Runge Kutta 1n136x

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería Eléctrica Métodos Numéricos

Ecuaciones Diferenciales

Métodos de Runge-Kutta Profesor: Tenorio Huertas José Javier. Integrantes: • Gutiérrez Gutiérrez Víctor Manuel. • Núñez Rocha Baruc Daniel. • Hernández Valdivia Alan. • Salazar Ramírez Gustavo Ángel. •

Mezzana Palacios Daniel David.

Métodos de Runge-Kutta: Antecedentes: ¿Qué es una Ecuación Diferencial? Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias, aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Y Ecuaciones en derivadas parciales, aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales como son la física, química, biología o matemáticas. Como se dijo anteriormente, las ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en varias ramas del estudio práctico y experimental, teniendo como problema que algunas ecuaciones no se pueden resolver exactamente, con lo cual hay que acudir a métodos de aproximación para tener una idea general de la solución al problema. Los métodos de Runge-Kutta son métodos genéricos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos Carl Runge y Martin Kutta, ambos Alemanes. Carl Runge pasó sus primeros años en La Habana, donde su padre Julius Runge ejercía como cónsul danés. La familia se trasladó más adelante a Bremen, donde Julius murió prematuramente (en 1864). En 1880 Carl recibió su doctorado en matemática en Berlín. En 1886 llegó a ser profesor en Hanóver. En 1904 fue a Gotinga, donde permaneció hasta su retiro en 1925. Una hija suya se casó con el matemático Courant. Sus intereses incluían la matemática, la espectroscopia, la geodesia y la astrofísica. Además de en matemática pura, realizó una gran cantidad de trabajo experimental estudiando las líneas espectrales de varios elementos, y estuvo muy interesado en la aplicación de su trabajo a la espectroscopia astronómica.

El cráter Runge en la Luna le debe su nombre. Desarrollo el Fenómeno de Runge el cual es un problema que sucede cuando se usa interpolación polinómica con polinomios de alto grado. Por otro lado Martin Kutta nació en Pitschen, Alta Silesia (en la actualidad pertenece a Polonia). Asistió a la Universidad de Breslau de 1885 a1890. Continúo sus estudios en Múnich hasta 1894, donde se convirtió en asistente del Prof. von Dyck, eminente matemático alemán. En 1898 pasó un año en la Universidad de Cambridge. Kutta se convirtió en profesor en la Universidad de Stuttgart en 1911, plaza que ocupó hasta su retiro en 1935. En 1901 desarrolló, en colaboración con Carl Runge, el método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Será recordado también por el método Zhukovsky-Kutta el cual es un teorema fundamental de la aerodinámica. Cabe destacar que estos dos grandes matemáticos se diferencian en que Runge se baso más en desarrollar métodos y estudiar fenómenos por si solo, recibiendo poca ayuda, mientras que Kutta es más conocido por trabajar en equipo. Por lo que podemos decir que los métodos de Runge-Kutta son una excepción al Carl Runge trabajar en equipo. El objetivo de los métodos numéricos de Runge-Kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de Euler, pero con un orden de exactitud mas alto que este.

Método de Runge-Kutta de 2do Orden: Este método de Rungen-Kutta es un método numérico para resolver EDO. El esquema clásico del método de Runge-Kutta de 2 orden (RK2) es la siguiente: Se requiere de un punto Y(0) y elegir en que intervalo se quiere analizar en X(0),X(n) Para calcular la dimensión del paso “ h ” se emplea la sig. Ecuación. h= ahora se emplea la ecuación general de RK2:

Yi+1 = Yi +

[ f(Yi ,Xi )+ f(Yi+1 ,Xi +1)]

donde : Yi+1= Yi +h*f(Yi, Xi ) donde : Xi : Es la coordenada X inicial Yi : Es la coordenada Y inicial Yi+1: Es la nueva coordenada X Xi+1: Es la nueva coordenada Y F(xi,yi) es la derivada evaluada en el punto anterior

Si factorizamos la ecuación general y le agregamos un cambio de variable se tiene que:

K1 = h*f(Yi, Xi ) K2 = h*f(Yi +K1 , Xi+1 ) donde : K1 y K2 son los cambio de variable Sustituyendo K1 y K2 en la ecuación general se tiene la nueva ecuación general: Yi+1 = Yi +

Serie de Taylor: ¿Para que sirve? La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

¿Cómo funciona? La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente: Al aplicarse el mismo sistema de la serie de Taylor en los métodos de RungeKutta tenemos que en estos no se calcula un error de truncamiento. Esto ya que los métodos de RK con forme aumentan de grado se hacen más exactos, teniendo de por si que el de 2do Orden da valores sumamente exactos. Luego veremos las diferencias de error entre los Runge-Kutta y Euler.

