Vectores Coordenados En R2 Y R3.docx 601q6f

VECTORES COORDENADOS (Rn) Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano y una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas. Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas, al igual que en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados como puntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas ordenadas como puntos en el espacio de n dimensiones.

Fig 3.31a

Fig 3.31b

Fig 3.31c

DEFINICIÓN 3.5 Una n-tupla de números reales se denota por

donde cada xi es un número real. Las

n-tuplas de números reales

son iguales si

y .

El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales ordenadas se denota por decir

, es

DEFINICIÓN 3.6 Si

y como la n-tupla

son n-tuplas de números reales, se define la suma

se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos anteriormente a cada punto del plano coordenado se le puede asociar un vector fijo. Si

es una pareja

ordenada de números reales (un vector de ) le podemos asociar el vector libre OX que tiene por punto inicial el origen de coordenadas O y por punto terminal X.

Fig 3.32

Ejemplo 20

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA EN R2 Sean

y

, entonces

Fig 3.33

A la suma de dos parejas ordenadas,

se le puede asociar el vector fijo que tiene

por punto inicial el origen y por punto terminal el punto que es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores fijos OX y OY.

DEFINICIÓN 3.7 (Multiplicación por un escalar) Sean

un elemento de

por la n-tupla x se denota por es una n-tupla de por el escalar Sea

.

y

un escalar (número real), el producto del escalar .

que se obtiene multiplicando cada una de las componentes de la n-tupla

Fig 3.34a

Fig 3.34b

TEOREMA 3.3 PROPIEDADES DE LA SUMA DE N-TUPLAS EN Rn Sean

P1.

pertenecientes a

y

escalares (números reales). Entonces

es un elemento de Rn

P2. P3.

Clausurativa

Conmutativa donde 0 = (0,...,0)

Modulativa

P4.

Asociativa

P5.

Invertiva se llama inverso aditivo

P6.

es un elemento de

P7.

Distributiva de la suma de escalares con respecto al producto por un escalar.

P8.

Distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de dos n-tuplas.

P9.

Asociatividad del producto por un escalar.

Identidad escalar.

P10.

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P2

Por Definición 3.6 Por la propiedad conmutativa de la suma de números reales. Por Definición 3.6

luego

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P5

Definición 3.6 Propiedad invertiva de la suma de números reales. =0 Luego

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P7 Definición 3.7 Distributividad del producto con respecto a la suma de los números reales.

Definición 3.6 Definición 3.7

luego se tiene que

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P9 Definición 3.7 Definición 3.7 Asociatividad de la multiplicación de números reales. Definición 3.7.

y por tanto

DEFINICIÓN 3.8 Si x y y son elementos de Rn , definimos la resta como donde -y es el inverso aditivo de y. En matemáticas encontraremos sistemas matemáticos que satisfacen las 10 propiedades del teorema 3.3, estos sistemas se llaman espacios vectoriales.

DEFINICIÓN 3.9(Espacio vectorial).

Un conjunto V no vacío en el cual hay definidas dos operaciones, una suma en V y un producto por un escalar (un número real por un elemento de V) que cumpla las propiedades del teorema 3.3 se llama espacio vectorial y los elementos de V se llaman vectores.

Rncon las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial y por lo tanto las ntuplas se pueden considerar como vectores. Usaremos la notación . Si

para indicar que

es el punto terminal del vector fijo

es un vector localizado en el espacio la notación

es el punto terminal del vector fijo

indica que

.

Fig 3.35a

Fig 3.35b

Otra manera de denotar vectores fijos en el plano y el espacio es la siguiente:

Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0) y

el vector fijo cuyo punto terminal es

(0, 1). Entonces si P es un punto del plano de coordenadas vector fijo

como

, podemos escribir el

.

Fig 3.36

Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0, 0), el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 0, 1). Entonces si P es un punto del espacio de coordenadas

, podemos escribir el vector fijo

como

.

