Trabajo Frontera Movil 546a2n

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Expansión y compresión.

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL El trabajo de frontera diferencial hecho al moverse el émbolo una distancia 𝑑𝑠 es: 𝛿𝑊𝑏 = 𝐹𝑑𝑠 = 𝑃𝐴𝑑𝑠 = 𝑃𝑑 Por lo tanto, el trabajo de frontera total realizado desde el estado inicial hasta el final es la suma de los trabajos diferenciales: 2

𝑊𝑏 = න 𝑃𝑑 1

𝐴 𝑃

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL La integral anterior se puede evaluar sólo si 𝑃 = 𝑓( , que es la ecuación de la trayectoria en un diagrama 𝑃−

𝑃 = 𝑓( Trayectoria del proceso

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL 𝑃 = 𝑓( Trayectoria del proceso

𝛿𝑊𝑏 = 𝑃𝑑

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL 𝑃 = 𝑓( Trayectoria del proceso

𝑾𝒃

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL El trabajo de frontera realizado durante un proceso depende de la trayectoria seguida, así como de los estados finales.

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL El trabajo neto hecho durante un ciclo es la diferencia entre el trabajo hecho por el sistema y el trabajo hecho sobre el sistema. 𝑊neto = 𝑊𝐴 − 𝑊𝐵

𝑊neto

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 1: Un recipiente rígido contiene aire a 500 kPa y 150°C. Como resultado de la transferencia de calor hacia los alrededores, la temperatura y la presión dentro del recipiente descienden a 65°C y 400 kPa, respectivamente. Determine el trabajo de frontera hecho durante este proceso. 2

𝑊𝑏 = න 𝑃𝑑 1 0

∙∴ 𝑊𝑏 = 0

Calor

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 2: Un dispositivo sin fricción que consta de cilindro-émbolo contiene 10 lbm de vapor a 60 psia y 320°F. Se transfiere calor al vapor hasta que la temperatura alcanza 400°F. Si el émbolo tiene masa constante, determine el trabajo que realiza el vapor durante este proceso.

Calor

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 2 (Sol.): proceso isobárico.

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 2 (Sol.): proceso isobárico.

2

= 𝑃0

𝑊𝑏 = 𝑃0 න 𝑑

2

−

1

𝑊𝑏 = 𝑚𝑃0

2

−

1

3 = 7.484 ft /lbm 1 3 /lbm = 8.352 ft 2 𝑚 = 10 lbm 𝑃𝑜 = 60 psia 2

2

𝑊𝑏 = න 𝑃𝑑 = න 𝑃0 𝑑 1

1

𝑾𝒃 = 𝟓𝟐𝟎. 𝟕 𝐥𝐛𝐦 − 𝐟𝐭 𝟑 𝑾𝒃 = 𝟗𝟔. 𝟑𝟔 𝐁𝐭𝐮

1

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 3: Al inicio un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 0.4 m3 de aire a 100 kPa y 80°C. Se comprime el aire a 0.1 m3 de tal manera que la temperatura dentro del cilindro permanece constante. Determine el trabajo hecho durante este proceso.

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 3 (Sol.): proceso isotérmico. Considerando al aire como gas ideal 𝑃 = 𝑚𝑅𝑇 𝑚, 𝑇 𝑦 𝑅 son constantes ∴ 𝑚𝑅𝑇 = 𝐶 𝑪 o 𝑷 =𝑪 𝑃 =𝐶 →𝑷=

También se obtiene: 𝑃1 1 = 𝑃2

2

=𝐶

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL Ejemplo 3 (Sol.): El trabajo de frontera 2

2

𝑊𝑏 = න 𝑃𝑑 = න 1

𝑊𝑏 = 𝑃1 𝑉1 ln

𝐶

2

𝑑

= 𝐶න

1

𝑉2 1

= 𝐶 ln

𝑉2 1

1

= 𝑃2 𝑉2 ln

𝑊𝑏 = 100 kPa 0.4 m3

𝑑

𝑉2 1

= 𝑚𝑅𝑇0 ln

𝑉2 1

0.1 m3 ln = −𝟓𝟓. 𝟓 𝐤𝐉 3 0.4 m

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Proceso politrópico Si en un proceso real, se cumple que 𝑃𝑉 𝑛 = 𝐶, donde 𝑛 y 𝐶 son constantes, entonces al proceso se le llama proceso politrópico.

