Rm Repaso Pamer 2015 San Marcos Con Clave 1j6h5r

<3 46. Efectúa: ab ab + 2a – 2a 4ab + a+b – E = a+b ab ab a2b2 2 2b – 2b + 4b – a+b a+b (a + b)2 A) a+b D) a+2b

B) cero E) 2a

C) a–b

a2 – (b – c)2 b2 + c 2 – a2 ; y= 2bc (b + c)2 – a2 x+y calcule: z = 1 – xy

47. Si x =

A) 0 D) 1

B) b+c E) a+b

C) c+a

48. Sean R1 y R2 los restos de las divisiones de un polinomio P(x) por x–1 y por x+1, respectivamente. En esas condiciones, si R(x) es el resto de la división de P(x) por x2–1, entonces R(0) es igual a: R1 + R 2 A) R1 – R2 B) R1R2 C) R R 1 2 R1 + R 2 D) E) R1 + R2 2 49. Si para todo número real K, el polinomio P(x) = xn –(k+1)x2 +k es divisible por x2 – 1 entonces el número n es: A) par B) divisible por 4 C) múltiplo de 3 D) negativo E) primo 50. Sabiendo que log2 = 0,30, señale la mejor aproximación de la solución de la ecuación 2x = 80. A) 6,1 B) 6,3 C) 6,5 D) 6,6 E) 6,7

B) 4 E) 6

52. Si x1 y x2 son raíces de la ecuación:

( 3 + 2) x + ( 3 – 2) x = 2 3

26

ÁLGEBRA

2

2

Entonces x1 +x2 es igual a: A) 2 B) 5 D) 17 E) 19

C) 10

53. En el universo R, el conjunto solución de la inecuación 6x < 27.2x es el intervalo: A) (0, +∞) B) (–∞, 0) C) (3, +∞) D) ⟨–∞,3⟩ E) (0, 1) 54. Se tiene una secuencia formada por fracciones propias, 1 donde a1 = es el primer término y su ley de formación 2 1 1–an es tal que, si an = , entonces an+1 = . Podemos x x–an afirmar que el 50° término de esa secuencia es: A) 49/50 B) 48/49 C) 1/49 D) 1/50 E) 1/51 55. Una cantidad q de unidades de un cierto producto e vendida diariamente, a un precio unitario p (en soles), siguiendo la función q = 80 –2p, (con p rel="nofollow"> 0 y q > 0). Los ingresos totales diarios se obtuvieron multiplicando el número de unidades vendidas por el precio unitario (R = pq). Podemos afirmar que este ingreso será máximo si el precio unitario es: A) S/.14 B) S/.15 C) S/.18 D) S/.20 E) S/.25 56. Los carteles de publicidad de una compañía deberán obedecer los siguientes criterios: I. Tener forma rectangular II. Tener un área igual a 10 m2 III. El largo debe exceder al doble del ancho en por lo menos 1 metro. El ancho es: A) 1,4 m B) 1,6 m C) 1,8 m D) 2 m E) 2,2 m 57. En el plano cartesiano se tienen los puntos A(0,0), B(4,1), C(0,3), D(x,7). Para que los segmentos AB, BC y CD tengan sus coeficientes angulares, formando, en ese orden, una progresión geométrica, el valor de x es igual a: A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 58. Sea P un punto en el eje de abscisas, equidistantes de los puntos A(0,4) y B(8,0). La ecuación de la recta que pasa por A y P es: A) 4x+3y=12 B) 3x+2y=8 C) 3x+4y=16 D) 2x+5y=20 E) 3x+y=4  x 2 + 3x+2 = 5 59. La solución racional del sistema  – x  3 – 2x 2 = 1 pertenece al intervalo:

51. La solución real de la ecuación: 1 1 1 + + = 3 es: log2 x log4 x log8 x A) 2 D) 1

C) 16

A) [–2,0] D) [0,2

B) [–1,1] E) [3,+∞]

