Persamaan Dan Fungsi Kuadrat 262n44

BAB VIII PERSAMAAN dan FUNGSI KUADRAT 8. 1 Persamaan kuadrat 8.1. 1. Akar dan sifat akar. Bentuk umum persamaan dibawah ini disebut persamaan kuadrat. a x2 + bx + c = 0 dengan a, b, c real dan a ≠ 0

Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus adalah … x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 − 4ac D disebut diskriminan

x1,2 = −b ± D 2a

Sebagai akibat rumus diatas, kita peroleh sifat jumlah dan kali akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 Sifat jumlah x1 + x2 = − b

Sifat kali akar x1 x2 = c a

a

Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2 2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1 x2 (x1 + x2) 3. kuadrat selisih akar-akar (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1 x2 (x1 − x2)2 = D2 a

4. selisih kuadrat akar-akar x12 − x22 = (x1 + x2) (x1 − x2) x +x 5. Jumlah kebalikan akar-akar x1 + x1 = x1 x 2 1 2 1 2 Contoh 1. Himpunan penyelesaian dari (2x2 + x) (2x2 + x – 4) + 3 = 0 adalah … (A) {1, 3} (B) {– 32 , 1, 3} (C) {–1, 12 } (D) {– 32 , 1} (E) {– 32 , –1, 12 , 1} Jawab: E Misalkan p = 2x2 + x ⇒ p (p −4) + 3 = 0 ⇒ p2 − 4p + 3 = 0 ⇒ (p −3)(p −1 ) = 0 ⇒ (2x2 + x − 3) (2x2 + x − 1) = 0 ⇒ (2x + 3)(x − 1) (2x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = − 32 atau x = 1 atau x = 12 atau x = −1

106

107 2. Persamaan kuadrat 6x2 – (k + 4) x + k + 3 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika 6 x1 + 5 x2 = 1 maka k = … (A) –14 (B) –8 (C) –3 (D) 1 (E) 5 Jawab : C k+ 4 6 x1 + 5 x2 = 1 ⇒ 6 (x1 + x2) − x2 = 1 ⇒ 6 6 − x2 = 1 ⇒ x2 = k + 3 Karena x2 = k + 3 akar persamaan, maka 6(k+3)2 – (k + 4)(k+3) + k + 3 = 0 (k+3) [ 6 (k + 3) − (k + 4) + 1 ] = 0 (k +3) (5k + 15) = 0 Kedua bentuk faktor ini menghasilkan k = −3 3. Selisih kuadrat akar-akar x2 + 3x + p = 0 adalah −6. maka p =… (A) 14 (B) 12 (C) −5 atau −15 (D) 54 Jawab: D x12 − x22 = −6 ⇒ (x1 + x2) (x1 − x2) = −6 ⇒ −3 (x1 − x2) = −6 ⇒ x1 − x2 = 2 5 ⇒ (x1 − x2)2 = 4 ⇒ (x1 + x2)2 − 4 x1 x2 = 4 ⇒ (−3)2 − 4p = 4 ⇒ p = 4 4. Kuadrat selisih dan jumlah kuadrat akar-akar x2 + ax + b = 0 berturut-turut adalah 3 dan 11, maka b = …. (A) –3 (B) –2 (C) –1 (D) 1 (E) 2 Jawab: A (x1 − x2)2 = 3 ⇒ (x1 + x2)2 − 4x1 x2 = 3 ⇒ a2 − 4b = 3 x12 + x22 = 11 ⇒ (x1 + x2)2 − 2x1 x2 = 11 ⇒ a2 − 2b = 11 − −2b = −8 ⇒ b = 4 5. x2 + x + 1 = 0 akar p dan q, maka p33 + q33 = … (A) –3 (B) –2 (C) –1 (D) 1 (E) 2 Jawab: E Dari x2 + x + 1 = 0 ⎢kali x ⎢ ⇒ x3 + x2 + x = 0 ⇒ x3 + (x2 + x + 1) − 1 = 0 ⇒ x3 + 0 − 1 = 0 ⇒ x3 = 1 ⇒ x33 = (x3)11 = 1 Karena p & q akar (jawaban x) ⇒ p33 = 1 & q33 = 1 ⇒ p33 + q33 = 2

8.1.2. Jenis akar 1.

Jenis akar dibawah ini mudah sekali kita hafalkan dengan memperhatikan rumus dari akar itu sendiri. D≥0 Kedua akar real

b± D x1,2 = − 2a

D=0 Akar kembar D>0 Kedua akar real berbeda

D<0 Kedua akar tidak real

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

108

1. D ≥ 0 2. x1 + x2 > 0 3. x1 x2 > 0 3. Kedua akarnya real negatif, jika 1. D ≥ 0 2. x1 + x2 < 0 3. x1 x2 > 0 4. Kedua akar berbeda tanda, jika 1. D > 0 2. x1 x2 < 0 5. Akar berlawanan tanda ( baca x1 = − x2) ⇔ x1 + x2 = 0 x1 + x2 ⇔ b = 0

