Ejercicios ,k,m,k 2r1u3s

Morales Hernández Ricardo

No.Control: 12030587

30  2 3. Si una característica de calidad debe estar entre , y se sabe que su   29.3   0.5 media y desviación estándar están dadas por y , calcule e interprete con detalles los siguientes índices: , k, K. 

ES  EI 6



32  28 4   1.33 6(0.5) 3

1   1.33 El proceso es parcialmente adecuado y requiere un control estricto. Si el proceso está centrado el 0.96% está fuera de especificación, que corresponde a 96231 partes defectuosas por millón    EI ES   , 3   3

k  Mínimo 

 29.3  28 32  29.3 ,  0.86 3(0.5)   3(0.5)

k  Mínimo 

Esto indica que el proceso no es realmente capaz y por lo menos una de las especificaciones no cumple con la calidad. De igual forma la media del proceso está alejada del centro de especificación, aunque de corregirse el problema de centrado podrá llegar al nivel del . K

K

N 1 ( ES  EI ) 2

*(100)

29.3  30 *(100)  0.35*100  35% 1 (32  28) 2

La media del proceso es menor que el valor nominal, está desviada a la izquierda del valor nominal por lo que el centrado es inadecuado y contribuye a la baja capacidad en la especificación inferior. 4. Para el ejercicio 15 del capítulo 8, sobre el grosor de las láminas de asbesto se tiene que las especificaciones son: EI = 4.2 mm y ES = 5.8 mm. Además de las mediciones hechas en los últimos tres meses, se aprecia un proceso que   4.75   0.45 tiene una estabilidad aceptable, con y . a) Calcule el índice K e interprételo.

Morales Hernández Ricardo

K

K

N 1 ( ES  EI ) 2

4.7  5 1 (5.8  4.2) 2

No.Control: 12030587

*(100)

*(100)  0.3125*(100)  31.25%

El centrado es inadecuado en el proceso (K≥20%), a causa de que la media del proceso es menor al valor nominal. b) Obtenga los índices y k e interprételos. 

ES  EI 6



5.8  4.2  0.59 6(0.45)

La variación real es mayor a la variación tolerada por lo que el proceso es inadecuado y requiere modificaciones serias. Alrededor de 7% estaría fuera de especificación con 71860.531 partes por cada millón.    EI ES   , 3   3

k  Mínimo 

 4.75  4.2 5.8  4.75 ,   0.407, 0.77  3(0.45)   3(0.45)

k  Mínimo 

=0.407

Alrededor de 11.5 % se encuentra fuera de especificación además de que el proceso no se encuentra centrado. El índice k siempre será menor o igual que el índice . Cuando sean muy próximos, eso indicará que la media del proceso está muy cerca del punto medio de las especificaciones, por lo que la capacidad potencial y real son similares. c) Con base en la tabla 9.2 estime el porcentaje de láminas que no cumplen con especificaciones del lado inferior, del superior y de ambos lados.

  EI 4.75  4.2   0.407 3 3(0.45) ES   5.8  4.75 s    0.77 3 3(0.45) i 

i: 11.05 % de las láminas se encuentran defectuosas s:1.7864 % de las láminas se encuentran defectuosas d) En resumen, ¿el proceso cumple con especificaciones? Argumente su respuesta.

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No cumple con las especificaciones porque tiene una gran cantidad de láminas defectuosas. 5. Los siguientes datos representan las mediciones de viscosidad de los últimos tres meses de un producto lácteo. El objetivo es tener una viscosidad de 80 ±10 s.

84 81 82 86 83 87 78 87 80 79

81 78 80 85 82 84 83 81 82 81

77 83 83 79 84 83 83 78 86 82

80 84 84 86 86 82 80 81 82 84

80 85 82 83 81 81 86 82 80 85

82 84 78 82 82 84 83 84 83 87

78 82 83 84 81 84 82 83 82 88

83 84 81 82 82 81 86 79 76 90

a) Construya una gráfica de capacidad de este proceso (histograma con tolerancias) y genere una primera opinión sobre la capacidad. No intervalo 1 2 3 4 5 6 7 8

Límite inferior 76 77.85 79.7 81.55 83.4 85.25 87.1 88.95

Límite superior 77.75 79.6 81.45 83.3 85.15 87 88.85 90.7

Frecuenci a 2 8 16 28 15 9 1 1

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Frecuencia 30 25 Frecuencia

20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

En el histograma se identifica una distribución normal, a su vez los datos se concentran entre los intervalos 3,4 y 5. El proceso está centrado respecto al valor nominal 80 y su variación real es menor a la variación tolerada porque ningún dato sale fuera de los límites especificados, además de concluir que el proceso es potencialmente capaz y realmente capaz. b) Calcule la media y la desviación estándar y, considerando estos parámetros como poblacionales, estime los índices , k , m y K, e interprételos con detalle.



6596  82.45 80

  2.6 

90  70  1.28 6(2.6)

Según el resultado del , podemos analizar que el proceso está en Clase o categoría de proceso en 2, lo que quiere decir que es parcialmente adecuado y necesita un control estricto. También que alrededor 0.0096% no cumple con las especificaciones o 96.231 partes por cada millón.  82.45  70 90  82.45 ,   1.59, 0.96  3(2.6)   3(2.6)

k  Mínimo 

=0.96 0.3467 % de las partes son defectuosas porque al menos un límite no cumple con la calidad.

