Grafik Fungsi Trigonometri 1m5o5j

http://arimatematika.blogspot.com/

di =

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI 1.

Fungsi Trigonometri Sinus, Kosinus, dan Tangen Fungsi yang memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real sin disebut fungsi sinus. Dilambangkan : ∶ → ( ). sin Jadi, rumus untuk fungsi sinus adalah ( ) = sin atau ( ) = sin untuk dalam ukuran radian. Fungsi memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real cos disebut fungsi kosinus. Dilambangkan : ∶ ( → cos Jadi, rumus untuk fungsi kosinus adalah ( ) = cos atau ( ) = cos untuk dalam ukuran radian. Fungsi memetakan himpunan sudut ke himpunan bilangan real tan disebut fungsi tangen. Dilambangkan : ∶ ( → tan Jadi, rumus untuk fungsi tangen adalah ( ) = tan atau ( ) = tan untuk dalam ukuran radian.

Gambar 1 Berdasarkan gambar di atas, diperoleh : sin

=

= ,

=

1

sin

cos

=

= ,

ditentukan oleh ordinat .

= cos

1 ditentukan oleh absis .

tan =

).

).

,

tan

ditentukan oleh absis dan ordinat .

Jika titik P berputar (dimulai dari titik A) berlawanan arah jarum jam sepanjang lintasan lingkaran satuan, maka besar sudut =∠ bertambah secara kontinu dari 0 sampai 360 . Dengan pertambahan besar sudut , maka nilainilai fungsi trigonometri sin , cos , dan tan akan mengalami perubahan. Perubahan nilai-nilai fungsi trigonometri diperlihatkan pada table di bawah ini. Perubahan sudut 0 ke 90 90 ke 180180 ke 270270 ke 360

Contoh : Hitunglah nilai fungsi trigonometri berikut. . ( ) = sin . ( )=

, untuk

1 + sin

=

, untuk

sin

3 =

6

cos

Jawab : .

180 1 = sin 60 = √3 3 3 3 2 180 1 + sin 30 . = = (30 ) = 6 6 30 1 3 1+ 2 = 2 = 3 x 4= = 3 2 3 1 4 2 √3 = sin

= sin

tan

bertam bah dari 0 ke 1 berkur ang dari 1 ke 0 bertam bah dari 0 ke positif tak berhin gga

berku rang dari 1 ke 0

berkuran g dari 0 ke -1

bertamba h dari -1 ke 0

berkura ng dari 0 ke -1

bertamba h dari -1 ke 0

bertamba h dari 0 ke 1

bertamb ah dari negatif tak berhing ga ke 0

bertamba h dari 0 ke positif tak berhingg a

bertamba h dari negatif tak berhingg a ke 0

Tabel 1

2.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Sinus dan Kosinus Perubahan nilai fungsi trigonometri (sinus, kosinus, dan tangen) dapat diamati dengan menggunakan lingkaran satuan, yaitu lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan.

Berdasarkan tabel 1 di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. 1.

Nilai maksimum sin sama dengan 1, dicapai untuk = 90 + . 360 Nilai minimum sin sama dengan – 1, dicapai untuk = 270 + . 360

1

di =

2.

3.

http://arimatematika.blogspot.com/

Jadi, −1 ≤ sin ≤ 1 untuk setiap sudut . Nilai maksimum cos sama dengan 1, dicapai untuk = . 360 Nilai minimum cos sama dengan – 1, dicapai untuk = 180 + . 360 Jadi, −1 ≤ cos ≤ 1 untuk setiap sudut . tan tidak mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum. Contoh : Carilah nilai minimum dan nilai maksimum dari : = sin − 1.

Langkah III : Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang cartecius pada langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi trigonometri = ( ). Berikut ini akan dijelaskan cara menggambar sketsa grafik fungsi trigonometri = sin , = cos , dan = tan dengan menggunakan langkah – langkah yang telah dibicarakan diatas.

Jawab : −1 ≤ sin ≤1 −1 − 1 ≤ sin ≤1−1 −2 ≤ sin − 1 ≤ 0 −2 ≤ ≤ 0 = −2 dan =0 Jadi, = sin − 1 mempunyai minimum – 2 dan nilai maksimum 0.

Misalkan skala pada sumbu ditetapkan 1 cm maka nilai 360 pada sumbu dibuat kira-kira mendekati nilai 6,28 cm.

