Situaciones Problematica Con Numeros Enteros 2t1e5a

1¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? Solución: −18 ºC − 4 ºC = −22 ºC

2 ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? Solución: 4 ºC − (−18 ºC) = −22 ºC = 4 ºC + 18 ºC = 22 ºC La diferencia de temperatura en valor absoluto es igual en ambos casos. El signo menos del primer caso nos indica que se produce un descenso de la temperatura, y el signo más del segundo un aumento.

Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió? Solución: 14 − (−63) = 14 + 63 = 77 años

Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? Solución: 48 − (−975) = 48 + 975 = 1023 años

1

El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?

Sumas y restas con paréntesis Los números enteros, en las operaciones, se suelen presentar entre paréntesis. Ahora vas a aprender a suprimir esos paréntesis en las expresiones con sumas y restas. Así, se reducen a lo que ya sabes. Se presentan cuatro casos. Sumas y restas dentro de un paréntesis El paréntesis empaqueta, en un solo bloque, todo lo que va en él. Por eso, el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior. Se dan dos casos. Los signos finales son los contrarios a los que había dentro del paréntesis. • Al quitar un paréntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban. • Al quitar un paréntesis precedido del signo –, cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto. Multiplicación de números enteros Para multiplicar números enteros, actuaremos igual que para multiplicar números naturales, pero ahora, además, hemos de preocuparnos del signo. Para automatizar la multiplicación de enteros, aplica la siguiente regla que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar. REGLA DE LOS SIGNOS Al multiplicar dos números enteros: • Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado final es positivo. • Si los dos factores tienen distinto signo, el resultado final es negativo. División de números enteros Igual que en la multiplicación, lo único nuevo que necesitas aprender para dividir enteros es la forma de calcular el signo del cociente. Con lo que ya sabes del producto, es fácil averiguar ese signo

Operaciones combinadas En las expresiones con números enteros hemos de atender: • Primero, a los paréntesis. • Después, a la multiplicación y a la división. • Por último, a la suma y a la resta.

Ejemplo de la vida diaria: Saldos de cuentas corrientes La cartola de una cuenta corriente muestra los movimientos diarios. Depósitos se suman a los saldos y cargos se restan de los saldos. Una deuda en los saldos se marca con números rojos. Calcula los saldos y movimientos. Saldo inicial en $

Movimiento en $

320.000

- 470.000

a) En una semana invierno en una ciudad Austral Chile se registraron las siguientes temperaturas mínimas: o

lunes: -8ºC

o

martes: -9ºC

o

miércoles: -5ºC

o

jueves: -3ºC

o

viernes: -4ºC

o

sábado: -6ºC

o

domingo: -6ºC

Saldo final en $

120.000

830.000

- 390.000

510.000

de de

750.000

610.000

¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas esa semana en esa ciudad? b) En una semana de invierno en una ciudad Austral de Chile se registraron las siguientes temperaturas mínimas: o

lunes: -8ºC

o

martes: -9ºC

o

miércoles: -5ºC

o

jueves: -3ºC

o

viernes: -4ºC

o

sábado: -6ºC

o

domingo: -6ºC

¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas esa semana en esa ciudad?

JUEGO: JUGANDO A LAS BOLITAS

A Estela le gusta jugar a las bolitas. Ella ha juntado las bolitas que ha ganado a sus compañeros de curso, y cada día las ha colocado en un frasquito. Hubo días en los cuales perdió bolitas, dichos días están representados con un signo menos Ejemplo:

Partiendo desde la base, suma o resta el número de bolitas contenidas en cada frasco hasta llegar a la parte superior. Considera el signo que se muestra entre dos frascos al momento de realizar la operación. ¿Con cuántas bolitas quedó Estela al final?

PAUTA JUEGO: JUGANDO A LAS BOLITAS

¿Con cuántas bolitas quedó Estela al final? Estela debe 9 bolitas Los problemas con números negativos pueden parecer poco reales, pero no lo son. Le vamos a dar dos ejemplos: 

Una deuda es una cantidad de dinero que se debe y que se tiene para pagar. Esto se puede expresar como un número negativo. Si saca cuentas y averigua que le debe 100 pesos a dos de sus amigos, puede decir que tiene -200.



Las cargas eléctricas dan un ejemplo físico de los números negativos. Existen dos tipos de cargas, las positivas y las negativas. Las cargas de igual signo se repelen y las de signo distinto se atraen. Los números negativos sirven para indicar que la energía para juntarlas es menor que la energía para mantenerlas separadas.

Como ve, los números negativos sí existen en el mundo real y, por lo mismo, es importante aprender a operar con ellos.

ACTIVIDADES: MONTAÑAS Y NÚMEROS

Para ser un experto montañista, hay que haber escalado las más altas cumbres del planeta. Ejemplos de estas altas montañas son el Everest, que tiene más de 8.840 metros de altura, y el Aconcagua, con casi 7.000 metros. Pero, ¿te has preguntado cómo se miden esas alturas? Todas las alturas de las montañas se miden desde el nivel del mar. Se dice que el nivel del mar es la altura 0. Desde ese punto las distancias se miden hacia arriba, y también hacia abajo. Por ejemplo, la ciudad de Bogota está a 2.600 metros de altura sobre el nivel del mar, mientras la ciudad de Nueva Orleáns tiene una “altura” de 2 metros bajo el nivel del mar (es decir, -2 metros).

