Geometria Analitica Y A t3l4r

Banco de Preguntas de Geometría Analítica y Trigonometría

FUERZA AÉREA ECUATORIANA. BANCO DE PREGUNTAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y TRIGONOMETRÍA PARA LOS ASPIRANTES A OFICIALES DE ARMA Y TÉCNICOS DE LA LXVI PROMOCIÓN ESMA.

GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. ¿Si A y B son dos puntos indiferentes de una recta dirigida, se puede demostrar que �� + 𝐁𝐀 �� = 𝟎 𝐲 𝐀𝐀 �� = 𝐁𝐁 �� = 𝟎? 𝐀𝐁 a) Si b) No c) Ninguna de las anteriores

2. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7): (-8) y (-12). a) 11; 10; 4. b) 12; 11; 6 c) 15; 12; 5 3. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es -2, hallar el otro punto (2 casos). a) (8). (-11) b) (7). (-10) c) (7). (-11) 4. Hallar la distancia entre los puntos (6,0) y (0,-8). a) 12. b) 10. c) 13. 5. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3), (9, 8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área. a) 33. b) 30. c) 25. 6. Dos de los vértices de un triangulo equilátero son los puntos (-1, 1) y (3, 1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (dos casos) a) �𝟏, 𝟏 + 𝟐√𝟑�; (𝟏, 𝟏 − 𝟐√𝟑). b) �𝟏, 𝟏 + √𝟑�; (𝟏, 𝟐 − 𝟐√𝟑).

c) �𝟏, 𝟑 + 𝟐√𝟑�; �𝟏, 𝟏 − 𝟐√𝟑�.

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7. Demostrar que los puntos (-5, 0), (0, 2) y (0, -2) son vértices de un triangulo isósceles, y calcular su área. a) 12. b) 10. c) 11. 8. Demostrar que los puntos (0, 0), (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son los vértices de un rombo, y calcular su área. a) 20. b) 21. c) 23. 9. Hallar el perímetro de un cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1), (0, 3), (3, 4), (4, -1). a) 20, 22. b) 21, 26. c) 20, 26. 10. Demostrar que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área. a) 34. b) 25. c) 32. 11. Los vértices de un triángulo son A(3,8), B(2,-1) y C(6,-1). Si D es el punto medio del lado BC hallar la longitud de la mediana AD. a) √𝟖𝟎 b) √𝟖𝟐 c) √𝟖𝟔 12. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0,0), (1,2),(3,-4). a) 6. b) 5. c) 4.

13. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, hallar su ordenada (dos soluciones). a) 2, -3. b) 2, -6. c) -2, 6. 14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo. a) (1, -3) b) (-1, -2) 2


c) (1, -2) 15. Los extremos de un segmento son los puntos 𝑷𝟏 (𝟕, 𝟒) 𝒚 𝑷𝟐 (−𝟏, −𝟒). Hallar la razón �� 𝑷𝟏 𝑷: �� 𝑷𝑷𝟐 en que el punto P (1, -2) divide al segmento. a) 2. b) -3. c) 3. 16. Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. a) (-1, 4), (5, 6), (3, -2) b) (-1, 4), (5, -6), (-3, -2) c) (-1, -4), (5, 3), (3, -2) 17. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. a) 6. b) -5. c) 5. 18. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿Cuál es la abscisa de A y cual es la ordenada de B? a) 4. 1 b) 5. -1 c) 4. -1 19. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4), (1, -1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿Cuál es su abscisa? a) 4. b) 5. c) 6. 20. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135 grados. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial. a) -1/2 b) -3/2 c) ½ 21. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 grados. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7) y la recta final por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. a) 8 b) -8 3


c) -8.3 22. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son (1,-3), (3,3) y (6,-1). a) 13 b) 14 c) 16 23. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3) y (4,1). Sin un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada? a) 6. b) 5. c) 4. 24. Una recta 𝒍𝟏 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6), y otra recta 𝒍𝟐 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que 𝒍𝟏 es perpendicular a 𝒍𝟐 . a) 1. b) -1. c) -2. 25. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triangulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos. a) 33042’, 54019’ b) 33041’, 56019’ c) 31041’, 56018’ 26. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos (2, -1), (7, 3). a) 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 b) 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 c) 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 27. Hallar la ecuación a la ecuación a la cual deba satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, -1) y que tiene una pendiente igual a 4. a) 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 c) 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎

En cada uno de los ejercicios, hallar, analíticamente, los puntos de intersección, cuando los haya, para las curvas dadas: 28. 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎; 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟗 = 𝟎 a) (2, 4) b) (2, 3) 4


c) (3, 4) 29. 𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟕 = 𝟎; 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟖 = 𝟎 a) (-1,-2) b) (2,-2) c) (1,-2) 30. 𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝟎; 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟔 = 𝟎 a) (5, 2), (9/4 – 3/2) b) (4, 2), (9/3 – 3/4) c) (4, 2), (9/4 – 3/2) 31. 𝒙𝟐 − 𝒚 = 𝟎; 𝒚𝟐 − 𝒙 = 𝟎 a) (0, 1), (1, -1) b) (0, 0), (1, 2) c) (0, 0), (1, 1) 32. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒; 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 a) (0, -2), (-2, 1) b) (0, 2), (2, 0) c) (0, 3), (2, -1) 33. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟖; 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 a) (2, 1), (3, -2) b) (2, 2), (2, -2) c) (-3, 2), (-2, -2) 34. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟖 = 𝟎; 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟖 = 𝟎 a) (4, 4), (3, 1) b) (4, -4), (2, -1) c) (5, 4), (-6, 1) Obtener la ecuación del lugar geométrico. 35. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje X. hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 c) 𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 36. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al origen es siempre igual a 2. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. 5


a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟔 b) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟒 c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒

37. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se conserva siempre equidistante de los dos puntos (1,-2) y (5,4). a) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔 = 𝟎 b) 𝒙 + 𝒚 − 𝟗 = 𝟎 c) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟗 = 𝟎 38. Una recta contiene los dos puntos (-1,5) y (1,3), deducir la ecuación de la recta. a) 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 c) 𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎

39. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 4) es siempre igual a su distancia del eje Y aumentada en 3. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟎 c) 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟎

40. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3,0) y B(-3, 0) es siempre igual a 8. a) 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 b) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 c) 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟐 41. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

42. Una recta 𝒍, que pasa por el punto A (-5, 1), es perpendicular a otra cuya pendiente es 1/2. expresar, analíticamente el hecho de que un punto cualquiera P(x, y) está sobre la recta 𝒍, y deducir de aquí su ecuación. a) 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟗 = 𝟎 b) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟗 = 𝟎 c) 𝒙 + 𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎 43. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual que su distancia al punto (0,4). Hallar la ecuación del lugar geométrico.

6


a) 𝒙𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎 b) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝟎 c) 𝟐𝒙𝟐 − 𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎

44. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos (3,5) y (-4,2) es siempre igual a 30. a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 c) 𝟔𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟔 = 𝟎

45. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos (0,3) y (0,-3) es siempre igual a 8. a) 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 b) 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 c) 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟕𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐

46. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos (3,0) y (-3,0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. a) 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒚𝟐 = 𝟐𝟎 b) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 = 𝟐𝟐 c) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟐𝟎

47. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos (0,3) y (0,-3) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. a) 𝟓𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 b) 𝟒𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 c) 𝟑𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 48. Dos de los vértices de un triangulo son los puntos fijos A(-1, 3) y B(5, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC. a) 𝒙𝒚 + 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎 b) 𝒙𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎 c) 𝒙𝒚 + 𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎 49. Dos de los vértices de un triangulo son los puntos fijos A (1, 0) y B(5, 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la diferencia entre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a la mitad de la longitud del lado AB. a) 𝟐𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎 b) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 c) 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 7


50. Un círculo de radio 4 tiene su centro en el punto C (1, -1). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos sus radios. a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 c) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟐 = 𝟎

51. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (3, 1), es siempre igual a la mitad de su distancia al eje Y. hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟒𝟐 = 𝟎 b) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 − 𝒚 + 𝟒𝟏 = 𝟎 c) 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟒𝟎 = 𝟎

52. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (-1, 2) es siempre el doble de su distancia al eje X. hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎 c) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎

53. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2. a) 2x-y+3=0 b) 2x+y+3=0 c) 2x-y-3=0 54. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 450 a) x+y+3=0 b) x+y-3=0 c) x-y+3=0

55. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intercepción con el eje Y es -2. a) 2x+y-2=0 b) 3x+y+2=0 c) 3x+y-2=0 56. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2) y B (-5, 7). a) 5x+9y+38=0 b) 5x+9y-38=0 c) 7x+9y-38=0 57. Una recta pasa por los dos puntos A (-3, -1) y B (2, -6). Hallar su ecuación en forma simétrica. 𝒙 𝒚 a) −𝟒 + −𝟐 = 𝟏 b)