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Proceso politrópico Ecuación del trabajo de frontera realizado durante el proceso politrópico.

𝑊𝑏 = න 𝑃𝑑

=න 𝐶

−𝑛

𝑑

1

1

𝑊𝑏 = 𝐶

2

2

2

−𝑛+1 2

− 1−𝑛+1 𝐶 = 1−𝑛

= 𝐶න

−𝑛

𝑑

=𝐶

1

−𝑛 2 2

2

−𝑛+1

−𝐶 1−𝑛

−𝑛 1 1

−𝑛 + 1

=

𝑷𝟐

ቮ 1

− 𝑷𝟏 𝟏−𝒏 𝟐

𝟏

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Proceso politrópico Para un gas ideal, 𝑃1

1

= 𝑚𝑅𝑇1 y 𝑃2

2

= 𝑚𝑅𝑇2

𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 𝑚𝑅𝑇2 − 𝑚𝑅𝑇1 = 𝒎𝑹 𝑊𝑏 = 𝟏−𝒏 1−𝑛

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Ejemplo 4: Un dispositivo de cilindro-émbolo contiene 0.05 m3 de un gas que se halla inicialmente a 200 kPa. En este estado, un resorte lineal que tiene una constante de resorte de 150 kN/m está en o con el émbolo sin ejercer ninguna fuerza sobre él. Después se transfiere calor al gas de modo que el émbolo sube y comprime el resorte hasta que el volumen dentro del cilindro se duplica. Si el área de sección transversal del émbolo es de 0.25 m2, de termine a) la presión final dentro del cilindro, b) el trabajo total hecho por el gas y c) la fracción de trabajo realizado contra el resorte para comprimirlo. Calor

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Ejemplo 4 (Sol.): 𝐴 = 0.25 m2 1

= 0.05 m3

𝑘 = 150 kN/m 2

=2

1

= 0.1 m3

Desplazamiento del émbolo 0.1 − 0.05 m3 0.05 ∆ = = m 𝑥= 2 0.25 m 0.25 𝐴

𝒙 = 𝟎. 𝟐 𝐦

𝑃𝑔 = 200 kPa

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Ejemplo 4 (Sol.): a) la presión final dentro del cilindro 𝐹 = 𝑘𝑥 = 150 kNΤm 0.2 m 𝑭 = 𝟑𝟎 𝐤𝐍 𝑃𝑟 = 𝐹 Τ𝐴 = 30 kNΤ0.25 m2 𝑷𝒓 = 𝟏𝟐𝟎 𝐤𝐏𝐚 𝑃𝑓 = 𝑃𝑟 + 𝑃𝑔 = 200 kPa + 120 kPa 𝑷𝒇 = 𝟑𝟐𝟎 𝐤𝐏𝐚

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Ejemplo 4 (Sol.): b) el trabajo total hecho por el gas 2

0.2

𝑊𝑡 = න 𝐹𝑑𝑠 = න 1

0

𝑃𝑔 𝐴 + 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑃𝑔 𝐴𝑥 + 𝑘 2

𝑊𝑡 = 200 kPa 0.25 m2

𝑊𝑡 = 10 kJ +3 kJ

𝑥2

kN 0.2 m + 150 m

→ 𝑾𝒕 = 𝟏𝟑 𝐤𝐉

0.2 ቮ 0

0.2 m 2

2

TRABAJO DE FRONTERA MÓVIL: Ejemplo 4 (Sol.): c) La fracción de trabajo realizado contra el resorte para comprimirlo. 𝑾𝐫𝐞𝐬𝐨𝐫𝐭𝐞 = 𝟑 𝐤𝐉