Ejemplo de Runge-Kutta 2° orden: Con la ecuación diferencial: y con las condiciones :

y´ 2 * x * y X ( 0)  0 Xf  0.5 h  0 .1 Y ( 0)  1

Donde:

Xo

es el limite inferior.

Xf

es el limite superior.

h es el valor de incremento de x.

Y (0) es el valor inicial de y. Nota: Si se desconoce el valor de h se ocupara la formula que hemos venido ocupando en los anteriores métodos la cual es: h  ( X  X (0)) / n Donde n es el número en que se dividirá el rango que va de

X (0) a Xf .

La formula de Runge-Kutta 2° orden esta denotada por:

1 Yi  1  Yi  [ K1  K 2] 2 en donde K1 y K2 se calculan con la formula:

K1  h *[ f ( X (0), Y (0))] K 2  h *[ f ( X (0)  h, Y (0)  K1)]

Aplicando dichas formulas antes mencionadas procederemos a realizar el ejercicio antes mencionado.

1 Iteración: Primero calculamos K1 Y K2, los cuales quedan como:

K1  (0.1) *[2 * (0) * (1)]  0 K 2  (0.1) *[2 * (0  0.1) * (1  0)]  0.2

Con los valores de K1 y K2 se aplica la formula de Runge-Kutta y queda como:

2 Iteración:

1 Y1  1  [0  0.02]  1.01 2

Para esta iteración X 0 se le sumara el valor de h y a este nuevo valor se denotara como X 1 .

X (1)  X (0)  h  0  0.1  0.1 Y el nuevo valor de y(0) será el valor de Y (1) . Con lo antes mencionado K1, K2 y Y2 quedan como:

K1  h * f ( X (1), Y (1))  0.1*[2 * (0.1) * (1.01)]  0.0202 K 2  h * f ( X (1)  h, Y (1)  K1)  0.1*[2 * (0.1  0.1) * (1.01  0.0202)]  0.041203 1 1 Y 2  Y 1  [ K1  K 2]  1.01  [0.0202  0.041203]  1.040704 2 2 Y así como se procedió para calcular y se hará lo mismo para las demás iteraciones cabe mencionar que las Iteraciones dependerán del número que se divida el rango que va de

X (0) a Xf .

A continuación se presenta la tabla conforme a los resultados obtenidos de la iteración 1 a la 5.

X

Y

0

1

0.1

1.01

0.2

1.040704

0.3

1.0939875

0.4

1.1731825

0.5

1.283461

Por medio de esta tabla podemos notar que Runge-Kutta de 2° orden se aproxima mucho al valor analítico de la ecuación que tiene un valor de: Valor verdadero=1.284025417 Con este valor se puede calcular un error el cual es el siguiente:

1.284025417  1.283461 error  [ ] *100  0.04395684015% 1.284025417

Gráfica 1.5 1.4 1.3 Gráfica

1.2 1.1 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Método de Runge-Kutta de 4to Orden: Es un método numérico comúnmente utilizado para encontrar solución a ecuaciones diferenciales ordinarias.

Método Clásico de Runge-Kutta (4to Orden): El método RK4, es el mas utilizado por ser extremadamente exacto. Se calcula la derivada (̀ ) en 4 puntos diferentes del rectángulo de vértices , , , , , en el plano XY. Para representar el rectángulo de vértices en el plano XY, usaremos Xn=1 y Yn=1. Por lo tanto tendremos el punto inicial (Xn,Yn) = (1,1).

Rectángulo de Vértices 3 2 1 0 0

1

2

3

Una de las formas análogas de generar métodos de Runge-Kutta es a partir de las formulas de Taylor de orden superior, pero las manipulaciones algebraicas son tediosas. Para construir RK4 es necesario resolver un sistema de ecuaciones con 12 incógnitas. Al llevarse a cabo se genera el esquema de RK4. El esquema clásico de Runge-Kutta de cuarto orden es:

Representación gráfica del método de Runge-Kutta de orden 4:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden . Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de , razón por la cual es usado en los métodos computaciones. Esto quiere decir que si tenemos un h=0.2, el error será un valor cercano al valor de h elevado a la 4, por lo que tendremos en este caso un error menor a:

Debido a su exactitud, RK4 no tiene error de truncamiento, por esto las únicas formas de calcular algún error son mediante el error porcentual y la diferencia entre el valor analítico (real) que origina la ecuación diferencial y el valor numérico que arroja el método. Error Porcentual = (Valor Real – Valor Numérico / Valor Real )*100. Diferencia = Valor Real – Valor Numérico.

