Introducao A Geometria Analitica 525e4p

Índice Introducao.................................................................................................................. 1 Introdução a geometria analítica ............................................................................... 3 OPERAÇÕES COM VETORES E REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICA ........... 3 Vetores unitários ....................................................................................................... 6 Equação Reduzida da Reta ........................................................................................ 8 Equação Geral da recta ............................................................................................ 10 Equação da recta que a por dois pontos ........................................................... 11 Equação da recta perpendicular............................................................................... 13 Equacao de RETAS PARALELAS......................................................................... 15 Conclusão ................................................................................................................ 21 Bibliografia.............................................................................................................. 22

Introdução A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, uma recta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos . Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

Introdução a geometria analítica A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, baseia-se nos estudos da Geometria por meio da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Breve histórico Os estudos relacionados com a Geometria Analítica datam do século XVII. Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por meio de métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. Uma característica importante da Geometria Analítica apresenta-se na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática a a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra. Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial e são objetos que possuem as características relacionadas com tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico, entre outros conteúdos. Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.

OPERAÇ ÕES COM VETORES E REPRESENTAÇÕES GEOMÉTRICA As operações com vetores envolvem multiplicação por número real, soma e produto interno. Todas elas partem da relação dos vetores com a Geometria. Diferentemente das figuras geométricas formadas por ele, o ponto não possui definição. Isso significa que, em Geometria, ponto é um objeto não definido usado na definição de outros objetos. As rectas, por exemplo, são conjuntos de pontos. Apesar de parecerem bem definidas, as retas também não possuem definição, pois, qualquer conjunto contendo dois ou mais pontos é considerado reta. Por outro lado, na Geometria Analítica, o ponto é tido como uma localização. Qualquer local pode ser representado por um ponto e, além disso, o “endereço” desse ponto é dado por meio de coordenadas. Entretanto, na Geometria Analítica, os pontos são capazes apenas de indicar localizações. Outros objetos são necessários para indicar trajetória, direção, sentido e intensidade. No caso desses últimos três, o objeto escolhido para representá-los no plano cartesiano é o vetor. Vetores, portanto, são objetos que indicam direção, sentido e intensidade. São usualmente representados por setas, que partem da origem, e utilizam-se as coordenadas de seu último ponto.

Na imagem acima, os vetores são representados dessa forma, isto é, setas cujas coordenadas correspondem ao seu ponto final. O vetor u possui coordenadas (2,2) e o vetor v possui coordenadas (4,2). Além disso, a seta é utilizada para indicar direção e sentido, e o seu tamanho indica a intensidade. → Multiplicação de vetor por um número Dado o vetor v = (a,b), o produto do número real k por v é dado pela expressão: k·v = k·(a,b) = (k·a, k·b) Em outras palavras, para multiplicar um número real por um vetor, deve-se multiplicar o número real por cada uma de suas coordenadas. Geometricamente, a multiplicação de um vetor por um número real aumenta o tamanho do vetor linearmente:

Note que, no exemplo acima, o vetor u possui coordenadas (2,2), e o vetor u·k possui coordenadas (4,4). Resolvendo a equação (4,4) = k(2,2), pode-se concluir que k = 2. → Adição de vetores Dados dois vetores u = (a,b) e v = (c,d), a soma entre eles será obtida por meio da expressão: u + v = (a + c, b + d)

Em outras palavras, basta somar as coordenadas correspondentes de cada vetor. Essa operação é expansível para soma de 3 ou mais vetores com 3 ou mais dimensões. Geometricamente, partindo do ponto final do vetor u, desenha-se um vetor v' paralelo ao vetor v. Partindo do vetor v, desenha-se um vetor u' paralelo ao vetor u. Esses quatro vetores formam um paralelogramo. O vetor u + v é a seguinte diagonal desse paralelogramo:

Para subtrair vetores, considere subtração como soma entre um vetor e o oposto de outro. Por exemplo, para subtrair o vetor v do vetor u, escreve-se: u – v = u + (-v). O vetor -v é o vetor v, porém, com os sinais das coordenadas invertidos. Observando atentamente, as operações “multiplicação de um vetor por um número” e “adição de vetores” fazem o uso das operações de multiplicação e adição nos números reais, mas em cada componente do vetor. Portanto, para os vetores, são válidas todas as propriedades de soma e multiplicação de números reais, a saber: Dados os vetores u, v e w e os números reais k e l, i) (u + v) + w = u + (v + w) ii) u + v = v + u iii) existe um vetor 0 = (0,0) tal que v + 0 = v iv) Existe um vetor -v tal que v + (-v) = 0 v) k(u + v) = ku + kv vi) (k + l)v = kv + lv vii) kl(v) = k(lv) viii) 1v = v → Norma de um vetor A norma de um vetor é o equivalente ao módulo de um número real, ou seja, a distância entre um vetor e o ponto (0,0) ou, dependendo do referencial, o comprimento do vetor. A norma do vetor v = (a,b) é denotada por ||v|| e pode ser calculada por meio da expressão: ||v|| = √(a2 + b2) → Produto interno

