Relaciones Binarias j6c2h

RELACIONES

PRODUCTO CARTESIANO Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x є A e y є B. En símbolos A x B = {(x, y) / x є A  y є B }

Ejemplo:

Sean

A = {1, 2, 3} y B = {5,

6} A x B consta de los 6 pares de la lista (1, 5) (2, 5) (3, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6)

PRODUCTO CARTESIANO Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar ejes perpendiculares; en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intersección que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. B Ejemplo:6La representación gráfica de los pares de A  B ={(1, 5), (2, 5),(3, 5),(1, 6),(2, 6),(3, 6) } 5 1

2

3

A

Producto cartesiano 1) ¿ A x B = B x A? No son iguales ... Por ej. si A = {a, b, c},

B = {1, 2}

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) } 2)Si A y B son finitos el número de elementos de A x B es  A x B  A x B = Además  Entonces 

llamado cardinal de A x B y denotado por  A .  B A .  B =  B .  A =  B x A A x B =  B x A

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS DE INFINITOS ELEMENTOS A={x R/-2  x  3} y B ={x R/-1  x  2} No podemos enlistar los elementos de AxB pero tenemos en el rectángulo sombreado de azul todos los elementos (puntos) del mismo.

Producto cartesiano

A={x R/-2  x  3} y B ={x R/-1  x  2} Los puntos del rectángulo en rosa constituyen el producto cartesiano BxA

EJEMPLO Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Entonces A x B={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0).(3,1),(3,2),(3,3)} Consideremos el siguiente subconjunto de AxB R = { (a, b)  A x B / a + b  3} B

Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano

3 2 1 0 1

2

3

A

RELACIONES BINARIAS

Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB R⊆A×B Notación: Si a∈A y b∈B, para decir que a está relacionado con b por R escribimos: (a,b)∈R o aRb Si a no está relacionado con b, entonces (a,b)∉R Si B=A, se dice que R es una relación binaria definida en A . Escribimos R ⊆ A × A

EJEMPLOS Sea R definida en N por medio de R={(x,y)/x es el doble de y} Algunos elementos de la relación son: ( 2 ,1 ) , (4, 2) , ( 10, 5) , (20,10) , (100,50), etc

R={(x,y)/x divide a y}  NxN Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

2 R 18,

DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR RELACIONES: -

Matriz Booleana: MR: Hay 1 en la matriz si el par está en la relación y cero si no está. Digrafo: Si aRb, de a parte una flecha hacia b

RELACIONES CON NOTACIÓN MATRICIAL





Ejemplo: Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B= {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Son relaciones de A en B: R1= Ø R2 = {(a,i), (a,u)}



R3 = {(a, i) }



R4 = A x B

 1 1  M R 2   0 0    1 0   0 0  1 1  M R 4   1 1   M R 3  

La matriz del producto cartesiano tiene en todas las filas 1 porque todos los pares ordenados están en la relación. a R4 i, a R4 u, o R4 i, o R4 u

La matriz de R2 tiene 1 en la primera fila porque corresponde al elemento a de A que se relaciona con los dos elementos i, u de B; a R2 i, a R2 u y ceros en la segunda fila porque el elemento o de A no se relaciona con ningún elemento de B en R2

DEFINICIONES: Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es: Reflexiva: si x є A se verifica que x R x Simétrica: si x, y є A se verifica que x R y y R x Transitiva: si x, y, z є A se verifica que x R y, y R z  x Rz Antisimétrica: si x, y є A se verifica que x R y, y R x  x=y Otra manera de expresarlo: Si x≠y  [ (x,y) ∉ R v (y,x) ∉R]

EJEMPLOS: 1) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es reflexiva ya que ∀x∈N, x R x porque x divide a x 2) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b”. no es reflexiva ya que (1,1)∉R ya que 1 no es el doble de 1 3) En Z, “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b ⇒  p ∈ Z tal que a – b =2p  b – a = 2(-p) con -p ∈ Z ⇒ b R a 4) En N, “x R y ⇔ x divide a y” no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R

EJEMPLOS: 5) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈N ⇒ a R c 6) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b” no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)∉R 7) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒ n=m=1 ⇒ a=b

RESUMEN Reflexiva: se satisface sii ∀x ∈ A x R x no se satisface sii ∃ x∈A/ (x,x)∉R Simétrica:se satisface sii ∀ x, y ∈A x R y ⇒ y R x no se satisface sii ∃ x, y ∈A / (x, y) ∈R ∧ (y, x) ∉ R Transitiva: se satisface sii ∀x, y, z ∈ A se verifica que x R y, y R z ⇒ x Rz no se satisface sii ∃ x, y, z ∈A:(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ∧ (a,z) ∉ R Antisimétrica: se satisface sii ∀x, y ∈ A se verifica que x R y, y R x ⇒ x = y no se satisface sii ∃ x, y ∈A: (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ∧ x ≠y

