Persamaan Kuadrat 4g1o4a

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Disusun Oleh: Nama

: Sulistia Ningrum

Nim

: 06111408011

Prodi

: Pendidikan Matematika Kampus Palembang

UNIVERSITAS SRIWIJAYA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AJARAN 2012 1

Peta Konsep

2

A. PERSAMAAN KUADRAT

1. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya dua. Bentuk umun persamaan kuadrat dengan variabel X adalah sebagai berikut.

Dengan a,b,c bilangan real dan a ≠ 0 Bentuk umum persamaan kuadrat diatas disebut juga persamaan kuadrat bentuk real. Dari bentuk umum diatas dapat diperoleh bentuk-bentuk yang lain,yaitu: 1. Jika a,b,dan c bilangan rasional,maka diperoleh persamaan

yang

disebut persamaan kuadrat rasional. 2. Jika a = 1,maka diperoleh persamaan

yang dimaksut dengan

persamaan kuadrat biasa. 3. Jika b = 0,maka diperoleh persamaan a

yang disebut persamaan kuadrat

sempurna. 4. Jika c = 0,maka diperoleh persamaan

yang dimaksud dengan

persamaan kuadrat tak lengkap.

2. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT Untuk menyelesaikan Persamaan kuadrat dapat digunakan beberapa cara sebagai berikut: a. Memfaktorkan , b. Melengkapkan bentuk kuadrat. c. Menggunakan Rumus abc (Rumus Kuadrat).

a. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan 3

1. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1 Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, diperlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut. ax2 + bx + c = ( x + m)(x + n) dengan m + n = b dan mn = c 2. Menggunakan Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan Untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, perlukan nilai m dan n yang memenuhi m+n = b dan mn = c. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut : ax2 + bx + c = ( ax + m)(ax + n) dengan m + n = b dan mn = ac

Contoh : Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan cara memfaktorkan! a. x2 + 2x – 15 = 0 b. 4x2 + 5x – 21 = 0 Jawab : a.

x2 + 2x – 15 = 0 x2 + 2x – 15 = 0 = (x + m)( x + n), dengan m + n = 2, mn = -15 Nilai m dan n yang mungkin adalah 5 dan -3, sehingga x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x - 3) = 0 x = -5 atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaian nya adalah {-5, 3}.

b. 4x2 + 5x – 21 = 0

(4x + m)(4x+ n) = 0, dengan m + n = 5 dan mn = (-21) = -84, maka nilai m dan n yang mungkin adalah 12 dan -7, sehingga 4x2 + 5x – 21 = 0 (4x + 12)(4x - 7) = 0 (x + 3)(4x - 7) = 0 x = -3 atau x = 4

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah { -3,

}

b. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Penyelesaian dengan melengkapkan bentuk Kuadrat dilakukan dengan cara mengubah bentuk ax2 + bx + c kebentuk (x+p)2 = q. Hal yang mendasari penggunaan cara ini adalah dengan mengubah ruas kiri persamaan ax2 + x + c, menjadi bentuk kuadrat sempurna. Contoh : Dengan cara melengkapkan kuadrat, tentukan penyelesaian dari persamaan berikut! a. x2 – 2x – 4 = 0 Jawab : a. .x2 – 2x – 4 = 0 Mula-mula pidahkan konstatnta (-4) ke ruas kanan, sehingga x2 – 2x – 4 = 0, kemudian tambahkan kedua ruas dengan(

)2 = 1, sehingga diperoleh:

. x2 – 2x + 1 = 4 + 1 (x – 1)2 = 5 x–1= x=1+

atau x = 1 -

c. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kudarat ax2 + bx + c = 0, dengan a 0. Maka nilai x1 dan x2 dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

Contoh : Dengan menggunakan rumus kuadrat tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! a. x2 + 3x – 4 = 0 Jawab : a. x2 + 3x – 4 = 0, koefisien dari x2 adalah a = 1, koefisien dari x adalah b = 3 dan suku tetap c = -4.

5

=

=

=

X1 = 1 atau x2 =

= -4

jadi penyelesaian adalah 1 dan -4.

3. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT Akar-akar persamaan kauadrat

. Bilangan

dengan a,b,c

dan a ≠ 0 adalah

disebut diskriminan dari persamaan

dilambangkan dengan D. Diskriminan akan memengaruhi jenis-jenis akarakar persamaan kuadrat.Jika D = 0,maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real atau akar-akar kembar. Jika D>0,maka

merupakan bilangan real sehingga persamaan kuadrat

mempunyai dua akar yang berlainan. Jika D < 0 maka

merupakan bilangan imajiner

(khayal) atau tidak real. Dapat dikatakan bahwa,jika D < 0,maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya merupakan bilangan imajiner (khayal). Dari pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan kuadrat , dengan D = b2-4ac,berlaku sifat-sifat akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

1. D > 0

Kedua akar nyata dan berbeda. Jika D merupakan suatu kuadrat

sempurna maka kedua akar adalah rasional,jika tidak maka kedua akar 6

tersebut adalah bilangan irasional. 2. D = 0

Kedua akar real sama ( kembar )

3. D < 0

Kedua akar tidak nyata ( khayal )

4. D

Kedua akarnya nyata

0

Contoh Soal : 1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut. a.

b.

c. Penyelesaian : a.

D = b2- 4ac = 32- 4(1)(-28) = 9 +112 = 121 D > 0 maka akar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang berlainan b.

D = b2- 4ac = 122- 4(4)(9) = 144 -144 7

=0 D = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar real yang sama atau akar-akar kembar.

c.

D = b2- 4ac = 42- 4(3)(6) = 16 - 72 = -56 D < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang merupakan bilangan imajiner (khayal).

4. DISKRIMINAN Jenis – jenis akar dari persamaan kuadrat berdasarkan

dapat ditentukan

yang sering dinotasikan dengan huruf D dan disebut diskriminan.

Perhatikan skema sifat akar berikut

8

Jenis – jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan ( D =

)

a. Jika D ≥ 0 maka kedua akarnya nyata (real). b. Jika D > 0 maka kedua akarnya nyata dan berbeda ( i.

D=

ii.

D k

.

, maka kedua akarnya rasional (terukur). , maka kedua akarnya irasional (tidak terukur).

bilangan bulat.

c. Jika D = 0 maka kedua akarnya nyata dan sama/akar kembar (

, serta

rasional. d. Jika D < maka kedua akarnya tidak nyata (tidak real), tidak real sering dosebut khayal atau imajiner. Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut: 1. 2x2 + 4x –1 =0 2. 4x2 + 12x +9 =0 Jawab: a. 2x2 + 4x –1 =0, 9

D= b2 – 4ac D= 42 – 4.2.(-1) = 16 +8 D= 24 Jadi D>0 , tetapi Bukan Bilangan kuadrat sehingga akar-akarnya: Real, Berbeda, bilangan Irasional b. 4x2 +12 4x +9 =0, D= b2 – 4ac D= 122 – 4.4.9 = 144-144 = 0 Jadi D=0, sehingga akar-akarynya: Real, kembar, bilangan rasional Contoh 2: Tentukan nilai m agar x2 + (m+3)x + 4m-3 =0 mempunyai akar kembar ! Jawab: a= 1 , b= m+3, c= 4m-3 akar kembar , syarat D=0 D= b2 – 4ac =0 (m+3)2 – 4.1 (4m-3)=0 m2 +6m + 9 – 16m +12 =0 m2 - 10m + 21=0 (m-7 )(m-3) =0 (m-7 )=0 atau (m-3) =0 Jadi, akar-akarnya adalah m=7 atau m=3

5.

JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Kita ingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0) ditentukan dengan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut x1 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac atau x2 = 2a 2a

Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengembangkan rumus jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil kali akar-akar (x1 . x2) persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien a, b, dan c.

