Ejercicios Sobre Relaciones De Equivalencia 562s4r

Ejercicios sobre relaciones de equivalencia Daniel Darío Fula Arguello 27 de marzo de 2014 Los siguientes ejercicios fueron tomados de la sección 3.6 del libro de José M. Muñoz [1]. 1.

a) Sea f : A → B cualquier función entre conjuntos no vacíos; pruebe que la relación R denida por xRy ⇔ f (x) = f (y) es de equivalencia en A.

Primero veamos que R es reexiva. Por la reexividad de la igualdad sabemos que f (x) = f (x) para todo x ∈ A, luego R es reexiva. Ahora veamos que R es simétrica. Supongamos que xRy , es decir que f (x) = f (y). Por la simetría de la igualdad tenemos que f (y) = f (x), como esto se cumple para cualesquiera x, y en A, R es Demostración.

simétrica. Por último, veamos que R es transitiva, para ello, supongamos que xRy y yRz para cualesquiera x, y y z en A, es decir que f (x) = f (y) y f (y) = f (z). Por la transitividad de la igualdad, tenemos que f (x) = f (z) y por lo tanto xRz . Luego R es transitiva. Como R es una relación reexiva sobre A, simétrica y transitiva, concluimos que R es una relación de equivalencia en A.

b) Si f : R → R está dada por f (x) = x2 − x + 2, halle, con respecto a la relación de equivalencia denida en (a), las clases de equivalencia de los reales 0, 2 y a.

Para encontrar la clase de equivalencia de 0 procedemos a encontrar losy ∈ R tales que f (0) = f (y), es decir a solucionar la ecuación 2 = y 2 − x + 2. Obtenemos la ecuación cuadrática y 2 − y = 0, la cual tiene como soluciones y = 0 y y = 1. Así [0]R = {0, 1}. De la misma forma procedemos para hallar [2]R y [a]R . Solución:

[2]R = {y ∈ R|f (2) = f (y)} = {y ∈ R|4 = y 2 − y + 2} = {y ∈ R|0 = y 2 − y − 2} = {y ∈ R|0 = (y − 2)(y + 1)} = {−1, 2}. [a]R = {y ∈ R|f (a) = f (y)} = {y ∈ R|a2 − a + 2 = y 2 − y + 2} = {y ∈ R|0 = y 2 − y + a − a2 } = {y ∈ R|0 = (y − 1 + a)(y − a)} = {1 − a, a}

c) Si S es una relación de equivalencia en A y pS : A → A/S es la proyección canónica asociada, pruebe que S coincide con la relación R denida en (a) cuando f = pS . Demostración. Tomemos cualesquiera x y y de A. Sabemos que decir que xRy equivale, por denición, a decir que pS {x} = pS {y}

2. Pruebe que en R la relación xRy ↔ sen(x − y) = 0

es de equivalencia. Halle para esta relación las clases de equivalencia de los reales 0, π/2, π/4 y a. 3. Sea A = {a, b, c}; halle todas las particiones del conjunto A; encuentre, dándolas como conjuntos de parejas ordenadas, las relaciones de equivalencia correspondientes a las particiones halladas. 4.

a) Halle el número de particiones que existen para un conjunto con 4 elementos. b) Haga lo mismo para un conjunto con 5 elementos.

5. Demuestre que en Z × (Z − {0}) la relación siguiente es de equivalencia:

(m, n)R(p, q) si y sólo si mq = np

es de equivalencia. Halle [(−2, 6)]R y [(0, 1)]R . 6.

a) Pruebe que en R la relación xSy si y sólo si x2 − y 2 = 3x − 3y

es de equivalencia. Halle [0]S , [2]S y [a]S . b) Pruebe lo mismo para xT y si y sólo si x3 + 2y = y 3 + 2x. Halle [3]T y [5]T . 7. Si R1 , R2 son relaciones de equivalencia en A, a) Pruebe que R1 ∩ R2 es también de equivalencia. b) Dé un contra-ejemplo para hacer ver que, en general, R1 ∪ R2

no

es una relación de equivalencia.

Let H = {h1 , h2 , . . . , hm }, where h1 , h2 , . . . , hm are distinct, and let x be an element of G. Then the left coset xH consists of the elements xhj for j = 1, 2, . . . , m. Suppose that j and k are integers between 1 and m for which xhj = xhk . Then hj = x−1 (xhj ) = x−1 (xhk ) = hk , and thus j = k, since h1 , h2 , . . . , hm are distinct. It follows that the elements xh1 , xh2 , . . . , xhm are distinct. We conclude that the subgroup H and the left coset xH both have m elements, as required.

Demostración.

vacas vacas ??

Referencias [1] Muñoz, José M. (2012), Introducción a la teoría de conjuntos. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias.