Geometria Descriptiva 5256y
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1
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita de los autores. DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la primera edición en español por EDITORES EL MOROCOCHANO. Diseño de cubierta: Gilmer Aviles H. Impreso en Perú – Printed in Peruvian.
A los que deseen obtener una copia electrónica en formato Word, PDF ú otro, pueden comunicarse con el autor vía e-mail o teléfono. También si requieren asesoría en Dibujo Técnico, Dibujo Mecánico, Geometría Descriptiva, etc.
2
ÍNDICE PREFACIO
11
CAPÍTULO I: EL PUNTO
13
1.1. El punto
13
1.2. Proyección de un punto
13
1.3. Planos principales de proyección
17
1.4. Cota, alejamiento y apartamiento
18
1.5. Depurado de un punto
18
1.6. Graficación de un punto por coordenadas
19
1.7. Posiciones relativas de dos puntos
20
1.8. Vistas Auxiliares
21
1.9. Reglas de visibilidad
23
1.10. Problemas
23
CAPÍTULO II: LA RECTA
43
2.1. Definición
43
2.2. Proyección de una recta
43
2.3. Posiciones particulares de una recta
44
Recta Horizontal
44
Recta Frontal
44
Recta de Perfil
45
Recta Vertical
45
Recta Normal
46
Recta Ortoperfil
46
2.4. Punto que pertenece a una recta
47
2.5. Verdadera Magnitud de una recta
47
2.6. Vista de punta de una recta
48
2.7. Orientación o rumbo de una recta
49
2.8. Inclinación o pendiente de una recta
49
2.9. Posiciones relativas entre dos rectas
50
Rectas que se intersectan
50 3
Rectas paralelas
50
Rectas perpendiculares
51
Rectas que se cruzan
52
2.10 Problemas
52
CAPÍTULO III: EL PLANO
75
3.1. Determinación de un plano
75
3.2. Punto y recta pertenecientes a un plano
75
3.3. Posiciones particulares de un plano
76
Plano Horizontal
76
Plano Frontal
77
Plano de Perfil
77
Plano Vertical
78
Plano Normal
78
Plano Ortoperfil
79
3.4. Rectas notables en el plano
79
Recta Horizontal del plano
79
Recta Frontal del Plano
80
Recta de Perfil del Plano
80
3.5. Orientación de un plano
80
3.6. Plano de canto
81
3.7. Verdadera magnitud de un plano
82
3.8. Recta de máxima pendiente
82
3.9. Inclinación y pendiente del plano
83
3.10. Problemas
84
CAPÍTULO IV: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
111
4.1. Condiciones de paralelismo entre rectas y planos
111
Recta paralela a un plano
111
Planos Paralelos
112
4.2. Condiciones de perpendicularidad
113
Recta perpendicular a un plano
113
4.3. Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada 4
114
4.4. Planos perpendiculares
114
4.5. Plano mediatriz
116
4.6. Por un punto trazar un plano perpendicular a un plano dado y a una recta dada
116
4.7. Distancia más corta desde un punto a una recta
117
4.8. Problemas
117
CAPÍTULO V: INTERSECCIONES
119
5.1. Intersección entre recta y plano
119
5.2. Métodos de solución
120
Método Plano de Canto
120
Método Plano Cortante
121
Reglas de Visibilidad
121
5.3. Intersección de dos planos
122
5.4. Métodos de solución
122
Método de planos cortantes
122
Método de planos ilimitados
123
5.5. Problemas
124
BIBLIOGRAFÍA
151
ANEXOS
153
5
PREFACIO El Texto de Geometría Descriptiva se presenta, como una manera de contribuir con el conocimiento y aprendizaje del análisis tridimensional, que es un requisito para el diseño para los estudiantes de los Institutos Tecnológicos Superiores, Universitarios y del nivel secundario.
En esta primera edición se cubren todos los aspectos necesarios que van desde el conocimiento de los principios fundamentales de la aplicación de las proyecciones a la Geometría Descriptiva, hasta el conocimiento de los métodos de intersección y otros, que permitirán más adelante, introducir a los estudiantes al conocimiento del diseño industrial.
