Elementos Finitos 6p1d3s

Curso: Engenh haria Civil Disciplina : Métodos Numéricos;

Prof: Marcos Vinicios

INTRODU UÇÃO AO MÉTODO DOS ELE EMENTOS FINITOS (ME EF)

Aula_01



I t d ã Definição Introdução: D fi i ã do d Método Mét d dos d s Elementos El t Finitos Fi it (MEF) É um método numérico que fornece uma solução aproximada de modelos matemáticos que descrevem o comportamento físico em me eios contínuos, comuns na engenharia. Meio contínuo Æ estruturas reais objeto j da aná álise. Ex: viga, laje, solo, parafuso, placa, um fluido (gás ou líquido no interior de dutos), etc; Comportamento físico Æ prever o comportame ento do meio contínuo (estruturas) sob o efeito de solicitações externas por meio de um modelo físico. Ex: - deformação e tensões de uma estrutura a sujeita a um carregamento; - Perfil de temperaturas no motor de um automóvel; a - Escoamento de líquidos em dutos; - Campo elétrico de um capacitor; - Campo eletromagnético em um motor elétrico; Modelo Matemático Æ equações q ç diferenciais ou equações q ç integrais g com suas respectivas p condições de contorno, que descrevem o comp portamento do modelo físico.



I t d ã Definição Introdução: D fi i ã do d Método Mét d dos d s Elementos El t Finitos Fi it (MEF) Meio contínuo: Viga bi-apoiada Æ preve er a deflexão desta sob o efeito de uma carga; Sistema Real Modelo real

Comportamento Físico: Este comportam mento é estabelecido a partir da representação física do Meio contínuo, ou seja, elaboração do Modelo Físico de problema analisado; Modelo simplificado: Modelo Físico - seção ã constante; t t Modelo discretizado - material homogêneo; - apoios ideais; Modelo Matemático: A resistência dos s Materiais fornece a teoria simples de viga, sendo a deflexão de uma viga g bi-apoiada p definida por: p Modelo Matemático

E I d4 v = w((x) dx4

Æ v = deflexão da linha elástica;



I t d ã Definição Introdução: D fi i ã do d Método Mét d dos d s Elementos El t Finitos Fi it (MEF) Em geral, os problemas de engenharria são descritos por modelos matemáticos complexos (equações algébricas, diferenc ciais, integrais e suas combinações, etc), semelhantes ao exemplo anterior da viga bi-ap poiada. Raramente essas equações podem serr resolvidas de uma forma fechada, ou seja, fornecer uma solução exata; Para contornar esta dificuldade são utillizados métodos numéricos a fim de se obter soluções aproximadas para estes problemas; Entre os inúmeros métodos numéricos po odem ser destacados: - Método das diferenças finitas; - Método dos Elementos Finitos (ME ( EF); ); - Método dos elementos de Contorno;



I t d ã Definição Introdução: D fi i ã do d Método Mét d dos d s Elementos El t Finitos Fi it (MEF) Em muitas áreas da engenharia e da ciência aplicada o MEF é um dos métodos numéricos mais utilizados, uma vez que: - É uma ferramenta poderosa parra resolver equações diferenciais-parciais e eq ações intregral-diferenciais equações intregral diferenciais muito m ito comum com m nos problemas de engenharia; engenharia - Permite facilmente a sua imple ementação em programas computacionais naturalmente versáteis que podem resolver mu uitos casos práticos; - O crescente desenvolvimento dos equipamentos e e sistemas computacionais, contribui p para sua divulgação g ç e p popularizaçã p ção e q que p pode ser observado nos inúmeros softwares mundialmente conhecidos;

Assim um software(programa) de eleme entos Finitos pode ser definido como:

Uma ferramenta numérico-computtacional capaz de fornecer uma solução aproximada para inúmeros problemas de enge enharia;



I t d ã Idéia Introdução: Idéi básica bá i do d Método Mét d dos d Elementos El t Finitos Fi it (MEF) Consiste em estabelecer uma solução aproximada a para o problema (meio-contínuo), ou seja, uma solução que satisfaça o Modelo Real; R Modelo Real ou Meio Contínuo: - Este modelo é formado por infinitos pontos; - Cada ponto do modelo possui um número infinito de possíveis deslocamentos, também chama ados de graus de liberdade de deslocamento (GLD), (DOF - Degrees Of Freedom, em inglês); - Da mesma forma, cada ponto possui um número ú i fi it de infinito d parâmetros â t ( (variáveis), iá i ) a serem determinadas. Ex: deslocamentos nod dais; - Por estes aspectos a solução analítica “exa exa ata” ata de uma estrutura real (meio-contínuo) em muitos casos torna-se impossível ;

