Bahan Ajar Perkalian Vektor 6i173n

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR Ihtisar Konsep

Kelas X SMA Semester 1

Indikator 2.1.1

Memunculkan sikap ilmiah (rasa ingin tahu dan bekerja sama) siswa melalui diskusi kelompok

2.1.2

Memunculkan sikap ilmiah (jujur dan teliti) dalam menyelesaikan latihan-latihan soal

2.1.3

Memunculkan sikap ilmiah (cermat, teliti dan tekun) dalam menggambarkan arah vektor

3.1.1 3.1.2

Menjelaskan pengertian perkalian vektor Menjelaskan jenis-jenis perkalian vektor

3.1.3

Membedakan vektor perkalian titik (dot product) dan vektor perkalian silang (cros product)

3.1.4

Menerapkan persamaan perkalian vektor dalam permasalahan kehidupan sehari-hari

4.1.1 4.2.1

Menggambarkan arah vektor perkalian titik dan perkalian silang dengan benar Menuliskan laporan hasil diskusi kelompok

4.2.2

Mengkomunikasikan hasil diskusi kepada Guru dan rekan lainnya

1

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

VEKTOR

Kelas X SMA Semester 1

Gambar 1. Dua Orang mendorong Meja dari arah berlawanan (sumber: Handayani, 2009) Pernahkah kalian berpikir bahwa aktivitas kita sehari-hari banyak melibatkan vektor? Contohnya pada saat parker mobil. Seorang tukang parkir memberi aba-aba, “kiri...kiri”, artinya bergeraklah (perpindahan) dengan jarak tertentu kearah kiri. Atau pada saat mundur. Tukang parkir berkata “terus...terus”. Aba-aba ini dapat berarti berilah kecepatan yang besarnya tetap dengan arah kebelakang. Seperti gambar di atas. Merupakan salah satu contoh kejadian sehari-hari yang juga melibatkan vektor, dimana kedua anak tersebut mendorong meja dengan gaya tertentu dan arah tertentu. Jika ketika mendorong meja tidak di tentukan arah mendorong maka bisa terjadi kesalahan dalam mendorong meja tersebut. Agar tidak salah arah ketika mendorong meja maka harus di tunjukkan arahnya. Beberapa contoh peristiwa di atas selalu melibatkan nilai besaran itu dan butuh arah yang tepat. Besaran yang memiliki sifat seperti inilah yang disebut besaran vektor. Sebelumnya juga telah di jelaskan mengenai besaran vektor dan operasi penjumlahan vektor, dalam operasi vektor juga terdapat operasi perkalian vektor. Dalam kesempatan kali ini kita akan lebih khusus membahas mengenai operasi perkalian vektor.

2

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

Kelas X SMA Semester 1

A. Operasi Perkalian Vektor Seperti yang diketahui bahwa konsep-konsep, hukum-hukum atau teori-teori fisika dapat dinyatakan dalam bentuk perumusan yang banyak berupa perkalian. Misalnya, jika terdapat sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda degan arah kecondongan gaya α

sudut sebesar

⃗s , maka besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya selama

terhadap perpindahannya

perpindahan dapat dinyatakan dengan ⃗ adalah τ = F . L sin a

⃗ F

⃗ W =⃗ F . ⃗s cos α . Dengan besar momen gaya itu sendiri

dan besar gaya adalah

⃗ F =m. a⃗ . Pada dasarnya besar dari usaha (W)

dan momen gaya (τ) tersebut merupakan konsep dari hasil perkalian dua buah vektor. Perkalian vektor yang Akan kita pelajari ada tiga macam, antara lain perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik ( dot product), dan perkalian silang (cross product). 1. Perkalian Vektor dengan Skalar Untuk memahami sifat perkalian vektor dan skalar, perhatikan sebuah sepeda

motor

yang

melaju

dengan

kecepatan tertentu, seperti tampak pada gambar. Misalkan motor bergerak dengan kecepatan 15 m/s keutara.