Por razones de comodidad, este texto está organizado en cinco capítulos. El CAPÍTULO I, denominado EL PUNTO trata sobre Aplicación de los principios de la proyección ortogonal a la geometría descriptiva: Depurado del punto. Graficación de un punto por coordenadas. Posiciones relativas de dos puntos. Posiciones sucesivas de un punto o de sólidos. Reglas de visibilidad.
El CAPÍTULO II denominado LA RECTA trata. Posiciones particulares de una recta: horizontal, frontal, de perfil, vertical, normal y ortoperfíl, Posiciones relativas entre dos rectas: Rectas que se cruzan, paralelas, y perpendiculares. Orientación. Verdadera magnitud. Métodos: con vista auxiliar y diferencia de cotas. Pendiente. Vista de punta de la recta..
El CAPÍTULO III, estudia EL PLANO estudia: Posiciones particulares de un plano: horizontal, frontal, de perfil, normal, vertical y ortoperfil. Rectas notables en el plano. Orientación. Vista de canto y verdadera magnitud del plano. Recta de máxima pendiente. Pendiente del plano.
El CAPÍTULO IV, estudia Paralelismo y Perpendicularidad: Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Por un punto trazar un plano perpendicular a
6
una recta dada. Plano mediatriz. Por un punto trazar un plano perpendicular a un plano dado y paralelo a una recta dada. Distancia más corta desde un punto a una recta.
El CAPÍTULO V: denominado INTERSECCIONES, estudia Intersección entre recta y plano. Casos: Recta oblicua y de perfil. Métodos de solución: Plano de canto, plano cortante. Reglas de visibilidad. Intersecciones de dos planos. Caso general y particular. Métodos de solución: Vista auxiliar y plano cortante. Reglas de visibilidad.
Los autores agradecen a todos quienes han hecho posible la publicación de esta obra, a las personas que han proporcionado ayuda, así como consejos muy valiosos. Los comentarios a esta edición serán bien recibidos. Los Autores.
7
CAPÍTULO I: EL PUNTO 1.1.
EL PUNTO
El punto es una idea, que data desde la antigüedad y que se utiliza para representar un objeto ubicado en el espacio. Con esto podemos simplificar el análisis para resolver cualquier situación física y geométrica.
1.2.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie.
En
todo
sistema
de
proyección intervienen cuatro elementos denominados: fig.1.1:
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano,
superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico u objeto en sí.
B1 B 0
A
C
A1
C1
D
α
D1
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere
representar. Es un punto cualquiera del espacio. c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto.
Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc. d) Rayos Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con
el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección. 8
LOS SISTEMAS DE PROYECCIÓN MÁS USADOS SON: a) Proyección cilíndrica. Se
obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permita considerar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyección (fig.1.2). Los principales tipos de proyección cilíndrica son:
1) Proyección ortogonal (Monge). También denominada proyección ortográfica.
Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. La proyección ortogonal es muy utilizada en el diseño de piezas mecánicas y maquinarias fig. a. Los principales tipos de proyección ortogonal son:
i) Proyección en vistas múltiples.
Cada
vista
es
una
proyección
ortográfica. Para obtener una vista se coloca
el
plano
de
proyección
preferentemente paralelo a una de las caras principales del objeto fig.1.3. Los objetos se representan generalmente en tres vistas ortográficas. Los métodos utilizados para determinar estas vistas son:
A) Proyección en el Tercer Cuadrante. Usado en los Estados Unidos y Canadá.
fig.1.4.
B) Proyección en el Primer Cuadrante (primer octante). Usado en todo el
mundo, excepto en los Estados Unidos y Canadá. fig.1.5.
