Taller Permutaciones Y Combinaciones 84t5t

TALLER PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES

OMAR GARCIA ROJAS ANDRES BOJACA RINCON PAULA ANDREA MOYA ORTIZ

LIC. DANIEL BEJARANO SEGURA

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA SEDE VILLAVICENCIO FACULTAD DE INGENIERIAS ESTADISTICA Y PROBABILIDADES VILLAVICENCIO – META

TALLER PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES 1. Identifique y aplique un método de conteo en cada uno de los siguientes numerales. a) Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con los números 4,5,6,7,8 y 9. SOLUCIÓN Pn = n!

Donde n = 6!

Pn = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Pn = 720 RTA: Se pueden formar 720 números de tres cifras con los números 4,5,6,7,8, y 9 b) ¿De cuantas maneras diferentes es posible contestar una prueba de verdadero o falso, que consta de 9 preguntas? SOLUCIÓN Hay dos soluciones, la primera si no podemos dejar preguntas sin contestar, y la segunda si podemos dejarlas. 1.-Si no podemos dejar preguntas sin contestar, tendríamos nueve preguntas con dos posibles respuestas: 2^9 = 512 posibilidades 2.-Si podemos dejar preguntas en blanco, tendríamos nueve preguntas con tres posibles respuestas 3^9 = 19683 posibilidades c) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5, y 6 si cada dígito se puede utilizar una sola vez? SOLUCIÓN Pn = n! P3 =

7

P3 =

7

7! ( 7−3 ) ! 7 x 6 x5 x 4! 4!

= 7x6x5

P3 = 210

7

RTA: Se pueden formar 210 números de tres cifras con los dígitos 0,1,2,3,4,5, y 6 utilizando solo una vez cada dígito d) ¿Con 9 jugadores de cuantos modos se puede disponer una novena de béisbol si el pícher y el cácher son siempre los mismos? SOLUCIÓN Pn = n! Donde n! = 7! Pn = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Pn = 5040 RTA: Se puede disponer de 5040 modos una novena de béisbol siendo el pícher y el cácher los mismos e) Para hacer una rifa de 4 cifras distintas con los dígitos del 0 al 9, ¿Cuántas boletas habrá que imprimir? SOLUCIÓN 10! ( 10−4 ) ! 10 ! 10P4 = 6! 10 x 9 x 8 x 7 x 6 ! 10P4 = 6! 10P4 = 5040 10

P4 =

RTA: Se habrán que imprimir 5040 boletas para hacer la rifa de 4 cifras distintas con los dígitos del 0 al 9 2. Identifique y aplique un método de conteo en cada uno de los siguientes numerales. a) Con 5 consonantes y 3 vocales, ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las 8 letras en un renglón? SOLUCIÓN Donde n=8 P8 = 8! P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

P8 = 40320 RTA: Se pueden ordenar de 40320 formas diferentes con 5 consonantes y 3 vocales b) 4 parejas de casados compraron 8 asientos en una fila para un concierto. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar si cada pareja se sienta junta? SOLUCIÓN  

Cada pareja puede ocupar lugares del primero al cuarto es decir 4! = 24 formas Ahora cada pareja tiene 2 asientos prefijados puede ponerse de dos formas con el marido a la izquierda o la derecha, entonces al ser 4 parejas sería 2 x 2 x 2 x 2 = 16 formas

Entonces decimos total de formas P4 x 24 = 24 x 16 P4 = 384 formas RTA: Se pueden sentar de 384 formas cada pareja junta c) ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar todas las letras de la palabra TERRATENIENTE? SOLUCIÓN Donde n = 13 entonces

en la cual se repiten las letras: T:3 veces R:4 veces E:4 veces N:2 veces I:1 vez

13 ! 3 ! x 2! x 4 ! x 2 x 1 x 1 x 1

A:1 vez

13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 ! 3 x2 x1 x2 x1 x2 x1x 4! Pn = 10810800 RTA: Se pueden ordenar de 10810800 maneras diferentes

d) 3 libros ses, 4 españoles y 2 italianos van a ser colocados en un estante (en fila) de modo que los libros de un mismo idioma queden juntos. ¿De cuantas formas diferentes se puede hacer esto? SOLUCIÓN Tenemos 6 formas de acomodarlos así : F I E IFE FEI IEF EIF EFI Teniendo de cada uno: F = 3! = 6 I = 2! = 2 E = 4! = 24 Total maneras de acomodar los libros es 3! x 3! x 4! x 2! = 1728 RTA e) 4 rusos y 5 norteamericanos se van a sentar en una fila de 9 sillas ¿De cuantas formas diferentes se ordena si los rusos deben quedar juntos? SOLUCIÓN P6 x P4 = 6! X 4! = 17280 maneras RTA: Se pueden ordenar de 17280 maneras diferentes siempre quedando los rusos juntos 3. Identifique y aplique un método de conteo en cada uno de los siguientes numerales. a) Cuantas selecciones de cuatro letras pueden hacerse con las letras de la palabra “Alfredo”. SOLUCIÓN Donde n = 7 selección es de 4 C4 =

7

7! ( 7−4 ) ! x 4 !