Setelah

beberapa waktu, motor telah mengalami perpindahan. Di SMP/MTs, telah dipelajari mengenai konsep kecepatan. Kecepatan adalah perpindahan per selang waktu. Dari pengertian

kecepatan

ini,

kita

menghitung perpindahan yang dialami motor dengan persamaan:

bias

3

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR ⃗s =⃗v . t

Kelas X SMA Semester 1

Dari penjelasan sebelumnya, kita tahu bahwa kecepatan merupakan besaran vektor, sedangkan waktu merupakan besaran skalar. Berdasarkan persamaan tersebut, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan perpindahan yang

termasuk besaran vektor. Jadi

kesimpulannya, hasil kali antara vektor dengan scalar adalah vektor. Agar lebih mudah untuk memahami perkalian vektor dengan skalar, perhatikan contoh berikut :

2. Perkalian titik (dot Product) Seorang anak menarik gerobak mobil-mobilan dengan tali, mobil bergerak maju mengikuti arah anak berjalan dan membentuk sudut dengan arah tali yag menarik mobil-mobilan. Gambar disamping vektor mengapit sudut ⃗ B dapat dinyatakan dengan:

⃗ A

⃗ dan vektor B satu titik tangkap dan saling

a , maka dot product dari vektor ⃗ A

dan vektor 4

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

Kelas X SMA Semester 1

Dengan; a = sudut yang di bentuk oleh vektor ⃗ A dan ⃗ B

dengan

0 ° ≤ a ≤ 180° ⃗ ⃗ A = | A| besar vektor A

Dari definisi perkalian titik tersebut, dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar. Hasil kali titik dua buah vektor disebut juga dot product. Untuk menyatakan perkalian titik dua vektor dalam vektor satuan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Hasil perkalian titik dapat dinyatakan dalam vektor satuan. Contoh vektor dinyatakan dengan persamaan, persamaan,

. Dan vektor

Hasil perkalian titik antara vektor

⃗ B

⃗ A

dinyatakan dengan ⃗ A

dan vektor

⃗ B

dapat di tuliskan sebagai berikut;

Agar lebih jelas memahami perkalian titik dua vektor, perhatikan contoh soal berikut ini;

5

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

Kelas X SMA Semester 1

Tips ; Ketika melakukan perkalian vektor satuan dua titik, sebaiknya tak perlu memperhatikan perkalian titik dua vektor satuan yang berbeda. Kita hanya perlu memperhatikan perkalian dua

^^ vektor yang sejenis, misalnya i. i

,

^^ ^j . ^j , dan k . k

Perlu juga di ingat trigonometri.

3. Perkalian silang (cros product) Hasil kali silang dua buah vektor disebut juga cross product. Dua buah vektor yang dioperasikan dengan cross product menghasilkan sebuah vektor. Vektor hasil dari cross product adalah dua buah vektor, dapat digambar sebagai sebuah vektor yang tegak lurus terhadap masingmasing vektor tersebut dengan arah searah dengan hasil perputaran system kedua vektor melalui sudut apit yang kecil (seperti arah gerak mur baut putar kanan).

6

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR Perkalian

⃗ B (⃗ A ×⃗ B) vektor

⃗ A

⃗ A

silang vektor

dan

vektor

di definisikan sebagai perkalian komponen dan komponen vektor ⃗ A

dengan vektor vektor

Kelas X SMA ⃗ silang Semester vektor 1 A

yang tegak lurus

. Komponen yang tegak lurus dengan

adalah ⃗ A

⃗ B

B sin a . Sehingga hasil perkalian

⃗ dan vektor B

adalah:

Dari definisi perkalian silang dua vektor di atas, perkalian silang dua vektor satuan dapat di tuliskan sebagai berikut;

Juga dapat ditentukan besar dan arah vektor dari hasil perkalian silang vektor

⃗ A

dan vektor

⃗ B . Jika vektor Dan vektor

⃗ A ⃗ B

dinyatakan dengan dinyatakan dengan

Maka hasil perkalian

⃗ A ×⃗ B adalah sebagai berikut;

7

BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

Kelas X SMA Semester 1

Untuk lebih mudah memahami perkalian cros product dua buahvektor, perhatikan contoh berikut:

8

Kelas X SMA BAHAN PERKALIAN VEKTOR UntukAJAR mengetahui sejauh mana pemahaman tentang operasi perkalian silang pada vektor, Semester 1

kerjakanlah latihan soal berikut: EVALUASI 1.