9
Proyecciones de puntos en figura espacial y descriptiva
Cuadrante II
Cuadrante I 02 02 0
02
T 00
01
0 L
T
L π1
Cuadrante III π2
Cuadrante IV
01
(El punto 0 está en el cuadrante I)
Tal como está representado el punto en la figura espacial y descriptiva puede extraerse que para pasar de la figura espacial a una descriptiva deberá abatirse el plano π2 sobre el plano π1 , teniendo como eje de giro a la T (línea de tierra o de pliegue). De esa manera quedarán alineados 01 – 0 – 02, como se puede apreciar en la figura descriptiva. Debe destacarse que en la representación espacial aparece el objeto (0). En la representación descriptiva solamente se trabaja con el plano π2 ya abatido, y las proyecciones 01 y 02 del punto. 10
Cuadrante II 0
Cuadrante I
01
T
02
02
01 02
00 L
00
T
L π1 Cuadrante III
Cuadrante IV
π2
El punto (0) está en el cuadrante II π2 O1
π2
O1 L
00
T
T
O0 L
π1 02
O O2 π1 Proyección del punto (0) ubicado en el 3º cuadrante
π2 π2 T
π1
L
01 L 01=02 02
00 π1
Proyección del punto (0) ubicado en el 4º cuadrante 11
En este último caso, el alejamiento (distancia de 0 al plano vertical) tiene la misma longitud que la cota (distancia de 0 al plano horizontal, por lo tanto, en la representación en FIGURA DESCRIPTIVA 01 aparece superpuesto con 02.
1.3.
PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCIÓN Tres son los planos principales de proyección: •
Frontal
•
Horizontal y
•
De perfil
Proyección de un punto sobre los tres Planos Principales de Proyección
12
AF: Proyección del punto A sobre el plano de proyección Frontal AH: Proyección del punto A sobre el plano de proyección Horizontal AP: Proyección del punto A sobre el plano de proyección De Perfil
1.4.
COTA – ALEJAMIENTO – APARTAMIENTO Para el estudio de la geometría descriptiva, es necesario tener bien definido las distancias del objeto a los planos principales de proyección. Estos son: Cota: Distancia del objeto al plano de proyección Horizontal (A – AH). Alejamiento: Distancia del objeto al plano de proyección Frontal (A – AF). Apartamiento: Distancia del objeto al plano de proyección De Perfil (A – AP).
1.5.
DEPURADO DE UN PUNTO Al abatir el Plano de proyección Horizontal y el Plano de proyección de Perfil, teniendo como ejes de giro a las líneas de pliegue correspondientes, se obtiene un solo plano. A este plano se le denomina Depurado de un Punto.
13
1.6.
GRAFICACIÓN DE UN PUNTO POR COORDENADAS En el enunciado de los problemas, a veces se indica la ubicación de las proyecciones de un punto por medio de coordenadas. Se puede obtener la proyección Horizontal y Frontal de dicho punto a partir de dichas coordenadas. Ejemplo: Realizar el depurado del punto A(a,b,c,). El primer componente de la coordenada, nos única la línea de referencia entre las proyecciones horizontal y frontal del punto A. El segundo componente, nos única la proyección frontal del punto A, y el tercer componente nos ubica la proyección horizontal del punto A.
14
1.7.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PUNTOS Las posiciones relativas de dos puntos entre sí, se puede observar colocando una brújula en el plano de proyección horizontal.
15
Respecto de la figura, se dice: B está a la derecha de A, B está arriba de A, B está delante de A, y sólo en el plano Horizontal: B está hacia el Sur de A, B está hacia el Este de A, o A está hacia el Norte de B, A está hacia el Oeste de B.
1.8.
VISTAS AUXILIARES Cuando se tiene proyecciones que no se muestran adecuadamente en los tres planos principales de proyección, se pueden trazar planos auxiliares. Existen dos tipos de Planos Auxiliares de Proyección: •
Planos Auxiliares Primarios y
•
Planos Auxiliares Secundarios.
16
PLANOS AUXILIARES PRIMARIOS Son los que se trazan perpendiculares a un plano de proyección principal.
17
1.9.
REGLAS DE VISIBILIDAD. Cuando se traza la proyección de sólidos, van a encontrarse aristas ocultas, dichas aristas se trazan con línea de segmentos. Hay que tener en cuenta las siguientes reglas de visibilidad. •
El contorno de la proyección, siempre es visible.
•
Cuando una arista que concurre a un vértice es invisible, las demás aristas que concurren a dicho vértice, también serán invisibles.
