Trapecio Formulas 3w1s3s

Trapecio Es un cuadrilátero cuyos dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos. Se llaman a los lados paralelos las bases del trapecio y a otros dos – los lados laterales. También se llama el trapecio a un cuadrilátero cuyo un par de los lado opuestos es paralelo y los lados no son iguales entre si. Elementos del trapecio: 

Bases de trapecio son los lados paralelos



Lados laterales son otros dos lados



Mediana es el segmento que une las mitades de los lados laterales.

Tipos de trapecios: 

Trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados laterales son iguales



Trapecio rectángulo es un trapecio uno de los lados laterales del cual es perpendicular a las bases

fig.1

fig.2

Propiedades del trapecio 1. Se puede inscribir una circunferencia en el trapecio si la suma de las longitudes de las bases equivale a la suma de las longitudes de los lados laterales: AB + CD = BC + AD 2. Mediana del trapecio divide por la mitad a cualquier segmento que une dos bases, también divide las diagonales por la mitad: AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD 3. Mediana del trapecio es paralela a las bases y equivale a sus semisumas: a+b m= 2 4. Mediana del trapecio es paralela a las bases y equivale a sus semisumas. 5. En un trapecio su lado lateral se ve desde el centro de la circunferencia inscrita bajo el ángulo de 90°. 6. Cada diagonal en el punto de la intersección se divide en dos partes con tal correlación de la longitud como la de entre las bases: BC : AD = OC : AO = OB : DO 7. Diagonales del trapecio d1 y d2 están relacionadas con los lados mediante la correlación de: d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

Lado del trapecio Fórmulas para hallar longitudes de los lados del trapecio: 1. Fórmula de la longitud de las bases a través de la mediana y otra base: a = 2m - b b = 2m - a 2. Fórmulas de la longitud de las bases a través de la altura y los ángulos al lado de la base inferior: a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a - h · (ctg α + ctg β) 3. Fórmulas de la longitud de las bases a través de los lados laterales y los ángulos al lado de la base inferior: a = b + c·cos α + d·cos β b = a - c·cos α - d·cos β 4. Fórmulas de los lados laterales a través de la altura y los ángulos al lado de la base inferior: h с=

h d=

sin α

sin β

Mediana del trapecio Definición. La mediana es un segmento que une los centros de los lados laterales de un trapecio.

Fórmulas para hallar la longitud de la mediana del trapecio: 1. Fórmula para hallar la longitud de la mediana a través de las longitudes de las bases: a+b m= 2 2. Fórmula para hallar la longitud de la mediana a través del área y la altura: A m= h

Altura del trapecio Fórmulas para hallar la longitud de la altura del trapecio:

1. Fórmula de la altura a través de un lado y el ángulo adyacente al lado de la base: h = c·sin α = d·sin β 2. Fórmula de la altura a través de las diagonales y los ángulos entre ellas: d1 d2 h=

d1 d2

sin γ ·

=

sin δ ·

a+b

a+b

3. Fórmula de la altura a través de las diagonales, los ángulos entre ellas y la mediana: d1 d2 h=

d1 d2

sin γ ·

=

sin δ ·

2m

2m

4. Fórmula de la altura del trapecio a través del área y las longitudes de sus bases: 2A h= a+b 5. Fórmula de la altura del trapecio a través del área y la longitud de la mediana: A h= m

Diagonales del trapecio Fórmulas para hallar las longitudes de las diagonales del trapecio: 1. Fórmulas de las diagonales por el teorema de cosenos: d1 = √a2 + d2 - 2ad·cos β d2 = √a2 + c2 - 2ac·cos β 2. Fórmulas de las diagonales a través de los cuatro lados:

d1 =

√

a(d 2 - c2) d 2 + ab -

d2 = a-b

√

a(c2 - d 2) c2 + ab a-b

3. Fórmula de la longitud de las diagonales a través de la altura: d1 = √h2 + (a - h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2 d2 = √h2 + (a - h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2 4. Fórmulas de longitud de la diagonal a través de la suma de los cuadrados de diagonales: d1 = √c2 + d 2 + 2ab - d22 d2 = √c2 + d 2 + 2ab - d12

Área del trapecio Fórmulas para hallar el área del trapecio: 1. Fórmula del área a través de la base y la altura: (a + b) A=

·h 2

2. Fórmula del área a través de la mediana y la altura: A=m·h 3. Fórmula del área a través de las diagonales y el ángulo entre ellas: d1d2 A=

d1d2 · sin γ

=

2

· sin δ 2

4. Fórmula del área a través de los cuatro lados: A=

a+b

c2 -

(

(a - b)2 + c2 - d 2

)

2

√

2

2(a - b)

5. Fórmula de Herón para el trapecio a+b A=

√(s - a)(s - b)(s - a - c)(s - a - d) |a - b|

donde s=

a+b+c+d 2

- trapecio semiperimetro.

Perímetro del trapecio Fórmula para hallar el perímetro del trapecio: 1. Fórmula del perímetro a través de las bases: P=a+b+c+d

Circunferencia circunscrita alrededor del trapecio ¡¡¡Se puede circunscribir la circunferencia sólo alrededor del trapecio isósceles!!!

Fórmula para hallar el radio de la circunferencia circunscrita alrededor del trapecio: 1. Fórmula del radio a través de los lados y la diagonal: a·c·d1 R= 4√p(p - a)(p - c)(p - d1) donde p= a - la base mayor

a + c + d1 2

Circunferencia inscrita en el trapecio Se puede inscribir la circunferencia en el trapecio si la suma de las longitudes de las bases equivale a la suma de las longitudes de los lados laterales: a+b=c+d

Fórmula para hallar el radio de la circunferencia circunscrita en el trapecio 1. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita a través de la altura: h r= 2

Otros segmentos del trapecio escaleno Fórmulas para hallar las longitudes de los segmentos que pasan por el trapecio: 1. Fórmula para hallar las longitudes de los segmentos que pasan por el trapecio: b KM = NL =

a KN = ML =

2

a·b TO = OQ =

2

a+b