=

7 x 6 x5 x 4! 4! x3!

C4 =

7

7 x 6 x5 3 x2 x1

C4 = 35 RTA

7

b) ¿Cuántas selecciones diferentes de tres monedas pueden hacerse con una pieza de 5 centavos, una de 10, una de 40 y una de a peso? SOLUCIÓN C3 =

4

4! ( 4−3 ) ! x 3 !

=

4! 1! x3!

=

4 x3! 3!

=4

RTA: Se pueden hacer 4 selecciones diferentes con las tres monedas c) Para ir al mundial, la selección Colombiana de fútbol dispondrá de 20 jugadores 18 de campo y 2 arqueros ¿Cuántas selecciones podrán hacerse para jugar un partido, si Valentierra, Ángel y Henao siempre juegan? Además los jugadores de campo pueden ocupar cualquier puesto menos el de arquero, y los arqueros no pueden jugar de campo. SOLUCIÓN Cr (15,7) =

15! 7 ! ( 15−7 ) !

=

15 ! 7! x 8!

=

15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 ! 8! x7 x6 x 5x 4 x 3 x2 x1

= 6435

Como dos arqueros tienen dos posibilidades para el mismo puesto es decir 2! Entonces tenemos 6435 x 2! = 12870 RTA d) Un colegio participa en 12 partidos de fútbol en una temporada. ¿De cuantas maneras de acuerdo al calendario puede el equipo terminar la temporada con 7 victorias, 3 derrotas y dos empates? SOLUCIÓN 12! = 7! x 3! x2!

12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 ! 7! x 3x 2x 1x 2x 1

=

12 x 11 x 10 x 9 x 8 12

= 7920 RTA

e) En un examen se ponen 8 temas para que el alumno escoja 5. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer el alumno?

SOLUCIÓN 8! 8! = ( 8−5 ) ! 3!

=

8x 7 x4 x3! 3!

= 224 RTA

f) Al reunirse ciertos números de personas se dan la mano para saludarse, si en total se dieron 105 apretones de mano. ¿Cuántas personas se saludaron? SOLUCIÓN

 

Sea x el numero de personas x−1 saludos de cada persona 2

x (x−1) 2

= 105

x2 – x = 2 (105) x(x – 1) = 210 x2 – x = 210 x2 – x – 210 = 0  (x – 15 = 0) entonces x = 15  (x + 14 = 0) entonces x= - 14 RTA: El número de personas que se saludan es de 15 ya que se descarta el valor negativo 4. El baloto es un tipo de lotería que consiste en elegir un subconjunto de seis números distintos del conjunto {1,2,3,…,45}, dentro de los cuales solo una combinación es la ganadora del primer premio. Si un participante compró un boleto nada más, calcule de cuantas formas: a) Se puede obtener cinco de los seis números premiados. b) Se puede cuatro de los seis números premiados. c) Se puede no acertar a ninguno de los seis números premiados SOLUCIÓN 45 ! ( 45−6 ) ! 6!

=

45 ! 39 ! 6 !

= 8145060 RTA

Esto significa que el número de resultados posibles del baloto es 8145060 y como solo existe una combinación ganadora, la probabilidad de ganar el premio mayor es 1 entre 8145060

a) Se puede obtener cinco de los seis números premiados.

(65 )

P(Acertar 5) =

x

(391)

________________

6 x 39 8145060

=

234 RTA 8145060

=

(456) b) Se puede cuatro de los seis números premiados.

(64 )

P(Acertar 4) =

x

(392)

________________

=

15 x 741 8145060

=

11115 RTA 8145060

(456) c) Se puede no acertar a ninguno de los seis números premiados P(No acertar ninguno) =

(60 )

x

(396)

________________

=

1 x 3262623 8145060

=

3262623 RTA 8145060

(456) 5. ¿cuántos alumbrados distintos de 4 bombillas se pueden hacer con 9 bombillas de diferente diseño? SOLUCIÓN C4 =

9

9! ( n−4 ) ! 4 !

=

9! 5! x 4!