C) [–∞, 0]

 x 2 – 2y = 1 60. El sistema  presenta dos soluciones en R×R  2x – y = 2

6PROCESO 2 DE ISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014

GUIA DE REPASO

cuya suma es el par: A) (2,5) B) (–1,3) D) (6,–2) E) (–3,4)

61. Si x

x

2

3 1 – (3 2 )(2 3 )

=3

1 36

A)

4

9

B)

4

D)

4

3

E)

4

–2–1

C) (4,4)

hallar el valor de x. 4

27

C) 3

4

62. Considere f(x) = ax+b si f(0)=1 y f(0) + f(1) + f(2) +...+ f(10)=–99 el valor de a3+b3 es: A) –7 B) 9 C) 8 D) –4 E) –1 63. Dada la ecuación –x2–x+3 = 0 de raíces n

n

1 1 ; ; x1 x 2

    además P(n) = n  1  +  1  , calcule P(2).  x1   x2  A)

10 3

D) 7

B)

17 2

E)

14 2

C) 7

64. Halla el residuo que resulta de dividir (x–1)20(x2+x+3) por (x–1) 19(x–2), dar como respuesta el término independiente. A) –10 B) –9 C) –8 D) –6 E) –6 65. Hallar el valor numérico del polinomio: P(x) = 2x5+(1– 10)x4+2 5x3–3 5x+3 10

cuando x = 5 – 2 A) 5 B) 9 D) 7 E) 6

C) 8

66. Considere a, b y c tres números reales no nulos siendo a<6 y las afirmaciones de abajo. I. a+b < b+c II. a2 < b2 III. b–a > c–b ¿Cuáles afirmaciones son verdaderas? A) Solamente I B) Solamente II C) Solamente III D) Solamente I y II E) Solamente II y III 67. Atribuyéndose para log2 el valor de 0,3 entonces los valores de log0,2 y log20 son respectivamente: A) –0,7 y 3 B) –0,7 y 1,3 C) 0,3 y 1,3 D) 0,7 y 2,3 E) 0,7 y 3 68. La función F definida por f(x) = 4–x –2 intercepta al eje de las abcisas en: A) –2 B) –1 C) –1/2 D) 0 E) 1/2 69. Construidos en el mismo sistema de coordenadas cartesianas, las inecuaciones x 2 +y 2 <4; y< x+1;

72 PROCESO DE ISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014

delimitan una región en el plano. El número de puntos que están en el interior de esa región, poseen coordenadas enteras es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 70. Considere los polinomios p(x)=x3 y q(x)=x2+x. El número de soluciones de la ecuación p(x) = q(x), es el conjunto de los números reales y A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 71. Calcule "a" si la ecuación de segundo grado: (4–a)x2 + 2(ax+1)= 0 tiene una solución. A) {2,–4} B) {–2,4} C) {2} D) {2,4} E) {–2,2} 1 2

72. Si x0 es la menor solución de x x = A) 20 D) 4

B) 8 E) 11

1 hallar 4|4x0–3| 2 C) 12

73. Resuelva: 3x–9 ≤ 2x+1 ≤ 5+3x A) [–4;10] B) [–3;9] C) [–5;11] D) [–4;+∞⟩ E) ⟨–4;10] ∪ ⟨10;+∞⟩ 74. Halle el menor número real n tal que –n ≤ 4x2–20x+17; ∀x∈R A) 7 B) 6 C) 25/8 D) 9 E) 8 75. Halle n ∈ R para que el siguiente número complejo sea 3 – 2ni real: Z = 4 – 3i A) 9/8 B) 1/8 C) 8 D) 9 E) 9/16 76. Cuántos elementos tiene el conjunto: 2  1  A =  x ∈ Z / 4 ≥  x –   2     A) 7 B) 2 C) 4 D) 1 E) 5 77. Hallar el exponente de x, si: 1

A) 1 D) 1/2

 8 5 4 5 4 5 4  x M =   x ⋅ x ... x ⋅   4 3 40 factores   x x B) –1 C) –1/2 E) 1/4

78. El punto extremo V de la función cuadrática f(x) = x2 – 6x + 8 es: A) Un máximo, siendo V = (3,–1) B) Un mínimo, siendo V = (–3,1) C) Un máximo, siendo V = (–3,1) D) Un mínimo, siendo V = (3,1) E) Un mínimo, siendo V = (3,–1)