1. Si un andinista se encuentra a 200 metros sobre el nivel del mar y sube hasta la cima de una montaña a 1.000 metros sobre el nivel del mar, ¿a cuántos metros sobre el nivel del mar se encontrará finalmente?

A.

500 m

B.

800 m

C.

1.000 m

D.

1.200 m

2. Otro andinista que se encuentra a nivel del mar, escala en una primera etapa una montaña de 500 metros y luego sigue subiendo otros 800 metros más. ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar llegó?

A.

300 m

B.

800 m

C.

1.000 m

D.

1.300 m

3. José el explorador, se encontraba a nivel del mar cuando de repente encontró una caverna. Decidió bajar por ella y llegó hasta una altura de -500 metros. ¿Qué significa que haya alcanzado una altura negativa?

A. B. C. D.

que subió 1.500 metros que descendió 1.500 metros que descendió 500 metros bajo el nivel del mar que subió 500 metros

4. Un montañista se encontraba en cierta montaña a 1.350 metros y descendió hasta un lugar que se encontraba a -50 metros. ¿Cuál es la diferencia entre ambas alturas?

A. B. C. D.

1300 metros 1400 metros 1350 metros 50 metros

5. Supongamos que una familia de topos vivía a -2 metros. Si descienden 1 metro más. ¿A qué altura viven ahora?

A. B. C. D.

3 metros -3 metros 2 metros -2 metros

6. Si un andinista se encuentra a 200 metros sobre el nivel del mar y sube hasta la cima de una montaña a 1.000 metros sobre el nivel del mar, ¿a cuántos metros sobre el nivel del mar se encontrará finalmente?

E.

500 m

F.

800 m

G.

1.000 m

H.

1.200 m

7. Otro andinista que se encuentra a nivel del mar, escala en una primera etapa una montaña de 500 metros y luego sigue subiendo otros 800 metros más. ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar llegó?

E.

300 m

F.

800 m

G.

1.000 m

H.

1.300 m

8. José el explorador, se encontraba a nivel del mar cuando de repente encontró una caverna. Decidió bajar por ella y llegó hasta una altura de -500 metros. ¿Qué significa esto?

E. F. G. H.

que subió 500 metros que descendió 1.500 metros que se encuentra a 500 metros bajo el nivel del mar que se encuentra a 500 metros sobre el nivel del mar

9. Un montañista se encontraba en cierta montaña a 1.350 metros y descendió hasta un lugar que se encontraba a -50 metros. ¿Cuál es la diferencia entre ambas alturas?

E. F. G. H.

1300 metros 1400 metros 1350 metros 50 metros

10. Supongamos que una familia de topos vivía a -2 metros. Si descienden 1 metro más. ¿A qué altura viven ahora?

E. F. G. H.

A 3 metros sobre el nivel del mar A 3 metros bajo el nivel del mar A 2 metros sobre el nivel del mar A 2 metros bajo el nivel del mar

ACTIVIDADES: TRUEQUE

Para comprar o vender cosas casi todo el mundo usa dinero, pero esto no siempre fue así. Antes de la existencia de la moneda, lo que se hacía era el "trueque". El trueque consistía en intercambiar cosas. Si a usted le sobraba un saco de papas, podía cambiarlo por algo que faltara, como un abrigo para el invierno o un saco de otra verdura. Este sistema funcionó por muchos milenos. Sin embargo, tenía un gran problema y era que, a veces, lo que a usted le sobraba no era siempre lo que otro quería o estaba dispuesto a cambiar. Además, a veces no había forma de hacer un trueque equivalente entre dos productos. Debido a esto, la economía del mundo evolucionó y el uso de dinero se volvió imprescindible. De esta forma puede comprar o vender cosas con un precio fijo e igual para todos.

1. En el trueque, un comerciante cambió pepitas de oro por perlas. Anotó los cambios por perlas que hizo de la siguiente forma: 45 - (25) + (-34). ¿Cuál es el resultado de sus trueques? A. - 14 B.

14

C.

36

D. 104

2. Otro comerciante cambió manzanas por zanahorias, una manzana por una zanahoria. Al momento del trueque, se dio cuenta de que quedaría debiendo 105 manzanas. El comerciante, aparte de pagar la deuda, quiere dar 8 manzanas extras de regalo. ¿Cuántas manzanas debe sumar al déficit para cumplir con su idea?

A. - 113 B.

97

C.

105

D.

113

3. Si otro comerciante tenía una deuda de 109 peras, es decir, -109, y al final de la cosecha de sus perales logra reunir 110 peras, ¿con cuántas peras se quedó al pagar la deuda? A.

1

B.

-1

C.

