6. Fracciones 681d4a

64

Tema: Fracciones

Razonamiento Lógico

 Cada  La fracción Las sección que representa el fracciones propias área sombreada 1 representa del 10 son menores que 8 es 7 respecto de la unidad. área total. la figura tomada  La  La sección como patrón de interpretación de sombreada medida. este tipo de 5 representa los fracciones es una 8 Observación: relación entre la del área total. Número Mixto: parte y el todo en Es una forma de la que se incluye representar una Notación: Fracciones esa parte. fracción impropia Parte Impropias: . a Fracción = D Fracción: Todo Ejemplos: + b onde: a y b �Z Se dice de aquellas Podemos usar fracciones en las que b �0 gráficos para el numerador es representar este 16 1 mayor que el <> 5 tipo de fracciones. 3 3 denominador. A los términos de En cada ejemplo 20 6 una fracción se que damos a <> 2 Ejemplo: les conocen 7 7 continuación, 17 8 13 238 como: 19 1 , , , determinaremos <> 9 3 7 5 17 Numerador a la fracción que 2 2 Denominador representa b la  Toda sección NOTA: fracción impropia NOTA: sombreada Lectura de un es mayor que la Por la notación y respecto de la número mixto unidad. la interpretación figura total. que se da a una  Estas Ejemplo: 7 1 Se lee:  fracción, muchos fracciones sólo 5 1 1 1 1 1 1 1 textos definen una pueden 7 7 7 7 7 7 7 adoptar “Siete enteros un fracción como: una interpretación quinto” El todo: 7 cuadros (iguales) Parte : 3 cuadros “Fracción es el como expresión  Cada cuadrado 10 2 Se lee:  3 cociente indicado de una medida. 1 representa del “Diez enteros dos de dos números  7 tercios” enteros, cuyo Unidades consideradas total. Fracción = divisor es distinto  La parte Patrón de medida El número mixto de cero”. sombreada, es la composición expresada en En el ejemplo que de un número CLASIFICACIÓ fracción damos a entero y una N DE LAS 3 continuación representa los fracción propia, es FRACCIONES 7 determinaremos la por esto, que se del total. fracción que puede representar representa la Fracciones como: Ejemplo: sección sombreada Propias: respecto de una de Ejemplo: las figuras que se Son aquellas 1 1 ac = a+ c ; toma como unidad fracciones en las b b 1 1 8 8 de medida. cuales el 8 El todo: 8 secciones (iguales) 8 2 2 numerador es 5 = 5+ 1 1 3 3 Parte : 5 secciones Ejemplo: menor que el Unidades a considerar 1 1 8 8 10 cuadros denominador. 8 8 Clasificación de Ejemplo: las fracciones, 5 1 13 17 , , , 7 cuadros de acuerdo a su (iguales) 10 4 16 517 Patrón de medida denominador La fracción a / b es un ente matemático que puede definirse como una pareja ordenada de números enteros que resuelve la ecuación b.x = a , donde b �0 .



Razonamiento Lógico

66

Dependiendo de sus denominadores las fraccione se clasifican en:

mismo valor, por lo tanto, estas fracciones son equivalentes. Forma general de las fracciones equivalentes

Fracciones Homogéneas: Al grupo de fracciones les denominamos homogéneos, cuando sus denominadores son todos iguales.

ak bk

número k �0

Ejemplos: 1 , 7

12 , 7

20 , 7

Donde: “k” es

333 7

Fracciones Heterogéneas: Diremos que el grupo de fracciones son heterogéneos, cuando sus denominadores son todos diferentes.

entero

NOTA Si se desea obtener fracciones equivalentes a una fracción dada cualquiera, esto se puede lograr multiplicando al numerador y al denominador por un mismo número entero distinto de cero.

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones o más fracciones son equivalentes, si éstas representan el mismo valor.

Fracción Irreductible: Diremos que una fracción es irreductible o irreducible si el numerador y el denominador son primos entre sí (PESI), es decir, ambos numerador y denominador, no poseen divisores comunes.