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K

K

N 1 ( ES  EI ) 2

No.Control: 12030587

*(100)

82.45  80 *(100)  24.5% 1 (90  70) 2

La media del proceso es mayor que el valor nominal, está desviada a la derecha del valor nominal por lo que el centrado es inadecuado y contribuye a la baja capacidad en la especificación inferior.(K>20% se considera adecuado)

   2  (   N ) 2  (2.6) 2  (82.45  80) 2  3.57

m 

ES  ES 90  70   0.93 6 6(3.57)

Cuando el índice m es menor que 1, eso indica que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad. No se cumple con las especificaciones. El proceso no cumple con por lo menos una de las especificaciones. c) Con base en la tabla 9.2 estime el porcentaje fuera de especificaciones.

i  s 

  EI 82.45  70   1.59 3 3(2.6) ES   90  82.45   0.96 3 3(2.6)

i: 0.0001 % defectuosas

s = 0.35% defectuosas d) Las estimaciones hechas en los dos incisos anteriores y las correspondientes interpretaciones se deben ver con ciertas reservas dado que son estimaciones basadas en una muestra. ¿Por qué se deben ver con reservas? 8. Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración de grasa. En una industria en particular se ha fijado que el estándar mínimo que debe cumplir el producto que se recibe directamente de los establos lecheros es de 3.0%. Si de los datos históricos se sabe que μ=4.1 y σ=0.38 a) Calcule el i e interprételo. b) Con base en la tabla 9.2 estime el porcentaje fuera de especificaciones. c) ¿La calidad es satisfactoria?

Morales Hernández Ricardo

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A) EI  4.1*(0.03)  0.123 EI  4.1  0.123  3.977   EI 4.1  3.977 i    0.32 3 0.38 La capacidad para el proceso es muy mala. B) Alrededor del 18.04 % están fuera de especificación o 184060.092 partes por millón. C) No es satisfactoria porque existe muchas partes fueras de especificación, casi el 20%. 10. El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 ml. De acuerdo con los datos históricos se tiene que μ= 318 y σ= 4. ¿El proceso de envasado funciona bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta. N K *(100) 1 ( ES  EI ) 2 318  320 K *(100)  20% 1 (330  310) 2 La media del proceso está desviada 20% a la izquierda del valor nominal, por lo que el centrado del proceso es inadecuado y esto contribuye de manera significativa a la baja capacidad del proceso



ES  EI 330  310   0.83 6 6(4)    EI ES   , 3   3

k  Mínimo 

 318  310 330  318 ,   0.66,1  0.66 3(4) 3(4)  

k  Mínimo 

m 

ES  ES 330  310   0.74 6 6(4.47)

   2  (   N )2  (4)2  (318  320)2  4.47

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El índice m es menor que 1, eso indica que el proceso no cumple con especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad. No es adecuado el envasado respecto al volumen porque el proceso tiene problemas tanto de centrado como de variabilidad, esto repercute principalmente en el límite superior. Puede alcanzar una categoría 1 si se resuelven esos problemas. 11. El porcentaje de productos defectuosos en un proceso es de 2.3%. Con base en la tabla 9.2 estime el de este proceso. 0.7 →3.5729

[[

X=

]

−[ 0.7−0.8 ] + 0.7 3.5729−1.6395 3.5729−2.3

]

X =0.7658

X →2.3 0.8 →1.6395

13. La especificación del peso de una preforma en un proceso de inyección de plástico es de 60 ± 1 g. Para hacer una primera valoración de la capacidad del proceso se obtiene una x  59.88 y s=0.25 muestra aleatoria de n= 40 piezas, y se obtiene que . a) Estime, con un intervalo de confianza de 95%, los índices , k y m e interprete cada uno de ellos. ˆ Z   /2

ˆ 2(n  1)

ˆ  ES  EI  61  59  2  1.3 6s 6(0.25) 1.5 1.3 1.3  1.96  1.3  0.29 1.01<> <1.59 2(40  1) Con una confianza de 95%, el verdadero valor del índice está entre 1.3 y 1.6 por lo que puede caer en la categoría 1 o 2, obviamente si el proceso está centrado

Morales Hernández Ricardo

No.Control: 12030587

ˆ  Mínimo  59.88  59 , 61  59.88   1.17,1.49   1.17 k  3(0.25) 3(0.25)   ˆ Z k  k  /2

ˆ 2 1 (1.3)2 1   1.17  1.96   1.17  0.15 2(n  1) 9n 2(40  1) 9(40)

1.02  k  1.32

El proceso es realmente capaz

ˆ m 

61  59 (0.25)  (59.88  60) 2

2



2  7.40 0.27

1 ( X  N )2  ˆ m 2 s2 ˆ m  m  Z /2 2 n  ( X  N ) 2  1 s 2   ˆ  1.96 7.4 m  m 40

1 (59.88  60)2  2 (0.25) 2 

(59.88  60) 2 1   (0.25) 2  

2

m  7.4  1.96(1.17)(0.77)  7.4  1.76

b) ¿Hay seguridad de que la capacidad del proceso sea satisfactoria? No porque las estimaciones tienen mucha variación, tanto podrían tener un capacidad del proceso adecuada como podría tener eficiencia en el. c) ¿Por qué fue necesario estimar por intervalo? Ya que los índices de capacidad necesitan conocer tanto el tamaño de población y la desviación estándar poblacional (parámetros),y no se cuentan con ninguno de los 2, por lo que se estimó un intervalo de acuerdo a la muestra. >