8

𝒙

𝟒

𝒚

+𝟒=𝟏


c)

𝒙

−𝟒

𝒚

+ −𝟒 = 𝟏

58. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A (-1, 4), hallar su ecuación en forma simétrica. 𝒙 𝒚 a) 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 b) c)

𝒙

𝒚

+𝟏=𝟏 𝟏 𝒙

𝟐

𝒚

+𝟐=𝟏

59. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2), B (1, 6). a) x+y+3=0 b) x-y+3=0 c) x+y-3=0 60. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. a) 6x+5y-82=0 b) 6x-5y-82=0 c) 2x+5y-82=0 61. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2, 4), y determinar sobre el eje X el segmento -9. a) 4x+7y+36=0 b) 4x-7y+36=0 c) 4x-7y+36=0 62. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 a) 3x+5y+8=0 b) x-5y+8=0 c) 3x-5y+8=0 63. El ejercicio se refiere al triangulo cuyos vértices son A (-2, 1), B (4, 7) y C (6, -3). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. a) 5x+y+9=0 b) 5x+2y+9=0 c) 5x-y+9=0 64. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟖 = 𝟎 𝒚 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟗 = 𝟎. a) 4x+y-10=0 b) 2x-y-10=0 9


c) 4x+y-12=0 65. Hallar el área del triangulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎 a) 10 b) 12 c) 20 66. El punto P de ordenada 10 esta sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A (7, -2). Calcular la abscisa de P. a) 11 b) -11 c) 10 67. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determina sobre el eje X el segmento a. a) y=mx-am b) y=mx+am c) y=x-am 68. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a -3. a) x+y+2=0 b) 3x+y+2=0 c) 3x+y-2=0 69. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir, sus intercepciones son 3 y -5 respectivamente. a) 5x-3y-15=0 b) 5x+3y+15=0 c) 5x+3y-15=0 70. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3). a) 4x+3y-13=0 b) 2x+3y+13=0 c) 4x+3y+13=0 71. Hallar el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. a) 4 b) -4 c) 2 10


72. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x-9y+2=0 a) b) c)

𝟕

𝟐

𝟐

;−𝟕,−𝟗 𝟗 𝟕

𝟐 𝟐

;− ,

𝟗 𝟕 𝟗 𝟕 𝟐 𝟐

; ,

𝟗 𝟕 𝟗

73. En las ecuaciones ax+ (2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (2,-3). a) a=4,b=7 b) a=2,b=7 c) a=4,b=-7 74. Determinar los valores de k para que la recta 4x+5y+k=0 forme con los ejes 𝟏

coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 𝟐 𝟐 unidades cuadradas.

a) 10,-10 b) 5,-5 c) 15,-10 75. Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo ω=60o y p=6. a) b) c)

𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐

𝒙+ 𝒙+ 𝒙+

𝟑√𝟑

𝒚−𝟖=𝟎

𝟐 √𝟑 𝒚 𝟐 √𝟑 𝒚 𝟐

−𝟓=𝟎 −𝟔=𝟎

76. Una recta es tangente a un círculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia es (2,-√𝟓), hállese la ecuación de la tangente en la forma normal. a) b) c)

𝟒

𝒙+ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑

𝒙+ 𝒙+

−√𝟓 𝟑 √𝟓

𝒚−𝟐=𝟎

𝟑 −√𝟓 𝟑

𝒚−𝟒=𝟎 𝒚−𝟑=𝟎

77. La ecuación de una recta en la forma normal es 𝒙𝒄𝒐𝒔𝝎 + 𝒚𝒔𝒆𝒏𝝎 − 𝟓 = 𝟎 ,hallar el valor de 𝝎 para que la recta pase por el punto (-4,3). a) 14308’ b) 13408’ c) 14509’ 78. Reducir la ecuación 12x-5y-52=0 a la forma normal, y hallar los valores de p y 𝝎. a) b) c) 11

𝟏𝟐

𝒙 − 𝟏𝟑 𝒚 − 𝟑 = 𝟎; 𝒑 = 𝟒, 𝝎 = 𝟑𝟐𝟕𝟎 𝟐𝟑′

𝟏𝟐

𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 − 𝟒 = 𝟎; 𝒑 = 𝟒, 𝝎 = 𝟑𝟑𝟕𝟎 𝟐𝟑′

𝟏𝟑 𝟏𝟏

−𝟔 −𝟓

𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 − 𝟒 = 𝟎; 𝒑 = 𝟒, 𝝎 = 𝟑𝟏𝟕𝟎 𝟐𝟑′ 𝟏𝟑 𝟏𝟑

−𝟓


79. Hallar a distancia de la recta 4x-5y+10 al punto (2,-3). a) b) c)

𝟑𝟓

√𝟒𝟏

𝟒𝟏 𝟑𝟑

√𝟒𝟎

𝟒𝟏 𝟑𝟑

√𝟒𝟏

𝟒𝟏

80. Hallar la distancia dirigida de la recta x+2y+7=0 al punto (1,4). a)

𝟏𝟔 𝟓

b) –

√𝟓

𝟏𝟔

c) −

√𝟓

𝟓 𝟏𝟑 𝟓

√𝟓

81. Los vértices de un triángulo son A (-4,1), B (-3,3) y C (3.-3). Hallar la longitud de la altura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo. a) b) c)

–𝟑 𝟐 𝟑

√𝟐;9

√𝟐;12

𝟐 −𝟑 𝟔

√𝟔;9

82. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0. a) b) c)

𝟕

𝟏𝟎 𝟕

−𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟏𝟎

83. Hallar la distancia entre las rectas paralelas x+2y-10=0 y x+2y+6=0. a) −

𝟏𝟔

c)

√𝟓

b)

𝟔

𝟓

√𝟓

𝟓 𝟏𝟔 𝟓

√𝟓

84. La distancia dirigida de la recta 2x+5y-10=0 al punto P es -3. Si la abscisa de P es 2 hállese su ordenada. a) b) c)

𝟔−𝟑√𝟐𝟗 𝟓 𝟔+𝟑√𝟐𝟗

𝟓 −𝟔−𝟑√𝟐𝟗 𝟓

85. En la ecuación kx+3y+5=0, hallar el valor del coeficiente k, de manera que la distancia dirigida que la recta represente al punto (2,-2) sea igual a -1. a) 12

𝟐−𝟐√𝟕 𝟑


b) c)

𝟐+𝟐√𝟕

𝟑 −𝟐+𝟐√𝟕 𝟑

86. La distancia de la recta 4x-3y+1=0 al punto P es 4, si la ordenada de P es 3, hállese su abscisa (dos soluciones). a) 3,7. b) -3,7. c) 3,-7 87. Determinar el valor del parámetro k de manera que la recta de la familia kx-y+8=0 que le corresponde, pase por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la recta. a) 2x+y-8=0 b) 4x-y+8=0 c) 2x-y+8=0 88. Determinar el valor del parámetro c para que la recta de la familia cx+3y-9=0 que le corresponda, determine sobre el eje X un segmento igual a -4. Hallar la ecuación de la recta. a) 3x-4y+12=0 b) 3x-4y-12=0 c) 3x+4y+12=0 89. Determinar el valor del parámetro k de manera que la recta de la familia 3x-ky-7=0 que le corresponda sea perpendicular a la recta 7x+4y-11=0. Escribir la ecuación de la recta. a) 12x-21y-28=0 b) 12x+21y+28=0 c) 12x-21y+28=0 90. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3,-5) y radio 7. a) (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 + 𝟓)𝟐 = 𝟒𝟗 b) (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 + 𝟓)𝟐 = 𝟕 c) (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟒𝟗

91. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos (2,3) y Hallar la ecuación de la curva. a) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎 b) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 c) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎

13

(-4,5).

92. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7,-6) y que pasa por el punto (2,2). a) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟖𝟗


b) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟖𝟗 c) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟖𝟗

93. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2,-4) y que es tangente al eje Y. a) (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟔 b) (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟒 c) (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟒 94. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0,-2) y es tangente a la recta 5x12y+2=0. Hallar su ecuación. a) 𝒙𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 b) (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟒 c) (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 95. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4,-1) y que es tangente a la recta 3x+2y-12=0. a) (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒𝟗 b) (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟓𝟐 c) (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟓𝟐

96. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. a) (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 b) (𝒙 + 𝟔)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 c) (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 97. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x-9y-10=0 y 2x-5y+2=0. a) (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟔 b) (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟖 c) (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟖

98. Una cuerda de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 está sobre la recta cuya ecuación es x-7y+25=0. Hállese la longitud de la cuerda. a) 7.07 b) 8.05 c) 7.70 El siguiente ejercicio se refiere al triángulo cuyos vértices son A (-1,0), B (2,9/4) y C (5,0). 99. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es A y es tangente al lado BC. 𝟑𝟐

a) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 𝟑𝟐

14

b) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓


c) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒚𝟐 =

𝟑𝟐𝟒 𝟐𝟓

100. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los dos puntos (1,3) y (4,6). a) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟓 b) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 c) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟓 TRIGONOMETRIA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Las siguientes preguntas se refieren solamente a triángulos rectángulos: 1. Hallar las funciones trigonométricas del ángulo A, sabiendo que: a=8, b=15. 𝟏𝟔

𝟏𝟔

𝟗

𝟗

𝟏𝟏

𝟑

a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟐𝟔 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = 𝟐𝟔 , 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟏𝟔 𝟖

𝟏𝟓

𝟖

b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟏𝟕 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = 𝟏𝟕 , 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟏𝟓 c) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟏𝟕 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = 𝟏𝟕 , 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟏𝟓

2. Hallar las funciones del ángulo B, sabiendo que b=5, c=13. 𝟓

𝟏𝟐

𝟓

𝟓

𝟏𝟏

𝟓

a) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟏𝟑 , 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟏𝟑 , 𝒕𝒂𝒏𝑩 = 𝟏𝟐 𝟒

𝟏𝟎

𝟕

b) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟏𝟑 , 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟏𝟑 , 𝒕𝒂𝒏𝑩 = 𝟏𝟐 c) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟏𝟑 , 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟏𝟑 , 𝒕𝒂𝒏𝑩 = 𝟏𝟎

3. Hallar las funciones del ángulo B sabiendo que a=0.6, b=0.8. a) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟎. 𝟔; 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟏. 𝟑; 𝒕𝒂𝒏𝑩 = 𝟎. 𝟔 b) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟎. 𝟖; 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟎. 𝟔; 𝒕𝒂𝒏𝑩 = 𝟏. 𝟑 c) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 𝟎. 𝟒; 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟐. 𝟑; 𝒕𝒂𝒏𝑩 = 𝟎. 𝟖 4. Hallar las funciones del ángulo A, sabiendo que b=2, c=√𝟏𝟏. a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = c) 𝒔𝒆𝒏𝑨 =

√𝟕

√𝟏𝟏 √𝟖 √𝟏𝟏 𝟕

√𝟏𝟏

, 𝒄𝒐𝒔𝑨 = , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = , 𝒄𝒐𝒔𝑨 =

𝟐

√𝟏𝟏 𝟓 √𝟏𝟏 √𝟐

√𝟏𝟏

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 =

√𝟕 𝟐


√𝟕 𝟐


√𝟕 𝟔

5. Hallar las funciones del ángulo B, sabiendo que a=5, c=7. a) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = b) 𝒔𝒆𝒏𝑩 = 15

𝟐√𝟔

𝟔

, 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟕 , 𝒕𝒂𝒏𝑩

𝟓 √𝟔 , 𝒄𝒐𝒔𝑩 𝟕

𝟖

= 𝟕 , 𝒕𝒂𝒏𝑩

𝟑√𝟔

𝟓 𝟐√𝟔 𝟒


c) 𝒔𝒆𝒏𝑩 =

𝟐√𝟔 𝟕

𝟓

, 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟕 , 𝒕𝒂𝒏𝑩

𝟐√𝟔 𝟓

6. Hallar las funciones del ángulo A, sabiendo que a=p, b=q. 𝒑 𝒒 𝒑 a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟐 𝟐 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = 𝟐 𝟐 , 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝒒 b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = c) 𝒔𝒆𝒏𝑨 =

�𝒑 +𝒒 𝒒

�𝒑𝟐 +𝒒𝟐 𝒑

�𝒑𝟐 +𝒒𝟐

, 𝒄𝒐𝒔𝑨 = , 𝒄𝒐𝒔𝑨 =

�𝒑 +𝒒 𝒑

�𝒑𝟐 +𝒒𝟐 𝒒 �𝒑𝟐 +𝒒𝟐

𝒑

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝒒 𝒒

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝒑

7. Hallar las funciones del ángulo A, sabiendo que a=√𝒎𝟐 + 𝒎𝒏, c=m+n. a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = c) 𝒔𝒆𝒏𝑨 =

�𝒎𝒏+𝒏𝟐 𝒎+𝒏

, 𝒄𝒐𝒔𝑨 =

�𝒎𝟐 +𝒎𝒏 𝒎+𝒏







�𝒎𝟐 +𝒎𝒏 𝒎+𝒏

8. Dados sen A=3/5, c=200.5; hallar a. a) 𝒂 = 𝟏𝟑𝟏. 𝟒 b) 𝒂 = 𝟏𝟐𝟓. 𝟔 c) 𝒂 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟑

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = , 𝒕𝒂𝒏𝑨 =

�𝒎𝒏+𝒏𝟐 �𝒎𝒏+𝒏𝟐

�𝒎𝟐 +𝒎𝒏 �𝒎𝒏+𝒏𝟐 �𝒎𝒏+𝒏𝟐

�𝒎𝟐 +𝒎𝒏

9. Dados cos A=0.44, c=30.5; hallar b. a) 𝒃 = 𝟏𝟒. 𝟔 b) 𝒃 = 𝟏𝟑. 𝟒𝟐 c) 𝒃 = 𝟏𝟔. 𝟐 10. Dados tg A=11/3, b=27/11; hallar c. a) 𝒄 = 𝟗. 𝟑𝟑 b) 𝒄 = 𝟏𝟓. 𝟐 c) 𝒄 = 𝟐𝟎. 𝟔 11. Dados tg B=k, a=r; hallar c. a) 𝒄 = 𝒓√𝟏 + 𝒌𝟐 b) 𝒄 = 𝒓√𝒓 + 𝒌𝟐

c) 𝒄 = 𝒓𝟐 √𝟏 + 𝒌𝟐

12. Si b=2a, hállense las funciones de A. ¿por qué no aparecen en ellas ni a ni b? a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = c) 𝒔𝒆𝒏𝑨 =

𝟏

√𝟓 𝟐 √𝟓 𝟑 √𝟓

, 𝒄𝒐𝒔𝑨 = , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = , 𝒄𝒐𝒔𝑨 =

𝟐

√𝟓 𝟏 √𝟓 𝟐 √𝟓

𝟏

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟐 𝟑

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟐 𝟏

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟐

13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a tres veces la longitud de uno de sus catetos. Hallar las funciones del ángulo opuesto a este cateto. 16


𝟐

𝟑√𝟐

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟐√𝟐

𝟏

𝟐√𝟐

, 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟐√𝟐

a) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟑 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = 𝟏

𝟑 𝟑

𝟏 𝟏

b) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟑 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 = 𝟐√𝟐 , 𝒕𝒂𝒏𝑨 = 𝟐√𝟐 c) 𝒔𝒆𝒏𝑨 = 𝟑 , 𝒄𝒐𝒔𝑨 =

𝟑

𝟏

14. Si un cateto de un triángulo rectángulo es 16 y la cotangente del ángulo opuesto es ¾, calcular la longitud del otro cateto. a) 𝒂 = 𝟏𝟓 b) 𝒂 = 𝟏𝟐 c) 𝒂 = 𝟏𝟎 15. Dados A=30O, a=25, hallar c, B y b. a) 𝑩 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝒄 = 𝟔𝟎; 𝒃 = 𝟐𝟔√𝟑 b) 𝑩 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝒄 = 𝟓𝟎; 𝒃 = 𝟐𝟓√𝟑 c) 𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝒄 = 𝟒𝟎; 𝒃 = 𝟐𝟎√𝟑

16. Dados B=30O, c=48, calcular b, A y a. a) 𝑨 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝒃 = 𝟐𝟒; 𝒂 = 𝟐𝟒√𝟑 b) 𝑨 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝒃 = 𝟑𝟎; 𝒂 = 𝟐𝟒√𝟑 c) 𝑨 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝒃 = 𝟐𝟒; 𝒂 = 𝟐𝟒√𝟑 17. Dados B=45O, b=20, hallar c, A y a. a) 𝑨 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝒂 = 𝟐𝟎; 𝒄 = 𝟐𝟎√𝟐 b) 𝑨 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝒂 = 𝟐𝟎; 𝒄 = 𝟐𝟎√𝟐 c) 𝑨 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝒂 = 𝟑𝟎; 𝒄 = 𝟐𝟎√𝟐

18. ¿Cuáles son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si un cateto es √𝟑 veces la longitud del otro? a) 𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝑨 = 𝟔𝟎𝟎 b) 𝑩 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝑨 = 𝟑𝟎𝟎 c) 𝑩 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝑨 = 𝟑𝟎𝟎 19. En un triangulo rectángulo la longitud de la hipotenusa es √𝟐 veces la longitud de uno de los catetos. ¿cuáles son los ángulos del triangulo? a) 𝑨 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝑩 = 𝟓𝟎𝟎 b) 𝑨 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 c) 𝑨 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝑩 = 𝟒𝟓𝟎 𝐬𝐞𝐜 𝟔𝟎

