: Gr´ aficas de las soluciones del Ejemplo 5.2 Ejemplo 5.3. Use el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin para obtener la aproximaci´on de un–t´ermino a la soluci´on de la ecuaci´ on diferencial d2 y + y = 4x dx2
0≥x≥1
con las condiciones de borde: y(0) = 0, y(1) = 1. > Soluci´ on Aqu´ı las condiciones de borde l´ımite no son homog´eneas [y(1) 6= 0], de modo que se requiere una modificaci´on al m´etodo presentado. Al contrario del caso de condiciones de borde l´ımite homog´eneas, no es posible construir una soluci´ on de ensayo de la forma c1 N1 (x) que satisfaga las dos condiciones l´ımite declaradas. En cambio, asumimos una soluci´on de prueba como y ∗ (x) = c1 N1 (x) + f (x) donde N1 (x) satisface las condiciones de borde homog´eneas, y f (x) se escoge de modo que satisfaga las condiciones de borde no–homog´eneas. (Notemos que, si ambas condiciones de borde fuesen no– homog´eneas, dos de tales funciones deber´ıan ser incluidas). Una de las soluciones aproximadas ser´ıa y ∗ (x) = c1 x(x − 1) + x la cual satiaface y(0) = 0 y y(1) = 1, id´enticamente como puede comprobarse. La substituci´ on en la ecuaci´ on diferencial proporciona el error residual R(c1 , x) =
d2 y ∗ + y ∗ − 4x = 2c1 + c1 x2 − c1 x + x − 4x = c1 x2 − c1 x + 2c1 − 3x dx2
y, la integral residual ponderada llega a ser Z 1 Z 1 N1 (x)R(c1 , x)dx = x(x − 1)(c1 x2 − c1 x + 2c1 − 3x)dx = 0 0
0
Aunque el manipuleo algebr´ aico es tedioso, la integraci´on es directa y proporciona c1 = 5/6. Por tanto, la soluci´on aproximada es 5 5 1 y ∗ (x) = x(x − 1) + x = x2 + x 6 6 6
´ 5.2. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
129
Como en el ejemplo anterior, tenemos el lujo de comparar la soluci´on aproximada con la soluci´on exacta, la cual es y(x) = 4 x − 3,565 sin x
1.2 Exacta Galerkin
1.0
0.8
y(x) 0.6 0.4
0.2 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Figura 5.3: Gr´aficas de las soluciones del Ejemplo 5.3 La soluci´ on aproximada y la soluci´on exacta se muestran en la Figura 5.3 para una comparaci´on. De nuevo, se observa coincidencia razonable de resultados; pero podr´ıa mejorarse agregando una segunda > funci´on de ensayo a la soluci´ on aproximada, como lo hicimos en el ejemplo anterior. C´omo uno sabe cu´ ando la soluci´ on del MRP es bastante exacta ?. Es decir, c´omo nosotros determinamos si la soluci´ on est´ a cerca de la soluci´on exacta ?. Esta pregunta de convergencia debe plantearse en todas las t´ecnicas de soluci´ on aproximadas. Si nosotros no conocemos la soluci´on exacta, y raramente lo hacemos, debemos desarrollar alg´ un criterio para determinar el grado de exactitud de nuestra soluci´on aproximada. En general, para el m´etodo de los residuos ponderados, el procedimiento es continuar obteniendo soluciones mientras se incremente el n´ umero de funciones de ensayo y notar el comportamiento de la soluci´ on al introducir estas variaciones. Si la soluci´on cambia muy poco cuando aumentamos el n´ umero de funciones de ensayo, podemos decir que la soluci´on converge. Ahora, si la soluci´on converge a la soluci´ on correcta o verdadera es todav´ıa otra pregunta a ser respondida. El detalle de estas cuestiones est´ a m´ as all´ a del alcance de este libro, un gran cuerpo de la matem´atica te´orica est´a dirigida a las preguntas sobre convergencia y si la convergencia es hacia la soluci´on correcta. En el contexto de este trabajo, nosotros asumimos que una soluci´on que converge, lo hace hacia la soluci´on correcta. Ciertas pruebas de car´ acter externo al procedimiento de la soluci´on, pueden hacerse para determinar la “racionalidad” de una soluci´on num´erica en el caso de problemas f´ısicos. Estas pruebas incluyen el equilibrio est´ atico y din´ amico, el equilibrio de energ´ıa, el balance de calor y flujo fluido, y muchos otros que se discutir´ an en los cap´ıtulos siguientes. Seguramente usted tiene la impresi´on que en los ejemplos anteriores se aplic´o una metodolog´ıa de prueba de ensayo–error; sin embargo ello est´a muy alejado de la realidad. El encontrar funciones de prueba para aplicaci´ on del m´etodo de residuos ponderados no es aleatorio como podr´ıa suponerse, porque si se usara ´esta t´ecnica se deber´ıa tener una gran experiencia en el conocimiento del an´alisis funcional. En los ejemplos anteriores, nosotros usamos funciones de prueba “preparadas” para satisfacer autom´aticamente las condiciones de borde l´ımite, pero las mismas no se basaron en un procedimiento sistem´atico. Mientras que absolutamente nada est´a equivocado con este procedimiento, presentamos ahora un procedimiento basado en funciones de ensayo polin´omicas, que dan un m´etodo sistem´atico para aumentar el n´ umero de funciones de ensayo y, de ello, una ayuda en la examinaci´on del problema
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
130
de convergencia de la soluci´ on aproximada. El procedimiento se ilustra en el contexto del ejemplo siguiente. Ejemplo 5.4. Resuelva el problema de los Ejemplos 5.1 y 5.2, asumiendo una forma polin´omica general para la soluci´on aproximada, como la siguiente y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · > Soluci´ on Para un primer ensayo, tomamos s´ olo la forma cuadr´atica y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 y, aplicamos las condiciones de borde para obtener y ∗ (0) = 0 = c0 y ∗ (1) = 0 = c1 + c2 La segunda ecuacion de condici´ on l´ımite muestra que c1 y c2 no son independientes si la condici´on l´ımite homog´enea se satisface exactamente. En cambio, obtenemos la relaci´on de restricci´on c2 = −c1 . La soluci´on de ensayo se vuelve y ∗ (x) = c1 x + c2 x2 = c1 x − c1 x2 = c1 x(1 − x) y es lo mismo que la soluci´ on obtenida en el Ejemplo 5.1, si c1 = −4. Luego, agregamos el t´ermino c´ ubico y escribimos la soluci´on de ensayo como y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 La aplicaci´on de las condiciones de borde resulta en y ∗ (0) = 0 = c0 y ∗ (1) = 0 = c1 + c2 + c3 as´ı que tenemos la relaci´ on de restricci´ on c1 + c2 + c3 = 0. Expresando esta ecuaci´on de restricci´on como c3 = −(c1 + c2 ), la soluci´ on de ensayo resulta y ∗ (x) = c1 x + c2 x2 + c3 x3 = c1 x + c2 x2 − (c1 + c2 )x3 = c1 x(1 − x2 ) + c2 x2 (1 − x) y hemos obtenido dos funciones de ensayo, cada una que satisface id´enticamente las condiciones de borde l´ımite. La determinaci´ on de las constantes para la soluci´on de dos–t´erminos se deja como ejercicio de fin de cap´ıtulo. En cambio, nosotros agregaremos el t´ermino con exponente 4, y examinaremos la soluci´on de ensayo. y ∗ (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 y las condiciones de borde dan c0 = 0 c1 + c2 + c3 + c4 = 0 Usamos la relaci´ on de restricci´ on para eliminar (arbitrariamente) el coeficiente c4 [ es decir que tomamos c4 = −(c1 + c2 + c3 ) ], para obtener y ∗ (x) = c1 x + c2 x2 + c3 x3 − (c1 + c2 + c3 )x4 = c1 x(1 − x3 ) + c2 x2 (1 − x2 ) + c3 x3 (1 − x)
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
131
Substituyendo en la ecuaci´ on diferencial, el error residual resulta ser R(x, c1 , c2 , c3 ) = −12c1 x2 + c2 (2 − 12x2 ) + c3 (6x − 12x2 ) − 10x2 − 5 = −12(c1 + c2 + c3 + 5/6)x2 + 6c3 x + (2c2 − 5) Si ponemos la expresi´ on residual igual a cero, e igualamos los coeficientes de las potencias de x, hallamos que el residuo es exactamente nulo si c1 = − de modo que: y ∗ (x) =
10 3
c2 =
5 2
c3 = 0
c4 =
5 6
5 4 5 2 10 x + x − x ; y hemos obtenido la soluci´on exacta. 6 2 3
>
El procedimiento detallado en el ejemplo anterior representa un procedimiento sistem´atico para desarrollar funciones de ensayo polin´omicas y tambi´en es aplicable al caso m´as habitual de condiciones l´ımite no–homog´eneas. Algebr´ aicamente, el proceso es directo pero se pone bastante tedioso cuando el n´ umero de funciones de ensayo es aumentado (i.e., el orden del polinomio). Habiendo perfilado la t´ecnica general del m´etodo de residuos ponderados de Galerkin, ahora desarrollaremos el m´etodo de elemento finito de Galerkin basado en el MRP.
5.3.
El m´ etodo de elemento finito Galerkin
El m´etodo cl´ asico de residuos ponderados descrito en la secci´on anterior utiliza funciones de ensayo que son globales; es decir, cada funci´on de ensayo debe aplicarse sobre el dominio entero de inter´es e id´enticamente debe satisfacer las condiciones l´ımite. Particularmente en los casos pr´acticos de los problemas bi y tri–tridimensionales gobernados por ecuaciones diferenciales parciales, el “descubrimiento” de funciones de prueba apropiadas y la determinaci´on de la exactitud de las soluciones resultantes es tarea formidable. Sin embargo, el concepto de minimizar el error residual es r´apidamente adaptado al contexto del elemento finito usando el desarrollo propuesto por Galerkin como sigue a continuaci´on. Por motivos pedag´ ogicos y prop´ ositos ilustrativos, consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial d2 y + f (x) = 0 dx2
a≤x≤b
(5.7)
sujeta a las condiciones de borde y(a) = ya
y(b) = yb
(5.7a)
El dominio del problema es dividido en M “elementos” [v´ease la Figura 5.3(a)] los que en conjunto contienen M + 1 valores xi de la variable independiente, siendo que x1 = xa y xM +1 = xb para asegurar la inclusi´ on de los l´ımites globales. Una soluci´on aproximada es asumida en la forma M +1
y ∗ (x) =
X
yi ni (x)
(5.8)
i=1
donde yi es el valor de la funci´ on soluci´on en x = xi y ni (x) es la correspondiente funci´on de prueba. Notemos que, en esta formulaci´ on, los par´ametros constantes desconocidos ci del m´etodo de residuos ponderados llegan a ser valores discretos desconocidos de la funci´on soluci´on evaluada en puntos espec´ıficos del dominio. Tambi´en existe una diferencia mayor en las funciones de ensayo. Como es usado en la Ecuaci´ on(5.8), las funciones de ensayo ni (x) son no–nulas s´olamente sobre una porci´on peque˜ na
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
132
n1(x) 1
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
x3
x4
x5
n2(x) 1
n3(x) 1
n4(x) 1
2
1 x1 ( xa )
x2
3
M xM
x3
xM+1 ( xb )
(a) Dominio xa ≤ x ≤ xb discretizado en M elementos
(b) Primeras cuatro funciones de ensayo
Figura 5.4: Discretizaci´ on del dominio y funciones de ensayo de soluci´on aproximada. del dominio global del problema. Espec´ıficamente, una funci´on de ensayo ni (x) es no–nula en el intervalo xi−1 < x < xi+1 , y para facilidad de ilustraci´on, usamos funciones lineales definidas como sigue: x − xi−1 ni (x) = xi−1 ≤ x ≤ xi xi − xi−1 xi+1 − x (5.9) xi ≤ x ≤ xi+1 ni (x) = xi+1 − xi ni (x) = 0 x < xi−1 x > xi+1 Claramente, en este caso, las funciones de ensayo son simplemente funciones de interpolaci´on absolutamente lineales, tales que el valor de la soluci´on y ∗ (x) en xi < x < xi+1 es una combinaci´on lineal de los valores “nodales” adyascentes yi y yi+1 . Las primeras cuatro funciones de ensayo son como las mostradas en la Figura 5.3(b); y observamos que, en el intervalo x2 < x < x3 por ejemplo, la soluci´on aproximada como es dada por la Ecuaci´ on (5.8) es y ∗ (x) = y2 n2 (x) + y3 n3 (x) = y2
x3 − x x − x2 + y3 x3 − x2 x3 − x2
(5.10)
(Las funciones de ensayo usadas aqu´ı son lineales, pero se pueden usar funciones de orden–superior como mostraremos posteriormente cuando apliquemos la t´ecnica al an´alisis del elemento viga). La substituci´ on de la soluci´ on asumida descrita por la Ecuaci´on (5.8) en la Ecuaci´on (5.7) gobernante del problema, proporciona el error residual como M M +1 2 ∗ +1 X d y X d2 R(x, yi ) = + f (x) = {yi ni (x)} + f (x) (5.11) dx2 dx2 i=1 i=1 al cual aplicamos el m´etodo de residuos ponderados de Galerkin usando como funciones de ponderaci´on las funciones de interpolaci´ on aqu´ı planteadas, para obtener Zxb
Zxb nj (x)R(x, yi )dx =
xa
xa
M +1
X d2 nj (x) {yi ni (x)} + f (x) dx = 0 dx2 i=1
j = 1; M + 1
(5.12)
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
133
En vista de la Ecuaci´ on (5.9) y la Figura 5.3(b), observamos que, en cualquier intervalo arbitrario xj ≤ x ≤ xj+1 , s´ olo dos de las funciones de ensayo son no–nulas. Tomando esta observaci´on en cuenta, la ecuaci´ on anterior puede expresarse como xZj+1
nj (x)
d2 {y n (x) + y n (x)} + f (x) dx = 0 j j j+1 j+1 dx2
j = 1; M + 1
(5.13)
xj
La integraci´ on de la Ecuaci´ on (5.13) proporciona M + 1 ecuaciones algebr´aicas en los M + 1 valores nodales soluci´ on yj desconocidos, y estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial como [ K ]{y} = {F }
(5.14)
donde simb´ olicamente [ K ] es la matriz de “rigidez” del sistema, {y} es el vector de “desplazamientos” nodales, y {F } es el vector de “fuerzas” nodales. La Ecuaci´on (5.12) es la declaraci´on formal del m´etodo de elemento finito Galerkin e incluye ambos pasos de definici´on: la formaci´on del elemento y su ensamble en el sistema. Escrito en t´erminos de integraci´on sobre el dominio completo del problema, ´esta formulacin muestra claramente la base matem´atica en el m´etodo de residuos ponderados. Sin embargo, las Ecuaciones (5.13) muestran que la integraci´on sobre s´olo cada elemento es requerida para cada una de las ecuaciones. Ahora procedemos a examinar la formulaci´on del elemento separado individualmente, basada en el m´etodo de Galerkin.
5.3.1.
Formulaci´ on de elemento
Si la soluci´ on exacta para la Ecuaci´on (5.7) se obtiene, entonces esa soluci´on satisface la ecuaci´on en cualquier subdominio en (a, b) tambi´en. Considere el problema d2 y + f (x) = 0 dx2
xj ≤ x ≤ xj+1
(5.15)
donde xj y xj+1 est´ an contenidos en (a, b) y definen los nodos de un elemento finito. Las apropiadas condiciones de borde aplicables a la Ecuaci´on (5.15) son y(xj ) = yj
y(xj+1 ) = yj+1
(5.15a)
y estos son los valores inc´ ognita de la soluci´on en los puntos extremos del subdominio. A continuaci´on, proponemos una soluci´ on aproximada de la forma y (e) (x) = yj N1 (x) + yj+1 N2 (x)
(5.16)
donde el super–´ındice (e) indica que la soluci´on es para el elemento finito planteado anteriormente, y las funciones de interpolaci´ on N1 y N2 son definidas ahora como xj+1 − x xj+1 − xj x − xj N2 (x) = xj+1 − xj N1 (x) =
xj ≤ x ≤ xj+1
(5.17a)
xj ≤ x ≤ xj+1
(5.17b)
Note usted la relaci´ on entre las funciones de interpolaci´on definidas en las Ecuaciones (5.17) y las funciones de ensayo en la Ecuaci´ on (5.9). Las funciones de interpolaci´on corresponden a las porciones superpuestas de las funciones de ensayo aplicables en el dominio de un solo elemento. Tambi´en note que las funciones de interpolaci´ on satisfacen las condiciones N1 (x = xj ) = 1 N2 (x = xj ) = 0
N1 (x = xj+1 ) = 0 N2 (x = xj+1 ) = 1
(5.18)
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
134
de modo que las condiciones de borde (nodales) especificadas en la Ecuaci´on (5.15a), se satisfacen id´enticamente. La substituci´ on de la soluci´on asumida en la Ecuaci´on (5.15) d´a el residuo como R(e) (x, yj , yj+1 ) =
d2 d2 y (e) + f (x) = [yj N1 (x) + yj+1 N2 (x)] + f (x) 6= 0 dx2 dx2
(5.19)
donde el super–´ındice es usado nuevamente para indicar que el residuo calculado es para el elemento. Aplicando el criterio de los residuos ponderados de Galerkin, resulta en xZj+1
xZj+1 (e)
Ni (x)R (x, yj , yj+2 )dx = xj
Ni (x)
d2 y (e) + f (x) dx = 0 dx2
i = 1, 2
(5.20)
xj
o tambi´en xZj+1
d2 y (e) dx + Ni (x) dx2
xZj+1
Ni (x)f (x)dx = 0
i = 1, 2
(5.21)
xj
xj
como las ecuaciones residuales de elemento. Aplicando integraci´ on por partes a la primera integral resulta en xZj+1 xZj+1 x dy (e) j+1 dNi dy (e) Ni (x) − dx + Ni (x)f (x)dx = 0 dx xj dx dx xj
i = 1, 2
(5.22)
xj
lo cual, despu´es de la evaluaci´ on del t´ermino no–integral y reordenando es equivalente al sistema de dos ecuaciones siguiente xZj+1
dN1 dy (e) dx = dx dx
xj xZj+1 xj
xZj+1 xj
dN2 dy (e) dx = dx dx
dy (e) N1 (x)f (x)dx + dx xj
xZj+1
N2 (x)f (x)dx + xj
dy (e) dx xj+1
(5.23a)
(5.23b)
Notemos que en el proceso de obtenci´ on de las Ecuaciones (5.23) hemos hecho uso de las propiedades expl´ıcitamente indicadas en la Ecuaci´ on (5.18) en la evaluaci´on de las funciones de interpolaci´on en los nodos del elemento. La integraci´ on por partes de uno de los t´erminos de la Ecuaci´on (5.21) trae tres beneficios destacables 1. El orden m´ as alto de las derivadas que aparecen en las ecuaciones de elemento ha sido reducido en una unidad. 2. Como se observar´ a explcitamente, la matriz de rigidez fue hecha sim´etrica. Si nosotros no integr´aramos por partes, una de las funciones de ensayo en cada ecuaci´on ser´ıa diferenciada dos veces y la otra funci´ on de ensayo no se diferenciar´ıa en absoluto. 3. La integraci´ on por partes introduce las condiciones de borde gradiente (de la pendiente de la funci´on) en los nodos del elemento. La importancia f´ısica de las condiciones l´ımite de gradiente se pondr´an claras en las aplicaciones f´ısicas subsecuentes.
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
135
Poniendo j = 1 por simplicidad de notaci´on, y substituyendo la Ecuaci´on (5.16) en las Ecuaciones (5.23) resulta Zx2
dN1 dx
x1
Zx2
Zx2 dy (e) dN1 dN2 y1 + y2 dx = N1 (x)f (x)dx + dx dx dx x1
(5.24a)
Zx2 dy (e) dN1 dN2 y1 + y2 dx = N2 (x)f (x)dx + dx dx dx x2
(5.24b)
x1
dN2 dx
x1
x1
las cuales son de la forma k11 k21
k12 k22
y1 F1 = y2 F2
(5.25)
Los t´erminos de la matriz de coeficientes (elementos de rigidez) est´an definidos por Zx2 kij =
dNi dNj dx dx
i, j = 1, 2
(5.26)
x1
y las fuerzas nodales de elemento est´an dadas por los lados derechos de las Ecuaciones (5.24).
3 x3
4 x4
x5
y3(4) = y3(4) dy (3) dy (4) 6= dx x4 dx x4 Figura 5.5: Dos elementos unidos en un nodo com´ un Si el procedimiento descrito de Galerkin para la formulaci´on de elemento se sigue y las ecuaciones del sistema son ensambladas de la manera usual como en el m´etodo directo de rigidez, las ecuaciones resultantes del sistema son id´enticas en cada aspecto a aqu´ellas obtenidas por el procedimiento representado por la Ecuaci´ on (5.11). Es importante observar que, durante el proceso de ensamble, cuando dos elementos se unen en un nodo com´ un como en la Figura 5.5, por ejemplo, la ecuaci´on ensamblada del sistema para el nodo contiene un t´ermino en el lado derecho de la forma dy (3) dy (4) − + (5.27) dx x4 dx x4 Si la soluci´ on de elemento finito fuera la soluci´on exacta, las primeras derivadas de cada elemento indicadas en la Ecuaci´ on (5.27) deber´ıan ser iguales y el valor de la expresi´on deber´ıa ser cero. Sin embargo, las soluciones de elemento finito raramente son exactas, por lo que ´estos t´erminos no son, en general, cero. No obstante, en el procedimiento de ensamble, se asume que en todos los nodos interiores, las condiciones de gradiente que posee la variable involucrada aparecen como iguales y opuestas en los elementos adyacentes y as´ı la cancelaci´on se efect´ ua a menos que una influencia externa act´ ue en el nodo. Sin embargo, en los nodos de borde l´ımite globales, los t´erminos gradiente pueden especificar condiciones l´ımite o representar “reacciones” obtenidas mediante la fase de soluci´on. De hecho, una t´ecnica muy poderosa para obtener exactitud de las soluciones de elemento finito es examinar la magnitud de las discontinuidades del gradiente en los nodos o, m´as generalmente, en fronteras de inter–elementos.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
136
La minimizaci´ on de las discontinuidades que presentan la derivadas sucesivas de la variable involucrada en el fen´ omeno en estudio tiene estrecha relaci´on con la convergencia de la soluci´on aproximada obtenida por aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito hacia la soluci´on anal´ıtica exacta. Esto resulta evidente del hecho que si por ejemplo se minimizan las discontinuidades que presenta la primera derivada de la variable de inter´es, el “ajuste” que posee la soluci´on aproximada descrita por la funci´on no–derivada aproximada es mucho m´ as estrecho con relaci´on a la funci´on de soluci´on exacta del problema. Ejemplo 5.5. Use el m´etodo de Galerkin para formular un elemento finito lineal que permita resolver la siguiente ecuaci´on diferencial dy d2 y − 4x = 0 x 2+ dx dx con las condiciones de borde l´ımite: y(1) = y(2) = 0 > Soluci´ on Primero, notemos que la ecuaci´ on diferencial es equivalente a d dy x − 4x = 0 dx dx la cual, luego de dos integraciones directas y la aplicaci´on de las condiciones de borde, tiene la soluci´on exacta 3 y(x) = x2 − ln x − 1 ln 2 Para la soluci´ on de elemento finito, la aproximaci´on m´as simple es usar un elemento con dos nodos extremos para el cual la soluci´ on de elemento se asume como x2 − x x − x1 y(x) = N1 (x) y1 + N2 (x) y2 = y1 + y2 x2 − x1 x2 − x1 donde y1 y y2 son los valores nodales. La ecuaci´on residual para el elemento es Zx2 dy d x − 4x dx = 0 i = 1, 2 Ni dx dx x1
que luego de ser integrada por partes en su primer t´ermino adopta la forma x Zx2 Zx2 dy 2 dNi dy Ni x − x dx − 4 x Ni dx = 0 i = 1, 2 dx x1 dx dx x1
x1
Substituyendo la forma propuesta para la soluci´on de elemento y reordenando, tenemos x Zx2 Zx2 dNi dN1 dN2 dy 2 x y1 + y2 dx = Ni x − 4 x Ni dx i = 1, 2 dx dx dx dx x1 x1
x1
Expandiendo las dos ecuaciones representadas por el u ´ltimo resultado despu´es de la substituci´on de las funciones de interpolaci´ on y las primeras derivadas de las mismas, resulta Zx2 Zx2 dy 1 x2 − x x (y1 − y2 ) dx = −x1 −4 x dx 2 (x2 − x1 ) dx x1 x2 − x1 1 (x2 − x1 )2
x1 Zx2 x1
x1
Zx2 x − x1 dy x (y2 − y1 ) dx = x2 −4 x dx dx x2 x2 − x1 x1
´ 5.3. EL METODO DE ELEMENTO FINITO GALERKIN
137
La integraci´ on de los t´erminos a la izquierda de la igualdad revela la matriz de rigidez de elemento como x22 − x21 1 −1 [ k (e) ] = 2(x2 − x1 )2 −1 1 mientras que las condiciones de borde gradiente y las fuerzas nodales son evidentes en el lado derecho de las ecuaciones posteriores al signo de igualdad. Para ilustrar, se formula una soluci´on de dos–elementos tomando los nodos igualmente espaciados en x = 1 – 1,5 – 2, como sigue. Elemento 1
F1(1)
x1 = 1 Z = −4
x2 = 1,5 1,5
x
1,5 − x dx = −1,1666 . . . 1,5 − 1
x
x−1 dx = −1,3333 . . . 1,5 − 1
1
Z F2(1) = −4 1
k = 2,5
1,5
Elemento 2 x1 = 1,5 x2 = 2 k = 3,5 Z 2 2−x dx = −1,6666 . . . F1(2) = −4 x 2 − 1,5 1,5 Z 2 x − 1,5 (2) dx = −1,8333 . . . F2 = −4 x 2 − 1,5 1,5 Las ecuaciones de elemento son entonces dy (1) −1,1667 + dx 2,5 −2,5 y1 x1 = −2,5 2,5 y2(1) dy −1,3333 + 1,5 dx
x2
dy (2) −1,1667 − 1,5 dx 3,5 −3,5 y1 x 2 = (2) −3,5 3,5 y2 −1,8333 + 2 dy dx
x3
Denotando los valores nodales del sistema como Y1 , Y2 , Y3 en x = 1 – 1,5 – 2 respectivamente; las ecuaciones ensambladas del sistema son −1,1667 + dy dx 2,5 −2,5 0 Y1 x1 −2,5 6 −3,5 Y2 = −3 0 −3,5 3,5 Y3 −1,8333 + 2 dy dx
x3
Aplicando las condiciones de borde globales Y1 = Y3 = 0, la segunda de las ecuaciones indicadas d´a Y2 = −0,5 y la substituci´ on de este valor en las otras dos ecuaciones proporciona los valores de los gradientes en los l´ımites como dy dy = −2,4167 = 1,7917 dx x1 dx x3 Para comparaci´ on la soluci´ on exacta arroja los siguientes valores soluci´on dy dy Y2 = −0,5049 = −2,4167 = 1,8360 dx x1 dx x3
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
138
Aunque los detalles de c´ alculo num´erico se dejan como ejercicio para el lector al final del cap´ıtulo, aqu´ı presentamos una soluci´ on de cuatro–elementos para este ejemplo (nuevamente usando nodos igualmente espaciados en xi = 1,0 – 1,25 – 1,5 – 1,75 – 2,0) cuyo desarrollo se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones globales −0,5417 − dy dx 4,5 −4,5 0 0 0 Y1 x1 −4,5 10 −5,5 0 0 −1,25 Y 2 Y3 = 0 −5,5 12 −6,5 0 −1,5 0 0 −6,5 14 −7,5 −1,75 Y4 0 0 0 −7,5 7,5 Y5 −0,9583 + 2 dy dx
x5
Aplicando las condiciones de borde Y1 = Y5 = 0 y resolviendo el sistema 3×3, se obtienen los siguientes resultados Y2 = −0,4026 Y3 = −0,5047 Y4 = −0,3603 dy dy = −2,350 = 1,831 dx dx x1
x5
x 0
0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.5
- 0.1 - 0.2 y(x) - 0.3 - 0.4 -0.5
Exacta 2 Elementos 4 Elementos
- 0.6
Figura 5.6: Gr´ aficas de las soluciones del Ejemplo 5.5 Para efectuar la comparaci´ on pertinente, se muestran las gr´aficas obtenidas de las soluciones de dos y cuatro–elementos juntamente con la soluci´on exacta, en la Figura 5.6. La soluci´on de dos–elementos se ve que es una aproximaci´ on grosera excepto en los nodos del elemento y la discontinuidad de la derivada se aprecia ser significante. La soluci´on de cuatro–elementos tiene los valores calculados de y(x) en los nodos, que son casi id´enticos a la soluci´on exacta. Con cuatro–elementos, las magnitudes de las discontinuidades de las primeras derivadas en los nodos son reducidas, pero todav´ıa aparentemente muy aproximadas a los valores exactos. > El ejemplo anterior claramente muestra la convergencia de la soluci´on aproximada hacia la soluci´on exacta a medida que el n´ umero de elementos utilizado en el modelo de elemento finito de Galerkin se incrementa. N´ otese adem´ as que la soluci´ on aproximada se podr´ıa optimizar si se utilizaran funciones de prueba de orden–superior.
5.4.
Aplicaci´ on en elementos estructurales
Habiendo demostrado mediante los Ejemplos anteriores que el m´etodo de elemento finito de Galerkin funciona muy adecuadamente en la obtenci´on de soluciones aproximadas para ecuaciones diferen-
´ EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES 5.4. APLICACION
139
ciales planteadas en un contexto estr´ıctamente matem´atico, es oportuno proceder a la aplicaci´on del m´etodo explicado recientemente a ecuaciones diferenciales que gobiernan problemas de ´ındole f´ısica. En los siguientes ac´ apites mostraremos la aplicaci´on del m´etodo de Galerkin a un par de situaciones del ´ambito de la mec´ anica estructural que y´a fueron abordadas por t´ecnicas m´as elementales.
5.4.1.
El elemento barra
Reconsiderando la barra el´ astica o elemento axial del Cap´ıtulo 2 y recordando que ´este es un elemento que posee deformaci´ on unitaria constante (por consiguiente, tensi´on interna constante), la ecuaci´on de equilibrio aplicable se obtiene usando las Ecuaciones (2.27) y (2.28) como sigue d d2 u(x) dσx =0 = (Ex ) = E dx dx dx2
(5.28)
donde hemos asumido el m´ odulo de elasticidad constante, y hemos expresado la deformaci´on unitaria interna en t´erminos del campo de desplazamientos internos. Denotando con L la longitud del elemento, el campo de desplazamientos es discretizado acorde con la Ecuaci´on (2.16) como x x u(x) = N1 (x) u1 + N2 (x) u2 = 1 − u1 + u2 (5.29) L L Y, puesto que el dominio de inter´es es el volumen del elemento, la ecuaci´on residual de Galerkin llega a ser 2 ZZZ ZL 2 d u) Ed u Ni (x) E 2 dV = Ni Adx = 0 i = 1, 2 (5.30) dx dx2 0
V
donde dV = A dx, siendo A el ´ area de la secci´on transversal del elemento. Integrando por partes y re–ordenando, obtenemos L ZL dNi du du AE dx = Ni A E (5.31) dx dx dx 0 0
la cual, usando la Ecuaci´ on (5.29) llega a ser ZL AE 0
ZL AE 0
dN1 d du (N1 u1 + N2 u2 )dx = −A E = −A E |x=0 = −A σx |x=0 dx dx dx x=0
(5.32a)
dN2 d du (N1 u1 + N2 u2 )dx = A E = A E |x=L = A σx |x=L dx dx dx x=L
(5.32b)
Interpretando los t´erminos que aparecen en el lado derecho de las anteriores ecuaciones, notamos que, para el elemento barra las condiciones de borde del gradiente simplemente representan las fuerzas externas aplicadas en los puntos nodales extremos del elemento, ya que f = σ A. Las Ecuaciones (5.32) f´ acilmente son combinadas para ser presentadas en forma matricial como ZL " dN1 AE 0
dN1 dx dx dN1 dN2 dx dx
dN1 dN2 dx dx dN2 dN2 dx dx
# dx
u1 f1 = u2 f2
(5.33)
donde los coeficientes de la matriz son integrados independientemente (la integral de una matriz es igual a la integral de los t´erminos que la definen).
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
140
Efectuando primeramente las derivadas de las funciones de interpolaci´on y luego integrando los coeficientes de la matriz, como puede comprobarse se obtiene la siguiente relaci´on A E 1 −1 u1 f1 = (5.34) u2 f2 L −1 1 la cual como puede verificarse es el mismo resultado que fu´e obtenido en el Cap´ıtulo 2 para el elemento barra (v´ease la Ecuaci´ on (2.32) y compare). Esto simplemente ilustra la equivalencia del m´etodo de Galerkin y los m´etodos de equilibrio y energ´ıa (teorema de Castigliano) usados anteriormente para la formulaci´on de elemento finito del elemento barra.
5.4.2.
El elemento viga
La aplicaci´ on del m´etodo de Galerkin al elemento viga empieza con la consideraci´on de las condiciones de equilibrio de una porci´ on diferencial tomada a lo largo del eje longitudinal de una viga cargada como se muestra en la Figura 5.7, donde q(x) representa una carga distribu´ıda expresada como la fuerza transversal actuante por unidad de longitud, V el esfuerzo cortante interno, y M el momento flector interno. Considerando que q puede variar arbitrariamente, se asume que es constante sobre una longitud diferencial dx que consideramos. La condici´on de equilibrio de fuerzas en la direcci´on y es y
q(x)
M+ dM dx dx
M
x V
dx
V+ dV dx dx
Figura 5.7: Porci´ on diferencial de una viga cargada dV −V + V + dx + q(x)dx = 0 dx de donde
dV = −q(x) (5.35) dx El equilibrio de momentos alrededor de un punto en la cara izquierda del elemento es expresado como dM dV dx M+ dx − M + V + dx dx + [ q(x)dx ] =0 dx dx 2 lo cual, despreciando infinit´esimos de segundo orden proporciona dM = −V dx
(5.36)
Combinando las ecuaciones (5.35) y (5.36) obtenemos d2 M = q(x) dx2 Recordando, de la teor´ıa elemental de mec´anica de s´olidos, que la f´ormula de flexi´on correspondiente a las convenciones de signo de la Figura 5.7 es M = E Iz
d2 υ dx2
(5.37)
´ EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES 5.4. APLICACION
141
(donde siguiendo la notaci´ on del Cap´ıtulo 4, υ representa el desplazamiento en la direcci´on y), que en combinaci´ on con la Ecuaci´ on 5.42 proporciona la ecuaci´on gobernante para la flexi´on de la viga como E Iz
d4 υ = q(x) dx4
(5.38)
El m´etodo del elemento finito de Galerkin es aplicado tomando la soluci´on del desplazamiento en la forma 4 X υ(x) = N1 (x)υ1 + N2 (x)θ1 + N3 (x)υ2 + N4 (x)θ2 = Ni (x)δi (5.39) i=1
como en el Cap´ıtulo 4, usando las funciones de interpolaci´on establecidas en la Ecuaci´on (4.16). Por consiguiente, las ecuaciones residuales del elemento son Zx2
d2 d2 υ Ni (x) E Iz 2 − q(x) dx = 0 dx dx2
i = 1; 4
(5.40)
x1
Integrando por partes el t´ermino derivado, y asumiendo constante el coeficiente de rigidez E Iz tenemos x Zx2 Zx2 d3 υ 2 dNi d3 υ Ni (x) E Iz − E Iz dx − Ni q(x)dx = 0 i = 1; 4 (5.41) dx3 x1 dx dx3 x1
x1
y subsecuentemente V =−
d dM =− dx dx
E Iz
d2 υ dx2
= −E Iz
d3 υ dx3
(5.42)
donde observamos que el primer t´ermino de la Ecuaci´on (5.41) representa las condiciones de fuerza cortante en los nodos del elemento. Integrando de nuevo por partes y reordenando obtenemos Zx2 E Iz
d2 Ni d2 υ dx = dx2 dx2
x1
Zx2 x1
x x d2 υ 2 d3 υ 2 dNi + E Iz Ni q(x)dx − Ni E Iz dx3 x1 dx dx2 x1
i = 1; 4
(5.43)
y, por la Ecuaci´ on (5.37), el u ´ltimo t´ermino en lado derecho introduce las condiciones del momento en los l´ımites del elemento. La integraci´on por partes se realiz´o dos veces en el desarrollo precedente por razones similares a aquellas mencionadas en el contexto del elemento barra. Procediendo as´ı, el orden de los dos t´erminos derivados que aparecen en la primera integral en la Ecuaci´on (5.43) es el mismo, y la matriz de rigidez resultante es de ese modo sim´etrica, y las fuerzas cortantes junto a los momentos flexionantes en los nodos del elemento aparecen expl´ıcitamente ahora en las ecuaciones de elemento. La Ecuaci´ on (5.43) puede ser escrita en forma matricial como: [ k ]{δ} = {f }, donde los coeficientes de la matriz de rigidez est´ an definidos como Zx2 kij = E Iz
d2 Ni d2 Nj dx dx2 dx2
i, j = 1; 4
(5.44)
x1
que es id´entico al resultado previamente obtenido por otros m´etodos. Los coeficientes del vector de fuerza de elemento se definen por Zx2 fi = x1
x x d2 υ 2 d3 υ 2 dNi Ni q(x)dx − Ni E Iz + E Iz dx3 x1 dx dx2 x1
i = 1; 4
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
142
o, usando las Ecuaciones (5.37) y (5.42), Zx2 fi =
x2 dN x2 i Ni q(x)dx + Ni V (x) + M (x) dx x1 x1
i = 1; 4
(5.45)
x1
donde el t´ermino integral representa a las fuerzas y momentos nodales equivalentes producidos por la carga distribu´ıda. Si ´esta funci´ on de distribuci´on de carga cumple q(x) = q = const. (positivo ascendente); efectuando la substituci´ on de las funciones de interpolaci´on en la Ecuaci´on (5.45) y la evaluaci´on del proceso de integraci´ on que resulta, se demuestra que el vector de fuerzas nodales equivalentes de elemento es qL 2 − V1 2 qL − M 1 12 {f } = (5.46) qL + V2 2 qL2 − 12 + M2 La solicitaci´on nodal equivalente as´ı calculada para el elemento finito, con los nodos 1 y 2 ubicados en sus extremos es mostrada en la Figura (5.8). (N´otese la convenci´on de signo que se adopta en este caso — fuerzas positivas seg´ un el sentido y +, y momentos positivos seg´ un el sentido z +). qL
M1
y
qL q
2
2
V2 M2
1 2
qL 12
V1
2
L
qL2
x
12
Figura 5.8: Solicitaci´on nodal de elemento viga Cuando dos elementos viga concurren y comparten un nodo com´ un, una de las dos siguientes posibilidades ocurre con respecto a las condiciones del esfuerzo cortante y el momento flector internos que act´ uan en los nodos extremos del elemento 1. Si ninguna fuerza o momento externos est´an aplicado en el nodo, los valores del esfuerzo cortante y el momento flector de la Ecuaci´ on (5.46) para los elementos adyacentes son iguales y opuestos en sentido de actuaci´ on, cancel´ andose en el paso del proceso de ensamblaje. 2. Si una fuerza o un momento concentrado est´a aplicado en el nodo, la suma de los esfuerzos cortantes o momentos flectores de borde l´ımite para los elementos adyacentes deben igualar la fuerza o momento externo aplicado, repectivamente. La Ecuaci´on (5.46) muestra que los efectos de una carga distribu´ıda se asigna a los nodos del elemento. Los paquetes de software de elemento finito a menudo permiten al especificar una “presi´on” en la cara transversal de la viga. La presi´ on especificada realmente representa una carga distribu´ıda y es convertida a cargas equivalentes nodales internamente en el mismo software.
5.5.
Conducci´ on de calor uni–dimensional
La aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito Galerkin al problema uni–dimensional de conducci´on de calor en estado–estacionario (permanente) se desarrolla con referencia a la Figura 5.9(a), la cual muestra un cuerpo s´ olido que s´ olo sufre conducci´on de calor en la direcci´on del eje x. Las superficies del cuerpo normales a ´este eje se asume que est´an perfectamente aisladas t´ermicamente, para que ninguna p´erdida de calor ocurra a trav´es de estas superficies. La Figura 5.9(b)
´ DE CALOR UNI–DIMENSIONAL 5.5. CONDUCCION
qx(xa )
143
aislado
A
a qx(xb )
qx + dqx dx dx
qx b
x
(a) Esquema del sistema
dx (b) Porci´ on diferencial
Figura 5.9: Transmisi´on de calor uni–dimensional muestra el volumen de control utilizado en el an´alisis, el cual es una porci´on de longitud diferencial dx del cuerpo que se asume que es de ´ area de secci´on–transversal A constante y de propiedades materiales uniformes. El principio de la conservaci´on de energ´ıa se aplica para obtener la ecuaci´on gobernante como sigue: Eent + Egen = Einc + Esal (5.47) La ecuaci´ on anterior establece que la energ´ıa que entra en el volumen de control m´as la energ´ıa generada internamente por cualquier de fuente de calor presente, debe igualar al incremento de la energ´ıa interior m´ as la energ´ıa que sale del volumen de control. Como se ver´a, lo que hicimos fu´e un simple balance energ´etico en una determinada regi´on delimitada del espacio (el volumen elemental componente del cuerpo). Para el volumen de la Figura 5.9(b), durante un intervalo dt de tiempo, la Ecuaci´ on (5.47) se expresa como ∂qx qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx + dx A dt (5.48) ∂x donde: qx = flujo cal´ orico a trav´es de la superficie frontera (W/m2 , Btu/hr-ft2 ) Q = rapidez de generaci´ on de calor interno (W/m3 , Btu/hr-ft3 ) U = energ´ıa interna (W, Btu) El u ´ltimo t´ermino del lado derecho de la Ecuaci´on (5.48) representa la expansi´on en serie de Taylor truncada en dos–t´erminos del calor q(x, t) evaluado en x = dx. N´otese que aqu´ı utilizamos derivadas parciales porque consideramos ´esta funci´on cont´ınua dependiente de dos variables, la posici´on espacial y el tiempo. El flujo cal´ orico es expresado en t´erminos del gradiente de temperatura mediante la ley de Fourier de conducci´ on del calor ∂T qx = −kx (5.49) ∂x donde kx es la conductividad t´ermica del material en la direcci´on x (W/m-◦ C, Btu/hr-ft-◦ F), y la variable T = T (x, t) es el campo de temperaturas interno. El incremento de la energ´ıa interna es valorada por ∆U = c ρ A dx dT (5.50) donde: c = calor espec´ıfico del material (J/Kg-◦ C, Btu/slug-◦ F) ρ = densidad del material (Kg/m3 , slug/ft3 ) Substituyendo las Ecuaciones (5.49) y (5.50) en la Ecuaci´on (5.48) obtenemos ∂ ∂T Q A dx dt = c ρ A dx dT + −kx A dx dt ∂x ∂x
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
144
Asumiendo que la conductividad t´ermica es constante, la ecuaci´on anterior puede ser escrita como Q = cρ
∂T ∂2T − kx 2 ∂t ∂x
(5.51)
Por ahora, s´ olo estamos interesados en la transferencia de calor en estado–estacionario, y es as´ı cuando el r´egimen de conducci´ on de calor se efect´ ua en r´egimen permanente (independiente del tiempo) se debe cumplir ∂T /∂t = 0, y la ecuaci´ on gobernante resulta ser kx
d2 T +Q=0 dx2
(5.52)
Luego, el m´etodo de elemento finito Galerkin se aplica a la Ecuaci´on (5.52) para obtener las ecuaciones de elemento. Se usa un elemento de dos–nodos con funciones de interpolaci´on lineales y la distribuci´on de temperatura en el elemento es expresada como T (x) = N1 (x)T1 + N2 (x)T2
(5.53)
donde T1 y T2 son las temperaturas en los nodos 1 y 2, que definen el elemento, y las funciones de interpolaci´on N1 y N2 son dadas por las Ecuaciones (5.17). Como en ejemplos previos, la substituci´on de la soluci´on discretizada [Ec. (5.53)] en la ecuaci´on diferencial gobernante [Ec. (5.52)] resulta en las integrales residuales: Zx2 d2 T kx 2 + Q Ni (x) A dx = 0 i = 1, 2 (5.54) dx x1
donde notamos que la integraci´ on es sobre el volumen del elemento; esto es, el dominio del problema, con dV = Adx. Integrando el primer t´ermino por partes (debido a razones y´a discutidas) tendremos x Zx2 Zx2 dT 2 dNi dT − kx A kx A Ni (x) dx + A Q Ni (x)dx = 0 dx x1 dx dx x1
i = 1, 2
(5.55)
x1
Evaluando el primer t´ermino entre los l´ımites indicados, sustituyendo la Ecuaci´on (5.53) en el segundo t´ermino y re–ordenando, la ecuaci´ on anterior se convierte en las dos ecuaciones siguientes Zx2 kx A x1 Zx2
kx A
dN1 dx dN2 dx
Zx2 dN1 dN2 dT T1 + T2 dx = Q N1 (x)dx − kx A dx dx dx x1
(5.56a)
dT Q N2 (x)dx − kx A dx x2
(5.56b)
dN1 dN2 T1 + T2 dx = dx dx
x1
x1 Zx2 x1
Las Ecuaciones (5.56) pueden ser escritas de modo comp´acto en la forma matricial siguiente: [ k ]{T } = {fQ } + {fg }
(5.57)
donde [ k ] es la matriz de conductancia (“rigidez”) de elemento, que tiene sus coeficientes definidos por la relaci´on indicial Zx2 dNl dNm klm = kx A dx l, m = 1, 2 (5.58) dx dx x1
´ DE CALOR UNI–DIMENSIONAL 5.5. CONDUCCION
145
Derivando las funciones de interpolaxi´on y realizando las integraciones indicadas en la relaci´on anterior, se demuestra que la matriz de conductividad t´ermica resulta kx A 1 −1 [k] = (5.59) L −1 1 El primer t´ermino del lado–derecho de la Ecuaci´on (5.57) es el vector de impulsi´on cal´orica (“fuerza”) nodal proveniente de la generaci´on de calor interno, con valores definidos por Zx2 {fQ1 } = A
Q N1 dx x1 Zx2
{fQ2 } = A
(5.60) Q N2 dx
x1
donde impl´ıcitamente asumimos que Q = Q(x). En el caso que la rapidez de generaci´on de calor es constante; es decir Q = Q0 (cte), el vector de impulsi´on cal´orica nodal resulta Q0 A L 1 {fQ } = (5.61) 1 2 En cambio, el segundo t´ermino del lado derecho {fg }, representa al vector de las condiciones gradiente de borde en los nodos del elemento y mide el flujo cal´orico intercambiado por el elemento con el entorno circundante a trav´es de sus superficies extremas. Usando la Ecuaci´on (5.49), este vector est´a descrito por el arreglo ( ) ( −dT ) q x1 dx x1 =A (5.62) {fg } = kx A dT −q x dx x 2
2
Los coeficientes que definen el vector de flujo cal´orico son tales que, en nodos internos donde los elementos se juntan, los valores de elementos adyascentes son iguales pero opuestos en sentido, de modo que se cancelan matem´ aticamente en el proceso de ensamble. En los nodos externos; es decir en los extremos del cuerpo a analizarse, los valores de gradiente pueden estar especificados como flujo de calor conocido entrante y saliente, o pueden ser calculados si la condici´on l´ımite especificada es una temperatura. En el u ´ltimo caso, el c´ omputo del gradiente es an´alogo a calcular las fuerzas de reacci´on en un modelo estructural. Otro aspecto tambi´en es notable en la ecuaci´on gobernante del proceso de transmisi´on del calor por conducci´ on uni–dimensional modelado mediante el elemento finito Galerkin que desarrollamos, ya que tambi´en notamos que el ´ area es un t´ermino com´ un en las ecuaciones precedentes y, desde que se asume que es constante sobre toda la longitud del elemento, podr´ıa ignorarse en cada t´ermino. Sin embargo, como se ver´ a en los cap´ıtulos posteriores, cuando tomamos en cuenta otras condiciones de transferencia de calor, el ´ area debe permanecer en las ecuaciones tal como est´a definida. Estos conceptos se ilustran en el ejemplo siguiente. Ejemplo 5.6. La varilla circular (cilindro recto) mostrada en la Figura 5.10 tiene un di´ametro externo de 60 mm, longitud de 1 m, y est´ a perfectamente aislada t´ermicamente en su circunferencia. La mitad izquierda del cilindro es aluminio, para el que kx = 200 W/m-◦ C y la mitad derecha que es de material cobre tiene kx = 389 W/m-◦ C. El extremo derecho del cilindro se mantiene a una temperatura de 80◦ C, mientras que el extremo izquierdo est´a sujeto a una rapidez de entrada de calor de 4000 W/m2 . Usando cuatro elementos de igual–longitud, determine la distribuci´on de temperatura en estado–estacionario en el interior del cilindro.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
146 qent
1
1 0.25 m
2
qsal
Cu
Al
2 0.25 m
3
3 0.25 m
4
4
5
0.25 m
Figura 5.10: Varilla circular del Ejemplo 5.6 > Soluci´ on Los elementos y nodos se escogen como se muestra en la parte inferior de la Figura 5.10. Para los elementos de aluminio 1 y 2, las matrices de conductancia son iguales y est´an determinadas por kx A 1 −1 200(π/4)(0,06)2 1 −1 1 −1 [ kal ] = = = 2,26 W/◦ C −1 1 −1 1 L −1 1 0,25 mientras, que para los elementos de cobre 3 y 4, kx A 1 −1 389(π/4)(0,06)2 1 −1 1 −1 = = 4,40 W/◦ C [ kcu ] = −1 1 −1 1 L −1 1 0,25 Aplicando las condiciones de extremo T5 = 80◦ C y q1 = 4000 W/m2 , el sistema de ecuaciones ensamblado es 4000 T1 11,31 2,26 −2,26 0 0 0 −2,26 4,52 −2,26 0 0 0 T2 0 π(0,06)2 0 0 0 T −2,26 6,66 −4,40 0 = = 3 4 0 0 T4 0 −4,40 8,80 −4,40 0 −q5 −0,0028 q5 80 0 0 0 −4,40 4,40 Tomando en consideraci´ on el valor de la temperatura conocida T5 , las primeras cuatro ecuaciones del anterior sistema pueden ser escritas como 11,31 T1 2,26 −2,26 0 0 −2,26 4,52 −2,26 0 0 T2 = 0 −2,26 6,66 −4,40 0 T3 352,0 T4 0 0 −4,40 8,80 Para hallar la soluci´ on, el sistema de ecuaciones es triangularizado (usado aqu´ı simplemente para ilustrar un m´etodo de soluci´ on alternativo) mediante los siguientes pasos. Reemplazamos la segunda ecuaci´on por la suma de la primera y segunda ecuaciones para obtener 2,26 −2,26 0 0 T1 11,31 0 2,26 −2,26 0 T2 = 11,31 0 −2,26 6,66 −4,40 T3 0 0 0 −4,40 8,80 T4 352,0 Luego, reemplazamos la tercera ecuaci´ on por la suma de la segunda y la tercera ecuaci´on 2,26 −2,26 0 0 T1 11,31 0 2,26 −2,26 0 T2 = 11,31 0 0 4,40 −4,40 T3 11,31 0 0 −4,40 8,80 T4 352,0
5.6. COMENTARIOS FINALES
147
Finalmente, reeeplazamos la cuarta ecuaci´on por la suma de la tercera y cuarta ecuaci´on 2,26 −2,26 0 0 T1 11,31 0 2,26 −2,26 0 T2 = 11,31 0 0 4,40 −4,40 T3 11,31 0 0 0 4,40 T4 363,31 El sistema triangularizado as´ı puede resolverse f´acilmente por sustituci´on regresiva empezando de la u ´ltima ecuaci´ on, y terminando en la primera. Los valores soluci´on, como puede comprobarse, resultan T4 = 82,57◦ C
T3 = 85,15◦ C
T2 = 90,14◦ C
T1 = 95,15◦ C
La quinta ecuaci´ on del sistema es −4,40 T4 + 4,40(80) = −0,0028 q5 la cual puede resolverse substituyendo el valor de T4 hallado previamente para dar como soluci´on q5 = 4038,6 W/m
2
Como se asume que es una situaci´on de estado–estacionario, el flujo de calor del extremo derecho del cilindro, en el nodo 5, debe ser precisamente igual al flujo de entrada en el extremo izquierdo. La diferencia en este caso simplemente es debido a errores de redondeo de decimales en los c´omputos, que fueron efectuados mediante una calculadora de mano para este ejemplo. Si los valores se computan a “exactitud de m´ aquina” y ning´ un redondeo intermedio se usa, el valor del flujo de calor en el nodo 5 deber´ıa ser exactamente 4000 W/m2 . De hecho, puede mostrarse que, para este ejemplo, la soluci´on > de elemento finito es exacta. Mediante los diversos ejemplos que fueron mostrados en ´este cap´ıtulo, se puede apreciar que hemos sistematizado la concepci´ on b´ asica del m´etodo de elemento finito y la hemos generalizado al tratamiento y soluci´ on de las ecuaciones diferenciales. Por ello, podemos afirmar que ahora disponemos de una herramienta muy poderosa para analizar los diversos problemas que plantean las diversas ciencias de la ingenier´ıa, en la que casi la totalidad de los fen´omenos f´ısicos que se presentan en ellas se describen mediante correspondientes ecuaciones diferenciales gobernantes de dichos fen´omenos.
5.6.
Comentarios finales
El m´etodo de residuos ponderados, sobre todo la encarnaci´on del m´etodo de elemento finito de Galerkin, es una herramienta matem´atica poderosa que proporciona una t´ecnica para formular una soluci´on aproximada de elemento finito a pr´acticamente cualquier problema para el cual la ecuaci´on diferencial gobernante y las condiciones de borde l´ımite pueden escribirse. Para las situaciones en las que un principio como el primer teorema de Castigliano o el principio de energ´ıa potencial m´ınima es aplicable, el m´etodo de Galerkin produce la misma formulaci´on exactamente. En los cap´ıtulos subsecuentes, el m´etodo de Galerkin se extiende a casos bi y tri–tridimensionales de an´alisis estructural, transferencia de calor, y flujo fluido. Antes de examinar las aplicaciones espec´ıficas, examinaremos en el pr´ oximo cap´ıtulo, los requisitos generales de las funciones de interpolaci´on para la formulaci´ on de una aproximaci´ on de elemento finito a cualquier tipo de problema.
Problemas propuestos 5.1. Verificar el proceso de integraci´on y la subsecuente determinaci´on de c1 en el Ejemplo 5.1.
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
148
5.2. Usando el procedimiento discutido en el Ejemplo 5.4, determine las funciones de ensayo para el problema del Ejemplo 5.1. 5.3. Se ha establecido que las funciones de ensayo usadas en el m´etodo de residuos ponderados generalmente satisfacen la f´ısica del problema descrita por la ecuaci´on diferencial a ser resuelta. Por qu´e la funci´ on de ensayo asumida en el Ejemplo 5.3 no satisface la f´ısica del problema ?. 5.4. Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes y las condiciones de borde declaradas, obtenga una soluci´ on de un–t´ermino usando el m´etodo de Galerkin de residuos ponderados y la funci´on de ensayo especificada. En cada caso, compare la soluci´on de un–t´ermino con la soluci´on exacta. a.
d2 y + y = 2x dx2 y(0) = 0
b.
N1 (x) = x(1 − x2 )
y(1) = 0
d2 y + y = 2 sin x dx2 y(0) = 0
c.
0≤x≤1
y(1) = 0
N1 (x) = sin πx
dy + y 2 = 4x dx y(0) = 0
d.
0≤x≤1 N1 (x) = x2 (1 − x)
y(1) = 0 dy −y =2 dx
y(0) = 0 e.
0≤x≤1
0 ≤ x ≤ 10 N1 (x) = x2 (10 − x)
y(10) = 0
d2 y dy −3 +y =x dx2 dx y(0) = 0
y(1) = 0
0≤x≤1 N1 (x) = x(1 − x)2
5.5. (a)–(e) Para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas en el Problema 5.4, usar el m´etodo del Ejemplo 5.4 para determinar las funciones de prueba para una soluci´on aproximada de dos– t´erminos, usando el m´etodo de Galerkin de residuos ponderados. 5.6. Para la soluci´ on de cuatro–elementos del Ejemplo 5.5, verificar la exactitud del sistema de ecuaciones ensambladas. Aplicar las condiciones de borde y resolver el sistema reducido de ecuaciones as´ı obtenido. Calcular las primeras derivadas en cada nodo de cada uno de los elementos. Son las derivadas cont´ınuas a lo largo de las conexiones nodales entre elementos ?. 5.7. Cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes representa un problema f´ısico, como es indicado. Para cada caso dado, formule las ecuaciones de elemento finito (es decir, determine la matriz de rigidez y los vectores de carga) usando el m´etodo de elemento finito de Galerkin basado en un elemento con longitd L con dos–nodos ubicados en sus extremos, y aplicando las funciones de interpolaci´ on siguientes:
N1 (x) = 1 −
x L
N2 (x) =
x L
Problemas propuestos
149
a. Conducci´ on de calor uni–dimensional con generaci´on de calor interno variando linealmente kx A
d2 T + Q0 A x = 0 dx2
donde kx , Q0 y A son constantes. b. Conducci´ on de calor uni–dimensional con convexi´on superficial kx A
d2 T − h P T = h P Ta dx2
donde kx , A, h, P , y Ta son constantes. c. Torsi´ on de una barra circular el´astica GJ
d2 θ =0 dx2
donde G, y J son constantes. 5.8. Una viga que se deforma en un plano espacial (plano x–y) est´a sujeta a una carga distribu´ıda variando linealmente, dada por q(x) = q0 x, 0 ≤ x ≤ L, donde q0 es una constante y L es la longitd total de la viga. Para un elemento finito localizado entre nodos arbitrarios en posiciones xi y xj , de modo que xi < xj y Le = xj −xi es la longitud del elemento; determine las componentes del vector de cargas nodales equivalentes usando el m´etodo de elemento finito Galerkin (Notar que ´esto es simplemente el u ´ltimo t´ermino en la Ecuaci´on (5.41) ajustado apropiadamente para la ubicaci´ on del elemento gen´erico mencionado anteriormente). 5.9. Repetir el Problema 5.8 para una carga distribu´ıda cuadr´aticamente q(x) = q0 x2 . 5.10. Considerando los resultados de los Problema 5.8 ´o 5.9, son las cargas distribu´ıdas convertidas en cargas puntuales asignadas a los nodos del elemento en base al equilibrio est´atico?. Si su respuesta es afirmativa, demu´estrelo; pero si su respuesta es no, indicar por qu´e, y c´omo se hace la distribuci´ on?. 5.11. Un cilindro adelgazado que est´a perfectamente aislado t´ermicamente en su periferia se mantiene a una temperatura constante de 212◦ F en x = 0 y a temperatura de 80◦ F en x = 4 pulg. El di´ ametro del cilindro var´ıa de 2 pulg en x = 0 a 1 pulg en x = L = 4 pulg. por la Figura P5.11. El coeficiente de conductancia es kx = 64 Btu/hr-pie-◦ F. Formule un modelo de cuatro elementos finitos de ´este problema y resuelva el mismo para las temperaturas nodales y los valores de flujo cal´ orico en los l´ımites de los elementos. Use el m´etodo de elemento finito de Galerkin. 4 pulg
d = 1 pulg x T = 80° F
d = 2 pulg T = 212° F
aislado
Figura P5.11 5.12. Considere un miembro prism´ atico adelgazado sujeto a una carga axial de tracci´on–compresi´on como el mostrado en la Figura P5.12. El ´area de secci´on–transversal var´ıa como A = A0 (1−x/2L),
´ CAP´ITULO 5. EL METODO DE RESIDUOS PONDERADOS
150
donde L es la longitud del miembro y A0 es el ´area en x = 0. Dada la ecuaci´on gobernante E
d2 u =0 dx2
como en la Ecuaci´ on (5.28), obtener las ecuaciones de elemento finito Galerkin por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (5.30). x A = A0 1 2L
(
)
A0 x L
Figura P5.12 5.13. Muchos sistemas de software de elemento finito tienen la provisi´on para un elemento viga adelgazada. Empezando con la Ecuaci´ on (5.40), notando que el momento de inercia centroidal Iz no es constante; desarrolle las ecuaciones de elemento finito para un elemento viga adelgazado. 5.14. Use los resultados del Problema 5.13 para determinar la matriz de rigidez del elemento viga adelgazada mostrado en la Figura P5.14. 6 pulg
2 pulg
1 pulg
t = 0.75 pulg (espesor) E = 3 x 107 lb/pulg 2
Figura P5.14 5.15. Considere un problema bidimensional gobernado por la ecuaci´on diferencial ∂2φ ∂2φ + 2 =0 ∂x2 ∂y (´esta es la ecuaci´ on de Laplace) en un dominio bidimensional especificado con condiciones de borde l´ımite establecidas. C´ omo har´ıa usted para aplicar el m´etodo de elemento finito de Galerkin a este problema ?. 5.16. Revise la Ecuaci´ on (5.21). Si nosotros no integramos por partes y simplemente sustitu´ımos la forma de soluci´ on discretizada, cu´ al es el resultado? Explique. 5.17. Dada la ecuaci´ on diferencial d2 y + 4y = x dx2
Problemas propuestos
151
asuma la soluci´ on como una funci´on expandida en serie de potencias y(x) =
n X
ai xi = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
i=0
y obtener las relaciones que gobiernan los coeficientes de la soluci´on en serie de potencias. C´omo este procedimiento se compara al m´etodo de Galerkin ?. 5.18. La ecuaci´ on diferencial
dy +y =3 dx
tiene como soluci´ on exacta y(x) = 3 + C e−x donde C es un par´ ametro constante. Asuma que el dominio de definici´on es 0 ≤ x ≤ 1 y la condici´ on de borde especificada es y(0) = 0. Mostrar que, si el procedimiento del Ejemplo 5.4 es seguido, se obtiene la soluci´ on exacta.
Capítulo
6
Funciones de interpolaci´ on
El m´etodo de elemento finito es una t´ecnica de discretizaci´on del dominio en el que est´a definido el problema de inter´es, el cual se asume gobernado por una ecuaci´on diferencial. Para encontrar una soluci´on aproximada, ´este dominio es subdividido en regiones de menor tama˜ no (los elementos finitos), que contienen puntos previamente escogidos (los nodos) en los cuales se establecer´an los valores de la variable dependiente asociada con la ecuaci´on diferencial que describe el problema, cuando se resuelva la ecuaci´ on asociada que plantea el m´etodo de elemento finito. Pero, seg´ un esta explicaci´on solo se conocer´ıa el valor de la funci´ on involucrada en el problema en un n´ umero limitado de puntos del dominio completo de definici´ on. Para salvar esta aparente incongruencia, en el proceso mismo de formulaci´on del elemento finito se incorporan las denominadas funciones de interpolaci´on, que permiten obtener los valores aproximados que toma la funci´ on dependiente del problema en cualquier punto interno del subdominio definido para el elemento en base a los valores nodales especificados para el mismo (de aqu´ı el nombre de funciones de interpolaci´ on). En ´este Cap´ıtulo realizaremos un estudio detallado de las funciones de interpolaci´on, sus propiedades, las limitaciones que incorporan en el proceso de modelado y otros temas de importancia relacionados con su comportamiento en relaci´on con el tipo de elemento al cual se asocian.
6.1.
Introducci´ on
Los elementos estructurales introducidos en los cap´ıtulos anteriores fueron formulados sobre la base de principios conocidos de la teor´ıa de la mec´anica de s´olidos. Tambi´en se ha mostrado, por el ejemplo que fu´e desarrollado, c´ omo el m´etodo de Galerkin puede aplicarse a un problema de conducci´on de calor. Este cap´ıtulo examina los requisitos para las funciones de interpolaci´on en t´erminos de la exactitud de la soluci´ on y la convergencia hacia la soluci´on exacta de un problema general de alguna variable de campo para un an´ alisis de elemento finito. Se desarrollan funciones de interpolaci´on para varios elementos comunes en forma geom´etrica en una, dos, y tres dimensiones; y estas funciones se usan para formular las ecuaciones de elemento finito para varios tipos de problemas f´ısicos en el resto 153
154
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
del texto. Con la excepci´ on del elemento viga, todas las funciones de interpolaci´on discutidas en este cap´ıtulo son aplicables a los elementos finitos usados para obtener soluciones a problemas que se dice que son C 0 –cont´ınuos. Esta terminolog´ıa significa que, a trav´es de los l´ımites del elemento, s´olamente las derivadas de orden–cero del campo variable (i.e., la propia variable de campo) son cont´ınuas. Por otro lado, la formulaci´ on del elemento viga es tal que este elemento exhibe continuidad–C 1 , desde que la primera derivada del desplazamiento transversal (i.e., la pendiente de la deformaci´on) es cont´ınua a trav´es de los l´ımites del elemento, como fu´e discutido previamente y repetido despu´es para dar ´enfasis a este aspecto. En general, en un problema que tiene continuidad–C n , las derivadas de la variable de campo hasta e incluyendo la derivada de n–´esimo orden son cont´ınuas a trav´es de las fronteras del elemento.
6.2.
Requisitos de compatibilidad e integridad
Los elementos lineales (resorte, barra, viga, eje) ilustran los procedimientos generales usados para formular y resolver un problema de elemento finito y son bastante u ´tiles para analizar estructuras de los tipos cercha y marco (planas o espaciales). Dichas estructuras, sin embargo, tienden a estar bien definidas en t´erminos del n´ umero y tipo de elementos usados. En la mayor´ıa de los problemas de ingenier´ıa, el dominio de inter´es es un cuerpo s´olido continuo, a menudo de forma irregular en el que la conducta de una o m´ as variables de campo es gobernada por una o m´as ecuaciones diferenciales parciales. El objetivo del m´etodo de elemento finito es discretizar el dominio en varios elementos finitos para los cuales las ecuaciones gobernantes son ecuaciones algebr´aicas. La soluci´on del sistema resultante de ecuaciones algebr´ aicas entonces da una soluci´on aproximada al problema. Como con cualquier t´ecnica aproximada, la pregunta que imperativamente debemos realizar es: Cu´an exacta es la soluci´on hallada ?. En el an´alisis de elemento finito, la exactitud de la soluci´on se juzga en t´erminos de la convergencia, a medida que la “malla” de elementos es refinada (que significa el uso de un mayor n´ umero de elementos de dimensiones cada vez m´ as peque˜ nas, o el incremento de un mayor n´ umero de nodos manteniendo el tama˜ no de los elementos). Hay dos m´etodos principales de refinamiento de la malla de elementos. El primero, conocido como refinamiento–h, se refiere al proceso de aumentar el n´ umero de elementos usados para modelar un dominio dado; por consiguiente, reducir el tama˜ no del elemento individual. En el segundo m´etodo, denominado refinamiento–p, el tama˜ no del elemento permanece inalterado, pero el orden de los polinomios usados como funciones de interpolaci´on se incrementa. El objetivo del refinamiento de la malla en cualquier m´etodo es obtener soluciones secuenciales que exhiban convergencia asint´ otica hacia los valores que representan la soluci´on exacta. Mientras que la teor´ıa espec´ıfica para ello est´ a m´ as all´ a del alcance de este libro, las pruebas matem´aticas de convergencia de las soluciones de elemento finito para corregir las soluciones obtenidas estar´an basadas en un procedimiento espec´ıfico de refinamiento de malla regular definido en [1]. Aunque las pruebas est´an basadas en mallas de elementos regulares, las mallas irregulares o no–estructuradas (como en la Figura 1.7) puede dar resultados muy buenos. De hecho, el uso de mallas no–estructuradas es el caso que se presenta m´as a menudo, puesto que: (1) la geometr´ıa que est´a siendo modelada es m´as a menudo irregular y (2) la discretizaci´ on autom´ atica que ofrece la mayor´ıa de los paquetes de software de elemento finito producen mallas irregulares. Un ejemplo que ilustra el refinamiento–h regular as´ı como la convergencia de la soluci´on se indica en la Figura 6.1(a), la cual muestra una placa el´astica rectangular de espesor uniforme empotrada en un borde y sujeta a una carga concentrada en un v´ertice. Este problema es modelado usando elementos rectangulares de tensi´on plana (v´ease el Cap´ıtulo 9) y se usaron tres mallas en la sucesi´ on, como muestran las Figuras 6.1(b) a 6.1(d). La convergencia de la soluci´on se bosqueja en la Figura 6.1(e), en t´erminos de la tensi´on normal m´axima en la direcci´on transversal a la carga aplcada al cuerpo. Para este ejemplo, la soluci´on exacta se toma como la m´axima
6.2. REQUISITOS DE COMPATIBILIDAD E INTEGRIDAD
F
155
máx 0
exacta
(a) 1 elemento
(b) 4 elementos
4
1 (c) 16 elementos
16
64 N e
(e) Convergencia hacia la soluci´ on exacta
(d) 64 elementos
Figura 6.1: Discretizaci´ on del dominio y convergencia de la soluci´on aproximada tensi´on normal flexionante calculada usando la teor´ıa de la viga elemental. La verdadera soluci´on exacta es la soluci´ on de tensi´ on plana de la teor´ıa de elasticidad. Sin embargo, la tensi´on normal m´axima no cambia apreciablemente en la soluci´ on que provee la teor´ıa de elasticidad, comparada con aquella que se obtiene aplicando la teor´ıa b´ asica de mec´anica de s´olidos deformables. La necesidad para la convergencia durante el refinamiento regular de la malla est´a bastante clara. Si la convergencia no se obtiene, el ingeniero que usa el m´etodo de elemento finito no tiene absolutamente ninguna indicaci´ on si los resultados son buena muestra de una significativa aproximaci´on hacia la soluci´on correcta. Para un problema de campo general en el que la variable de inter´es se expresa basado en un elemento en la forma discretizada φ(e) (x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z)φi
(6.1)
i=1
donde M es el n´ umero de grados de libertad del elemento, las funciones de interpolaci´on deben satisfacer dos condiciones primarias para asegurar la convergencia durante el refinamiento de la malla: los requisitos de compatibilidad e integridad, descritos como sigue.
6.2.1.
Compatibilidad
A lo largo de los l´ımites del elemento, la variable de campo y sus derivadas parciales hasta un orden menor en una unidad a la derivada de mayor–orden que aparece en la formulaci´ on integral de las ecuaciones de elemento, deben ser cont´ınuas. Dada la representaci´on discretizada de la Ecuaci´on (6.1), se sigue que las funciones de interpolaci´on deben satisfacer esta condici´on, desde que estas funciones determinan la variaci´ on espacial de la variable de campo. Recordando la aplicaci´ on del m´etodo de Galerkin a la formulaci´on de las ecuaciones de elemento de una cercha, la primera derivada del desplazamiento aparece en la Ecuaci´on (5.31). Por consiguiente, el desplazamiento debe ser cont´ınuo a trav´es de los l´ımites del elemento, pero ninguna de las derivadas del desplazamiento se exige que sea cont´ınua a trav´es de dichos l´ımites. De hecho, como fu´e observado previamente, el elemento barra componente de una cercha es un elemento de tensi´on normal interna constante; as´ı la primera derivada es, en general, discont´ınua en los bordes de interconexi´on entre elementos. Semejantemente, la formulaci´on del elemento viga, Ecuaci´on (5.43), incluye la segunda derivada del desplazamiento, y la compatibilidad requiere la continuidad del desplazamiento y la pendiente (primera derivada) — ambos — en las fronteras del elemento. Adem´ as de satisfacer el criterio para la convergencia, la condici´on de compatibilidad puede interpretarse con un significado f´ısico tambi´en. En los problemas estructurales, el requisito de continuidad del desplazamiento a lo largo de los l´ımites del elemento asegura que ning´ un hueco o grieta se desarrolle en
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
156
la estructura durante la deformaci´ on como resultado del procedimiento de modelado. Semejantemente el requisito de continuidad de la pendiente de la deformaci´on para el elemento viga asegura que no se desarrollen dobleces en la estructura deformada. En los problemas de transmisi´on de calor, el requisito de compatibilidad previene la posibilidad f´ısicamente inaceptable de discontinuidades de salto en la distribuci´on de temperatura.
6.2.2.
Integridad
En el l´ımite, a medida que el tama˜ no del elemento tiende a cero en el refinamiento de la malla, la variable de campo y sus derivadas parciales hasta, e incluyendo, la derivada de mayor–orden que aparecen en la formulaci´ on integral deben ser capaces de asumir valores constantes. De nuevo, debido a la discretizaci´ on, el requisito de integridad es directamente aplicable a las funciones de interpolaci´on. El requisito de integridad asegura que el campo de desplazamientos dentro de un elemento estructural pueda asumir un valor constante, representando el movimiento de cuerpo r´ıgido, por ejemplo. Similarmente, la pendiente constante de un elemento viga representa la rotaci´on de cuerpo r´ıgido, mientras que un estado de temperatura constante en un elemento t´ermico corresponde a la nulidad de flujo cal´orico a trav´es del elemento. Adem´as de la consideraci´on de movimiento de cuerpo r´ıgido, el requisito de integridad tambi´en asegura la posibilidad de valores constantes de (por lo menos) las primeras derivadas. Este rasgo asegura que un elemento finito es capaz de poseer tensi´on interna constante, flujo de calor constante, o velocidad fluida constante, por ejemplo. La discusi´ on anterior de convergencia y los requisitos para las funciones de interpolaci´on no est´an por ning´ un medio planteados de modo riguroso ni evidentemente detallados. Las referencias [1, 51] proporcionan al lector interesado un estudio en profundidad de los detalles te´oricos acerca de ´estos temas. El prop´ osito aqu´ı es presentar los requisitos y demostrar la aplicaci´on de los mismos al desarrollo de funciones de interpolaci´ on apropiadas a un n´ umero de elementos normalmente usados de varias formas y complejidad en su formulaci´ on matem´atica.
6.3.
Formas polinomiales: Elementos uni–dimensionales
Como ilustramos por los m´etodos y ejemplos del Cap´ıtulo 5, la formulaci´on de caracter´ısticas de elemento finito, requieren la diferenciaci´ on e integraci´on de las funciones de interpolaci´on en diversas maneras. Debido a la simplicidad con la que las funciones de formas polin´omicas pueden diferenciarse y pueden integrarse, los polinomios son normalmente las funciones de interpolaci´on m´as comunes usadas. Haciendo memoria del desarrollo de elemento barra del Cap´ıtulo 2, el campo de desplazamientos internos se expresa mediante el polinomio de primer–grado u(x) = a0 + a1 x
(6.2)
En t´erminos de los desplazamientos nodales, la Ecuaci´on (6.2) se determina que es equivalente a x x u1 + u2 (6.3) u(x) = 1 − L L Los coeficientes a0 y a1 son obtenidos aplicando las condiciones nodales: u(0) = u1 y u(L) = u2 . Entonces, colectando los coeficientes de los desplazamientos nodales, las funciones de interpolaci´on se obtienen como x x N1 (x) = 1 − N2 (x) = (6.4) L L La Ecuaci´ on (6.3) muestra que, si u1 = u2 , el campo de desplazamientos corresponde al de movimiento de cuerpo r´ıgido, y no ocurre ninguna deformaci´on interna del elemento. La primera derivada de la Ecuaci´on (6.3) con respecto a x proporciona un valor constante que, como sabemos, representa la deformaci´on unitaria axial del elemento. De aqu´ı, el elemento barra satisface el requisito de integridad,
6.3. FORMAS POLINOMIALES: ELEMENTOS UNI–DIMENSIONALES
157
puesto que el desplazamiento y la deformaci´on pueden tomar valores constantes sin tener en cuenta el tama˜ no del elemento. Tambi´en notamos que el elemento barra satisface el requisito de compatibilidad autom´aticamente, puesto que s´ olamente el desplazamiento est´a involucrado en la formulaci´on, y la compatibilidad del desplazamiento se refuerza en las conexiones nodales por medio del procedimiento de ensamble del sistema. A la luz del requisito de integridad, podemos ver ahora esa opci´on de la representaci´on polin´omica lineal del campo de desplazamiento, descrita por la Ecuaci´on (6.2), no era arbitraria. La inclusi´on del t´ermino a0 constante asegura la posibilidad de movimiento de cuerpo r´ıgido, mientras que para proveer una primera derivada constante se incluye el t´ermino de primer–orden. M´as all´a, s´ olo dos condiciones pueden ser incluidas en la representaci´on, como s´olo dos condiciones de borde deben satisfacerse, correspondiendo a los dos grados de libertad que posee el elemento (los desplazamientos de sus extremos). Rec´ıprocamente, si el t´ermino lineal fuera reemplazado por un t´ermino cuadr´atico a2 x2 , por ejemplo, los coeficientes todav´ıa podr´ıan obtenerse para satisfacer matem´aticamente las condiciones de desplazamiento nodal, pero una primera derivada constante (de valor distinto que cero) no podr´ıa obtenerse bajo ninguna circunstancia. La determinaci´ on de las funciones de interpolaci´on para el elemento de una cercha, como simplemente fu´e descrito, es bastante simple. No obstante, el procedimiento es t´ıpico de usarse para determinar las funciones de interpolaci´ on para cualquier elemento en el que se utilicen polinomios. Antes de la examinaci´ on de elementos m´ as complejos, volvemos a desarrollar las funciones de interpolaci´on del elemento viga con referencia espec´ıfica a los requisitos de compatibilidad e integridad. Recordando del Cap´ıtulo 5, que la formulaci´ on ´ıntegral [mediante el m´etodo de Galerkin, Ecuaci´on (5.43)] para el elemento viga incluye la segunda derivada del desplazamiento, la condici´on de compatibilidad requiere que el desplazamiento y su primera derivada (la pendiente de la deformaci´on) sean funciones cont´ınuas en los l´ımites del elemento. Incluyendo las pendientes en los nodos del elemento como variables nodales adem´ as de los desplazamientos nodales; la condici´on de compatibilidad est´a satisfecha por medio del procedimiento de ensamblaje del sistema. Como hemos visto, el elemento viga tiene 4 grados de libertad y el campo de desplazamientos internos se representa como el polinomio c´ ubico υ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
(6.5)
qu´e finalmente ser´ a expresado en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y las variables nodales como υ1 θ1 (6.6) υ(x) = N1 υ1 + N2 θ1 + N3 υ2 + N4 θ2 = N1 N2 N3 N4 υ2 θ2 Re–escribiendo la Ecuaci´ on (6.5) como producto matricial
υ(x) = 1 x
x2
a0 a1 x3 a2 a3
(6.7)
las condiciones nodales dυ = θ1 dx x=0
υ(x = 0) = υ1
υ(x = L) = υ2
dυ = θ2 dx x=L
son aplicadas para obtener
υ1 = 1
0
0
a0 a1 0 a2 a3
θ1 = 0
1
0
a0 a1 0 a2 a3
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
158
υ2 = 1 L
L2
a0 a1 L3 a2 a3
θ2 = 0
1
a0 a1 2L 3L2 a2 a3
´ Estas cuatro u ´ltimas ecuaciones son combinadas en forma matricial equivalente como υ1 1 0 0 0 a0 a1 θ1 0 1 0 0 = υ2 1 L L2 L3 a2 θ2 0 1 2L 3L2 a3
(6.8)
El sistema representado por la Ecuaci´ on (6.8) puede resolverse para las constantes polin´omicas desconocidas ai (i = 1; 4) invirtiendo la matriz de coeficientes, para obtener 1 a0 0 a1 = −3 a2 L2 2 a3 3 L
0 1
0 0
−2 L 1 L2
3 L2 −2 L3
0 υ1 0 θ1 −1 υ2 L 1 θ2 2
(6.9)
L
Las funciones de interpolaci´ on pueden obtenerse ahora sustituyendo los coeficientes dados por la Ecuaci´on (6.9) en la Ecuaci´ on (6.5) y colectando los coeficientes de las variables nodales. Sin embargo, el siguiente procedimiento es m´ as directo y algebr´aicamente m´as simple. Sustituya la Ecuaci´on (6.9) en la Ecuaci´on (6.7) e iguale a la Ecuaci´ on (6.6) para obtener 1 0 x3 −3 L2
0 1
0 0
−2 L 1 L2
3 L2 −2 L3
υ(x) = 1 x x2
2 L3
= N1
N2
N3
0 υ1 0 θ1 −1 υ2 L 1 θ2 2 L
υ1 θ1 N4 υ2 θ2
De donde resulta que las funciones de interpolaci´on son 1 0 x3 −3 L2
N1
N2
N3
N4 = 1 x x2
2 L3
0 1
0 0
−2 L 1 L2
3 L2 −2 L3
0 0 −1 L
(6.10)
1 L2
y, note que los resultados de la Ecuaci´ on (6.10) son id´enticos a los hallados en la Ecuaci´on (4.16). El lector puede preguntarse por qu´e repetimos el desarrollo de las funciones de interpolaci´on del elemento viga. El prop´ osito es doble: (1) para establecer un procedimiento general para el uso con las representaciones polin´ omicas de la variable de campo y (2) para volver a revisar la formulaci´on de elemento viga por lo que se refiere a los requerimientos de compatibilidad e integridad. El procedimiento general comienza con expresar la variable de campo como un polinomio de orden uno menos que el n´ umero de grados de libertad exhibido por el elemento. Usando los ejemplos del elemento barra y el elemento viga, se ha mostrado que un elemento de dos–nodos puede tener 2 grados de libertad, como en el elemento barra d´ onde s´olo se requiere continuidad del desplazamiento; o 4 grados de libertad, como en el elemento viga d´onde la continuidad de la pendiente (derivada) tambi´en se requiere. Luego las condiciones nodales (de borde) son aplicadas y los coeficientes del polinomio se
6.3. FORMAS POLINOMIALES: ELEMENTOS UNI–DIMENSIONALES
159
calculan en concordancia. Finalmente, los coeficientes polin´omicos se sustituyen en la representaci´on de la variable de campo en t´erminos de las variables nodales para obtener la forma expl´ıcita de las funciones de interpolaci´ on. El examen de la condici´ on de integridad para el elemento viga requiere un proceso de pensamiento m´as detallado. La representaci´ on polin´omica del campo de desplazamiento es tal que s´olo se garantiza que la tercera derivada tenga un valor constante, desde que cualquier derivada de orden–menor involucra la variable espacial. Sin embargo, si nosotros examinamos las condiciones bajo las cuales el elemento sufre traslaci´ on de cuerpo r´ıgido, por ejemplo; encontramos que las fuerzas nodales deben ser de igual magnitud e id´entico sentido, y los momentos nodales aplicados deben ser ambos cero. Tambi´en, para traslaci´ on de cuerpo r´ıgido, las pendientes de la funci´on de desplazamiento en los nodos del elemento son nulas. En el tal caso, la segunda derivada de la deflexi´on, directamente proporcional al momento flexionante, es cero; y el esfuerzo cortante, directamente relacionado a la tercera derivada del desplazamiento transversal, es constante. (Simplemente recuerde las relaciones de definici´on del esfuerzo cortante y el momento flector internos, de la teor´ıa de mec´anica de los materiales). Por consiguiente, la representaci´ on de la variable de campo como un polinomio c´ ubico, permite la traslaci´on de cuerpo r´ıgido. En el caso del elemento viga, tambi´en debemos verificar la posibilidad de rotaci´on de cuerpo r´ıgido. Esta consideraci´ on, como tambi´en aqu´ellas de momento flexionante y esfuerzo cortante constantes, se dejan al lector como problemas de fin de cap´ıtulo.
6.3.1.
Elementos unidimensionales de orden–superior
Al formular el elemento barra y el elemento de conducci´on de calor uni–dimensional (Cap´ıtulo 5), s´olo consideramos elementos rectil´ıneos que tienen un solo grado de libertad en cada uno de los dos nodos ubicados en sus puntos extremos. Aunque este elemento es bastante apropiado para los problemas considerados, de ning´ un modo es el u ´nico elemento uni–dimensional que puede formularse para un tipo de problema dado.
1
L
L
2
2
2
x
3
Figura 6.2: Elemento lineal tri–nodal La Figura 6.2 muestra un elemento l´ınea de tres–nodos, en el que el nodo 2 es un nodo interior. Como fu´e mencionado brevemente en el Cap´ıtulo 1, un nodo interior no se conecta a cualquier otro nodo en cualquier otro elemento adyascente en el modelo. La inclusi´on del nodo interior es una herramienta matem´ atica para aumentar el orden de aproximaci´on de la variable de campo. Asumiendo que tratamos s´olamente con 1 grado de libertad en cada nodo, la representaci´on polin´omica apropiada del campo variable es φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 (6.11) y las condiciones nodales son φ(x = 0) = φ1
φ x=
L 2
= φ2
φ(x = L) = φ3
(6.11a)
Aplicando el procedimiento general delineado previamente en el contexto del elemento viga, aplicamos las condiciones nodales (de borde) para obtener 1 φ1 φ2 = 1 φ3 1
0 L 2 L
a0 L a1 4 a2 L2 0
(6.12)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
160
de donde las funciones de interpolaci´ on se obtienen mediante la siguiente secuencia 1 0 0 φ1 a0 4 −1 −3 a1 = L φ2 L L 2 −4 2 a2 φ3 2 2 2 L
L
L
1 −3 φ(x) = 1 x x2 L 2 L2
= N1
N2
0 4 L −4 L2
φ1 −1 φ2 L 2 φ3 2 0
L
φ1 N3 φ2 φ3
x x2 N1 (x) = 1 − 3 + 2 2 L L x x N2 (x) = 4 1− L L x x N3 (x) = 2 −1 L L 1.0
(6.13)
N2
0.8 0.6 0.4 N3
N1 0.2 0.0
0.5
1.0
s (x/L)
- 0.2
Figura 6.3: Funciones de interpolaci´on del elemento lineal tri–nodal Notemos que cada funci´ on de interpolaci´on var´ıa cuadr´aticamente en x y tiene valor unitario en su nodo asociado y valor cero en los otros dos nodos, como es ilustrado en la Figura 6.3. Estas observaciones llevan a un m´etodo abreviado de preparar las funciones de interpolaci´on para un elemento rectil´ıneo C 0 como productos de monomios como sigue. Sea la variable s = x/L tal que s1 = 0, s2 = 1/2, s3 = 1 sean las coordenadas adimensionales de los nodos 1, 2, y 3, respectivamente. En lugar de seguir el procedimiento formal usado previamente; nosotros suponemos, por ejemplo, N1 (s) = C1 (s − s2 )(s − s3 )
(6.14)
donde C1 es una constante. El primer t´ermino monomio asegura que N1 toma valor cero en el nodo 2, y el segundo t´ermino monomio asegura lo mismo en el nodo 3. Por consiguiente, necesitamos determinar s´olo el valor de C1 que proporciona un valor de unidad al nodo 1. Substituyendo s = 0 en la u ´ltima ecuaci´on junto a los valores coordenados de los otros dos nodos, obtenemos N1 (s = 0) = C1 0 − 21 (0 − 1)
6.3. FORMAS POLINOMIALES: ELEMENTOS UNI–DIMENSIONALES
161
que nos proporciona C1 = 2; por lo que N1 (x) = 2 s −
1 2
(s − 1)
(6.15a)
Siguiendo una l´ ogica y procedimiento similar, tambi´en obtenemos N2 (x) = −4s(s − 1) N3 (x) = 2s s − 21
(6.15b) (6.15c)
Si substitu´ımos s = x/L en las Ecuaciones (6.15), y expandimos los t´erminos, se demuestra que los resultados son id´enticos a aquellos dados en la Ecuaci´on (6.13). El procedimiento basado en t´erminos monomiales puede ser extendido a elementos rectil´ıneos de cualquier orden, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.1. Utilice el m´etodo monomial para obtener las funciones de interpolaci´on para el elemento rectl´ıneo de cuatro–nodos mostrado en la Figura 6.4. L
L
L
3
3
3
1
4
3
2
x
Figura 6.4: Elemento lineal cuatri–nodal > Soluci´ on Usando s = x/L, tendremos: s1 = 0, s2 = 1/3, s3 = 2/3, y s4 = 1. Los t´erminos monomiales de inter´es son: s, s − 1/3, s − 2/3, y s − 1. Los productos monomiales que postulamos ser´an: N1 (s) = C1 s −
1 3
N3 (s) = C3 s s −
1 3
s−
2 3
(s − 1)
(s − 1)
N2 = C2 s s −
2 3
N4 = C4 s s −
1 3
(s − 1) s − 23
que autom´ aticamente satisfacen las condiciones requeridas de valor–nulo en nodos no asociados para cada una de las funciones de interpolaci´on. Aqu´ı, necesitamos evaluar s´olamente las constantes Ci de modo que Ni (s = si ) = 1 (i = 1; 4). Aplicando esta condici´on gen´erica de valor unitario a cada una de las funciones, obtenemos N1 (0) = 1 = C1 − 31 − 23 (−1) N2 13 = 1 = C2 13 − 13 − 23 N3 23 = 1 = C3 23 13 − 13 N4 (1) = 1 = C4 (1) 23 13 que tiene como soluci´ on al conjunto: C1 =
−9 2 ,
C2 =
27 2 ,
C3 =
−27 2 ,
C4 = 92 .
Reemplazando ´estos valores, las funciones de interpolaci´on del elemento rectil´ıneo cuatri–nodal resultan N1 (s) = − 92 s − 13 s − 23 (s − 1) 2 N2 (s) = 27 2 s s − 3 (s − 1) 1 N3 (s) = − 27 2 s s − 3 (s − 1) N4 (s) = 92 s s − 13 s − 23 >
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
162
6.4.
Formas polinomiales: isotrop´ıa geom´ etrica
La discusi´ on anterior de elementos uni–dimensionales (lineales) revel´o que la representaci´on polin´omica de la variable de campo debe contener el mismo n´ umero de t´erminos como el n´ umero de grados de libertad nodales. Adem´ as, para satisfacer el requisito de integridad, la representaci´on polin´omica para un elemento con M –grados de libertad debe contener todas las potencias de la variable independiente hasta e incluyendo el orden M − 1. Otra manera de declarar el u ´ltimo requisito es que el polinomio est´e completo. En dos y tres dimensiones, las representaciones polin´omicas de la variable de campo, en general, satisfacen los requisitos de compatibilidad e integridad si la expresi´on polinomial exhibe la propiedad conocida como isotrop´ıa geom´etrica [1]. Una funci´on matem´atica satisface la isotrop´ıa geom´etrica si la forma funcional que la describe no sufre cambio alguno bajo una traslaci´on o rotaci´on de coordenadas. En dos dimensiones, un polinomio completo de orden M puede expresarse como (2) N t X PM (x, y) = ak xi y j i+j ≤M (6.16) k=0 (2)
donde Nt = [(M + 1)(M + 2)]/2 es el n´ umero total de t´erminos. Un polinomio completo como es expresado por la Ecuaci´ on (6.16) satisface la condici´on de isotrop´ıa geom´etrica, desde que las dos variables, x e y, son inclu´ıdas en cada t´ermino en similares potencias. Por consiguiente, una traslaci´on o rotaci´on de coordenadas no afecta a ninguna de las variables independientes en esta expresi´on matem´atica. Un m´etodo gr´ afico de verificar a los polinomios bi–dimensionales completos es el llamado tri´ angulo de Pascal mostrado en la Figura 6.5. Cada l´ınea horizontal representa un polinomio de orden M . Un polinomio completo de orden M debe contener todos los t´erminos mostrados sobre la l´ınea horizontal de referencia. Por ejemplo, un polinomio cuadr´atico completo en dos dimensiones debe contener seis t´erminos. De aqu´ı, para usarlo en la representaci´on de una variable de campo asociada a un elemento finito, una expresi´ on cuadr´ atica completa requiere seis grados de libertad nodales en el elemento. Nosotros examinamos este caso particular en el contexto de los elementos triangulares en la pr´oxima secci´on. 1
y
x x2
x4
xy
xy
Cuadrático 3
xy
xy 3
y 2
2
x3
Lineal 2
x2y2
y 3
xy
Cúbico 4
y
Cuártico
Figura 6.5: El tri´ angulo de Pascal para polinomios en dos dimensiones Adem´as de los polinomios completos, los polinomios incompletos tambi´en exhiben isotrop´ıa geom´etrica si el polinomio incompleto es sim´etrico. En este contexto, la simetr´ıa implica que las variables independientes aparecen como “pares iguales y opuestos”, asegurando que cada variable independiente juegue un rol igual en el polinomio. Por ejemplo, el polinomio cuadr´atico incompleto de cuatro–t´erminos P (x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 no es sim´etrico, como all´ı existe un t´ermino cuadr´atico en x, pero el correspondiente t´ermino cuadr´atico
´ 6.4. FORMAS POLINOMIALES: ISOTROP´IA GEOMETRICA
163
en y no aparece. Por otra parte, el polinomio cuadr´atico incompleto, P (x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy es sim´etrico, ya que el t´ermino cuadr´atico establece igual “peso” para ambas variables independientes. Una manera muy conveniente de visualizar algunos de los polinomios sim´etricos pero incompletos de un orden dado normalmente usados, tambi´en son identificados por el tri´angulo de Pascal. Nuevamente, refiri´endonos a la Figura 6.5, las l´ıneas punteadas muestran los t´erminos que deben ser inclu´ıdos en un ´ polinomio incompleto todav´ıa sim´etrico de un orden dado. (Estos son, por supuesto, no s´olo los u ´nicos polinomios incompletos, sim´etricos, que pueden ser construidos). Todos los t´erminos sobre las l´ıneas punteadas deben ser incluidas en una representaci´on polinomial si la funci´on exhibe isotrop´ıa geom´etrica. Este rasgo de los polinomios se utiliza en una magnitud significativa en el siguiente desarrollo de las varias funciones de interpolaci´ on de elemento que formularemos. 1
x
z y xz
2
x
z xy x2z
x3
2
yz 2
y
2
zx
z3
xyz
x2y
z2y y2x
yz2 3
y
Figura 6.6: La pir´ amide de Pascal para polinomios en tres dimensiones Como en el caso bi–dimensional, para satisfacer los requisitos de isotrop´ıa geom´etrica, la expresi´on polin´omica de la variable de campo en tres dimensiones debe ser completa o incompleta, pero sim´etrica. La integridad y simetr´ıa tambi´en pueden ser interpretadas gr´aficamente por la “pir´ amide de Pascal ” mostrada en la Figura 6.6. Aunque el caso tridimensional es un poco m´as dif´ıcil de visualizar, la premisa b´asica se mantiene inalterable en el sentido que cada variable independiente debe poseer igual “fuerza” en el polinomio como todas las dem´ as. Por ejemplo, el polinomio cuadr´atico tri–dimensional P (x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 x2 + a5 y 2 + a6 z 2 + a7 xy + a8 xz + a9 yz es completo y podr´ıa aplicarse a un elemento que tiene 10 nodos. Similarmente, una forma sim´etrica, incompleta, como P (x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 x2 + a5 y 2 + a6 z 2 o, bien P (x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 xy + a5 xz + a6 yz podr´ıa usarse para elementos que tienen siete grados de libertad nodales (un caso improbable, sin embargo).
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
164
La isotrop´ıa geom´etrica no es un requisito absoluto para la representaci´on de la variable de campo [1], mediante funciones de interpolaci´ on. Como fu´e demostrado por muchos investigadores, realmente se usan a menudo las representaciones incompletas y la convergencia de la soluci´on a´ un as´ı es lograda. Sin embargo, en t´erminos de refinamiento–h, el uso de representaciones geom´etricamente isotr´opicas garantiza la satisfacci´ on de los requerimientos de compatibilidad e integridad. Para el m´etodo de refinamiento–p, el lector debe recordar que las funciones de interpolaci´on en cualquier an´alisis de soluci´on mediante aproximaci´ on por el m´etodo de elemento finito son aproximaciones a la soluci´on del problema mediante funciones de expansi´on en serie de potencias. Cuando nosotros aumentamos el n´ umero de nodos del elemento, el orden de las funciones de interpolaci´on se incrementa y, a medida que el n´ umero de nodos tiende hacia infinito, la expresi´on polin´omica de la variable de campo se aproxima a la expansi´on en serie de potencias de la soluci´on verdadera.
6.5.
Elementos triangulares
Las funciones de interpolaci´ on para los elementos triangulares se formulan inherentemente en dos dimensiones y una familia de tales elementos existen. La Figura 6.7 muestra los primeros tres elementos (lineal, cuadr´ atico, y c´ ubico) de la familia. Note que, en el caso del elemento c´ ubico existe un nodo interior. El nodo interior se requiere para obtener isotrop´ıa geom´etrica, como ser´a discutido posteriormente.
(a) lineal
(b) cuadr´ atico
(c) c´ ubico
Figura 6.7: Elementos finitos triangulares El uso de los elementos triangulares no se limita a problemas bi–dimensionales. De hecho, los elementos triangulares pueden ser usados en casos tri–dimensionales con simetr´ıa axial (discutido luego en este cap´ıtulo) as´ı como en an´ alisis estructurales que involucran alabeo por flexi´on fuera del plano que contiene al sistema, como en placas y estructuras de c´ascara. En los u ´ltimos casos, los grados de libertad nodales incluyen las primeras derivadas as´ı como la propia variable de campo. Aunque los problemas de placas y c´ ascaras est´ an fuera del alcance de este libro, aludiremos de nuevo brevemente a esos problemas en el Cap´ıtulo 9. 3(x 3 , y 3)
y
2(x 2 , y 2) 1(x 1 , y 1)
x Figura 6.8: Elemento finito triangular general con tres–nodos v´ertice La Figura 6.8 muestra un elemento finito triangular general, de tres-nodos ubicados en sus v´ertices, al cual asociamos un sistema de coordenadas propio del mismo elemento que es, por ahora, supuesto de ser igual que el sistema global. Aqu´ı, se supone que s´olo 1 grado de libertad es asociado con cada
6.5. ELEMENTOS TRIANGULARES
165
nodo. Por las condiciones anteriores, expresamos la variable de campo en la forma polinomial φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y
(6.17)
Aplicando las condiciones nodales φ(x1 , y1 ) = φ1
φ(x2 , y2 ) = φ2
φ(x3 , y3 ) = φ3
y, siguiendo el procedimiento general anteriormente delineado; obtenemos 1 x1 y1 a0 φ1 1 x2 y2 a1 = φ2 1 x3 y3 a2 φ3
(6.17a)
(6.18)
Para hallar los coeficientes polin´ omicos, debemos invertir la matriz de coeficientes en la ecuaci´on precedente. La inversi´ on de la matriz es algebr´aicamente tediosa pero dir´ecta, y encontramos 1 [ φ1 (x2 y3 − x3 y2 ) + φ2 (x3 y1 − x1 y3 ) + φ3 (x1 y2 − x2 y1 ) ] 2A 1 a1 = [ φ1 (y2 − y3 ) + φ2 (y3 − y1 ) + φ3 (y1 − y2 ) ] 2A 1 a2 = [ φ1 (x3 − x2 ) + φ2 (x1 − x3 ) + φ3 (x2 − x1 y1 ) ] 2A a0 =
Substituyendo los valores en la Ecuaci´on (6.17) y agrupando los coeficientes de las variables nodales, obtenemos 1 n φ(x, y) = [ (x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y ]φ1 2A (6.19) + [ (x3 y1 − x1 y3 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3 )y ]φ2 o + [ (x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y ]φ3 Dada la forma de la Ecuaci´ on (6.19), se observa que las funciones de interpolaci´on son 1 [ (x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y ] 2A 1 N2 (x, y) = [ (x3 y1 − x1 y3 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3 )y ] 2A 1 N3 (x, y) = [ (x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y ] 2A
N1 (x, y) =
(6.20a) (6.20b) (6.20c)
donde A es el ´ area del elemento triangular. Dadas las coordenadas de los tres v´ertices de un tri´angulo, puede demostrarse que el ´ area viene determinada por 1 x1 y1 1 A = 1 x2 y2 (6.21) 2 1 x3 y3 Note que la forma algebr´ aicamente compleja de las funciones de interpolaci´on se presenta principalmente por la elecci´ on del sistema coordenado de elemento de la Figura 6.8. Como la representaci´on lineal de la variable de campo exhibe isotrop´ıa geom´etrica, la ubicaci´on y orientaci´on de los ejes coordenados locales (de elemento) pueden escogerse arbitrariamente sin afectar los resultados de la interpolaci´ on. Por ejemplo, si el sistema coordenado de elemento mostrado en la Figura 6.9 se utiliza, se consigue una simplificaci´ on algebr´aica considerable. En el sistema de coordenadas mostrado, y con
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
166
3(x 3 , y 3)
y x 2(x 2 , 0) 1(0, 0) Figura 6.9: Sistema coordenado local para elemento finito triangular los valores de posici´ on espacial asignados a los v´ertices, tenemos x1 = y1 = y2 = 0, 2A = x2 y3 ; y las funciones de interpolaci´ on resultan N1 (x, y) =
1 [ x2 y3 − y3 x + (x3 − x2 )y ] x2 y3
1 [ y3 x − x3 y ] x2 y3 y N3 (x, y) = y3 N2 (x, y) =
(6.22a) (6.22b) (6.22c)
las cuales son claramente de formas m´ as simples que las que presentan las Ecuaciones (6.20). La simplificaci´ on efectuada no tiene ninguna repercusi´on en el c´alculo num´erico de valores de la variable de campo al interior del elemento. Sin embargo, si el sistema de coordenadas es orientado como en la Figura 6.9, las matrices caracter´ısticas del elemento deben transformarse a un sistema de coordenadas global com´ un durante el proceso de ensamble del modelo. (Recuerde la transformaci´on de matrices de rigidez demostrada anteriormente para los elementos barra y marco). Como los modelos de elemento finito normalmente emplean un gran n´ umero de elementos, los c´alculos adicionales para la transformaci´on del elemento realmente requieren cierto consumo de tiempo apreciable. Por consiguiente, la eficacia computacional se mejora si cada sistema de coordenadas de elemento se orienta tal que los ejes sean paralelos a los ejes globales. En este caso, el paso de transformaci´on es entonces innecesario cuando el ensamble del modelo tiene lugar. En la pr´actica, los paquetes de software de elemento finito m´as comerciales proveen el uso de ambos sistemas coordenados de elemento como opciones para el [6]. Retornando a la Ecuaci´ on (6.11), observe que es posible para la variable de campo asumir un valor constante, seg´ un el requisito de integridad, y que las primeras derivadas parciales con respecto a las variables independientes x e y son constantes. Lo u ´ltimo muestra que las pendientes de la variable de campo son constantes en ambas direcciones coordenadas. Para un elemento estructural plano, esto produce componentes de deformaci´ on constantes al interior del elemento. De hecho, en las aplicaciones estructurales, el elemento triangular de tres–nodos normalmente es conocido como un tri´ angulo de deformaci´ on constante (TDC, de modo abreviado). En el caso de la transmisi´on de calor, el elemento triangular analizado produce pendientes de temperatura constantes; por consiguiente, flujo de calor constante dentro de un elemento.
6.5.1.
Coordenadas de ´ area
Cuando las funciones de interpolaci´ on para el elemento triangular son expresadas en coordenadas Cartesianas, las expresiones obtenidas son algebr´aicamente complejas. Adicionalmente, las integraciones requiridas para obtener las matrices caracter´ısticas de elemento son realmente embarazosas. Una simplificaci´on considerable de las funciones de interpolaci´on as´ı como de las integraciones requeridas, se obtiene mediante el uso de las denominadas coordenadas de ´ area.
6.5. ELEMENTOS TRIANGULARES
167 3
A1
A2 P
A3
2
1
´ Figura 6.10: Areas asociadas a un punto P interno La Figura 6.10 muestra un elemento triangular de tres–nodos dividido en tres ´areas definidas por los nodos y un punto interior arbitrario P (x, y). Nota: El punto P no es un nodo. Las coordenadas de ´area del punto P se definen como L1 =
A1 A
L2 =
A2 A
L3 =
A3 A
(6.23)
donde A es el ´ area total del tri´ angulo. Claramente, las coordenadas de ´area no son independientes, puesto que la relaci´ on entre ellas se describe mediante L1 + L2 + L3 = 1
(6.24)
La dependencia anterior es realmente esperada, puesto que la Ecuaci´on (6.23) expresa la ubicaci´on de un punto en dos–dimensiones usando tres coordenadas. L1
3
= 0
L1
, P
3
= 0.5
P 2 L1
2
=
1
1
(a) Puntos con L1 constante
(b) L´ıneas de L1 constante
1
Figura 6.11: Propiedades de las coordenadas de ´area Las propiedades importantes de las coordenadas de ´area para la aplicaci´on a elementos finitos triangulares se examinan ahora con referencia a la Figura 6.11. En la Figura 6.11(a), se indica una l´ınea segmentada paralela al lado definido por los nodos 2 y 3. Para dos puntos cualquiera P y P 0 en esta l´ınea, las ´ areas de los tri´ angulos formados por los nodos 2 y 3 juntamente a P o P 0 son id´enticas. Esto es porque la base y altura de cualquier tri´angulo as´ı formado son constantes. M´as a´ un, a medida que la l´ınea segmentada se mueve m´as cerca al nodo 1, el ´area A1 aumenta linealmente y toma el valor A1 = A, cuando es evaluada en el nodo 1. Por consiguiente, la coordenada de ´area L1 es constante en cualquier l´ınea paralela al lado del tri´angulo opuesto al nodo 1 y var´ıa linealmente desde un valor unitario en el nodo 1 hasta un valor nulo a lo largo del lado definido por los nodos 2 y 3, como es mostrado en la Figura 6.11(b). Similares argumentos pueden hacerse para la conducta de las coordenadas L2 y L3 . Estas observaciones pueden usarse para escribir las condiciones siguientes que
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
168
son satisfechas por las coordenadas de ´ area cuando son evaluadas en los nodos: Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3:
L1 = 1 L2 = 1 L3 = 1
L2 = L3 = 0 L1 = L3 = 0 L1 = L2 = 0
(6.25)
Las condiciones expresadas por las Ecuaciones (6.25) son ex´actamente los requisitos que deben ser satisfechos por las funciones de interpolaci´ on en los nodos de un elemento triangular. As´ı que podemos expresar la variable a ser modelada como φ(x, y) = L1 φ1 + L2 φ2 + L3 φ3
(6.26)
en t´erminos de las coordenadas de ´ area. Es ´esta representaci´on de la variable de campo diferente de la expresada por la Ecuaci´ on (6.19) ?. Si las coordenadas de ´area se expresan expl´ıcitamente en t´erminos de las coordenadas nodales, las dos representaciones desarrolladas se demuestra que son id´enticas. Las verdaderas ventajas de las coordenadas de ´area se ven m´as r´apidamente en el desarrollo de funciones de interpolaci´ on para los elementos de orden–superior y realizando las integraciones de varias formas a ser planteadas en t´erminos de las funciones de interpolaci´on.