Ejemplo:

Ejemplos:

Ejemplos: 3 , 5

17 , 14

23 , 21

777 100

3 , 11

5 8

10 16

Como se observa, y

10 16

5 8

representan el

6 , 23

57 21

Fracción Reductible: A la fracción en la que su numerador y denominador tienen divisores comunes, se le denominará

“fracción reductible o reducible”. Ejemplos: 4 9 , , 16 27

30 42

NOTA: “De toda fracción reductible se puede obtener fracciones equivalentes irreductibles.” Esto se logra simplificando los factores comunes de ambos términos. Fracción Inversa: A toda fracción que al multiplicarla con la fracción dada resulte la unidad, se le denominará “fracción inversa”. Una forma práctica de obtener una fracción inversa de la fracción dada, es simplemente invertir la fracción; esto es, el numerador pasa a ser el denominador y el denominador a ser el numerador. A esta fracción se le denomina como la fracción recíproca de la fracción inicial. Ejemplo: Dada la fracción 3 14

La fracción inversa de dicha fracción es: 14 3

A esta expresión también se denomina “fracción recíproca” Fracciones Ordinarias o Fracciones Comunes: A aquellas fracciones que sus denominadores no son potencias de 10 se las denominan “fracciones ordinarias o comunes”. Ejemplos: 2 , 3

7 , 5

10 , 7

1 6

Fracciones Decimales: Es toda fracción (o quebrado) que tiene por denominador potencias de 10. Ejemplos: 3 9 17 346 , , , 10 10 100 1000

Ejercicios Desarrollados

Razonamiento Lógico

67

1. ¿Cuánto le falta a la mitad de los

4 3

3 5

de

para ser igual a 2 5 3 4

los los a)

d)

de los

5 8

de

c)

7 6 11 10

e)

8 7

b)

4 5

Resolución Sea lo que falta “F”, del dato: 1 4 3 2 5 3 . . + F = . . .8 2 3 5 5 8 4 3 2 F=   F= 2 5 11 10

Rpta.

2. Una fracción irreductible dividida por su inversa da como resultado

169 . 289

Calcular la suma del numerador y denominador de dicha fracción. a) 30 b) 22 c) 25 d) 63

e) 55

Resolución Sea la fracción: a b y su inversa b a

, del dato: a b 169  = b a 289

2

b2

=

2

13



172

2 2  a  =  13  casados. ¿Cuál      b  17  es el número

de docentes? a) 70 b) 80 c) 60

a 13 = b 17

Donde:

Entonces suma será:

de 8?

9 8

a

la

13 + 17 = 30 Rpt

a. 3. De los 40 soles que tenía Henry

gastó

2 3

de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó? a) S/. 30 b) S/. 24 c) S/. 25 d) S/. 18 e) S/. 16 Resolución

d) 90

e) 50

Resolución

mismos

son

Resolución Con el área:

Sea: “x” el número total 2 de profesores 96 m 2 Mujeres: x 4 3 L 5 Varones: 3 x x � Casados: ( ) = 4 5 � L.  0,8  = 96 1 5 3 5 x� 5 6 3 �Solteros: 2 (x) = 12 2 8 � L. . = 96 5 3 3 10 x = 6(15)

El número de docentes es: Del dato: x = 90 Rpta. 2 gastó 2x Gastó = no gastó  = 3 no gastó 3x 5. Cierta tela después de Entonces: lavada se 2x + 3x = 40 1 encoge de 5x = 40  x=8 5 su longitud y 1 Entonces de su 6 gastó: ancho. 2x = 2 8  = ¿Cuántos S /. 16 Rpta. metros deben comprarse 4. Dos tercios para que de los después de profesores de lavada se un colegio son disponga de mujeres, 12 de 2, los profesores 96 m varones son sabiendo que solteros, el ancho mientras que original es 80 3 cm. los de los 5

a) 200 m b) 160 m c) 180 m d) 240 m e) 220 m

5  0,8  6

L =6 30

L=

180 m

Rpta.

