22818013 Aturan Sinus Dan Kosinus u442g

2 ATURAN SINUS DAN KOSINUS A. ATURAN SINUS Untuk menurunkan aturan sinus pada sebuah segitiga pandnglah segitiga ABC lancip pada gambar dibawah, AP, BQ, CR masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi a, b, dan c. C P b

Q

A

a

R

B c

Pada ∆ ACR SinA =

CR b

Pada ∆ BCR SinB =

CR = b Sin A………..….(1)

CR a

CR = a Sin B…………...(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : B Sin A = a Sin B a b = ……….…..….(3) SinA SinB

Pada ∆ BAP SinB =

AP c

AP = c Sin B……..……..(4) Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh c Sin B = b Sin C b c = ………..….…..……(6) SinB SinC

Akhirnya dari persamaan (3) dan (6) diperoleh

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

Pada ∆ CAP SinC =

AP b

AP = b Sin C…………….(5)

3

a b c = = …………....(7) SinA SinB SinC

pada persamaan (7) inilah yang dinamakan aturan sinus / dalil sinus. Kesimpulan ; 1. Dalam setiap segitiga perbandingan panjang sisi dengan sinus yang menghadap sisi itu adalah sma untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. 2. Pada setiap segitiga ABC, aturan sinus dapat dituliskan dengan persamaan ; a b c = = SinA SinB SinC

contoh 1 jika diketahui ∠A = 50 0 , ∠B = 70 0 , ∠C = 60 0 dan panjang sisi b = 6 cm.tentukan 2 unsur yang lain dalam satu ketelitian decimal? C Penyelesaian : Diketahui : Segitiga ABC ∠A = 50 0 , ∠B = 70 0 , ∠C = 60 0 , b = 6 cm Ditanya : Dua unsure yang lain?

60

A

Jawab

70

A

c

:

B

Panjang sisi a

Panjang sisi c

a b = SinA SinB b a= x Sin A SinB

b c = SinB SinC b c= x Sin C SinB

=

6 xSin 50 0 0 Sin 70 6

= 0,9397 x0,766 a = 4.9 cm

=

6 xSin 60 0 0 Sin 70 6

= 0,9397 x0,866 c = 5,6 cm

jadi panjang sisi a = 4,9 cm dan panjang sisi c = 5,6 cm

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

4 Penggunaan aturan sinus. Aturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada sebuah segitiga yang belum diketahui. Apabila unsur-unsur yang lainya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam segitiga kemungkinan ialah : 1. sisi, sudut, sudut disingkat dengan Ss, Sd, Sd 2. sudut, sisi, sudut disingkat dengan Sd, Sd, Sd 3. sisi, sisi, sudut disingkat Ss, Ss, Sd untuk memahami penggunaan aturan sinus marilah kita simak beberapa contoh berikut ini. Contoh 2 Dari gambar dibawah Cunsure-unsur yang diketahui pada segitiga ABC ada dalam unsure sisi, sudut, sudut (Ss,? Sd, Sd). b=5

Diketahui : Pada gambar disamping Ditanya : Unsur-unsur yang belum diketahui. Jawab :

a

64

38

A

c

B

a. ∠C dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan : ∠ C = 180 0 − (∠A + ∠B) = 180 0 − (38 0 + 64 0 ) = 78 0 b. Panjang sisi a dan panjang sisi c ditentukan dengan aturan sinus : Panjang sisi a a b = SinA SinB b a= x Sin A SinB

=

6 xSin 38 0 0 Sin 64 6

= 0,899 x 0,6157 a = 3,4 cm

Panjang sisi c b c = SinB SinC b c= x Sin C SinB

=

6 xSin 78 0 0 Sin 64 6

= 0,8988 x0,9781 c = 5,4 cm

∴panjang sisi a = 3,4 cm dan panjang sisi c = 5,4 cm B. ATURAN KOSINUS

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

5

Untuk menentukan aturan sinus pada sebuah segitiga, pandanglah segitiga ABC lancip pada gambar dibawah CD=h adalah garis tinggi pada sisi c C b

a h

A

c

D

B

Dengan menerapkan teorema Phytagoras pada ∆ siku-siku BCD diperoleh : a 2 = h 2 + (BD ) 2 …………………...(1)

pada ∆ siku-siku ACD diperoleh : h = b Sin A………………………...(2) dan AD = b Cos A, sehingga BD = AB – AD = c – b Cos A………..…….(3) Subtitusi persamaan (2) dan (3) kepersamaan (1), diperoleh : a 2 = (bSinA ) 2 + (c − bCosA ) 2