6.5.2.
Elemento triangular de seis–nodos
=
3
0
3
L3=1 L2= 0.5
L1
L = 2 0
Un elemento finito de seis–nodos se muestra en la Figura 6.12(a). Los nodos adicionales 4, 5, y 6 son localizados en los puntos medios de las aristas del elemento.
L1
= 0.5 5 L3
=
5
6
L = 2 1
0.5
6
=0 2 L3
L1 =
1
4
1
2 4
1
(a) Ubicaci´ on de puntos nodales
(b) L´ıneas de Li (i = 1; 3) constante
Figura 6.12: Elementos triangulares de seis–nodos Como tenemos ahora seis nodos, una representaci´on polin´omica de la variable de campo es φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2
(6.27)
que finalmente ser´ a expresada en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y los valores nodales como φ(x, y) =
6 X
Ni (x, y)φi
(6.28)
i=1
Como de costumbre, cada funci´ on de interpolaci´on debe ser tal que su valor es la unidad cuando es evaluada en su nodo asociado y cero cuando se eval´ ua en cualquiera de los otros cinco nodos. M´as a´ un, cada funci´ on de interpolaci´ on es una expresi´on cuadr´atica, en virtud que la representaci´on de la variable de campo es cuadr´ atica.
6.5. ELEMENTOS TRIANGULARES
169
La Figura 6.12(b) muestra el elemento de seis-nodos con las l´ıneas de valores constantes de las coordenadas de ´ area atravesando los nodos. Usando esta figura y un poco de l´ogica, las funciones de interpolaci´ on son f´ acilmente “constru´ıdas” en coordenadas de ´area. Por ejemplo, para la funci´on de interpolaci´ on N1 (x, y) = N1 (L1 , L2 , L3 ) se debe tener valor nulo en los nodos 2, 3, 4, 5, y 6. Notando que L1 = 1/2 en los nodos 4 y 6, la inclusi´on del t´ermino L1 − 1/2, asegura un valor cero en esos dos nodos. Similarmente, L1 = 0 en los nodos 2, 3, 4; as´ı el t´ermino L1 satisface las condiciones en esos tres nodos. Por consiguiente, proponemos 1 N1 = L1 L1 − (6.29) 2 Sin embargo, la evaluaci´ on de la Ecuaci´on (6.29) en el nodo 1, donde L1 = 1, resulta en N1 = 1/2. Como N1 debe tomar valor unitario en el nodo 1, ´esta funcion de interpolaci´on propuesta como prueba es modificada a 1 = L1 (2 L1 − 1) (6.30a) N1 = 2 L1 L1 − 2 la cual satisface las condiciones requeridas en cada uno de los seis nodos y es una funci´on cuadr´atica, puesto que L1 es una funci´ on lineal de x e y. Aplicando las condiciones nodales requeridas a las restantes cinco funciones de interpolaci´on en turno secuencial, se demuestra que como resultado de un desarrollo similar al efectuado obtenemos N2 = L2 (2 L2 − 1)
(6.30 b)
N3 = L3 (2 L3 − 1)
(6.30 c)
N4 = 4 L1 L2
(6.30 d)
N5 = 4 L2 L3
(6.30 e)
N6 = 4 L1 L3
(6.30 f)
Usando este procedimiento completamente dir´ecto, pueden construirse las funciones de interpolaci´on para los elementos triangulares adicionales de orden–superior. El elemento finito triangular c´ ubico de 10–nodos se deja como un ejercicio para el lector al final del cap´ıtulo.
6.5.3.
Integraci´ on en coordenadas de ´ area
Como vimos en el Cap´ıtulo 5 y encontraremos de nuevo en los cap´ıtulos siguientes, se requiere la integraci´ on de varias formas de las funciones de interpolaci´on sobre el dominio de un elemento, en el ciclo de formular las matrices y vectores caracter´ısticos de elemento cuando un determinado problema es modelado de forma discreta mediante la t´ecnica de utilizaci´on del m´etodo de elemento finito. Cuando estos componentes matem´ aticos son expresados en t´erminos de las coordenadas de ´area, las integrales de la forma ZZ La1 Lb2 Lc3 dA A
(donde A es el ´ area total del tri´ angulo definido por los nodos 1, 2 y 3) deben ser a menudo evaluadas. La relaci´ on ZZ a! b! c! La1 Lb2 Lc3 dA = (2A) (6.31) (a + b + c + 2)! A
ha sido demostrada [14] ser v´ alida para todos los exponentes a, b, c, que son n´ umeros enteros positivos (recuerde que 0 ! = 1). De aqu´ı, utilizando esta simple f´ormula, la integraci´on de las funciones de interpolaci´ on expresadas en t´erminos de las coordenadas de ´area es completamente dir´ecta !.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
170
Ejemplo 6.2. Como ser´a mostrado en el Cap´ıtulo 7, los t´erminos de convecci´on de la matriz de “rigidez” para un elemento bi–dimensional en transferencia de calor son de la forma Z kij = h Ni Nj dA A
donde h es el coeficiente de convecci´ on y A es el ´area del elemento. Use las funciones de interpolaci´on para un elemento triangular de seis–nodos dados por las ecuaciones (6.30) para calcular el valor de k24 . > Soluci´ on Usando las Ecuaciones (6.30b) y (6.30d), tenemos N2 = L2 (2 L2 − 1)
N4 = 4 L1 L2
de modo que (si asumimos h de valor constante) Z Z Z k24 = h N2 N4 dA = h L2 (2 L2 − 1) 4 L1 L2 dA = h (8L1 L32 − 4L1 L2 ) dA A
A
A
Aplicando la Ecuaci´ on (6.31), tendremos Z h 8L1 L32 dA = 8h(2A)
96hA 2hA (1!)(3!)(0!) = = (1 + 3 + 0 + 2)! 720 15
A
Z h
4L1 L2 dA = 8h(2A)
(1!)(2!)(0!) 16hA 2hA = = (1 + 2 + 0 + 2)! 120 15
A
Luego k24 =
6.6.
2hA 2hA − =0 15 15
>
Elementos rectangulares
Los elementos rectangulares son convenientes para modelar geometr´ıas regulares, pueden ser usados junto con los elementos triangulares, y forman la base para el desarrollo de elementos cuadril´ateros generales. El elemento m´ as simple de la familia de los elementos rectangulares es el rect´angulo de cuatro–nodos mostrado en la Figura 6.13, d´onde se asume que los lados del rect´angulo son paralelos a los ejes Cartesianos globales. Por convenci´on, numeramos los nodos secuencialmente en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj o anti–horario, como se muestra en la gr´afica de referencia. Como all´ı existen cuatro nodos y 4 grados de libertad (uno por cada nodo), usamos un polinomio de cuatro–t´erminos como expresi´on apropiada para la funci´on que describe a la variable de campo. Puesto que no hay ning´ un polinomio completo de cuatro–t´erminos en dos dimensiones, subsecuentemente la expresi´ on sim´etrica, incompleta: φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 xy es usada para asegurar isotrop´ıa geom´etrica. Aplicando las cuatro condiciones nodales, forma matricial tendremos φ1 1 φ2 1 = φ 1 3 φ4 1
(6.32)
y escribiendo el sistema de ecuaciones as´ı obtenido en x1 y1 x1 y1 a0 x2 y2 x2 y2 a1 (6.33) x3 y3 x3 y3 a2 x4 y4 x4 y4 a3
6.6. ELEMENTOS RECTANGULARES
171 4(x 4 , y 4)
3(x 3 , y 3)
1(x 1 , y 1)
2(x 2 , y 2)
y x
Figura 6.13: Elemento rectangular con nodos v´ertice de donde, simb´ olicamente se obtiene la soluci´on para los coeficientes polinomiales como a0 1 a1 1 = 1 a 2 a3 1
x1 x2 x3 x4
−1 x1 y1 φ1 x2 y2 φ2 x3 y3 φ3 x4 y4 φ4
y1 y2 y3 y4
En t´erminos de los valores nodales, la variable de campo es luego descrita como
φ(x, y) = 1 x y
xy {a} = 1 x y
1 1 xy 1 1
x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 y4
−1 φ1 x1 y1 φ2 x2 y2 φ3 x3 y3 φ4 x4 y4
(6.34)
de la cual, las funciones de interpolaci´on pueden ser deducidas si se compara esta u ´ltima ecuaci´on con la expresi´ on gen´erica para la descripci´on de la variable de campo en t´erminos de las funciones de interpolaci´ on Ni = Ni (x, y), y los valores nodales: φ(x, y) = N1 φ1 + N2 φ2 + N3 φ3 + N4 φ4
(6.34a)
La forma de la Ecuaci´ on (6.34) sugiere que las expresiones de las funciones de interpolaci´on en t´erminos de las coordenadas nodales son algebr´aicamente complejas. Afortunadamente, la complejidad puede reducirse por una elecci´ on m´ as juiciosa de las coordenadas. Para el elemento rectangular, introduciremos coordenadas normalizadas (tambi´on conocidas como coordenadas naturales o coordenadas serendipity) r y s como y − y¯ x−x ¯ s= (6.35) r= a b donde 2a y 2b son las magnitudes del ancho y el alto del rect´angulo, respectivamente; y las coordenadas del centroide del elemento vienen dadas por x ¯=
x1 + x2 2
y¯ =
y1 + y4 2
(6.35a)
como se muestra en la Figura 6.14(a). Por consiguiente, r y s son tales que el rango de sus valores van de −1 a +1, y las coordenadas nodales son como en la Figura 6.14(b). Aplicando las condiciones que deben satisfacerse por cada funci´on de interpolaci´on en cada nodo, obtenemos (esencialmente por inspecci´on) N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s) N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s) N1 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s) N1 (r, s) = 14 (1 − r)(1 + s)
(6.36)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
172 4
4 (–1, 1)
3
s
3 (1, 1)
s
y
r
r
y x
1
2
2 (1, –1)
1(–1, –1)
x (a) Traslaci´ on hacia coordenadas naturales
(b) Coordenadas naturales – nodos
Figura 6.14: Elemento finito rectangular de cuatro–nodos As´ı, la funci´on que describe a la variable de campo en t´erminos de las funciones de interpolaci´on en coordenadas naturales y los valores nodales de ´esta funci´on, resulta φ(r, s) = N1 (r, s)φ1 + N2 (r, s)φ2 + N3 (r, s)φ3 + N4 (r, s)φ4
(6.37)
Como en el caso de elementos triangulares que usan coordenadas de ´area, las funciones de interpolaci´on son algebr´ aicamente mucho m´ as simples cuando se expresan en t´erminos de coordenadas naturales. No obstante, todas las condiciones requeridas se satisfacen y la forma funcional es id´entica a la que expresaba la variable de campo en la Ecuaci´on (6.32). Tambi´en como con las coordenadas de ´area, las integraciones que involucran las funciones de interpolaci´on expresadas en coordenadas naturales se simplifican enormemente, desde que los integrandos son polinomios relativamente simples (para elementos rectangulares) y los l´ımites de integraci´on (cuando se integra sobre el ´area del elemento) son −1 y +1. La discusi´ on futura de tales requisitos de integraci´on, las t´ecnicas de integraci´on particularmente num´ericas, y otros temas de detalle, se posponen hasta despu´es en este cap´ıtulo. 7
4
3
s
y
r
8
x
5
1
6
2
Figura 6.15: Elemento rectangular de ocho–nodos Para desarrollar un elemento rectangular de orden–superior, la progresi´on l´ogica es poner un nodo adicional en el punto medio de cada arista del elemento, como en la Figura 6.15. Sin embargo, esto propone un problema inmediato. La inspecci´on del tri´angulo de Pascal (v´ease la Figura 6.5) muestra que no podemos construir un polinomio completo que tiene ocho t´erminos, pero tenemos la opci´on de escoger entre dos polinomios c´ ubicos incompletos, sim´etricos: φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 + a6 x3 + a7 y 3 2
2
2
φ(x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x + a4 xy + a5 y + a6 x y + a7 xy
(6.38a) 2
(6.38b)
En lugar de decidir con escoger una o la otra expresi´on, usaremos las coordenadas naturales y las condiciones nodales que deben satisfacerse por cada funci´on de interpolaci´on para obtener las condiciones de normalizaci´ on de las funciones. Por ejemplo, la funci´on de interpolaci´on N1 debe valer cero en todos los nodos excepto en el nodo 1, d´onde su valor debe ser unitario. En los nodos 2, 3, y 6, r = 1, as´ı incluyendo el t´ermino r − 1 se satisface la condici´on nula en esos nodos. Similarmente, en los nodos 4 y 7, s = 1 por lo que el t´ermino s − 1 asegura la condici´on cero en esos dos nodos. Finalmente, en el nodo 5, (r, s) = (0, −1), y en el nodo 8, (r, s) = (−1, 0). De aqu´ı, en los nodos 5 y 8, el t´ermino r + s + 1 es id´enticamente cero. Usando este razonamiento, la funci´on de interpolaci´on asociada con el nodo 1 debe ser de la forma N1 (r, s) = (1 − r)(1 − s)(r + s + 1)
6.7. ELEMENTOS TRI–DIMENSIONALES
173
Evaluando en el nodo 1 donde (r, s) = (−1, −1), obtenemos N1 = −4; de modo que se requiere una correcci´ on para obtener un valor unitario. La forma final es entonces N1 (r, s) = 41 (r − 1)(1 − s)(r + s + 1)
(6.39a)
Un procedimiento paralelo para las funciones de interpolaci´on asociadas con los otros tres nodos v´ertice proporciona N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s)(s − r + 1) (6.39b) N3 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s)(r + s − 1)
(6.39c)
N4 (r, s) = 14 (r − 1)(1 + s)(r − s + 1)
(6.39d)
La forma de las funciones de interpolaci´on asociadas con los nodos ubicados a la mitad de las aristas es tan simple de obtener como las funciones asociadas con los nodos–v´ertice. Por ejemplo, N5 tiene un valor cero en los nodos 2, 3, y 6, si contiene el t´ermino r − 1; y es tambi´en cero en los nodos 1, 4, y 8, si el t´ermino 1 + r es inclu´ıdo. Finalmente, si un valor nulo debe obtenerse en el nodo 7, donde (r, s) = (0, 1), la inclusi´ on del t´ermino s − 1 debe efectuarse. Por tanto, despu´es de evaluar la funci´on de prueba en el nodo 5 de los productos monomiales de los t´erminos previamente identificados, resulta que la funci´ on de interpolaci´ on apropiada es N5 (r, s) = 12 (1 + r)(1 − r)(1 − s) = 21 (1 − r2 )(s − 1)
(6.39e)
donde el coeficiente principal asegura un valor unitario en el nodo 5. Para los otros nodos ubicados a la mitad de los lados, las funciones siguientes: N6 (r, s) = 12 (1 + r)(1 − s2 )
(6.39f)
N7 (r, s) = 21 (1 − r2 )(1 + s)
(6.39g)
N8 (r, s) = 21 (1 − r)(1 − s2 )
(6.39h)
son determinadas de la misma manera. Muchos otros elementos rectangulares, de orden consecutivamente superior, se han desarrollado para aplicaciones m´ as espec´ıficas [1]. En general, estos elementos de orden–superior incluyen nodos interiores que en el modelado son molestos, porque ellos no pueden conectarse a los nodos de otros elementos. Los nodos interiores se eliminan matem´aticamente en un paso intermedio del proceso de ensamble. La eliminaci´ on de estos nodos superfluos es tal que los efectos mec´anicos de los nodos interiores se asignan apropiadamente a los nodos externos que se ubican en la frontera l´ımite del elemento.
6.7.
Elementos tri–dimensionales
Como en el caso bidimensional, hay dos familias principales de elementos tri–dimensionales. Una de ellas est´ a basada en la extensi´ on de los elementos triangulares hacia los tetraedros y la otra en la extensi´on de los elementos rectangulares hacia paralelep´ıpedos rectangulares (a menudo simplemente llamados elementos ladrillo). Las t´ecnicas algebr´aicamente embarazosas para obtener las funciones de interpolaci´on en coordenadas Cartesianas globales ha sido ilustrado para los elementos bi–dimensionales. Esos desarrollos no se repiten aqu´ı para los elementos tri–dimensionales; los procedimientos son algebr´aicamente id´enticos, pero a´ un m´as complejos. En cambio, utilizaremos una aproximaci´on m´as amena usando las coordenadas naturales para desarrollar las funciones de interpolaci´on para las dos familias b´ asicas de los elementos tetra´edricos y palalelep´ıpedos.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
174
6.7.1.
Elemento tetra´ edrico de cuatro–nodos
Un elemento tetra´edrico de cuatro–nodos es mostrado en la Figura 6.16(a) en relaci´on a un sistema coordenado global Cartesiano. Los nodos se numeran de 1 a 4; por convenci´on el nodo 1 puede seleccionarse arbitrariamente y entonces se especifican los nodos 2 a 4 en un sentido anti–horario desde el nodo inicial 1. (Esta convenci´ on es igual que la usada por la mayor´ıa del software comercial de an´alisis de elemento finito y es muy importante para asegurar geom´etricamente tetraedros correctos en isotrop´ıa. Por otro lado, la definici´ on del elemento tetra´edrico para los modelos de elemento finitos es tan compleja que es casi siempre acompa˜ nada de capacidades de auto–generaci´on de mallas mediante paquetes de software espec´ıfico.) 3
3
P 2 4
2 4
1
1
(a) Ubicaci´ on de nodos
(b) Punto interno P
Figura 6.16: El elemento tetra´edrico de cuatro–nodos De una manera an´ aloga al usar coordenadas de ´area, ahora introducimos el concepto de coordenadas de volumen usando la Figura 6.16(b). El punto P (x, y, z) es un punto arbitrario en el interior de un tetraedro definido por los cuatro nodos. Como se indica por las l´ıneas segmentadas, el punto P y los cuatro nodos definen otros cuatro tetraedros que tienen los vol´ umenes V1 = vol(P234)
V2 = vol(P1234)
V3 = vol(P124)
V4 = vol(P123)
(6.40)
Las coordenadas de volumen se definen como L1 =
V1 V
L2 =
V2 V
donde V es el volumen total del elemento, dado por 1 x1 1 1 x2 V = 6 1 x3 1 x4
L3 =
V3 V
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
L4 =
V4 V
(6.41)
(6.42)
Como las coordenadas de ´ area, las coordenadas de volumen no son independientes pues cumplen L1 + L2 + L3 + L4 = 1
(6.43)
esto en virtud que debe satisfacerse la relaci´on obvia: V1 + V2 + V3 + V4 = V . Ahora examinemos la variaci´ on de las coordenadas de volumen a trav´es del elemento. Por ejemplo, si el punto P corresponde al nodo 1, encontramos que V1 = V , V2 = V3 = V4 = 0. Por consiguiente L1 = 1, L2 = L3 = L4 = 0 en el nodo 1. Como P se mueva fuera del nodo 1, V1 disminuye l´ınealmente, ya que el volumen de un tetraedro es directamente proporcional a su altura (la distancia perpendicular de P al plano definido por los nodos 2, 3, y 4) y el ´area de su base (el tri´angulo formado por los nodos 2, 3, y 4). En cualquier plano paralelo al tri´angulo base de nodos 2, 3, 4, el valor de L1 es constante. De importancia particular es que, si P se ubica en el plano de los nodos 2, 3, 4, el valor de L1 es cero.
6.7. ELEMENTOS TRI–DIMENSIONALES
175
Id´enticas observaciones se aplican a las coordenadas de volumen L2 , L3 , y L4 . As´ı que las coordenadas de volumen satisfacen todas las condiciones nodales requeridas para las funciones de interpolaci´on, y podemos expresar el campo variable como φ(x, y, z) = L1 φ1 + L2 φ2 + L3 φ3 + L4 φ4
(6.44)
La representaci´ on expl´ıcita de las funciones de interpolaci´on (i.e., las coordenadas de volumen) en t´erminos de las coordenadas globales es, como fu´e declarado, algebr´aicamente compleja pero dir´ecta. Afortunadamente, dicha representaci´on expl´ıcita generalmente no es requerida, cuando la formulaci´on del elemento puede efectuarse usando s´olo coordenadas de volumen. Como con las coordenadas de ´area, la integraci´ on de funciones en coordenadas de volumen (requerida en el desarrollo de las matrices y vectores caracter´ısticos del elemento) es relativamente simple. Las integrales de la forma ZZZ La1 Lb2 Lc3 Ld4 dV V
donde a, b, c, d son enteros positivos y V es el volumen total del elemento, aparecen en la formulaci´on del elemento para varios problemas f´ısicos. Como con las coordenadas de ´area, la integraci´on en coordenadas de volumen es dir´ecta [14], y tenemos la f´ormula de integraci´on ZZZ a! b! c! d! (6V ) (6.45) La1 Lb2 Lc3 Ld4 dV = (a + b + c + d + 3)! V
que es la analog´ıa en tres dimensiones de la Ecuaci´on (6.31). Como otra analog´ıa con los elementos triangulares bi–dimensionales, el elemento tetra´edrico es muy u ´til en modelar geometr´ıas irregulares. Sin embargo, este elemento no es particularmente vers´atil de usar junto con otros tipos de elementos, estr´ıctamente como resultado de las configuraciones nodales. Esta incompatibilidad se discute en las secciones siguientes. Como un comentario final, en el elemento tetra´edrico de cuatro–nodos, notamos que la representaci´on de la variable de campo, como es dada por la Ecuaci´ on (6.44), es una funci´on lineal de las coordenadas Cartesianas. Por consiguiente, todas las primeras derivadas parciales de la variable de inter´es son constantes. En aplicaciones estructurales, el elemento tetra´edrico es un elemento de tensi´on constante; en general, el elemento exhibe gradientes constantes de la variable seg´ un las tres direcciones coordenadas. 3
10
9 8 2
7 4 6
5 1
(a) Elemento de 10 nodos
(b) Elemento de 20 nodos
Figura 6.17: Elementos tetra´edricos de orden–superior Otros elementos de la familia del tetraedro se muestran en la Figura 6.17. Las funciones de interpolaci´on para los elementos esquematizados son prontamente escritas en coordenadas de volumen, como se lo hace para los elementos triangulares bi–dimensionales de orden–superior. Note particularmente que el segundo elemento de la familia tiene 10 nodos y una forma c´ ubica para la variable de campo y las funciones de interpolaci´ on. No puede construirse un elemento tetra´edrico cuadr´atico que exhiba isotrop´ıa geom´etrica a´ un cuando los nodos interiores sean inclu´ıdos.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
176
6.7.2.
Elemento ladrillo de ocho–nodos
El llamado elemento ladrillo de ocho–nodos (paralelep´ıpedo rectangular) se muestra en la Figura 6.18(a) en referencia con un sistema de coordenadas Cartesianas global. Aqu´ı, utilizamos las coordenadas naturales r, s, t de la Figura 6.18(b), definidas como 8
7
2c
(1, 1, -1)
(-1, 1, -1)
3
4
2b
s
5
(-1, 1, 1)
6
y 1
z
(1, 1, 1)
t
(-1, -1, -1)
2a
r (1, -1, -1)
2
x (-1, -1, 1)
(a) Ubicaci´ on de nodos
(1, -1, 1)
(b) Coordenadas naturales
Figura 6.18: Elemento ladrillo de ocho–nodos
r=
x−x ¯ a
s=
y − y¯ b
t=
z − z¯ c
(6.46)
donde 2a, 2b, 2c son las dimensiones del elemento seg´ un las direcciones x, y y z, respectivamente. Y, las coordenadas del centroide del elemento resultan ser x ¯=
x2 − x1 2
y¯ =
y3 − y2 2
z¯ =
z5 − z1 2
(6.47)
Las coordenadas naturales se definen de tal modo que los valores de las coordenadas var´ıan entre −1 y +1 sobre el dominio del elemento. Como con el elemento rectangular plano, las coordenadas naturales proveen un desarrollo r´ apido de las funciones de interpolaci´on usando los t´erminos monomiales apropiados para satisfacer las condiciones nodales. Como ilustramos el procedimiento en varios desarrollos anteriores, no repetiremos los detalles aqu´ı. En cambio, simplemente escribiremos las funciones de interpolaci´ on en t´erminos de las coordenadas naturales y demandamos que el lector verifique el cumplimiento de todas las condiciones nodales. Las funciones de interpolaci´on son N1 = 18 (1 − r)(1 − s)(1 + t)
N2 = 18 (1 + r)(1 − s)(1 + t)
N3 = 18 (1 + r)(1 + s)(1 + t)
N4 = 18 (1 − r)(1 + s)(1 + t)
N5 = 18 (1 − r)(1 − s)(1 − t)
N6 = 18 (1 + r)(1 − s)(1 − t)
N7 = 18 (1 + r)(1 + s)(1 − t)
N8 = 81 (1 − r)(1 + s)(1 − t)
(6.48)
y la variable de campo es descrita como φ(x, y, z) =
8 X
Ni (r, s, t)φi
(6.49)
i=1
Si la Ecuaci´ on (6.49) se expresa en t´erminos de coordenadas globales Cartesianas, se halla que es de la forma φ(x, y, z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 xy + a5 xz + a6 yz + a7 xyz (6.50) mostrando que la variable de campo es expresada como un polinomio sim´etrico, incompleto. La isotrop´ıa geom´etrica, por tanto, est´ a asegurada. El requisito de compatibilidad es satisfecho, como lo es la condici´on de integridad. Recordando que la integridad requiere que las primeras derivadas parciales
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
177
deben ser capaces de asumir valores constantes (para los problemas C 0 ). Si, por ejemplo, nosotros tomamos la primera derivada parcial de la Ecuaci´on (6.50) con respecto a x, obtenemos ∂φ = a1 + a4 y + a5 z + a7 yz ∂x que ciertamente no parece ser a primera vista constante. Sin embargo, si aplicamos la operaci´on derivativa secuencial a la Ecuaci´ on (6.49) notando que ∂φ ∂φ ∂r 1 ∂φ = = ∂x ∂r ∂x a ∂r donde hemos usado la Ecuaci´ on (6.46); el resultado es ∂φ 1 1 = (1 − s)(1 + t)(φ2 − φ1 ) + (1 + s)(1 + t)(φ3 − φ4 ) ∂x 8a 8a 1 1 + (1 − s)(1 − t)(φ6 − φ5 ) + (1 + s)(1 − t)(φ7 − φ8 ) 8a 8a
(6.51)
Refiri´endonos a la Figura 6.18, observamos que, si el gradiente de la variable de campo en la direcci´on x es constante, ∂φ/∂x = C, los valores nodales est´an relacionados por ∂φ dx = φ1 + C(2a) ∂x ∂φ φ6 = φ5 + dx = φ5 + C(2a) ∂x
φ2 = φ1 +
∂φ dx = φ4 + C(2a) ∂x ∂φ φ7 = φ8 + dx = φ8 + C(2a) ∂x φ3 = φ4 +
Substituyendo estas relaciones en la Ecuaci´on (6.51), obtenemos ∂φ 1 = [ (1 − s)(1 + t)(2aC) + (1 + s)(1 + t)(2aC) ∂x 8a + (1 − s)(1 + t)(2aC) + (1 + s)(1 − t)(2aC) ]
(6.52a)
lo cual, despu´es de la expansi´ on y simplificaci´on de t´erminos comunes, resulta en ∂φ =C ∂x
(6.52b)
Observando que este resultado es v´alido para cualquier punto dentro el elemento, se sigue que que la funci´ on de interpolaci´ on especificada, de hecho permite un gradiente constante en la direcci´on x. Procedimientos similares muestran que las otras derivadas parciales tambi´en satisfacen la condici´on de integridad.
6.8.
Formulaci´ on isoparam´ etrica
El m´etodo de elemento finito es una t´ecnica poderosa para analizar problemas de ingenier´ıa que involucran geometr´ıas complejas, e irregulares. Sin embargo, los elementos bi y tri–dimensionales discutidos hasta ahora en este cap´ıtulo (el tri´angulo, el rect´angulo, el tetraedro, el ladrillo) no siempre pueden usarse eficazmente para las geometr´ıas irregulares. Considere el ´ area plana mostrada en la Figura 6.19(a), la cual va a ser discretizada mediante una malla de elementos finitos. Una posible malla que usa elementos triangulares se muestra en la Figura 6.19(b). Note que la “fila” de elementos m´as externos proveen una aproximaci´on cordal al l´ımite circular, y a medida que el tama˜ no de los elementos se disminuye (y el n´ umero de elementos se incrementa), la aproximaci´ on se pone en aumento m´as cercana a la geometr´ıa real. Sin embargo, tambi´en notamos que los elementos en las “filas” internas se ponen en aumento delgadas (es decir, la
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
178
(a) Sector circular – dominio
(b) Elementos triangulares
(c) Elementos rectangulares
(d) Elementos rectangulares y cuadril´ ateros
Figura 6.19: Ejemplo de proceso de discretizaci´on en elementos finitos proporci´on de altura a la base es grande). En general, la proporci´on de la dimensi´on caracter´ıstica m´as grande de un elemento a la dimensi´ on caracter´ıstica m´as peque˜ na es conocida como la proporci´ on de aspecto. El aumento de proporciones de aspecto grandes incrementa la inexactitud de la representaci´on de elemento finito y tiene un efecto perjudicial sobre la convergencia de las soluciones de elemento finito [37]. Una proporci´ on de aspecto de 1 es ideal pero no siempre puede mantenerse. (Los paquetes comerciales de software de elementos finitos proporcionan advertencias cuando la proporci´on de aspecto de un elemento excede algunos l´ımites predeterminados). En la Figura 6.19(b), para mantener una proporci´on de aspecto razonable para los elementos internos, ser´ıa necesario reducir la altura de cada fila de elementos a medida que nos aproximemos hacia el centro del sector. Esta observaci´ on tambi´en considera los requisitos de convergencia del m´etodo de refinamiento–h. Aunque el elemento triangular puede servir para aproximar estrechamente un l´ımite curvado, otras consideraciones dictan un n´ umero relativamente grande de ´estos elementos y el tiempo de c´omputo asociado en el procesamiento num´erico de la soluci´on. Si consideramos elementos rectangulares como en la Figura 6.19(c) (una malla intencionalmente cruda para prop´ ositos ilustrativos), los problemas est´an aparentes. A menos que los elementos sean muy peque˜ nos, el ´ area del dominio excluido del modelo (los sectores triangulares en el borde circular) puede ser significativa. Para el caso esquematizado, un n´ umero grande de elementos cuadrados muy peque˜ nos aproxima mejor la geometr´ıa del dominio. A estas alturas, el lector astuto puede pensar: Por qu´e no usar elementos triangulares y rectangulares en la misma malla para mejorar el modelo ?. De hecho, una combinaci´on de tipos del elemento puede usarse para mejorar la exactitud geom´etrica del modelo. Las ´areas triangulares mencionadas de la Figura 6.19(c) podr´ıan ser modeladas por elementos triangulares de tres–nodos. Tal combinaci´on de tipos del elemento podr´ıa no ser lo mejor en t´erminos de exactitud de la soluci´on, puesto que el elemento rectangular y el elemento triangular tienen, necesariamente, diferente orden de las representaciones polin´omicas de la variable de campo. La variable es cont´ınua a trav´es de tales l´ımites del elemento; esto es garantizado por la interconexi´ on de elementos y la formulaci´on de elemento finito. Sin embargo, las condiciones en las derivadas de la variable de campo para los dos tipos de elemento son bastante diferentes. Sobre un l´ımite curvo como es el mostrado, el elemento triangular usado para llenar los “huecos” que dejan los elementos rectangulares tambi´en pueden tener caracter´ısticas de proporci´on de
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
179
aspecto adversas. Ahora examine la Figura 6.19(d) que muestra la misma ´area discretizada con elementos rectangulares y un nuevo elemento aplicado cerca de la periferia del dominio. El nuevo elemento tiene cuatro nodos, los lados rectos, pero no es rectangular. (Por favor notar que la malla mostrada es intencionalmente tosca para los prop´ ositos de ilustraci´on). El nuevo elemento es conocido como un elemento cuadril´ atero bi–dimensional general y se ve adecuado para discretizar como el elemento rectangular as´ı como tambi´en en aproximaci´ on al l´ımite curvo, tal como el elemento triangular. El elemento cuadril´atero de cuatro–nodos es derivado del elemento rectangular de cuatro–nodos tambi´en (conocido como elemento padre) mediante un proceso de mapeo cartogr´ afico. 4(x 4 , y 4)
3(x 3 , y 3)
3(1 , 1)
4(-1 , 1) s
y
r
1(x 1 , y 1)
1(-1 , -1)
x
2(1 , -1)
2(x 2 , y 2)
Figura 6.20: Mapeo de elemento rectangular en elemento cuadril´atero La Figura 6.20 muestra el elemento padre y sus coordenadas (r, s) naturales y el elemento cuadril´atero en un sistema coordenado Cartesiano global. La geometr´ıa del elemento cuadril´atero se describe por
x=
4 X
Gi (x, y)xi
(6.53a)
Gi (x, y)yi
(6.53b)
i=1
y=
4 X i=1
donde los t´erminos Gi (x, y) pueden considerarse funciones de interpolaci´on geom´etricas, y cada una de dichas funciones est´ a asociada con un nodo particular del elemento cuadril´atero. Dada la geometr´ıa y la forma de las Ecuaciones (6.53), cada funci´on Gi (x, y) debe asumir valor unitario cuando es evaluada en el nodo asociado y anularse en cada uno de los otros tres nodos. ´ Estas condiciones son ex´ actamente las mismas que aquellas que imponemos sobre las funciones de interpolaci´ on del elemento padre. Consecuentemente, las funciones de interpolaci´on para el elemento padre pueden ser usadas para las funciones geom´etricas, si el mapeo de coordenadas es tal que (r, s) = (−1, −1) 7→ (x1 , y1 ) (r, s) = (1, 1) 7→ (x3 , y3 )
(r, s) = (1, −1) 7→ (x2 , y2 ) (r, s) = (−1, 1) 7→ (x4 , y4 )
(6.54)
donde el s´ımbolo 7→ se lee “se mapea a” o “corresponde a”. Note usted que las coordenadas (r, s) usadas aqu´ı no son las mismas que aquellas definidas en la Ecuaci´on (6.35). En cambio, ´estas son las coordenadas rectangulares reales de los v´ertices del elemento padre unidad. Por consiguiente, las expresiones geom´etricas se vuelven x=
4 X
Ni (r, s)xi
(6.55a)
Ni (r, s)yi
(6.55b)
i=1
y=
4 X i=1
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
180
Claramente, tambi´en podemos expresar la variaci´on de la variable de campo en el elemento cuadril´atero como 4 X φ(x, y) = φ(r, s) = Ni (r, s)φi (6.56) i=1
si el mapeo descrito por las Ecuaciones (6.54) es utilizado, porque todas las condiciones nodales requeridas se satisfacen. Puesto que las mismas funciones de interpolaci´on se usan para la variable de campo y la descripci´on de la geometr´ıa del elemento, el procedimiento es conocido como mapeo isoparam´etrico (par´ametro constante). El elemento definido por dicho procedimiento es conocido como un elemento isoparam´etrico. El mapeo de los bordes l´ımites del elemento es ilustrado en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6.3. La Figura 6.21 muestra un elemento cuadril´atero en coordenadas globales. Mostrar que el mapeo descrito por la Ecuaci´ on (6.55), describe correctamente la l´ınea que conecta los nodos 2 y 3; y determinar las coordenadas (x, y) correspondientes a (r, s) = (1, 0,5). 4(x 4 , y 4)
3(x 3 , y 3)
3(1 , 1)
4(-1 , 1) s
y
r
1(x 1 , y 1)
1(-1 , -1)
2(x 2 , y 2)
x
2(1 , -1)
Figura 6.21: Elemento cuadril´atero para el Ejemplo 6.3 > Soluci´ on Primero, determinamos la ecuaci´ on de la l´ınea que pasa a trav´es de los nodos 2 y 3 estrictamente por geometr´ıa, usando la ecuaci´ on de una l´ınea recta y = mx + b. Usando las coordenadas conocidas de los nodos 2 y 3, tenemos Nodo 2: 1 = 3m + b Nodo 3: 2 = 2,5m + b Resolviendo simult´ aneamente, la pendiente es m = −2 y la intercepci´on es b = 7. Luego, la arista del elemento que une los nodos 2–3 tiene como ecuaci´on que la describe y = −2x + 7 Usando las funciones de interpolaci´ on dadas en la Ecuaci´on (6.36) y substituyendo las coordenadas nodales (x, y), el mapeo geom´etrico de la Ecuaci´on (6.55) llega a ser x = 41 (1 − r)(1 − s)(1) + 14 (1 + r)(1 − s)(3) + 14 (1 + r)(1 + s)(2,5) + 14 (1 − r)(1 + s)(1,25) y = 14 (1 − r)(1 − s)(1) + 14 (1 + r)(1 − s)(1) + 14 (1 + r)(1 + s)(2) + 14 (1 − r)(1 + s)(1,75) Notando que la arista 2–3 corresponde a r = 1, las u ´ltimas dos ecuaciones llegan a ser x = 32 (1 − s) + 45 (1 + s) =
11 4
y = 12 (1 − s) + (1 + s) =
+ 21 s
3 2
− 14 s
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
181
Eliminando s de las expresiones anteriores, se obtiene 2x + y =
14 2
lo cual es lo mismo que y = −2x + 7 como se desea. Para (r, s) = (1, 0,5), obtenemos x= y=
11 1 4 − 4 (0,5) = 2,625 3 1 2 + 2 (0,5) = 1,75
> Al formular las matrices caracter´ısticas de elemento, se requieren varias derivadas de las funciones de interpolaci´ on con respecto a las coordenadas globales, como previamente fu´e demostrado. En los elementos isoparam´etricos, la geometr´ıa del elemento y la variaci´on de las funciones de interpolaci´on se expresan en t´erminos de las coordenadas naturales del elemento padre, para que se levante alguna complicaci´ on matem´ atica adicional. Espec´ıficamente, nosotros debemos evaluar ∂Ni /∂x y ∂Ni /∂y (y, posiblemente, derivadas de orden–superior). Puesto que las funciones de interpolaci´on se expresan en coordenadas (r, s); formalmente podemos escribir estas derivadas como ∂Ni ∂Ni ∂r ∂Ni ∂s = + ∂x ∂r ∂x ∂s ∂x ∂Ni ∂Ni ∂r ∂Ni ∂s = + ∂y ∂r ∂y ∂s ∂y
(6.57)
Sin embargo, a menos que lleguemos a invertir las relaciones en la Ecuaci´on (6.55), las derivadas parciales de las coordenadas naturales con respecto a las coordenadas globales no son conocidas. Como es casi imposible invertir la Ecuaci´ on (6.55) hacia expresiones algebr´aicas expl´ıcitas, debe tomarse una diferente concepci´ on del problema. Tomemos una aproximaci´ on indirecta, primero examinando las derivadas parciales de la variable de campo con respecto a las coordenadas naturales. De la Ecuaci´on (6.56), las derivadas parciales de la variable de inter´es con respecto a las coordenadas naturales se expresan formalmente como ∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r
(6.58)
∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
A la luz de la Ecuaci´ on (6.56), el c´omputo de las derivadas parciales de la variable de campo requiere del c´ alculo previo de las derivadas parciales de cada funci´on de interpolaci´on como ∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s Si la Ecuaci´ on (6.59) recientemente deducida ∂N ∂x i ∂r ∂r = ∂N ∂x i ∂s ∂s
i = 1; 4
la escribimos en forma matricial, tendremos ∂Ni ∂y ∂r ∂x i = 1; 4 ∂Ni ∂y ∂y ∂s
(6.59)
(6.60)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
182
observamos que el vector 2×1 en el lado izquierdo es conocido, puesto que las funciones de interpolaci´on son expresadas expl´ıcitamente en coordenadas naturales. Similarmente, los t´erminos de la matriz de coeficientes 2×2 en el lado derecho son conocidos por la Ecuaci´on (6.55). Este arreglo, conocido como matriz Jacobiana, denotada [ J ], es dada por ∂x ∂r [J ] = ∂x ∂s
4 X ∂Ni xi ∂r ∂r i=1 = X 4 ∂y ∂Ni xi ∂s ∂s i=1 ∂y
4 X ∂Ni i=1 4 X i=1
yi ∂Ni yi ∂s ∂r
(6.61)
Si la inversa de la matriz Jacobiana puede determinarse, la Ecuaci´on (6.60) puede ser resuelta para las derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on con respecto a las coordenadas globales para obtener ∂N ∂N ∂Ni i i ∂x I11 I12 ∂r ∂r −1 = [J ] = i = 1; 4 (6.62) I21 I22 ∂Ni ∂Ni ∂Ni ∂y ∂s ∂s con los coeficientes de la inversa de la matriz Jacobiana denotados como Iij por conveniencia. La Ecuaci´ on (6.62) puede usarse para obtener las derivadas parciales de la variable de campo con respecto a las coordenadas globales, como es requerido al discretizar una ecuaci´on diferencial gobernante por el m´etodo de elemento finito. Adem´as, las derivadas son requeridas al evaluar las variables “secundarias”, incluyendo la deformaci´on (luego la tensi´on) en los problemas estructurales y ´ el flujo cal´orico en la transmisi´ on de calor. Estos y otros problemas ser´an ilustrados en los cap´ıtulos subsecuentes. Como tambi´en sabemos, se requieren varias integraciones para obtener las matrices y vectores caracter´ısticos del elemento. Por ejemplo, al evaluar los coeficientes de la matriz de conductancia para los elementos de transmisi´ on de calor bi–dimensionales, integrales de la forma ZZ ∂Ni ∂Nj dA ∂x ∂x A
ser´an encontradas; y la integraci´ on deber´ a ser realizada tomando como dominio el ´area del elemento en coordenadas globales. Sin embargo, para un elemento isoparam´etrico como el cuadril´atero discuti´endose en estos p´arrafos, las funciones de interpolaci´ on fueron puestas en t´erminos de las coordenadas del elemento padre. De aqu´ı, es necesario transformar tales integrales hacia las coordenadas naturales. De la Ecuaci´on (6.62), tenemos ∂Ni ∂Nj ∂Ni ∂Ni ∂Nj ∂Nj = I11 + I12 I11 + I12 ∂x ∂x ∂r ∂s ∂r ∂s de modo que el sub–integrando es transformado usando los coeficientes de [ J ]−1 . Como se muestra en un curso de c´ alculo avanzado [15], la relaci´on de transformaci´on para el ´area diferencial dA = dx dy = | J | dr ds requiere la determinaci´ on del determinante de la matriz Jacobiana. As´ı, las integrales descritas previamente llegan a ser evaluadas mediante la expresi´on ZZ A
∂Ni ∂Nj ∂x ∂x
Z1 Z1
dA =
−1 −1
∂Ni ∂Ni I11 + I12 ∂r ∂s
∂Nj ∂Nj I11 + I12 | J | dr ds ∂r ∂s
(6.63)
´ ISOPARAMETRICA ´ 6.8. FORMULACION
183
Dichas integrales ser´ an discutidas con gran detalle en cap´ıtulos posteriores en el contexto de problemas espec´ıficos. La intenci´ on de ´esta discusi´on es enfatizar la importancia de la matriz Jacobiana en el desarrollo de los elementos isoparam´etricos. En lugar de trabajar con funciones de interpolaci´on individuales, es conveniente combinar las Ecuaciones (6.59) y (6.60) en forma matricial como ∂[ N ] ∂x ∂y ∂[ N ] ∂x ∂r ∂r ∂r = (6.64) ∂[ N ] ∂x ∂y ∂[ N ] ∂y ∂s ∂s ∂s donde [ N ] es la matriz fila 1×4 de las funciones de interpolaci´on [ N ] = N1 N2 N3 N4 y, la Ecuaci´ on (6.64) en notaci´ on matricial es lo mismo que ∂ ∂x ∂y ∂ ∂r ∂r ∂x ∂r [N ] [N ] = ∂ ∂x ∂y ∂ ∂y ∂s ∂s ∂s
(6.65)
Usaremos esta notaci´ on matricial con ventaja en cap´ıtulos posteriores, cuando examinemos aplicaciones espec´ıficas. Mientras que la formulaci´ on isoparam´etrica descrita previamente es matem´aticamente dir´ecta, la complejidad algebr´ aica de su aplicaci´on en un caso pr´actico es significativa, como es mostrado en el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.4. Determine la matriz Jacobiana para un elemento cuadril´atero bi–dimensional de cuatro–nodos que tiene por elemento padre aquel que posee las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.36) > Soluci´ on Las derivadas parciales de x e y respecto de r y s, por las Ecuaciones (6.36) y (6.55), son 4
∂x X ∂Ni = xi = ∂r ∂r i=1
1 4
[ −(1 − s)x1 + (1 − s)x2 + (1 + s)x3 − (1 + s)x4 ]
1 4
[ −(1 − s)y1 + (1 − s)y2 + (1 + s)y3 − (1 + s)y4 ]
1 4
[ −(1 − r)x1 − (1 + r)x2 + (1 + r)x3 + (1 − r)x4 ]
1 4
[ −(1 − r)y1 − (1 + r)y2 + (1 + r)y3 + (1 − r)y4 ]
4
∂y X ∂Ni = yi = ∂r ∂r i=1 4
∂x X ∂Ni = xi = ∂s ∂s i=1 4
∂y X ∂Ni = yi = ∂s ∂s i=1
La matriz Jacobiana es entonces " 1 (1 − s)(x2 − x1 ) + (1 + s)(x3 − x4 ) [J ] = 4 (1 − r)(x4 − x1 ) + (1 + r)(x3 − x2 )
(1 − s)(y2 − y1 ) + (1 + s)(y3 − y4 )
#
(1 − r)(y4 − y1 ) + (1 + r)(y3 − y2 )
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
184
Note usted que hallar la inversa de esta matriz Jacobiana en forma expl´ıcita no es una tarea envidiable. A veces, ´esto es imposible excepto en ciertos casos especiales. Por esta raz´on, la formulaci´on isoparam´etrica de elemento se lleva a cabo usando la integraci´on num´erica, como ser´a discutido en la > Secci´on 6.10. La formulaci´ on isoparam´etrica no est´ a por ning´ un medio limitada a los elementos padre lineales. Se han formulado muchos elementos isoparam´etricos de orden–superior usados con ´exito [1]. La Figura 6.22 muestra elementos isoparam´etricos que se corresponden al tri´angulo de seis–nodos y al rect´angulo de ocho–nodos. Debido al trazado a ser descrito por funciones cuadr´aticas de los elementos padre, los elementos param´etricos resultantes poseen l´ımites curvados que tambi´en se describen por funciones cuadr´aticas de las coordenadas globales. Tales elementos pueden usarse para aproximar estrechamente a contornos irregulares. Sin embargo, debe notarse que los elementos curvos no hacen una coincidencia perf´ecta con una curva l´ımite especificada del dominio que est´a siendo modelado.
(a) Tri´ angulo de seis–nodos
(b) Rect´ angulo de ocho–nodos
Figura 6.22: Mapeo isoparam´etrico hacia elementos curvos
6.9.
Elementos de simetr´ıa axial
Muchos problemas tri–dimensionales en ingenier´ıa exhiben simetr´ıa alrededor de un eje de rotaci´on. Dichos problemas, que tienen como dominio un volumen de revoluci´on, conocidos como problemas con simetr´ıa axial, pueden ser resueltos usando elementos finitos bi–dimensionales, que se describen m´as convenientemente en coordenadas cil´ındricas (r, θ, z). Las condiciones requeridas para un problema que posea la propiedad de simetr´ıa axial son como sigue: 1. El dominio del problema debe poseer un eje de simetr´ıa que es convencionalmente tomado como el eje z; es decir, el dominio es geom´etricamente un s´olido de revoluci´on. 2. Las condiciones de borde l´ımite son sim´etricas alrededor del eje de revoluci´on; as´ı, todas las condiciones l´ımite son independientes de la coordenada circunferencial. 3. Todas las condiciones de carga son sim´etricas alrededor del eje de revoluci´on; as´ı, ellas tambi´en son independientes de la coordenada circunferencial. En adici´on, las propiedades materiales deben ser sim´etricas alrededor del eje de revoluci´on. Esta condici´on es, por supuesto, autom´ aticamente satisfecha para los materiales isotr´opos. Si estas condiciones se cumplen, la variable de campo es una funci´on de s´olo las coordenadas radial y axial (r, z), y descrita matem´ aticamente por ecuaciones gobernantes bi–dimensionales. La Figura 6.23(a) muestra una secci´ on transversal de un cuerpo con simetr´ıa axial que se asume es el dominio de un problema con simetr´ıa axial (cuerpo cil´ındrico tronco–c´onico). La secci´on transversal podr´ıa representar la pared de un recipiente de presi´on para un an´alisis de tensi´on o de trasmisi´on de calor, una regi´ on anular de flujo fluido, o un horno de fundici´on para la producci´on de acero; para mencionar simplemente algunos ejemplos. En la Figura 6.23(b), se muestra un elemento triangular de tres–nodos que tiene coordenadas nodales (ri , zi ), que est´a ubicado en una posici´on gen´erica circunferencial θ arbitraria. En el caso de un fen´ omeno f´ısico en el que la variable de inter´es exhibe propiedad
6.9. ELEMENTOS DE SIMETR´IA AXIAL
185
3(r 3 , z 3)
z
z
r
2(r 2 , z 2)
1(r 1 , z 1)
r (a) Cuerpo con simetr´ıa axial
(b) Elemento Triangular en coordenadas cil´ındricas
Figura 6.23: Esquemas de an´alisis en problemas con simetr´ıa axial de simetr´ıa axial, ´esta es discretizada como φ(r, z) =
3 X
Ni (r, z)φi
(6.66)
i=1
donde las funciones de interpolaci´ on Ni (r, z) deben satisfacer las condiciones nodales usuales (asumir valor unitario en el nodo asociado, y valor nulo en los otros dos nodos). Notando que las condiciones nodales est´an satisfechas por las funciones de interpolaci´on definidas por la Ecuaciones (6.20), si nosotros simplemente sustituimos r por x y z por y, se obtienen inmediatamente las funciones de interpolacin para el elemento triangular con simetr´ıa axial. Similarmente, las funciones de interpolaci´ on en t´erminos de las coordenadas de ´area son tambi´en aplicables. Subsecuentemente, por definici´ on de un problema con simetr´ıa axial; el problema mismo, y por consiguiente su soluci´ on es independiente de la coordenada circunferencial, para que sean v´alidas las funciones de interpolaci´ on que aqu´ı planteamos. Por consiguiente, cualquier elemento bi–dimensional y las funciones de interpolaci´ on asociadas pueden usarse para los elementos con simetr´ıa axial. Pero, cu´al es la diferencia con el elemento triangular bi–dimensional en el plano x–y ?. El elemento con simetr´ıa axial es f´ısicamente tri–dimensional. Como mostramos en la Figura 6.24, el elemento triangular con simetr´ıa axial es realmente un prisma de revoluci´on. Los “nodos” son c´ırculos alrededor del eje de revoluci´ on del cuerpo, y las condiciones nodales est´an satisfechas en cada punto a lo largo de la circunferencia definida por el nodo de un elemento bi–dimensional que hipot´eticamente rota un ´angulo θ = 2π rad alrededor del eje de simetr´ıa axial. Aunque nosotros usamos un elemento triangular para ilustrar el concepto, reiteramos que cualquier elemento bi–dimensional puede usarse para formular un elemento con simetr´ıa axial. Como se muestra en los cap´ıtulos subsecuentes en el contexto de problemas espec´ıficos con simetr´ıa axial, la integraci´ on de varias formas de las funciones de interpolaci´on sobre el volumen dominio de definici´ on se requieren para la formulaci´on del elemento. Simb´olicamente, tales integrales son representadas como ZZZ ZZZ F (r, θ, z) = f (r, θ, z)dV = f (r, θ, z) r dr dθ dz (6.67) V
donde V es el volumen dominio de la integral (el volumen del elemento), y dV = r dr dθ dz es el volumen diferencial esquematizado en la Figura 6.25. Para problemas con simetr´ıa axial, la integral es independiente de la coordenada circunferencial θ, de modo que la integraci´on indicada en la Ecuaci´on (6.67)
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
186
z
r
Figura 6.24: Elemento con simetr´ıa axial basado en elemento triangular se convierte en
ZZ F (r, θ, z) = F (r, z) = 2π
f (r, z) r dr dz
(6.68)
A
La Ecuaci´ on (6.68) muestra que las operaciones de integraci´on requeridas para la formulaci´on de los elementos con simetr´ıa axial, son distintamente diferentes de aqu´ellas para los elementos bi– dimensionales; aunque las funciones de interpolaci´on sean esencialmente id´enticas. Como fu´e declarado, mostraremos aplicaciones de elementos con simetr´ıa axial en los cap´ıtulos subsecuentes. Tambi´en, cualquier elemento bi–dimensional puede convertirse prontamente en un elemento de simetr´ıa axial, con tal que la verdadera naturaleza tri–dimensional del elemento sea tomada en cuenta cuando se formulen las matrices caracter´ısticas asociadas al mismo.
d dz dr
r
Figura 6.25: Diferencial de volumen en coordenadas cil´ındricas Ejemplo 6.5. En los siguientes cap´ıtulos, veremos que integrales de la forma Z Ni Nj dV V
donde Ni y Nj son funciones de interpolaci´on y V es el volumen del elemento, deben ser evaluadas en la formulaci´on de las matrices de elemento. Evaluar la integral con i = 1 y j = 2 para un elemento con simetr´ıa axial basado en un tri´ angulo de tres nodos, usando las coordenadas de ´area como funciones de interpolaci´ on. > Soluci´ on Para el elemento con simetr´ıa axial, usamos la Ecuaci´on (6.68) para escribir Z Z Z Ni Nj dV = 2π Ni Nj r dr dz = 2π Li Lj r dr dz V
A
A
6.9. ELEMENTOS DE SIMETR´IA AXIAL
187
donde A es el ´ area del elemento. Debido a la presencia de la variable r en el integrando, la f´ormula de integraci´on, Ecuaci´on (6.31), no puede aplicarse directamente. Sin embargo, podemos expresar r en t´erminos de las coordenadas nodales r1 , r2 , r3 y las coordenadas de ´area, como r = L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 Luego, notando que dr dz = dA, tenemos Z Z 2π Li Lj r dr dz = 2π Li Lj (L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 )dA A
A
lo cual s´ı posee la forma adecuada para que pueda aplicarse la f´ormula de integraci´on. Para i = 1 y j = 2, la integral llega a ser Z Z 2π L1 L2 r dr dz = 2π L1 L2 (L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 )dA A
A
Z = 2πr1
Z
2
L1 L2 dA + 2πr2 A
2
Z
L1 L2 dA + 2πr3 A
L1 L2 L3 dA A
Aplicando la f´ ormula de integraci´ on (Ec. (6.31)) a cada una de las tres integrales de la derecha, Z (1!)(2!)(0!) (1!)(1!)(1!) (2!)(1!)(0!) + r2 + r3 2π L1 L2 r dr dz = 4πA r1 (2 + 1 + 0 + 2)! (1 + 2 + 0 + 2)! (1 + 1 + 1 + 2)! A 2r1 2r2 r3 πA = 4πA + + = (2r1 + 2r2 + r3 ) 120 120 120 30
>
La t´ecnica de integraci´ on usada en el Ejemplo 6.5 tambi´en es aplicable a los elementos triangulares de lados–rectos de orden–superior, como mostramos en el pr´oximo ejemplo. Ejemplo 6.6. Para un elemento de simetr´ıa axial basado en el elemento cuadr´atico triangular de seis–nodos, que tiene funciones de interpolaci´ on dadas por la Ecuacin (6.30), eval´ ue la integral Z I = N2 N4 dV V
> Soluci´ on Usando la Ecuaci´ on (6.68) Z Z Z I = N2 N4 dV = 2π N2 N4 r dr dz = 2π L2 (2L2 − 1)(4L2 L2 ) r dr dz V
A
A
Ahora observe que, aunque las funciones de interpolaci´on var´ıan cuadr´aticamente sobre el ´area del elemento, las coordenadas de ´ area, por definici´on, var´ıan linealmente. Puesto que los lados del elemento son rectos, la coordenada radial todav´ıa puede expresarse como r = L1 r1 + L2 r2 + L3 r3
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
188
por tanto, tendremos Z L2 (2L2 − 1)(4L2 L2 ) (L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 ) dA
I = 2π A
O, desarrollando un poco m´ as Z I =16π
(L21 L32 r1 + L1 L42 r2 + L1 L32 L3 r3 ) dA
A
Z − 8π
(L21 L22 r1 + L1 L32 r2 + L1 L22 L3 r3 ) dA
A
Aplicando la f´ ormula de integraci´ on, Ecuaci´on (6.31), a cada una de las seis integrales presentadas aqu´ı (lo cual se deja como ejercicio para el lector), hallamos que I=
6.10.
πA (6r2 − 4r1 − 2r3 ) 315
>
Integraci´ on num´ erica: Cuadratura Gaussiana
En ´este y los anteriores cap´ıtulos mostramos que para la formulaci´on de las matrices caracter´ısticas de elemento se requiere la integraci´ on de varias funciones de la variable involucrada en el fen´omeno bajo estudio. El Cap´ıtulo 5 revela que el m´etodo de Galerkin requiere la integraci´on de ciertas funciones sobre el dominio del elemento (como vimos, el volumen f´ısico), una vez para cada funci´on de interpolaci´on (la soluci´on de ensayo). De hecho, se requiere una integraci´on individual para cada coeficiente de la matriz de rigidez de un elemento finito. Adem´as, las integraciones se requieren para obtener las cargas nodales equivalentes asociadas a las cargas puntuales o distribu´ıdas actuantes al interior del elemento, en los problemas de mec´ anica estructural. En este cap´ıtulo, enfocamos nuestra atenci´on principalmente en las formas funcionales polin´omicas de las representaciones discretizadas de la variable de campo. En la formulaci´on subsecuente de las matrices caracter´ısticas de elemento, nos enfrentamos con integraciones de formas polin´omicas. Un polinomio simple es relativamente f´ acil de integrar en forma cerrada (obteniendo expl´ıcitamente la soluci´on ex´acta). En muchos casos, sin embargo, los integrandos son funciones racionales, es decir, proporciones de polinomios; y ´estas son bastante tediosas de integrar directamente. En cualquier caso, en el contexto del m´etodo de elemento finito, d´onde se manipulan grandes n´ umeros de elementos, que requiere un gr´ an n´ umero de integraciones, y los m´etodos anal´ıticos no son eficientes en tales casos. Los paquetes de software de elemento finito no incorporan integraci´on expl´ıcita de las ecuaciones de formulaci´on de elemento. En cambio, ellos usan t´ecnicas num´ericas, la m´as popular de las cuales es la cuadratura Gaussiana (o cuadratura de Gauss–Legendre) que se puede encontrar detalladamente documentada en [11]. El concepto de cuadratura Gaussiana se ilustra primero en una dimensi´on, en el contexto de una integral de la forma Zx2 I = h(x) dx (6.69) x1
Mediante el cambio de variable: r = ax + b, ´esta ecuaci´on integral puede ser convertida a Z1 I=
f (r) dr −1
(6.70)
´ NUMERICA: ´ 6.10. INTEGRACION CUADRATURA GAUSSIANA
189
con dr = a dx. Los coeficientes a y b son determinados para que los l´ımites de integraci´on resulten ser menos y m´ as la unidad. Esto es convencional para el procedimiento de integraci´on num´erica y tambi´en concuerda muy bien con el rango de las coordenadas naturales de muchos de los elementos discutidos en este cap´ıtulo. Por el procedimiento de integraci´on Gaussiana, la integraci´on representada por la Ecuaci´on (6.70) puede aproximarse por I∼ =
m X
Wi f (ri )
(6.71)
i=1
donde Wi son los factores de ponderaci´ on Gaussiana y ri son conocidos como los puntos de muestreo o puntos Gauss. Los factores de ponderaci´on y los puntos de prueba o muestreo son determinados [15] para minimizar el error, particularmente en t´erminos de las funciones polin´omicas. De particular importancia en el an´ alisis de elemento finito, un polinomio de orden n puede integrarse exactamente. Tabla 6.1: Puntos de muestreo y factores de ponderaci´on para usar integraci´on num´erica mediante cuadratura Gaussiana m
ri
Wi
1
0,0
2,0
2
0,577350269189626 -0,577350269189626
1,0 1,0
3
0,0 0,774596669241483 -0,774596669241483
0,888888888888889 0,555555555555556 0,555555555555556
4
0,339981043583856 -0,339981043583856 0,861136311590453 -0,861136311590453
0,652145154862526 0,652145154862526 0,347854845137454 0,347854845137454
Refiri´endonos a la Ecuaci´ on (6.71), el uso de m puntos de muestreo y factores de ponderaci´on, resulta en un valor exacto de la integral para un polinomio de orden 2m − 1, si los puntos de muestra y ´ los factores de ponderaci´ on son escogidos de acuerdo con la Tabla 6.1. (Esta es una Tabla compendiada, que proporciona valores suficientes para la integraci´on exacta de un polinomio de orden siete o menor). Esto significa, por ejemplo, que una expresi´on polin´omica c´ ubica se integra exactamente por medio de la Ecuaci´ on (6.71), usando s´ olo dos puntos muestrales y evaluando el integrando en esos puntos, multiplicando por los factores de ponderaci´on, y sumando los resultados. Para ilustrar c´ omo los puntos de muestreo y los factores de ponderaci´on son determinados, formalmente integramos un polinomio gen´erico en una dimensi´on como
∗
Z1
I =
(a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · + an rn ) dr = 2 a0 +
2 3
a2 +
2 5
a3 + · · · +
2 n+1
an
(6.72)
−1
y observamos que, debido a la simetr´ıa de los l´ımites de integraci´on, todas las potencias impares se integran hacia un valor cero. Tambi´en notamos que asumimos aqu´ı que n es un entero par. La
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
190
aproximaci´on a la integral por la Ecuaci´ on (6.71) es I∗ ∼ =
m X
Wi f (ri ) = W1 (a0 + a1 r1 + a2 r12 + a3 r13 + · · · + an r1n )
i=1
+ W2 (a0 + a1 r2 + a2 r22 + a3 r23 + · · · + an r2n ) + W3 (a0 + a3 r2 + a2 r32 + a3 r33 + · · · + an r3n ) .. .
(6.73)
2 3 n + Wm (a0 + a1 rm + a2 rm + a3 rm + · · · + an rm )
Comparando las Ecuaciones (6.72) y (6.73) en t´erminos de los coeficientes aj del polinomio, las aproximaci´on de la Ecuaci´ on (6.73) llega a ser exacta si m X i=1 m X i=1
Wi = 2
Wi ri3 = 0
······
m X i=1 m X i=1 m X i=1
W i ri = 0 Wi ri4 =
m X i=1
2 5
Wi rin−1 = 0
Wi ri2 =
2 3
(6.74)
······ m X i=1
Wi rin =
2 n+1
donde m es el n´ umero de puntos (Gauss) de muestreo de integraci´on. La Ecuaci´ on (6.74) representa n ecuaciones en 2m + 1 inc´ognitas. Los valores desconocidos son los factores de ponderaci´ on Wi , los valores de los puntos de muestreo ri , y lo m´as problem´atico, el n´ umero de los puntos de prueba m. Aunque no es nuestra pretensi´on el desarrollo completo de la teor´ıa de cuadratura Gaussiana, nosotros ilustraremos con un ejemplo c´omo los puntos de muestreo y los factores de ponderaci´ on pueden determinarse usando las ecuaciones y la l´ogica. Primero, notemos que las ecuaciones que corresponden a las potencias impares del polinomio indican una suma cero. Segundo, notemos que la primera ecuaci´ on es aplicable sin tener en cuenta el orden del polinomio; es decir, los factores de ponderaci´ on deben sumar al valor de 2, si la exactitud es lograda. Por ejemplo, si tenemos un polinomio lineal, n = 1, las primeras dos de las Ecuaciones (6.74) son aplicables y llevan a la conclusi´ on que necesitamos un punto u ´nico de prueba o testeo, y que los valores apropiados del factor de ponderaci´ on y el punto de muestreo para satisfacer las dos ecuaciones (en este caso) son: W1 = 2 y r1 = 0. Luego, considere el caso de un polinomio c´ ubico, n = 3. En este caso, tenemos m m m X i=1
Wi = 2
X i=1
W i ri = 0
X i=1
Wi ri2 =
2 3
representando tres ecuaciones en 2m + 1 inc´ognitas. Si permiti´eramos que m = 1, las primeras dos ecuaciones llevan a W1 = 2, r1 = 0, pero la tercera ecuaci´on no puede satisfacerse. Por otra parte, si m = 2, tendremos W1 + W2 = 2
W 1 r 1 + W 2 r2 = 0
W1 r12 + W2 r22 =
2 3
un sistema de tres ecuaciones con cuatro inc´ognitas. Evidentemente, no podemos resolver directamente ´este sistema de ecuaciones, pero si examinamos el caso: W1 = W2 = 1 y r1 = −r2 , las primeras dos ecuaciones se satisfacen; y la tercera ecuaci´on llega a ser q r12 + r22 = 2r12 = 23 ⇒ r1 = 13 = 0,57735 . . . correspondiendo exactamente a la segunda entrada en la Tabla 6.1. Estos factores de ponderaci´on y los puntos de Gauss tambi´en integran exactamente un polinomio cuadr´atico. Se insta al lector a notar que, debido al resultado nulo despu´es de integrar las potencias impares en el polinomio, se obtienen
´ NUMERICA: ´ 6.10. INTEGRACION CUADRATURA GAUSSIANA
191
los resultados exactos para dos ´ ordenes polin´omicos para cada serie de puntos de muestreo y factores de ponderaci´ on. Esta discusi´ on por ning´ un medio est´a pensada en ser matem´aticamente rigurosa en t´erminos de la teor´ıa que subyace debajo de la integraci´on num´erica. El intento es dar alguna visi´on razonable acerca de los valores num´ericos presentados en la Tabla 6.1, simplemente. Ejemplo 6.7. Evaluar la integral Z1 f (r) =
(r2 − 3r + 7) dr
−1
usando cuadratura Gaussiana, de modo que el resultado sea exacto. > Soluci´ on Como el integrando es un polinomio cuadr´atico (de orden 2), tenemos para una integraci´on exacta 2m − 1 = 2, que resulta en el n´ umero requerido de puntos de muestreo como m = 3/2. El n´ umero calculado de puntos de prueba debe redondearse al valor del entero m´as cercano, por lo que en ´este caso debemos usar dos puntos de prueba. Por la Tabla 6.1, los puntos de muestreo son ri = ±0,5773503 y los factores de ponderaci´ on son Wi = 1,0 (i = 1, 2). Por consiguiente, Z1
(r2 − 3r + 7) dr = (1)[(0,5773503)2 − 3(0,5773503) + 7]
−1
+ (1)[(−0,5773503)2 − 3(−0,5773503) + 7] Z1
(r2 − 3r + 7) dr = 14,666667
−1
Este resultado se verifica prontamente como exacto, de hecho efectuando la integraci´on normal y directa puede probarse lo afirmado. > El procedimiento de integraci´ on num´erica mediante cuadratura Gaussiana no est´a por ning´ un medio limitado a una dimensi´ on. En el an´ alisis de elemento finito, integrales de las formas Z1 Z1 I=
f (r, s) dr ds −1 −1
(6.75)
Z1 Z1 Z1 I=
f (r, s, t) dr ds dt −1 −1 −1
son encontradas frecuentemente. Considerando la primera de las Ecuaciones (6.75), integramos primero respecto a r (utilizando la t´ecnica de cuadratura Gaussiana) para obtener Z1 Z1 I=
f (r, s) dr ds =
Z1 X m
Z1 Wi f (ri , s) ds =
−1 i=1
−1 −1
g(s) ds −1
la cual, en turno, es integrada nuevamente v´ıa cuadratura Gaussiana para obtener I=
m X j=1
Wj g(sj )
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
192
Combinando estas dos u ´ltimas ecuaciones, hallamos que para una integral doble Z1 Z1
f (r, s) dr ds ∼ =
m X n X
Wj Wi f (ri , sj )
(6.76)
j=1 i=1
−1 −1
Las ecuaciones deducidas muestran que, para la integraci´on en dos dimensiones simplemente aplicamos el procedimiento de Gauss secuencialmente, as´ı como cuando integramos formalmente. En cada paso, si deseamos un resultado exacto, el n´ umero de los puntos de prueba (y tambi´en, los factores de ponderaci´on) son escogidos por el orden de los t´erminos polin´omicos respectivos en r y s. El resultado num´erico es exacto. En la pr´ actica, el n´ umero de puntos de muestra se escoge a ser el mismo para cada paso de integraci´ on, con el orden–superior prevaleciendo, como es ilustrado en el ejemplo siguiente. Ejemplo 6.8. Usar el procedimiento de cuadratura Gussiana para obtener un valor exacto para la integral Z1 Z1 I=
(r3 − 1)(s − 1)2 dr ds
−1 −1
> Soluci´ on Considerando primero la integraci´ on con respecto a r, tenemos un orden c´ ubico del polinomio que requiere dos puntos de muestreo; los cuales por la Tabla 6.1 son ri = ±0,5773503 y cada uno de los factores de ponderaci´ on son la unidad. Similarmente, para la integraci´on con respecto a s, el orden del polinomio es cuadr´ atico de modo que los factores son los mismos. (En la siguiente soluci´on, notamos √ que, por simplicidad de presentaci´ on, que los puntos de muestreo son num´ericamente id´enticos a 3/3). La Ecuaci´on (6.76) para este ejemplo se desarrolla como I=
2 X 2 X
Wj Wi f (ri , sj ) =
√ 3 3 3
√ √ 2 √ 3 2 − 3 3 3 −1 + − 1 − 1 − 1 3 3 3
j=1 i=1
+
√ 3 3 3
√ √ 2 √ 3 2 − 3 − 3 − 3 −1 − 1 + − 1 − 1 3 3 3
= 5,33333333 Y, como de nuevo puede verificarse por la integraci´on directa, que el resultado es exacto.
>
Un procedimiento an´ alogo muestra que, para el caso tri–dimensional, Z1 Z1 Z1
f (r, s, t) dr ds dt ∼ =
l X m X n X
Wk Wj Wi f (ri , sj , tk )
(6.77)
k=1 j=1 i=1
−1 −1 −1
Como en el caso de la integraci´ on en una y dos dimensiones, la aproximaci´on descrita por la Ecuaci´on (6.77) puede dar un valor exacto para un integrando polin´omico si los puntos de muestreo se seleccionan previamente como se describi´ o. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento. Ejemplo 6.9. Usar el procedimiento de cuadratura Gussiana para obtener un valor exacto para la integral Z1 Z1 Z1 I= −1 −1 −1
r2 (s2 − 1)(t4 − 2) dr ds dt
´ NUMERICA: ´ 6.10. INTEGRACION CUADRATURA GAUSSIANA
193
> Soluci´ on En este caso tenemos un polinomio cuadr´atico en r, de modo que se requieren dos puntos de muestreo; √ con ri = ±0,5773503 = 3/3, con factores de ponderaci´on Wi = √ 1. La funci´on cuadr´atica en s similarmente requiere dos puntos de muestreo en sj = ±0,5773503 = 3/3, con factores de ponderaci´on Wj = 1. Para la funci´ on de cuarto orden en t, se requieren tres puntos de muestreo para conseguir una soluci´on exacta, siendo los valores muestrales y factores de ponderaci´on, por la Tabla 6.1 t1 = 0,0 t2 = 0,7745967 t3 = −0,7745967
W1 = 0,8888889 W2 = 0,5555556 W3 = 0,5555556
Para una soluci´ on exacta, entonces tendremos I∼ =
3 X 2 X 2 X
Wk Wj Wi f (ri , sj , tk )
k=1 j=1 i=1
de modo que se requieren un total de 12 puntos de muestreo. Los c´alculos requeridos para la evaluaci´on de la integral triple planteada en este ejemplo se resumen en la Tabla 6.2. De modo, que para este ejemplo particular obtenemos Z1 Z1 Z1 I=
r2 (s2 − 1)(t4 − 2) dr ds dt = 3,2
−1 −1 −1
y, el resultado es exacto !.
>
Tabla 6.2: Puntos de muestreo, factores de ponderaci´on, y c´alculos para el Ejemplo 6.9 Pto
ri
sj
tk
Wi
Wj
Wk
f (ri , sj , tk )
Suma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735
0,57735 0,57735 0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735 0,57735 0,57735 0,57735 -0,57735 -0,57735 -0,57735
0 0,774597 -0,774597 0 0,774597 -0,774597 0 0,774597 -0,774597 0 0,774597 -0,774597
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0,88888889 0,55555556 0,55555556 0,88888889 0,55555556 0,55555556 0,88888889 0,55555556 0,55555556 0,88888889 0,55555556 0,55555556
0,395062 0,202469 0.202469 0,395062 0,202469 0,202469 0,395062 0,202469 0,202469 0,395062 0,202469 0,202469
0,395062 0,597531 0,8 1,195062 1,397531 1,6 1,995062 2,197531 2,4 2,795062 2,997531 3,2
No olvide usted que el procedimiento de cuadratura Gaussiana se basa en la formulaci´on de una relaci´on integral que hace que el error residual se minimice. En el caso de obtener un error residual de valor nulo, obviamente ´esto es indicaci´on que se ha logrado obtener la soluci´on exacta para el problema. Para que el lector no caiga en la impresi´on falsa que la integraci´on num´erica siempre puede hacerse exacta, presentamos el ejemplo siguiente para ilustrar que (1) la integraci´on num´erica no siempre es exacta, pero (2) la integraci´ on num´erica converge al valor exacto a medida que el n´ umero de puntos de muestreo utilizados en el proceso se aumente.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
194
Ejemplo 6.10. Usar el procedimiento de cuadratura Gussiana para evaluar la integral Z1 I=
r2 − 1 dr (r + 3)2
−1
usando uno, dos, y tres puntos de muestreo > Soluci´ on El procedimiento de integraci´ on requiere que evaluemos el integrando en puntos discretos y sumemos el resultado como sigue (no presentamos todos los detalles de c´alculo: el lector queda desafiado a verificar nuestros c´alculos aqu´ı presentados). Un punto de integraci´ on W1 = 2 r1 = 0 −1 I∼ = −0,666667 =2 3 Dos puntos de integraci´ on
√
W1 = W2 = 1
Tres puntos de integraci´ on W1 = 0,8888888
3 3 I∼ = −0,16568 r1 =
W2 = 0,5555555 . . . r1 = 0
r2 = −r1
W3 = −0,5555555 . . .
r2,3 = ±0,7745966 I∼ = −0,15923
Continuando con la integraci´ on mediante cuatro puntos de muestreo, obtenemos I∼ = −0,15891 De aqu´ı, vemos que ocurre convergencia hacia un valor determinado. Si el resultado exacto se obtiene por proceso de integraci´ on formal, el resultado es: I = −0,15888. Como es mostrado por este ejemplo, el procedimiento de integraci´ on num´erica Gaussiana, no siempre es exacto pero tiene, de hecho, convergencia hacia las soluciones exactas a medida que el n´ umero de puntos de prueba muestral o puntos de Gauss utilizados en la aplicaci´on de la t´ecnica se incrementa. >
6.11.
Comentarios finales
Los desarrollos presentados en este cap´ıtulo muestran c´omo las funciones de interpolaci´on para elementos uni, bi, y tri–dimensionales pueden obtenerse mediante un procedimiento sistem´atico. Tambi´en, vimos que el procedimiento algebr´ aicamente es muy tedioso, pero a menudo puede aliviarse usando la intuici´on y la l´ ogica cuando se aplican coordenadas naturales. Las funciones de interpolaci´on discutidas son formas polinomiales estandar, pero por ning´ un medio son funciones exhaustivas que se han desarrollado para el uso en el an´ alisis de elemento finito. Por ejemplo, no hicimos ninguna menci´on de los polinomios de Legendre o los polinomios de Hermite para la aplicaci´on a los elementos finitos. ´ Estas y otras formas son bien conocidas y discutidas en la literatura especializada de elemento finito. Como el objetivo de este texto es presentar los principios b´asicos de an´alisis del elemento finito, el material de este cap´ıtulo tiene la intenci´on de cubrir los conceptos b´asicos de las funciones de
Problemas propuestos
195
interpolaci´ on sin proponer que sean absolutamente comprensivos en todas sus variantes. El tratamiento desarrollado aqu´ı forma una base para la formulaci´on de modelos de elemento finito de varios problemas f´ısicos en los cap´ıtulos siguientes. En general, cada elemento y las funciones de interpolaci´on asociadas a ´el se discutieron aqu´ı para que posteriormente se apliquen a problemas espec´ıficos, como se ilustrar´a en el resto del texto.
Problemas propuestos 6.1. Verifique que la Ecuaci´ on (6.6), con las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.10), permite traslaci´ on de cuerpo r´ıgido de un elemento viga bidimensional. (Nota: Para la traslaci´ on de cuerpo r´ıgido: υ1 = υ2 , θ1 = θ2 = 0). 6.2. Verifique que la Ecuaci´ on (6.6), con las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.10), permite rotaci´ on de cuerpo r´ıgido de un elemento viga bidimensional. (Nota: En este caso, para la rotaci´ on de cuerpo r´ıgido: υ1 = υ2 = 0, θ1 = θ2 ). 6.3. Considere el caso de un elemento viga bidimensional sujeto a un estado de flexi´on pura. Demostrar que la que la Ecuaci´ on (6.6) se convierte en d2 υ/dx2 = cte como es requerido en esta situaci´ on. 6.4. Demuestre que el esfuerzo cortante interno en un elemento viga bidimensional es constante, indiferentemente de los valores de los desplazamientos nodales. 6.5. Demuestre que la funci´ on de interpolaci´on N1 (s) en el Ejemplo 6.1 es lo mismo que (s − s2 )(s − s3 )(s − s4 ) (s − s1 )(s − s3 )(s − s4 )
N1 (s) =
(Nota: N1 (s), como aqu´ı es dado, es un caso particular de los Polinomios de Lagrange de orden n, definidos mediante n Y s − si Lj (s) = s − si i=1 j i6=j
donde el s´ımbolo
Q
indica el producto de todos los t´erminos).
6.6. Use la definici´ on de los polinomios de Lagrange dada en el Problema 6.5 para hallar los polinomios c´ ubicos correspondientes a j = 2 y j = 3. 6.7. Use los polinomios de Lagrange para determinar las funciones de interpolaci´on para el elemento lineal de cinco–nodos mostrado en la Figura P6.7. 1
x1 = 2
2
3
4
5
x
x2 = 2,25 x32 = 2,5 x4 = 2,75 x5 = 3
Figura P6.7 6.8. El polinomio cuadr´ atico P (x, y) = a0 + a1 x2 + a2 xy + a3 y 2 es incompleto, pero sim´etrico. Es esta funci´on apropiada para representar una variable de campo en un elemento rectangular de cuatro–nodos para el que se especifica un grado de libertad por
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
196
nodo ?. Explicar. 6.9. Determinar todos los posibles polinomios incompletos de cuarto–orden, sim´etricos, en dos dimensiones. C´ uales de ´estos piensa usted que son apropiados para modelar problemas de C 0 en an´alisis de elemento finito ?. 6.10. Repetir el Problema 6.9 para polinomios c´ ubicos en tres dimensiones. 6.11. Deducir la Ecuaci´ on (6.21), que permite el c´alculo del ´area de un elemento triangular en t´erminos de sus coordenadas nodales. 6.12. Demostrar que las Ecuaciones (6.19) y (6.26) son id´enticas. 6.13. Usando coordenadas de ´ area, desarrolle las funciones de interpolaci´on para un elemento triangular de 10–nodos, como el mostrado en la Figura P6.13. Note que los nodos est´an igualmente espaciados sobre sus aristas.
3 7 8 9 1
6 10 4
2 5
Figura P6.13 6.14. Mostrar que el nodo 10 en la Figura P6.13 est´a localizado en el centroide del elemento triangular. 6.15. Use la f´ ormula de integraci´ on para coordenadas de ´area para evaluar las siguientes integrales en t´erminos del ´ area total A de elemento. ZZ ZZ a. L22 (2L2 − 1)2 dA b. 4L1 L2 L3 (2L2 − 1) dA ZAZ c.
ZAZ
L31 L2 L3 dA
d.
A
4L1 L32 L3 dA
A
6.16. Las funciones de interpolaci´ on para el elemento rectangular de cuatro–nodos como es dado por la Ecuaci´ on (6.36) es tal que 4 X Ni (r, s) = 1 i=1
Cual es la significaci´ on de ´esta observaci´on ?. 6.17. Mostrar que la Ecuaci´ on (6.36) es tal que valores constantes de las derivadas parciales ∂φ/∂r y ∂φ/∂s son posibles en un elemento. Note que esto asegura la satisfacci´on del requisito de integridad para los problemas de C 0 . 6.18. Dos elementos triangulares de tres–nodos comparten un l´ımite com´ un, como es mostrado en la Figura P6.18. Demostrar que la variable de campo es continua a trav´es de este borde l´ımite inter–elementos.
Problemas propuestos
3
197
4
1 2
Figura P6.18 6.19. Repetir el Problema 6.18 para los dos elementos rectangulares de cuatro–nodos mostrados en la Figura P6.19. Las funciones de interpolaci´on son aquellas dadas por las Ecuaciones (6.36). 4
3
6
1
2
5
Figura P6.19 6.20. Examine el comportamiento de las derivadas parciales ∂φ/∂r ∂φ/∂s. a trav´es y a lo largo del contorno inter–elementos definido por los nodos 2 y 3 en el Problema 6.19. 6.21. Determinar las condiciones de continuidad de las funciones φ, ∂φ/∂r, ∂φ/∂s; sobre la frontera entre los dos elementos rectangulares de ocho–nodos mostrados en la Figura P6.21. Las funciones de interpolaci´ on son aquellas especificadas por las Ecuaciones (6.39). 9
10
6
11
12
8
7
1
2
13
3
4
5
Figura P6.21 6.22. Verificar que las funciones de interpolaci´on dadas por las Ecuaciones (6.39) satisfacen la condici´ on 8 X
Ni (r, s) = 1
i=1
6.23. Verificar que la Ecuaci´ on (6.42) define correctamente el volumen de un tetraedro. 6.24. En el Ejemplo 6.5, la expresi´on r = L1 r1 + L2 r2 + L3 r3 es usada para permitir la aplicaci´on de la f´ ormula de integraci´ on en coordenadas de ´area. Probar que ´esta expresi´on es correcta. 6.25. Use la f´ ormula de integraci´ on de la Ecuaci´on (6.31) para confirmar el resultado del Ejemplo 6.6.
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
198
6.26. Use la f´ ormula de integraci´ on para coordenadas de ´area para mostrar que Z A=
ZZ dA =
Z 2 Z1 1−L dL1 dL2 dx dy = 0
A
0
6.27. Considerar el elemento cuadril´ atero isoparam´etrico mostrado en la Figura P6.27. Trace el punto: r = 0,5 s = 0 en el elemento padre correspondiente al punto f´ısico en el elemento cuadril´atero. 3 (2.4, 2.6) 4 (2, 2.5)
y x
2 (2.5, 2.1) 1 (2, 2)
Figura P6.27 6.28. Refiri´endonos de nuevo al elemento en la Figura P6.27, trace la l´ınea r = 0 en el elemento padre correspondiente al elemento f´ısico. Trace el mapeo en un dibujo a escala geom´etrica apropiada del elemento cuadril´ atero. 6.29. Repetir el problema 6.28 para la l´ınea s = 0 en el elemento padre correspondiente al elemento f´ısico. 6.30. Considere el elemento lineal de dos–nodos mostrado en la Figura P6.30 con las funciones de interpolaci´ on N1 (r) = 1 − r N2 (r) = r Usando esta descripci´ on como el elemento padre, examine el mapeo isoparam´etrico x = N1 (r) x1 + N2 (r) x2 para valores arbitrarios de x1 y x2 , de modo que x1 < x2 . a. Que caracter´ıstica principal ha sido cumplida por el mapeo efectuado ?. b. Determine la matriz Jacobiana para la transformaci´on
r r1 = 0
r2 = 1
Figura P6.30 6.31. Considere el elemento lineal de tres–nodos mostrado en la Figura P6.31 con las funciones de interpolaci´ on N1 (r) = (2r − 1)(r − 1)
N2 (r) = 4r(1 − r)
N3 (r) = r(2r − 1)
Usando esta descripci´ on como el elemento padre en el mapeo isoparam´etrico x = N1 (r) x1 + N2 (r) x2 + N3 (r) x3
Problemas propuestos
199
con x1 < x2 < x3 ; pero por otra parte coordenadas nodales arbitrarias. a. C´ omo la coordenada x var´ıa entre los nodos del elemento isoparam´etrico ?. b. Ha cambiado la geometr´ıa b´asica del elemento desde aqu´el del elemento padre ?. c. Determine la matriz Jacobiana para la transformaci´on. d. Hallar la inversa de la matriz Jacobiana.
r r2 = 0.5
r1 = 0
r3 = 1
Figura P6.31 6.32. Considere nuevamente el elemento l´ıneal de tres–nodos de la Figura P6.31 como el elemento padre para el mapeo bi–dimensional definido por x = N1 (r) x1 + N2 (r) x2 + N3 (r) x3 y = N1 (r) y1 + N2 (r) y2 + N3 (r) y3 donde (xi , yi ) son las coordenadas del nodo i. a. Sea (x1 , y1 ) = (1, 1); (x2 , y2 ) = (2, 3); (x3 , y3 ) = (4, 2). Trazar la geometr´ıa del elemento isoparam´etrico a escala. b. Podr´ a el elemento isoparam´etrico resultante ser usado en un an´alisis de elemento finito de conducci´ on de calor (refi´erase al Cap´ıtulo 5) a trav´es de un s´olido curvado con superficies idealmente aisladas ?. Explique su respuesta. 6.33. Demostrar por integraci´ on anal´ıtica que el resultado dado en el Ejemplo 6.9 es exacto. 6.34. Usar la t´ecnica de cuadratura Gaussiana para obtener los valores exactos de las siguientes integrales. Verificar la exactitud por medio de integraci´on anal´ıtica. Z3
Z6
2
(x − 1) dx
a.
b.
Z1
3
(y + 2y) dy
0
c. −1
1
Z1 d.
Z1
(r4 + 3r2 ) dr
(4r3 + r) dr
e.
−1
(r4 + r3 + r2 + r + 1) dr
−1
6.35. Usar la t´ecnica de cuadratura Gaussiana para obtener los valores exactos de las siguientes integrales. Verificar la exactitud por medio de integraci´on anal´ıtica. Z1 Z2 a.
Z1 Z1 xy dx dy
0
b.
Z1 Z1
2
(r + s) dr ds
c.
−1 −1
0
Z1 Z1 d.
(r3 − 1r)(s2 + s) dr ds
−1 −1
(r5 − 2r)(s3 + s) dr ds
Z1 Z1 e.
−1 −1
(6r4 − 1)(s2 + s + 1) dr ds
−1 −1
6.36. Usar la t´ecnica de cuadratura Gaussiana para obtener los valores exactos de las siguientes integrales. Verificar la exactitud por medio de integraci´on anal´ıtica. Z2 Z2 Z2 a.
Z1 Z1 Z1 xy dx dy dz
0
0
0
2
(r − 1)(s − 2)t dr ds dt
b. −1 −1 −1
Z1 Z1 Z1 c. −1 −1 −1
r3 s2 t3 dr ds dt
´ CAP´ITULO 6. FUNCIONES DE INTERPOLACION
200
Z1 Z1 Z1
4
Z1 Z1 Z1
2
(r − 2) (s − 1)t dr ds dt
d. −1 −1 −1
e.
(r3 − r)(s + 4)(t2 − 1) dr ds dt
−1 −1 −1
6.37. Evaluar cada una de las siguientes integrales usando dos–puntos de cuadratura Gaussiana. Comparar cada uno de los resultados con la correspondiente soluci´on anal´ıtica. Z1 a.
Z1
2
cos π r dr
b.
−1
r dr +1
−1
Z1 c.
r2 Z1 Z1
sin πr cos πr dr −1
d.
r2 s dr ds + s2 )
(r3 −1 −1
6.38. Repita el Problema 6.37 usando tres–puntos de cuadratura Gaussiana. Convergen los resultados hacia las soluciones exactas ?. 6.39. La integral Z1
(r3 + 2r2 + 1) dr
−1
puede evaluarse exactamente usando dos–puntos de cuadratura Gaussiana. Examine el efecto en el resultado, si la integraci´ on de tres–puntos es aplicada.
Capítulo
7
Transmisi´ on del calor
Una de las grandes ´ areas de conocimiento que forma parte de la mec´anica general est´a relacionada con el estudio del campo de temperaturas en cierto dominio espacial y el comportamiento de sus variaciones, lo cual genera procesos de transmisi´on de calor. Esta forma de energ´ıa tiene b´asicamente tres modos de transferencia: conducci´ on, convecci´on, y radiaci´on. Las primeras dos formas est´a gobernadas por ecuaciones lineales de comportamiento, y la u ´ltima corresponde a un proceso no–lineal por lo que no ser´a tratada en este documento. En este Cap´ıtulo estudiaremos los procesos de transmisi´on de calor por conducci´on y convecci´on primeramente con detalle en dominios uni y bi–dimensionales, estableciendo la formulaci´on de elemento finito en ambos casos, la imposici´ on de las condiciones de borde o frontera, y tambi´en las condiciones de simetr´ıa que permiten la reducci´ on del modelo de an´alisis. Posteriormente a este desarrollo, generalizaremos las formulaciones efectuadas hacia dominios espaciales (3–D). Otro tema que ser´a objeto de nuestro estudio est´ a relacionado con el proceso de transmisi´on de calor con transporte de masa. Tambi´en desarrollaremos ecuaciones de elemento finito para los fen´omenos de transferencia de calor con simetr´ıa axial, y finalmente efectuaremos una breve introduci´on a una de las t´ecnicas de elemento finito para respuesta transitoria (variable en el tiempo) aplic´andola al caso de transmisi´on de calor uniaxial.
7.1.
Introducci´ on
En este cap´ıtulo, el m´etodo de Galerkin introducido en el Cap´ıtulo 5 y los conceptos de funci´on de interpolaci´ on del Cap´ıtulo 6, son aplicados a variadas situaciones de transmisi´on de calor. Se discuten los procesos de conducci´ on y convecci´on para problemas uni, bi, y tri–dimensionales. Las condiciones de borde l´ımite y las funciones impulsivas incluyen flujo de calor prescrito, superficies aisladas, temperaturas prescritas, y transmisi´on de calor por convecci´on hacia ambientes circundantes. Tambi´en es desarrollado el caso uni–dimensional de transmisi´on de calor con transporte de masa. El caso tri–dimensional con simetr´ıa axial se desarrolla en detalle usando elementos bi–dimensionales apropiadamente modificados y funciones de interpolaci´on asociadas a ellos. 201
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
202
La transferencia de calor por radiaci´ on no se discute, debido a la naturaleza no–lineal de este fen´omeno f´ısico. Sin embargo, examinamos la transferencia de calor transitoria e incluimos una introducci´on a las t´ecnicas de diferencias finitas para la soluci´on de problemas variables en el tiempo.
7.2.
Conducci´ on uni–dimensional: elemento cuadr´ atico
En el Cap´ıtulo 5 introducimos el concepto de conducci´on de calor uni–dimensional por medio del m´etodo de elemento finito Galerkin. En los ejemplos del Cap´ıtulo 5, usamos elementos finitos rectil´ıneos, de dos–nodos para ilustrar los conceptos involucrados. Dado el desarrollo de los conceptos generales de interpolaci´ on en el Cap´ıtulo 6, ahora aplicaremos un elemento de orden–superior (cuadr´atico) a un ejemplo anterior para demostrar que (1) el procedimiento b´asico de formulaci´on del elemento es inalterado, (2) el procedimiento de ensamble del sistema no cambia, y (3) los resultados son bastante similares. Ejemplo 7.1. Resuelva el Ejemplo 5.4 usando elementos rectil´ıneos de tres–nodos, estando los mismos igualmente espaciados. El problema y los datos num´ericos se repiten aqu´ı como la Figura 7.1(a). Aislado
80°C
Al
Cu
0.5 m
0.5 m
kal= 200 W/m-°C
kcu= 389 W/m-°C
1
2
3
4
5
{ {
qent
E1
(a) Disposici´ on geom´ etrica y dimensiones
E2
(b) Modelo de dos elementos
Figura 7.1: Esquemas gr´aficos del Ejemplo 7.1 > Soluci´ on Por la Ecuaci´ on (5.55), las ecuaciones de elemento son x Zx2 Zx2 dT 2 dNi dT − kx A dx + A Q Ni (x) dx kx A Ni (x) dx x1 dx dx x1
i = 1; 3
x1
donde ahora existen tres funciones de interpolaci´on por cada elemento (igual al n´ umero de nodos que ´este posee). Las funciones de interpolaci´ on para un elemento lineal de tres–nodos, por las Ecuaciones (6.15), son N2 (s) = −4s(s − 1) N3 (s) = 2s s − 12 N1 (s) = 2 s − 12 (s − 1) Los coeficientes de la matriz de conductancia son luego calculados como Zx2 kij = kx A
dNi dNj dx dx dx
i, j = 1; 3
x1
y, las componentes del vector de generaci´ on de calor se determinan por Zx2 fQi =
Q Ni dx x1
i = 1; 3
´ UNI–DIMENSIONAL: ELEMENTO CUADRATICO ´ 7.2. CONDUCCION
203
que en este ejemplo tiene todos los t´erminos de valor nulo, porque no existe fuente de calor interna. En t´erminos de la coordenada adimensional s = x/L, tenemos dx = Lds y d/dx = (1/L)d/ds; de modo que los coeficientes de la matriz de conductancia se expresan como kx A kij = L
Z1
dNi dNj ds ds ds
i, j = 1; 3
0
Las derivadas de las funciones de interpolaci´on son dN1 = 4s − 3 ds
dN2 = 4(1 − 2s) ds
dN3 = 4s − 1 ds
Luego, sustituyendo estas derivadas en la f´ormula gen´erica de los coeficientes de la matriz de conductancia Z1 Z1 kx A kx A 2 k11 = (4s − 31) ds = (16s2 − 24s + 9)ds L L 0
=
kx A L
0
1 7 kx A 16s 2 − 12s + 9s = 3 3L 0 3
Con procedimiento matem´ atico id´entico, determinamos los coeficientes restantes de la matriz de conductancia, −8 kx A kx A 16 kx A k12 = k21 = k13 = k31 = k22 = 3L 3L 3L k23 = k32 =
−8 kx A 3L
k33 =
7 kx A 3L
Un modelo de dos–elementos con los n´ umeros de nodo asignados como se muestra en la Figura 7.1(b) servir´a para analizar el problema. Sustituyendo los valores num´ericos, obtenemos, para la la mitad de la varilla de aluminio (elemento 1), 7 −8 1 2,6389 −3,0159 0,3770 2 (200)(π/4)(0,006) −8 16 −8 = −3,0159 6,0319 −3,0159 [ k (1) ] = 3(0,5) 1 −8 7 0,3770 −3,0159 2,6389 y, para la porci´ on de cobre (elemento 2), 7 −8 1 5,1327 −5,8660 0,7332 2 (389)(π/4)(0,006) −8 16 −8 = −5,8660 11,7320 −5,8660 [ k (2) ] = 3(0,5) 1 −8 7 0,7332 −5,8660 5,1327 En los nodos interiores de cada elemento, los t´erminos de flujo son cero, debido a la naturaleza de las funciones de interpolaci´ on [ N2 (x1 ) = N2 (x2 ) = 0 ]. Similarmente, en la uni´on entre los dos elementos, el flujo debe ser cont´ınuo y las funciones de impulsi´on cal´orica son cero. Como ning´ un calor interior se genera, Q = 0, y esa porci´on del vector de fuerza es cero para cada elemento. Siguiendo el procedimiento de ensamblaje directo, la matriz de conductancia del sistema, se demuestra que es 2,6389 −3,0159 0,3770 0 0 −3,0159 6,0319 −3,0159 0 0 W/◦ C 0,3770 −3,0159 7,7716 −5,8660 0,7332 [K ] = 0 0 −5,8660 11,7320 −5,8660 0 0 0,7332 −5,8660 5,1327
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
204
y notamos en particular que el “traslape” s´olo existe en la junta entre los elementos. El t´ermino gradiente en el nodo 1 se calcula como dT = q1 A = 4000( π4 )0,0062 = 11,3097 W fg1 = −kx A dx x1 mientras que el flujo de calor en el nodo 5 es una inc´ognita a ser calculada mediante las ecuaciones del sistema. Con estas consideraciones, el sistema de ecuaciones gobernantes resulta 2,6389 −3,0159 0,3770 0 0 T1 11,3097 −3,0159 6,0319 −3,0159 0 0 T2 0 0,3770 −3,0159 7,7716 −5,8660 0,7332 T3 = 0 0 0 − 5,8660 11,7320 −5,8660 T 0 4 0 0 0,7332 −5,8660 5,1327 80 −A q5 Antes de a resolver para las temperaturas nodales desconocidas T1 a T4 , la condici´on de borde no–homog´enea T5 = 80◦ C debe considerarse con propiedad. En este caso, reducimos el sistema de ecuaciones a dimensi´ on 4×4 transponiendo el u ´ltimo t´ermino de la tercera y cuarta ecuaciones al lado derecho para obtener 11,3097 T1 11,3907 2,3689 −3,0159 0,3770 0 T2 −3,0159 6,0319 −3,0159 0 0 0 = = 0,3770 −3,0159 7,7716 −5,8660 T3 −0,7332(80) −58,6560 489,2800 5,8660(80) 0 0 −5,8660 11,7320 T4 Resolviendo las ecuaciones por eliminaci´on Gaussiana (v´ease el Ap´endice C), las temperaturas nodales son T1 = 95,11◦ C
T2 = 95,14◦ C
T3 = 85,14◦ C
T4 = 82,574◦ C
y, el flujo de calor a trav´es del nodo 5 es calculado haciendo uso de la quinta ecuaci´on que fu´e eliminada −A q5 = 0,7332 T3 − 5,8660 T4 + 5,1327(80) = 40001,9 W/m
2
lo cual se observa estar en muy razonable acuerdo num´erico con el calor entrante a trav´es del nodo 1. (N´otese que seg´ un este resultado, el balance cal´orico del sistema se cumple casi exactamente). > La soluci´on para las temperaturas nodales en este ejemplo es id´entica para ambas: las funciones de interpolaci´ on lineales y cuadr´ aticas. De hecho, la soluci´on que nosotros obtuvimos es la soluci´on exacta (Problema 7.1) representada por una distribuci´on de temperatura lineal en cada mitad de la barra. Puede mostrarse [1] que, si una soluci´on exacta existe y las funciones de interpolaci´on usadas en la formulaci´on del elemento finito incluyen los t´erminos que aparecen en la soluci´on exacta, entonces la soluci´on de elemento finito corresponde a la soluci´on exacta. En este ejemplo, las funciones de interpolaci´on cuadr´ aticas incluyen los t´erminos lineales adem´as de los t´erminos cuadr´aticos y as´ı captura la soluci´on lineal, exacta. El ejemplo siguiente ilustra este rasgo en t´erminos de la representaci´on de la variable de campo. Ejemplo 7.2. Para la representaci´ on cuadr´ atica de la variable de campo φ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 determinar la forma expl´ıcita de los coeficientes a0 , a1 , a2 en t´erminos de las variables nodales si los tres nodos est´ an igualmente espaciados. Luego usar los resultados del Ejemplo 7.1 para mostrar que
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
205
a2 = 0 para ese ejemplo. > Soluci´ on Usando las funciones de interpolaci´ on del Ejemplo 7.1, podemos escribir la representaci´on de la variable de inter´es en t´erminos de la variable adimensional s = x/L como φ(s) = (2s2 − 3s + 1)φ1 + 4s(s − 1)φ2 + s(2s − 1)φ3 Colectando coeficientes similares de las potencias de s, φ(s) = φ1 + (4φ2 − 3φ1 − φ3 )s + (2φ1 − 4φ2 + 2φ3 )s2 De donde resulta: a0 = φ1 a1 = 4φ2 − 3φ1 − φ3 a2 = 2φ1 − 4φ2 + 2φ3 Usando los resultados para la temperatura del Ejemplo 7.1 para el elemento de aluminio, tendremos φ1 φ2 φ3 a2
= T1 = 95,14 = T2 = 90,14 = T3 = 85,14 = 2(95,14) − 4(90,14) + 2(85,14) = 0
Para el elemento 2, que representa la porci´on de cobre de la varilla, se obtiene el mismo resultado. >
7.3.
Conducci´ on uni–dimensional con convecci´ on
La conducci´ on de calor uni–dimensional en la que ning´ un calor fluye de la superficie del cuerpo bajo consideraci´ on (como en la Figura 5.9), normalmente no se encuentra. Una situaci´on m´as pr´actica existe cuando el cuerpo es rodeado por un medio fluido, y el flujo de calor ocurre desde la superficie hacia el fluido v´ıa un proceso de convecci´on. La Figura 7.2(a) muestra un cuerpo s´olido que usamos para desarrollar un modelo uni–dimensional de transferencia de calor incluyendo conducci´on y convecci´on. Note usted que la representaci´ on es igual que en la Figura 5.9, con la excepci´on muy importante que la hip´otesis de una superficie aislada es dejada de lado. En cambio, se asume que el cuerpo est´a rodeado por un medio fluido al cual el calor se transfiere por convecci´on. Si el fluido est´a en movimiento como resultado de alguna influencia externa (un ventilador o una bomba, por ejemplo), el calor convectivo transferido es llamado convecci´ on forzada. Por otra parte, si el movimiento del fluido s´olo existe como resultado del calor transferido, tenemos lo que se llama convecci´ on natural. qent
qh
Ta Convección
A qsal
qx
Q U
qx + dqx dx dx
dx (a) Modelo general
(b) Volumen de control diferencial
Figura 7.2: Conducci´on uni–dimensional con superficie de convecci´on La Figura 7.2(b) muestra un volumen de control de longitud diferencial que se asume que tiene un ´area de secci´ on –transversal constante y propiedades materiales uniformes. La transferencia de calor
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
206
convectiva a trav´es de la superficie, denotada qh , representa la rapidez de flujo de calor (flujo cal´orico) a trav´es de la superficie medida por unidad de ´area. Para aplicar el principio de conservaci´on de energ´ıa al volumen del control, necesitamos s´ olo agregar el t´ermino de convecci´on a la Ecuaci´on (5.48) para obtener ∂qx qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx + dx A dt + qh P dx dt (7.1) ∂x donde todos los t´erminoss son como previamente se han definido, excepto que P es la dimensi´on perif´erica del elemento diferencial y qh el flujo de calor debido a convecci´on. El flujo de calor convectivo es dado por la relaci´ on conocida para ´este fen´omeno [46] de transmisi´on de calor. qh = h(T − Ta )
(7.2)
donde: h = coeficiente de convecci´ on, W/(m2 -◦ C), Btu/(hr-pie2 -◦ F) T = temperatura de la superficie limitante externa del cuerpo Ta = temperatura del medio fluido circundante Substituyendo la expresi´ on para qh , y asumiendo condiciones de estado estacionario (r´egimen permanente) de modo que ∆U = 0, la Ecuaci´ on (7.1) llega a ser QA = A
dqx + h P (T − Ta ) dx
(7.3)
la cual, mediante la ley de Fourier indicada por la Ecuaci´on (5.49), se convierte a kx
d2 T hP +Q= (T − Ta ) dx2 A
(7.4)
donde se ha asumido que el coeficiente de conducci´on kx es de valor constante. La Ecuaci´ on (7.4) representa la formulaci´on uni–dimensional de transmisi´on de calor por conducci´on y convecci´on simult´ aneas. Note que la temperatura en cualquier posici´on x a lo largo de la longitud del cuerpo no es verdaderamente constante, debido al proceso de convecci´on considerado existente. No obstante, si el ´ area de secci´ on–transversal es relativamente peque˜ na comparada con la longitud, el modelo uni–dimensional puede dar resultados u ´tiles si reconocemos que las temperaturas calculadas representan valores promedio sobre una secci´on transversal.
7.3.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Para desarrollar las ecuaciones de elemento finito, un elemento lineal de dos–nodos para el que T (x) = N1 (x)T1 + N2 (x)T2
(7.5)
es usado en conjunci´ on con el m´etodo de Galerkin. Para la Ecuaci´on (7.4), las ecuaciones residuales en analog´ıa con la Ecuaci´ on (5.54), son expresadas como Zx2 d2 T hP kx 2 + Q − (T − Ta ) Ni (x) A dx = 0 dx A
i = 1, 2
x1
o en forma m´ as desarrollada Zx2 Zx2 Zx2 d2 T A kx 2 Ni (x)dx − hP T (x)Ni (x) + A QNi (x)dx dx x1
x1
Zx2 + hP Ta
Ni (x)dx = 0 x1
x1
i = 1, 2
(7.6)
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
207
Integrando el primer t´ermino por partes y reordenando Zx2 kx A
dNi dT dx + hP dx dx
x1
Zx2 T (x)Ni (x)dx x1
Zx2
Zx2 QNi (x)dx + hP Ta
=A
x1
x1
(7.7) x dT 2 Ni (x)dx + kx ANi (x) dx x1
i = 1, 2
Substituyendo la expresi´ on para T (x) definida por la Ecuaci´on (7.5), obtenemos Zx2 kx A
dNi dx
Zx2 dN1 dN2 T1 + T2 dx + hP Ni (x)[ N1 (x)T1 + N2 (x)T2 ]dx dx dx
x1
x1
Zx2
Zx2 QNi (x)dx + hP Ta
=A
x1
x1
(7.8)
x dT 2 Ni (x)dx + kx ANi (x) dx x1
i = 1, 2
Las dos relaciones representadas por la Ecuaci´on (7.8) son convenientemente combinadas en forma matricial re–escribiendo la ecuaci´ on (7.5) como T1 T (x) = N1 N2 = [ N ]{T } T2 y, substituyendo para obtener Zx2 kx A
Zx2 dN {T }dx + hP [ N ]T [ N ]{T }dx dx
dN dx
T
Zx2
x Zx2 dT 2 T Q[ N ] dx + hP Ta [ N ]T dx + kx A[ N ]T dx x1
x1
x1
=A x1
(7.9)
x1
La Ecuaci´ on (7.9) est´ a en la forma deseada de ecuaci´on gobernante de elemento finito: [ k (e) ]{T } = {fQ(e) } + {fh(e) } + {fg(e) }
(7.10)
donde [ k (e) ] es la matriz de conductancia, definida como Zx2 [k
(e)
] = kx A x1
dN dx
T
Zx2 dN dx + hP [ N ]T [ N ] dx dx
(7.11)
x1
La primera integral es id´entica a aquella de la Ecuaci´on (5.58), representando el efecto de conducci´on axial, mientras que la segunda integral se relaciona con la convecci´on, presente ahora en el comportamiento del elemento. Sin p´erdida de generalidad podemos hacer que x1 = 0 y x2 = L, de modo que con este cambio las funciones de interpolaci´ on son ahora x x N2 (x) = (7.12) N1 (x) = 1 − L L Los resultados de la primera integral son como los dados en la Ecuaci´on (5.59), as´ı que necesitamos realizar s´ olamente las integraciones correspondientes al segundo t´ermino (v´ease el Problema 7.2) para obtener kx A 1 −1 hP L 2 1 (e) [k ] = + = [ kc(e) ] + [ kh(e) ] (7.13) 1 2 L −1 1 6
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
208
donde [ kc(e) ] y [ kh(e) ] representan las porciones conductiva y convectiva de la matriz, respectivamente. particularmente note que ambas matrices componentes son sim´etricas. Los vectores de funci´ on impelente cal´ orica en el lado derecho de la Ecuaci´on(7.10) incluyen la ´ generaci´on de calor interior y t´erminos de flujo de frontera l´ımite, como en el Cap´ıtulo 5. Estos son dados por L R QN1 dx {fQ(e) } = A 0L (7.14) R QN2 dx 0
( dT ) − dx 0 q q1 (e) = A x=0 = A {fg } = kx A dT qx=L −q2
(7.15)
dx L
donde q1 y q2 son los valores de flujos frontera en los nodos 1 y 2, respectivamente. En adici´on, la funci´on de calor impelente proveniente de la convecci´on es L R N dx hP T 1 1 a (e) 0 = (7.16) {fh } = hP Ta L R 1 L N2 dx 0
donde es evidente que la fuerza de convecci´on total de elemento es simplemente localizada por igual en cada nodo, como la generaci´ on interna de calor Q, asumiendo que este par´ametro es de valor constante.