ANÁLISIS DE LAS RELACIONES SEGÚN LA MATRIZ MR Y SU GRAFO DIRIGIDO (DIGRAFO) Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es: Reflexiva:  Si en la diagonal principal de la matriz MR todos los elementos son 1 (MATRIZ) Todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle). (DIGRAFO) Simétrica:  Sii MR = (MR)t : La matriz asociada a la relación coincide con su traspuesta. (MATRIZ)  Todo par de elementos que tiene una flecha, la tiene en las dos direcciones (DIGRAFO) Transitiva: Sea MR2 = MR x MR (Producto booleano de matrices); 

Sii el elemento de la fila i columna j de MR2 es 1 entonces el elemento de MR en la misma posición también es 1 es decir la relación R2 es un subconjunto de R; en particular pueden coincidir. (MATRIZ)  La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino de longitud 2 entre dos elementos, también hay un camino de longitud uno entre los mismos. (DIGRAFO) Antisimétrica :  Sii hay 1 en la fila i columna j de MR entonces hay 0 en la misma posición de (MR)t y viceversa, salvo en la diagonal principal. (MATRIZ) 

RELACIONES DE ORDEN: DEFINICIÓN Y NOTACIÓN Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una RELACIÓN DE ORDEN en A si verifica las propiedades – reflexiva – antisimétrica – transitiva Se dice entonces que A está ordenado por R Notación Utilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones de orden

aRb

a≤b

Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual) Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos ordenados.

a, b ∈ A son comparables si a R b o b R a

ORDEN TOTAL Y PARCIAL (A, ≤) está totalmente ordenado si cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que ≤ es de orden total.  En otro caso, se dice que (A, ≤) está parcialmente ordenado y que ≤ es de orden parcial. 

Por ejemplo: 1)

(N, ) es un conjunto totalmente ordenado.

2)

Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) = {, {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}} se define la relación “A RB sii A  B”.



(P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado ya que existen elementos tales como {1} y {2, 3}

EJEMPLO En N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈ N / b=an Es una relación de orden ya que es: 

reflexiva: a=a1 ∀a∈N



antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N / b=any a=bm, entonces b= [bm]n=bm·n luego m·n=1 y como n,m ∈N m=n=1, así a=b



transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N /b=any c=bm, entonces c= [an]m=an·m luego c=a k = n.m, ∃ k∈N /c=ak, es decir, a ≤ c

n·m

, si

ELEMENTOS NOTABLES Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅  a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a C está acotado superiormente – La menor de las cotas superiores es el supremo. a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c – C está acotado inferiormente – La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo. 



El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente.

Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅ a∈C es elemento maximal de C si ∀c∈C, a≤c⇒a=c 

m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m si existe, es el único elemento maximal de C 



a∈C es elemento minimal de C si ∀c∈C, c≤a⇒a=c.

m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c si existe, es el único elemento minimal de C 

ELEMENTOS NOTABLES (B)

ELEMENTOS NOTABLES (CONTINUACIÓN) 

Pueden existir uno, varios o ningún elemento maximal y minimal.



El máximo (mínimo), cuando existe, es el único elemento maximal (minimal).





Si en C existe supremo (ínfimo) es único. Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el supremo (ínfimo).

DIAGRAMAS DE HASSE: Sea (A, R ) es un conjunto parcialmente ordenado y finito. A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el plano (o en el espacio), que llamaremos vértice. Un diagrama de Hasse es el gráfico resultante al unir dos elementos consecutivos mediante un segmento de recta, que llamaremos arista. 

Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relación R



R = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)}



Es de orden total.

