Teoria Basica Probabilidad 502s4k

PROBABILIDAD: CONCEPTOS BASICOS Profesor Carlos Andrés Medina

Si lanzamos una moneda 200 veces y anotamos los resultados del sucesos ello, después de 10, 20, 30, … 200 lanzamientos, se puede observar que dividiendo el número de veces que salió sello y el número de veces que lanzamos la moneda, tiende a estabilizarse hacia el valor 0,5. En general, cuanto mayor sea el número de pruebas realizadas, el suceso se acerca a un cierto número que llamaremos Probabilidad del evento. Experimento aleatorio Los experimentos aleatorios son aquellos experimentos en los que, a pesar de conocer todos los resultados posibles, no se puede predecir cuál de ellos se va a obtener. El color de una margarita, Número de hojas en una planta, Alumnos de primer semestre el próximo año, fluctuación del dólar durante este año, jugar al parqués lanzando los dados. Espacio Muestral (S) Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Nota: #(S) significa el número de elementos que tiene el conjunto S. Este valor se conoce como resultados posibles del experimento.

Ejemplo 1: El espacio muestral asociado al experimento de lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior es: Espacio Muestral= { C ara, Sello}

Ejemplo 2 (Ver figura 1): Si se considera el experimento de lanzar dos monedas sobre una mesa y anotar los resultados, el espacio muestral (S) es:

S={ CC, CS, SC, SS } Siendo: C = “cara” y S = “sello

#(S) =4

Figura 1: Diagrama de árbol para establecer el espacio muestral al lanzar dos monedas.

Ejemplo 3: Si el experimento es lanzar dos dados al aire, ¿Cuál es el espacio muestral S? El espacio muestral (S) es:

S={(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6) ; (5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6) ; (6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)}

#(S)=16

EVENTO (E): Es cualquier subconjunto del espacio muestral Ejemplo: en el experimento “lanzar dos dados al aire” hay muchos eventos, algunos de ellos pueden ser: Sacar 7 en la suma de las caras de los dados Sacar par en un dado e impar en el otro Sacar más de 4 en la suma de los dados

Nota: #(E) significa el número de elementos que tiene el conjunto E. Este valor se conoce como resultados favorables al Evento.

Ejemplo: en el experimento “lanzar dos dados al aire” se tiene el siguiente evento: Sacar 7 en la suma de las caras de los dados

#(E)={(4,3); (3,4); (5,2); (2,5); (6,1); (1,6)}

Definición Frecuentista de Probabilidad (Fórmula de Laplace): La probabilidad de un Evento E es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles (espacio muestral). La probabilidad del Evento E se representa por P (E).

P (E) =

Número de resultados favorables al evento E ________________________________ Número de resultados Posibles

=

#(E) ____ #(S)

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número par? El espacio muestral es S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea E el evento: “Obtener un número par”, entonces: E= {2, 4, 6}, luego

( )

( ) ( )

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un múltiplo de 3? Sea C el Evento: “obtener un múltiplo de 3”, entonces C = {3, 6}. Ya sabemos que el espacio muestral es S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, luego:

( )

( ) ( )

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga un siete? Sea E el evento: “Obtener siete”, entonces E= {(5,2); (2,5); (3,4); (4,3); (6,1);(1,6)} El espacio muestral (S) es:

S={(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (2,6) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (3,5) ; (3,6) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (4,5) ; (4,6) ; (5,1) ; (5,2) ; (5,3) ; (5,4) ; (5,5) ; (5,6) ; (6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (6,6)} ( )

( ) ( )

APLICACIÓN 1: CÁLCULO DEL TAMAÑO DE MUESTRA teniendo la proporción de éxitos y desconociendo la Población Cuando se pretende realizar una encuesta a una muestra representativa de una Población estudio, el tamaño (n) de la muestra dependerá de cuatro valores: 1. P: La probabilidad éxito de encontrar un individuo que cumple las características que se quiere hallar. 2. La probabilidad de fallar en encontrar un individuo que cumple las características que se quiere hallar: Q=1-p 3. d: La precisión exigida o error itido en el estudio 4. Zα: valor de la tabla normal estándar, asociado a un riesgo “α” o una confianza “1-α”, es decir, en el intervalo ( - Zα, Zα ) de una distribución Normal Estándar, es el valor de la variable comprendido dentro del intervalo que tiene la probabilidad: 1-α

Así, la fórmula es la siguiente:

( ( )

)

Ejemplo: Supongamos que se desea realizar una encuesta en una población de s del metro y en particular, se desea medir la proporción de s jóvenes entre los 15 y 20 años. Si se sabe que 15 de cada 100 personas es un de esta edad, que el error de aproximación es de un 5% y que el nivel de confianza se fija en el 95%. El tamaño de la muestra necesario para dicha encuesta según la fórmula sería:

n = (1,962 x 0,15 x 0,85) / 0,052 = 196 encuestas Ejercicio: En la clínica “Prado” se adelanta un estudio en pacientes con Leucemia y se analizan las reacciones que tienen frente a un tipo de radiación. Si se encuentra de cada 100 pacientes 2 no aceptan la radiación ¿Qué tamaño de muestra se requiere para garantizar que habrá un riesgo de solo 0,004 de tener error del 2% en la estimación?