Bahan Ajar Aturan Sinus Dan Cosinus 1b291k

ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS Oleh : Hasmi Gustin Rosa, S.Pd, M.Si

STANDAR KOMPETENSI :  Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR :  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri Menyelesaikan perhitungan soal menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus. TUJUAN PEMBELAJARAN :  Siswa dapat menyelesaikan perhitungan soal menggunakan aturan sinus.  Siswa dapat menyelesaikan perhitungan soal menggunakan aturan cosinus.

A. ATURAN SINUS Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus yaitu perbandingan panjang sisi-sisi dengan sinus yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai sama. Ditulis:

Pembuktian :

C P

R

A Perhatikan

B

ACR :

sin A = ↔ CR = b sin A ………..(1)

Perhatikan

BCR :

sin B = ↔ CR = a sin B………….(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh: b sin A = a sin B …………..(*)

Perhatikan

BAP :

sin B = ↔ AP = c sin B ………..(3) Perhatikan

CAP :

sin C = ↔ AP = b sin B………….(4) Dari (3) dan (4) diperoleh: c sin B = b sin C

…………...(**) Dari (*) dan (**) diperoleh : Aturan sinus dapat dipergunakan untuk mencari unsure-unsur segitiga yang belum diketahui, jika tiga unsurnya diketahui, yaitu : 1. Sisi – sudut – sudut 2. Sudut – sisi – sudut 3. Sisi – sisi – sudut

Contoh soal : Diberikan ABC, b = 20 cm, besar sudut A adalah 450, dan besar sudut B adalah 600. Tentukan panjang sisi a. Jawab : (sisi – sudut – sudut) → dapat digunakan aturan sinus. < C = 1800 - < A - < B = 1800 - 500 -700

↔a=

=

=

Jadi panjang sisi a adalah

cm.

B. ATURAN COSINUS Pada segitiga ABC berlaku aturan cosinus, yaitu : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Pembuktian :

C

b

a

A

D

B

c Perhatikan

BDC :

BC2 = CD2 + BD2 a2 = CD2 + BD2 ………………(*) Perhatikan

ADC :

sin A = ↔ CD = b sin A………….(1) cos A = ↔ AD = b cos A………….(2) BD = AB – AD …………… (3) Subsitusikan (2) ke (3) BD = c – b cos A …………(4) Subsitusi (1) dan (4) ke (*) a2 = (b sin A)2 + (c – b cos A )2 = b2 sin2 A + c2 – 2bc cos A + b2 cos2 A = b2(sin2A + cos2A) + c2 – 2bc cos A a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

terbukti

Dari Aturan Cosinus dapat ditentukan sudut-sudut pada segitiga: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Cos A = Cos B = Cos C =

Contoh Soal : ABC dengan panjang sisi a = 8 cm dan b = 10 cm dengan < C = 600. Tentukan panjang sisi c.

1. Diketahui

Penyelesaian : Diket : a = 8 cm b = 10 cm < C = 600 Ditanya: c = ………? Jawab : c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = 82 + 102 – 2 (8)(10) cos 600 = 64 + 100 – 160( ) = 84 c =

=2

Jadi panjang sisi c adalah 2

cm.