7.3.2.
Condiciones de borde
En el caso uni–dimensional de trasmisi´on de calor bajo consideraci´on, deben especificarse dos condiciones de borde. T´ıpicamente, esto significa que, si el modelo de elemento finito del problema est´a compuesto de M elementos, una condici´on l´ımite es impuesta al nodo 1 del elemento 1, y la segunda condici´ on l´ımite se impone al nodo 2 del elemento M . Las condiciones de borde l´ımite son de tres tipos: 1 CB1
2
3
M2
M1
M
M1 CB2 Convección
Figura 7.3: Especificaci´ on de condiciones de borde convectivas 1. Temperatura impuesta. La temperatura en un nodo extremo es un valor conocido; esta condici´on ocurre cuando un extremo del cuerpo est´a sujeto a un proceso de temperatura constante, y el calor es removido desde dicho proceso por el cuerpo. 2. Flujo cal´ orico impuesto. La rapidez de flujo de calor hacia, o fuera de, un extremo del cuerpo es especificado; aunque distintivamente posible en un sentido matem´atico, este tipo de condici´on l´ımite no se encuentra a menudo en la pr´actica. 3. Convecci´ on a trav´es de nodo extremo. En este caso, el extremo del cuerpo est´a en o con un fluido de temperatura ambiente conocida y el flujo de conducci´on en la frontera l´ımite es removido mediante proceso de convecci´ on hacia el medio fluido. Asumiendo que esta condici´on se aplica al nodo 2 del elemento M de un modelo de elemento finito, como se muestra en la Figura 7.3, la condici´on l´ımite de convecci´ on se expresa como dT = −qM +1 = −h(TM +1 − Ta ) (7.17) kx dx M +1
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
209
indicando que el flujo de calor de conducci´on en el nodo extremo final debe llevarse fuera del elemento por convecci´ on desde ese nodo. El ´area para la convecci´on en la Ecuaci´on 7.19 es el ´area transversal particular del elemento M ; como esta ´area es com´ un a cada uno de los tres t´erminos en la ecuaci´ on, el ´ area se ha omitido. Una explicaci´on de los signos algebr´aicos en la Ecuaci´on (7.17) es apropiada aqu´ı. Si TM +1 > Ta , el gradiente de temperatura es negativo (dada la direcci´on positiva del eje x como es mostrada); por consiguiente, el flujo y la convecci´on son t´erminos positivos. El ejemplo siguiente ilustra la aplicaci´on de un problema de conducci´on/convecci´on uni–dimensional. Ejemplo 7.3. La Figura 7.4(a) muestra un esquema de una aleta cil´ındrica que es uno de los varios dispositivos peque˜ nos de intercambio de calor. El extremo izquierdo de la aleta est´a sujeta a una temperatura constante de 180◦ F. El extremo derecho de este cuerpo peque˜ no est´a en o con un ba˜ no de agua fr´ıa mantenida a una temperatura constante de 40◦ F. 72 F
180 F
40 F 4 pulg (a) Varilla cil´ındrica peque˜ na
1 T = 180° F
3
2 1
4 3
2
5 4
q = h( T5 – 40 )
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 7.4: Esquemas gr´aficos del Ejemplo 7.3 La superficie exterior del cuerpo est´a en o con el aire en movimiento que permanece a una temperatura de 72◦ F. Los datos f´ısicos complementarios, son dados como sigue: D = 0,5 pulg,
◦
L = 4 pulg, 2
haire = 50 Btu/(hr-pie -◦ F),
kx = 120 Btu/(hr-pie- F) 2
hagua = 100 Btu/(hr-pie -◦ F)
Use cuatro elementos de igual–longitud, con dos–nodos extremos, para obtener una soluci´on de elemento finito para la distribuci´ on de temperatura a lo largo de la longitud de la aleta y el flujo de calor circulante a trav´es del cuerpo cil´ındrico peque˜ no. > Soluci´ on La Figura 7.4(b) muestra los elementos, la numeraci´on de nodos, y las condiciones de borde impuestas al problema. Estas u ´ltimas son expresadas como: T1 = 180◦ F
En el nodo 1: En el nodo 5:
kx
dT = −q5 = −h(T5 − 40) dx 5
Los datos geom´etricos de elemento son entonces Le = 1 pulg,
P = π0,5 = 1,5708 pulg,
A = (π/4)0,52 = 0,1963 pulg2
210
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
Los coeficientes principales de los t´erminos de la matriz de conductancia son 0,1963 120 kx A 144 ◦ = 1,9630 Btu/(hr- F) = 1 Le 12 1,5708 1 50 haire P Le 12 12 ◦ = = 0,0909 Btu/(hr- F) 6 6 donde debe notarse la conversi´ on de pulgadas a pies. Substituyendo en la Ecuaci´ on (7.13), la matriz de conductancia de los elementos resulta ser 1 −1 2 1 2,1448 −1,8721 (e) [ k ] = 1,9630 + 0,0909 = −1 1 1 2 −1,8721 2,1448 Siguiendo el procedimiento de ensamble dir´ecto, la matriz de conductancia del sistema es 2,1448 −1,8721 0 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 [K ] = 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 0 0 −1,8721 2,1448 Notemos que el traslape de coeficientes sucede s´olamente en aquellas ubicaciones donde se tienen nodos que son compartidos por elementos adyascentes. Como no se tiene una fuente de calor interna, fQ = 0, y las componentes de la impulsi´on convectiva, por la Ecuaci´ on (7.16), resultan ser 1 50 1,5708 (72) 12 hP Ta L 1 19,6375 (e) 12 = Btu/hr = {fh } = 19,6375 1 2 2 Ensamblando las contribuciones de cada elemento en los nodos, se obtiene el vector de impulsi´on cal´orica convectiva 19,6375 39,2750 {Fh } = 39,2750 Btu/hr 39,2750 19,6375 debe notarse la cancelaci´ on de t´erminos en las conexiones nodales; mientras que el vector gradiente del sistema llega a ser simplemente Aq1 Aq1 Aq1 0 0 0 0 0 0 {Fg } = = = 0 0 0 −Aq5 −Ahagua (T5 − 40) −0,1364 T5 + 5,4542 y la condici´on de borde de interfase aleta–agua ha sido incorporada expl´ıcitamente. Notemos que, como resultado de la condici´on de borde convectiva, un t´ermino que contiene la temperatura nodal T5 aparece en el vector gradiente; ´este t´ermino es transpuesto en las ecuaciones finales, y resulta en un incremento del coeficiente K55 en la matriz del sistema. Por tanto, las ecuaciones ensam-
´ UNI–DIMENSIONAL CON CONVECCION ´ 7.3. CONDUCCION
211
bladas finales son 2,1448 −1,8721 0 0 0 180 19,6375 + Aq1 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 0 T2 39,2750 T3 = 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 0 39,2750 0 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 T4 39,2750 0 0 0 −1,8721 2,2812 T5 25,0917 Eliminando la primera ecuaci´ on teniendo el cuidado de incluir el efecto de la temperatura especificada en el nodo 1 en las ecuaciones restantes, se obtiene 4,2896 −1,8571 0 0 T2 376,2530 −1,8721 4,2896 −1,8721 T3 39,2750 0 = 0 −1,8721 4,2896 −1,8721 T4 39,2750 0 0 −1,8721 2,2812 T5 25,0917 Resolviendo el sistema aplicando el m´etodo de eliminaci´on Gaussiana, las temperaturas nodales soluci´on se obtienen como T2 = 136,16◦ F T3 = 111,02◦ F T4 = 97,23◦ F T5 = 90,79◦ F El flujo de calor en el nodo 1 es calculado por sustituci´on regresiva del valor T2 hallado en la primera ecuaci´on (que fu´e eliminada del sistema original) 2,1448(180) − 1,8721(136,16) = 19,6375 + Aq1 Aq1 = 111,5156 Btu/hr 111,5156 2 ≈ 81, 805 Btu/hr-ft q1 = 0,1963/144 Aunque la longitud del cuerpo cil´ındrico en este ejemplo es bastante peque˜ na, el uso de s´olo cuatro elementos representa una malla de elementos bastante tosca. Para ilustrar el efecto, recuerde que para el elemento lineal de dos–nodos extremos, la primera derivada de la variable de campo; en este caso el gradiente de temperatura, es constante. Es decir, que podr´ıamos usar el siguiente c´alculo dT ∆T ∆T = = dx ∆x Le Utilizando las temperaturas nodales calculadas, los gradientes de temperatura en los diversos elementos son Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3: Elemento 4:
◦ dT 136,16 − 180 F = = −43,84 dx 1 pulg ◦ dT 111,02 − 136,16 F = = −25,14 dx 1 pulg ◦ dT 97,23 − 111,02 F = = −13,79 dx 1 pulg ◦ dT 90,79 − 97,23 F = = −6,44 dx 1 pulg
donde la longitud es expresada en pulg, por conveniencia num´erica. Los valores de gradiente calculados muestran discontinuidades significativas en las conexiones nodales. A medida que el n´ umero de elementos se incremente, la magnitud de dichos saltos de discontinuidad en los valores del gradiente de temperatura decrecen significativamente a medida que la aproximaci´on de elemento finito converge hacia la soluci´ on verdadera.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
212
Para ilustrar la convergencia como tambi´en el efecto sobre los valores del gradiente, se ha obtenido una soluci´on con ocho–elementos para ´este problema. La tabla 7.1 muestra los valores soluci´on de las temperaturas nodales para ambos modelos: de cuatro y de ocho elementos. Note que, en la tabla mencionada, los valores indicados con ‘ ∗ ’ son valores interpolados, y no son valores nodales. Tabla 7.1: Temperaturas nodales soluci´on , Cuatro elementos
Ocho elementos
x (pulg)
◦
T ( F)
T (◦ F)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
180,00 158,08* 136,16 123,59* 111,02 104,13* 97,23 94,01* 90,79
180,00 155,31 136,48 122,19 111,41 103,41 97,62 93,63 91,16
>
7.4.
Transmisi´ on de calor bi–dimensional
Un caso en el que puede considerarse que la transferencia de calor es adecuadamente descrita por una formulaci´ on bi–dimensional se muestra en la Figura 7.5. La aleta rectangular tiene dimensiones a×b×t, donde el espesor t se asume de dimensi´on muy peque˜ na comparada con a y b. Un borde de la aleta est´a sujeta a una temperatura conocida mientras los otros tres bordes y las caras de la aleta est´an en o con un fluido. La transmisi´on de calor ocurre entonces desde el centro mediante conducci´on a trav´es de la aleta hacia sus bordes y caras, d´onde la convecci´on toma lugar. La situaci´on as´ı planteada podr´ıa representar una aleta refrigerante removiendo calor desde alg´ un proceso o una aleta calor´ıfica que transfiere calor desde una fuente de energ´ıa hacia un espacio circundante que lo rodea, el cual est´ a ocupado por un fluido. qh
b
T
qh
qh a
t
Figura 7.5: Conducci´on y convecci´on bi–dimensional Para desarrollar las ecuaciones gobernantes, nos referimos a un elemento diferencial de un cuerpo s´olido que tiene una dimensi´ on peque˜ na en la direcci´on z, como en la Figura 7.6; y examinamos el principio de conservaci´ on de energ´ıa para el elemento diferencial. Como estamos tratando ahora en dos dimensiones, todas las derivadas son ahora derivadas parciales. De nuevo, sobre los bordes x + dx y y + dy, los t´erminos de flujo de calor se han expandido en serie de Taylor, truncando el desarrollo en
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
213
el t´ermino de primer orden . Asumimos que el elemento diferencial esquematizado en la figura est´a en el interior del cuerpo, para que la convecci´on s´olo ocurra en las superficies del elemento y no a lo largo de sus bordes. Aplicando la Ecuaci´ on (5.47) bajo la hip´otesis de conndiciones de r´egimen estacionario (es decir, ∆U = 0), obtenemos qy + qy dy y
qh A Q , U qx dx
dy
qx + qx dx x
dx qy
h ( T – Ta )
Figura 7.6: Esquema de balance cal´orico
∂qx ∂qy qx t dy + qy t dx + Q t dx dy = qx + dx tdy + qy + dy tdx ∂x ∂y + 2 h (T − Ta )dx dy
(7.18) (7.19)
donde: t = espesor del elemento diferencial h = coeficiente de convecci´ on desde las superficies del elemento diferencial Ta = temperatura ambiente del medio fluido circundante Usando la ley de Fourier seg´ un las direcciones coordenadas qx = −kx
∂T ∂x
qy = −ky
∂T ∂y
(7.20)
luego, substituyendo y simplificando obtenemos ∂ ∂T ∂ ∂T Q t dx dy = −kx t dx dy + −ky t dx dy + 2 h (T − Ta )dx dy ∂x ∂x ∂y ∂y donde kx y ky son las conductividades t´ermicas en las direcciones x y y, respectivamente. La ecuaci´on anterior se simplifica a ∂T ∂ ∂T ∂ t kx + t ky + Q t = 2 h (T − Ta ) (7.21) ∂x ∂x ∂y ∂y La Ecuaci´ on (7.21) es la ecuaci´ on gobernante de conducci´on bi–dimensional con convecci´on desde las superficies del cuerpo. La convecci´ on desde los bordes o aristas es tambi´en posible, como ser´a discutido subsecuentemente en t´erminos de las condiciones de borde.
7.4.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Desarrollando una aproximaci´ on de elemento finito a la conducci´on bi–dimensional con convecci´on, tomamos una aproximaci´ on general inicialmente; es decir, no se usa una geometr´ıa espec´ıfica de alg´ un
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
214
elemento t´ıpico. En cambio, asumimos un elemento bi–dimensional que posee M nodos, tales que la distribuci´on de temperatura en el elemento se describe por T (x, y) =
M X
Ni (x, y) Ti = [ N ]{T }
(7.22)
i=1
donde Ni (x, y) es la funci´ on de interpolaci´ on asociada con la temperatura nodal Ti , [ N ] es la matriz fila de funciones de interpolaci´ on, y {T } es la matriz columna (vector) de temperaturas nodales. Aplicando el m´etodo de elemento finito Galerkin, las ecuaciones residuales correspondientes a la ecuaci´on (7.21) son ZZ ∂ ∂T ∂ ∂T Ni (x, y) t kx + t ky + Q t − 2 h (T − Ta ) dA = 0 i = 1; M (7.23) ∂x ∂x ∂y ∂y A
donde se supone que el espesor t es constante y la integraci´on es sobre el ´area del elemento. (Hablando estrictamente, la integraci´ on es sobre el volumen del elemento, ya que ´este es el dominio de inter´es). Para desarrollar las ecuaciones de elemento finito para el caso bi–dimensional, se requiere un poco de manipulaci´on matem´ atica. y (x1, y1)
a’
(x2, y1)
b’
x
dy
qx (x1, y)
qx (x2, y)
dx (x1, y1)
a
(x2, y1)
b
(a) Elemento t´ıpico
(b) Flujo de calor en x
Figura 7.7: Esquemas de flujo de calor de borde l´ımite en elemento rectangular Considere las primeras dos integrales en la Ecuaci´on (7.23) como ZZ ZZ ∂qy ∂ ∂ ∂qx ∂T ∂T Ni + Ni dA = −t Ni + Ni dA t kx ky ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y A
A
y, note que hemos usado la ley de Fourier descita por la Ecuaci´on (7.20). Por ilustraci´on ahora asumiremos un elemento rectangular, como el mostrado en la Figura 7.7(a), y examinemos ZZ t
∂qx Ni dA = t ∂x
Integrando por partes en x, con u = Ni y dv =
t
∂qx Ni dx, dy ∂x
y1 x1
A
ZZ
Zy2 Zx2
∂qx Ni dA = t ∂x
Zy2 y1 Zy2
A
=t
∂qx dx, obtenemos formalmente ∂x
Zy2 Zx2 x2 ∂Ni qx Ni dy = −t qx dx dy ∂x x1 y1 x1
x2 qx Ni dy + t
Z kx
x1
y1
A
∂T ∂Ni dA ∂x ∂x
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
215
Ahora, examinemos el significado f´ısico del t´ermino Zy2 t
Zy2 x2 qx Ni dy = t [ qx (x2 , y)Ni (x2 , y) − qx (x1 , y)Ni (x1 , y) ]dy x1
y1
y1
El integrando es el valor ponderado (Ni es la funci´on escalar de ponderaci´on) del flujo de calor en la direcci´on x a trav´es de los bordes a–a0 y b–b0 en la Figura 7.7(b). De aqu´ı, cuando integramos en y, obtenemos la diferencia en la rapidez de flujo de calor ponderado en la direcci´on x a trav´es de b–b0 y a–a0 , respectivamente. Notando el hecho obvio que la rapidez de flujo de calor en la direcci´on x a trav´es de los l´ımites horizontales a–b y a0 –b0 es cero, la integral sobre el ´area del elemento es equivalente a una integral alrededor de la periferia del mismo, como es dado por ZZ I t qx Ni dA = t qx Ni nx dS A
S
En esta ecuaci´ on, S es la longitud perif´erica del elemento y nx es la componente del vector unitario normal saliente (perpendicular) a la periferia. En nuestro ejemplo, usando un elemento rectangular, tendremos nx = 1 a lo largo de b–b0 , nx = 0 sobre b0 –a0 , nx = −1 a lo largo de a0 –a, y nx = 0 sobre la porci´ on a–b. Note usted que el uso de la componente x del vector normal unitario asegura que la naturaleza direccional del flujo de calor se considere apropiadamente. Por razones te´oricas m´as all´a del alcance de este texto, la integraci´ on alrededor de la periferia S ser´a tomada en direcci´on contraria a las agujas del reloj; es decir, positivamente, por la regla de la mano derecha. Un argumento id´entico y desarrollo similar mostrar´an que, para los t´erminos en la direcci´on–y en la Ecuaci´ on (7.23), ZZ I Z ∂ ∂T ∂T ∂Ni t ky Ni dA = −t qy Ni ny dS − ky dA ∂y ∂y ∂y ∂y S
A
A
Estos argumentos, basados en el caso espec´ıfico de un elemento rectangular, tienen la intenci´on de mostrar una aplicaci´ on de una relaci´on general conocida como el teorema de Green–Gauss (tambi´en conocido como el teorema de Green en el plano) declarado como sigue: Sean F (x, y) y G(x, y) funciones continuas definidas en una regi´ on del plano x–y (para nuestros prop´ositos la regi´on es el ´area de un elemento); entonces I ZZ ∂F ∂G β +β = ( βF nx + βGny )dS ∂x ∂y A S (7.24) ZZ ∂F ∂β ∂G ∂β − + dA ∂x ∂x ∂y ∂y A
Retornando a la Ecuaci´ on (7.23), hagamos que: F = kx
∂T ∂G , G = ky , β = Ni (x, y); y apliquemos ∂x ∂y
el teorema de Green–Gauss para obtener ZZ ∂ ∂T ∂ ∂T kx Ni + ky Ni dA t ∂x ∂x ∂y ∂y A I ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni = −t ( qx nx + qy ny )Ni dS − t kx + ky dA ∂x ∂x ∂y ∂y S
(7.25)
A
La aplicaci´ on del teorema de Green–Gauss, como en este desarrollo, es la contraparte bi–dimensional de la integraci´ on por partes en una dimensi´on. El resultado es que hemos introducido los t´erminos de
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
216
gradiente de borde l´ımite como es indicado por la primera integral en el lado derecho de la Ecuaci´on (7.25) y asegura que la matriz de conductancia sea sim´etrica, por la segunda integral, como se ver´a en el resto del desarrollo. Retornando a la relaci´ on residual de Galerkin representada por la Ecuaci´on (7.23) y sustituyendo las relaciones desarrolladas mediante el teorema de Green–Gauss (siendo cuidadosos en observar los signos aritm´eticos), la Ecuaci´ on (7.23) llega a ser ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni + ky t dA + 2h T Ni dA kx ∂x ∂x ∂y ∂y A ZZ ZZ I = Q Ni t dA + 2 h Ta Ni dA − t ( qx nx + qy ny )Ni dS
ZZ A
A
A
(7.26) i = 1; M
S
que representa al sistema de M ecuaciones para la formulaci´on de elemento finito bi–dimensional mediante el m´etodo de Galerkin. En analog´ıa con el caso uni–dimensional de la Ecuaci´on (7.7), observamos que el lado de la izquierda incluye la distribuci´on de temperatura desconocida mientras el lado derecho est´a compuesto de funciones impelentes, representando generaci´on de calor interior, convecci´on desde la superficie, y flujo de calor de borde l´ımite. En este punto, convertimos a notaci´ on matricial para facilidad de interpretaci´on por empleo de la Ecuaci´on (7.22) para convertir la Ecuaci´ on (7.26) a T ZZ ∂N ∂N ∂N + ky {T } t dA + 2h [ N ]T [ N ]{T }dA ∂x ∂y ∂y A ZZ ZZ I = Q [ N ]T t dA + 2 h Ta [ N ]T dA − qs ns [ N ]T t dS
ZZ
kx
A
∂N ∂x
T
A
A
(7.27)
S
la cual es de la forma [ k (e) ]{T } = {fQ(e) } + {fh(e) } + {fg(e) }
(7.28)
como es deseado. La comparaci´ on de las Ecuaciones (7.27) y (7.28) revela que la matriz de conductancia es ZZ [ k (e) ] =
kx
A
∂N ∂x
T
T ZZ ∂N ∂N ∂N + ky t dA + 2h [ N ]T [ N ]dA ∂x ∂y ∂y
(7.29)
A
la cual para un elemento que tiene M nodos es una matriz M ×M sim´etrica. Mientras usemos el t´ermino matriz de conductancia, el primer t´ermino integral en la derecha de la Ecuaci´on (7.29) representa la conducci´on pura (similar a la matriz de “rigidez”), mientras que la segunda integral representa la convecci´on desde las superficies laterales del elemento al medio ambiente circundante. Si las superficies laterales no exhiben convecci´ on (es decir, las superficies se aislan t´ermicamente), los t´erminos de la convecci´on son removidos poniendo h = 0. Note que, en muchos de los paquetes de software de elemento finito, la porci´ on de la convecci´ on en la matriz de conductancia no es autom´aticamente incluida en la formulaci´on de la matriz de elemento. En cambio, sobre la superficie lateral (como tambi´en en los bordes) los efectos de la convecci´ on son especificados aplicando “cargas” de convecci´on a las superficies como sea apropiado. El software entonces modifica las matrices de elemento como es requerido en este caso. Las funciones impelentes de efecto cal´ orico sobre el elemento se describen mediante matrices co-
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
217
lumna (vectores), que se especifican acorde a ZZ ZZ {fQ(e) } = Q [ N ]T t dA = Q {N } t dA A
(7.30a)
A
ZZ
(e)
ZZ T
{fh } = 2 h Ta
(7.30b)
qs ns {N } t dS
(7.30c)
A
I {fg(e) } = −
{N } dA
[ N ] dA = 2 h Ta A
I qs ns [ N ]T t dS = −
S
S
donde [ N ]T = {N } es la matriz columna M ×1 (vector) de las funciones de interpolaci´on. Las Ecuaciones (7.28) a (7.30) representan la formulaci´on general de un elemento finito para conducci´on de calor bi–dimensional con convecci´on desde sus superficies. Note en particular que estas ecuaciones son v´ alidas para un elemento arbitrario que tiene M nodos, y por consiguiente cualquier orden de sus funciones de interpolaci´on (lineal, cuadr´atica, c´ ubica, etc) asociadas. En los siguientes ejemplos, mostramos el uso de geometr´ıas espec´ıficas de elemento y las ecuaciones desarrolladas para ellos.
7.4.2.
Condiciones de borde
Las condiciones de borde para la conducci´on bi–dimensional con convecci´on puede ser de tres tipos, como es ilustrado por la Figura 7.8 para un dominio bi–dimensional general. Sobre la porci´on S1 de la superficie l´ımite, la temperatura se prescribe como un valor constante conocido TS1 = T ∗ . En un modelo de elemento finito donde existe un sub–dominio de tal tipo, cada nodo de un elemento localizado sobre S1 tiene temperatura conocida y las ecuaciones de equilibrio nodal correspondientes se vuelven ecuaciones de “reacci´ on”. Las “fuerzas” de reacci´on son el flujo de calor en los nodos ubicados sobre S1 . Usando los paquetes de software de elemento finito, tales condiciones se traducen como datos de entrada; el del software ingresa tales datos en el programa como apropiados en los nodos aplicables del modelo de elemento finito (en este caso, las temperaturas especificadas). h ( T – Ta ) S3 T = T*
S1
q*
S2
Figura 7.8: Especificaci´on de condiciones de borde El flujo de calor en la porci´ on S2 del borde l´ımite se prescribe como qS2 = q ∗ . Esto es an´alogo a las fuerzas nodales especificadas en un problema estructural. De aqu´ı, para todos los elementos que tienen nodos ubicados sobre S2 , la Ecuaci´ on (7.30c) d´a las correspondientes funciones de impulsi´on cal´orica nodales como I (e) {fg } = − q ∗ nS2 {N } t dS2 (7.31) S2
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
218
Finalmente, una porci´ on S3 del borde l´ımite ilustra una condici´on de convecci´on. En esta situaci´on, el flujo de calor en el borde l´ımite debe ser equilibrado por la p´erdida de calor por convecci´on desde S3 . Para todos los elementos que tienen bordes coincidentes en S3 , la condici´on de convecci´on se expresa como I I {fg(e) } = − qS3 nS3 {N } t dS3 = − h(T (e) − Ta ){N } t dS3 S3
S3
Notando que el lado derecho de la anterior ecuaci´on involucra a las temperaturas nodales, re–escribimos la ecuaci´on como I I {fg(e) } = − h[ N ]T [ N ]{T } t dS3 + h Ta {N } t dS3 (7.32) S3
S3
y observamos que, cuando ´esta relacion se inserta en la Ecuaci´on (7.28), el primer t´ermino integral del lado derecho de la Ecuaci´ on (7.32) adiciona “rigidez” a coeficientes espec´ıficos de la matriz de conductancia asociados con los nodos que se ubican sobre la frontera S3 . Para generalizar, re–escribimos la Ecuaci´on (7.32) como {fg(e) } = −[ kh(e)S ]{T } + {fh(e) } (7.33) S donde (e)
I h [ N ]T [ N ] t dS
[ khS ] =
(7.34)
S
es la contribuci´ on a la matriz de conductancia de elemento que se debe a la convecci´on sobre la porci´on S del borde l´ımite del elemento y I {fh(e) }= S
h Ta {N } t dS
(7.35)
S
es la funci´on impelente cal´ orica asociada con la convecci´on sobre S. Incorporando la Ecuaci´ on (7.33) en el interior de la Ecuaci´on (7.28), tendremos [ k (e) ]{T } = {fQ(e) } + {fh(e) } + {fg(e) } + {fh(e) } S donde la matriz de conductancia de elemento est´a dada ahora por T T ZZ (e) ∂N ∂N ∂N ∂N k + ky t dA = kx ∂x ∂x ∂y ∂y A ZZ I + 2h [ N ]T [ N ]dA + h [ N ]T [ N ] t dS A
(7.36)
(7.37)
S
la cual expl´ıcitamente incluye la convecci´ on de borde sobre la(s) porcion(es) S del l´ımite perimetral del elemento sujeta(s) al fen´ omeno de convecci´on. Ejemplo 7.4. Determine la matriz de conductancia (excluyendo la convecci´on del borde) para un elemento rectangular de cuatro–nodos, que tiene 0,5 pulg de espesor y los lados iguales a 1 pulg. El material tiene propiedades t´ermicas kx = ky = 20 Btu/(hr-pie-◦ F) y h = 50 Btu/(hr-pie2 -◦ F). > Soluci´ on El elemento es numerado en sus nodos como se muestra en la Figura 7.9 y las funciones de interpolaci´on, seg´ un las Ecuaciones (6.36) son N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s)
N2 (r, s) = 14 (1 + r)(1 − s)
N3 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s)
N4 (r, s) = 14 (1 − r)(1 + s)
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
219 3
4 s
r
2
1
Figura 7.9: Numeraci´on de nodos
en t´erminos de las coordenadas normalizadas r y s. Para el elemento rectangular de lados iguales, tenemos: 2a = 2b = 1 pulg, y dA = dx dy = ab dr ds. Las derivadas parciales en t´erminos de las coordenadas normalizadas, obtenidas mediante aplicaci´on de la regla de la cadena, son ∂Ni ∂r 1 ∂Ni = = ∂x ∂r ∂x a ∂Ni ∂s 1 ∂Ni = = ∂y ∂s ∂x b
∂Ni ∂r ∂Ni ∂s
i = 1; 4 i = 1; 4
Luego, la Ecuaci´ on (7.29) llega a ser
k
(e)
Z1 =
kx
T
∂N ∂r
∂N ∂r
T 1 ∂N 1 ∂N + ky t a b dr ds a2 ∂s ∂s b2
−1
Z1 + 2h
[ N ]T [ N ] a b dr ds
−1
o, en una base t´ermino a t´ermino, Z1 Z1 kij =
∂Ni ∂Nj 1 ∂Ni ∂Nj 1 kx + ky ∂r ∂r a2 ∂s ∂s b2
t a b dr ds
−1 −1
Z1 Z1 Ni Nj a b dr ds
+ 2h
i, j = 1; 4
−1 −1
simplificando se tiene Z1 Z1 kij =
∂Ni ∂Nj b ∂Ni ∂Nj a kx + ky ∂r ∂r a ∂s ∂s b
t dr ds
−1 −1
Z1 Z1 + 2h −1 −1
Ni Nj a b dr ds
i, j = 1; 4
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
220
Asumiendo que los coeficientes de conductividad seg´ un ambas direcciones son constantes, tendremos b kij = kx t a
Z1 Z1
∂Ni ∂Nj a dr ds + ky t ∂r ∂r b
−1 −1
Z1 Z1
∂Ni ∂Nj dr ds ∂s ∂s
−1 −1
Z1 Z1 + 2hab
Ni Nj dr ds
i, j = 1; 4
−1 −1
Las derivadas parciales requeridas son ∂N1 ∂r ∂N2 ∂r ∂N3 ∂r ∂N4 ∂r
∂N1 ∂s ∂N2 ∂s ∂N3 ∂s ∂N4 ∂s
= 14 (s − 1) = 14 (1 − s) = 14 (1 + s) = − 14 (1 + s)
= 14 (r − 1) = − 41 (1 + r) = 14 (1 + r) = 14 (1 − r)
Substituyendo valores num´ericos (notando que a = b), como ejemplo para el primero de los coeficientes obtenemos Z1 Z1 1 1 0,5 2 2 k11 = 20 (s − 1) + (r − 1) dr ds 16 16 12 −1 −1
Z1 Z1 + 2 (50)
1 (1 − r)2 (1 − s)2 16
0,5 12
2 dr ds
−1 −1
Integrando primero sobre r,
k11
20(0,5) = 16(12)
Z1 −1
k11 =
1 2 Z1 1 3 1 (r − 1)3 100 0,5 2 (1 − r) (s − 1) r + ds − (1 − s) ds 3 16 12 3 −1 −1 −1 2
−1
20(0,5) 16(12)
2 Z1 Z1 100 0,5 8 8 (s − 1)2 (2) + ds + (1 − s)2 ds 3 16 12 3 −1
−1
Luego, integrando sobre s, tendremos k11
20(0,5) = 16(12)
k11 =
20(0,5) 16(12)
1 2 1 2(s − 1)3 8 100 0,5 8 (1 − s)3 + s − 3 3 16 12 3 3 −1 −1
16 16 + 3 3
+
100 16
0,5 12
2 8 8 ◦ = 0,6327 Btu/(hr- F) 3 3
El procedimiento de integraci´ on anal´ıtica desarrollado recientemente para determinar k11 no es el m´etodo usado por los paquetes de software de elemento finito; en cambio, se usan los m´etodos num´ericos, principalmente el procedimiento de cuadratura de Gauss discutido en el Cap´ıtulo 6. Si nosotros examinamos los t´erminos en los integrandos de la ecuaci´on que define kij , encontramos que dichas expresiones son funciones cuadr´ aticas de r y s. Por consiguiente, las integrales pueden evaluarse
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
221
exactamente usando dos puntos de Gauss en r y s. Por la Tabla 6.1, los puntos de Gauss requeridos y los factores de ponderaci´ on son: ri , sj = ±0,57735 y Wi , Wj = 1 (i, j = 1, 2). Usando el procedimiento num´erico para k11 , podemos escribir k11
b = kx t a
Z1 Z1
1 a (s − 1)2 dr ds + ky t 16 b
−1 −1
Z1 Z1
1 (r − 1)2 dr ds 16
−1 −1
Z1 + 2hab
1 (r − 1)2 (s − 1)2 dr ds 16
−1
k11 = kx t
b a
2 X 2 X i=1 j=1
+ 2hab
2
2
a XX 1 1 Wi Wj (sj − 1)2 + ky t Wi Wj (ri − 1)2 16 b i=1 j=1 16
2 X 2 X 1 Wi Wj (1 − ri )2 (1 − sj )2 16 i=1 j=1
y, usando los puntos de integraci´ on como tambi´en los valores de los factores de ponderaci´on especificados, resulta b 1 4 a 1 k11 = kx t + ky t + 2hab a 3 b 3 9 Es sumamente importante notar que el resultado expresado en la ecuaci´on precedente es el valor correcto de k11 para cualquier elemento rectangular usado para el an´alisis de conducci´on de calor bi– dimensional discutido en esta secci´ on. Las integraciones no necesitan ser repetidas para cada uno de los elementos; s´ olo las cantidades geom´etricas y los valores de conductancia necesitan ser substituidos para obtener el valor buscado. De hecho, si substituimos los valores para este ejemplo, obtenemos ◦
k11 = 0,6327 Btu/(hr- F) seg´ un el procedimiento de integraci´ on num´erica. Prosiguiendo con la aplicaci´ on del procedimiento de integraci´on Gaussiana (el c´alculo de algunos de ´estos t´erminos ser´ an evaluados como problemas de fin–de–cap´ıtulo), encontramos ◦
k11 = k22 = k33 = k44 = 0,6327 Btu/(hr- F) Porqu´e estos valores son id´enticos ?. ◦ Los coeficientes fuera de la diagonal principal en la matriz de conductancia medidos en Btu/(hr- F) (nuevamente utilizando el procedimiento de integraci´on num´erica) son calculados como k12 = −0,1003 k23 = −0,1003 Y, de los resultados previos, la matriz 0,6327 −0,1003 (e) [k ] = −0,2585 −0,1003
k13 = −0,2585 k24 = −0,2585
k14 = −0,1003 k34 = −0,1003
de conductancia de elemento es −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 Btu/(hr-◦ F) −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327
>
Ejemplo 7.5. La Figura 7.10(a) muestra una aleta calor´ıfica bi–dimensional. La aleta cuadrada se conecta a una
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
222
tuber´ıa en su borde izquierdo, y la tuber´ıa transporta agua a una temperatura constante de 180◦ F. La aleta est´a rodeada por el aire atmosf´erico que est´a a temperatura de 68◦ F. Las propiedades t´ermicas de la aleta son como aquellas dadas en el Ejemplo 7.4. Use cuatro elementos rectangulares de cuatro–nodos de igual-tama˜ no para obtener una soluci´ on de elemento finito para la distribuci´on de temperatura en r´egimen de estado estacionario en la aleta.
3
2 pulg 2 p u l g
180° F
6
5
2
1
5 180° F 2
1 1
180° F
68° F
4
7
(b) Modelo de elementos finitos 2 pulg
5
2
8
2 p u l g
2
1
(a) Aleta cuadrada bi–dimensional
2 pulg
3
4 68° F
9
(c) Elemento 1
8 68° F 7
4
4
2 p u l g
(d) Elemento 2
Figura 7.10: Transmisi´on de calor desde una aleta plana
> Soluci´ on La Figura 7.10(b) muestra el modelo de cuatro elementos finitos juntamente con la numeraci´on global asignada a los nodos. dado el esquema de numeraci´on establecido, tenemos condiciones de temperatura constante en los nodos 1, 2, y 3, de modo que T1 = T2 = T3 = 180◦ F mientras que en los otros lados, tenemos condiciones de borde de convecci´on que requieren un poco de an´alisis para ser aplicadas. Para el elemento 1, mostrado en la Figura 7.5(c), por ejemplo, la convecci´on ocurre a lo largo del borde 1–2, pero no a lo largo de los otros tres bordes del elemento. Notando que s = −1 y N3 = N4 = 0 sobre los puntos del borde 1–2, la Ecuaci´on (7.34) llega a ser 2 1 − r2 0 0 Z1 1 − r Z1 (1 − r)2 1 + r hta (1 + r)2 0 0 1−r dr [ kh(1)S ] = 41 h t 0 0 1 − r 1 + r 0 0 a dr = 4 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 Efectuando la integraci´ on 8 hta 4 (1) [ khS ] = 4(3) 0 0
y reemplazando datos 4 0 0 2 8 0 0 = 50(0,5) 0 0 0 4(3)(12)2 0 0 0 ◦
donde las unidades son Btu/(hr- F).
8 4 0 0
4 8 0 0
0 0 0 0
0 0,0579 0 = 0,0290 0 0 0 0
0,0290 0 0 0,0579 0 0 0 0 0 0 0 0
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
223
El vector fuerza de convecci´ on de borde para el elemento 1 es, por la Ecuaci´on (7.35), 1 − r 2 2 5,9028 1 Z hTa t hTa ta 2 50(68)(0,5)2 2 5,9028 1 + r (1) {fhS } = = Btu/hr 0 a dr = 2 0 = 0 0 2 2(12)2 −1 0 0 0 0 donde nuevamente utilizamos s = −1 y N3 = N4 = 0 a lo largo del borde del elemento que conecta los nodos 1 y 2. Luego consideremos el elemento 2. Como se muestra en la Figura 7.5(d), la convecci´on ocurre a lo largo de dos bordes del elemento definidos por los nodos 1–2 (s = −1) y los nodos 2–3 (r = 1). Para el elemento 2, la Ecuaci´ on (7.34) es 0 Z1 Z1 1 − r ht 1 + r 1 − r 1 + r 0 0 a dr + 1 − s 0 1 − s 1 + s 0 b ds [ kh(2)S ] = 1 + s 0 4 −1 −1 0 0 Despu´es de integrar se obtiene 8 hta (2) 4 [ khS ] = 4(3) 0 0
4 8 0 0
0 0 0 0
0 0 0 htb 0 + 0 4(3) 0 0 0
0 8 4 0
0 4 8 0
0 0 0 0
y, puesto que a = b, 8 50(0,5)2 (2) 4 [ khS ] = 4(3)(12)2 0 0
4 16 4 0
0 4 8 0
0,0579 0,0290 0 0 0 0 = 0,0290 0,1157 0,0290 0 Btu/(hr-◦ F) 0 0,0290 0,0579 0 0 0 0 0 0 0
Igualmente, el vector fuerza de convecci´on de borde se obtiene por la integraci´on a lo largo de los dos bordes, como 5,9028 2 0 Z1 Z1 1 − r 2 hTa t 11,8056 4 1 + r a dr + 1 − s b ds = 50(68)(0,5) Btu/hr = {fh(2) } = S 1 + s 5,9028 2 2 0 2(12)2 −1 −1 0 0 0 0 Id´enticos procedimientos aplicados a los lados adecuados de los elementos 3 y 4 dan como resultado: 0 0 0 0 0 0 0 0 2 50(0,5) 0 8 4 0 0 = 0 0,0579 0,0290 Btu/(hr-◦ F) [ kh(3)S ] = 2 0 4 16 4 0 0,0290 0,1157 0,0290 4(3)(12) 0 0 4 8 0 0 0,0290 0,0579 0 0 0 0 0 0 0 0 50(0,5)2 0 0 0 0 0 0 = 0 0 Btu/(hr-◦ F) [ kh(4)S ] = 2 0 0 0,0579 0,0290 4(3)(12) 0 0 8 4 0 0 4 8 0 0 0,0290 0,0579 0 5,9028 (3) {fhS } = Btu/hr 11,8056 5,9028
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
224
0 0 {fh(4) } = Btu/hr S 5,9028 5,9028 Como no se genera ning´ un calor interno (no existe fuente de calor), el correspondiente vector “fuerza” de impulsi´ on cal´ orica para cada elemento es cero; ´esto es ZZ (e) {fQ } = Q{N }dA = 0 e = 1; 4 A
Por otro lado, cada elemento exhibe convecci´on desde sus superficies, de modo que el vector “fuerza” de convecci´on lateral es Z1 Z1 (1 − r)(1 − s) ZZ 1 (1 + r)(1 − s) a b dr ds {fh(e) } = 2hTa {N }dA = 2hTa S (1 + r)(1 + s) 4 −1 −1 A (1 − r)(1 + s) lo cual evaluado num´ericamente d´ a como resultado 11,8056 4 4 2hTa ab 4 2(50)(68)(0,5)2 4 11,8056 (e) Btu/hr = = {fhS } = 11,8056 4 4 4 4(12)2 11,8056 4 4
e = 1; 4
y notamos que, puesto que el elemento es cuadrado, las fuerzas de convecci´on de superficie son distribu´ıdas igualmente a cada uno de los cuatro nodos del elemento. En el Ejemplo 7.4 anterior, calculamos la matriz de conductancia b´asica, que no consideraba el efecto de convecci´ on por los bordes del elemento; dicha matriz calculada es para recordarla ahora 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 Btu/(hr-◦ F) e = 1; 4 [ k (e) ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 a la que debemos sumar las matrices de convecci´on de borde aqu´ı calculadas para obtener las matrices de conductancia verdaderas de los elementos del presente ejemplo. Las ecuaciones globales para el modelo de cuatro–elementos pueden ser ahora ensambladas escribiendo las relaciones de correspondencia nodales desde coordenadas locales (de elemento) hacia las coordenadas globales (v´ease la definici´ on de los vectores de ubicaci´on de desplazamiento en la P´agina 63 del Cap´ıtulo 3), como {D(1) } = 1 4 5 2 {D(2) } = 4 7 8 5 {D(3) } = 5 8 9 6 {D(4) } = 2 5 6 3 y, a˜ nadiendo los coeficientes de convecci´ on de borde calculados en este ejemplo a las matrices b´asicas de conductancia, para obtener las matrices de conductancia (“rigidez”) globales de elemento, tendremos 0,6906 −0,0713 −0,2585 −0,1003 −0,0713 0,6906 −0,1003 −0,2585 [ K1 ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
0,6906 −0,0713 2 [K ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 [ K3 ] = −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 4 [K ] = −0,2585 −0,1003
225
−0,0713 −0,2585 −0,1003 0,7484 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,6906 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6906 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,7484 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,6906 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6327 −0,1003 −0,2585 −0,1003 0,6906 −0,0713 −0,2585 −0,0713 0,6906
Utilizando el m´etodo de ensamblaje–directo (superposici´on de coeficientes) con las relaciones de asignaci´ on nodal local–hacia–global y´a establecidas, la matriz de conductancia global del sistema (en este caso la placa completa) es
0,6906 −0,1003 0 −0,0713 [K ] = −0,2585 0 0 0 0
−0,1003 0 −0,0713 −0,2585 0 0 0 0 1,2654 −0,1003 −0,2585 −0,2006 −0,2585 0 0 0 −0,1003 0,6906 0 −0,2585 −0,0713 0 0 0 −0,2585 01,3812 −0,2006 0 −0,0713 −0,2585 0 −0,2006 −0,2585 −0,2006 2,5308 −0,2006 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 −0,0713 0 −0,2006 1,3812 0 −0,2585 −0,0713 0 0 −0,0713 −0,2585 0 0,7484 −0,2585 0 0 0 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 1,3812 −0,0713 0 0 0 −0,2585 −0,0713 0 −0,0713 0,7484
El vector de temperaturas nodales es 180 180 180 T4 {T } = T5 T6 T 7 T 8 T9 y tenemos expl´ıcitamente incorporadas las condiciones de borde de temperatura pre-establecida. Ensamblando el vector de impulsi´on cal´orica global, notando que no existe generaci´on interna de calor por no existir fuente cal´ orica interna alguna, obtenemos 17,7084 + F1 35,4168 + F2 17,7084 + F3 35,4168 47,2224 {F } = Btu/hr 35,4168 23,6112 35,4168 23,6112
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
226
donde usamos F1 , F2 , y F3 como notaci´ on general para indicar que ´estos t´erminos son las “fuerzas de reacci´on” desconocidas. De hecho, como se mostrar´a luego, estos t´erminos son las componentes de flujo de calor en los nodos 1, 2, y 3. Habiendo y´ a evaluado todos los arreglos matriciales asociados con el comportamiento t´ermico de la placa, las ecuaciones globales para el modelo de cuatro–elementos resultan ser 0,6906 −0,1003 0 −0,0713 −0,2585 0 0 0 0
−0,1003 1,2654 −0,1003 −0,2585 −0,2006 −0,2585 0 0 0
0 −0,1003 0,6906 0 −0,2585 −0,0713 0 0 0
−0,0713 −0,2585 0 1,3812 −0,2006 0 −0,0713 −0,2585 0
−0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2006 2,5308 −0,2006 −0,2585 −0,2006 −0,2585
0 −0,2585 −0,0713 0 −0,2006 1,3812 0 −0,2585 −0,0713
0 0 0 −0,0713 −0,2585 0 0,7484 −0,2585 0
0 0 0 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 1,3812 −0,0713
0 17,7084 + F1 180 0 35,4168 + F2 180 0 17,7084 + F3 180 0 T4 35,4168 −0,2585 47,2224 = T5 35,4168 −0,0713 T6 23,6112 0 T 7 35,4168 T −0,0713 8 T 23,6112 0,7484 9
Teniendo en cuenta las temperaturas especificadas en los nodos 1, 2, y 3, las ecuaciones globales para las temperaturas desconocidas llegan a ser 94,7808 T4 1,3812 −0,2006 0 −0,0713 −0,2585 0 T5 −0,2006 2,5308 −0,2006 −0,2585 −0,2006 −0,2585 176,3904 94,7808 T 0 −0,2006 1,3812 0 −0,2585 −0,0713 6 = T7 23,6112 −0,0713 −0,2585 0 0,7484 −0,2585 0 −0,2585 −0,2006 −0,2585 −0,2585 1,3812 −0,0713 35,4168 T8 0 −0,2585 −0,0713 0 −0,0713 0,7484 23,6112 T9 Se insta al lector notar que, para llegar al u ´ltimo resultado, nosotros particionamos la matriz global como es mostrado por las l´ıneas segmentadas y aplicamos la Ecuaci´on (3.38a) para obtener las ecuaciones que gobiernan a los grados de libertad “activos”. Es decir, la matriz particionada es de la forma [Krr ] [Kra ] {Tr } {Fr } = [Kar ] [Kaa ] {Ta } {Fa } donde el sub´ındice r denota los t´erminos asociados con temperaturas restringidas (especificadas), y el sub´ındice a denota t´erminos asociados con las temperaturas activas (desconocidas). De aqu´ı, el sistema de ecuaciones 6×6 anterior representa a la ecuaci´on [Kaa ]{Ta } = {Fa } − [Kar ]{Tr } que se obtiene desde la segunda ecuaci´ on de la forma particionada general, y que ahora propiamente incluye los efectos de temperaturas especificadas como funciones impelentes sobre el lado derecho de la ecuaci´on gobernante de los grados de libertad (temperaturas) activos. La soluci´on simult´ anea de las ecuaciones globales (en este caso, nosotros invertimos la matriz de conductancia del sistema reducido mediante un apropiado programa computacional de manipulaci´on matricial) proporciona el valor de las temperaturas inicialmente desconocidas, T4 106,507 T5 111,982 T6 106,507 ◦ = F T7 89,041 T8 90,966 T9 89,041
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
227
Si nosotros ahora realizamos la sustituci´on regresiva de las temperaturas nodales calculadas en las primeras tres ecuaciones globales que fueron desechadas, espec´ıficamente, 0,6906 T1 − 0,1003 T2 − 0,0713 T4 − 0,2585 T5 = 17,7084 + F1 −0,1003 T1 + 1,2654 T2 − 0,1003 T3 − 0,2585 T4 − 0,2006 T5 − 0,2585 T6 = 35,4168 + F2 −0,1003 T2 + 0,6906 T3 − 0,2585 T5 − 0,0713 T6 = 17,7084 + F3 de donde obtenemos los valores de flujo cal´orico en los nodos 1, 2, y 3, de nuestro modelo de an´alisis F1 52,008 F2 = 78,720 Btu-hr F3 52,008 Note que, en t´erminos del particionamiento matricial general que efectuamos, ahora estamos resolviendo [Krr ]{Tr } + [Kra ]{Ta } = {Fr } para obtener los valores desconocidos en {Fr }. Puesto que no hay ninguna convecci´on desde los bordes definidos por los nodos 1–2 y 1–3, y se especifica la temperatura en estos bordes; las “fuerzas de reacci´on” representan la entrada de calor (el flujo) por estos bordes y debe estar en equilibrio con la p´erdida de calor por convecci´on por las superficies laterales del cuerpo, y sus bordes, en una situaci´on de estado–estacionario (independiente del tiempo). Este equilibrio es una verificaci´on que puede y debe hacerse para valorar la exactitud de una soluci´ on de elemento finito en un problema de transmisi´on de calor, y es an´alogo a verificar el equilibrio est´ atico de una soluci´ on de elemento finito asociado a un problema estructural en el ´area de la mec´anica de s´ olidos deformables. > El Ejemplo 7.5 se desarroll´ o en gran detalle para se˜ nalar los procedimientos sistem´aticos necesarios para ensamblar las matrices y vectores de fuerza (impulsi´on cal´orica) globales. El lector astuto se podr´a dar cuenta que, siguiendo la soluci´on presentada, pueden usarse condiciones de simetr´ıa que simplifiquen la matem´ atica en la b´ usqueda de la soluci´on. Como es mostrado en la Figura 7.11(a), existe un eje (plano) de simetr´ıa a trav´es del centro horizontal de la placa. Por consiguiente, el problema puede reducirse a un modelo de dos–elementos, como es mostrado en la Figura 7.11(b). A lo largo del borde de simetr´ıa, las componentes de flujo de calor en direcci´on y est´an en equilibrio, y este borde puede tratarse como un borde perfectamente aislado. Uno podr´ıa usar entonces s´olo dos elementos, con el l´ımite apropiadamente ajustado en sus condiciones de borde para obtener la misma soluci´on como en el ejemplo. 2 T = 180° F
Plano de simetría
(a) Condici´ on de simetr´ıa vertical
1
6
4 2
1 3
5
(b) Modelo optimizado de dos elementos
Figura 7.11: Modificaci´on del modelo para el Ejemplo 7.5
7.4.3.
Condiciones de simetr´ıa
Como mencionamos previamente en relaci´on con el Ejemplo 7.5, las condiciones de simetr´ıa pueden usarse para reducir el tama˜ no de un modelo de elemento finito (o cualquier otro modelo computacional).
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
228
Generalmente, la simetr´ıa se observa geom´etricamente; es decir, el dominio f´ısico de inter´es es sim´etrico alrededor de un eje o un plano. La simetr´ıa geom´etrica no es, sin embargo, suficiente para asegurar que un problema sea sim´etrico. Adem´ as, las condiciones de borde l´ımite y las cargas aplicadas deben ser sim´etricas con referencia al eje o plano de simetr´ıa geom´etrica tambi´en. y
h, Ta
y h, Ta
2b
h, Ta
x
Q
b h, Ta
2a
(a) Fuente cal´ orica interna
a
(b) Convecci´ on completa
x
(c) Modelo reducido y
aislado
y
qy = 0 h, Ta
aislado
x
(d) Modelo reducido
h, Ta
h, Ta
(e) Aislamiento de borde
qx = 0
2b
a
x
(f) Modelo reducido
Figura 7.12: Ejemplos de simetr´ıa dictadas por las condiciones de borde l´ımite
Para ilustrar este concepto, considere la Figura 7.12(a), que muestra una placa rectangular delgada que tiene una fuente de calor localizada en su centro geom´etrico. El modelo es de una aleta refigerante removiendo calor de una fuente central (una tuber´ıa que contiene fluido caliente, por ejemplo) mediante proceso de conducci´ on y convecci´on desde la aleta. Claramente, la situaci´on planteada es geom´etricamente sim´etrica. Pero, la situaci´on es un problema sim´etrico ?. La carga es sim´etrica, desde que la fuente de calor se localiza centralmente en el dominio. Tambi´en asumimos que kx = ky para que las propiedades materiales sean sim´etricas. De aqu´ı, debemos examinar las condiciones de borde para determinar si la simetr´ıa existe. Si, por ejemplo, como mostramos en la Figura 7.12(b), la temperatura ambiente externa a la aleta es uniforme alrededor de la misma y los coeficientes de convecci´on son los mismos en todas las superficies; el problema es sim´etrico seg´ un los ejes x e y, y puede resolverse mediante el modelo de la Figura 7.12(c). Para esta situaci´on, note que el calor de la fuente es conducido radialmente y, por consiguiente, a trav´es del eje x el flujo de calor qy es cero y; a trav´es del eje y, el flujo de calor qx debe ser tambi´en cero. Estas observaciones revelan las condiciones de borde para el modelo de “cuarta–simetr´ıa” mostrado en la Figura 7.12(d) donde la funci´on de impulsi´on de calor interior se toma como Q/4. Por otro lado, asumamos que el borde superior de la placa se aisla perfectamente, como se muestra en la Figura 7.12(e). En este caso, no tenemos condiciones sim´etricas sobre el eje x pero simetr´ıa sobre el eje y s´ı existe. Para estas condiciones, podemos usar el modelo de “media–simetr´ıa” mostrado en la Figura 7.12(f), usando la condici´on de simetr´ıa (de borde) que qx = 0 a trav´es de x = 0 y aplicando el t´ermino de generaci´on de calor interior igual a Q/2. Puede usarse la simetr´ıa para reducir significativamente el tama˜ no de los modelos de elemento finito. Debe recordarse que la simetr´ıa simplemente no es una ocurrencia geom´etrica. Para la existencia de simetr´ıa en un sentido f´ısico completo, la geometr´ıa, la carga, las propiedades materiales, y las condiciones de borde, deben ser todas sim´etricas (sobre un eje, o un plano) para poder reducir el tama˜ no del modelo de an´ alisis.
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
7.4.4.
229
Resultantes de elemento
En el an´ alisis que hicimos de la transmisi´on de calor, la variable nodal primaria que se debe calcular es la temperatura. Pero, m´ as a menudo en ese tipo de an´alisis nosotros estamos interesados en la cantidad de calor transferida, que en las temperaturas nodales. (Esto es an´alogo a los problemas estructurales: En dicho campo resolvemos el problema para los desplazamientos nodales, pero estamos m´as interesados en variables secundarias como las tensiones). En los an´alisis de elemento finito de los problemas de transmisi´ on de calor, debemos sustituir regresivamente la soluci´on de las temperaturas nodales en las ecuaciones de “reacci´on” para obtener los valores de flujo de calor globales. (Como en el Ejemplo 7.5, cuando resolvimos las matrices particionadas para los valores de flujo de calor en los nodos restringidos, donde se tienen temperaturas prescritas). Similarmente, podemos sustituir las temperaturas nodales halladas como soluci´on, para obtener estimaciones de propiedades de trasferencia de calor de elementos individuales tambi´en. Las componentes de flujo de calor para un elemento bi–dimensional, por la ley de Fourier, son qx(e) = −kx
M X ∂Ni (e) ∂T (e) = −kx T ∂x ∂x i i=1 M
(e)
qy
(7.38)
X ∂Ni (e) ∂T (e) = −ky = −ky T ∂y ∂y i i=1
donde nuevamente denotamos el n´ umero total de nodos del elemento como M . Con la excepci´on del elemento triangular de tres–nodos v´ertice, las componentes de flujo cal´orico dadas por la Ecuaci´on (7.38) no son constantes porque var´ıan con la posici´on en el elemento. Como un ejemplo, las componentes para el elemento rectangular de cuatro–nodos se calculan r´apidamente usando las funciones de interpolaci´on de las Ecuaciones (6.36), repetidas aqu´ı como, N1 (r, s) = 14 (1 − r)(1 − s)
N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s)
N3 (r, s) = 14 (1 + r)(1 + s)
N4 (r, s) = 41 (1 − r)(1 + s)
Recordando que, 1 ∂ ∂ = ∂x a ∂r
y
∂ 1 ∂ = ∂y b ∂s
tendremos para la estimaci´ on de las componentes de flujo cal´orico: (e)
qx
4 −kx X ∂Ni (e) −kx = T = [ (s − 1)T1(e) + (1 − s)T2(e) + (1 + s)T3(e) − (1 + s)T4(e) ] a i=1 ∂r i 4a
qy(e) =
4 −ky X ∂Ni (e) −ky T = [ (r − 1)T1(e) − (1 + r)T2(e) + (1 + r)T3(e) + (1 − r)T4(e) ] b i=1 ∂s i 4b
y, estas expresiones se simplifican a −kx [ (1 − s)(T2(e) − T1(e) ) + (1 + s)(T3(e) − T4(e) ) ] a −ky = [ (1 − r)(T4(e) − T1(e) ) + (1 + r)(T3(e) − T2(e) ) ] b
qx(e) = (e)
qy
(7.39)
Las componentes de flujo, por consiguiente los gradientes de temperatura, var´ıan linealmente en un elemento rectangular de cuatro–nodos. Sin embargo, recuerde que, para una formulaci´on de tipo C 0 ; los gradientes no son, en general, funciones cont´ınuas sobre los bordes l´ımite del elemento. Por consiguiente, las componentes de flujo de calor asociados con un elemento individual son habitualmente
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
230
tomados a ser los valores calculados en el centroide del elemento. Para el elemento rectangular, el centroide se localiza en (r, s) = (0, 0), as´ı que los valores centroidales de flujo cal´orico en el elemento son simplemente −kx qx(e) = [ T2(e) + T3(e) − T1(e) − T4(e) ] a (7.40) −ky (e) (e) (e) (e) (e) [ T3 + T4 − T1 − T2 ] qy = b Los valores centroidales calculados por la Ecuaci´on (7.40), en general, son bastante exactos para una malla fina de elementos. Algunos paquetes de software de elemento finito computan los valores en los puntos de integraci´ on (los puntos Gauss) y promedian esos valores para obtener un valor representativo a ser aplicado al centroide del elemento. En cualquier caso, los valores calculados son necesarios para determinar la convergencia de la soluci´ on y deben ser verificados en cada fase de un an´alisis de elemento finito. Los valores centroidales de la variable de campo involucrada en un determinado fen´omeno que es analizado mediante el m´etodo de elemento finito tiene la interpretaci´on simple de ser el valor m´as representativo de todos los valores asociados de la funci´on que est´a siendo manipulada con todos los puntos contenidos en el sub–dominio definido por el elemento. Por ello, puede ser tomado como valor promedio de un gran n´ umero de valores dato, o como valor promedio de la funci´on aproximatoria utilizada para hallar la soluci´ on. Ejemplo 7.6. Calcular las componentes del flujo de calor centroidal para los elementos 2 y 3 del Ejemplo 7.5. > Soluci´ on Desde el Ejemplo 7.4 tenemos a = b = 0,5 pulg, kx = ky = 20 Btu/(hr-pie-◦ F) y desde el Ejemplo 7.5, el vector de temperaturas nodales es 180 T1 180 T2 T3 180 106,507 T4 {T } = T5 = 111,982 ◦ F 106,507 T6 89,041 T 7 90,966 T 8 89,041 T9 Para el elemento 2, la relaci´ on de correspondencia nodal de elemento hacia el sistema global puede ser escrita como (2) T1 T2(2) T3(2) T4(2) = T4 T7 T8 T5 = 106,507 89,041 90,966 111,982 Ahora, substituyendo valores num´ericos en la Ecuaci´on (7.40), −12(20) 2 [ 89,041 + 90,966 − 106,507 − 111,982 ] = 4617,84 Btu/(hr-pie ) 4(0,5) −12(20) 2 = [ 90,966 + 111,982 − 106,507 − 89,041 ] = −888,00 Btu/(hr-pie ) 4(0,5)
qx(2) = qy(2)
y, debido a las condiciones de simetr´ıa, tendremos 2
qx(3) = 4617,84 Btu/(hr-pie ) 2
qy(3) = 888,00 Btu/(hr-pie )
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
231
como puede verificarse por c´ alculo directo. Recordando que estos valores son calculados en la ubicaci´on coincidente con el centroide del elemento. > Las resultantes de elemento que representan los efectos de convecci´on tambi´en pueden ser prontamente calculados una vez que la soluci´on de las temperaturas nodales sea conocida. Las resultantes de convecci´ on son de inter´es particular, puesto que ´estas representan la fuente primaria de remoci´on (o absorci´ on) de calor para un cuerpo s´olido. El flujo de calor convectivo, por la Ecuaci´on (7.2), es 2
qx = h(T − Ta ) Btu/(hr-pie ) ´o W/m
2
(7.41)
donde todos los t´erminos tienen el significado previamente establecido. De aqu´ı, la rapidez de flujo de calor convectivo total desde una superficie de ´area A es ZZ ˙ Hh = h(T − Ta )dA (7.42) A
Para un elemento individual, la tasa de flujo de calor convectivo es ZZ ZZ H˙ h(e) = h(T (e) − T a)dA = h([ N ]{T } − Ta )dA A
(7.43)
A
El ´area de integraci´ on en ´esta ecuaci´on incluye todas las porciones del elemento sujetas a condiciones de convecci´ on. En el caso de un elemento bi–dimensional, el ´area puede incluir las superficies laterales (es decir, la convecci´ on perpendicular al plano del elemento) as´ı como el ´area de los bordes del elemento localizados en una frontera l´ımite libre que sea parte de la superficie perimetral externa de todo el cuerpo. Ejemplo 7.7. Determine la rapidez de flujo de calor convectivo total para el elemento 3 del Ejemplo 7.5. > Soluci´ on Primero notamos que, para el elemento 3, la relaci´on de correspondencia local–a–global para las temperaturas nodales es (3) T2(3) T3(3) T4(3) = T5 T8 T9 T6 T1 Segundo, el elemento 3 est´ a sujeto a convecci´on en ambas superficies laterales, as´ı como tambi´en en los dos bordes definidos por los nodos 8–9 y 6–9. Por consiguiente, se requieren tres integraciones como sigue: ZZ ZZ H˙ (e) = 2 h( [ N ]{T } − Ta )dA(e) + h( [ N ]{T } − Ta )dA8−9 h
A8−9
A(e)
ZZ +
h( [ N ]{T } − Ta )dA6−9
A6−9 (e)
donde A es el ´ area del elemento en el plano x–y, y el multiplicador (2) en el primer t´ermino integral aparece porque se toma en cuenta ambas superficies laterales. Transformando la primera integral hacia coordenadas normalizadas, resulta en Z1 Z1
Z1 Z1 ( [ N ]{T } − Ta )dr ds = 2hab
I1 = 2hab −1 −1
2hA = 4
−1 −1
Z1 Z1 [ N ] dr ds {T } − 2hATa −1 −1
Z1 Z1 [ N ] dr ds {T } − 2habTa −1 −1
dr ds
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
232
Por consiguiente, necesitamos integrar las funciones de interpolaci´on s´olo sobre el ´area del elemento, ya que todos los otros t´erminos son constantes conocidas. Por ejemplo, Z1 Z1
Z1 Z1 N1 dr ds =
−1 −1
1 4 (1
−1 −1
1 1 (1 − s)2 1 (1 − r)2 − r)(1 − s)dr ds = =1 4 2 2 −1 −1
Un resultado id´entico se obtiene cuando las otras tres funciones de interpolaci´on se integran. La integral correspondiente a la convecci´ on desde las superficies laterales del elemento tiene como resultado final entonces (3) T1 + T2(3) + T3(3) + T4(3) I1 = 2hA − Ta 4 El primer t´ermino dentro los par´entesis es el promedio de las temperaturas nodales, y esto es un resultado general para el elemento rectangular. Sustituyendo los valores num´ericos 2(50)(1)2 111,982 + 90,966 + 89,041 + 106,507 − 68 = 21,96 Btu/hr I1 = 144 4 Luego, consideramos los t´erminos de convecci´on a trav´es de la superficie perimetral del elemento. A lo largo de la superficie l´ımite que conecta los nodos 8–9, ZZ I2 = h([ N ]{T } − Ta )dA8−9 A8−9
y, puesto que r = 1 a lo largo de este borde, dA8−9 = t b ds, y la integral llega a ser Z1 ([ Nr=1 ]{T } − Ta ) ds
I2 = h t b −1
Z1 = htb
1 4
0
Z1
1 − s 1 + s 0 ds {T } − h t b Ta
−1
ds
−1
= h(2 t b) 0 21 12 0 {T } − h(2 t b)Ta (3) T2 + T3(3) = h Aarista − Ta 2 De nuevo, observamos que aparece la temperatura media de los nodos asociados con el ´area del borde que en este caso consideramos. Declarado de otra manera, el ´area de convecci´on se asigna igualmente a los dos nodos, y ´este es otro resultado general para el elemento rectangular. Insertando los valores num´ericos, 50(0,5)(1) 90,966 + 89,041 − 68 = 3,82 Btu/hr I2 = 144 2 Por analog´ıa, la convecci´ on de borde a lo largo de la arista 6–9 es (3) T3 + T4(3) 50(0,5)(1) 89,041 + 106,507 I3 = h Aarista − Ta = − 68 = 5,17 Btu/hr 2 144 2 La tasa de flujo de calor convectivo para el elemento 3, es entonces finalmente H˙ h(3) = I1 + I2 + I3 = 21,96 + 3,82 + 5,17 = 30,95 Btu/hr
>
´ DE CALOR BI–DIMENSIONAL 7.4. TRANSMISION
7.4.5.
233
Generaci´ on interna de calor
A este punto en la discusi´ on actual de transferencia de calor, s´olo han sido considerados ejemplos que no tienen ninguna generaci´ on de calor interior (Q = 0). Tambi´en, para la transferencia de calor bi– dimensional, consideramos s´ olo cuerpos delgados como las aletas. Ciertamente ´estos no son los u ´nicos casos de inter´es. Considere la situaci´on de un cuerpo de ´area de secci´on transversal constante que tiene la longitud mucho m´ as grande que las dimensiones transversales particulares, como mostramos en la Figura 7.13(a) (usamos una secci´on transversal rectangular s´olo por conveniencia). Adem´as, una fuente de calor interior es incrustada en su interior, la cual se extiende paralela a la longitud del cuerpo prism´ atico recto. Los ejemplos pr´acticos incluyen la tabladura de una loza plana que contiene una tuber´ıa de agua caliente o vapor para calentar un ambiente; y una acera, o la v´ıa de un puente que tienen cables calor´ıficos empotrados para prevenir la acumulaci´on de hielo. La fuente de generaci´on de calor interior en esta situaci´ on es conocida como una fuente lineal. y
x
y
z
x
Fuente de calor
(a) Disposici´ on geom´ etrica
(b) Representaci´ on 2–D
Figura 7.13: Cuerpo largo, delgado, con fuente de calor interior. Excepto muy cerca de los extremos de dicho cuerpo, los efectos de transmisi´on de calor en la direcci´on z pueden despreciarse y la situaci´on en tal caso puede ser tratada como un problema bi– dimensional, como se muestra en la Figura 7.13(b). Asumiendo que las dimensiones transversales de la tuber´ıa o cable de calor son peque˜ nas en comparaci´on a la secci´on transversal del cuerpo, la fuente se trata como si actuara en un solo punto en la secci´on transversal. Si modelamos el problema mediante aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito, c´omo consideramos la fuente cal´orica en la formulaci´on ?. Por la primera de las Ecuaciones (7.30), el vector de fuerza nodal que corresponde a la generaci´on de calor interior es, ZZ ZZ {fQ(e) } = Q[ N ]T t dA = Q{N } t dA (7.44) A
A
donde como antes t es el espesor del elemento. En este tipo de problema, es costumbre tomar el valor de t como la unidad, para que todos los c´alculos est´en determinados por unidad de longitud. De acuerdo con esta convenci´ on, la intensidad de la fuente cal´orica se denota por Q∗ , teniendo t´ıpicamente ´este par´ametro unidades expresadas como Btu/(hr-pie2 ) ´o W/m2 . La Ecuaci´on (7.44) se convierte entonces en ZZ ZZ (e) ∗ T {fQ } = Q [ N ] dA = Q∗ {N } dA (7.45) A
A
La pregunta es ahora matem´ atica: C´omo hacemos para integrar una funci´on aplicable a un solo punto en un dominio bi–dimensional ?. Matem´aticamente, la operaci´on es bastante simple si se introduce el concepto del delta de Dirac o funci´ on de impulso unitario. Nosotros escogemos no tomar
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
234
estrictamente el desarrollo matem´ atico; sin embargo, en el inter´es de lograr una respuesta a la interrogante planteada, usamos una concepci´ on basada en la l´ogica y toda la informaci´on anterior presentada sobre las funciones de interpolaci´ on. 3
Q*
P(x0 , y0)
2
1
Figura 7.14: Fuente cal´orica concentrada S´olo por prop´ ositos ilustrativos, asumamos que la fuente de calor est´a localizada en un punto conocido P = (x0 , y0 ) en el interior de un elemento triangular de tres–nodos, como se muestra en la Figura 7.14. Si conocemos la temperatura en cada uno los tres nodos del elemento, entonces la temperatura en el punto P es una combinaci´on ponderada de las temperaturas nodales. Hacia este punto en el texto, el lector es bien consciente que los factores de ponderaci´on son las funciones de interpolaci´on asociadas al elemento. Si se interpolan los valores nodales en un punto espec´ıfico, un valor en dicho punto debe asignarse propiamente a los nodos v´ıa las mismas funciones de interpolaci´on evaluadas en el punto. Usando esta premisa, las “fuerzas” nodales para el elemento triangular resultan (asumiendo el valor Q∗ constante) ZZ Z Z N1 (x0 , y0 ) N2 (x0 , y0 ) dA (7.46) {fQ(e) } = Q∗ [ N (x0 , y0 ) ]T dA = Q∗ N (x , y ) 3 0 0 A A Para un elemento triangular de tres–nodos v´ertice, las funciones de interpolaci´on (por el Cap´ıtulo 6) son simplemente las coordenadas de ´ area, por lo que tenemos ahora Z Z L1 (x0 , y0 ) L1 (x0 , y0 ) L2 (x0 , y0 ) dA = Q∗ A L2 (x0 , y0 ) {fQ(e) } = Q∗ (7.47) L (x , y ) L (x , y ) 3 0 0 3 0 0 A Ahora consideremos la “conducta” de las coordenadas de ´area cuando la posici´on del punto interior P var´ıa en el elemento. Como P se acerque al nodo 1, por ejemplo, la coordenada de ´area L1 se acerca al valor unidad. Claramente, si la fuente cal´orica se localiza en el nodo 1, el valor entero de la intensidad de la fuente debe asignarse a ese nodo. Un argumento similar puede hacerse para cada uno de los otros nodos. Otro punto muy importante para observar aqu´ı es que los montos de la generaci´on de calor total como es asignado a los nodos por la Ecuaci´on (7.47) es equivalente a la magnitud de la intensidad de la fuente. Si nosotros sumamos las contribuciones nodales individuales dadas por la Ecuaci´on (7.47), obtenemos 3 3 X X Q∗i (e) = (L(e) + L(e) + L3(e) )Q∗ A = Q∗ A 1 2 i=1 3 P
(e)
i=1
ya que: Li = 1, es una relaci´ on que por definici´on debe cumplirse para las coordenadas de ´area. i=1 El an´alisis anterior que usa la l´ ogica y nuestro conocimiento de las funciones de interpolaci´on, evidentemente no posee rigor matem´ atico formal. Si nos acercamos a la situaci´on de una fuente cal´orica lineal matem´aticamente, el resultado ser´ a exactamente igual que el que obtuvimos por la Ecuaci´on (7.47)
7.5. TRANSFERENCIA DE CALOR CON TRANSPORTE DE MASA
235
para el elemento triangular. Para cualquier elemento escogido, el vector “fuerza” correspondiente a una fuente cal´ orica de tipo lineal (tenga presente que, en dos–dimensiones esto aparece como una fuente puntual) tendr´ a contribuciones nodales que son establecidas por ZZ {N (x0 , y0 )} dA = Q∗ A{N (x0 , y0 )} {fQ(e) } = Q∗ (7.48) A
As´ı, una fuente de generaci´ on de calor interior es r´apidamente asignada a los nodos de un elemento finito mediante las funciones de interpolaci´on evaluadas en el punto de ubicaci´on de dicha fuente, del elemento espec´ıfico aplicado en el an´alisis.
7.5.
Transferencia de calor con transporte de masa
Las formulaciones y ejemplos de elemento finito presentados previamente trataron con los medios s´olidos en los que el calor fluye como resultado de la conducci´on y la convecci´on. Una complicaci´on adicional aparece cuando el medio de inter´es es un fluido en movimiento. En tal caso, el calor fluye por conducci´ on, convecci´ on, y el movimiento del medio material. El u ´ltimo efecto, llamado transporte de masa, es considerado aqu´ı para el caso uni-dimensional. qent = q
x
Convección
qh
+q
m
qsal
qx+qm
Q, U dx
(a) Esquema de planteamiento
qx + dqx dx dx dqm dx + qm + dx
(b) Balance de energ´ıa
Figura 7.15: Conducci´ on, convecci´on y transporte de masa uni–dimensional. La Figura 7.15(a) es esencialmente la Figura 7.2(a) con una diferencia f´ısica mayor. El volumen mostrado en la Figura 7.15(a) representa un flujo fluido (como en una tuber´ıa, por ejemplo) y el calor se transporta como resultado del flujo. El flujo de calor asociado con el transporte de masa es denotado como qm , como es indicado en la figura. El t´ermino de flujo cal´orico adicional proveniente del transporte de masa est´ a dado por qm = m ˙ cT (7.49) el cual se lo mide en Watt (W) ´ o Btu/hr; y donde m ˙ es el flujo m´asico (kg/hr ´o slug/hr), c es el calor espec´ıfico del fluido (W-hr/kg-◦ C) ´ o Btu/(slug-◦ F), y T (x) es la temperatura del fluido (◦ C ´o ◦ F). Un volumen de control de longitud dx se muestra en la Figura 7.15(b), donde los t´erminos de flujo han sido expresados como dos t´erminos de la expansi´on en serie de Taylor, como en deducciones anteriores. Aplicando el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, en analog´ıa con la Ecuaci´on (7.1), dqx qx A dt + qm dt + Q A dx dt =∆U + qx + dx A dt dx dqm + qm + dx dt + qh P dx dt dx Considerando condiciones de estado estacionario, ∆U = 0, usando las Ecuaciones (5.45) y (7.2), reemplazando y simplificando obtenemos d dT dqm hP kx +q = + (T − Ta ) dx dx dx A
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
236
donde todos los t´erminos y´ a fueron definidos previamente. Sustituyendo qm desde la Ecuaci´on (7.49), obtenemos d dT d mc ˙ hP kx +q = T + (T − Ta ) dx dx dx A A la cual, para propiedades materiales constantes y flujo m´asico constante (estado estacionario) se convierte en mc ˙ dT d2 T hP kx 2 + Q = + (T − Ta ) (7.50) dx A dx A Con la excepci´ on del t´ermino de transporte de masa, la Ecuaci´on (7.50) es id´entica a la Ecuaci´on (7.4). Por consiguiente, si nosotros aplicamos el m´etodo de elemento finito de Galerkin, el procedimiento y los resultados son id´enticos a aqu´ellos de la Secci´on 7.3, excepto por t´erminos adicionales en la matriz de rigidez que provienen del transporte de masa. En lugar de repetir la deducci´on de t´erminos conocidos, desarrollaremos s´ olo los t´erminos adicionales. Si la Ecuaci´on (7.50) es substituida en las ecuaciones residuales para el elemento lineal de dos–nodos, seg´ un la Ecuaci´on (7.6), los t´erminos adicionales son Zx2 dT Ni dx i = 1, 2 (7.51) m ˙ c dx x1
Si substituimos la expresi´ on para el campo de temperaturas como indica la Ecuaci´on (7.5), la relaci´on anterior se convierte a Zx2 dN1 dN2 m ˙ c T1 + T2 Ni dx i = 1, 2 dx dx x1
Por consiguiente, la matriz de rigidez adicional que es resultado del transporte de masa es dN Zx2 N1 1 dx [ km˙ ] = m ˙ c dN1 N2 x1 dx
dN2 dx dx dN2 N2 dx N1
(7.52)
Ejemplo 7.8. Evaluar expl´ıcitamente la matriz de rigidez asociada al transporte de masa para un elemento lineal con dos–nodos en sus extremos, descrita por la Ecuaci´on (7.52). > Soluci´ on Las funciones de interpolaci´ on en este caso son N1 = 1 −
x L
N2 =
x L
de donde, las derivadas requeridas resultan dN1 1 =− dx L
dN2 1 = dx L
Utilizando el cambio de variable s = x/L, la Ecuaci´on (7.52) se transforma en m ˙ c [ km˙ ] = L
Z1 (s − 1) −s 0
" −1 (1 − s) 2 L ds = m ˙ c −1 s 2
1 2 1 2
# =
m ˙ c −1 2 −1
1 1
Por el resultado obtenido, notamos que la matriz no es sim´etrica como talvez se esperaba.
>
7.5. TRANSFERENCIA DE CALOR CON TRANSPORTE DE MASA
237
Usando el resultado del Ejemplo 7.8, la matriz de rigidez para un elemento uni–dimensional de transmisi´ on de calor con conducci´ on, convecci´on, y transporte de masa est´a dada por (e) kx A 1 −1 hP L 2 1 m ˙ c −1 1 k = + + 1 2 L −1 1 6 2 −1 1 (7.53) (e) (e) (e) = [ kc ] + [ kh ] + [ km˙ ] donde los t´erminos de conducci´ on y convecci´on son id´enticos a aqu´ellos obtenidos en la Ecuaci´on (7.13). Note usted que las funciones impelentes y las condiciones de borde para el problema uni–dimensional con transporte de masa son las mismas que aquellas dadas en la Secci´on 7.3, por las Ecuaciones (7.14) hasta (7.17). Ejemplo 7.9. La Figura 7.16(a) muestra un tubo de pared delgada que es parte de un refrigerador de aceite. El aceite del artefacto entra al tubo por su extremo izquierdo a una temperatura de 50◦ C con una tasa de flujo de 0,2 kg/min. El tubo est´ a rodeado por aire que fluye a una temperatura constante de 15◦ C. Las propiedades t´ermicas del aceite son como sigue: ◦
Conductividad t´ermica: kx = 0,156 W/(m- C) ◦ Calor espec´ıfico: c = 0,523 W-hr/(kg- C) El coeficiente de convecci´ on entre la superficie externa del tubo y el aire circundante es h = 300 W/(m2 -◦ C). El espesor de pared del tubo es tal que los efectos de conducci´on son despreciables; es decir, la temperatura de la pared es constante a trav´es de su espesor y es la misma que la temperatura del aceite en o con la pared en cualquier posici´on a lo largo de la longitud del tubo. Usando cuatro elementos finitos de dos–nodos, obtenga una soluci´on aproximada para la distribuci´on de la temperatura a lo largo de la longitud del tubo y determine la cantidad de calor removida mediante el proceso de convecci´ on. Aire, 15° C T = 50° C
20 mm
• m
• m 1
100 cm
(a) Esquema de planteamiento y datos
3
2 1
2
4 3
5 4
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 7.16: Tubo refrigerante de aceite para el Ejemplo 7.9 > Soluci´ on El modelo de elemento finito se muestra esquem´aticamente en la Figura 7.16(b), usando elementos de igual longitud L = 25 cm = 0,025 m. El ´area de secci´on transversal es A = (π/4)(20/1000)2 = 3,14(10−4 ) m2 . Y la dimensi´ on perif´erica (la circunferencia) de cada elemento es P = (20/1000) = 6,28(10−2 ) m. La matriz de rigidez para cada elemento (note que todos los elementos son id´enticos) se calcula mediante la Ecuaci´ on (7.53) como sigue: kx A 1 −1 0,156(3,14)(10−4 ) 1 −1 1,9594 −1,9594 (e) [ kc ] = = = (10−3 ) −1 1 −1,9594 1,9594 L −1 1 0,025 [ kh(e) ] =
hP L 2 1 6
300(6,28)(10−2 )(0,025) 2 1 = 2 1 6
1 0,157 = 2 0,0785
0,0785 0,157
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
238
(e)
[ km˙
m ˙ c −1 ]= 2 −1
(0,2)(60)(0,523) −1 1 = 1 −1 2
(e) [ k (e) ] = [ kc(e) ] + [ kh(e) ] + [ km ˙ ]=
1 −3,138 3,138 = 1 −3,138 3,138
−2,9810 3,2165 −3,0595 3,2950
En este punto, debemos notar que los efectos de transporte de masa dominan la matriz de rigidez y nosotros anticipamos que el calor disipado es muy peque˜ no, ya que la mayor´ıa del calor se lleva lejos con el flujo. Tambi´en observe que, debido a las magnitudes relativas de los datos, los efectos de la conducci´on han sido despreciados. Ensamblando la matriz de rigidez global mediante el procedimiento familiar, obtenemos −2,9810 3,2165 0 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 [K ] = 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 0 −3,0595 3,2950 La funci´on impelente de convecci´ on (disipaci´on de calor al medio circundante) para cada elemento por la Ecuaci´ on (7.16), es (e)
{fh
h P Ta L }= 2
300(6,28)(10−2 )(15)(0,025) 1 1 3,5325 = = 1 1 3,5325 2
Como no existe ninguna generaci´ on de calor interior, la contribuci´on por elemento de la Ecuaci´on (7.14) es cero. Finalmente, debemos examinar las condiciones de borde. En el nodo 1, la temperatura est´a especificada, pero el flujo de calor q1 = F1 es desconocido; en el nodo 5 (la salida), el flujo cal´orico tambi´en es desconocido. Al contrario de los ejemplos anteriores donde una condici´on de borde de convecci´ on exist´ıa; aqu´ı, asumimos que el calor removido en el nodo 5 es estrictamente un resultado del transporte de masa. F´ısicamente, esto significa que definimos el problema de modo que la transferencia de calor termine en el nodo 5 y el calor remanente en el flujo en este nodo (la salida) se retira mediante alg´ un otro proceso. Por consiguiente, no consideramos una condici´on de borde de conducci´on o convecci´ on en el nodo 5. En cambio, entonces calculamos la temperatura en el nodo 5 luego que el calor se ha removido en este nodo mediante la relaci´on de transporte de masa. En t´erminos del modelo de elemento finito, esto significa que no consideramos el flujo de calor a trav´es del nodo 5 como una inc´ ognita (fuerza de reacci´ on). Con esta explicaci´on en mente, ensamblamos el vector de fuerza global desde los vectores de fuerza de elemento para obtener 3,5325 + F1 7,065 7,065 {F } = 7,065 3,5325 Las ecuaciones del sistema ensambladas, representadas por la ecuaci´on matricial condensada gobernante del fen´ omeno de transmi´ on de calor, [ K ]{T } = {F }, resultan ser entonces −2,9801 3,2165 0 0 0 T1 3,5325 + F1 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 T2 7,065 T3 = 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 7,065 T4 7,065 0 0 −3,0595 0,314 3,2165 0 0 0 −3,0595 3,2950 T5 3,5325
´ DE CALOR TRI–DIMENSIONAL 7.6. TRANSMISION
239
Aplicando la condici´ on de borde de temperatura conocida en el nodo 1, T1 = 50◦ C, el sistema de ecuaciones reducido resulta ser 0,314 3,2165 0 0 T2 160,04 −3,0595 0,314 3,2165 0 T3 = 7,065 0 −3,0595 0,314 3,2165 T4 7,065 0 0 −3,0595 3,2950 T5 3,5325 que d´a la siguiente soluci´ on para las temperaturas nodales T2 47,448 T3 45,124 ◦ = C T4 42,923 T5 40,928 Como se ha visto que los efectos de conducci´on son despreciables, el flujo cal´orico a la entrada se calcula como qent = qm˙ 1 = m ˙ c T1 = 0,2(60)(0,523)(50) = 3138 W mientras, que en el nodo 5, el flujo cal´orico a la salida se eval´ ua como qsal = qm˙ 5 = m ˙ c T5 = 0,2(60)(0,523)(40,928) = 2568,6 W Los resultados muestran que s´ olo aproximadamente el 18 por ciento de calor de entrada es removido, por lo que el tubo refrigerante no es muy eficiente. >
7.6.
Transmisi´ on de calor tri–dimensional
Como el procedimiento general para el an´alisis del fen´omeno de intercambio de calor se ha establecido previamente, la ecuaci´ on gobernante para la transferencia de calor en tres dimensiones no se deduce en detalle aqu´ı. En cambio, simplemente presentamos la ecuaci´on gobernante en estado–estacionario como ∂ ∂ ∂T ∂T ∂T ∂ kx + ky + kz +Q=0 (7.54) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z y, notamos que solamente inclu´ımos los efectos de conducci´on y la presencia de una fuente cal´orica interna. En el caso tri–dimensional, los efectos de convecci´on se tratan m´as eficazmente como condiciones de borde l´ımite, como se discute m´ as adelante. El dominio para el cual la Ecuaci´on (7.54) se aplica, est´a representada por una malla de elementos finitos en la que la distribuci´ on de temperatura es discretizada como T (x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z)Ti = [ N ]{T }
(7.55)
i=1
donde M es el n´ umero de nodos por elemento. La aplicaci´on del m´etodo de Galerkin a la ecuaci´on (7.54) proporciona M ecuaciones residuales: ZZZ ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T kx + ky + kz + Q Ni dV = 0 i = 1, . . . , M (7.56) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V
donde, como es usual, V es el volumen del elemento.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
240
De una manera an´ aloga a la presentada en la Secci´on 7.4 para el caso bi–dimensional, los t´erminos derivados pueden escribirse como ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂Ni kx Ni = kx Ni − kx ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂Ni ky Ni = ky Ni − ky (7.57) ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ∂Ni kz Ni = kz Ni − kz ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z y las ecuaciones residuales llegan a ser ZZZ ZZZ ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T kx Ni + ky Ni + kz Ni dV + Q Ni dV ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V V ZZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni = kx + ky + kz dV i = 1, . . . , M ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(7.58)
V
La integral en el lado izquierdo de la Ecuaci´on (7.58) contiene una diferencial exacta en el dominio tri–dimensional especificado, y puede reemplazarse por una integral sobre la superficie l´ımite de dicho volumen usando el teorema de Green en tres dimensiones: Si F (x, y, z), G(x, y, z), y H(x, y, z) son funciones cont´ınuas definidas en una regi´on del espacio xyz (el volumen del elemento en nuestro contexto), entonces ZZZ ZZ ∂F ∂G ∂H + + dV = (F nx + G ny + H nz ) dA (7.59) ∂x ∂y ∂z V
A
donde A es el ´ area de la superficie cerrada limitante del volumen V considerado, y nx ny nz son las componentes Cartesianas del vector normal unitario saliente asociado con el ´area diferencial perteneciente a la superficie cerrada. Este teorema es la contraparte tri–dimensional de la integraci´on por partes discutida previamente en este cap´ıtulo. Invocando la ley de Fourier y comparando la Ecuaci´on (7.59) con el primer t´ermino de la Ecuaci´on (7.58), tenemos ZZ ZZZ − (qx nx + qy ny + qz nz )Ni dA + Q Ni dV A
V
ZZZ =
∂T ∂Ni ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni kx + ky + kz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(7.60)
dV
i = 1, . . . , M
V
Insertando la forma matricial de la Ecuaci´ on (7.55) y reordenando, obtenemos ZZZ ∂[ N ] ∂Ni ∂[ N ] ∂Ni ∂[ N ] ∂Ni kx + ky + kz {T }dV ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V ZZZ ZZ = Q Ni dV − (qx nx + qy ny + qz nz )Ni dA i = 1, . . . , M V
(7.61)
A
La Ecuaci´ on (7.61) representa un sistema de M ecuaciones algebr´aicas en las M temperaturas nodales {T } desconocidas. Con la excepci´on que los efectos de convecci´on no son incluidos aqu´ı, la
´ DE CALOR TRI–DIMENSIONAL 7.6. TRANSMISION
241
Ecuaci´ on (7.61) es an´ aloga al caso bi–dimensional representado por la Ecuaci´on (7.26). En notaci´on matricial, el sistema de ecuaciones para la formulaci´on tri–dimensional es ZZZ ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] kx + ky + kz dV {T } ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V ZZZ ZZ (7.62) T T = Q [ N ] dV − (qx nx + qy ny + qz nz )[ N ] dA V
A
y, ´esta ecuaci´ on est´ a en la forma deseada [ k (e) ]{T (e) } = {fQ(e) } + {fq(e) }
(7.62a)
Comparando las u ´ltimas dos ecuaciones, podemos ver que la matriz de conductancia (rigidez) de elemento resulta ser ZZZ ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + ky + kz dV (7.63) [ k (e) ] = kx ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z V
el vector impelente cal´ orico que representa la generaci´on de calor interno vemos que es ZZZ {fQ(e) } = Q [ N ]T dV
(7.64)
V
y el vector impelente nodal asociado con el flujo de calor a trav´es de la superficie limitante del elemento evidentemente resulta ser ZZ {fq(e) } = − (qx nx + qy ny + qz nz )[ N ]T dA (7.65) A
Estas u ´ltimas tres ecuaciones son v´alidas para cualquier tipo de elemento tri–dimensional que sea utilizado en el modelo de elemento finito que sea postulado para obtener una soluci´on aproximada al problema de transferencia de calor en un dominio tri–dimensional (espacial).
7.6.1.
Ensamble del sistema y condiciones de borde
El procedimiento para ensamblar las ecuaciones globales para un modelo tri–dimensional en el an´alisis de transferencia de calor es id´entico al de los problemas uni y bi–dimensionales. Se selecciona el tipo de elemento (tetrah´edrico, ladrillo, s´olido cuadril´atero, por ejemplo) basado en las consideraciones geom´etricas, principalmente. El volumen es entonces dividido en una malla de elementos definiendo primero los nodos (en el sistema coordenado global) a lo largo del volumen, entonces cada elemento por la sucesi´ on y el n´ umero de nodos requeridos para cada tipo del elemento. Las relaciones de correspondencia nodal de sistema coordenado local–hacia–global son entonces determinadas para cada elemento, y la matriz de rigidez (conductancia) global se ensambla. Similarmente, el vector de fuerza (impulsi´on cal´orica) global se ensambla agregando las contribuciones del elemento a los nodos comunes de dos o m´as elementos interconectados. El u ´ltimo procedimiento es directo en el caso de generaci´on de calor interior, como se expresa por la Ecuaci´on (7.64). Sin embargo, en el caso de los t´erminos gradiente de elemento, expresados por la Ecuaci´on (7.65), el procedimiento se describe mejor en t´erminos de las condiciones de borde globales. En el caso de transferencia de calor tri–dimensional, tenemos los mismos tres tipos de condiciones del borde l´ımite como en dos dimensiones: (1) temperaturas especificadas, (2) flujo de calor especificado, y (3) condiciones de convecci´ on. El primer caso, de temperaturas predeterminadas, se tiene en
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
242 y
z
1
qx
2
qx 2
x (a) Dos elementos tri–dimensionales conectados
›
›
1 n1 = (1, 0, 0) n2 = (–1, 0, 0)
x
(b) Vista lateral de la cara com´ un
Figura 7.17: Cancelaci´ on de t´erminos gradiente en conducci´on de calor.
cuenta de la manera usual; reduciendo el sistema de ecuaciones simplemente sustituyendo las temperaturas nodales conocidas en el sistema de ecuaciones gobernantes del fen´omeno. Los u ´ltimos dos casos involucran s´ olo elementos que tienen superficies (caras del elemento) pertenecientes a la superficie exterior l´ımite del volumen global. Para ilustrar esto, la Figura 7.17(a) muestra dos elementos del tipo ladrillo que comparten una cara com´ un en un modelo de elemento finito y´a ensamblado. Por conveniencia, tomamos la cara com´ un de modo que sea perpendicular al eje x. En la Figura 7.17(b), los dos elementos se muestran separadamente con las componentes del vector normal unitario identificado con la cara compartida. Para transmisi´ on de calor de estado–estacionario, el flujo de calor a trav´es de la cara en an´alisis es el mismo para cada elemento y, puesto que los vectores unitarios normales est´an opuestos en sentido, los t´erminos de gradiente de fuerza se cancelan al superponerse. El resultado es completamente an´ alogo al de las fuerzas internas en un problema estructural, por la tercera ley de Newton, o principio de acci´ on–reacci´ on. Por consiguiente, en los l´ımites de inter–elemento (que son ´areas para los elementos tri–dimensionales), los t´erminos de impulsi´on cal´orica de elemento definidos por la Ecuaci´ on (7.65) producen suma de valor cero en el proceso de ensamblaje global. Cu´al de las ´ areas de superficie de elemento que son parte del ´area de la superficie limitante del volumen bajo estudio deben modelarse del modo discutido previamente ?. Generalmente, estas ´areas externas est´an sujetas a condiciones de convecci´on. Para dichas condiciones de borde convectivas, las condiciones de flujo de la Ecuaci´ on (7.65) deben estar en equilibrio con la convecci´on desde el ´area de inter´es. Matem´ aticamente, la condici´ on se expresa como ZZ ZZ (e) T {fq } = − (qx nx + qy ny + qz nz )[ N ] dA = − qn n ˆ [ N ]T dA A
ZZ = − h(T (e) − Ta )[ N ]T dA
A
(7.66)
A
donde qn es el flujo normal al ´ area de la superficie A de una cara espec´ıfica del elemento sobre el borde l´ımite global y n ˆ es el vector normal unitario exterior a esa cara. Como en el an´alisis bi–dimensional, el t´ermino de convecci´ on en la integral u ´ltima de la Ecuaci´on (7.66) se agrega a la matriz de rigidez cuando se sustituye la expresi´ on para T (e) en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y las temperaturas nodales. Similarmente, los t´erminos de temperatura ambiente se agregan al vector de la funci´on cal´orica impelente. En la mayor´ıa de los paquetes comerciales de software de elemento finito, los elementos tri– dimensionales de transmisi´ on de calor disponibles no consideran el vector gradiente de fuerza representado por la Ecuaci´ on (7.66). En lugar de ello, tales programas calculan la matriz de rigidez (global) del sistema s´olo en base a la conductancia, y dejan al que especifique el flujo o las condiciones
´ DE CALOR CON SIMETR´IA AXIAL 7.7. TRANSMISION
243
de borde convectivas (y las condiciones de temperatura especificada, por supuesto) como parte de los datos de carga (entrada). Debido al volumen algebr´ aico de c´alculo requirido, no se presentan aqu´ı ejemplos de transferencia de calor tri–dimensional general. Algunos problemas tri–dimensionales son incluidos en los ejercicios de fin–de–cap´ıtulo, y se piensa que los mismos deben ser resueltos por t´ecnicas de alg´ un programa espec´ıfico de computadora digital que trate modelos de elemento finito en transferencia de calor en un ´ambito espacial.
7.7.
Transmisi´ on de calor con simetr´ıa axial
El Cap´ıtulo 6 ilustr´ o el m´etodo para utilizar elementos bi–dimensionales y funciones de interpolaci´on asociadas para los problemas de simetr´ıa axial (problemas en realidad espaciales). Aqu´ı, desarrollamos la formulaci´ on de elemento finito para resolver problemas de transmisi´on de calor con simetr´ıa axial. En la Figura 7.18 se muestra un cuerpo de revoluci´on sujeto a una entrada de calor en su base, y se asume que la entrada de calor es sim´etrica alrededor del eje de revoluci´on. Piense en la situaci´on
z r
qz
Figura 7.18: Un caso de transmisi´on de calor con simetra axial como un reservorio cil´ındrico calentado por una fuente cal´orica, como una llama de gas. Por ejemplo, esta situaci´ on podr´ıa representar un crisol peque˜ no para fundir metales antes de ser conformados por vaciado posterior en un molde apropiado. Cuando un problema con simetr´ıa axial es tridimensional, la relaci´on b´asica gobernante que describe el fen´ omeno de transmisi´ on de calor es la Ecuaci´on (7.54), reiterada aqu´ı bajo la hip´otesis de homogeneidad de las propiedades cal´oricas del cuerpo, que en este caso significa que: kx = ky = kz = k, y por ello tendremos: 2 ∂ T ∂2T ∂2T k + + +Q=0 (7.67) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 La Ecuaci´ on (7.67) es aplicable s´ olo a conducci´on de estado–estacionario y est´a expresada en coordenadas rectangulares. Para los problemas con simetr´ıa axial, el uso de un sistema coordenado cil´ındrico (r, θ, z) es mucho m´ as apropiado para formular el problema. Para convertir la ecuaci´on hacia coordenadas cil´ındricas, las derivadas parciales con respecto a x y y en la Ecuaci´on (7.67) deben ser convertidas matem´ aticamente en las correspondientes derivadas parciales con respecto a la coordenada radial r y la coordenada tangencial (circunferencial) θ. En el tratamiento siguiente, presentamos el desarrollo general, pero dejamos los detalles de deducci´on como un ejercicio de fin–de–cap´ıtulo. Las relaciones b´ asicas de transformaci´on entre las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas cil´ındricas — polares — (r, θ) son x = r cos θ (7.68) y = r sin θ
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
244
e inversamente, r2 = x2 + y 2 y tan θ = x Por la regla de la cadena de diferenciaci´on tenemos ∂T ∂r ∂T ∂T = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂T ∂T ∂r ∂T = + ∂y ∂r ∂y ∂θ
(7.69)
∂θ ∂x ∂θ ∂y
(7.70)
Por diferenciaci´ on impl´ıcita de la Ecuaci´ on (7.69), 2r
∂r = 2x ∂x
⇒
∂r x = = cos θ ∂x r
2r
∂r = 2y ∂y
⇒
∂r y = = sin θ ∂y r
1 ∂θ y =− 2 sec2 θ ∂x x
⇒
sin θ ∂θ =− ∂x r
1 ∂θ 1 = 2 sec θ ∂y x
⇒
∂θ cos θ = ∂y r
de modo que las Ecuaciones (7.70) llegan a ser ∂T ∂T sin θ = cos θ − ∂x ∂r r ∂T cos θ ∂T = sin θ + ∂y ∂r r
∂T ∂θ ∂T ∂θ
Para las segundas derivadas parciales, entonces tendremos ∂ ∂T ∂2T ∂ ∂T sin θ ∂ ∂T = = cos θ − ∂x2 ∂x ∂x ∂r ∂x r ∂θ ∂x 2 ∂ T ∂ ∂T ∂ ∂T cos θ ∂ ∂T = = sin θ + ∂y 2 ∂y ∂y ∂r ∂y r ∂θ ∂y
(7.71)
(7.72)
Aplicando las Ecuaciones (7.71) a las operaciones indicadas en las Ecuaciones (7.72) d´a como resultado (con uso apropiado de identidades trigonom´etricas) ∂2T ∂2T ∂2T 1 ∂T 1 ∂T + = + + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂r2 r ∂r r ∂θ2
(7.73)
donde la derivaci´ on representa un cambio general de coordenadas. Para relacionar a un problema con simetr´ıa axial, recordemos que no hay dependencia del fen´omeno en estudio con relaci´on a la coordenada tangencial θ. Por consiguiente, cuando las Ecuaciones (7.67) y (7.73) son combinadas, la ecuaci´on gobernante para la transmisi´ on de calor con simetr´ıa axial es 2 ∂ T 1 ∂T ∂2T k + + +Q=0 (7.74) ∂r2 r ∂r ∂z 2 y, por supuesto, notamos con claridad la ausencia de la coordenada tangencial.
´ DE CALOR CON SIMETR´IA AXIAL 7.7. TRANSMISION
7.7.1.
245
Formulaci´ on de elemento finito
Por el procedimiento general, el volumen total del dominio con simetr´ıa axial es discretizado en elementos finitos. En cada elemento, la distribuci´on de temperatura es expresada en t´erminos de las temperaturas nodales y las funciones de interpolaci´on como T
(e)
=
M X
Ni (r, z)Ti(e)
(7.75)
i=1
donde, como es usual, M es el n´ umero de nodos de elemento. Note particularmente que las funciones de interpolaci´ on var´ıan con la coordenada radial r y la coordenada axial z. La aplicaci´on del m´etodo de Galerkin usando las Ecuaciones (7.74) y (7.75) proporciona las ecuaciones residuales ZZZ 2 1 ∂T ∂ T ∂2T + + Q Ni r dr dθ dz = 0 k + ∂r2 r ∂r ∂z 2
i = 1, . . . , M
(7.76)
V
Observando que, para el caso de simetr´ıa axial, el integrando es independiente de la coordenada tangencial, la Ecuaci´ on (7.76) se convierte en ZZ 2 ∂ T 1 ∂T ∂2T 2π k + + + Q Ni r dr dz = 0 ∂r2 r ∂r ∂z 2
i = 1, . . . , M
A(e)
donde A(e) es el ´ area del elemento en el plano r–z. Los primeros dos t´erminos del integrando pueden ser combinados para obtener ZZ 1 ∂ ∂T ∂2T 2π k r + + Q Ni r dr dz = 0 r ∂r ∂r ∂z 2
i = 1, . . . , M
A(e)
Observando que r es independiente de z, la u ´ltima ecuaci´on podr´ıa escribirse como ZZ ∂ ∂T ∂ ∂T 2π k r + r + Q r Ni dr dz = 0 ∂r ∂r ∂z ∂z
i = 1, . . . , M
(7.77)
A(e)
Como en previos desarrollos, invocamos la regla de la cadena de diferenciaci´on como, por ejemplo, ∂T ∂ r Ni = Ni r ∂r ∂r ∂ ∂T ∂ Ni r = r Ni ∂r ∂r ∂r ∂ ∂r
⇒
∂T ∂r
∂T ∂r
+r
∂T ∂Ni ∂r ∂r
−r
∂T ∂Ni ∂r ∂r
Notando que ´esta u ´ltima ecuaci´ on es tambi´en aplicable a la variable z, las relaciones residuales representadas por la Ecuaci´ on (7.77) pueden ser escritas como ZZ 2π A(e)
ZZ ∂T ∂ ∂T r Ni + r Ni dr dz + 2π Q Ni r dr dz ∂r ∂z ∂z A(e) ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni = 2π k + r dr dz i = 1, . . . , M ∂r ∂r ∂z ∂z
∂ k ∂r
A(e)
(7.78)
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
246
El primer integrando en el lado izquierdo de la Ecuaci´on (7.78) es una diferencial exacta en dos dimensiones, y el teorema de Green–Gauss puede ser aplicado para obtener I ZZ ∂T ∂T 2π k nr + k nz r Ni dS + 2π Q Ni r dr dz ∂r ∂z (e) (e) S A (7.79) ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni + r dr dz i = 1, . . . , M = 2π k ∂r ∂r ∂z ∂z A(e)
donde S es el borde l´ımite (periferia) del elemento, y nr , nz son las componentes radial y axial del vector normal unitario saliente asociado con el borde perif´erico. Aplicando la ley de Fourier en coodenadas cil´ındricas ∂T ∂T qz = −k (7.80) qr = −k ∂r ∂z y, notando la analog´ıa con la Ecuaci´ on (7.25), re–escribimos la Ecuaci´on (7.79) como ZZ ∂T ∂Ni ∂T ∂Ni + 2πk r dr dz ∂r ∂r ∂z ∂z (e) A ZZ I (7.81) = 2π Q Ni r dr dz − 2π qs ns Ni r dS i = 1, . . . , M A(e)
S (e)
El t´ermino com´ un 2π podr´ıa omitirse, pero lo dejamos como un recordatorio de la naturaleza tridimensional de un problema con simetr´ıa axial. En particular, note que este t´ermino, en conjunci´on con r en el integrando de la u ´ltima integral en el lado derecho de la Ecuaci´on (7.81), refuerza el hecho que los l´ımites del elemento son realmente superficies de revoluci´on. Notando que la Ecuaci´ on (7.81) representa realmente a un sistema de M ecuaciones, las mismas podr´ıan ser escritas en forma matricial comp´acta como [ k (e) ]{T (e) } = {fQ(e) } + {fg(e) }
(7.82)
donde [ k (e) ] es la matriz de conductancia de elemento, que tiene coeficientes individuales definidos como ZZ ∂Ni ∂Nj ∂Ni ∂Nj kij = 2πk + r dr dz i, j = 1, . . . , M (7.83) ∂r ∂r ∂z ∂z A(e)
y {T } es la matriz columna (vector) de temperaturas nodales de elemento, por la Ecuaci´on (7.75). Las funciones impelentes cal´ oricas de elemento incluyen los t´erminos asociados con la generaci´on interna de calor, dados por ZZ (e)
{fQ(e) } = 2π
Q {N } r dr dz
(7.84)
A(e)
y las componentes de gradiente de borde (flujo cal´orico) I (e) {fg } = −2π qs ns {N } r dS
(7.85)
S (e)
Como se ha discutido para otros casos, sobre los bordes l´ımites comunes a dos elementos interconectados, los t´erminos de flujo se auto–cancelan en el procedimiento de ensamble del modelo. Por consiguiente, la Ecuaci´ on (7.85) es aplicable s´olamente a los l´ımites del elemento ubicados sobre una superficie libre. Para dichas superficies, las condiciones de borde son de uno de los tres tipos delineados antes en secciones previas: temperatura especificada, flujo de calor especificado, o condiciones de convecci´on.