P

Meio contínuo Infinitos pontos

Domínio: todos os pontos no seu interior, te o , menos e os o seu contorno

Modelo real: Estrutura ou meio contínuo (sólido, líquido ou gasoso)



I t d ã Idéia Introdução: Idéi básica bá i do d Método Mét d dos d Elementos El t Finitos Fi it (MEF) A solução aproximada de um Modelo Re eal é obtida por meio de um método Numérico (MEF) aplicado ao Modelo discretizado do me eio-contínuo; Entre os métodos aproximados p mais uttilizados na engenharia g destaca-se o MEF,, o qual busca a solução aproximada do Modello discretizado, a partir dos pontos de seu domínio; P Modelo Discretizado ou Simplicado: - Este modelo é formado por finitos pontos; - Cada ponto do modelo possui um Número fin nito de possíveis deslocamentos ((número finito de GLD); p ) - Da mesma forma, cada ponto possui um Número finito de parâmetros (variáveis), a serem determinadas .Ex: deslocamentos nod dais; - Por estes aspectos a resolução aproximada a d uma estrutura de t t reall (meio-contínuo) ( i tí ) pode d se er determinada;

Modelo Discretizado: meio contínuo discretizado (sólido, líquido ou gasoso)



I t d ã Idéia Introdução: Idéi básica bá i do d Método Mét d dos d Elementos El t Finitos Fi it (MEF) Neste Modelo discretizado ou simplific cado: - Os elementos finitos são conectados entre si s através das interfaces e dos Nós ou pontos nodais; - Ao conjunto de elementos finitos e pontos nod dais, dá-se, usualmente o nome de malha de elementos fin nitos. (grid em inglês); (grid- Diversos tipos de elementos finitos já foram desenvolvidos. d estes apresentam formas geométricas diversass (por exemplo, triangular, quadrilateral, cúbico, etc) e em função do tipo e da dimensão do problema fruto d análise: da áli P bl Problema unidimensional idi i l bidimensional ou tridimensional.

P interface

Modelo Discretizado: meio contínuo discretizado (sólido, líquido ou gasoso)



I t d ã Idéia Introdução: Idéi básica bá i do d Método Mét d dos d Elementos El t Finitos Fi it (MEF) Uma vez, elaborado o Modelo discretiza ado ou simplificado: - Escreve-se um Sistema de equações que de escreve o comportamento de cada elemento e sua interação com o vizinho. Este sistema de equações e no nível local (elemento), pode ser escrito it de d forma f compacta, t ou seja, j em notaçã t ão ã matricial: ti i l { f } = [ k ] e . {u} onde: f Æ vetor de forças nodais local (eleme ento); u Æ vetor deslocamento nodais local (elemento); ( ke Æ matriz de rigidez do elemento; - O sistema de equações no nível local (elem mento) de todos os elementos são combinados e organizados, organizados de modo a obter um sistema de equações no nível global (estrutura), (estrutura) onde este sistema é capaz de descrever o comporta amento sobre todo o domínio(estrutura). Este Sistema escrito na forma compacta é definido por: p { F } = [ K ] . {U} onde: F Æ vetor de forças nodais global (mo odelo=estrutura); U Æ vetor de deslocamento nodais glo obal (modelo=estrutura); K Æ matriz de rigidez do modelo (estru utura);



I t d ã Tipos Introdução: Ti d Elementos de El t Fini Fi itos 1- elementos unidimensionais:elementos de molas, elementos de treliça e de viga planos e elementos de treliça e de viga espacia ais; Elemento de mola

Elemento de treliça e de vig ga planos Y

Elemento de treliça e de viga espaciais Y

Linear: 2 Nós

Linear: 2 Nós

Quadrático: 3 Nós

Quadrático: 3 Nós

Cúbi Cúbico: 4 Nó Nós

Cúbico: 4 Nós

X realizar a análise dos deslocamentos planos e das rotações no plano

Z

X realizar a análise dos deslocamentos no espaço e das rotações no espaço

OBS: Apesar OBS A d dos elementos l t d treliça de t li e de d viga i apresentarem t a mesma representação t ã gráfica, os mesmos fornecem diferentes an nálises: Elemento de treliça Æ analisa apenas s deslocamentos lineares; Elementos de vigaÆ analisa deslocam mentos lineares e rotações;


Prof: Marcos Vincios

I t d ã Tipos Introdução: Ti d Elementos de El t Fini Fi itos 1- elementos unidimensionais: elementto de treliça, exemplos de aplicação. O elemento unidimensional se con necta ao elemento adjacente apenas pelo nó que posuem em comum.