6. Una llave llena una piscina en tres horas, otra en dos horas y una tercera en seis horas. Si se abren simultáneament e las tres, en cuanto tiempo se llenará la piscina. a) 1 h b) 2 h c) 3 h d) 4 h e) 0,5 h Resolución 2h 6h

3h

Razonamiento Lógico

68

2 3 � � 3 5 Queda: Entre los tres:

1 � (75) 2

1 2 1 � � (75) = 5 litros de vino 3 5 2 1 1 1 1 + + = Resolución 5L 3 2 6 T Rpta. 2+ 3 + 1 1 Por dato: = 6 T 8. ¿Qué parte � 2� Acierta: �1  � menos es 12 � 5� � de 15? no acierta

T=1

a)

Rpta .

1 3

b)

Acierta 3k = No acierta 5k

1 15

c) 5 d)

1 5

e)

7. De un tonel lleno de vino se extrae los 2/3 y se reemplazan con agua de esta nueva mezcla se extrae los 3/5 litros y luego remplazados con agua, finalmente de esta nueva mezcla se extrae la mitad y se reemplaza con agua ¿Cuántos litros de vino puro quedan si inicialmente habían 75 litros?

3 5

Resolución Fracción: 15  12 3 = = 15 15 1 Rpta. 5

9. Katia realiza 80 disparos, de los cuales acierta

a) 16 L b) 10 L c) 8 L d) 5 L L

d) 60 e) 30

e) 6

Resolución Total vino

2 5

menos de lo que no acierta. ¿Cuántos disparos más debe realizar como mínimo para acertar en total 80 disparos? a) 50 b) 20 c) 40

Gasté 3k = No gasté 5k (Del dato, tenía S/. 80)

Entonces: Gasté + No gasté = 80 3k + 5k = 80 8k = 80 � k = 10 Gasté: 3k = 3(10) = S/. 30 Rpta.

11. Una llave llena una piscina en 4 horas Acierta+No 1 4 2 43 1 4 acierta 2 4 3 = 80mientras que otra la vacía en 3k + 5k = 80 5 horas. Si se abren 8k = 80 � simultáneament e. ¿En cuánto k = 10 tiempo se llenará la Acierta: piscina? 3k = 3(10) = 30 a) 20 h b) 1 30 + x = 80 h c) 30 Rpta. x = 50 h d) 15 h e) 10 h 10. Al contar el dinero que me Resolución quedó, me percaté que 1 1 1  = había gastado 4 5 T 3 los de lo que 5 4 1 � 5

no gasté. Si tenía S/. 80 inicialmente, ¿cuánto dinero gasté? a) S/. 35 b) S/. 30 c) S/. 20 d) S/. 32 e) S/. 28 Resolución Gasté =

3 (no gasté) 5

20

=

T = 20 h

T

Rpta.

12. Un avión aterriza utilizando los 3/4 de la pista y despega usando los 3/5 de la pista. Si en total no emplea 390 m de la pista. ¿Cuál es la