10

Jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil kali akar-akar (x1 . x2) dapat ditentukan dengan manipulasi aljabar dan perhitungan teknis sebagai berikut 1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat : x1 + x2 =

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac + 2a 2a

=

− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac 2a

=

− 2b b =− 2a a

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :  − b + b 2 − 4ac 2a 

x1 . x2 = 

 − b − b 2 − 4ac   2a 

( − b ) 2 − ( b 2 − 4ac ) = ( 2a ) 2 =

b 2 − ( b 2 − 4ac ) 4a 2

=

b 2 − b 2 + 4ac 4a 2

=

4ac 4a 2

=

c a

   

2

Hasil perhitungan diatas menunjukan berlakunya sifat berikut Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0, dengan a ≠ 0, maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadarat itu di tentukan dengan rumus : x1 + x2 = −

b c dan x1 . x2 = a a

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk :

11

a. menghitung bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat, b. menghitung koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memenuhi sifat-sifat tertentu, c. menyusun persamaan kuadrat.

a. Menghitung bentuk simetri akar-akar persamaan kuadrat

Sebuah bentuk aljabar yang terdiri atas dua variabel dikatakan simetri/setangkup jika letak peubah itu ditukarkan maka nilai bentuk itu tetap. Bentuk a + b; a2 + b2;

1 1 + merupakan contoh bentuk simetri, sebab a b

a + b = b + a; a2 + b2 = b2 + a2;

tetapi, a – b; a2 – b2;

1 1 1 1 + = + a b b a

1 1 − bukan bentuk simetri, sebab a b

a – b ≠ b – a; a2 – b2 ≠ b2 – a2;

1 1 1 1 − ≠ − a b b a

Bentuk

persamaan

simetri

akar-akar

kuadrat

dapat

dihitung

tanpa

harus

menyelesaikan persamaan kuadrat terlebih dahulu. Agar lebih jelas, simaklah beberapa contoh berikut Contoh 1 : Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 adalah x1 dan x2. tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, hitunglah : a) x1 + x2

c) x12 + x22

b) x1 . x2

d)

1 1 + x1 x 2

Jawab : Persamaan kuadrat x2 – 3x -1 = 0 memiliki koefisien-koefisien a = 1, b = 3, dan c = -1.

12

a) x1 + x2 = − b) x1 . x2 =

b −3 =3 = − a 1

c −1 = = −1 a 1

c) x12 + x22 = x12 + 2x1 . x2 + x22 – 2x1 . x2 = (x1 + x2)2 – 2x1 . x2 2

 b c  =  −  − 2  

a

 

−3   −1   − 2  1   1 

= −

a 

2

= 9 + 2 = 11 b − x2 x1 x1 + x 2 1 1 b −3 + = + = = a =− =− = −3 d) c x1 x 2 x1 .x 2 x1 .x 2 x1 .x 2 c −1 a

b. Menghitung koefisien persamaan kuadrat yang akar-akarnya memiliki ciri-ciri tertentu Dalam pasal ini akan dibahas cara menghitung koefisien persaman kuadrat yang akarakarnya memiliki ciri-ciri tertentu tetapi dikaitkan dengan jumlah akar-akar (x1 + x2) dan hasil kali akar-akar (x1 . x2) dari persamaan kuadrat yang diketahui. Cirri-ciri tertenu yang dimaksud itu, misalnya : •

salah satu akarnya dua kali akar yang lain

•

salah satu akarnya dua lebihnya adri akar yang lain

•

salah satu akarnya lawan dari akar yang lain

•

salah satu akarnya kebalikan dari akar yang lain, dan sebagainya.

Contoh 1 :

13

Salah satu akar persamaan x2 + 6x + p = 0 adalah dua kali akar yang lain. Hitunglah nilai p? Jawab : Kofisien-koefisien x2 + 6x + p = 0 adalah a = 1, b = 6, dan c = p. Jika akar-akar persamaan itu x1 dan x2 maka x1 = 2x2 (perhatikan pada soal: salah satu akarnya 2 akar yang lain). Rumus jumlah akar-akar : x1 + x2 = −

6 1

Rumus hasil kali akar-akar : x1 . x2 =

p 1

2x2 + x2 = -6

(-4)(-2) = p

3x2 = -6

p=8

x2 = -2

jadi, nilai p = 8

Dari x1 = 2x2 diperoleh x1 = 2(-2) = -4

Contoh 2 : Persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α2 + β2 = 45, hitunglah nilai p. Jawab : Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x2 – (p + 3)x + 3p = 0 adalah a = 1, b = -(p + 3), dan c = 3p, sehingga (α + β) =