Produto interno é comparável ao produto entre vetores. Note que o produto já citado anteriormente é o produto entre um vetor e um número real. Agora, o “produto” em questão é entre dois vetores. Contudo, não se deve dizer “produto entre dois vetores”, mas, sim, “produto interno entre dois vetores”. O produto interno entre os vetores v = (a,b) e u = (c,d) é denotado por e pode ser calculado da seguinte maneira: = a·c + b·d Também é costume utilizar a seguinte notação: = <(a,b),(c,d)> Observe que, utilizando a norma do vetor v = (a,b), podemos relacionar norma e produto interno. ||v|| = √(a2 + b2) = √(a·a + b·b) = √( )

Vetores unitários Sabemos que existem na Física algumas grandezas que necessitam da identificação de sua intensidade (um número seguido de uma unidade de medida) e de sua orientação espacial (direção e sentido), para ficarem bem caraterizadas. Tais grandezas, em Física, são denominadas grandezas vetoriais. Associando ao eixo x um vetor , de módulo unitário, que apresente a mesma orientação do eixo, a componente poderá, assim, ser escrita na forma: Em que Vx é o número real (positivo, negativo ou nulo) denominado projeção do vetor no eixo x. Se a componente tiver o mesmo sentido do eixo x, a projeção de Vx será um número positivo; se tiver sentido contrário, Vx será negativo. Se for perpendicular ao eixo x, sua projeção Vx será nula. De forma análoga, associando ao eixo y um vetor , de módulo unitário, com a mesma orientação do eixo, a componente

poderá, assim, ser escrita na forma:

Em que Vy é o número real (positivo, negativo ou nulo) denominado projeção do vetor no eixo y. Se a componente tiver a mesma orientação do eixo y, a projeção Vy será um número positivo; se tiver sentido contrário, Vy será negativo. Se for perpendicular ao eixo y, sua projeção Vy será nula. Vejamos abaixo o seguinte exemplo: vamos considerar os vetores representados a seguir, sabendo que cada quadrículo mede exatamente 1 cm de lado. Determine o módulo do vetor soma ou resultante , dado por .

Resolução Da figura, obtemos os seguintes dados: Assim, a resultante

é dada por:

Como os módulos de e

são iguais a 1, temos:

Equação Reduzida da Reta Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações. Vamos considerar a equação da reta que a por um ponto Q (x1, y1), com coeficiente angular a, observe: y – y1 = a * (x – x1) Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que: y – b = a * (x – 0) y–b=a*x–a*0 y – b = ax y = ax + b Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação: y = ax +b

1ª situação Utilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos: y – y1 = a * (x – x1) y – 7 = 4 * (x – 2) y – 7 = 4x – 8 y = 4x – 8 + 7 y = 4x – 1

2ª situação

A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos: y = ax + b 7=a*2+b 2a + b = 7 Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos: –5 = a * (–1) + b –5 = –a + b –a + b = –5

Resolvendo o sistema,

, determinamos o coeficiente angular e o linear.

Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos: y = ax + b y = 4x – 1 3ª situação Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe: P1(2, 7) e P2(–1, –5)

Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da diagonal secundária.

[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0 [7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0 7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0 12x – 3y – 3 = 0 –3y = –12x + 3 (dividir todos por – 3) y = 4x – 1

Equação geral da recta Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá ar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:

Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e (x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º coluna da matriz é completada com o algarismo 1. Vamos aplicar esses conceitos na obtenção da equação geral da reta que a pelos pontos A(1, 2) e B(3,8), veja: Ponto A temos que: x1 = 1 e y1 = 2 Ponto B temos que: x2 = 3 e y2 = 8 Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y)

Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus significa: 1º o: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz. 2º o: somar os produtos dos termos da diagonal principal. 3º o: somar os produtos dos termos da diagonal secundária. 4º o: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária. Observe todos os os na resolução da matriz dos pontos da reta:

[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 * 1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0 [ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 0 8 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 0 2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0 –6x + 2y + 2 = 0 Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta: –6x + 2y + 2 = 0. Exemplo 2 Vamos determinar a equação geral da reta que a pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).

