Ciclo De Mohr 4d3u41

Ficha Nº 2 – Resumo Teórico Teoria das Tensões. Conceito de tensor das tensões. Tensões principais. Nota: Este resumo não dispensa a leitura das páginas 1 a 16 do Capítulo 2

Tensões internas em sólidos sujeitos a forças exteriores. Vectores de tensão F4

A F3

n (n)

σ

P ∆A

B

Fi - Força exterior n - Normal ao plano de corte no ponto P (n) σ - Vector de tensão no ponto P, associado ao plano de corte

F2 F1

→( n )

σ

→

∆R ∆A→0 ∆A

= lim

∆R - Resultante das forças aplicadas na área elementar ∆A

Componentes do vector estado de tensão (a) Componentes normal e tangencial

Componente normal

(n)

σ

Ν

n

(n)

σ τ

Vector de Tensão

(n)

Componente tangencial

(b) Componentes segundo os eixos cartesianos x, y e z z

Componente segundo z

(n)

σz

σ

Vector de Tensão

(n)

(n)

σy

Componente segundo x

y (n)

σx

x

Componente segundo y

Definição de um estado de tensão O estado de tensão fica perfeitamente definido se forem conhecidas as suas componentes segundo três eixos mutuamente ortogonais x3 σ

r r  σ(1)   σ(x1) r r  r σ = σ( 2 )  = σ(x2 ) r r  σ( 3)   σ(x3)   

(3)

e3 σ

(2)

P σ

e2

(1)

x2

e1

r σ(y1) r σ(y2 ) r σ(y3)

r σ(z1)  r  σ(z2 )  r σ(z3) 

 σ11 σ12 = σ21 σ22  σ31 σ32

σ13  σ23   σ33 

x1

Componentes cartesianas do estado de tensão nas faces de um volume elementar

σ ij

σ33 σ32

Faceta 3 σ31 σ13

x3

σ11

σ21

σ22

σ12

Faceta

Direcção

Faceta 2

Faceta 1 x2

x1

σ23

 σ11 σ12 r σ = σ21 σ22  σ31 σ32

σ13  σ23   σ33 

Componentes cartesianas do estado de tensão nas faces de um volume elementar σ12 = σ21 Equações de equilíbrio ⇒ (momentos em torno do centro do “cubo”)

σ13 = σ31

Matriz simétrica

σ23 = σ32 Tensor das tensões:

Bastam 6 escalares (independentes) para definir completamente o estado de tensão num ponto

 σ11 σ12 r  σ= σ σ22  X21 σX31 σX32

σ13  σ23   σ33 

 σ11 σ12 r σ = σ σ22  X21 σX31 σX32

σ13  σ23   σ33 

Componentes do estado de tensão:

r σ = [σ11 σ 22

σ33

Tensões normais

σ23

σ31 σ12 ]

T

Tensões tangenciais

Tensor das Tensões  σ11 σ12 r σ = σ21 σ22  σ31 σ32

σ13  σ23   σ33 

Um dado estado de tensão num determinado ponto, pode ser representado por um número infinito de tensores simétricos, cada um correspondente a um diferente conjunto de eixos coordenados mutuamente ortogonais.

Mudando os eixos coordenados, mudam os coeficientes do tensor, mas continua-se a representar o mesmo estado de tensão.

Eixos Principais de Tensão σ (n)

Se considerarmos um Plano de direcção n

n orientado de modo a que o vector de tensão

(A) vector de tensão só com componente normal e sem componente tangencial

tenha exactamente a direcção de n

Direcção n ⇓ Direcção Principal

Plano de normal n ⇓ Plano principal de tensão Tensão Principal.

Tensão normal (coincidente com o próprio vector de tensão)

Determinação das Tensões Principais Método Analítico – Equação Característica σ (n) n (A)

Solução

Equação Característica

Tensões Principais Ordenadas por ordem decrescente

3 raízes

Invariantes

Tensor de tensão definido segundo os eixos principais de tensão

Determinação das Tensões Principais Formulação do Círculo de Mohr τ12  σ σ( x1,x 2 ) =  11  τ 21 σ 22 

B (σ σ22, −τ21)

A (σ σ11, τ12)

τ

σII

A (σ σ11, τ12)