´ DE CALOR CON SIMETR´IA AXIAL 7.7. TRANSMISION
247
Ejemplo 7.10. Calcule los coeficientes de la matriz de conductancia para un elemento con simetr´ıa axial basado en el elemento triangular plano de tres–nodos ubicados en sus v´ertices. > Soluci´ on El elemento y las coordenadas nodales son como se muestra en la Figura 7.19 (recuerde que el elemento es en realidad un cuerpo de revoluci´ on). De la discusi´on efectuada en el Cap´ıtulo 6, si vamos a deducir las funciones de interpolaci´ on desde los principios b´asicos, primero expresamos la variaci´on de temperatura en los puntos del elemento como T (r, z) = a0 + a1 r + a2 z = N1 (r, z)T1 + N2 (r, z)T2 + N3 (r, z)T3 aplique las condiciones nodales, y resuelva para las constantes. Reordenando los resultados en t´erminos
z 3
(r3 , z3)
2
(r2 , z2)
1 (r , z ) 1
1
r Figura 7.19: Secci´on transversal de elemento con simetr´ıa axial. de las temperaturas nodales entonces se revelan las funciones de interpolaci´on. Sin embargo, los resultados son exactamente iguales que aqu´ellos del Cap´ıtulo 6, si nosotros reemplazamos x y y simplemente con r y z; as´ı que las funciones de interpolaci´on son de la forma 1 (b1 + c1 r + d1 z) 2A(e) 1 (b2 + c2 r + d2 z) N2 (r, z) = 2A(e) 1 N3 (r, z) = (b3 + c3 r + d3 z) 2A(e) N1 (r, z) =
donde
b 1 = r 2 z3 − r 3 z2 c1 = z2 − z3 d 1 = r3 − r1
b 2 = r 3 z 1 − r 1 z3 c2 = z3 − z1 d 2 = r1 − r 3
b 3 = r 1 z2 − r 2 z1 c3 = z1 − z2 d 3 = r 2 − r1
y A(e) es el ´ area del elemento en el plano r-z. Puesto que las funciones de interpolaci´on son lineales, las derivadas parciales son constantes, de modo que la Ecuaci´on (7.83) queda como ZZ ∂Ni ∂Nj ∂Ni ∂Nj + r dr dz kij = 2πk ∂r ∂r ∂z ∂z A(e) ZZ πk = (ci cj + di dj ) r dr dz i, j = 1; 3 2(A(e) )2 A(e)
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
248
Recordando conceptos de mec´ anica elemental, vemos que la integral que aparece en la anterior ecuaci´on representa el primer momento de ´area del elemento alrededor del eje z, por lo que tendremos apelando a la definici´ on del centroide de un ´area plana ZZ r dr dz = r¯ A(e) A(e)
donde r¯ es la coordenada radial del centroide del elemento. Los coeficientes de la matriz de conductancia del elemento son entonces kij =
πk r¯ (ci cj + di dj ) 2(A(e) )2
i, j = 1; 3
de donde la simetr´ıa de la matriz de conductancia de elemento es completamente evidente.
7.8.
>
Transmisi´ on de calor transitoria
El tratamiento de an´ alisis de elemento finito de la transmisi´on de calor tiene, a este punto, la restricci´on de estar limitado a los casos de condiciones de estado estacionario (no–transitorio). Ninguna dependencia del tiempo es incluida en los an´alisis efectuados, cuando hemos asumido condiciones tales que un estado de r´egimen se alcanza, y las condiciones transientes no son de inter´es.Ciertamente, los efectos transitorios — dependientes del tiempo — son a menudo efectos bastante importantes, y dichos efectos determinan cuando se logra un estado estacionario y que tipo de estado ser´a ´este. Para ilustrar la transferencia de calor dependiente del tiempo en el contexto de an´alisis de elemento finito, discutimos aqu´ı el caso uni–dimensional. El caso de conducci´on uni–dimensional sin convecci´on se detalla en el Cap´ıtulo 5. La ecuaci´ on gobernante, por la consideraci´on de balance de energ´ıa en un volumen de control, Ecuaci´ on (5.48), es ∂T qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx + dx A dt (7.86) ∂x donde la distribuci´ on de temperatura T (x, t) es asumida ahora que es dependiente de ambas variables: la posici´on y el tiempo. M´ as a´ un, el cambio en la energ´ıa interna U no es cero. M´as bien, el incremento en la energ´ıa interna durante un intervalo de tiempo peque˜ no se describe por la Ecuaci´on (5.50), y la ecuaci´on diferencial que gobierna la distribuci´on de temperatura, Ecuaci´on (5.51), es ahora kx
∂T ∂2T + Q = cρ ∂x2 ∂t
(7.87)
donde c es el calor espec´ıfico del material y ρ su densidad; mientras que t denota a la variable tiempo. Para la conducci´ on dependiente del tiempo, la ecuaci´on gobernante es una ecuaci´on diferencial parcial de segundo–orden con coeficientes constantes. La aplicaci´ on del m´etodo de elemento finito para la soluci´on de la Ecuaci´on (7.87) procede dividiendo el dominio del problema en elementos de longitud finita, uni–dimensionales, y discretizando la distribuci´on de temperatura dentro de cada elemento como T (x, t) = N1 (x, t) T1 (t) + N2 (x, t) T2 (t) = [ N (x) ]{T (t)}
(7.88)
la cual es la misma que la Ecuaci´ on (5.53) con la notable excepci´on que las temperaturas nodales son funciones del tiempo. Apliquemos ahora el m´etodo de elemento finito de Galerkin a la Ecuaci´on (7.87) para obtener las ecuaciones residuales Zx2 x1
∂T ∂2T kx 2 + Q − c ρ ∂x ∂t
Ni (x) A dx
i = 1, 2
(7.89)
´ DE CALOR TRANSITORIA 7.8. TRANSMISION
249
Notando que ∂2T ∂ Ni 2 = ∂x ∂x
∂T Ni ∂x
−
∂Ni ∂T ∂x ∂x
las ecuaciones residuales pueden ser re–ordenadas y expresadas como Zx2
∂Ni ∂T kx A dx + ∂x ∂x
x1
Zx2 cρ
∂T Ni A dx ∂t
Zx2
x1
Zx2 Q Ni A dx +
=
(7.90) ∂ kx ∂x
∂T Ni ∂x
A dx
i = 1, 2
x1
x1
Comparando la Ecuaci´ on (7.90) a las Ecuaciones (5.56), observamos que la primera integral en la izquierda incluye la matriz de conductancia, la primera integral en la derecha es la funci´on impelente asociada con la generaci´ on de calor interior, y la segunda integral en la derecha representa a las condiciones l´ımite de gradiente. Utilizando la Ecuaci´on (7.88), la Ecuaci´on (7.90) puede escribirse en forma matricial detallada como Zx2 N1 N1 cρA N2
N2
T˙ dx ˙1 T2
x1
Zx2 " dN1 # dx dN2 dx
+ kx A x1
(7.91) dN
1
dx
dN2 dx
T1 dx = {fQ } + {fg } T2
donde por convenci´ on matem´ atica el operador de derivaci´on temporal se especifica con un punto encima d la variable de inter´es ( dt { } ≡ {˙}). Note usted que las derivadas de las funciones de interpolaci´on se han expresado ahora como derivadas ordinarias, como es apropiado en este caso. La Ecuaci´on (7.91) se expresa m´ as a menudo como [ C (e) ]{T˙ (e) } + [ k (e) ]{T (e) } = {fQ(e) } + {fg(e) }
(7.92)
donde [ C (e) ] es la matriz de capacitancia de elemento, definida por [ C (e) ] = c ρ A
Zx2 N1 N1 N2 x1
N2 dx = c ρ A
Zx2 [ N ]T [ N ] dx
(7.93)
x1
y, como se implica por el nombre, indica la capacidad del elemento para el almacenamiento de calor. La matriz de capacitancia definida por la Ecuaci´on (7.93) es conocida como la matriz de capacitancia consistente. La matriz de capacitancia consistente se llama as´ı porque se formula sobre la base de las mismas funciones de interpolaci´ on usadas para describir la distribuci´on espacial de temperatura. En nuestra deducci´ on, usando el m´etodo de Galerkin, la matriz consistente es un resultado natural del procedimiento matem´ atico. Una deducci´on alternativa produce una matriz de capacitancia llamada de par´ ametros concentrados. Considerando que la matriz consistente distribuye la capacitancia a lo largo del elemento en virtud de las funciones de interpolaci´on que utiliza; la matriz de capacitancia de par´ametros concentrados atribuye la capacidad de almacenamiento estrictamente a los nodos independiente y exclusivamente. La diferencia entre las dos concepciones se discutir´a aqu´ı en t´erminos de la transferencia de calor y, con m´ as detalle en el Cap´ıtulo 10, en el contexto de la din´amica estructural. El procedimiento de ensamble del modelo para un problema de transmisi´on de calor transiente es exactamente igual que para un problema de estado–estacionario, con la excepci´on notable que tambi´en debemos ensamblar una matriz de capacitancia global. Las reglas son las mismas. Los nodos
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
250
de elemento se asignan a los nodos globales mediante relaciones de correspondencia, y los coeficientes de la matriz de capacitancia de elemento son a˜ nadidos a las posiciones globales apropiadas en la matriz de capacitancia de todo el sistema; ex´ actamente como con los coeficientes de la matriz de conductancia. De aqu´ı, por el ensamble del sistema, obtenemos el sistema de ecuaciones globales [ C ]{T˙ } + [ K ]{T } = {FQ } + {Fg }
(7.94)
donde debemos recordar que el vector fuerza de gradiente {Fg } est´a compuesto de: (1) los valores de flujo de calor desconocidos a ser determinados (las reacciones desconocidas) ´o (2) los t´erminos de convecci´on a ser equilibrados con el flujo en un nodo del borde l´ımite.
7.8.1.
M´ etodos de diferencias finitas para respuesta transiente: Condiciones iniciales
El procedimiento de discretizaci´ on de elemento finito ha reducido el problema uni–dimensional de transmisi´on de calor transiente a t´erminos algebr´aicos en la variable espacial mediante las funciones de interpolaci´on. Todav´ıa la Ecuaci´ on (7.94) representa una serie de ecuaciones diferenciales en el tiempo, acopladas, de primer–orden. Por consiguiente, a diferencia del caso de estado–estacionario, no hay una soluci´on dir´ecta y cerrada; sino m´ ultiples soluciones como el sistema responde a las condiciones dependientes del tiempo. Las condiciones de borde l´ımite para un problema transitorio son de los tres tipos discutidos para el caso de estado–estacionario: temperaturas nodales especificadas, flujo de calor especificado, o condiciones de convecci´on. Sin embargo, notemos que las condiciones de borde tambi´en pueden ser dependientes del tiempo. Por ejemplo, una temperatura nodal especificada podr´ıa incrementarse linealmente con el tiempo a algunos valores especificados finales. En adici´on, una fuente de generaci´on de calor interior Q podr´ıa tambi´en variar con el tiempo. Una aproximaci´ on normalmente usada para obtener las soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias en forma de la Ecuaci´ on (7.94) es el m´etodo de diferencias finitas. Como fu´e discutido brevemente en el Cap´ıtulo 1, el m´etodo de diferencias finitas est´a basado en aproximar las derivadas de una funci´on como cambios incrementales en el valor de la funci´on correspondientes a los cambios finitos en el valor de la variable independiente. Recuerde que la primera derivada de una funci´on variable en el tiempo f (t) se define por df f (t + ∆t) − f (t) f˙ = = l´ım dt ∆t→0 ∆t
(7.95)
en lugar de requerir que ∆t tienda a cero, obtenemos una aproximaci´on al valor de la derivada usando un valor peque˜ no, no–nulo, de ∆t para obtener f (t + ∆t) − f (t) f˙ ∼ = ∆t
(7.96)
y el valor seleccionado de ∆t es conocido como el paso de tiempo. Para aplicar el procedimiento a la transmisi´on de calor transitoria, aproximamos la derivada temporal del vector de temperaturas nodales como {T˙ } ∼ =
{T (t + ∆t)} − {T (t)} ∆t
(7.97)
Substituyendo en la Ecuaci´ on (7.94), la misma llega a ser [C ]
{T (t + ∆t)} − {T (t)} + [ K ]{T (t)} = {FQ (t)} + {Fg (t)} ∆t
(7.98)
Notemos que, si las temperaturas nodales son conocidas al instante t y las funciones impelentes se eval´ uan en el mismo momento t, la u ´ltima ecuaci´on puede resolverse, algebr´aicamente, para las
´ DE CALOR TRANSITORIA 7.8. TRANSMISION
251
temperaturas nodales al instante t + ∆t. Denotando el instante al i–´esimo paso de tiempo como ti = i(∆t), i = 0, 1, 2, . . .; obtenemos [ C ]{T (ti+1 )} = [ C ]{T (ti )} − [ K ]{T (ti )}∆t + {FQ (ti )}∆t + {Fg (ti )}∆t
(7.99)
como el sistema de ecuaciones algebr´aicas que pueden resolverse para {T (ti+1 )}. Formalmente, la soluci´on se obtiene multiplicando la Ecuaci´on (7.99) por la inversa de la matriz de capacitancia. Para matrices grandes, comunes a los modelos de elemento finito, la inversi´on de la matriz es muy ineficaz; de modo que otras t´ecnicas deben ser utilizadas como la eliminaci´on Gaussiana, por ejemplo, que se usa muy a menudo. Note, sin embargo, que el sistema de ecuaciones algebr´aicas dado por la Ecuaci´on (7.99) s´olo debe resolverse una vez para obtener una soluci´on expl´ıcita para las temperaturas nodales al tiempo ti+1 partiendo del conocimiento del comportamiento del sistema al tiempo ti . El m´etodo recientemente descrito es conocido como esquema de diferencia progresivo (tambi´en conocido como el m´etodo de Euler ) y la Ecuaci´on (7.99) es una relaci´on de recurrencia de dos–puntos. Si el estado del sistema (las temperaturas nodales y las funciones impelentes) son conocidas en un momento dado, la Ecuaci´ on (7.99) proporciona el estado al pr´oximo instante discreto (despu´es que ha transcurrido un paso de tiempo ∆t). Resolver el sistema secuencialmente en valores crecientes de la variable independiente es a menudo llamado marcha de tiempo futuro. Para comenzar el procedimiento de obtener la soluci´on, el estado del sistema debe conocerse en el instante inicial t = 0. Por consiguiente, las condiciones iniciales deben especificarse adem´as de las condiciones de borde aplicables. Recuerde que la soluci´on general de una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer–orden contiene una constante de integraci´on. Como tenemos una de tales ecuaciones correspondientes a cada temperatura nodal, el valor de esa temperatura nodal debe ser especificada al tiempo cero. Si las condiciones iniciales son bien conocidas, la relaci´on de recurrencia puede usarse para calcular efectivamente las temperaturas nodales en el transcurrir del tiempo. Antes de discutir otros esquemas de soluci´ on y las ramificaciones de la selecci´on del paso de tiempo, presentamos el siguiente ejemplo simple. Ejemplo 7.11. La Figura 7.20(a) muestra una varilla cil´ındrica que tiene di´ametro de 12 mm y longitud de 100 mm. Este objeto s´ olido cil´ındrico es de un material que tiene conductividad t´ermica de 230 W/(m-◦ C), calor especfico de 900 J/(kg-◦ C), y densidad de 2700 kg/m3 . El extremo derecho de la varilla se pone en o con un medio a una temperatura constante de 30◦ C. Al tiempo inicial (t = 0), la varilla entera est´ a a una temperatura de 30◦ C cuando una fuente de calor se aplica al extremo izquierdo, elevando la temperatura de esta superficie inmediatamente a 80◦ C y manteniendo esa temperatura indefinidamente. La superficie lateral del objeto se encuentra perfectamente aislado t´ermicamente del medio circundante. Usando el m´etodo de diferencia progresiva y cuatro elementos de dos–nodos, determine las distribuciones de temperatura (ambas) transitoria y de estado–estacionario en la varilla. Considere que no se genera ning´ un calor interior. Aislado T = 30° C, t<0
d
T = 80° C, t>0
L (a) Disposici´ on geom´ etrica y dimensiones
30°C 1 1
25 mm
3
2 2
3
4 4
5
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 7.20: Esquemas gr´aficos del Ejemplo 7.11 > Soluci´ on En la soluci´ on para este ejemplo, preparamos el procedimiento general y presentaremos los resultados para una soluci´ on usando un paso de tiempo para la porci´on transiente. La numeraci´on de nodos y
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
252
elementos son como se muestra en la Figura 7.20(b). Puesto que la longitud y el ´area de cada elemento son comunes a ellos, evaluamos la matriz de capacitancia de elemento como 900(2700) π4 (0,012)2 (0,025) 2 1 cρAL 2 1 2,2902 1,1451 ◦ [ C (e) ] = = = J/ C 1 2 1 2 1,1451 2,2902 6 6 donde impl´ıcitamente hemos realizado las integraciones indicadas en la Ecuaci´on (7.93) y dejamos los detalles como un ejercicio de fin–de–cap´ıtulo. Similarmente, la matriz de conductancia del elemento es 200 π4 (0,012)2 1 −1 k A 1 −1 0,9408 −0,9408 ◦ = = W/ C [ k (e) ] = −1 1 −0,9408 0,9408 L −1 1 0,025 Para el caso uni–dimensional con geometr´ıa uniforme y propiedades materiales conocidas, el ensamblaje del sistema es dir´ecto (se produce traslape de coeficientes en ubicaciones de los nodos de interconexi´on entre elementos), y puede usted verificar que los resultados de las matrices globales son 2,2902 1,1451 0 0 0 1,1451 4,5804 1,1451 0 0 1,1451 4,5804 1,1451 0 [C ] = 0 0 0 1,1451 4,5804 1,1451 0 0 0 1,1451 2,2902 0,9408 −0,9408 0 0 0 −0,9408 1,8816 −0,9408 0 0 0 −0,9408 1,8816 −0,9408 0 [K ] = 0 0 −0,9408 1,8816 −0,9408 0 0 0 −0,9408 0,9408 Como no se genera ning´ un calor interior {FQ } = 0 y, como tenemos temperaturas de borde especificadas, el t´ermino del flujo cal´ orico impelente es desconocido. Note que, en el caso transitorio, las condiciones de flujo en los l´ımites (las “reacciones”) son dependientes del tiempo y pueden ser calculados en cada paso de tiempo, como se explicar´a. De aqu´ı, el “vector de fuerza” gradiente es q1 A 0 0 {Fg } = 0 −q5 A Habiendo tenido cuidado de las condiciones de borde, ahora consideramos las condiciones iniciales y examinamos la totalidad de las condiciones en el procedimiento de soluci´on. Debe ser claro que, desde que tenemos especificadas las temperaturas de dos nodos; la soluci´on deseada debe proporcionar las temperaturas de los otros tres nodos y, por consiguiente, el modelo reducido debe ser un sistema 3×3. La reducci´ on del modelo hacia un sistema 3×3 es cumplido mediante las siguientes observaciones: 1.
Si T1 = 80◦ C = cte, entonces T˙1 = 0
2.
Si T5 = 30◦ C = cte, entonces T˙5 = 0
Las ecuaciones pueden modificarse en concordancia con esto. En este ejemplo, las ecuaciones generales se modifican a 0 80 q1 A T˙ 2 T2 0 ˙ 0 [ C ] T3 + [ K ] T 3 = T4 0 T˙ 4 30 −q5 A 0
´ DE CALOR TRANSITORIA 7.8. TRANSMISION
253
Consecuentemente, la primera y quinta ecuaciones resultan en forma desarrollada 1,1451 T˙2 + 0,9408(80) − 0,9408 T2 = q1 A 1,1451 T˙4 − 0,9408 T4 + 0,9408(30) = −q5 A respectivamente. Las tres ecuaciones sobrantes son luego escritas como 4,5804 1,1451 0
1,8816 −0,9408 0 0 T˙2 T2 75,264 1,1451 T˙3 + −0,9408 1,8816 −0,9408 T3 = 0 ˙ 4,5804 0 −0,9408 1,8816 T4 28,224 T4
1,1451 4,5804 1,1451
Para este ejemplo, la matriz de capacitancia es tacional) para obtener 0,2339 [ C ]−1 = −0,0624 0,0156
invertida (usando un programa de c´alculo compu −0,0624 0,0156 0,2495 −0,0624 −0,0624 0,2339
donde [ C ] ahora representa a la matriz de capacitancia reducida. Utilizando la Ecuaci´on (7.99) y pre–multiplicando por [ C ]−1 d´ a como resultado 0,4988 −0,3521 0,0880 T2 T2 T2 18,0456 T3 = T3 − −0,3521 0,5869 −0,3521 T3 ∆t + −6,4558 ∆t 7,7762 T4 i+1 0,0880 −0,3521 0,4988 T4 i T4 i que representa, como dijimos, una relaci´on de recurrencia de dos puntos. 70
T2
T , °C
60 50
T3
40
T4
30
20
0
5
10
15
t , seg
20
25
30
Figura 7.21: Variaci´on temporal de las temperaturas nodales. Debido a la matriz peque˜ na involucrada, la relaci´on de recurrencia se program´o en una hoja de c´alculo estandar que usa un paso de tiempo de ∆t = 0,1 seg. Los c´alculos para las temperaturas nodales T2 , T3 , y T4 se llevan a cabo hasta que un estado invariable (estacionario) se alcance. Las historias de variaci´ on temporal de cada una de las temperaturas nodales se muestran en la Figura 7.21. La figura muestra que en estado–estacionario las condiciones T2 = 67,5◦ C, T3 = 55◦ C, y T4 = 42,5◦ C se logran en aproximadamente en 30 seg. Interesantemente, los resultados tambi´en muestran que las temperaturas de los nodos 3 y 4 inicialmente disminuyen. Tales fen´omenos son f´ısicamente inaceptables y est´an asociados con el uso de una matriz de capacitancia consistente, como se discute con algo m´as de detalle en el Cap´ıtulo 10. >
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
254
7.8.2.
M´ etodos de diferencia central y diferencia regresiva
El m´etodo de diferencia progresiva discutido previamente y usado en el Ejemplo 7.11 es uno de los tres m´etodos de diferencias finitas normalmente usados. Los otros son el m´etodo de diferencia regresiva y el m´etodo de diferencia central. Cada uno de ´estos es discutido a su vez y una sola relaci´on de recurrencia de dos–puntos se desarrolla incorporando los tres m´etodos. En el m´etodo de diferencia regresiva, la aproximaci´on finita a la primera derivada en el instante t es expresada como ∼ T (t) − T (t − ∆t) T˙ (t) = (7.100) ∆t de modo que, en efecto, rastreamos hacia atr´as en el tiempo para aproximar la derivada durante el paso de tiempo anterior. Sustituyendo esta relaci´on en la Ecuaci´on (7.94) d´a [C ]
T (t) − T (t − ∆t) + [ K ]{T (t)} = {FQ (t)} + {Fg (t)} ∆t
En este m´etodo, evaluamos las temperaturas nodales en el instante t basados en el estado del sistema en el instante t − ∆t. Si ahora introducimos la notaci´on t = ti , ti−1 = t − ∆t, i = 1, 2, . . . Usando la notaci´ on descrita y re–ordenando, la ecuaci´on anterior se vuelve ( [ C ] + [ K ]∆t ){T (ti )} = [ C ]{T (ti−1 )} + {FQ (ti )}∆t + {Fg (ti )}∆t
i = 1, 2, . . .
Si las temperaturas nodales son conocidas al tiempo ti−1 , la ecuaci´on reci´en planteada puede resolverse para las temperaturas nodales al pr´oximo paso de tiempo (es supuesto que las funciones de impulsi´on en el lado derecho son conocidas y pueden determinarse al instante ti ). Notando que el ´ındice de tiempo es relativo, la ecuaci´ on precedente tambi´en puede expresarse como ( [ C ] + [ K ]∆t ){T (ti+1 )} = [ C ]{T (ti )} + {FQ (ti )}∆t + {Fg (ti )}∆t
i = 1, 2, . . .
(7.101)
Si comparamos la Ecuaci´ on (7.101) con la Ecuaci´on (7.99), encontramos que la diferencia mayor surge en el tratamiento de la matriz de conductancia. En el u ´ltimo caso, los efectos de conductancia son, en efecto, puestos en vigencia durante el paso de tiempo. En el caso del m´etodo de diferencia progresiva, Ecuaci´ on (7.99), los efectos de la conductancia son mantenidos constantes al paso de tiempo previo. Tambi´en observamos que la Ecuaci´ on (7.101) no puede ser resuelta a cada paso de tiempo por “simple” inversi´ on de la matriz de capacitancia. El coeficiente matricial en el lado izquierdo cambia a cada paso de tiempo; por consiguiente, m´etodos m´as eficientes generalmente se usan para resolver la Ecuaci´on (7.101). Otro procedimiento de aproximaci´ on a la primera derivada es el m´etodo de diferencia central. Como el nombre implica, el m´etodo es un compromiso de proceso intermedio entre los m´etodos de diferencia progresiva y regresiva. En un esquema de diferencia central, la variable dependiente y todas las funciones impulsivas se eval´ uan en el centro (el punto medio) del paso de tiempo. En otros t´erminos, se usan valores promedio. En el contexto de la transmisi´on de calor transitoria, la derivada temporal de la temperatura todav´ıa es aproximada por la Ecuaci´on (7.97) pero los otros t´erminos en la Ecuaci´on (7.98) son evaluados en el punto medio del paso de tiempo. Usando esta aproximaci´on, la Ecuaci´on (7.98) llega a ser {T (t + ∆t)} − {T (t)} {T (t + ∆t)} + {T (t)} C + [K ] ∆t 2 (7.102) {FQ (t + ∆t)} + {FQ (t)} {Fg (t + ∆t)} + {Fg (t)} = + 2 2 Las funciones impelentes en el lado derecho de la Ecuaci´on (7.102) son: o bien funciones conocidas y pueden evaluarse, o “reacciones” que son subsecuentemente calculadas mediante las ecuaciones de restricci´on. El lado izquierdo de la Ecuaci´on (7.102) es ahora, sin embargo, bastante diferente, en
7.9. COMENTARIOS FINALES
255
que las inc´ ognitas a cada paso Ti (t + ∆t) aparecen en t´erminos de las matrices de capacitancia y conductancia. Multiplicando por ∆t y re–ordenando la Ecuaci´on (7.102), obtenemos ∆t ∆t [C ] + [K ] {T (t + ∆t)} = [ C ] − [ K ] {T (t)} 2 2 (7.103) {Fg (t + ∆t)} + {Fg (t)} {FQ (t + ∆t)} + {FQ (t)} + + 2 2 ´ Esta u ´ltima ecuaci´ on puede resolverse para las temperaturas nodales desconocidas en el instante t + ∆t y la “marcha” de la soluci´ on puede progresar en el tiempo hasta que se alcance un estado de r´egimen estacionario. En general, los m´etodos de diferencia central son m´as exactos que los m´etodos de diferencia progresiva o regresiva, ´esto porque no se da preferencia a cualquiera de las dos temperaturas en t ´o t + ∆t ya que, m´ as bien, se d´ a creencia igual a ambas. En los m´etodos de diferencia finita, el par´ametro importante para hallar la exactitud requerida de la soluci´ on gobernante es el paso de tiempo seleccionado ∆t. En una manera similar al m´etodo de elemento finito, en el que mientras f´ısicamente m´as peque˜ nos son los elementos, la soluci´on obtenida es mejor; el m´etodo de diferencia finita converge m´as r´apidamente a la verdadera soluci´on a medida que el paso de tiempo se disminuye en su magnitud. Estas ideas se desarrollan con mayor amplitud en el Cap´ıtulo 10, cuando examinemos el comportamiento din´amico de las estructuras.
7.9.
Comentarios finales
En el presente Cap´ıtulo 7, extendemos la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito hacia dominios bi y tri–dimensionales, as´ı como a aquellos con simetr´ıa axial, para los problemas que habitualmente se presentan en la transmisi´ on de calor. Aunque la mayor parte del cap´ıtulo se enfoca hacia las condiciones de estado–estacionario, tambi´en presentamos los m´etodos de diferencia finita normalmente utilizados para examinar los efectos transitorios. La base de nuestra aproximaci´on hacia la soluci´on es el m´etodo de elemento finito de Galerkin, y este texto se queda con ese procedimiento porque el mismo es general en su aplicaci´ on. Cuando procedamos posteriormente con las aplicaciones hacia la mec´anica de fluidos, la mec´ anica de s´ olidos, y la din´amica estructural en los siguientes cap´ıtulos, ratificaremos que el m´etodo de Galerkin ser´ a la base para el desarrollo de muchos de los modelos de elemento finito que formularemos.
Problemas propuestos 7.1. Para el Ejemplo 7.1, determine la soluci´on exacta integrando la Ecuaci´on (5.52) y aplicando las condiciones de borde para evaluar las constantes de integraci´on. 7.2. Verificar los t´erminos relacionados a la convecci´on en la Ecuaci´on (7.13) por procedimiento de integraci´ on directa. 7.3. Para los datos presentados en el Ejemplo 7.4, use la cuadratura Gaussiana con cuatro puntos de integraci´ on (dos en r, y dos en s) para evaluar los coeficientes de la matriz de rigidez. Los resultados obtenidos, est´ an de acuerdo con los valores presentados en el ejemplo?. 7.4. Usando las temperaturas nodales y valores de flujo de calor calculados en el Ejemplo 7.5, realice un c´ alculo de verificaci´ on del balance de flujo de calor. Es decir, determine si la entrada de calor est´ a en equilibrio con la p´erdida de calor debido a la convecci´on. C´omo esta comprobaci´on indica la exactitud de la soluci´ on de elemento finito?.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
256
7.5. Considere una clavija cil´ındrica de transferencia de calor mostrada en la Figura P7.5. La base de la clavija se sostiene a temperatura constante de 100◦ C (i.e., agua hirviente). La punta del cuerpo y sus superficies laterales sufren convecci´on hacia un fluido que permanece a temperatura ambiente Ta . Los coeficientes de convecci´on para la punta y las superficies laterales son iguales. Se proporcionan como datos: kx = 380 W/m-◦ C, L = 8 cm, h = 2500 W/m2 -◦ C, d = 2 cm, Ta = 30◦ C. Use un modelo de elemento finito con dos elementos y funciones de interpolaci´on lineales (i.e., un elemento de dos–nodos) para determinar las temperaturas nodales y el calor removido desde la clavija. Asuma que no existe ninguna generaci´on de calor interior. h, Ta h, Ta
100º C d
L
Figura P7.5 7.6. Repita el Problema 7.5 usando cuatro elementos. Est´a indicada la convergencia en esta nueva soluci´on ?. 7.7. La clavija de la Figura P7.5 representa una unidad calor´ıfica en un calentador de agua. La base de la clavija se sostiene a la temperatura de 30◦ C. Este objeto s´olido est´a rodeado por agua fluyendo a 55◦ C. La generaci´ on de calor interior ser´a tomada con un valor constante de Q = 25 W/cm3 . Todos los otros datos son proporcionados en el Problema 7.5. Use un modelo de dos– elementos para determinar las temperaturas nodales y la rapidez de flujo de calor neto desde la clavija. 7.8. Resuelva el Problema 7.5 bajo la hip´ otesis que la clavija tiene una secci´on transversal cuadrada de 1 cm de arista. C´ omo se comparan los resultados en referencia con la rapidez de calor removido ?. 7.9. La eficiencia de la clavija mostrada en la Figura P7.5 puede definirse de varias maneras. Una manera es asumir que la m´ axima transmisis´on de calor ocurre cuando la clavija entera est´a a la misma temperatura como su base (en el Problema 7.5, 100◦ C), para que la convecci´on sea maximizada. Entonces escribimos ZL h P (Tb − Ta )dx + h A (Tb − Ta )
qm´ax = 0
donde Tb representa la temperatura de la base, P es la dimensi´on perimetral, y A es el ´area de la secci´ on transversal de la clavija. La transferencia de calor real qreal es menor que qm´ax , de modo que definimos la eficiencia como qreal η= qm´ax Use esta definici´ on para determinar la eficiencia de la clavija del Problema 7.5. 7.10. La Figura P7.10 representa el tubo de un radiador de una m´aquina automotriz. El refrigerante del artefacto se hace circular a trav´es del tubo a una rapidez constante determinada por la bomba de agua. La refrigeraci´ on es principalmente mediante la convecci´on del aire fluido alrededor del tubo como resultado del movimiento del veh´ıculo. El refrigerante entra en el tubo a una temperatura de 195◦ F y la tasa de flujo es de 0,3 galones por minuto (el peso espec´ıfico
Problemas propuestos
257
es 68,5 lb/pie3 ). Los datos f´ısicos son como sigue: L = 18 pulg, d = 0,3125 pulg, kx = 225 Btu/hr-pie-◦ F, h = 37 Btu/ft2 -hr-◦ F. Determine la matriz de rigidez y el vector de carga para un elemento de longitud arbitraria usado para modelar este problema, asumiendo condiciones de estado–estacionario. Es la hip´otesis de r´egimen de estado–estacionario razonable para este caso espec´ıfico ?. Taire= 20 C
t =0.03 pulg
d
• m
L Figura P7.10 7.11. Use los resultados del Problema 7.10 para modelar el tubo con cuatro elementos de igual longitud, y determine las temperaturas nodales y el flujo de calor total de convecci´on desde la superficie. 7.12. Considere la clavija de transferencia de calor adelgazada mostrada en la Figura P7.12(a). La base de la clavija se sostiene a la temperatura constante Tb , mientras las superficies laterales y la punta son rodeadas por un medio fluido mantenido a una temperatura constante Ta . La conductancia kx y el coeficiente de convecci´on h son constantes conocidas. La Figura P7.12(b) muestra la clavija modelada como cuatro elementos finitos adelgazados. La Figura P7.12(c) muestra el mismo objeto modelado como cuatro elementos de secci´on–transversal constante, con el ´area de cada elemento igual al ´ area media de la clavija real. Cuales son los pros y contras de los dos modelos de aproximaci´ on postulados ?. Tenga presente que el uso de cuatro elementos es s´ olo un punto de partida, ya que muchos m´as elementos se requieren para obtener una soluci´on convergente. C´ omo la declaraci´on anterior afecta su respuesta ?. h, Ta
Tb
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
h, Ta (a) Prototipo real
(b) Primer modelo
(c) Segundo modelo
Figura P7.12 7.13. Una clavija cil´ındrica se construye de un material para el que la conductividad t´ermica disminuye con la temperatura seg´ un la ley kx = k0 − c T donde c es una constante positiva. Para esta situaci´on, muestre que la ecuaci´on gobernante para el problema de conducci´ on uni–dimensional con convecci´on en r´egimen de estado–estacionario est´ a dada por d dT hP d2 T cT +Q= (T − Ta ) k0 2 − dx dx dx A
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
258
7.14. La ecuaci´ on gobernante para la situaci´on descrita en el Problema 7.13 es no–lineal. Si el m´etodo de elemento finito de Galerkin es aplicado, una integral de la forma Zx2
d Ni dx
dT cT dx
dx
x1
aparece en la formulaci´ on de la matriz de conductancia de elemento. Integrar este t´ermino por partes y discutir los resultados en t´erminos de las condiciones de borde de flujo cal´orico y la matriz de conductancia. 7.15. Una pared vertical de construcci´ on tipo “sandwich” mostrada en la Figura P7.15(a) se sostiene a una temperatura constante de T1 = 68◦ F en una superficie y T2 = 28◦ F en la otra superficie. Usando s´ olo tres elementos (uno para cada material), como en la P7.15(b), determine las temperaturas nodales y el flujo de calor a trav´es de la pared por unidad de ´area perpendicular al dibujo. Las dimensiones de la pared en las direcciones y y z son muy grandes en comparaci´on al espesor de pared.
T1
a
5/8 pulg
b
2 pulg
(a) Prototipo real de la pared
c
T2
x
1
1
2 2
3 3
4
5/8 pulg
(b) Modelo de elementos finitos
Figura P7.15 7.16. La pared del Problema 7.15 lleva un cable el´ectrico centralmente localizado, el cual debe ser tratado como una fuente de calor l´ıneal de intensidad Q∗ = const, como se muestra en la Figura P7.16. Con este cambio, todav´ıa el problema puede tratarse como uni–dimensional ?. Si su respuesta es afirmativa, resuelva el problema usando tres elementos como en el Problema 7.15. Si su respuesta es negativa, explique.
Q
Figura P7.16 7.17. Una situaci´ on com´ un en el proceso de tratamiento de pol´ımeros se bosqueja en la Figura P7.17, la cual muestra una tuber´ıa “encamizada”. La tuber´ıa interna es acero inoxidable que tiene conductividad t´ermica k; la tuber´ıa exterior es acero al carbono y se supone que est´a perfectamente aislada t´ermicamente. La regi´ on anular entre las tuber´ıas, de espesor t, contiene un medio de transferencia de calor a una temperatura constante T1 . La tuber´ıa interna contiene material del pol´ımero que fluye con rapidez de flujo m´asico m ˙ constante. El coeficiente de convecci´on entre la pared de la tuber´ıa de acero inoxidable y el pol´ımero es h. El calor espec´ıfico del pol´ımero c
Problemas propuestos
259
tambi´en se toma como un valor constante. Es ´este un problema uni–dimensional ?. C´omo podr´ıa usted resolver este problema usando el m´etodo de elemento finito ?.
Acero al carbono
t
T1 Acero inoxidable h Flujo c, m
R x
Figura P7.17 7.18. Un calentador de acondicionamiento ambiental (a menudo incorrectamente llamado radiador, desde que su modo de transferencia de calor es la convecci´on) est´a compuesto de una tuber´ıa central que contiene agua caliente a temperatura constante, como se bosqueja en la Figura P7.18. Varias placas de transferencia de calor bi–dimensional son adosadas a la tuber´ıa como es mostrado. Las aletas se espacian igualmente a lo largo de la longitud de la tuber a. Cada aleta tiene espesor de 0,125 pulg y poseen dimensiones globales de 4 pulg × 4 pulg. La convecci´on desde los bordes de la periferia de las aletas puede despreciarse. Considere la tuber´ıa como una fuente cal´ orica puntual de intensidad Q∗ = 600 Btu/hr-pie2 y determine el calor neto transferido al aire ambiente a 20◦ C, si el coeficiente de convecci´on es h = 300 Btu/(hr-pie2 -◦ F). Use cuatro elementos finitos con funciones de interpolaci´on lineales (considere aqu´ı las condiciones de simetr´ıa).
Figura P7.18 7.19. Uno que seriamente considere las condiciones de simetr´ıa del Problema 7.18 podr´ıa formular que existe cuarta simetr´ıa en la situaci´on planteada, y que cuatro elementos podr´ıan representar a 16 elementos en el dominio del problema completo. Cuales son las condiciones de borde l´ımite para el modelo sim´etrico ?. Explique claramente su concepci´on del modelo reducido que puede plantearse. 7.20. Las aletas rectangulares mostradas en la Figura P7.20 est´an montadas en una tuber´ıa centralmente localizada que transporta agua caliente. La temperatura en la superficie de o entre la aleta y la tuber´ıa es una constante T1 . Para cada caso mostrado, determine las condiciones de simetr´ıa aplicables y las condiciones de borde l´ımite aplicables a un modelo de elemento finito.
´ DEL CALOR CAP´ITULO 7. TRANSMISION
260
T1 Ta
Ta
Ta
(a)
Ta
Ta
T2
T2
Ta
T1
(b)
(c)
(d)
Figura P7.20 Note que los bordes que se muestran achurados est´an aislados perfectamente, y se asume que los coeficientes de convecci´ on sobre todas las superficies son la misma constante. 7.21. Resuelva el Ejemplo 7.5 usando el modelo de dos–elementos mostrado en la Figura 7.11(b). C´omo se hace la comparaci´ on de resultados con aqu´ellos del modelo de cuatro–elementos? 7.22. El elemento rectangular mostrado en la Figura P7.22 contiene una fuente cal´orica l´ıneal de intensidad constante Q∗ localizada en el centroide del elemento. Determine el vector de impulsi´on cal´orica asociado {fQ(e) }. 3
4 (2, 4)
(4, 4)
Q*
y
1
(4, 2)
(2, 2)
2
x
Figura P7.22 7.23. Determine las componentes de la funci´on impelente de generaci´on de calor {fQ(e) } para el elemento con simetr´ıa axial del Ejemplo 7.10 para el caso de generaci´on de calor interior uniforme Q. 7.24. Una tuber´ıa de acero (di´ ametro externo de 60 mm y espesor de pared de 5 mm) contiene agua fluyendo a una temperatura constante de 80◦ C, como es mostrado en la Figura P7.24. El coeficiente de convecci´ on entre el agua y la tuber´ıa es de 2000 W/m2 -◦ C. La tuber´ıa est´a rodeada ◦ por aire a 20 C, y la convecci´ on en la superficie externa de la tuber´ıa es 20 W/m2 -◦ C. La conducvidad t´ermica del material de la tuber´ıa es 60 W/m-◦ C. Determine las matrices de rigidez y las funciones de impulsi´ on cal´ orica nodales para los dos elementos con simetr´ıa axial mostrados. 7.25. Ensamble las ecuaciones globales para los dos elementos del Problema 7.24. Use la numeraci´on global de nodos mostrada en la Figura P7.25. Calcule las temperaturas nodales, y encuentre el flujo de calor neto (por unidad de ´ area superficial) hacia el aire circundante. 4
5
1
1
6
2
2
Figura P7.25
3
Problemas propuestos
261
1
Flujo
2
z r
Figura P7.24 7.26. Resuelva el problema del Ejemplo 7.11 usando un paso de tiempo ∆t = 0,01 seg. C´omo los resultados obtenidos ahora se comparan a aqu´ellos de la soluci´on del ejemplo ?.
Capítulo
8
Mec´ anica de fluidos
En el anterior Cap´ıtulo vimos la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a uno de los campos de la mec´ anica no–estructural: los fen´ omenos que se presentan en la transmisi´on de calor. Otro campo muy amplio de la mec´ anica general es aquel que tiene como objetivo el estudio de comportamiento de dos estados agregados de la materia: los l´ıquidos y los gases, a los cuales de manera gen´erica se los denomina como fluidos. En este Cap´ıtulo desarrollaremos las ecuaciones gobernantes de elemento finito para flujo incompresible, es decir el estudio de movimiento de un medio fluido que tiene densidad invariable (un l´ıquido); introduciremos los conceptos de funci´on de corriente y funci´on potencial de velocidad en flujo ideal bi–dimensional en r´egimen permanente. Y, para abordar los problemas que se presentan en la realidad, de manera breve realizaremos una introducci´on al estudio del flujo viscoso con inercia.
8.1.
Introducci´ on
El tema general de la mec´ anica de fluidos abarca una amplia gama de problemas de inter´es en las aplicaciones de ingenier´ıa. La definici´on m´as b´asica de un fluido es declarar que dicho medio es un material que adopta la forma del recipiente que lo contiene, manifestando ello su enorme deformabilidad. As´ı, ambos: l´ıquidos y gases son medios fluidos. Alternativamente, puede establecerse que un material que, en s´ı mismo, no puede soportar tensiones cortantes (tangenciales), es un fluido. El lector familiarizado con la teor´ıa de energ´ıa de distorsi´on de s´olidos, recordar´a que esa distorsi´on geom´etrica es el resultado de la tensi´ on cortante que act´ ua internamente; mientras que las tensiones normales actuantes tienen como resultado el cambio volum´etrico. As´ı, un fluido r´apidamente se distorsiona, porque la resistencia a la solicitaci´ on de tipo cortante es muy reducida, y dicha distorsi´on resulta en el flujo (movimiento) del medio fluido. El comportamiento f´ısico de l´ıquidos y gases es muy diferente. Las diferencias en su conducta dan lugar a varios campos menores en la mec´anica de fluidos. En general, los l´ıquidos exhiben densidad constante y el estudio de la mec´ anica de fluidos referente a los l´ıquidos generalmente se lo identifica como an´ alisis de flujo incompresible. Por otro lado, los gases son altamente compresibles (recuerde la 263
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
264
llamada ley de Boyle de la f´ısica elemental [48]) y dependientes de las variaciones de temperatura. Por consiguiente, los problemas de mec´ anica de fluidos que involucran a los gases son clasificados como casos de flujo compresible. Adem´as de las consideraciones de compresibilidad, el grado relativo al cual un fluido puede resistir alg´ un monto de esfuerzo cortante deriva en otra clasificaci´on de problemas de la mec´anica de fluidos. (Sin tener en cuenta la definici´ on, todos los fluidos pueden soportar alguna cantidad de solicitaci´on cortante). La resistencia de un fluido para soportar la acci´on de tensiones cortantes es incluida en la propiedad material conocida como viscosidad. En un sentido muy pr´actico, la viscosidad es una medida del “espesor” de un fluido. Considere las diferencias encontradas al revolver un recipiente conteniendo agua y otro que contenga melaza. El acto de revolver introduce tensiones cortantes en el fluido. El “aguarr´as” (thinner), es menos viscoso en comparaci´on, y por tanto m´as f´acil que revolver que el agua; el “m´as espeso”, m´ as viscoso, en este caso ser´ıa la melaza que es m´as dura de revolver. El efecto f´ısico se representa por las tensiones cortantes aplicados al “agitador” por el medio fluido (por el principio de acci´on–reacci´ on). El concepto de viscosidad es incluido en la ley de viscosidad de Newton [18], el cual establece que las tensiones cortantes internas en un medio fluido son proporcionales al gradiente de velocidad del movimiento.
.
. U y
U h
h
. u(y) y
x (a) Esquema gr´ afico del fen´ omeno
(b) Perfil de velocidades
Figura 8.1: Placa plana m´ovil en o con un fluido En un caso uni–dimensional, el gradiente de velocidad y la ley de Newton de viscosidad pueden describirse en referencia a la Figura 8.1(a). Una placa larga y delgada se est´a moviendo con velocidad U˙ en la direcci´ on x, estando separada de una superficie fija localizada en y = 0 por una pel´ıcula fluida delgada de espesor h que llena el espacio entre la placa y la superficie est´atica. Los experimentos muestran que el fluido se adhiere a ambas superficies, de modo que la velocidad de flujo en la superficie fija es cero; y en la placa m´ ovil, la velocidad fluida es U˙ (este fen´omeno es conocido como la condici´on de ausencia de deslizamiento). Si la presi´ on es constante a trav´es del medio fluido, la distribuci´on de velocidad entre la placa m´ ovil y la superficie fija es lineal, como se muestra en la Figura 8.1(b), por lo que la velocidad fluida en cualquier punto est´a dada por y u(y) ˙ = U˙ (8.1) h Para mantener el movimiento, debe aplicarse a la placa una fuerza en la direcci´on del movimiento. La fuerza es requerida para mantener a la placa en equilibrio (suponiendo que su velocidad de movimiento es constante), puesto que el fluido ejerce una fuerza de fricci´on que se opone al movimiento. Es conocido a partir de los experimentos que la fuerza tangencial por unidad de ´area (es decir la tensi´on cortante proveniente de la fricci´ on) requerida para mantener el movimiento es dir´ectamente proporcional a la velocidad U˙ de la placa m´ ovil, e inversamente proporcional a la distancia h. En general, la tensi´on cortante friccional se describe en la ley de Newton de la viscosidad como τ =µ
du˙ dy
(8.2)
donde la constante de proporcionalidad µ es llamada viscosidad absoluta (din´amica) del fluido. La viscosidad absoluta (de ahora en adelante simplemente viscosidad ) es una propiedad material fundamental de los medios fluidos desde que, como es mostrado por la Ecuaci´on (8.2), establece que la habilidad de un fluido de soportar tensiones cortantes depende directamente de la viscosidad.
´ 8.2. ANALISIS DE FLUJO INCOMPRESIBLE
265
La importancia relativa de los efectos de viscosidad permite todav´ıa establecer otra serie de problemas de la mec´ anica de fluidos, como mencionamos. Los fluidos que exhiben una viscosidad muy peque˜ na son denominados no–viscosos, y en ellos se ignoran los t´erminos que contienen como variables a las tensiones cortantes; por otro lado, los fluidos con viscosidad significativa deben considerarse que est´an asociados con tensiones cortantes de magnitud apreciable. Para poner la discusi´on en perspectiva, el agua es considerada como fluido viscoso incompresible; mientras que aire es un fluido muy compresible pero todav´ıa no–viscoso. En general, los l´ıquidos son m´as a menudo tratados como incompresibles pero los efectos de la viscosidad dependen espec´ıficamente del fluido. Los gases, por otro lado, generalmente son tratados como compresibles pero no–viscosos. En este cap´ıtulo, examinaremos s´olo el flujo fluido incompresible. La matem´atica y el estudio previo requerido para el an´ alisis de flujo compresible est´a juzgado m´as all´a del alcance de este texto. Nosotros, sin embargo, introduciremos los efectos de viscosidad en el contexto del flujo bi–dimensional y presentaremos la formulaci´ on de elemento finito b´asico para resolver tales problemas. La extensi´on al flujo fluido tri–dimensional necesariamente no es tan dir´ecta como en el caso de la transmisi´on de calor y en la mec´ anica de s´ olidos (como ser´a mostrado en el Cap´ıtulo 9). Nuestra introducci´on al an´alisis de elemento finito de los problemas de flujo fluido muestra que los conceptos desarrollados algo extensos en el texto, pueden ser de hecho aplicados al flujo de fluidos pero; en el caso general, las ecuaciones resultantes, aunque de tipo algebr´aico como es esperado por la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito, resultan ser no–lineales y deben aplicarse procedimientos especiales para la obtenci´on de la soluci´ on.
8.2.
An´ alisis de flujo incompresible
Una de las leyes f´ısicas m´ as importantes gobernante del movimiento de cualquier medio cont´ınuo es el principio de conservaci´ on de la masa. La ecuaci´on deducida por la aplicaci´on de este principio es conocida como ecuaci´ on de continuidad. La Figura 8.2 muestra un volumen diferencial (un volumen de control infinitesimal) localizado en una posici´on arbitraria, fija en un flujo fluido tri–dimensional. Con respecto a una serie fija de ejes Cartesianos, las componentes de velocidad paralelas a los ejes x, y y z se denotan como u, v, y w, respectivamente. (Note que aqu´ı adoptamos la convenci´on estandar de la mec´ anica de fluidos, para denotar las velocidades sin el “punto” encima del s´ımbolo).
dy y w
u
y
z
u
w w dz z
u dx x
x
Figura 8.2: Especificaci´on de condiciones de borde convectivas El principio de conservaci´ on de la masa requiere que la rapidez de cambio de masa dentro del volumen debe estar en equilibrio con la proporci´on de flujo de masa neta que atravieza dicho volumen. La masa total dentro del volumen es ρdV , y puesto que el volumen elemental dV es constante, debemos
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
266
tener
X ∂ρ m ˙ = (8.3) (m ˙ ent − m ˙ sal ) dV = m ˙ = ∂t V S S donde S es la superficie cerrada limitante del volumen diferencial considerado, y m ˙ = dm/dt es la velocidad de variaci´ on de la masa fluida en la regi´on espacial pertinente especificada como dominio. Aqu´ı usamos una derivada parcial porque la densidad puede variar en el espacio as´ı como tambi´en en el tiempo. Usando las componentes de velocidad mostradas, la rapidez de cambio de masa en el volumen de control que es resultado del flujo en la direcci´on x es ∂(ρ u) m ˙ x = ρ u dy dz − ρ u + dx dy dz (8.4a) ∂x
mientras que los t´erminos correspondientes del flujo en las direcciones y y z son: ∂(ρ υ) m ˙ y = ρ υ dx dz − ρ υ + dy dx dz ∂y ∂(ρ w) dz dx dy m ˙ z = ρ w dx dy − ρ w + ∂z
(8.4b)
(8.4c)
La tasa de cambio temporal de la masa transportada por el medio fluido es entonces ∂(ρ u) ∂(ρ υ) ∂(ρ w) ∂ρ dV = m ˙ x+m ˙ y +m ˙z=− + + dx dy dz ∂t ∂x ∂y ∂z Notando que dV = dx dy dz, la ecuaci´ on anterior puede ser escrita como ∂ρ ∂(ρ u) ∂(ρ υ) ∂(ρ w) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
(8.5)
La Ecuaci´on (8.5) es la ecuaci´ on de continuidad para un flujo general tri–dimensional expresada en coordenadas Cartesianas. Restringiendo la discusi´ on al flujo estacionario (invariable con respecto a tiempo) de un fluido incompresible, la densidad es independiente del tiempo y las coordenadas espaciales, de modo que la Ecuaci´on (8.5) llega a ser: ∂u ∂υ ∂w + + =0 (8.6) ∂x ∂y ∂z La Ecuaci´on 8.6 es la ecuaci´ on de continuidad para flujo tri–dimensional, incompresible, estacionario, ´ expresada en coordenadas Cartesianas. Esta es una de las ecuaciones primarias en importancia de la mec´anica del medio fluido y, nosotros la usaremos extensivamente en el desarrollo de una aproximaci´on de an´alisis mediante elementos finitos a cierto tipo de problemas que se presentan de manera habitual en la mec´anica de fluidos.
8.2.1.
Flujo rotacional e irrotacional
Similar a la din´ amica del cuerpo r´ıgido, en la din´amica del medio fluido debe darse cierta consideraci´on acerca de si el movimiento de flujo representa traslaci´on, rotaci´on, o una combinaci´on de los dos tipos de movimiento. Generalmente, en la mec´anica de fluidos, la rotaci´on pura (es decir, rotaci´on sobre un punto fijo) no es de tanta preocupaci´on como en la din´amica del cuerpo r´ıgido. En cambio, nosotros clasificamos el movimiento fluido como rotatorio (traslaci´on y rotaci´on combinadas) o irrotacional (s´ olo traslaci´ on). Debido a la deformabilidad inherente de los fluidos, las definiciones de traslaci´on y rotaci´ on realmente no son iguales que para los cuerpos r´ıgidos. Para entender la diferencia, enfocamos nuestra atenci´ on en la definici´ on de rotaci´on en relaci´on con el movimiento de un fluido.
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
267
Se dice que un campo de flujo es irrotacional si un elemento t´ıpico del fluido movi´endose en el espacio no sufre ninguna rotaci´ on neta. Un cl´asico ejemplo usado a menudo para explicar el concepto es el de los carruajes de pasajero en una rueda de Ferris (m´as conocida como rueda de Chicago, que se ven en las ferias de diversiones). Como la rueda gire a trav´es de una revoluci´on (una vuelta completa), los carruajes tambi´en se mueven a trav´es de una trayectoria circular, pero permanecen en una orientaci´ on relativa fija con respecto al campo gravitatorio (asumiendo que los pasajeros tienen buen comportamiento, y no hacen una payasada como pararse de cabeza, por ejemplo). Como el conjunto de carruajes conectados a la periferia de la rueda retorna al punto de partida, la orientaci´on angular de cualquier carruaje es exactamente igual que en la orientaci´on inicial, de modo que no ocurre ninguna rotaci´ on neta en el intervalo de duraci´on del entretenimiento.
t
t
t + dt
(a) Flujo irrotacional
t + dt
(b) Flujo rotacional
Figura 8.3: Elemento de un fluido movi´endose en un ducto Para relacionar ´este concepto al flujo fluido, consideremos la Figura 8.3 que muestra dos posibilidades de un flujo bi–dimensional a trav´es de un conducto. La Figura 8.3(a) muestra un elemento de fluido en movimiento rotatorio. Note que, en este caso, nosotros esquematizamos a dicho elemento comport´ andose esencialmente como un s´olido. Claramente apreciamos que el fluido ha sufrido traslaci´on y rotaci´ on. La Figura 8.3(b) muestra la misma situaci´on que en el caso de flujo irrotational. El elemento se ha deformado (angularmente), y nosotros indicamos esa deformaci´on angular mediante una distorsi´ on geom´etrica del elemento en un tiempo posterior. Si no ocurre la distorsi´on mostrada en el esquema de la Figura 8.3(b), el flujo se define como irrotacional. Como se muestra en la mayor´ıa de los libros de texto de mec´ anica de fluidos b´asica [18], las condiciones para la irrotacionalidad en el flujo tri–dimensional son ∂υ ∂u − = 0, ∂x ∂y
∂w ∂u − = 0, ∂x ∂z
∂w ∂υ − =0 ∂y ∂z
(8.7)
Esta ecuaci´ on proviene de la definici´ on de velocidad angular de deformaci´on interna en un medio fluido, ~ = 1 ∇×V ~ ; siendo ω ~ el ~ V que sint´eticamente se expresa como: ω ~ = 21 rot ~ el vector velocidad angular, V 2 ~ vector que describe el campo de velocidad V ≡ (u, υ, w), y ∇ el operador vectorial nabla. Cuando las expresiones dadas por las Ecuaciones (8.7) no son satisfechas, el flujo es rotatorio y las variaciones de la velocidad angular o rotatoria pueden definirse en t´erminos de las derivadas parciales de la misma ecuaci´ on. En este texto, nosotros consideramos s´olo flujos irrotacionales y no procedemos m´as all´ a de las relaciones indicadas en la Ecuaci´on (8.7).
8.3.
La funci´ on de corriente
A continuaci´ on consideramos el caso de flujo bi–dimensional, estacionario, e incompresible. (Note que impl´ıcitamente estamos asumiendo que los efectos de la viscosidad son despreciables). Aplicando estas restricciones, la ecuaci´ on de continuidad es ∂u ∂υ + =0 ∂x ∂y
(8.8)
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
268
y las condiciones de irrotacionalidad del flujo fluido se reducen a ∂u ∂υ − =0 ∂y ∂x
(8.9)
Las Ecuaciones (8.8) y (8.9) son satisfechas si introducimos (definimos) la funci´on de corriente ψ(x, y) de modo que las componentes de la velocidad est´en dadas por u(x, y) =
∂ψ ∂y
υ(x, y) = −
∂ψ ∂x
(8.10)
Estas componentes autom´ aticamente satisfacen la ecuaci´on de continuidad. La condici´on de irrotacionalidad, Ecuaci´ on (8.9), llega a ser ∂u ∂υ ∂ − = ∂y ∂x ∂y
∂ψ ∂y
−
∂ ∂x
−
∂ψ ∂x
=
∂2ψ ∂2ψ + = ∇2 ψ = 0 ∂x2 ∂y 2
(8.11)
La Ecuaci´ on (8.11) es la famosa ecuaci´ on de Laplace, la cual es ecuaci´on gobernante para muchos fen´omenos f´ısicos. El s´ımbolo ∇ representa al vector de derivaci´on espacial parcial, com´ unmente llamado operador nabla, definido en general por ∇≡ˆ ı
∂ ∂ ˆ ∂ en coordenadas cartesianas, y ∇2 ≡ ∇◦∇ + ˆ +k ∂x ∂y ∂z
Examinemos ahora la importancia f´ısica de la funci´on de corriente ψ(x, y) en relaci´on con el flujo bi–dimensional. En particular, consideramos las l´ıneas en el plano x–y (conocidas como l´ıneas de corriente) a lo largo de las cuales la funci´on de corriente es constante. Si la funci´on de corriente es constante, podemos escribir ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 dψ = ∂x ∂y o bien: dψ = −υ dx + u dy = 0 El vector tangente en cualquier punto sobre la l´ınea de corriente es nt = dxˆ ı + dyˆ , y el vector ˆ velocidad del fluido en el mismo punto es V = uˆ ı + υˆ . Por tanto, el vector V ×nt = (−υ dx + u dy)k tiene magnitud cero, por la u ´ltima ecuaci´ on. El producto vectorial de dos vectores no–nulos es cero, s´olo si los vectores son paralelos. Por tanto, en cualquier punto sobre una l´ınea de corriente, el vector velocidad del fluido es tangente a la l´ınea de corriente.
8.3.1.
Formulaci´ on de elemento finito
El desarrollo de las caracter´ısticas de elemento finito para flujo fluido basado en la funci´on de corriente es dir´ecta, ya que (1) la funci´ on de corriente ψ(x, y) es una funci´on escalar desde la cual las componentes del vector velocidad se obtienen por proceso de diferenciaci´on y (2) la ecuaci´on gobernante es esencialmente la misma que aquella para la conducci´on de calor bi–dimensional. Para entender la importancia del u ´ltimo punto, reexamine la Ecuaci´on (7.21) y la serie ψ = T , kx = ky = 1, Q = 0, y h = 0. El resultado es la ecuaci´ on de Laplace que gobierna la funci´on de corriente La funci´on de corriente sobre el dominio de inter´es es discretizada en elementos finitos que poseen M nodos, del modo siguiente: ψ(x, y) =
M X i=1
Ni (x, y)ψi = [ N ]{ψ}
(8.12)
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
269
Usando el m´etodo de Galerkin, las ecuaciones residuales de elemento son 2 Z ∂ ψ ∂2ψ Ni (x, y) + dx dy = 0 i = 1; M ∂x2 ∂y 2
(8.13)
A(e)
o, tambi´en
Z [ N ]T
∂2ψ ∂2ψ + ∂x2 ∂y 2
dx dy = 0
(8.13a)
A(e)
La aplicaci´ on del teorema de Green–Gauss proporciona Z Z Z ∂ψ ∂[ N ]T ∂ψ ∂ψ [ N ]T nx dS − dx dy + ny dS [ N ]T ∂x ∂x ∂x ∂y S (e)
A(e)
Z −
S (e)
T
∂[ N ] ∂ψ dx dy = 0 ∂y ∂y
(8.14)
A(e)
donde S representa el borde l´ımite del elemento y (nx , ny ) son las componentes del vector normal unitario saliente al borde. Usando las Ecuaciones (8.10) y (8.12) resulta en Z Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + dx dy{ψ} = [ N ]T ( u ny − υ x )dS (8.15) ∂x ∂x ∂y ∂y S (e)
A(e)
y, ´esta ecuaci´ on es de la forma requerida [ k (e) ]{ψ} = {f (e) } La matriz de rigidez de elemento (de dimensi´on M ×M ) es Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] (e) [k ] = + dx dy ∂x ∂x ∂y ∂y
(8.15a)
(8.16)
A(e)
y las fuerzas nodales son representadas por el vector (de dimensi´on M ×1) o matriz columna Z (e) {f } = [ N ]T ( u ny − υ x )dS
(8.17)
S (e)
Puesto que las fuerzas nodales se obtienen mediante integraci´on a lo largo de los l´ımites del elemento y los vectores normales unitarios para los elementos adyacentes son iguales y en sentidos opuestos, las fuerzas en los l´ımites de inter–elementos (elementos adyascentes que comparten un borde l´ımite com´ un) se cancelan durante el proceso de ensamblaje. Por consiguiente, las fuerzas definidas por la Ecuaci´ on (8.17) necesitan ser calculadas s´olo para los l´ımites del elemento que coinciden con los l´ımites globales del dominio en an´ alisis. Esta observaci´on est´a siguiendo consideraciones similares efectuadas previamente en el contexto de otros tipos de problemas.
8.3.2.
Condiciones de borde
Como la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de corriente es una ecuaci´on diferencial de segundoorden, en derivadas parciales y con dos variables independientes; por tanto, deben especificarse y satisfacerse cuatro condiciones de borde para obtener la soluci´on a un problema f´ısico. La manera en la cual las condiciones l´ımite se aplican a un modelo de elemento finito es discutido en relaci´on a la
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
270
Figura 8.4(a). La figura muestra un campo de flujo entre dos placas paralelas que forman un canal de cauce convergente. Las placas se asumen suficientemente largas en la direcci´on z de forma que el flujo puede modelarse adecuadamente como bi–dimensional. Debido a la simetr´ıa, consideramos s´olo la mitad superior del campo de flujo, como en la Figura 8.4(b). La secci´on a–b se asume que est´a bastante lejos de la secci´on convergente, de modo que la velocidad fluida s´olo tiene una componente en la direcci´on x. Puesto que nosotros examinamos s´ olo flujo estacionario, la velocidad en a–b es Uab = const. Un argumento similar se aplica a la secci´ on c–d, situada m´as adelante, y denotamos la componente de velocidad–x en esa secci´ on como Uab = const. Cu´an lejano r´ıo arriba o r´ıo abajo es bastante para hacer estas asunciones ?. La respuesta es una cuesti´on de convergencia de la soluci´on. Las distancias involucradas deben aumentar hasta que no exista ninguna diferencia discernible en la soluci´on de flujo. Como una regla de tipo pr´ actico, las distancias deben ser 10 a 15 veces la anchura del cauce de flujo. y b Uab
c Ucd
a
d
x
(a) Esquema del prototipo real
2
b
Uab
c Ucd
1 a
d (b) Modelo de media simetr´ıa
b c a
d
(c) Modelo de elementos finitos triangulares
Figura 8.4: Flujo uniforme dentro de un ducto convergente Como resultado de la simetr´ıa e irrotacionalidad del flujo, no puede haber componente de velocidad en la direcci´on y a lo largo de la l´ınea y = 0 (es decir, el eje x). La velocidad a lo largo de esta l´ınea es en absoluto tangente a la misma en todos los valores de x. Dadas estas observaciones, el eje x es una l´ınea de corriente; de aqu´ı, ψ = ψ1 = cte a lo largo del eje. Similarmente, a lo largo de la superficie de la placa superior, no hay ninguna componente de velocidad normal a la placa (imprenetrabilidad), as´ı que ´este contorno tambi´en debe ser una l´ınea de corriente a lo largo de la cual ψ = ψ2 = cte. Los valores de ψ1 y ψ2 son dos de las condiciones de borde requeridas. Recordando que las componentes de velocidad se definen como las primeras derivadas parciales de la funci´on de corriente, ´esta debe tener forma conocida involucrando dentro de s´ı una constante. Por ejemplo, una funci´on de corriente con la forma ψ(x, y) = C + f (x, y) no contribuye ninguna condici´on de velocidad asociada con la constante
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
271
C. Por tanto, un valor (constante) de la funci´on de corriente puede ser arbitrariamente especificado. En este caso, nosotros escogemos poner ψ1 = 0. Para determinar el valor de ψ2 , notamos que, en la secci´on a–b (que hemos escogido arbitrariamente como x = 0), la velocidad es u=
∂ψ ψ2 − ψ1 ψ2 = Uab = cte = = ∂y y b − ya yb
(8.18)
de donde: ψ2 = yb Uab . En cualquier punto sobre a–b, tenemos ψ = (ψ2 /yb )y = Uab y, de modo que el valor de la funci´ on de corriente en cualquier nodo de elemento finito localizado sobre a–b es conocido. Similarmente, puede mostrarse que ψ = (ψ2 /yc )y a lo largo de c–d, de modo que los valores nodales en esa l´ınea tambi´en son conocidos. Si estos argumentos son considerados cuidadosamente, vemos que las condiciones l´ımite sobre las “esquinas” o v´ertices del dominio son cont´ınuas y bien definidas. Luego consideramos las condiciones de fuerza a trav´es de las secciones a–b y c–d. Como notamos, las componentes de velocidad–y a lo largo de estas secciones son cero. Adem´as, las componentes–y de los vectores normales unitarios a estas secciones tambi´en son cero. Usando ´estas observaciones junto con la Ecuaci´ on (8.17), las fuerzas nodales sobre los nodos de cualquier elemento localizado en estas secciones son cero. La ocurrencia de fuerzas nulas es equivalente a establecer que las l´ıneas de corriente son normales a los bordes l´ımite. Si ahora utilizamos una malla de elementos triangulares (por ejemplo), como en la Figura 8.4(c), y seguimos el procedimiento general de ensamblaje del sistema, obtenemos una serie de ecuaciones globales de la forma [ K ]{ψ} = {F } (8.19) La funci´ on impelente en el lado derecho es cero en todos los nodos interiores. En los nodos ubicados en el borde l´ımite sobre las seccciones a–b y c–d, observamos que las fuerzas nodales son tambi´en cero. En todos los nodos de elementos situados sobre la l´ınea y = 0, los valores nodales de la funci´on de corriente son ψ = 0; mientras que en todos los nodos de los elementos localizados sobre el perfil de la placa superior los valores se especifican como ψ = yb Uab . Las condiciones ψ = 0 son an´alogas a la especificaci´ on de desplazamientos nulos en un problema estructural. Con estas condiciones, las inc´ognitas son las fuerzas ejercidas sobre esos nodos. Similarmente, la especificaci´on de valores no– nulos de la funci´ on de corriente a lo largo del perfil de la placa superior es an´alogo a un desplazamiento especificado. La inc´ ognita es la fuerza requerida para inducir ese desplazamiento. La situaci´ on aqu´ı es un poco m´ as complicada matem´aticamente, cuando tenemos valores especificados nulos y no–nulos de la variable nodal. En lo siguiente, asumimos que las ecuaciones del sistema se han ensamblado, y re–ordenamos las ecuaciones de modo que la matriz columna de valores nodales sea {ψ0 } (8.20) {ψ} = {ψc } {ψd } donde {ψ0 } representa todos los nodos a lo largo de la l´ınea de corriente para los cuales ψ = 0; {ψc } representa a todos los nodos sobre los cuales el valor de ψ es especificado o conocido; y finalmente {ψd } corresponde a todos los nodos para los cuales la funci´on de corriente ψ es desconocida. El vector de fuerza global correspondiente es {F } 0 {F } = {Fc } (8.21) {0} y notamos que en todos los nodos en los cuales ψ no es conocida son nodos internos en los cuales las fuerzas nodales se conoce que deben tomar valor nulo, por las razones que y´a se explicaron.
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
272
Usando la notaci´ on previamente nando la matriz de rigidez) como [ K00 ] [ Kc0 ] [ Kd 0 ]
definida, las ecuaciones del sistema pueden re–escibirse (particio {ψ0 } {F0 } [ Kcc ] [ Kcd ] {ψc } = {Fc } [ Kdc ] [ Kdd ] {ψd } {0} [ K0c ] [ K0d ]
(8.22)
puesto que {ψ0 } = {0}, la primera serie de las ecuaciones particionadas resulta [ K0c ]{ψc } + [ K0d ]{ψd } = {F0 }
(8.23)
y los valores de {F0 } pueden ser obtenidos s´olamente despu´es de haber resuelto para {ψd } usando las restantes ecuaciones. De aqu´ı, la Ecuaci´ on (8.23) es an´aloga a las ecuaciones de fuerzas de reacci´on en los problemas estructurales y puede ser eliminada del sistema temporalmente. Las ecuaciones remanentes que conforman el modelo reducido asociado son [ Kcc ] [ Kcd ] {ψc } {Fc } = (8.24) [ Kdc ] [ Kdd ] {ψd } {0} y debe notarse que, aunque la matriz de rigidez es sim´etrica, [ Kcd ] y [ Kdc ] no son las mismas. La primera partici´ on de la Ecuaci´ on (8.24) es tambi´en una serie de ecuaciones de “reacci´on” dadas por [ Kcc ]{ψc } + [ Kcd ]{ψd } = {Fc }
(8.25)
y ´estas son usadas para determinar {Fc } pero, nuevamente, despu´es que {ψd } sea determinado. La segunda ecuaci´ on proveniente de la partici´on efectuada en el modelo reducido especificado por la Ecuaci´on (8.24) es [ Kdc ]{ψc } + [ Kdd ]{ψd } = {0} (8.26) y, ´estas ecuaciones tienen como soluci´ on formal {ψd } = [ Kdd ]−1 [ Kdc ]{ψc }
(8.27)
considerando que los valores en {ψc } son constantes conocidas. Obtenida la soluci´on b´asica mediante la Ecuaci´on (8.27), las “reacciones” en las Ecuaciones (8.23) y (8.25) pueden ser ahora calculadas dir´ectamente por substituci´ on. Como las componentes de velocidad son de importancia mayor en un problema de flujo fluido, debemos luego utilizar la soluci´ on obtenida para los valores nodales de la funci´on de corriente para evaluar las componentes de velocidad. Este c´alculo es f´acilmente realizado mediante la Ecuaci´on (8.12) en la que la funci´ on de corriente es discretizada en t´erminos de los valores nodales. Una vez que completamos el procedimiento de soluci´ on y´a descrita para los valores de la funci´on de corriente en los nodos, las componentes de velocidad en cualquier punto de un elemento finito especificado son M
u(x, y) =
∂ψ X ∂Ni ∂[ N ]T = ψi = {ψ} ∂y ∂y ∂y i=1
M X ∂ψ ∂Ni ∂[ N ]T υ(x, y) = − =− ψi = − {ψ} ∂x ∂x ∂x i=1
(8.28)
Por ejemplo, note que si se usa un elemento triangular de tres–nodos, las componentes de velocidad como est´an definidas en la Ecuaci´ on (8.28) tienen valores constantes en cualquier lugar sobre el elemento y son discontinuas a trav´es de los l´ımites de elementos interconectados. Por consiguiente, se requiere un gran n´ umero de elementos peque˜ nos para obtener una aceptable exactitud en la soluci´on. La aplicaci´on de la funci´on de corriente a un ejemplo num´erico se posterga hasta que discutamos una aproximaci´on alternativa basada en la funci´ on potencial de velocidad, en la pr´oxima secci´on.
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
8.3.3.
273
La funci´ on potencial de velocidad
Otra t´ecniva para resolver un problema de flujo bi–dimensional, incompresible, no–viscoso, es incluir la funci´ on potencial de velocidad. En este m´etodo, suponemos la existencia de una funci´ on potencial φ(x, y) tal que ∂φ ∂φ u(x, y) = − υ(x, y) = − (8.29) ∂x ∂y y notamos que las componentes de velocidad definidas por la Ecuaci´on (8.29) autom´aticamente satisfacen la condici´ on de irrotacionalidad. La substituci´on de las definiciones de velocidad en la ecuaci´on de continuidad para flujo bi–dimensional proporciona ∂u ∂υ ∂2φ ∂2φ + 2 =0 + = ∂x ∂y ∂x2 ∂y
(8.30)
y, nuevamente, obtenemos la ecuaci´ on de Laplace como ecuaci´on gobernante para flujo bi–dimensional descrita por una funci´ on potencial. Examinemos la formulaci´ on potencial en t´erminos del ejemplo anterior de un flujo convergiendo entre dos placas paralelas. Refiri´endonos nuevamente a la Figura 8.4(a), ahora observamos que, a lo largo de las l´ıneas en las que la funci´on potencial es constante, nosotros podemos escribir dφ =
∂φ ∂φ dx + dy = −( u dx + υ dy ) = 0 ∂x ∂y
(8.31)
Observando que la cantidad u dx + υ dy es la magnitud del producto escalar del vector velocidad y el vector tangente a la l´ınea de potencial constante, concluimos que el vector velocidad en cualquier punto sobre una l´ınea de potencial constante es perpendicular a la l´ınea. De aqu´ı, las l´ıneas de corriente y las l´ıneas de potencial de velocidad constante (l´ıneas equipotenciales) forman una “red” ortogonal (conocida como el flujo neto) como mostramos esquem´aticamente en la Figura 8.5. Cte.
Cte.
a
c
d
b
Cte.
Figura 8.5: Flujo neto de l´ıneas de corriente y potencial de velocidad constantes La formulaci´ on de elemento finito de un flujo incompresible, no–viscoso, irrotacional, en t´erminos del potencial de velocidad es bastante similar a aquella planteada para la aproximaci´on mediante la funci´on de corriente, ya que la ecuaci´on gobernante es la ecuaci´on de Laplace en ambos casos. Por analog´ıa directa con las Ecuaciones (8.12) a (8.14), podemos escribir φ(x, y) =
M X
Ni (x, y)φi = [ N ]{φ}
(8.32)
i=1
Z Ni (x, y) A(e)
∂2φ ∂2φ + 2 ∂x2 ∂y
dx dy = 0
i = 1; M
(8.33)
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
274
Z T
[N ]
∂2φ ∂2φ + 2 ∂x2 ∂y
dx dy = 0
(8.33a)
A(e)
Z [ N ]T S (e)
Z Z ∂φ ∂[ N ]T ∂φ nx dS − dx dy + [ N ]T ∂x ∂x ∂x A(e) S (e) Z T ∂[ N ] ∂φ − dx dy = 0 ∂y ∂y
∂φ ny dS ∂y (8.34)
A(e)
Utilizando la Ecuaci´ on (8.32) en las integrales de ´area de la Ecuaci´on (8.34), y substituyendo las componentes de velocidad en las integrales de borde, obtenemos Z
∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] + ∂x ∂x ∂y ∂y
Z dx dy{φ} = −
[ N ]T ( u nx + υ ny )dS
(8.35)
S (e)
A(e)
o, en forma resumida [ k (e) ]{φ} = {f (e) }
(8.35a)
La matriz de rigidez de elemento se observa que es id´entica a aquella del m´etodo de la funci´on de l´ınea de corriente. El vector de fuerza nodal es significativamente diferente, sin embargo. Note que, en la integral de la derecha en la Ecuaci´ on (8.35), el t´ermino entre par´entesis es el producto escalar del vector velocidad y el vector normal unidad en un borde l´ımite del elemento. Por consiguiente, las fuerzas nodales son asignadas a los nodos del flujo a trav´es de los l´ımites del elemento. (Recuerde que asumimos dimensi´ on de valor unidad en la direcci´on z, para que los t´erminos en el lado derecho de la Ecuaci´on (8.35) son los caudales volum´etricos). Como es usual, en los l´ımites de los elementos interiores, las contribuciones de elementos adyacentes son iguales pero de sentido opuesto y se cancelan durante el paso de ensamblaje del sistema. S´ olo los elementos en los l´ımites globales tienen componentes de fuerza nodales no–nulas. Ejemplo 8.1. Para ilustrar ambos m´etodos: la funci´ on de l´ınea de corriente y el potencial de velocidad, ahora examinaremos el caso de un cilindro puesto transversalmente a una corriente de flujo uniforme, como es mostrado en la Figura 8.6(a). Las hip´ otesis que hacemos a esta situaci´on, son 1. Lejos aguas arriba del cilindro, el campo de flujo es uniforme con u = U = cte y υ = 0. 2. Las dimensiones en la direcci´ on z son grandes, para que el flujo pueda ser considerado bi–dimensional. 3. Lejos aguas abajo del cilindro, el flujo es de nuevo uniforme de acuerdo con la hip´otesis 1.
> Soluci´ on Aqu´ı plantearemos una discusi´ on detallada, pero general, del enfoque de an´alisis que se puede establecer para este problema aplicando modelos de elemento finito asociados con las dos concepciones de formulaci´on desarrolladas anteriormente.
Formulaci´ on de potencial de velocidad
Dadas las hip´ otesis y la geometr´ıa del problema, necesitamos considerar s´olo una cuarta parte del campo de flujo, como se muestra en la Figura 8.6(b), debido a la simetr´ıa. Las condiciones de borde
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
275
y
U x
(a) Esquema del prototipo real
U yb
b
c
Cte. x
d a
e
(b) Modelo de cuarta simetr´ıa
Figura 8.6: Flujo uniforme alrededor de un cilindro en un ducto
primero se establecen para la formulaci´on de potencial de velocidad. A lo largo de la recta x = 0 (a–b), tenemos u = U = cte y υ = 0. De modo que, ∂φ ∂x ∂φ υ(0, y) = 0 = − ∂y u(0, y) = U = −
y el vector normal unitario (saliente) a esta superficie es (nx , ny ) = (−1, 0). De aqu´ı, para cada elemento que tiene lados (y por tanto nodos) sobre el l´ımite a–b, el vector de fuerza nodal resulta ser para ellos Z Z (e) T {f } = − [ N ] ( u nx + υ ny )dS = U [ N ]T dS S (e)
S (e)
y el camino de integraci´ on simplemente es dS = dy entre los nodos del elemento. Note el cambio en signo, debido a la orientaci´ on del vector normal exterior. De aqu´ı, las fuerzas asociadas con el flujo en la regi´on son positivas y las fuerzas asociadas con la salida son negativas. (El signo asociados con las fuerzas de flujo de entrada y salida depende de la elecci´on de signos en la Ecuaci´on (8.29). Si, en la Ecuaci´ on (8.29) escogemos signos positivos, la formulaci´on es esencialmente la misma). Las condiciones de simetr´ıa son tales que, sobre la superficie (borde) c–d, las componentes de velocidad–y son cero y x = xc , as´ı podemos escribir υ=−
∂φ(xc , y) ∂φ =− =0 ∂y ∂y
Esta relaci´ on puede satisfacerse si φ es independiente de la coordenada y, ´o si φ(xc , y) es constante. La primera posibilidad es bastante improbable y requiere que asumamos cierta forma de la soluci´on. De aqu´ı, la conclusi´ on es que la funci´on potencial de velocidad debe asumir un valor constante sobre c–d. Note que, sin embargo, esta conclusi´on no implica que la componente–x de velocidad sea cero.
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
276
A lo largo de b–c, la velocidad fluida tiene s´olo una componente–x (debido a la impenetrabilidad), de modo que podemos escribir esta condici´on de borde como ∂φ ∂φ ∂φ = nx + ny = −( u nx + υ ny ) = 0 ∂n ∂x ∂y y puesto que υ = 0 y nx = 0 sobre este borde, hallamos que todas las fuerzas nodales son cero a lo largo del segmento b–c, pero los valores de la funci´on potencial de velocidad son desconocidos. El mismo argumento se aplica para e–d. Usando las condiciones de simetr´ıa a lo largo de esta superficie, no hay velocidad perpendicular a este sub–contorno, y arribamos a la misma conclusi´on: los nodos del elemento tienen valores de fuerza nodales nulos, pero simult´aneamene valores desconocidos de la funci´on potencial de velocidad. En resumen, para la formulaci´ on de funci´on potencial de velocidad, las condiciones de borde pertinentes son: 1. 2. 3. 4.
L´ımite L´ımite L´ımite L´ımite
a–b: b–b: c–d: a–e–d:
φ desconocido, fuerzas conocidas φ desconocido, fuerzas= 0 φ = cte, fuerzas desconocidas φ desconocido, fuerzas= 0
Ahora consideremos el ensamble de las ecuaciones globales. Por el procedimiento conocido de ensamblaje, las ecuaciones resultantes del proceso en forma matricial pueden escribirse [ K ]{φ} = {F } y el vector fuerza en el lado derecho de la ecuaci´on contiene valores conocidos como tambi´en desconocidos.El vector de valores de potencial nodales es desconocido — no tenemos valores especificados. Sabemos que, a lo largo de c–d, los valores de la funci´on potencial son constantes, pero no conocemos el valor de dichas constantes. Sin embargo, a la luz de la Ecuaci´on (8.29), las componentes de velocidad est´an definidas en t´erminos de las derivadas parciales, as´ı una constante arbitraria en la funci´on potencial no es de ninguna consecuencia, como con la formulaci´on de funci´on de corriente. Por consiguiente, necesitamos especificar s´ olo un valor arbitrario de φ en los nodos sobre c–d en el modelo, y el sistema de ecuaciones se hace soluble.
Formulaci´ on de funci´ on de corriente
Desarrollar el modelo de elemento finito para este problema particular en t´erminos de la funci´on de corriente es algo m´ as simple que para el potencial de velocidad. Por razones que se ponen claras cuando se establecen las condiciones de borde, tambi´en necesitamos considerar s´olo una cuarta parte del campo de flujo. El modelo tambi´en es como el mostrado en la Figura 8.6(b). A lo largo de a–e, las condiciones de simetr´ıa son tales que las componentes de velocidad–y son cero. Sobre el segmento e–d, las componentes de velocidad normales al cilindro deben ser cero, por condici´on que el cilindro es impenetrable. De aqu´ı, el segmento a–e–d es una l´ınea de corriente y arbitrariamente podemos establecer ψ = 0 sobre dicha l´ınea de corriente. Claramente, la superficie superior b–c tambi´en es una l´ınea de corriente y, usando los argumentos anteriores del ejemplo de flujo convergente, tenemos que ψ = U yb a lo largo de este borde. (Note que, si hubi´eramos escogido el valor de la funci´on de corriente a lo largo de a–e–d como una constante no–nula C, el valor a lo largo de b–c ser´ıa ψ = U yb + C). Sobre a–b y c–d, las fuerzas nodales son cero, tambi´en por la discusi´on anterior, y los valores nodales de la funci´on de corriente son desconocidos. Excepto por las diferencias geom´etricas, el procedimiento de soluci´on es igual que para el flujo convergente analizado anteriormente. Una malla relativamente tosca de elementos cuadril´ateros de cuatro–nodos usada para resolver este problema mediante la funci´ on de corriente se muestra en la Figura 8.7(a). Para el c´alculo num´erico, se usan los valores: U = 40, distancia a–b = yb = 5, y radio del cilindro = 1.
14
43
13
53
40
49
36
12
34
47
44
51
11
33
39
46
26
45
10
38
19
7 2
0
9
28
29
32
37
42
41
6
30
31
5
4 3
52 50
25
27
35
22
21
20
17
1
24
23
(b) L´ıneas de corriente (φ = cte) de la soluci´ on de elemento finito.
Figura 8.7: Modelo para flujo uniforme alrededor de un cilindro en un ducto; 40 elementos.
(a) Malla de elementos finitos para la soluci´ on de funci´ on de corriente.
8
15
16
48
18
200
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION 277
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
278
Tabla 8.1: Valores nodales seleccionados – Soluci´on del Ejemplo 8.1 Nodo
ψEF
ψexacto
VEF
Vexacto
1 2 8 16 20 21 22 23 24 45 46
0 0 0 123,63 142,48 100,03 67,10 40,55 18,98 67,88 103,87
0 0 0 122,17 137,40 99,37 64,67 39,36 18,28 65,89 100,74
75,184 1,963 38,735 40,533 44,903 47,109 51,535 57,836 68,142 41,706 42,359
80 0 38,4 40,510 42,914 45,215 49,121 55,499 65,425 40,799 41,018
Las l´ıneas de corriente resultantes (l´ıneas de ψ = cte) se muestran en la Figura 8.7(b). Recordando que las l´ıneas de corriente son l´ıneas para las cuales la velocidad del fluido es tangente en todos los puntos, los resultados parecen ser correctos intuitivamente. Note que, sobre el l´ımite izquierdo, las l´ıneas de corriente parecen ser casi perpendiculares a dicho l´ımite, como se requiere si la condici´on de velocidad uniforme en ese l´ımite sea satisfecha. Para el problema que nos ocupa, tenemos el lujo de comparar los resultados del an´alisis mediante elementos finitos con una soluci´ on “aproximadamente exacta” la cual proporciona la funci´on de corriente como la expresi´ on siguiente ψ=U
x2 + y 2 − R2 y x2 + y 2
Esta soluci´ on es realmente para un cilindro en una corriente de flujo uniforme de extensi´on indefinida en ambas direcciones x y y (de aqu´ı, el uso de la denominaci´on “aproximadamente exacta” que emitimos) pero es suficiente para los prop´ ositos de comparaci´on. La Tabla 8.1 presenta valores obtenidos por la soluci´ on de elemento finito y la soluci´on anal´ıtica precedente en algunos nodos seleccionados en el modelo. Tambi´en se muestra la magnitud calculada de la velocidad del fluido en esos puntos. Los errores nominales en la soluci´ on de elemento finito versus la soluci´on anal´ıtica son aproximadamente del 4 por ciento para el valor de la funci´ on de corriente, y un 6 por ciento para la magnitud de la velocidad. Aunque no mostramos aqu´ı, se us´o una malla refinada de elementos consistente en 218 elementos para evaluar una segunda soluci´ on y los errores disminuyeron a menos de 1 por ciento para el valor de la funci´ on de corriente y la magnitud de la velocidad. > En p´arrafos anteriores del cap´ıtulo, se menciona la analog´ıa entre el problema de conducci´on de calor y la formulaci´ on de funci´ on de corriente en problemas de flujo fluido. Puede ser de inter´es del lector notar que la soluci´ on de la funci´ on de corriente presentada en el Ejemplo 8.1 se genera usando un paquete de software comercial y un elemento de transmisi´on de calor bi–dimensional. El software particular utilizado no contiene un elemento fluido del tipo requerido para el problema. Sin embargo, poniendo las conductividades t´ermicas en valor unidad y especificando la generaci´on de calor interior nula; el problema, matem´ aticamente, es el mismo. Es decir, las temperaturas nodales se vuelven valores nodales de la funci´ on de corriente. Similarmente, las derivadas espaciales de la temperatura (los valores de flujo cal´orico) se convierten en las componentes de velocidad del flujo fluido, si los cambios de signo apropiados se tienen en cuenta. La similitud matem´atica de los dos problemas es ilustrada m´as adelante por la soluci´on de elemento finito del ejemplo anterior que usa la funci´on potencial de velocidad.
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
279
Con la puntualizaci´ on anterior, impl´ıcitamente estamos indicando que fen´omenos f´ısicos de naturaleza distinta pueden estar gobernados por una misma ecuaci´on matem´atica. Para el caso espec´ıfico mencionado anteriormente, esta relaci´on matem´atica es la ecuaci´on de Laplace. Ejemplo 8.2. Obtenga una soluci´ on de elemento finito para el problema del Ejemplo 8.1 mediante aproximaci´on del potencial de velocidad, usando, espec´ıficamente, la formulaci´on de transferencia de calor modificada como sea requerida. > Soluci´ on Primero notemos las analog´ıas de los fen´omenos f´ısicos involucrados ∂φ ⇒ qx = − kx ∂x ∂φ υ=− ⇒ qy = − ky ∂y u=−
∂T ∂x ∂T ∂y
de modo que, si kx = ky = 1; entonces el potencial de velocidad es directamente an´alogo a la temperatura, y las componentes de velocidad son an´alogos a los correspondientes t´erminos de flujo. De aqu´ı, las condiciones de borde en t´erminos de las variables t´ermicas, llegan a ser qx = U qy = 0 sobre a–b qx = qy = 0 sobre a–c y a–e–d T = cte = 0 sobre c–d (el valor es arbitrario) La Figura 8.8 muestra una malla de elemento finito planteada para hallar la soluci´on, en la que se trazan las l´ıneas de potencial de velocidad constante φ = cte (en la soluci´on de problema t´ermico, ´estas l´ıneas son l´ıneas de temperatura constante, o isotermas). Una comparaci´on directa entre esta soluci´on de elemento finito y otra descrita por una aproximaci´on de funci´on de corriente no es posible; ya que las mallas de elemento usadas en los modelos son diferentes. Sin embargo, podemos evaluar la exactitud de la soluci´ on para el potencial de velocidad por el examen de los resultados en lo que se refiere a las condiciones de borde l´ımite. Por ejemplo, a lo largo del borde superior horizontal, la componente–y de velocidad debe ser cero, ´esto sigue del hecho que las l´ıneas de φ constante deben ser perpendiculares al borde l´ımite. Visualmente, esta condici´on parece ser razonablemente bien–satisfecha en la Figura 8.8. Un examen de los datos reales presenta un cuadro ligeramente diferente. La Tabla 8.2 muestra un listado de las componentes de velocidad calculadas en cada nodo a lo largo de la superficie superior. Claramente, los valores de la componente y de velocidad V no son cero, de manera que soluciones adicionales que usen mallas refinadas de elemento finito deben plantearse para obtener una soluci´on mucho m´ as ´ optima. Tabla 8.2: Valores nodales seleccionados – Soluci´on del Ejemplo 8.2 Nodo
u
υ
4 19 20 21 5
40,423 41,019 42,309 43,339 43,676
0,480 0,527 0,594 0,516 0,002
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
280
18
14
19
17
51
41
20
48 16 35 46
21
42
47 53
27
49 45
44
22
37 25
40
15 43
34
38
39
23
31
32
52 50
30 29
33
36
8
13
12
26
11
4 3 5
28 10
9
24 1
6 7 2
Figura 8.8: L´ıneas de potencial de velocidad φ = cte para el Ejemplo 8.2 > Observando que los m´etodos de la funci´on de corriente y el potencial de velocidad son accesibles para resolver los mismos tipos de problemas, la pregunta se plantea acerca de cual de ellos debe seleccionarse en un caso dado. En cada aproximaci´on, la matriz de rigidez es la misma, mientras que las fuerzas nodales difieren en la formulaci´on pero requieren la misma informaci´on b´asica. De aqu´ı, concluimos que no hay ninguna diferencia significativa entre los dos procedimientos. Sin embargo, si uno usa la formulaci´ on de la funci´ on de corriente, la geometr´ıa que posee el flujo fluido (es decir las trayectorias que son seguidas por las part´ıculas fluidas en movimiento) es prontamente visualizada, desde que la velocidad es tangente a las l´ıneas de corriente. Tambi´en puede demostrarse [18] que la diferencia en el valor de dos l´ıneas de corriente adyacentes, es igual a la tasa de flujo circulante (por unidad de profundidad) entre esas l´ıneas de corriente.
8.3.4.
Flujo alrededor de m´ ultiples cuerpos
Para un flujo ideal (no–viscoso, incompresible) alrededor de m´ ultiples cuerpos, el m´etodo de funci´on de corriente es bastante directo de aplicar, sobre todo en el an´alisis de elemento finito, si las condiciones de l´ımite apropiadas pueden determinarse. Para empezar la explicaci´on, revisemos el flujo alrededor de un cilindro como en el Ejemplo 8.1. Observando que la Ecuaci´on (8.11), la cual gobierna el comportamiento de la funci´ on de corriente es lineal, el principio de superposici´on de efectos es aplicable; es decir, la suma de dos soluciones cualquiera a la ecuaci´on, tambi´en es una soluci´on. En particular, consideramos que la funci´ on de corriente est´a dada por ψ(x, y) = ψ1 (x, y) + a ψ2 (x, y)
(8.36)
´ DE CORRIENTE 8.3. LA FUNCION
281
donde a es una constante a ser determinada. Las condiciones de borde en las superficies horizontales (S1 ) son satisfechas por ψ1 , mientras las condiciones de borde sobre la superficie del cilindro (S2 ) ser´an satisfechas por ψ2 . La constante a debe ser determinada de modo que la combinaci´on de las dos funciones de corriente satisfaga una condici´on conocida en alg´ un punto del flujo fluido. De aqu´ı, las condiciones sobre las dos soluciones (funciones de corriente) son En todo el dominio: ∂ 2 ψ1 ∂ 2 ψ1 + =0 ∂x2 ∂y 2 (8.37) ∂ 2 ψ2 ∂ 2 ψ2 + =0 ∂x2 ∂y 2 mientras que en las fronteras: ψ1 ψ1 ψ2 ψ2
= U yb =0 =0 =1
sobre sobre sobre sobre
S1 S2 S1 S2
(8.38)
Debe notar que el valor de ψ2 es (temporalmente) puesto igual a la unidad sobre la superficie del cilindro. El procedimiento es entonces obtener dos soluciones de elemento finito, una para cada funci´on de corriente, y las condiciones de borde asociadas. Dadas las dos soluciones, la constante a puede ser determinada y la soluci´ on completa se hace conocida. La constante a, por ejemplo, es hallada calculando la velocidad en una posici´on muy lejos agua arriba (donde la velocidad es conocida) y calculando esta constante para coincidir con esa condici´on conocida. En el caso de flujo uniforme alrededor de un cilindro, las soluciones dan el resultado trivial que a = cte arbitraria, ya que tenemos una sola superficie en el flujo, y por tanto una constante arbitraria solamente. La situaci´ on es diferente, sin embargo, si nosotros tenemos m´ ultiples cuerpos, como es discutido luego. S1
a U
S2
S3 b
Figura 8.9: Dos cuerpos en el interior de un flujo uniforme Considere la Figura 8.9, que muestra dos cuerpos de forma arbitraria localizados en el interior de un flujo fluido ideal, el cual tiene un perfil de velocidades uniforme aguas arriba a una distancia relativamente grande de los dos obst´aculos. En este caso, consideramos tres soluciones a la ecuaci´on gobernante, para que la funci´ on de corriente pueda representarse por [1] ψ(x, y) = ψ1 (x, y) + a ψ2 (x, y) + b ψ3 (x, y)
(8.39)
donde a y b son constantes a ser determinadas. De nuevo, nosotros sabemos que cada soluci´on independiente en la Ecuaci´ on (8.39) debe satisfacer la Ecuaci´on (8.11) y, recordando que la funci´on de corriente debe asumir un valor constante sobre una superficie impenetrable, podemos expresar las condiciones
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
282
de borde l´ımite en cada soluci´ on como ψ1 ψ1 ψ2 ψ2 ψ3 ψ3
= U yb =0 =0 =1 =0 =1
sobre sobre sobre sobre sobre sobre
S1 S2 y S3 S2 y S3 S2 S1 y S1 S3
(8.40)
Para obtener una soluci´ on para el problema de flujo mostrado en la Figura 8.9, debemos 1. Obtener una soluci´ on para ψ1 satisfaciendo la ecuaci´on gobernante y las condiciones de borde establecidas para ψ1 . 2. Obtener una soluci´ on para ψ2 satisfaciendo la ecuaci´on gobernante y las condiciones de borde establecidas para ψ2 . 3. Obtener una soluci´ on para ψ3 satisfaciendo la ecuaci´on gobernante y las condiciones de borde establecidas para ψ3 . 4. Combinar los resultados en (para este caso) dos puntos d´onde la velocidad o la funci´on de corriente es conocida en valor, para determinar las constantes a y b en la Ecuaci´on (8.39). Para este ejemplo, dos punto cualquiera en la secci´ on a–b son apropiados, ya que sabemos que la velocidad es uniforme en esa secci´ on. Como una nota pr´ actica, este procedimiento generalmente no es incluido en paquetes de software de elemento finito. Uno debe, de hecho, obtener las tres soluciones y calcular manualmente las constantes a y b; entonces ajustar las condiciones l´ımite (los valores constantes de la funci´on de corriente) para la entrada en la pr´ oxima corrida del software. En este caso, no s´olo los resultados computados (los valores de la funci´on de corriente, y velocidades) sino tambi´en los valores de las constantes calculadas a y b son consideraciones para la convergencia de las soluciones de elemento finito. El procedimiento descrito puede parecer tedioso, y es de cierta magnitud, pero las alternativas (otras diferentes del an´alisis de elemento finito) son mucho m´ as embarazosas.
8.4.
Flujo viscoso incompresible
Los flujos idealizados no–viscosos analizados mediante la funci´on de corriente o la funci´on potencial de velocidad pueden revelar valiosa informaci´on en muchos casos. Ya que ning´ un fluido es de verdad no–viscoso, la exactitud de estos an´ alisis disminuyen con la viscosidad creciente de un fluido real. Para ilustrar los efectos de la viscosidad (y las complicaciones que surgen) ahora examinaremos la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a una clase restringida de flujos viscosos incompresibles. Las hip´otesis y restricciones aplicables a los desarrollos siguientes son 1. El flujo puede ser considerado bi–dimensional. 2. Ninguna transferencia de calor est´ a involucrada. 3. La densidad y la viscosidad son par´ ametros constantes. 4. El flujo es estacionario con respecto al tiempo.
8.4. FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
283
Bajo estas condiciones, las afamadas ecuaciones de Navier–Stokes [39] – [21], que representan la conservaci´ on del momentum lineal, pueden reducirse a [24]
ρu
∂ 2 u ∂p ∂u ∂u ∂2u + ρυ −µ 2 −µ 2 + = FBx ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x
∂2υ ∂p ∂υ ∂υ ∂2υ ρu + ρυ −µ 2 −µ 2 + = FBy ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y donde: u, υ = ρ= p= µ= FBx , FBy =
(8.41)
componentes de velocidad en x y y, respectivamente densidad del fluido presi´ on interior del fluido viscosidad absoluta del fluido componentes de fuerza m´asica seg´ un x y y, respectivamente
Note cuidadosamente que la Ecuaci´on (8.41) es no–lineal, debido a la presencia de los t´erminos de inercia convectiva de la forma ρ u (∂u/∂x). En lugar de tratar aqu´ı directamente los t´erminos no–lineales, consideremos el siguiente caso especial.
8.4.1.
Flujo de Stokes
Para flujo fluido en el que las velocidades son muy peque˜ nas, los t´erminos de inercia (i.e., los t´erminos no–lineales precedentes) puede demostrarse que son despreciables comparados con los efectos viscosos. Dicho tipo de flujo, conocido como flujo de Stokes (o flujo de arrastre), normalmente es encontrado en el procesamiento de fluidos de alta–viscosidad, como los pol´ımeros fundidos por ejemplo. Despreciando los t´erminos de inercia, las ecuaciones de conservaci´on del momentum lineal se transforman a −µ
∂2u ∂ 2 u ∂p − µ + = FBx ∂x2 ∂y 2 ∂x
∂2υ ∂2υ ∂p −µ 2 − µ 2 + = FBy ∂x ∂y ∂y
(8.42)
La Ecuaci´ on (8.42) y la condici´ on de continuidad, Ecuaci´on (8.8), forman un sistema de tres ecuaciones en las tres inc´ ognitas: u(x, y), v(x, y), y p(x, y). De aqu´ı, una formulaci´on de elemento finito incluye tres variables nodales, y ´estas son discretizadas como
u(x, y) =
M X
Ni (x, y)ui = [ N ]T {u}
i=1
υ(x, y) =
M X
Ni (x, y)υi = [ N ]T {υ}
(8.43)
i=1
p(x, y) =
M X
Ni (x, y)pi = [ N ]T {p}
i=1
La aplicaci´ on del m´etodo de Galerkin a un elemento finito bidimensional (asumiendo que tiene espesor
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
284
uniforme unitario en la direcci´ on z) proporciona las ecuaciones residuales Z ∂2u ∂ 2 u ∂p Ni −µ 2 − µ 2 + − FBx dA = 0 ∂x ∂y ∂x A( e)
Z Ni
∂2υ ∂2υ ∂p −µ 2 − µ 2 + − FBy ∂x ∂y ∂y
dA = 0
i = 1; M
(8.44)
A( e)
Z Ni
∂u ∂υ + ∂x ∂y
dA = 0
A( e)
Como los procedimientos requeridos para obtener las varias matrices de elemento fueron explicados en detalle en los desarrollos anteriores, no examinaremos la Ecuaci´on (8.44) en su integridad. En cambio, se desarrollan s´ olo unos cuantos t´erminos representativos, y los resultados restantes son declarados por simple inferencia. Primero, consideremos los t´erminos viscosos que contienen segundas derivadas espaciales de las componentes de velocidad como 2 Z ∂ u ∂2υ + dA i = 1; M (8.45) µ Ni ∂x2 ∂y 2 A(e)
el cual puede ser expresado como Z Z ∂Ni ∂u ∂Ni ∂u ∂u ∂ ∂u ∂ Ni + Ni dA + µ + dA − µ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
i = 1; M
(8.46)
A(e)
A(e)
La aplicaci´on del teorema de Green–Gauss a la primera integral en la Ecuaci´on (8.46) proporciona Z Z ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u ∂u − µ Ni + Ni dA = − µ Ni nx + ny dS i = 1; M (8.47) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y A(e)
S (e) (e)
donde S es el borde l´ımite del elemento y (nx , ny ) son las componentes del vector normal unitario exterior al l´ımite. De aqu´ı, la integral en la Expresi´on (8.45) se vuelve 2 Z Z ∂ u ∂2u ∂u ∂u − µNi + n + n dA = − µN x y dS i ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y A(e) S (e) (8.48) Z ∂Ni ∂u ∂Ni ∂u + µ + dA i = 1; M ∂x ∂x ∂y ∂y A(e)
Note que el primer t´ermino en el lado derecho de la Ecuaci´on (8.48) representa un t´ermino de fuerza nodal de borde para el elemento. Dichos t´erminos provienen del efecto de las tensiones cortantes actuantes en el interior del fluido. Como observamos muchas veces, estas condiciones se cancelan en los l´ımites de inter–elementos y s´ olo deben ser considerados en los l´ımites globales de un modelo de elemento finito. De aqu´ı, estas condiciones s´olo son consideradas en el paso de ensamblaje del modelo. La segunda integral en la Ecuaci´ on (8.48) es una porci´on de la matriz de “rigidez” para el problema de flujo fluido, y cuando este t´ermino se relaciona con la componente de velocidad seg´ un la direcci´on x y la viscosidad, denotamos esta porci´ on de la matriz como [ kuµ ]. Recordando que la Ecuaci´on (8.48) representa en realidad un sistema de M ecuaciones algebr´aicas, la integral se convierte a una forma matricial usando la primera de las Ecuaciones (8.43) para obtener Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] 2 + ∂y dA {u} = [ kuµ ]{u} (8.49) µ ∂x ∂x ∂y ∂y A(e)
8.4. FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
285
Usando el mismo procedimiento con el segundo t´ermino de la Ecuaci´on (8.44), los resultados son similares. Seg´ un un desarrollo apropiado, obtenemos el resultado an´alogo 2 Z Z ∂υ ∂ υ ∂2υ ∂υ + dA = − µN − µNi n + n i x y dS ∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y S (e) A(e) (8.50) Z ∂Ni ∂υ ∂Ni ∂υ + µ + dA i = 1; M ∂x ∂x ∂y ∂y A(e)
Procediendo como antes, podemos escribir las integrales de ´area en la derecha como Z ∂[ N ]T ∂[ N ] ∂[ N ]T ∂[ N ] µ + dA {υ} = [ kυµ ]{υ} ∂x ∂x ∂y ∂y
(8.51)
A(e)
Considerando luego los t´erminos asociados con la presi´on y convirtiendo a notaci´on matricial, el primer t´ermino de la Ecuaci´ on 8.53 se desarrolla como Z ∂[ N ] dA{p} = [ kpx ]{p} (8.52) [ N ]T ∂x A(e)
y, similarmente las segundas ecuaciones del momentum contienen Z ∂[ N ] [ N ]T dA{p} = [ kpy ]{p} ∂y
(8.53)
A(e)
Las componentes de fuerza nodales que corresponden a las fuerzas m´asicas (medidas por unidad de volumen) son prontamente mostradas que est´an dadas por Z {fBx } = [ N ]T FBx dA A(e)
(8.54)
Z [ N ]T FBy dA
{fBy } = A(e)
Combinando la notaci´ on desarrollada en las Ecuaciones (8.43) a (8.54), resulta que las ecuaciones de conservaci´ on del momentum lineal para el elemento finito son kuµ {u} + [ kpx ]{p} = {fBx } + {fxτ } (8.55) kυµ {υ} + [ kpy ]{p} = {fBy } + {fyτ } donde, para la integridad, se han inclu´ıdo las fuerzas nodales que corresponden a las integrales sobre ´ los l´ımites del elemento S (e) en las Ecuaciones (8.48) y (8.50). (Estos t´erminos est´an denotados como: {fxτ } y {fyτ } en la ecuaci´ on anterior). Finalmente, la ecuaci´ on de continuidad se expresa en t´erminos de las velocidades nodales en forma matricial como Z Z ∂[ N ] ∂[ N ] dA{u} + [ N ]T dA{υ} = [ ku ]{u} + [ kυ ]{υ} = 0 (8.56) [ N ]T ∂x ∂y A(e)
A(e)
donde
ku = [ kpx ] =
Z [ N ]T
∂[ N ] dA ∂x
A(e)
Z
∂[ N ] [N ] dA ∂y T
[ kυ ] = [ kpy ] = A(e)
(8.57)
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
286
Como es formulado aqu´ı, las Ecuaciones (8.55) y (8.56) son un sistema de 3M ecuaciones algebr´aicas gobernando los 3M valores nodales desconocidos {u}, {υ}, {p} y pueden expresarse formalmente como el sistema [ kuµ ] [ 0 ] [ kpx ] {u} {fBx } [ 0 ] [ kυµ ] [ kpy ] {υ} = {fBy } (8.58) [ ku ] [ kυ ] [ 0 ] {p} {0} que nuevamente, se puede escribir en notaci´on mucho m´as comp´acta como [ k (e) ]{δ (e) } = {f (e) }
(8.58a)
donde [ k (e) ] representa la matriz completa de rigidez de elemento. Note que la matriz de rigidez de elemento est´ a compuesta de nueve M ×M submatrices, y aunque las submatrices individuales son sim´etricas, la matriz de rigidez no es sim´etrica. El desarrollo que lleva a la Ecuaci´ on (8.58) est´a basado en la evaluaci´on de las componentes de velocidad y la presi´ on en el mismo n´ umero de nodos. Esto no es necesariamente el caso para un elemento fluido. La investigaci´ on computacional [26] demuestra que una mejor exactitud se obtiene si las componentes de velocidad se eval´ uan en un n´ umero m´as grande de nodos que las presiones. En otras palabras, las componentes de velocidad son discretizadas usando funciones de interpolaci´on de orden–superior que aquellas usadas para la presi´on. Por ejemplo, un elemento triangular cuadr´atico de seis–nodos podr´ıa ser usado para las velocidades, mientras la variable presi´on s´olo se interpola en los nodos v´ertice, usando funciones de interpolaci´on lineales. En tal caso, la Ecuaci´on(8.57) no se emplea. El arreglo de las ecuaciones y la definici´on asociada de la matriz de rigidez de elemento en la Ecuaci´on (8.58) est´ a basada en el ordenamiento de las variables nodales como {δ}T = u1
u2
u3
υ1
υ2
υ3
p1
p2
p3
(usando un elemento de tres–nodos, por ejemplo). Tal clasificaci´on puede ser adecuada para ilustrar el desarrollo de las ecuaciones de elemento. Sin embargo, si las ecuaciones globales para un modelo de elementos m´ ultiples no–id´enticos matem´ aticamente se ensambla y las variables nodales globales son similarmente ordenadas, esto es, {∆}T = U1
U2
...