219

D. - 219

4. ¿A qué número corresponde la operación 0 - (-2)?

A. - 2 B.

2

C.

0

D.

1

PAUTA ACTIVIDADES: TRUEQUE

Para comprar o vender cosas casi todo el mundo usa dinero, pero esto no siempre fue así. Antes de la existencia de la moneda, lo que se hacía era el "trueque". El trueque consistía en intercambiar cosas. Si a usted le sobraba un saco de papas, podía cambiarlo por algo que faltara, como un abrigo para el invierno o un saco de otra verdura. Este sistema funcionó por muchos milenos. Sin embargo, tenía un gran problema y era que, a veces, lo que a usted le sobraba no era siempre lo que otro quería o estaba dispuesto a cambiar. Además, a veces no había forma de hacer un trueque equivalente entre dos productos. Debido a esto, la economía del mundo evolucionó y el uso de dinero se volvió imprescindible. De esta forma, puede comprar o vender cosas con un precio fijo e igual para todos.

5. En el trueque, un comerciante cambió pepitas de oro por perlas. Anotó los cambios por perlas que hizo de la siguiente forma: 45 - (25) + (-34). ¿Cuál es el resultado de sus trueques? E. - 14 F.

14

G.

36

H. 104

6. Otro comerciante cambió manzanas por zanahorias, una manzana por una zanahoria. Al momento del trueque, se dio cuenta de que quedaría debiendo 105 manzanas. El comerciante, aparte de pagar la deuda, quería dar 8 manzanas extras de regalo. ¿Cuántas manzanas debe sumar al déficit para cumplir con su idea? E. - 113 F.

97

G.

105

H.

113

7. Si otro comerciante tenía una deuda de 109 peras, es decir, -109, y al final de la cosecha de sus perales logra reunir 110 peras, ¿con cuántas peras se quedó al pagar la deuda?

E.

1

F.

-1

G.

219

H. - 219

8. ¿A qué número corresponde la operación 0-(-2)? E. - 2 F.

2

G.

0

H.

1

ACTIVIDADES: PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. Un ascensor se desplazó de la siguiente manera: “primero subió 3 pisos, luego bajó 7 pisos y finalmente subió 4 pisos”. a) ¿En qué pisos se detuvo el ascensor?

b) ¿A qué piso llegó finalmente el ascensor?

2. En un campeonato de fútbol de un colegio el equipo “Los Invencibles” jugó cinco partidos obteniendo los siguientes resultados: 1º partido anotó 2º partido anotó 3º partido anotó 4º partido anotó

4 goles y recibió 3 en contra 5 goles y recibió 1 en contra 1 gol y recibió 1 en contra 2 goles y recibió 4 en contra

5º partido anotó 2 goles y recibió 3 en contra

¿Cuál fue la diferencia de goles en este campeonato?.......................................................

3. Complete los cuadrados mágicos sabiendo que cada fila, columna y diagonal debe sumar la misma cantidad.

-8

6

-5

-2 -10

4

4

-2

PAUTA ACTIVIDADES: PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

4. Un ascensor se desplazó de la siguiente manera: “primero subió 3 pisos, luego bajó 7 pisos y finalmente subió 4 pisos”. c) ¿En qué pisos se detuvo el ascensor? En los pisos 3, -4 y 0.

d) ¿A qué piso llegó finalmente el ascensor? Después de este recorrido se detiene en el piso 0.

5. En un campeonato de fútbol de un colegio el equipo “Los Invencibles” jugó cinco partidos obteniendo los siguientes resultados:

1º partido anotó 2º partido anotó 3º partido anotó 4º partido anotó 5º partido anotó

4 goles y recibió 3 en contra 5 goles y recibió 1 en contra 1 gol y recibió 1 en contra 2 goles y recibió 4 en contra 2 goles y recibió 3 en contra

¿Cuál fue la diferencia de goles en este campeonato?......2 goles a favor...............

6. Complete los cuadrados mágicos sabiendo que cada fila, columna y diagonal debe sumar la misma cantidad.

-8

6

-4

-8

7

-14

2

-2

-6

-11

-5

1

0

-10

4

4

-17

-2

7. Calcule el resultado de las siguientes expresiones: a) 6 - 13 + (- 11) + (- 8) = -26 b) (-8) + (-15) + (- 10) + 6 – (- 4) = -23 c) (-8) + 5 – (- 7) + 4 + 1 – (-2) = 11 (-12) + 14 + (-8) + (-20) = -26 d) (-5) – (-5) + 4 + (-4) + 4 = 4 e) 26 – (-34) + 14 + (- 18) – (-10) = 66 f)

22 + (- 13) + (-8) + 9 + (-1) = 9

g) 11 + (-9) + 20 + (- 3) + ( -12) + (-1) = 6 h) (-18) + 14 + (-22) + 13 = -13 i)

(-2) + (- 3) – (-8) + (-5) – 1 = -3

j)

