Kumpulan Soal Persamaan Kuadrat Dan Fungsi Kuadrat Dan Pembahasannya 1e3s4t

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah … A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. PEMBAHASAN : NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda D < 0, memiliki akar-akar imajiner D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 JAWABAN : A

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah … A. 3 B. 2 C. 1/2 D. –1/2 E. -2 PEMBAHASAN : 6x2 – 2x + 3 = 0

x1.x2 =

=

=

JAWABAN : C

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai

+

=…

A. –2/3 B. –3/2 C. 2/3 D. 3/2 E. 5/2 PEMBAHASAN :

+

=

=

=

=-

=-

= JAWABAN : D

4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2)adalah …

A. x2 – x + 9 = 0 B. x2 + 5x + 9 = 0 C. x2 – 5x – 9 = 0 D. x2 – 5x + 5 = 0 E. x2 – 5x + 9 = 0 PEMBAHASAN : PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0 y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)

= (x1 + x2) + 4

=-

+4

=-

+4

=5 y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2) = x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4

=

–2

=

–2

+4

+4

=3+2+4 =9 PK Baru : x2 – 3x + 8 = 0 JAWABAN : E

5. Sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 diperoleh pada garis … A. x = 3/2 B. x = 3/2 C. x = 5/2 D. x = 5/2 E. x = 3 PEMBAHASAN : Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0 Y’ = 2x – 5 0 = 2x – 5 x = 5/2 jadi sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 adalah x = 5/2 JAWABAN : D

6. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = -x2 – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …

A. –4 B. –2 C. – 1/6 D. 1 E. 5 PEMBAHASAN : NOTE : ordinat = sumbu-y, absis = sumbu-x Karena berbicara titik balik maksimum, maka kita manfaatkan turunan pertama yaitu y’ = 0 -2x – (p – 2) = 0 -2x = p – 2

x=

sehingga diperoleh titik balik maksimum = (

6 = -(

)2 – (p – 2)

+ (p – 4)

)–

6 = -(

, 6), substitusi titik balik maksimum ke fungsi y.

+

+ (p – 4) [kalikan 4 kedua ruas]

24 = -(4 – 4p + p2) – (4p – 2p2) + (8 – 4p) + (4p – 16) 24 = -4 + 4p – p2 – 4p + 2p2 + 8 – 4p + 4p – 16 0 = p2 – 36 p2 = 36 p1 = 6 atau p2 = -6

unutk p = 6

x=

unutk p = -6

x=

= -2

=4

JAWABAN : B

7. Nilai minimum fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 adalah …. A. –9/4 B. 9/4

C. 5/2 D. -5/2 E. 4 PEMBAHASAN : Perlu dicatat bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pasti berhubungan dengan turunan pertama yaitu f'(x) =0 2x – 5 = 0

x=

f( ) = ( )2 – 5.

=

–

+4

=

–

+

+4

=JAWABAN : A

8. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah … A. y = -1/8(x – 2)2 + 3 B. y = -1/8(x – 2)2 – 3 C. y = 1/8(x + 2)2 – 3 D. y = 1/8(x + 2)2 + 3 E. y = 1/8(x – 2)2 + 3 PEMBAHASAN : f(x) = ax2 + bx + c f'(x) = 2ax + b 0 = 2a.2 + b 0 = 4a + b -b = 4a … (i) nilai fungsi pada titik puncak f(2) = a(2)2 + b.2 + c

3 = 4a + 2b + c 3 = -b + 2b + c 3 = b + c … (ii) f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c 1 = 4a – 2b + c 1 = -b – 2b + c 1 = -3b + c … (iii) eliminasi persamaan (ii) dan (iii) b+c=3 -3b + c = 1 4b = 2 b = 1/2 substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii) 1/2 + c = 3 c = 5/2 substitusi b = 1/2 ke persamaan (i) -1/2 = 4a a = -1/8 f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2 = (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2 = -1/8(x2 – 4x) + 5/2 = -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 5/2 = -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 20/8 = -1/8(x – 2)2 + 3 JAWABAN : A

9. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 13x + 15 = 0 adalah … A. 3/2 dan 6 B. 3/2 dan 5 C. 1 dan 6

D. 2 dan 3 E. 2 dan 3/2 PEMBAHASAN : gunakan Rumus Kecap

x1,2 =

=

=

=

=

x1 =

=5

x2 =

=

JAWABAN : B

10. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2) adalah …

A. x2 + 2x + 7 = 0 B. x2 – 2x – 7 = 0 C. x2 – 2x – 5 = 0 D. x2 – 7x + 8 = 0 E. x2 + 7x + 8 = 0 PEMBAHASAN : PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0 y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2) = (x1 + x2) + 4

=-

+4

=-

+4

=7 y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2) = x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4

=

–2

=

+4

–2

+4

= -2 + 6 + 4 =8 PK Baru : x2 – 7x + 8 = 0 JAWABAN : D

11. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x1 = 3x2, maka nilai a yang memenuhi adalah … A. 1 B. 3 C. 4 D. 7 E. 8 PEMBAHASAN : x1 + x2 = -4 3x2 + x2 = -4 4x2 = -4 x2 = -1 x1 + (-1) = -4 x1 = -3 PK : x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 x2 – (-3 – 1)x + (-3)(-1) = 0 x2 + 4x + 3 = 0

a–4=3 a=7 JAWABAN : D 12. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah … A. x2 – 2x = 0 B. x2 – 2x + 30 = 0 C. x2 + x = 0 D. x2 + x – 30 = 0 E. x2 + x + 30 = 0 PEMBAHASAN : akar – akarnya : x1 – 3 = y

x1 = y + 3

x2 – 3 = y

x2 = y + 3

13. substitusi nilai “x1” atau “x2” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi : x2 – 5x + 6 = 0 PK Baru : (y + 3)2 – 5(y + 3) + 6 = 0 y2 + 6y + 9 – 5y – 15 + 6 = 0 y2 + y = 0 JAWABAN : C

14. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah … m. A. B. C. D. E. PEMBAHASAN : p = 3l

p x l = 72 3l x l = 72 3l2 = 72 l2 = 24 l= p = 3l = 3.

=

Diagonal =

= = = = = JAWABAN : C [Sudah Dikoreksi]

15. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah … m 2. A. 96 B. 128 C. 144 D. 156 E. 168 PEMBAHASAN : p–l=4 p x l = 192 (4 + l) x l = 192 4l + l2 = 192 l2 + 4l – 192 = 0 (l – 12)(l + 16) = 0

l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi) p = 4 + l = 4 + 12 = 16 Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu : 4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 22 = 16cm2 2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm 2 2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm 2 Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm2 JAWABAN : A

16. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya dan

adalah …

A. x2 – 6x + 1 = 0 B. x2 + 6x + 1 = 0 C. x2 – 3x + 1 = 0 D. x2 + 6x – 1 = 0 E. x2 – 8x – 1 = 0 PEMBAHASAN : y1 + y2 =

+

= = =

=

= = y1.y2 =

=6 .

= =1 PK Baru : y2 – (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0

y2 – 6y + 1 = 0 JAWABAN : A

17. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = … A. -6 dan 2 B. -6 dan -2 C. -4 dan 4 D. -3 dan 5 E. -2 dan 6 PEMBAHASAN : x12 + x22 = 4 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4 (-b/a)2 – 2(c/a) = 4 (-q/2)2 – 2((q – 1)/2) = 4 q2/4 – q + 1 = 4 (kalikan 4) q2 – 4q + 4 = 16 q2 – 4q – 12 = 0 (q – 6)(q + 2) = 0 q = 6 atau q = -2 JAWABAN : E

18. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = … A. -8 B. -5 C. 2 D. 5 E. 8 PEMBAHASAN : D = 121 b2 – 4ac = 121

