Makalah Paket Gelombang 644l

MAKALAH “PAKET GELOMBANG DAN KECEPATAN RAMBAT GUGUS” Diajukan untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Gelombang Kelas A

Anggota Kelompok : Arif Rahman Fadli

(150210102010)

Safitri Kusuma Wardani

(150210102037)

Linda Ali Ramadani

(150210102048)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2016

KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji dan syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT atas rahmat, inayah, taufik dan karunia-Nyalahhingga kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul “Paket Gelombang dan Kecepatan Rambat Gugus”. Makalah ini ditulis sebagai tugas kelompok mata kuliah gelombang. Kami mengucapkan banyak berterima kasih kepada dosen pembimbing mata kuliah Gelombang, yang telah senantiasa memberikan ilmu dan pengetahuan sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah ini tanpa ada hambatan atas berkat bimbingan dan pengajarannya. Kami menyadari bahwa sebagai manusia biasa karena keterbatasan kami, penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah kami ini untuk di masa yang akan datang. Kami berharap mudah-mudahan hasil makalah kelompok kami ini dapat bermanfaat bagi pembaca sebagai tambahan informasi dan khususnya bagi kami sebagai penyusun. Amin. Jember, November 2016

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

................................................................................................

DAFTAR ISI

................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................................ 1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan 1.4 Manfaat BAB II PEMBAHASAN A. B. C. D.

................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................

Representasi Paket Gelombang............................................................................... Perambatan dalam medium nondispersif................................................................. Perambatan dalam medium dispersive.................................................................... Soal Paket Gelombang dan Kecepatan Rambat Gugus...........................................

BAB III PENUTUP

................................................................................................

3.1 Kesimpulan 3.2 Saran

................................................................................................ ................................................................................................

Daftar Pustaka

................................................................................................

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Gelombang adalah getaran yang merambat, baik melalui medium ataupun tidak melalui medium. Perambatan gelombang ada yang memerlukan medium, seperti gelombang tali melalui tali dan ada pula yang tidak memerlukan medium yang berarti bahwa gelombang tersebut dapat merambat melalui vakum ( hampa udara ) , seperti gelombang listrik magnet dapat merambat dalam vakum. Perambatan gelombang dalam medium tidak diikuti oleh perambatan media, tapi partikel-partikel mediumnya akan bergetar. Perumusan matematika suatu gelombang dapat diturunkan dengan peninjauan penjalaran suatu pulsa. Dilihat dari ketentuan pengulangan bentuk, gelombang dibagi atas gelombang periodik dan gelombang non periodik. Berdasarkan sumber getarnya, tanpa disertai dengan medium perantaranya, gelombang dapat diklasifikasikan dalam dua kategori, yaitu gelombang mekanik dan gelombang elektromagnetik. Kedudukan sebuah gelombang sinus (atau kosinus) murni sama sekali tidak terbatasi ia meluas dari hingga . Sebaliknya, kedudukan sebuah partikel klasik, terbatasi secara tegas. Tetapi dengan deskripsi kuantum yang mencampuradukkan partikel dan gelombang, kedudukan partikel menjadi tidak lagi terbatasi secara tegas. Sebuah elektron yang terikat pada sebuah atom tertentu misalnya, kedudukannya dapat kita ketahui hingga ketidakpastian dalam orde diameter atom . Tetapi kita sama sekali tidak mengetahui secara pasti dimana ia berada dalam atom. Metode yang dipakai dalam fisika untuk melukiskan situasi seperti itu adalah dengan menggunakan konsep paket gelombang (wave packet). Sebuah paket gelombang dapat dipandang sebagai superposisi sejumlah besar gelombang, yang berinterferensi secara maksimum disekitar partikel, sehingga menghasilkan sebuah gelombang resultan dengan amplitudo yang lebih besar. Sebaliknya, pada tempat yang jauh dari partikel, mereka berinterferensi secara minimum, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo yang lebih kecil pada tempat dimana partikelnya kita perkirakan tidak ditemukan. Tafsiran yang pasti mengenai amplitudo yang besar dan kecil ini akan dibahas dalam pasal berikut. Kita hanya akan merumuskan uraian matematika dari paket gelombang dan membahas beberapa sifatnya.

BAB II. PEMBAHASAN

2.1 Respresentasi Paket Gelombang Kita tinjau suatu gerak gelombang yang terjadi akibat gangguan di titik tertentu dalam suatu medium. Misalnya gangguan tersebut berbentuk fungsi pulsa F(t) pada titik x = 0. Selanjutnya gerak gelombang yang bersangkutan dinyatakan dalam fungsi  (x,t). Maka jelas F(t) =  (0,t) dan menurut persamaan (3.21) ∞

F ( t )=

1 ∫ G(ω)eiωt dω , 2 π −∞

Sehingga, F(t) dapat diuraikan sebagi berikut :

Dengan kata lain, gangguan tersebut dapat dipandang sebagai superposisi linear dari sejumlah getaran harmonis. Masing-masing komponen akan merambat sebagi gelombang harmonis dengan faktor rambat exp [i (t – kx)], dan kecepatan rambat v = /k. Jadi secara keseluruhan, gangguan berasal di titik x=0 itu akan merambat sebagai suatu gugus gelombang yang berupa hasil superposisi gelombang harmonis tersebut. Gugus gelombang dapat diungkapkan oleh representasi integral: ∞

F ( t )=

1 G() e[( t kx ) x] d ∫ 2 −∞

Gugus gelombang tersebut pada umumnya memiliki ekstensi ruang terbatas pada t tertentu. Untuk menunjukkan hal tersebut, fungsi  (x,t) diuraikan dengan transform Fourier antara kawasan x dan k. Jadi kita tuliskan : ∞

( x , t)=

1 ∫ A ( k ) e i[( t−kx )] dk 2 −∞

Karena distribusi frekuensi G () mempunyai lebar terbatas , maka lebar distribusi dalam kawasan k juga akan memiliki lebar k   terbatas seperti diperlihatkan pada gambar (3.8b). Sebagai akibatnya fungsi  (x,0) dalam persamaan berikut : ' c

( x , t ) ≈ ( x ' ,0 ) ei ( ω −k ω ) t 0

0

Juga akan terbatas dalam ruang seperti seperti ditunjukkan gambar (3.8a) dan sesuai dengan hubungannya (x). (k) = konstan. Karena itu, gugus gelombang tersebut disebut pula paket gelombang. Jelas dari uraian di atas bahwa semakin sempit lokalisasi gelombang, semakin lebar distribusi amplitudenya dalam kawasan k dan sebaliknya. (gambar buku)

2.2 Perambatan dalam medium nondispersif Dalam medium nondispersif berlaku hubungan k = /v dengan v sama untuk semua komponen gelombang harmonis. Untuk kasus ini, ungkapan  (x,t) menurut persamaan (3.33) dapat dituliskan kembali dalam bentuk : ∞

F ( t )=

1 ∫ G() e[( t kx ) x] d 2 −∞ ∞

(x , t)=

x

i(t − ) 1 G()e v d ∫ 2 −∞

∞

¿

1 ∫ G( )e i d=(0,t ') 2 −∞

Dengan t’=t – x/v, jadi  (x,t) dapat diperoleh dari  (0,t) dengan substitusi t

t’= t

– x/v. ini berarti gelombang tersebut ditinjau sebagai fungsi waktu tidak mengalami perubahan bentuk sepanjang xselama proses perambatannya. Jelas dalam uraian diatas bahwa sebenarnya untuk paket gelombang yang merambat di dalam medium nondispersif, uraian Fourier tidak diperlukan karena semua komponen harmonis merambat dengan kecepatan sama. Umpamanya gangguan yang timbul pada x = 0 didalam medium nondispersif berupa pulsa Gaussian :

2

2

( 0, t )= A et / 2❑

(belum pasti)

Maka gelombang yang terjadi dapat langsung dituliskan dalam bentuk : ¿ −¿ ( x , t )=( 0, t ) =A et / 2❑ =A e¿ 2

2

= (belum pasti)

2.3 Perambatan dalam medium dispersif Didalam medium dispresif, v merupakan fungsi

, atau k dan hubungan antara

dan k tidak lagi bersifat linear. Untuk menekannkan hubungan tersebut kita tuliskan: v =v ( ω ) ; ω=ω ( k ) Dalam hal ini, laju rambat masing-masing komponen harmonis tidak sama, dan sebagai akibatnya dapat disebutkan bahwa: a)

Paket gelombang pada umumnya dapat mengalami perubahan bentuk dalam

perambatannya. b) Laju rambat gelombang secara keseluruhan tidak lagi ditentukan oleh kecepatan fase. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kecepatan gugus (group velocity) adalah pengertian lebih memadai dalam melukiskan gerak rambatnya. Untuk maksud ini kita tinjau peket gelombang yang diungkapkan (3.34) dan ditulis kembali dalam bentuk: ∞

1 ( x , t )= A (k ) e i(∞ (k )t −kx) dk ∫ 2 π −∞ Dengan : ∞

A ( k )=

1 ∫ ❑( x , o)eikx dx 2 π −∞

Sesuai dengan persamaan (3.35)