Modos de Paro para el Runge-Kutta de Orden 4: 1. Por iteraciones. 2. Por valor final dado por una ecuación de la forma Y( ), pararemos cuando nuestra X llegue al valor de luego de aumentar sumándole h en cada iteración. En este caso nos darán siempre una ecuación de la forma Y( )=valor, y lo que podrá variar será que nos den directamente el valor de h(valor de paso) o nos den un numero de intervalos (n) a tratar y con este generamos el valor de h de la siguiente manera:

EJEMPLO ANALITICO:

Solución:

Ecuación:

Agrupamos y de un lado, x del otro:

Integramos:

Encontramos c constante con nuestros valores iniciales: X=0; F(0)=1 Y=1; Sustituimos:

1-1=c C=0

Valores iniciales: X=0;

h=0.1

F(0)=1 Y=1;

Sustituimos en nuestra solución:

x

y

0

1

0.1

1.010050167

0.2

1.040810774

0.3

1.094174284

0.4

1.173510871

0.5

1.284025417

1.5 1.4 1.3 Gráfica Series2

1.2 1.1 1 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

EJEMPLO METODO: Valores iniciales:

Ecuación:

F(0)=1

=0; =1;

Formula de método:

=f(

,

)

=f(

h)

= f(

h)

= f(

h)

EJEMPLO METODO: Ecuación: 2xy =f(

,

)

=2(0)(1)=0 =f(

h) x

y

=2*(0+ *0.1)(1+ *0*0.1)=0.1 = f(

h)

=2*(0+ *0.1)(1+ *0.1*0.1)=0.1005 = f( h) =2*(0+ 0.1)(1+ 0.1005*0.1)=0.20201 Valores iniciales: =0; F(0)=1 =1;

h=0.1

Sustituimos:

∗

∗

𝟓

∗

=1.010050167; Nuevos valores: =0.1; h=0.1 =1.010050167;

EJEMPLO METODO: Ecuación: 2xy =f( , ) =2(0.1)(1.010050167)=0.2020100334 =f(

h)

=2*(0.1+ *0.1)(1.010050167+ * 0.2020100334*0.1)=0.3060452006 =f( h) =2*(0.1+ *0.1)(1.010050167+ * 0.3060452006 *0.1)=0.3076057281 = f( h) =2*(0.1+ 0.1)(1.010050167 + 0.3076057281 *0.1)=0.4163242959

EJEMPLO METODO:

= 0.3076057281

= 0.2020100334

= 0.4163242959

= 0.3060452006

=1.010050167;

Sustituimos:

𝟓

∗

𝟓

∗

𝟓

Tabla comparativa de métodos utilizados para resolver ecuaciones diferenciales.

𝟗𝟓𝟗

Gráfica 1 comparativa de métodos utilizados para resolver ecuaciones diferenciales.

Metodos 1.3 1.28 1.26 1.24 1.22 1.2 1.18 1.16 1.14 1.12 1.1 1.08 1.06 1.04 1.02 1 0

Euler

0.1

Euler-Gauss

0.2

0.3

Runge kutta 2do orden

0.4

0.5

Runge kutta 4to orden

Analitico

Gráfica 2 comparativa de métodos utilizados para resolver ecuaciones diferenciales.

Metodos 1.3 1.28 1.26 1.24 1.22 1.2 1.18 1.16 1.14 1.12 1.1 1.08 1.06 1.04 1.02 1 0

0.1

0.2

Euler

Euler-Gauss

Runge kutta 4to orden

Analitico

0.3

0.4

0.5

Runge kutta 2do orden

Ejercicios:

•

Resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria utilizando los métodos de Runge-Kutta de 2do Orden y 4to Orden.

y´=x+2xy para X de 0.5 a 1 con valores iniciales de y=1 y x=0.5 y h=0.1

•

Resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria utilizando los métodos de Runge-Kutta de 2do Orden y 4to Orden.

y´=y-

+1 para X de 0 a 2 con y(0)=0.5 y h=0.2