2. Kedua akarnya real positif, jika

1

6. Akar berkebalikan ( baca x1 = x ) ⇔ x1 x2 = 1 ⇔ c = 1 2 7. Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional. Contoh: 1. Supaya kedua akar persamaan x2 − (m − 1) x + 4 − m = 0 tidak real, maka … (A) −3 < m < 5 (C) m > 3 atau m < −5 (E) m > 5 atau m < −3 (B) −5 < m < 3 (D) m > 5 atau m < 3 Jawab : C Syarat akar tidak real D < 0 −

+ −5

⇒ (m − 1)2 − 4 (4 − m) < 0 ⇒ m2 + 2m − 15 < 0 ⇒ (m + 5) (m − 3) < 0 ⇒ m < −5 atau m > 3

+ 3

2. Persamaan kuadrat x2 − mx + 2m − 3 = 0 mempunyai akar-akar riel berlainan tanda, jika (A) m < 2 atau m > 6 (C) 3 < m < 2 atau m > 6 (E) 2 < m < 6 2

(B) m <

3 2

(D) m > 6

Jawab B Syarat agar akar-akar berlainan tanda

1. D > 0 2. x1 x2 < 0 1. D > 0 ⇒ m2 − 4 (2m − 3) > 0 ⇒ m2 − 8m + 12 > 0 + + − ⇒ (m − 2) (m−6) > 0 2 6 ⇒ m < 2 atau m > 6 3 2. x1 x2 < 0 ⇒ 2m − 3 < 0 ⇒ m < 2

3

Dari (1) dan (2), maka diperoleh m < 2

3/2

2

6

3. Supaya kedua akar persaman x2 + mx + m = 0 negatif dan berbeda, maka haruslah… (A) m < 0 atau m > 4 (C) 0 < m < 4 (E) m < 4 (B) m > 0 (D) m > 4

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

109

Jawab: Syarat agar kedua akar negatif dan berbeda

1. D > 0 2. x1 + x2 < 0 3. x1 x2 > 0 1. D > 0 ⇒ m2 − 4m > 0 ⇒ m (m − 4) > 0 ⇒ m < 0 atau m > 4 2. x1 + x2 < 0 ⇒ −m < 0 ⇒ m > 0 3. x1 x2 > 0 ⇒ m > 0 0 4 Dari (1), (2) dan (3) diperoleh m > 4

8.1.3 Menyusun persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat dengan akar-akar α dan β adalah

x2 − (α + β) x + α β = 0

Contoh : 1. Persamaan kuadrat x2 + x + 2 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar x12 + x2 dan x1 + x22 adalah … (A) x2 – 2x – 61 = 0 (C) x2 + 4x + 11 = 0 (E) x2 – 8x – 20 = 0 (B) x2 – 10x – 61 = 0 (D) x2 – 10x – 20 = 0

Jawab C Misalkan p = x12 + x2 dan q = x1 + x22, maka • p + q = x12 + x2 + x1 + x22 = x12 + x22 + x1 + x2 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2 + x1 + x2 = (−1)2 − 2 (2) + (−1) = −4 • p . q = (x12 + x2) (x1 + x22) = x13 +x23 + x12 x22 + x1 x2 = (x1 + x2)3 − 3(x1 x2) (x1 + x2) + (x1 x2)2 + x1 x2 = (−1)3 − 3 (2) (−1) + 22 + 2 = 11 Persamaan kuadrat yang dicari adalah persamaan kuadrat dengan akar p dan q, yaitu: x2 − (p + q) x + pq =0 ⇒ x2 + 4x + 11 = 0 2. Persamaan kuadrat 5x2 + 7x – 3 = 0 mempunyai akar α dan β, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar 5α2 + 7α dan 5α2 β – 3β adalah … (A) 5x2 − 36x + 63 = 0 (C) 5x2 + 12x − 72 = 0 (E) 5x2 − 64x + 147 = 0 2 2 (B) x − 122x + 67 = 0 (D) x + 132x − 17 = 0

Jawab: A Misalkan p = 5α2 + 7α dan q = 5α2 β − 3β Perhatikan,

α akar 5x2 + 7x – 3 = 0 ⇒ 5α2 + 7α – 3 = 0 ⇒ 5α2 + 7α = 3.

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

110 Perhatikan, 5α2 β − 3β = (5α2 − 3) β =−7αβ

α akar 5x2 + 7x − 3 = 0 ⇒ 5α2 + 7α − 3 = 0 ⇒ 5α2 − 3 = − 7α

−3 = − 7 5 = 21 5 21 63 36 Jadi p = 3 dan q = 5 ⇒ p + q = 5 dan p q = 5

Persamaan kuadrat yang dicari adalah persamaan kuadrat akar-akar p dan q, yaitu: 63 36 x2 − 5 x + 5 = 0 ⇒ 5x2 − 36x + 63 = 0