− ( −( p + 3)) 1

=p+3 (α . β) =

3p = 3p 1

14

α 2 + β2 = (α + β)2 - 2α . β = (p + 3)2 – 2(3p) = p2 + 6p + 9 – 6p = p2 + 9 Diketahui α2 + β2 = 45, maka p2 + 9 = 45 p2 = 36 p = -6 atau p = 6 jadi nilai p = -6 atau p = 6 Jumlah dan hasil kali akar-akar dapat digunakan untuk membedakan cirri akar yang satu dengan akar yang lain dalam sebuah persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real. Perbedaan cirri akar yang satu dengan akar yang lain itu dapat dideskripsikan sebagai berikut.

1. akar yang satu merupakan lawan akar yang lainnya atau sering dikatakan akarakarnya berlawanan : x1 = -x2 x1 = -x2 x1 + x2 = 0 −

b =0 a

b=0 2. akar yang satu merupakan kebalikan akar yang lainnya atau sering dikatakan akarakarnya berkebalikan : x1 =

x1 =

1 x2

1 x2

x1 . x2 = 1 15

c =1 a

a =c 3. sebuah akarnya sama dengan 0: x1 = 0 x1 . x2 =

c a

x1 + x2 = −

b a

(0)x2 =

c a

(0) + x2 = −

b a

0=

c a

x2 = −

b a

c=0 4. kedua akarnya mempunyai tanda yang sama atau sering dikatakan akar-akarnya bertanda sama : x1 > 0 dan x2 > 0 atau x1 < 0 dan x2 < 0. x1 . x2 > 0 c > 0 , a dan c bertanda sama a

5. kedua akarnya mempunyai tanda yang tidak sama atau sering dikatakan akarakarnya berlainan tanda : x1 > 0 dan x2 < 0 atau x1 < 0 dan x2 > 0 x1 . x2 < 0 c < 0 , a dan c berlainan tanda a

Deskripsi diatas menunjukan berlakunya sifat yang berkaitan dengan cirri-ciri akar persamaan kuadrat sebagai berikut : Misalkan x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+b2+c=0 (a ≠ 0). 1) akar-akarnya berlawanan (x1 = - x2) ⇔ b = 0 2) akar-akarnya berkebalikan (x1 =

1 ) x2

⇔a=c

3) sebuah akarnya sama dengan 0 (x1 = 0) ⇔ c = 0 dan x2 = −

b a

16

4) kedua akarnya bertanda sama ⇔ 5) kedua akarnya berlainan tanda ⇔

c >0 a c <0 a

Contoh : Persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 akar-akarnya berkebalikan. Hitunglah nilai p dan akar-akar itu ! Jawab : 2x2 – px + (p – 3) = 0; koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = -p, dan c = p – 3. supaya akar-akarnya berkebalikan, haruslah a = c 2 = p–3 p = 5 akar-akarnya dapat diperoleh dengan mensubtitusi nilai p = 5 ke persamaan 2x2 – px + (p – 3) = 0, sehingga : 2x2 – (5)x + (5 – 3) = 0 2x2 + 5x + 2 = 0 (2x – 1)(x -2) = 0 x=

1 atau x = 2 2

jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – px + (p – 3) = 0 berkebalikan untuk nilai p = 5, dan akar-akar itu adalah x =

1 atau x = 2 2

6. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT a. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akanya diketahui

17

setelah mempelajari cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ,selanjutnya kita akan mempelajari proses kebalikannya, yaitu baaimna menyusun suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui. Jika

dan

adlah kr-akar persaman kuadrat

,

maka untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan dengan cara berikut. 1) Perkalian Faktor Jika

dan

adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat

tersebut adalah sebgai berikut.

2) Menggunakan Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Jika

dan

adalah akar-akar persamaan kuadrat , maka rumus persamaan kuadrat

tersebut adalah sebgai berikut.

Contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! a. 2 dan

b. 2 -

dan 2 +

Jawab : a. Dengan perkalian faktor diperoleh:

18

b. Dengan jimlah dan hasil kalikar diperoleh: Diketahui

22-

dan

2+

+ 2+

=4

(2 -

)( 2 +

)

=4–3 =1

Jadi persamaan kuadratnya adalah

b. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya

Jika suatu persamaan kuadrat akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jika

merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka untuk

menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlahdan hasil kaliakar-akarnyadigunakan sebagai berikut.

19

Contoh : Diketahui

dan

adalah akar-akar persamaan kuadrat dari

. Tentukan

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah a. 2

dan 2

b. Berkebalikan dengan

dan

dan

c.

Jawab ; Dari persamaan

diperoleh

dan

3. Jika

dan

adalah akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari, maka a.

=2

+2

=2

+

= (2

(2

= 2 (5) = 10

=4

= 4 (3) = 12

Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah

b. Akar-akar yang berkebalikan dengan

+

=

dan

adalah

, maka

= 20

=

x

=

=

Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah

c.

= =(

) +16

= 3 – 4(5) + 16 = -1

Jadi persamaan kuadrat baru yang dicari adalah

B. FUNGSI KUADRAT 1. BENTUK UMUM FUNGSI KUADRAT 21

Simaklah beberapa fungsi berikut ini : a. b. c. d. Perhatikan bahwa pangkat tertinggi dari variabel x pada tiap funsi di atas =2. Fungsi yang mempunyai ciri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam variabel x. Dengan demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi : Bentuk Umum Fungsi Kuadrat Misalkan a,b,dan c bilngan real dan a

0,maka funsi yang dirumuskan oleh

Dinamakan fungsi kuadrat dalam variabel x

Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y=

dan grafik fungsi kuadrat

disebut senagai parabola.

2. MENGGAMBAR GRAFIK FUGSI KUADRAT Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0 disebut fungsi derajad dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f: ax 2 + bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola. I. Nilai Ekstrim Fungsi f(x)

= ax2 + bx + c , a≠0

= a(x2 +

x) + c

= a(x +

)2 -

Jika a > 0, maka a(x +

, dimana D = b2 – 4ac

)2 ≥ 0, nilai minimum f(x) = -

untuk x= -

22

Jika a < 0, maka a(x +

)2 ≤ 0, nilai maksimum f(x)= -

untuk x= -

D = b2 – 4ac disebut diskriminan

Jika titik P adalah titik puncak parabola maka P ( adalah x= -

,-

). sumbu simetri parabola

.

II. Kedudukan Grafik y= ax2+ bx + c terhadap sumbu x Nilai- niao x yang menyebabkan nilai f(x) = ax 2 + bx + c dengan nol, disebut nilai nol fugsi f(x). Nilai nol fungsi uadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0. Ada 6 macam grafik parabola fungsi kuadrat

23

a>0 D<0

a<0 D<0 a>0 D=0

a<0 D=0 a>0 D>0 a<0 D>0

Untuk mengetahui bahwa grafik dari fungsi f adalah parabola, kita dapat membuat sketsa kurva y= ax2 + bx + c dengan cara sebagai berikut: a. Jika ax2 + bx + c dapat difaktorkan. •

Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y

•

Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x

•

Tentukan titik puncak

b. Jika ax2 + bx + c tidak dapat difaktorkan. –

Tentukan titik potong kurva dengan sumbu y.

–

Tentukan titik puncak dengan memperhatikan sumbu simetri.

–

Tentukan beberapa titik lain yang mudah. 24

Contoh Soal: Gambar grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh rumus f(x) = 5 + 4x – x 2, jika asalnya {x│-2 ≤ x ≤ 6, x R} Jawab: f(x) = 5 + 4x – x2 tidak dapat difaktorkan, maka: a. Misal x = 0, maka y = 5. Jadi, (0, 5)

b. y = -

=9;x=-

= 2. Jadi (2, 9)

c. Mengambil titik lain yang lebih mudah x = 5 maka y = 0; (5, 0) x = -1 maka y = 0; (-1, 0)

