Teorema Del Valor Final w3k1z

NOMBRE: CHURQUINA ZENTENO MISAEL GABRIEL IMT – 201

PARALELO: 1

FECHA: 22/08/2017

TEOREMA DEL VALOR FINAL Para determinar si una transformada entra en esta clase, se requiere evaluar el denominador de 𝐹(𝑠) a fin de determinar todos los valores de s para los cuales éste es cero; dichos valores son muy importantes y se conocen como polos de 𝐹(𝑠). Sólo aquellas transformadas 𝐹(𝑠) cuyos polos se encuentran por completo dentro de la mitad izquierda del plano s salvo para el polo simple en 𝑠 = 𝑂, son adecuadas para utilizarse con el teorema del valor final. En resumen: si F(s) tiene polos en el semiplano derecho f(t), tendrá exponenciales crecientes, si F(s) tiene polos en el eje imaginario, f(t) tendrá senos o cosenos.

Considerando la transformada de Laplace: ∞

∫ 𝑒 −𝑠𝑡 0−

𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0− ) 𝑑𝑡

El primer paso es el límite cuando 𝑠 tiende a cero ∞

lim ∫ 𝑒 𝑠→0 0−

−𝑠𝑡

∞ 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = lim[𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0− )] 𝑠→0 𝑑𝑡 0− 𝑑𝑡

Se supone que tanto 𝑓(𝑡) como su primera derivada son transformables. Ahora bien, el último término de esta ecuación se expresa sin dificultad como el límite y tomando el límite que tiende a infinito. ∞

∫ 0−

𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = lim ∫ 𝑑𝑡 = lim [𝑓(𝑡) − 𝑓(0− )] 𝑡→∞ 0− 𝑑𝑡 𝑡→∞ 𝑑𝑡

Al reconocer que 𝑓(0− ) es una constante en ambas ecuaciones, una comparación de las últimas dos ecuaciones nos muestra que

Comparando las ecuaciones 1 y 2 tenemos lo siguiente: lim [𝑓(𝑡)] = lim[𝑠𝐹(𝑠)]

𝑡→∞

𝑠→0

Que es el teorema del valor final. Al aplicar este último, se requiere saber que 𝑓(∞), el límite de 𝑓(𝑡) cuando t se vuelve infinito, existe; que todos los polos de 𝐹(𝑠) se encuentran dentro de la mitad izquierda del plano s, con excepción (posiblemente) de un polo simple en el origen. El producto 𝑠𝐹(𝑠) tiene todos sus polos dentro del semiplano izquierdo. El teorema del valor final es útil cuando solo se desean los valores específicos de 𝑓(𝑡 → ∞) •

TEOREMA DE VALOR FINAL (Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

Ejemplos