1.10. PROBLEMAS
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
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38
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita de los autores. DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la primera edición en español por EDITORES EL MOROCOCHANO. Diseño de cubierta: Gilmer Aviles H. Impreso en Perú – Printed in Peruvian.
A los que deseen obtener una copia electrónica en formato Word, PDF ú otro, pueden comunicarse con el autor vía e-mail o teléfono. También si requieren asesoría en Dibujo Técnico, Dibujo Mecánico, Geometría Descriptiva, etc.
2
ÍNDICE PREFACIO
11
CAPÍTULO I: EL PUNTO
13
1.1. El punto
13
1.2. Proyección de un punto
13
1.3. Planos principales de proyección
17
1.4. Cota, alejamiento y apartamiento
18
1.5. Depurado de un punto
18
1.6. Graficación de un punto por coordenadas
19
1.7. Posiciones relativas de dos puntos
20
1.8. Vistas Auxiliares
21
1.9. Reglas de visibilidad
23
1.10. Problemas
23
CAPÍTULO II: LA RECTA
43
2.1. Definición
43
2.2. Proyección de una recta
43
2.3. Posiciones particulares de una recta
44
Recta Horizontal
44
Recta Frontal
44
Recta de Perfil
45
Recta Vertical
45
Recta Normal
46
Recta Ortoperfil
46
2.4. Punto que pertenece a una recta
47
2.5. Verdadera Magnitud de una recta
47
2.6. Vista de punta de una recta
48
2.7. Orientación o rumbo de una recta
49
2.8. Inclinación o pendiente de una recta
49
2.9. Posiciones relativas entre dos rectas
50
Rectas que se intersectan
50 3
Rectas paralelas
50
Rectas perpendiculares
51
Rectas que se cruzan
52
2.10 Problemas
52
CAPÍTULO III: EL PLANO
75
3.1. Determinación de un plano
75
3.2. Punto y recta pertenecientes a un plano
75
3.3. Posiciones particulares de un plano
76
Plano Horizontal
76
Plano Frontal
77
Plano de Perfil
77
Plano Vertical
78
Plano Normal
78
Plano Ortoperfil
79
3.4. Rectas notables en el plano
79
Recta Horizontal del plano
79
Recta Frontal del Plano
80
Recta de Perfil del Plano
80
3.5. Orientación de un plano
80
3.6. Plano de canto
81
3.7. Verdadera magnitud de un plano
82
3.8. Recta de máxima pendiente
82
3.9. Inclinación y pendiente del plano
83
3.10. Problemas
84
CAPÍTULO IV: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
111
4.1. Condiciones de paralelismo entre rectas y planos
111
Recta paralela a un plano
111
Planos Paralelos
112
4.2. Condiciones de perpendicularidad
113
Recta perpendicular a un plano
113
4.3. Por un punto trazar un plano perpendicular a una recta dada 4
114
4.4. Planos perpendiculares
114
4.5. Plano mediatriz
116
4.6. Por un punto trazar un plano perpendicular a un plano dado y a una recta dada
116
4.7. Distancia más corta desde un punto a una recta
117
4.8. Problemas
117
CAPÍTULO V: INTERSECCIONES
119
5.1. Intersección entre recta y plano
119
5.2. Métodos de solución
120
Método Plano de Canto
120
Método Plano Cortante
121
Reglas de Visibilidad
121
5.3. Intersección de dos planos
122
5.4. Métodos de solución
122
Método de planos cortantes
122
Método de planos ilimitados
123
5.5. Problemas
124
BIBLIOGRAFÍA
151
ANEXOS
153
5
PREFACIO El Texto de Geometría Descriptiva se presenta, como una manera de contribuir con el conocimiento y aprendizaje del análisis tridimensional, que es un requisito para el diseño para los estudiantes de los Institutos Tecnológicos Superiores, Universitarios y del nivel secundario.
En esta primera edición se cubren todos los aspectos necesarios que van desde el conocimiento de los principios fundamentales de la aplicación de las proyecciones a la Geometría Descriptiva, hasta el conocimiento de los métodos de intersección y otros, que permitirán más adelante, introducir a los estudiantes al conocimiento del diseño industrial.
