Metodo Runge Kutta 4b72v

Metodos numericos   

 

Ecuaciones diferenciales Factor integrante Metodo Runge-Kutta

Presenta: Marisol Sanchez

Conceptos basicos 

Las ecuaciones que contienen las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una E.D.



Forma implicita F(x,y,y’,y’’,…,y(n)) Forma explicita y(n)=(x,y,y’,y’’,…,y(n-1))



Clasificacion: Tipo: E.D.O. y E.D.P.  Orden (la derivada mas alta)  E.D. es lineal si: dny d n 1 y dy an ( x) n  an 1 ( x) n 1    a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)  ec.(1) dx dx dx 



La variable dependiente (y) y todas sus derivadas son de primer grado. Los coeficientes solo dependen de la variable independiente(x) Homogenea cuando g(x) en la ec.1 es cero

Variables separables 

Una E.D.O. de primer orden de la forma

dy  g ( x)h( y )  ec.(2) dx

 

Es separable o de variables separables Las cuales se separan y despues se integran

dy dy   g ( x)dx    G ( x)  c2  ln x  c1  G ( x)  c2  x  e G ( x ) e C  x  keG ( x ) y y 

Si h(y)=1 caso facil. Cuando g(x)=1 se dice que la E.D. es autonoma

Factor integrante 

La ecuacion lineal dy a1 ( x)  a0 ( x ) y  g ( x)  ec.( 4) dx



Al dividir entre el primer coeficiente obtenemos la forma estandar de una ec. lineal dy   ( x ) y  f ( x )  ec.(5) dx



Identificamos (x)para definir el factor integrante que sera  ( x) x

e

 ec.(6)

La ec. (6) se multiplica por el factor integrante obteniendo con esto:   x  dx dy  ( x ) dx  ( x ) dx    e   ( x )e ye f ( x)  ec(7) dx



Notese que el lado izquierdo es la derivada del producto del factor integrante, por la variable dependiente y, i.e. dy    ( x ) dx    ( x ) dx f ( x)  (8) e y  e  dx 



La ec (8) se integra para conocer la solucion

Ejercicios 3 d y dy 3 x x   6 y  e dx 3 dx



E.D.O. lineal de tercer orden 4

d y 2  y 0 4 dx 

E.D.O. no lineal de cuarto orden

dy 2 dy dx dy dx  y  x  1   2    2  ln y  c1  ln x  c2 dx x y x y x

 (t )  e



2 dx x

e

2 ln x

dy 2 2 2  x  x  x y  x ( x  1)  dx x 2

2

d 2 2 3 2 2 ( x y)  x ( x  1)  x  x   amboslados  x y  dx 4 3 2 t t t t c 2 x y   c  y    2  4 3 4 3 x

Metodo Runge-Kutta 



Se nombra asi en honor a dos matematicos alemanes que desarrollaron el metodo entre (18981901). Es muy similar a los metodos de Euler 1 y Euler mejorado (modificado)

Runge-Kutta de primer orden Considera la EDO y’=f(y,t), con y(t0)=y0 

Para calcular yn+1 en tn+1=tn+Δt a partir de yn integramos y’ en [tn,tn+1]

y n 1 

t n1

 f ( y, t )dt

tn

Runge-Kutta de segundo orden 

Es identico al metodo de Euler modificado con dos ciclos de iteracion.

k1  tf ( yn , t n )

k 2  tf ( yn  k1 , t n 1 ) 1 yn  1  yn   k1  k 2  2

Runge-Kutta de tercer orden 

Este metodo con una presicion de tercer orden se escribe como: k1  tf ( yn , t n ) 1 t  k 2  tf  yn  k1 , t n   2 2  k3  tf  yn  k1  2k 2 , t n  t  

1 yn 1  yn   k1  4k 2  k3  6

Runge-Kutta de cuarto orden 

Para calcular yn+1 a partir de yn empleamos 4 pendientes k1  tf k2 k3 k4

 yn , t n 

k1 t   tf  y n  , tn   2 2   k t    tf  y n  2 , t n   2 2    tf  y n  k 3 , t n  t 

y n 1



1  k1  2k 2  2k3  k 4   yn  6

Metodo Runge-Kutta para sistemas de ecuaciones diferenciales 



Una EDO de orden superior se puede resolver con este metodo despues de transformarla a un conjunto de EDO de primer orden, i.e. pueden ser expresadas como un sistema de primer orden Considera el sistema de primer orden con las condiciones iniciales:

dY   F  t,Y  dt Y  t0   Y0

Empleamos el algebra matricial usual para sistemas de ecuaciones donde  f1 (t , y1 (t ), , yn (t ))    dy  F (t , Y )     dt  f (t , y (t ), , y (t ))  1 n  n  

Y es la funcion buscada y ademas:  y n 1 (t )   Y 

 y

n2



 y n (t ) 

(t ) 





    y 0 (t )   





 f (t , y 0 (t ), y ' (t ), , y n 1 (t ) 

 y (t )   y (t )  Y '          y ' (t )   y ' (t )    n 1





n 1











Aplicando el metodo RungeKutta al sistema anterior obtenemos:  

Necesitamos calcular cuatro vectores K1, K2, K3, K4 que son analogos a las cuatro pendientes que calculamos para ecuaciones de primer orden incluso definidos de la misma forma.

k1  F (t k , Yk )   t  t  k 2  F  t k  , Yk    2  2    t  t  k3  F  t k  , Yk    2  2     k 4  F t k  t , Yk  tk3       k1  2k 2  2k3  k 4   K    6  





 k1  

 k 2  

Tomamos un promedio ponderado como en el caso de las ecuaciones de primer orden, asi  obteniendo     k1  2k 2  2k3  k 4   K    6   

Y utilizamos K para formar el paso siguiente de (tk,Yk) i.e.



  tk 1 , Yk 1   t  t , Yk  tK



Error 





El error de truncamiento se debe a la discrepancia entre la serie de Taylor del metodo numerico y la solucion exacta. El tamano del error decrece al aumentar el orden del metodo. La inestabilidad es un efecto acumulado del error local de forma que el error de la solucion crece ilimitado al avanzar los intervalos de tiempo pero aun asi este metodo es mejor que el de Euler

Es todo gracias por su amable atencion y paciencia