1.

nilai

Grafik fungsi = sin (0 ≤ ≤ 360) Pilihan sudut-sudut x ; 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 360 ; kemudian dicari = sin . Hubungan antara dengan = sin dibuat tabel seperti diperlihatkan pada tabel 2 berikut;

3. Grafik Fungsi Trigonometri ( )= Fungsi-fungsi trigonometri ( ) = tan sin , ( ) = cos , mempunyai persamaan grafik berturut-turut adalah = sin , = cos , = tan . Grafik fungsi trigonometri itu dapat digambarkan dengan dua cara yaitu ; a. b.

Catatan

;

Tabel 2 untuk selanjutnya

diadakan

pendekatan nilai √3 dengan 0,87

Dengan menggunakan tabel, Dengan menggunakan lingkaran satuan.

Titik – titik ( , ) pada tabel 2 digambarkan pada bidang cartecius, kemudian titik – titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi = sin (perhatikan gambar 2).

a. Menggambarkan Grafik Fungsi Trigonometri dengan Menggunakan Tabel Untuk menggambarkan grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan tabel diperlukan langkah-langkah sebagai berikut ; Langkah I : Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara dengan = ( ). Pilihan nilai sudut sehingga nilai = ( ) dengan mudah dapat ditentukan. Sudut yang bersifat demikian adalah sudut-sudut khusus dan sudut-sudut batas kuadran. Langkah II : Titik-titik ( , ) yang diperoleh pada langkah 1 digambar pada bidang cartecius agar skala pada sumbu dan pada sumbu sama, maka nilai 360 pada sumbu dibuat mendekati nilai 6,28 satuan (mengapa ?).

Gambar 2

2.

Grafik fungsi = cos (0 ≤ ≤ 360) Sudut – sudut yang dipilih seperti pada grafik = sin . Hubungan antara dengan = cos diperlihatkan pada table 3.

2

http://arimatematika.blogspot.com/

di =

1.

Fungsi-fungsi trigonometri sinus, kosinus dan tangen merupakan fungsi periodik atau fungsi berkala. a. Fungsi sinus = sin dan fungsi kosinus = cos 180 mempunyai periode 360 b. Fungsi tangen = tan mempunyai periode 180 Fungsi sinus = sin dan fungsi kosinus = cos mempunyai nilai minimum -1 dan nilai maksimum +1, sedangkan fungsi tangen = tan tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum. Khusus untuk fungsi tangen = tan : a. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kanan, nilai tan menuju ke negatif tak berhingga. b. Untuk x mendekati 90 atau 270 dari arah kiri, nilai tan menuju ke positif tak berhingga. c. Garis-garis x = 90 dan x = 270 disebut garis asimtot. d. Fungsi tangen y = tan dikatakan diskontinu atau tak sinambung di x = 90 dan x = 270.

Tabel 3 Titik –titik ( , ) pada tabel 3 digambarkan pada bidang cartecius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi = cos (diperhatikan gambar 3).

2.

3.

Gambar 3 3.

Grafik fungsi = tan (0 ≤ ≤ 360) Pilihan sudut-sudut x ; 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360 ; kemudian dicari nilai = tan . Hubungan antara dengan y = tan diperlihatkan pada tabel 4 berikut ini.

b. Menggambarkan Grafik Fungsi Trigonometri dengan Menggunakan Lingkaran Satuan.

Catatan : untuk x = 90 dan x = 270, nilai y = tan tidak didefinisikan. Titik –titik (x, y) pada tabel 4 diatas digambarkan pada bidang cartecius. Kemudian titik-titik itu dihubungkan dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi y = tan (diperhatikan gambar 4 berikut ini ).

Lingkaran satuan adalah lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan seperti diperlihatkan pada gambar 5 berikut.

Gambar 5 Dalam segitiga OMP, diperoleh ; sin = ,

merupakan ordinat titik p cos

= ,

=

=

=

=

merupakan absis titik P.

Dalam segitiga OAQ, didapat : Gambar 4 Berdasarkan grafik fungsi sinus = sin pada gambar diatas, grafik fungsi kosinus = cos , dan grafik fungsi tangen = tan dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut .

tan

=

=

,

merupakan ordinat titik Q.

Jadi, pada suatu lingkaran satuan dapat ditetapkan sebagai berikut .

3

http://arimatematika.blogspot.com/

di = a. b. c.

Nilai fungsi trigonometri ditentukan oleh ordinat titik P Nilai fungsi trigonometri ditentukan oleh absis titik P Nilai fungsi trigonometri ditentukan oleh ordinat titik Q.

= sin = cos = tan

Berdasarkan analisis diatas, grafik trigonometri = sin . = cos , dan = tan (0≤ ≤ 360) dapat digambarkan dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan perhatiakan gambar 6, 7, dan 8 berikut ini.

Gambar 6

Gambar 7

Gambar 8

4