V1
V2
...
P1
P2
...
PN
los requisitos computacionales son prohibitivamente ineficaces, porque la matriz de rigidez global tiene un ancho–de–banda muy grande. Por otro lado, si las variables nodales son ordenadas como {∆}T = U1
V1
P1
U2
V2
P2
...
UN
VN
PN
la eficacia computacional se mejora enormemente, cuando el ancho–de–banda de la matriz es significativamente reducida. Para una discusi´ on m´ as detallada acerca de matrices banda y t´ecnicas computacionales asociadas, vea la Referencia [51] en la cual encontrar´a usted una explicaci´on muy pedag´ogica. Ejemplo 8.3. Considere el flujo entre las placas rectas de la Figura 8.4 sea ahora uno viscoso, que genera arrastre y determine las condiciones de borde lmite para un modelo de elemento finito. Asuma que el flujo es totalmente desarrollado en las secciones a–b y c–d y que la tasa de flujo de volumen constante por unidad de espesor es Q. > Soluci´ on Para el flujo totalmente desarrollado, los perfiles de velocidad en a–b y c–d son parab´olicos, como es
8.4. FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
287
y b
c a
d
x
c b (a) Campo de velocidades de flujo S2 S1 S3 S4
(b) Condiciones de borde perimetral
Figura 8.10: Flujo desarrollado en el interior de un ducto convergente mostrado en la Figura 8.10(a). Denotando las velocidades m´aximas en estas secciones como Uab y Ucd , tenemos y2 u(xa , y) = Uab 1 − 2 yb υ(xa , y) = 0 u(xc , y) = Ucd
y2 1− 2 yd
υ(xc , y) = 0 La tasa de flujo de volumen fluido o caudal volum´etrico es obtenido integrando los perfiles de velocidad en los dominios de sus correspondientes ´areas de flujo. Zyb Q=2
Zyd u(xa , y)dy = 2
0
u(xc , y)dy 0
Substituyendo las expresiones de los perfiles de velocidad e integrando, obtenemos Uab =
3Q 4yb
Ucd =
3Q 4yd
y as´ı las componentes de velocidad en todos los nodos de los elementos en a–b y c–d son conocidas. Luego considere el o entre el fluido y la placa a lo largo de b–c. Como en los casos de flujo no–viscoso discutidos antes, invocamos la condici´on de impenetrabilidad para observar que las componentes de velocidad normal a este l´ımite son cero. Adem´as, puesto que el flujo es viscoso, invocamos la condici´ on de no–deslizamiento, la cual requiere que las componentes tangenciales de velocidad tambi´en sean cero en la interfase fluido–s´olido. De aqu´ı, para todos los nodos del elemento en b–c, ambas componentes de velocidad ui y υi son cero. Las condiciones de borde finales requeridas son obtenidas observando la condici´on de simetr´ıa a lo largo de a–d, d´ onde υ = υ(x, 0) = 0. Las condiciones de borde se resumen luego en referencia a la
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
288
Figura 8.10(b) como: UI = Uab
y2 1 − I2 yb
y2 UI = Ucd 1 − I2 yd
VI = 0
sobre S1 (a–b)
VI = 0 sobre S2 (b–c)
UI = VI = 0 sobre S3 (c–d) VI = 0 sobre S4 (d–a) donde I es un nodo de elemento sobre uno de los segmentos globales de borde del dominio modelado, mostrado en la Figura 8.10(b). Las ecuaciones del sistema correspondientes a cada una de las velocidades nodales especificadas que fueron resumidas se convierten en ecuaciones de restricci´on, y se las elimina mediante los procedimientos usuales antes de resolver para las variables nodales desconocidas. Asociada con cada una de las velocidades especificadas existe una fuerza de “reacci´on” representada por las fuerzas provenientes de la tensi´on cortante (tangencial) en las Ecuaciones (8.47), y estas fuerzas pueden ser calculadas ´ usando las ecuaciones de restricci´ on despu´es que se obtiene la soluci´on global. Este es el caso para todas las ecuaciones asociadas con los nodos del elemento sobre los segmentos S1 , S2 , y S3 . Sobre S4 , la situaci´on es un poco diferente y el comentario adicional siguiente lo explica. Como las componentes de velocidad en la direcci´ on x a lo largo de S4 no est´an especificadas, una pregunta se plantea acerca de la disposici´ on de las fuerzas relacionadas con la tensi´on cortante en la direcci´on x. Estas fuerzas son definidas por Z ∂u ∂u nx + ny dS {fxτ } = µ Ni ∂x ∂y S (e)
como fueron inclu´ıdas en la Ecuaci´ on (8.48). En el l´ımite en cuesti´on, el vector normal unitario exterior se define por (nx , ny ) = (0, −1), por lo que el primer t´ermino en esta integral es cero. En vista de las condiciones de simetr´ıa sobre a–c, tambi´en tenemos ∂u/∂y = 0, de modo que las fuerzas cortantes en direcci´on x a lo largo de S4 tambi´en son cero. Con esta observaci´on y las condiciones de borde planteadas, las ecuaciones de comportamiento globales se vuelen un sistema d´ocil de ecuaciones algebr´aicas que pueden ser resueltas para los valores desconocidos de las variables nodales. >
8.4.2.
Flujo viscoso con inercia
Habiendo discutido flujos lentos, en los que los t´erminos de inercia eran despreciables, ahora consideraremos el caso m´ as general, que mencionamos es no–lineal. Todos los desarrollos de la secci´on anterior sobre el flujo de Stokes son aplicables aqu´ı; ahora agregamos los t´erminos no–lineales asociados con los t´erminos de inercia convectiva. Considerando la primera de las Ecuaciones (8.41), agregamos un t´ermino de la forma Z Z ∂u ∂[ N ] ∂[ N ] ∂u +υ dA ⇒ ρ [ N ]{u} {u} + [ N ]{υ} {u} dA (8.59) ρ u ∂x ∂y ∂x ∂y A(e)
A(e)
y, de la segunda relaci´ on establecida en las Ecuaciones (8.41) se obtiene Z Z ∂υ ∂[ N ] ∂υ ∂[ N ] ρ u +υ dA ⇒ ρ [ N ]{u} {υ} + [ N ]{υ} {υ} dA ∂x ∂y ∂x ∂y A(e)
(8.60)
A(e)
Como es expresado, la Ecuaci´ on (8.59) no es conformable a la multiplicaci´on matricial, impidiendo escribir la expresi´ on en la forma [ k ]{u}, y ´este es un resultado directo de la no–linealidad de las ecuaciones. Un tratamiento completo de las ecuaciones no–lineales que gobiernan el flujo fluido viscoso est´a m´as all´a del alcance de este texto; pero discutiremos una aproximaci´on iterativa para el problema.
8.5. RESUMEN FINAL
289
Asumamos que para una geometr´ıa bi–dimensional particular, tenemos resuelto el problema de flujo de Stokes y tenemos disponibles todas las velocidades nodales del modelo de elemento finito. Para cada elemento individual en el modelo de la malla de elementos utilizada en el dise˜ no del problema, denotamos la soluci´ on de flujo de Stokes para las componentes de la velocidad media (evaluadas en el centroide de cada elemento) como (¯ u, υ¯); luego, expresamos la aproximaci´on para los t´erminos de inercia, como fu´e ejemplificado por la Ecuaci´on (8.60), como Z
∂u ∂u ρ u +υ ∂x ∂y
Z dA =
A(e)
∂[ N ] ∂[ N ] ρ u ¯ + υ¯ ∂x ∂y
dA{u} = [ kuυ ]{u}
(8.61)
A(e)
Similarmente, hallamos que la contribuci´on al momentum lineal en la direcci´on y resulta ser Z
∂υ ∂υ +υ ρ u ∂x ∂y
A(e)
Z dA =
∂[ N ] ∂[ N ] ρ u ¯ + υ¯ ∂x ∂y
dA{υ} = [ kυu ]{υ}
(8.62)
A(e)
Las Ecuaciones (8.61) y (8.62) se refieren a un elemento individual. Los procedimientos de ensamblaje de ´estos t´erminos son iguales que lo discutido antes; ahora podemos agregar los t´erminos adicionales a la matriz de rigidez como resultado de la inercia del medio fluido en movimiento. Estas condiciones son r´ apidamente identificables en las Ecuaciones (8.61) y (8.62). En el flujo de inercia viscoso, la soluci´ on requiere iteraci´ on para lograr resultados satisfactorios. El uso de las velocidades del flujo de Stokes y las presiones representan s´olo la primera iteraci´on (aproximaci´on). En cada iteraci´on, las recientemente nuevas componentes de velocidad calculadas se usan para la pr´oxima iteraci´on. Para el flujo de arrastre (Stokes) y el flujo con inercia, las ecuaciones gobernantes tambi´en pueden ser desarrolladas en t´erminos de una funci´on de corriente [1]. Sin embargo, la ecuaci´on gobernante resultante individual del sistema, en cada caso, se encuentra que es de cuarto orden. Por consiguiente, para hallar la soluci´ on se requieren utilizar elementos que exhiben un orden de mayor continuidad que C0 ; o sea que los elementos usados en el modelo de an´alisis son de hecho m´as complicados en su manipulaci´ on matem´ atica.
8.5.
Resumen final
La aplicaci´ on del m´etodo del elemento finito a los problemas de flujo fluido es, en un sentido, bastante dir´ecta y, en otro sentido, muy compleja. En los casos idealizados de flujo no–viscoso, el problema de elemento finito se formula f´acilmente en t´erminos de una sola variable. Tales problemas no son ni rutinarios ni realistas, porque ning´ un fluido es de verdad carente de viscosidad. Como mostramos, la introducci´ on de la propiedad muy real de viscosidad fluida produce ecuaciones gobernantes de comportamiento no–lineales, que hacen del m´etodo de elemento finito para el an´alisis de ´estos problemas muy dif´ıcil y embarazoso, para decir lo menos. La moderna literatura de mec´ anica de fluidos est´a al corriente con los resultados de la investigaci´on en la aplicaci´ on de m´etodos de elemento finito a los problemas que se presentan en este campo de la ingenier´ıa. La literatura es muy voluminosa, de hecho, y usted percibir´a que no citamos las referencias intencionadamente; pero el lector encontrar´a muchos paquetes de software de elemento finito que inclu´ yen elementos fluidos de varios tipos. Estos programas computacionales incluyen “elementos tuber´ıa”, “elementos fluidos ac´ usticos”, y “combinaci´on de elementos”. Sin embargo, se advierte al ser consciente de las restricciones e hip´ otesis que subyacen en la formulaci´on de las “diversas clases” de elementos fluidos disponibles en un software dado y del cuidado en la aplicaci´on de los mismos.
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
290
Problemas propuestos 8.1. Por la definici´ on estandar de viscosidad descrita en la Secci´on 8.1, c´omo usted describir´ıa f´ısicamente la propiedad de viscosidad, en t´erminos de un ejemplo cotidiano (ya no use el agua y la melaza — pues y´ a usamos ese ejemplo). 8.2. C´omo usted dise˜ nar´ıa un experimento para determinar la viscosidad relativa entre dos fluidos ?. Qu´e fluidos usted podr´ıa usar en esta prueba ?. 8.3. Indague en un texto de mec´ anica de fluidos o en un libro de referencia. C´ ual es la definici´on de un fluido Newtoniano ?. 8.4. La Ecuaci´ on(8.5) es una ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales bastante complicada; que es lo que realmente ella significa ?. Explique c´omo esa ecuaci´on toma la forma muy simple de la Ecuaci´on (8.6). 8.5. Si usted examina visualmente un flujo fluido, puede determinar si el mismo es rotatorio o irrotacional ?. Por qu´e ?. Por qu´e no ?. 8.6. Por qu´e usamos el teorema de Green–Gauss para transitar desde la Ecuaci´on (8.13) a la Ecuaci´on (8.14) ?. Refi´erase a conceptos desarrollados en el Cap´ıtulo 5 para emitir su respuesta. 8.7. Recordando que la Ecuaci´ on (8.17) est´a basada en asumir profundidad de magnitud unidad en un flujo bi–dimensional, qu´e representan f´ısicamente las fuerzas nodales en dicha relaci´on matem´atica ?. 8.8. Para el elemento triangular de tres–nodos mostrado en la Figura P8.8, calcule las fuerzas nodales que corresponden a las condiciones de flujo mostradas, asuma una profundidad de magnitud unitaria perpendicular al plano que contiene al elemento. 3 (0, 1)
2
U
1 (0, 0)
(1, 0)
Figura P8.8 8.9. Por la Ecuaci´ on (8.28), c´ omo var´ıan las componentes de velocidad del fluido dentro de: a. Un elemento triangular de tres–nodos. b. Un elemento rectangular de cuatro–nodos. c. Un elemento triangular de seis–nodos. d. Un elemento rectangular de ocho–nodos. e. Dadas las preguntas a–d, c´ omo decide usted qu´e elemento usar en un an´alisis de elemento finito?. 8.10. Nosotros mostramos, en este cap´ıtulo, que los dos m´etodos presentados: la funci´on de corriente
Problemas propuestos
291
y el potencial de velocidad son gobernados por la ecuaci´on de Laplace. Muchos otros problemas f´ısicos se gobierna por esta ecuaci´on. Consulte referencias matem´aticas y halle otras aplicaciones de la ecuaci´ on de Laplace. Mientras usted est´a en ´este tema (y aprendiendo que la historia de vuestra profesi´ on es parte de formarse como ingeniero), averig¨ ue algo m´as sobre Laplace. 8.11. Considere el flujo uniforme (ideal) mostrado en la Figura P8.11. Use los cuatro elementos triangulares mostrados para calcular la funci´on de corriente y derivar las componentes de velocidad. Note que, en este caso, si usted no obtiene un campo de flujo uniforme, ha cometido errores en la formulaci´ on o sus c´ alculos. Los l´ımites horizontales ser´an tomados como superficies fijas. El nodo 3 se halla ubicado en el centroide del dominio rectangular. (0, 2)
5
4
(3, 2)
4 U
1
3
3
2
Y
1(1, 0)
(3, 0)
2
X
Figura P8.11 8.12. Ahora repita el Problema 8.11 con el flujo de entrada mostrado en la Figura P8.12. Cambia la formulaci´ on b´ asica de elemento finito ?. Tuvo usted que re–definir la geometr´ıa o los elementos ?. Su respuesta a esta pregunta le dar´a visi´on acerca de c´omo usar el software de elemento finito. Una vez que la geometr´ıa y los elementos se han definido, varios problemas pueden ser resueltos cambiando simplemente las condiciones de borde o las funciones impelentes. 5
4 4 1
3
3
2 U
1
2
Figura P8.12 8.13. Considere la situaci´ on de flujo mostrada en la Figura P8.13. Aguas arriba, el flujo es uniforme. En un punto conocido entre las dos paredes s´olidas, existe una fuente de intensidad constante Q (volumen por unidad de tiempo) que podr´ıa representar la acci´on de una bomba hidr´aulica, por ejemplo. C´ omo se considerar´ıa la fuente en una formulaci´on de elemento finito ?. (Examine la analog´ıa con una situaci´ on similar en la transmisi´on de calor).
´ CAP´ITULO 8. MECANICA DE FLUIDOS
292
Q U
Figura P8.13 8.14. Revise el Ejemplo 8.1 y asuma que el cilindro es una varilla calor´ıfica sostenida a una temperatura de su superficie T0 constante. El flujo de entrada uniforme est´a en una temperatura conocida Ti < T0 . Los l´ımites horizontales se aislan perfectamente y se asumen condiciones de flujo de estado–estacionario. En el contexto del an´alisis de elemento finito, c´omo pueden resolverse independientemente el problema de flujo fluido y el problema de transferencia de calor ?.
Capítulo
9
Mec´ anica de s´ olidos
En los primeros Cap´ıtulos de este documento, efectuamos un desarrollo del m´etodo de elemento finito aplicado al an´ alisis estructural tomando como base de los procedimientos de formulaci´on al elemento rectil´ıneo, el cual de acuerdo a su comportamiento mec´anico como respuesta a la solicitaci´on aplicada recibe distintas denominaciones como: barra, viga, marco, y eje. Como indicamos all´ı, estos elementos pueden combinarse para conformar estructuras reticuladas compuestas de elementos rectil´ıneos interconectados. En ´este Cap´ıtulo trataremos con el desarrollo de formulaci´on del m´etodo de elemento finito para estudiar el comportamiento de respuesta mec´anica de deformaci´on producida debida a solicitaci´on externa aplicada en cuerpos planos y espaciales, con el objetivo de determinar la distribuci´on de tensiones internas en ellos. Y, como tema complementario a este estudio, analizaremos las caracter´ısticas de comportamiento mec´ anico de ejes de secci´on transversal no–circular, sometidos a solicitaci´on torsional.
9.1.
Introducci´ on
Los elementos barra y viga discutidos en los Cap´ıtulos 2 a 4 son elementos l´ıneales, ya que se requiere un s´olo eje coordenado para definir el marco de referencia de elemento (sistema coordenado local); y de aqu´ı, las matrices que gobiernan su comportamiento mec´anico. Como fu´e mostrado, estos elementos pueden usarse con ´exito para modelar estructuras del tipo cercha y estructuras tipo p´ortico en dos y tres dimensiones. Sin embargo, para la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a las estructuras s´olidas m´ as generales, los elementos l´ıneales son de uso muy reducido. En cambio, se necesitan otros elementos que puede emplearse para modelar geometr´ıas complejas sujetas a varios tipos de carga y condiciones de restricci´ on. En este cap´ıtulo, desarrollamos las ecuaciones de elemento finito para el uso de elementos bi y tri– dimensionales en el an´ alisis de tensiones de cuerpos s´olidos linealmente el´asticos. Usaremos el principio de energ´ıa potencial m´ınima para los desarrollos, porque ese principio es algo m´as f´acil de aplicar a los problemas de la mec´ anica de s´ olidos que el m´etodo de Galerkin. Debe darse ´enfasis, sin embargo, a que el m´etodo de Galerkin es el procedimiento m´as general y aplicable a un rango m´as amplio de 293
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
294
problemas que se presentan en el ´ ambito de la ingenier´ıa. El tri´angulo de deformaci´ on constante (TDC) para tensi´on plana es considerado primero, ya que ´este es el elemento m´ as simple para desarrollar matem´aticamente. Se muestra tambi´en que el procedimiento es com´ un a otros elementos; y se usa un elemento rectangular de deformaci´on plana para demostrar la generalidad del procedimiento. En la intenci´on de abordar el an´alisis de situaciones planas y espaciales m´ as complejas, se examinan los elementos: cuadril´atero plano, de simetr´ıa axial, y los elementos tridimensionales generales. Tambi´en presentamos una aproximaci´on para la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito en la soluci´on de problemas de torsi´on de ejes de secci´on transversal no–circular.
9.2.
Tensi´ on plana
Una situaci´ on que normalmente ocurre en la mec´anica de s´olidos, conocido como tensi´ on plana, es definida por las hip´ otesis siguientes junto con la Figura 9.1: y
y F2
x
f(x , y)
z
F1 t
Figura 9.1: Ilustraci´ on de condiciones de tensi´on plana 1. El cuerpo es delgado seg´ un una direcci´on coordenada espacial (la direcci´on z por convenci´on) comparado con las otras dimensiones; la dimensi´on seg´ un la direcci´on z (de ahora en adelante, el espesor) es uniforme y sim´etrico alrededor del plano x–y. El espesor t, en general, es por lo menos un–d´ecimo menor que la dimensi´on m´as peque˜ na en el plano x–y; lo que nos permite dar la calificaci´ on de “peque˜ no espesor” al cuerpo en an´alisis, que com´ unmente se lo denomina placa plana. 2. La solicitaci´ on aplicada al cuerpo est´ a contenida totalmente en el plano del mismo cuerpo; es decir todas las fuerzas aplicadas est´ an contenidas en el plano x–y. 3. El material del cuerpo es linealmente el´astico, isotr´opico, y homog´eneo. La u ´ltima hipo´ otesis no se requiere en realidad para el an´alisis de tensi´on plana, pero se utiliza en este texto porque consideramos s´ olo deformaciones el´asticas. Dada una situaci´ on que satisface las hip´otesis de tensi´on plana, las u ´nicas componentes de tensi´on no–nulas son: σx , σy y τxy . Debemos notar que las tensiones nominales perpendiculares al plano x–y (σz , τxz , y τyz ) son cero como resultado de las hip´otesis de tensi´on plana que adoptamos. Por tanto, las ecuaciones de equilibrio (v´ease el Ap´endice B) para tensi´on plana son ∂σx ∂τxy + =0 ∂x ∂x ∂σy ∂τxy + =0 ∂y ∂y
(9.1)
´ PLANA 9.2. TENSION
295
donde impl´ıcitamente asumimos que τxy = τyx . Utilizando las relaciones el´ asticas tensi´on–deformaci´on deducidas en el Ap´endice B, la serie de Ecuaciones (B.14) con σz = τxz = τyz = 0, las componentes de tensi´on no–nulas pueden expresarse como (v´ease el Problema 9.1) E σx = (x + νy ) 1 − ν2 E (y + νx ) σy = (9.2) 1 − ν2 E τxy = γxy = Gγxy 2(1 + ν) donde E es el m´ odulo de elasticidad lineal y ν es la relaci´on de Poisson para el material. En la relaci´on tensi´on–deformaci´ on tangencial o cortante, el m´odulo de elasticidad transversal G = E/2(1 + ν) ha sido introducido. Las relaciones tensi´ on–deformaci´on dadas por la Ecuaci´on (9.2) pueden ser convenientemente escritas en forma matricial: 1 ν 0 x σx E ν 1 0 y σy = (9.3) 1 − ν2 1−ν γxy τxy 0 0 2 y, en forma condensada {σ} = [ D ]{}
(9.3a)
donde σx {σ} = σy τxy es la matriz columna (vector) de componentes de tensi´on interna actuantes, 1 ν 0 E ν 1 0 [D] = 1 − ν2 1−ν 0 0 2
(9.4)
es la matriz de propiedades el´ asticas del material, y x {} = y γxy es la matriz columna (vector) de componentes de deformaci´on unitaria. Para un estado plano de tensiones, la energ´ıa volum´etrica acumulada por proceso de deformaci´on, puede obtenerse a partir de la Ecuaci´on (2.39), reduciendo los t´erminos que aqu´ı no son tomados en cuenta; y resulta dUe = 21 ( σx x + σy y + τxy γxy ) (9.5) ue = dV o usando notaci´ on matricial, ue = 12 {}T {σ} = 21 {}T [ D ]{}
(9.6)
El uso de {}T permite la operaci´ on de multiplicaci´on matricial para reproducir la forma cuadr´atica de la energ´ıa volum´etrica de deformaci´ on acumulada. Note que cualquier relaci´on cuadr´atica en cualquier ´ variable κ puede ser expresada como {κ}T [ Ω ]{κ}, donde [ Ω ] es una matriz de coeficientes. Este es tema de un problema de fin–de–cap´ıtulo.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
296
La energ´ıa de deformaci´ on total acumulada en un cuerpo que ocupa cierto volumen y est´a sujeto a un estado de tensi´ on plana viene dada por proceso de integraci´on de la Ecuaci´on (9.6) Ue =
1 2
ZZZ {}T [ D ]{}dV
(9.7)
V
donde V es el volumen total del cuerpo. En el caso de que el mismo sea una placa plana, podemos tomar dV = t dx dy. La forma de la Ecuaci´ on (9.7) se encontrar´a de hecho en general para aplicarse y no se restringe al caso de tensi´ on plana. En otras situaciones, las componentes de tensi´on y la matriz de propiedades materiales puede definirse de manera diferente, pero la forma de la expresi´on de la energ´ıa de deformaci´on no cambia. Usaremos este resultado frecuentemente en la aplicaci´on del principio de energ´ıa potencial m´ınima en los siguientes desarrollos de deducci´on.
9.2.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Efectuaremos la formulaci´ on de elemento finito tomando como base de desarrollo al elemento triangular de tres–nodos v´ertice, por ser el elemento m´as simple en su manipuleo matem´atico. La Figura 9.2(a) muestra a este elemento, que se asume representa un sub–dominio de un cuerpo sujeto a un estado de tensi´ on plana. Los nodos son numerados como se muestra, y los desplazamientos nodales seg´ un la direcci´ on cooordenada x se denotan como u1 , u2 y u3 , mientras que los desplazamientos seg´ un la direcci´on coordenada y son υ1 , υ2 , y υ3 . (Para el estado de tensi´on plana, los desplazamientos en direcci´on transversal o paralelos al eje z se desprecian).
3 3
f3y 3
u3
2 1 2 1
f3x
f2y u2
u1
(a) Desplazamientos nodales
f1y 2
f2x
1 f1x (b) Fuerzas nodales
Figura 9.2: Notaci´ on para elemento triangular en tensi´on plana Como hicimos notar en la introducci´ on, el campo de desplazamientos internos presente en los problemas estructurales es un campo vectorial y debe ser discretizado de manera acorde con ello. Para el elemento triangular en tensi´ on plana, nosotros escribimos el campo discretizado del desplazamiento como u(x, y) = N1 (x, y)u1 + N2 (x, y)u2 + N3 (x, y)u3 = [ N ]{u} υ(x, y) = N1 (x, y)υ1 + N2 (x, y)υ2 + N3 (x, y)υ3 = [ N ]{υ}
(9.8)
donde N1 , N2 , y N3 , son las funciones de interpolaci´on como son definidas en la Ecuaci´on (6.20). Usando la representaci´ on discretizada del campo de desplazamiento, las componentes de deformaci´on
´ PLANA 9.2. TENSION
297
unitaria son ∂u ∂N1 ∂N2 ∂N3 = u1 + u2 + u3 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂υ = υ1 + υ2 + υ3 y = ∂y ∂y ∂y ∂y ∂u ∂υ ∂N1 ∂N2 ∂N3 γxy = + = u1 + u2 + u3 ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂N1 ∂N2 ∂N3 + υ1 + υ2 + υ3 ∂x ∂x ∂x x =
(9.9)
Definiendo la matriz columna (vector) de componentes de desplazamiento de elemento como u1 u2 u3 (e) {δ } = (9.10) υ1 υ2 υ3 el vector de deformaciones unitarias de elemento puede expresarse como u1 ∂N1 ∂N2 ∂N3 0 0 0 u2 ∂x ∂x ∂x u 3 ∂N ∂N ∂N (e) 1 2 3 0 0 {} = ∂y ∂y ∂y υ = [ B ]{δ } 0 1 ∂N2 ∂N3 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N1 υ2 ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x υ3
(9.11)
donde [ B ] es la matriz 3×6 de derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on, tambi´en conocida como matriz de relaci´ on deformaci´ on–desplazamiento. Refiri´endonos a la Ecuaci´on (6.20), observamos que las derivadas parciales que aparecen en Ecuaci´on (9.11) son constantes, puesto que las funciones de interpolaci´ on son lineales en las variables espaciales. De aqu´ı, las componentes de deformaci´on unitaria son constantes a trav´es del volumen del elemento. Por consiguiente, el elemento triangular de tres–nodos para tensi´ on plana es conocido como un tri´ angulo de deformaci´ on constante. Por analog´ıa directa con la Ecuaci´on 9.10, la energ´ıa de deformaci´on el´astica del elemento es ZZZ ZZZ 1 1 {}T [ D ]{}dV (e) = {δ (e) }T [ B ]T [ D ][ B ]{δ (e) }dV (e) (9.12) Ue = 2 2 V
V
Como se ver´ a en subsecuentes ejemplos, la Ecuaci´on (9.12) es una relaci´on generalmente aplicable para valorar la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica de elementos estructurales. Para el tri´angulo de deformaci´on constante, observamos que las deformaciones unitarias son constantes sobre el volumen del elemento. Asumiendo que similarmente las propiedades el´asticas no var´ıan, la Ecuaci´on (9.12) simplemente se vuelve ZZZ 1 Ue(e) = {δ (e) }T [ B ]T [ D ][ B ]{δ (e) } dV (e) 2 V (9.13) 1 (e) T (e) T (e) = {δ } (V [ B ] [ D ][ B ]) {δ } 2 donde V (e) es el volumen total del elemento. Considerando que las fuerzas de elemento se aplican en los v´ertices del mismo, como se muestra en la Figura 9.2(b), (para ´esta formulaci´ on de elemento requerimos que las fuerzas act´ uen exclusivamente en
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
298
los nodos del elemento; las fuerzas distribu´ıdas son consideradas posteriormente), el trabajo mec´anico efectuado por las fuerzas aplicadas puede ser expresado como W = f1x u1 + f2x u2 + f3x u3 + f1y υ1 + f2y υ2 + f3y υ3
(9.14)
y vemos que la notaci´ on del sub´ındice se pone bastante pesada en el caso del an´alisis de tensi´on bi–dimensional. Para simplificar la notaci´ on, podemos definir el vector de cargas nodales de elemento como el ordenamiento f1x f2x f3x {f } = (9.15) f1y f2y f3y as´ı que podemos expresar el trabajo de las fuerzas externas, usando la Ecuaci´on (9.10), como W = {δ}T {f }
(9.16)
Por la Ecuaci´ on (2.33), la energ´ıa potencial total para un elemento es entonces Π = Ue − W =
V (e) (e) T {δ } [ B ]T [ D ][ B ]{δ (e) } − {δ}T {f } 2
(9.17)
Si el elemento es una porci´ on de una estructura m´as grande que est´a en equilibrio, entonces el elemento debe estar en equilibrio. Por consiguiente, la energ´ıa potencial total del elemento debe ser m´ınima (consideramos s´ olo equilibrio estable), y para conseguir esta condici´on m´ınima, debemos tener matem´aticamente ∂Π i = 1; 6 (9.18) ∂δi Si las operaciones matem´ aticas indicadas en la Ecuaci´on (9.18) son efectuadas sobre la Ecuaci´on (9.17), el resultado es la relaci´ on matricial V (e) [ B ]T [ D ][ B ]{δ} = {f }
(9.19)
[ k ]{δ} = {f }
(9.19a)
la cual es de la forma donde [ k ] es la matriz de rigidez de elemento, definida por [ k ] = V (e) [ B ]T [ D ][ B ]
(9.20)
y debemos tener presente en mente que estamos tratando en este punto s´olamente con un elemento triangular de deformaci´ on constante. Este desarrollo te´ orico puede no ser obvio para el lector. Para hacer el proceso m´as claro, especialmente la aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (9.18), examinemos la matriz de rigidez de elemento en m´as detalle. Primero, representamos la Ecuaci´ on (9.17) como Π=
1 {δ}T [ k ]{δ} − {δ}T {f } 2
y expandiendo formalmente la relaci´ on para obtener la funci´on cuadr´ atica Π = 21 ( k11 δ12 + 2k12 δ1 δ2 + 2k13 δ1 δ3 + · · · + k66 δ62 ) − ( f1x δ1 + f2x δ2 + · · · + f3y δ6 )
´ PLANA 9.2. TENSION
299
La representaci´ on de la funci´ on cuadr´atica de energ´ıa potencial total es caracter´ıstica de los sistemas linealmente el´ asticos. (Recuerde las expresiones obtenidas para la energ´ıa de deformaci´on de los elementos resorte y barra del Cap´ıtulo 2). Las derivadas parciales de la ecuaci´on anterior son entonces de la forma ∂Π = k11 δ1 + k12 δ2 + k13 δ3 + k14 δ4 + k15 δ5 + k16 δ6 − f1x = 0 ∂δ1 ∂Π = k21 δ1 + k22 δ2 + k23 δ3 + k24 δ4 + k25 δ5 + k26 δ6 − f2x = 0 ∂δ2 ´ por ejemplo. Estas u ´ltimas relaciones son las ecuaciones escalares que representan el equilibrio est´atico de los nodos 1 y 2 seg´ un la direcci´on coordenada x. Las restantes cuatro ecuaciones similarmente representan relaciones de equilibrio est´atico en las direcciones coordenadas y y z respectivas. Como estamos tratando con un elemento el´astico, la matriz de rigidez debe ser sim´etrica. Examinando cualquiera de las u ´ltimas ecuaciones, debemos tener que debe cumplirse k12 = k21 , por ejemplo. Si este es el caso, no puede ser obvio en la consideraci´on de la Ecuaci´on (9.20), puesto que [ D ] es una matriz sim´etrica, pero la matriz [ B ] no es sim´etrica. Una propiedad fundamental de la multiplicaci´on de matrices (v´ease el Ap´endice A) es como sigue: Si [ G ] es una matriz n×n real, sim´etrica, y [ F ] es una matriz n×m real; la matriz producto triple [ F ]T [ G ][ F ] es una matriz m×m real, sim´etrica. As´ı, la matriz de rigidez como est´ a dada por la Ecuaci´on (9.20) es una matriz 6×6 real, sim´etrica, desde que la matriz [ D ] es 3×3 y sim´etrica, adem´as que [ B ] es una matriz 6×3 real.
9.2.2.
Evaluaci´ on de la matriz de rigidez
La matriz de rigidez para el elemento triangular de deformaci´on constante, dada por la Ecuaci´on (9.20), se eval´ ua ahora en detalle. Las funciones de interpolaci´on, por las Ecuaciones (6.20), son N1 (x, y) = = N2 (x, y) = = N3 (x, y) = =
1 [ (x2 y3 − x3 y2 ) + (y2 − y3 )x + (x3 − x2 )y ] 2A 1 ( α1 + β1 x + γ1 y ) 2A 1 [ (x3 y1 − x1 y3 ) + (y3 − y1 )x + (x1 − x3 )y ] 2A 1 ( α2 + β2 x + γ2 y ) 2A 1 [ (x1 y2 − x2 y1 ) + (y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y ] 2A 1 ( α3 + β3 x + γ3 y ) 2A
(9.21)
de modo que las derivadas parciales requeridas son ∂N1 1 = (y2 − y3 ) = ∂x 2A ∂N3 1 = (y1 − y2 ) = ∂x 2A
β1 2A β3 2A
∂N2 1 β2 = (y3 − y3 ) = ∂x 2A 2A ∂N1 1 γ1 = (x3 − x2 ) = ∂y 2A 2A
∂N2 1 γ2 = (x1 − x3 ) = ∂y 2A 2A
∂N3 1 γ3 = (x2 − x1 ) = ∂y 2A 2A
La matriz [ B ] de relaci´ on deformaci´on–desplazamiento es por tanto β1 β2 β3 0 0 0 1 0 0 0 γ1 γ2 γ3 [B ] = 2A γ1 γ2 γ3 β1 β2 β3
(9.22)
(9.23)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
300
Notando que, para un espesor constante, Ecuaci´on (9.20) resulta en β1 0 β2 0 β3 0 Et [k] = 2 4A(1 − ν ) 0 γ1 0 γ2 0 γ3
el volumen del elemento es V (e) = t A, la substituci´on en la γ1 γ2 1 γ3 ν β1 0 β2 β3
ν 1 0
0 β1 0 0 1−ν γ1 2
β2 0 γ2
β3 0 γ3
0 γ1 β1
0 γ2 β2
0 γ3 β3
Realizando las multiplicaciones matriciales indicadas en esta u ´ltima ecuaci´on, la matriz de rigidez de elemento resulta en 2 β1 + Cγ12 Et [ k ] = 4A(1−ν 2 )
β1 β2 + Cγ1 γ2 β22 + Cγ22
β1 β3 + Cγ1 γ3 β2 β3 + Cγ2 γ3 β32 + Cγ32
SIM
1+ν 2 β1 γ1
νβ2 γ1 + Cβ1 γ2 νβ3 γ1 + Cβ1 γ3 γ12 + Cβ12
νβ1 γ2 + Cβ2 γ1 1+ν 2 β2 γ2 νβ3 γ2 + Cβ2 γ3 γ1 γ2 + Cβ1 β2 γ22 + Cβ22
νβ1 γ3 + Cβ3 γ1 νβ2 γ3 + Cβ3 γ2 1+ν 2 β3 γ3 (9.24) γ1 γ3 + Cβ1 β3 γ2 γ3 + Cβ2 β3 γ22 + Cβ32
donde C = (1 − ν)/2. La Ecuaci´ on (9.24) es la representaci´on expl´ıcita de la matriz de rigidez para un elemento triangular de deformaci´ on constante en tensi´on plana, presentada s´olamente por prop´ositos ilustrativos. En cualquier paquete de software de elemento finito, dicha representaci´on expl´ıcita no es utilizada; en cambio, el producto triple matricial de la Ecuaci´on (9.20) es aplicada directamente para obtener la matriz de rigidez.
9.2.3.
Cargas distribu´ıdas y fuerzas de cuerpo
Frecuentemente, las condiciones de borde para los problemas estructurales involucran cargas distribu´ıdas sobre alguna porci´ on del l´ımite geom´erico. Dichas cargas pueden provenir de la presi´on aplicada (la tensi´on normal) o de las cargas tangenciales. En tensi´on plana, ´estas cargas distribu´ıdas act´ uan en los bordes del elemento que se ubican en el l´ımite global del sistema. Como un ejemplo general, la Figura 9.3(a) muestra un elemento TDC que tiene cargas normales y tangenciales pn y pt que act´ uan a lo largo del borde definido por los nodos 2 y 3 del elemento. El espesor del elemento se denota por t consider´andolo invariable, y se asume que las cargas son expresadas en t´erminos de fuerza por unidad de ´area. Aqu´ı buscamos reemplazar las cargas distribu´ıdas con la acci´on de fuerzas concentradas equivalentes aplicadas en los nodos 2 y 3. Siguiendo el procedimiento de energ´ıa potencial m´ınima, las cargas nodales concentradas equivalentes son determinadas de modo que el trabajo mec´anico sea el mismo que aqu´el realizado por las cargas distribu´ıdas. Primero, las cargas distribu´ıdas se convierten a cargas equivalentes seg´ un las direcciones del sistema coordenado global, como en la Figura 9.3(b), mediante px = pn n x − pt n y py = p n n y + p t n y
(9.25)
donde nx ny corresponden al las componentes del vector normal unitario saliente con respecto al borde que conecta los nodos 2 y 3. Aqu´ı usamos la notaci´on p para identificar a las cargas distribu´ıdas aplicadas, ya que las unidades se corresponden con aquellas de la presi´on. El trabajo mec´anico realizado por las cargas distribu´ıdas es Z3 Wp = t
Z3 px u(x, y)dS + t
2
py υ(x, y)dS 2
(9.26)
´ PLANA 9.2. TENSION
301
(p)
f3y 3
3
3
pt
f3x( p )
n
py
pn
1
px
1
2
(a) Cargas distribu´ıdas
f2y( p ) 1
2
(b) Cargas globales
2
f2x( p )
(c) Fuerzas nodales
Figura 9.3: Conversi´ on de cargas distribu´ıdas en cargas concentradas nodales
donde las integraciones se realizan a lo largo del borde definido por los nodos 2 y 3. Recordando que la funci´ on de interpolaci´ on N1 (x, y) es cero a lo largo del borde 2–3, las representaciones de elemento finito de los desplazamientos a lo largo del borde son u(x, y) = N2 (x, y)u2 + N3 (x, y)u3 υ(x, y) = N2 (x, y)υ2 + N3 (x, y)υ3 Reemplazando estas relaciones, la expresi´on del trabajo mec´anico se convierte a Z3 Wp = t
px [ N2 (x, y)u2 + N3 (x, y)u3 ]dS 2
Z3 +t
py [ N2 (x, y)υ2 + N3 (x, y)υ3 ]dS 2
la cual es de la forma (p) (p) (p) (p) Wp = f2x u2 + f3x u3 + f2y υ2 + f3y υ3
La comprarci´ on de ´estas dos u ´ltimas ecuaciones proporcionan las fuerzas nodales equivalentes mediante las relaciones Z3 (p) 2x
f
=t
Z3 (p) 3x
px N2 (x, y)dS
f
=t
2
Z3 (p) 2y
f
=t
px N3 (x, y)dS 2
(9.27)
Z3 (p) 3y
py N2 (x, y)dS
f
2
=t
py N3 (x, y)dS 2
como se indica en la Figura 9.3(c). Generalizando ´este resultado para el caso en el que se tengan cargas distribu´ıdas actuando a lo largo de un borde cualquiera del elemento triangular, el vector de cargas nodales equivalentes puede expresarse en forma comp´acta, y est´a determinado por: Z {f (p) } =
[ N ]T S
px t dS py
(9.28)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
302
donde: N1 N2 N3 [ N ]T = 0 0 0
0 0 0 N1 N2 N3
(p) f1x (p) f 2x (p) f 3x {f (p) } = (p) f1y (p) f2y (p) f3y
(9.28a)
Recordando de nuevo para enfatizar que N1 (x, y) es cero a lo largo del camino de integraci´on, le sugerimos escribir en detalle la Ecuaci´ on (9.28) para asegurarse que el resultado obtenido es el mismo que aqu´ı hallamos. Aunque el desarrollo presentado anteriormente se ubica en el contexto del elemento triangular con tres–nodos v´ertice, se demostrar´a que la Ecuaci´on (9.28) es general y aplicable a todo tipo de elementos bi–dimensionales, y requiere s´olo una modificaci´on menor para su aplicaci´on a los problemas tri–dimensionales. Ejemplo 9.1. Dado el elemento triangular de deformaci´ on plano mostrado en la Figura 9.4(a), determine las fuerzas nodales equivalentes a las cargas distribudas mostradas por medio del m´etodo de equivalencia de trabajo discutido previamente. El espesor del elemento es 0,2 pulg y de valor uniforme. 300 psi
3
3
(1, 2)
40
Y 1
2
2
1
20
(1, 0)
(0, 0)
10
10
100 psi
X (a) Cargas distribu´ıdas
(b) Fuerzas nodales equivalentes
Figura 9.4: Elemento triangular solicitado por cargas distribu´ıdas
> Soluci´ on Usando las coordenadas nodales especificadas, las funciones de interpolaci´on (con el ´area del elemento de valor unitario, A = 1) son N1 (x, y) = 12 ( 2 − 2x ) = 1 − x N2 (x, y) = 12 ( 2x − y ) N3 (x, y) = 12 y
´ PLANA 9.2. TENSION
303
A lo largo del borde 1–2, y = 0, px = 0, py = −100 psi; por tanto, la Ecuaci´on (9.28) llega a ser 1−x 0 1−x 0 0 x x 0 0 0 1 Z Z 0 0 0 0 0 0 0 (p) dx = t dS = 0,2 f1−2 = lb 0 1 − x 1 − x −10 −100 0 −100 0 0 S 0 x x −10 0 0 0 0 0 Para el borde 2–3, tenemos: x = 1, px = 150y, py = 0; de modo que 0 0 0 0 0 1 − y/2 1 − y/2 0 0 20 Z2 Z 150y 150y y/2 0 y/2 0 40 (p) dy = t dS = 0,2 f2−3 = lb 0 0 0 1 − y/2 1 − y/2 0 0 0 S 0 y/2 0 y/2 0 0 0 0 0 0 Combinando los resultados, el vector de fuerzas nodales equivalentes que se obtiene desde las cargas distribu´ıdas para el elemento mostrado, es entonces (p) f1x 0 f (p) 20 2x (p) f 40 3x (p) (p) (p) lb = f = f1−2 + f2−3 = (p) −10 f1y −10 (p) f2y 0 (p) f3y cuyas componentes son mostradas en la Figura 9.4(b).
>
Adem´ as de las cargas de borde distribu´ıdas en los l´ımites del elemento, tambi´en pueden actuar las llamadas fuerzas de cuerpo, tambi´en denominadas fuerzas m´ asicas. En general, una fuerza de cuerpo es una fuerza ejercida sin o directo que act´ ua sobre un cuerpo en base o por unidad de masa. Las fuerzas de cuerpo normalmente encontradas son la que provienen de la atracci´on gravitatoria (el peso), la fuerza centr´ıfuga que proviene del movimiento rotatorio, y la fuerza magn´etica. Actualmente, consideramos s´ olo el caso bi–dimensional en el que la fuerza de cuerpo se describe por el vector , en el cual FBX y FBY son las componentes de fuerza por unidad de masa actuante {FB } = FFBX BY sobre el cuerpo en las direcciones coordenadas respectivas. Como con las cargas distribu´ıdas, las fuerzs de cuerpo deben ser reemplazadas por fuerzas nodales equivalentes. Considerando una masa diferencial dm = ρ t dx dy que tiene asociados los desplazamientos (u, υ) en las direcciones coordenadas, el trabajo mec´anico elemental hecho por las fuerzas de cuerpo es dWb = FBX dm u + FBY dm υ = ρ FBX u t dx dy + ρ FBY υ t dx dy
(9.29)
Considerando que el volumen de inter´es es un elemento TDC en el que los desplazamientos son expresados en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y los desplazamientos nodales como u1 u2 u(x, y) N1 N2 N3 0 0 0 u3 = υ(x, y) 0 0 0 N1 N2 N3 υ1 υ2 υ3
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
304
el trabajo mec´ anico total efectuado por las fuerzas de cuerpo actuando sobre el elemento es expresado en t´erminos de los desplazamientos nodales como ZZ Wb = ρ t FBX ( N1 u1 + N2 u2 + N3 u3 )dx dy A
(9.30)
ZZ + ρt
FBY ( N1 υ1 + N2 υ2 + N3 υ3 )dx dy A
Como se desea, la Ecuaci´ on (9.30) est´ a en la forma (b) (b) (b) (b) (b) (b) Wb = f1x u1 + f2x u2 + f3x u3 + f1y υ1 + f2y υ2 + f3y υ3
(9.31)
en t´erminos de las fuerzas nodales concentradas. El super´ındice (b) es utilizado para indicar que se trata de una fuerza de cuerpo (body, en ingl´es) nodal equivalente. La comparaci´on de las u ´ltimas dos ecuaciones proporciona las componentes de fuerza nodal como ZZ (b) fix = ρt Ni FBX dx dy i = 1; 3 (b)
ZAZ
fiy = ρ t
(9.32) Ni FBY dx dy
i = 1; 3
A
Las componentes de fuerza nodal equivalente a las fuerzas de cuerpo aplicadas pueden ser tambi´en escritas en forma matricial comp´ acta, del modo siguiente: ZZ FBX (b) T {f } = ρ t [N ] dx dy (9.33) FBY A
Aunque el desarrollo efectuado se circunscribe al contexto espec´ıfico de un elemento triangular en deformaci´on constante en tensi´ on plana, la Ecuaci´on (9.33) demuestra ser un resultado general para elementos bi–dimensionales. Una expresi´on bastante similar puede obtenerse con muy ligeras modificaciones para los elementos tri–dimensionales. Ejemplo 9.2. Determine las componentes de fuerza nodal equivalente que representan a la fuerza de cuerpo para el elemento del Ejemplo 9.1, si la fuerza de cuerpo es la atracci´on gravitatoria en la direcci´on y, para la cual FBX 0 2 {FB } = = pulg/seg FBY −386,4 conociendo adem´ as que la densidad del material que compone el elemento es ρ = 7,3×10−4 slug/pulg2 . > Soluci´ on Como la componente x de la fuerza del cuerpo es cero, las componentes seg´ un x del vector de fuerza nodal lo ser´an tambi´en, por lo que no necesitamos considerar esas componentes. Las componentes en y se calculan usando la segunda de las Ecuaciones (9.32): ZZ (b) fiy = ρt Ni FBY dx dy i = 1; 3 A
´ PLANA 9.2. TENSION
305
Del Ejemplo previo, las funciones de interpolaci´on son N1 (x, y) = 12 ( 2 − 2x ) = 1 − x N2 (x, y) = 12 ( 2x − y ) N3 (x, y) = 12 y Entonces tendremos, en este caso, ZZ ZZ (b) f1y = ρ t FBY N1 dx dy = ρ t FBY (1 − x) dx dy ZAZ (b) f2y = ρt
ZAZ FBY N2 dx dy = ρ t
ZAZ (b) 3y
f
= ρt
ZAZ FBY N3 dx dy = ρ t
A
FBY (2x − y) dx dy 2 FBY y dx dy 2
A
Los l´ımites de integraci´ on deben determinarse en base a la geometr´ıa del ´area. En este ejemplo, nosotros utilizaremos a x como la variable de integraci´on b´asica y calcularemos los l´ımites de integraci´on sobre y en t´erminos de x. Para el elemento bajo consideraci´on: x var´ıa entre cero y uno; en cambio y es la funci´ on lineal y = 2x, de forma que las integraciones se convierten en (b) 1y
f
= ρ t FBY
Z1 Z2x Z1 (1 − x)dy dx = ρ t FBY 2x(1 − x)dy dx 0
0
0
1 ρ t FBY 2x3 = = ρ t FBY x2 − = −0,0189 lb 3 3 0 Z1 Z1 Z2x ρ t FBY 1 2x2 dx = ρ t FBY 2 (2x − y)dy dx = 2 0 0 0 ρ t FBY 2 ρ t FBY = = = −0,0189 lb 2 3 3 Z1 Z2x Z1 ρ t FBY ρ t FBY ρ t FBY = y dy dx = 2x2 dx = = −0,0189 lb 2 2 3
(b) f2y
(b) f3y
0
0
0
Los resultados nos muestran que la fuerza de cuerpo aplicada al elemento, se distribuye equitativamente en sus nodos. > Si ahora combinamos los conceptos desarrollados para el elemento TDC en tensi´on plana, tenemos una ecuaci´ on general de elemento que incluye directamente las fuerzas nodales aplicadas, las fuerzas nodales equivalentes para las cargas distribu´ıdas de borde, y las fuerzas nodales equivalentes para las fuerzas de cuerpo, como [ k ]{δ} = {f } + {f (p) } + {f (b) } (9.34) donde la matriz de rigidez est´ a dada por la Ecuaci´on (9.20) y los vectores de carga son como hemos descrito. La Ecuaci´ on (9.34) es generalmente aplicable a elementos finitos usados en el an´alisis el´astico. Como se aprender´ a estudiando el an´alisis de elemento finito avanzado, la Ecuaci´on (9.34) puede complementarse por la suma de vectores de fuerza que provienen de la deformaci´on pl´astica, gradientes t´ermicos, o las propiedades del material dependientes de la temperatura, deformaci´on por efectos de radiaci´ on t´ermica, y los efectos din´ amicos de la aceleraci´on de movimiento.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
306
9.3.
Deformaci´ on plana
Se dice que un cuerpo s´ olido est´ a en un estado de deformaci´on plana si satisfacen todas las hip´otesis de la teor´ıa de tensi´ on plana excepto que el espesor del cuerpo (la longitud en la direcci´on z) es grande comparada con la dimensi´ on menor en el plano x–y. Matem´aticamente, la deformaci´on plana se define como un estado de carga y geometr´ıa tal que z =
∂w =0 ∂z
γxz =
∂u ∂w + =0 ∂z ∂x
γyz =
∂υ ∂w + =0 ∂z ∂y
(9.35)
(V´ease el Ap´endice B para una discusi´ on de las relaciones generales tensi´on–deformaci´on). F´ısicamente, la interpretaci´ on es que el cuerpo es tan largo en la direcci´on z que la deformaci´on normal, inducida s´ olo por el efecto de Poisson, es tan peque˜ no que puede considerarse despreciable y; cuando asumimos que s´ olo son aplicadas cargas en el plano x–y, las deformaciones cortantes o angulares tambi´en son peque˜ nas y se desprecian. (Uno podr´ıa pensar en deformaci´on plana como en el ejemplo de una represa hidroel´ectrica: una estructura grande, larga, y sujeta a carga transversal proveniente de la presi´on del agua, no como una viga). Bajo las condiciones prescritas para la deformaci´on plana, las ecuaciones constitutivas de las componentes no–nulas de tensi´on resultan ser E [ (1 − ν)x + νy ] (1 + ν)(1 − 2ν) E σy = [ (1 − ν)y + νx ] (1 + ν)(1 − 2ν) E τxy = γxy = G γxy 2(1 + ν) σx =
(9.36)
y, aunque no es nula, la tensi´ on normal en la direcci´on z es considerada despreciable, comparada con las otras componentes de tensi´ on. La energ´ıa de deformaci´ on el´ astica para un cuerpo de volumen V , en deformaci´on plana, es ZZZ 1 ( σx x + σy y + τxy γxy )dV Ue = 2 V
la cual puede ser expresada en notaci´ on matricial como 1 Ue = 2
ZZZ
σx
V
σy
x τxy y dV γxy
(9.37)
Combinando las ecuaciones (9.36) y (9.37), y considerable manipuleo algebr´aico, se demuestra que la energ´ıa el´astica de deformaci´ on est´ a dada por ZZZ E 1 x y γxy Ue = 2 (1 + ν)(1 − 2ν) V (9.38) 1−ν ν 0 x 1−ν 0 y dV × ν 1−2ν γxy 0 0 2 y es similar al caso de tensi´ on plana, y podemos expresar la energ´ıa de deformaci´on el´astica como ZZZ 1 Ue = {}T [ D ]{}dV (9.39) 2 V
´ PLANA 9.3. DEFORMACION
307
con la excepci´ on que la matriz de propiedades el´asticas para deformaci´on plana se define ahora como 1−ν ν 0 E ν 1−ν 0 (9.39a) [D] = (1 + ν)(1 − 2ν) 1−2ν 0 0 2 Para expresar la energ´ıa de deformaci´on el´astica en t´erminos de la variable de campo primaria (el campo de desplazamientos interno) debemos hallar previamente las componentes de deformaci´on unitaria, que expresadas en t´erminos de las componentes de desplazamiento son x =
∂u ∂x
y =
∂υ ∂y
γxy =
∂u ∂υ + ∂y ∂x
(9.40)
Hasta aqu´ı hemos desarrollado la teor´ıa b´asica y general para la evaluaci´on de la energ´ıa de deformaci´on el´astica de un cuerpo sometido a un estado de deformaci´on plana. La aplicaci´on de las ecuaciones deducidas depender´ a de la elecci´ on del tipo de elemento plano que se adec´ ue de mejor manera a la geometr´ıa del dominio espacial bajo an´alisis. Para un elemento rectangular de cuatro–nodos (por ejemplo, s´olamente), la matriz columna de componentes de deformaci´ on se expresa como u1 u2 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 u3 ∂x ∂x ∂x ∂x x u4 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 (9.41) {} = y = ∂y ∂y ∂y ∂y υ 1 γxy ∂N2 ∂N3 ∂N4 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 ∂N1 υ2 ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂x υ3 υ4 en t´erminos de las funciones de interpolaci´on y los desplazamientos nodales. Como es de costumbre, la Ecuaci´ on (9.41) se escribe en forma matricial comp´acta como {} = [ B ]{δ}
(9.41a)
donde [ B ] representa la matriz de derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on, y {δ} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales. De aqu´ı, la energ´ıa total de deformaci´on el´astica del elemento resulta ser ZZZ 1 1 Ue = {δ}T [ B ]T [ D ][ B ]dV {δ} = {δ}T [ k ]{δ} (9.42) 2 2 V
y la matriz de rigidez de elemento nuevamente est´a dada como ZZZ [k] = [ B ]T [ D ][ B ] dV (e)
(9.42a)
V
Las funciones de interpolaci´ on para el elemento rectangular de cuatro–nodos v´ertice, por la Ecuaci´on (6.36), recordemos que son N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s)
N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s)
N3 (r, s) = 14 (1 + r)(1 + s)
N4 (r, s) = 41 (1 − r)(1 + s)
(9.43)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
308
(1, 1)
(–1, 1)
4
3
s
2b
r
2
1 (–1, –1)
(1, –1)
2a Figura 9.5: Elemento rectangular y cooordenadas naturales con las coordenadas naturales definidas como en la Figura 9.5. Para calcular las componentes de deformaci´on en t´erminos de las coordenadas naturales, se aplica la regla de la cadena para obtener ∂ ∂ ∂r 1 = = ∂x ∂r ∂x a ∂ ∂ ∂s 1 = = ∂y ∂s ∂y b
∂ ∂r ∂ ∂s
(9.44)
Estas relaciones de transformaci´ on de operadores diferenciales desde el sistema coordenado rectangular hacia el sistema de coordenadas naturales son necesarias para evaluar las deformaciones unitarias producidas en el elemento. Por ejemplo si tomamos el desplazamiento horizontal en cualquier punto interno del elemento rectangular de cuatro nodos v´ertice que estamos manejando, el mismo est´a aproximado mediante las funciones de interpolaci´on previamente especificadas como u(r, s) = N1 (r, s)u1 + N2 (r, s)u2 + N3 (r, s)u3 + N4 (r, s)u4 que acorde con la Ecuaci´ on (9.43) en forma desarrollada resulta u(r, s) = 41 (1 − r)(1 − s)u1 + 14 (1 + r)(1 − s)u2 + 14 (1 + r)(1 + s)u3 + 14 (1 − r)(1 + s)u4 Por la definici´ on de deformaci´ on unitaria seg´ un la direcci´on x tendremos entonces, 1 ∂u ∂u = ∂x a ∂r 1 ∂ 1 = [ (1 − r)(1 − s)u1 + 14 (1 + r)(1 − s)u2 + 41 (1 + r)(1 + s)u3 + 14 (1 − r)(1 + s)u4 ] a ∂r 4 1 = [ (s − 1)u1 + (1 − s)u2 + (1 + s)u3 − (1 + s)u4 ] 4a
x =
Las otras componentes de deformaci´ on unitaria se calculan mediante las relaciones que fueron establecidas previamente (o, v´ease el Ap´endice B). Realizando las diferenciaciones indicadas, se demuestra que las componentes de la deformaci´ on unitaria son u1 u2 s−1 1−s 1+s 1+s u3 − 0 0 0 0 4a 4a 4a 4a x u 4 r−1 1+r 1+r 1−r y 0 0 0 0 − = (9.45) 4b 4b 4b 4b υ 1 γxy r−1 1+r 1+r 1−r s−1 1−s 1+s 1+s − 4b − 4a υ2 4b 4b 4b 4a 4a 4a υ 3 υ4
´ PLANA 9.3. DEFORMACION
309
mostrando que la deformaci´ on normal x var´ıa linealmente en la direcci´on y, la deformaci´on normal y var´ıa linealmente en la direcci´ on x, y la deformaci´on cortante γxy var´ıa linealmente en ambas direcciones coordenadas (comprendiendo que la coordenada natural r corresponde al eje x, y la coordenada natural s corresponde al eje y). A partir de la Ecuaci´ on (9.45), la matriz [ B ] r´apidamente se identifica como s−1 1−s 1+s − 1+s 0 0 0 0 4a 4a 4a 4a 1+r 1−r r−1 − 1+r 0 0 0 (9.46) [B ] = 4b 4b 4b 4b 0 r−1 1+r 1+s 1+r 1−r s−1 1−s 1+s − 4b − 4a 4b 4b 4b 4a 4a 4a de aqu´ı, la matriz de rigidez de elemento est´a dada, formalmente, por ZZZ (e) k = [ B ]T [ D ][ B ]dV (e) V (e) s−1 4a 1−s 4a 1+s 4a Z1 Z1 − 1+s 4a
E tab = (1 + ν)(1 − 2ν)
−1 −1
s−1 4a
0
×
r−1 4b
0 0 0 0 r−1 4b − 1+r 4b 1+r 4b 1−r 4b
0 0 0 0
r−1 4b − 1+r 4b 1+r 4b 1−r 1 4b s−1 4a 1−s 4a 1+s 4a 1+s − 4a
−ν ν 0
0
1−s 4a
1+s 4a
− 1+s 4a
0
0
0
0
0
0
− 1+r 4b
− 1+r 4b
1+r 4b
1−r 4b
r−1 4b s−1 4a
1+r 4b 1+s 4a
1−s 4a
ν 1−ν 0
0 0 (1+ν)(1−2ν) 2(1+ν)
(9.47)
1−r 4b − 1+s 4a
dr ds
La matriz de rigidez de elemento como est´a definida por la Ecuaci´on (9.47) es una matriz 8×8 sim´etrica; que por consiguiente, contiene 36 coeficientes independientes. De aqu´ı, se requieren 36 integraciones para obtener la matriz de rigidez completa de forma expl´ıcita. Las integraciones son directas pero algebr´ aicamente tediosas. Aqu´ı, nosotros desarrollamos s´olo un t´ermino de la matriz de rigidez en detalle, y luego discutimos los m´etodos num´ericos m´as eficaces usados en los diversos paquetes de software de elemento finito. Si llevamos a efecto los productos matriciales reci´en indicados, el primer t´ermino diagonal de la matriz de rigidez se halla que es (e) 11
k
E tb = 16 a(1 + 2ν)
Z1 Z1 −1 −1
E ta (s − 1) dr ds + 32 b(1 + ν) 2
Z1 Z1
(r − 1)2 dr ds
(9.48)
−1 −1
y, se eval´ ua de la manera siguiente 1 1 E tb 2(s − 1)3 E ta 2(r − 1)3 + 16 a(1 + 2ν) 3 32 b(1 + ν) 3 −1 −1 16 E ta 16 E tb + = 16 a(1 + 2ν) 3 32 b(1 + ν) 3
(e) k11 =
(9.48a)
Debe usted notar que los integrandos son funciones cuadr´aticas de las coordenadas naturales. De hecho, el an´ alisis de la Ecuaci´ on (9.47) revela que cada t´ermino de la matriz de rigidez del elemento
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
310
requiere la integraci´ on de funciones cuadr´ aticas de las coordenadas naturales. De la discusi´on acerca del m´etodo de integraci´ on Gaussiana (Cap´ıtulo 6), que un polinomio cuadr´atico puede ser integrado ex´actamente usando s´ olo dos puntos de integraci´on (o evaluaci´on). Como aqu´ı tratamos con procesos de integraci´on en dos dimensiones, debemos evaluar el integrando en los puntos de Gauss √ √ 3 3 ri = ± sj = ± 3 3 con factores de ponderaci´ on Wi = Wj = 1. Si aplicamos la t´ecnica de integraci´on para la evaluaci´on (e) de k11 ; obtenemos como es esperado, un resultado id´entico al que hallamos reci´en. M´as importante, el procedimiento de integraci´ on de Gauss puede ser aplicado directamente a la Ecuaci´on (9.47) para obtener la matriz de rigidez de elemento como
2 2 X X k (e) = t a b Wi Wj [ B(ri , sj ) ]T [ D ][ B(ri , sj ) ]
(9.49)
i=1 j=1
donde el producto triple matricial se eval´ ua cuatro veces, de acuerdo con el n´ umero de puntos requerido por la integraci´ on. Las sumas y multiplicaciones matriciales necesarias en la Ecuaci´on (9.49) se programan f´acilmente e idealmente satisfacen la aplicaci´on de la computadora digital. Aunque la Ecuaci´ on(9.49) se ha escrito espec´ıficamente para el ‘cado de un elemento rectangular de cuatro–nodos, la misma es aplicable tambi´en a elementos de orden–superior. Recuerde que, a medida que el orden del polinomio se incrementa, la integraci´on exacta mediante la cuadratura Gaussiana requiere el incremento en valor de los puntos de integraci´on y los factores de ponderaci´on. Utilizando los valores indicados en la Tabla 6.1, la implementaci´on computarizada de la Ecuaci´on (9.49) puede adaptarse f´acilmente a elementos de orden superior. Nosotros usamos el elemento triangular para ilustrar la tensi´on plana y el elemento rectangular para ilustrar la deformaci´ on plana. Si los desarrollos se siguen claramente, es aparente que ambos elementos pueden usarse para ambos estados de tensiones. La u ´nica diferencia est´a en las relaciones de tensi´on–deformaci´ on exhibidas por la matriz de propiedades materiales [ D ]. Esta aseveraci´on es cierta para cualquier forma y orden de elemento (en t´erminos del n´ umero de nodos y el orden de las funciones o polinomios de interpolaci´ on). El uso de los elementos triangular y rectangular en los ejemplos, no significa que sean de alguna forma restrictivos s´olo a los casos analizados en los ejemplos presentados.
9.4.
Formulaci´ on isoparam´ etrica
Aunque los elementos triangular y rectangular y´a discutidos son u ´tiles para el an´alisis de problemas planos en la mec´ anica de s´ olidos, ellos exhiben limitaciones. Geom´etricamente, el elemento triangular es bastante u ´til modelando formas irregulares que tienen l´ımites curvos. Sin embargo, puesto que las tensiones al interior del elemento son constantes, se requiere un n´ umero grande de peque˜ nos elementos para obtener una exactitud razonable, en particular en las ´areas de elevados gradientes de tensi´on, como las discontinuidades geom´etricas de entalladuras, perforaciones y otras. En comparaci´on, el elemento rectangular proporciona una variaci´ on lineal m´as razonable de las componentes de tensi´on, pero no es adecuado para modelar las formas irregulares. Un elemento que tiene la caracter´ıstica deseable de variaci´on de tensi´ on en el elemento, as´ı como la habilidad de aproximar estrechamente las curvas, es el elemento cuadril´ atero de cuatro–nodos. Desarrollaremos ahora el elemento cuadril´atero usando una formulaci´on isoparam´etrica adaptable a tensi´on plana o deformaci´on plana. Un elemento cuadril´ atero general se muestra en la Figura 9.6(a), que tiene numeraci´on de nodos y desplazamientos nodales como se indica. Las coordenadas del nodo i son (xi , yi ) y se refieren a un sistema coordenado global. El elemento se forma por mapeo del elemento generador (elemento padre) mostrado en la Figura 9.6(b), usando los procedimientos desarrollados en la Secci´on 6.8. Recordando que, en la aproximaci´ on isoparam´etrica, las funciones de mapeo geom´etrico son id´enticas a las funciones
´ ISOPARAMETRICA ´ 9.4. FORMULACION
311
3 3
4 4
u3 (–1, 1)
u4
s
(1, 1)
3
4
2 1
r u2
2
y 1 x
2
1
u1
(–1, –1)
(a) Elemento isoparam´ etrico
(1, –1)
(b) Elemento generador
Figura 9.6: Elemento cuadril´atero isoparam´etrico plano de interpolaci´ on usadas para discretizar los desplazamientos, el proceso de mapeo geom´etrico se define por 4 X Ni (r, s)xi x= i=1
y=
4 X
(9.50) Ni (r, s)yi
i=1
y las funciones de la interpolaci´ on son como fueron especificadas en la Ecuaci´on (9.43), de modo que los desplazamientos se describen como u(x, y) =
4 X
Ni (r, s)ui
i=1
υ(x, y) =
4 X
(9.51) Ni (r, s)υi
i=1
Ahora, las complicaciones matem´aticas surgen cuando se calculan las componentes de deformaci´on como son dadas por la Ecuaci´ on (9.40) y re–escrita aqu´ı como ∂u ∂ 0 ∂x x ∂x ∂υ ∂ u {} = y = = 0 ∂y (9.52) υ ∂y ∂u ∂υ ∂ ∂ γxy ∂y + ∂x ∂y ∂x Utilizando la Ecuaci´ on (6.58) con φ = u, tenemos ∂u ∂x ∂u ∂u = + ∂r ∂x ∂r ∂y ∂u ∂x ∂u ∂u = + ∂s ∂x ∂s ∂y
∂y ∂r ∂y ∂s
con similares expresiones para la derivada parcial del desplazamiento υ. Escribiendo la ecuaci´on anterior en forma matricial ( ) " #( ) ( ) ∂u ∂r ∂u ∂s
=
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x ∂s ∂y ∂s
∂u ∂x ∂u ∂y
= [J ]
∂u ∂x ∂u ∂y
(9.53)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
312
y la matriz Jacobiana es identificada como "
J11 [J ] = J21
# " ∂x J12 ∂r = ∂y J22 ∂r
∂x ∂s ∂y ∂s
# (9.53a)
como en la Ecuaci´ on (6.58). Note que, por el mapeo geom´etrico definido por la Ecuaci´on (9.50), las componentes de [ J ] son conocidas como las funciones provenientes de las derivadas parciales de las funciones de interpolaci´ on y las coordenadas nodales en el plano x–y. Por ejemplo, 4
J11 =
∂x X ∂Ni = xi = 14 [ (s − 1)x1 + (1 − s)x2 + (1 + s)x3 − (1 + s)x4 ] ∂r ∂r i=1
resulta ser un polinomio de primer–orden en la coordenada (de mapeo) natural s. Los otros t´erminos son polinomios de primer–orden similares. Formalmente, la Ecuaci´ on (9.53) puede resolverse para las derivadas parciales de la componente de desplazamiento u con respecto a x y y, multiplicando por la inversa de la matriz Jacobiana. Como fu´e indicado en el Cap´ıtulo 6, hallar la inversa de la matriz Jacobiana no es una tarea envidiable. En cambio, los m´etodos num´ericos son usados, de nuevo basados en la cuadratura Gaussiana, y el resto de la derivaci´ on aqu´ı apunta hacia ese fin. En lugar de invertir la matriz Jacobiana, la Ecuaci´on (9.53) puede resolverse mediante la regla de Cramer. La aplicaci´on de la regla de Cramer resulta en ∂u J 12 ∂r ( ) ∂u ∂s J22 ∂u ∂u 1 ∂r J22 −J12 = = ∂u ∂x |J | |J | ∂s J ∂u 11 ∂r ( ) J21 ∂u ∂u ∂u 1 ∂s ∂r −J21 J11 = = ∂u ∂y |J | |J | ∂s ´o, en una forma m´ as comp´ acta, (
∂u ∂x ∂u ∂s
)
1 J22 = | J | −J21
−J12 J11
( ∂u ) ∂r ∂u ∂s
(9.54)
El determinante de la matriz Jacobiana | J |, es com´ unmente llamado simplemente Jacobiano. Puesto que las funciones de interpolaci´on son las mismas para ambas componentes de desplazamiento, un procedimiento id´entico resulta en ( ) ( ∂υ ) ∂υ 1 J22 −J12 ∂x ∂r = (9.55) ∂υ ∂υ −J21 J11 | J | ∂s ∂s para las derivadas parciales de la componente υ de desplazamiento con respecto a las coordenadas globales. Volvamos al problema de calcular las componentes de deformaci´on por la Ecuaci´on (9.52). Utilizando las Ecuaciones (9.54) y (9.55), las componentes de deformaci´on son expresadas como ∂u ∂u ∂u ∂r ∂r J22 −J12 0 0 x ∂x ∂u ∂u 1 ∂υ ∂s ∂s 0 0 −J21 J11 ∂υ = [ G ] ∂υ = (9.56) {} = y = ∂y | J | −J21 J11 ∂u ∂υ ∂r ∂r J −J γxy 22 12 + ∂y
∂x
∂υ ∂s
∂υ ∂s
´ ISOPARAMETRICA ´ 9.4. FORMULACION
313
donde introducimos una nueva matriz, a la cual convenimos en llamarla matriz de mapeo geom´etrico, definida como J −J12 0 0 1 22 0 0 −J21 J11 [G] = (9.56a) |J | −J21 J11 J22 −J12 Ahora, debemos expandir la matriz columna en el extremo del lado derecho de la Ecuaci´on (9.56) en t´erminos de la aproximaci´ on discretizada de los desplazamientos. Mediante la Ecuaci´on (9.51), tenemos u1 u2 ∂u ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r u 3 ∂u ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 u4 ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s = (9.57) ∂υ ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 υ 0 0 0 ∂r 0 1 ∂r ∂r ∂r ∂r ∂υ υ2 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N4 0 0 0 0 ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s υ3 υ4 donde volvemos a enfatizar que las derivadas parciales indicadas son funciones conocidas de las coordenadas naturales del elemento padre. Por notaci´on resumida, la Ecuaci´on (9.57) se vuelve a escribir como ∂u ∂r ∂u ∂s = [ P ]{δ} (9.58) ∂υ ∂r ∂υ ∂s
en la que [ P ] es la matriz de derivadas parciales de las funciones de interpolaci´on con respecto a las coordenadas naturales, y {δ} es el vector de componentes de los desplazamientos nodales. Combinando las Ecuaciones (9.56) y (9.58), obtenemos la cotizada relaci´on para las componentes de deformaci´ on en t´erminos de las componentes de los desplazamientos nodales como {} = [ G ][ P ]{δ}
(9.59)
y, por analog´ıa con los desarrollos efectuados previamente, la matriz [ B ] = [ G ][ P ] ha sido determinada, de modo que se cumpla la relaci´on b´asica: {} = [ B ]{δ}; de forma que la matriz de rigidez de elemento est´e definida por Z [ k (e) ] = t
[ B ]T [ D ][ B ]dA
(9.60)
A
con t que representa el espesor constante del elemento, y la integraci´on es realizada sobre el ´area del mismo (en el plano f´ısico x–y). En la Ecuaci´on (9.60), la rigidez podr´ıa representar un elemento de tensi´ on plana o un elemento de deformaci´on plana, dependiendo del modo en el que la matriz de propiedades materiales [ D ] es definida por la Ecuaci´on (9.4) ´o (9.39a), respectivamente. (Tambi´en note que, para tensi´ on plana, es de costumbre tomar el espesor del elemento como la unidad). La integraci´ on indicada por la Ecuaci´on (9.60) est´a en el espacio global x–y, pero la matriz [ B ] se define en t´erminos de las coordenadas naturales en el elemento del espacio generador o padre. Por consiguiente, se requiere un poco m´as de an´alisis para obtener una forma final. En el espacio f´ısico, tenemos: dA = dy dx, pero deseamos integrar usando coordenadas naturales sobre sus rangos respectivos de −1 a +1. En el caso del elemento rectangular de cuatro–nodos, la conversi´on es dir´ecta, porque x s´olo est´ a relacionado a r, y y s´ olo est´a relacionado a s, como es indicado en la Ecuaci´on (9.44). En el caso del elemento isoparam´etrico que estamos tratando, la situaci´on no es tan simple. La deducci´on no se repite aqu´ı, pero se muestra en muchos de los textos de c´alculo [15] que dA = dx dy = | J |dr ds
(9.61)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
314
de aqu´ı, la Ecuaci´ on (9.60) llega a ser Z1 Z1
ZZ (e)
T
[ B ]T [ D ][ B ]| J |dr ds
[ B ] [ D ][ B ]| J |dr ds = t
[k ] = t
(9.62)
−1 −1
A
Como puede notarse, los coeficientes en la matriz [ B ] son funciones conocidas de las coordenadas naturales, como lo es el Jacobiano | J |. Los t´erminos en la matriz de rigidez representada por la Ecuaci´on 9.86, de hecho, son integrales de relaciones racionales (fracciones) de polinomios y las integraciones son extremadamente dificultosas, usualmente imposibles de realizarse exactamente. En cambio, se usa la t´ecnica de cuadratura Gaussiana y las integraciones se reemplazan con las sumas del integrando evaluado en los puntos de Gauss especificados como fu´e definido en el Cap´ıtulo 6. Para p puntos de integraci´on en la variable r y q puntos de integraci´on en la variable s, la matriz de rigidez se aproxima mediante q p X X (e) Wi Wj [ B(ri , sj ) ]T [ D ][ B(ri , sj ) ]| J(ri , sj ) | (9.63) [k ] = t i=1 j=1
Puesto que [ B ] incluye el determinante de la matriz de Jacobi en el denominador, la integraci´on num´erica generalmente no produce una soluci´on exacta, ya que el cociente de polinomios no necesariamente es un polinomio. No obstante, el procedimiento de cuadratura Gaussiana se usa para este elemento, y y´a que el integrando es una funci´on cuadr´atica en r y s, se obtienen muy buenos resultados. En el tal caso, nosotros usamos dos puntos de Gauss para cada variable, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 9.3. Eval´ ue la matriz de rigidez para el elemento isoparam´etrico cuadril´atero mostrado en la Figura 9.7 (las dimensiones mostradas est´ an en pulg) para tensi´on plana con E = 30(10)6 psi, ν = 0,3. El espesor del elemento (seg´ un direcci´ on perpendicular al dibujo) es t = 1 pulg. Note que las propiedades aqu´ı establecidas, corresponden a aqu´ellas del acero comercial. 3 (2.25, 1.5)
(1.25, 1)
4
y x
1 (1, 0)
2 (2, 0)
Figura 9.7: Elemento isoparam´etrico cuadril´atero > Soluci´ on Las funciones de mapeo de transformaci´ on geom´etrica son x(r, s) = 41 [ (1 − r)(1 − s)(1) + (1 + r)(1 − s)(2) + (1 + r)(1 + s)(2,25) + (1 − r)(1 + s)(1,25) ] y(r, s) = 41 [ (1 − r)(1 − s)(0) + (1 + r)(1 − s)(0) + (1 + r)(1 + s)(1,5) + (1 − r)(1 + s)(1) ]
´ ISOPARAMETRICA ´ 9.4. FORMULACION
315
de ´estas relaciones, los coeficientes de la matriz Jacobiana son ∂x 1 = ∂r 2 ∂x 1 J21 = = ∂s 2 y el determinante, o Jacobiano, es J11 =
∂y 1 = (0,5 − 0,5s) ∂r 4 ∂y 1 = = (2,5 − 0,5r) ∂s 4
J12 = J22
| J | = J11 J22 − J12 J21 =
1 16 (4
− r + s)
Por consiguiente, la matriz geom´etrica [ G ] de la Ecuaci´on (9.56a) es conocida en t´erminos de las proporciones de los monomios en r y s como 2,5 − 0,5r −(0,5 − 0,5s) 0 0 4 0 0 −2 2 [G] = 4−r+s −2 2 2,5 − 0,5r −(0,5 − 0,5s) Para tensi´ on plana, con los valores dados, la matriz de propiedades materiales resulta 1 ν 0 1 0,3 0 E ν 1 0 = 32,97(10)6 0,3 1 0 psi [D] = 1 − ν2 1−ν 0 0 0,35 0 0 2 Luego, notamos que, puesto que la matriz de derivadas parciales [ P ] como es definida en la Ecuaci´on (9.58) tambi´en est´ a compuesta de monomios en r y s, s−1 1−s 1 + s −(1 + s) 0 0 0 0 1 r − 1 −(1 + r) 1 + r 1−r 0 0 0 0 [P ] = (9.64) 0 0 0 0 s − 1 1 − s 1 + s −(1 + s) 4 0 0 0 0 r − 1 −(1 + r) 1 + r 1−r la matriz de rigidez de la Ecuaci´ on (9.62) ya no es m´as compuesta de funciones cuadr´aticas en las coordenadas naturales. De aqu´ı, seleccionamos cuatro puntos de integraci´on (puntos de prueba de Gauss) dados por √ 3 ri = sj = ± i, j = 1, 2 3 y, por la Tabla 6.1 los factores de ponderaci´on deben ser Wi = Wj = 1,0
i, j = 1, 2
Luego, la matriz de rigidez de elemento, de acuerdo con la Ecuaci´on (9.63), estar´a determinada mediante la relaci´ on [k (e) ] = t
2 X 2 X
Wi Wj [ B(ri , sj ) ]T [ D ][ B(ri , sj ) ]| J(ri , sj ) |
i=1 j=1
Los resultados num´ericos para este ejemplo son obtenidos mediante un programa computacional escrito en MatLab usando las funciones de construcci´on de matrices que posee este paquete de software matem´ atico. Por la corrida del programa, se obtuvo el siguiente resultado 2305 −1759 −617 72 798 −152 −214 −432 −1759 1957 471 −669 −52 −522 14 560 −617 471 166 −19 −214 41 57 116 72 −669 −19 616 −533 633 143 −244 (e) 103 lb/pulg [k ] = −52 −214 −533 1453 −169 −389 −895 798 −152 −522 −41 633 −169 993 45 −869 −214 14 57 143 −389 45 104 240 −432 560 116 −244 −895 −869 240 1524
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
316
Claramente se v´e que la matriz es sim´etrica y definida positiva; adem´as puede usted comprobar que la misma es una matriz singular, lo cual se puede verificar calculando el determinante de la matriz que debe arrojar como resultado un valor nulo. > Ejemplo 9.4. Un ejemplo cl´ asico de an´ alisis de tensi´ on plana se muestra en la Figura 9.8(a). Una placa uniforme delgada con un orificio circular central de radio a, est´a sujeta a una tensi´on uniaxial σ0 . Use el m´etodo de elemento finito para determinar el factor de concentraci´on de tensiones, dados los siguientes datos f´ısicos: σ0 = 1000 psi, a = 0,5 pulg, h = 3 pulg, w = 6 pulg, E = 107 psi, ν = 0,3.
a
0
0
2h
2w
(a) Esquema de an´ alisis 4
19
20
5
23
22
21
37 18 40
42
36
44
25
33
17
38
35
48
32
34
46 45
3
24
39
43
16
15
14
13
12
26 29 41
47 30 31 7 11 10 9 8 2
27 28 6 1
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 9.8: Placa plana rectangular con orificio central, sometida a solicitaci´on axial > Soluci´ on La soluci´on para este ejemplo fu´e obtenida usando un software comercial de elemento finito con elementos cuadril´ ateros planos. La malla de elementos inicial (algo tosca), mostrada en la Figura 9.8(b), est´a compuesta de 33 elementos. Note usted que las condiciones de simetr´ıa se han usado para reducir el modelo a un cuarto de su tama˜ no original y las condiciones de borde l´ımite correspondientes son como se muestran en la figura. Para este modelo, la tensi´on m´axima (como es esperado) se espera que ocurra en el nodo 1 (la parte superior del agujero); y la corrida del programa d´a como resultado que esta variable tiene una magnitud de 3101 psi. Para examinar la convergencia de la soluci´on, un modelo refinado se muestra en la Figura 9.9(c), usando 101 elementos. Para este modelo, la tensi´on m´axima ocurre tambi´en en el nodo 1 y tiene una magnitud calculada de 3032 psi. De aqu´ı, se aprecia que entre los dos modelos, los valores de tensi´on m´axima han cambiado en el orden de 2,3 por ciento. Es interesante notar que el desplazamiento m´aximo dado por los dos modelos es esencialmente el mismo. Esta observaci´on refuerza la necesidad
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
317
(a) Modelo de 101 elementos finitos
(b) Modelo de 192 elementos finitos
Figura 9.9: Mallas refinadas para evaluar la convergencia de la soluci´on de examinar las variables derivadas para la convergencia, no simplemente las variables directamente computadas. Como un paso final examinando la convergencia, el modelo mostrado en la Figura 9.9(d) que contiene 192 elementos tambi´en se resuelve. (Los n´ umeros de los nodos se eliminan para claridad de visualizaci´ on). La tensi´ on m´ axima calculada, de nuevo se presenta en el nodo 1, con una magnitud de 3024 psi; o sea un min´ usculo cambio con respecto al modelo previo, que nos permite concluir que la convergencia se ha logrado. (El cambio en el desplazamiento m´aximo es esencialmente nada). De aqu´ı, concluimos que el factor de concentraci´on de tensiones, definido como: Kt = σm´ax /σ0 = 3024/1000 = 3,024 es aplicable a la geometr´ıa y carga de este ejemplo. Es interesante notar que el factor de concentraci´on de tensiones te´ orico (de aqu´ı, el sub´ındice t) para este problema calculado por la teor´ıa matem´atica de la elasticidad es exactamente 3. El mismo resultado se muestra en muchos textos sobre dise˜ no de m´aquinas y an´ alisis de tensiones [47]. >
9.5.
An´ alisis de tensiones en simetr´ıa axial
El concepto de simetr´ıa axial se discute en el Cap´ıtulo 6 en t´erminos de las funciones generales de interpolaci´ on. Aqu´ı, especializamos el concepto de simetr´ıa axial al an´alisis de los problemas de tensi´on el´astica. Para satisfacer las condiciones de simetr´ıa axial, el problema debe ser tal que 1. El cuerpo s´ olido bajo tensi´ on debe ser un s´olido de revoluci´on; por convenci´on, el eje de revoluci´on es el eje z en un sistema de coordenadas cil´ındrico (r, θ, z).
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
318
2. La carga aplicada sobre el cuerpo es sim´etrica alrededor del eje z. 3. Todas las condiciones de borde l´ımite (restricciones) son sim´etricas alrededor del eje z. 4. Las propiedades materiales tambi´en son sim´etricas (autom´aticamente satisfecho por un material linealmente el´ astico, homog´eneo, e isotr´opo). Si estas condiciones est´ an satisfechas, el campo de desplazamientos internos es independiente de la coordenada tangencial θ, y por tanto el an´alisis de tensiones es matem´aticamente bi–dimensional, aunque el problema f´ısico sea tri–dimensional. Para desarrollar las ecuaciones de simetr´ıa axial, examinamos la Figura 9.10(a), la cual representa a un s´olido de revoluci´on que satisface los requisitos precedentes. La Figura 9.10(b) es un elemento diferencial del cuerpo en el plano r–z; es decir, cualquier secci´on a trav´es del cuerpo para el cual θ es constante. Sin embargo, nosotros no podemos ignorar la coordenada tangencial completamente, ya que como es mostrado en la Figura 9.10(c), hay una tensi´on en la direcci´ on tangencial (recuerde la definici´on b´asica de tensi´on anular en los recipientes de presi´on de pared delgada tratado en el curso de mec´anica de materiales) la cual proviene del cambio de magnitud de la dimensi´ on de cualquier segmento de arco circular trazado desde el eje de simetr´ıa. Note que, en direcci´ on radial, el elemento tambi´en sufre un desplazamiento, que introduce incremento en la circunferencia y por tanto tambi´en tensiones asociadas.
dr
z
u)d (r rd
dV
d dz
(a) Secci´ on de corte
d
r
dr
r
(b) Volumen diferencial (elemento finito)
u
u u dr r
r
(c) Elemento diferencial (Plano r–θ)
Figura 9.10: Cuerpo s´ olido de revoluci´on, con simetr´ıa axial. Denotamos el desplazamiento radial como u, el desplazamiento tangencial (circunferencial) como υ, y el desplazamiento axial como w. De la Figura 9.10(c), la deformaci´on unitaria radial es 1 ∂u ∂u r = u+ dr − u = (9.65) dr ∂r ∂r La deformaci´on unitaria axial es 1 z = dz
∂w w+ dz − w ∂z
=
∂w ∂z
(9.66)
y estas relaciones son como es esperado, puesto que el plano r–z es efectivamente igual que en un sistema coordenado rectangular. En la direcci´ on circunferencial, el elemento diferencial sufre una expansi´on definida considerando la longitud de arco original en comparaci´on con la longitud de arco deformada. Antes de la la deformaci´ on, la longitud del arco es ds = r dθ; mientras que despu´es de la deformaci´on, la longitud del arco es ds = (r + u) dθ. La deformaci´on unitaria tangencial es por tanto θ =
(r + u) dθ − r dθ u = r dθ r
(9.67)
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
319
y observamos que, aunque el problema es independiente de la coordenada tangencial θ, la deformaci´on tangencial debe ser considerada en la formulaci´on del problema. Note que, si r = 0, la expresi´on precedente para la deformaci´ on unitaria tangencial es matem´aticamente molesta, porque la divisi´on entre cero se indica. La situaci´ on ocurre, por ejemplo, si nosotros examinamos las tensiones en un cuerpo s´ olido en rotaci´ on, en cuyo caso las tensiones son inducidas por la fuerza centr´ıfuga (la aceleraci´on normal). Adicional discusi´ on sobre ´este problema es incluido despu´es, cuando tratemos el tema concerniente con la formulaci´ on del elemento finito. Adicionalmente, las deformaciones unitarias cortantes son ∂u ∂w + ∂z ∂r =0 =0
γrz = γrθ γθz
(9.68)
Si sustituimos las componentes de deformaci´on en las relaciones tensi´on–deformaci´on generalizadas del Ap´endice B (y, en este caso, utilizamos θ = y), obtenemos E [ (1 − ν)r + ν(θ + z ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E [ (1 − ν)θ + ν(r + z ) ] σθ = (1 + ν)(1 − 2ν) E σz = [ (1 − ν)z + ν(r + θ ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E γrz = Gγrz τrz = 2(1 + ν) σr =
(9.69)
Por conveniencia para el desarrollo conceptual en elemento finito, la Ecuaci´on (9.69) es expresada en forma matricial como 1−ν ν ν 0 σr r ν θ E 1 − ν ν 0 σθ (9.70) = ν 1−ν 0 z σz (1 + ν)(1 − 2ν) ν 1−2ν γrz τrz 0 0 0 2 en la cual identificamos la matriz de propiedades materiales para elasticidad con simetr´ıa axial, la cual es dada por 1−ν ν ν 0 ν E 1−ν ν 0 [D] = (9.70a) ν 1−ν 0 (1 + ν)(1 − 2ν) ν 1−2ν 0 0 0 2
9.5.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Recuerde de la discusi´ on general de funciones de interpolaci´on en el Cap´ıtulo 6, que esencialmente cualquier elemento bi–dimensional puede usarse para generar un elemento de simetr´ıa axial. Como mencionamos all´ı, por definici´ on, no existe ninguna dependencia en esta clase de problemas de la coordenada θ y de ning´ un desplazamiento de tipo circunferencial (tangencial); por lo que el campo de desplazamientos para el problema de tensi´on con simetr´ıa axial puede expresarse como u(r, z) =
M X
Ni (r, z) ui
i=1
w(r, z) =
M X i=1
(9.71) Ni (r, z) wi
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
320
con ui y wi representando los desplazamientos nodales radial y tangencial, respectivamente. Para prop´ositos ilustrativos, ahora consideramos el caso de un elemento triangular de tres–nodos v´ertice. Las componentes de deformaci´ on unitaria, en este caso, llegan a ser 3
r =
∂u X ∂Ni = ui ∂r ∂r i=1
θ =
u X Ni = ui r r i=1
3
3
(9.72)
∂w X ∂Ni = wi w = ∂z ∂z i=1 γrz =
3 3 X ∂Ni ∂u ∂w X ∂Ni + = ui + wi ∂z ∂r ∂z ∂r i=1 i=1
y, estas relaciones son expresadas convenientemente en forma matricial como u1 ∂N1 ∂N2 ∂N3 0 0 0 r ∂r ∂r ∂r u2 N2 N3 N1 θ 0 0 0 u3 r r r = ∂N1 ∂N2 ∂N3 w 0 0 1 0 z ∂z ∂z ∂z w2 γrz ∂N2 ∂N3 ∂N1 ∂N2 ∂N3 ∂N1 ∂z ∂z ∂z ∂r ∂r ∂r w3
(9.73)
Siguiendo los desarrollos anteriores, la Ecuaci´on (9.73) se denota {} = [ B ]{δ}, con [ B ] representando la matriz 4×6 que involucra a las derivadas espaciales de las funciones de interpolaci´on. As´ı la energ´ıa de deformaci´ on el´ astica total de los elementos, como es descrita por la Ecuaci´on (9.12) ´o (9.42) puede evaluarse; y la matriz de rigidez resulta ser ZZZ [ k (e) ] = [ B ]T [ D ][ B ]dV (e) (9.74) V (e)
Aunque la Ecuaci´ on (9.74) est´ a poni´endose bastante familiar, una palabra o dos de cuatela son apropiadas. Primero recuerde en particular que, aunque las funciones de interpolaci´on usadas aqu´ı son en dos dimensiones, el elemento de simetr´ıa axial es de verdad tri–dimensional (toroidal). Segundo, el elemento no es un elemento de deformaci´on constante, debido a la variaci´on inversa de θ con la posici´on radial, de modo que el integrando en la Ecuaci´on (9.74) no es constante. Finalmente, note que la matriz [ D ] es significativamente diferente comparada con su contraparte de las matrices de propiedades materiales para tensi´ on y deformaci´on planas. Tomando la primera observaci´on en cuenta y recordando la Ecuaci´ on (9.70), la matriz de rigidez se define por ZZ (e) [ k ] = 2π [ B ]T [ D ][ B ] r dr dz (9.75) A(e)
y es una matriz 6×6 sim´etrica, que en teor´ıa requiere la evaluaci´on de 21 integrales. La integraci´on expl´ıcita de t´ermino–por–t´ermino no es recomendable, debido a la complejidad algebr´aica. Cuando se requiere una exactitud elevada, se utiliza la integraci´on num´erica de tipo–Gaussiana usando puntos de integraci´on espec´ıficamente determinados para regiones triangulares [45]. Otra aproximaci´on es evaluar la matriz [ B ] en el centroide del elemento en un plano r–z. En este caso, las matrices en el integrando se vuelven constantes y la matriz de rigidez se aproxima por ¯ ]T [ D ][ B ¯] [ k (e) ] ∼ = 2 π r¯ A[ B
(9.76)
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
321
¯ ] la matriz gradiente espacial de las donde r¯ denota la posici´ on radial del centroide del elemento y [ B funciones de interpolaci´ on evaluada en el punto centroidal tambi´en. Por supuesto que la exactitud de la aproximaci´ on mejora a medida que el tama˜ no del elemento sea disminuido. Refiri´endonos a una observaci´ on anterior, la formulaci´on de la matriz [ B ] es molesta si la condici´on r = 0 es incluida en el dominio de an´alisis. En esta ocurrencia, tres coeficientes de la Ecuaci´on (9.73) explotan, debido a la divisi´ on por cero. Si la matriz de rigidez se eval´ ua usando la aproximaci´on centroidal de la Ecuaci´ on (9.76), ´este problema se evita ya que la coordenada radial del centroide de cualquier elemento no puede ser cero en un modelo de elemento finito con simetr´ıa axial. No obstante, las componentes de tensi´ on y deformaci´on radial y tangencial no pueden evaluarse en los nodos para los cuales r = 0. F´ısicamente, sabemos que los desplazamientos radiales y tangenciales en r = 0 en un problema con simetr´ıa axial deben ser cero. Matem´aticamente, la observaci´on no se considera en la formulaci´ on general de elemento finito, que es para un dominio arbitrario. Una t´ecnica para evitar el problema es incluir un agujero, coincidiendo con el eje z y teniendo un radio muy peque˜ no, pero finito [1]. De este modo, la malla de elementos finitos del modelo matem´atico de an´alisis no contiene ning´ un punto para el cual se tenga la condici´on r = 0, de nulidad de la coordenada radial.
9.5.2.
Cargas de elemento
Los problemas de simetr´ıa axial involucran a menudo fuerzas de superficie en forma de presi´on interior o externa, y fuerzas de cuerpo (m´asicas) provenientes de la rotaci´on del cuerpo (la fuerza centr´ıfuga) y del campo gravitatorio (el peso propio). En cada caso, las influencias externas anteriores que son tomadas como cargas distribu´ıdas, se reducen a fuerzas nodales usando el concepto de equivalencia de trabajo mec´ anico previamente introducido en p´arrafos anteriores. 3
pz
pz pr
dS
z r
1
pr
2
(a) Elemento t´ıpico cargado
(b) Longitud diferencial de borde
Figura 9.11: Cargas distribu´ıdas en elemento con simetr´ıa axial. El elemento triangular de simetr´ıa axial mostrado en la Figura 9.11(a) est´a sujeto a presiones pr y pz en las direcciones radial y axial, respectivamente. Las fuerzas nodales equivalentes son determinadas por analog´ıa con la Ecuaci´ on (9.28), con la notable excepci´on indicada en la Figura 9.11(b), la que muestra una longitud diferencial dS del borde del elemento en cuesti´on. Como dS se localiza a una distancia radial r desde el eje de simetr´ıa, el ´area en que el act´ uan las componentes de presi´on es dA = 2π r dS. Entonces, las fuerzas nodales estar´an dadas por (p) Z fr pr T {f (p) } = = 2 π [ N ] r dS (9.77) fz(p) pz S
donde el camino de integraci´ on S es el borde del elemento. En esta expresi´on, [ N ]T es como est´a definida por la Ecuaci´ on (9.28a). Ejemplo 9.5. Calcule las fuerzas nodales que corresponden a una presi´on radial uniforme pr = 10 psi (lb/pulg2 ) actuando sobre el elemento de simetr´ıa axial como es mostrado en la Figura 9.12. Los valores de las coordenadas indicadas en la gr´ afica est´an medidas en pulg.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
322 3 (3, 1)
10 psi
z 1 (3, 0)
2 (4, 0)
r
Figura 9.12: Elemento triangular cargado > Soluci´ on Como se tiene presi´ on en un solo borde (o cara) del elemento, y ´esta solo posee componente radial (no existe componente axial), inmediatamente observamos que fr2 = fz1 = fz2 = fz3 = 0 Las componentes de fuerza nodal no–nulas son Z fr1 = 2 π
N1 pr r dS S Z
fr3 = 2 π
N3 pr r dS S
Usando la Ecuaci´ on (9.21) con r, z en lugar de x, y; las funciones de interpolaci´on son N1 = 4 − r − z N2 = r − 3 N3 = z y, a lo largo del camino de integraci´ on (r=3), tendremos N1 = 1 − z N2 = 0 N3 = z Si el camino de integraci´ on es desde el nodo 1 hasta el nodo 3, dS = dz, y Z1 (1 − z) dz = 30π lb
fr1 = 2 π(10)(3) 0
Z1 fr3 = 2 π(10)(3)
z dz = 30π lb 0
Debemos notar que, si el camino de integraci´on es tomado en sentido opuesto (i.e., desde el nodo 3 hasta el nodo 1), entonces dS = − dz. Pero, ´esto no afecta en nada el procedimiento marcado en el proceso de soluci´ on, y usted puede demostrar que se obtiene el mismo resultado !. >
´ 9.5. ANALISIS DE TENSIONES EN SIMETR´IA AXIAL
323
Las fuerzas de cuerpo actuando sobre los elementos de simetr´ıa axial se consideran de una manera similar a aquella discutida para el elemento de tensi´on plana, aunque debemos tomar en cuenta las diferencias geom´etricas. Si las fuerzas de cuerpo (fuerza por unidad de masa) RB and ZB act´ uan en las direcciones radial y axial, respectivamente; las fuerzas nodales equivalentes son calculadas como ZZ RB {f B } = 2 π ρ [ N ]T r dr dz (9.78) ZB A(e)
Para el elemento triangular de tres–nodos, [ N ]T ser´ıa de nuevo como es dada en la Ecuaci´on (9.28a). La extensi´ on de ´este concepto a otros tipos de elementos es similar. Generalmente, la fuerza de cuerpo radial proviene de la rotaci´on de un cuerpo de simetr´ıa axial alrededor del eje z. Para velocidad angular ω constante, la componente de fuerza de cuerpo radial RB es igual a la magnitud de la componente de aceleraci´on normal que surge del movimiento circular rotacional r ω 2 y est´ a dirigida en direcci´on radial positiva. Otro tipo de fuerza de cuerpo importante es aquella que proviene de la acci´ on del campo garvitatorio terrestre. Esta fuerza es tomada s´olo con componente axial seg´ un direcci´ on negativa del eje z, y su intensidad es id´entica al valor de magnitud de la gravedad estandar g. Ejemplo 9.6. El elemento de simetr´ıa axial de la Figura 9.12 es parte de un cuerpo que gira con velocidad angular ω constante de 10 rad/seg alrededor del eje z, y adem´as est´a sujeto a la acci´on de la gravedad. Calcule las fuerzas nodales equivalentes para esta solicitaci´on combinada aplicada al elemento. La densidad ρ tiene valor de magnitud 7,3(10)−4 lb-seg2 /pulg4 . > Soluci´ on Para las condiciones establecidas, tendremos 2
RB = r ω 2 = 100 r pulg/seg
ZB = −g = −386,4 pulg/seg
2
Utilizando las funciones de interpolaci´on como fueron establecidas en el Ejemplo 9.5, ZZ fr1 = 2 π ρ
4−r Z4 Z N1 RB r dr dz = 2 π ρ(100) (4 − r − z) r2 dz dr = 0,84 lb 3
A
ZZ fr2 = 2 π ρ
3
A
ZZ fr3 = 2 π ρ
fz1 = 2 π ρ
0
4−r Z4 Z N3 RB r dr dz = 2 π ρ(100) z r2 dz dr = 0,84 lb 3
A
ZZ
0
4−r Z4 Z N2 RB r dr dz = 2 π ρ(100) (r − 3) r2 dz dr = 0,98 lb
0
4−r Z4 Z N1 ZB r dr dz = −2 π ρ(386,4) (4 − r − z) r dz dr = −1,00 lb 3
A
0
4−r Z4 Z
ZZ N2 ZB r dr dz = −2 π ρ(386,4)
fz2 = 2 π ρ
(r − 3) r dz dr = −1,08 lb 3
A
ZZ fz3 = 2 π ρ A
0
4−r Z4 Z N3 ZB r dr dz = −2 π ρ(386,4) z r dz dr = −1,00 lb 3
0
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
324
Las integraciones requeridas para obtener los resultados dados son directas, pero algebr´aicamente tediosas. Otro acercamiento a la soluci´ on que puede usarse y es incrementalmente exacta para un decremento en el tama˜ no del elemento, es evaluar la fuerza de cuerpo y el integrando en el centroide de la secci´on transversal del ´ area del elemento como una aproximaci´on. Usando esta aproximaci´on, puede ser demostrado que ZZ r¯ A Ni (¯ r, z¯) r¯ dz dr = i = 1; 3 3 A
as´ı que las fuerzas de cuerpo se asignan equitativamente a cada uno de los nodos. Para el ejemplo presente, el resultado es fr1 = fr2 = fr3 = 0,88 lb fz1 = fz2 = fz3 = −1,03 lb Note usted que, dentro de la exactitud num´erica usada aqu´ı, la fuerza radial total y la fuerza total axial son las mismas para los dos m´etodos presentados. >
9.6.
Elementos de tensi´ on tri–dimensionales generales
Aunque las condiciones de tensi´ on plana, deformaci´on plana, y simetr´ıa axial frecuentemente son encontradas, la mayor´ıa de las veces la geometr´ıa de una estructura y las cargas aplicadas son tales que existe un estado tri–dimensional general de tensiones. En el caso general, hay tres componentes de desplazamiento u, v, y w en las direcciones de los ejes x, y, y z, respectivamente; y seis componentes de deformaci´on dadas por (v´ease el Ap´endice B) ∂u ∂x x ∂υ ∂y y ∂w z ∂z {} = = ∂u ∂υ γxy ∂y + ∂x γ ∂u ∂w xz ∂z + ∂x γyz ∂υ + ∂w ∂z
(9.79)
∂y
Por conveniencia de presentaci´ on, las relaciones deformaci´on–desplazamiento de la ecuaci´on anterior pueden ser expresadas como ∂ ∂x
0
0 0 {} = ∂ ∂y ∂ ∂z 0
∂ ∂y
0 ∂ ∂x
0 ∂ ∂z
0
0 ∂ u u ∂z υ = [L] υ 0 w w ∂ ∂x
(9.80)
∂ ∂y
y la matriz [ L ] es una matriz 6×3 de operadores de derivaci´on parcial espacial. Las relaciones tensi´ on–deformaci´ on, especificadas por las Ecuaciones (B.14), son expresadas en
´ TRI–DIMENSIONALES GENERALES 9.6. ELEMENTOS DE TENSION
325
forma matricial como σx σy σz {σ} = τxy τxz τyz 1−ν ν ν E = (1 + ν)(1 − 2ν) 0 0 0
ν 1−ν ν 0 0 0
ν ν 1−ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν 2
0 0
0 0 0 0 1−2ν 2
0
x y z = [ D ]{} γxy γxz 1−2ν γyz 0 0 0 0 0
(9.81)
2
Note que, para el caso general, la matriz de propiedades materiales [ D ] es una matriz 6×6 que involucra s´ olo el m´ odulo de elasticidad y la relaci´on de Poisson (nosotros continuamos restringiendo la presentaci´ on a la elasticidad lineal). Tambi´en note que las componentes del desplazamiento son funciones continuas de las coordenadas Cartesianas.
9.6.1.