ÁLGEBRA

27

GUIA DE REPASO

79. Qué edad tendrá Asterix en el año 2000, sabiendo que esa edad será igual a la suma de las tres últimas cifras de su año de nacimiento. A) 22 años B) 23 años C) 24 años D) 25 años E) 26 años 80. Juan tiene la costumbre de subir la escalera de su casa saltando los escalones de 2 en 2 y la baja con saltos de 3 en 3. No recuerda con exactitud cuántos saltos da entre la subida y la bajada: entre 45 y 50. ¿Cuántos escalones tiene la escalera de su casa? A) El número de escalones está comprendido entre 54 y 60. B) El número de escalones está comprendido entre 61 y 65. C) El número de escalones está comprendido entre 40 y 45. D) El número de escalones está comprendido entre 46 y 50. E) El número de escalones es 74.

81. Si x

x3

A) 1 D) 9

=3 y

xa x –3 x 3 x

( )

= 3 hallar el valor de a.

B) 5 E) 3

C) 6

100 82. Dadas las funciones reales g(x) = 2x; f(x) = se 1+2–x –1 puede afirmar que (qof )(90) es igual a: A) 10 B) 3 C) 9 D) 1/3 E) 1/10 83. La ecuación de la circunferencia de centro C =(–3,–1) que contiene al vértice de la parábola y+2x2+4x=0 es: A) (x+3)2+(y+1)2=5 B) (x+3)2+(y+1)2=13 C) (x+3)2+(y–1)2=5 D) (x–3)2+(y–1)2=13 E) (x+3)2+(y–1)2=7 84. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (1,4) y cuya directriz es la recta y=3 es: A) y = x2 –2x+4 B) y = –x2+x–8 2 x x2 x C) y = –x+4 D) y = – +2 2 2 2 2 E) x = y –y+4 mx + y = 2  85. El sistema de ecuaciones  x – y = m  x+y=2  es imposible si y solamente si: A) m=–1 B) m=–2 C) m=1 o m= 2 D) m ≠ –1 E) m ≠ 1 y m ≠ –2 86. Una función de 2.° grado es tal que f(0)=5, f(1)=3 y f(–1)=9 entonces f(2) es: A) 0 B) 2 C) 3 D) –3 E) –5

28

ÁLGEBRA

87. Si x es un número real positivo tal que si adicionamos 1 a su inversa obtenemos como resultado el número x. ¿Cuál es el valor de x? A)

1– 5 2

B) 1 + 5 2

D) 1 + 3 2

E)

C) 1

1+ 2 2

88. Sean a y b las raíces de la ecuación x2–5x+q=0 sabiendo que: ab.ba.aa.bb = 243. Indique el valor de q. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 89. La solución real de la ecuación es: 2x  –1 = log5   x + 1  B) –1/5 E) –9

A) 1/9 D) –5

C) –1

log2 x + log4 y = 4 90. Resuelva el sistema:   xy = 8 A) {(32,1/4)} D) {(1/4,32)} 91. Si

B) {(8,16)} E) {(4,2)}

x x + 32(2n) n+1

1+2

A) 32 D) 1

⋅x

x

C) {(8,1)}

2

x = 2 ; n ≠ –3, hallar el valor de x +1

B) 16 E) 64

C) 4

92. Hallar el valor de m si las raíces que origina la ecuación: 6x2–11x+m=0 son entre sí como 9 es a 2. A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 93. La función inversa de la función biyectiva: 2x–3 F: R –{–4} → R–{2} /f(x) = es: x+4 x + 4 A) f –1(x) = B) f –1(x) = x – 4 2x + 3 2x – 3 4x + 3 C) f –1(x) = 4x + 3 D) f –1(x) = x–2 2–x E) f –1(x) = 4x + 3 x +2 94. Siendo f: R → R+ una función definida por f(x) = 2x, entonces la expresión que define a la función inversa de f es: A) x2 B) 2/x C) log2x D) x E) 2–x 95. Sea: f: R → R/ f(x)=mx+p si f pasa por los puntos A(0,4) y B(3,0) entonces f–1 pasa por el punto: A) (8,–2) B) (8,3) C) (8,–3) D) (8,2) E) (8,1) 96. La figura mostrada el gráfico de cada función real definida ax+b por f(x)= con a, b y c números reales. Entonces x+c f(a+b+c) vale:


GUIA DE REPASO

98. Si x+y = 2a; x–y = 2b; x+z=–a, calcular: 1 2a y x 1 2b – y 1 –a z A) 0 B) a+b C) 2b–a D) a+b+2 E) a+b–2

y

3

0

A) 1 D) 5

x

1

B) 2 E) 6

99. En un batallón de soldados, si se forman filas de 6 en vez de 4 filas habrían entonces 6 filas menos, ¿cuántos son los soldados? A) 72 B) 60 C) 24 D) 12 E) 144

C) 4

97. Sea la función real f tal que: f(2x–9) = x para todo x real la igualdad f(c)= f–1(c) se verifica para c igual a: A) 9 B) 1 C) 5 D) 3 E) 7

 32  100. Si log2=a y log3=b escribiendo log   en función de  27  a y b obtenemos: A) 2a+b B) 2a–b C) 2ab D) 2a E) 5a–3b b

CLAVES 1.

A

26. D

51. B

76. C

2.

E

27. A

52. A

77. B

3.

B

28. B

53. D

78. E

4.

A

29. C

54. E

79. B

5.

A

30. A

55. D

80. A

6.

A

31. A

56. D

81. D

7.

E

32. B

57. C

82. C

8.

A

33. A

58. A

83. B

9.

A

34. E

59. A

84. C

10. C

35. D

60. C

85. A

11. A

36. D

61. B

86. C

12. D

37. B

62. A

87. B

13. A

38. C

63. D

88. C

14. A

39. E

64. B

89. A

15. A

40. B

65. E

90. A

16. C

41. C

66. A

91. A

17. A

42. E

67. B

92. C

18. A

43. A

68. C

93. C

19. B

44. B

69. B

94. C

20. E

45. B

70. D

95. C

21. E

46. B

71. A

96. E

22. A

47. D

72. E

97. A

23. A

48. D

73. A

98. A

24. D

49. A

74. E

99. A

25. B

50. B

75. A

100. E


ÁLGEBRA

29

Razonamiento Geométrico 1.

2.

3.

4.

Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B C y D siendo M y N puntos medios de AC y DB respectivamente. Calcular “MN” si AB + CD = 24m. A) 8 m

B) 12 m

D) 6 m

E) 24 m

C) 18 m

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AB × CD = AD × BC; BC × CD = 27m y CD – BC = 6m. Calcular “AC”: A) 4m

B) 6m

D) 7m

E) 9m

B) 2/3

D) 6

E) 3

7.

C) 8m

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AB × CD = AD × BC y 1 + 1 = 2 . Hallar AB AD 3 “AC”: A) 1,5

6.

8.

En un triángulo ABC; los ángulos exteriores en “B” y “C” miden 120° y 5x en ese orden y la m∠A=2x. Luego el suplemento del complemento de "x" es: A) 70°

B) 20°

D) 120°

E) 90°

En un triángulo ABC; AB = 8 m y BC = 11m, se traza por "B" una paralela al lado AC que corta a la bisectriz interior de "A" en "P" a la bisectriz exterior de "C" en "Q". Hallar PQ: A) 2 m

B) 2,5 m

D) 1,5 m

E) 3,5 m

x°

a° a° I 80°

a° 9.

b°

A) a° + b° = 30° C) a° + b° = 90°

C) 3 m

Del gráfico I: es incentro del triángulo ABC. Calcular "x":

C) 1/3

Del gráfico, hallar la relación correcta:

C) 110°

b° b°

A) 20°

B) 25°

D) 40°

E) 45°

C) 30°

En un triángulo ABC; m∠A = 40°. Se traza la bisectriz exterior BE luego se traza la mediatriz de BE que corta a CE en "P". Hallar m∠PBE:

B) a° + b° = 20°

A) 30°

B) 20°

D) a° = 2b°

D) 25°

E) 50°

C) 40°

E) a° = b° 5.