(-11) – (-2) – (-9) + (-13) + 18 = 5

k) (-6) + (-6) + 2 – (- 1) + 3 – (-7) = 1

ACTIVIDADES: DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Antes de resolver esta guía de ejercicios, recuerda que: Para hallar el cociente de dos números se dividen sus valores absolutos y se determina el signo según la siguiente tabla:

+ +

· · · ·

+ + -

= + = + = = -

1. Calcula el cociente de los siguientes números enteros:

a)

30

: (-3) =

f)

140

: (-70)

=

b)

100

: (-50) =

g) (-220)

: (-20)

=

c)

(-9)

:

h)

: (-32)

=

:

25

=

: (-4)

=

1 =

32

d) (-180)

: (-2) =

i)

(-50)

(-15)

: (- 5) =

j)

(-628)

e)

2. Si cierto número dividido por 6 es igual a 13, entonces:

a) ¿El número es positivo o negativo? _____________

b) ¿Cuál es el número? _______________

3. Completa con el valor que falta en cada caso para que la igualdad sea verdadera:

a) (-150)

: ____ = -10

d)

b) (-900)

: ____ = 30

e) (-10.000)

: ____ = -100

c) _____

: (-4)

f)

:

=

20

____

_____

: (-8)

5

4. Completa la siguiente tabla realizando las operaciones que se indican:

=

=

-12

-120

a

b

c

-75

5

25

80

-2 20

-121

-1

-11

144

12

-4

a:b

a:c

-10 -5

-10

-7

49

5. Completa la siguiente tabla:

Dividendo

Divisor

-84

12

135

15

-4

-20

-24

12

6. Completa, existe más de una respuesta posible:

a) ____

: ____ = -15

b) ____

: ____ =

c) ____

: ____ = -5

d) ____

: ____ =

e) ____

: ____ = 10

f)

: ____ = -9

____

Cociente

7

8

7. Completa las siguientes afirmaciones:

a) La división de cualquier número por 1 es igual a ___________________

b) El cociente entre 0 y un número distinto de cero es _________________

c) El cociente entre dos números negativos es ______________________

d) El cociente entre un número negativo y otro positivo es __________________

e) Al dividir dos números positivos, el cociente será ______________________

f)

Al dividir un número negativo por otro positivo, el cociente será ___________________

8. Reemplaza los valores correspondientes de “a”, “b” y “c”:

a= -28

b = -4

c = -1

¿Cuál es el valor de las siguientes expresiones?

a)

a : (b

: 2) =

b)

(- b)

:c =

c)

(a

: c) : b =

19

ACTIVIDADES: MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Antes de resolver esta guía de ejercicios, recuerda que: 

Para multiplicar números positivos y negativos se multiplican sus valores absolutos y se determina el signo según la siguiente tabla:

+ · +

- · - · + + · -

= + = + = = -

1. Calcula las siguientes multiplicaciones:

a) (- 4 )

· (- 4) =

g)

3

· (- 12) =

b) (-14)

· (- 4) =

h) (-10)

· (- 30) =

c) (- 1)

· (- 12) =

i)

(-5)

· 6

=

d) (- 10)

· (- 4) =

j)

(- 2)

· 8

=

e)

· (- 9) =

k)

(-3)

· 6

=

· (-4) =

l)

(-7)

· 2

=

f)

8 (-12)

2. Completa con el factor que falta en cada multiplicación

a)

4

· ____ =

12

d) ____

· (- 6) =

b)

(-3)

· ____ =

-27

e) ____

· 5

c)

9

f)

· 200 = -1.000

· ____ = -540

____

=

0

-125

3. Completa la siguiente tabla

20

Número

12

-23

Doble

-8

-36

Triple

-40 18

4. Escribe como producto de dos factores los siguientes resultados. Puede haber más de una respuesta.

a)

-15

=

b)

100

=

c)

4

=

d)

63

=

e)

-25

=

f)

- 45 =

5. Resuelve las siguientes multiplicaciones y, luego, responde:

a) Al calcular (-7)

· (-2) · 2 · (-3) · (-5) · 2 =

¿Cuál es el signo del producto anterior?

b) ¿La cantidad de factores negativos que hay en la multiplicación anterior es par o impar?

c) Al calcular

(-4)

· (-1) · (-2) · (-3) · (-5) · 2 =

¿Cuál es el signo del producto anterior?

d) ¿La cantidad de factores negativos que hay en la multiplicación anterior es par o impar?

21

6. Escribe la propiedad de la adición y multiplicación de números enteros que se cumple en cada caso:

8·7 = 7

a) b) (2 c)

· 8

__________________________

· 15) · (-3) = 2 · (15 · (-3))

(8 + 4)

d)

__________________________

· (-5) = 8 · (-5) + 4 · (-5) 45

__________________________

· 1 = 45

__________________________

7. Reemplaza los valores correspondientes de “x”, “y” y “z”, y calcula: x = -1

y = -2

(

a)

)

z=3

_______________________

b)

_______________________

(

c)

)

(

)

( (

d)

) )

_______________________ _______________________

8. Resuelve y completa la siguiente tabla. a

b

c

-3

-2

-1

2

3

-4

2

-1

-5

-4

2

-6

-1

7

-2

a·b·c

b · (a + c)

a · c · (-1)

9. Justifica cada situación dando un ejemplo:

22

a) Si multiplicas 2 números enteros que no tienen el mismo signo, ¿el resultado será un número entero positivo o uno negativo?

b) Si multiplicas 2 números enteros negativos, ¿el resultado será un número entero negativo o positivo?

c) Si multiplicas 2 números enteros, ambos positivos ¿el resultado será un número entero positivo o negativo?