Fig 3.37

Ejemplo 21

Ejemplo 22

Ejemplo 23

Ejemplo 24

LONGITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR COORDENADO

Fig 3.37 El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3. Si

del teorema de Pitágoras se tiene que

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que última ecuación en la primera se tiene que

como la norma de un vector es no negativa tenemos que

DEFINICIÓN 3.10(Longitud, magnitud o norma de un vector)

y remplazando esta

La longitud del vector

de Rn se denota por

y se define como

Ejemplo 25

Ejemplo 26

DEFINICIÓN 3.11 (Ángulos directores). Los ángulos directores de un vector fijo OA y del vector coordenado los ángulos

y

, donde

son

es el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el vector

OA, es el ángulo formado por el eje positivo de las y y el vector OA y es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0o y 180o.

DEFINICIÓN 3.12 (Cosenos directores). Los cosenos directores del vector fijo OA o del vector coordenado de los ángulos directores del vector A determinar los cosenos directores del vector OA.

y

son los cosenos

. Podemos encontrar una fórmula para

Fig 3.46

El ángulo

es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR.

de forma similar se tiene que

Veamos que

Ejemplo 27

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES EN R2 Y R3 DEFINICION 3.13 Sean A y B dos vectores de R3 o (R2) no nulos, el ángulo  entre los vectores A y B coordenados es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde  es un ángulo entre 0o y 180o.

TEOREMA 3.4 Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces

DEMOSTRACIÓN

Fig 3.46a

Por la ley de los cosenos se tiene que

Si

y

Remplazando se tiene que

son vectores de R3, entonces

Ejemplo 28

Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:

EJERCICIOS

APLICACION DE LOS VECTORES LIBRES

En esta sección se enunciará y se demostrará el teorema de las proporciones y el teorema de la base. El teorema de las proporciones se usa para resolver problemas de mecánica. Tanto el teorema de las proporciones como el teorema de la base se usan para demostrar resultados de la geometría plana.

DEFINICIÓN 3.3 Dos vectores no nulos y son paralelos si y solo si existe un escalar tal que ( es un múltiplo escalar de ). Si y son vectores paralelos denotaremos este

hecho por

.

CORRESPONDENCIA ENTRE LOS PUNTOS DEL PLANO (O ESPACIO) Y LOS VECTORES. Si escogemos un punto O fijo, el vector localizado (vector fijo) de un punto A del plano (o espacio) relativo al origen O es el vector con punto inicial en O y punto terminal en A. Dado el punto A el vector localizado está determinado de forma única; igualmente cualquier vector con punto inicial en O determina de forma única un punto A en el plano (o espacio) extremo del vector. Por tanto existe una correspondencia uno a uno entre los puntos y los vectores localizados. Denotaremos por el vector localizado correspondiente al punto A, es decir, .

Fig 3.20

TEOREMA 3.1(Teorema de Proporción) Si A y B son puntos y P es un punto del vector

tal que

que divide al segmento

en la proporción

, entonces,

donde el origen O puede ser escogido de forma arbitraria teniendo en cuenta que no sea colineal con los puntos A y B.

DEMOSTRACION

Fig 3.21

Por el punto P trazamos una paralela al segmento OB que corta al segmento OA en Q. Por la definición de suma de vectores tenemos que entonces existen escalares que Los triángulos

y

y

tales que .Entonces

y

son semejantes (por ser

como y

y

,

y son números positivos ya . )

por tanto, que

, como

, porque los puntos A, B y O no son colineales, tenemos

.

Se tiene además que

Entonces

.

,

pero como

y por lo tanto,

Ejemplo 14

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Ejemplo 17

Ejemplo 18

, entonces se tiene que

DEFINICIÓN 3.4 Una combinación lineal de los vectores donde

y

y

es cualquier vector

de la forma

son escalares.

TEOREMA 3.2 Teorema de la base) Si cualquier vector

y

son vectores no nulos y no paralelos, entonces

del plano determinado por

O,

y es una combinación lineal de

combinación lineal es única ya que si

DEMOSTRACIÓN. Sea figura 3.26). Se prolonga

entonces

y

y

. Esta

y

.

. Se traza por W una línea l paralela a

en ambas direcciones. l y la recta determinada por

se cruzan en un punto P, ya que

y

y que pasa por O,

no son paralelas.

Fig 3.26

para algún escalar

y

para algún escalar . Entonces

(ver

. Además,

es una combinación lineal de

y

.