Seandainya fungsi A (k) mengambarkan distribusi spectral yang terpusat agak tajam diskitar harga k tertentu, maka dengan uraian deret Taylor dapat dituliskan ungkapan aproksimasi: ω ( k )=ω ( k 0 ) +

|

dω ( k−k 0 ) dk k 0

¿ ω0 + ω'0 ( k −k 0 ) , ( k −k 0 )2 ≪1

'

ω0 =(

Dengan

dω ) dk 0 , subsitusi ungkapan ini ke dalam integral (3.34)memberi hasil:

∞

1 −i ()t ( x , t )= e ∫ A (k ) e i(ω t− x)k dk 2π −∞ ' 0

Tetapi integral di ruas kanan dapat dituliskan dalam bentuk:

( x' , 0)= 1

∞

'

A (k ) e−ik x dk ∫ 2π −∞

x ' =x−ω'0 t=x−(

Dengan

dω ) t dk 0 .

Dengan

ini

persamaan

(3.41)

menjadi:

' c

( x , t ) ≈ ( x ' ,0 ) ei ( ω −k ω ) t 0

0

dengan mengabaikan factor fase (yang dapat disingkirkan dengan mengambil tepat), paket gelombang diatas dpat dituliskan dalam bentuk:

( x , t ) ≈ ( x ' ,0 )=(x−v g t ) Dengan: v g=

|

dω =ω'0 dk k 0

k0

yang

Ini menunjukkan bahwa paket

(x,t)

akan bergerak dengan kecepatan gugus

vg

tanpa mengalami perubahan bentuk selubungnya secara keseluruhan. Mengingat bahwa kecepatan energy berbanding lurus dengan

||2 , maka dapat dipahami bahwa

perambatan energy dalam gerak gelombang paket tersebut akan ditentukan pula oleh

vg

. Dalam medium dengan dispersi tinggi atau distribusi A(k) yang lebar, paket gelombang pada umumnya akan mengalami perubahan bentuk selama perambatan dan uraiannya menjadi sulit. vg

Ungkapan lain bagi

dapat diperoleh dengan memandang v sebagai fungsi k dan

menuliskan hubungan : ω=kv (k) Dengan v= kecepatan fase. Dengan demikian persamaan (3.44) menjadi:

[

v g= v ( k ) +k

dv dk

]

k0

Untuk membentuk nondispersif,

Untuk medium dispersif,

dv =0 ; v g=v dk

dv 0 ; vg v dk

Sebagai contoh perambatan dispersif dapat disebutkan gelombang gravitasi pada permukaan air dengan



gelombang ini berlaku hubugan: v=



cukup panjang di daerah perairan yang dalam (>> ). Untuk

√ √

g g 2π = ,k= ❑ 2π k

Dan berdasarkan persamaan (3.46)langsung diperoleh hasil:

1 1 v g = v ( k 0 )= v 0 2 2

2.4 Soal Paket Gelombang dan Kecepatan Rambat Gugus Soal : 1. Andaikan paket gelombang

φ( x , t)

menimbulkan gangguan local

φ ( x , t )=f (t )

yang terbentuk : τ ,|t |≤ sin ( ωt ) 2 f ( t )= 0 ,|t|> τ 2

{

a. Tentukan spectrum frekuensi f(t) b. Jika medium rambat bersifat non dispersif, tentukan bentuk paket gelombang tersebut dalam kawasan x. 2. Untuk gelombang permukaan didaerah perairan yang kedalamannya jauh melebihi panjang gelombang bersangkutan, kecepatan fasenya ditentukan oleh rumus: g 2 πT ω ( k ) v= + = , k =2 π /¿ 2π ρ k

√

−2 2 Dengan T= tegangan permukaan ( ≈ 7,3 x 10 N /m untuk air),

Bila



ρ = rapat massa.

cukup panjang (walaupun << kedalaman cairan ) sehingga suku kedua dalam

tanda dapat diabaikan, maka v ditentukan oleh persamaan (3.48). Sebaliknya untuk gelombang dengan 2 πT v= ρ



pendek (gelombang riak atau kapilar )akan berlaku rumus :

√

a. Tentukan untuk kasus ini kecepatan gugus paket gelombang yang bersangkutan. b. Dari gelombang yang ditimbulkan oleh pelemparan batu ke dalam air tersebut,



tentukan komponen gelombang ( ) yang menjalar dengan kecepatan paling rendah. Pembahasan :

BAB III. PENUTUP 3.1 Kesimpulan 3.2 Saran

Daftar Pustaka