Razonamiento Lógico

69

longitud de la pista? a) 800 m b) 480 m c) 720 m d) 600 m e) 540 m

1 �2x � 4 �2x � 814x + 6x + 420 = x 16. Un albañil y ��� tiene: � �= x � � su ayudante 35 3 �3 � 3 �3 � 9 pueden hacer una obra en 24 Perdió = tenía 420 = 15x días, la misma – tiene obra lo puede x = 28 m Perdió: hacer el albañil Rpta. 8 x  x = 12 solo, en 40 días. 9 Resolución ¿En qué tiempo 15. Se mezcla x = 108 Rpta. trabajando solo, en un recipiente 14. Carlos Longitud de la lo hará el 48 litros de leche compra un pista: “x” ayudante? pura con 32 rollo de a) 48 días b) 30 litros de agua. Si alambre, el Del dato: días c) 54 días se retiran 35 cual utiliza No d) 60 días e) 36 litros de la totalmente en emplea:390 días mezcla, ¿cuántos 3 días. El Al4aterrizar+al despegar 390 litros de leche 1 243 14 4 2 4 43 =primero usó Resolución x pura quedan en 2x + 2 = 390 4 el recipiente? los del total; 5 5 talbañil = 40 días a) 36 b) 27 13x el segundo los = 390 c) 30 tayudante = x 2 20 del resto y 7 � x = 600 Del enunciado, d) 24 e) 28 el tercer día por fórmula de Rpta. los últimos 12 rendimientos, Resolución metros. se tiene: 13. Katia * La mezcla es: ¿Cuántos gasta 1/3 del 1 1 1 + = metros tenía dinero que 40 x 24 Agua : 32L el rollo de tiene y gana 32 2 fracción alambre que ���� � = 1/3 de lo que Resolviendo: 80 5 compró queda si ha Leche : 48L Carlos? 48 x3 = fracción perdido en ����� 60=días Rpta. a) 24 m b) 32 80 5 total 12 soles. m c) 28 m ¿Cuánto tenía 17. Ángel d) 35 m e) 40 al principio? puede hacer m a) S/. 108 una obra en 5 b) S/. 120 Total: 80L días y Rosa Resolución c) S/. 144 podría hacerlo Sea “x” la d) S/. 81 e) S/. * Se retiran 35L, en 10 días. cantidad total 100 entonces queda: ¿Qué parte de de alambre en la obra harían metros: Resolución 80  35 = 45L en “x” días Tenía: S/. x; trabajando 1er día del dato: * La leche que juntos? 2do día 3er x queda es: día a) 1ra. gasta:

x 2 ���queda: x 3 3 2da. gana:

5

2 x 5

+

2 � 3 � = x � x �+ 12 Leche = 7 � 5 �

resto

27

3 �45 L = 5

Rpta.

b) c)

3x 10 10x 3

Razonamiento Lógico

70

d)

x 10 10 x

e)

Resolución Nos piden: “P”, sabiendo T=x Aplicando la fórmula: 1 1 P 2+ 1 P + = � = 5 10 x 10 x Resolviendo:

P=

3x 10

Rpta. 18. A los términos de la fracción 1/5 se suma cierta cantidad al numerador, y se resta la misma cantidad al denominador. ¿Cuál debe ser el valor de dicha cantidad, para que la fracción resultante sea equivalente a la tercera parte de la fracción original? a)



3 8

b) c) d)

5  8 7  8

5  4 3 e)  4

Resolución

8

20. Si un jugador en su primer juego 1 pierde de su 3 dinero, vuelve a apostar y pierde 3 los de lo que 5 le queda y en una tercera apuesta pierde

.

los

Sea: “x” cantidad

la

1+ x 1 1 = . 5 x 3 5 1+ x 1 = 5  x 15 15 + 15x = 5  x � 16x =  10 5 Rpta x= 

19. El nivel de agua de un tanque disminuyó de 2/5 a 1/3 después de que se extrajeron 1600 galones de agua. ¿Cuál es la capacidad del tanque lleno, en galones? a) 20 000 b) 22 000 c) 24 000 d) 24 400 e) 26 500 Resolución Sea “x” la capacidad total del tanque, luego por dato: 2 x  1600 = 5 2 1 x x = 5 3 6x  5x = 15 24000

1 x 3 1600 1600

x=

Rpta.

4 del resto. 7

¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente se ha quedado? a)

23 105

b) c)

d)

13 105

4 35 22 35

e)

4 105

segundo en 20 horas, el tercero en 30 horas. Si estando vacío el tanque se abren simultáneame nte las llaves de los 3 caños. ¿En qué tiempo llenarán los 3/2 de los 4/9 del tanque? 2 a) 3 h

b)

7

2 h 11 2 5 h 3 7 d) 3 h 11 2 5 h 7

c)

4

e)

Resolución

Resolución "x" Sea cantidad dinero inicialmente.

Pierde: 1 3 � � 3 5 Queda:

Hallamos la de

4 � 7

2 2 3 4 � � X= X 3 5 7 35 4 35

Rpta.