Ahora, supongamos que

. Entonces se tiene que ó

Si de

y

.

no son ambos ceros, se podría entonces escribir

como un múltiplo escalar

, o viceversa. (Multiplique

3.5 APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR

PROYECCIONES.Si P es un punto y l es una recta, entonces la proyección del punto P sobre la recta l es el punto P’ en la base de la perpendicular trazada de P a l.

Ahora ampliaremos la idea de proyección de un punto a una recta a la de un vector sobre otro vector. La proyección de un vector sobre otro tiene múltiples aplicaciones en matemáticas y

física. Para proyectar un vector final Q de l,el vector

sobre una recta l se proyectan los puntos inicial P y

’ es la proyección del vector

sobre la recta l.

Si seleccionamos un punto O como origen y si son los vectores localizados no nulos de A y B respectivamente, la proyección(vectorial) de sobre es el vector donde V es la proyección del punto A sobre la línea recta determinada por el origen O y el punto B. es un número real.

Dados los vectores fijos y no nulos es posible proyectar el vector sobre el vector y sobre un vector fijo perpendicular a como se indica en la figura.

Como se observa en la figura proyección ortogonal de sobre

,donde

es la proyección de

.

TEOREMA 3.9(Propiedades de la proyección de un vector) 1.

para algún escalar

( es paralelo a

.

)

sobre

y

es la

2. 3. Podemos definir el producto escalar de dos vectores libres y como el producto escalar de sus correspondientes vectores coordenados. O de otra forma podemos usar la definición

Sin tener en cuenta las coordenadas, donde es el ángulo formado por y , no nulos. El ángulo formado por dos vectores libres y no nulos es el ángulo entre los vectores localizados equivalentes. OA y OB respectivamente.

Si o es un vector nulo, entonces al ángulo 00 y 1800.

se le puede asignar cualquier valor entre

FÓRMULA PARA CALCULAR LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO

Teorema 3.9 parte (2). Propiedad distributiva del producto escalar con respecto a+. Teorema 3.9 parte (3). Propiedad modulativa de la suma. Teorema 3.9 parte (1). Teorema 3.6 parte (3). De lo anterior se tiene que para algún escalar

La proyección de por

sobre

La proyección ortogonal de

se puede escribir como

sobre

La longitud de la proyección de

se puede escribir

sobre

es

donde el signo menos indica que la dirección de la proyección vector y el signo + indica que la dirección del vector proyección vector . Como

donde

, la proyección escalar de

es el ángulo entre

y

sobre

es contraria a la del es igual a la del

se puede escribir como

.

La noción de proyección vectorial se puede generalizar a

DEFINICIÓN 3.19 Dados dos vectores A y B sobre B es el vector

en

.

, la proyección vertical de A

El vector Que es perpendicular a B se llama la proyección ortogonal de a sobre b. Un plano en el espacio queda determinado por un punto en el plano y un vector perpendicular a el. Dicho vector se llama vector normal al plano. Ejemplo 36

EJEMPLOS EJEMPLO 36: Muestre que la ecuación del plano que contiene el punto perpendicular al vector

, donde

y

y que es son los vectores fijos (1,0,0),

(0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, es

.

Solución.

Un punto si

está en el plano determinado por es perpendicular a

, o sea, que

como

y la normal

si y solo

y se tiene que

, luego el punto P está en el plano si y solo si se verifica la última relación.

EJEMPLO 37: Hallar la ecuación del plano que contiene el punto

y es normal al

vector

es

(en términos de coordenadas al vector

Solución. Del ejemplo anterior se tiene que la ecuación del plano que contiene al punto y es normal al vector

es

.

, es decir,

EJEMPLO 38: Demuestre que el plano cuya ecuación es

tiene como normal al vector

. Solución. Sea L una recta cualquiera en el plano dado. Sean puntos de L, luego

y

dos

. esto significa que el

vector y el vector son perpendiculares, donde se concluye que el vector es perpendicular a Ly por lo tanto a cualquier recta del plano dado y por lo tanto es perpendicular al plano.

EJEMPLO 39: Encuentre la distancia del punto Solución.

al plano cuya ecuación es

.