8.2. Fungsi kuadrat F(x) = ax2 + bx + c; a, b,c ∈ R dan a ≠ 0

Bentuk umum

8.2.1. Grafik Berikut ini beberapa ciri khas grafik fungsi kuadrat Parabola membuka keatas, untuk a > 0

1. Grafik berbentuk Parabola membuka ke bawah, untuk a < 0 2. Grafik memotong sumbu-y bila x = 0. Untuk x =0, y = a (0)2 + b(0) + c = c. Jadi grafik memotong sumbu-y pada titik (0, c) 3. Grafik memotong sumbu-x bila y = 0. akibatnya, a x2 + b x + c = 0. Dengan memperhatikan absis sebagai penyelesaian persamaan kuadrat, kemungkinankemungikan grafik dapat dirinci sebagai berikut … D > 0 ⇒ ada dua D = 0 ⇒ ada satu titik D < 0 ⇒ tidak ada titik potong dengan potong dengan sumbu x titik potong dengan sumbu x (menyinggung sumbu x) sumbu x

4. Perhatikan lagi no 1 dan no 3; berarti ada 6 kemungkinan gambar, yaitu a>0 D>0

a>0 D<0

a>0 D=0 x

x

x

x

x

x

a<0 D>0

a<0 D=0

a<0 D<0

5. Perhatikan lagi no 4 a>0 D<0 x

Keempat kalimat ini pengertiannya sama 1. a > 0 dan D < 0 2. seluruh gambar diatas sumbu x 3. ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x 4. ax2 + bx + c definit positif

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

111

a x2 + bx + c ≥ 0 untuk setiap x ⇔ a > 0 dan D ≤ 0

Amati lagi no. 4

7. Perhatikan lagi no 4 x a<0 D<0

8.

Keempat kalimat ini pengertiannya sama 1. a < 0 dan D < 0 2. seluruh gambar di bawah sumbu x 3. ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x 4. ax2 + bx + c definit negatif a x2 + bx + c ≤ 0 untuk setiap x ⇔ a < 0 dan D ≤ 0

Amati lagi no. 4

Contoh 1. Bentuk (2a − 1) x2 − 4(a + 1)x + 2a + 6 > 0 untuk setiap x real, maka (A) a < 1 (B) 1 < a < 1 (C) a > 1 (D) a > 5 (E) a < 1 2

5

2

5

2

Jawab D (2a − 1) x2 − 4(a + 1)x + 2a + 6 > 0 untuk setiap x real Syarat 1. 2a − 1 > 0 ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x 1 ⇒ 1. a > 0 ⇒a> 2

2. D < 0

2. D < 0 ⇒ 16 ( a + 1 )2 − 4 (2a − 1) (2a + 6) < 0 ⇒ 4 ( a2 + 2a + 1 ) − (4a2 + 10 a − 6 ) < 0 ⇒ −2 a + 10 < 0 ⇒ −2a < 10 ⇒ a > 5 Dari (1) dan (2) diperoleh a > 5

( Bagi 4 )

2. Untuk setiap x real, grafik fungsi y = px2 − 4x + p − 3 memotong sumbu x di dua titik berbeda, jika (A) p > 4 atau p < −1 (C) −1 < p < 4 (E) 3 < p < 4 (B) p > 3 atau p < 0 (D) −1 < p < 0 Jawab : C Syarat D > 0 ⇒ 16 − 4p (p − 3) > 0 ⇒ −4p2 + 12 p + 16 > 0 | bagi − 4 | ⇒ p2 − 3p − 4 < 0 + + − ⇒ (p −4) (p + 1) < 0 4 −1 ⇒ −1 < p < 4 8.2.2. Titik Ekstrim dan Sumbu Simetri

Titik ekstrim grafik fungsi kuadrat (parabola) disebut juga titik puncak. (xp,yp) titik puncak ⇒ 1. xp = − b 2a 2. yp = a xp2 + b xp + c 3. yp = − D 4a

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

112

(− b ,−

D 4a

) Perhatikan gambar, nilai y akan maksimum pada titik puncak. Nilai maksimum dinotasikan dengan ymaks. a < 0 ⇒ ymaks = − D untuk x = − b a<0 4a 2a

2a

a>0 (− b ,− 2a

D 4a

)

Perhatikan gambar, nilai y akan minimum pada titik puncak. Nilai minimum dinotasikan dengan ymin. a > 0 ⇒ ymin = − D untuk x = − b 4a 2a

Sumbu simetri adalah garis yang membagi dua gambar grafik, dimana gambar yang satu cermin gambar yang lain. Pada parabola sumbu simetri adalah garis melalui puncak parabola dan sejajar sumbu y.

g

Garis g : sumbu g≡ y=−

b 2a

y = a x2 + bx + c

Contoh 1. Fungsi y = x2 − ax + 3a − 4 mempunyai harga minimal 2p untuk x = p, maka (A) a = 1; p = 3 (C) a = 8; p = 4 (E) a = 2; p = 4 (B) a = 4, p = 2 (D) a = 1; p =1 Jawab B harga minimal 2p untuk x = p ⇒ Titik puncak minimum (p,2p) y = ax2 + bx + c Perhatikan xp = p ⇒ a = p ⇒ a = 2p 2

maka xp = − b

⇒ y = x − 2px + 6p − 4 Fungsi melalui (p ,2p) ⇒ 2p = p2 − 2p p + 6p − 4 2

2a

⇒ p2 − 4p + 4 = 0 ⇒ p = 2

Jadi a = 4 dan p = 2 2. Kurva f(x) = x2 − (m + 5)x + 3m + 3 memotong sumbu x di titik A dan B. Jarak A dan B sekecil-kecilnya jika m sama dengan … (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 3 (E) 2 2