9

5

-1

2

5

25

Titik P(2,9) disebut titik puncak parabola atau titik maksimum karena tidak ada titik lain pada kurva yang koordinatnya lebih dari 9. Nilai f(x) yang bersesuain dengan titik maksimum ialah 9, dan disebut nilai maksimum fungsi. 3. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT SECARA UMUM Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum y = ax 2 + bx + c . Dari bentuk aljabar tersebut dapat diilustrasikan sebagi bentuk lintasan lengkung atau parabola dengan karakteristik sebagai berikut. Jika, 1. 2. 3. 4. 5.

a > 0, maka parabola terbuka ke atas a < 0, maka parabola terbuka ke bawah D < 0, maka parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu X D = 0, maka parabola menyinggung sumbu X D > 0, maka parabola memotong sumbu X di dua titik Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat y = ax + bx + c adalah sebagai berikut 2

a. b.

Menentukan titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 Menentukan titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0

c.

Menentukan persamaan sumbu simetri x = −

d.

Menentukan nilai ekstrim grafik y =

e.

Koordinat titik balik  −

 

b 2a

D − 4a

b D ,−  2a 4a 

Contoh soal: Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat y = x 2 + 4 x

Penyelesaian: a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 x 2 + 4x = 0 26

x ( x + 4)

x

=0 = 0 atau (x + 4) = 0 x

= –4

Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0) b. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0 maka, y = 02 + 4.0

Y

=0 Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0) 4

c. Persamaan sumbu simetri x=

−4 = −2 2.1

2

X

4

Jadi persamaan sumbu simetrinya x = –2 d. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = –2 y = (–2)2 + 4(–2)

0

x = -2

= –4 e. Koordinat titik balik: (–2, –4) 4. MEMBENTUK FUNGSI KUADRAT Apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui,maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun fungsi kuadrat. Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut 1. Grafik fumgsi kuadrat memotong sumbu X di A(X1,0) dan B(X2,0) serta melalui sebuah titik tertentu . Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y=f(x)=a(x-x1)(x-x2) dengan nilai a ditentukan kemudian. 2. Grafik fumgsi kuadrat memotong sumbu X di A(X1,0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : Y=f(x)= a(x-x1)2 27

Dengan nilai a ditentukan kemudian. 3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak dan titik balik P(xp-yp) dan melaui titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y=f(x)=a(x-xp)2+yp dengan nilai a ditentukan kemudian. 4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(X1,Y1), B(X2,Y2),dan B(X3,Y3). Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai : y= dengan nilai a,b,dan c ditentukan kemudian.

Contoh soal : 1. Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(1,0),B(2,0). Jika fungsi kuadrta otu melalui titik (0,4), tentukan persamaan fungsi kuadrat itu ? Penyelesaian : Persaman fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai y= a(x-1)(x-2) nilai an di tentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu mellui titik (0,4),aretinya untuk x=0 diperoleh y= 4. 4 = a(0-1)(0-2)

Jadi,persamaan fungsi kuadratnya adalah : y =f(x) y =2(x-1)(x-2) y =2x2-6x+4

28

C. PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Pada perhitungan matematika maupun kehidupan sehari-hari, tentu sering Anda jumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Permasalahanpermasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat itu mempunyai karakteristik atau ciri tertentu. Agar Anda memahami dan terampil merancang(menyusun) model matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Contoh 1: Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan itu sama dengan -3. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Langkah 1: Misalkan bilangan itu = x Di sini x dinamakan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel persamaan kuadrat. Langkah 2: Berdasarkan ketentuan, pada soal diperoleh hubungan x2 – 4x = -3 bentuk x2 – 4x = -3 merupakan persamaan kuadrat sebagai model matematika dari permasalahan di atas. Jadi model matematika dari permasalahan diatas adalah x2 – 4x = -3. Contoh 2: Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil kali kedua bilangan itu sama dengan 75, tentukan bilangan-bilangan tersebut dan penafsiran solusi masalahnya! Jawab: •) Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka x + y = 20 y = 20 – x •) Anda buat model matematikanya sebagai berikut: ⇔ x . y = 75 ⇔ x (20 – x) = 75 ⇔ 20x – x2 = 75 ⇔ -x2 + 20 – 75 = 0 (kedua ruas dikalikan (-1)) ⇔ x2 – 20 x + 75 = 0 •) Penyelesaiannya: ⇔ (x –15) (x – 5) = 0 ⇔ x – 15 = 0 atau x – 5 = 0 29