20. Demostrar que 𝐭𝐠 𝟑𝟎 = (𝐬𝐞𝐜 𝟔𝟎+𝟏) 𝐜𝐬𝐜 𝟔𝟎

¿En qué cuadrante esta cada uno de los siguientes ángulos? 17


21. 225o a) 𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 b) 𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 c) 𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆

22. -540o a) 𝑰𝑰𝑰 𝒚 𝑰𝑽 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 b) 𝑰 𝒚 𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 c) 𝑰𝑰 𝒚 𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 23. 1500o a) 𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 b) 𝑰𝑰 𝒚 𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 c) 𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆

24. -12000 a) 𝑰𝑰𝑰 𝒚 𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 b) 𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 c) 𝑰 𝒚 𝑰𝑰 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 25. 810o a) 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑰 𝒚 𝑰𝑰𝑰 b) 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑰𝑰 𝒚 𝑰𝑰𝑰 c) 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑰 𝒚 𝑰𝑰

LEY DE SENOS Y COSENOS PARA RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Resolver los siguientes triángulos: 26. Dados a=40, A=60o, B=45o. a) 𝑪 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝒃 = 𝟑𝟓. 𝟔𝟔; 𝒄 = 𝟒𝟎. 𝟔 b) 𝑪 = 𝟕𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟑𝟐. 𝟔𝟔; 𝒄 = 𝟒𝟒. 𝟔𝟏 c) 𝑪 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟑𝟎. 𝟔𝟔; 𝒄 = 𝟓𝟎. 𝟕 27. Dados b=7.07, A=30o, C=105o. a) 𝑩 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝒂 = 𝟒. 𝟎𝟖; 𝒄 = 𝟗. 𝟔𝟔 b) 𝑩 = 𝟑𝟓𝟎 ; 𝒂 = 𝟒. 𝟎𝟖; 𝒄 = 𝟏𝟑. 𝟐 c) 𝑩 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝒂 = 𝟓. 𝟎𝟖; 𝒄 = 𝟏𝟓. 𝟔

28. Dados c=60, A=50o, B=75o. a) 𝑪 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟖𝟎. 𝟕𝟓; 𝒂 = 𝟕𝟔. 𝟏𝟏 b) 𝑪 = 𝟓𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟑𝟎; 𝒂 = 𝟓𝟎 c) 𝑪 = 𝟓𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟕𝟎. 𝟕𝟓; 𝒂 = 𝟓𝟔. 𝟏𝟏

18


29. Dados a=20, B=45o, C=60o. a) 𝑨 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟒𝟔. 𝟓; 𝒄 = 𝟏𝟖. 𝟗 b) 𝑨 = 𝟑𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟐𝟎. 𝟔𝟒; 𝒄 = 𝟏𝟕. 𝟗𝟑 c) 𝑨 = 𝟕𝟓𝟎 ; 𝒃 = 𝟏𝟒. 𝟔𝟒; 𝒄 = 𝟏𝟕. 𝟗𝟑

30. Dados a=550, A=10o12’, B=46o36’. a) 𝑪 = 𝟏𝟐𝟑𝟎 𝟏𝟐, ; 𝒃 = 𝟐𝟐𝟓𝟔. 𝟔𝟒; 𝒄 = 𝟐𝟓𝟗𝟖. 𝟖𝟕 b) 𝑪 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟐, ; 𝒃 = 𝟐𝟐𝟔. 𝟔; 𝒄 = 𝟖𝟗𝟒𝟖. 𝟖𝟕 c) 𝑪 = 𝟏𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟐, ; 𝒃 = 𝟔𝟖𝟗𝟔. 𝟑; 𝒄 = 𝟔𝟓𝟗𝟖. 𝟕𝟗

31. Dados B=100o10’, C=45o40’, c=3060. a) 𝑨 = 𝟑𝟒𝟎 𝟏𝟎, ; 𝒃 = 𝟒𝟐𝟏𝟎. 𝟖𝟒; 𝒂 = 𝟐𝟒𝟎𝟐. 𝟓𝟒 b) 𝑨 = 𝟐𝟒𝟎 𝟏𝟔, ; 𝒃 = 𝟒𝟑𝟔𝟐. 𝟕; 𝒂 = 𝟐𝟒𝟎𝟐. 𝟓𝟒 c) 𝑨 = 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟎, ; 𝒃 = 𝟒𝟐𝟏𝟎. 𝟖𝟒; 𝒂 = 𝟐𝟓𝟔𝟒. 𝟑

32. Dados a=18, b=20, A=55o24’. a) 𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 𝟖, ; 𝑪 = 𝟓𝟖𝟎 𝟐𝟕, ; 𝒄 = 𝟐𝟎. 𝟔𝟒 b) 𝑩 = 𝟔𝟔𝟎 𝟗, ; 𝑪 = 𝟓𝟖𝟎 𝟐𝟕, ; 𝒄 = 𝟏𝟖. 𝟔𝟒 c) 𝑩 = 𝟔𝟎𝟎 𝟗, ; 𝑪 = 𝟔𝟖𝟎 𝟐𝟕, ; 𝒄 = 𝟏𝟖. 𝟔𝟒 33. Dados a=𝟑√𝟐, b=𝟐√𝟑, A=60o. a) 𝑩 = 𝟑𝟓𝟎 ; 𝑪 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝒄 = 𝟒. 𝟕𝟑 b) 𝑩 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝑪 = 𝟕𝟓𝟎 ; 𝒄 = 𝟒. 𝟕𝟑 c) 𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝑪 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝒄 = 𝟓. 𝟕𝟑

34. Dados b=19, c=18, C=15o49’. a) 𝑩 = 𝟏𝟔𝟎 𝟒𝟑, ; 𝑨 = 𝟏𝟒𝟕𝟎 𝟐𝟖, ; 𝒂 = 𝟑𝟓. 𝟓𝟐 b) 𝑩 = 𝟏𝟐𝟎 ; 𝑨 = 𝟏𝟒𝟕𝟎 𝟐𝟖, ; 𝒂 = 𝟒𝟎. 𝟓 c) 𝑩 = 𝟏𝟗𝟎 𝟒, ; 𝑨 = 𝟏𝟒𝟕𝟎 𝟐𝟖, ; 𝒂 = 𝟑𝟓. 𝟓𝟐 35. Dados a=119, b=97, A=50o. a) 𝑩 = 𝟓𝟎𝟎 𝟑𝟖, ; 𝑪 = 𝟗𝟏𝟎 𝟐𝟐, ; 𝒄 = 𝟏𝟓𝟓. 𝟑 b) 𝑩 = 𝟑𝟖𝟎 𝟑𝟖, ; 𝑪 = 𝟖𝟎𝟎 𝟐𝟐, ; 𝒄 = 𝟐𝟓𝟓. 𝟒 c) 𝑩 = 𝟑𝟖𝟎 𝟑𝟖, ; 𝑪 = 𝟗𝟏𝟎 𝟐𝟐, ; 𝒄 = 𝟏𝟓𝟓. 𝟑 36. Dados a=120, b=80, A=60o. a) 𝑩 = 𝟑𝟓𝟎 𝟏𝟔, ; 𝑪 = 𝟖𝟒𝟎 𝟒𝟒, ; 𝒄 = 𝟏𝟑𝟕. 𝟗𝟖 b) 𝑩 = 𝟐𝟓𝟎 𝟏𝟒, ; 𝑪 = 𝟓𝟔𝟎 𝟒𝟒, ; 𝒄 = 𝟏𝟒𝟓. 𝟗 c) 𝑩 = 𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟔, ; 𝑪 = 𝟗𝟎𝟎 𝟒𝟒, ; 𝒄 = 𝟏𝟔𝟑. 𝟔

37. Se requiere hallar la distancia horizontal de un punto A a un punto inaccesible B de la orilla opuesta de un río. Para ello medimos una distancia horizontal conveniente,

19


como AC, y luego medimos los ángulos CAB y ACB. Si AC=283m, ángulo CAB=38o, y ángulo ACB=66o18’, calcular el lado AB del triangulo ABC. a) 𝑩 = 𝟖𝟎𝟎 𝟒𝟐, ; 𝑨𝑩 = 𝟐𝟔𝟕. 𝟒𝟐𝒎 b) 𝑩 = 𝟕𝟓𝟎 𝟒𝟐, ; 𝑨𝑩 = 𝟐𝟔𝟕. 𝟒𝟐𝒎 c) 𝑩 = 𝟕𝟓𝟎 𝟒𝟐, ; 𝑨𝑩 = 𝟐𝟕𝟖. 𝟓𝟔𝒎

38. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140.5m y 160.6m, y el ángulo opuesto al primero es de 40o. hallar la longitud de una cerca que lo rodee completamente. a) 𝑨 = 𝟖𝟏𝟎 𝟒, ; 𝑩 = 𝟓𝟖𝟎 𝟓𝟔, b) 𝑨 = 𝟗𝟎𝟎 𝟑, ; 𝑩 = 𝟓𝟖𝟎 𝟓𝟔, c) 𝑨 = 𝟖𝟏𝟎 𝟒, ; 𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 𝟓,