XII XI C

2α

σ

O α

α

B (σ σ22, −τ21) σI

Exemplos de configuração do Diagrama de MOHR X2

τ

X2 τ

A XII

B

σII

C

σI

2α α

X1

XI σII

σ

O

Ângulo α

α

X1

B

α

σI

C

σ

2α α

O XII

XI A

Define (XI) em relação a (X1)

X2

X2

τ

τ

A B σII

α

C

X1 σI

XII

XI A

σII

2α α

σI

C

Ângulo α Define (XII) em relação a (-X1)

XI σ

O

σ

2α α

O

XII

α

B

X1

Direcções Principais (Exemplo do TPC da Aula 5)

Pela eq. característica

X2

nI=(0.355 ; 0.934 ; 0) XI

XII

α= 20.8

X2

XI

X1

0.934

Pelo Ciclo de Mohr X1

Rectas Paralelas

0.355

Tensão de Tracção na direcção I Dire cção II

Conclusão: Não Importa o sentido considerado, apenas interessa a direcção

Dire cção

I

Marcação das Tensões principais

Tensão de Compressão na direcção II

Transformação de tensões z

Referencial cartesiano inicial (x, y, z)

n m

Novo referencial cartesiano (l, m, n) y

x

Como proceder para determinar as componentes de tensão no novo sistema de eixos (l, m, n) sendo conhecidas as componentes de tensão referidas a (x, y, z)

l

z

ez

e e

ex

Um qualquer eixo (e) pode ser definido relativamente ao referencial original (x, y, z)

ey y

Projecção do versor desse eixo nos eixos originais x, y e z

x

Vector de cosenos directores ( ex , ey , ez )

Transformação de tensões Vectores de cosenos directores

z n m

y

x

 lx  Tri = m x ( r =l,m,n;i= x,y,z )  nx  l

ly my ny

Eixo l

( lx , ly , lz )

Eixo m

(mx , my , mz )

Eixo n

( nx , n y , nz )

lz   mz  nz 

Matriz de Transformação

Equação de Transformação de Tensões

Na Forma Matricial

σ(l,m,n ) = T ⋅ σ( x,y,z ) ⋅ T Tensor nos Eixos novos

 σll σ  ml  σnl

σlm σmm σnm

σln   l x  σmn  =m x σnn   n x

ly my ny

lz  σ xx  m z  σ yx n z  σ zx

Matriz de Transformação

σ xy σ yy σ zy

σ xz  l x  σ yz  l y σ zz  lz

T

Tensor nos Eixos iniciais

mx my mz

nx  n y  n z 

Propriedades do tensor das Tensões - Se as tensões principais forem distintas então as direcções principais são ortogonais. - Se as tensões principais forem diferentes entre si, então, para cada valor duas e só duas das equações são independentes. -Para um dado estado de tensão num determinado ponto, a determinação das tensões principais e das correspondentes direcções principais corresponde à determinação dos valores e vectores próprios de uma qualquer matriz de tensão representativa do referido estado de tensão. -Num referencial coincidente com as direcções principais de tensão são nulos todos os termos não diagonais do tensor das tensões -Para um dado estado de tensão todas as três raízes da equação característica (iguais aos valores próprios do tensor das tensões), denominadas tensões principais, são reais. -Se duas (ou até as três) tensões principais forem coincidentes continua a ser possível determinar pelo menos um sistema de eixos principais de tensão, só que nestas condições não existe um único sistema de eixos principais. a)

b)

c)

a) Estado de tensão com 3 tensões principais distintas b) Estado de tensão com 2 tensões principais iguais c) Estado de tensão com 3 tensões principais iguais (estado de tensão hidrostático)

Vector de tensão num plano de orientação arbitrária σ

x3

(3)

r n = (n1, n2n3 ) r r n1 = cos(e1, n) r r n2 = cos( e 2 , n) r r n3 = cos(e 3 , n)

e3

σ

n

(n)

σ e2

σ

(2)

x2

(1)

e1 x1

Equilíbrio do elemento de volume:

(n )

( 2) (3) r (r1) r r σ = σ n1 + σ n2 + σ n3

r n Vector de tensão num plano de normal :

(n)

(n )

r r σ = σ.n

σ i = σij n j

Fórmulas de Cauchy para tensões A amplitude da tensão normal:

(n)

σ

Ν

n

(n)

σ τ

(n)

σ n = σ ij ni n j

(n)

r r (n) σ n = σ .n = σ i ni

A amplitude da correspondente tensão tangencial é dada por (teorema de Pitágoras) (n) 2

r

τ n2 = σ

− σ n2