Jawab C Misalkan A (x1,0) dan B(x2,0)

2

Ordinat = 0, karena sumbu x

Notasi d(A,B) = jarak A ke B = | x2 − x1 | Perhatikan d2(A,B) = | x2 − x1 |2 = (x2 − x1)2 = (x1 + x2)2 − 4 x1 x2 d2(A,B) = (m + 5)2 − 4 (3m + 3) ⇒ d2(A ,B) = m2 − 2m + 13 2 Nilai d (A,B) akan paling kecil untuk m = − b = − − 2 = 1 2a

2 .1

Pada saat nilai d2(A,B) paling kecil, berakibat nilai d(A ,B) juga paling kecil. Dengan demikian d(A,B) sekecil-kecilnya untuk m = 1

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

113 3. Akar-akar persamaan x2 + (m+ 2)x − (m + 3) = 0 adalah α dan β. Harga ekstrim dari α2 + β2 + α β adalah … (A) −24 (B) −8 (C) 2 (D) 12 (E) 21 Jawab : A α2 + β2 + α β = [ (α + β)2 − 2 α β ] + α β = (α + β)2 − α β ⇒ α2 + β2 + α β =(m + 2)2 + 4 ( m + 3) ⇒ α2 + β2 + α β =m2 + 8 m − 8 Tulis Z = α2 + β2 + α β ⇒ Z = m2 + 8 m − 8 ⇒ Harga ekstrim α2 + β2 + α β = Zmin= − D = −24 4a

4. Persamaan kurva disamping adalah y = −c x2 − bx + a. Maka … y (A) a c < 0 (D) b c > 0 (B) b2 > 4 a c (E) b2 < 4 a c x (C) a b < 0 Jawab : D Memotong sumbu x di dua titik ⇒ D = (−b)2 − 4 (−c) (a) > 0 ⇒ b2 > − 4 a c ……….. (1) Membuka kebawah ⇒ −c < 0 ⇒ c > 0 ………... (2) Memotong sumbu-y pada (0,a) diatas sumbu x ⇒ a > 0 ………… (3) Puncak dikanan sumbu y ⇒ xp < 0 ⇒ − − b < 0 ⇒ b > 0 2 ( − c)

2c

Karena 2 c > 0 , maka b > 0 …….. (4) Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh jawaban yang benar (D) b c > 0

8.2.3. Menentukan Fungsi kuadrat Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat ditulis sebagai … 1. f(x) = a ( x −x1 ) (x − x2 ) dimana (x1,0) dan (x2,0) titik potong dengan sumbu-x 2. f(x) = a (x − xp)2 + yp dimana (xp,yp) adalah titik puncak para bola

Contoh : 1. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Nilai f(4) = … Jawab 9 Puncak (2,−3) ⇒ f(x) = a(x − 2)2 − 3 Melalui (0,9) ⇒ 9 = 4a − 3 ⇒ a = 3 Dengan demikian f(x) = 3 (x − 2)2 − 3 ⇒ f(4) = 9

(2,−3)

2. Disamping ini adalah grafik parabola f(x). Titik potong dengan sumbu y adalah Jawab Memotong sumbu x di (1,0) dan (4,0) ⇒ f(x) = a (x −1) (x − 4) Melalui (5,−2) ⇒ −2 = a (4) (1) ⇒ a = − 1

1

4

(5,−2

2

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

114 3. Diketahui f dan g dengan f(x) = 2x2 + x − 5. Apabila g melalui titik (1,10), maka g akan memotong sumbu-y pada ordinat … (A) −25 (B) −10 (C) −3 (D) 10 (E) 25 Jawab Misalkan x = x1 dan x = x2 titik potong f(x) dan g(x) dengan sumbu x.

a a (x − x1 ) ( x − x 2 ) = a 1 = k ⇒ g(x) = k f(x) ……….. (1) Maka g ( x ) = 1 f (x) a 2 ( x − x1 ) ( x − x 2 ) 2

⇒ g(1) = k f(1) ⇒ 10 = k ( −2) ⇒ k = −5 …………. (2) Dari (1) dan (2) ⇒ g (x) = −10 x2 − 5x + 25 ⇒ g memotong sumbu y pada (0,25) ⇒ ordinatnya 25

8.2.4. Parabola dan Garis Lurus

Beberapa masalah mengenai hubungan parabola dan garis lurus dapat kita rumuskan Sebagai berikut 1. Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c Garis f : y = mx + n Dari kedua persamaan ⇒ ax2 + bx + c = mx + n ⇒ ax2 + (b − m)x + c − n = 0 Tulis Ds = (b − m)2 − 4 a (c −n ) [ Ds adalah diskriminan ax2 + (b − m)x + c − n = 0, dengan kata lain Ds adalah diskriminan dari hasil subtitusi g dan f ] Memperhatikan jenis akar (penyelesaian) ax2 + (b − m)x + c − n = 0, mudah bagi kita untuk membuat kesimpulan … 1.1 Ds > 0 ⇔ g dan f berpotongan di dua titik berbeda 1.2 Ds = 0 ⇔ g dan f berpotongan di satu titik (baca: bersinggungan) 1.3 Ds < 0 ⇔ g dan f tidak berpotongan. 2.