39. Para determinar la distancia de un lugar B a una posición enemiga A se han medido una base BC y los ángulos ABC y BCA. Si dichas medidas son 1006m, 44o y 70o respectivamente, hallar la distancia AB. a) 𝑨 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎𝟑𝟗. 𝟕𝒎 b) 𝑨 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝑨𝑩 = 𝟐𝟓𝟔𝟑. 𝟒𝒎 c) 𝑨 = 𝟔𝟔𝟎 ; 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎𝟑𝟒. 𝟖𝒎 40. Dos boyas están apartadas por una distancia de 64.2m, y un bote está a 74.1m de la más cercana. El ángulo que forman los dos visuales del bote a las boyas es de 27o18’. ¿Qué distancia hay del bote a la boya más alejada? a) 𝑨𝑪 = 𝟏𝟏𝟓. 𝟑𝟑𝒎 b) 𝑨𝑪 = 𝟏𝟑𝟓. 𝟒𝟎𝒎 c) 𝑨𝑪 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟑𝟐𝒎

41. Dados a=2, b=3, C=45o; hallar c a) 𝒄 = 𝟐. 𝟏𝟐 b) 𝒄 = 𝟑. 𝟏𝟓 c) 𝒄 = 𝟒. 𝟑𝟓

42. Dados b=8, c=5, A=60o; hallar a, cos B y cos C. 𝟏

𝟏𝟓

a) 𝒂 = 𝟗; 𝑩 = 𝟖𝟔. 𝟗𝟎 ; 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟕 ; 𝒄𝒐𝒔 𝑪 = 𝟏𝟒 𝟑

𝟏𝟖

b) 𝒂 = 𝟏𝟓; 𝑩 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎 ; 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟕 ; 𝒄𝒐𝒔 𝑪 = 𝟏𝟒 𝟏

𝟏𝟏

c) 𝒂 = 𝟕; 𝑩 = 𝟖𝟏. 𝟕𝟗𝟎 ; 𝒄𝒐𝒔𝑩 = 𝟕 ; 𝒄𝒐𝒔 𝑪 = 𝟏𝟒

43. Dados a=4, c=5, B=120o, hallar b. a) 𝒃 = 𝟓. 𝟔 b) 𝒃 = 𝟕. 𝟖 c) 𝒃 = 𝟔. 𝟗 20


44. Daos a=24, b=16, C=44o; hallar c. a) 𝒄 = 𝟏𝟔. 𝟕𝟐 b) 𝒄 = 𝟏𝟖. 𝟔 c) 𝒄 = 𝟏𝟑. 𝟓

45. Dados b=10, c=11, A=133o, hallar a. a) 𝒂 = 𝟐𝟔. 𝟑𝟓 b) 𝒂 = 𝟏𝟔. 𝟒𝟖 c) 𝒂 = 𝟏𝟗. 𝟐𝟔

46. Si los dos lados de un triángulo son 10 y 11 y el ángulo formado por ellos es de 50o, calcular el tercer lado. a) 𝒄 = 𝟗. 𝟔𝟓 b) 𝒄 = 𝟖. 𝟗𝟐 c) 𝒄 = 𝟕. 𝟖𝟑 47. Los lados de un triángulo son 3, 8 y 9. Hallar la altura del triángulo correspondiente al vértice del ángulo más pequeño. a) 𝑨𝑷 = 𝟕. 𝟗 b) 𝑨𝑷 = 𝟔. 𝟓 c) 𝑨𝑷 = 𝟖. 𝟐

48. Una escalera de 5.20m de largo es colocada a 2m de la base de un muro inclinado y alcanza una altura de 4.6m sobre ese muro. Hállese la inclinación del muro. a) 𝑷𝑩 = 𝟒. 𝟔𝟐; 𝑷 = 𝟗𝟓𝟎 𝟏𝟕, b) 𝑷𝑩 = 𝟔. 𝟓𝟑; 𝑷 = 𝟖𝟔𝟎 𝟐𝟓, c) 𝑷𝑩 = 𝟔. 𝟗𝟖; 𝑷 = 𝟑𝟔𝟎 𝟔𝟕,

49. ¿Bajo qué ángulo se ve un objeto de 7 metros de largo por un observador cuyo ojo está a 5 metros de uno de los extremos del objeto y a 8m del otro extremo? a) 𝑨 = 𝟓𝟐𝟎 b) 𝑨 = 𝟔𝟎𝟎 c) 𝑨 = 𝟒𝟔𝟎

50. Dos estaciones Ay B, situadas en lados opuestos de una montaña, son vistas desde una tercera estación C. se conocen las distancias AC=11.5km y BC=9.4km, y el ángulo ACB= 59o30’. Hallar la distancia entre A y B. a) 𝑨𝑩 = 𝟐𝟔. 𝟔𝟓𝒌𝒎 b) 𝑨𝑩 = 𝟏𝟖. 𝟑𝟔𝒌𝒎 c) 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎. 𝟓𝟑𝒌𝒎 IDENTIDADES TRIGOMÉTRICAS

Demostrar que las siguientes igualdades son o no identidades: 21


51. 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 52. 𝒄𝒕𝒈 𝒙 − 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 (𝟏 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙) = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 53. (tan x+ cot x)sin x cos x=1. a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 𝒔𝒊𝒏 𝒚

54. 𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝒚 =

𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏 𝒚

a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores.

𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒂

55. �𝟏+𝒔𝒊𝒏 𝒂 = 𝒔𝒆𝒄 𝒂 − 𝒕𝒂𝒏 𝒂


56. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 a) b) c)

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝟏 Si es identidad. No es identidad. Ninguna de las anteriores.

57. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + (𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 58. (𝒔𝒆𝒄 𝒚 + 𝒄𝒔𝒄 𝒚 )(𝟏 − 𝒄𝒐𝒕 𝒚) = (𝒔𝒆𝒄 𝒚 − 𝒄𝒔𝒄 𝒚)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒕 𝒚) a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 59. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒚 𝒄𝒐𝒕 𝒚 + 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒚 + 𝒄𝒐𝒕 𝒚 a) Si es identidad. 22


b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 60. 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙)(𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙) a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 61. 𝒔𝒊𝒏𝟔 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟔 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝟒 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 62. 𝒄𝒐𝒔 (𝒙 + 𝒚)𝒄𝒐𝒔 (𝒙 − 𝒚) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒚 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 63. 𝒔𝒊𝒏 (𝒂 + 𝒃)𝒔𝒊𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒃 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 𝟏

64. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙


65. (𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 + (𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙)𝟐 = 𝟐 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 66.

(𝟏+𝒄𝒐𝒔 𝒙)(𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙

= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙


67. 𝒔𝒊𝒏𝟒 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 23


68.

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒂−𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒃 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒂 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒃

𝝅

𝝅

= 𝒕𝒂𝒏𝟐 �𝟐 − 𝒂� 𝒕𝒂𝒏𝟐 �𝟐 − 𝒃� − 𝟏


[𝒔𝒊𝒏(𝒂+𝒃)+𝒄𝒐𝒔 (𝒂−𝒃)]

𝒔𝒊𝒏 𝒂+𝒄𝒐𝒔 𝒂

69. [𝒔𝒊𝒏(𝒂−𝒃)−𝒄𝒐𝒔(𝒂+𝒃)] = 𝒔𝒊𝒏 𝒂−𝒄𝒐𝒔 𝒂


𝟏

70. 𝟏+𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒂


71. (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏 𝒂)(𝟏 − 𝒕𝒂𝒏 𝒂) + 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒂 = 𝟐 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 72. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒂(𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂) = 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒂 a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 73. 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 =

𝒄𝒐𝒕 𝒙−𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐

a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. 𝝅

74. 𝒄𝒐𝒔 𝒂 = 𝒔𝒊𝒏 �𝒂 + 𝟐 �

a) Si es identidad. b) No es identidad. c) Ninguna de las anteriores. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre 0o y 360o: 𝟏

75. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟒 24

a) 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟖𝟎𝟎 ; 𝟒𝟒𝟎𝟎


b) 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝟏𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟏𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟓𝟎𝟎 ; 𝟑𝟓𝟎𝟎 ; 𝟓𝟓𝟎𝟎

76. 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙 = 𝟐 a) 𝒙 = 𝟑𝟓𝟎 ; 𝟏𝟐𝟓𝟎 ; 𝟐𝟏𝟓𝟎 ; 𝟑𝟑𝟓𝟎 b) 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝟏𝟑𝟓𝟎 ; 𝟐𝟐𝟓𝟎 ; 𝟑𝟏𝟓𝟎 c) 𝒙 = 𝟓𝟓𝟎 ; 𝟏𝟏𝟓𝟎 ; 𝟐𝟔𝟓𝟎 ; 𝟑𝟓𝟓𝟎

77. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 − 𝟑 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟏𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟏𝟎𝟎 ; 𝟑𝟔𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟏𝟖𝟎𝟎 ; 𝟐𝟑𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 78. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 − 𝟒 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟏𝟔𝟎𝟎 ; 𝟐𝟗𝟎𝟎 ; 𝟑𝟓𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟏𝟒𝟎𝟎 ; 𝟐𝟕𝟎𝟎 ; 𝟑𝟐𝟎𝟎 79. 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + √𝟑 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝟏𝟐𝟓𝟎 ; 𝟐𝟔𝟓𝟎 ; 𝟑𝟓𝟓𝟎 b) 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝟏𝟔𝟓𝟎 ; 𝟐𝟕𝟓𝟎 ; 𝟑𝟒𝟓𝟎 c) 𝒙 = 𝟕𝟓𝟎 ; 𝟏𝟎𝟓𝟎 ; 𝟐𝟓𝟓𝟎 ; 𝟐𝟖𝟓𝟎 80. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝒙 = 𝟏 a) 𝒙 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝟏𝟒𝟓𝟎 ; 𝟐𝟔𝟓𝟎 ; 𝟑𝟑𝟓𝟎 b) 𝒙 = 𝟑𝟓𝟎 ; 𝟏𝟐𝟓𝟎 ; 𝟐𝟑𝟓𝟎 ; 𝟑𝟔𝟓𝟎 c) 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝟏𝟑𝟓𝟎 ; 𝟐𝟐𝟓𝟎 ; 𝟑𝟏𝟓𝟎

81. 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟏𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟏𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟓𝟎 ; 𝟏𝟔𝟎𝟎 ; 𝟐𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟔𝟎𝟎 ; 𝟑𝟐𝟎𝟎 ; 𝟑𝟒𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟖𝟎𝟎 ; 𝟏𝟑𝟎𝟎 ; 𝟏𝟔𝟓𝟎 ; 𝟐𝟑𝟎𝟎 ; 𝟐𝟕𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟓𝟎 ; 𝟑𝟑𝟖𝟎 𝒙

82. 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟐 = 𝟑

a) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝟑𝟒𝟎𝟎 𝒙

83. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐 = 𝟐

25

a) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝟐𝟏𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟐𝟕𝟎𝟎


Hallar, en radianes, todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π que satisfacen a las siguientes ecuaciones: 84. (𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝟏)�√𝟑𝒄𝒐𝒕 𝒙 − 𝟏� = 𝟎 𝝅 𝟑𝝅 𝟒𝝅 𝟕𝝅

a) 𝒙 = 𝟑 ;

;

;

𝟑 𝟑 𝟒 𝝅 𝝅 𝟓𝝅 𝟔𝝅

b) 𝒙 = 𝟒 ; 𝟒 ;

;

𝟑 𝟒 𝝅 𝟔𝝅 𝟒𝝅 𝟗𝝅

c) 𝒙 = 𝟐 ;

𝟑

;

𝟒

;

𝟒

85. (𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟏)(𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝟏) = 𝟎 𝝅 𝟒𝝅 𝟓𝝅

a) 𝒙 = 𝟑 ; b) 𝒙 = c) 𝒙 =

;

𝟐 𝟐 𝟔𝝅 𝟒𝝅 𝟒𝝅

;

;

𝟑 𝟔 𝟐 𝟐𝝅 𝟒𝝅 𝝅 𝟑

;

𝟑

;𝟐

86. (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝟑)(𝒄𝒔𝒄𝒙 + 𝟐) = 𝟎 𝝅 𝟓𝝅 𝟕𝝅 𝟏𝟏𝝅

a) 𝒙 = 𝟔 ; b) 𝒙 =

;

;

𝟔 𝟔 𝟔 𝟔𝝅 𝟖𝝅 𝟒𝝅 𝟏𝟏𝝅

;

;

;

𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝝅 𝟑𝝅 𝟐𝝅 𝟏𝟓𝝅

c) 𝒙 = 𝟔 ;

;

𝟔

𝟔

;

𝟔

87. 𝟐𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝟎 𝝅 𝟑𝝅 𝟕𝝅 𝟏𝟏𝝅

a) 𝒙 = 𝟐 ; b) 𝒙 = 𝟐 ; c) 𝒙 =

;

;

𝟐 𝟔 𝟔 𝝅 𝟒𝝅 𝟓𝝅 𝟏𝟑𝝅

;

;

𝟐 𝟔 𝟔 𝟓𝝅 𝟑𝝅 𝟕𝝅 𝟏𝟏𝝅 𝟐

;

𝟐

;

𝟔

;

𝟔

88. 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 − �𝟏 + √𝟑�𝒕𝒂𝒏 𝒙 + √𝟑 = 𝟎 a) 𝒙 =

𝟑𝝅 𝟒𝝅 𝟓𝝅 𝟓𝝅

;

;

b) 𝒙 = 𝟒 ; 𝟑 ; c) 𝒙 =

;

𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝝅 𝝅 𝟓𝝅 𝟒𝝅

;

𝟒 𝟑 𝟗𝝅 𝝅 𝟑𝝅 𝟒𝝅 𝟒

;𝟑;

𝟒

;

𝟑

89. 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 + �𝟐 − √𝟑�𝒔𝒊𝒏 𝒙 − √𝟑 = 𝟎 𝝅 𝟓𝝅 𝟓𝝅

a) 𝒙 = 𝟐 ; b) 𝒙 = c) 𝒙 =

;

𝟑 𝟑 𝟕𝝅 𝟒𝝅 𝟐𝝅

;

;

𝟐 𝟑 𝟑 𝟑𝝅 𝝅 𝟐𝝅 𝟐

;𝟑;

𝟑

Resolver las siguientes ecuaciones para valores del ángulo comprendidos entre 0o y 360o:

26

90. 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 + 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎


b) 𝒙 = 𝟏𝟑𝟎𝟎 ; 𝟐𝟔𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟏𝟒𝟎𝟎 ; 𝟐𝟗𝟎𝟎 𝟏

91. 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟐

a) 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟑𝟔𝟎𝟎 ; 𝟐𝟓𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 ; 𝟑𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟐𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝟏𝟓𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎 ; 𝟐𝟏𝟎𝟎

92. 𝟐√𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 a) 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝟖𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟏

93. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟒 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎

94. 𝒕𝒂𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕 𝒙 = 𝟐 a) 𝒙 = 𝟒𝟓𝟎 ; 𝟐𝟐𝟓𝟎 b) 𝒙 = 𝟓𝟓𝟎 ; 𝟐𝟐𝟓𝟎 c) 𝒙 = 𝟔𝟓𝟎 ; 𝟐𝟏𝟓𝟎

95. 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟏𝟑𝟓𝟎 ; 𝟑𝟏𝟓𝟎 b) 𝒙 = 𝟏𝟒𝟓𝟎 ; 𝟐𝟐𝟓𝟎 c) 𝒙 = 𝟏𝟔𝟓𝟎 ; 𝟐𝟑𝟓𝟎

96. 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏 a) 𝒙 = 𝟎𝟎 ; 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟐𝟕𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟎𝟎 ; 𝟑𝟔𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟑𝟔𝟎𝟎 97. 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝟑𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟕𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟏𝟑𝟎𝟎 ; 𝟐𝟔𝟎𝟎

27

98. 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟐 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟐𝟔𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟐𝟕𝟎𝟎


c) 𝒙 = 𝟑𝟔𝟎𝟎

99. 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙 − 𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 a) 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟐𝟏𝟎𝟎 ; 𝟑𝟑𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 ; 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟏𝟓𝟎𝟎

100. 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = −𝟏 a) 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟔𝟎𝟎 ; 𝟑𝟔𝟎𝟎 b) 𝒙 = 𝟗𝟎𝟎 ; 𝟏𝟐𝟎𝟎 ; 𝟐𝟒𝟎𝟎 ; 𝟐𝟕𝟎𝟎 c) 𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 ; 𝟏𝟓𝟎𝟎 ; 𝟐𝟓𝟎𝟎 ; 𝟑𝟎𝟎𝟎 PREGUNTAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 101. ¿Si A y B son dos puntos indiferentes de una recta dirigida, se puede demostrar �� = 𝟎? 𝐁𝐀 = 𝟎 𝐲 �� 𝐀𝐀 = 𝐁𝐁 que �� 𝐀𝐁 + �� a) Si b) No c) Ninguna de las anteriores 102. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7): (8) y (-12). a) 11; 10; 4. b) 12; 11; 6 c) 15; 12; 5 103. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es -2, hallar el otro punto (2 casos). a) (8). (-11) b) (7). (-10) c) (7). (-11) 104. Hallar la distancia entre los puntos (6,0) y (0,-8). a) 12. b) 10. c) 13. 105. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3), (9, 8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área. a) 33. b) 30. c) 25.