= b 2 Sin 2 A + c 2 − 2bcCosA + b 2 Cos 2 A = b 2 ( Sin 2 + Cos 2 A) + c 2 − 2bcCosA

⇒ ( Sin 2

+ Cos 2 A) = 1

a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA ……….………….(4)

A c

B b

a

c

h B

a

h D

C

a

C

b

D

A

b

Dengan mengggunakan ∆ ABC pada gambar a dan b kita dapatkan hubungan :

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

6

b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB …………..…….……(5) c 2 = a 2 + b 2 − 2abCosC ……………..………(6)

Persamaan (4), (5), dan (6) inilah yang dinamakan aturan kosinus / dalil kosinus Kesimpulan : Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan. a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB c 2 = a 2 + b 2 − 2abCosC

contoh 3. Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5, c = 6 dan ∠A = 52 0 , hitunglah panjang sisi a. Penyelesaian : Pada gambar dibawah unsure-unsur yang diketahui dalam segitiga ABC ada dalam unsure sisi, sudut, sisi. Diket

C

Ditanya b=5 cm

a

52 A

B c = 6 cm

Jawab : Aturan cosinus pada segitiga ABC a 2 = b 2 + c 2 − 2bcCosA

= 5 2 + 6 2 − (2.5.6.Cos 52 2 = 25 + 36 – 60 . 0,6157 = 61 – 36,9 = 24,1 a = 24 ,1 a = 4,91 ∴Panjang sisi a ialah 4,91 cm

Soal Latihan

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

: b=5 c = 6 cm ∠A = 52 0

: Panjang Sisi a ?

7

1 Diketahui segitiga ABC ∠A = 47 0 , ∠B = 65 0 dan panjang sisi b = 6 cm. tentukan 3 unsur yang lain dalam satu ketelitian decimal? a. ∠C b Panjang sisi a c Panjang sisi c 2.Suatu hari andi dan bagus ingin mengukur tingginya suatu menara BTS, jarak andi dan bagus ialah 50 m. sudut pandang Andi ke tower BTS 35 0 sedangkan Bagus sudut pandng ketower BTS 62 0 ? Berapakah tinggi Tower BTS tersebut? 3 Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7 cm, b = 8 cm, dan sisi c = 9 cm. hitunglah besar sudut ∠A, ∠B dan ∠C ? 4. Dalam Segitiga PGR diketahui panjang sisi r = 5 cm, q = 7 cm dan ∠P = 52 0 . Hitunglah: a.Panjang sisi a b.Besar ∠B c Besar ∠C

Kunci Jawaban Soal Latihan

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

8

1.

Diketahui : segitiga ABC ∠A = 47 0 ∠B = 65 0

Ditanya

b = 6 cm : a. ∠C b Panjang sisi a c Panjang sisi c

Jawab : C

a. ∠C = 180 0 − ∠A − ∠B = 180 0 − 47 0 − 65 0 = 68 0

b A

b. Sin A =

t  t = b Sin A b

= 6 Sin 47 0 = 6 x 0,7314 = 4,3884 t = 4,39 Cm Sin B =

t  a sin B = t b

a= =

t SinB

4,39 Sin 65 0 4,39

= 0,9063 = 4,8438 a = 4,84 Cm c. Cos A =

AP b



AP = b Cos A = 6 cos 47 0 = 6 x 0,6820 = 4,0920 = 4,09 Cm

Cos B =

BP a



BP = a Cos B = 4,84 Cos 65 0 = 4,84 x 0,4226 = 2,0454 = 2,05 Cm

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

t c

a P

B

9

Maka c = AP + BP = 4,09 + 2,05 = 6,14 Cm 2.

Diketahui : Tower BTS Jarak andi ke Bagus 50 cm Sudut pandang Andi ke Tower BTS 35 0 Sudut pandang Bagus ke Tower BTS 62 0 Ditanya

: Tinngi Tower BTS tersebut?

Jawab : Dapat digambarkan Sbb : C

∠ABC = 180 0 − (62 0 )

= 118 0 ∠ACB = 180 0 − (118 0 + 35 0 )

= 180 0 - 143 0 = 27 0

T

62

35

B

50 M

A

AB BC = 0 Sin 27 Sin 35 0 BC . Sin 27 0 = AB . Sin 35 0 AB .Sin 35 0 BC = Sin 27 0

=

Sin 62 0 =

T BC

T = BC. Sin 62 0 = 63,24 x 0,882

50 x 0,573 0,453

= 55,8 M

BC = 63,34 M Jadi tinggi Tower BTC tersebut adalah 55,8 M

3.