I t d ã Tipos Introdução: Ti d Elementos de El t Fini Fi itos 2- elementos bidimensionais: elemento os triangulares e quadrilaterais que podem ser utilizados em problemas de estado plano de e tensão (Membrana ou chapa Æ 2D), como também em problemas tridimensionais (Placa e cascas Æ 3D). Membrana ou chapa Æ 2D

Z

Y

Placa, casca Æ 3D

Linear

Linear

Quadrático

Quadrático

Cúbico

Cúbico X

Y

X

OBS: Apesar dos elementos de Membrana e Placa apresentarem a mesma representação gráfica, os mesmos fornecem diferentes an nálises: Elemento de Membrana ou chapa Æ analisa apenas deslocamentos lineares; Elementos de Placa e cascaÆ analis sa deslocamentos lineares e rotações;


Prof: Marcos Vincios

I t d ã Tipos Introdução: Ti d Elementos de El t Fini Fi itos 2- elementos bidimensionais: elementtos triangulares e quadrilaterais, exemplos de aplicação, apenas em 2D. O elemento bidimensional se conec cta ao elemento adjacente não apenas pelos nós q que p posuem em comum,, mas também p pela as interfaces comuns entre eles. Distribuição de temperatura Di ib i ã de Distribuição d temperatura

Elementos triangulares

Elementos quadrilaterais Malha mais grosseira (34 ( elementos)) e mais refinada (502 elementos)



I t d ã Tipos Introdução: Ti d Elementos de El t Fini Fi itos 3- elementos tridimensionais ou sólido os: elementos tetraédricos e hexaédricos Elementos tridimensionais ou Sólidos

Linear

Quad drático

Cúbico

OBS: Apesar dos elementos de tridimensiona ais ofereceram ótimos resultados para análise de estruturas tridimensionais, os mesmo exigem e um e computacional maior para realizar as análises;



I t d ã Tipos Introdução: Ti d Elementos de El t Fini Fi itos 3- elementos tridimensionais ou sólidos: elementos tetraédricos e hexaédricos. Exemplos de aplicação. O elemento tridimensional se conecta ao a elemento adjacente não apenas pelos nós que p q posuem em comum,, mas também p pelas in nterfaces comuns entre eles.



I t d ã Etapas Introdução: Et d análise da áli via i ME EF A análise de um problema de engenharria por meio do Método dos elementos finitos utilizando um software comercial é composta basicamente b por três etapas: I - Fase de pré-processamento: - Criação C i ã da d malha lh (um ( grid id de d nós ó e elementos) l t ) que representa t o modelo; d l - Definir as condições de contorno: . pontos com cargas s (concentradas e ou distribuída . pontos com apoios s (impedem os deslocamentos destes ponto) - Definir as propriedades do elemento os; - Montagem (Assemble) da matriz de rigidez dos elementos. O modelo pode ser gerado por meio do pacote gráfico do software ou ou pode ser importado de um programa de CAD. O resultado final deste o é um arquivo de dados, onde indica-se ao programa p g oq que fazer e com q que ferramentas trabalhar



I t d ã Etapas Introdução: Et d análise da áli via i ME EF A análise de um problema de engenharria por meio do Método dos elementos finitos utilizando um software comercial é composta basicamente b por três etapas: II - Fase de resolução (análise proprriamente dita): - Resolução R l ã de d um conjunto j t de d equaç ções õ lineares li ou não ã lineares li simultaneamente i lt t para obter os resultados nodais, deseja ados, tais como: deslocamentos ou de temperatura em diferentes nós em um m problema de transferência de calor.

O processo da análise esta contido numa espécie de “caixa ca a p preta” eta o onde de o usuá usuário o comum, em geral, não tem aceso.