Diberikan parabola g : y = ax2 + bx + c Garis

f : y = mx + n

⇒ g − f : y = ax2 + (b − m) x + c − n Parabola g diatas garis f seluruhnya ⇒ g(x) − f(x) > 0 untuk setiap x ⇒ ax2 + (b − m) x + c − n > 0 untuk setiap x

g f

2 ⇒ a > 0 dan Dg−f = (b −m) − 4a (c −n) < 0

Parabola g dibawah garis f seluruhnya ⇒ g(x) − f(x) < 0 untuk setiap x ⇒ ax2 + (b − m) x + c − n < 0 f untuk setiap x 2 ⇒ a < 0 dan Dg−f = (b −m) − 4a (c −n) < 0

g

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

115 Contoh 1. Garis 8x − y − 6 = 0 terletak diatas parabola y = mx2 + m untuk (A) 0 < m < 2 (C) m > 2 (E) m < − 2 (B) −8 < m < 0 (D) m < − 8 Jawab : D Garis y = 8x − 6 diatas y = mx2 + m ⇒ 8x − 6 − (mx2 + m ) > 0 ⇒ − mx2 + 8x −6 − m > 0

Syarat : 1. − m > 0 ⇒ m < 0

2. D < 0 ⇒ 64 + 4m(−6 − m) < 0 ⇒ −4m2 −24m + 64 < 0 (Bagi −4) 2 ⇒ m + 6 m − 16 > 0 −

+

⇒ (m + 8) (m − 2) > 0

−7

+

9

⇒ m < − 8 atau m > 2

Dari (1) dan (2) diperoleh m < − 8 2. Garis y = mx + 3 dan parabola y = x2 − (m − 1)x + 4 sedikitnya mempunyai satu titik persekutuan, maka (A) m ≥

2 3

atau m ≤ −2

(C) m ≥

3 2

(B) m ≥

1 2

atau m ≤ −

(D) −

≤m≤

3 2

1 2

atau m ≤ −

(E) − 3 ≤ m ≤

1 2

2

1 2

3 2

Jawab: C

Subtitusi ⇒ mx + 3 = x2 − (m − 1)x + 4 ⇒ x2 −(2m −1)x + 1 = 0 D subtitusi = Ds = (2m − 1)2 − 4 ⇒ Ds = 4m2 − 4m − 3 Perhatikan, garis dan parabola paling sedikit mempunyai satu titik persekutuan. + + − Ini berarti Ds ≥ 0 ⇒ 4m2 − 4m − 3 ≥ 0 ⇒ (2m + 1) (2m − 3) ≥ 0 ⇒m≤−

1 2

atau m ≥

−

1 2

3 2

1 2

3. Nilai k agar garis y = kx + 2 dan parabola y = kx2 + 2x + k + 2 bersinggungan (A) − 2 atau 2 (C) − 3 atau 2 (E) −2 atau 2 (B) −

3 1 2

2

atau 3

(D) − 3 atau

3

3

1 2

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

116 Jawab E Subtitusi ⇒ kx2 + 2x + k + 2 = kx + 2 ⇒ kx2 + (2 − k)x + k = 0 Garis dan parabola bersinggungan ⇒ Ds = 0 ⇒ (2 − k)2 − 4k2 = 0

⇒ −3k2 − 4k + 4 = 0 ⇒ 3k2 + 4k − 4 = 0 ⇒ (3k − 2) ( k + 2) = 0 ⇒k=

2 3

atau k = − 2

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

117

PEMBAHASAN MATEMATIKA IPA 1. Garis y = x − 10 akan memotong parabola y = x2 − (a − 2)x + 6 jika hanya jika c. a ≤ −7 atau a ≥ 9 e. −6 ≤ a ≤ 9 a. a ≤ −7 atau a ≥ 8 d. −7 ≤ a ≤ 9 b. a ≤ −6 atau a ≥ 8 (Matematika ’89 Rayon A) Jawab : C x2 − (a − 2)x + 6 = x − 10 x2 − (a − 1)x + 16 = 0 (a − 1)2 − 4 . 1 . 16 ≥ 0 (a − 1)2 − 64 ≥ 0 (a − 1− 8) (a − 1+ 8) ≥ 0 −