Besaran-besaran berikut yang merupakan besaran vektor adalah .... a. b. c. d. e.

2.

Yang merupakan peristiwa pekalian vektor dot product berikut adalah… a. b. c. d. e.

3.

Adi mengendarai motor sejauh 5 km Yuli berjalan menuju rumah Ina selama 20 menit Ani mendorong pintu dengan pergeseran pintu 25 cm Yudi mendorong meja dengan usaha sebesar 35 Nm Budi menarik kursi dengan gaya 10 N

Yang merupakan peristiwa pekalian vektor cros product berikut adalah… a. b. c. d. e.

4

Massa Waktu Usaha Jarak Kecepatan

Adi mengendarai motor dengan kecepatan 40 km/jam Yuli menutup jendela dengan momemtum gaya pada engsel 35 Nm Ani mendorong pintu dengan pergeseran pintu 25 cm Yudi mendorong meja dengan usaha sebesar 35 Nm Budi menarik kursi dengan gaya 10 N

Diberikan dua buah vektor masing-masing vektor dan besarnya adalah A = 8 satuan, B = 10 satuan. Kedua vektor ini membentuk sudut 37°. Hasil dari A ∙ B adalah… a. b. c. d. e.

25 satuan 32 satuan 46 satuan 54 satuan 64 satuan

9

5.BAHAN AJAR PERKALIAN VEKTOR

6.

Kelas X SMA Semester 1

Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4i + aj) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat kartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J, maka nilai a sama dengan... a. 5 b. 6 c. 7 d. 8

7.

e. 12 Diberikan dua buah vektor masing-masing: A = 4i + 3j − 2k B = 7i + 2j + 5k hasil dari A × B adalah… a. b. c. d. e.

19 i −34 j − 13k 15 i −30 j − 13k 16 i −27 j − 10k 12 i −25 j − 8k 10 i −23 j − 7k

8.

9.

Tina hendak mengerjakan tugas ke rumah Yuni yang jaraknya 2,5 km dari rumahnya, ia mengendarai sepeda selama 20 menit. Kecepatan yang diperlukan Tina untuk sampai ke rumah Yuni adalah…

10

BAHAN a. 2 m/s AJAR PERKALIAN VEKTOR b. c. d. e. 1

3 m/s 4 m/s 5 m/s 6 m/s

Sebuah gaya dengan persamaan

^ 2 ^j−k^ ) N ⃗ F =( i+

Kelas X SMA Semester 1

bekerja pada engsel sebuah

0 ^ ^ jendela, gaya tersebut bekerja pada vektor posisi ⃗r =( 0,8 i+0,2 j ) m . Persamaan momen gaya yang di timbulkan oleh gaya tersebut adalah… a.

^ ^j+1,4 k^ ) Nm ⃗τ =(−0,2 i+0,8

b.

^ ^j+1,4 k^ ) Nm ⃗τ =( 0,2 i−0,8

c.

^ ^j+ 1,4 k^ ) Nm ⃗τ =(−0,2 i−0,8

d.

^ ^j−1,4 k^ ) Nm ⃗τ =( 0,2 i+0,8

e.

^ ^j−1,4 ^k ) Nm ⃗τ =(−0,2 i−0,8

Daftar Pustaka

11

Kelas X SMA BAHANNufus AJAR PERKALIAN VEKTOR Nurhayati, & Furqon A. 2009. Fisika SMA/MA Kelas X. Jakarta : Pusat Pembukuan Semester 1

Departemen Pendidikan Nasional Handayani, S. 2009. Fisika 1 : Untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional Widodo, Tri. 2009. Fisika SMA/MA Kelas X. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

12