⇔ x = 0 + 15 atau x = 0 + 5 ⇔ x = 15 atau x = 5 •) Anda cari nilai y sebagai berikut: Untuk x = 15, maka y = 20 – 15 ⇔y=5 lalu diperiksa: x + y = 15 + 5 = 20 x . y = 15 . 5 = 75 (ternyata benar) Untuk x = 5, maka y = 20 – 15 ⇔ y = 15 lalu diperiksa: x + y = 5 + 15 = 20 x . y = 5 . 15 = 75 (ternyata benar) Dalam kehidupan sehari-hari banyak contoh-contoh penerapan fungsi, misalnya pada permainan bola basket bahwa pemain berusaha memasukkan bola ke keranjang dengan pelemparan tidak lurus tetapi dilemparkan ke atas melampaui tempat jaringnya menuju jaringnya dengan lintasan bolanya berbentuk parabola, bagaimana menentukan ukuran lipatan talang seng agar talangnya dapat mengalirkan air sebanyak mungkin, dan sebagainya. Matematika dalam kehidupan sehari-hari dapat dipergunaan sebagai alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah, misalnya fungsi kuadrat dalam kegiatan ekonomi dapat dipakai dalam berbagai analisis berbagai permasalahan yang berkaitan dengan permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas, harga keseimbangan, dan sebagainya. Dalam penelitian ini penulis bertujuan unuk mengetahui bagaimanakah fungsi kuadrat dapat diaplikasikan dalam estimasi kegiatan ekonomi terutama berkaitan dengan masalah permintaan, penawaran, penerimaan, titik impas serta estimasi keuntungan dari produk barang

atau

jasa.

Fungsi kuadrat bentuk umum y = f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c suatu konstanta dalam penelitian ini membuktikan bahwa penerapannya dapat dipergunakan untuk melakukan estimasi harga dan fakor-faktor produksi dalam menentukan besarnya permintaan, penawaran, penerimaan, harga keseimbangan, titik impas dan estimasi keuntungan. Bagaimana memecahkan masalah, misalnya pada contoh berikut ini : Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari dengan kawat untuk kandang ayam. Pagar kawat yang tersedia 400 m, dan kandang itu dibuat berbentuk persegi panjang. Tentukanlah ukurannya agar terdapat kandang yang seluas-luasnya.

30

Penyelesaian: Misalkan lebar kandang x meter, maka panjangnya (400 – 2x) meter. Luas kandang dalam m2 adalah L = x (400 – 2x) = 400x – 2x2Dari persaman luas tersebut yang berbentuk fungsi kuadrat dapat ditentukan nilai ekstremnya sebagai berikut : L = 400x – 2x2 = – 2x2 + 400x = - 2( x - 100 )2 + 20000 Agar luas kandang maksimum maka x – 100 = 0 atau x = 100. Sehingga untuk x =100 terdapat luas kandang maksimum L =20.000 Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m2 yang terjadi jika lebarnya 100 m Dalam penerapannya nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat dapat dinyatakan dengan kata-kata yang berlainan : a. kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, dan lain sebaginya dapat dihubungkan dengan pengertian nilai maksimum fungsi kuadrat. b. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, dan lain sebagainya dapat dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat. Contoh soal : 1.

Tentukan luas terbesar dari suatu persegi panjang jika keliling persegi panjang diketahui 60 cm

2.

Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik peluru mencapai ketinggian yang dirumuskan dengan h(t) = 40t – 5t2 dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?

Penyelesaian: 1. Misal :

panjang

= x cm

lebar

= y cm

keliling

= 2(x + y) cm

maka, 31

2(x + y) = 60 x + y = 30 y

= (30 – x) cm

Misal luas persegi panjang L(x) = x . y cm = x (30 – x) = 30x – x2 Luas bernilai maksimum =

D − 900 = = 225 cm2 − 4a −4

Jadi luas terbesar persegi panjang adalah 225 cm2 2. h(t) = 40t – 5t2 Waktu saat mencapai tinggi maksimum t =

=

−b 2a − 40 −10

= 4 detik Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik h(t) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80 meter

32

SOAL-SOAL EVALUASI 1.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3+

2.

