Ejercicios De Relaciones De Equivalencia.doc 566t5u

EJERCICIOS DE RELACIONES DE EQUIVALENCIA 1)Si A = {a, b,c,d,e} i) defina en A una relación que sea: a) reflexiva y simétrica b) reflexiva y transitiva pero no simétrica. c) simétrica y transitiva d) reflexiva, simétrica, transitiva y antisimétrica. ii) En (A) definimos XRY si y sólo si existe una biyección X en Y, XSY si y sólo si a  XY. y XR´Y si y solo si X  Y Dar dos parejas que estén en cada relación y dos parejas que no estén. a) Dar dos parejas que estén en R  S , dos en (R S)c. .y dos que estén en R  R´ b) Decidir si R es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. c) Como en c) pero para S. d) Es R  R´ la diagonal de A)? Sigue esto siendo válido si se cambia A por N ? 2)Si f es función de A en B y en A definimos a R b si y sólo si f(a) = f(b) i) Demuestre que R es una relación de Equivalencia en A. ii)Dar dos clases de equivalencia y la partició determinada por R en cada caso. a) A = B = R, f(x) = x4 b) A= B = N f(n) = el residuo de dividir a n por 7 c) A = R2 B = R f((x,y)) = y a) A = El conjunto de partes de un conjunto con n elementos, B = {0,1,2,....,n} f(X) = #(X) b) A, el conjunto de alumnos del curso B = {0,1,2,..,9} f(x) = segunda cifra del código de x 3)Decida cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos cuáles son falsos. Justifique su respuesta. a) Si una relación R no es reflexiva. existe una relación R* que contiene a R que si lo es. b) como en a) pero sustituyendo reflexiva por simétrica, por antisimétrica y por transitiva c) Si R1,R2 son transitivas, R1U R2 es transitiva. d) Si R1U R2 es reflexiva, R1 y R2 son reflexivas. e) Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas. f) Toda relación simétrica y transitiva es reflexiva. 4)En cada caso decida si la relación dada es de equivalencia o no. En el caso de serlo dé tres clases de equivalencia diferentes y la partición que ella determina. a) En Z se define aRb si y sólo si | a | = | b | b) En Z se define aSb si,si a = | b | c) D = {0,1,2,3,....9} y en DxD se define (a,b) R (c,d) si,si a+d = b+c d) En R considere xRy si y sólo si sen(x-y) = 0 e) En A = {1, 2,3,...,15} se define aRb si y sólo si a y b tienen el mismo número de divisores f) En R2, (a,b) R (c,d) si y sólo si b = d g) En R2 considere (a,b) R (c,d) si,si a2+b2 = c2+d2 h) En R2 considere (a,b) R (c,d) si,si max(|a|,|b|) = max(|c|,|d|) i) Si A ={a,b,c,d} , B = {0,1,2}  = {f / f es funcion de Aen B} en  se def. f Rg si,si f(b) = g(b) j) En R2 considere (a,b) R (c,d) si y sólo si existe t en R tal que a-c = t y b-d = 2

RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una relación R en un conjunto no vacío A se dice de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Ej. 1-En todo conjunto A, AxA y A son de equivalencia. además son la máxima y la mínima relación de equivalencia en un conjunto. puesto que si R es de equivalencia en A se tiene A  R AxA. 2-En cada caso decida si la relación es de equivalencia o no lo es Justifique a) En C = {x/ x es alumno del curso} consideramos: i) R1 = {(x,y) / x,y tienen la misma edad.} ii) xR 2y sií x,y estudian la misma carrera. iii) R3= {(x,y) / x ,y tienen el mismo código} iv) R4 = {(x,y) / y sigue a x en la lista} b) En D = {0,1,2,....,9} consideramos i) xRy si,si y = x2 ii) xSy si,si x+y es par iii) xTy si,si x-y es múltiplo de 3 iv) u R´v si si u y v tienen el mismo número de divisores. c) En Z el conjunto de los números enteros i) xR1y si,si |x| = |y| ii) xR2y si,si x-y es múltiplo de 7 iii) xR3y si,si xy >0 iv) xR4y si,si x es divisor de y d) En R, el conjunto de números reales i) xR1y si,si [x] = [y] ii) sR2t si,si cos(s-t) = 1 2 2 iii) xR3y si,si x = y iv) xSy si,si x2 – y2 = 2y – 2x e) En RxR i) (a,b) R1(c,d) si,si a= c ii) (s,t) R2 (u,v) si,si s2+t2 = u2+v2 iii) (u,v) S (x,y) si,si |u|+|v| = |x|+|y| f) En D= {x / x es un departamento de Colombia} i) x R1y si,si x,y tienen costas sobre el Atlántico. ii) u R2v si,si el nombre de u y v empiezan por la misma letra. iii) sR3t si,si el nombre de s,t tienen el mismo número de letras. Clases de Equivalencia