Formulaci´ on de elemento finito
Siguiendo el procedimiento general establecido en el contexto de los elementos bi–dimensionales, un elemento tri–dimensional de deformaci´on el´astica que tiene M nodos, se formula discretizando primero las componentes del desplazamiento como u(x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z) ui
i=1
υ(x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z) υi
(9.82)
i=1
w(x, y, z) =
M X
Ni (x, y, z) wi
i=1
Como es de costumbre, los desplazamientos nodales Cartesianos son ui , υi , y wi ; mientras que Ni (x, y, z) es la funci´ on de interpolaci´on asociada con el nodo i. En este punto, no hacemos ninguna hip´otesis con respecto a la forma del elemento o el n´ umero de nodos del mismo. En cambio, simplemente notemos que las funciones de interpolaci´on pueden ser cualquiera de aqu´ellas discutidas en el Cap´ıtulo 6 para los elementos tri–dimensionales. Introduciendo el vector (matriz columna) de desplazamientos nodales T {δ} = u1 u2 · · · uM υ1 υ2 · · · υM w1 w2 · · · wM (9.83) La representaci´ on discretizada del campo de desplazamientos puede escribirse en forma matricial como [N ] [0] [0] u υ = [ 0 ] [ N ] [ 0 ] {δ} = [ N[3] ]{δ} (9.84) w [0] [0] [N ] En la u ´ltima ecuaci´ on, cada submatriz [ N ] es una matriz fila 1×M que tiene como coeficientes a las funciones de interpolaci´ on [ N ] = N1 N2 · · · NM (9.84a)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
326
as´ı, la matriz que hemos escogido denotar como [ N[3] ] es una matriz 3×3M compuesta de funciones de interpolaci´on y muchos valores cero. Antes de proceder, enfatizamos que el orden de los desplazamientos nodales en la Ecuaci´ on (9.83) es conveniente para los prop´ositos de desarrollo, pero es ineficaz para los prop´ositos computacionales. Se obtiene una mayor eficiencia computacional en la fase de soluci´on del modelo si el vector de desplazamientos se define como: T {δ} = u1 υ1 w1 u2 υ2 w2 · · · · · · uM υM wM Recordando las Ecuaciones (9.7) y (9.17), la energ´ıa potencial total de un elemento puede expresarse como ZZZ 1 {}T [ D ]{}dV − {δ}T {f } (9.85) Π = Ue − W = 2 V
El vector de fuerzas nodales de elemento es definido como el ordenamiento en columna de las componentes de fuerza aplicadas en los nodos seg´ un las componentes de desplazamiento y´a especificadas; por tanto, T (9.86) {f } = f1x f2x · · · fM x f1y f2y · · · fM y f1z f2z · · · fM z y puede incluir los efectos de fuerzas concentradas aplicadas a los nodos, fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas de cuerpo, y fuerzas nodales equivalentes a las cargas de presi´on aplicadas. Considerado los desarrollos anteriores, la Ecuaci´on (9.85) puede expresarse [usando las Ecuaciones (9.80), (9.81), y (9.84)], como ZZZ 1 Π = Ue − W = {δ}T [ L ]T [ N[3] ]T [ D ][ L ][ N[3] ]{δ}dV − {δ}T {f } (9.87) 2 V
Como las componentes de desplazamiento nodales son independientes de la integraci´on sobre el volumen, la Ecuaci´ on (9.87) puede escribirse como ZZZ 1 Π = Ue − W = {δ}T [ L ]T [ N[3] ]T [ D ][ L ][ N[3] ]dV {δ} − {δ}T {f } (9.88) 2 V
la cual es de la forma Π = Ue − W =
1 {δ}T 2
ZZZ [ B ]T [ D ][ B ]dV {δ} − {δ}T {f }
(9.88a)
V
En la Ecuaci´ on (9.88a), la matriz deformaci´on–desplazamiento est´a dada por ∂ 0 0 ∂x ∂ 0 0 ∂y [0] [0] ∂ [N ] 0 0 ∂z [ B ] = [ L ][ N[3] ] = ∂ [0] [N ] [0] ∂ ∂y ∂x 0 [ 0 ] [ 0 ] [ N ] ∂ ∂ 0 ∂x ∂z ∂ ∂ 0 ∂z ∂y
(9.89)
y se observa que es una matriz 6×3M compuesta de las primeras derivadas parciales de las funciones de interpolaci´ on. La aplicaci´ on del principio de energ´ıa potencial m´ınima a la Ecuaci´on (9.88a) d´a, en analog´ıa con la Ecuaci´on (9.19), ZZZ [ B ]T [ D ][ B ]dV {δ} = {f } V
(9.90)
´ DE DEFORMACIONES Y TENSIONES 9.7. EVALUACION
327
como el sistema de ecuaciones nodales de equilibrio para un elemento de tensi´on tri–dimensional general. De ´esta u ´ltima ecuaci´ on, identificamos la matriz de rigidez de elemento como ZZZ [k] = [ B ]T [ D ][ B ]dV (9.90a) V
y la matriz de rigidez de elemento as´ı definida es una matriz 3M ×3M sim´etrica, como es esperado para un elemento el´ astico lineal. Las integraciones indicadas en la Ecuaci´on (9.90) dependen del tipo de elemento espec´ıfico en cuesti´ on. Para un elemento tetra´edrico lineal de cuatro–nodos (v´ease la Secci´on 6.7), todas las derivadas parciales de las coordenadas de volumen son constantes, as´ı que las deformaciones son constantes — ´esta es la analog´ıa tri–dimensional a un tri´angulo de deformaci´on constante en dos dimensiones. En el elemento tetra´edrico lineal, los coeficientes de la matriz [ B ] son constantes y las integraciones se reducen a una constante que multiplica al volumen del elemento. Si el elemento a ser desarrollado es un elemento ladrillo de ocho–nodos, las funciones de interpolaci´on, Ecuaci´ on (6.48), son tales que las tensiones var´ıan linealmente y el integrando en la Ecuaci´on (9.90) no es constante. Los integrandos resultan ser polinomios en las variables espaciales; sin embargo, y por consiguiente, adecuadas para un proceso de integraci´on mediante cuadratura Gaussiana en tres dimensiones. Similarmente, para los elementos de orden–superior, las integraciones requeridas para formular la matriz de rigidez son realizadas num´ericamente. El elemento ladrillo de ocho–nodos puede transformarse en un elemento paralelep´ıpedo de forma generalizada usando el procedimiento isoparam´etrico discutido en la Secci´on 6.8. Si el elemento de ocho–nodos se usa como el elemento generador (padre), el elemento isoparam´etrico resultante tiene caras o superficies l´ımite planas y es an´alogo al elemento cuadril´atero bi–dimensional. En cambio, si el elemento generador es de funciones de interpolaci´on de orden–superior, el elemento isoparam´etrico mapeado resulta ser un elemento con superficies generales (curvadas). Sin tener en cuenta el tipo de elemento espec´ıfico o los tipos de funciones de interpolaci´on usados en un an´ alisis tri–dimensional de elemento finito, el procedimiento para ensamblar las ecuaciones de equilibrio globales es el mismo que fu´e discutido varias veces, as´ı que no hacemos labor alguna en este punto. Como en los desarrollos anteriores, las ecuaciones globales y´a ensambladas son de la forma [ K ]{∆} = {F }
(9.91)
con [ K ] representando la matriz de rigidez global ensamblada, {∆} representando el vector columna de desplazamientos globales, y {F } representando el vector columna de cargas nodales aplicadas. Las fuerzas nodales pueden incluir fuerzas aplicadas directamente a los nodos, fuerzas concentradas nodales de trabajo–equivalente que corresponden a las fuerzas de cuerpo, y fuerzas que provienen de la presi´on aplicada en las caras del elemento.
9.7.
Evaluaci´ on de deformaciones y tensiones
Usando el m´etodo de rigidez expuesto en este texto, la fase de soluci´on de un an´alisis de elemento finito produce el c´ alculo de los desplazamientos nodales desconocidos, como tambien las fuerzas de reacci´on en los nodos restringidos (aquellos impedidos de desplazarse). El c´alculo de las componentes de deformaci´ on, y luego las componentes de tensi´on, es una fase secundaria (post–procesamiento) del an´alisis. Una vez que los desplazamientos nodales son conocidos, las componentes de deformaci´on (en cada nodo del modelo) se calculan r´ apidamente usando la Ecuaci´on (9.80); la cual, dada la discretizaci´on en el contexto del elemento finito, llega a ser u {} = [ L ] υ = [ L ][ N[3] ]{δ} = [ B ]{δ} (9.92) w
328
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
Debe darse ´enfasis a que la Ecuaci´ on (9.92) representa el c´alculo de las componentes de deformaci´on para un elemento individual y debe llevarse a cabo para cada elemento en el modelo de elemento finito. Sin embargo, el c´ alculo es dir´ecto, puesto que la matriz [ B ] se ha evaluado para cada uno de ellos al determinar su correspondiente matriz de rigidez, como contribuciones de los elementos a la matriz de rigidez global. Similarmente, las componentes de tensi´on de elemento se calculan como σ = [ D ][ B ]{δ}
(9.93)
y la matriz de propiedades materiales [ D ] depende del estado de tensiones internas, como previamente fu´e discutido. Las Ecuaciones (9.92) y (9.93) son generales en el sentido que las ecuaciones son v´alidas para cualquier estado de tensiones, si la matriz de deformaci´on–desplazamiento [ B ] y la matriz de propiedades materiales [ D ] se definen apropiadamente para un estado particular de tensiones. (En este contexto, recuerde que nosotros s´ olo consideramos la deformaci´on el´astica lineal en este texto). Las componentes de deformaci´ on y tensi´on del elemento, como son calculadas, se expresan en el sistema de coordenadas del mismo elemento (sistema coordenado local). En general, para los elementos normalmente usados en el an´ alisis de tensiones, el sistema de coordenadas para cada elemento es igual que el sistema coordenado global. Es un hecho de naturaleza humana, sobre todo de los ingenieros, que nosotros seleccionemos el marco referencial m´as simple para describir una ocurrencia particular o un ´ evento (cualquier fen´ omeno f´ısico). Esta es una manera de decir que nosotros tendemos a escoger un sistema de coordenadas por la conveniencia del mismo, y esa conveniencia se relaciona m´as a menudo con la geometr´ıa del problema que est´ a siendo analizado. El sistema de coordenadas seleccionado raramente, alguna vez, corresponde a las condiciones de carga m´axima. Espec´ıficamente, si nosotros consideramos el c´alculo de tensiones de elemento representado por la Ecuaci´on (9.93), las componentes de tensi´ on son referidas, y calculadas con referencia, a un sistema de coordenadas Cartesiano especificado de principio. Para determinar la carga cr´ıtica en cualquier modelo, debemos aplicar una de las llamadas teor´ıas de falla–mec´ anica. Cuando limitamos la discusi´on a una conducta linealmente el´ astica, la “falla” en nuestro contexto es el estado de fluencia del material. Hay varias teor´ıas de falla mec´ anica normalmente aceptadas que toman la fluencia del material como estado cr´ıtico asociado al estado general de tensiones actuante en el punto m´as peligroso de la estructura (denominado tambi´en punto cr´ıtico). Los dos criterios m´as comunmente aplicados son: la teor´ıa de tensi´ on cortante m´ axima y la teor´ıa de energ´ıa de distorsi´ on. Nosotros discutiremos brevemente cada una de ´estas. En un estado general de tensiones tri–dimensional, las tensiones normales principales σ1 σ2 y σ3 est´an dadas por las ra´ıces de la ecuaci´ on c´ ubica representada por la anulaci´on del determinante de la ecuaci´ on caracter´ıstica asociada al tensor de tensiones que se presenta en el punto cr´ıtico de la estructura [47]. σx − λ σx τxy τxz 1 0 0 τxy τxz σy − λ τyz = 0 (9.94) det ( [ σ ] − λ[ I ] ) = det τxy σy τyz − λ 0 1 0 = τxy τxz τxz τyz σz 0 0 1 τyz σ z − λ La soluci´on de ´esta ecuaci´ on, representada por las ra´ıces λi (i = 1; 3) del polinomio que se obtiene desarrollando la expresi´ on anterior; se identifican precisamente con las tensiones normales principales; es decir: λi = σi (i = 1; 3). Habitualmente, las tensiones principales son ordenadas de modo que: σ1 > σ2 > σ3 . Por la convenci´on usual, una tensi´ on normal positiva corresponde a tracci´on, mientras una tensi´on normal negativa es compresi´on. As´ı, aunque σ3 es algebr´ aicamente la m´as peque˜ na de las tres tensiones principales, puede representar una tensi´ on compresiva que tiene significativamente la magnitud m´as grande. Tambi´en recuerde que las tensiones principales ocurren en planos mutuamente ortogonales (los planos principales) y las componentes de tensi´ on cortante sobre dichos planos principales son nulas. Habiendo calculado las tensiones normales principales, la tensi´on cortante m´axima que se produce en el mismo punto del cuerpo donde se ha especificado el estado de tensiones interno (en el punto
´ DE DEFORMACIONES Y TENSIONES 9.7. EVALUACION
329
cr´ıtico), est´ a dada por τm´ax = M´ax
|σ1 − σ2 | |σ1 − σ3 | |σ2 − σ3 | , , 2 2 2
(9.95)
Se conoce que las tres componentes de tensi´on cortante determinadas por la Ecuaci´on (9.95), ocurren sobre planos que est´ an orientados a 45◦ con respecto a la orientaci´on espacial de los planos principales. La teor´ıa de tensi´ on cortante m´ axima (TTCM) sostiene que la falla–mec´anica (fluencia del material) en un estado general de tensiones ocurre cuando la tensi´on cortante m´axima, como es dada por la Ecuaci´ on (9.95), iguala o excede a la tensi´on cortante m´axima que ocurre en un ensayo de tracci´on simple asociado al punto de fluencia. Es bastante f´acil demostrar que la tensi´on cortante m´axima, en una prueba de tensi´ on uniaxial cuando la solicitaci´on aplicada iguala al valor de tensi´on normal del l´ımite de fluencia, tiene valor igual a la mitad la tensi´on de resistencia a la fluencia del material, denotada como Sy . De aqu´ı, el valor de falla–mec´anica en la TTCM es τm´ax = Sy /2 = Sys . En esta notaci´on, Sy es la resistencia mec´ anica del material (id´entica a la tensi´on normal de fluencia σF ) y Sys representa la resistencia mec´ anica a la solicitaci´on cortante o tangencial. La teor´ıa de energ´ıa de distorsi´ on (TED) est´a basada en la capacidad de almacenamiento de la ´ energ´ıa de deformaci´ on en un material bajo un estado dado de tensiones. Esta teor´ıa sostiene que un estado de tensiones compresivo o de tensiones uniforme (tambi´en conocido como estado de tensi´ on hidrost´ atica) no causa la distorsi´ on y, de aqu´ı, no contribuye a la fluencia del material. M´as propiamente, ´esta teor´ıa establece que la falla–mec´anica se produce cuando la energ´ıa de distorsi´on causada por las tensiones cortantes actuantes en el punto cr´ıtico de la estructura, hacen que se exceda la capacidad de almacenamiento de energ´ıa del material. Si las tensiones principales han sido calculadas, la energ´ıa de tensi´on el´ astica total est´ a dada por ZZZ 1 ( σ1 1 + σ2 2 + σ3 3 )dV Ue = 2 V (9.96) 1 2 2 2 = [ σ + σ2 + σ3 − 2ν( σ1 σ2 + σ1 σ3 + σ2 σ3 ) ]V 2E 1 Para arrivar a la determinaci´ on de la energ´ıa de distorsi´on, es necesario considerar la denominada tensi´ on media hidrost´ atica, definida por σ 1 + σ2 + σ 3 3
(9.97)
2 3σmed (1 − 2ν) V 2E
(9.98)
σmed = y la correspondiente energ´ıa de deformaci´on es Uhid =
Luego, la energ´ıa de distorsi´ on est´a definida como Ud = Ue − Uhid Despu´es de un considerable monto de manipulaci´on algebr´aica, la energ´ıa de distorsi´on en t´erminos de las componentes de tensiones principales, se encuentra que est´a dada por 1/2 1 + ν (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 Ud = V 3E 2
(9.99)
La TED establece que la falla–mec´anica (fluencia) ocurre en un estado general de tensiones cuando la energ´ıa de distorsi´ on por unidad de volumen iguala o excede a la energ´ıa de distorsi´on por unidad de volumen que ocurre en una prueba de tracci´on simple (ensayo de tensi´on uniaxial). Es relativamente
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
330
f´acil demostrar (v´ease el Problema 9.20) que, en el ensayo de tracci´on simple, la energ´ıa de distorsi´on est´a dada por 1+ν 2 Ud = S V (9.100) 3E y y, como antes, usamos el s´ımbolo Sy para denotar la resistencia a la fluencia del material en solicitaci´on normal. De aqu´ı, las Ecuaciones (9.99) y (9.100) dan el criterio de falla (en fluencia) para la TED como
(σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 2
1/2 ≥ Sy
(9.101)
La TED como es descrita en la Ecuaci´ on (9.101) proporciona el concepto de una tensi´on equivalente (conocida hist´ oricamente como la tensi´ on de Von Mises) definida como (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 = 2
σVM
1/2 (9.102)
y, la falla mec´ anica seg´ un la TED podr´ıa ser escrita ahora como: σVM ≥ Sy . Por qu´e entramos en detalle en ´estas teor´ıas de falla–mec´anica en el contexto del an´alisis de elemento finito ?. Como se habr´ a notado previamente, las componentes de tensi´on y deformaci´on son calculadas en el sistema coordenado especificado. El sistema coordenado raramente es tal que se obtienen las condiciones de tensi´ on m´ aximas autom´ aticamente. Aqu´ı est´a el punto: Esencialmente cada paquete de software de elemento finito no s´ olo computa las componentes de tensi´on y deformaci´on en los sistemas coordenados de elemento y global, sino tambi´en las tensiones principales y la tensi´on equivalente (de Von Mises) para cada elemento. Para decidir si un dise˜ no es aceptable (y es por esto que nosotros usamos el MEF, no es as´ı ?), debemos examinar la propensi´on a la falla–mec´anica. El examen de los datos de tensi´ on es la responsabilidad del de software del MEF. El software no produce los resultados que indiquen falla–mec´ anica a menos que el analista considere cuidadosamente los datos en t´erminos de un criterio espec´ıfico como los que hemos mencionado anteriormente. Entre los itemes relacionados con tensi´ on – y – deformaci´on generalmente disponibles como resultado de la soluci´ on, est´ an: las tensiones calculadas (en el sistema coordenado especificado), las tensiones principales, la tensi´ on equivalente (de Von Misses), las deformaciones principales, y la energ´ıa de deformaci´on. Con la excepci´ on de la energ´ıa de deformaci´on, los datos de tensi´on est´an disponibles sobre una base nodal o de elemento. La diferencia entre ambos es significativa, y el analista debe ser agudamente consciente de esta distinci´ on. Puesto que las componentes de deformaci´on (por consiguiente, las componentes de tensi´ on) no son en general cont´ınuas sobre los l´ımites del elemento, se calculan las tensiones nodales basado en los valores promedio de todos los elementos conectados a un nodo espec´ıfico. Por otra parte, las tensiones de elemento representan valores calculados en el centroide del elemento. De aqu´ı, los datos de tensi´ on de elemento son m´as exactos y deben usarse haciendo uso de los conceptos de la ingenier´ıa del dise˜ no. Para ilustrar todo esto, presentamos algunos de los datos de tensi´on obtenidos en la soluci´on del Ejemplo 9.4 basado en elementos cuadril´ ateros bi-dimensionales, de cuatro–nodos. En el modelo, el nodo 107 (seleccionado al azar) es com´ un a cuatro elementos. La Tabla 9.1 muestra un listado de las tensiones computadas en este nodo en t´erminos de los cuatro elementos conectados a ´el. Los valores se obtienen calculando las tensiones nodales para cada uno de los cuatro elementos independientemente, y extrayendo luego los valores para el nodo com´ un. La u ´ltima fila de la tabla presenta los valores promedio de las tres componentes de tensi´ on en el nodo com´ un. Claramente, las tensiones nodales no son cont´ınuas de elemento–a–elemento en el nodo com´ un. Como previamente se discuti´o, las magnitudes de las discontinuidades deben disminuir a medida que la malla de elementos usada en el modelo sea refinada. En contraste, las componentes de tensi´ on de elemento para los mismos cuatro elementos est´an mostradas en la Tabla 9.2. Los valores listados en la tabla se computan en el centroide del elemento, y se incluye la tensi´ on equivalente (de Von Mises) como fu´e definida previamente. Aunque no se
´ 9.8. CONSIDERACIONES PRACTICAS
331
Tabla 9.1: Valores de tensi´on (psi) computados en el nodo 107 del Ejemplo 9.4.
Elemento 1 Elemento 2 Elemento 12 Elemento 99 Promedio
σx
σy
τxy
2049,3 2149,4 1987,3 1853,8 2009,8
187,36 315,59 322,72 186,88 253,14
118,41 91,89 204,13 378,36 198,19
Tabla 9.2: Componentes de tensi´on (psi) para cuatro elementos que comparten un nodo com´ un en el Ejemplo 9.4.
Elemento Elemento Elemento Elemento
1 2 12 99
σx
σy
τxy
σVM
2553,5 1922,7 1827,5 2189,0
209,71 351,69 264,42 249,14
179,87 43,55 154,44 480,57
2475,8 1774,8 1731,5 2236,4
incluy´o en la tabla, las componentes de tensi´on principales tambi´en est´an disponibles desde la soluci´on hallada. En general, las tensiones del elemento deben usarse en la evaluaci´on de los resultados, sobre todo en t´erminos de la aplicaci´ on de las teor´ıas de falla–mec´anica, para decidir si el dise˜ no estructural efectuado es el adecuado.
9.8.
Consideraciones pr´ acticas
Probablemente el paso m´ as cr´ıtico en la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito es la elecci´on del tipo de elemento para un problema dado. Los elementos s´olidos discutidos en ´este cap´ıtulo est´an entre los elementos m´ as simples disponibles para el uso en el an´alisis de tensiones. Muchos m´as tipos de elementos est´ an disponibles para el analista de problemas a ser resueltos por aplicaci´on del m´etodo de elemento finito. (Un sistema de software comercial medianamente completo tiene no menos de 140 tipos de elementos). Las diferencias en los elementos durante el an´alisis de tensiones caen en tres categor´ıas: (1) el n´ umero de nodos; y de aqu´ı, el orden polin´omico de las funciones de interpolaci´on; (2) el tipo de conducta material (tensi´ on el´ astica, pl´astica, t´ermica, por ejemplo); y (3) la solicitaci´on y la geometr´ıa de la estructura a ser modelada (tensi´on plana, deformaci´on plana, simetr´ıa axial, tri–dimensional general, flexi´ on, torsi´ on, etc). Como un ejemplo, considere la Figura 9.13 que muestra una placa delgada rectangular apoyada en sus v´ertices y cargada por una distribuci´on de presi´on p(x, y) actuando en la direcci´on z negativa. El modo primario de deformaci´ on de la placa es flexi´on en la direcci´on z. Para describir adecuadamente la conducta de este cuerpo a la solicitaci´on impuesta a ´el, un elemento finito usado para modelar la placa debe ser tal que la continuidad de pendiente de la deformaci´on en ambos planos x–z y y–z est´e asegurada. Por consiguiente, un elemento s´olido tridimensional como el descrito en la Secci´on 6.6 no ser´ıa apropiado ya que s´ olo las componentes del desplazamiento son inclu´ıdas como las variables nodales. En cambio, un elemento que incluya derivadas parciales que representan las pendientes de la deformaci´ on deben ser consideradas como variables nodales. Se han desarrollado elementos placa
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
332
z p(x, y)
y x
Figura 9.13: Ejemplo de placa delgada sometida a flexi´on plana sobre la base de la teor´ıa de placas delgadas (usualmente estudiada en los programas de post– grado) en la que la deformaci´ on por flexi´ on est´a gobernada por una ecuaci´on en derivadas parciales de cuarto orden. El m´ as simple de tales elementos es uno de cuatro–nodos que usa funciones de interpolaci´on c´ ubicas y tiene 4 grados de libertad (el desplazamiento, dos pendientes de deformaci´on, y una segunda derivada mixta) en cada nodo [1]. Una situaci´on similar existe con las estructuras tipo c´ascara (placa delgada curva). Se requieren elementos especiales (y disponibles) para el an´alisis estructural de estructuras c´ ascara. El punto mayor aqu´ı es que el analista de elemento finito posea una amplitud de conocimiento y experiencia pr´actica para volverse de verdad h´abil en seleccionar el tipo del elemento correcto para un modelo de elemento finito y, poder interpretar los resultados del an´alisis como consecuencia. Una vez que el tipo de elemento se ha seleccionado, la tarea luego es definir la geometr´ıa del modelo como una malla de elementos finitos. En la forma m´as rudimentaria, esta tarea involucra definir la ubicaci´on de las coordenadas de cada nodo en el modelo (note que, por defecto, los nodos definen la geometr´ıa) seguida por la definici´ on de todos los elementos en t´erminos de los nodos. Hace muchos a˜ nos, en el desarrollo inicial del m´etodo de elemento finito, las tareas de definici´on de nodos y elementos eran una labor extenuante, porque las definiciones requer´ıan el uso de declaraciones espec´ıficas del idioma de un sistema de software de elemento finito particular. Las tareas eran laboriosas, para decir lo menos, y muy propensas a la introducci´ on de errores. Con la tecnolog´ıa actualmente en uso, las bases de datos de los sistemas de dise˜ no asistido por computadora (CAD — Computer Aided Design), las interfases gr´aficas de , y la portabilidad de lenguajes, hacen que la tarea de elaborar una malla de elementos finitos como modelo se haya simplificado enormemente. Ahora es posible, con muchos programas de AEF, la “importaci´ on” de la geometr´ıa de un componente, estructura, o ensamblar directamente desde un sistema CAD, de modo la geometr´ıa no necesite ser definida. El software de elemento finito puede crear entonces autom´aticamente una malla de elementos finitos para representar la geometr´ıa. Las ventajas de esta capacidad incluyen: (1) el analista de elemento finito no tiene la necesidad de re–definir la geometr´ıa; por consiguiente, (2) los intentos de dise˜ no no se cambian inadvertidamente; y (3) el analista de elemento finito es liberado de la carga de especificar los detalles de la definici´on de nodos y elementos. La mayor desventaja, sin embargo, es que el analista no posee control directo de la operaci´ on de elaborar la malla de elementos finitos. La palabra “directo” aqu´ı es enfatizada. En la creaci´on de malla autom´atica, el del software tiene alg´ un control sobre el proceso de generar la malla. Hay dos tipos generales de software de auto–mallado, generalmente referidos como mallado libre y mallado trazado. En el mallado libre se especifica una descripci´ on general, cualitativa, yendo desde un mallado tosco a otro muy refinado, con 10 o m´as gradaciones entre los extremos. El software entonces genera la malla de acuerdo con estas especificaciones. En el mallado trazado, el especifica la informaci´on cuantitativa con respecto al espaciamiento de nodos, el tama˜ no de los elementos, y el software usa la informaci´on prescrita para generar los nodos y elementos. En ambos m´etodos, el del software tiene alg´ un grado de control sobre la malla de elementos a ser generada. Un aspecto muy importante de generar un modelo con una malla de elementos es asegurar que, en las regiones de discontinuidad geom´etrica, debe definirse una malla m´as fina (elementos m´as peque˜ nos).
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
333
Esto es verdad en todos los an´ alisis de elemento finito (estructural, t´ermico, y de fluidos), porque se conoce que los gradientes son m´ as elevados en tales ´areas y se exigen mallas m´as finas para describir adecuadamente la conducta f´ısica. En el mallado trazado, esto se define por el del software. Afortunadamente, en el mallado libre, este aspecto se considera en el mismo software. Como un ejemplo, nos referimos al Ejemplo 9.4 en el que examinamos el factor de concentraci´on de tensiones para una perforaci´ on circular en una placa delgada sometida a un esfuerzo de tracci´on. La soluci´on fu´e modelada usando el procedimiento de mallado libre de un sistema de software de elemento finito. La Figura 9.8(b) es una malla tosca como es generada por el software. La geometr´ıa se define por cuatro l´ıneas rectas y un arco de cuarto-c´ırculo; ´estos, a su vez, definen una sola ´area de inter´es porque en realidad se ha definido el contorno l´ımite. Habiendo especificado el tipo del elemento (en este caso un elemento cuadril´ atero de tensi´ on plana, el´ astico), el proceso de mallado libre se usa para generar los elementos como es mostrado en la figura. Es importante notar que la malla relativamente se hace fina en la vecindad del arco que representa el agujero. Esto se genera autom´aticamente por el software debido al reconocimiento de la geometr´ıa. Los modelos de malla–refinada de las Figuras 9.9(a) y 9.9(b) tambi´en son generados por la rutina de mallado libre. De cada uno de estos casos, vemos que, no s´olo se hace el incremento del n´ umero de los elementos, pero el tama˜ no relativo de los mismos en la vecindad del agujero se mantiene relativo a los elementos que fueron removidos lejos de la discontinuidad. Las capacidades del software de elemento finito de generar la malla autom´aticamente como brevemente describimos aqu´ı, es sumamente importante para reducir la carga de definir un modelo de elemento finito de cualquier situaci´ on geom´etrica (sobretodo si la misma es algo complicada) y deben usarse a la magnitud m´ axima, explotando toda la potencialidad del software que est´a siendo utilizado. Sin embargo, recuerde que los resultados de un an´alisis de elemento finito deben ser juzgados por el conocimiento humano de los principios del dise˜ no en ingenier´ıa. La definici´on automatizada del modelo mediante una malla apropiada de elementos finitos, es una finura del software de elemento finito moderno; el an´ alisis automatizado de resultados no lo es. El an´ alisis de resultados es la fase de post–procesamiento del tratamiento de elemento finito. Los modelos pr´ acticos contienen centenares, si no miles, de elementos; y de ello n´ umero igual o mayor de desplazamientos, tensiones, deformaciones, y as´ı siguiendo, que han sido calculados por el software y que est´ an disponibles para todos y cada uno de los elementos. La revisi´on de valores num´ericos a trav´es de los datos de salida del programa puede ser una tarea aparentemente interminable. Afortunadamente, el software de elemento finito tiene, como parte de la fase de post–procesamiento, rutinas para ordenar los datos de los resultados de muchas maneras. De importancia particular en el an´alisis de tensiones, los datos pueden ordenarse en orden ascendente o descendente de esencialmente cualquier componente de tensi´ on escogido por el . De aqu´ı, uno puede determinar r´apidamente la tensi´on m´axima equivalente (de Von Misses) por ejemplo, y determinar la ubicaci´on de esa tensi´on por la posici´on del elemento asociado en el modelo elaborado. Adem´as, con la tecnolog´ıa de la computadora moderna, es posible producir parcelas de contorno de tensi´on de color–codificado de un modelo entero, para observar visualmente la distribuci´ on de tensiones, el aspecto geom´etrico de la deformaci´on producida, la distribuci´ on de energ´ıa de deformaci´on, y muchos otros criterios que incorporan estos programas de software comerciales con capacidad de salida gr´afica visual.
9.9.
Torsi´ on no–circular
La torsi´ on (retorcimiento) de estructurales que tienen secciones transversales circulares es un problema com´ un estudiado en la mec´anica elemental de s´olidos deformables. (Recuerde que anteriormente nosotros desarrollamos un elemento finito para dichos casos). Una hip´otesis trascendental (y la asunci´ on es bastante v´ alida para la deformaci´on el´astica) en la torsi´on de de secci´on circular es que las secciones planas previas a la deformaci´on permanecen planas despu´es de producirse la torsi´ on del miembro (com´ unmente denominado eje). En el caso de torsi´on de un eje de secci´on transversal no–circular, esta hip´ otesis no es v´alida y el problema es de hecho m´as complicado.
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
334
y
y dS
P
P’
z T
d
z
x (a) Eje no–circular sometido a torsi´ on
(b) Movimiento de un punto
xy
xy xz
(x, y)
xz
y 0
dS
z (c) Elemento diferencial superficial
(d) Componentes de tensi´ on cortante
Figura 9.14: Eje recto de secci´ on transversal no–circular general sometido a torsi´on.
Un miembro estructural general sujeto a torsi´on se muestra en la Figura 9.14(a). El eje mostrado est´a solicitado por un torque T que act´ ua sobre el eje x, y se asume que la secci´on transversal de forma geom´etrica establecida es uniforme a lo largo de la longitud. Un punto arbitrario localizado en una secci´on transversal en una posici´ on gen´erica x se muestra en Figura 9.14(b). Si la secci´on transversal efect´ ua una rotaci´ on a trav´es del ´ angulo θ, el punto se mueve a trav´es del arco ds y las componentes de desplazamiento seg´ un las direcciones y y z son υ = −z θ w = yθ
(9.103)
respectivamente. Puesto que el ´ angulo de torsi´on var´ıa a lo largo de la longitud del miembro, conclu´ımos que las componentes de desplazamiento de la Ecuaci´on (9.103) se describen por υ = υ(x, z)
w = w(x, y)
(9.104)
Debido a la secci´ on transversal no–circular del eje, las secciones planas despu´es de la deformaci´on no permanecen planas; en cambio, all´ı se presenta un alabeo de la secci´on transversal. De aqu´ı, el desplazamiento en la direcci´ on x est´ a descrito por u = u(y, z)
(9.105)
Aplicando las definiciones de las componentes de deformaci´on normales a las Ecuaciones (9.104) y
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
335
(9.105), encontramos ∂u =0 ∂x ∂υ y = =0 (9.106) ∂y ∂w z = =0 ∂z y, por las relaciones tensi´ on–deformaci´on, se sigue que σx = σy = σz = 0. Para calcular las componentes de tensi´ on cortante, introducimos el ´ angulo de torsi´ on por unidad de longitud φ = dθ/dx, de modo que la rotaci´ on de cualquier secci´ on transversal puede expresarse como θ = φ x. Las componentes de desplazamiento se expresan entonces como x =
u = u(x, y)
υ = −φ x z
w = φxy
(9.107)
y las componentes de tensi´ on cortante son ∂u ∂u ∂υ + = − φz ∂y ∂x ∂y ∂u ∂w ∂u = + = + φy ∂z ∂x ∂z ∂υ ∂w + =0 = ∂z ∂y
γxy = γxz γyz
(9.108)
Y, de las relaciones tensi´ on–deformaci´on, se sigue que las u ´nicas componentes de tensi´on no nulas son τxy y τxz ; y las u ´nica ecuaci´ on de equilibrio (v´ease el Ap´endice B) que no se satisface id´enticamente llega a ser ∂τxy ∂τxz + =0 (9.109) ∂y ∂z Ahora, planteamos la hip´ otesis de la existencia de una funci´on escalar Ψ = Ψ(y, z), de modo que se cumplan las relaciones ∂Ψ ∂Ψ τxy = τxz = − (9.110) ∂z ∂y En el contexto del problema de torsi´on, la funci´on escalar planteada es conocida como la funci´ on de tensi´ on de Prandtl, y es generalmente an´aloga a la funci´on de corriente y la funci´on potencial introducidas en el Cap´ıtulo 8 para el flujo de un fluido ideal. Si las relaciones de la Ecuaci´on (9.110) se sustituyen en la Ecuaci´ on (9.109), encontramos que la condici´on de equilibrio es autom´aticamente satisfecha. Para descubrir la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de tensi´on, nosotros calculamos las componentes de tensi´ on como ∂u τxy = G γxy = G − φz ∂y (9.111) ∂u + φy τxz = G γxz = G ∂z y, notamos que 2 ∂τxy ∂ u = G γxy = G −φ ∂z ∂y∂z (9.112) 2 ∂τxz ∂ u = G γxz = G +φ ∂y ∂y∂z Combinando las dos u ´ltimas ecuaciones, resulta en ∂τxy ∂τxz ∂2Ψ ∂2Ψ − = + = −2Gφ ∂z ∂y ∂y 2 ∂z 2
(9.113)
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
336
como la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de tensi´on de Prandtl. Como con las formulaciones efectuadas para la mec´ anica de fluidos del Cap´ıtulo 8, note la analog´ıa de la Ecuaci´on (9.113) con el caso de transmisi´ on de calor por conducci´ on. Aqu´ı el t´ermino 2Gφ es an´alogo a la generaci´on de calor interior Q.
9.9.1.
Condiciones de borde
En la superficie externa del miembro de torsi´on, ninguna tensi´on act´ ua normal a la superficie, as´ı que la resultante de las componentes de tensi´on cortante debe ser tangente a la superficie. Esto se ilustra en la Figura 9.14(c) que muestra un elemento diferencial de la superficie dS (con el sentido positivo definido por la regla de la mano derecha). Para que la tensi´on normal sea cero, debemos tener τxy sin α − τxz cos α = 0 o, tambi´en dy dz − τxz =0 ds ds Substituyendo las relaciones para la funci´ on de tensiones, obtenemos τxy
∂Ψ dz ∂Ψ dy dΨ + = =0 ∂z ds ∂y ds ds
(9.114)
lo cual muestra que el valor de la funci´ on de tensi´on es constante sobre la superficie del eje. El valor es arbitrario y m´ as a menudo es tomado como cero.
9.9.2.
Torque
La formulaci´ on de la funci´ on de tensi´ on del problema de torsi´on como es dada previamente, no incluye expl´ıcitamente el torque (o momento torsor) aplicado. Para obtener una expresi´on que relacione el torque aplicado y la funci´ on de tensi´on, debemos considerar la condici´on de equilibrio de momentos. Refiri´endonos al elemento diferencial de una secci´on transversal cualquiera mostrado en la Figura 9.14(d), el torque diferencial que corresponde a las tensiones cortantes que act´ uan sobre el elemento es dT = (y τxz − z τxy )dA y el torque total es calculado como ZZ ZZ ZZ ∂Ψ ∂Ψ T = (y τxz − z τxy )dA = − y +z dy dz = 2 Ψ dA ∂y ∂z A
A
(9.115)
A
El resultado final en ´esta u ´ltima ecuaci´ on es obtenido mediante integraci´on por partes, y notando la condici´on Ψ = 0 sobre la superficie del eje. Notemos adem´as que por la f´ormula obtenida, la magnitud del torque es igual al doble del volumen bajo la funci´on generadora de tensiones de Prandtl.
9.9.3.
Formulaci´ on de elemento finito
Desde que la ecuaci´ on gobernante para la funci´on de tensi´on es an´aloga a la ecuaci´on de conducci´on de calor, no es necesario repetir los detalles de formulaci´on del elemento. En cambio, reiteramos las analog´ıas y apuntamos una diferencia muy distinta en c´omo un an´alisis del elemento finito del problema de torsi´on se conduce cuando la funci´ on de tensi´on es utilizada. Primero, notemos que la funci´on de tensi´on es discretizada como M X Ψ(y, z) = Ni (y, z)Ψi (9.116) i=1
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
337
as´ı que los c´ omputos del elemento finito producen valores nodales an´alogos a las temperaturas nodales (con los valores de conductividad puestos como la unidad). Segundo, el t´ermino de torsi´on, 2Gφ es an´alogo a la generaci´ on de calor interior Q. Sin embargo, el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud φ realmente es la variable desconocida que nosotros deseamos calcular en primer lugar. Preferiblemente, en tal tipo de problema, especificamos la geometr´ıa, las propiedades materiales, y el torque aplicado; entonces calculamos el ´ angulo de torsi´on por unidad de longitud as´ı como los valores de tensi´on. Sin embargo, la formulaci´ on aqu´ı es tal que nosotros debemos especificar un valor para el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud, calcular luego los valores nodales de la funci´on de tensi´on, entonces obtener el torque sumando las contribuciones de todos los elementos a la Ecuaci´on (9.115). Puesto que la ecuaci´ on gobernante es lineal, el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud y el torque calculado pueden ser escalados en la proporci´on que sea requerida. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 9.7. La Figura 9.15(a) muestra la secci´ on transversal de un eje que tiene forma cuadrada con 25 mm de longitud de aristas. El material tiene m´odulo de elasticidad transversal de 80 Gpa, y su longitud es de 1 m. Este elemento est´ a fijo (empotrado) en un extremo y sujeto a la acci´on de un torque T en el otro extremo. Determine el ´ angulo total de torsi´on si el torque aplicado es de 100 N-m. 25 mm
3
4 1 2
1 (a) Secci´ on transversal
2
(b) Modelo de an´ alisis
Figura 9.15: Eje de secci´on cuadrada en solicitaci´on torsional.
> Soluci´ on Observando las condiciones de simetr´ıa, modelamos un cuarto de la secci´on transversal usando elementos triangulares lineales de tres–nodos, como en la Figura 9.15(b). Para simplicidad de ilustraci´on, usamos s´ olo dos elementos y notamos que, en los nodos 2, 3, y 4, el valor de la funci´on de tensi´on se especifica como cero, ya que estos nodos se ubican sobre la superficie del eje. Tambi´en notamos que los planos de simetr´ıa son tales que las derivadas parciales de la funci´on de tensi´on sobre dichos planos son cero. Estas condiciones corresponden a flujo de calor normal de valor nulo (aislamiento perfecto) en un problema de conducci´ on. Las matrices de rigidez de elemento est´an dadas por T T Z Z ∂N ∂N ∂N ∂N [ k (e) ] = + dA ∂y ∂y ∂zy ∂z A
y las fuerzas nodales de elemento son ZZ {f
(e)
2Gφ[ N ]T dA
}= A
(Observe el uso de las coordenadas y y z en concordancia con el sistema coordenado utilizado en los desarrollos previos). Estas relaciones son obtenidas por analog´ıa con la Ecuaci´on (7.27), para conducci´on de calor. Las funciones de interpolaci´on son como est´an definidas en la Ecuaci´on (9.21).
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
338
Elemento 1 1 (625 − 25y) 2A 1 N2 = (25y − 25z) 2A 1 N3 = (25z) 2A N1 =
∂N1 25 =− ∂y 2A ∂N2 25 = ∂y 2A ∂N3 =0 ∂y
∂N1 =0 ∂z ∂N2 25 =− ∂z 2A ∂N3 25 = ∂z 2A
Puesto que las derivadas parciales son todas constantes, la matriz de rigidez es −25 0 1 1 25 −25 25 0 + −25 0 −25 25 [ k (1) ] = 4A 4A 0 25 o bien desarrollando 625 −625 0 0 0 0 1 1 −625 625 0 + 0 625 −625 = 1250 1250 0 0 0 0 −625 625 0,5 −0,5 0 1 −0,5 = −0,5 0 −0,5 0,5
k
(1)
Se puede demostrar que el vector de fuerzas nodales de elemento est´a dado por 1 2GφA 1 {f (1) } = 3 1 que nosotros dejamos de momento en esta forma general. Elemento 2 1 ∂N1 ∂N1 25 (625 − 25z) =0 =− 2A ∂y ∂z 2A ∂N2 25 ∂N2 1 N2 = (25y) = =0 2A ∂y 2A ∂z 1 ∂N3 25 ∂N3 25 N3 = (25z − 25y) =− = 2A ∂y 2A ∂z 2A 0 −25 (2) 1 1 k 25 0 25 −25 + 0 −25 0 25 = 4A 4A −25 25 0 0 0 625 0 −625 (1) 1 1 0 0 625 −625 + 0 0 k = 1250 1250 0 −625 625 −625 0 625 0,5 0 −0,5 0,5 −0,5 = 0 −0,5 −0,5 1,0 N1 =
´ NO–CIRCULAR 9.9. TORSION
339
Para el elemento 2, las fuerzas nodales tambi´en est´an dadas por 1 2GφA 1 {f (2) } = 3 1 Notando las correspondencias de grados de libertad nodales de elemento hacia grados de libertad nodales globales, las ecuaciones ensambladas del sistema, son 1 −0,5 0 −0,5 Ψ1 2 −0,5 Ψ2 2GφA 1 1 −0,5 0 = 0 −0,5 1 −0,5 Ψ3 2 3 −0,5 0 −0,5 1 Ψ4 1 Puesto que los nodos 2, 3, y 4 est´ an sobre la superficie exterior, debemos poner Ψ2 = Ψ3 = Ψ4 = 0 para obtener la soluci´ on 4GφA Ψ1 = 3 Todav´ıa no hemos dirigido el problema al hecho que el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud es desconocido y continuamos ignorando ese problema temporalmente, puesto que para este muy simple modelo de dos–elementos podemos continuar con la soluci´on manual. El torque est´a determinado por la Ecuaci´ on (9.115) como ZZ T =
Ψ dA A
pero la integraci´ on es sobre la secci´ on transversal entera. De aqu´ı, debemos sumar la contribuci´on de cada elemento y, en este caso, ya que aplicamos las condiciones de simetr´ıa para reducir el modelo a un cuarto de su tama˜ no original, multiplicamos el resultado por 4. Para cada elemento, la contribuci´on hacia el torque es ZZ (e) T =2 [ N (e) ] dA Ψ(e) A
y, para el elemento lineal triangular esto simplemente llega a ser T (e) =
2A (e) (Ψ1 + Ψ(e) + Ψ(e) 2 3 ) 3
Respondiendo al uso de la simetr´ıa, el torque total indicado por nuestra soluci´on de dos–elementos, es T =4
2A (1) 64 (Ψ1 + Ψ(2) GφA2 2 ) = 3 9
o, tambi´en T 64 = GA2 φ 9 Ahora dirigimos el problema hacia el ´angulo desconocido de torsi´on por unidad de longitud. Notando que, en la u ´ltima ecuaci´ on, la proporci´on es constante para el m´odulo de elasticidad transversal especificado y el ´ area de secci´ on transversal particular del elemento, podr´ıamos simplemente especificar un valor arbitrario de φ, siguiendo el procedimiento de soluci´on para calcular el torque correspondiente, calculando la proporci´ on, y escalando el resultado como sea necesitado. Por ejemplo, si nosotros hubi´esemos asumido φ = 10−6 rad/mm, nuestro resultado ser´ıa T =
64 (80)(103 )(10−6 )(312,5)2 = 55555,6 N-mm 9
⇒
T = 55,6 N-m
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
340
As´ı, para contestar la pregunta original, calculamos el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud correspondiente al torque especificado como φ=
100 (10−6 ) ∼ = 1,8(10−6 ) rad/mm 55,6
y el ´angulo de torsi´ on total (considerando toda la longitud) ser´ıa θ = φ L = 1,8(10−6 )(1000) = 1,8(10−3 ) rad o, alrededor de 0,1◦ . La soluci´ on exacta [42] para este problema, muestra que el ´angulo de torsi´on por unidad de longitud es de magnitud φ = 1,42(10−6 ) rad/mm. De aqu´ı, la soluci´on de nuestro modelo muy simple (solamente con dos–elementos) tiene un error porcentual de aproximadamente 27 % !. Seguramente usted piense que un error de tal magnitud es inaceptable, y verdaderamente est´a en lo cierto. Pero, no olvide que el ejemplo que presentamos y desarrollamos en su soluci´on aproximada mediante el m´etodo de elemento finito tiene simplemente prop´ositos educativo–pedag´ogicos. Obviamente, podr´ıamos obtener una soluci´ on de mayor exactitud refinando la malla de elementos utilizada; pero para ello, deber´ıamos considerar el uso de un paquete de software de elemento finito. >
9.10.
Resumen
En este cap´ıtulo, presentamos el desarrollo de los elementos finitos m´as b´asicos usados en el an´alisis de tensiones en la mec´ anica del s´ olido deformable. Como el m´etodo de elemento finito fu´e originalmente desarrollado para el an´ alisis de tensiones, el rango de elementos y tipos de problemas que en ese entonces pod´ıan ser analizados por el m´etodo era muy grande, y usted podr´a imaginarse que en la actualidad casi cualquier problema de mec´ anica de s´olidos puede ser abordado hacia su soluci´on aproximada mediante el m´etodo de elemento finito. Nuestra descripci´on de los conceptos b´asicos tiene la intenci´on simplemente de dar la visi´ on al lector de los procedimientos generales para desarrollar las ecuaciones de elemento y entender las ramificaciones del desarrollo cuando se escoge un elemento espec´ıfico; de aqu´ı, proporcionar una metodolog´ıa sistem´ atica para efectuar la formulaci´on de un modelo para los varios estados de tensi´ on que se presentan en los diversos problemas que plantea la mec´anica de s´olidos. Como fu´e mencionado en el contexto de la placa en estado flexionante en la Secci´on 9.8, el an´alisis de elemento finito involucra muchos temas avanzados en ingenier´ıa que no necesariamente se cubren en un programa de pre–grado. El lector interesado deber´a entonces poder referirse luego a muchos textos de nivel–avanzado en el m´etodo de elemento finito para realizar un estudio mucho m´as extenso. El intento aqu´ı es introducir los conceptos b´asicos y generar el inter´es de aprender mucho m´as acerca de ´este apasionante asunto.
Problemas propuestos 9.1. Use las relaciones generales tensi´ on–deformaci´on del Ap´endice B y las hip´otesis de tensi´on plana para deducir las Ecuaciones (9.2). T 9.2. Sea {z} una matriz columna N ×1 (o vector, si lo desea) de la forma: z1 z2 · · · zN , y sea [ A ] una matriz N ×N de coeficientes reales. Demostrar que la matriz producto {z}T [ A ]{z} siempre resulta ser una funci´ on escalar cuadr´atica, dependiente de las componentes zi del vector mencionado. En este caso tambi´en se dice que {z}T [ A ]{z} define una forma cuadr´ atica. 9.3. Empezando con las relaciones generales tensi´on–deformaci´on el´asticas, deduzca la Ecuaci´on (9.36) para las condiciones de deformaci´ on plana.
Problemas propuestos
341
9.4. Determine la matriz de deformaci´on–desplazamiento [ B ] para un elemento triangular de tres– nodos en deformaci´ on plana. 9.5. Determine la matriz de deformaci´on–desplazamiento [ B ] para un elemento rectangular de cuatro–nodos en tensi´ on plana. 9.6. Usando las funciones de interpolaci´on dadas en la Ecuaci´on (9.21), determine la expresi´on expl´ıc´ıta para la energ´ıa de deformaci´on en un elemento triangular de tres–nodos en tensi´on plana. 9.7. El elemento triangular de deformaci´on constante mostrado en la Figura P9.7 est´a sujeto a una presi´ on uniformemente distribu´ıda como es mostrada. Determine las fuerzas nodales equivalentes a la solicitaci´ on de presi´ on aplicada. Las coordenadas indicadas se miden en pulg. 3
(0.5, 2)
p0 2 (1, 1)
1 (0, 0)
Figura P9.7 9.8. El elemento triangular de deformaci´on constante mostrado en la Figura P9.8 se solicita mediante una presi´ on linealmente variable como es mostrado, y una fuerza de cuerpo que proviene de la gravedad (g = 386,4 pulg/seg2 ) en la direcci´on y negativa. Determine las fuerzas nodales equivalentes para este elemento as´ı solicitado. Las coordenadas indicadas se miden en pulg. 2 (0.5, 1)
3 (– 0.1, 0.8)
p0
1 (0, 0)
Figura P9.8 9.9. El elemento de la Figura P9.7 es de un material que tiene m´odulo de elasticidad de valor E = 1,5×107 psi y la relaci´ on de Poisson es ν = 0,3. Determine la matriz de rigidez del elemento, si el mismo se encuentra en estado de tensi´on plana. 9.10. Repetir el Problema 9.9 considerando ahora un estado de deformaci´on plana. 9.11. Repetir el Problema 9.9, considerando ahora que el elemento se trata de uno con simetr´ıa axial
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
342
en tensi´ on plana. 9.12. La carga global del elemento en el Problema 9.7 es tal que los desplazamientos nodales son: u1 = 0,003, υ1 = 0, u2 = 0,001, υ2 = 0,0005, u3 = 0,0015, υ3 = 0 (valores medidos en pulg). Calcule la deformaci´ on, la tensi´ on, y la energ´ıa de deformaci´on del elemento, asumiendo condiciones de tensi´ on plana. 9.13. Repetir el problema 9.12 para condiciones de deformaci´on plana. 9.14. Una placa rectangular delgada de espesor unitario es apoyada y cargada como se muestra en la P9.14. El material es acero para el que E = 3×107 y ν = 0,3. Usando los cuatro elementos triangulares de deformaci´ on constante mostrados por las l´ıneas segmentadas, calcular la deflexi´on del punto A. Compare la energ´ıa total de deformaci´on con el trabajo mec´anico realizado por el sistema de fuerzas externas. p0 = 300 psi
20 pulg
A 30 pulg
Figura P9.14 9.15. Integre la Ecuaci´ on (9.48) por el procedimiento num´erico Gaussiano para verificar la Ecuaci´on (9.48a) producida como resultado del proceso de integraci´on. 9.16. Un elemento triangular de tres–nodos v´ertice que tiene las coordenadas nodales indicadas (medidas en mm), mostrado en la Figura P9.16, ser´a usado como un elemento de simetr´ıa axial. Las propiedades materiales son: E = 82 GPa y ν = 0,3. Calcule la matriz de rigidez de elemento usando la definici´ on exacta de la Ecuaci´on (9.75) y la aproximaci´on centroidal de la Ecuaci´on (9.76). Son significativamente diferentes los resultados obtenidos ?. 3 (15, 10)
1 (10, 0)
2 (20, 10)
Figura P9.16 9.17. El elemento de simetr´ıa axial en la Figura P9.16 est´a sujeto a una presi´on normal uniforme p0 ,
Problemas propuestos
343
que act´ ua en la superficie definida por los nodos 1 y 3. Calcule las fuerzas nodales equivalentes. 9.18. El elemento de simetr´ıa axial en la P9.16 es parte de un cuerpo que gira alrededor del eje z a una rapidez angular constante de 3600 revoluciones por minuto. Determine las fuerzas nodales equivalentes correspondientes. 9.19. Considere el elemento tri–dimensional de orden–superior mostrado en la Figura P9.19, que se asume est´ a sujeto a un estado general de tensiones. El elemento tiene 20 nodos, pero no todos ellos se muestran por claridad visual. a. Cu´ al es el orden del polinomio que se usa para las funciones de interpolaci´on ? b. C´ omo las deformaciones (y, las tensiones) var´ıan con la posici´on en el elemento ? c. Cu´ al es el tama˜ no de la matriz de rigidez ? d. Qu´e ventajas y desventajas son aparentes usando este elemento en comparaci´on con un elemento ladrillo de ocho–nodos ? p0 = 300 psi
20 pulg
A 30 pulg
Figura P9.19 9.20. Mostrar que la energ´ıa de distorsi´on en un ensayo de tracci´on simple, en el punto l´ımite de fluencia del material, est´ a dada por la Ecuaci´on (9.100). 9.21. El an´ alisis de elemento finito de un cierto componente d´a como resultado los siguientes valores de tensiones normales principales: σ1 = 200 MPa, σ2 = 0, σ3 = −90 MPa. Si la tensi´on normal l´ımite de fluencia del material es σF = 270 MPa, se estar´a produciendo falla mec´anica seg´ un el criterio de la energ´ıa de distorsi´on ?. Si no es as´ı, cu´al es el “factor de seguridad” (la relaci´on de la resistencia mec´ anica comparada con la tensi´on equivalente) ?. 9.22. Repetir el Problema 9.21 si la teor´ıa de falla aplicable es la del criterio de tensi´on cortante m´ axima. 9.23. El problema de torsi´ on como fu´e desarrollado en la Secci´on 9.9 tiene una ecuaci´on gobernante an´ aloga al de conducci´ on de calor bi–dimensional. La funci´on de tensi´on es an´aloga a la temperatura, y el ´ angulo de torsi´ on por unidad de longitud 2G es an´alogo a la generaci´on de calor interior Q. a. C´ uales cantidades de transmisi´on de calor son an´alogas a las componentes de tensi´on cortante en el problema de torsi´ on ? b. Si uno resolviera un problema de torsi´on usando el software del elemento finito para transmisi´ on de calor bi–dimensional, c´omo se calcular´ıa el torque ? 9.24. El problema de torsi´ on como fu´e desarrollado en la Secci´on 9.9 es bi–dimensional cuando se
´ ´ CAP´ITULO 9. MECANICA DE SOLIDOS
344
propuso en t´erminos de la funci´ on de tensi´on de Prandtl. Podr´ıan usarse los elementos s´olidos el´asticos tri–dimensionales (como el elemento ladrillo de ocho–nodos) para modelar el problema de torsi´ on ?. Si su respuesta es afirmativa, c´omo se aplicar´ıa una carga torsional pura ?. 9.25. La Figura P9.25 muestra la secci´ on transversal de un eje hexagonal usado en acople de transmisi´on de potencia de cambio–r´ apido. El m´odulo de elasticidad transversal del material es 1,2×107 psi y la longitud del eje es 12 pulg. Determine el ´angulo total de torsi´on cuando el eje se sujeta a un torque neto de 250 lb-pie. Use elementos triangulares lineales y tome ventaja de todas las condiciones apropiadas de simetr´ıa.
z
y
0,875 pulg
Figura P9.25
Capítulo
10
Din´ amica estructural
Hasta ahora (en Cap´ıtulos previos) hemos discutido la formulaci´on del m´etodo de elemento finito aplicado al an´ alisis estructural con condiciones de solicitaci´on de carga est´atica; sin embargo, en muchas aplicaciones nosotros requerimos la determinaci´on de tensiones y desplazamientos bajo condiciones de carga din´ amica. Para dichos casos, en adici´on a las caracter´ısticas de rigidez estructural previamente deducidas, tambi´en debemos introducir las propiedades de inercia para describir las caracter´ısticas din´amicas del comportamiento evolutivo temporal de la estructura. Este Cap´ıtulo presenta una introducci´on a la teor´ıa general de la din´amica estructural con particular ´enfasis en la representaci´on de elemento finito para el sistema el´ astico cont´ınuo real que es de nuestro inter´es.
10.1.
Introducci´ on
Adem´ as de su versatilidad para los an´alisis de caracter´ıstica est´atica, el m´etodo de elemento finito es una herramienta poderosa para analizar la respuesta din´amica de estructuras. Como fu´e ilustrado en el Cap´ıtulo 7, el m´etodo de elemento finito en combinaci´on con el m´etodo de diferencias finitas puede ser usado para examinar la respuesta transitoria en situaciones de transmisi´on de calor variable en el tiempo. Una similar aproximaci´on puede usarse para analizar la respuesta din´amica transitoria de estructuras mec´ anicas. Sin embargo, en el an´alisis de estructuras, est´a disponible una herramienta adicional. Dicha herramienta, conocida como an´ alisis modal, tiene su base en el hecho que cada estructura mec´ anica exhibe modos naturales de vibraci´on (de respuesta din´amica) y ´estos modos pueden calcularse r´ apidamente cuando son conocidas las caracter´ısticas de inercia de la estructura. Como y´ a se indic´ o, en este Cap´ıtulo, introducimos el concepto de modos naturales de vibraci´on mediante el sistema oscilador arm´ onico simple. Usando los conceptos de elemento finito desarrollados en los cap´ıtulos anteriores, el oscilador arm´onico simple se representa como un sistema de elemento finito y son introducidas las ideas b´ asicas de frecuencia natural y modo de vibraci´on asociado. El oscilador arm´onico simple de un solo grado de libertad se extiende entonces en su an´alisis hacia sistemas con m´ ultiples grados de libertad, para mostrar la existencia de frecuencias naturales m´ ultiples, as´ı como modos de vibraci´ on asociados a estas frecuencias. Desde esta base, procedemos a elaborar los an´alisis 345
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
346
din´amicos m´as generales usando el m´etodo de elemento finito.
10.2.
El oscilador arm´ onico simple
El as´ı llamado oscilador arm´ onico simple es una combinaci´on de un resorte lineal el´astico que tiene una longitud libre (indeformada) L y una masa concentrada m conectada a ´el, como se muestra en la Figura 10.1(a). La masa del resorte es considerada despreciable, y se asume que el sistema est´a sujeto a la acci´on de la gravedad en direcci´ on vertical, y el extremo superior del resorte est´a conectado a un soporte de apoyo r´ıgido. Con el sistema en equilibrio como se muestra en la Figura 10.1(b), la fuerza gravitatoria est´ a en equilibrio con la fuerza del resorte para que P
Fx = mg − kδest = 0
(10.1)
donde δest es que el alargamiento de equilibrio est´atico del resorte y x es medido positivo extendi´endose hacia abajo de ´esta singular posici´ on (la de equilibrio est´atico); es decir, cuando x = 0, el sistema est´a en su posici´on de inmovilidad.
L
k +x
k(estx)
L
k +x
est
m
est
+x
x
m
m mg (a) Diagrama esquem´ atico
(b) Equilibrio est´ atico
(c) Condici´ on din´ amica
Figura 10.1: El oscilador arm´onico simple. Si, por alguna acci´ on externa, la masa se cambia de sitio de su posici´on de equilibrio, el sistema de fuerzas se desequilibra, como es mostrado por el diagrama de cuerpo–libre de la Figura 10.1(c). En este caso, debemos aplicar la segunda ley de Newton para obtener P
Fx = m ax = m
d2 x = mg − k(δest + x) dt2
(10.2)
Incorporando la condici´ on de equilibrio expresada por la Ecuaci´on (10.1), se demuestra que la Ecuaci´on (10.2) se convierte en d2 x m 2 + kx = 0 (10.3) dt La Ecuaci´ on (10.3) es una ecuaci´ on diferencial ordinaria de segundo–orden con coeficientes constantes. (Y, f´ısicamente, asumimos que los coeficientes k y m son positivos). La Ecuaci´on (10.3) es expresada m´as a menudo p en una forma equivalente introduciendo la denominada frecuencia natural circular, definida por ω = k/m. Entonces, reordenando tendremos d2 x + ω2 x = 0 dt2
(10.3a)
´ 10.2. EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
347
La soluci´ on general para la Ecuaci´on (10.3a) sabemos que es x(t) = A sin ωt + B cos ωt
(10.4)
donde A y B son las constantes de integraci´on. Recuerde usted que la soluci´on de una ecuaci´on diferencial de segundo–orden requiere la especificaci´on de dos constantes para determinar la soluci´on a un problema espec´ıfico. Cuando la ecuaci´on diferencial describe la respuesta temporal de un sistema mec´ anico, las constantes de integraci´on son m´as a menudo llamadas condiciones iniciales de movimiento. La Ecuaci´ on (10.4) muestra que la variaci´on del desplazamiento de la masa como una funci´on del tiempo es per´ odica. Usando identidades trigonom´etricas b´asicas, ´esta ecuaci´on puede ser expresada de manera equivalente como x(t) = C sin(ωt + φ) (10.5) donde las constantes A y B han sido reemplazadaspor las constantes de integraci´on C y φ. Por la Ecuaci´ on (10.5), la masa oscila sinusoidalmente a una frecuencia circular ω, y con amplitud constante C. El a ´ngulo de fase φ es indicativo de la posici´on al instante inicial t = 0, ya que x(0) = C sin φ. Tambi´en note que, puesto que x(t) se mide alrededor de la posici´on de equilibrio, la oscilaci´on ocurre alrededor de dicha posici´ on. La frecuencia circular del movimiento arm´onico producido es r k rad/seg (10.6) ω= m el cual es un par´ ametro de valor constante determinado por las caracter´ısticas f´ısicas del sistema. En este caso simple, la frecuencia natural circular depende de la constante de rigidez del resorte y de la masa s´ olamente. Por tanto, si la masa es desplazada de la posici´on de equilibrio y luego es soltada, el movimiento oscilatorio ocurre con una frecuencia determinada por los par´ametros f´ısicos del sistema. En el caso descrito, el movimiento oscilatorio producido es denominado vibraci´ on libre, puesto que el sistema est´ a libre de la acci´ on de cualquier perturbaci´on externa que obligue al movimiento exceptuando la atracci´ on gravitatoria naturalmente presente. Luego, consideremos el oscilador arm´onico simple en el contexto del m´etodo de elemento finito. Desde el Cap´ıtulo 2, la matriz de rigidez del resorte es 1 −1 (e) [k ] = k (10.7) −1 1 y las ecuaciones de equilibrio para el elemento son (representadas en forma matricial) 1 −1 u1 f1 k = −1 1 u2 f2
(10.8)
la cual es id´entica a la Ecuaci´ on (2.4). Sin embargo, el elemento resorte no est´a en equilibrio est´atico, de manera que debemos examinar las fuerzas nodales en detalle. La Figura 10.2 muestra diagramas de cuerpo–libre del elemento resorte y la masa conectada a ´el. Estos diagramas muestran una situaci´on instant´anea durante la fase de movimiento, y de aqu´ı son diagramas de cuerpo–libre din´ amicos. Como la masa propia del resorte se considera despreciable, la Ecuaci´ on (10.8) es v´ alida para el elemento resorte. Para la masa, tendremos P
Fx = m ax = m
d2 u2 = mg − f2 dt2
(10.9)
de la cual, la fuerza en el nodo 2 es f2 = m g − m
d2 u2 dt2
(10.10)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
348
f1 1
u1
f2 k m 2
u2
f2
mg
(a) Resorte
(b) Masa
Figura 10.2: Fuerzas din´ amicas actuantes y diagramas de cuerpo libre Substituyendo esta relaci´ on en la Ecuaci´ on (10.8), resulta 1 −1 u1 f1 k = −1 1 u2 mg − mu ¨2 donde u ¨2 = d2 u2 /dt2 . El efecto din´ amico de la inercia de la masa conectada es mostrada en la segunda ecuaci´on que se representa en forma matricial en esta u ´ltima ecuaci´on; la cual podr´ıa ser re–escrita como 0 0 u ¨1 1 −1 u1 f1 +k = (10.11) 0 m u ¨2 −1 1 u2 mg donde hemos introducido la matriz de masa, definida por el arreglo 0 0 [m] = 0 m y la matriz columna (vector) de aceleraciones nodales u ¨1 {¨ u} = u ¨2
(10.12)
(10.13)
Para el oscilador arm´ onico simple de la Figura 10.1, tenemos la condici´on de restricci´on (borde) que establece u1 = 0, de modo que la primera de las Ecuaciones (10.11) simplemente llega a ser: −ku2 = f1 , mientras que la segunda ecuaci´ on es mu ¨ 2 + k u2 = m g (10.14) Note usted que la Ecuaci´ on (10.14) no es la misma que la Ecuaci´on (10.3). Pero, las dos ecuaciones representan el mismo fen´ omeno f´ısico ?. Para mostrar que la respuesta es afirmativa, resolveremos la Ecuaci´on (10.14) y compararemos el resultado con la soluci´on dada en la Ecuaci´on (10.5). Recordando que la soluci´ on de cualquier ecuaci´on diferencial es la suma de la soluci´on homog´enea (complementaria) y la soluci´ on particular; ambas soluciones deben ser obtenidas a partir de la Ecuaci´on (10.14), puesto que la misma es no–homog´enea (i.e., el t´ermino del lado derecho no es nulo). Poniendo el lado derecho igual a cero, para obtener la forma de la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada, vemos que se obiene la misma Ecuaci´on (10.3), y por analog´ıa la soluci´on homog´enea es u2h (t) = C sin(ωt + φ)
(10.15)
donde C, ω, y φ son como se defini´ o previamente. La soluci´on particular debe satisfacer la Ecuaci´on (10.14) exactamente para todos los valores de tiempo. Como el lado derecho de la ecuaci´on es constante, la soluci´ on particular deber´ a ser tambi´en constante; de aqu´ı u2p (t) =
mg = δest k
(10.16)
´ 10.2. EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
349
la cual representa la soluci´ on de equilibrio est´atico por la Ecuaci´on (10.1). La soluci´on completa es luego u2 (t) = u2h (t) + u2p (t) = δest + C sin(ωt + φ) (10.17) La ecuaci´ on (10.17) representa una oscilaci´on sinusoidal alrededor de la posici´on de equilibrio y es, por tanto, la misma soluci´ on que la que se establece en la Ecuaci´on (10.5). Conocido el desplazamiento del nodo 2, la fuerza de reacci´ on en el nodo 1 es obtenida mediante la ecuaci´on de restricci´on, como f1 = −k u2 (t) = −k[ δest + C sin(ωt + φ) ]
(10.18)
La amplitud C y el ´ angulo de fase φ son determinados por aplicaci´on de las condiciones iniciales de movimiento, como es ilustrado en el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.1. Un oscilador arm´ onico simple tiene coeficiente de rigidez de resorte k = 25 lb/pulg, y peso mg = 20 lb. La masa de este sistema es desplazada hacia abajo una distancia de 1,5 pulg desde la posici´on de equilibrio. La masa es soltada desde esa posici´on con velocidad inicial cero en t = 0. Determinar: (a) la frecuencia natural circular (b) la amplitud del movimiento oscilatorio, y (c) el ´angulo de fase sel movimiento peri´ odico producido. > Soluci´ on La frecuencia natural circular es r ω=
k = m
s
25 = 21,98 20/386,4
rad/seg
donde, por consistencia de unidades, la masa es obtenida del peso usando g = 386,4 pulg/seg2 . Las condiciones iniciales proporcionadas para el problema son u2 (t = 0) = δest + 1,5
pulg
u˙ 2 (t = 0) = 0
pulg/seg
y la deflexi´ on est´ atica es δest = W/k = 20/25 = 0,8 pulg. Luego, tendremos u2 (0) = 2,3 pulg. El movimiento del nodo 2 (y por tanto, de la masa) est´a dado por la Ecuaci´on (10.17) como u2 (t) = 0,8 + C sin(ωt + φ)
pulg
y la velocidad resulta derivando la expresi´on para el desplazamiento u˙ 2 (t) =
du2 = 21,98 C cos(21,98t + φ) dt
pulg/seg
Aplicando las condiciones iniciales, resulta el par de ecuaciones simult´aneas u2 (t = 0) = 2,3 = 0,8 + C sin φ u˙ 2 (t) = 0 = 21,98 C cos φ La ecuaci´ on para la velocidad inicial se satisface siempre que C = 0 ´o φ = π/2. Si lo anterior es verdadero, la ecuaci´ on de desplazamiento inicial no puede ser satisfecha, por lo que conclu´ımos que φ = π/2. Substituyendo en la ecuaci´on de desplazamiento, entonces hallamos que la amplitud C toma el valor de 1.5 pulg. La soluci´ on de movimiento completa es entonces: π u2 (t) = 0,8 + 1,5 sin 21,98 t + = 0,8 + 1,5 cos(21,98 t) pulg 2
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
350
indicando que la masa oscila 1,5 pulg encima y debajo de la posici´on de equilibrio est´atico de manera cont´ınua en el tiempo, y completa un ciclo de movimiento cada 2π/21,98 seg. Luego, la frecuencia c´ıclica es ω 21,98 f= = = 3,5 ciclos/seg (Hz) 2π 2π La frecuencia c´ıclica es referida a menudo simplemente como la frecuencia natural. El tiempo requerido para completar un ciclo de movimiento es conocido como el periodo de oscilaci´ on, y est´a dado por el valor inverso de la frecuencia; es decir τ=
10.2.1.
1 1 = = 0,286 seg f 3,5
>
Vibraci´ on forzada
La Figura 10.3 muestra un oscilador arm´onico simple en el que la masa se perturba mediante la acci´on de una fuerza externa variable en el tiempo F (t). El movimiento resultante es conocido como vibraci´ on forzada, debido a la presencia de la funci´on impelente externa. Como la u ´nica diferencia en los diagramas de cuerpo–libre aplicables es la fuerza externa que act´ ua sobre la masa del sistema, la forma de las ecuaciones de elemento finito pueden escribirse directamente modificando la Ecuaci´on (10.11) como 0 0 u ¨1 1 −1 u1 f1 = (10.19) +k 0 m u ¨2 −1 1 u2 m g + F (t) Mientras la ecuaci´ on de restricci´ on para la fuerza de reacci´on en el nodo 1 es inalterada, la ecuaci´on diferencial para el movimiento del nodo 2 es ahora mu ¨2 + k u2 = mg + F (t)
(10.20)
k +x
m F(t)
Figura 10.3: Oscilador arm´onico simple forzado La soluci´on completa de la Ecuaci´ on (10.20) es la suma de la soluci´on homog´enea y dos soluciones particulares, puesto que existen dos t´erminos no–nulos en el lado derecho de la ecuaci´on diferencial. Como y´a hemos obtenido la soluci´ on particular asociada al t´ermino inhomog´eneo mg, enfocaremos nuestra atenci´ on a la obtenci´ on de la soluci´on particular asociada a la fuerza perturbante externa aplicada. La soluci´ on de inter´es debe satisfacer la ecuaci´on mu ¨2 + k u2 = F (t)
(10.21)
de modo exacto para todo instante de tiempo. Dividiendo entre la masa, obtenemos u ¨ 2 + ω 2 u2 =
F (t) m
(10.22)
´ 10.2. EL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
351
donde ω 2 = k/m es el cuadrado de la frecuencia natural circular del sistema. De particular importancia en el an´ alisis din´ amico estructural es el caso cuando las funciones de perturbaci´on externas exhiben variaci´on de tipo sinusoidal en el tiempo, ya que tales fuerzas son bastante com´ unes. Por consiguiente, consideramos el caso en que F (t) = F0 sin ωf t (10.23) donde F0 es la amplitud o valor m´ aximo de la fuerza, y ωf es la frecuencia circular de la funci´on perturbadora, o la frecuencia forzada por brevedad. Con este tipo de funci´on impelente, la Ecuaci´on (10.22) resulta F0 sin ωf t (10.24) u ¨ 2 + ω 2 u2 = m Para satisfacer exactamente esta ecuaci´on diferencial, el lado izquierdo de la misma deber´a contener una funci´ on senoidal, y como la segunda derivada de esta funci´on tambi´en es una funci´on senoidal, suponemos una soluci´ on de la forma: u2 (t) = U sin ωf t, donde U es una constante a ser determinada. Derivando temporalmente dos veces esta soluci´on de prueba y reemplazando en la ecuaci´on diferencial, −U ωf2 sin ωf t + U ω 2 sin ωf t =
F0 sin ωf t m
de donde obtenemos para el valor de la amplitud U=
F0 /m ω 2 − ωf2
(10.25)
La soluci´ on particular que representa la respuesta de un oscilador arm´onico simple a una fuerza perturbadora de variaci´ on senoidal en el transcurrir del tiempo es entonces u2 (t) =
F0 /m sin ωf t ω 2 − ωf2
(10.26)
El movimiento representado por la Ecuaci´on (10.26) se llama m´as a menudo simplemente la respuesta forzada y exhibe dos caracter´ısticas importantes: (1) la frecuencia de la respuesta forzada es igual que la frecuencia de la funci´ on perturbadora, y (2) si la frecuencia circular de la funci´on perturbante est´a muy cercana a la frecuencia natural circular del sistema, el denominador en la Ecuaci´on (10.26) se pone de valor muy peque˜ no. Esto u ´ltimo es una observaci´on sumamente importante, ya que el resultado de esta condici´ on es una amplitud muy grande de movimiento. En el caso en el que ωf = ω, la Ecuaci´ on (10.26) indica una amplitud infinita. Esta condici´on es conocida como resonancia, y por esta raz´ on, la frecuencia natural circular del sistema es a menudo denominada frecuencia resonante. Matem´ aticamente, la Ecuaci´ on (10.26) no es una soluci´on v´alida para la condici´on resonante (v´ease el Problema 10.5); sin embargo, la soluci´on correcta para la condici´on resonante no obstante exhibe el crecimiento ilimitado de la amplitud con el transcurrir del tiempo. El oscilador arm´ onico simple previamente modelado no contiene ning´ un dispositivo para la disipaci´on de energ´ıa (amortiguamiento). Por consiguiente, la soluci´on de vibraci´on libre, Ecuaci´on (10.17), representa un movimiento que contin´ ua perp´etuamente. F´ısicamente, tal movimiento no es posible, puesto que todos los sistemas contienen alg´ un tipo de mecanismo de dispersi´on de energ´ıa, como la fricci´on interior o externa, la resistencia del aire, o dispositivos dise˜ nados espec´ıficamente para el prop´osito de atenuar la amplitud de la oscilaci´on a medida que transcurra el tiempo. Similarmente, la amplitud infinita indicada para la condici´ on resonante del sistema no puede lograrse en un sistema real debido a la presencia de amortiguamiento. Sin embargo, amplitudes relativamente grandes en magnitud (pero limitadas) ocurren cerca de la frecuencia resonante. De aqu´ı, la condici´on resonante deber´a ser evitada en lo posible. Como ser´ a mostrado posteriormente, los sistemas f´ısicos realmente exhiben frecuencias naturales m´ ultiples, de forma que tambi´en existen m´ ultiples condiciones resonantes. Cuando se describe el movimiento din´amico oscilatorio en un sistema simple que cuelga en configuraci´ on vertical a partir de la posici´on de equilibrio est´atico, vimos que la fuerza de peso propio
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
352
(proveniente de la acci´ on del campo gravitatorio) no tiene participaci´on en la ecuaci´on gobernante. A continuaci´on mostraremos que en un sistema que oscila en configuraci´on horizontal tampoco aparece el peso propio en la ecuaci´ on gobernante del movimiento vibratorio que se produce. +y
u
u
k m +x
F(t)
y
(a) Oscilador simple forzado
Fk
F(t) Ff
0
N
x
W
(b) Diagrama de cuerpo libre
Figura 10.4: Sistema oscilatorio simple en configuraci´on horizontal Consideremos entonces un oscilador simple consistente de una masa conectada a un resorte de coeficiente de rigidez conocido, el cual es obligado a oscilar por aplicaci´on de una fuerza perturbadora externa como se muestra en la Figura 10.4(a). Suponemos adem´as que la masa oscila horizontalmente en o con una superficie r´ıgida horizontal completamente lisa, de modo que el coeficiente de fricci´on entre las superficies en o es de valor nulo. En la Figura 10.4(b) mostramos el diagrama de cuerpo libre para la masa en un instante de movimiento gen´erico, en el que la misma est´a apartada en cierto monto u medido a partir de la condici´on del resorte en su longitud natural no–cargado. Las fuerzas que se presentan asociadas al movimiento son: la fuerza perturbadora externa F (t), la fuerza recuperadora de resorte Fk = ku, la fuerza de peso propio W = mg, la fuerza de reacci´on normal N , y la fuerza de fricci´on Ff = µN = 0 que en nuestro caso es nula debido a que el coeficiente de fricci´on es de valor nulo (µ = 0). Aplicando la segunda ley de Newton seg´ un ambas direcciones coordenadas: horizontal x y vertical y; primero en direcci´ on horizontal, tendremos: P
Fx = m ax
⇒
F (t) − Fk − Ff = m ax
donde la aceleraci´ on en direcci´ on horizontal es valorada mediante: ax = u ¨. Reemplazando las relaciones previas para las fuerzas en la primera ecuaci´on y ordenando: m¨ u + ku = F (t) que resulta ser ex´ actamente igual a la Ecuaci´on (10.21), la cual gobierna la oscilaci´on forzada medida a partir de la configuraci´ on de equilibro est´atico del sistema (resorte con longitud indeformada). Seg´ un direcci´ on vertical, la masa del oscilador no posee desplazamiento alguno (por ende la aceleraci´on ay en dicha direcci´ on es nula); por lo que aplicando la segunda ley seg´ un dicha direcci´on, tenemos P Fy = m ay ⇒ N − W = 0 es decir que seg´ un direcci´ on vertical tendr´ıamos: N = W = mg, significando ´esto que el sistema se encuentra en equilibrio din´ amico en todo instante seg´ un esta direcci´on. Por los resultados previos obtenidos, demostramos que la oscilaci´on del sistema simple en configuraci´on horizontal es ex´ actamente la misma que se produce en una configuraci´on vertical del mismo, a sola condici´on que los desplazamientos sean medidos a partir de la configuraci´on de equilibrio est´atico de forma que la fuerza de peso propio sea absorvida por la fuerza de deflexi´on est´atica del resorte.
10.3.
Sistemas con m´ ultiples grados de libertad
La Figura 10.5 muestra un sistema de dos elementos resorte a los que se han conectado masas concentradas en los nodos 2 y 3 en el sistema de coordenadas global. Como en los ejemplos anteriores,
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
353
el sistema est´ a sujeto a la acci´ on de la gravedad y el resorte superior se conecta a un apoyo r´ıgido en el nodo 1. 1
3k
U1
2
m
U2 2k
3
m
U3
Figura 10.5: Oscilador arm´onico doble (con dos grados de libertad) Aqu´ı es de inter´es la respuesta din´amica del sistema cuando la condici´on de equilibrio se perturba por alguna influencia externa y luego se lo deja libre para que oscile sin ninguna fuerza externa. Nosotros podr´ıamos tomar la concepci´ on de la mec´anica Newtoniana y dibujar los diagramas de cuerpo–libre apropiados, para luego aplicar la segunda ley de Newton de movimiento para obtener las ecuaciones gobernantes. En lugar de ello, tomamos la concepci´on de elemento finito para formular este problema. En esta instancia presente, el procedimiento de ensamblar la matriz de rigidez del sistema deber´ıa ser rutinario. Siguiendo el procedimiento que y´a fue explicado, obtenemos 3k −3k 0 (10.27) [ K ] = −3k 5k −2k 0 −2k 2k como la matriz de rigidez global del sistema. Pero, qu´e de la matriz de masa/inercia ?. Como las masas est´an concentradas en los nodos de ambos elementos resorte donde precisamente est´an definidos los grados de libertad, definimos la matriz de masa del sistema como 0 0 0 (10.28) [ M ] = 0 m 0 0 0 m Recordando que la ecuaci´ on de movimiento vibratorio general de un sistema con varios grados de ¨ } + [ K ]{U } = {F }, en el caso presente esta libertad est´ a representada por la relaci´on concisa: [ M ]{U resulta ¨1 0 0 0 U 3k −3k 0 U1 R1 ¨ 0 m 0 U + −3k 5k −2k U2 = mg (10.29) ¨2 0 0 m 0 −2k 2k U3 mg U3 donde R1 es la fuerza de reacci´ on din´amica de empotramiento en el nodo 1. Invocando la condici´ on de restricci´on de desplazamiento en el apoyo fijo, U1 = 0, la ecuaci´on anterior se reduce y convierte en ¨2 m 0 U 5k −2k U2 mg + = ¨3 0 m U −2k 2k U3 mg el cual es un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de segundo–orden, en los dos desplazamientos desconocidos del sistema U2 y U3 . Como las fuerzas gravitatorias indicadas por la funci´on perturbante representan la condici´on de equilibrio est´atico, ´estas son ignoradas (o lo que es
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
354
equivalente a medir los desplazamientos a partir de la configuraci´on de equilibrio est´atico) y el sistema de ecuaciones puede re–escribirse como ¨2 m 0 U 5k −2k U2 0 + = (10.30) ¨3 0 m U −2k 2k U3 0 Como un aspecto pr´ actico, la mayor´ıa de los paquetes de software de elemento finito no incluyen el peso estructural en un an´ alisis de tipo din´amico. En cambio, la inclusi´on del peso estructural es una opci´on que debe ser seleccionada por el del software, si as´ı lo considera pertinente. El hecho de incluir los efectos gravitatorios es un juicio hecho por el analista, basado en el problema espec´ıfico de una geometr´ıa y carga estructural dada. El sistema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias homog´eneas de segundo–orden dadas por la Ecuaci´on (10.30), representa la respuesta de vibraci´on–libre del sistema de 2 grados–de–libertad de la Figura 10.5. Como el sistema es uno libremente oscilante, buscamos las soluciones en formas de movimiento arm´ onico como U2 (t) = A2 sin(ωt + φ) (10.31) U3 (t) = A3 sin(ωt + φ) donde A2 y A3 son las amplitudes de vibraci´on de los nodos 2 y 3 (o de las masas conectadas a estos nodos); ω es un par´ ametro desconocido que se identifica con la frecuencia circular arm´onica supuesta de movimiento; y φ es el ´ angulo de fase de dicho movimiento. Tomando las segundas derivadas con respecto al tiempo de las soluciones supuestas y sustituyendo en la Ecuaci´on (10.30), resulta en 0 A2 5k −2k A2 0 2 m sin(ωt + φ) = −ω sin(ωt + φ) + 0 m A3 −2k 2k A3 0 o, de forma m´ as ordenada 5k − mω 2 −2k
−2k 2k − mω 2
A2 0 sin(ωt + φ) = A3 0
(10.32)
La Ecuaci´ on (10.32) es un sistema de dos ecuaciones algebraicas homog´eneas, que debe resolverse para las amplitudes de vibraci´ on A2 y A3 . Del ´algebra lineal, un sistema de ecuaciones algebr´aicas homog´eneas tiene soluciones no–triviales (distintas de cero) si y s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes se anula. Por consiguiente, para hallar soluciones no–triviales deber´a cumplirse: 5k − mω 2 −2k =0 (10.33) −2k 2k − mω 2 lo cual d´a la ecuaci´ on escalar algebr´ aica (5k − mω 2 )(2k − mω 2 ) − 4k 2 = 0
(10.34)
Esta ecuaci´ on es conocida como la ecuaci´ on caracter´ıstica o ecuaci´ on de frecuencias del sistema f´ısico. Como k y m son constantes positivas conocidas, la misma es tratada como una ecuaci´on cuadr´atica en la inc´ognita ω 2 , y puede ser resuelta por la f´ormula cuadr´atica para obtener dos ra´ıces ω12 =
k m
ω2 = 6
k m
o de modo m´ as expl´ıcito r
r k k ω1 = ω2 = 6 (10.35) m m En rigor matem´ atico, hay cuatro ra´ıces, desde que los valores negativos correspondientes a la Ecuaci´on (10.35) tambi´en satisfacen la ecuaci´on de frecuencia. Estos valores negativos se rechazan,
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
355
porque una frecuencia negativa no tiene ning´ un significado f´ısico y el uso de valores negativos en la soluci´on supuesta [Ecuaci´ on (10.31)] introduce s´olo un cambio de fase y representa el mismo movimiento como aquel que corresponde a la ra´ız positiva. El sistema de 2 grados–de–libertad de la Figura 10.5 entonces posee dos frecuencias naturales circulares de oscilaci´ on libre. Como es de costumbre, aqu´ella que es num´ericamente m´as peque˜ na de las dos se designa como ω1 y es conocida como la frecuencia fundamental. La tarea pendiente ahora es determinar las amplitudes A2 y A3 en la soluci´on supuesta. Para este prop´osito, la Ecuaci´on (10.32) es 5k − mω 2 −2k A2 0 = −2k 2k − mω 2 A3 0 Como esta ecuaci´ on representa una serie de ecuaciones homog´eneas, no podemos encontrar ning´ un valor absoluto de las amplitudes. Sin embargo, podemos obtener informaci´on con respecto a las relaciones num´ericas entre las amplitudes como sigue. Si sustituimos ω 2 = ω12 = k/m en cualquier ecuaci´on algebr´aica, obtenemos A3 = 2A2 , lo cual define la relaci´on de amplitudes A3 /A2 = 2 para el primero, o modo fundamental de vibraci´ on. Esto es, si el sistema oscila a su frecuencia fundamental ω1 , la amplitud de oscilaci´ on de m2 es dos veces que la de m1 . (Note usted que somos incapaces de calcular el valor absoluto de cualquier amplitud; s´ olo la proporci´on de ellas puede determinarse. Los valores absolutos dependen de las condiciones iniciales de movimiento, como se ilustra posteriormente). Las ecuaciones de desplazamientos para el modo fundamental son entonces U2 (t) = A(1) sin(ω1 t + φ1 ) 2 (1) U3 (t) = A3 sin(ω1 t + φ1 ) = 2A(1) sin(ω1 t + φ1 ) 2
(10.36)
donde el super´ındice en las amplitudes es usado para indicar que los desplazamientos corresponden a la vibraci´ on asociada a la frecuencia fundamental (o del modo primario). Luego, sustituimos la segunda frecuencia natural circular ω 2 = ω22 = 6k/m en cualquier ecuaci´on y se obtiene la relaci´ on A3 = −0,5A2 que define la segunda proporci´on de amplitudes como A3 /A2 = −0,5. As´ı que, en el segundo el modo natural de vibraci´on, las masas se mueven en direcciones opuestas. Los desplazamientos correspondientes a la segunda frecuencia son entonces U2 (t) = A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2 (2) U3 (t) = A3 sin(ω2 t + φ2 ) = −0,5A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2
(10.37)
donde nuevamente el super´ındice se refiere a la frecuencia de vibraci´on asociada (en este caso, al segundo modo de vibraci´ on). Por consiguiente, la respuesta de vibraci´on–libre del sistema de 2 grados–de–libertad est´a dada por U2 (t) = A(1) sin(ω1 t + φ1 ) + A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2 2 (1) U3 (t) = 2A2 sin(ω1 t + φ1 ) − 0,5A(2) sin(ω2 t + φ2 ) 2
(10.38)
y notamos que existen cuatro constantes desconocidas en la soluci´on anterior; espec´ıficamente, ´estas (2) son las amplitudes A(1) y los ´ angulos de fase φ1 y φ2 . La evaluaci´on de estas constantes se presenta 2 , A2 mediante un ejemplo que es desarrollado a continuaci´on. Dependiendo del fundamento matem´atico que posee el lector, el an´alisis del problema de vibraci´on de 2 grados–de–libertad puede reconocerse como un problema de auto–valores [32]. Las frecuencias naturales circulares calculadas son los valores propios del problema y las proporciones de amplitud representan los vectores propios asociados a estos valores propios. La Ecuaci´on (10.38) representa la respuesta del sistema en t´erminos de los modos de vibraci´on naturales. Tal soluci´on es a menudo llamada a obtenerse por superposici´ on modal o simplemente an´ alisis modal. Para representar la soluci´on completa para el sistema, usamos la notaci´on matricial ( ) ( ) ( ) U2 (t) A(1) A(2) 2 2 = sin(ω1 t + φ1 ) + sin(ω2 t + φ2 ) (10.39) U3 (t) 2A(1) −0,5A(2) 2 2
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
356
lo cual nos muestra que los modos de vibraci´on interact´ uan para producir la respuesta total completa del sistema. Esto es lo mismo que decir que la respuesta del sistema es obtenida por superposici´on (suma algebr´aica) de los modos naturales de vibraci´on. Ejemplo 10.2. Dado el sistema de la Figura 10.5, con k = 40 lb/pulg. y mg = W = 20 lb, determine: (a) Las frecuencias naturales del sistema. (b) La respuesta libre, si las condiciones iniciales son: U2 (t = 0) = 1 pulg.
U˙ 2 (t = 0) = U˙ 3 (t = 0) = 0
U3 (t = 0) = 0,5 pulg.
Estas condiciones iniciales se especifican con referencia a la posici´on de equilibrio est´atico del sistema, para que las funciones de desplazamiento calculadas no incluyan el efecto del campo gravitatorio. > Soluci´ on Por la Ecuaci´ on (10.35), las frecuencias naturales circulares son: s r r k 40 40(386,4) ω1 = = = = 27,8 rad/seg m 20/g 20 s r r 6k 6(40) 6(40)(386,4) ω2 = = = = 68,1 rad/seg m 20/g 20 La respuesta en vibraci´ on–libre es dada por la Ecuaci´on(10.38) como U2 (t) = A(1) sin(27,8t + φ1 ) + A(2) sin(68,1t + φ2 ) 2 2 (1) U3 (t) = 2A2 sin(27,8t + φ1 ) − 0,5A(2) sin(68,1t + φ2 ) 2 Las amplitudes y ´ angulos de fase son determinados aplicando las condiciones iniciales, que son U2 (0) = 1 = A(1) sin φ1 + A(2) sin φ2 2 2 (1) U3 (0) = 0,5 = 2A2 sin φ1 − 0,5A(2) sin φ2 2 (1) U˙ 2 (0) = 0 = 27,8A2 cos φ1 + 68,1A(2) cos φ2 2
U˙ 3 (0) = 0 = 2(27,8)A(1) cos φ1 − 0,5(68,1)A(2) cos φ2 2 2 Las condiciones iniciales producen un sistema de cuatro ecuaciones algebr´aicas en las cuatro inc´ognitas (2) A(1) on de las ecuaciones no es trivial, debido a la presencia de las funciones 2 , A2 , φ1 , y φ2 . La soluci´ trigonom´etricas. Denotando P = A(1) sin φ1 y Q = A(2) sin φ2 , las ecuaciones de condiciones iniciales 2 2 de desplazamiento resultan ser P +Q=1 2P − 0,5Q = 0,5 las cuales son f´ acilmente resueltas para obtener P = A(1) sin φ1 = 0,4 2
y
Q = A(2) sin φ2 = 0,6 2
Similarmente, poniendo R = A(1) cos φ1 y S = A(2) cos φ2 , las condiciones iniciales de velocidad resultan 2 2 ser 27,8R + 68,1S = 0 y 2(27,8)R − 0,5(68,1)S = 0 representando un sistema homog´eneo en R y S. Existen soluciones no–triviales s´olamente si el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. En este caso, el determinante no es nulo, lo cual puede
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
357
verificarse dir´ectamente mediante un breve c´alculo; y por tanto existen soluciones no–triviales. Por ello, R = S = 0. Bas´ andonos en un argumento f´ısico, los ´angulos de fase no pueden ser ambos nulos, de modo que podemos concluir que: cos φ1 = cos φ2 = 0, y de estas relaciones: φ1 = φ2 = π/2. De aqu´ı se sigue que la funci´ on seno de los ´ angulos de fase adoptan valor unitario; y por ende: A(1) = 0,4 y A(2) = 0,6. 2 2 Sustituyendo las amplitudes as´ı calculadas en la soluci´on general, y notando que sin(ωt+π/2) = cos ωt, la respuesta en vibraci´ on–libre de cada una de las masas oscilantes resulta ser U2 (t) = 0,4 cos 27,8t + 0,6 cos 68,1t U3 (t) = 0,8 cos 27,8t − 0,3 cos 68,1t La respuesta de desplazamiento de cada masa se ve que es una combinaci´on de movimientos correspondientes a las frecuencias naturales circulares del sistema. Tal fen´omeno es caracter´ıstico de sistemas estructurales que vibran. Adem´ as, resulta completamente evidente que todos los modos naturales de > vibraci´ on participan en el movimiento general de una estructura.
10.3.1.
Sistemas con varios grados de libertad
Como fu´e ilustrado por el sistema de dos resortes y masas, hay dos frecuencias naturales y dos modos naturales de vibraci´ on. Si extendemos el an´alisis a un sistema de varios resortes y masas, el que tiene N grados de libertad, como es mostrado en la Figura 10.6, que muestra al sistema en configuraci´on horizontal en su disposici´ on geom´etrica. Sabemos que si el sistema estuviera en configuraci´on vertical (colgando), la oscilaci´ on vertical producida alrededor de su configuraci´on de equilibrio est´atico (en este caso, y´ a vimos que la fuerza de peso propio no interviene en la descripci´on din´amica del movimiento oscilatorio) ser´ıa gobernada por una id´entica ecuaci´on diferencial que aquella que gobierna la oscilaci´on del sistema en una configuraci´ on horizontal. k2
k1 m1
k3 m2
kN mN
Figura 10.6: Sistema oscilatorio con m´ ultiples grados de libertad Si aplicamos el procedimiento de ensamble para un an´alisis de elemento finito, las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del sistema son en forma matricial concisa ¨ } + [ K ]{U } = {0} [ M ]{U
(10.40)
donde [ M ] es la matriz de masa y [ K ] es la matriz de rigidez del sistema. Para determinar las frecuencias naturales y los modos normales de vibraci´on del sistema, asumimos como en los casos de 1 y 2 grados–de–libertad que la soluci´on es de la forma Ui (t) = Ai sin(ωt + φ)
(10.41)
La sustituci´ on de la soluci´ on asumida en la ecuaci´on gobernante proporciona la ecuaci´on de frecuencia del sistema, como [ K ] − ω 2 [ M ] = 0 (10.42) que es un polinomio de grado N en la variable ω 2 . La soluci´on de la Ecuaci´on (10.42) d´a como resultado N frecuencias naturales ωj que, para los sistemas estructurales, puede demostrarse que son valores reales pero no necesariamente distintos; es decir, pueden ocurrir ra´ıces repetidas. Como se discuti´ o muchas veces, las ecuaciones de elemento finito no pueden resolverse a menos que las condiciones l´ımite sean aplicadas para que las ecuaciones se conviertan en inhomog´eneas. Un fen´omeno similar existe al determinar las frecuencias naturales y modos de vibraci´on de un sistema oscilatorio. Si
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
358
el sistema no est´ a restringido en su movimiento, es posible el movimiento de cuerpo r´ıgido y una o m´as de las frecuencias naturales calculadas tendr´an valor cero. Un sistema tri–dimensional no–restringido tiene seis frecuencias naturales estimadas–nulas, correspondientes a la traslaci´on espacial de cuerpo r´ıgido en las tres direcciones espaciales del sistema de coordenadas y a las rotaciones de cuerpo r´ıgido alrededor de los tres ejes coordenados. Por consiguiente, si el cuerpo o sistema estructural se halla inadecuadamente restringido, exhibir´ a ra´ıces repetidas nulas de la ecuaci´on de frecuencia o ecuaci´on caracter´ıstica; lo cual es indicativo de la posibilidad de existencia de movimiento de cuerpo r´ıgido para el sistema. Asumiendo que las restricciones son apropiamente aplicadas, las frecuencias resultantes a partir de la soluci´on de la Ecuaci´ on (10.42) se sustituyen una a la vez en la Ecuaci´on (10.40), y las proporciones de amplitud (autovectores) se calculan para cada modo natural de vibraci´on. La soluci´on general para cada grado de libertad es entonces expresada como N X
Ui (t) =
(j)
Ai sin(ωj t + φj )
i = 1; N
(10.43)
j=1
mostrando que el desplazamiento de cada masa es la suma de contribuciones de todos y cada uno de los N modos naturales de vibraci´ on. Las soluciones de desplazamiento expresadas por la Ecuaci´on (10.43) se dice que son obtenidas por superposici´ on modal, ya que las mismas se obtienen sumando las soluciones independientes de las ecuaciones diferenciales de movimiento para cada uno de los grados de libertad. Ejemplo 10.3. Determine las frecuencias naturales y los vectores de amplitud modales para el sistema oscilatorio m´ ultiple de 3 grados–de–libertad mostrado en la Figura 10.7(a).
k
2k
k
m
m
2m
(a) Esquema f´ısico del sistema U1 = 0
k 1
U3
U2
2k
m 2
U4
k
m 3
2m
4
(b) Modelo de elementos finitos
Figura 10.7: Sistema oscilatorio m´ ultiple para el Ejemplo 10.3 > Soluci´ on El modelo de an´ alisis es mostrado en la Figura 10.7(b), con los nodos numerados como se muestra en los cuales se supone se han concentrado las masas correspondientes. Ensamblando la matriz de rigidez global, ´esta resulta en k −k 0 0 −k 3k −2k 0 [K ] = 0 −2k 3k −k 0 0 −k k
´ 10.3. SISTEMAS CON MULTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
359
Similarmente, la matriz de masa global y´a ensamblada es 0 0 0 0 0 m 0 0 [M ] = 0 0 m 0 0 0 0 2m Debido a la condici´ on de restricci´ on U1 = 0, la ecuaci´on gobernante de movimiento del sistema reducido resulta ser ¨2 m 0 0 U 3k −2k 0 U2 0 ¨ 0 m 0 U + −2k 3k −k U3 = 0 ¨3 0 0 2m 0 −k k U4 0 U4 N´otese que para escribir la ecuaci´ on precedente, anulamos la primera fila y primera columna de las matrices de rigidez y masa, que est´ an asociadas con el grado de libertad nulo U1 . Asumiendo una respuesta sinusoidal especificada mediante: Ui = Ai sin(ωt + φ) (i = 2; 4), y sustituyendo en la ecuaci´ on de movimiento, nos permite obtener como ecuaci´on de frecuencias a la relaci´on 3k − ω 2 m −2k 0 2 −2k =0 3k − ω m −k 0 −k k − 2ω 2 m Expandiendo el determinante y simplificando, obtenemos 2 3 k k k ω 4 + 7,5 ω2 − =0 ω 6 − 6,5 m m m relaci´on que puede ser tratada como una ecuaci´on c´ ubica en la inc´ognita ω 2 . Poniendo ω 2 = C(k/m), la ecuaci´ on de frecuencia se convierte en 3 k 3 2 (C − 6,5C + 7,5C − 1) =0 m la cual tiene como ra´ıces C1 = 0,1532
C2 = 1,2912
C3 = 5,0556
Las correspondientes frecuencias naturales circulares, por tanto resultan ser r r r k k k ω1 = 0,3914 ω2 = 1,1363 ω3 = 2,2485 m m m Para obtener las proporciones de amplitud, sustitu´ımos las frecuencias naturales circulares en las ecuaciones de amplitud, una a la vez, pudi´endose poner (arbitrariamente) Ai2 = 1 (i = 1, 2, 3) y resolver para las amplitudes Ai3 y Ai4 . Por ejemplo, usando la primera frecuencia natural ω1 (3k − ω12 m)A(1) − 2kA(1) =0 2 3 −2kA(1) + (3k − ω12 m)A(1) − kA(1) =0 2 3 4 −kA(1) + (k − 2ω12 m)A(1) =0 3 4 p sustituyendo ω1 = 0,3914 k/m, obtenemos
(1) 2
−2A
2,847A(1) − 2A(1) =0 2 3 (1) + 2,847A3 − A(1) =0 4 (1) (1) −A3 + 0,694A4 = 0
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
360
Como y´a fu´e discutido, las ecuaciones de amplitudes conforman un sistema homog´eneo para el que no pueden obtenerse soluciones expl´ıcitas. Podemos, sin embargo, determinar las proporciones de amplitud poniendo A(1) = 1 para obtener 2 A(1) = 1,4235 3
A(1) = 2,0511 4
El vector de amplitudes correspondiente al modo fundamental de vibraci´on asociado con ω1 es entonces 1 1,4235 {A(1) } = A(1) 2 2,0511 y ´este es el vector–propio que corresponde al valor–propio ω1 . Procediendo id´enticamente con los valores para las otras dos frecuencias, ω2 y ω3 , los vectores de amplitud resultantes son 1 1 0,8544 −1,0279 {A(2) } = A(2) y {A(3) } = A(3) 2 2 −0,5399 0,1128 > Este ejemplo ilustra que un sistema con N grados–de–libertad presenta N modos naturales de vibraci´on definidos por las N frecuencias naturales circulares existentes y los correspondientes N vectores de amplitud asociados (que definen las formas modales naturales de vibraci´on). Aunque los ejemplos desarrollados trataron con sistemas discretos masa–resorte, los cuales pueden ser f´acilmente visualizados por sus masas en su comportamiento vibracional, los sistemas estructurales modelados mediante la t´ecnica de elemento finito presentan tambi´en N frecuencias naturales circulares y N modos de vibraci´on natural asociados, d´ onde N es el n´ umero de grados de libertad (los desplazamientos en los sistemas estructurales) representados en el modelo de elemento finito. La exactitud de las frecuencias calculadas as´ı como el uso de los modos naturales de vibraci´on para examinar la respuesta a las fuerzas perturbadoras externas se delinea siguiendo ´estos mismos conceptos como ser´a mostrado en siguientes secciones.
10.4.