28


106. Dos de los vértices de un triangulo equilátero son los puntos (-1, 1) y (3, 1). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (dos casos) a) �𝟏, 𝟏 + 𝟐√𝟑�; (𝟏, 𝟏 − 𝟐√𝟑). b) �𝟏, 𝟏 + √𝟑�; (𝟏, 𝟐 − 𝟐√𝟑).

c) �𝟏, 𝟑 + 𝟐√𝟑�; �𝟏, 𝟏 − 𝟐√𝟑�.

107. Demostrar que los puntos (-5, 0), (0, 2) y (0, -2) son vértices de un triangulo isósceles, y calcular su área. a) 12. b) 10. c) 11. 108. Demostrar que los puntos (0, 0), (3, 4), (8, 4) y (5, 0) son los vértices de un rombo, y calcular su área. a) 20. b) 21. c) 23. 109. Hallar el perímetro de un cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1), (0, 3), (3, 4), (4, 1). a) 20, 22. b) 21, 26. c) 20, 26. 110. Demostrar que los puntos (2,-2), (-8,4), (5,3) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área. d) 34. e) 25. f) 32. 111. Los vértices de un triángulo son A(3,8), B(2,-1) y C(6,-1). Si D es el punto medio del lado BC hallar la longitud de la mediana AD. a) √𝟖𝟎 b) √𝟖𝟐 c) √𝟖𝟔 112. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0,0), (1,2),(3,-4). a) 6. b) 5. c) 4.

113. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, hallar su ordenada (dos soluciones). 29


a) 2, -3. b) 2, -6. c) -2, 6. 114. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo. a) (1, -3) b) (-1, -2) c) (1, -2) 115. Los extremos de un segmento son los puntos 𝑷𝟏 (𝟕, 𝟒) 𝒚 𝑷𝟐 (−𝟏, −𝟒). Hallar la ��𝟐 en que el punto P (1, -2) divide al segmento. razón �� 𝑷𝟏 𝑷: 𝑷𝑷 a) 2. b) -3. c) 3. 116. Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. a) (-1, 4), (5, 6), (3, -2) b) (-1, 4), (5, -6), (-3, -2) c) (-1, -4), (5, 3), (3, -2) 117. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. a) 6. b) -5. c) 5. 118. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿Cuál es la abscisa de A y cual es la ordenada de B? a) 4. 1 b) 5. -1 c) 4. -1 119. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1, 4), (1, -1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿Cuál es su abscisa? a) 4. b) 5. c) 6. 120. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135 grados. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial. a) -1/2 30


b) -3/2 c) ½ 121. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 grados. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7) y la recta final por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. a) 8 b) -8 c) -8.3 122. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son (1,-3), (3,3) y (6,-1). a) 13 b) 14 c) 16 123. Una recta pasa por los dos puntos (-2,-3) y (4,1). Sin un punto de abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada? a) 6. b) 5. c) 4. 124. Una recta 𝒍𝟏 pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6), y otra recta 𝒍𝟐 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que 𝒍𝟏 es perpendicular a 𝒍𝟐 . a) 1. b) -1. c) -2. 125. Demostrar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triangulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos. a) 33042’, 54019’ b) 33041’, 56019’ c) 31041’, 56018’ 126. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los dos puntos (2, -1), (7, 3). a) 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 b) 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 c) 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

127. Hallar la ecuación a la ecuación a la cual deba satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a la recta que pasa por el punto (3, -1) y que tiene una pendiente igual a 4.

31


a) 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 c) 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎

En cada uno de los ejercicios, hallar, analíticamente, los puntos de intersección, cuando los haya, para las curvas dadas: 128.

𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎; 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟗 = 𝟎 a) (2, 4) b) (2, 3) c) (3, 4)

129.

𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟕 = 𝟎; 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟖 = 𝟎 a) (-1,-2) b) (2,-2) c) (1,-2)

130.

𝒚𝟐 − 𝒚 = 𝟎; 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟔 = 𝟎 a) (5, 2), (9/4 – 3/2) b) (4, 2), (9/3 – 3/4) c) (4, 2), (9/4 – 3/2)

131.

𝒙𝟐 − 𝒚 = 𝟎; 𝒚𝟐 − 𝒙 = 𝟎 a) (0, 1), (1, -1) b) (0, 0), (1, 2) c) (0, 0), (1, 1)

132.

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒; 𝒙 + 𝒚 = 𝟐 a) (0, -2), (-2, 1) b) (0, 2), (2, 0) c) (0, 3), (2, -1)

133. a) b) c) 134. a) b) c)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟖; 𝒚𝟐 = 𝟐𝒙 (2, 1), (3, -2) (2, 2), (2, -2) (-3, 2), (-2, -2) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟖 = 𝟎; 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟖 = 𝟎 (4, 4), (3, 1) (4, -4), (2, -1) (5, 4), (-6, 1)

Obtener la ecuación del lugar geométrico.

32


135. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje X. hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 c) 𝒙 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 136. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al origen es siempre igual a 2. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟔 b) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟒 c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒

137. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se conserva siempre equidistante de los dos puntos (1,-2) y (5,4). a) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔 = 𝟎 b) 𝒙 + 𝒚 − 𝟗 = 𝟎 c) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟗 = 𝟎 138. Una recta contiene los dos puntos (-1,5) y (1,3), deducir la ecuación de la recta. a) 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 c) 𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎

139. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 4) es siempre igual a su distancia del eje Y aumentada en 3. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟎 c) 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟎 140. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3,0) y B(-3, 0) es siempre igual a 8. a) 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 b) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 c) 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟐

33

141. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2, 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟓𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎


c) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎

142. Una recta 𝒍, que pasa por el punto A (-5, 1), es perpendicular a otra cuya pendiente es 1/2. expresar, analíticamente el hecho de que un punto cualquiera P(x, y) está sobre la recta 𝒍, y deducir de aquí su ecuación. a) 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟗 = 𝟎 b) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟗 = 𝟎 c) 𝒙 + 𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎 143. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual que su distancia al punto (0,4). Hallar la ecuación del lugar geométrico. a) 𝒙𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎 b) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟑 = 𝟎 c) 𝟐𝒙𝟐 − 𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟎

144. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos (3,5) y (-4,2) es siempre igual a 30. a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 c) 𝟔𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟔 = 𝟎

145. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos (0,3) y (0,-3) es siempre igual a 8. a) 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 b) 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 c) 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟕𝒚𝟐 = 𝟏𝟏𝟐 146. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos (3,0) y (-3,0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. a) 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒚𝟐 = 𝟐𝟎 b) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 = 𝟐𝟐 c) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟐𝟎

147. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos (0,3) y (0,-3) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. a) 𝟓𝒚𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 b) 𝟒𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟐𝟏 c) 𝟑𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟐𝟎

34

148. Dos de los vértices de un triangulo son los puntos fijos A(-1, 3) y B(5, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC. a) 𝒙𝒚 + 𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎


b) 𝒙𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎 c) 𝒙𝒚 + 𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟏𝟕 = 𝟎

149. Dos de los vértices de un triangulo son los puntos fijos A (1, 0) y B(5, 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la diferencia entre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a la mitad de la longitud del lado AB. a) 𝟐𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎 b) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 c) 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎

150. Un círculo de radio 4 tiene su centro en el punto C (1, -1). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos sus radios. a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 = 𝟎 c) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟐 = 𝟎 151. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (3, 1), es siempre igual a la mitad de su distancia al eje Y. hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟒𝟐 = 𝟎 b) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 − 𝒚 + 𝟒𝟏 = 𝟎 c) 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟒𝟎 = 𝟎 152. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (-1, 2) es siempre el doble de su distancia al eje X. hallar la ecuación de su lugar geométrico. a) 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎 c) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟓 = 𝟎

153. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2. a) 2x-y+3=0 b) 2x+y+3=0 c) 2x-y-3=0 154. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 450 a) x+y+3=0 b) x+y-3=0 c) x-y+3=0 155. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intercepción con el eje Y es -2. 35


a) 2x+y-2=0 b) 3x+y+2=0 c) 3x+y-2=0 156. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2) y B (-5, 7). a) 5x+9y+38=0 b) 5x+9y-38=0 c) 7x+9y-38=0 157. Una recta pasa por los dos puntos A (-3, -1) y B (2, -6). Hallar su ecuación en forma simétrica. 𝒙 𝒚 a) −𝟒 + −𝟐 = 𝟏 b) c)

𝒙

𝒚

+𝟒=𝟏

𝟒 𝒙

−𝟒

𝒚

+ −𝟒 = 𝟏

158. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A (-1, 4), hallar su ecuación en forma simétrica. 𝒙 𝒚 a) 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 b) c)