21. Se tienen 3 caños para llenar un tanque: el primero puede llenar en 10 horas, el

fracción

la que

falta llenar: 2

F=

3 2

x

4 9

=

2 3

3

Aplicando

la

relación:

F 1 1 1 1 =    .... T t1 t2 t3 tn Reemplazando datos:

 2    3 = 1 + 1 + 1 T 10 20 30

Razonamiento Lógico

71

2 6+ 3+ 2 = 3T 60 

2 11 = 3T 60

Despejando “T” se tiene:

T=

40 11

T=3



3

17x = 1360 x = 80

Rpta.

23. ¿Cuánto le falta a los 2/5 de los 5/3 para ser igual a los 3/7 de los 7/4? 1 20

a)

7 11

c)

Rpta. 22. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco; si aún le quedaban 34 cartas por distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90

b)

e) 85

Resolución Sea: “x” el Nº de cartas, recuerde que la suma de las partes es igual al todo, luego:

d)

1 12

e)

23x + 1360 = 40x

1 21

Resolución 2 5  3 7   +x=   5 3  7 4  2 3 +x= 3 4

x=

3 2  4 3

x=

1 Rpta. 12



24. ¿Cuánto le debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de los 6/5 de 3/4 de 21 para ser igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 80? a) 3 b) 2 c) 6 d) 4

e) 5

9 x = 4 x=5

Rpta . 25. Se hace caer una bola de billar sobre una mesa y desde cierta altura. Calcular la altura que se eleva después del primer rebote, sabiendo que en el tercer rebote alcanzó una altura de 54cm y que después de cada rebote siempre pierde 1 4

de la altura

anterior. a) 94 cm b) 82 cm c) 96 cm d) 80 cm e) 120 cm Resolución Recuerda: n

H=? 3

3 54 =    H  4

Resolución

f=

3 4

128cm

96cm

Rpta. 26. Se tiene un tanque con 3 llaves; la primera llave llena el tanque en 6h; la segunda lo llena en 4h; y la tercera llave vacía el mismo tanque en 8h. ¿En qué tiempo ha de llenarse los

7 8

partes del tanque si se abren las tres llaves al mismo tiempo estando el tanque vació? a) 2 h b) 4 h c) 2,5 h d) 3 h e) 5 h Resolución Recordando:

hn =  f   H

n=3 H = 128cm hn = 54cm

x 3 + x + 34 = x 5 8 8x + 15x + 1360 =x 40

1 2 1 15

4

2 5 6 3 1 1 2 3 . . . . 21  x = . . . . 80 3 7 5 4 2 3 5 4

P 1 1 1 = +  ; T A B C

7 8 ( fracción llenar) P=

a

A; B : vierten liquido(+) y C: desagua(–)

3 h1 =  128  = 96cm 4

Razonamiento Lógico

72

Reemplazando datos se tiene que:

7 8 = 1+ 1 1 T 6 4 8 7 4+ 6 3 � = 8T 24 3

7 7 = T 3



T = 3h Rpta.

27. Un tanque tiene la cuarta parte de su capacidad lleno de agua y hay un caño A que puede llenar en 10h y un caño B lo puede vaciar en 6 horas. ¿En qué tiempo será vaciado el tanque si ambos caños funcionan simultáneament e? a) 3 h b) 2,5 h c) 14 h d) 3 15 h 4

15 h 2

e)

Resolución

A :10h

1 4 1 1 1  4=  T 6 10

1 5 3 = 4T 30 1 2 = 4T 30 2

T=

 gastó= 270  40 = 230 Rpta. 

15

15 h Rpta. 4

28. Martín dispone su mensualidad de la siguiente manera, en su vivienda gasta la mitad; en su alimentación la tercera parte del resto y los

5 9

del

nuevo resto en otros gastos. Si aun le quedó S/. 40. ¿Cuánto es su gasto en total? a) 250 b) 210 c) 290 d) 270 e) 230 Resolución

29. De los S/. 30 que tenia, gasté la cuarta parte de lo que no gaste. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 22 b) S/. 15 c)S/.18 d) S/. 24 e) S/. 20

d) S/. 38 e) S/. 60 Resolución Al inicio tiene S/. x , del dato: 2 3 5   x  = 20 3  4  8   5x = 20  x=64 16 Gastó: 64  20 = S /. 44 Rpta.