EJEMPLOS 1) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {, {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de inclusión, la cual es de orden parcial 

  {1}  {1,2}

y

  {2}  {1,2}

Entonces, B es el elemento maximal y  es el elemento minimal, pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del minimal, ni “por encima” del maximal El elemento universo vacío.

máximo de P(B) es el elemento maximal B, el y el elemento mínimo de P(B) es el conjunto

2) En el conjunto C = {, {1}, {2}} se define la relación de inclusión. Observar que   {1} y   {2}. 

 es el elemento minimal y es el mínimo del conjunto C y tanto {1} como {2} son los elementos maximales. No existe elemento máximo en C

DIAGRAMA DE HASSE PARA LA RELACIÓN INCLUSIÓN EN P(B)

DIAGRAMA DE HASSE (CONTINUACIÓN) Diagrama de Hasse para A = {2, 3, 4, 6, 8, 12 } con la relación “(a, b)  R sii a divide a b : a|b” Observamos que no están relacionados: 2 con 3 4 con 6 3 con 4 La relación es de orden parcial ya que no todo par de elementos es comparable

Retorno

Relaciones de equivalencia

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U. Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia si R satisface las tres propiedades: 

R es reflexiva



R es simétrica



R es transitiva

 Una

relación de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

CLASES DE EQUIVALENCIA Definición:

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío. Sea a  A, llamaremos “clase de equivalencia de a” y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que están relacionados con a, es decir [a] = { x  A / x R a } Ejemplo:

La relación R sobre Z : a R b  a – b es múltiplo de 2. Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1: [0] = { 0, ±2, ±4, ±4,… } y

[1] = { ±1, ±3, ±5,… }

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO

Definición: Sea A un conjunto no vacío. Sean

A j  A y A j  , j  J, J  Ν

Diremos que P es una partición de A y escribimos Ρ   A j 

 Aj  A

y

jJ

Ai  A j   i, j  J, i  j

Cada subconjunto Aj es una celda de la partición Ejemplos: 1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}. En efecto {1,3} {4}=

 {1,3}  {2,5}=   {4}  {2,5}=.

Además {1,3}  {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A

si:

CLASE DE EQUIVALENCIA Definición:

Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R. A    x  / x  A /R

El conjunto cociente es una partición de A En efecto,  Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos.  La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.

CLASE DE EQUIVALENCIA Demostración:

1) Sean x, y  A  [x]= [y]  [x]  [y] =  i) Si x R y  [x]= [y]; sea z  [x]  z R x  x R y  z R y (transitividad)  z  [y], de donde [x]  [y]. Razonando de manera similar se prueba que [y]  [x]. Por lo tanto, [x] = [y]. ii) Si (x,y)  R entonces [x]  [y] = . En efecto, si existiera z  [x]  [y] entonces z R x  z R y por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

CLASE DE EQUIVALENCIA Demostración: 2) Veamos que

A    x

xA En efecto, si x  A, como R es reflexiva, x R x  x  [x]  x   x

 A    x

xA

 

xA

Por otro lado, sea z tal que

z    x   z   x , para algún x  A,  zRx  z  A x A

   x  A xA

EJEMPLOS Relaciones de equivalencia 1) La relación R sobre (Z+)x(Z+) definida por: (x,y) R (a,b)  x+y = a+b 2) La relación R sobre 2 definida por:

(x,y) R (a,b)



x.y = a.b

Se puede demostrar que ambas son relaciones de equivalencia ya que verifican las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. A continuación veremos los conjuntos cocientes de ambas relaciones

PARTICIÓN DE (Z+)X (Z+) 



Conjunto cociente de (x,y)R(a,b) sii x+y=a+b, R definida sobre (Z+)x (Z+); los puntos (resaltados), unidos por trazos pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(4;5)]={(2;7), (1;8), (3;6), (5;4), (6;3), (7;2)} [(2;2)]={(1;3), (3;1)} En el gráfico vemos [(4;5)], [(4;4)], [(4;3)], [(4;2)], [(4;1], [(3;1)], [(1;2)]

PARTICIÓN DE 2



(x,y)R(a,b) sii x.y=a.b, R definida sobre 2 ; los puntos que están en una misma curva pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(12;2)]={(10;2,4), (2,4;10), (10;-2,4), (-12;2)……….} puntos en la curva celeste (todos) [(12;1)]={(10;1,2), (1,2;10), (-12;1), (-4,8;-2,5), (4,8;2,5)……….} ,puntos en la curva rosa (todos)

EJEMPLO A={palabras de n bits} w(a) el número de unos que contiene a aRb ⇔w(a) ≡ w(b) (mod 2) R es de equivalencia:  Reflexiva: aRa w(a) ≡ w (a)(mod 2)  Simétrica: aRb⇒bRa w(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2)  Transitiva: aRb y bRc⇒aRc w(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2) ⇒w(a)≡w(c) R define en A una partición formada por dos clases de equivalencia, cada una con 2n-1 elementos Porque de la cantidad 2n la mitad tiene un número par de 1 y la otra mitad un número impar [0]={a∈A / a tiene un número par de unos} [1]={a∈A / a tiene un número impar de unos}  Para n=3 [0]={000, 011, 101, 110}