23

ACTIVIDADES: OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS 1. Calcula los siguientes ejercicios escribiendo el desarrollo paso a paso de la manera más ordenada posible. Ocupa tu cuaderno si es necesario: a)

6 + - 7 – (- 8) + 4 – 2 =

b)

16 – 21 + 18 – 8 =

c)

108 + - 200 + 9 – 42 =

d)

46 – {38 – (- 2) + - 9 + (42 – 18 + -15) – (-7)} =

e)

30 : ((-12 + 9) – (3 • 3 – 12 : 3) + 2) =

f)

45 : {-2 + 12 : (-7 + 3) + 12 – [ (-24) : ( (-3) • 5 + 7) ] + 5} =

g)

(8 • 7 + 5 • (-8) ) : (-4) =

2. Reemplaza los valores correspondientes de “a”, “b” y “c”, y calcula: a)

a+b–c

=

b)

a–b+c

=

24

c)

a + 2b – 2c

=

d)

7b : (b + c)

=

e)

a ∙ c + 2b – 2c =

f)

c • (b – a)

=

3. Lee la siguiente información: Andrés resolvió el siguiente ejercicio. La profesora le dice que el resultado es incorrecto. Encuentra y marca con lápiz de color los errores que tuvo Andrés al resolver el ejercicio y escribe el resultado correcto. - 36 : (- 8 : (- 5 + 3) + 12 : (- 2 + 2 • 4)) + 3 • (- 8) + 3 • (- 12 + 5 • 2) - 36 : (- 8 : - 2 + 12 : (- 2 + 8)) + 3 • (- 8) + 3 • (- 12 + 5 • 2) - 36 : (- 8 : - 2 + 12 : 6) + 3 • (- 8) + 3 • (- 12 + 5 • 2) - 36 : (4 + 2) + 3 • (- 8) + 3 • (- 7 + 2) - 36 : 6 + 3 • (- 8) + 3 • - 14 - 6 + 3 • (- 8) + 3 • -14 - 3 • (- 8) + 3 • - 14 24 + - 42 -18

4. Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a)

16 : ( - 2 ) – ( - 4 + 2 ) + 5 • ( - 1 )

=

b)

8 – 6 : ( - 3 ) + 4 • ( - 2 ) + 5 • ( - 10 )

=

c)

4 – ( - 5 + 2 ) – 15 : ( - 5 ) + 4 • ( - 2 )

=

d)

2 + ( 8 : 4 ) – (- 2 • 3 ) + 9 : (- 3 )

=

25

e)

8 : (-4) – (-5–3) + 3 • 2

=

f)

4 • 14 : (- 2) + 9 • ( - 3 ) – 2 : (- 2)

=

g)

3 – 4 : (- 4) + 4 • ( - 4 ) – 1

=

26

ACTIVIDADES: OPERATORIA CON NÚMEROS ENTEROS EN CONTEXTOS DIVERSOS En esta guía de ejercicios encontrarás varios problemas. Para resolverlos podrás ocupar diversas estrategias y operaciones tales como multiplicaciones, divisiones y operatoria combinada con números enteros. 1. Gustavo es uno de los más grandes productores de verduras y en este instante tiene un serio problema: Necesita vender 30 sandías a un valor de $850 cada una, 48 pepinos a $50 c/u, 55 lechugas a $ 250 c/u, 32 sacos de papas a $8.900 c/u.

Fíjate como lo está haciendo: 850 + 850 +…+ 850 + 50 + 50 +….+ 50 + 250 + 250 +… + 250 + 8.900 + 8.900 +…. + 8900. (Gustavo escribe todos los términos involucrados) ¿Cómo lo habrías hecho tú?

¿Cuánto dinero recibirá en total si vende todos sus productos?

2. Daniela ha hecho una mala inversión y diariamente pierde $3.000. Esta pérdida la podemos representar por un número negativo es decir como: -3.000. a) ¿Cuánto pierde en una semana? y b) ¿en un mes de 30 días?

3. Una máquina de hacer pozos perfora 15 m al día. Si ha tardado 8 días en perforar un pozo de petróleo. ¿Qué profundidad tiene el pozo?

4. El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm por día, en el verano. ¿Cuántos centímetros menos tiene la presa al cabo de los 6 días?

27

5. Fernanda tiene que pagar una deuda de $360.000. Si paga esa deuda en 6 cuotas sin intereses, ¿cuál será el monto de cada cuota? Si cada una de esas cuotas la expresas como deuda, cómo la escribirías?