𝒙

𝟏 𝒙 𝟐

𝒚

+𝟏=𝟏 𝒚

+𝟐=𝟏

159. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (-3, 2), B (1, 6). a) x+y+3=0 b) x-y+3=0 c) x+y-3=0 160. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. a) 6x+5y-82=0 b) 6x-5y-82=0 c) 2x+5y-82=0 161. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2, 4), y determinar sobre el eje X el segmento -9. a) 4x+7y+36=0 b) 4x-7y+36=0 c) 4x-7y+36=0 162. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 a) 3x+5y+8=0 b) x-5y+8=0 36


c) 3x-5y+8=0 163. El ejercicio se refiere al triangulo cuyos vértices son A (-2, 1), B (4, 7) y C (6, -3). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC. a) 5x+y+9=0 b) 5x+2y+9=0 c) 5x-y+9=0 164. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟖 = 𝟎 𝒚 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟗 = 𝟎. a) 4x+y-10=0 b) 2x-y-10=0 c) 4x+y-12=0 165. Hallar el área del triangulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎 a) 10 b) 12 c) 20 166. El punto P de ordenada 10 esta sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A (7, -2). Calcular la abscisa de P. a) 11 b) -11 c) 10 167. Deducir la ecuación de la recta cuya pendiente es m y determina sobre el eje X el segmento a. a) y=mx-am b) y=mx+am c) y=x-am 168. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a -3. a) x+y+2=0 b) 3x+y+2=0 c) 3x+y-2=0 169. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, si los segmentos que determina sobre los ejes X y Y, es decir, sus intercepciones son 3 y -5 respectivamente. a) 5x-3y-15=0 b) 5x+3y+15=0 37


c) 5x+3y-15=0 170. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta 3x-4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3). a) 4x+3y-13=0 b) 2x+3y+13=0 c) 4x+3y+13=0 171. Hallar el valor de k para que la recta kx+(k-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0. a) 4 b) -4 c) 2 172. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x-9y+2=0 a) b) c)

𝟕 𝟗 𝟕

𝟐

𝟐

;−𝟕,−𝟗 𝟐 𝟐

;− ,

𝟗 𝟕 𝟗 𝟕 𝟐 𝟐

; ,

𝟗 𝟕 𝟗

173. En las ecuaciones ax+ (2-b)y-23=0 y (a-1)x+by+15=0 hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto (2,-3). a) a=4,b=7 b) a=2,b=7 c) a=4,b=-7 174. Determinar los valores de k para que la recta 4x+5y+k=0 forme con los ejes 𝟏

coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 𝟐 𝟐 unidades cuadradas. a) 10,-10 b) 5,-5 c) 15,-10

175. Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo ω=60o y p=6. a) b) c)

𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐

𝒙+ 𝒙+ 𝒙+

𝟑√𝟑

𝒚−𝟖=𝟎

𝟐 √𝟑 𝒚 𝟐 √𝟑 𝒚 𝟐

−𝟓=𝟎 −𝟔=𝟎

176. Una recta es tangente a un círculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangencia es (2,-√𝟓), hállese la ecuación de la tangente en la forma normal. a) 38

𝟒 𝟑

𝒙+

−√𝟓 𝟑

𝒚−𝟒=𝟎


b) c)

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑

𝒙+ 𝒙+

√𝟓

𝒚−𝟐=𝟎

𝟑 −√𝟓 𝟑

𝒚−𝟑=𝟎

177. La ecuación de una recta en la forma normal es 𝒙𝒄𝒐𝒔𝝎 + 𝒚𝒔𝒆𝒏𝝎 − 𝟓 = 𝟎 ,hallar el valor de 𝝎 para que la recta pase por el punto (-4,3). a) 14308’ b) 13408’ c) 14509’ 178. Reducir la ecuación 12x-5y-52=0 a la forma normal, y hallar los valores de p y 𝝎. a) b) c)

𝟏𝟐

−𝟔

𝒙 − 𝟏𝟑 𝒚 − 𝟑 = 𝟎; 𝒑 = 𝟒, 𝝎 = 𝟑𝟐𝟕𝟎 𝟐𝟑′

𝟏𝟑 𝟏𝟏

−𝟓

𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 − 𝟒 = 𝟎; 𝒑 = 𝟒, 𝝎 = 𝟑𝟏𝟕𝟎 𝟐𝟑′

𝟏𝟑 𝟏𝟐

−𝟓

𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 − 𝟒 = 𝟎; 𝒑 = 𝟒, 𝝎 = 𝟑𝟑𝟕𝟎 𝟐𝟑′ 𝟏𝟑

179. Hallar a distancia de la recta 4x-5y+10 al punto (2,-3). a) b) c)

𝟑𝟓

√𝟒𝟏

𝟒𝟏 𝟑𝟑

√𝟒𝟎

𝟒𝟏 𝟑𝟑

√𝟒𝟏

𝟒𝟏

180. Hallar la distancia dirigida de la recta x+2y+7=0 al punto (1,4). a)

𝟏𝟔 𝟓

b) –

√𝟓

𝟏𝟔

c) −

√𝟓

𝟓 𝟏𝟑 𝟓

√𝟓

181. Los vértices de un triángulo son A (-4,1), B (-3,3) y C (3.-3). Hallar la longitud de la altura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo. a) b) c)

–𝟑 𝟐 𝟑

√𝟐;9

√𝟐;12

𝟐 −𝟑 𝟔

√𝟔;9

182. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0. a) b) c)

𝟕

𝟏𝟎 𝟕

−𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟏𝟎

183. Hallar la distancia entre las rectas paralelas x+2y-10=0 y x+2y+6=0. 39


a) −

𝟏𝟔

c)

√𝟓

b)

𝟔

𝟓

√𝟓

𝟓 𝟏𝟔 𝟓

√𝟓

184. La distancia dirigida de la recta 2x+5y-10=0 al punto P es -3. Si la abscisa de P es 2 hállese su ordenada. a) b) c)

𝟔−𝟑√𝟐𝟗 𝟓 𝟔+𝟑√𝟐𝟗

𝟓 −𝟔−𝟑√𝟐𝟗 𝟓

185. En la ecuación kx+3y+5=0, hallar el valor del coeficiente k, de manera que la distancia dirigida que la recta represente al punto (2,-2) sea igual a -1. a) b) c)

𝟐−𝟐√𝟕 𝟑 𝟐+𝟐√𝟕

𝟑 −𝟐+𝟐√𝟕 𝟑

186. La distancia de la recta 4x-3y+1=0 al punto P es 4, si la ordenada de P es 3, hállese su abscisa (dos soluciones). a) 3,7. b) -3,7. c) 3,-7 187. Determinar el valor del parámetro k de manera que la recta de la familia kx-y+8=0 que le corresponde, pase por el punto (-2,4). Hallar la ecuación de la recta. a) 2x+y-8=0 b) 4x-y+8=0 c) 2x-y+8=0 188. Determinar el valor del parámetro c para que la recta de la familia cx+3y-9=0 que le corresponda, determine sobre el eje X un segmento igual a -4. Hallar la ecuación de la recta. a) 3x-4y+12=0 b) 3x-4y-12=0 c) 3x+4y+12=0 189. Determinar el valor del parámetro k de manera que la recta de la familia 3x-ky7=0 que le corresponda sea perpendicular a la recta 7x+4y-11=0. Escribir la ecuación de la recta. a) 12x-21y-28=0 40


b) 12x+21y+28=0 c) 12x-21y+28=0 190. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (-3,-5) y radio 7. a) (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 + 𝟓)𝟐 = 𝟒𝟗 b) (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 + 𝟓)𝟐 = 𝟕 c) (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟒𝟗 191. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos (2,3) y 4,5). Hallar la ecuación de la curva. a) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎 b) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 c) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎

(-

192. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7,-6) y que pasa por el punto (2,2). a) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟖𝟗 b) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟖𝟗 c) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟖𝟗

193. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2,-4) y que es tangente al eje Y. a) (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟔 b) (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟒 c) (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟒 194. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0,-2) y es tangente a la recta 5x12y+2=0. Hallar su ecuación. a) 𝒙𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 b) (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟒 c) (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 195. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4,-1) y que es tangente a la recta 3x+2y-12=0. a) (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟒𝟗 b) (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟓𝟐 c) (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟓𝟐

196. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x-2y-24=0, 2x+7y+9=0. a) (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 b) (𝒙 + 𝟔)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 c) (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 + 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 41


197. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x-9y-10=0 y 2x-5y+2=0. a) (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟔 b) (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟖 c) (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟖

198. Una cuerda de la circunferencia 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 está sobre la recta cuya ecuación es x-7y+25=0. Hállese la longitud de la cuerda. a) 7.07 b) 8.05 c) 7.70 El siguiente ejercicio se refiere al triángulo cuyos vértices son A (-1,0), B (2,9/4) y C (5,0). 199. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es A y es tangente al lado BC. 𝟑𝟐

a) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 𝟑𝟐

b) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 c) (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝒚𝟐 =

𝟑𝟐𝟒 𝟐𝟓

200. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los dos puntos (1,3) y (4,6). a) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟓 b) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 c) (𝒙 + 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟓

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