=

9x 8 x7 x6 x 5! 5! x 4 x 3x 2x 1

=

3024 24

= 126 RTA

6. ¿cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 4,5,6,7,8 y 9 si no se pueden repetir? SOLUCIÓN

Donde n = 6 Pn = 6! P6 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 P6 = 720 RTA 7. ¿Cuantos titulares de 5 futbolistas pueden hacerse con 14 jugadores si cada jugador debe jugar en su posición respectiva? SOLUCIÓN 14 ! ( 14−5 ) ! 5 ! 2002 RTA 14

C 5=

=

14 X 13 X 12 X 11 X 10 X 9 ! 9!X 5 X 4 X3 X 2 X 1

=

14 X 13 X 12 X 11 X 10 120

=

8. ¿Cuántas selecciones de 5 letras pueden hacerse con las letras de las palabras Matemáticas? SOLUCIÓN Con la palabra MATEMÁTICAS donde se repiten letras 2M, 2T, 3A, las letras repetidas las quitas de los "arreglos" agregando en la fórmula como divisiones. Mira, son 11 elementos (letras) la operación es 11!/5!*2*2*3 = 11*10*9*8*7*6*5!/5!*2*2*3 = 11*10*9*8*7*6/4*3 =11*10*9*2*7*2 = =27720 arreglos diferentes puedes lograr con esta palabra. RTA: Se pueden lograr 27720 arreglos diferentes con esta palabra 9. ¿De cuántos modos pueden ubicarse en una fila de 10 sillas 4 personas? SOLUCIÓN Si solo hubiese 4 sillas, entonces las personas se podrían ubicar en 4! formas diferentes, o sea de 24 formas diferentes. Calculemos entonces, cuántas combinaciones diferentes de 4 sillas podemos hacer: C10,4 = 10! / (10-4)!4! => C10,4 = (10)(9)(8)(7)6! / 6!4! => C10,4 = 5040 / 24 =>

C10.4 = 210 como dijimos al principio que por cada combinación de 4 sillas podemos ubicar a las 4 personas de 24 formas diferentes, entonces: 1 combinación --------------- 24 formas 210 combinaciones ------ x x = (210)(24) = 5040 RTA 10. Entre Manizales y Armenia hay 3 carreteras ¿de cuántos modos puede viajarse de Manizales a Armenia ida y regreso sin repetir carretera? SOLUCIÓN Pn = n! Pn = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 RTA 11. ¿De cuántos modos puede disponerse en una fila un profesor y 7 estudiantes, si el profesor es siempre de primero? A. 5.040 B. 720 C. 520 D. 940 SOLUCIÓN Pn = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Pn = 5040 RTA 12. ¿Cuantos números mayores que 5.000 y menores que 6.000 se pueden formar con los dígitos 5,2,3 y 6, sin repetir dígitos? SOLUCIÓN 5000<X>6000 __________ A...B... C... D 5....2.....2....2 ......3.....3.....3 ......5.....5.....5 .....6.....6.....6 (1).(3).(2)..(1)= 6 números son: {5263;5236;5326;5362;5623;5632} RTA: 6

13. ¿Cuantas selecciones de 3 galletas pueden hacerse con una galleta de chocolate, una de frambuesa, una de vainilla, una de limón y una de mora? SOLUCIÓN 5! ( 5−3 ) !

=

5! 2!

5 x 4 x 3 x 2! 2!

=

= 5 x 4 x 3 = 60 RTA

14. Se tiene un libro de literatura, uno de ciencias, uno de filosofía, uno de Sicología y uno de ética. ¿De cuántos modos pueden disponerse en un estante, si el de ética siempre es el último? SOLUCIÓN Pn = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 RTA 15. ¿De cuántos modos pueden sentarse en un banco 3 señoras y 3 señores? SOLUCIÓN Pn = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 RTA 16. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 empleados de un grupo donde hay 3 obreros y 10 empleados? SOLUCIÓN Donde

n = 3 + 10 = 13

13 ! ( 13−3 ) !

=

13 ! 10 !

=

13 x 12 x 11 x 10! 10 !

= 1716 RTA

17 ¿Cuantas selecciones de 5 artículos pueden hacerse en un almacén que tiene 12 artículos diferentes? SOLUCIÓN 12 ! ( 12−5 ) !

=

12 ! 7!

=

12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 ! 7!

= 95040 RTA

18. ¿Cuántos titulares de 11 futbolistas pueden hacerse con 22 jugadores si cada jugador puede jugar en cualquier posición?

SOLUCIÓN C

22 11

=

22! 11 ! ( 22−11 ) !

= 705432 RTA

19. Encontrar el número de comités que se pueden formar con 4 Españoles y 3 Italianos y que comprenden 2 Españoles y un Italiano SOLUCIÓN 7! 2!1!

=

7 x 6 x5 x 4 x3 x2! 2!

= 2520 RTA

20. Una fábrica de autos ofrece a sus posibles compradores una selección de 4 colores, 3 diferentes sistemas hidráulicos, un parabrisas polarizado o normal, y con puertas dobles y sencillas. ¿cuántos diseños diferentes están disponibles para un comprador? SOLUCIÓN 4! x 3! x 1! x 1! = 4 x 3 x 2 x 3 x 2 = 144 RTA 21. Dentro de 8 candidatos cuantos temas se pueden escoger? SOLUCIÓN Pn = 8! Pn = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 RTA