Situation Mezclas c624n

Situación de Aprendizaje Mezclas

[email protected] +52 (55) 5747 – 3800 Ext. 6057 Este programa es público, ajeno a cualquier partido político y queda prohibido su uso para fines distintos a los establecidos en el programa.

En este documento mostraremos un ejemplo de un diseño basado en prácticas, que pone en uso el conocimiento matemático, diferenciando las tres fases: apertura, desarrollo y cierre. En particular, trabajaremos en el Eje del Pensamiento Aritmético al Lenguaje Algebraico (PA-LA), el componente patrones, simbolización y generalización: elementos del Álgebra básica.  Aprendizajes esperados: Expresa mediante símbolos fenómenos de su vida cotidiana; reconoce fenómenos con comportamiento lineal (proporcional y afín); diferencia los cocientes 𝑦/𝑥 e 𝛥𝑦/𝛥𝑥 como tipo de relaciones constantes entre magnitudes y representa gráficamente fenómenos de variación constante en dominios discretos.  Contenido específico: ¿Qué caracteriza a una relación de comportamiento lineal? ¿Cómo se relaciona a las variables en una relación lineal? (Y se extiende al contenido específico: la proporcionalidad y sus propiedades numéricas, geométricas y su representación algebraica. ¿Qué es lo que se mantiene constante en una relación proporcional?).  Contenido central: De los patrones numéricos a la simbolización algebraica (se puede profundizar en el contenido central: variación proporcional. Tratamiento de lo lineal y lo no lineal).

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Dada la cantidad de agua y la cantidad de concentrado de naranja de dos jarras distintas, decida cuál de las jarras tiene sabor más intenso a naranja, o bien, si tienen igual intensidad. Argumente en cada una, cuál fue la estrategia para elegir la respuesta. Se asume que todos los vasos contienen igual cantidad de líquido, ya sea de concentrado o de agua, y que la intensidad del sabor de las naranjas es la misma en cada vaso.

Jarra A

Jarra B

Decisión y argumentación

Caso 1

Caso 2

Caso 3

¿Usaron una misma estrategia en todos los casos? Si la respuesta es afirmativa, explique detalladamente cuál fue esta y cómo fue usada. Si la respuesta es negativa, explique por qué no se usó una sola estrategia y describan ampliamente cuáles fueron y en qué casos resulta posible usarlas.

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Sigamos con las naranjadas… Para una fiesta se necesita preparar más naranjada. Martín lleva la jarra a la cocina con lo que le quedaba: medio litro de naranjada. Los invitados elogiaron su preparación, así que procuró hacer más naranjada con el mismo sabor. Para ello, le puso un cuarto de litro de agua y un cuarto de litro de concentrado de naranja. ¿Cómo es el sabor de la nueva naranjada obtenida con respecto a la naranjada original? Reflexione y argumente suficientemente sobre el sentido y las implicaciones de la acción de Martín al preparar el jugo: colocar un cuarto de litro de agua y un cuarto de litro de concentrado de naranja en la jarra que tenía medio litro de naranjada.

Considere la siguiente jarra y proponga ahora otras cuatro jarras con distinta cantidad de líquido total, pero que tengan el mismo sabor.

Concentrado Jarra

Propuesta 1 Propuesta 2 Propuesta 3 Propuesta 4

¿Cómo asegura que tengan el mismo sabor?

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Agua

Si representamos gráficamente en un plano cartesiano, el fenómeno descrito de las mezclas de la Tarea1-Apertura, considerando la Jarra A, caso 1 (tres vasos de agua y cinco vasos de concentrado de naranja), una posible representación sería la siguiente:

En términos del fenómeno, ¿qué considera que representa la abscisa? Argumente su respuesta.

En términos del fenómeno, ¿qué representa la ordenada? Argumente su respuesta.

En términos del fenómeno, ¿qué considera que representa el punto en el plano cartesiano? Argumente su respuesta.

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Dadas las cuatro propuestas aleatorias correspondientes a la Tarea3-Apertura, bosqueje, en un sistema de referencia común, las representaciones de cada una de las jarras propuestas. Atención: recuerde asociar los ejes con las variables presentes en el fenómeno (para pensar: ¿cambiaría la gráfica si eligiera de manera distinta las variables de los ejes?).

En la gráfica de abajo se colocaron las propuestas, como respuestas a la Tarea3– Apertura, de tres personas diferentes: una en color azul (A), otra en color rojo (B) y otra en color negro (C). ¿Las tres propuestas podrían ser respuestas matemáticamente correctas de la tarea? Argumente su respuesta.

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En términos del fenómeno estudiado (las mezclas): 

Cada una de las personas (A, B, C), propuso 3 jarras (por ejemplo, la persona A propuso las jarras A1, A2, A3). La pregunta es: las jarras que propone cada una de las personas, ¿mantienen el sabor?



¿Qué representaría un punto en el tercer cuadrante?, ¿y en el segundo? Argumente ampliamente su respuesta.

