Triunghi Isoscel Echilateral Proprietati 6c2d40

Mediana unui triunghi reprezintă segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse . С

Construirea medianei cm С a

А

М

В

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.

Construcţia bisectoarei cm С

А

М

В

Î N Ă L Ţ I M E

1

Înălțimea unui triunghi reprezintă distanța de la un vârf al acestora până la latura opusă lui.

Construirea înălţimei cm cu ajutorul compasului С

А

М

В

Înălţimea triunghiului. Construiţi înălţimele triunghiului

cu ajutorul echerului

Punct de greutate!

ortocentru!

Centrul cercului înscris

Se numeşte triunghi isoscel triunhgiul care are 2 laturi congruiente. А

B

С

Triunghi isoscel А

ÀÂÑ  isoscel ÀÂ  ÀÑ

В

BAZĂ

С

АВΞВС - laturi laterale a triunghiului isoscel В

АС - baza triunghiului isoscel <А, <С – unghiurile de la bază a triunghiului isoscel

<В – unghiul de la vîrf a triunghiului isoscel

А

С

Triunghiul, care are toate В laturile congruiente, se numeşte triunghi echilateral

А

С

Triunghi echilateral P

∆МNP- ∆ echilateral MN Ξ NP Ξ MP

M

N

În jocul cu biliarde se foloseşte o ramă specială sub formă de triunghi isoscel, pentru aranjarea bilelor pe masă.

La crearea trotuarelor.

Triunghiul lui Pascal.

Computerul a transformat triunghiul lui Pascal în colori.

ТЕОRЕМА Într-un triunghi isoscel В unghiurile de la bază sunt congruiente АС – baza

<А Ξ <С А

С

ТЕОRЕМА Reciprocă В

Dacă un triunghi are două unghiuri congruiente, atunci triunghiul este isoscel <А Ξ <С АB Ξ BC

А

С

∆ АBС – isoscel

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruiente şi egale cu 600 P

∆МNP- ∆ echilateral MN Ξ NP Ξ MP

<M Ξ

N

Dacă într-un triunghi toate unghiurile sunt congruiente, atunci acest triunghi este P echilateral

<M Ξ

∆МNP- ∆ echilateral M

N MN

Ξ NP Ξ MP

ТЕОRЕМА Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi isoscel este totodată înălțime, mediană și mediatoare .

В

А

А

М

С

ТЕОRЕМА Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi echilateral este totodată înălțime, mediană și mediatoare .

В

А

А

М

С

Bisectoarea dusă la latura laterală!

А

В

Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi isoscel este totodată înălțime, mediană .

С

Bisectoarea dusă la latura laterală!

În acest triunghi isoscel sunt construite 3 bisectoare. Care bisectoare este dusă la bază? Apăsaţi clic pe ea.

Găsiţi triunghiurile la care bisectoarea este înălţime şi mediană apăsaţi clic pe ea. С

О

А

О

А

С

В

А В triunghi isoscel. ВО – bisectoare, dusă la latura laterală!

С

О

В

Corect. triunghi isoscel. ВО – bisectoare, dusă la bază, rezultă ВО – mediană, ВО – înălţime!

В

С

Corect. triunghi isoscel. ВО – bisectoare, dusă la bază, rezultă ВО – mediană ВО – înălţime!

О С

А А

В

Nu-i triunghi isoscel! bisectoare ВО nu este nici mediană, nici înălţime!

О Nu-i triunghi isoscel! ВО înălţime!

Numiţi triunghiul isoscel şi baza lui.

Găsiţi unghiul congruient cu <АDN şi apăsăţi clic pe el. С

ABC KDN ADN KCD

Bravo! D

K

В

O Întrebare adăugătoare

N

OKN А

BKN OBK

∆АВС - ∆ isoscel. Determinaţi unghiul congruient cu
Corect! А

Incorect! С

Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruiente. ∠В=∠А

В

Verificare

Problemă. Baza tiunghiului isoscel este de două ori mai mică decît laturile laterale. Aflaţi laturile triunghiului isoscel, dacă perimetrul este egal cu 50 cm. В

2х

Se dă: ∆ABC- isoscel, АВ=ВС=2АС, Р=50cm.