6. En una fábrica trabajan 106 obreros que ganan $18.000 al día. a) ¿Cuánto se les pagará en un mes, si trabajan 26 días?, b) ¿cuánto dinero en total tendrá que tener el dueño de la fábrica para pagarle a sus trabajadores al finalizar el mes? 7. Un termómetro marca -12°C a las 4 de la mañana. Si la temperatura aumenta 3ºC cada una hora, ¿cuánto marcará el termómetro al cabo de 5 horas?

8. Una gaviota se encuentra sobre el nivel del mar a 40 m de altura. A 160 m de distancia de la gaviota, en la misma vertical, hay un barco hundido. ¿Cuántos metros de distancia hay entre la gaviota y el barco?

9. En la cuenta bancaria de don Pedro aparece un saldo de -120.000, porque se hay sobregirado. Al llamar a su ejecutiva de cuentas, ella le indica que no se preocupe ya que su línea de crédito le permite un sobregiro de 5 veces ese monto. ¿Cuál podría ser el saldo de don Pedro sin que le ocasiones problemas con el banco?

10. Felipe, Vicente y Emiliano se entretuvieron en los videojuegos. Si entre los tres obtuvieron –9.312 puntos en total y todos sacaron el mismo puntaje. a) Para resolver este problema matemático, podrías ________________ el total por la cantidad de ___________________ b) ¿Cuántos puntos perdió cada uno? ______________________________

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11. Los boletos para el zoológico de la familia de Larissa costaron $35.000. Si hay 5 personas en su familia, ¿cuál fue el costo por persona?

12. Un empleado gana $ 6.679.500 al año. Si suponemos que gana la misma cantidad todos los meses, ¿cuánto gana en un mes? Si logra ahorrar anualmente: $960.000 y ahorra la misma cantidad todos los meses ¿Cuál es su ahorro mensual?

13. Una persona tiene $2.200; gasta $ 850 y presta $ 1.300. ¿Cuánto dinero le sobra?

14. Un obrero gana $ 13.300 por día y gasta $ 3.100 en alimentación diaria. ¿De cuánto dinero dispone para el mes descontando el dinero que gasta en alimentación? Para el cálculo consideremos un mes de 30 días.

15. Una persona nació el 15 de Abril de 1875 y murió el 23 de Junio del año 1954. ¿Cuántos años tenía?

16. Sandra y Mónica abrieron cuentas de ahorro en el mismo banco. En las dos primeras semanas hicieron los siguientes movimientos en sus cuentas: Sandra depositó $35.000 la primera semana y la segunda semana hizo un giro por $15.000. Mónica, en cambio, depositó $44.000 la primera semana y durante la segunda, giró $19.500 el lunes y $23.000 el viernes. ¿Cuál de las dos tiene un saldo menor en su cuenta de ahorros?

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17. Luis y Cristián juegan a los dados siguiendo las siguientes reglas: 

Tiran dos dados.



Si en cada tirada la suma de los números es par, se ganan 7 puntos.



Si la suma de los números es impar se obtienen 5 puntos en contra, esto es, –5 puntos.

Luis obtuvo seis veces –5 puntos y dos vez 7 Cristián obtuvo dos veces 7 puntos y cinco veces –5 puntos ¿Cuál de los dos amigos ha ganado el juego?

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PAUTA ACTIVIDADES: OPERATORIA CON NÚMEROS ENTEROS EN CONTEXTOS DIVERSOS En esta guía de ejercicios encontrarás varios problemas. Para resolverlos podrás ocupar diversas estrategias y operaciones tales como multiplicaciones, divisiones y operatoria combinada con números enteros. 18. Gustavo es uno de los más grandes productores de verduras y en este instante tiene un serio problema: Necesita vender 30 sandías a un valor de $850 cada una, 48 pepinos a $50 c/u, 55 lechugas a $ 250 c/u, 32 sacos de papas a $8.900 c/u.

Fíjate como lo está haciendo: 850 + 850 +…+ 850 + 50 + 50 +….+ 50 + 250 + 250 +… + 250 + 8.900 + 8.900 +…. + 8900. (Gustavo escribe todos los términos involucrados) ¿Cómo lo habrías hecho tú?

Una manera de resolver sería:

¿Cuánto dinero recibirá en total si vende todos sus productos? Recibe 326.450 pesos

19. Daniela ha hecho una mala inversión y diariamente pierde $3.000. Esta pérdida la podemos representar por un número negativo es decir como: -3.000. c) ¿Cuánto pierde en una semana? y d) ¿en un mes de 30 días?

En una semana pierde 21.000 pesos y en un mes pierde 90.000 pesos, que también puede ser escrito como -21.000 pesos y -90.000 pesos respectivamente.

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20. Una máquina de hacer pozos perfora 15 m al día. Si ha tardado 8 días en perforar un pozo de petróleo. ¿Qué profundidad tiene el pozo? Tiene 120 metros de profundidad.