[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0 [– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0 – 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0 –3x – y – 1 = 0 A equação geral da reta que a pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela expressão: –3x – y – 1 = 0.

Equação da recta que a por dois pontos Toda reta não-vertical (reta que possui inclinação diferente de 90º) possui uma equação que representa todos os seus pontos. Essa equação é demonstrada através de um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular (m). Considere uma reta s não vertical que a pelo ponto B (x0, y0) de coeficiente igual a

m.

O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer a reta s se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual: m = ∆y = y – y0 ∆x x – x0 Podemos representar essa igualdade da seguinte forma: m = y – y0 x – x0 y – y0 = m (x – x0) Essa equação formada é chamada de equação fundamental da reta. Dessa forma podemos concluir que a equação fundamental da reta é obtida por um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular, ficando sempre em função de outro ponto. Exemplo 1: Determine a equação fundamental da reta que a pelo P(1/4,-3,2) de coeficiente angular m = -1/2. Os dados oferecidos no enunciado são: P(x0, y0) = (1/4,-3,2) m = -1/2 Substituindo-os na equação fundamental da reta temos: y – y0 = m (x – x0) y – (-3/2) = -1/2 (x – 1/4) y + 3/2 = -1/2 (x – 1/4) 2(y + 3/2) = -x + 1/4 2y + 3 = -x + 1/4 8y + 12 = -4x + 1 4 4

4x + 8y + 11 = 0 Exemplo 2: Represente por meio de uma equação a reta que a por esses dois pontos A(1,8) e B(4,2). Foi dito na explicação acima que a equação fundamental de uma reta é determinada por um ponto pertencente à reta e o seu coeficiente angular. O ponto foi dado no enunciado, falta calcular o seu coeficiente angular. m = yB - yA xB – xA m=2–8=-6=-2 4–1 3 Escolha um dos dois pontos e monte a equação fundamental da reta que a pelos pontos A e B. Ponto A (1,8) e m = -2 y – y0 = m (x – x0) y – 8 = - 2 (x – 1) y – 8 = - 2x + 2 2x + y – 10 = 0.

Equação da recta perpendicular Na geometria analítica temos os conceitos geométricos relacionados com a álgebra. Bem, sabemos, pela geometria, que duas retas são ditas perpendiculares se e somente se elas formarem entre si um ângulo reto (90°). Contudo, na geometria analítica podemos determinar essa perpendicularidade relacionando o coeficiente angular das duas retas. Na geometria analítica é possível obter esse coeficiente angular analisando apenas a equação da reta.

Como dito anteriormente, podemos obter os coeficientes angulares analisando a equação da reta, portanto, vejamos:

Diante disso, podemos determinar a equação da reta tangente a uma reta, desde que conheçamos a equação que determina essa reta. Vejamos um exemplo. Exemplo 1) Determine a equação geral da reta s que a pelo ponto (3,2) e é perpendicular à reta r: y=x+2 Resolução: Temos que o coeficiente angular da reta r é igual a 1. Sabemos que a reta s é perpendicular à reta r, portanto, temos que: Pela equação geral da reta temos:

Exemplo 2) Considerando o gráfico abaixo, determine a reta tangente em relação à reta r que a pelo ponto P (5,-2).

Primeiramente devemos obter a equação da reta r.

Para determinar a equação da reta s (reta perpendicular à reta r), é necessário obter apenas o coeficiente angular desta reta, pois a coordenada do ponto já é conhecida.

Equação de retas paralelas No estudo analítico da reta não podemos deixar de falar das posições relativas entre retas. Dadas duas ou mais retas do plano, elas podem ser paralelas, concorrentes, coincidentes ou concorrentes perpendiculares. Abordaremos aqui o paralelismo de retas, assunto que sempre intrigou matemáticos de todas as épocas. Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum. Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano.

As retas r e s são paralelas se, e somente se, possuírem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais. Utilizando a linguagem matemática: Uma maneira mais simples de verificar se duas retas são paralelas é comparar seus coeficientes angulares: se forem iguais as retas são paralelas. Exemplo 1. Verifique se as retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 10x – 15y + 45 = 0 são paralelas. Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas. Reta r: 2x + 3y – 7 = 0 Para encontrar o coeficiente angular precisamos isolar y na equação geral da reta.