Por razones de comodidad, este texto está organizado en cinco capítulos. El CAPÍTULO I, denominado EL PUNTO trata sobre Aplicación de los principios de la proyección ortogonal a la geometría descriptiva: Depurado del punto. Graficación de un punto por coordenadas. Posiciones relativas de dos puntos. Posiciones sucesivas de un punto o de sólidos. Reglas de visibilidad.
El CAPÍTULO II denominado LA RECTA trata. Posiciones particulares de una recta: horizontal, frontal, de perfil, vertical, normal y ortoperfíl, Posiciones relativas entre dos rectas: Rectas que se cruzan, paralelas, y perpendiculares. Orientación. Verdadera magnitud. Métodos: con vista auxiliar y diferencia de cotas. Pendiente. Vista de punta de la recta..
El CAPÍTULO III, estudia EL PLANO estudia: Posiciones particulares de un plano: horizontal, frontal, de perfil, normal, vertical y ortoperfil. Rectas notables en el plano. Orientación. Vista de canto y verdadera magnitud del plano. Recta de máxima pendiente. Pendiente del plano.
El CAPÍTULO IV, estudia Paralelismo y Perpendicularidad: Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. Por un punto trazar un plano perpendicular a
6
una recta dada. Plano mediatriz. Por un punto trazar un plano perpendicular a un plano dado y paralelo a una recta dada. Distancia más corta desde un punto a una recta.
El CAPÍTULO V: denominado INTERSECCIONES, estudia Intersección entre recta y plano. Casos: Recta oblicua y de perfil. Métodos de solución: Plano de canto, plano cortante. Reglas de visibilidad. Intersecciones de dos planos. Caso general y particular. Métodos de solución: Vista auxiliar y plano cortante. Reglas de visibilidad.
Los autores agradecen a todos quienes han hecho posible la publicación de esta obra, a las personas que han proporcionado ayuda, así como consejos muy valiosos. Los comentarios a esta edición serán bien recibidos. Los Autores.
7
CAPÍTULO I: EL PUNTO 1.1.
EL PUNTO
El punto es una idea, que data desde la antigüedad y que se utiliza para representar un objeto ubicado en el espacio. Con esto podemos simplificar el análisis para resolver cualquier situación física y geométrica.
1.2.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie.
En
todo
sistema
de
proyección intervienen cuatro elementos denominados: fig.1.1:
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano,
superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico u objeto en sí.
B1 B 0
A
C
A1
C1
D
α
D1
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere
representar. Es un punto cualquiera del espacio. c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto.
Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc. d) Rayos Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con
el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección. 8
LOS SISTEMAS DE PROYECCIÓN MÁS USADOS SON: a) Proyección cilíndrica. Se
obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permita considerar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyección (fig.1.2). Los principales tipos de proyección cilíndrica son:
1) Proyección ortogonal (Monge). También denominada proyección ortográfica.
Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. La proyección ortogonal es muy utilizada en el diseño de piezas mecánicas y maquinarias fig. a. Los principales tipos de proyección ortogonal son:
i) Proyección en vistas múltiples.
Cada
vista
es
una
proyección
ortográfica. Para obtener una vista se coloca
el
plano
de
proyección
preferentemente paralelo a una de las caras principales del objeto fig.1.3. Los objetos se representan generalmente en tres vistas ortográficas. Los métodos utilizados para determinar estas vistas son:
A) Proyección en el Tercer Cuadrante. Usado en los Estados Unidos y Canadá.
fig.1.4.
B) Proyección en el Primer Cuadrante (primer octante). Usado en todo el
mundo, excepto en los Estados Unidos y Canadá. fig.1.5.