Q es un punto conocido del plano dado que se obtiene de la ecuación es un punto del plano dado. Con base en el ejemplo anterior es perpendicular al plano dado. La proyección del vector PQ sobre el vector es PP’ que es un vector que pasa por P y es perpendicular al plano por lo que la distancia del punto P al plano dado es

.

EJEMPLO 40: TRABAJO.El trabajoW realizado por una fuerza constante dirección de la fuerza, está dado por Dina . cm o Ergio, Libra . pie).

al mover un objeto una distancia dada d en la misma unidades de trabajo. (Newton . m o Joule,

Si el movimiento no se realiza en la dirección de la fuerza, entonces el trabajo es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento por la distancia recorrida o desplazamiento.Si es el vector desplazamiento y es la fuerza, observamos que el trabajo realizado porFpara mover el objeto desdePhastaRse debe al vectorPS,la proyección vectorial deFsobreD.Luego

OBSERVACIÓN

Si

ángulo entre F y D = 00, entonces

.

1.Una fuerza de6 Newtonsse aplica con una dirección de mover un objeto del punto

Si

y

al punto

.Cuál es el trabajo realizado al

si la distancia se mide en metros?

Entonces

Joules. En física se explica el signo menos del trabajo por la acción de otras fuerzas o porque el cuerpo en movimiento tiene una velocidad inicial.

2.Una fuerza de 10 Newtons se aplica en la dirección del vector trabajo realizado al mover el objeto desde el punto la distancia se mide en metros?.

¿Cuál es el hasta el punto

si

Solución.

Si F

tiene la dirección de T, entonces ,

, m > 0, .

Luego

El vector de desplazamiento

Ahora,

El trabajo realizado es de 16 Joules.

,

,

3.6

EL

PRODUCTO

VECTORIAL

Consideremos el problema de encontrar un vector vectores

no

nulos

Como ecuaciones

y

no

perpendicular a dos

paralelos

y

.

, el problema se reduce a la solución del siguiente sistema de

podemos eliminar z multiplicando la primera ecuación por luego sumando ambas para obtener

y la segunda por

y

(1) En forma semejante, se puede eliminar y para obtener (2) se

ve

fácilmente

que

para

cualquier

constante

de

k,

,

y es una solución para el sistema formado (1) y (2) como se puede ver hay infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares. Cuando k = 1 la solución se define como el producto vectorial A x B. Por lo anterior,A x B es un vector perpendicular tanto A como a B.

DEFINICIÓN 3.20(Producto Vectorial) Para cualquier par de vectores A y B de R3 el producto vectorial de A por B se define así: . De forma similar se define el producto vectorial como el vector localizado (vector fijo) A x B. SiA o B es cero, entones es claro que A x B = 0.

de dos vectores localizados

Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces tanto

para algún escalar

, por

Se tiene entonces que si A x B son vectores paralelos, entonces A x B = 0. Recíprocamente se tiene que, si A x B = 0, entonces los vectores A y B son paralelos, siempre que A y B sean no nulos. Usando la notación de determinantes y la definición del producto vectorial tenemos que Definición 4.20

Definición de determinante

por tanto tenemos que

OBSERVACIONES

1. El miembro derecho de esta última igualdad se puede desarrollar como un determinante de orden 3 por la primera fila (solo por la primera fila). 2.El miembro de la derecha de la última igualdad se llama seudodeterminante, puesto que hablando en un sentido estricto no es un determinante ya que las entradas de la primera fila son vectores y no escalares. 3.Los vectores son los vectores localizados (fijos) asociados a los vectores coordenados (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente. Ejemplo 41

OBSERVACIONES 1.En la parte (a) y (b) se observa que

.

2.En las partes (d) y (e) observamos que 3.En las partes (f) y (g) observamos que TEOREMA 3.10 (Propiedades del producto cruz) Si A, B y C son vectores de R3 y

un número real.

1. 2. 3.

Anticonmutatividad

4. 5. Como vimos en el ejemplo anterior, el producto cruz en general no cumple la propiedad asociativa, es decir, Para los vectores

tenemos

.