(-9)2 – 4(2)(c) = 121 81 – 8c = 121 81 – 121 = 8c -40 = 8c -5 = c JAWABAN : B

19. Persamaan (1 – m)x2 + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = … A. -2 B. -3/2 C. 0 D. 3/2 E. 2 PEMBAHASAN : Akar kembar jika D = 0 b2 – 4ac = 0 (8 – 2m)2 – 4(1 – m)(12) = 0 64 – 32m + 4m2 – 48 + 48m = 0 4m2 + 16m + 16 = 0 4(m2 + 4m + 4) = 0 (m + 2)(m + 2) = 0 m1,2 = -2 JAWABAN : A [Sudah Dikoreksi]

20. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar – akarnya dan x1 + x2 adalah … A. x2 – 2p2x + 3p = 0 B. x2 + 2px + 3p2 = 0 C. x2 + 3px + 2p2 = 0 D. x2 – 3px + 2p2 = 0 E. x2 + p2x + p = 0

PEMBAHASAN : misal : y1 = y2 = x1 + x2 y1 + y2 = (

) + (x1 + x2)

=(

) + (x1 + x2)

=(

) + (-b/a)

=

+ (-b/a)

=

+ (-p/1)

= -3p y1.y2 = (

).(x1 + x2)

=(

) + (x1 + x2)

=(

).(-b/a)

=

.(-b/a)

=

.(-p/1)

= 2p2 PK Baru : y2 + (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0 y2 + (-3p)y + (2p2) = 0 y2 – 3py + 2p2 = 0 JAWABAN : D

21. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu adalah …

PEMBAHASAN : misal : f(x) = ax2 + bx + c substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga : f(0) = a(0)2 + b(0) + c

16 = c … (i) Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga : f(3) = a(3)2 + b(3) + c -2 = 9a + 3b + c … (ii) f'(x) = 2ax + b substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga : 0 = 2a(3) + b b = -6a … (iii) substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh : -2 = 9a + 3b + c -2 = 9a + 3(-6a) + 16 -2 = 9a – 18a + 16 -18 = -9a 2=a b = -12 f(x) = ax2 + bx + c substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16 f(x) = 2x2 – 12x + 16

22. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah … PEMBAHASAN : f(x) = –2x2 + (k + 5)x + 1 – 2k f'(x) = -4x + k + 5 = 0 -4x = -(k + 5) x = (k + 5)/4 substitusi nilai “x” ke fungsi : f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k 5 = –2( 5 = –2(

)2 + (k+5)( ) + 4(

) + 1 – 2k )+

5.16 = -2k2 – 20k – 50 + 4k2 + 40k + 100 + 16 – 32k 80 = 2k2 – 12k + 66 2k2 – 12k – 14 = 0 2(k2 – 6k – 7) = 0 2(k – 7)(k + 1) = 0 k = 7 atau k = -1

23. Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = … PEMBAHASAN : Titik balik = titik minimum. f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 f'(x) = 2px + p – 3 = 0 substitusi x = p, sehingga diperoleh : 2p2 + p – 3 = 0 (2p + 3)(p – 1) = 0 p = -3/2 atau p = 1

24. Memfaktorkan Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran; a. b.

x 2  8x  15  0 x 2  6x  0 PEMBAHASAN :

a.

x 2  8 x  15 = 0 ( x  3)(x  5) = 0 ( x  3)

=0

atau

( x  5) = 0

x

=3

atau

x =5

atau

( x  6) = 0

Jadi, HP = {3, 5}

b.

x 2  6x

=0 x( x  6) = 0

x

=0

x = 6 Jadi, HP = {  6 , 0}

x3

60 x 1

kalikan kedua ruas dengan ( x  1)

 ( x  1)(x  3)  60  x 2  2 x  63  0  ( x  7)(x  9)  0  ( x  7)

x

=0

atau ( x  9) = 0

=7

atau

x = 9

Jadi, HP = {  9 , 7}

25. Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan x 2  8x  15  0 PEMBAHASAN :

x 2  8x  15  0 Maka, a=1 b=–8 c = 15 Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc Sehingga,

x1, 2

 (8)  (8) 2  4(1)(15)  2(1)

x1, 2  x1 

8  64  60 2

82 atau 2

x1  5

x2  atau

82 2

x2  3