9
Proyecciones de puntos en figura espacial y descriptiva
Cuadrante II
Cuadrante I 02 02 0
02
T 00
01
0 L
T
L π1
Cuadrante III π2
Cuadrante IV
01
(El punto 0 está en el cuadrante I)
Tal como está representado el punto en la figura espacial y descriptiva puede extraerse que para pasar de la figura espacial a una descriptiva deberá abatirse el plano π2 sobre el plano π1 , teniendo como eje de giro a la T (línea de tierra o de pliegue). De esa manera quedarán alineados 01 – 0 – 02, como se puede apreciar en la figura descriptiva. Debe destacarse que en la representación espacial aparece el objeto (0). En la representación descriptiva solamente se trabaja con el plano π2 ya abatido, y las proyecciones 01 y 02 del punto. 10
Cuadrante II 0
Cuadrante I
01
T
02
02
01 02
00 L
00
T
L π1 Cuadrante III
Cuadrante IV
π2
El punto (0) está en el cuadrante II π2 O1
π2
O1 L
00
T
T
O0 L
π1 02
O O2 π1 Proyección del punto (0) ubicado en el 3º cuadrante
π2 π2 T
π1
L
01 L 01=02 02
00 π1
Proyección del punto (0) ubicado en el 4º cuadrante 11
En este último caso, el alejamiento (distancia de 0 al plano vertical) tiene la misma longitud que la cota (distancia de 0 al plano horizontal, por lo tanto, en la representación en FIGURA DESCRIPTIVA 01 aparece superpuesto con 02.
1.3.
PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCIÓN Tres son los planos principales de proyección: •
Frontal
•
Horizontal y
•
De perfil
Proyección de un punto sobre los tres Planos Principales de Proyección
12
AF: Proyección del punto A sobre el plano de proyección Frontal AH: Proyección del punto A sobre el plano de proyección Horizontal AP: Proyección del punto A sobre el plano de proyección De Perfil
1.4.
COTA – ALEJAMIENTO – APARTAMIENTO Para el estudio de la geometría descriptiva, es necesario tener bien definido las distancias del objeto a los planos principales de proyección. Estos son: Cota: Distancia del objeto al plano de proyección Horizontal (A – AH). Alejamiento: Distancia del objeto al plano de proyección Frontal (A – AF). Apartamiento: Distancia del objeto al plano de proyección De Perfil (A – AP).
1.5.
DEPURADO DE UN PUNTO Al abatir el Plano de proyección Horizontal y el Plano de proyección de Perfil, teniendo como ejes de giro a las líneas de pliegue correspondientes, se obtiene un solo plano. A este plano se le denomina Depurado de un Punto.
13
1.6.
GRAFICACIÓN DE UN PUNTO POR COORDENADAS En el enunciado de los problemas, a veces se indica la ubicación de las proyecciones de un punto por medio de coordenadas. Se puede obtener la proyección Horizontal y Frontal de dicho punto a partir de dichas coordenadas. Ejemplo: Realizar el depurado del punto A(a,b,c,). El primer componente de la coordenada, nos única la línea de referencia entre las proyecciones horizontal y frontal del punto A. El segundo componente, nos única la proyección frontal del punto A, y el tercer componente nos ubica la proyección horizontal del punto A.
14
1.7.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PUNTOS Las posiciones relativas de dos puntos entre sí, se puede observar colocando una brújula en el plano de proyección horizontal.
15
Respecto de la figura, se dice: B está a la derecha de A, B está arriba de A, B está delante de A, y sólo en el plano Horizontal: B está hacia el Sur de A, B está hacia el Este de A, o A está hacia el Norte de B, A está hacia el Oeste de B.
1.8.
VISTAS AUXILIARES Cuando se tiene proyecciones que no se muestran adecuadamente en los tres planos principales de proyección, se pueden trazar planos auxiliares. Existen dos tipos de Planos Auxiliares de Proyección: •
Planos Auxiliares Primarios y
•
Planos Auxiliares Secundarios.
16
PLANOS AUXILIARES PRIMARIOS Son los que se trazan perpendiculares a un plano de proyección principal.
17
1.9.
REGLAS DE VISIBILIDAD. Cuando se traza la proyección de sólidos, van a encontrarse aristas ocultas, dichas aristas se trazan con línea de segmentos. Hay que tener en cuenta las siguientes reglas de visibilidad. •
El contorno de la proyección, siempre es visible.
•
Cuando una arista que concurre a un vértice es invisible, las demás aristas que concurren a dicho vértice, también serán invisibles.
1.10. PROBLEMAS
18
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20
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22
23
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