Un barril grande de color azul tiene la siguiente mezcla:

Por cada tres litros de agua se colocan dos litros de concentrado de naranja, la cual se repartirá en dos vitroleros pequeños. Para llenar los vitroleros se usa un medidor de un litro con el que se toma el preparado del barril grande. (Considérese el preparado con una distribución homogénea). ¿Qué proporción del litro será de concentrado de naranja? Explique su respuesta.

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En el vitrolero de tapa azul, que estaba vacío, se coloca 20 veces el contenido del medidor y se llena. En el vitrolero de tapa rojo sólo se llega a colocar 15 veces el contenido del medidor hasta llenarse. Si ambos vitroleros tienen la misma capacidad, ¿cuáles pueden ser los motivos por los que se llenó antes uno que otro?

Nos informan de último momento que el vitrolero rojo tenía líquido antes de comenzar con el llenado descrito, pero no se sabe si tenía agua, concentrado de naranja o la mezcla del preparado, ¡vaya dilema! Describa cómo se comportaría la variación del sabor en cada uno de los casos (se da un caso como ejemplo): Si tenía agua: Al comenzar, tenía 5 litros de agua: Total de líquido

Agua

Concentrado

5 litros

5 litros

0 litros

Al agregarle un medidor, o sea un litro de mezcla del preparado del cual 0.6 litros es agua y 0.4 litros es concentrado, entonces quedaría 5.6 litros de agua y 0.4 litros de concentrado: Total de líquido

Agua

Concentrado

6 litros

5.6 litros

0.4 litros

Si se agregara otro medidor, quedaría 6.2 litros de agua (5.6 más 0.6) y 0.8 litro de concentrado (0.4 más 0.4): Total de líquido 7 litros

Agua 6.2 litros

Concentrado 0.8 litros

Agua 6.8 litros

Concentrado 1.2 litros

Si agregara otro medidor: Total de líquido 8 litros

El sabor va cambiando a medida que se le agrega un litro de medidor (mezcla del preparado: 0.6 litros de agua y 0.4 litros de concentrado).

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Si tenía concentrado de naranja: Total de líquido

Agua

Concentrado

Agua

Concentrado

Si tenía mezcla del preparado: Total de líquido

Bosqueje en un mismo plano cartesiano las gráficas que representan cada una de las situaciones: si tenía agua, si tenía concentrado de naranja, si tenía mezcla.

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¿Cómo son entre sí los sabores de las naranjadas en cada una de las situaciones planteadas?

Ante la pregunta anterior, una de las respuestas fue: Tienen el mismo sabor porque son rectas paralelas, es decir, tienen igual razón de cambio ¿Considera que esta afirmación es correcta?

¿Qué es lo que se mantiene constante en los tres casos?, es decir, ¿cuál es el significado, con base en el fenómeno, de que la razón de cambio sea constante?

¿Qué es lo que garantiza que el sabor sea siempre el mismo sin importar la cantidad de líquido que tenga la jarra?

¿Cómo representaría de manera algebraica cada uno de los casos?

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

Si tenía concentrado de naranja:



Si tenía mezcla del preparado:

¿Qué es lo que se mantiene constante en ambos casos?, ¿cómo se ve representado en la expresión algebraica?

¿Cuál es la relación que garantiza que el sabor se mantenga constante?, ¿cómo se ve representado en la expresión algebraica?

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Dadas las siguientes tablas de valores, decida y argumente ampliamente cuáles de ellas corresponden a una relación linealmente proporcional y una linealmente no proporcional (responda, sin buscar la expresión algebraica de la función). X

Y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

X -3 -4 -1 0 6 3 5 10

Y -1.5 -2 -0.5 0 3 1.5 2.5 5

X -5 -3 -1 1 3 5 7 9

Y -9 -5 -1 3 7 11 15 19

De las siguientes afirmaciones, indique con una cruz cuáles caracterizan a una relación lineal proporcional y a una relación lineal no proporcional:

Característica

Lineal Proporcional

Lineal NO Proporcional

Su gráfica es una línea recta. Cuando una magnitud crece, la otra crece; y cuando una magnitud decrece, la otra también*. Lo mismo que aumenta en una de las variables, aumenta en la otra**. La razón entre las variables es constante. La razón de cambio es constante. * ¿Qué ocurre con una relación lineal cuando su razón de cambio es negativa? Escribe una relación lineal con razón de cambio negativa y observa cómo es el comportamiento de las variables.

** ¿Qué ocurre cuando la razón de cambio de una relación lineal es 1?

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Esboce en un gráfico las siguientes funciones y completa la tabla según corresponda:

Expresión algebraica

𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏 ≠ 0

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 < 0, 𝑏 ≠ 0

ℎ(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 > 0, 𝑏 = 0

𝑘(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 < 0, 𝑏 = 0

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Tipo de relación lineal proporcional / lineal no proporcional

Esbozo de gráfica

Razón de cambio positiva / negativa