El elemento barra: matriz de masa consistente
En las discusiones precedentes de sistemas masa–resorte, la matriz de masa (inercia) en cada caso es una matriz con t´erminos concentrados (en la diagonal principal), puesto que cada masa se ubica directamente en los nodos del elemento. En estos casos simples, despreciamos la masa de los diversos elementos resorte comparadas con las masas concentradas. En el caso general de estructuras s´olidas, la masa est´a geom´etricamente distribu´ıda en todo el volumen espacial ocupado por la estructura y las propiedades de inercia de la misma dependen directamente de la distribuci´on de masa. Para ilustrar los efectos de masa distribu´ıda, consideraremos primero la vibraci´on longitudinal (axial) de uno de los elementos estructurales m´ as simples, el elemento–barra del Cap´ıtulo 2. x
u (x , t) x u1 (x1 , t) (a) Desplazamientos nodales e interno
u2 (x2 , t)
dx (b) Elemento diferencial
Figura 10.8: El elemento barra vibratorio y diagrama de cuerpo libre diferencial
10.4. EL ELEMENTO BARRA: MATRIZ DE MASA CONSISTENTE
361
El elemento–barra mostrado en la Figura 10.8(a) es el mismo que aqu´el introducido y estudiado en el Cap´ıtulo 2, con la diferencia muy importante que las fuerzas aplicadas y los desplazamientos se asumen ahora dependientes del tiempo, como es indicado. El diagrama de cuerpo–libre de un elemento diferencial de longitud dx se muestra en la Figura 10.8(b), d´onde el ´area de la secci´on transversal A es asumida constante. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento diferencial d´a ∂σ ∂2u (10.44) σ+ A − σ A = (ρ A dx) 2 ∂x ∂t donde ρ es la densidad del material de la barra. Note el uso de operadores derivativos parciales, porque se considera ahora que el desplazamiento depende de dos variables: la posici´on y el tiempo. Sustituyendo la relaci´ on de tensi´ on–deformaci´on especificada por la ley de Hoocke σ = E = E(∂u/∂x), la Ecuaci´ on (10.44) se convierte en ∂2u ∂2u = ρ (10.45) E ∂x2 ∂t2 siendo ´esta ecuaci´ on denominada ecuaci´ on de onda uni–dimensional, ya que la misma gobierna la propagaci´ on de ondas de desplazamiento en una barra axial homog´enea. En el caso din´ amico, el desplazamiento axial es discretizado como u(x, t) = N1 (x)u1 (t) + N2 (x)u2 (t)
(10.46)
donde los desplazamientos nodales se expresan ahora expl´ıcitamente como dependientes del tiempo, pero las funciones de interpolaci´ on permanecen dependientes s´olo en la variable espacial. Por consiguiente, las funciones de interpolaci´ on son id´enticas a aqu´ellas usadas previamente para situaciones de equilibrio est´ atico que involucran al elemento–barra: N1 (x) = 1−x/L y N2 (x) = x/L. La aplicaci´on del m´eodo de Galerkin a la Ecuaci´ on (10.45) en analog´ıa a la Ecuaci´on (5.26) proporciona las ecuaciones residuales como ZL ∂2u ∂2u Ni (x) E − ρ 2 A dx = 0 i = 1, 2 (10.47) ∂x2 ∂t 0
Asumiendo propiedades materiales constantes para el elemento, la Ecuaci´on (10.47) puede ser escrita como ZL ZL ∂2u ∂2u ρ A Ni (x) 2 dx = A E Ni (x) 2 dx i = 1, 2 (10.48) ∂t ∂x 0
0
El tratamiento matem´ atico del lado derecho de la Ecuaci´on (10.48) es id´entico al que fu´e presentado en el Cap´ıtulo 5 y no se repite aqu´ı; de otra manera recordemos que el resultado del proceso de integraci´on y combinaci´ on de las dos ecuaciones residuales en forma matricial es E A 1 −1 u1 f1 = ⇒ [ k ]{u} = {f } (10.49) u2 f2 L −1 1 Sustituyendo la aproximaci´ on discretizada para el desplazamiento interno u(x, t), la integral en el lado izquierdo de la Ecuaci´ on (10.48) resulta ZL ρA 0
∂2u Ni (x) 2 dx = ρ A ∂t
ZL Ni (N1 u ¨ 1 + N2 u ¨2 ) dx
i = 1, 2
(10.50)
0
donde la notaci´ on de doble punto sobre los desplazamientos nodales indica doble derivaci´on respecto al tiempo. Las dos relaciones representadas por la Ecuaci´on (10.50) son escritas en forma matricial como ZL 2 ρAL 2 1 u ¨1 N1 N1 N2 u ¨1 = [ m ]{¨ u} (10.51) ρA dx = N1 N2 N22 u ¨2 1 2 u ¨2 6 0
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
362
donde se utilizaron como funciones de interpolaci´on: N1 (x) = 1 − x/L y N2 (x) = x/L. Recomendamos al lector verificar el resultado aqu´ı presentado efectuando las integraciones indicadas previamente. Tambi´en notemos que la matriz de masa es sim´etrica, pero n´o singular. La Ecuaci´on (10.51) define la matriz de masa consistente para el elemento–barra. Ele t´ermino ‘consistente’ es usado aqu´ı, debido a que las funciones de interpolaci´ on en la formulaci´on de la matriz de masa son las mismas funciones de interpolaci´on que aproximan o describen la variaci´on espacial del desplazamiento. En resumen podemos decir que la matriz de masa as´ı obtenida es consistente con el campo de desplazamientos internos. Combinando las Ecuaciones (10.49) y (10.51) como es indicado por la Ecuaci´on (10.48), obtenemos las ecuaciones din´ amicas de elemento finito para un elemento–barra, como ρAL 2 1 u E A 1 −1 u1 ¨1 f1 + = (10.52) 1 2 u ¨ −1 1 u f2 6 L 2 2 o, en forma sint´etica [ m ]{¨ u} + [ k ]{u} = {f }
(10.52a)
Notemos que en la ecuaci´ on desarrollada, el producto ρ A L = m es la masa total del elemento, por 21 e el segundo lo que la matriz de masa puede escribirse: [ m ] = m 6 1 2 . (Puede usted explicar porqu´ t´ermino del lado izquierdo en esta misma ecuaci´on es positivo ?). Es importante percibir tambi´en que la ecuaci´on sint´etica anterior tiene aspecto matem´atico id´entico que la Ecuaci´on (10.21), la cual gobierna el comportamiento de un oscilador simple forzado, s´olo que aqu´ı esa ecuaci´on se escribe en notaci´on matricial !. Dadas las ecuaciones gobernantes, ahora determinemos las frecuencias naturales de un elemento– barra en vibraci´ on axial. Por la discusi´ on anterior de vibraci´on libre, ponemos al vector de fuerza nodal en valor cero y escribimos la ecuaci´ on de frecuencia como [ k ] − ω2 [ m ] = 0 para obtener k − ω2 m 3 − k + ω 2 m 6
− k + ω2 m 6 =0 k − ω2 m 3
Expandiendo el determinante en la ecuaci´ on previa, obtenemos la ecuaci´on caracter´ıstica como m 2 m 2 k − ω2 − k + ω2 =0 (10.53) 3 6 o, de modo equivalente ω
2
k ω − 12 m 2
2 =0
(10.53a)
La Ecuaci´ on (10.53a) tiene como ra´ıces ω 2 = 0 y ω 2 = 12k/m. La ra´ız nula se presenta porque nosotros no especificamos ninguna restricci´on sobre el elemento; de ello, el movimiento del cuerpo r´ıgido es posible y representado por la frecuencia natural circular estimada de valor cero. La frecuencia natural circular no–nula corresponde a las ondas de desplazamiento axiales en la barra, las cuales por ejemplo podr´ıan ocurrir si la barra libre se sometiese a un impulso axial en uno de sus extremos. En tal caso, el movimiento de cuerpo r´ıgido ocurrir´ tambi´en se presentar´ıa la p ıa pero simult´aneamente p vibraci´on axial con la frecuencia circular ω1 = 12k/m = (3,46/L) E/ρ. El ejemplo siguiente ilustra la determinaci´ on de las frecuencias naturales circulares para una barra restringida en su traslaci´on espacial. Ejemplo 10.4. Usando un modelo de dos elementos finitos de id´entica longitud, determine las frecuencias naturales circulares del eje s´ olido de secci´ on transversal circular empotrado en un extremo, el cual es mostrado
10.4. EL ELEMENTO BARRA: MATRIZ DE MASA CONSISTENTE
363
A, E,
1
x
1
L
(a) Eje circular del Ejemplo 10.4
L/2
2 2
L/2
3
(b) Modelo de elemento finito
Figura 10.9: Eje circular s´olido en vibraci´on axial en la Figura 10.9(a). > Soluci´ on En la Figura 10.9(b) mostramos el modelo de elemento finito donde especificamos la numeraci´on de nodos a ser utilizada en la b´ usqueda de soluci´on al problema planteado. El coeficiente de rigidez caracter´ıstico de cada uno de los elementos es k=
2E A EA = L/2 L
de modo que las matrices de rigidez de cada elemento resultar´an ser 2E A 1 −1 [k (1) ] = [k (2) ] = −1 1 L La masa de cada uno de los elementos es m = ρV = ρ A
L ρAL = 2 2
y, las matrices de masa consistentes de elemento resultan ser por tanto ρAL 2 1 [m(1) ] = [m(2) ] = 12 1 2 Siguiendo el procedimiento de ensamble dir´ecto, la matriz de rigidez global es 1 −1 0 2E A −1 2 −1 [K ] = L 0 −1 1 y la matriz de masa consistente global es 2 ρAL 1 [M ] = 12 0
1 4 1
0 1 2
por lo que las ecuaciones globales de movimiento son entonces ¨1 2 1 0 U 1 −1 0 U1 0 2E A ρAL ¨ 1 4 1 U −1 2 −1 U2 = 0 + ¨2 12 L 0 1 2 0 −1 1 U3 0 U3 Aplicando la condici´ on de restricci´on U1 = 0, tendremos a ¨2 ρAL 4 1 U 2E A 2 −1 U2 0 = ¨3 + L −1 1 U3 0 12 1 2 U
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
364
como las ecuaciones homog´eneas que gobiernan la vibraci´on libre del eje. Por conveniencia, la u ´ltima ecuaci´on es re–escrita como ¨2 24E 2 −1 U2 4 1 U 0 = ¨3 + ρL2 −1 1 1 2 U U3 0 Asumiendo respuesta senoidal para los grados de libertad activos (desplazamientos) del sistema U2 = A2 sin(ωt + φ)
U3 = A3 sin(ωt + φ)
derivando temporalmente dos veces y sustituyendo en la ecuaci´on gobernante reducida, ´esta resulta en 24E 2 −1 A2 0 2 4 1 −ω + sin(ωt + φ) = A3 0 1 2 ρL2 −1 1 De nuevo, obtenemos una serie de ecuaciones algebraicas homog´eneas que tiene soluciones no–triviales (distintas de cero) s´ olo si el determinante de la matriz de coeficientes se anula. Denotando como λ = 24E/ρL2 , la ecuaci´ on de frecuencias se d´a por el desarrollo del determinante 2λ − 4ω 2 −λ − ω 2 −λ − ω 2 λ − 2ω 2 = 0 el cual, luego de ser expandido y simplificado, se convierte en 7ω 4 − 10λω 2 + λ2 = 0 Tratando la ecuaci´ on caracter´ıstica (ecuaci´on de frecuencias anterior) como una ecuaci´on cuadr´atica en ω 2 , las ra´ıces son obtenidas como ω12 = 0,1082λ
ω22 = 1,3204λ
substituyendo el valor de λ que fu´e adoptado, las frecuencias naturales del sistema desarrolladas en todos sus t´erminos resultan ser s s 5,629 E 1,611 E 2 2 ω2 = [rad/seg] ω1 = L ρ L ρ Para prop´ ositos de comparaci´ on, notamos que la soluci´on exacta [53] para las frecuencias naturales circulares de una barra en la vibraci´ p on axial proporcionan la frecuencia natural circular p fundamental o primaria como ω1 = (1,571/L) E/ρ y la segunda frecuencia como ω2 = (4,712/L) E/ρ. Por consiguiente, el error para la frecuencia fundamental calculada es aproximadamente de 2,5 por ciento, mientras el error en la segunda frecuencia es aproximadamente de 19 por ciento. Tambi´en es informativo notar (v´ease el Problema 10.12) que, si se utiliza la aproximaci´on de matriz de masa concentrada para este ejemplo, obtenemos s s 1,531 E 3,696 E ω12 = ω22 = [rad/seg] L ρ L ρ como resultados para las dos frecuencias naturales circulares de vibraci´on del eje circular empotrado en un extremo. > La soluci´on para el Ejemplo 10.4 proporciona dos frecuencias naturales circulares para la vibraci´on axial libre de una barra empotrada en un extremo. Pero, debe resultar claro que tal eje tiene un n´ umero infinito de frecuencias naturales, como cualquier elemento o estructura en la cual la masa se
10.5. EL ELEMENTO VIGA
365
ha distribuido continuamente. En el modelado de elemento finito, las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el movimiento de sistemas continuos son discretizadas en un n´ umero finito de ecuaciones algebr´aicas para las soluciones aproximadas. De aqu´ı, el n´ umero de frecuencias asequible mediante una aproximaci´ on de elemento finito est´a limitado por la discretizaci´on inherente al modelo dicretto utilizado para resolver el problema. Las caracter´ısticas de inercia de un elemento–barra tambi´en pueden representarse por una matriz de masa concentrada (en los puntos nodales), similar a la aproximaci´on usada en los ejemplos de sistemas masa–resorte presentados previamente en este cap´ıtulo. En la aproximaci´on de la matriz concentrada, la mitad la masa total del elemento se asume que se concentra en cada nodo y el material que los conecta es tratado como un resorte sin masa, pero con rigidez axial. La matriz de masa concentrada para un elemento–barra es entonces ρAL 1 0 (10.54) [m] = 0 1 2 El uso de matrices de masa concentrada ofrece ventajas computacionales. Puesto que la matriz de masa de elemento tambi´en es diagonal, las matrices de masa globales resultar´an diagonales. Por otro lado, aunque las matrices de masa consistentes computacionalmente son m´as dif´ıciles en su uso, puede demostrarse que mantienen los l´ımites superiores para las frecuencias naturales circulares [1]. No existe ninguna prueba similar para las matrices concentradas. No obstante, las matrices concentradas se usan a menudo, particularmente con los elementos barra y viga, para obtener predicciones bastante exactas de respuesta din´ amica.
10.5.
El elemento viga
Ahora desarrollaremos la matriz de masa para un elemento–viga en vibraci´on flexionante. Primero, la matriz de masa consistente es obtenida usando una aproximaci´on an´aloga a aquella para el elemento– barra de la secci´ on anterior. La Figura 10.10 muestra un elemento diferencial de una viga en flexi´on bajo la hip´ otesis que las cargas aplicadas son dependientes del tiempo. Como la situaci´on es de alguna q(x, t)
M
y
M V
x
dx
M dx x
V V dx x
Figura 10.10: Elemento diferencial de una viga en vibraci´on flexionante manera similar a aquella presentada en la Figura 5.7 excepto por el uso de derivadas parciales, aplicamos la segunda ley de Newton de movimiento al elemento diferencial en la direcci´on y para obtener P ∂V ∂2υ Fy = m ay ⇒ V + dx − V − q(x, t)dx = (ρ A dx) 2 ∂x ∂t donde ρ es la densidad del material y A es el ´area de la secci´on transversal del elemento. La cantidad ρA representa la cantidad de masa por unidad de longitud en la direcci´on x. La ecuaci´on recientemente escrita se simplifica a ∂V ∂2υ − q(x, t) = ρ A 2 (10.55) ∂x ∂t Como estamos tratando con la teor´ıa de deflexi´on peque˜ na en la flexi´on de la viga; las pendientes de la viga, y por consiguiente las rotaciones, son peque˜ nas. Por tanto, despreciamos la inercia rotacional
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
366
del elemento de viga diferencial y aplicamos la ecuaci´on de equilibrio de momentos. El resultado es id´entico al obtenido en la Ecuaci´ on (5.36), repetida aqu´ı como ∂M = −V ∂x Sustituyendo la relaci´ on de momento flector – esfuerzo cortante en la Ecuaci´on (10.55) tenemos −
∂2υ ∂2M − q(x, t) = ρ A 2 2 ∂x ∂t
(10.56)
Finalmente, la f´ ormula de flexi´ on ∂2υ ∂x2 es sustitu´ıda en la Ecuaci´ on (10.56) para obtener la ecuaci´on diferencial gobernante de la vibraci´on flexionante del elemento viga, la cual resulta ∂2υ ∂2υ ∂2 − 2 E Iz 2 − q(x, t) = ρ A 2 ∂x ∂x ∂t M = E Iz
Bajo la presunci´ on de invariabilidad del m´odulo de elasticidad E y el momento de inercia transversal Iz , la ecuaci´on anterior puede escribirse ρA
∂2υ ∂4υ + E I = −q(x, t) z ∂t2 ∂x4
(10.57)
Como en el caso del elemento–barra, la deflexi´on transversal flexionante de la viga es discretizada usando las mismas funciones de interpolaci´ on desarrolladas para la viga en condici´on est´atica formulada previamente. Ahora, sin embargo, se asume que los desplazamientos nodales son dependientes del tiempo. De aqu´ı, υ(x, t) = N1 (x)υ1 (t) + N2 (x)θ1 (t) + N3 (x)υ2 (t) + N4 (x)θ2 (t)
(10.58)
y las funciones de interpolaci´ on son como fueron dadas en la Ecuaci´on (4.16) ´o (4.20). La aplicaci´on del m´etodo de Galerkin a la Ecuaci´ on (10.57) para un elemento finito de longitud L resulta en las ecuaciones residuales ZL
∂2υ ∂4υ Ni (x) ρ A 2 + E Iz 4 + q ∂t ∂x
=0
i = 1; 4
(10.59)
0
Como los u ´ltimos dos t´erminos del integrando son los mismos que los tratados en la Ecuaci´on (5.40), el desarrollo de la matriz de rigidez y el vector de fuerza nodal no se repiten aqu´ı. En cambio, enfocamos nuestra atenci´ on en el primer t´ermino del integrando, el cual representa a los coeficientes de la matriz de masa. Para cada una de las cuatro relaciones representadas por la Ecuaci´on (10.59), el primer t´ermino de la ´ıntegral resulta ser υ¨1 ZL ZL ¨ θ1 ρ A Ni (N1 υ¨1 + N2 θ¨1 + N3 υ¨2 + N4 θ¨2 )dx = ρ A Ni [ N ]dx i = 1; 4 (10.60) υ¨2 0 0 θ¨2 y, cuando todas las cuatro ecuaciones se expresan en forma matricial, los coeficientes de inercia llegan a ser υ¨1 υ¨1 ZL ¨ ¨ θ1 θ1 T (e) ρ A [ N ] [ N ]dx = [m ] (10.61) υ¨2 υ¨2 ¨ ¨ 0 θ2 θ2
10.5. EL ELEMENTO VIGA
367
Entonces, la matriz de masa consistente para un elemento bi–dimensional viga estar´a dada por ZL (e)
[m
[ N ]T [ N ]dx
] = ρA
(10.62)
0
La sustituci´ on de las funciones de interpolaci´on en la ecuaci´on anterior, y la evaluaci´on de las integrales resultantes, como puede comprobarse dan como resultado final para la matriz de masa 156 22L 54 −13L ρAL 4L2 13L −3L2 22L (10.63) [ m(e) ] = 54 13L 156 −22L 420 2 2 −13L −3L −22L 4L y debe notarse que hemos asumido el ´area de la secci´on transversal del elemento como un valor constante en este desarrollo. Combinando la matriz de masa con los resultados previamente obtenidos para la matriz de rigidez y el vector de fuerza, las ecuaciones de elemento finito de movimiento para un elemento–viga, son υ¨1 −V1 (t) υ1 L Z ¨ −M 1(t) θ1 θ1 (e) (e) T (10.64) = − [ N ] q(x, t)dx + + [k ] [m ] V 2(t) υ2 υ¨2 ¨ 0 M2 (t) θ2 θ2 y todas las cantidades son como fueron previamente definidas. En el caso din´amico, los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes internas actuantes en los extremos del elemento pueden ser dependientes del tiempo, como y´ a fu´e indicado. Los procedimientos de ensamble para el elemento viga incluyendo la matriz de masa son id´enticos a aqu´ellos para el caso de equilibrio est´atico. La matriz de masa global es directamente ensamblada, usando las matrices de masa de elemento individual junto con las relaciones de desplazamientos locales– a–globales. Aunque el ensamble del sistema es procesalmente dir´ecto, el proceso es evidentemente tedioso cuando es llevado a cabo a mano. Por consiguiente, no intentaremos elaborar un ejemplo complejo; en cambio, examinaremos un ejemplo relativamente simple de determinaci´on de frecuencias naturales. Ejemplo 10.5. Usando un modelo de un solo elemento finito, determine las frecuencias naturales circulares de vibraci´on de una viga en voladizo de longitud determinada, para la cual se asumen constantes sus propiedades materiales y geom´etricas. y E, Iz 1
2
x
L
Figura 10.11: Viga en voladizo del Ejemplo 10.5 > Soluci´ on La viga en voladizo es mostrada en la Figura 10.11, con el nodo 1 en el soporte empotrado y el nodo 2 en su extremo libre. La viga tiene longitud L, ´area transversal A, m´odulo de elasticidad E, momento de inercia centroidal Iz , y densidad ρ.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
368
Para este caso, las condiciones de borde extremo (restricciones de movimiento en el apoyo empotrado) son: υ1 = θ1 = 0. En vibraci´ on libre, la fuerza y el momento aplicados en el extremo libre (nodo 2) son: V2 = M2 = 0 y no existe ninguna carga distribu´ıda aplicada al elemento, q = 0. Bajo estas condiciones, las primeras dos ecuaciones representadas por la Ecuaci´on 10.79 son ecuaciones de restricci´on y no son de inter´es en este caso. Usando las condiciones de restricci´on y las fuerzas desconocidas aplicadas (reacciones de apoyo V1 y M1 , podemos desechar las ecuaciones asociadas a estas condiciones. Las dos u ´ltimas ecuaciones, asociadas a los grados de libertad activos, resultan por tanto ρ A L 156 −22L υ¨2 E Iz 12 −6L υ2 0 + 3 = 2 2 ¨ −6L 4L −22L 4L θ 0 θ2 420 L 2 Por conveniencia computacional, las ecuaciones anteriores se escriben como 420E Iz 12 −6L υ2 0 156 −22L υ¨2 = + θ2 0 −22L 4L2 θ¨2 m L3 −6L 4L2 con m = ρ A L representando la masa total de la viga. Asumiendo respuesta senoidal de los desplazamientos, la ecuaci´ on de frecuencia resulta ser 12λ − 156ω 2 −6λL + 22ω 2 L =0 −6λL + 22ω 2 L 4L2 (λ − ω 2 ) donde λ = 420EIz /mL3 . Despu´es de expandir el determinante y realizar un considerable monto de manipulaci´on algebr´aica, la ecuaci´on de frecuencia se demuestra que es 5ω 4 − 102λω 2 + 3λ2 = 0 Resolviendo la ecuaci´ on anterior por la f´ ormula cuadr´atica, se obtienen como raices ω12 = 0,02945λ
ω22 = 20,73λ
y sustituyendo el valor de λ en t´erminos de los valores param´etricos de la viga, obtenemos r r E Iz E Iz ω2 = 92,50 [rad/seg] ω1 = 3,517 3 mL m L3 como las aproximaciones de elemento finito a las primeras dos frecuencias naturales circulares. Para comparaci´on de resultados, puede demostrarse que la soluci´on exacta proporciona los valores siguientes: r r E Iz E Iz ex ex ω1 = 3,516 ω2 = 22,03 [rad/seg] 3 mL m L3 La frecuencia fundamental calculada mediante un solo elemento es esencialmente igual que la soluci´on exacta, mientras que la segunda frecuencia calculada es considerablemente m´as grande que el valor exacto correspondiente. Como anotamos previamente, un sistema continuo exhibe un infinito n´ umero de modos naturales; nosotros obtuvimos s´olo dos modos en este ejemplo. Si el n´ umero de los elementos finitos en el modelo se aumenta, el n´ umero de frecuencias (los modos naturales) que pueden calcularse se incrementa en la misma medida en la que se incrementa el n´ umero de grados libertad utilizados en el modelo. De hecho entonces, la exactitud de las frecuencias calculadas mejora. Si el ejemplo actual es refinado usando dos elementos que tienen longitud L/2 y se repite el procedimiento de soluci´ on aqu´ı desarrollado, podemos calcular cuatro frecuencias naturales; las dos primeras de ellas en su menor valor num´erico de magnitud est´an dadas por r r E Iz E Iz ω2 = 24,50 [rad/seg] ω1 = 3,516 3 mL m L3
10.6. MATRIZ DE MASA PARA UN ELEMENTO GENERAL
369
y observamos que la segunda frecuencia natural circular ha mejorado significativamente en valor (en comparaci´ on con la soluci´ on exacta). Tambi´en se verifica que las frecuencias tercera y cuarta de esta soluci´on son bastante m´ as grandes que los valores exactos conocidos. > Como est´ a indicado por el ejemplo anterior, el n´ umero de frecuencias naturales y modos de vibraci´on que pueden evaluarse depende directamente del n´ umero de grados de libertad del modelo de elemento finito. Tambi´en, como se esperar´ıa para la convergencia, a medida que el n´ umero de grados de libertad aumente, las frecuencias calculadas tendr´an valores m´as pr´oximos a aquellos considerados exactos. Como una regla general, los valores m´as inferiores (num´ericamente) convergen m´as r´apidamente hacia los valores exactos. Mientras esto se discute en m´as detalle en conjunci´on con ejemplos espec´ıficos a seguir, podemos postular una regla general para el an´alisis de frecuencias, como sigue: Si el analista de elemento finito est´ a interesado en las frecuencias naturales circulares de los primeros p modos de vibraci´ on de una estructura, deber´ıan calcularse un m´ımimo de 2p modos para ella. Note que esto implica la capacidad de calcular un subconjunto de las frecuencias en lugar de todas las frecuencias de un modelo. De hecho, esto es posible y sumamente importante, a partir del hecho que un modelo del elemento finito pr´ actico puede tener miles de grados de libertad, y por consiguiente miles de frecuencias naturales. La carga computacional de calcular todas las frecuencias es agobiante e innecesaria, como se discute en la siguiente secci´ on.
10.6.
Matriz de masa para un elemento general
En los ejemplos anteriores se trataron sistemas relativamente simples compuestos de resortes lineales y entre los sistemas con distribuci´ on cont´ınua de masa, los elementos barra y viga. En estos casos, la aplicaci´ on dir´ecta de la segunda ley de Newton y el m´etodo del elemento finito de Galerkin llevaron directamente a la formulaci´ on de las ecuaciones matriciales de movimiento; y tambi´en a la especificaci´on de las matrices de masa de elemento. Para elementos estructurales m´as generales, se prefiere una aproximaci´ on basada en conceptos energ´eticos, como para los an´alisis est´aticos. La aproximaci´on a ser desarrollada aqu´ı est´ a basada en la mec´anica Lagrangiana y usa un m´etodo de energ´ıa basado levemente en las ecuaciones de Lagrange de movimiento [22]. Antes de examinar un caso general, consideraremos el oscilador arm´onico simple de la Figura 10.1. En una posici´ on arbitraria x con el sistema asumido en condici´on de movimiento, la energa cin´etica de la masa es 1 T = mx˙ 2 2 y la energ´ıa potencial total es Ue =
1 k(δest + x)2 − mg(δest + x) 2
de aqu´ı, la energ´ıa mec´ anica total resulta ser Em = T + Ue =
1 1 mx˙ 2 + k(δest + x)2 − mg(δest + x) 2 2
(10.65)
Como el modelo del oscilador arm´onico simple no contiene ning´ un mecanismo para la remoci´on de energ´ıa, podemos aplicar el principio de conservaci´on de la energa mec´anica; luego, podemos escribir dEm = 0 = mx¨ ˙ x + k(δest + x)x˙ − mg x˙ dt simplificando t´erminos y ordenando m¨ x + k(δest + x) = mg
(10.66)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
370
w dV u
z
x
y
Figura 10.12: Elemento diferencial de un s´olido tri–dimensional y el resultado es ex´ actamente el mismo que obtuvimos por aplicaci´on de la segunda ley de Newton, seg´ un la Ecuaci´ on (10.2). Para el caso general, consideramos el cuerpo tridimensional mostrado en la Figura 10.12 y examinamos el comportamiento din´ amico de una masa diferencial dm = ρ dV = ρ dx dy dz localizada en una posici´on espacial arbitraria (x, y, z). El desplazamiento de la masa diferencial seg´ un las direcciones coordenadas se describe por las componentes de desplazamiento (u, υ, w); y de aqu´ı, las componentes de velocidad son (u, ˙ υ, ˙ w) ˙ respectivamente. Como previamente examinamos la energ´ıa potencial, enfocamos ahora nuestra atenci´ on en la energ´ıa cin´etica de la masa diferencial dada por dT =
1 1 2 (u˙ + υ˙ 2 + w˙ 2 )dm = (u˙ 2 + υ˙ 2 + w˙ 2 )ρ dx dy dz 2 2
La energ´ıa cin´etica total del cuerpo es obtenida integrando la relaci´on anterior ZZZ ZZZ 1 1 (u˙ 2 + υ˙ 2 + w˙ 2 )dm = (u˙ 2 + υ˙ 2 + w˙ 2 )ρ dx dy dz T = 2 2
(10.67)
donde el proceso de integraci´ on es realizado sobre la toda la masa (volumen) del cuerpo. Considerado que el cuerpo pasa a ser un elemento finito con el campo de desplazamientos discretizado como M X Ni (x, y, z)ui (t) = [ N ]{u} u(x, y, z, t) = i
υ(x, y, z, t) =
M X
Ni (x, y, z)υi (t) = [ N ]{υ}
(10.68)
i
w(x, y, z, t) =
M X
Ni (x, y, z)wi (t) = [ N ]{w}
i
donde M es el n´ umero de nodos que posee el elemento. De aqu´ı, las componentes del campo de velocidades se expresan como ∂u u˙ = = [ N ]{u} ˙ ∂t ∂υ (10.69) υ˙ = = [ N ]{υ} ˙ ∂t ∂w w˙ = = [ N ]{w} ˙ ∂t La energ´ıa cin´etica del elemento expresada en t´erminos de las velocidades nodales y las funciones de interpolaci´ on es luego escrita como ZZZ 1 (e) T = ( {u} ˙ T [ N ]T [ N ]{u} ˙ + {υ} ˙ T [ N ]T [ N ]{υ} ˙ + {w} ˙ T [ N ]T [ N ]{w} ˙ )ρdV (e) (10.70) 2 V (e)
10.6. MATRIZ DE MASA PARA UN ELEMENTO GENERAL
371
Denotando las velocidades nodales como ˙ {u} ˙ = {υ} ˙ {δ} {w} ˙
(10.71)
una matriz columna (vector) de dimensi´on 3M ×1, la energ´ıa cin´etica es expresada ahora como Z Z Z [ N ]T [ N ] 0 0 1 ˙ T ˙ T [ m(e) ]{δ} ˙ ˙ = 1 {δ} ρ dV (e) {δ} 0 [ N ]T [ N ] 0 T (e) = {δ} (10.72) 2 2 T 0 0 [ N ] [ N ] (e) V y la matriz de masa de elemento es identificada luego como Z Z Z [ N ]T [ N ] 0 0 ρ dV (e) 0 [ N ]T [ N ] 0 [ m(e) ] = T 0 0 [N ] [N ] V (e)
(10.73)
Debe notarse que, en la Ecuaci´ on (10.73), los t´erminos ceros realmente representan matrices nulas de dimensi´ on M ×M . Por consiguiente, la matriz de masa como fu´e deducida, es una matriz 3M ×3M que es tambi´en r´ apidamente identificada como matriz sim´etrica. Asimismo debemos notar que la matriz de masa de la Ecuaci´ on (10.73) es una matriz de masa consistente. El ejemplo siguiente ilustra los c´omputos necesarios para evaluar esta matriz asociada a un elemento bi–dimensional. Ejemplo 10.6. Determinar la matriz de masa para el elemento recangular bi–dimensional mostrado en la Figura 10.13. El elemento tiene un espesor uniforme de 5 mm y una densidad igual a 7,83×10−6 Kg/mm3 . 4 (10, 30)
3 (40, 30)
s r
y
1 (10, 10)
2 (40, 10)
x
Figura 10.13: Elemento rectangular del Ejemplo 10.6 > Soluci´ on De acuerdo con la Ecuaci´ on (6.36), las funciones de interpolaci´on en t´erminos de las coordenadas naturales con origen en el centroide del elemento son N1 (r, s) = 41 (1 − r)(1 − s) N2 (r, s) = 41 (1 + r)(1 − s) N3 (r, s) = 41 (1 + r)(1 + s) N4 (r, s) = 14 (1 − r)(1 + s) con r = (x−25)/15 y s = (y −20)/10. Para realizar la integraci´on en coordenadas naturales: dx = 15 dr y dy = 10 ds. La matriz de masa es de dimensi´on 8×8, y los t´erminos no nulos est´an dados por Z1 Z1
ZZZ T
[ N ] [ N ] ρ dV V (e)
(e)
= ρt −1 −1
Z1 Z1 T
[ N ] [ N ](15 dr)(10 ds) = 750 ρ −1 −1
[ N ]T [ N ] dr ds
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
372
En esta soluci´ on, calcularemos solamente un par de coeficientes como ilustraci´on del m´etodo para luego presentar el resultado completo. Por ejemplo Z1 Z1
750 N1 dr ds = ρ 16 2
m11 = 750 ρ −1 −1
Z1 Z1
(1 − r)2 (1 − s)2 dr ds
−1 −1 3 1
1 (1 − s)3 750 64 750 (1 − r) = = ρ ρ = 2,6 (10−3 ) [Kg] 16 3 3 16 9 −1 −1 De modo completamente similar, Z1 Z1 m12 = 750 ρ
750 N1 N2 dr ds = ρ 16
−1 −1
Z1 Z1
(1 − r2 )(1 − s)2 dr ds
−1 −1 3 1
1 750 (1 − s)3 750 32 r = ρ r− (−1) = ρ = 1,3 (10−3 ) [Kg] 16 3 −1 3 16 9 −1 Si llevamos a cabo todas las integraciones indicadas para formar la matriz de masa, el resultado final para el elemento finito rectangular es 2,6 1,3 1,3 2,6 0,7 1,3 1,3 0,7 (e) [m ] = 0 0 0 0 0 0 0 0
0,7 1,3 1,3 0,7 2,6 1,3 1,3 2,6 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2,6 1,3 0,7 1,3
0 0 0 0 1,3 2,6 1,3 0,7
0 0 0 0 0 0 0 0 (10−3 ) [Kg] 0,7 1,3 1,3 0,7 2,6 1,3 1,3 2,6
Observamos que la matriz de masa de elemento es sim´etrica, como era esperado. Tambi´en notamos que almacenar todos los valores de la matriz entera como es mostrado ser´ıa bastante ineficaz, puesto que s´olo es necesario almacenar los coeficientes de la sub–matriz 4×4 de coeficientes no–nulos que se aprecia ubicada en la diagonal principal del arreglo anterior. > Habiendo desarrollado una formulaci´ on general para la matriz de masa de un elemento finito, retornamos a la determinaci´ on de las ecuaciones de movimiento de una estructura modelada mediante el m´etodo de elemento finito y sujeta a solicitaci´on din´amica (es decir, cargas aplicadas dependientes del tiempo). Si nosotros tenemos a mano, como lo hicimos, las matrices de masa y rigidez de un elemento finito, podemos ensamblar las ecuaciones globales para dicho modelo de elemento finito de una estructura y obtener una expresi´ on para la energ´ıa total en la forma E=
1 1 {q} ˙ T [ M ]{q} ˙ + {q}T [ K ]{q} − {q}T {F } 2 2
(10.74)
donde {q} es la matriz columna (vector) de desplazamientos nodales descritos en el sistema global coordenado (o tambi´en llamados grados de libertad nodales globales), y todos los dem´as t´erminos son como fueron definidos previamente. (En este punto, reiteramos que la Ecuaci´on (10.74) modela la respuesta de un sistema el´ astico ideal, que no contiene ning´ un mecanismo para la disipaci´on de
10.6. MATRIZ DE MASA PARA UN ELEMENTO GENERAL
373
energ´ıa). De modo m´ as expl´ıcito, para un sistema con N grados de libertad tendremos: q1 q˙1 q q˙2 2 . . . . . . {q} = ⇒ {q} ˙ = qi q˙i . .. . . . qN q˙N Para un sistema como el descrito, la energ´ıa mec´anica total es constante, de modo que dE/dt = 0. Como la energ´ıa mec´ anica se expresa como una funci´on de la velocidad y el desplazamiento, el procedimiento de minimizaci´ on considerando E = E(q˙1 , · · · , q˙N , q1 , · · · , qN ) como expresi´on equivalente desarrollada de la Ecuaci´ on (10.74), requiere que ∂E ∂ q˙i ∂E ∂qi dE = + =0 dt ∂ q˙i ∂t ∂qi ∂t
i = 1; N
(10.75)
La aplicaci´ on del proceso de minimizaci´on a la energ´ıa total expresada por la Ecuaci´on (10.74) usando las relaciones generalizadas expresadas por la u ´ltima ecuaci´on, como puede comprobarse conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales inhomog´eneo, el cual puede escribirse concisamente mediante la siguiente expresi´ on sint´etica [ M ]{¨ q } + [ K ]{q} = {F } (10.76) La Ecuaci´ on (10.75) no es necesariamente exacta rigurosamente en todos los casos. Sin embargo, para los sistemas en consideraci´ on aqu´ı, en los cuales no existen mecanismos de remoci´on de energ´ıa y la energ´ıa potencial total incluye el efecto de la solicitaci´on externa, las ecuaciones resultantes del movimiento son las mismas que aquellas que se obtienen por aplicaci´on de la teor´ıa Lagrangiana y los principios variacionales [23]. El examen de la Ecuaci´ on (10.76) a la luz de hechos conocidos sobre las matrices de rigidez y masa revela que las ecuaciones diferenciales est´an acopladas, por lo menos mediante la matriz de rigidez que se conoce es sim´etrica pero no diagonal. Cualquiera de las ecuaciones asociada a alg´ un grado de libertad contiene a los dem´ as grados de libertad del sistema, por ello decimos que las ecuaciones est´an acopladas. Los fen´ omenos incluidos aqu´ı son llamados de acoplamiento el´ astico, en virtud que las condiciones de acoplamiento provienen de la matriz de rigidez el´astica. En las matrices de masa consistentes, las ecuaciones tambi´en se acoplan por la naturaleza no–diagonal de la matriz de masa; por consiguiente, el t´ermino de acoplamiento inercial es utilizado cuando la matriz de masa no es diagonal. El obtener las soluciones para un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas generalmente no es un procedimiento dir´ecto. Sin embargo, mostramos que las caracter´ısticas modales inclu´ıdas en las ecuaciones de movimiento pueden usarse con ventaja en la determinaci´on de la respuesta del sistema a funciones perturbadoras arm´onicas (senoidales). La respuesta arm´ onica es una capacidad de esencialmente cualquier paquete de software de elemento finito, y las t´ecnicas generales de evaluaci´on de respuesta son mostradas en la secci´on siguiente, despu´es de una discusi´on breve acerca de los modos naturales de vibraci´ on. En ausencia de fuerzas nodales externamente aplicadas, la Ecuaci´on (10.76) es un sistema de N ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas de segundo-orden, con el tiempo como variable independiente. De aqu´ı, nosotros tendremos un problema de auto–valores en el que los valores propios son las frecuencias naturales circulares de oscilaci´on del sistema estructural, y los vectores propios asociados son los vectores de amplitud (los modos de oscilaci´on). La ecuaci´on de frecuencia est´a representada por el desarrollo del determinante [ K ] − ω2 [ M ] = 0 (10.77) Cuando se expande el determinante anterior, se obtiene un polinomio de orden N en la variable ω 2 . La soluci´ on de la ecuaci´ on polin´ omica de frecuencias proporciona N frecuencias naturales circulares y
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
374
N vectores de amplitud modales asociados. La respuesta de vibraci´on–libre de tal sistema se describe entonces por la suma (superposici´ on) de los modos naturales de vibraci´on como δi (t) =
N X
Ai(j) sin(ωj t + φj )
j = 1; N
(10.78)
j=1
debi´endose notar que la superposici´ on indicada por ´esta ecuaci´on es v´alida solamente para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. En la ecuaci´ on (10.76), los t´erminos A(j) i y φj deben ser determinados para satisfacer las condiciones iniciales dadas. En concordancia con los ejemplos anteriores para los sistemas m´as simples, sabemos que los vectores de amplitud para una frecuencia modal dada pueden determinarse con una sola constante desconocida, de forma que podemos escribir los vectores de amplitud modales como 1 β2(i) (i) (i) (i) β 3 {A } = A1 i = 1; N (10.79) .. . (i) βN donde los t´erminos β son constantes conocidas que son resultado de la substituci´on de las frecuencias naturales circulares en las ecuaciones gobernantes para las amplitudes. Para un sistema que tiene y φi (i = 1; N ) en la soluci´on N grados de libertad, tendremos 2N constantes desconocidas A(i) 1 del movimiento. Las constantes son determinadas por la aplicaci´on de 2N condiciones iniciales, que generalmente se especifican como los desplazamientos y las velocidades de los nodos en el instante t = 0. Mientras los modos naturales de vibraci´on libre son importantes en s´ı mismos, la aplicaci´on del an´alisis modal a la respuesta arm´ onicamente forzada de sistemas estructurales es un concepto muy importante. Antes del examen de la respuesta forzada, deduciremos una propiedad muy importante de los modos principales de vibraci´ on.
10.7.
Ortogonalidad de los modos principales
Los modos principales de vibraci´ on de sistemas con m´ ultiples grados de libertad comparten una propiedad matem´ atica fundamental conocida como ortogonalidad. La respuesta de vibraci´on–libre de un sistema con m´ ultiples grados–de–libertad se describe por la Ecuaci´on (10.76) considerando nula la perturbaci´on externa actuante sobre el sistema [ M ]{¨ q } + [ K ]{q} = {0}
(10.80)
Asumiendo que esta ecuaci´ on ha sido resuelta para las frecuencias naturales circulares y los vectores de amplitud modales mediante una soluci´ on asumida de la forma qi (t) = Ai sin(ωt + φ); entonces la substituci´on de cualquier frecuencia particular ωi en la Ecuaci´on (10.80) d´a como resultado [ K ]{A(i) } − ωi2 [ M ]{A(i) } = 0
(10.81)
y para cualquier otra frecuencia distinta ωj , tendremos [ K ]{A(j) } − ωj2 [ M ]{A(j) } = 0
(10.82)
Multiplicando la Ecuaci´ on (10.81) por {A(j) }T , y la Ecuaci´on (10.82) por {A(i) }T d´a las relaciones {A(j) }T [ K ]{A(i) } − ωi2 {A(j) }T [ M ]{A(i) } = 0 {A(i) }T [ K ]{A(j) } − ωj2 {A(i) }T [ M ]{A(j) } = 0
10.7. ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS PRINCIPALES
375
Sustrayendo la primera ecuaci´ on de la segunda, tendremos {A(j) }T [ M ]{A(i) }(ωi2 − ωj2 ) = 0
i 6= j
(10.83)
Para arrivar al resultado representado por la Ecuaci´on (10.83), utilizamos la identidad proveniente del ´algebra matricial: [ A ]T [ B ][ C ] = [ C ]T [ B ][ A ], donde [ A ], [ B ], y [ C ], son matrices arbitrarias para las cuales el triple producto est´a definido con apropiada congruencia dimensional. Como las dos frecuencias naturales circulares en la Ecuaci´on (10.83) son distintas, concluimos que {A(j) }T [ M ]{A(i) } = 0
i 6= j,
i, j = 1; N
(10.84)
La Ecuaci´ on (10.84) es la declaraci´on matem´atica de la propiedad de ortogonalidad de los modos principales de vibraci´ on. La propiedad de ortogonalidad proporciona una t´ecnica matem´atica muy poderosa para desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con m´ ultiples grados de libertad. Para un sistema que exhibe N grados de libertad, nosotros definimos la matriz modal como una matriz N ×N en la que las columnas son los vectores de amplitud para cada modo natural de vibraci´on; es decir, [ A ] = {A(1) } {A(2) } · · · {A(N ) } (10.85) y consideramos el producto matricial triple [ S ] = [ A ]T [ M ][ A ]. Por la condici´on de ortogonalidad, Ecuaci´ on (10.84), cada t´ermino o coeficiente fuera de la diagonal–principal de la matriz representada por el producto triple, es cero; y por tanto, la matriz [ S ] es una matriz diagonal. Los coeficientes (no–nulos) que se ubican sobre la diagonal principal, tienen las magnitudes Sii = {A(i) }T [ M ]{A(i) }
i = 1, N
Como cada vector de amplitud modal s´olo es conocido dentro de una constante m´ ultiple (recuerde que en los ejemplos previos nosotros pusimos A(i) = 1 arbitrariamente), los vectores de amplitud 1 modales pueden manipularse de modo que los coeficientes diagonales descritos por la ecuaci´on anterior pueden hacerse que asuman cualquier valor num´erico deseado. En particular, si el valor es seleccionado como la unidad, entonces se cumplir´a {A(i) }T [ M ]{A(i) } = 1
i = 1, N
(10.86)
entonces se dice que los vectores de amplitud modales son ortonormales, y el producto triple matricial llega a ser [ S ] = [ A ]T [ M ][ A ] = [ I ] (10.87) donde [ I ] es la matriz identidad de dimensi´on N ×N . Normalizar los vectores de amplitud modales por la Ecuaci´on (10.86) es un procedimiento directo, como sigue. Permitamos que una amplitud modal espec´ıfica sea representada por la Ecuaci´on (10.79) en la que al primer t´ermino se le asigna valor unidad arbitrariamente. El t´ermino diagonal correspondiente de la matriz modal es entonces N X N X
(i) mjk {A(i) j }{Ak } = Sii = cte.
j=1 k=1
Si re–definimos los coeficientes del vector de amplitudes modal de modo que {A(i) {A(i) j } j } √ s = {A(i) } = j N P N Sii P (i) mjk {A(i) j }{Ak }
i = 1, N
j=1 k=1
la matriz descrita por la Ecuaci´ on (10.87) es de hecho la matriz de identidad.
(10.88)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
376
Habiendo establecido el concepto de ortogonalidad y normalizado la matriz modal, retornamos al problema general descrito por la Ecuaci´ on (10.76), en la que ya no se asume que el vector de fuerza es cero. Por razones que se pondr´ an claras posteriormente, introducimos el cambio de variables {q} = [ A ]{p}
(10.89)
donde {p} es la matriz columna (vector) de desplazamientos generalizados que son combinaciones lineales de los desplazamientos nodales reales {q}, y [ A ] es la matriz modal normalizada. La Ecuaci´on (10.76) se vuelve entonces [ M ][ A ]{¨ p} + [ K ][ A ]{p} = {F } pre–multiplicando por [ A ]T , obtenemos [ A ]T [ M ][ A ]{¨ p} + [ A ]T [ K ][ A ]{p} = [ A ]T {F } Utilizando el principio de ortogonalidad, vemos que esta ecuaci´on se convierte en [ I ]{¨ p} + [ A ]T [ K ][ A ]{p} = [ A ]T {F }
(10.90)
Ahora debemos examinar los efectos de rigidez como son representados por [ A ]T [ K ][ A ]. Dado que [ K ] es una matriz sim´etrica, el producto triple [ A ]T [ K ][ A ] tambi´en es una matriz sim´etrica. Siguiendo el desarrollo anterior de ortogonalidad de los modos principales, se muestra f´acilmente que el producto triple [ A ]T [ K ][ A ] resulta ser una matriz diagonal. Los valores de los coeficientes diagonales son encontrados multiplicando la Ecuaci´ on (10.81) por {A(i) }T para obtener {A(i) }T [ K ]{A(i) } − ωi2 {A(i) }T [ M ]{A(i) } = 0
i = 1, N
Si los vectores de amplitud modales se han normalizado como fu´e descrito anteriormente, la ecuaci´on previa resulta ser entonces {A(i) }T [ K ]{A(i) } = ωi2 i = 1, N (10.91) de aqu´ı, la matriz producto triple [ A ]T [ K ][ A ] produce una matriz diagonal que tiene como coeficientes a los cuadrados de las frecuencias naturales circulares de los modos principales de vibraci´on; es decir, ω1 0 · · · 0 0 ω22 · · · · T (10.92) [ A ] [ K ][ A ] = · · · · · · 2 0 · · · · ωN Finalmente, la Ecuaci´ on (10.90) se convierte en [ I ]{¨ p} + [ ω 2 ]{p} = [ A ]T {F }
(10.93)
con la matriz [ ω 2 ] representada por la matriz diagonal definida en la Ecuaci´on (10.92). Cuando ´esta ecuaci´on matricial es desarrollada, se obtiene un sistema de ecuaciones que tienen la forma p¨i + ωi2 pi = F˜i
i = 1; N
(10.93a)
o sea que cualquier ecuaci´ on que contiene una variable pi cualquiera, no contiene a las dem´as; habi´endose, por tanto, logrado desacoplar las ecuaciones de movimiento.
10.7. ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS PRINCIPALES
377
Ejemplo 10.7. Usando los datos del Ejemplo 10.3, normalice la matriz modal y verifique que se cumplen las relaciones deducidas anteriormente: [ A ]T [ M ][ A ] = [ I ] y [ A ]T [ K ][ A ] = [ ω 2 ]. > Soluci´ on Para el primer modo (modo fundamental) de vibraci´on, tendremos m 0 1 S11 = {A(1) }T [ M ]{A(1) } = 1 1,4325 2,0511 0 m 0 1,4325 = 11,4404 m 0 0 2m 2,0511 √ as´ı que el primer vector de amplitud modal se normaliza dividiendo cada t´ermino por S11 = 3,3824 m , lo que proporciona el vector normalizado como 0,2956 1 0,4289 {A(1) } = √ m 0,6064 Aplicando el mismo procedimiento a los vectores de amplitud modal del segundo y tercer modo de vibraci´ on, obtenemos 0,6575 0,6930 1 1 70,5618 −0,7124 {A(3) } = √ {A(2) } = √ m −0,3550 m 0,0782 y la matriz modal normalizada es 0,2956 0,6575 0,6930 1 [ A ] = √ 0,4289 0,5618 −0,7124 m 0,6064 −0,3550 0,0782 Para verificar el cumplimiento de la Ecuaci´on (10.87) formamos el producto triple m 0 0 0,2956 0,4289 0,6064 1 0,6575 0,5618 −0,3550 0 m 0 [ A ]T [ M ][ A ] = m 0 0 2m 0,6930 −0,7124 0,0782 0,2956 0,6575 0,6930 1 0 0 0,5618 −0,7124 = 0 1 0 = [ I ] × 0,4289 0,6064 −0,3550 0,0782 0 0 1 y, vemos que la relaci´ on se cumple exactamente. El producto triple con respecto a la matriz de rigidez 0,2956 0,4289 k 0,6575 0,5618 [ A ]T [ K ][ A ] = m 0,6930 −0,7124 0,2956 0,6575 0,5618 × 0,4289 0,6064 −0,3550
es 0,6064 3 −2 0 −0,3550 −2 3 −1 0,0782 0 −1 1 0,6930 −0,7124 0,0782
el cual se eval´ ua como 0,1532 k 0 [ A ]T [ K ][ A ] = m 0
2 0 0 ω1 1,2912 0 =0 0 5,0557 0
y, tambi´en se cumple la relaci´ on que fu´e deducida.
0 ω22 0
0 0 = [ ω2 ] ω32 >
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
378
10.8.
Respuesta arm´ onica mediante superposici´ on modal
La condici´ on de ortogonalidad de los modos principales es especialmente u ´til en el an´alisis de la respuesta de estado estacionario de modelos de elemento finito hacia funciones de solicitaci´on arm´onica. En este contexto, una funci´ on impelente arm´onica se describe como F (t) = F0 sin ωf t d´onde F0 es la magnitud de fuerza y ωf es la frecuencia circular de la funci´on impelente (ambos valores considerados constantes). Antes de aplicar el m´etodo de superposici´on de los modos de vibraci´on, debe realizarse un an´alisis modal completo para obtener las frecuencias naturales circulares del sistema y normalizar los vectores de amplitud modales (de aqu´ı, obtenemos la matriz modal). Usando las t´ecnicas de la secci´on anterior, las ecuaciones de movimiento para el caso de sistemas forzados llegan a ser [ I ]{¨ p} + [ ω 2 ]{p} = [ A ]T {F }
(10.94)
Asumiendo que el modelo estructural bajo consideraci´on exhibe N grados de libertad totales, la Ecuaci´on (10.94) representa una serie de N ecuaciones diferenciales lineales inhomog´eneas desacopladas, las que tienen la forma p¨i + ωi2 pi =
N X
A(i) j Fj (t)
i = 1; N
(10.95)
j=1
Observando que el lado–derecho de la ecuaci´on anterior es una combinaci´on lineal conocida de fuerzas arm´onicas (´estas son llamadas fuerzas generalizadas), la soluci´on a cada una de las ecuaciones es una suma de soluciones particulares que corresponden a cada uno de los t´erminos de fuerza arm´onica. Por analog´ıa con el procedimiento usado para el an´alisis de la vibraci´on forzada de un sistema de un solo grado–de–libertad en la Secci´ on 10.2, las soluciones de la Ecuaci´on (10.95) estar´an dadas por pi (t) =
N X A(i) j Fj 0 sin ωjf t 2 ω − ωjf t j=1 i
i = 1; N
(10.96)
De aqu´ı, los desplazamientos generalizados pi (t) se representan por una combinaci´on de movimientos arm´onicos independientes que tienen frecuencias que corresponden a las frecuencias impelentes. Note usted que, si una frecuencia impelente es cercana en valor a una de las frecuencias naturales, el t´ermino del denominador se hace muy peque˜ no y la amplitud de la respuesta forzada se hace muy grande; por tanto, hay muchas posibilidades para una condici´on resonante. El m´etodo de superposici´ on de los modos de vibraci´on proporciona conveniencia matem´atica en la obtenci´on de la respuesta forzada, porque las ecuaciones de movimiento se desacoplan y la determinaci´on de la soluci´ on es directa. Sin embargo, la Ecuaci´on (10.96) d´a el comportamiento de respuesta de los desplazamientos generalizados en lugar de los desplazamientos nodales reales, debido a la transformaci´on descrita por la Ecuaci´ on (10.89). Como la matriz modal es conocida, la conversi´on de los desplazamientos generalizados hacia los desplazamientos reales requiere s´olo la multiplicaci´on de la soluci´on previa obtenida por la matriz modal normalizada. Ejemplo 10.8. Considere nuevamente el sistema de tres grados–de–libertad del Ejemplo 10.3, y determine la respuesta de estado estacionario cuando una fuerza horizontal F = F0 sin ωf t es aplicada a la masa ubicada en el nodo 3. > Soluci´ on Para las condiciones especificadas, el vector de fuerza impelente aplicada es 0 {F (t)} = F0 sin ωf t 0
´ ´ MODAL 10.8. RESPUESTA ARMONICA MEDIANTE SUPERPOSICION
y las fuerzas generalizadas resultar´ an 0,2956 1 {F˜ } = [ A ]T {F } = √ 0,6575 m 0,6930
379
ser 0,4289 0,6064 0 0,4209 F sin ω t 0 √ f 0,5618 −0,3550 F0 sin ωf t = 0,5618 m −0,7124 0,0782 0 −0,7124
Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas generalizadas son entonces 0,4209F0 sin ωf t √ m 0,5618F0 sin ωf t √ p¨2 + ω12 p2 = m −0,7124F sin ωf t √0 p¨3 + ω12 p3 = m
p¨1 + ω12 p1 =
para las cuales, puede demostrarse que las soluciones son p1 (t) =
0,4209F0 sin ωf t √ (ω12 − ωf2 ) m
p2 (t) =
0,5618F0 sin ωf t √ (ω22 − ωf2 ) m
p3 (t) =
−0,7124F0 sin ωf t √ (ω32 − ωf2 ) m
Los desplazamientos nodales reales, x(t) = q(t) en este caso, son obtenidos por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (10.89): ω0,4209 2 −ω 2 1 f 0,2956 0,6575 0,6930 F sin ω t 1 0,5618 0 √ f 0,4289 0,5618 −0,7124 {x} = [ A ]{p} = √ ω22 −ωf2 m 0,6064 −0,3550 0,0782 m −0,7124 ω32 −ωf2
Expandiendo, los desplazamientos de estado estacionario est´an dados por ! 0,1244 0,3694 −0,4937 F0 sin ωf t √ x1 (t) = + 2 + 2 ω12 − ωf2 ω2 − ωf2 ω3 − ωf2 m ! 0,1772 0,3156 0,5075 F0 sin ωf t √ x2 (t) = + 2 + 2 2 2 2 2 ω1 − ωf ω2 − ωf ω3 − ωf m ! −0,1994 −0,0557 F0 sin ωf t 0,2552 √ + 2 + 2 x3 (t) = ω12 − ωf2 ω2 − ωf2 ω3 − ωf2 m Unas cuantas observaciones necesitan ser efectuadas con respecto a los desplazamientos calculados en este ejemplo: 1. El desplazamiento de cada masa es una oscilaci´on senoidal alrededor de la posici´on de equilibrio, y la frecuencia circular de la oscilaci´on es igual que la frecuencia de la funci´on impelente. 2. Las caracter´ısticas de los modos principales de vibraci´on se reflejan en las soluciones, debi´endose a los efectos de las frecuencias naturales circulares y los vectores de amplitud modales, determinando las amplitudes de la oscilaci´ on forzada.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
380
3. Las soluciones del desplazamiento representan s´olo el movimiento forzado de cada masa; y adicionalmente, la vibraci´ on libre tambi´en puede existir en superposici´on con la respuesta forzada. 4. No est´an incorporados mecanismos de dispersi´on de energ´ıa en el modelo. > El m´etodo de superposici´ on modal puede parecer bastante complicado y, al intentar obtener las soluciones manualmente, el m´etodo es de hecho tedioso. Sin embargo, los c´alculos requeridos son prontamente adecuados a las t´ecnicas computacionales y pueden ser f´acilmente programadas. Las ramificaciones adicionales de las t´ecnicas computacionales para el m´etodo de superposici´on modal se discutir´an en un siguiente ac´ apite.
10.9.
Disipaci´ on de energ´ıa: amortiguamiento estructural
A este punto, las t´ecnicas del an´ alisis din´amico trataron s´olamente con sistemas estructurales en los que no hay ning´ un mecanismo para la dispersi´on de energ´ıa. Como fu´e declarado antes, todos los sistemas reales exhiben tal dispersi´ on y, los diferentes modelos simples presentados, no oscilan por siempre como es predecido por las soluciones de los modelos ideales. En los sistemas estructurales, el fen´omeno de dispersi´ on de energ´ıa es llamado amortiguamiento. El amortiguamiento puede asumir muchos formas f´ısicas, incluyendo dispositivos espec´ıficamente dise˜ nados para el prop´osito (dispositivos amortiguadores pasivos y activos), la fricci´on de deslizamiento, y la disipaci´on interna caracter´ıstica de los materiales sujetos a carga c´ıclica. En esta secci´on, empezamos con un modelo idealizado de amortiguamiento para el oscilador arm´ onico simple y luego se extiende el concepto de amortiguamiento a los modelos estructurales a escala completa o reales.
c
k
cx
kx
m
m +x
(a) Diagrama esquem´ atico
(b) Esquema del amortiguador
(c) Diagrama de cuerpo libre
Figura 10.14: El oscilador arm´onico simple amortiguado. La Figura 10.14(a) muestra un oscilador arm´onico simple al que se ha agregado un disipador de energ´ıa. Un disipador es un dispositivo amortiguador que utiliza un pist´on que se mueve en el interior de un cilindro cerrado herm´etico que contiene un fluido viscoso para remover la energ´ıa mediante la tensi´on cortante en el fluido que produce generaci´on de calor asociado al trabajo mec´anico de las fuerzas de fricci´ on que surgen por la existencia de dichas tensiones internas. El pist´on t´ıpicamente tiene agujeros peque˜ nos para permitir al fluido a atravezarlo pero por otra parte se sella en su periferia, como esquem´aticamente se muestra en la Figura 10.14(b). La fuerza ejercida por tal dispositivo se conoce que es directamente proporcional a la velocidad del pist´on como indicamos mediante la relaci´on siguiente: fc = c x˙
(10.97)
donde fc es la fuerza de amortiguaci´ on, c es el coeficiente de amortiguamiento del dispositivo y x˙ es la velocidad de la masa que se asume dir´ecta y r´ıgidamente conectada al pist´on del amortiguador. El diagrama din´ amico de cuerpo–libre de la Figura 10.14(c) representa la situaci´on en un momento arbitrario con el sistema en movimiento. Como en el caso no–amortiguado considerado anteriormente,
´ DE ENERG´IA: AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL 10.9. DISIPACION
381
asumimos que el desplazamiento es medido desde la posici´on de equilibrio est´atico. Bajo las condiciones establecidas, la ecuaci´ on de movimiento de la masa es m¨ x + cx˙ + kx = 0
(10.98)
Debido al aspecto matem´ atico que tiene esta ecuaci´on diferencial, se asume la soluci´on en forma exponencial, como x(t) = C est (10.99) donde C y s son constantes a ser determinadas. La sustituci´on de la soluci´on asumida en la ecuaci´on diferencial d´ a como resultado (ms2 + cs + k)C est = 0 Como buscamos soluciones no–triviales v´alidas para cualquier instante de tiempo, concluimos que ms2 + cs = k = 0
(10.100)
debe cumplirse si queremos obtener una soluci´on general. La Ecuaci´on (10.100) es la ecuaci´on caracter´ıstica (tambi´en llamada ecuaci´ on de frecuencia) para el sistema amortiguado de un solo grado–de– libertad. De los an´ alisis de vibraci´ on no–amortiguada, sabemos que la frecuencia natural dada por ω 2 = k/m es una propiedad importante del sistema, por lo que modificamos la ecuaci´on caracter´ıstica y la presentamos como c s2 + s + ω 2 = 0 m Resolviendo esta ecuaci´ on mediante la f´ormula cuadr´atica, obtenemos dos soluciones como es esperado, las cuales est´ an dadas por " # r 1 c 2 c 2 2 s1 = − − 4ω 2 m m (10.101) " # r 1 c 2 c 2 s2 = + − 4ω 2 2 m m La m´as importante caracter´ıstica de las ra´ıces es el valor (c/m)2 − 4ω 2 , y para el mismo existen tres casos de importancia: 1. Si (c/m)2 − 4ω 2 > 0, las ra´ıces son reales, distintas, y negativas; y la respuesta del desplazamiento es la suma de funciones exponenciales decrecientes. 2. Si (c/m)2 − 4ω 2 = 0, tenemos un caso de ra´ıces repetidas; para esta situaci´on, el desplazamiento tambi´en se muestra ser exponencial decreciente. Es conveniente definir esto como un caso cr´ıtico y permitir que el valor del coeficiente de amortiguamiento c corresponda al llamado coeficiente de amotiguamiento cr´ıtico cc . De aqu´ı, c2c = 4ω 2 m2 ´o cc = 2mω. 3. Si (c/m)2 − 4ω 2 < 0, las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica son imaginarias; y en este caso puede demostrarse [53] que representan oscilaciones sinusoidales decrecientes. Sin tener en cuenta la cantidad de amortiguamiento presente, la respuesta de vibraci´on–libre, como es mostrado por el an´ alisis precedente, es una funci´on exponencialmente decreciente en el tiempo. Esto d´a mayor credibilidad a nuestra discusi´on anterior de respuesta arm´onica, en la que ignoramos las vibraciones libres. En general, la respuesta del sistema se define principalmente por las funciones impelentes aplicadas, porque las vibraciones naturales (libres, principales) desaparecen en cierto tiempo por el amortiguamiento presente. La respuesta de un sistema masa–resorte amortiguado correspondiente a cada uno de los tres casos de amortiguamiento se muestra en la Figura 10.15.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
382
x(t)
x(t) Xe
x(t)
t
1 t
1
1 t
(a) Respuesta sub–amortiguada
(b) Respuesta de amortiguamiento cr´ıtico
t
(c) Respuesta sobre–amortiguada
Figura 10.15: Respuesta libre del oscilador arm´onico simple amortiguado. Ahora definimos la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico como ζ = c/cc = c/2m y notamos que, si ζ > 1, tendremos movimiento sobre–amortiguado; si ζ = 1, se dice que el movimiento es cr´ıticamente amortiguado; y si ζ < 1, el movimiento es sub–amortiguado. Como la mayor´ıa de los sistemas estructurales son sub–amortiguados, enfocamos nuestra atenci´on en el caso de ζ < 1. Para esta situaci´on, se demuestra f´acilmente [53] que la respuesta de un oscilador arm´onico sub–amortiguado se describe por x(t) = e−ζωt (A sin ωd t + B cos ωd t) donde ωd es la frecuencia natural circular amortiguada, definida por c 2 k ωd2 = (1 − ζ 2 ) ω 2 = 1 − 2m m
(10.102)
(10.103)
y los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales del movimiento. Aunque s´olo demostramos el efecto del amortiguamiento mediante el an´alisis del oscilador arm´onico simple amortiguado, podemos establecer algunas conclusiones que son aplicables a cualquier sistema estructural: Las frecuencias naturales de vibraci´ on de un sistema est´an reducidas por el efecto del amortiguamiento, como es mostrado por la Ecuaci´on (10.103). Las vibraciones libres decaen exponencialmente hacia cero, debido a los efectos del amortiguamiento presente en todo sistema vibratorio. En virtud de la anterior conclusi´ on; en el caso de vibraci´on forzada, la soluci´on de estado– estacionario (luego que los efectos transitorios han desaparecido) s´olo se establece por las funciones impelentes. Se asume que el amortiguamiento es linealmente proporcional a las velocidades nodales.
10.9.1.
Amortiguamiento estructural general
Una estructura el´ astica sujeta a carga din´amica no tiene, en general, elementos espec´ıficos amortiguadores conectados. En cambio, las caracter´ısticas de disipaci´on de energ´ıa de la estructura son inherentes a sus propiedades mec´ anicas. Por ejemplo, c´omo se hace para que una viga en voladizo, cuando es “tocada” en su extremo libre, finalmente deje de vibrar?. (Si el lector tiene una regla flexible a mano, puede realizar muchos experimentos para mostrar el cambio en la frecuencia fundamental como una funci´ on de longitud de la viga as´ı como el decaimiento del movimiento). La respuesta a la vibraci´on amortiguada es compleja. Por ejemplo, las estructuras est´an expuestas al aire atmosf´erico, por lo que la resistencia del aire es un factor que determina la amortiguaci´on. En general, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad cuadr´atica media, por lo que este efecto es no–lineal. Afortunadamente, la resistencia del aire en la mayor´ıa de los casos es despreciable. Por otra parte, la fricci´on interior de un material no es despreciable y debe ser considerada.
´ DE ENERG´IA: AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL 10.9. DISIPACION
383
c 2
1
x
k Figura 10.16: Modelo de elemento–barra amortiguada Si incorporamos los conceptos de amortiguamiento como fueron aplicados al oscilador arm´onico simple, las ecuaciones de movimiento del modelo de elemento finito de una estructura llegan a ser en forma matricial [ M ]{¨ q } + [ C ]{q} ˙ + [ K ]{q} = {F (t)} (10.104) donde [ C ] es la matriz de amortiguamiento viscoso del sistema, ensamblada por las reglas usuales. Por ejemplo, un elemento–barra con amortiguamiento es modelado matem´aticamente como un resorte lineal y un amortiguador conectados en paralelo a los nodos del elemento como se ve en la Figura 10.16. La matriz de amortiguamiento de elemento es entonces c −c 1 −1 [ C (e) ] = =c (10.105) −c c −1 1 y, las ecuaciones de movimiento de elemento son [ M (e) ]{¨ u} + [ C (e) ]{u} ˙ + [ K (e) ]{u} = {f (e) }
(10.106)
La matriz de amortiguamiento de elemento es sim´etrica y singular, y los coeficientes individuales son asignados a la matriz de amortiguamiento global de la misma manera como se lo hace con las matrices de masa y rigidez. El ensamble de las ecuaciones globales de movimiento para un modelo de elemento finito de una estructura amortiguada es simple. La determinaci´on de los coeficientes de amortiguamiento viscoso efectivos para los elementos estructurales, sin embargo, no es tan simple. El amortiguamiento debido a la fricci´on interior es conocido como amortiguamiento estructural, y experimentos en muchos materiales el´asticos diferentes han mostrado que la p´erdida de energ´ıa por ciclo de movimiento en el amortiguamiento estructural es proporcional a la rigidez del material y al cuadrado de la amplitud del desplazamiento [53]. Es decir, ∆Uciclo = λ k X 2
(10.107)
donde λ es un coeficiente adimensional de amortiguamiento estructural, k es la rigidez del material, y X es la amplitud del desplazamiento. Igualando la p´erdida de energ´ıa por ciclo a la p´erdida de energ´ıa por ciclo para amortiguamiento viscoso, se obtiene un coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente: λk (10.108) ceq = ω donde ω es la frecuencia circular de oscilaci´on. El hecho que el coeficiente de amortiguamiento equivalente dependa de la frecuencia es algo molesto, puesto que la implicaci´on es que se requieren coeficientes diferentes para p las frecuencias diferentes. Si consideramos un sistema de un solo grado–de–libertad para el cual ω = k/m, el coeficiente de amortiguamiento equivalente dado por la Ecuaci´on (10.108) llega a ser √ λk k ceq = = λp = λ km (10.109) ω k/m indic´andonos que el coeficiente de amortiguamiento es proporcional, por lo menos en un sentido general, a la rigidez y la masa. Retornaremos brevemente a esta observaci´on l´ıneas m´as adelante. Luego consideramos la aplicaci´ on de la transformaci´on usando la matriz modal normalizada, como fu´e descrito en la Secci´ on 10.7. Aplicando la transformaci´on a la Ecuaci´on (10.104) resulta en {¨ p} + [ A ]T [ C ][ A ]{p} ˙ + [ A ]T [ K ][ A ]{p} = [ A ]T {F (t)}
(10.110)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
384
F´acilmente se demuestra que la matriz de amortiguamiento transformada [ C 0 ] = [ A ]T [ C ][ A ]
(10.111)
es matriz sim´etrica, pero no necesariamente diagonal. La transformaci´on no necesariamente produce ecuaciones de movimiento desacopladas, y la simplificaci´on del m´etodo de superposici´on modal no es aplicable en generalidad. Pero, sin embargo, si la matriz de amortiguamiento es tal que [ C ] = α[ M ] + β[ K ]
(10.112)
[ C 0 ] = α[ A ]T [ M ][ A ] + β[ A ]T [ K ][ A ] = α[ I ] + β[ ω 2 ]
(10.113)
donde α y β son constantes, entonces
es una matriz diagonal y las ecuaciones diferenciales de movimiento resultan ser desacopladas. Notemos que la proposici´ on de la Ecuaci´ on(10.112) permite directamente la diagonalizaci´on de la matriz de amortiguamiento como es mostrado por la Ecuaci´on (10.113). De aqu´ı, la Ecuaci´on (10.110) se convierte en {¨ p} + (α[ I ] + β[ ω 2 ]){p} ˙ + [ ω 2 ]{p} = [ A ]T {F (t)} (10.114) Como el sistema de ecuaciones diferenciales representado por ecuaci´on matricial anterior est´a desacoplado, examinaremos la soluci´ on de una cualquiera de las ecuaciones componentes p¨i + (α + βωi2 )p˙i + ωi2 pi =
N X
A(i) j Fj (t)
(10.115)
j=1
donde N es el n´ umero total de grados de libertad de la estructura. Sin p´erdida de generalidad y por conveniencia pedag´ ogica, nosotros consideramos la Ecuaci´on (10.115) para solamente uno de los t´erminos del lado derecho, asumiendo que es una fuerza arm´onica tal que p¨i + (α + βωi2 )p˙i + ωi2 pi = F0 sin ωf t y asumimos que la soluci´ on es p(t) = Xi sin ωf t + Yi cos ωf t
(10.116)
La substituci´ on de la soluci´ on asumida en la ecuaci´on gobernante nos proporciona −Xi ωf2 sin ωf t − Yi ωf2 sin ωf t + (α + βωi2 )ωf (Xi cos ωf t − Yi sin ωf t) ωi2 Xi sin ωf t + ωi2 cos ωf t = F0 sin ωf t Igualando coeficientes de t´erminos que multiplican a las funciones sin y cos, se obtienen las siguientes ecuaciones algebr´ aicas " #( ) ( ) ωi2 − ωf2 −ωf (α + βωi2 ) Xi F0 = 2 2 2 ωf (α + βωi ) ωi − ωf Yi 0 para la determinaci´ on de las amplitudes del desplazamiento forzado; siendo las soluciones: Xi =
F0 (ωi2 − ωf2 ) (ωi2 − ωf2 )2 + ωf (α + βωi2 )2
−F0 ωf (α + βωi2 ) Yi = 2 (ωi − ωf2 )2 + ωf (α + βωi2 )2
(10.117)
Para examinar el car´ acter de la soluci´ on representada por la Ecuaci´on (10.116), convertimos de modo equivalente esta expresi´ on a pi (t) = Zi sin(ωf t + φi )
´ DE ENERG´IA: AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL 10.9. DISIPACION
con
Zi =
q Xi2 + Yi2
y φi = tan−1
385
Yi Xi
para obtener F0
pi (t) = q
(ωi2 − ωf2 )2 + ωf (α + βωi2 )2
sin(ωf t + φi )
−ωf (α + βωi2 ) ωi2 − ωf2
−1
φi = tan
(10.118)
! (10.118a)
De nuevo, la matem´ atica requerida para obtener estas soluciones es algebr´aicamente tediosa; sin embargo, las Ecuaciones (10.118) y (10.118a) son absolutamente generales, en el sentido que las ecuaciones dan la soluci´ on para cada grado de libertad en la Ecuaci´on (10.114), con tal de que sean aplicadas fuerzas nodales arm´ onicas. Tales soluciones se generan f´acilmente por un software de computadora digital. Los desplazamientos reales se obtienen entonces por la aplicaci´on de la Ecuaci´on (10.89), como en el caso de sistemas no–amortiguados. El amortiguamiento viscoso equivalente descrito en la Ecuaci´on (10.112) es conocido como amortiguamiento de Rayleigh [27] y es usado muy a menudo en el an´alisis estructural. Puede demostrarse, por la comparaci´ on hacia un sistema de un solo grado–de–libertad amortiguado que α + βωi2 = 2ωi ζi
(10.119)
donde ζi es la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico del i–´esimo modo de vibraci´on; ´esto es, ζi =
βωi α + 2ωi 2
(10.120)
representa el grado de amortiguamiento para el i–´esimo modo. Esta ecuaci´on proporciona un medio simple para estimar α y β, si son conocidas estimaciones reales del grado de amortiguamiento para dos modos de oscilaci´ on. Las estimaciones reales la mayor´ıa de las veces generalmente son obtenidas experimentalmente. El ejemplo siguiente ilustra los c´alculos pertinentes y el efecto en otros modos. Ejemplo 10.9. Los experimentos en una estructura prototipo indican que la fracci´on efectiva de amortiguamiento cr´ıtico es ζ = 0,03 (3 por ciento) cuando la frecuencia de la oscilaci´on es ω = 5 rad/seg y ζ = 0,1 (10 por ciento) para una frecuencia de ω = 15 rad/seg. Determine los coeficientes de amoriguamiento de Rayleigh para estas condiciones conocidas. > Soluci´ on Aplicando la Ecuaci´ on (10.120) a cada una de las condiciones conocidas obtenemos α 5β + 2(5) 2 α 15β 0,1 = + 2(15) 2
0,03 =
La soluci´ on simult´ anea de este par de ecuaciones algebr´aicas provee los coeficientes de Rayleigh como α = −0,0375
β = 0,0135
Si fu´eramos a aplicar el amortiguamiento equivalente dado por estos valores al espectro completo de frecuencias de una estructura, la fracci´on efectiva de amortiguamiento cr´ıtico para cualquier modo estar´ıa dada por −0,0375 + 0,0135 ωi2 ζi = 2 ωi
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
386
0.25 0.2 0.15
i 0.1 0.05 0
0.05 1
3
5
7
9
11 13
15 i
17
19
21 23 25
27
29
Figura 10.17: Factor de amortiguamiento cr´ıtico en funci´on de la frecuencia para el Ejemplo 10.9.
Si los valores de α y β se aplican a un sistema de m´ ultiples grados–de–libertad, la fracci´on de amortiguamiento cr´ıtico para cada frecuencia es diferente. Para ilustrar la variaci´on, la Figura 10.9 muestra la fracci´ on de amortiguamiento cr´ıtico modal como una funci´on de la frecuencia de oscilaci´on modal. La gr´afica muestra que, por supuesto, las proporciones para frecuencias especificadas son exactas y las fracciones de amortiguamiento var´ıan significativamente para otras frecuencias. > El amortiguamiento de Rayleigh tal como se describi´o, no es la u ´nica formulaci´on para el amortiguamiento estructural usado en el an´ alisis de elemento finito. Los paquetes de software del elemento finito tambi´en incluyen opciones para especificar el amortiguamiento como una propiedad dependiente del material, o como una propiedad mec´ anica propia de la estructura, as´ı como tambi´en permiten definir el amortiguamiento especificando los elementos de amortiguaci´on (los elementos finitos) que pueden agregarse a cualquier posici´ on geom´etrica en la estructura. La u ´ltima capacidad le permite al analista de elemento finito examinar los efectos de disipaci´on de energ´ıa en estos elementos cuando son aplicados a situaciones espec´ıficas.
10.10.
Respuesta din´ amica transitoria
En el Cap´ıtulo 7, se hizo una introducci´on a los m´etodos de diferencias finitas para la integraci´on num´erica directa de modelos de elemento finito para problemas de transmisi´on de calor. En esas aplicaciones, tratamos con una variable de campo escalar, la temperatura, y ecuaciones gobernantes de primer–orden. Por consiguiente, s´ olo necesitamos desarrollar las aproximaciones de diferencias finitas a las primeras derivadas. Para los sistemas din´amicos estructurales, tenemos una serie de ecuaciones diferenciales de segundo–orden: ¨ } + [ C ]{U˙ } + [ K ]{U } = {F (t)} [ M ]{U
(10.121)
representando al modelo de elemento finito ensamblado de una estructura sujeta a funciones impelentes generales (no–arm´ onicas). Aplicando los m´etodos de diferencias finitas a la Ecuaci´on (10.121), asumimos que el estado del sistema es conocido en el instante t y deseamos calcular los desplazamientos en el momento t + ∆t; es decir, deseamos resolver ¨ (t + ∆t)} + [ C ]{U˙ (t + ∆t)} + [ K ]{U (t + ∆t)} = {F (t + ∆t)} [ M ]{U
(10.122)
´ 10.10. RESPUESTA DINAMICA TRANSITORIA
387
para el vector {U (t + ∆t)}. Muchas t´ecnicas de diferencias finitas existen para resolver el sistema de ecuaciones representado por la Ecuaci´ on (10.122). Aqu´ı, nosotros describimos el m´etodo de Newmark [40] tambi´en llamado m´etodo de aceleraci´ on constante. En el m´etodo de Newmark, se supone que la aceleraci´on durante ¨med . Para la condici´on de un paso de tiempo de integraci´ on ∆t es constante y con un valor medio U aceleraci´ on constante, nosotros podemos escribir las relaciones cinem´aticas ¨med U (t + ∆t) = U (t) + U˙ (t)∆t + U
∆t2 2
(10.123a)
¨med ∆t U˙ (t + ∆t) = U˙ (t) + U
(10.123b)
donde la constante de aceleraci´ on media o promedio es ¨ ¨ ¨med = U (t + ∆t) − U (t) U 2
(10.123c)
Combinando las Ecuaciones (10.123a) y (10.123c) obtenemos ¨ (t + ∆t) + U ¨ (t) ] ∆t U (t + ∆t) = U (t) + U˙ (t)∆t + [ U 4
2
la cual es resuelta para la aceleraci´ on al instante t + ∆t para obtener ¨ (t + ∆t) = 4 [ U (t + ∆t) − U (t) ] − 4 U˙ (t) − U ¨ (t) U ∆t2 ∆t
(10.124)
Si tambi´en sustitu´ımos las Ecuaciones (10.123c) y (10.124) en la Ecuaci´on (10.123b), hallaremos que la velocidad al instante t + ∆t viene dada por 2 U˙ (t + ∆t) = [ U (t + ∆t) − U (t) ] − U˙ (t) ∆t
(10.125)
Las Ecuaciones (10.124) y (10.125) expresan la aceleraci´on y la velocidad al instante t + ∆t, en t´erminos de condiciones conocidas en el paso de tiempo previo y el desplazamiento en el instante t + ∆t. Si estas relaciones son sustitu´ıdas en la Ecuaci´on (10.122), obtenemos, luego de efectuar algo de manipulaci´ on algebr´ aica 2 4 [ M ]{U (t + ∆t)} + [ C ]{U (t + ∆t)} + [ K ]{U (t + ∆t)} 2 ∆t ∆t ¨ (t)} + 4 {U˙ (t)} + 4 {U (t)} = {F (t + ∆t)} + [ M ] {U ∆t ∆t2 2 + [ C ] {U˙ (t) + {U (t)} ∆t
(10.126)
Esta ecuaci´ on es la relaci´ on de recurrencia para el m´etodo de Newmark. Aunque la relaci´on puede parecer complicada, debe comprenderse que las matrices de masa, amortiguamiento, y rigidez son conocidas; para que las ecuaciones sean simplemente un sistema algebr´aico en los desplazamientos desconocidos al momento t + ∆t. El lado derecho del sistema es conocido en t´erminos de la soluci´on en un paso de tiempo anterior y las fuerzas aplicadas. La Ecuaci´on (10.126) es a menudo escrita simb´olicamente como ¯ ]{U (t + ∆t)} = {Fef (t + ∆t)} [K (10.127) donde: ¯]= [K
4 2 [M ] + [C ] + [K ] ∆t2 ∆t
(10.127a)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
388
4 ˙ 4 ¨ {Fef (t + ∆t)} = {F (t + ∆t)} + [ M ] {U (t)} + {U (t)} {U (t)} + ∆t ∆t2 2 + [ C ] {U˙ (t) + {U (t)}} ∆t
(10.127b)
El sistema de ecuaciones algebr´ aicas representado por la Ecuaci´on (10.127) puede resolverse a cada paso de tiempo para los desplazamientos desconocidos. Para un paso de tiempo constante ∆t, ¯ ] (a menudo denominada matriz de rigidez din´ la matriz [ K amica) es constante y s´olo se necesita calcularla una vez. El lado derecho {Fef (t + ∆t)} (llamado vector fuerza din´ amica efectiva) debe, por supuesto, ser renovado a cada paso de tiempo. En cada paso o incremento de tiempo de avance en la soluci´on, el sistema de ecuaciones algebr´ aicas debe resolverse para obtener los desplazamientos al final del intervalo. Por esta raz´ on, el procedimiento es conocido como un m´etodo impl´ıcito. Por substituci´on regresiva a trav´es de las relaciones apropiadas, tambi´en pueden obtenerse valores para las velocidades y aceleraciones al final del intervalo de tiempo, lo cual permite avanzar al siguiente paso de tiempo. Se conoce que el m´etodo de Newmark es incondicionalmente estable [9]. Aunque los detalles del m´etodo est´an fuera del alcance de este texto, la no–estabilidad (o m´as propiamente la inestabilidad) de las t´ecnicas de diferencias finitas significa que, bajo ciertas condiciones, los desplazamientos calculados pueden crecer sin l´ımite a medida que el procedimiento de la soluci´on “avance” en el tiempo. Se conocen varios m´etodos de diferencias finitas que son condicionalmente estables, significando esto que los resultados exactos s´ olo se obtienen si el paso de tiempo ∆t es menor que un determinado valor ´ cr´ıtico prescrito. Este no es el caso con el m´etodo de Newmark. Esto no significa, sin embargo, que los resultados son independientes del paso de tiempo seleccionado. La exactitud de cualquier t´ecnica de diferencias finitas mejora a medida que el paso de tiempo es reducido en su magnitud, y este fen´omeno es una preocupaci´ on de la convergencia, similar al refinamiento de la malla en un modelo de elemento finito. Para la evaluaci´ on de la respuesta din´ amica de un modelo de elemento finito, nosotros debemos preocuparnos no s´ olo con la convergencia relacionada a la malla misma de elemento finito, sino tambi´en con la convergencia del intervalo de tiempo del m´etodo de diferencias finitas seleccionado. Como ser´a discutido en la siguiente secci´ on, el software de elemento finito para la respuesta transitoria din´amica requiere que el especifique “los intervalos de carga”, los cuales representan el cambio de la solicitaci´ on aplicada como una funci´ on del tiempo. El software entonces resuelve las ecuaciones de elemento finito como si el problema fuese uno de equilibrio est´atico en la condici´on de carga especificada. Es muy importante notar que las ecuaciones del sistema representadas por la Ecuaci´on (10.127) est´an basadas en el modelo de elemento finito, aunque el procedimiento de soluci´on es la t´ecnica de diferencias finitas para problemas variables en el tiempo.
10.11.
An´ alisis din´ amico estructural
En esta secci´ on presentamos una breve introducci´on al an´alisis din´amico estructural a trav´es de uno de los tipos de estructura m´ as simple de describirse: la cercha plana, compuesta de elementos barra interconectados en sus extremos mediante uniones articuladas y en conjunto contenidos en un u ´nico plano espacial, el cual tambi´en ser´ a considerado el plano de carga, o sea aquel que contiene a todas las fuerzas nodales aplicadas a esta estructura. La matriz de masa consistente de elemento–barra definida en la Ecuaci´on (10.51) s´olo es v´alida para vibraci´on axial. Cuando estos elementos se usan para modelar estructuras cercha bi y tri–dimensionales, se requieren consideraciones adicionales, y modificar la matriz de masa de acuerdo con ello. Cuando una cercha sufre deformaci´ on, sea est´ atica o din´amicamente, los elementos individuales experimentan desplazamiento axial y transversal simult´aneamente siendo ´estos el resultado del desplazamiento estructural global y las interconexiones del elemento a los nodos. En el Cap´ıtulo 3, se ignor´o el desplazamiento transversal de los elementos en el desarrollo de la matriz de rigidez ya que all´ı asumimos
´ ´ 10.11. ANALISIS DINAMICO ESTRUCTURAL
389
rigidez transversal nula debido a la hip´otesis de conexiones articuladas, que permiten la rotaci´on libre. Sin embargo, en el el caso din´ amico, el movimiento transversal introduce cierto monto de energ´ıa cin´etica adicional que debe tenerse en cuenta. 2 u2
(x, t)
2
1 u(x, t)
u1 1
dx (a) Desplazamientos nodales
(b) Elemento diferencial
Figura 10.18: Elemento barra en movimiento bi–dimensional. En la Figura 10.18(a) mostramos un elemento barra en situaci´on din´amica de deformaci´on, donde tambi´en se indican los desplazamientos nodales que se presentan en sus puntos extremos. Consideremos ahora el volumen diferencial de este elemento barra que como dijimos sufre ambos desplazamientos: axial y transversal, como es mostrado en la Figura 10.18(b). Aqu´ı, asumimos una situaci´on din´amica tal que ambas componentes del desplazamiento var´ıan con la posici´on y el tiempo. La energ´ıa cin´etica de la masa elemental contenida en el volumen diferencial considerado es entonces " 2 # 2 1 ∂u ∂υ 1 dT = ρ A dx (10.128) + = ρ A dx ( u˙ 2 + υ˙ 2 ) 2 ∂t ∂t 2 y la energ´ıa cin´etica total de la barra es obtenida mediante proceso de integraci´on sobre toda la longitud del elemento ZL ZL 1 1 2 T = ρ A u˙ dx + ρ A υ˙ 2 dx (10.129) 2 2 0
0
Observando que el desplazamiento transversal puede expresarse en t´erminos de los desplazamientos transversales de los nodos del elemento, usando las mismas funciones de interpolaci´on para el desplazamiento axial, tenemos u(x, t) = N1 (x) u1 (t) + N2 (x) u2 (t) υ(x, t) = N1 (x) υ1 (t) + N2 (x) υ2 (t) Empleando notaci´ on matricial, las velocidades se escriben u˙ 1 u(x, ˙ t) = N1 N2 = [ N ]{u} ˙ u˙ 2 υ˙ 1 υ(x, ˙ t) = N1 N2 = [ N ]{υ} ˙ υ˙ 2
(10.130)
(10.131)
y la energ´ıa cin´etica de elemento se convierte en ZL ZL 1 1 T ˙ [ N ] [ N ]dx{u} ˙ + ρ A {υ} ˙ [ N ]T [ N ]dx{υ} ˙ T = ρ A {u} 2 2 0
0
(10.132)
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
390
Si definimos el vector de velocidades nodales de elemento mediante el arreglo u˙ 1 ˙ = υ˙ 1 {δ} u˙ 2 υ˙ 2
(10.133)
la expresi´on de la energ´ıa cin´etica de elemento puede ser re–escrita en la forma 2 0 N1 N2 0 ZL N1 0 1 ˙ T 1 ˙ T (e) ˙ N1 N2 0 N1 N2 ˙ dx{δ} [ m ]{δ} = {δ} ρA T = {δ} 2 N1 N2 0 N2 0 2 2 0 0 N1 N2 0 N22 A partir de la Ecuaci´ on (10.134), la matriz de masa de elemento–barra dimensional es identificada como 2 0 N 0 N 2 0 1 N2 1 L Z ρ A L 0 N N 0 N N 1 2 1 2 0 2 dx = [ m(e) ] = ρ A N1 N2 0 N22 0 6 1 0 0 0 N1 N2 0 N22 0 1
(10.134)
en movimiento plano bi– 1 0 2 0
0 1 0 2
(10.135)
La matriz de masa definida por la Ecuaci´on (10.135) se describe en el sistema coordenado de elemento (sistema local), ya que las direcciones axial y transversal se definen en t´erminos del eje axial del elemento. C´ omo, entonces, esta matriz de masa es transformada al sistema de coordenadas global de una estructura ?. Recuerde que, en el Cap´ıtulo 3, los desplazamientos axiales del elemento se expresan en t´erminos de los desplazamientos globales mediante una transformaci´on de rotaci´on del eje axial x del elemento. Reiteramos, que los desplazamientos transversales no fueron considerados en dicha oportunidad, porque ninguna rigidez fu´e asociada con el movimiento transversal. Ahora, sin embargo, los desplazamientos transversales deben ser incluidos en la transformaci´on hacia las coordenadas globales debido a la energ´ıa cin´etica asociada con la masa que estamos considerando. U4
2
u2 2
U3
Figura 10.19: Desplazamientos nodales La Figura 10.19 muestra un solo nodo de un elemento–barra orientado en un ´angulo θ relativo al eje de X de un sistema coordenado global. Los desplazamientos nodales en el marco referencial del elemento son u2 , υ2 y los correspondientes desplazamientos globales son U3 y U4 , respectivamente. Como el desplazamiento en ambos sistemas coordenados debe ser el mismo, tendremos u2 = U3 cos θ + U4 sin θ υ2 = −U3 sin θ + U4 cos θ o, escritas estas relaciones en forma matricial u2 cos θ = υ2 − sin θ
sin θ cos θ
U3 U4
´ ´ 10.11. ANALISIS DINAMICO ESTRUCTURAL
391
Como similares relaciones se cumplen tambi´en en el otro nodo del elemento, la transformaci´on completa de los desplazamientos nodales es u1 cos θ υ1 − sin θ = u 0 2 υ2 0
sin θ cos θ 0 0
0 0 cos θ − sin θ
0 U1 0 U2 sin θ U3 cos θ U4
(10.136)
que sint´eticamente podr´ıamos escribir como: {δ} = [ R ]{U }. Si derivamos temporalmente estas relaciones, podemos ver que las velocidades nodales se transforman mediante la misma matriz de rotaci´on aqu´ı determinada; si sustitu´ımos en la expresi´on de la energ´ıa cin´etica, se demuestra que la matriz de masa de elemento en el sistema coordenado global es [ M (e) ] = [ R ]T [ m(e) ][ R ]
(10.137)
Cuando se realizan las multiplicaciones indicadas en esta ecuaci´on, para un ´angulo arbitrario de orientaci´on espacial, se encuentra que la matriz de masa global resultante para un elemento–barra resulta ser 2 0 1 0 ρAL 0 2 0 1 (10.138) [ M (e) ] = 1 0 2 0 6 0 1 0 2 y el resultado es exactamente igual que la matriz de masa en el sistema coordenado de elemento, sin tener en cuenta la orientaci´ on del mismo en el sistema global. Este fen´omeno no deber´ıa ser ninguna sorpresa, ya que la masa es una propiedad escalar absoluta y por consiguiente independiente del sistema coordenado. Un desarrollo similar lleva a la misma conclusi´on cuando un elemento–barra se usa para modelar estructuras tri–dimensionales del tipo cercha. La complicaci´ on descrita para incluir los efectos de la inercia transversal adicional del elemento– barra tambi´en es aplicable al elemento viga uni–dimensional (en flexi´on). La matriz de masa para el elemento viga dada por la Ecuaci´on (10.63) s´olo es aplicable en un modelo uni-dimensional. Si el elemento de flexi´ on se usa en modelar estructuras del tipo marco bi o tri–dimensionales, debe usarse la consideraci´ on adicional en la formulaci´on de la matriz de masa de elemento que se debe a los efectos de inercia axiales. Para los elementos marco, los paquetes de software de elemento finito incluyen los efectos axiales (es decir, el elemento marco es una combinaci´on del elemento barra y el elemento viga) y todos los efectos de inercia apropiados son incluidos en la formulaci´on de la matriz de masa consistente. Ejemplo 10.10. Como un ejemplo completo de an´ alisis modal, retornamos a la consideraci´on de la estructura cercha plana de la Secci´ on 3.7, repetida aqu´ı como la Figura 10.20. Notemos que, para el presente ejemplo, las cargas est´ aticas aplicadas en el ejemplo previo han sido removidas. Como aqu´ı estamos interesados en la respuesta en vibraci´ on libre de la estructura, las cargas est´aticas no tienen ninguna consecuencia en el an´alisis din´ amico. Con la especificaci´on adicional que la densidad del material de todas las barras es ρ = 2,6(10)−4 lb-seg2 /pulg4 , resolvemos el problema de auto–valores para determinar las frecuencias naturales circulares y los vectores de amplitud modal asociados, para la vibraci´on–libre de la estructura. > Soluci´ on Como la matriz de rigidez y´ a fu´e ensamblada, el procedimiento no se repite aqu´ı. Debemos, sin embargo, ensamblar la matriz de masa usando la codificaci´on num´erica que es mostrada en la Figura 10.20(b). Las matrices de masa en el sistema local y el sistema global coordenado para el elemento barra en
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
392
40 pulg
U4
40 pulg
U8
3
2
U11 6
4
2
Y
U12
6
U7
U3 40 pulg
7
4
U2
8
U6 1
U1
1
(a) Geometr´ıa y dimensiones
U10
5 3
U5
5
U9
X
(b) Etiquetado estructural
Figura 10.20: Cercha bi–dimensional en voladizo del Ejemplo 10.10
vibraci´on bi–dimensional son id´enticas, y est´an dadas por la Ecuaci´on (10.138) como U1
U2
U3
2 ρAL (e) 0 [M ] = 6 1 0
0 2 0 1
1 0 2 0
U4
0 U1 1 U2 0 U3 2 U4
donde el etiquetado de filas y columnas con los grados de libertad nodales globales de elemento nos servir´a para ensamblar los coeficientes en la matriz de masa estructural. Como los elementos 1, 3, 4, 5, 7 y 8, tienen la misma longitud, ´area, y densidad; tendremos
M (1) = [ M (3) ] = [ M (4) ] = [ M (5) ] = [ M (7) ] = [ M (8) ] 5,2 0 2 0 1 0 0 5,2 (2,6)(10)−4 (1,5)(40) 0 2 0 1 = 1 0 2 0 = 2,6 0 6 0 2,6 0 1 0 2
2,6 0 5,2 0
0 2,6 (10)−3 lb-seg2 /pulg 0 5,2
mientras que para los elementos 2 y 6, 2 0 1 0 √ (2) 2,6(10)−4 (1,5)(40 2) 0 2 0 1 M = [ M (6) ] = 1 0 2 0 6 0 1 0 2 7,36 0 3,68 0 07,36 0 3,68 (10)−3 lb-seg2 /pulg = 3,68 0 7,36 0 0 3,68 0 7,36
Etiquetando filas y columnas de estas matrices con los grados de libertad nodales globales pertinentes, mostrados en la Figura 10.20(b), y procediendo con el ensamblaje se demuestra que la matriz de masa global estructural resulta
´ ´ 10.11. ANALISIS DINAMICO ESTRUCTURAL 12,56 0 0 0 2,6 0 [M ] = 3,68 0 0 0 0 0
0 0 0 2,6 0 12,56 0 0 0 2,6 0 5,2 0 0 0 0 0 5,2 0 0 0 0 0 7,8 0 2,6 0 0 0 7,8 0 2,6 0 2,6 0 3,68 0 2,6 0 2,6 0 0 0 2,6 0 0 0 0 0 2,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3,68 0 2,6 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6 0
393 0 3,68 0 2,6 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6
0 0 0 0 2,6 0 3,68 0 17,76 0 2,6 0
0 0 0 0 0 2,6 0 3,68 0 17,76 0 2,6
0 0 0 0 0 0 2,6 0 2,6 0 10,4 0
0 0 0 0 0 0 (10)−3 0 2,6 0 2,6 0 10,4
Aplicando las condiciones de restricci´on de desplazamiento: U1 = U2 = U3 = U4 = 0, la matriz de masa para los grados de libertad activos llega a ser 7,8 0 2,6 0 2,6 0 0 0 0 7,8 0 2,6 0 2,6 0 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6 0 0 2,6 0 22,52 0 3,68 0 2,6 (10)−3 lb-seg2 /pulg [ Ma ] = 3,68 0 17,76 0 2,6 0 2,6 0 0 2,6 0 3,68 0 17,76 0 2,6 0 0 2,6 0 2,6 0 10,4 0 0 0 0 2,6 0 2,6 0 10,4 Extrayendo los datos desde la Secci´on 3.7, espec´ıficamente desde el Ejemplo 3.3, la matriz de rigidez para los grados de libertad activos es 7,5 0 0 0 −3,75 0 0 0 0 3,75 0 −3,75 0 0 0 0 0 0 10,15 0 −1,325 1,325 −3,75 0 0 −3,75 0 6,4 1,325 −1,325 0 0 (10)5 lb/pulg [ Ka ] = 0 −1,325 1,325 5,075 −1,325 0 0 −3,75 0 0 1,325 −1,325 −1,325 5,075 0 −3,75 0 0 −3,75 0 0 0 3,75 0 0 0 0 0 0 −3,75 0 3,75 El modelo de elemento finito para la cercha plana exhibe 8 grados de libertad; de aqu´ı, la ecuaci´on caracter´ıstica se obtiene por desarrollo del determinante [ K a ] − ω 2 [ Ma ] = 0 lo cual d´ a, te´ oricamente, ocho frecuencias naturales de oscilaci´on y ocho formas modales correspondientes (los vectores de amplitud modal). Para este ejemplo, los modos naturales se calcularon usando la edici´on acad´emica del programa ANSYS [6], con los resultados mostrados en la Tabla 10.1. Los vectores de amplitud modal correspondientes (normalizados respecto a la matriz de masa, como fu´e discutido relativo al proceso de ortogonalizaci´on) se muestran en la Tabla 10.2. Se observa que las frecuencias son bastante grandes en magnitud. La frecuencia fundamental, aproximadamente 122 ciclos/seg, est´a m´as all´a de la interfaz general de percepci´on del ojo humano (30 ciclos/seg ´ o Hz es el l´ımite inferior aceptado, basado en los gr´aficos de investigaci´on por simulaci´on mediante computadora [25]). Las frecuencias altas no son raras en estructuras del tipo cercha plana. Los datos usados en este ejemplo corresponden aproximadamente a las propiedades materiales del aluminio; p un material ligero con buena rigidez relativa a su peso propio. Recordando la relaci´on b´asica ω = k/m (f = ω/2π), es razonable esperar frecuencias naturales de elevada magnitud.
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
394
Tabla 10.1: Modos naturales de vibraci´on Modo i
ωi [rad/seg]
fi [ciclos/seg]
1 2 3 4 5 6 7 8
767,1 2082,3 2958,7 4504,8 6790,9 7975,9 8664,5 8977,4
122,1 331,4 470,9 716,9 1080,8 1269,4 1379,0 1428,8
Tabla 10.2: Vectores de amplitud modal normalizados Modo i Desplazamiento
1
2
3
4
5
6
7
8
U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12
0, 2605 2, 207 −0, 7754 2, 128 0, 5156 4, 118 −0, 7894 4, 213
2, 194 −3, 282 0, 7169 −2, 686 3, 855 2, 556 0, 9712 2, 901
1, 213 3, 125 2, 888 1, 957 1, 706 −1, 459 4, 183 −1, 888
−3, 594 −2, 1412 2, 370 −0, 4322 −3, 934 1, 133 4, 917 2, 818
−1, 445 5, 826 −0, 142 −4, 274 −0, 055 0, 908 0, 737 0, 604
−1, 802 −0, 934 −3, 830 0, 569 1, 981 1, 629 6, 077 −3, ,400
4, 772 1, 058 −2, 174 −0, 341 −2, 781 −3, 319 4, 392 4, 828
−4, 368 0, 727 −0, 464 0, 483 3, 956 −4, 407 −1, 205 5, 344
Las formas modales proporcionan una indicaci´on de la naturaleza geom´etrica de los modos naturales en los cuales la estructura oscila de forma superpuesta entre todos los modos presentes. Como tales, los n´ umeros en la Tabla 10.2 no son en nada indicativos de los valores de amplitud; en cambio, ´estos son valores relativos del movimiento de cada nodo. Es m´as provechoso examinar gr´aficas de las formas modales; es decir, bosquejos de la estructura que muestren de hecho la forma en la cual la estructura oscila en uno cualquiera de sus modos naturales mediante la representaci´on de las amplitudes relativas de los desplazamientos nodales en el modo de vibraci´on que es de inter´es. Con este fin, presentamos la forma correspondiente al modo fundamental de vibraci´on (primer modo) en la Figura 10.21(a). Notemos que en este modo fundamental, la cercha vibra como una viga en voladizo en referencia a los nodos restringidos. Por otro lado, la Figura 10.21(b) ilustra la forma modal para el modo secundario de oscilaci´on. En el segundo modo, la estructura exhibe un movimiento de tipo antisim´etrico en el cual las “mitades” de la estructura se mueven en direcciones opuestas entre si. El examen de los otros modos de vibraci´ on revela diferencias adicionales en las formas modales. Notando que la Tabla 10.2 es, de hecho, la matriz modal; resulta relativamente simple verificar el cumplimiento de las relaciones de ortogonalidad de las formas modales realizando multiplicaciones matriciales para las relaciones: [ A ]T [ Ma ][ A ] = [ I ] [ A ]T [ Ka ][ A ] = [ ω 2 ] Con razonable exactitud num´erica, las relaciones indicadas anteriormente se cumplen para este ejemplo. Dejamos los detalles de verificaci´ on como ejercicio para el lector. >
´ 10.12. CONSIDERACIONES PRACTICAS
(a) Modo fundamental o primero
395
(b) Segundo modo de vibraci´ on
Figura 10.21: Formas modales para la cercha del Ejemplo 10.10.
10.12.
Consideraciones pr´ acticas
El problema mayor inherente al an´alisis estructural din´amico es el consumo de tiempo y la cantidad costosa de c´ omputo requerido. En una t´ecnica de diferencias finitas, como aquella representada por la Ecuaci´ on (10.127), el sistema de ecuaciones debe resolverse a cada paso de tiempo secuencial sobre el intervalo de tiempo total de inter´es. Para la convergencia, el paso de tiempo generalmente es bastante peque˜ no, de modo que la cantidad de c´omputo requerida es grande. En el an´alisis modal, la dificultad est´a presente en el c´ alculo de frecuencias naturales y los vectores de amplitud modal asociados. Como los modelos pr´ acticos de elemento finito pueden contener muchos miles de grados de libertad, el tiempo gastado en calcular todas las frecuencias y formas modales es prohibitivo. Afortunadamente, para obtener aproximaciones razonables de respuesta din´amica, raramente es necesario resolver el problema completo de auto–valores. Dos argumentos pr´acticos est´an debajo de la declaraci´on precedente. Primero, las frecuencias estimadas de menor valor en magnitud y las formas modales correspondientes son las m´as importantes en la descripci´ on de la conducta estructural. Esto es porque las frecuencias estimadas superiores representan m´ as a menudo la vibraci´on de elementos individuales y no contribuyen significativamente en conjunto a la respuesta estructural. Segundo, cuando las estructuras se sujetan a funciones impelentes dependientes del tiempo, el rango de las frecuencias forzadas es razonablemente predecible. Por consiguiente, s´ olo las frecuencias naturales del sistema alrededor de ese rango son de preocupaci´ on al examinar las posibilidades de resonancia que pudieran presentarse. Basado en estos argumentos, se han desarrollado muchas t´ecnicas que permiten el c´alculo (aproximadamente) de un subconjunto de frecuencias naturales y formas modales de un sistema estructural modelado por elementos finitos. Aunque una discusi´on completa de los detalles est´a m´as all´a del alcance de este texto, la siguiente discusi´on explica las premisas b´asicas (v´ease K. J. Bathe [27] para una descripci´ on muy buena y rigurosa de las varias t´ecnicas existentes). Usando nuestra notaci´on, el problema de auto–valores que debe ser resuelto para obtener las frecuencias naturales y las formas modales es escrito como [ K ]{A} = ω 2 [ M ]{A} (10.139) El problema representado por la Ecuaci´on (10.139) es reducido en su complejidad por un procedimiento de condensaci´ on est´ atica (o, m´as a menudo, por reducci´ on de Guyan [31]) usando la hip´otesis que toda la masa estructural puede concentrarse en algunos grados de libertad espec´ıficos, sin afectar significativamente a las frecuencias y las formas modales de inter´es. Usando el sub´ındice ‘a’ (activo) para representar los grados de libertad de inter´es, y el sub´ındice ‘p’ (pasivo) para denotar todos los otros grados de libertad; la Ecuaci´ on (10.139) puede ser particionada en la forma siguiente [ Kaa ] [ Kap ] {Aa } [ M ] [ 0 ] {A } a aa = ω2 (10.140) [ Kpa ] [ Kpp ] {Ap } [ 0 ] [ 0 ] {Ap }
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
396
En la Ecuaci´ on (10.140), [ Maa ] es una matriz diagonal, ya que la masa se ha concentrado en los grados de libertad de inter´es. Los grados de libertad pasivos son s´olo as´ı considerados en el sentido que nosotros asignamos masa de valor nulo a esos desplazamientos. La ecuaci´on que proviene de la parte inferior de la partici´ on de la Ecuaci´ on (10.140) es [ Kpa ] {Aa } + [ Kpp ] {Ap } = {0}
(10.141)
y esta ecuaci´on puede resolverse como {Ap } = −[ Kpp ]−1 [ Kpa ]{Aa }
(10.142)
para eliminar a los grados de libertad pasivos reunidos en {Ap }. Substituyendo la ecuaci´on anterior en la ecuaci´on resultante del desarrollo de la parte superior de la partici´on indicada en la Ecuaci´on (10.140), obtenemos ( [ Kaa ] − [ Kap ][ Kpp ]−1 [ Kpa ] ){Aa } = ω 2 [ Maa ]{Aa }
(10.143)
como el problema reducido de auto–valores. Notemos que todos los coeficientes de la matriz de rigidez original se retienen, pero no aqu´ellos coeficientes de la matriz de masa. Otra manera de decir esto es que la matriz de rigidez es exacta, pero la matriz de masa es aproximada. La parte dif´ıcil de este procedimiento de reducci´on radica en la selecci´on de los grados de libertad a ser retenidos y asociados con los coeficientes de masa concentrada. Afortunadamente, los sistemas de software de elemento finito tienen tal selecci´on construida en el programa computacional interno mismo. El generalmente s´ olo tiene la necesidad de especificar el n´ umero de grados de libertad a ser retenido, y el software selecciona esos grados de libertad basado en las proporciones m´as peque˜ nas de los coeficientes que se ubican en la diagonal principal de las matrices de rigidez y masa. Otros algoritmos son utilizados si el est´ a interesado en obtener los modos din´amicos dentro de una frecuencia espec´ıfica. En cualquier caso, los grados de libertad que se retienen para el an´alisis son llamados a menudo grados de libertad din´ amicos o grados de libertad maestros. Esta discusi´ on tiene significado como informaci´on general y no se representa un m´etodo directo y r´apido para reducir y resolver problemas de auto–valores. De hecho, la referencia a la Ecuaci´on (10.142) muestra que el procedimiento requiere hallar la inversa de una matriz grande para lograr la reducci´on. No obstante ello, se han desarrollado variadas t´ecnicas alrededor de la idea general de la reducci´on ´ matricial. Estas incluyen: iteraci´ on de subespacio [28] y el m´etodo de Lanczos [7]. El de un particular sistema de software de an´ alisis de elemento finito debe familiarizarse con las varias opciones presentadas por el an´ alisis din´ amico, como tambi´en con los m´ ultiples esquemas computacionales que est´an disponibles, dependiendo del tama˜ no del modelo y las necesidades del .
10.13.
Resumen
En ´este Cap´ıtulo se introduce la aplicaci´on del m´etodo de elemento finito a la din´amica estructural en el contexto general de sistemas lineales. Las ideas b´asicas de frecuencia natural y formas modales son introducidas usando sistemas discretos masa–resorte y sistemas cont´ınuos mediante los elementos estructurales generales. Se d´ a ´enfasis al uso de los modos naturales de vibraci´on para resolver problemas m´as generales de vibraci´ on forzada. Adem´ as, se desarrolla el m´etodo de Newmark de diferencias finitas para resolver la respuesta transitoria de sistemas vibratorios debida a funciones generales de solicitaci´on variable en el tiempo. El cap´ıtulo s´ olo tiene pretenci´on de ser una simple introducci´on general a la din´amica estructural. De hecho, muchos textos especializados de an´alisis din´amico mediante elementos finitos est´an en su redacci´ on completamente consagrados al tema aqu´ı presentado de manera muy concisa.
