Operaciones Binarias 632l5f

Operaciones binarias

En primer lugar introducimos el concepto de operación binaria, tanto interna como externa, si bien nos centraremos en el primer caso, puesto que el ejemplo más interesante de operación externa tiene que ver con espacios vectoriales, que se estudiarán con detalle en la correspondiente asignatura del Plan de Estudios (Álgebra Lineal). Definición 1.1 i) Una operación interna ` ' en un conjunto es una aplicación

ii) Una operación externa ` ' en aplicación

con operadores en

(por la izquierda) es una

En lo que sigue supondremos que ` ' es una operación interna en subconjunto que

. En ese caso, un

se dice que es cerrado con respecto a dicha operación si se verifica

es decir, al hacer operaciones con elementos de no nos salimos del conjunto . Por otra parte, una operación interna puede cumplir o no (entre otras) las siguientes propiedades: Asociativa: ,

.

Conmutativa: , Elemento Neutro:

.

, Elemento Inverso:

.

Suponiendo que existe elemento neutro

, entonces se dice que un elemento

tiene inverso (u opuesto) si Distributiva: Dadas dos operaciones internas ` ' y ` ' en respecto de ` ' si

, se dice que ` ' es distributiva

Grupo Sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de ∗

composición interna binaria

∗

:

(A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí: ∗

a)

∗

es asociativa.

Es decir

, ∀a

,

: a, b, c ∀c

∀b

∈

A

⇒

( a ∗ b) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo es cuando además de ser un grupo, d)

∗

es conmutativa. Es decir

, ∀a

: a, b ∀b

∈

A ⇒ a ∗b = b ∗a

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es ∗

finito y su cardinal se llama orden del grupo. Ejemplos 1) El par ( Z ,

∗

) donde Z es el conjunto de los números enteros y

una operación definida como a abeliano. Comprobación:

∗

∗

es

b = a + b + 3 forma un grupo

es una ley de composición interna en Z pues si a y b

∗

∈

∗

Z es asociativa pues = (a + b +3)

( a ∗ b) ∗ c y

=a a ∗ (b ∗ c)

∗

∗

∗

c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6

(b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6

tiene elemento neutro e = –3 , pues , a ∀a ∈ A

y

∗

∈

Z, a+b+3

e

∗ ∗

e = a entonces a + e +3 = a a = a entonces e + a + 3 = a

tiene inverso

⇒

e = –3 e = –3

, en nuestro caso ∀a

= –3 a ∗ a′

⇒

, ∃ a′

a∗ a′ = e

/

⇒ a + a′ + 3

= –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a

derecha a′ ∗ a = −3 ⇒ a′ + a + 3

= –3

luego a´ = – a – 6 es inverso a

izquierda

∗

es conmutativa pues

=a+b+3=b+a+3= a∗b

b∗a

Otros ejemplos: 1) (Z,+) ; (Q,+) ; (R,+) y (C,+) Son grupos abelianos .

También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva. 2 ) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento. 3 ) ( N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo. 4 ) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. •

5 ) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. •

6) (Q–{0} ,

•

) y (R–{0},

•

) Son grupos.

Subgrupo Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , y solo sí ( B ,

∗

∗

) si

) es un grupo.

Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ). Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A , , ) ∗

que también son estructuras algebraicas. Estas nuevas estructuras son:

Anillo

•

Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna

∗

y

•

, la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si ∗ •

a)

∗

es asociativa.

Es decir

,

,

∀a

: a, b, c ∀c

∀b

A

∈

⇒

( a ∗ b) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) b)

∗

posee elemento neutro en A. Es decir

/ ∃e ∈ A

, si ∀a

a∈ A ⇒

a∗e = e∗a = a

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de Es decir

, ∀a ∈ A

d)

∗

•

∗

/ ∃a´∈ A

a ∗ a´= a´∗ a = e

es conmutativa. Es decir

, ∀a

: a, b ∀b

Estas 4 propiedades muestran que ( A ,

e)

.

es asociativa. Es decir

, ∀a

, ∀b

∗

∈

A ⇒ a ∗b = b ∗a

) es un grupo abeliano.

: a, b, c ∀c

∈

A

⇒

(a b) c = a ( •

•

•

b c) •

Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo. •

f)

•

distribuye doblemente sobre

∗

. Es decir,

, ∀a

, ∀b

: a, b, c ∀c

∈

A

⇒

a (b •

c)= (a b) •

∗

(a c ) y (b •

∗

c ) a = (b a )

∗

•

•

(c a) •

∗

Resumiendo podemos decir que: (A ,

, ) es un Anillo sii (A ,

∗ •

∗

) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un •

semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera. Una aclaración oportuna Como la operación

∗

es aditiva y la operación

•

es multiplicativa, es común

representarlas con los conocidos signos de la suma y el producto, pero en todos los casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación. Con esta aclaración debe quedar claro que ( A , + , ) representa una •

estructura algebraica, talvez un anillo, pero que la operación + y la operación no representan la suma y el producto conocido, salvo ello esté •

expresamente indicado. Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero) y el neutro de la operación multiplicativa con 1 (uno) sin que ellos sean necesariamente el 0 y 1 conocidos. Si además g)

•

conmutativa. Es decir

, ∀a

: a, b ∀b

∈

A

⇒

a b=b a •

•

entonces tenemos un Anillo conmutativo. h)

•

posee elemento neutro en A. Es decir

/ ∃e ∈ A

, si ∀a

a∈ A ⇒

a ge = e ga = a

entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad.

i)

Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de Es decir

, a ∀a ∈ A

≠

0,

/ a ∃a´∈ A

•

a´ = a´

•

•

.

a = e entonces se

llama Anillo de división. Ejemplos 1.- ( N , + , )

con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en

•

N no existe neutro para la adición. 2.- ( N0 , + , ) con las operaciones conocidas no es anillo, pues N0 •

carece de inversos aditivos. 3.- ( Z , + ,

•

)

con las operaciones conocidas, es un anillo

conmutativo con unidad. Anillos sin divisores de cero Un anillo (A ,

, ) se dice sin divisores de cero si y solo sí elementos no

∗ •

nulos de A dan producto no nulo. En símbolos: (A , , ) carece de divisores de cero si y solo sí ∗ •

y b≠0

, ∀a

: a, b ∀b

∈

A si a≠ 0

entonces a b •

≠

0

Anillo de integridad (A ,

, ) es un Anillo de integridad si y solo sí (A ,

∗ •

su único divisor de cero

, ) es un anillo y 0 es

∗ •