Relaciones Binarias j6c2h

Relaciones Binarias La relación binaria entre dos conjuntos A y B está definida por R el cual es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (AxB). En este caso se dirá que la relación de A en B es el conjunto R. El conjunto A es el conjunto de partida mientras que B el conjunto de llegada. Los elementos del conjunto R son pares ordenados (a, b) de los cuales a ∈ A y b ∈ B. Estos se denotan aRb lo cual se lee “a está relacionado con b según la relación R”. Por ejemplo, la relación mayor que de los conjuntos A= {5, 7, 8} y B= {6,9,10} será R= {(7,6),(8,6)} Cuando A=B diremos que R es una relación en A. Dominio y Rango El dominio y rango de una relación binaria entre dos conjuntos está determinado por los elementos del conjunto de partida (dominio) y del conjunto de llegada (rango o imagen). De esta manera tenemos que: Dom(R)= {a∈ A | (a,b)∈ R para algún b∈ B } Rang(R)= {b∈ B | (a,b)∈ R para algún a∈ A } En otras palabras, el dominio serán los primeros componentes de los pares ordenados (a,b) que conforman R y el rango serán los segundos componentes. Representación gráfica de Relaciones Las relaciones pueden representarse gráficamente de diversas maneras siendo las más comunes la representación cartesiana, la matricial y la sagitaria. Representación Cartesiana En esta se utilizan los elementos del conjunto de partida como abscisas y los del conjunto de llegada como ordenadas para representar la relación en el plano cartesiano. Por ejemplo, si tenemos que una relación de A en B es el conjunto R= {(3,2), (1,-1), (-1,0), la siguiente:

(-3,1), (-5,2)} entonces su representación cartesiana será

Representación Sagitaria En ella se utilizan diagramas de Venn para representar los conjuntos de partida y de llegada y se unen los pares ordenados mediante flechas. Esta es empleada para conjuntos finitos.

Representación Matricial En ella se crea una matriz colocando los elementos del conjunto de partida como filas y los del conjunto de llegada como columnas. La matriz se llena colocando 1 en las posiciones donde los elementos se relacionan y 0 en caso contrario. Así, la relación binaria menor o igual entre los conjuntos A= {1,2,3,4} y B= {1,2,3,4} es el conjunto R= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} el cual se representa matricialmente de la forma:

Relación Inversa Si R es una relación de A en B, la relación inversa R-1 está definida por: R-1= {(b,a)∈ BxA| (a,b)∈ R} En la relación inversa se cumple que dom(R -1)= rang(R) y Rang(R-1)= dom(R), es decir, se intercambian el dominio y el rango de la relación original. Por ejemplo, dada la relación R= {(1,2), (4,6), (5,7)} la relación inversa sería R-1= {(2,1), (6,4), (7,5)}. Teorema. Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R Composición de Relaciones Dada la relación R de A en B y la relación S de B en C, la composición de R y S es la relación: R ∘ S= {(a,c)∈ AxC | ∃ b∈ B | aRb y bSc} Nótese que R ∘ S ≠ S ∘ R Teorema. Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es una relación de Z en W, entonces: T ∘ (S o R) = (T ∘ S) ∘ R Teorema. Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces

(S ∘ R)-1 = R-1 ∘ S-1