+ −7

+ 9

syarat memotong D ≥ 0

Jadi a ≤ −7 atau a ≥ 9

2. Garis 4x + y + 5 = 0 tidak memotong parabola y = k(x2 − 1) untuk semua nilai k yang memenuhi … a. k < 1 b. k > 4 c. 1 < k < 4 d. 0 < k < 4 e. o < k < 1 (Matematika ’89 Rayon B) Jawab : C Garis : 4x + y + 5 = 0 ⇔ y = −4x − 5 ………………………….(1) Parabola : y = k(x2 − 1) ⇔ y = kx2 − k ………………………….(2) Dari (1) dan (2) kx2 − k = −4x − 5 kx2 − 4x + 5 − k = 0 syarat tidak memotong D < 0 16 −4k(5 − k) < 0 16 −20k + 4k2 < 0 k2 − 5k + 4 < 0 + + − (k − 4)(k − 1) < 0 1 4 Jadi 1 < k < 4 2 3. Persamaan x x−3−x2+ 3 = k mempunyai akar-akar nyata. Nilai k adalah … c. −3≤ k ≤ 1 e. −1< k < 3 a. k ≤ −3 atau k ≥ 1 d. −1≤ k ≤ 3 b. k ≤ −1 atau k ≥ 3 (Matematika ’89 Rayon C) Jawab : B x2 − 3x + 3 = kx − 2k persamaan kuadrat x2 − (3 + k) + 3 + 2k = 0 2 mempunyai akar-akar (3 + k) − 4(3 + 2k) ≥ 0 2 9 + 6k + k − 12 − 8k ≥ 0 k2 − 2k − 3 ≥ 0 + + − k ≤ −1 atau k ≥ 3 (k − 3)(k + 1) ≥ 0 3 −1

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

118

4. Diketahui persamaan kuadrat x2 + px + q = 0 dengan p dan q bilangan real konstan. Jika x1 dan x2 akar persamaan ini dan x1 , x1 + x2 , x2 merupakan deret hitung maka … c. p2 − 4q = 0 e. q = 0, p ≠ 0 a. p2 − 4q > 0 2 d. p = 0, q ≠ 0 b. p − 4q > 0 (Matematika ‘ 90 Rayon A) Jawab : D Perhatikan deret hitung diatas; u1 = x1, u2 = x1 + x2, u3 = x2. ⇒ b = u2 − u1 = u3 − u2 ⇒ (x1 + x2) − x1 = x2 − (x1 + x2) ⇒ x2 = − x1 ‘ ⇒ x1 + x2 = 0 ingat sifat x1 + x2 = − b a ⇒ −p = 0 ⇒p=0 persamaan kuadrat yang dimaksud untuk p = 0 adalah x2 + q = 0. Dengan demikian q = 0 atau q ≠ 0 y

5.

2

0

1

2

3

x

Jika grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c seperti gambar di atas, maka a + b + c = … a. −2 c. 2 b. 0 d. 4 e. 8 (Matematika ’91 Rayon B)

Jawab : B Kurva memotong sumbu x di (1,0) dan (3,0) ⇒ y = a (x − 1)( x − 3) Kurva melalui titik (2,2) ⇒ 2 = a (2 − 1)(2 − 3) ⇒ a = −2. Dengan demikian y = −2(x2 − 4x + 3) ⇒ y = −2x2+ 8x − 6 Jadi a + b + c = −2 + 8 − 6 = 0 Karena kurva y = ax2 + bx + c melalui titik (1,0) maka diperoleh 0 = a(1)2 + b(1) + c, sehingga a + b + c = 0. 6. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2 + ax + a = 6 maka minimum x12 + x22 adalah … (Matematika ‘ 91 Rayon C) a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 2 Jawab : A ax + bx + c = 0, akar α, β c 2x2 + ax + a − 6 = 0 akar x1, x2 ⇒α+β=−b αβ= a a 2 2 2 Z = x1 + x2 = (x1 + x2) − 2(x1 . x2) Rumus α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ 2 1 1 Z = (− 2 a) − 2 . 2 (a − 6)

Cara lain.

Z=

1 a2 4

−a+6

( −1)2 − 4 ⋅ ( 1 ) ⋅ 6 4 =5 Zmin = −4 ⋅ ( 1 ) 4

Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c. Dengan a, b dan c konstanta Untuk a > 0 ⇒ yminimum = D

− 4a Untuk a < 0 ⇒ ymaximum = D − 4a

7. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan 4x2 + bx + 4 = 0, b ≠ 0, maka berlaku x1−1 + x2−1 = 16(x13 + x23) untuk b2 − b sama dengan … a. 0 atau 2 b. 6 atau 12 c. 20 atau 30 d. 42 atau 56 e. 72 atau 90 (Matematika ’92 Rayon C) Jawab : D

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

119 1 + 1 = 16 (x 3 + x 3) 1 2 x1 x2

x +x

⇒ x1 ⋅ x 2 = 16[ (x1 + x2)3 − 3 x1 x2 (x1 + x2 ) ] 1 2 −b ⎡ −b 3 −b ⎤ ⇒ 14 = 16⋅ ⎢ 4 −3⋅1⋅ 4 ⎥ ⎣ ⎦

( ) ( )

−b − b3 ⇒ 4 = 4 + 12 b kedua ruas dikali − 4 sehingga didapat 1 = b2 − 48 ⇒ b2 = 49 ⇒ b = ± 7 b