10. Del gráfico, AB = BP; AD = PC y m∠BCD = m∠BDC. Calcular "x". B

Del gráfico, hallar “q”. q 2q

60°

A

60° a a

A) 36°

B) 24°

D) 38°

E) 32°

30

2x x

P

C

D C) 30°

A) 45°

B) 36°

D) 40°

E) 20°

C) 30°

PROCESO DE ISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014

GUÍA DE REPASO

11. Del gráfico, hallar MN siendo, AB = 6m y AH = 4m. N B 2q M

18. En un triángulo ABC; m∠A=4m∠C, las mediatrices de AB y BC se cortan en un punto del lado AC. Calcular m∠A: A) 18°

B) 36°

D) 72°

E) 60°

C) 48°

q A

q BB H

A) 2 m D) 5 m

C B) 3 m E) 1 m

C) 4 m

19. Del gráfico calcular "x", siendo los triángulos ABC y EFC equiláteros: B 12°

12. Del gráfico, calcular "x" siendo: AC = PQ y AB = QC: P q q B 2x x

A

Q B) 18° E) 45

A) 20° D) 36°

C

13. Del gráfico: AH = 1 m, y HC = 4 m, calcular AB: B q

A A) 3 m D) 4 m

H B) 10 m E) 5 m

C C) 5 m

14. Se tiene un triángulo escaleno ABC, se traza la ceviana BD, que corta a la mediana AM en su punto medio. Hallar AD, siendo AC=12m. A) 3 m B) 4 m C) 8 m D) 9 m E) 6 m 15. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B", la bisectriz interior AD, corta a la altura BH en F. Si m∠BCA=30° y FH = 2m. Hallar BD: A) 2 m B) 2 3 m C) 3 m D) 4 m E) 4 3 m 16. Del gráfico, calcular "x" siendo AP = BC: B 75°

A A) 30° D) 20°

x

P B) 15° E) 45°

30°

x

E

C F

C) 30°

2q

A

C C) 10°

17. En un triángulo ABC se traza la altura BH, en ella se ubica el punto "E" tal que m∠EAH=m∠CBH y BH=HA. Calcular m∠ECH: A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°


A) 12° D) 48°

B) 24° E) 30°

C) 36°

20. Dado un triángulo ABC; AB=6m y AC=10m, se traza BP perpendicular a la bisectriz interior de A. Calcular PM, siendo M punto medio de BC. A) 3 m B) 2 m C) 4 m D) 5 m E) 8 m 21. En un polígono se cumple que la diferencia entre la mitad del cuadrado del número de lados y el número de diagonales es igual a 6. ¿Cuántas diagonales medias tiene el polígono? A) 28 B) 21 C) 15 D) 10 E) 6 22. Dado un octógono equiángulo ABCDEFGH, siendo AB=2, CD = 2 y BC = 3 2 . Hallar AD: A) 5 2 B) 5 C) 6 E) 4 2

D) 8

23. Del gráfico, AO = OC = OP. Hallar "x": P B

x

C O

A

21°

A) 66°

B) 65°

D) 62°

E) 60°

D C) 64°

24. En un trapecio ABCD (BC//AD), m∠A=75°, m∠D=30° y AD-BC=12m. Calcular la altura del trapecio. A) 4 m D) 3 3 m

B) 6 m E) 4 3 m

C) 3 m

25. En un trapezoide ABCD; se cumple AB=BC=CD, m∠BCD=60° y m∠BAD=50°. Calcular m∠ABC. A) 100°

B) 120°

D) 140°

E) 150°

C) 130°

GEOMETRÍA

31

GUÍA DE REPASO

26. Del gráfico 2L//1L y "O" es centro del cuadrado ABCD. Calcular la distancia de "C" a 2L (OH = 6m). L1 B C H 6 M L2 O 53° A A) 12 m D) 18 m