2х

Aflaţi: АВ, ВС, АС. Rezolvare. ∆ABC- isoscel сu baza АС.

 atunci АВ = 2х cm,  С х ВС =2х cm.   Alcătuim ecuaţia: Fie АС = х cm.

А

Х+2х+2х=50 5х=50 Х=10 АС=10 cm. АВ=ВС=20cm. Răspuns: 20cm, 20cm,10cm.

Р=50cm

Alte proprietăţi: 1. înălţimea triunghiului isoscel, dusă la bază, este mediană şi bisectoare

2. mediana triunghiului isoscel, dusă la bază, este înălţime şi bisectoare.

Alte proprietăţi: 1. înălţimea triunghiului echilateral, dusă la bază, este mediană şi bisectoare

2. mediana triunghiului echilateral, dusă la bază, este înălţime şi bisectoare.

С

N

Înălţimile, medianele şi bisectoarele în triunghiul echilateral se intersectează într-un punct.

D O

А

F

В

Aflaţi

 АВD triunghiul АВС - isoscel В

? 400

А

D

ВD – mediană rezultă, ВD - bisectoare

 АВD = DВС

С

 DВА

Aflaţi

А

АВD - isoscel ВС – mediană rezultă, ВС - bisectoare

В

?

С

500

D

 АВС = DВС

Aflaţi

 АВD А

D

? В 600 30

СВК - isoscel ВМ – înălţime rezultă, ВМ - bisectoare

 СВМ = КВМ  СВК = АВD С

М

К

Aflaţi

 АВD

АВК - isoscel

D

ВС – mediană rezultă, ВС - bisectoare В

?

00 12030

А

С

 АВС = КВМ

 АВD = 1800 - 600

К

Aflaţi

 DВА

С

АСD - isoscel ВА – bisectoare rezultă, ВА - înălţime

А

?

В

D

 АВС = DВС

Aflaţi

 АВD

СКВ - isoscel АКВ - isoscel ВD – mediană rezultă, ВD - bisectoare

К

550

D

С

700

1100

В

?

550

 KBD = ABD

А

Aflaţi

 АВD

АКВ - isoscel СКВ - isoscel ВD – mediană

rezultă, ВD - bisectoare

К

200

200

 KBD = СBD D

А

400

С

?

В

Se dă: АВ = ВС, ВЕ – median triunghiului АВС,  АВЕ = 40030/ Aflaţi  АВС,  FEC В

АВC - isoscel

ВЕ – mediană rezultă, ВЕ - bisectoare

 АВЕ = СВЕ А

900 900 Е 90 ?0

F

 АВС = 810 С ВЕ – mediană rezultă, ВЕ - înălţime

 ВЕС = 900

 FЕС = 900

Se dă: АВ = ВС, AE = 10cm,  FEC=900, АВС = 130030/ Aflaţi  ЕВС,

АС.

АВC - isoscel В

?

130030/

А

Е 900

F

ВЕ – înălţime rezultă, ВЕ - bisectoare

 АВЕ = СВЕ  ЕВС = 65015/ С ВЕ – înălţime rezultă, ВЕ - mediană АС = 2*АЕ = 20(cm)

Se dă: АD = DС, Dem-aţi:

 АDB = СDВ.

 ВАС = ВCА В 1 2

şi ВD AC

 АDВ =  СDВ ( LUL)  АВС - isoscel

 ВАС = ВСА D А

F

ВD – bisectoare rezultă, ВF - înălţime С

ВD AC

Se dă: АВ=ВС, АО=ОС, ОК – bisectoarea  ВОС Aflaţi

 АОК В

 АВС - isoscel ВО – mediană rezultă, ВО - înălţime

К

ОК – bisectoare rezultă, 0 45

900

А

О

 ВОК = СОК = 450

С

 АОК = 1350

Se dă: АВ=ВС, ОМ – bisectoarea  АОВ

 МОС = 1350

АВО = ОВС

Dem-ţi, că

В

 АВС - isoscel ВО – înălţime rezultă, ВО - bisectoare

 АВО = ОВС

М

А

450

900

О

С