Problemas propuestos
397
Problemas propuestos 10.1. Verifique por sustituci´ on directa que la Ecuaci´on (10.4) es la soluci´on general de la Ecuaci´ on (10.3). 10.2. Un oscilador arm´ onico simple tiene m = 3 kg, k = 5 N/mm. La masa recibe un impacto tal que la velocidad inicial es 5 mm/seg y el desplazamiento inicial es cero. Calcule la vibraci´on libre resultante para un instante gen´erico posterior. 10.3. La deflexi´ on de equilibrio est´atico de un sistema masa–resorte como el de la Figura 10.1 se mide y resulta ser 1.4 cm. Calcule la frecuencia natural circular, la frecuencia c´ıclica, y el per´ıodo de las vibraciones libres. 10.4. Mostrar que la amplitud de la respuesta forzada, dada por la Ecuaci´on (10.25), se puede expresar como X0 U= r 6= 1 1 − r2 donde X0 = F0 /k es la deflexi´ on est´ atica equivalente y r = ω/ωf es la relaci´ on de frecuencias. 10.5. Determine la soluci´ on a la Ecuaci´on (10.24) para el caso ωf = ω. Note que, para esta condici´on, la Ecuaci´ on (10.26) no es la soluci´on correcta. 10.6. Combine las Ecuaciones (10.4) y (10.26) para obtener la respuesta completa o total de oscilador arm´ onico simple, incluyendo ambos t´erminos: libre y forzado. Mostrar que para condiciones iniciales dadas como: x(t = 0) = x0 y x(t ˙ = 0) = υ0 , la respuesta total del sistema es x(t) =
υ0 X0 sin ωt + x0 cos ωt + ( sin ωf t − r sin ωt ) ω 1 − r2
con X0 y r como fueron definidos en el Problema 10.4. 10.7. Use el resultado del Problema 10.6 con x0 = υ0 = 0, r = 0,95, X0 = 2, ωf = 10 rad/seg y trazar la respuesta completa x(t) para algunos ciclos de movimiento. 10.8. Para el problema planteado en el Ejemplo 10.2, qu´e condiciones iniciales se requerir´ıan para que el sistema se mueva: (a) en el modo fundamental solamente ´o (b) s´olo en el segundo modo de vibraci´ on?. 10.9. Usando los datos y la soluci´ on del Ejemplo 10.2, normalice la matriz modal por el procedimiento desarrollado en la Secci´ on 10.7 y verificar que las ecuaciones diferenciales son desacopladas por el procedimiento, al ser ´este aplicado. 10.10. Usando la soluci´ on de dos–elementos dada en el Ejemplo 10.4, determine los vectores de amplitud modales. Normalice estos vectores hallados y muestre que el producto matricial [ A ]T [ M ][ A ] es la matriz identidad o unitaria. 10.11. El sistema de 2 grados–de–libertad mostrado en la Figura 10.5 est´a sujeto a una fuerza externa F2 = 10 sin 8t lb aplicada en el nodo 2 y a otra fuerza externa F3 = 6 sin 4t lb aplicada al nodo 3. Use la matriz modal normalizada para desacoplar las ecuaciones diferenciales y resolver el sistema desacoplado para hallar la respuesta forzada de los desplazamientos nodales. Use los datos num´ericos del Ejemplo 10.2. 10.12. Resuelva el problema del Ejemplo 10.4 usando dos elementos barra de igual longitud, exceptuando que las matrices de masa son concentradas; es decir, tome las matrices de masa de elemento
´ CAP´ITULO 10. DINAMICA ESTRUCTURAL
398
como el arreglo siguiente (1)
[m
(2)
] = [m
ρAL 1 ]= 0 4
0 1
C´omo las frecuencias naturales calculadas ahora se comparan con aquellas obtenidas utilizando matrices de masa consistentes en el modelo ?. 10.13. Obtenga una soluci´ on refinada para el Ejemplo 10.4 usando tres elementos de igual longitud y matrices de masa de par´ ametros concentrados. C´omo se comparan las frecuencias de oscilaci´on con la soluci´ on de dos–elementos ?. 10.14. Considerado los grados de libertad rotacionales involucrados en un elemento viga, c´omo se definir´ıa una matriz de masa concentrada para un elemento viga con ´estas caracter´ısticas?. 10.15. Verificar por integraci´ on directa la exactitud de los coeficientes de la matriz de masa consistente para el elemento viga, presentada por la Ecuaci´on (10.63). 10.16. Verificar usando integraci´ on num´erica Gaussiana, el resultado de la matriz de masa del Ejemplo 10.6. 10.17. Mostrar que, dentro de la exactitud del c´alculo num´erico efectuado, la suma de todos los coeficientes en la matriz de masa de elemento rectangular en el Ejemplo 10.6 es dos veces la masa total del elemento. Por qu´e ?. 10.18. Cuales son los valores de los coeficientes de una matriz de masa de par´ametros concentrados para el elemento del Ejemplo 10.6 ?. 10.19. Asumir que las ecuaciones de respuesta din´amica para un elemento finito han sido desacopladas y se dan por la Ecuaci´ on (10.94), pero las fuerzas externas no son senoidales. C´omo resolver´ıa usted las ecuaciones diferenciales para una funci´on o funciones de solicitaci´on general ?. 10.20. Proporcionados los datos de la soluci´on del Ejemplo 10.7, asumir que el sistema se cambia para incluir amortiguamiento, de modo que la matriz del sistema que representa este efecto (despu´es de imponer la condici´ on u1 = 0) est´ a dada por 2c −c 0 [ C ] = −c 2c −c 0 −c c Mostrar que el producto matricial: [ A ]T [ C ][ A ] no produce una matriz diagonal. 10.21. Realizar las multiplicaciones de matrices indicada en la Ecuaci´on (10.137) para verificar el resultado mostrado por la Ecuaci´ on (10.138). 10.22. Para la cercha analizada en el Ejemplo 10.10, reformular la matriz de masa del sistema usando matrices de masa de elemento que sean de par´ametros concentrados. Resu´elva nuevamente el problema para hallar las frecuencias y formas modales asociadas usando el software de elemento finito disponible para usted; si el paquete tiene disponible la matriz de masa concentrada como una opci´ on (la mayor´ıa del software de elemento finito incluye esta opci´on). 10.23. Si usted formalmente aplica un procedimiento de reducci´on como fu´e mostrado en la Secci´on 10.12, qu´e grados de libertad ser´ıan importantes retener si, digamos, nosotros deseamos calcular s´ olamente cuatro de las ocho frecuencias naturales circulares ?. 10.24. La viga simplemente apoyada mostrada en la Figura P10.24, tiene longitud y m´odulo de rigidez a la flexi´ on EI de magnitud conocidas. Esta estructura es solicitada din´amicamente mediante
Problemas propuestos
399
una carga linealmente distribu´ıda de intensidad constante, la cual var´ıa en el tiempo seg´ un forma senoidal, donde la amplitud q0 y la frecuencia ωf son par´ametros de magnitudes constantes especificadas. Determinar la respuesta temporal de la viga en estado de vibraci´on inducida por la carga din´ amica aplicada. Le sugerimos que utilice un modelo de dos elementos finitos de longitud id´entica. y
q0 sin ft
x
EI
L
Figura P10.24 10.25. Aplique el procedimiento de reducci´on desarrollado en la Secci´on 10.12, desechando las rotaciones en los extremos de la viga del Problema anterior, y calcule nuevamente las frecuencias naturales circulares asociadas al sistema en su movimiento de vibraci´on libre. Que conclusiones puede usted obtener de la comparaci´on de los resultados obtenidos, con aquellos que fueron calculados en el problema anterior ?.
A
Apéndice ´ Temas de ´ adelgebra lineal Temas Algebra Lineal
El ´algebra matricial representa operaciones matem´aticas realizadas sobre un grupo de cantidades num´ericas o algebr´ aicas en un modo que un solo s´ımbolo es suficiente para denotar al grupo completo, el cual posee los elementos que lo componen ordenados en filas y columnas. Estos grupos son representados por matrices, las cuales pueden ser concebidas como un tipo condensado de notaci´on para dicho ordenamiento. Cuando el ´ algebra matricial es usado en el m´etodo de elemento finito, las propiedades organizativas de las matrices permiten una compilaci´on sistem´atica de los datos requeridos, y el an´alisis en s´ı mismo puede entonces ser definido como una secuencia de operaciones matriciales; las cuales pueden ser programadas dir´ectamente en un computador digital. As´ı, el uso pr´ actico de los m´etodos computacionales de c´alculo num´erico aplicados al an´alisis de comportamiento fenomenol´ ogico de un sistema el cual se discretiza en sub–unidades muy peque˜ nas (elementos finitos) est´ a basado en el ´algebra matricial; a causa de que es solamente en una forma matricial que los procesos de formulaci´ on y soluci´on pueden ser expresados de manera concisa y comp´acta (adem´as de elegante!). En este ap´endice presentamos solo algunos temas particulares del ´algebra lineal que ser´an necesarios para comprender los procedimientos de an´alisis discutidos en Cap´ıtulos anteriores, o para expandir algunos t´ opicos que requieren de cierta explicaci´on adicional de algunos aspectos matem´aticos que en el desarrollo terico previamente efectuado no fueron tratados con profundidad. Desde un punto de vista estr´ıctamente pr´ actico, el algebra matricial es esencialmente una herramienta efectiva con la cual se puede manipular grandes series de datos num´ericos. Asumo que el lector posee conocimiento previo de ´algebra lineal y teor´ıa matricial, por lo que ´este Ap´endice tiene como objetivo simplemente recordar aquellos conceptos m´as u ´tiles en la elaboraci´on de la teor´ıa matem´ atica asociada con la formulaci´on eminentemente matricial del m´etodo de elemento finito. La mayor virtud que posee una formulaci´on te´orica que es elaborada simb´olicamente haciendo uso del ´ algebra matricial es que las ecuaciones condensadas mediante este procedimiento son extremadamente concisas. A esta enorme ventaja debemos a˜ nadir otra no menos importante, y es que por el hecho de trabajar mediante arreglos de cantidades num´ericas escrupulosamente ordenados, las 401
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
402
operaciones entre estas entidades tambi´en tienen la virtud de ser asimismo extremadamente concisas cuando son convertidas en algoritmos matem´aticos que pueden ser escritos en alg´ un lenguaje apropiado de computador para generar un programa autom´atico de ejecuci´on, apelando a la notaci´on indicial que impl´ıcitamente est´ a contenida en la definici´on de las matrices.
A.1.
Def iniciones
La descripci´ on matem´ atica de muchos problemas f´ısicos se simplifica a menudo por el uso de arreglos rectangulares de cantidades escalares de la forma: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n (A.1) [A] = . .. .. .. .. . . . am1 am2 · · · amn Tal arreglo es conocido como una matriz, y los valores escalares que componen este arreglo en filas y columnas son los elementos de la matriz. La posici´on de cada elemento aij es identificado por el sub´ındice de la fila i y el sub´ındice de la columna j. Por estas consideraciones, se puede denotar a la matriz anterior de forma comp´ acta: [ A ] = [ aij ] (i = 1; m | j = 1; n). El n´ umero de filas y columnas determina el orden de una matriz. Una matriz teniendo m filas y n columnas se dice ser de orden “m por n” (normalmente denotada como m×n). Tambi´en se dice que tiene dimensi´ on m×n, y se escribe dim(m×n). Si el n´ umero de filas y columnas del arreglo de coeficientes es el mismo (n = m), la matriz es una matriz cuadrada y se dice que es de orden n; o alternativamente de dim(n). Una matriz que tiene s´olo una fila es llamada matriz f ila o vector f ila. Similarmente, una matriz con una sola columna es denominada matriz columna o vector columna. La dimensi´on de estos u ´ltimos arreglos es id´entico al n´ umero de coeficientes, t´erminos, o valores num´ericos individuales, que los mismos poseen. Si las filas y columnas de una matriz [ A ] se intercambian, la matriz resultante de tal operaci´on es conocida como la transpuesta de [ A ], denotada por [ A ]T . Para la matriz definida en la Ecuaci´on (A.1), su transpuesta asociada es: a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2 [ A ]T = . (A.2) .. .. .. .. . . . a1n
a2n
··· T
y observamos que, si [ A ] es de orden m×n, entonces [ A ] [ A ] est´a dada por: 2 −1 [A] = 4 0
amn es de orden n×m. Por ejemplo, si la matriz
3 2
la transpuesta de la matriz [ A ] especificada anteriormente resulta ser: 2 4 [ A ]T = −1 0 3 2 A continuaci´ on se definen varios tipos especiales e importantes de matrices. Una matriz diagonal es un arreglo cuadrado compuesto de elementos tales que aij = 0, ∀i 6= j. Por consiguiente, los u ´nicos t´erminos no–nulos son aqu´ellos situados sobre la diagonal principal (l´ınea hipot´etica que v´a desde el v´ertice superior izquierdo hacia el v´ertice inferior derecho). Por ejemplo, 2 0 0 [ A ] = 0 −1 0 0 0 4
´ A.2. OPERACIONES ALGEBRAICAS
403
es una matriz diagonal. Una matriz identidad, llamada tambi´en matriz unitaria (denotada [ I ]) es una matriz diagonal en la que los valores de los t´erminos no–nulos son todos unitarios. De aqu´ı, 1 0 0 [ I ] = 0 1 0 0 0 1 es una matriz identidad de orden o dimensi´on 3. Una matriz nula (tambi´en conocida como matriz cero [ 0 ]) es una matriz de cualquier orden, en la que los valores de todos sus elementos son 0. Una matriz sim´etrica es una matriz cuadrada compuesta de elementos tales que los valores ubicados fuera de la diagonal principal son sim´etricos con respecto a dicha l´ınea hipot´etica. Matem´aticamente, la simetr´ıa se expresa como: aij = aji , ∀i 6= j. Por ejemplo, la matriz 2 −2 0 [ A ] = −2 4 −3 0 −3 1 es una matriz sim´etrica. Debe notarse que la transpuesta de una matriz sim´etrica es la misma que la matriz original; es decir que si [ A ] es matriz sim´etrica, para ella se cumple: [ A ] = [ A ]T . Una matriz sim´etrica oblicua es un arreglo cuadrado en el que los t´erminos diagonales aii tienen un valor de 0, y los coeficientes fuera de la diagonal principal tienen valores tales que aij = −aji . Un ejemplo de una matriz sim´etrica oblicua es 0 −2 3 0 4 [A] = 2 −3 −4 0 Para una matriz sim´etrica oblicua, observamos que la transpuesta se obtiene cambiando el signo algebr´aico de cada elemento de la matriz original.
A.2.
Operaciones algebr´ aicas
La adici´ on y substracci´ on de matrices puede ser definida solamente para matrices de id´entica dimensi´ on. Si [ A ] y [ B ] son ambas matrices de orden m×n, se dice que son conformables para las operaciones de suma y/o substracci´ on. La suma de dos matrices de dimensi´on m×n es una nueva matriz de la misma dimensi´ on, la cual tiene valores que son obtenidos sumando los elementos correspondientes de las matrices originales. Simb´ olicamente, la suma de matrices se expresa como [C ] = [A] + [B ] donde:
cij = aij + bij
i = 1; m
(A.3) j = 1; n
(A.3a)
La operaci´ on de substracci´ on matricial se define similarmente, s´olo que en lugar de sumar t´erminos se los sustrae. La adici´ on de matrices es una operaci´on que cumple las reglas de conmutatividad y asociatividad ; es decir, [A] + [B ] = [B ] + [A] (A.4) [ A ] + ([ B ] + [ C ]) = ([ A ] + [ B ]) + [ C ]
(A.5)
El producto de un valor escalar y una matriz, es una nueva matriz en la que cada elemento de la matriz original se multiplica por el escalar. Si un escalar u multiplica la matriz [ A ], entonces [B ] = u[A]
(A.6)
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
404
donde los elementos de [ B ] est´ an dados por: bij = u aij
i = 1; m
j = 1; n
(A.6a)
La multiplicaci´ on de matrices est´ a definida de manera tal que facilita la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales simult´ aneas. El producto de dos matrices [ A ] y [ B ] denotada como: [C ] = [A][B ]
(A.7)
existe solamente si el n´ umero de columnas en [ A ] es igual al n´ umero de filas en [ B ]. Si ´esta condici´on se satisface, se dice que las matrices son conformables para la multiplicaci´ on. Si [ A ] es de orden m×p y [ B ] es de orden p×n, la matriz producto [ C ] = [ A ] [ B ] es una matriz de dimensi´on m×n que tiene sus elementos definidos por p X cij = aik bkj (A.7a) k=1
Luego, cada elemento cij es la suma de los productos de los elementos en la i–´esima fila de [ A ] y los correspondiente elementos de la j–´esima columna de [ B ]. Cuando nos referimos a la matriz producto [ C ] = [ A ] [ B ], la matriz [ A ] es denominada premultiplicador y la matriz [ B ] postmultiplicador. En general, la multiplicaci´ on matricial no es conmutativa; esto es, [ A ] [ B ] 6= [ B ] [ A ]
(A.8)
La multiplicaci´ on matricial satisface las leyes asociativa y distributiva; por tanto, acorde con ello podemos escribir: [ A ] ([ B ] [ C ]) = ([ A ] [ B ]) [ C ] [ A ] ([ B ] + [ C ]) = [ A ] [ B ] + [ A ] [ C ] ([ A ] + [ B ]) [ C ] = [ A ] [ C ] + [ B ] [ C ]
(A.9)
Adem´as de ser no–commutativa, el ´ algebra de matrices difiere del ´algebra escalar de otras maneras diversas. Por ejemplo, la igualdad [ A ] [ B ] = [ A ] [ C ] no necesariamente implica que [ B ] = [ C ], desde que el sumar algebr´ aicamente est´ a involucrado en formar productos de la matriz. Como otro ejemplo, si el producto de dos matrices es nulo, es decir: [ A ] [ B ] = [ 0 ], el resultado no necesariamente implica que cualquiera [ A ] ´ o [ B ] sea una matriz nula.
A.3.
Determinantes
El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que es u ´nico para una matriz dada. El determinante de una matriz n×n es representado smb´olicamente como a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det[ A ] = | A | = . (A.10) .. .. .. .. . . . an1 an2 · · · ann y es evaluado acorde a un procedimiento completamente espec´ıfico. Primero, consideremos una matriz de dimensi´on 2×2 a11 a12 [A] = (A.11) a21 a22 para la cual el determinante es definido como a11 a12 ≡ a11 a22 − a12 a21 |A| = a21 a22
(A.12)
´ MATRICIAL A.4. INVERSION
405
Dada la definici´ on de la Ecuaci´ on (A.12), el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden puede ser ahora determinado. A continuaci´ on, consideremos una matriz de dimensi´on 3×3, para la cual el determinante a11 a12 a13 (A.13) | A | = a21 a22 a23 a31 a32 a33 est´a definido por la relaci´ on siguiente: | A | ≡ a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a11 (a21 a32 − a22 a31 )
(A.14)
Notamos que las expresiones entre par´entesis de la ecuaci´on anterior, son los determinantes de sub– matrices de segundo orden obtenidas eliminando la primera fila y la primera, segunda, y tercera columnas; respectivamente. Estos son conocidos como los menores asociados con el determinante original. Un menor de un determinante es otro determinante formado removiendo un igual n´ umero de filas y columnas desde el determinante original. El menor obtenido eliminando la fila i y la columna j es denotado | Mij |. Usando esta notaci´on, la Ecuaci´on (A.14) podr´ıa escribirse | A | = a11 | M11 | − a12 | M12 | + a13 | M13 |
(A.15)
y se dice que el determinante ha sido expandido en t´erminos de los cofactores de la primera fila. Los cofactores de un elemento aij son obtenidos aplicando el apropiado signo algebr´aico al menor | Mij | como sigue: Si la suma del n´ umero de fila i y el n´ umero de columna j es par, el signo del cofactor es positivo; pero, si i + j es impar, el signo del cofactor es negativo. Denotando el cofactor como Cij , podemos escribir Cij = (−1)i+j | Mij | (A.16) As´ı, el determinante dado en la Ecuaci´on (A.15) puede ser expresado en t´erminos de los cofactores como | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 (A.17) El determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden puede ser obtenido expandiendo el determinante en t´erminos de los cofactores de cualquier fila i acorde con |A| =
n X
aij Cij
(A.18)
aij Cij
(A.19)
j=1
´o cualquier columna j como |A| =
n X i=1
La aplicaci´ on de la Ecuaci´ on (A.18) ´o (A.19) requiere que los cofactores Cij sean tambi´en expandidos hasta el punto que todos los menores sean de orden 2 y puedan ser evaluados por aplicaci´on de la Ecuaci´ on (A.12).
A.4.
Inversi´ on matricial
La inversa de una matriz cuadrada [ A ] es una matriz de dimensi´on id´entica denotada por [ A ]−1 y satiface la condici´ on [ A ]−1 [ A ] = [ A ] [ A ]−1 = [ I ] (A.20) esto es, el producto de una matriz cuadrada y su inversa d´a como resultado la matriz identidad de la misma dimensi´ on que la matriz involucrada en el proceso de inversi´on matricial. El concepto de
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
406
inversa de una matriz es de importancia primordial en la soluci´on de ecuaciones lineales simult´aneas por m´etodos matriciales. Consideremos el sistema algebr´aico siguiente: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = y1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = y2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = y3
(A.21)
que puede ser escrito en forma matricial comp´acta como
donde:
[ A ]{x} = {y} a11 a12 a13 [ A ] = a21 a22 a23 a31 a32 a33
(A.22) (A.22a)
es denominada matriz de coef icientes del sistema, x1 {x} = x2 x3 es la matriz (vector) columna de valores inc´ognita, y y1 {y} = y2 y3
(A.22b)
(A.22c)
es la matriz (vector) columna de valores independientes conocidos (“perturbaci´on aplicada”). Si la inversa de la matriz [ A ] puede ser determinada, podemos pre–multiplicar ambos lados de la Ecuaci´on (A.22) por la inversa para obtener [ A ]−1 [ A ]{x} = [ A ]−1 {y} Notando que
(A.23)
[ A ]−1 [ A ]{x} = ([ A ]−1 [ A ]){x} = [ I ]{x} = {x}
la soluci´on para las ecuaciones simult´ aneas es dada por la Ecuaci´on (A.23) dir´ectamente como {x} = [ A ]−1 {y}
(A.24)
Mientras que ´este desarrollo fu´e presentado en el contexto de un sistema de tres ecuaciones, el resultado de soluci´on obtenido, descrito resumidamente por la Ecuaci´on (A.24), es aplicable a cualquier n´ umero de ecuaciones algebr´ aicas simult´ aneas, y da soluci´on u ´nica para el sistema de ecuaciones. La inversa de la matriz [ A ] puede ser determinada en t´erminos de sus cofactores y su determinante, como sigue a continuaci´ on: Sea la matriz de cofactores [ C ] aquel arreglo cuadrado que tiene como elementos a los cofactores definidos en la Ecuaci´on (A.16), es decir [ C ] = [ Cij ]. La adjunta de [ A ] se define como adj[ A ] = [ C ]T (A.25) La inversa de la matriz [ A ] es luego dada formalmente por [ A ]−1 =
adj[ A ] |A|
(A.26)
Si el determinante de [ A ] es 0, la Ecuaci´ on (A.26) precedente muestra que la inversa no existe. En este caso, se dice que la matriz es singular (que no posee inversa), y la Ecuaci´on(A.24) no provee una soluci´on para el sistema de ecuaciones. La singularidad de la matriz de coeficientes indica una de las
´ MATRICIAL A.5. PARTICION
407
dos posibilidades: (1) no existe soluci´on, o (2) existen soluciones m´ ultiples (no–´ unica). En el u ´ltimo caso, las ecuaciones algebr´ aicas no son linealmente independientes. El c´ alculo de la inversa de una matriz por la Ecuaci´on (A.26) es embarazoso y no muy pr´actico. Afortunadamente, existen t´ecnicas mucho m´as eficaces. Una de ellas es el m´etodo de reducci´on de Gauss–Jordan, que se ilustra usando una matriz de dimensi´on 2×2. La esencia del m´etodo de Gauss–Jordan es realizar operaciones simples con filas y columnas de la matriz de coeficientes, de tal modo que la matriz sea reducida a una matriz identidad. La secuencia de operaciones requeridas para lograr esta reducci´on producen la inversa. Si nosotros dividimos la primera fila por a11 , la operaci´ on es la misma que la multiplicaci´on a12 1 1 0 a11 a12 a11 [B1 ][ A ] = a11 = a21 a22 a21 a22 0 1 A continuaci´ on, multiplicamos la primera fila por a21 y sustraemos de la segunda fila, lo cual es equivalente a la multiplicaci´ on matricial [B2 ][B1 ][ A ] =
1 −a21
0 1 1 a21
a12 a12 1 1 a21 a11 = = a12 0 a22 − a21 a22 0 a11
a12 a11 | A | a11
Multiplicando la segunda fila por a11 /| A |: 1 [B3 ][B2 ][B1 ][ A ] = 0
1 a11 0 |A| 0
a12 1 a11 = | A | 0 a11
a12 a11 1
Finalmente, multiplicando la segunda fila por a12 /a11 y sustrayendo de la primera fila: a12 a12 1 1 − a11 a11 = 1 0 = [ I ] [B4 ][B3 ][B2 ][B1 ][ A ] = 0 1 0 1 0 1 Considerando la Ecuaci´ on (A.20), vemos que [ A ]−1 = [B4 ][B3 ][B2 ][B1 ] Si efectuamos las multiplicaciones que se establecen en esta u ´ltima relaci´on, se demuestra que el resultado obtenido es 1 a22 −a12 [ A ]−1 = −a a11 |A| 21 Esta aplicaci´ on del procedimiento de inversi´on matricial de Gauss–Jordan puede aparecer absolutamente tediosa, pero el procedimiento es muy efectivo cuando este algoritmo es convertido en un programa inform´atico de implementaci´ on computarizada.
A.5.
Partici´ on matricial
Cualquier matriz puede ser sub–dividida o particionada en un determinado n´ umero de sub–matrices de menor orden que la original. El concepto de particionamiento matricial es m´as u ´til en reducir el tama˜ no de un sistema de ecuaciones y resolverlo para valores especificados de una sub–serie de las
´ ´ APENDICE A. TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
408
variables dependientes. Consideremos un sistema de n ecuaciones algebr´aicas lineales simult´aneas, las que gobiernan el comportamiento de n variables inc´ognita xi expresadas en forma matricial como [ A ]{X} = {F }
(A.27)
en la cual deseamos eliminar las primeras p inc´ognitas. La ecuaci´on matricial puede ser escrita en forma particionada como [ A11 ] [ A12 ] {X1 } {F1 } = (A.28) [ A21 ] [ A22 ] {X2 } {F2 } donde el orden de las sub–matrices es como sigue dim[ A11 ] = p×p dim[ A12 ] = p×(n − p) dim[ A21 ] = (n − p)×p dim[ A22 ] = (n − p)×(n − p) dim{X1 }, {F1 } = p×1 dim{X2 }, {F2 } = (n − p)×1
(A.29)
La serie completa de ecuaciones puede ser ahora escrita en t´erminos de la partici´on matricial efectuada como [ A11 ] {X1 } + [ A12 ] {X2 } = {F1 } [ A21 ] {X1 } + [ A22 ] {X2 } = {F2 }
(A.30)
Las primeras p ecuaciones (la partici´ on superior) se resuelven como {X1 } = [ A11 ]−1 ({F1 } − [ A12 ] {X2 })
(A.31)
(asumiendo impl´ıcitamente que la inversa de la matriz [ A11 ] existe). La sustituci´on de ´esta soluci´on obtenida en las restantes n − p ecuaciones (la partici´on inferior), d´a como resultado la relaci´on ([ A22 ] − [ A21 ][ A11 ]−1 [ A12 ]) {X2 } = {F2 } − [ A21 ][ A11 ]−1 {F1 }
(A.32)
La Ecuaci´on (A.32) es la serie reducida de n − p ecuaciones algebr´aicas que representan al sistema original y contienen todos los efectos de las primeras p ecuaciones que fueron eliminadas. En el contexto del an´alisis de elemento finito, este procedimiento es referido como condensaci´ on est´ atica. Como otra aplicaci´ on (com´ unmente encontrada en el an´alisis por elemento finito), consideramos el caso en el que los valores particionados {X1 } son conocidos pero los correspondientes valores de la partici´on del lado–derecho {F1 } son desconocidos. En esta clase de ocurrencia, las ecuaciones particionadas inferiores se resuelven dir´ectamente para {X2 } obteni´endose {X2 } = [ A22 ]−1 ({F2 } − [ A21 ]{X1 })
(A.33)
Los valores desconocidos de {F1 } pueden ser calculados dir´ectamente usando las ecuaciones de la partici´on superior.
Apéndice
B
Ecuaciones de elasticidad
El an´ alisis de comportamiento est´atico de un cuerpo s´olido deformable considerado como una entidad u ´nica es efectuada mediante aplicaci´on de las conocidas ecuaciones de equilibrio. Pero, adicionalmente debe tambi´en indagarse el comportamiento de car´acter interno que posee la materia contenida en el interior del volumen espacial ocupado por el mismo. As´ı, para establecer una determinaci´on anal´ıtica de la distribuci´on de tensiones y deformaciones (est´aticas o din´ amicas) en una estructura bajo solicitaci´on externa prescrita, debemos obtener una soluci´on a los principios b´ asicos de la teor´ıa de elasticidad; satisfaciendo las condiciones de contorno impuestas sobre fuerzas y/o desplazamientos. Similarmente, en los m´etodos matriciales de an´alisis en mec´anica de s´ olidos, debemos tambi´en utilizar los mismos principios traducidos en ecuaciones b´asicas de la elasticidad. Estos principios fundamentales son mencionados a continuaci´on, con el n´ umero de ecuaciones que proporcionan (mostrados entre par´entesis) para una estructura general tri–dimensional: ecuaciones de deformaci´ on–desplazamientos ecuaciones de tensi´ on–deformaci´on ecuaciones de equilibrio (o movimiento)
(6) (6) (3)
Luego, existen quince ecuaciones disponibles para obtener soluciones para quince variables desconocidas, tres desplazamientos, seis tensiones, y seis deformaciones. Para problemas bi–dimensionales tenemos ocho ecuaciones con dos desplazamientos, tres tensiones, y tres deformaciones. Pueden formularse ecuaciones adicionales pertinentes a la continuidad de deformaciones y desplazamientos (ecuaciones de compatibilidad) y tambi´en referentes a condiciones de borde sobre fuerzas y/o desplazamientos. Con el objetivo de proveer una r´apida referencia para el desarrollo de la teor´ıa general del m´etodo de elemento finito aplicado a la mec´anica del s´olido deformable, todas las ecuaciones b´asicas de la teor´ıa de elasticidad necesarias son resumidas en este Ap´endice; y cuando sea conveniente, ellas son tambi´en presentadas en forma matricial. Aqu´ı solamente presentamos las ecuaciones estrictamente necesarias que fueron utilizadas en Cap´ıtulos previos, sin entrar en mayores detalles de su deducci´on y su significado f´ısico en el contexto de la teor´ıa de la mec´ anica del medio cont´ınuo s´olido deformable. Si el contenido de ´este Ap´endice le resulta insuficiente a usted para comprender ciertos conceptos que fueron elaborados, apoyados en las 409
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
410
ecuaciones aqu´ı presentadas, le recomiendo la consulta de cualquier libro que trate acerca de la teor´ıa cl´asica de elasticidad.
B.1.
Relaciones desplazamiento–deformaci´ on
En general, el concepto de deformaci´ on normal se introduce y define en el contexto del ensayo de tracci´on uniaxial, cuando un cuerpo largo, prism´atico, homog´eneo, de seccci´on transversal constante, se solicita axialmente mediante dos fuerzas aplicadas en sus extremos. La longitud elongada (deformada) L de una porci´ on del esp´ecimen que est´ a siendo testeado (llamado tambi´en probeta de ensayo de tracci´on), que inicialmente tiene longitud original indeformada L0 , es medida y la correspondiente deformaci´on normal unitaria est´ a definida mediante la relaci´on simple =
∆L L − L0 = L0 L0
(B.1)
la cual es simplemente interpretada como el “cambio en longitud, por unidad de longitud original” o defomaci´on producida comparada con la longitud original; y se observa que ´esta es una cantidad adimensional (carente de dimensiones). Similarmente, la idea de deformaci´ on cortante unitaria es a menudo introducida en t´erminos de una prueba de torsi´ on simple de una varilla que tiene una secci´on transversal circular. En cada caso, la geometr´ıa y las condiciones de carga del elemento de prueba se dise˜ nan para producir un estado simple y uniforme de tensi´ on, dominado por una componente mayor que genere el efecto deseado. En estructuras reales sujetas a cargas que operan de manera rutinaria, la deformaci´on no es generalmente uniforme ni limitada a una sola componente (se presenta un estado de deformaciones combinado). En cambio, la deformaci´ on var´ıa a lo largo de la geometr´ıa y puede describirse en base a seis componentes independientes, incluyendo ambos tipos de ellas: deformaci´on normal y tangencial o cortante. Por consiguiente, estamos obligados a examinar las definiciones apropiadas de la deformaci´on en un punto. Para el caso general, denotamos como u = u(x, y, z), υ = υ(x, y, z), y w = w(x, y, z) a los desplazamientos seg´ un las direcciones coordenadas x, y, y z, respectivamente. (Los desplazamientos tambi´en pueden variar con el tiempo; pero, por ahora, nosotros s´olo consideraremos el caso est´atico). Pero, previamente al desarrollo espec´ıfico que pretendemos de la deformaci´on, mencionaremos un importante teorema del an´ alisis funcional, el cual lo utilizaremos para evaluar los desplazamientos. Si Ψ = Ψ(x, y, z) es una funci´ on cont´ınua definida en cierto dominio espacial; la variaci´on infinitesimal de la misma cuando pasamos del punto P (x, y, x) a otro aleda˜ no P 0 (x+dx, y, z) efectuando un corrimiento infinitesimal (desplazamiento) dx desde el punto original hacia el punto final; debe ser una cantidad infinitesimal tambi´en, la cual puede obtenerse por expansi´on en serie de potencias de Taylor alrededor del punto referencial de la manera siguiente: Ψ(x + dx, y, z) = Ψ(x, y, z) + dΨ
= Ψ(x, y, z) + dx
1 ∂2Ψ 2 1 ∂3Ψ 3 1 ∂Ψ dx + dx + dx + · · · · · · 1! ∂x 2! ∂x2 3! ∂x3
Debido a que la magnitud del desplazamiento involucrado es de car´acter infinitesimal, resulta que los t´ orden superior erminos de al segundo del lado derecho de la ecuaci´on son de magnitud despreciable dx dx2 dx3 on anterior puede ser aproximada por la relaci´on m´as 1! 2! 3! · · · . Por tanto, la ecuaci´ sencilla: ∂Ψ(x, y, z) Ψ(x + dx, y, z) ∼ dx (B.2) = Ψ(x, y, z) + ∂x Bas´andonos en esta breve deducci´ on, relaciones similares pueden escribirse para las variaciones infinitesimales de la funci´ on Ψ(x, y, z) seg´ un las otras direcciones espaciales. La Figura B.1(a) muestra un elemento infinitesimal que tiene longitud de aristas indeformadas dx, dy, dz localizado en un punto arbitrario (x, y, z) en el interior de un cuerpo s´olido. Por simplicidad,
´ B.1. RELACIONES DESPLAZAMIENTO–DEFORMACION
411 dx dx
x
x P
dy
Q
P
P
Q
Q
dz dx
y z
u
x
(a) Solicitaci´ on normal
u u dx x
(b) Deformaci´ on normal
xy
u y
C
C
dy xy B
y z
dz dx
A
A
x
B
(c) Solicitaci´ on tangencial
x
(d) Deformaci´ on tangencial
Figura B.1: Deformaci´on normal y tangencial de un elemento diferencial.
asumimos primero que este elemento est´a cargado en tensi´on seg´ un la direcci´on x s´olamente y examinamos la deformaci´ on resultante como es mostrado (muy exageradamente) en la Figura B.1(b). El desplazamiento del punto P es u, mientras que del punto Q es u + ∂u ∂x dx de modo que la longitud deformada en la direcci´ on x est´ a dada por ∂u ∂u 0 dx − u = dx + dx (B.3) dx = dx + uQ − uP = dx + u + ∂x ∂x Note usted que hemos hecho uso de la Ecuaci´on (B.2) para aproximar el desplazamiento axial en la posici´ on (x + dx, y, z). La deformaci´on normal unitaria en la direcci´on x del punto en an´alisis es entonces dx0 − dx ∂u x = = (B.4) dx ∂x La consideraci´ on similar de cambios de longitud en las direcciones y y z, proporcionan las definiciones generales de las componentes de deformaci´on normales asociadas como y =
∂υ ∂y
y
z =
∂w ∂z
(B.5)
Para examinar la distorsi´ on del s´olido infinitesimal, ahora consideraremos la situaci´on mostrada en la Figura B.1(c) en la que las tensiones aplicadas a la superficie de modo tangencial resultan en otro tipo de defomaci´ on del elemento, como mostramos en la Figura B.1(d). A diferencia de la tensi´on normal, los efectos de la solicitaci´ on tangencial aplicada se ve que produce distorsiones de la forma rectangular original del s´ olido (lo convierten en un rombo). Tal distorsi´on es cuantificada por los cambios angulares, y consecuentemente definimos la deformaci´on cortante unitaria como un cambio en el ´angulo de ´ aquel que era originalmente un ´angulo recto. En una primera lectura, esto puede parecer redundante pero no lo es. Considere la definici´on en el contexto de la Figura B.1(c) y B.1(d); el ´angulo ABC era un ´ angulo recto en el estado indeformado, pero se ha distorsionado a A0 BC 0 por la solicitaci´ on cortante aplicada. El cambio del ´angulo est´a compuesto de dos partes, denotadas como α y
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
412
β y, dadas por las pendientes BA0 y BC 0 , respectivamente como ∂υ/∂x y ∂u/∂y. As´ı, la deformaci´on unitaria cortante es ∂u ∂υ γxy = + (B.6) ∂y ∂x donde el sub´ındice doble se usa para indicar el plano en el que ocurre el cambio angular. La consideraci´on similar de la distorsi´ on en los planos xz y yz resulta en γxz =
∂u ∂w + ∂z ∂x
y
γyz =
∂υ ∂w + ∂z ∂y
(B.7)
como las componentes de deformaci´ on cortante unitaria, respectivamente. Las Ecuaciones (B.4) a (B.7) proporcionan las definiciones b´asicas de las seis componentes de deformaci´on independientes posibles en la deformaci´on tri–dimensional. Debe darse ´enfasis a que ´estas relaciones de deformaci´ on–desplazamiento s´olo son v´alidas para deformaciones peque˜ nas. En el caso de ocurrir grandes deformaciones, se deben incluir condiciones adicionales como resultado de las caracter´ısticas de la geometr´ıa y el material. Es conveniente expresar las relaciones deformaci´on– desplazamiento deducidas anteriormente, en forma matricial. Para lograr esta tarea, definimos el vector desplazamiento como u(x, y, z) (B.8) {δ} = υ(x, y, z) w(x, y, z) (notando que este vector define un campo vectorial de desplazamientos cont´ınuo) y el vector de deformaciones (unitarias) lo definimos como el ordenamiento x y z {} = γxy γxz γyz
(B.9)
Con las definiciones previas, las relaciones deformaci´on–desplazamientos son luego expresadas en forma comp´acta como {} = [ L ]{δ}
(B.10)
donde [ L ] es la matriz operador de derivaci´on parcial espacial con coeficientes pertinentes,
∂ ∂x 0 0 [L] = ∂ ∂y ∂ ∂z 0
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x 0 ∂ ∂z
0 0 ∂ ∂z 0 ∂ ∂x ∂ ∂y
(B.11)
´ ´ B.2. RELACIONES TENSION–DEFORMACI ON
B.2.
413
Relaciones tensi´ on–deformaci´ on
Las ecuaciones entre la tensi´ on y deformaci´on aplicables a un material particular son conocidas como las ecuaciones constitutivas para ese material. En el tipo m´as general de material posible, se muestra en un trabajo avanzado de la mec´ anica del medio cont´ınuo que las ecuaciones constitutivas pueden contener hasta 81 constantes materiales independientes. Sin embargo, para un material homog´eneo, isotr´opico, linealmente el´ astico, se demuestra prontamente que se exigen s´olo dos constantes materiales independientes necesaria para especificar completamente las relaciones. Estas dos constantes deben ser bastante familiares desde la teor´ıa elemental de la mec´anica de materiales como el m´ odulo de elasticidad (el m´odulo de Young) y la relaci´ on de Poisson. Refiri´endonos de nuevo a la prueba de tensi´on uniaxial simple (ensayo de tracci´ on simple), el m´odulo de elasticidad se define como la pendiente de la curva de tensi´ on–deformaci´ on en la regi´ on el´astica del material, o σx (B.12) E= x donde se asume que el eje de carga del esp´ecimen de prueba corresponde al eje x. Como la deformaci´on es adimensional, las unidades del m´ odulo de elasticidad ser´an las mismas que aquellas de la tensi´on; o sea que esta constante se expresa en lb/pulg2 ´o en megapascales (MPa). La relaci´ on de Poisson, denotada con el s´ımbolo ν, es una medida del fen´omeno muy conocido que un cuerpo el´ astico deformado en una direcci´on tambi´en experimenta deformaci´on en direcciones mutuamente perpendiculares. En la prueba de tensi´on uniaxial, el alargamiento del esp´ecimen de prueba en direcci´ on de la carga es acompa˜ nada por la contracci´on en el plano perpendicular a la direcci´on de la carga. Si el eje de carga es x, esto significa que el esp´ecimen cambia sus dimensiones y as´ı experimenta deformaciones en las direcciones y y z tambi´en, aunque no existan cargas externas seg´ un esas direcciones. Formalmente, la relaci´on de Poisson se define como ν=−
contracci´ on lateral unitaria elongaci´ on axial unitaria
(B.13)
y notamos la relaci´ on de Poisson es algebr´aicamente positiva y el signo negativo asegura esto; puesto que el numerador y el denominador siempre tienen signos opuestos. As´ı, en la prueba de tracci´on simple, si x representa la deformaci´on que es el resultado de la carga aplicada, las componentes de deformaci´ on transversales inducidas est´an dadas por y = z = −x . Las relaciones tensi´ on–deformaci´on generales para un material homog´eneo, isotr´opico, linealmente el´astico, sujeto a una deformaci´ on tri–dimensional general son como sigue: σx = σy = σz = τxy = τxz = τyz =
E [ (1 − ν)x + ν(y + z ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E [ (1 − ν)y + ν(x + z ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E [ (1 − ν)z + ν(x + y ) ] (1 + ν)(1 − 2ν) E γxy = Gγxy 2(1 + ν) E γxz = Gγxz 2(1 + ν) E γyz = Gγyz 2(1 + ν)
(B.14a) (B.14b) (B.14c) (B.14d) (B.14e) (B.14f)
donde introdujimos el m´ odulo de elasticidad transversal tambi´en llamado m´odulo de rigidez cortante, definido por E G= (B.15) 2(1 + ν)
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
414
Podemos observar de las relaciones generales planteadas, que las componentes normales de tensi´on y deformaci´on se inter–relacionan en un modo bastante complicado a trav´es del efecto de Poisson, pero son independientes de las tensiones cortantes. Similarmente, las componentes de deformaci´on tangencial o cortante no est´ an afectadas por las tensiones normales. La notaci´on de sub´ındice doble usada para las tensiones cortantes se explica como sigue: El primer sub´ındice define la direcci´ on axial perpendicular a la superficie en la cual las tensiones cortantes act´ uan, mientras el segundo sub´ındice denota el eje paralelo a la tensi´on cortante. As´ı, el sub´ındice xy denota una tensi´ on cortante actuando en la direcci´on del eje x en una superficie perpendicular al eje y. Mediante el equilibrio de momentos aplicado al volumen elemental, f´acilmente se puede demostrar que deber´an cumplirse las relaciones siguientes: τxy = τyx
τxz = τzx
τyz = τzy
La notaci´on de doble sub´ındice tambi´en se aplica a las tensiones normales; pero en todos los casos se verifica que ´estos sub´ındices se repiten, por lo que convencionalmente se lo escribe una sola vez. Las relaciones tensi´ on–deformaci´ on pueden expresarse f´acilmente en forma matricial definiendo la matriz de propiedades materiales [ D ] como 1−ν ν ν [D] = 0 0 0
ν 1−ν ν 0 0 0
ν ν 1−ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν 2
0 0
0 0 0 0 1−2ν 2
0
0 0 0 0 0 1−2ν 2
(B.16)
y escribiendo σx σy σz = [ D ]{} = [ D ][ L ]{δ} {σ} = τxy τxz τyz
(B.17)
Aqu´ı {σ} denota la matriz columna 6×1 (vector) de componentes de tensi´on actuantes. Nosotros no usamos el t´ermino enfatizado de vector, ya que es m´as habitual que las componentes de las tensiones aplicadas se ordenen en una matriz cuadrada a la que se denomina tensor de tensiones.
B.3.
Ecuaciones de equilibrio
Para obtener las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo s´olido deformado, examinamos el estado general de tensiones en un punto arbitrario en el cuerpo mediante un elemento diferencial, como el mostrado en la Figura B.2. Se asume que todas las componentes de tensi´on var´ıan espacialmente, y estas variaciones se expresan en t´erminos de expansi´on en serie de Taylor truncadas en primer–orden, como se indica. Adem´ as de las componentes de tensi´on mostradas, se asume que el elemento est´a sujeto a una fuerza de cuerpo que tiene componentes axiales Bx , By , Bz . La fuerza de cuerpo se expresa como fuerza por unidad de volumen y representa la acci´on de una influencia externa que afecta al cuerpo en conjunto. La fuerza de cuerpo m´ as com´ un es aquella que proviene de la atracci´on gravitatoria, mientras que las fuerzas magn´eticas y centr´ıfugas tambi´en son ejemplos de ´este tipo de fuerza. Aplicando la condici´ on de equilibrio de fuerzas en la direcci´on del eje x para el elemento de la
B.4. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
415 y
xy xy dy y
y dy y yz yz dy y
z
xz yz xz xy
x
dy x
xz
dz yz yz dz z
xz
xz dz z
z
xz dx x
xy
dx
x dx x
xy dx x
yz xy
z dz z
y
Figura B.2: Elemento tri–dimensional en estado general de tensiones Figura B.2, d´ a como resultado ∂τxy ∂σx dx dy dz − σx dy dz + τxy + dy dx dz − τxy dx dz σx + ∂x ∂y ∂τxz dz dx dy − τxz dx dy + Bx dx dy dz = 0 + τxz + ∂z
(B.18)
Expandiendo y simplificando la Ecuaci´on (B.18), se obtiene ∂σx ∂τxy ∂τxz + + + Bx = 0 ∂x ∂y ∂z
(B.19)
Similarmente, aplicando las condiciones de equilibrio de fuerzas seg´ un las direcciones coordenadas y y z obtenemos ∂τxy ∂σy ∂τyz + + + By = 0 (B.20) ∂x ∂y ∂z ∂τxz ∂τyz ∂σz + + + Bz = 0 ∂x ∂y ∂z
(B.21)
respectivamente.
B.4.
Ecuaciones de compatibilidad
Las Ecuaciones (B.4) a (B.7) definen seis componentes de deformaci´on en t´erminos de tres componentes de desplazamiento. Una premisa fundamental de la teor´ıa de la mec´anica del medio cont´ınuo es que un cuerpo cont´ınuo permanece con esa caracter´ıstica durante y despu´es de la deformaci´on.
416
´ APENDICE B. ECUACIONES DE ELASTICIDAD
Por consiguiente, el desplazamiento y las funciones de tensi´on deben ser continuas y real valoradas. Dado un campo de desplazamiento cont´ınuo u, υ, w, es directo evaluar las componentes de deformaci´on unitaria cont´ınua mediante las relaciones de deformaci´on–desplazamiento que fueron previamente establecidas. Sin embargo, el caso inverso es algo m´as complicado. Es decir, dado un campo de seis componentes de deformaci´ on continuas, real–valoradas, tenemos seis ecuaciones diferenciales parciales a resolver para obtener las componentes del desplazamiento. En este caso, no hay seguridad que los desplazamientos resultantes reunir´ an los requisitos de continuidad y valoraci´on real. Para asegurar que los desplazamientos sean cont´ınuos cuando se los calcula de esta manera, se han deducido relaciones adicionales entre las componentes de tensi´ on, y ´estas son conocida como ecuaciones de compatibilidad. Hay seis ecuaciones de compatibilidad independientes, una de las cuales es ∂ 2 y ∂ 2 γxy ∂ 2 x + = 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y
(B.22)
Las otras cinco ecuaciones son relaciones de segundo–orden similares. Aunque no se usan estas relaciones expl´ıcitamente en este texto, las ecuaciones de compatibilidad son completamente esenciales en los m´etodos avanzados de la mec´ anica del medio cont´ınuo y la teor´ıa de elasticidad.
Apéndice
C
Soluci´ on de ecuaciones
Consideremos el sistema generalizado de ecuaciones lineales conformado por un conjunto de n relaciones algebr´ aicas del tipo: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = f1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = f2 .. .. .. .. . . ··· . . an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = fn donde: aij (i, j = 1; n); fi (i = 1; n) ∈ R son valores num´ericos conocidos, y xi (i = 1; n) ∈ R son valores inicialmente desconocidos o inc´ ognitas del sistema de ecuaciones, que debemos determinar para que las mismas se cumplan simult´ aneamente. Matricialmente, el conjunto de relaciones anteriores se puede escribir: a11 a12 · · · a1n x1 f1 a21 a22 · · · a2n x2 f2 .. .. .. .. = .. . . ··· . . . an1
an2
···
ann
xn
fn
Sint´eticamente podemos expresar la relaci´on matricial anterior representativa del sistema de ecuaciones lineales, como: [ A ]{x} = {f }, donde los vectores {x}, {f } ∈ Rn ; y la matriz cuadrada [ A ] ∈ Rn×n . En t´erminos matem´ aticos formales, una ecuaci´on del tipo anterior es el resultado final del m´etodo de elemento finito, cuando el mismo es aplicado a un fen´omeno f´ısico cuyo comportamiento de respuesta est´a enmarcado en el denominado r´egimen estacionario o permanente (temporalmente no–evolutivo). El modelo matem´ atico elaborado aplicando la t´ecnica de discretizaci´on que fu´e desarrollada con relativo detalle en sus fundamentos m´ as esenciales en los diversos Cap´ıtulos de este documento, vimos que desemboca inevitablemente en un sistema lineal de ecuaciones algebr´aico que como paso final requiere ser resuelto. En ´este Ap´endice presentamos algunas pocas de las variadas t´ecnicas existentes para dicho fin. La elecci´ on de los m´etodos aqu´ı mostrados es en cierta manera algo arbitaria, ya que en 417
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
418
la actualidad los algoritmos de soluci´ on num´erica de ecuaciones matriciales como las anteriormente descritas conforman un verdadero mundo en el ´ambito del ´algebra lineal.
C.1.
M´ etodo de Cramer
El m´etodo de Cramer, tambi´en conocido como la regla de Cramer, proporciona un medio sistem´atico de resolver las ecuaciones lineales que se hallan en muchos problemas que plantea el ´algebra lineal. En la pr´actica, el m´etodo se aplica mejor a sistemas de no m´as de cuatro o cinco ecuaciones (si el proceso se efect´ ua manualmente). No obstante, el m´etodo proporciona la visi´on en ciertas condiciones con respecto a la existencia de soluciones y es incluido aqu´ı por esa raz´on. Considere el sistema de ecuaciones a11 x1 + a12 x2 = f1 a21 x1 + a22 x2 = f2
(C.1)
[ A ]{x} = {f }
(C.1a)
o en forma matricial Multiplicando la primera ecuci´ on por a22 , la segunda por a12 , y sustrayendo la segunda de la primera resulta (a11 a22 − a12 a21 )x1 = f1 a22 − f1 a12 De aqu´ı, si (a11 a22 − a12 a21 ) 6= 0, resolvemos para x1 dando como resultado x1 =
f1 a22 − f1 a12 a11 a22 − a12 a21
(C.2)
Mediante un procedimiento completamente similar se obtiene x2 =
f2 a11 − f1 a21 a11 a22 − a12 a21
(C.3)
Note que el denominador de cada soluci´ on es el mismo e igual al determinante de la matriz de coeficientes [ A ], el mismo que se define mediante a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 |A| = (C.4) a21 a22 y, nuevamente se asume que el determinante es no–nulo. Ahora, considere el numerador de la Ecuaci´on (C.2), como sigue. Reemplace la primera columna de la matriz de coeficientes [ A ] con la matriz columna (vector) del lado derecho {f }, y calcule el determinante de la matriz resultante (denotada como [ A1 ]) para obtener f1 a12 = f1 a22 − f2 a12 | A1 | = (C.5) f2 a22 El determinante as´ı obtenido es exactamente el numerador de la ecuaci´on (C.2). Si nosotros, similarmente reemplazamos la segunda columna de [ A ] con el vector columna del lado derecho de la ecuaci´on que representa al sistema de ecuaciones, tendremos a11 f1 = f2 a11 − f1 a21 | A2 | = (C.6) a21 f2 y, el resultado de ´esta ecuaci´ on es id´entico al numerador de la Ecuaci´on (C.3). Aunque el m´etodo presentado se circunscribe a un sistema de s´ olamente dos ecuaciones, el resultado es aplicable a cualquier
´ DE GAUSS C.2. ELIMINACION
419
n´ umero de ecuaciones lineales algebr´aicas como sigue: Regla de Cramer : Dado un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales en n inc´ognitas xi , (i = 1; n) que es expresado en forma matricial como [ A ]{x} = {f }
(C.7)
donde {f } es conocido; las soluciones est´an dadas por las relaciones de determinantes xi =
| Ai | |A|
i = 1; n
(C.8)
donde se supone que | A | = 6 0 Las matrices [ Ai ] est´ an formadas reemplazando la i–´esima columna de la matriz de coeficientes [ A ] con el vector de t´erminos independientes {f }. Note usted que si el vector de t´erminos independientes es nulo, {f } = {0}, la regla de Cramer proporciona el resultado trivial {x} = {0}. Ahora consideremos el caso en el que el determinante de la matriz de coeficientes es cero, | A | = 0. En este evento, las soluciones representadas por la Ecuaci´on (C.1) son, formalmente, 0x1 = f1 a22 − f2 a12 0x2 = f2 a11 − f1 a21 y este par de ecuaciones debe ser considerado bajo dos casos de posibilidad: 1. Si los lados derechos de estas ecuaciones son no–nulos; ninguna soluci´on existe, puesto que no podemos multiplicar cualquier n´ umero por 0 y obtener un resultado no–nulo. 2. Si los lados derechos son 0, las ecuaciones indican que cualquier par de valores x1 y x2 son soluciones; este caso corresponde a las ecuaciones homog´eneas que ocurre si {f } = {0}. As´ı, un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales algebr´aico puede tener soluciones no–triviales si y s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes es 0. El hecho es, sin embargo, que las soluciones no son justamente cualquier par de valores arbitrarios de x1 y x2 , y vemos esto examinando el determinante | A | = a11 a22 − a12 a21 = 0 y, de aqu´ı:
a11 a12 = a21 a22
´ Esta u ´ltima ecuaci´ on establece que los coeficientes de x1 y x2 en las dos ecuaciones est´an en proporci´on constante. As´ı, las ecuaciones no son independientes y, de hecho, representan una sola l´ınea recta en el plano x1 –x2 (y n´ o 2 rectas que se interceptan en el punto soluci´on del sistema). Entonces, existe un n´ umero infinito de soluciones (x1 , x2 ), pero tambi´en existe una relaci´on entre las coordenadas x1 y x2 . El argumento simplemente presentado para dos ecuaciones, tambi´en es general y sirve para cualquier n´ umero de ecuaciones. Si el sistema es homog´eneo, existen soluciones no–triviales s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes es 0.
C.2.
Eliminaci´ on de Gauss
En el Ap´endice A, tratamos con la matem´atica de matrices, y tambi´en fu´e discutido el concepto de invertir la matriz de coeficientes para obtener la soluci´on a un sistema de ecuaciones algebr´aicas lineales. Para los grandes sistemas de ecuaciones, el c´alculo de la inversa de la matriz de coeficientes consume
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
420
demasiado tiempo y es computacionalmente ineficiente. Afortunadamente, la operaci´on de invertir la matriz no es necesaria para obtener las soluciones. Muchos otros m´etodos son computacionalmente m´as eficaces. El m´etodo de eliminaci´ on de Gauss es una de tales t´ecnicas. La eliminaci´on de Gauss utiliza simples operaciones algebr´ aicas (la multiplicaci´on, divisi´on, suma, y substracci´on) para eliminar sucesivamente las inc´ ognitas de un sistema de ecuaciones generalmente descrito por a11 a12 · · · a1n x1 f1 a21 a22 · · · a2n x f2 2 [ A ]{x} = {f } ⇒ . = (C.9a) .. .. .. .. .. .. . . . . . an1 an2 · · · ann xn fn para que el sistema de ecuaciones se transforme a la forma
[ B ]{x} = {g}
⇒
b11 0 0 0
b12 b22 0 0
··· ··· .. . 0
b1n x1 g1 x2 g2 b2n = .. . . . .. .. bnn xn gn
(C.9b)
En la Ecuaci´ on (C.9b), la matriz de coeficientes original se ha transformado a una forma triangular superior, pues como se aprecia todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero. En esta forma, la soluci´ on para xn simplemente es gn /bnn , y los restantes valores xi se obtienen por sucesiva substituci´ on regresiva en las ecuaciones sobrantes. El m´etodo de Gauss es f´ acilmente adaptable a la implementaci´on en computadora, como es descrito por el algoritmo siguiente. Para la forma general de la Ecuaci´on (C.9a), primero deseamos eliminar x1 desde la segunda hasta la n–´esima ecuaciones. Para lograr esta tarea, debemos realizar operaciones de fila tal que los elementos de la matriz de coeficientes ai1 = 0 (i = 2; n). Seleccionando el coeficiente a11 como el elemento pivote, podemos multiplicar la primera fila por a21 /a11 y substraer el resultado de la segunda fila para obtener a21 =0 a(1) 21 = a21 − a11 a11 a21 a(1) 22 = a22 − a12 a11 .. .. (C.10) . . a21 a(1) 2n = a2n − a1n a11 a21 f2(1) = f2 − f1 a11 En estas relaciones, el exponente se usa para indicar que los resultados son de la operaci´on sobre la primera columna. El mismo procedimiento se usa para eliminar x1 de las ecuaciones restantes; es decir, multiplicar la primera ecuaci´ on por ai1/a11 y substraer el resultado de la ecuaci´on i–´esima. (Note que, si ai1 es 0, no se requiere ninguna operaci´ on). El procedimiento resulta en a(1) i1 = 0 a(1) ij fi(1)
i = 2; n ai1 = aij − a1j i = 2; n a11 ai1 = fi − f1 i = 2; n a11
j = 2; n
(C.11)
El resultado de la operaci´ on usando a11 como elemento pivote est´a representado simb´olicamente
´ L–U C.3. DESCOMPOSICION
como
421
a11 0 .. . 0
a12 a(1) 22 .. .
··· ··· .. .
a(1) n2
···
a1n x1 f1 f2(1) a2n x2 = .. .. .. . . . (1) a(1) x f n nn n
y la variable x1 ha sido eliminada de todas las ecuaciones, excepto de la primera. El procedimiento luego toma el (recientemente calculado) coeficiente a(1) 22 como elemento pivote y las operaciones se repiten para que todos los elementos en la segunda columna debajo de a(1) 22 se vuelvan 0. Llevando a cabo los c´ omputos, usando sucesivamente cada elemento diagonal como elemento pivote, el sistema de ecuaciones se transforma a la forma de la Ecuaci´on (C.9b). La soluci´on se obtiene entonces, como fu´e mencionado, por substituci´ on regresiva xn =
gn bnn
.. . xi
1
(gn−1 − bn−1 xn ) bn−1,n−1 .. . n X 1 gii − bij xj = bii j=i+1
xn−1 =
(C.12)
El procedimiento de eliminaci´ on de Gauss es f´acilmente programado usando el almacenamiento de arreglos (matrices) y las funciones de c´alculo de bucle reiterado (DO loops), y es mucho m´as eficiente que invertir la matriz de coeficientes. Si la matriz de coeficientes es sim´etrica (com´ un a muchas formulaciones de elemento finito), los requerimientos de almacenamiento para la matriz pueden ser reducidos considerablemente, y el algoritmo de eliminaci´on de Gauss tambi´en se simplifica.
C.3.
Descomposici´ on L–U
Otro m´etodo eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el as´ı–llamado m´etodo de descomposici´ on L–U (Lower–Upper
Ln1
···
1
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
422
Para ilustraci´ on, consideramos un sistema 3×3 a11 a12 a13 1 a21 a22 a23 = L21 a31 a32 a33 L31
y escribimos 0 0 U11 1 0 0 L32 1 0
U12 U22 0
U13 U23 U33
la cual representa en forma desarrollada a las siguientes nueve ecuaciones: a11 a12 a21 a22 a13 a31 a32 a23 a33
= U11 = U12 = L21 U11 = L21 U12 + U22 = U13 = L31 U11 = L31 U12 + L32 U22 = L21 U13 + U23 = L31 U13 + L32 U23 + U33
(C.15)
´ Este sistema de ecuaciones est´ a escrito en una secuencia de modo que, en cada paso, s´olamente una inc´ognita individual aparece en la ecuaci´ on. Si re–escribimos la matriz de coeficientes [ A ], y la dividimos en “zonas” como À Á Â a11 a12 a13 [ A ] = a21 a22 a33 a31 a32 a33 Con referencia al conjunto de Ecuaciones (C.15), observamos que la primera ecuaci´on corresponde a la zona 1, las siguientes tres ecuaciones representan la zona 2, y las u ´ltimas cinco ecuaciones representan la zona 3. En cada zona, las ecuaciones incluyen s´olo los elementos de [ A ] que est´an en la zona y s´olo los elementos de [ L ] y [ U ] de las zonas previas y la zona actual. De aqu´ı, el procedimiento de descomposici´on L–U descrito aqu´ı tambi´en es conocido como el m´etodo de zona activa. Para un sistema de n ecuaciones, el procedimiento es r´apidamente generalizado para obtener los siguientes resultados: U1i = a1i i = 1; n Lii = 1 i = 1; n (C.16) ai1 Li1 = i = 2; n U11 Los siguientes t´erminos obtenidos desde la zona activa i (i = 2; n), son dados por las relaciones: aij − Lij = Uji = aji −
j−1 X
Lim Umj
m=1
Ujj j−1 X
Ljm Umi
j = 2; (i − 1) i 6= j (C.17)
m=1
Uii = aii −
i−1 X
Lim Umi
m=1
As´ı, el procedimiento de descomposici´ on es dir´ecto y muy adecuado para su implementaci´on computarizada.
´ FRONTAL C.4. SOLUCION
423
Ahora que el procedimiento de descomposici´on se ha desarrollado, nosotros volvemos a la tarea de resolver las ecuaciones. Cuando nosotros tenemos las ecuaciones ahora expresadas en la forma de matrices triangulares [L] y [U] como [ L ][ U ]{x} = {f } (C.18) vemos que el producto [ U ]{x} = {z} es una matriz columna n×1 (vector), de modo que el sistema original de Ecuaciones (C.18) ahora resulta [ L ]{z} = {f }
(C.19)
y debido a la estructura triangular de la matriz de coeficientes de la u ´ltima ecuaci´on, la soluci´on es obtenida f´ acilmente (en orden) como z1 = f1 zi = fi −
i−1 X
Lij zj
i = 2; n
(C.20)
j=1
La formaci´ on de las soluciones intermedias, representadas por las Ecuaciones (C.20) mediante sustituci´on hacia adelante, generalmente es llamada barrido progresivo. Con los valores zi (i = 1; n) conocidos desde la Ecuaci´on (C.20), podemos ahora resolver la ecuaci´on subsidiaria [ U ]{x} = {z} para las inc´ognitas originales xi (i = 1; n) como zn xn = Unn n (C.21) X 1 xi = Uij xj zi − Uii j=i+1 El proceso de soluci´ on representado por las Ecuaciones (C.21) mediante sustituci´on hacia atr´as es conocido como barrido regresivo. En el m´etodo L–U, el mayor tiempo computacional se expende descomponiendo la matriz de coeficientes en las formas triangulares. Sin embargo, este paso necesita ser efectuado una sola vez; despu´es del cual pueden aplicarse los procesos de barrido progresivo y barrido regresivo para cualquier n´ umero de funciones perturbadoras {f } que figuran en el lado derecho de la ecuaci´on original. M´as a´ un, si la matriz de coeficientes es sim´etrica y con aspecto de banda alrededor de la diagonal principal (como es el caso que m´ as a menudo se presenta en el an´alisis de elemento finito), el m´etodo de descomposici´ on L–U puede ser bastante eficaz.
C.4.
Soluci´ on frontal
El m´etodo de soluci´ on frontal (tambi´en conocido como soluci´ on de ola delantera) es un m´etodo especialmente eficiente para resolver ecuaciones de elemento finito, ya que la matriz de coeficientes (la matriz de rigidez) es generalmente sim´etrica y con forma banda. En el m´etodo frontal, el ensamblaje de la matriz de rigidez del sistema se combina con la fase de soluci´on. El m´etodo produce una reducci´on considerable en los requisitos de memoria de computadora, especialmente para los modelos grandes. La t´ecnica se describe con referencia a la Figura C.1, que muestra un ensamble de elementos barra uni–dimensionales. Para este ejemplo simple, sabemos que las ecuaciones del sistema son de la forma K11 K12 0 0 0 0 U1 F1 U2 K12 K22 K23 F2 0 0 0 0 K K K 0 0 U F 23 33 34 3 3 = (C.22) 0 0 K34 K44 K45 0 U4 F4 0 0 0 K45 K55 K56 U5 F56 0 0 0 0 K56 K66 U6 F6
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
424
Claramente, la matriz de rigidez es banda y esparcida (muchos coeficientes son de valor cero). En la t´ecnica de soluci´ on frontal, la matriz de rigidez del sistema entero no es ensamblada como tal. En cambio, el m´etodo utiliza el hecho que un grado de libertad (desconocido) puede eliminarse cuando las filas y columnas de la matriz de rigidez correspondientes a ese grado de libertad est´an completas. En este contexto, eliminar un grado de libertad significa que podemos escribir una ecuaci´on para ese grado de libertad en t´erminos de los otros grados de libertad y las funciones impelentes. Cuando tal ecuaci´on se obtiene, se escribe a un archivo y es removida de la memoria. Como es mostrado luego, el resultado neto es la triangularizaci´ on de la matriz de rigidez del sistema y las soluciones son obtenidas por simple substituci´ on regresiva. Por simplicidad de ilustraci´ on, sea que cada elemento en la Figura C.1 tenga rigidez caracter´ıstica k. Empezamos definiendo una matriz nula [ K ] de dim6×6 y procedemos con el paso de ensamblaje, tomando los elementos en orden num´erico. Agregando la matriz de rigidez para el elemento 1 a la matriz del sistema, obtenemos k −k 0 0 0 0 F1 U1 −k k 0 0 0 0 U F2 2 0 0 0 0 0 0 U3 = F3 (C.23) 0 0 0 0 0 0 U4 F4 0 0 0 0 0 0 U5 F56 0 0 0 0 0 0 U6 F6 Puesto que U1 s´ olo est´ a asociado con el elemento 1, el desplazamiento U1 no aparece en ninguna de las otras ecuaciones y puede eliminarse ahora. (Para ilustrar el efecto sobre la matriz, realmente no eliminamos el grado de libertad de las ecuaciones). La primera fila de la Ecuaci´on (C.23) es kU1 − kU2 = F1
(C.24)
y puede resolverse para U1 una vez que U2 es conocido. Matem´aticamente eliminando U1 de la segunda fila, tenemos F1 U1 k −k 0 0 0 0 U2 0 0 0 0 0 0 F1 + F2 0 0 0 0 0 0 U3 F 3 (C.25) 0 0 0 0 0 0 U4 = F4 0 0 0 0 0 0 U5 F5 0 0 0 0 0 0 F6 U6 Luego, “procesamos” el elemento 2 y a˜ nadimos los coeficientes de la matriz de rigidez de elemento a las ubicaciones pertinentes en la matriz de coeficientes del sistema para obtener k −k 0 0 0 0 U1 F1 0 k −k 0 0 0 F1 + F2 U2 0 −k k 0 0 0 U3 F3 = (C.26) 0 0 0 0 0 0 U4 F4 0 0 0 0 0 0 U5 F5 0 0 0 0 0 0 U6 F6
5 6
U4, F4
U5, F5
U6, F6
3
4 5
U3, F3
4
U2, F2 2
3
U1, F1 1
2
1
Figura C.1: Sistema de elementos barra inter–conectados
x
´ C.5. EXACTITUD DE LA SOLUCION
El desplazamiento U2 no aparece en ninguna obtener k −k 0 0 0 0 k −k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
425
de las ecuaciones restantes y es ahora eliminado para 0 U1 F1 0 U F + F 2 1 2 0 U3 F1 + F2 + F3 = (C.27) 0 U4 F4 0 F5 U5 0 U6 F6
En secuencia, procediendo con los elementos restantes, y siguiendo el procedimiento de eliminaci´on de la variable que aparece en cada paso de ensamble, finalmente se demuestra que obtenemos k −k 0 0 0 0 U1 F1 0 k −k 0 0 0 U F + F 2 1 2 0 0 k −k 0 0 U F + F + F 3 1 2 3 = (C.28) 0 0 0 k −k 0 U4 F1 + F2 + F3 + F4 0 0 0 0 k −k U5 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 0 0 0 0 −k k U6 F6 Notando que la u ´ltima relaci´ on en la ecuaci´on matricial gobernante del sistema, Ecuaci´on (C.28), es una ecuaci´ on de restricci´ on (y podr´ıa ignorarse de principio), observamos que el procedimiento conduce a una matriz de rigidez triangularizada del sistema reducido (aquel que no considera grados de libertad restringidos), sin ensamblar formalmente esa matriz. Si nosotros sacamos la ecuaci´on de restricci´on, las ecuaciones restantes son F1 U1 k −k 0 0 0 0 k −k 0 F1 + F2 0 U2 U3 = 0 0 F + F + F k −k 0 (C.29) 1 2 3 0 0 F + F + F + F U 0 k −k 1 2 3 4 4 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 U5 0 0 0 0 k que pueden ser f´ acilmente resueltas por substituci´on regresiva. Tambi´en notamos que se asume que las fuerzas son conocidas. El m´etodo de soluci´ on frontal se ha descrito en t´erminos de elementos uni–dimensionales por simplicidad. De hecho, la velocidad y eficacia del procedimiento son de m´as ventaja en modelos bi y tri–dimensionales grandes. El m´etodo se discute brevemente aqu´ı para que el lector que usa un paquete de software de elemento finito que utiliza internamente una soluci´on del tipo ola–delantera, tenga un poco de informaci´ on sobre el procedimiento que maneja el algoritmo computacional de soluci´on del modelo de elementos finitos construido, seguramente tambi´en de forma interna y autom´atica.
C.5.
Exactitud de la soluci´ on
Las soluciones num´ericas generalmente obtenidas mediante t´ecnicas computacionales son raramente exactas; ya que, los valores num´ericos obtenidos como soluci´on de un an´alisis matricial como es el m´etodo de elemento finito resultan ser simplemente una aproximaci´on de la conducta real presentada por el sistema bajo an´ alisis. Generalmente el novato de un software de elemento finito est´a tentado de ingresar sus datos al programa con tantos lugares decimales como la computadora pueda desplegar, pensando as´ı que de esta manera la soluci´ on obtenida tendr´a una exactitud elevada; nada m´as falso !. Nosotros sabemos que las dimensiones, propiedades materiales, y las acciones impelentes aplicadas al sistema llevan una precisi´ on impl´ıcita que normalmente es menor que el n´ umero de d´ıgitos en los datos de salida num´erica de la computadora. Por consiguiente, el dise˜ nador debe interpretar la exactitud de
426
´ ´ DE ECUACIONES APENDICE C. SOLUCION
los resultados obtenidos por la aplicaci´ on del programa de c´alculo autom´atico sin estar enga˜ n´andose a s´ı mismo en creer cada d´ıgito desplegado en la soluci´on. La manera en la cual nosotros describimos num´ericamente un sistema para el an´alisis mediante una t´ecnica discreta como es el m´etodo de elemento finito, es una fuente adicional de error potencial. Por ejemplo en el ´ ambito de la mec´ anica estructural, para definir un elemento viga por ejemplo, las cargas distribu´ıdas aplicadas sobre la misma deben representarse como cargas nodales concentradas en el modelo de elemento finito; esta tarea, conocida como modelado o idealizaci´on de la solicitaci´on aplicada al sistema (estructura), puede introducir enormes errores si se efect´ ua inadecuadamente. Adem´as, el software y hardware de la computadora establecen l´ımites en la exactitud de la soluci´on. Por ello, al analizar los resultados de salida num´erica proporcionados por cualquier programa computacional de elemento finito debemos identificar todas las probables fuentes de error; para poder mejorar u optimizar el modelo constru´ıdo mediante ´esta t´ecnica en la discretizaci´on del dominio de nuestro particular problema. Y de ser posible, indagar acerca de los algoritmos matem´aticos que implementa el programa utilizado, para as´ı poder comprender la esencia de su funcionamiento interno; para ello el debe sentirse instado a consultar cualquiera de los muchos textos excelentes de an´alisis num´erico para una discusi´ on m´ as detallada de los temas que aqu´ı mencionamos.
Apéndice
D
El programa FEPC
Como y´ a fu´e mencionado anteriormente, el m´etodo de elemento finito es un m´etodo discreto que proporciona soluciones aproximadas a problemas que est´an gobernados por ecuaciones diferenciales. A diferencia del m´etodo de diferencias finitas, el cual es una aproximaci´on a la ecuaci´on diferencial; el m´etodo de elemento finito es en realidad una aproximaci´on hacia la soluci´on de la misma. En el contexto del m´etodo de elemento finito, tambi´en mencionamos que la convergencia hacia la soluci´on exacta se produce a medida que la malla de elementos utilizada en el modelo sea refinada; es decir, que se incremente el n´ umero de elementos utilizados para la discretizaci´on del dominio y simult´aneamente se reduzca su tama˜ no. Este u ´ltimo aspecto conlleva la dificultad que al elaborar un modelo que tenga estas caracter´ısticas, el mismo llegar´a a contener un n´ umero muy grande de nodos, lo cual genera la imposibilidad de su manipulaci´on ayudado de un simple calculador de bolsillo. Por ello, se requieren programas computacionales que conformen un paquete de c´alculo completo que permita la implementaci´ on del m´etodo de elemento finito en forma automatizada. Una variedad de especializaciones bajo el ´ambito de la ingeniera mec´anica tal como lo es la aeron´autica, biomec´ anica, y las industrias automotrices, todas com´ unmente usan el an´alisis de elementos finitos integrado en el dise˜ no y desarrollo de sus productos. Varios paquetes modernos de AEF incluyen componentes espec´ıficos como el t´ermico (termal), electromagn´etico, fluido y ambientes de trabajo estructural. Por ejemplo, en una simulaci´on estructural el an´alisis de elementos finitos ayuda a producir visualizaciones de rigidez y fuerza y adem´as ayuda a minimizar peso, materiales y costos. El m´etodo de elemento finito permite una detallada visualizaci´on de la ubicaci´on en donde las estructuras se doblan o tuercen, e indica la distribuci´on de tensiones y los desplazamientos que generan la deformaci´on, la cual tambi´en puede ser apreciada visualmente. Los programas computacionales de an´alisis de elementos finitos proveen un amplio rango de opciones de simulaci´on para controlar la complejidad de ambos, el modelado y el an´ alisis de un sistema. De forma similar, el nivel deseado de precisi´on y los requerimientos de tiempo computacional asociados pueden ser manejados simult´aneamente para atender a la mayor´ıa de las aplicaciones de ingenier´ıa. El an´ alisis de elementos finitos, permite la construcci´on de dise˜ nos enteros, su refinaci´on y la optimizaci´ on de ´estos antes de que el dise˜ no sea manufacturado. Esta poderosa herramienta de dise˜ no ha mejorado en gran forma, ambos, el est´andar de los mismos procesos de dise˜ no en ingenier´ıa y la 427
´ APENDICE D. EL PROGRAMA FEPC
428
metrolog´ıa del proceso del dise˜ no en muchas aplicaciones industriales. La introducci´on del an´alisis de elementos finitos ha reducido el tiempo que se toma para llevar productos desde el concepto hasta la l´ınea de producci´ on. A trav´es de la mejora de dise˜ nos de prototipos iniciales usando el m´etodo de elemento finito se han acelerado, principalmente, las pruebas y el desarrollo de fabricaci´on. En resumen, los beneficios del an´ alisis de elementos finitos mediante t´ecnicas computacionales proporcionan: una alta precisi´on, dise˜ no mejorado, y una mejor percepci´on de los par´ametros cr´ıticos de dise˜ no, prototipos virtuales, menos prototipos de r´eplica del modelo f´ısico involucrado, y ciclo de dise˜ no m´as r´apido y econ´omico, alza en la productividad y en las ganancias. Los paquetes comerciales de an´ alisis mediante aplicaci´on del m´etodo de elemento finito poseen todas las virtudes indicadas en p´ arrafos anteriores; sin embargo el proceso de aprendizaje del uso de tales herramientas requiere que el mismo se inicie con un paquete relativamente sencillo de uso, que incluso incorpore aspectos pedag´ ogicos de ense˜ nanza hacia el y posea relativa versatilidad que permita resolver problemas que son planteados en un contexto de car´acter acad´emico. Uno de tales paquetes es el que describimos muy resumidamente en el presente Ap´endice.
D.1.
El programa computacional FEPC
Con el permiso de propiedad del Dr. Charles E. Knight, el programa de Elemento Finito para Computadora Personal (FEPC — Finite Element Personal Computer) est´a disponible para los s de este texto a trav´es del sitio de Internet: http://www.mhhe.com/hutton <www.mhhe.com/hutton> FEPC es un paquete de software de elemento finito que soporta los siguientes elementos: barra, viga, plano, y de simetr´ıa axial; y por ello est´a limitado a aplicaciones estructurales bi–dimensionales. El programa primigenio: M´etodo de Elemento Finito para Dise˜ no Mec´anico del Dr. Knight tambi´en est´a disponible v´ıa el sitio Web indicado, e incluye los conceptos b´asicos as´ı como un ap´endice que delinea las capacidades de FEPC y sus limitaciones. El material siguiente es una descripci´on general de las bondades del programa y sus restricciones. Un manual de completo como gu´ıa de manejo del programa est´ a disponible en el sitio Web. FEPC realmente es una serie de tres programas (m´odulos de sub–rutinas programadas) que realizan las operaciones de pre–proceso (desarrollo del modelo), soluci´on del modelo (que ha sido elaborado), y post–proceso (an´ alisis de resultados). FEPCIP es el procesador de entrada entrada (IP – Input Processor) usado para ingresar y verificar un modelo, adem´as de preparar los archivos de datos de entrada para la soluci´ on del programa efectuado en otro m´odulo de FEPC. Otro m´odulo es FEPCOP que funciona como procesador de salida (OP – Output Processor), el cual lee los archivos de salida que proporciona el m´ odulo de soluci´ on, y produce los despliegues gr´aficos. Todos los programas son manejados mediante un men´ u principal, con bifurcaci´on autom´atica a sub–men´ us cuando sea apropiado. El men´ u de los archivos del procesador de entrada se usa para recuperar un modelo previamente guardado o para guardar un nuevo modelo. Los modelos se guardan como nombre.MOD, donde nombre es la denominaci´on especificada por el para su proyecto y puede contener un m´ aximo de 20 caracteres. El archivo de an´alisis, que llega a ser la entrada real a la fase de soluci´ on de FEPC es el archivo nombre.ANA, el cual adopta el mismo nombre asignado por el al proyecto de an´ alisis del problema mediante modelo de elemento finito que se est´e resolviendo con el paquete.
D.2.
Pre–procesamiento
La definici´ on del modelo se activa por el men´ u de datos del modelo (Model Data). La selecci´on de datos del modelo permite el a un sub–men´ u usado para definir el tipo de elemento, las propiedades materiales, los nodos, los elementos, las restricciones (impedimentos de desplazamiento),
´ D.3. SOLUCION
429
y las cargas. El tipo del elemento est´ a limitado al uso de elementos: barra (cercha), viga, tensi´on plana, deformaci´ on plana, o de simetr´ıa axial. S´olo un tipo de elemento individual puede usarse en un modelo (el programa no tiene capacidad de combinar elementos de distinto tipo). M´as de 10 series de propiedades materiales pueden usarse en un modelo y deben definirse en orden num´erico. Los nodos pueden ser definidos por la entrada directa del n´ umero de nodo y sus coordenadas (X, Y ) correspondientes (referidas al sistema global coordenado). Siempre se definen los nodos para los elementos barra y viga de esta manera. Los nodos para los elementos planos y de simetr´ıa axial tambi´en pueden ser definidos por entrada directa; pero la capacidad de generaci´on de malla autom´atica para dominios bi–dimensionales (´areas en 2—D) se incluye, aspecto que se discute posteriormente. Similarmente, los elementos son definidos por la especificaci´ on de sus nodos y el n´ umero de propiedad de material asignado a ellos. Para los elementos barra y viga, el orden de la especificaci´on de nodos no tiene ninguna consecuencia. Sin embargo, para los elementos planos y de simetr´ıa axial los nodos deben especificarse en un sentido contrario a las agujas del reloj (sentido anti–horario) alrededor del ´area del elemento. Las restricciones de desplazamiento son aplicados poniendo los valores y seleccionando el nodo al que dichos valores se aplican. Las cargas son aplicadas como fuerzas nodales o como presiones de borde para los elementos s´olidos en 2–D. La secci´ on de generaci´ on autom´atica de malla (Automesh Generation) en 2–D, es usada para generar una serie de elementos planos interconectados que definen el ´area en estudio para dominios bi–dimensionales en modelos de tensi´on plana, deformaci´on plana, o de simetr´ıa axial. La aproximaci´on utilizada es un mapeo de transformaci´on de coordenadas de una malla de elementos rectangulares en un ´area cerrada entera que traza una malla de elementos en el ´area geom´etrica especificada. El ´area geom´etrica es definida usando puntos que se utilizan para definir l´ıneas y arcos que delimiten el ´area por especificaci´ on de su per´ımetro externo. La malla entera de elementos se limita por ´estas l´ıneas que corresponden a las l´ıneas y arcos del ´area geom´etrica. La malla entera est´a limitada por elementos rectangulares (o cuadrados) en el mapa entero del ´area, tomando a los nodos del elemento en el ´area geom´etrica correspondiente. El proceso de mapeo cartogr´afico es iterativo y consiste en distorsionar la malla de ´ area entera generada, para lograr encajar en el ´area geom´etrica. As´ı, el tiene alg´ un control sobre el tama˜ no y forma del elemento utilizado mediante el tama˜ no de la malla entera que est´a siendo generada.
D.3.
Soluci´ on
Cuando un modelo ha sido definido y se ha guardado como nombre.ANA, la soluci´on es generada por el programa FEPC.EXE. Durante la ejecuci´on, se generan y guardan varios otros archivos. Tambi´en, se emiten mensajes de pantalla para informar del progreso en la fase de soluci´on. Un listado de todos los resultados de salida impresa se guarda en el archivo nombre.LST. Este archivo contiene los datos de entrada, todos los datos de salida num´erica, y cualquier mensaje de error emitido durante la ejecuci´on. Se crean dos archivos adicionales para el uso del procesador de salida de resultados. Los datos de nodos y elementos se almacenan en el archivo nombre.MSH y los datos de desplazamientos nodales y tensiones de elemento se guardan en el archivo nombr e.NVL, el cual se utilizar´a en la fase posterior.
D.4.
Post–procesamiento
El procesador del salida FEPCOP.EXE se usa para desplegar los resultados de la soluci´on en forma gr´afica. (El formulario impreso de los datos num´ericos de salida se almacenan previamente en el archivo nombre.LST). Los resultados de desplazamientos pueden desplegarse como una figura de la malla de elementos deformada sobrepuesta encima de una figura del modelo indeformado. Los desplazamientos son escalados en su magnitud de modo exagerado, de manera que el aspecto deformado de la estructura se aprecie con claridad.
´ APENDICE D. EL PROGRAMA FEPC
430
Para los modelos s´ olidos bi–dimensionales, las componentes de tensi´on pueden desplegarse como gr´aficas de contorno (similares a las l´ıneas de nivel topogr´afico). Las componentes de tensi´on disponibles de la soluci´ on obtenida son las componentes de tensi´on: normal, cortante, y de Von Misses para tensi´on plana y deformaci´ on plana; y las componentes radial, axial, cortante, y perim´etrica (tangencial) para modelos de simetr´ıa axial. Para modelos que usan elementos barra o viga, las componentes de tensi´on se trazan como gr´ aficas de c´ odigo de barras.
D.5.
Detalles del paquete
FEPC Versi´ on 3.3 es un programa que realiza an´alisis de tensiones de elemento finito de cerchas tri–dimensionales y vigas bi–dimensionales, s´olidos planos, o estructuras con simetr´ıa axial. El paquete contiene los archivos ejecutables, un archivo de instrucciones iniciales para cargar este sistema a un computador personal, el archivo de documentaci´on de gu´ıa de , un archivo de la documentaci´on propia del paquete, y alg´ un modelo simple de ejemplo de muestra. Como en todo procedimiento computacional de este tipo, primero, haga copias de seguridad de todos los archivos que descargue desde el sitio se˜ nalado en Internet, luego de haber descomprimido el archivo que se proporciona para descarga. Entonces copie el archivo *. EXE al directorio desde el cual usted desea operarlos. Los archivos de los datos pueden estar en otro directorio, o en el mismo donde reside el m´odulo principal de procesamiento; pero en una carpeta diferente. Los archivos que se crean durante la ejecuci´ on de FEPC residir´ an en el mismo directorio como el archivo de entrada *. ANA que usted ingrese al paquete. Los programas trabajar´an cuando sean copiados hacia el disco duro. Hay tambi´en un simple modelo de muestra, *. MOD, y an´alisis, *. ANA, archivos que se proveen junto con los programas espec´ıficos del paquete, que pueden recuperarse en FEPCIP o pueden correrse en FEPC. El archivo de gu´ıa del que es nombrado FEPC33.DOC puede desplegarse en cualquier editor de texto, y ser impreso, para estudiar los comandos y respuestas de los programas. Esta versi´ on comercial de los programas de FEPC es actualmente dimensionada para correr en un computador personal con 640K de memoria interna. Los l´ımites de dimensi´on para las variables que controlan internamente a los programas son: 600 nodos, 600 elementos, 10 materiales, 100 puntos, 30 l´ıneas, y 20 arcos. Tambi´en, el tama˜ no del modelo global est´a limitado en FEPC basado en el n´ umero total de nodos y el ancho de banda promedio nodal. Por ejemplo, 600 nodos con un ancho de banda promedio nodal de 15; 500 con 18, o 400 con 24, son todos los tama˜ nos de modelos m´aximos que pueden correrse en FEPC. Los l´ımites de dimensi´ on para la generaci´on de malla autom´atica de elementos en FEPCIP son I=25 por J=60. Por consiguiente un modelo puede construirse en FEPCIP a´ un dentro del l´ımite m´aximo de 600 nodos, y sin embargo exceder el l´ımite del n´ umero de elementos que resulta demasiado grande para correr en FEPC; por ello se recomienda que se planee cuidadosamente estos aspectos al elaborar el modelo de an´ alisis. El procedimiento para resolver un problema es ejecutar FEPCIP para crear el modelo, ejecutar FEPC para resolver las ecuaciones, y ejecutar FEPCOP para desplegar los resultados. Los programas contenidos en el m´ odulo FEPCIP presentan al diversos men´ us para una entrada interactiva, comprobaci´on y acopio de datos para la elaboraci´on de un modelo. Esto crea un archivo de an´alisis usado como entrada para FEPC (el m´ odulo principal de procesamiento num´erico). Ejecutando el m´odulo FEPC se produce un archivo listado de resultados de suceptible copia impresa y archivos de resultados adicionales usados como entrada para FEPCOP, que es el m´odulo de despliegue gr´afico del paquete. Los despliegues gr´ aficos del aspecto deformado de la estructura y gr´aficas de la distribuci´on de tensiones internas pueden ser producidos entonces por FEPCOP. Estos programas de la versi´ on comercial son provistos para su uso a trav´es del pago de una cuota de registro. Ellos son programas registrados en propiedad del autor y no son autorizados para ser copiados o distribuidos sin el corresponiente permiso escrito; pero usted puede hacer las copias de seguridad que sean necesarias para su propio uso.
Apéndice
E
Problemas de proyecto
Los problemas contenidos en ´este Cap´ıtulo tienen relativa dimensi´on, los cuales no son posibles de resolverse haciendo uso de un calculador de bolsillo, ni tampoco un programa de c´alculo num´erico matricial. Puede usted pensar que tienen caracter´ıstica de ser mini–proyectos; los que pueden servir en un proceso de evaluaci´ on final de la parte pr´actica del m´etodo de elemento finito a trav´es de ciertos problemas aqu´ı planteados, los cuales podr´ıan ser considerados proyectos simulados de fin de materia. En general, los problemas se asociaron con los Cap´ıtulos 3, 4, y 9; los que pueden resolverse usando el software FEPC (v´ease el Ap´endice D) si otro paquete computacional no est´a disponible. El instructor que utilize este libro para ense˜ nar el manejo de un paquete de dise˜ no mec´anico mediante elemento finito, puede escoger cambiar a su discreci´on: las cargas, las propiedades materiales, o las dimensiones de geometr´ıa de la estructura, para cualquiera de estos problemas.
E.1.
Cap´ıtulo 3
Los problemas E.3.1 – E.3.7 involucran cerchas bidimensionales. En cada problema, determine la magnitud y ubicaci´ on de la deformaci´on m´axima, la tensi´on en cada miembro, y las fuerzas de reacci´on de apoyo. Use las reacciones calculadas para verificar el equilibrio global o de toda la estructura. Los n´ umeros de nodos se incluyen s´ olo para referencia y pueden cambiarse a discreci´on del analista. E.3.1 Para la estructura en la Figura E 3.1, cada miembro es de acero, el cual tiene m´odulo de elasticidad lineal E = 30(106 ) psi y el ´ area de su secci´on–transversal es 1,2 pulg2 . E.3.2 Todos los componentes de la estructura mostrada en la Figura E 3.2, son tubos redondos con di´ ametro exterior de 100 mm y espesor de pared de 10 mm. El m´odulo de elasticidad es 207 GPa. E.3.3 Todos los de la cercha en la Figura E 3.3, son listones de madera con secci´on transversal rectangular de 2 pulg × 4 pulg, que tienen m´odulo de elasticidad E = 3(106 ) psi. 431
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
432
1000 lb
1000 lb
1000 lb
7
1000 lb
1000 lb
9
5
6 pies 11
3
500 lb
500 lb
1
6
4
2 3 pies
3 pies
8
3 pies
12
10 3 pies
3 pies
3 pies
Figura E 3.1 5 kN 9 kN 5 9 kN 7 3m
5 kN
9 3 4
6
10
8
4m
4m
4m
9m
1
2
3m
3m
Figura E 3.2 600 lb
12 pies
12 pies
9 pies
12 pies 6
700 lb
400 lb
4
700 lb
9 pies
7
18 pies
3
8
1
2 18 pies
5 18 pies
18 pies
Figura E 3.3 E.3.4 Los de la cercha de la Figura E 3.4, son elementos tubulares de aluminio que tienen di´ametro exterior de 2,5 pulg y 0,25 pulg de espesor de pared. El m´odulo de elasticidad es de 107 psi.
E.1. CAP´ITULO 3
433
5000 lb
3000 lb
3000 lb
7
3 pies 9
5
3 pies 1000 lb
1000 lb
6
3 pies 11
3
4
8
3 pies
2
10
3 pies
1
12 6 pies
6 pies
6 pies
6 pies
6 pies
6 pies
Figura E 3.4 800 lb 400 lb
3
5 pies
200 lb
200 lb
2
1
4 5
2 pies
2 pies
14 pies
Figura E 3.5 5 kN
5 kN
5 kN
3 kN
2m
2m
2m
2m
4 kN
2
8
5
10
11
3m
7
4
9
3 kN
3m
1
3
6 3 kN
Figura E 3.6
18 pies
18 pies
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
434
E.3.5 Todos los de la estructura en la Figura E 3.5, son id´enticos con ´area de secci´on transversal rectangular de 1,6 pulg × 2 pulg y m´odulo de elasticidad E = 15(106 ) psi. E.3.6 En la estructura mostrada en la Figura E 3.6, los horizontales son barras de secci´on cuadrada s´ olida de acero con dimensi´on b´asica de 30 mm de arista; todos los otros son pletinas de hoja de acero planas de 6 mm de espesor por 50 mm de ancho. Use E = 207 GPa como valor del m´ odulo de elasticidad. Son las tensiones calculadas de magnitud razonable para el acero estructural ?. E.3.7 La cercha mostrada en la Figura E 3.7 est´a compuesta de elementos s´olidos redondos de acero de 2 pulg de di´ ametro. El m´ odulo de elasticidad de todos ellos es 30(106 ) psi. Aparte de las tensiones internas y la deformaci´on producida, que preocupaciones deben ser consideradas para verificaci´ on con esta estructura ?. Haga que su respuesta se relacione a los valores de tensi´ on relativamente bajos, que fueron calculados. 2000 lb
4
1000 lb
1200 lb 1500 lb
4 pies 6
3
8 pies
6 pies
2
12 pies
5
6 pies
12 pies
1
7
Figura E 3.7
E.2.
Cap´ıtulo 4
Los problemas en esta secci´ on se tratan de estructuras del tipo marco (es decir, estructuras en las que las uniones son r´ıgidas y transmiten momento de flexi´on, diferentes a las uniones articuladas que interconectan los elementos en una estructura tipo cercha). E.4.1 – E.4.7 Resolver los problemas E.3.1–E.3.7, respectivamente, asumiendo que las uniones son r´ıgidas (mediante soldadura o roblonado ribeteado). La informaci´on adicional requerida es como sigue: Para el Problema E.3.1: Iz = 0,4 pulg4 . Para el Problema E.3.5: Iz = 0,53 pulg4 . E.4.8 La Figura E 4.8 muestra un modelo b´asico de un marco de bicicleta. Todos los son tuber´ıa redonda de 1 pulg de di´ ametro externo y 0,1 pulg de espesor de pared; y el marco est´a constru´ıdo de titanio que tiene un m´odulo de elasticidad de 15(106 ) psi. Determine la defle-
E.2. CAP´ITULO 4
435
xi´on m´ axima y las tensiones internas en cada miembro. Las coordenadas nodales (medidas en pulgadas) de la estructura son como sigue: Coordenadas nodales 300 lb
50 lb
Nodo
x
y
1 2 3 4 5 6 7
0 18 11 9 27 29 36
0 0 14 18 18 14 0
5
4
6
3
7
1
2
Figura E 4.8
E.4.9 Determine la deflexi´ on m´ axima y la tensi´on interna m´axima en la estructura marco mostrada en la Figura E 4.9, si los estructurales son tubos s´olidos de aluminio de 1 pulg de di´ ametro, para los cuales E = 107 psi. 200 lb-pie 500 lb 2
3
1800 lb-pie
8 pies
1
4 8 pies
Figura E 4.9
E.4.10 La Figura E 4.10 muestra un arco que es la estructura de apoyo principal para una pasarela. Esta estructura se construye con perfiles I de acero AISC 6I17.5 estandar (momento de inercia centroidal Iz = 26,0 pulg4 ; ´area A = 5,02 pulg2 ; altura h = 6 pulg). Use elementos marco rectos para modelar este puente y examine la convergencia de la soluci´on a medida que el n´ umero de elementos se aumenta de 6 a 12 a 18. En la evaluaci´on de convergencia, examine ambos valores de la deflexi´on y la tensi´on interna. Tambi´en note que, debido a la direcci´ on de carga, deben ser incluidos los efectos axiales; para ello considere que E = 3(107 ) psi.
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
436
5 pies
5 pies
5 pies
5 pies
5 pies
5 pies
2000 lb 1500 lb
1500 lb
1000 lb
1000 lb
6 pies
Figura E 4.10 E.4.11 La estructura marco mostrada en la Figura E 4.11 est´a compuesta de cuadrados s´olidos de 10 mm de arista, que tienen m´odulo de elasticidad de 100 GPa. Determine la deformaci´ on m´ axima, la m´ axima pendiente de la deformaci´on, y la tensi´on m´axima. 500 N/m
3m
2,5 m
1,5 m
Figura E 4.11
E.4.12 La estructura mostrada en la Figura E 4.12 es un modelo del soporte de una luminaria de un poste ligero para una autopista. Para la uniformidad en la carga del viento, los estructurales son tubos circulares. El di´ametro externo de cada miembro es de 3,0 pulg y el espesor de pared es 0,25 pulg. Calcule la deflexi´on en cada junta estructural y determine las m´aximas tensiones. Examine los efectos en su soluci´on al usar m´as elementos (es decir, refine la malla). Considere que el m´ odulo de elasticidad es E = 107 psi.
3,75 pies 2 pies 800 lb 8 pies
Figura E 4.12
4 pies
1500 lb
E.3. CAP´ITULO 7
E.3.
437
Cap´ıtulo 7
E.7.1 Una aleta de transferencia de calor redonda adelgazada (conocida como aleta de alfiler) se aisla alrededor de su circunferencia, como es mostrado en la Figura E 7.1. El extremo final (D = 12 mm) se mantiene a una temperatura constante de 90◦ C, mientras el extremo m´as peque˜ no (d = 6 mm) est´ a a 30◦ C. Determine el flujo de calor de estado estacionario a trav´es de la aleta directamente usando una malla de elementos con aristas rectas. La conductividad t´ermica del material es k = 200 W/m-◦ C. Aislado
12 mm
6 mm
150 mm
Figura E 7.1
E.7.2 Un conducto rectangular del sistema de calefacci´on en una casa tiene dimensiones de 12 pulg × 18 pulg como es mostrado en la Figura E 7.2. El conducto se aisla con una capa uniforme de fibra de vidrio de 1 pulg de espesor. El conducto (metal en plancha de acero) se mantiene a una temperatura constante de 115◦ F. La temperatura ambiente del aire alrededor del conducto es de 55◦ F. (a) Calcule la distribuci´ on de temperatura en el aislamiento y la p´erdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante. La conductividad t´ermica del aislamiento es uniforme en todas las direcciones y tiene valor k = 0,025 Btu/hr-pie-◦ F; el el coeficiente de convecci´on al aire ambiente es h = 5 Btu/hr-ft2 -◦ F. (b) Repita los c´ alculos para un espesor de aislamiento de 2 pulg. o
Ta = 115 F o
T0 = 55 F
12 pulg
18 pulg
Figura E 7.2
E.7.3 La Figura E 7.3 representa una secci´on transversal de una barra larga aislada en las superficies superior e inferior; de aqu´ı, el problema ser´a tratado como bi–dimensional sobre una base por unidad de longitud. El borde izquierdo se mantiene a una temperatura constante de 100◦ C, mientras que el borde derecho se mantiene a 26◦ C. El material tiene la conductividad uniforme k = 35 W/m-◦ C. Determine la distribuci´on de temperatura y el flujo de calor de estado–estacionario. Qu´e elemento usted deber´ıa usar ? (triangular, rectangular ?. Realice el an´ alisis con elementos diferentes para observar las diferencias en las soluciones). Refine la malla y examine la convergencia.
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
438
45 cm
100° C
26° C
100 cm
Figura E 7.3 E.7.4 Un tubo delgado de cobre (di´ ametro de 12 mm) conteniendo agua a una temperatura media de 95◦ C est´ a empotrado en una placa s´olida larga y delgada, como se muestra en la Figura E 7.4. Los bordes verticales est´ an aislados. Los bordes horizontales se exponen a una temperatura ambiente de 20◦ C y el coeficiente de convecci´on asociado es h = 20 W/m2 -◦ C. El material tiene conductividad uniforme k = 200 W/m-◦ C. Calcule el flujo de calor neto de estado estacionario, y la distribuci´ on de temperatura en la secci´on transversal. Ta = 20° C 25 mm
95° C
50 mm
Figura E 7.4 E.7.5 La Figura E 7.5 muestra una secci´on transversal horizontal de una chimenea que evac´ ua los gases generados por una estufa de madera. El flujo gaseoso se a´ısla con ladrillo refractario de 6 pulg de espesor y teniendo una conductividad uniforme k = 2, 5 Btu/hr-pies-◦ F. La chimenea est´a rodeada por el aire a temperatura ambiente de 40◦ F, y el coeficiente de convecci´on es 5 Btu/hr-pie2 -◦ F. Determine la distribuci´on de temperaturas en el ladrillo refractario y la p´erdida de calor por unidad de longitud. 6 pulg
o
12 pulg o
1200
F
20 pulg
Figura E 7.5
40
F
E.3. CAP´ITULO 7
439
E.7.6 La aleta de transferencia de calor mostrada en laFigura E 7.6 se conecta a una tuber´ıa que lleva un fluido a una temperatura promedio de 120◦ C. El espesor de la aleta es 3 mm. Este dispositivo de disipaci´ on de calor est´a rodeado por aire a temperatura de 30◦ C y sujeto a convecci´ on en todas las superficies con coeficiente h = 20 W/m2 -◦ C. El material de la aleta tiene conductividad uniforme k = 50 W/m-◦ C. Determine el flujo de transferencia de calor desde la aleta y la distribuci´on de temperatura en la misma. o
10 35 mm
25 mm o
120 C
100 mm
Figura E 7.6
E.7.7 La secci´ on transversal mostrada es de un paso peatonal en una galer´ıa comercial, despu´es de haber empotrado los cables de calor para prevenir la acumulaci´on de hielo en la ´epoca de invierno. Los bordes verticales est´an aislados y las superficies horizontales est´an en las temperaturas de r´egimen mostradas. El material tiene una conductividad uniforme k = 0, 6 Btu/hr-pies-◦ F y los cables tienen una potencia fuente cal´orica de 200 Btu/hr-pulg. Calcule el flujo neto de transmisi´ on de calor y la distribuci´on de temperatura en la secci´on mostrada. o
32
F
2 pulg
8 pulg
12 pulg o
15 F
Figura E 7.7
E.4.
Cap´ıtulo 9
E.9.1 La viga en voladizo mostrada en la Figura E 9.1 est´a sujeta a una carga concentrada F aplicada en su extremo libre. Modele esta viga usando elementos tri–dimensionales del tipo ladrillo y compare la soluci´on de elemento finito con la soluci´on que proporciona la teor´ıa de la viga elemental. C´ omo hace usted para aplicar la carga concentrada en el modelo de elemento finito ?.
L E
h F b
Figura E 9.1
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
440
E.9.2 Refi´erase a un texto normal de dise˜ no mec´anico y obtenga los par´ametros geom´etricos de una involuta estandar del perfil de un diente de engranaje. Asumiendo que el diente est´a empotrado al di´ ametro de la corona de ´este elemento mec´anico, determine la distribuci´on de tensiones en el diente del engranaje cuando la carga act´ ua en: (a) el extremo del diente y (b) en un punto sobre el di´ ametro pitch. (c) Tienen sus resultados concordancia con la teor´ıa cl´ asica de engranajes ?. E.9.3 Un placa plana de 25 mm de espesor est´a cargada como se muestra en la Figura E 9.3; el material tiene m´ odulo de elasticidad E = 150 GPa y coeficiente de Poisson igual a 0,3. Determine la deflexi´ on m´ axima, la tensi´on normal m´axima, y las fuerzas de reacci´on asumiendo un estado plano de tensiones. 10 000 N
3m
9m
Figura E 9.3
E.9.4 Repita el Problema E.9.3, si el espesor var´ıa desde 25 mm en el extremo izquierdo, a 15 mm en el extremo derecho. E.9.5 Una placa delgada de acero, de 0,5 pulg de espesor se sujeta a la carga mostrada (v´ease la Figura E 9.5). Determine el desplazamiento m´aximo y la distribuci´on de tensiones en la placa. Use como valor del m´ odulo de elasticidad E = 30(106 ) lb/pulg2 , y coeficiente de Poisson igual a 0,3. 50 lb-pulg
15 pulg
40 pulg
150 lb
Figura E 9.5
E.9.6 Una placa delgada uniforme sujeta a una tensi´on uniforme en sus extremos como es mostrada en la Figura E 9.6, tiene un agujero rectangular central. Use el m´etodo de elemento finito para determinar el factor de concentraci´on de tensiones alrededor de la perforaci´on. Use las propiedades materiales del acero en sus c´alculos. Sus resultados cambiar´ıan si usted usa las propiedades materiales del aluminio ?. S´ı, N´o, Por qu´e ?. 6 pulg
0
0
3 pulg 0,5 pulg
Figura E 9.6
E.3. CAP´ITULO 7
441
E.9.7 La Figura E 9.7 muestra una situaci´on com´ un en el dise˜ no mec´anico. Un filete redondeado es usado para permitir la transici´on entre secciones que tienen dimensiones diferentes. Use el m´etodo de elemento finito para determinar el factor de concentraci´on de tensiones alrededor del radio del filete en el cambio de la secci´on. El espesor del material es 0,25 pulg y el m´odulo de elasticidad 15(106 ) psi. C´omo usted modela la solicitaci´on del momento aplicado como carga ?. 55 mm
50 mm
7,5 mm
25 mm
40 mm 4000 N-m
4000 N-m
Figura E 9.7
E.9.8 La placa del escudete mostrado en la Figura E 9.8 est´a conectada en su parte superior izquierda por medio de un remache ribeteado de 1,5 cm de di´ametro y sostenida en su extremo inferior (modelado como una conexi´on articulada fija). La placa est´a cargada como es mostrado en el esquema. Asumiendo que el remache es una conexi´on r´ıgida, calcule la distribuci´on de tensiones alrededor de la circunferencia del remache. Tambi´en determine la deflexi´on m´axima. El escudete tiene espesor de 14 mm, m´odulo de elasticidad 207 GPa, y coeficiente de Poisson 0,28.
2,5 cm 5 cm
40 cm 8000 N
45 cm Figura E 9.8
E.9.9 A menudo se usan ejes de secciones no circulares para los acoplamientos de r´apido–cambio. La Figura E 9.9 muestra una secci´on transversal hexagonal usada para tal prop´osito. La longitud del eje es 6 pulg y est´a sujeto a un torque neto de 2800 lb-pulg. Si el material es acero, calcule el ´ angulo total de torsi´on. (Nota: es muy probable que su software de elemento finito no tenga un elemento directamente aplicable a este problema. Por tanto, es posible que pueda requerirse aplicar analog´ıa.)
´ APENDICE E. PROBLEMAS DE PROYECTO
442
1 pulg
Figura E 9.9
E.5.
Cap´ıtulo 10
E.10.1 Para cada cercha de los Problemas E.3.1 — E.3.7 y E.4.1 — E.4.7, determine las cuatro frecuencias naturales m´ as bajas y las formas modales correspondientes. C´omo ´estas var´ıan con uniones articuladas versus la hip´otesis de uniones r´ıgidas ?. (Note que, d´onde un material no se especifica, usted puede adoptar a discreci´on el valor de la densidad). E.10.2 Use la capacidad de an´ alisis modal de su software de elemento finito para determinar las frecuencias naturales y las formas modales asociadas, de la viga en voladizo mostrada en la Figura E 10.2. Use el refinamiento de malla para observar la convergencia de las frecuencias. Compare con los valores publicados en cualquier texto normal de vibraciones mec´anicas. Qu´e representan las frecuencias m´as elevadas ?. Cu´antas frecuencias recomienda usted que se deber´ıan calcular ?. Porqu´e ?.
, E, Iz A L
Figura E 10.2
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Notas de apunte personales
Notas de apunte personales
Notas de apunte personales
Notas de apunte personales
Notas de apunte personales
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