Untuk b = 7 ⇒ b − b = 42 Untuk b = −7 ⇒ b2 − b = 56 2

8. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akarna x1 + x2, dan x1 ⋅ x2 adalah … d. x2 + (b − c)x − bc = 0 a. x2 + bcx + b − c = 0 e. x2 − (b − c)x + bc = 0 b. x2 − bcx − b + c = 0 2 c. x + (b − c)x + bc = 0 (Matematika ’92 Rayon B) Jawab : D x1 + x2 = −b ; x1.x2 = c Persamaan kuadratnya : x2 − (x1 + x2 + x1.x2)x + (x1 + x2) ⋅ x1.x2 = 0 x2 − (−b + c)x + (−b) ⋅ c = 0 x2 + (b − c)x − bc = 0 9. Akar-akar persamaan kuadrat ax2 − 3a x + 5 (a − 3) = 0 adalah x1 dan x2. Jika x13 + x23 = 117 maka a2 + a = … a. 4 b. 3 c. 2 d. 1 e. 0 (Matematika ‘ 92 Rayon C) Jawab : C 3a Sifat x1 + x2 = a = 3 x1 ⋅ x2 =

5(a − 3) 5a − 15 = a a

x13 + x23 = 117 ⇒ (x1 + x2)3 − 3 x1 ⋅ x2 (x1 + x2) = 117

(

)

(

)

5a − 15 ⇒ 33 − 3 5a a− 15 (3) = 117 ⇒27 − 9 = 117 a 90 5a − 15 ⇒ = −9 = −10 ⇒ 5a − 15 = −10a a ⇒ 15a = 15 ⇒ a = 1

(

)

Jadi a2 + a = 2 10. Jika p ≠ 0 dan akar-akar persamaan x 2 + px + q = 0 adalah p dan q, maka p2 + q2 = … a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (Matematika ’94 Rayon A) Jawab : D Sifat : p ⋅ q = ac = q ⇒ p = 1 p + q = − ba = −p ⇒ q = −2p = −2 Jadi p2 + q2 = 5

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

120

11. Persamaan kuadrat 2x2 − (a + 1)x + (a + 3) = 0 dengan a konstan. Jika selisih kudua akarnya sama dengan 1, maka kuadrat jumlah akar-akarnya adalah … a. 1 atau 25 b. 1 atau 5 c. 3 atau 9 d. 9 atau 81 e. 5 atau 25 (Matematika ’94 Rayon B) Jawab : A a +1 Sifat : x1 + x2 = 2 dan x1 ⋅ x2 = a +2 3 Diketahui selisih akar-akarnya x1 − x2 = 1 ⇒ (x1 − x2)2 = 12 ⇒ (x1 + x2)2 − 4 x1 ⋅ x2 = 1⇒

(a 2+ 1) − 4 (a +2 3 ) = 1 2

2 ⇒ a + 42a + 1 − 2a − 6 = 1 ⇒ a2 − 6a − 27 = 0 ⇒ a1 = −3 ; a2 = 9

Dicari kuadrat jumlah akar-akarnya = (x1 + x2)2

(2) ( 2 ) = (a + 1) = (9 + 1) = 25 2 2

2 2 untuk a = −3 ⇒ (x1 + x2)2 = a + 1 = −3 + 1 = 1

untuk a = 9 ⇒ (x1 + x2)2

2

2

12. Agar akar-akar x1 dan x2 dari persamaan kuadrat 2x2 + 8x + m = 0 memenuhi 7x1 − x2 = 20 haruslah m = … b. −12 c. 12 d. 18 e. 20 a. −24 (Matematika ’94 Rayon C) Jawab : A Sifat : x1 + x2 = −4 Diketahui 7x1 − x2 = 20 + = 16 ⇒ x1 = 2 8x1 Dengan demikian x1 = 2 salah satu akar persamaan kuadrat 2x2 + 8x + m = 0, berarti 2 (2)2 + 8 ⋅ 2 + m = 0 ⇒ 8 + 16 + m = 0 ⇒ m = −24 13. Supaya kedua akar persamaan px2 − qx + 1 − p = 0 real dan akar yang satu kebalikan dari akar yang lain. Maka haruslah … a. q = 0

c. q < −1 atau q > 1

b. p < 0 atau p > 1

d. q2 − 4p2 − 4p > 0

p

e. p −1 = 1

(Matematika ’97 Rayon A) Jawab : C Syarat : 1. Akar real berbeda D > 0 ⇒ q2 − 4p(1 − p) > 0 ⇒ q2 + 4p2 − 4p > 0 2. Akar berkebalikan x1 ⋅ x2 = 1 atau a = c ⇒ p = 1 − p ⇒ p = 1 2

Dari (1) dan (2) ⇒ q2 + 4( 12 )2 − 4( 12 ) > 0 ⇒ q2 + 1 − 2 > 0 ⇒ q2 − 1 > 0

⇒ (q − 1)(q + 1) > 0 ⇒ q < −1 atau q > 1

−

+ −1

+ 1

14. Garis g melalui titik T(1,3) dan memiliki gradien m. Agar g memotong grafik y = −x2 pada dua titik yang berbeda, maka haruslah … c. −6 < m < 2 e. m < −6 ∪ m > 2 a. m > 2 d. m ≤ −2 ∪ m ≥ 2 b. 2 < m < 6 (Matematika ’97 Rayon B)

