Geometria Descriptiva 5256y

GEOMETRIA DESCRIPTIVA TALLER : SUPERFICIES

FABIAN LEONARDO BARRERA ARIZALA 201311234

GEOMETRIA DESCRIPTIVA ING TORRES

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA INGENIERIA ELECTROMECANICA DUITAMA 2013

LINEA: Sucesión de puntos en un espacio. GENERATRIZ: Es una línea que a causa de su movimiento conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva. Si la generatriz es una línea recta que gira respecto de otra recta directriz, llamada eje de rotación, conformará una superficie cónica, cilíndrica, etc. Si la generatriz es una curva, genera esferas, elipsoides, etc. CURVA DIRECTRIZ: La directriz puede ser una línea curva, por ejemplo, una circunferencia generatriz que rueda sobre otra circunferencia, tangencialmente. Un punto vinculado a ella describe una trayectoria curva que se denomina ruleta cicloidal. LINEA DE SIMPLE CURVATURA: Una línea de simple curvatura es la trayectoria que sigue un punto que se mueve cambiando constantemente de dirección si el punto móvil no sale de un plano. CONICAS

CIRCULO DEFINICION: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida. CARACTERISTICAS: Perímetro- Área- Área como superficie de un polígono -Área como superficie triangular.

CONSTRUCCION: Tracemos un segmento OM de longitud r > 0 cualquiera pero fija, giremos en cualquier sentido, una vuelta completa, a dicho segmento alrededor del extremo fijo O. La región en el plano barrida por el segmento OM se llama círculo.

ELIPSE

DEFINICION: Curva cerrada, simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, que resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las generatrices del mismo lado del vértice. CARACTERISTICAS: 1.- La suma de las distancias de cualquier punto (X) de la curva a los focos es constante: XF + XF´=2·a 2.- El semieje mayor (a) es igual a la distancia media (media aritmética) de un planeta al foco. La media de la distacia máxima y la mínima. La distancia media se da justo cuando el planeta está en P, a medio camino entre el Afelio y el Perihelio. R1+ R2=2·a; por tanto : a=(R1+ R2)/2 3.- El semieje menor ( b) es la media geométrica de la distancia máxima y mínima b=raíz cuadr.( R1·R2) 4.-La excentricidad (e) indica lo que se aparta la elipse de una circunferencia. Si el foco está en el cruce de los ejes e=0. En general e=c/ a. (c es la distancia de los focos al centro de la elipse). CONSTRUCCION: Comenzaremos trazando las circunferencias de centro O y diámetros AB Y CD. Seguidamente trazaremos radios como el O1, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos 1 y 2. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a CD y AB respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto 3, que es de la elipse. El número de radios trazados, serán los necesarios para definir suficientemente la elipse.

PARABOLA

DEFINICION: es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz.

CARACTERISTICAS. La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz. El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF. La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente. La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y se define como en las curvas anteriores. El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta al eje de la curva. CONSTRUCCION: Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vértice V es el punto medio del segmento AF.Se trazan varias perpendiculares al eje, del vértice a la derecha.Con centro en F y radio A1=r, se corta a dicha perpendicular, obteniendo el punto P y su simétrico, que son puntos de la curva; se obtiene así r= PF = PN, según la definición de la curva.Esta operación se repite para obtener nuevos puntos que se unen con plantilla de curvas.

HIPERBOLA

DEFINICION: La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real.

CARACTERISTICAS: Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje real y se representa por 2a; el eje menor se representa por 2b y se llama imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva. Los focos están en el eje real. La distancia focal se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación c2 = a2 + b2. La hipérbola es simétrica respecto de los dos ejes y, por lo tanto respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con dos focos, se llaman radios vectores r y r' y por definición se verifica: r - r' = 2a. La circunferencia principal de la hipérbola es la que tiene por centro O y radio 2a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio a. La hipérbola, como la elipse, se puede definir como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a las circunferencias focales del otro foco. Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas asíntotas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva. CONSTRUCCION: Los datos son: 2a = AB y 2c = FF'.Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radios A1 y centros en F y F' se trazan dos arcos. Se toma el punto 1 en el eje real AB y con radios B1 y centros en F y F' se trazan dos arcos que se cortan con los anteriores en puntos de la hipérbola. Se repite el proceso varias veces y se unen los puntos con plantilla.

RULETAS CICLOIDE DEFINICION: Curva trazada por un punto en una rueda que gira a lo largo de una línea recta. CARACTERISTICAS: La longitud de un arco de la cicloide es 8 veces el radio de la circunferencia que la genera (l=8r). El área encerrada entre un arco de cicloide y la recta sobre la que gira la circunferencia es el triple de la superficie de la circunferencia generadora de la cicloide (A=3 p r2) CONSTRUCCION: Se dija un punto en el circulo y se deja rodar el circulo en una superficie plana el rastro que deja el punto es lo que se conoce como curva cicloide.

Epicicloide DEFINICION: es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. CONSTRUCCION: engendrada por el punto A de la circunferencia de centro O' que rueda sin resbalar sobre la circunferencia de centro O.

HIPOCICLOIDE DEFINICION: Curva trazada por un punto en la circunferencia de un círculo dado, que rueda alrededor del interior de otro círculo fijo más grande. CONSTRUCCION: Construcción de la hipocicloide engendrada por el punto A de la circunferencia de centro O' que rueda sin resbalar sobre la circunferencia de centro O.

ESPIRALES INVOLUTA DEFINICION: es el elemento rectilíneo o curvilíneo que se mueve rodando tangente a la directriz o evoluta sin deslizarse. CONSTRUCCION: El punto p se mueve tangentemente a la directriz sin deslizarse.

CONO Como se genera: se genera por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina Base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice. EJEMPLOS: cono de helado

CILINDRO COMO SE GENERA: Se forma por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro. Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro.

ejemplo: tubo, alambre