Diketahui : segitiga ABC a = 7 cm, b = 8 cm, dan sisi c = 9 cm. Ditanya

: hitunglah besar sudut ∠A, ∠B dan ∠C ?

Jawab

:

b2 + c2 − a2 Cos A = 2ab

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

Cos B =

a2 + c2 − b2 2ac

10 82 + 9 2 − 7 2 2 .8 .9 64 + 81 − 49 = 144 96 Cos A = 144

7 2 + 92 − 82 2 .7 .9 49 + 81 − 81 = 126 66 Cos B = 126

=

=

= 0,666 A = 48,2 0 ∠C = 180

0

= 0,5238 B = 58,4 0

− (∠A + ∠B )

= 180 −( 48 ,2 0 +58 ,4 0 ) = 73,4 0 0

∴Besarnya ∠A = 48 ,2

4.

0

, ∠B = 58 ,4 0 dan

∠C = 73 ,4 0

Diketahui : Segitiga PGR sisi r = 5 cm, q = 7 cm dan ∠P = 52 0 . Ditanya

: a. Panjang sisi p b. Besar ∠G c Besar ∠R

Jawab

:

a. Panjang sisi p p 2 = q 2 + r 2 − 2qr .Cos 52 0

= 7 2 + 5 2 − 2.7.5.Cos 52 0 = 49 + 25 – 70. 0,615 = 30,90

p2 p = 30 ,90 p = 5,56 b. Besar ∠G Cos G = =

p2 + r 2 − q2 2 pr

p2 + r 2 − q2 2 pr

5,56 2 + 5 2 − 7 2 2.5,56 .5 30 ,90 + 25 − 49 = 55 ,6 690 = 55 ,6

=

Cos G = 0,1241 ∠B = 82,9 0

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

11

c. Besar ∠R ∠R =180

0

− (∠Q + ∠P )

= 180 - (82,9 0 + 52 0 ) = 45,1 0 . 0

DAFTAR PUSTAKA

• Sartono Wirodikromo Drs,1994. Matematika smu ‘aturan sinus dan kosinus’ : Jakarta : penerbit Erlangga • Abdurahman Maman Drs,2000.Matematika SMK Bisnis dan Manajemen Tingkat I : bandung : CV ARMICO

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

12 • http://sombronbest.blogspot.com/2009/09/aturan-sinus-dan-cosinus.html

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

13

Standar Kompetensi Menerapakan perbandingan fungsi persamaan dan identitas trigonometri dalam

STANDAR KOMPETENSI:

pemecahan masalah. Kompetensi Dasar

Menerapkan aturan sinus dan kosinus

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

14 Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminr Matematika.

Oleh : AGUNG WIBOWO 2006.030.185

ii

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aturan Sinus dan Kosinus” ini dengan baik. Makalah ini merupakan salah satu tugas wajib mata kuliah seminar matematika untuk mahasiswa / mahasiswi STKIP PGRI NGANJUK, serta diharapkan dapat

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

15 meningkatkan motivasi belajar dan pengetahuan mahasiswa dalam mempelajari mata kuliah matematika.. Makalah ini dapat terselesaikan setelah melalui berbagai tahap kegiatan dan berkat upaya serta partisipasi berbagai pihak .Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah mencurahkan segala perhatian dan bantuannya selama menyusun dan penyempurnaan makalah ini ,khususnya kepada Ibu Dra.Yatini,M.Si sebagai dosen dan penilai. Mudah-mudahan makalah ini dapat memenuhi fungsinya dalam mendukung tercapainya tujuan Pendidikan Nasional , khususnya dalam mencapai tujuan mata kuliah seminar matematika di STKIP PGRI NGANJUK. Makalah ini masih jauh dari sempurna , untuk itu kami mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi penyempurnaan .

Nganjuk, Desember 2009 Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………………………………………….

i

KATA PENGANTAR………………………………………………………...

ii

DAFTAR ISI…………………………………………………………………..

iii

Aturan Sinus dan Kosinus………………………………...…………………..

2

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”

16 A. Aturan Sinus .…...…………..……………………………………………...

2

Penggunaan aturan Sinus…………………………………………………..

4

B. Aturan Kosinus …………………….……………………………………....

5

Soal Latihan …………...…………………………………….………..............

7

Kunci Jawaban Soal Latihan ………………………………………………….

8

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………….

12

Seminar Matematiaka “Aturan sinus dan Kosinus”