21. El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm por día, en el verano. ¿Cuántos centímetros menos tiene la presa al cabo de los 6 días? Al cabo de 6 días tendrá 48 cm

22. Fernanda tiene que pagar una deuda de $360.000. Si paga esa deuda en 6 cuotas sin intereses, ¿cuál será el monto de cada cuota? Si cada una de esas cuotas la expresas como deuda, cómo la escribirías? Cada cuota tendrá un valor de $60.000. Se puede escribir la deuda como – 60.000 pesos.

23. En una fábrica trabajan 106 obreros que ganan $18.000 al día. c) ¿Cuánto se les pagará en un mes, si trabajan 26 días?, Ganaran $468.000 d) ¿cuánto dinero en total tendrá que tener el dueño de la fábrica para pagarle a sus trabajadores al finalizar el mes? El dueño tendrá que desembolsar $49.608.000.

24. Un termómetro marca -12°C a las 4 de la mañana. Si la temperatura aumenta 3ºC cada una hora, ¿cuánto marcará el termómetro al cabo de 5 horas? 6ºC al cabo de 5 horas

25. Una gaviota se encuentra sobre el nivel del mar a 40 m de altura. A 160 m de distancia de la gaviota, en la misma vertical, hay un barco hundido. ¿Cuántos metros de distancia hay entre la gaviota y el barco? Hay 200 metros de distancia

26. En la cuenta bancaria de don Pedro aparece un saldo de -120.000, porque se hay sobregirado. Al llamar a su ejecutiva de cuentas, ella le indica que no se preocupe ya que su línea de crédito le permite un sobregiro de 5 veces ese monto. ¿Cuál podría ser el saldo de don Pedro sin que le ocasiones problemas con el banco?

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-600.000 pesos.

27. Felipe, Vicente y Emiliano se entretuvieron en los videojuegos. Si entre los tres obtuvieron –9.312 puntos en total y todos sacaron el mismo puntaje. c) Para resolver este problema matemático, podrías __dividir_ el total por la cantidad de ____jugadores____ d) ¿Cuántos puntos perdió cada uno?__Cada uno perdió 3.104 puntos__

28. Los boletos para el zoológico de la familia de Larissa costaron $35.000. Si hay 5 personas en su familia, ¿cuál fue el costo por persona? Cada boleto costó $7.000

29. Un empleado gana $ 6.679.500 al año. Si suponemos que gana la misma cantidad todos los meses, ¿cuánto gana en un mes? Si logra ahorrar anualmente: $960.000 y ahorra la misma cantidad todos los meses ¿Cuál es su ahorro mensual?

El empleado gana $556.625 mensuales. Ahorra $80.000 todos los meses.

30. Una persona tiene $2.200; gasta $ 850 y presta $ 1.300. ¿Cuánto dinero le sobra?

Entre lo que gasta y presta hace un total de: 850+1.300= 2.150 Luego al total le restamos lo anterior: 2.200 – 2.150 = 50 Le sobra entonces $50.

31. Un obrero gana $ 13.300 por día y gasta $ 3.100 en alimentación diaria. ¿De cuánto dinero dispone para el mes descontando el dinero que gasta en alimentación? Para el cálculo consideremos un mes de 30 días.

Gana en un mes de 30 días: Gasta en alimentación en un mes de 30 días: Entonces Luego dispone de $306.000 para el mes.

32. Una persona nació el 15 de Abril de 1875 y murió el 23 de Junio del año 1954. ¿Cuántos años tenía?

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Tenía 79 años cuando falleció.

33. Sandra y Mónica abrieron cuentas de ahorro en el mismo banco. En las dos primeras semanas hicieron los siguientes movimientos en sus cuentas: Sandra depositó $35.000 la primera semana y la segunda semana hizo un giro por $15.000. Mónica, en cambio, depositó $44.000 la primera semana y durante la segunda, giró $19.500 el lunes y $23.000 el viernes. ¿Cuál de las dos tiene un saldo menor en su cuenta de ahorros? Sandra: 35.000 – 15.000= 20.000 Mónica: 44.000 - (19.500 +23.000) = 1.500 Mónica queda con menos saldo, con sólo $1.500

34. Luis y Cristián juegan a los dados siguiendo las siguientes reglas: 

Tiran dos dados.



Si en cada tirada la suma de los números es par, se ganan 7 puntos.



Si la suma de los números es impar se obtienen 5 puntos en contra, esto es, –5 puntos.

Luis obtuvo seis veces –5 puntos y dos vez 7 Cristián obtuvo dos veces 7 puntos y cinco veces –5 puntos ¿Cuál de los dos amigos ha ganado el juego? Luis:

Obtuvo 6 veces -5 puntos, luego Obtuvo 2 veces 7 puntos, luego Sumando ambos puntajes, Luis obtiene -30+14= -16 puntos.

Cristian:

Obtuvo 2 veces 7 puntos, luego Obtuvo 5 veces -5 puntos, luego Sumando ambos puntajes, Luis obtiene 14 - 25 = -11 puntos.

Como -11 es mayor que -16, entonces Cristian gana el juego de los dados.