Faremos o mesmo processo para a reta s. Reta s: – 10x – 15y + 45 = 0

Exemplo 2. Determine a equação geral da reta t que a pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta r de equação 8x – 2y + 9 = 0. Solução: para determinar a equação de uma reta basta conhecermos um ponto dessa reta e seu coeficiente angular. Já conhecemos o ponto P(1, 2) da reta procurada, agora resta encontrar o seu coeficiente angular. Como a reta t é paralela à reta s, elas possuem o mesmo coeficiente angular. Assim, utilizando a equação da reta r iremos determinar o

coeficiente angular. Segue que:

Podemos afirmar que mt=4. Conhecendo um ponto da reta e seu coeficiente angular, utilizamos a fórmula abaixo para determinar sua equação.

Equação de ponto de concavidade de uma recta Toda função, independente do seu grau, possui um gráfico e cada um é representado de uma forma diferente. O gráfico de uma função de 1º grau é uma reta que poderá ser crescente ou decrescente. O gráfico de uma função de 2º grau será uma parábola de concavidade para baixo ou para cima. Toda função do 2º grau é formada a partir da forma geral f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. No primeiro momento, para construir um gráfico de uma função de 2º grau qualquer, basta atribuir valores para x e encontrar valores correspondentes para a função. Portanto, formaremos pares ordenados, com eles iremos construir o gráfico, veja alguns exemplos: Exemplo 1: Dada a função f(x) = x2 – 1. Essa função pode ser escrita da seguinte forma: y = x2 – 1. Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na função encontraremos o valor de y, formando pares ordenados.

y = (-3)2 – 1 y=9–1 y=8 (-3,8) y = (-2)2 – 1 y=4–1 y=3 (-2,3) y = (-1)2 – 1 y=1–1 y=0 (-1,0) y = 02 – 1 y = -1 (0,-1) y = 12 – 1 y=1–1 y=0 (1,0) y = 22 – 1 y=4–1 y=3 (2,3) y = 32 – 1 y=9–1 y=8 (3,8) Distribuindo os pares ordenados no plano cartesiano montaremos o gráfico.

O gráfico desse exemplo tem a concavidade voltada para cima, podemos relacionar a concavidade com o valor do coeficiente a, quando a > 0 a concavidade sempre será voltada para cima. Exemplo 2: Dada a função f(x) = -x2. Atribuiremos qualquer valor para x e substituindo na função encontraremos o valor de y, formando pares ordenados. y = -(-3)2 y=-9 (-3,-9) y = -(-2)2 y=-4 (-2,-4) y = -(-1)2 y = -1 (-1,-1) y = -(0)2 y=0 (0,0) y = -(1)2 y = -1 (1,-1) y = -(2)2 y = -4 (2,-4) y = -(3)2 y = -9 (3,-9) Distribuindo os pares ordenados no plano cartesiano montaremos o gráfico.

O gráfico do exemplo 2 tem a concavidade voltada para baixo, como já foi dito na conclusão do exemplo 1 que a concavidade está relacionada com o valor do coeficiente a, quando a < 0 a concavidade sempre será voltada para baixo.

Conclusão A geometria analítica é a base de grandes campos de estudos matemáticos em dias atuais, mas também é muito utilizadas em atividades não explicitamente matemáticas. Seja na geometria algébrica, física, geometria diferencial, engenharia e outras, ou ainda na vida prática como nos mapas, satélites e no moderno Sistema de Posicionamento Global, GPS (sigla em inglês) ela está presente. Não importa quem foi o criador da geometria analítica, embora todos os seus contribuintes tenham muito mérito e mereçam a nossa iração, gratidão e respeito, o importante é que essa descoberta revolucionou as nossas vidas, tornando-as mais práticas, convenientes e esclarecidas. Saber se deslocar num determinar espaço, mesmo que ele ainda lhe seja desconhecido, nos permite conhecer novos mundos, novos campos de conhecimentos, de conquistas, de descobertas. . . .A geometria analítica guia os nossos os a cada instante das nossas vidas. Em momentos ela é útil aos profissionais da matemática, da física, da engenharia, etc. Em outros ela favorece aqueles que utilizam a matemática ou outras ciências inconscientemente, os leigos dos aspectos técnicos, porém essenciais ao funcionamento do mundo. “A cada ponto, uma localização; a cada localização, um mundo que se revela”.

Bibliografia Www.infoescola.com.br/equacaodarecta Www.alunosoniline.com.br/introducaoageometriaanalitica Www.mundoeducacao.com.br/espacovectorial Www.wikipedeia.com.org/geometriaanalitica