31.Juan puede hacer una obra en 4 días; la  Gasté = xMario Tenía : S/. 30  misma  xobra en  No gasté=30 6 días y Jonás en 8 días. Si la Del dato: obra ya se avanzo en sus 30  x 2 x= partes. ¿En 4 3 qué tiempo 4x = 30  x terminarán la parte de la 5x = 30  x=6 obra si No gasté=30  6 = trabajan S /. 24 Rpta. simultáneame Resolución

30. Dayana del Pilar en el vivienda alimentación otros } } }mercado gasta 1 1 5 carne 1/3 en Gastó : 2 3 9 de lo que tiene; en cereales, 1/4 1 2 4 Quedó : = 40 de lo que le 2 3 9 quedaba y 3/8 del resto en 1 ¿Vaciara? P= verduras. Si 10 43 9 todavía le 2   = 40 2 4 queda S/. 20, B : 6h ¿Cuánto 270 gastó? 135 a) S/. 68 90 b) S/. 44 Mensualidad = c) S/. 48 270

nte? a)

d)

13 días 6 2 b) días 5 4 c) días 11 8 días 13

e)

día Resolución

1 1 1 1 3 + + = 4 6 8 T

1

Razonamiento Lógico

73

6+ 4+ 3 1 = 24 3T 13 1 = 8 T T=



13 días 8

Rpt

a. 32. Claudia le pregunta la hora a María y ésta le responde: “El triple de las horas transcurridas es igual al quíntuplo de las que faltan por transcurrir. ¿Qué hora es? a) 2 p.m. b) 3 p.m. c) 4 p.m. d) 5 p.m. e) 6 p.m. Resolución

Transcurre x Del dato: 3x = 5(24  x) Resolviendo: Rpta.

33. ¿En cuántos 45 avos es mayor a) 22 d) 18

7 5

que

2 ? 3

b) 25 c) 33 e) 42

Resolución Previamente restamos fracciones

las

x=

Se desea hallar cuántos 45 avos hay

11 , 15

en

entonces planteamos: x 11  = 45 15 x = 33 Rpta. 34. Encontrar un número racional entre 2 13

y

41 52

cuya

distancia primero sea doble de distancia segundo. a)

b)

Falta c) 24  x d)

al el la al

11 52 19 52 15 26

e)

1 2 1 = 2T 2x T = x horas Rpt a.



15 Rpta. 26

35. Un caño puede llenar un tanque en “x” horas y otro lo puede vaciar en el doble de tiempo. Si el tanque ya tiene la mitad de su capacidad llena de agua, ¿en qué tiempo se llenará si ambos funcionan simultáneame nte? a) x horas b) 2x horas

c)

36. Un caño llena un estanque en 12 horas y una llave vacía el mismo tanque en 15 horas. ¿En cuántas horas se llenarán los 2/3 del estanque, si ambas funcionan simultáneament e? a) 40 b) 60 c) 30 d) 20 e) 50 Resolución

x 2

Sólo se llena

horas

9 13

x = 15 h =

3 p.m.

78x = 45

7 2 11  = 5 3 15

d) 13 24

e)

2d x

2 13

Del dato: 2 41 x = 2  x  13  52  13x  2 = 26  

2 x 3

2 3= 1  1 T 12 15

horas

horas

2 5 4 = 3T 60

Resolución

Resolución 2 13

x 3

41  52x   52 

26x  4 = 41  52x

Sea C la capacidad41 del tanque 52 que d falta llenar: 41 x 52

Ya hay

1 2 = 1 1 T x 2x

2 1  = T 20 T = 40 Rpta.

x

C=

1 2

1 2 2x

P