Sries De Taylor E De Maclaurin.doc 1n265t

Séries de Taylor e de Maclaurin Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x=aé 

 k 0

f

(k )

(a) f ´´(a ) f ( n ) (a ) k 2 ( x  a )  f (a )  f ´(a )( x  a )  ( x  a )  ...  ( x  a ) n  ... k! 2! n!

A série de Maclaurin gerada por f é 



f

k 0

(k )

(0) k f ´´(0) 2 f ( n ) (0) n x  f (0)  f ´(0) x  x  ...  x  ..., k! 2! n!

a série de Taylor gerada por f em x = 0. Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio Pn ( x)  f ( a)  f ´(a )( x  a ) 

f ´´(a ) f ( k ) ( a) f ( n ) ( a) ( x  a ) 2  ...  ( x  a) k  ...  ( x  a) n . 2! k! n!

Resto de um Polinômio de Taylor Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x)

O valor absoluto aproximação.

Rn ( x)  f ( x )  Pn ( x)

é chamado de erro associado à

Teorema de Taylor Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que f ( x)  f (a)  f ´(a )( x  a) 

f ´´(a) f ( n ) ( a) ( x  a) 2  ...  ( x  a) ( n )  Rn ( x), 2! n!

onde Rn ( x ) 

f ( n 1) (c) ( x  a ) n 1 . (n  1)

Teorema da Estimativa do Resto (t )  Mr Se existirem constantes positivas M e r tais que f para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade ( n 1)

Rn ( x )  M

r n 1 x  a

n 1

n 1

( n  1)!

.

Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x). Combinando Séries de Taylor Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.

Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x. Séries de Fourier

f ( x) 

a0   nx nx     a n cos  bn sen . 2 n 1  L L 

(1)

Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L). Coeficientes na Expansão em Série de Fourier nx dx  0 L L nx 2)  L sen L dx  0 L  0, m  n nx mx 3)  L cos L cos L dx  L, m  n  L nx mx 4)  L sen L cos L dx  0 l  0, m  n nx mx 5)  L sen L sen L dx   L, m  n  L

1)  L cos

Cálculo de a0 Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter



L

L

f ( x)dx 

a0 2



L



dx   a n  cos

L

n 1

L

L

 L nx nx dx   bn  sen dx.  L L L n 1

(2)

Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,



L

L

f ( x )dx 

a0 2



L

L

dx 

a0 x  L  La 0 . 2   L

Então, obtemos a0: a0 

1 L f ( x )dx. L  L

Cálculo de am Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por integramos o resultado de – L a L:

cos( mx / L) ,

a L mx mx dx  0  cos dx  L L 2 L  L nx mx   a n  cos cos dx L L L n 1



L

m > 0, e

f ( x) cos

L



L

  bn  sen n 1

L

(4)

nx mx cos dx. L L

A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação para



L

L

f ( x) cos

L mx mx mx dx  a m  cos cos dx  La m . L L L L

Portanto, am 

Cálculo de bm

1 L mx f ( x) cos dx.  L L L

Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por integramos o resultado de – L a L:

sen(mx / L) ,

m > 0, e

a l mx mx dx  0  sen dx  L L 2 L  L nx mx   a n  cos sen dx L L L n 1



L

L

f ( x) sen



L

  bn  sen L

n 1

nx mx sen dx. L L

Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos



L

L

f ( x) sen

L mx mx mx dx  bm  sen sen dx  Lbm L L L L

Portanto, bm 

1 L mx f ( x ) sen dx.  L L L

(6)

A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f. Definição – Séries de Fourier A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é f ( x) 

a0   nx nx     a n cos  bn sen . 2 n 1  L L 

1 L f ( x )dx. L  L 1 L nx a n   f ( x) cos dx.  L L L 1 L nx bn   f ( x) sen dx.  L L L a0 