Del gráfico notamos que el producto de dos vectores consecutivos en el orden indicado en la figura es el vector siguiente y si el orden es contrario da el vector con signo negativo. TEOREMA 3.11 Si A y B son vectores de R3 y B,entonces

es el ángulo entre los vectores A y

DEMOSTRACIÓN

(Ejercicio 3.6 (7)) Definición del ángulo entre dos vectores

por lo tanto ya que Interpretación geométrica del teorema 4.11.

La fórmula anterior para tiene una interpretación geométrica para lo cual determinaremos el paralelogramo determinado por A y B. El área de un paralelogramo es base por la altura, donde la base es es

entonces el área del paralelogramo es

y la altura

luego el área del paralelogramo determinado por A y B es son O y A

, los otros vértices + B.

DEFINICIÓN 3.21 (Triple producto escalar). Sean A, B y C vectores de R3, llamamos triple producto escalar al número real

. Al producto

se llama triple producto vectorial.

TEOREMA 3.12 Sean A, B y C vectores de R3, entonces 1. 2. DEMOSTRACIÓN (Ejercicios al lector) Ejemplo 42

Para continuar con esta unidad por favor dirijase a los ejercicios:

EJERCICIOS

EJEMPLOS EJEMPLO 41: Sean

,

y

a.A x B b.B x A c.

un escalar cualquiera

d.(A x B) x C e.A x (B x C) f.A x (B + C) g.A x B + A x C Solución.

. Hallar

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

EJEMPLO 42:

ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS DE RECTAS Y PLANOS Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta. Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y un vector paralelo a l.

Un punto estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a , es decir, para cualquier . Observe que si , entonces A = P, si colocamos un sistema coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .

Empleando vectores coordenados, la ecuación

puede escribirse como

(1) La ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector . Si

,

y

, entonces

de la igualdad anterior se tiene que (2) Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a obtenemos un punto específico. Si en las ecuaciones (2) despejamos el parámetro tenemos que

Por consiguiente, (3) Las ecuaciones (3) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A y es paralela al vector . Ejemplo 43 Ejemplo 44 Ejemplo 45 Ejemplo 46 Un plano queda determinado si conocemos un punto A del plano y dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre si, y .

Sea p un punto cualquiera del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores y ( no es múltiplo escalar de puesto que y no son paralelos) el plano determinado por los puntos o, V y W es el conjunto de todos los puntos que son combinaciones lineales de y . El plano paralelo a y contiene al punto A puede verse como una traslación del plano hasta A. De esta manera visto en términos de vectores coordenados es

Es la ecuación vectorial del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores no paralelos y . Las ecuaciones paramétricas del plano

EJEMPLO 43 Dado el punto y el vector Encuentre a. La ecuación vectorial de . b. Las ecuaciones paramétricas. c. Las ecuaciones simétricas. Solución. a.

paralelo a la recta l que pasa por A.

ecuación vectorial de l. b.

ecuaciones paramétricas de l.

c.

ecuaciones simétricas de l. Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos

. Si

,

Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto

y

entonces

entonces

.

EJEMPLO 44

es paralela al vector ecuación.

. Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola

Solución. Punto por el cual pasa la recta l. Vector paralelo a la recta l. Ecuación vectorial de l.

, luego las ecuaciones paramétricas de l son

igualando las ecuaciones se tiene que

esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l.

EJEMPLO 45 Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta o de sus correspondientes ecuaciones paramétricas, es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro , por ejemplo la ecuación vectorial desde

, hasta

describe el segmento de recta que va

.

EJEMPLO 46 Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los

puntos

y

.

Solución. El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto

.

luego las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son

las ecuaciones simétricas son

EJEMPLO 47 Determinar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por el punto

y es paralelo a los vectores

y

.

Solución. ecuación vectorial Las ecuaciones paramétricas del plano son

Si eliminamos los parámetros

y t obtenemos la ecuación cartesiana del plano es

EJEMPLO 48 Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa por los

puntos

,

y

.

Solución.

Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C, por lo tanto podemos tomar y .

como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, C puesto que dicho plano pasa por estos puntos. Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no son únicas.

ecuación vectorial

Eliminando los parámetros

Ecuaciones paramétricas y t obtenemos la ecuación cartesiana