A) 15° D) 30°

B) 18° E) 45°

C) 22°30'

32. Del gráfico A, B, C y D son puntos de tangencia, calcular "x": A B

D B) 15 m E) 14 m

x

3x

C) 16 m

C D

27. Del gráfico, calcular QH, siendo: NP = 4m y MR = 3m. (PQ = QR) B P R Q M

A A) 3 m D) 5 m

A) 25° D) 40°

N

C C) 4 m

H B) 3,5 m E) 7 m

28. La mediana de un trapecio circunscrito a una circunferencia, mide 6m. Calcular el perímetro del trapecio: A) 12 m B) 18 m C) 24 m D) 32 m E) 36 m 29. Del gráfico, calcular "x" P, Q y T son puntos de tangencia: B Q P O x

B) 30° E) 45°

33. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB, tal que m∠APB=45°. Calcular AP, siendo el radio de la circunferencia igual a 2m. A) 3 + 2 2 B) 2 2 C) 4 D) 2 2 – 2 E) 2 2 + 2 34. Del gráfico, ABCD es un romboide y PB=12m. Hallar PE:

A) 105° D) 150°

T

P A) 3 m D) 6 m

B) 4 m E) 2 m

Q R

q q

B) 6 m E) 10 m

C C) 7,5 m

36. Dos lados de un triángulo miden 5m y 6m. Calcular el tercer lado, si el segmento que une el incentro y baricentro es paralelo a dicho lado: A) 4 m B) 4,5 m C) 5,5 m D) 7 m E) 8 m

x 50° A) 20° D) 40°

C) 5 m

35. Del gráfico, PQ=7m; QR=3m. Calcular RC: B

A A) 5,5 m D) 8 m

30. Del gráfico, determinar “x": T

D

A

C C) 135°

B) 120° E) 140°

Q

E

P A

C) 36°

B) 25° E) 50°

C) 30°

37. Del gráfico, hallar "x": 6

31. Del gráfico, calcular "x":

4 x

3x x

32

GEOMETRÍA

A A) 10 m D) 9 m

O B) 15 m E) 20 m

C C) 18 m


GUÍA DE REPASO

38. Dado un rectángulo ABCD; sobre el lado CD se ubica un punto "P" tal que AC y BP se cortan en "Q". Hallar la distancia de "Q" a AD, siendo AB=12m. (PD=2PC). A) 6 m

B) 4 m

D) 9 m

E) 3 m

C) 8 m

39. Del gráfico "T" es punto de tangencia, R=5m y r=3m. Calcular AO×OB: A B T O r

R A) 12

B) 15

D) 18

E) 30

C) 20

A) 3,5 m

B) 4 m

D) 4,5 m

E) 3 m

C) 5 m

41. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" se traza la altura BH y HP perpendicular a BC. Calcular PC, siendo AC = b y BC = a. A) ab

3 B) a2 b

D) 2 ab

2 E) b a

2

C) a b

B

A A) 4 m

B) 3 3 m

D) 6 m

E) 4,5 m

A) 3 m

B) 4 m

D) 6 m

E) 7 m

C) 4,5 m

43. Del gráfico el lado del cuadrado ABCD mide 16m. Hallar "R": B

A) 4 m

B) 2 2 m

D) 6 m

E) 10 m

C) 4 2 m

47. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 5m y su altura relativa mide 2m. Calcular la diferencia de longitudes de los catetos: A) 2 m

B) 2 m

D) 3 m

E) 5 m

C) 3 m

48. Del gráfico, AO=OB y PB=6m. Calcular BQ: P A

R

T

A) 8 m

B) 9 m

D) 12 m

E) 15 m

C

D C) 10 m

O

H

B

A) 3 m

B) 3 2 m

D) 4 2 m

E) 2 3 m

A) 7 m

B) 8 m

D) 20 m

E) 25 m

C) 15 m

50. Del gráfico PQ=a y QR=b. Calcular PT: P

44. En un triángulo rectángulo la proyección del punto medio de un cateto sobre la hipotenusa determina sobre ella los segmentos que miden 8m y 10m. Calcular la longitud del otro cateto. A) 6 m

B) 5 m

D) 8 m

E) 9 m

C) 6 2 m


C) 4 m

49. Se tienen dos circunferencias de radios 3m y 5m cuya distancia entre sus centros mide 17m. Hallar la longitud del segmento tangente común interior:

Q

C) 6,5 m

Q

42. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B"; se traza la bisectriz interior AR que corta a la altura BH en "P", tal que AP=1m y PR=8m. Hallar PB.

