Tugas Akhir Modul 1_shinta Dewi 1f216b

TUGAS AKHIR MODUL 1 Nama : Shinta Dewi No Peserta : 19060218010109 Kelas : Matematika A 1. Berdasarkan penjelasan tentang tautologi dan kontradiksi. Selesaikan masalah berikut ini dengan menuliskan langkah-langkahnya. a. ⟹ ˄ ⟹ ⇒ ⟹ ⟹ b. ˄ ~ ˄ Jawab: a. Tabel kebenaran P

q

r

⟹

B B B B S S S S

B B S S B B S S

B S B S B S B S

B B S S B B B B

⟹ ˄

⟹

⟹ ˄

⟹

⟹

⟹

B B S B B B S B ⇒

⟹

⇒

B S B S B B B B ⟹

⟹

⟹

⟹ ˄ B B S S B B S B

⟹

⟹

⟹ B B S B B B S S

bukan tautologi ataupun kontradiksi.

⟹ ˄

⟹

⇒ B B B B B B B S

⟹

⟹

b. Tabel kebenaran ˄ ~ ˄ P B B S S

q B S B S

˄ ~ ˄

~ S S B B

~ ˄ S S B S

˄ ~ ˄ S S S S

merupakan kontradiksi.

2. Buktikan keabsahan argumen berikut dengan menuliskan langkah dan aturan-aturan yang digunakan untuk pembuktian. ˄ ⇒ ˄ ~ ˅ ~ ∴ ~ ˅ ~ Jawab: ~ ˅ ~ ≡ ~ ˄ (Hukum De Morgan) Sehingga, Berlaku modus Tollens: ˄ ⇒ ˄ ~ ˄ ∴ ~ ˄ ~ ˄

≡ ~ ˅ ~

(Hukum De Morgan)

Jadi penarikan kesimpulan di atas sah.

+

3. Tentukan banyanya solusi dari persamaan Jawab:

+

= 20, dengan syarat adalah adalah adalah

Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek

• • •

=

+

+

+ … +

+

+

+



+

+

"

=

1+ +

+ … +

1 1− % '( 1− 1−

"

=

"

=

%

"

=

1−

"

=

1−

"

=

−

!

= 20

Bila disederhanakan, fungsi pembangkit "

1 1−

' 1−

1− −

+

−

+ ,

+

)(

1+

$

1− 1−

)

1−

1 % ' 1−

*

1 % ' 1−

1 % ' 1−

+ + +

≤ 5.

+ … + +

+

Setiap bentuk dalam perkalian di dapat dengan mengalikan ketiga yang memenuhi : +

+ + +

≤ 3, dan 3 ≤

dalam ekspansi :

Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien "

≥ 2, 0 ≤

menjadi : +

+



1+

+

pada faktor pertama dengan

!

pada faktor kedua dan

!

pada faktor

Banyak solusi bulat adalah koefisien → +

3 + 12 − 1 = 45 6 12

.

,

17 = 5 6 = 136 15

3 + 15 − 1 = 45 6 15

.

. .

+

3 + 11 − 1 = 45 6 11

3+8−1 = 45 6 8

dalam G(x) adalah sebagai berikut :

14 = 5 6 = 91 12

+

13 = 5 6 = 78 11

10 = 5 6 = 45 8

Jadi, solusinya = 136 − 91 − 78 + 45 = 12 cara.

4. Perhatikan graf berikut!

Apakah graf pada gambar di atas merupakan graf bipartisi? Apakah graf tersebut merupakan graf bipartisi lengkap? Jelaskan jawaban Anda! Jawab: Gambar diatas adalah graf bipartisi, terlihat dari pembagian partisi yaitu V1 = (a, c, h, f) V2 = (b, d, e, g) Meskipun ini termasuk graf bipartisi, namun tidak termasuk graf bipartisi lengkap. Karena tidak semua titik pada V1 dihubungkan dengan semua titik di V2. Contohnya titik a dan titik g tidak ada edge yang menghubungkan.

5. Perhatikan graf berikut. Tersedia enam warna berbeda untuk mewarnai semua titik sehingga dua titik yang bertetangga (adjacent) berbeda warna. Ada berapa cara mewarnai semua titik tersebut?

Jawab: Misal : G graf dengan |8 " | = 6

Karena |8 " | = 6, maka " ≤ 6, pada graf G memuat graf komplit K4, akibatnya " = 4. Jadi, banyaknya warna yang digunakan untuk mewarnai graf G tersebut agar setiap dua titik yang bertetangga berbeda warna adalah 4. Maka banyak cara mewarnai graf tersebut adalah kombinasi 4 dari 6, yaitu C(6,4) = 15 cara