A análise realizada nesta “caixa preta” será á o foco da disciplina, ou seja, apresentar a formulação bem como processo de resollução do problema contidos nesta “caixa preta” dos softwares;



I t d ã Etapas Introdução: Et d análise da áli via i ME EF A análise de um problema de engenharia a por meio do Método dos elementos utilizando um software comercial é composta basicamentte por três etapas: III -Fase de pós-processamento (intterpretação dos resultados): - Analisar A li os dados d d gerados d na simula i lação. ã Nesta N t fase, f você ê pode d estar t interessado i t d nos valores de DESLOCAMENTOS, DEFORMAÇÕES, TENSÕES, FLUXO DE CALOR, etc.

Op pós-processador p pega p g as informações ç do arquivo de resultados e às apresenta em forma gráfica ou tabulada. Os gráficos feito pelo programa são coloridos com a finalidade de localizar os valores de Máximos e mínimos bem como a distribuição (campos): -Esforços; - Tensões; -Deformações - Temperatura, ect.



I t d ã Análise Introdução: A áli estrutural t t l via i ME EF A análise estrutural é a principal aplicaç ção prática do MEF dentro das engenharias; O MEF determina a configuração deforrmada do modelo discretizado por meio dos deslocamento dos nós p presente no modelo ((e estrutura analisada); ); Assim, neste método (MEF), os Parâme etros=Váriáveis=incógnitas que descrevem o comportamento do modelo são os deslocamen ntos nodais; Os deslocamentos nodais são chamad dos também de Variáveis de Estado, pois governam e descrevem o estado de equilíbrio do d modelo (estrutura analisada); Os deslocamentos nodais calculados via v MEF permitem gerar vários resultados desejados ( deslocamentos, deformações, tens sões, etc) em uma análise estrutura:

1- MEF calcula Æ Deslocamentos (ΔL);; 2 - Com os deslocamentos MEF calcula Æ Deformações (ε = ΔL/L); 3 - Com as deformações MEF calcula Æ Tensões (σ = E . ε); 4 - Com as tensões MEF calcula Æ Força as (σ = F/A Æ F = σ . A);


I t d ã Precisão Introdução: P i ã do d MEF


P1

P2

P3

A precisão do método depende: - Quantidade de nós e elementos, e do ta amanho; (grau de refinamento da malha)

Modelo Real

- Da correta definição ç do modelo discretiz zado,, de modo a representar a geometria bem como as condições de contorno da estrutura an nalizada; condições di õ apoios i Æ restrições ti õ d de d desllocamento; t de Contorno cargas Æ concentradas, disttribuídas;

REFIN NAMENTO DA MALH HA

- Do tipo de elementos presentes na malh ha;

Modelo discretizado 1


O refinamento da malhae permite descreve d melhor lh a geometria t i da d estrutura t t an nalisada li d A correta definição das condiçõe es de contorno t b bem como o refinamen fi t da to d malha aumentam a precisão do d modelo,

P1

P2


P3



I t d ã Precisão Introdução: P i ã do d MEF A precisão do método depende: - O tipo de elemento presente na malha; (Este é um ponto crucial) M d l Real Modelo R l (Estrutura (E t t – laje) l j )

A escolha do tipo de elemento afeta direta amente a análise de uma estrutura via MEF, visto o que existes vários tipos de elementos. elementos A esco olha deve ter como base dois aspectos fundamenta ais: 1- Quais as informações desejadas na Modelo discretizado: análise da estrutura em questão: -Elemento de chapa, Ex: um laje j onde deseja-se j conhecer os deslocamentos lineares e as rotações; Fornece apenas os 2 - Qual elemento finito oferecido pelo software é capaz de fornecer como resultado de uma análises estes dados desejados;

Modelo discretizado:

deslocamentosLineares;

-Elemento de Placa, Fornece as rotações e deslocamentos Lineares;

- O software realizou uma análise correta

- O software realizou uma análise correta

O erro foi criado pelo Projetista que não discretizou a estrutura Corretamente;

O Projetista discretizou t t d de forma f a estrutura Corretamente;



I t d ã Modelos Discretizados utilizaados na análise via MEF: Introdução: As estruturas reais ((meio contínuo)) em Análise Estrutural p podem ser agrupadas g p em dois grandes grupos de modelos, os quais são analisadas por meio do MEF. - Modelos discretizados reticulados: Nestes modelos a estrutura é discretiz zada por elementos unidimensionais onde a interação ocorre somente nas juntas ou nós, ou seja, os deslocamentos os esforços são transmitidos somente pelos nós. nós

- Modelos discretizados contínuos: Nestes modelos a estrutura é discretizad das por elementos bi e tridimensionais onde a interação ç não ocorre apenas p sobre o nós, mas também nas interfaces comuns. Esta condição exige a utilização de uma formulação o mais complexas.