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ACTIVIDAD: RESOLUCION DE PROBLEMAS QUE INVOLUCREN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

1) En una cámara de frío baja la temperatura a razón de 4° C por minuto. Si la temperatura que registra es de 18°C. ¿En cuantos minutos lograra los 10°C bajo cero?

2) Una piscina tiene1.380 lt. de agua, si se vacía a razón de 230 lt por hora. ¿Cuántas horas demorará en vaciarse?

3) Una cámara de frío se encuentra a -16°C. Si cada 5 minutos desciende 2°C. ¿Qué temperatura tendrá al cabo de 25 minutos?

4) En un juego de cartas un jugador A obtiene 34 puntos a favor y 16 puntos en contra. Un jugador B obtiene 44 puntos a favor y 20 en contra. Para encontrar el ganador, a los puntos a favor se le restan los puntos en contra y quien tenga mayor puntaje es el ganador. ¿Cuál de los dos ganó el juego?

5) Rodolfo tiene $ 30.000 en efectivo, gasta $ 4.500 el fin de semana, luego saca de su cuenta corriente $ 60.000 y comprar sus útiles escolares por un valor de $ 55.000. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el dinero que le queda a Rodolfo? I. II. III. IV.

$ (30.000 - 4.500 + 60.000) $ (30.000 + (-4.500) + 60.000 - 55.000) $ (30.000 + (-4.500) + 60.000 - (-55.000)) $ (30.000 - (4.500) + 60.000 - 55.000)

¿Con cuánto dinero quedó Rodolfo?

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6) En una cámara de frío baja la temperatura a razón de 4° C por minuto. Si la temperatura que registra es de 18°C. ¿En cuantos minutos lograra los 10°C bajo cero? (R: 7 minutos) 7) Una piscina tiene1.380 lt. de agua, si se vacía a razón de 230 lt por hora. ¿Cuántas horas demorará en vaciarse? (R: 6 horas) 8) Una cámara de frío se encuentra a -16°c. Si cada 5 minutos desciende 2°c. ¿Qué temperatura tendrá al cabo de 25 minutos? (R: -26°C) 9) En un juego de cartas un jugador A obtiene 34 puntos a favor y 16 puntos en contra. Un jugador B obtiene 44 puntos a favor y 20 en contra. Para encontrar el ganador, a los puntos a favor se le restan los puntos en contra y quien tenga mayor puntaje es el ganador. ¿Cuál de los dos ganó el juego? (R: el jugador B) 10) Rodolfo tiene $ 30.000 en efectivo, gasta $ 4.500 el fin de semana, luego saca de su cuenta corriente $ 60.000 y comprar sus útiles escolares por un valor de $ 55.000. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el dinero que le queda a Rodolfo? V. VI. VII. VIII.

$ (30.000 - 4.500 + 60.000) $ (30.000 + (-4.500) + 60.000 - 55.000) $ (30.000 + (-4.500) + 60.000 - (-55.000)) $ (30.000 - (4.500) + 60.000 - 55.000)

La respuesta correcta es la alternativa IV.

¿Con cuánto dinero quedó Rodolfo? Rodolfo quedó con $30.500

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Contenido: 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen un algoritmo de adición o sustracción de números enteros en la solución de problemas.

Consigna: En binas resuelvan los siguientes problemas:

1. En una región del estado de Tamaulipas, la mínima temperatura registrada en un año fue de -5 grados centígrados y la máxima fue de 42 grados centígrados. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas?

2. Después de alcanzar una altura de 3 795 metros sobre el nivel del mar, un cohete suelta una de sus turbinas y ésta cae en el océano a una profundidad de -792 metros. ¿Qué distancia recorre la turbina? ¿Por qué se emplean números negativos para representar la distancia que se sumerge la turbina en el océano?

PROBLEMAS CON NUMEROS ENTEROS NUMEROS ENTEROS 1. Amaya y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amaya avanza 6 km y luego retrocede 2 km, mientras que Jorge avanza 8 km y retrocede 5 km. a) ¿A qué distancia se encuentra uno del o tro? b) ¿Quién ha avanzado más de los dos? c) ¿Quién ha recorrido más km? 2. Se cree que ARQUIMEDES inventó el tornillo. Después de 2146 años se inventó el ordenador, en 1946. ¿En qué año inventó ARQUIMEDS el tornillo? 3. Una máquina de hacer pozos perfora 15 m al día. Si ha tardado 8 días en perforar un pozo de petróleo, ¿qué profundidad tiene el pozo? 4. El nivel del agua de una presa ha disminuido 8 cm diarios durante 6 días. A causa de las intensas lluvias caídas los 3 días siguientes ha subido el nivel 7 cm diarios. ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa? 5. PITAGORAS murió el año 493 a de C y nació en el 580 a.C. ¿Cuántos años vivió? 6. Hipatia de Alejandría fue una científica, filósofa y maestra que murió asesinada en el año 415 a la edad de 45 años. Arquímedes, en cambio, fue un matemático griego que murió a la edad de 75 años durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el año 212 a.C. ¿En qué año nació cada uno? 7. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió? 8. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? 9. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de 38

conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? 10. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? 11. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

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