Si R es una relación de equivalencia en un conjunto no vacío A, para cada elemnento a de A se define la clase de equivalencia de a como el conjunto de elementos de A relacionados o equivalentes con a y se nota por [a] o a [a] = {xA / xRa} = {xA / aRx} Propiedades. P1 [a] es no vacía , para todo elemento a de A. P2 aRb si y sólo si [a] = [b]. P3 Para todo a,b en A, [a] = [b] ó [a]  [b] =  Conjunto cociente Si R es de equivalencia en A, el conjunto de las diferentes clases de equivalencia determinadas por R se denomina el conjunto cociente de A por R y se nota A/R

Ej.Hallar A/R para los casos que dieron relación de equivalencia en 2) Teorema Fundamental de las relaciones de equivalencia.

Toda relación de equivalencia en un conjunto no vacío A determina una partición de A y recíprocamente, toda partición de A determina una relación de equivalencia en A

EJERCICIOS DE RELACIONES DE EQUIVALENCIA 1) En (A) definimos XRY si y sólo si existe una biyección X en Y, XSY si y sólo si a  XY. y XR´Y si y solo si X  Y Dar dos parejas que estén en cada relación y dos parejas que no estén. a) Dar dos parejas que estén en R  S , dos en (R S)c. .y dos que estén en R  R´ b) Decidir si R es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. c) Como en c) pero para S. d) Es R  R´ la diagonal de A)? Sigue esto siendo válido si se cambia A por N ? 2)Si f es función de A en B y en A definimos a R b si y sólo si f(a) = f(b) i) Demuestre que R es una relación de Equivalencia en A. ii)Dar dos clases de equivalencia y la partición determinada por R en cada caso. a) A = B = R, f(x) = x4 b) A= B = N f(n) = el residuo de dividir a n por 7 c) A = R2 B = R f((x,y)) = y d)..A, el conjunto de alumnos del curso B = {0,1,2,..,9} f(x) = segunda cifra del código de x 3)Decida cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos cuáles son falsos. Justifique su respuesta. a) Si una relación R no es reflexiva. existe una relación R* que contiene a R que si lo es. b) como en a) pero sustituyendo reflexiva por simétrica, por antisimétrica y por transitiva c) Si R1,R2 son transitivas, R1U R2 es transitiva. d) Si R1U R2 es reflexiva, R1 y R2 son reflexivas. e) Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas. f) Toda relación simétrica y transitiva es reflexiva. 4)En cada caso decida si la relación dada es de equivalencia o no. En el caso de serlo dé tres clases de equivalencia diferentes y la partición que ella determina. a) En Z se define aSb si,si a = |b| b) En A = {1, 2,3,...,15} se define aRb si y sólo si a y b tienen el mismo número de divisores c) En R2 considere (a,b) R (c,d) si,si max(|a|,|b|) = max(|c|,|d|) d) Si A ={a,b} , B = {0,1,2}  = {f / f es funcion de Aen B} en  se def. f Rg si,si f(b) = g(b) e) En R2 considere (a,b) R (c,d) si y sólo si existe t en R tal que a-c = t y b-d = 2 5) Una relación R en A se dice circular si,si xRy y yRz implica zRx, para todo x,y,z en A. a) En A = {a,b,c,d,e} defina una relación S que sea circular y una relación R que sea reflexiva y circular. b) Muestre que si una relación R es reflexiva y circular en A entonces R es de equivalencia en A. c) La recíproca del enunciado b) será válida?

6)En cada caso dé el conjunto A del cual P es partición y, si es posible, la relación de equivalencia que determina P en A. (Note dicha relación por RP ) a) P = {{a,b}.{c,d},{e}} b) P = {{0},{2}.{1.3.4},{5,6}}

c) P = {{0,2,6,8},{1,4,5,9},{3.7}}

d) P = { [0,3), [3,10], (10.+ )}

7) Si P = {A1,A2,...,An} es una partición de A, considere R =  iAixAi I = {1,2,...n} i) Halle R para las particiones del punto 5) ii) Compare lo obtenido en i) con la respectiva relación RP obtenida en 5) iii)Qué puede concluir respecto a R y la relación de equivalencia que determina P en A?