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

121

Jawab : E Garis g bergradien m melalui titik T(1,3) : y − 3 = m (x − 1) ………(1) y = mx + 3 − m ……………………………(2) Parabola y = −x2 Dari (1) dan (2) diperoleh mx − m + 3 = x2 ⇒ −x2 + mx − m + 3 = 0 syarat memotong di dua titik D > 0 : m2 − 4(−m + 3) > 0 m2 + 4m − 12 > 0 + + − (m+ 6)(m − 2)> 0 2 −6 m < −6 ∪ m > 2 15. Diketahui persamaan 2x2 − 4x + a = 0 dengan a bilangan real. Supaya didapat dua akar berlainan positif maka haruslah … a. a > 0 ba<2 c. 0 < a < 2 d. o < a < 4 e. 2 ≤ a < 4 (Matematika ’97 Rayon C) Jawab : C Syarat dua akar berlainan positif : 1. D > 0 ⇒ 16 − 4 . 2 . a > 0 ⇒ a < 2 (memenuhi) 2. x1 + x2 > 0 ⇒ 2 > 0 3. x1 ⋅ x2 > 0 ⇒ a > 0 ⇒ a > 0 2

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh 0 < a < 2 16. Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan x2 + x =

α ⋅ β adalah … a. 2 atau −1

b. −2 atau 1

c. −2 atau −1

2 x 2 + x +1

maka nilai

d. −2 e. −1 (Matematika ’98 Rayon A)

Jawab : E Misalkan p = x2 + x ⇒ p = 2 ⇒ p2 + p = 2 ⇒ p2 + p − 2 = 0 p +1

⇒ (p + 2)(p −1) = 0 ⇒ (x2 + x + 2)(x2 + x − 1) = 0 ⇒ x2 + x + 2 = 0 atau x2 + x − 1 = 0 2 Perhatikan x + x + 2 = 0 mempunyai akar-akar tidak real (karena D < 0) x2 + x − 1 = 0 mempunyai akar-akar real (karena D > 0) Dengan demikian α ⋅dan β akar dari x2 + x − 1 = 0. Jadi α ⋅ β = −1 17. Akar-akar persamaan kuadrat (p − 2)x2 + 4x + (p + 2) = 0 adalah α dan β. Jika αβ2 + βα2 = −20, maka p = …. (A) −3 atau − 65 (C) −3 atau − 5 (E) 3 atau 65 6

(B) −3 atau − 5 6

(D) 3 atau 5 6

(Matematika ’99 Rayon A) Jawab : E αβ2 + βα2 = −20 ⇒ α β ( α + β ) = −20 ⇒ p + 2 −4 = −20 p−2

p− 2

⇒ p + 2 = 5 (p − 2)2 ⇒ p + 2 = 5 p2 − 20 p + 20 ⇒ 5p2 − 21p + 18 = 0 ⇒ ( 5p − 6 ) ( p − 3 ) = 0 ⇒ p = 65 atau p = 3

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

122

18. Garis y = − x − 3 menyinggung parabola y2 − 2y + px = 15. Absis puncak parabola tersebut adalah … (A) −4 (B) −2 (C) − 1 (D) 1 (E) 2 (Matematika ’99 Rayon B) Jawab : B Subtitusi : (− x − 3)2 − 2 (−x − 3) + px = 15 x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + px − 15 = 0 x2 + ( 8 + p ) x = 0 Bersinggungan ⇒ Ds = 0 ⇒ ( 8 + p )2 − 4 . 1. 0 = 0 ⇒ p = −8 Parabola: y2 − 2y −8x = 15 y = f(x) = ax2 + bx + c x = f(y) = ay2 + by + c 2 y = a (x − xp)2 + yp x = a (y − yp)2 + xp y − 2y + 1 = 8x + 16 puncak (xp,yp) puncak (xp, yp) 2 (y − 1) = 8 (x + 2) a > 0 ⇒ buka atas a > 0 ⇒ buka kanan a < 0 ⇒ buka kiri a < 0 ⇒ buka bawah x = 1 (y − 1)2 − 2 8

puncak: (−2, 1) Absis titik puncak adalah −2

19. Jika x1 dan x2 akar persamaan kuadrat 2x2 − (2k − 1)x + 2k2 − 4 maka nilai terbesar x12 + x22 adalah … (A) 3 (B) 2 (C) 9 (D) 5 (E) 6 2

2

(Matematika ’99 Rayon C) Jawab : C 2x2 − (2k − 1)x + 2k2 − 4 = 0 Z = x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2(x1 . x2) 2 = ( 2k −1 )2 − 2 . 2k − 4

=

2 4 k 2 −4 k +1 4

2

− 2k + 4 2

= −k2 − k + 17 4

Zmax

( −1)2 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 17 4 = − 4 ⋅ ( −1) = 18 = 9 4 2 Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c. Dengan a, b dan c konstanta Untuk a > 0 ⇒ yminimum = D

− 4a

Untuk a < 0 ⇒ ymaximum = D

− 4a

Persamaan dan Fungsi Kuadrat