I t d ã Modelos Discretizados utilizaados na análise via MEF: Introdução: - Modelos discretizados reticulados:

- Modelos discretizados contínuos: Modelo de uma Barragem de concreto

Modelo de uma peça automotiva



I t d ã Modelos Discretizados utilizaados na análise via MEF Introdução: - Modelos discretizados reticulados: As estruturas reais, tais como as vigas s , treliças, pórticos – cujas conexões são rígidas g ou articuladas, apresentam p menor dificuldade d na montagem g nas equações q ç q que governam seu comportamento. Nestes casos, tanto na estrutura real como na sua discretização (Modelo reticulado) os esforços ( axiais, cortantes, momentos fletores e torçores) são transmitidos para o elemento vizinho pelos nós. - Assim as equações de equilíbrio e as condições de compatibilidade de deslocamentos dos nós são suficientes pa ara conceber matematicamento o modelo de cálculo; ál l Nó A

X

Y Nó 2

E3

Nó 2

Nó 1 E3

E1

E2

x = 5 mm y = 4 mm

E1

Nó 1

Nó 2 do elem mento E1 Deslocamentto x = 5 mm Deslocamentto y = 4 mm

Nó 1 do elemento E3 Deslocamento x = 5 mm Deslocamento y = 4 mm

Caso algum deslocamento do nó do elemento loca alizado no ponto A (Nó A) não seja igual a X e y, não existe compatibilidade de deslocamento dos nós;



I t d ã Modelos Discretizados utilizaados na análise via MEF: Introdução: - Modelos discretizados contínuos: Nas estruturas contínuas como as cha apas e os sólidos e etc, cuja subdivisão em elementos discretos “conectados continuam mente (p (pontos nodais + interface)” ) p produz maior dificuldade na montagem das equações que governam o seu comportamento. Uma vez que, nestes modelos contíínuos (elementos bi e tridimensionais), as equações de equilíbrio e condiçoes de compatibilidade de deslocamentos são estabelecidas não apenas em termos dos pontos p nodais, mas também em termos dos contornos comuns (interface), (interface) afim de conceb ber matematicamento o modelo de cálculo com suficiente precisão; E1

E2

E1

u1

Deslocamentos δ1 ao a longo da interface u2 do elemento E1

E2

Deslocamento δ1 ao longo da interface do elemento E2

u1-u2= 0 Existe compatibilidade de deslocamentos na interface dos elementos



I t d ã Formulação dos diferentes tip Introdução: pos de elementos Finitos A formulação ç Æ { f } = [ k ] . { u } , ou seja, j , o sistema de equações q ç que descreve o q comportamento de cada elemento finito de um problema é obtida por três métodos: a) Método direto; b) Método variacional; Estes dois últimos são denominados c) Método dos resíduos ponderados s; Métodos indiretos Método direto Æ só pode ser utiliz zado para obter a formulação de elementos unidimensionais ( elemento de mola, de treliça, viga); Este método fornece noção física clara a do MEF, sendo este o preferido nos estágios iniciais de aprendizado do MEF; Métodos indiretos Æ são utilizados para obter a formulação de elementos bi e tridimensionais (bimensionais Æ chapa, placa; tridimencionais Æ tetraédrico, cúbico); Estes métodos são mais complex xos exigindo portanto um maior grau de conhecimento do MEF, sendo apresentado nos s estágios mais avançados de aprendizado do MEF;



R f ê i Bibliográficas: Referências Bibli áfi Livro texto: ELEMENTOS FINITO OS - A Base da Tecnologia CAE Avelino Alves Filho, prof. p Dr. Editora: Érica,, 5ª ediççção,, 2007

Bibliografias complementares: Introdução à Análise e ao Projetto em Elementos Finitos Nam-Ho Kim ; Bhavani V. Sanka ar Editora: LTC, 2011

Um Primeiro Curso em Elemento os Finitos Jacob Fish ; Ted Belytschko Editora LTC, Editora: LTC 2009

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