Teoremas Del Valor Inicial Y Del Valor Final 711s50

TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL Los dos últimos teoremas fundamentales que se explicarán se conocen como teoremas del valor inicial y del valor final, los cuales permiten evaluar 𝑓(0+ ) y 𝑓(∞) examinando los valores limites de 𝑠𝐹(𝑠). Dicha característica puede ser de un valor incalculable; si solamente se necesitaran los valores inicial y final para una función de interés en particular, no habría necesidad de dedicar tiempo para llevar a cabo una operación de transformada inversa. Teorema del valor inicial Para deducir el teorema del valor inicial, se considera de nuevo la transformada de Laplace de la derivada ∞ 𝑑𝑓 𝑑𝑓 ℒ { } = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0− ) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0− Se permite ahora que s tienda a infinito. Descomponiendo la integral en dos partes, se tiene 0+

lim [𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0− )] = lim (∫ 𝑒 0

𝑠→∞

𝑠→∞

0−

∞ 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0+

Se observa que la segunda integral debe aproximarse a cero en el límite, puesto que el integrando mismo tiende a cero. Además, 𝑓(0− ) no es una función de s, así que podría eliminarse del límite de la izquierda: 0+

−𝑓(0

−)

+ lim [𝑠𝐹(𝑠)] = lim (∫ 𝑑𝑓) = lim [𝑓(0+ ) − 𝑓(0− )] = 𝑓(0+ ) − 𝑓(0− ) 𝑠→∞

𝑠→∞

0−

𝑠→∞

Y por ultimo

𝑓(0+ ) = lim [𝑠𝐹(𝑠)] 𝑠→∞

lim 𝑓(𝑡) = lim [𝑠𝐹(𝑠)]

𝑡→0+

𝑠→∞

Este enunciado matemático del teorema del valor inicial establece que el valor inicial de la función de tiempo 𝑓(𝑡) se obtiene multiplicando primero su transformada de Laplace 𝐹(𝑠) por s y luego dejando que s tienda a infinito. Observar que el valor inicial de 𝑓(𝑡) que se obtiene es el límite de la derecha. El teorema del valor inicial, junto con el teorema del valor final es útil para verificar los resultados de una transformación o de una transformación inversa. Por ejemplo, cuando se calcula la transformada de 𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡)𝑢(𝑡) se obtuvo 𝑠/(𝑠 2 + 𝑤0 2 ). Después de observar que 𝑓(0+ ) = 1, se tiene la posibilidad de efectuar una revisión parcial de la validez de este resultado aplicando el teorema del valor inicial: 𝑠 lim (𝑠 2 )=1 𝑠→∞ 𝑠 + 𝑤0 2 Y se completa la verificación TEOREMA DEL VALOR FINAL

Este teorema no es tan útil como el del valor inicial, pues solo se usa con cierta clase de transformadas. Para determinar si una transformada entra en esta clase, se requiere evaluar el denominador de 𝐹(𝑠) a fin de determinar todos los valores de s para los cuales éste es cero; dichos valores son muy importantes y se conocen como polos de 𝐹(𝑠). Sólo aquellas transformadas 𝐹(𝑠) cuyos polos se encuentran por completo dentro de la mitad izquierda del plano s salvo para el polo simple en 𝑠 = 𝑂, son adecuadas para utilizarse con el teorema del valor final. Se considera de nuevo la transformada de Laplace para 𝑑𝑓/𝑑𝑡 ∞

∫ 𝑒 −𝑠𝑡 0−

𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0− ) 𝑑𝑡

Esta vez en el límite cuando 𝑠 tiende a cero ∞ ∞ 𝑑𝑓 𝑑𝑓 lim ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim[𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0− )] = ∫ 𝑑𝑡 𝑠→0 0− 𝑠→0 𝑑𝑡 0− 𝑑𝑡 Se supone que tanto 𝑓(𝑡) como su primera derivada son transformables. Ahora bien, el último término de esta ecuación se expresa sin dificultad como el límite ∞ 𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑓 ∫ 𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑑𝑡 = lim [𝑓(𝑡) − 𝑓(0− )] 𝑡→∞ 𝑡→∞ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 − − 0 0

Al reconocer que 𝑓(0− ) es una constante, una comparación de las últimas dos ecuaciones nos muestra que lim [𝑓(𝑡)] = lim[𝑠𝐹(𝑠)] 𝑡→∞

𝑠→0

que es el teorema del valor final. Al aplicar este último, se requiere saber que 𝑓(∞), el límite de 𝑓(𝑡) cuando t se vuelve infinito, existe o, l0 que equivale a la misma cosa, que todos los polos de 𝐹(𝑠) se encuentran dentro de la mitad izquierda del plano s, con excepción (posiblemente) de un polo simple en el origen. El producto 𝑠𝐹(𝑠) tiene todos sus polos dentro del semiplano izquierdo. Los teoremas del valor inicial y del valor final son útiles cuando solo se desea los valores específicos de 𝑓(𝑡 = 0+ ) o 𝑓(𝑡 → ∞) • •

TEOREMA DE VALOR FINAL (Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta) TEOREMA DE VALOR INICIAL (Nos indica las condiciones iniciales)