Tentukan nilai p agar persamaan

dan 3-

!

mempunyai akar

kembar ! Tentukan batas-batas nilai k agar persamaan

3.

tidak mempunyai akar real ! Diketahui

4.

dan

merupakan akar-akar persamaan

.

Tentukan nilai p dan q ! 5.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan cara melengkapkan kuadrat! a. x2 – 2 = 0 b. x2 + 3x – 1 = 0 c. x2 + 2x – 3 = 0 Jika x = -7 adalah salah satu persamaan kuadrat px2 + (7p + 1)x + (3p + 1) =

6.

0, tentukan : a. Nilai p b. Jumlah akar-akarnya. c. Hasil kali akar-akarnya dan

7.

adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 1 = 0, tentukan nilai

dari : a. ( b. ( 8.

Tentukan jenis akar masing- masing persamaan kuadrat di bawah ini tanpa menyelesaikan persamaannya :

33

a. b. c. Tentukan nilai m agar persamaan

9.

mempunyai akar kembar. Tentukan nilai m agar persamaan

10.

mempunyai akar tidak

real. Salah satu akar persamaan x2 + mx + 10 = 0 adalah 3 lebihnya dari akar yang

11.

lain. Hitunglah nilai m. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 adalah α dan β. Tanpa harus

12.

menyelesaikan persamaanya terlebih dahulu, hitunglah : a) α + β

c) (α – β)2

b) α . β

d) α 2 + β 2

1

1

Jika akar-akar persamaan 2x2 – 6x – p = 0 adalah x1 dan x2 serta x1 – x2 = 5,

13.

tentukan nilai p. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 – (a + 3)x + 2a + 2 = 0 adalah x1 dan x2,

14.

tentuka nilai a positif agar x1 = 3x2. 15.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah sebagai berikut! a. 2 dan -3

b.

dan

c. d. 2 -

dan 2 +

34

adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 - x - 4 = 0,

Jika

16.

tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! a. b.

x1x2 dan x1 + x2 dan

+

c.

d.

17.

Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x –2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnyaadalah sebagai berikut! a.

3x1 dan 3x2

b.

x1 – 2 dan x2 -2

c. d.

Jika

18.

adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 -b x - c = 0,

tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut! a.

x1 + p dan x2 – p

b.

px1 dan px2

c.

d.

19. 20.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 5x - 1 = 0 Diketahui 3x – y = 6, hitunglah nilai minimum dari x.y.

35

21.

Jumlah 2 bilangan sama dengan 100. Tentukan hasil kali bilangan itu yang terbesar.

22.

Tinggi h meter dari sebuah peluru yang ditembakkan vertikal ke atas setelah t detik dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t 2. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?

23. Selembar seng berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 x 2 cm2 di masingmasing pojoknya. Panjang kotak 4 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu 90 cm3. Tentukan panjang dan alas kotak tersebut serta jelaskan penafsiran solusi masalahnya. 24. a. b. c. d. e. 25. a. b. c. d. e.

Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat di bawah ini y = (x – 2)2 y = x2 – 4x + 3 y = 8 – 2x – x2 y = (1 + x) ( 3 – x ) y = (2x – 9) (2x + 7) Manakah yang benar dan manakah yang salah? kurva y = x2 + 6x simetris terhadap garis x = 3 kurva y = (x – 1)(x + 5) simetris terhadap garis x = - 2 kurva y = x2 – 2x + 5 tidak memotong sumbu X Titik balik minimum kurva y = x2 + 6x + 7 adalah (-3, -2) Nilai maksimum kurva y = -x2 + 2x + 4 adalah 4

36

DAFTAR PUSTAKA

Cunayah, dkk. 2007. Pelajaran Matematika. Jakarta : Yrama Widya. Marwanta, dkk.. 2009. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Yudhistira. Sukino. 2007. Matematika SMA kelas X. Jakarta : Erlangga. Sunardi, dkk.. 2008. Matematika 1 SMA/MA. Jakarta : Bumi Aksara. Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika Untuk SMA Kelas X Semester 1. Jakarta : Erlangga.

37