A

T

46. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 2 5 m. Calcular su mediana:

40. Las diagonales de un cuadrilátero ABCD inscrito a una circunferencia, se cortan en "E"; siendo AE=2m y EC=6m. y AB=AD. Calcular AB:

45. Del gráfico: AB = 9m, PB = 6m y T es punto de tangencia. Hallar AT: P

T A

R C

B

A) ab

B) a(a+b)

D) 2 ab

E) ab

C) b(a+b)

GEOMETRÍA

33

GUÍA DE REPASO

51. Del gráfico PQTO es un cuadrado de lado 3m. Hallar RT: R Q T

A

P

O

A) 1 m

B) 2 m

D) 2 m

E) 1,5 m

C) 3 m

2

Q

P

B

A) 4R

2

54. Las bases de un trapecio miden 4m, 10m y los lados laterales miden 5m y 7m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases: D) 3 5 m

E) 3 7 m

E) 9R

59. Dado un rombo ABCD, sobre BC se ubica el punto "P" tal que BP=3PC y AP2 + 3PD2 = 38 m2. Calcular BC: A) 4 m

B) 4 2 m

D) 2 3 m

E) 2 5 m

C) 6 m

55. En la figura mostrada, hallar "x" siendo R = 4m R

r

P

A

T

A) 6,25 m

B) 25/6 m

D) 4 m

E) 3 m

A) 2 m D) 1 m

R

O

B) 2 3 m

R

A) 6 m

B) 8 m

D) 4 5 m

E) 4 6 m

C) 2 5 m

62. Del gráfico, BQ = 4m y AC = 12m. Calcular el área de la región sombreada: B

B C) 2 2 m

E) 3 m

57. Dado un triángulo ABC; se traza la bisectriz interior AD y la mediana AM tal que AD = DM y AB × AC = 16m2. Hallar BC: A) 6 m B) 7 m C) 8 m D) 12 m E) 16 m

GEOMETRÍA

C) 25/8 m

P

56. En un paralelogramo ABCD; la proyección de CD sobre AD mide 2m, en BC se ubica su punto medio "M" tal que AM=10m y DM=8m. Calcular BC: A) 7 m B) 8 m C) 9 m D) 10 m E) 11 m

34

O

61. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B", sobre AC se ubican los puntos M y N tal que AM = MN = NC; BM = 2 2 m y BM = 2 3 m. Hallar AC:

x A

C) 2 2 m

C) 7/5

53. En un rombo ABCD se ubica el punto medio "M" de AD tal que: 40 MB2 + MC2 = 40 m2. Calcular la longitud del lado del rombo. A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m

B) 2 7 m

C) 8R2

B) 6R

2

60. Del gráfico, hallar "r" siendo OP=1m y AO = OB = 7m. B

B) 3/2 E) 5/3

A) 7 m

D 2

D) 10R

E A) 7/2 D) 73

R

A

A

C

P

B

52. Del gráfico, AB // DE, BP = PQ = 1m y QC = 7m. Hallar QE; (A Es punto de tangencia) D

58. De la figura, hallar; AP2 + PC2: B C

A A) 18 m

2

D) 30 m

2

q q

Q C B) 24 m

2

E) 36 m

2

C) 27 m2

63. Del gráfico PM=MQ. Hallar el área (PMQ) siendo PQ=10m y R=13m. M Q P A A) 9 m

2

D) 8 m

2

R O B) 5 m

B

2

E) 10 m

C) 6 m2

2


GUÍA DE REPASO

64. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" se traza la bisectriz interior AP tal que BP=2m y =4m. Calcular el área de la región triángular APC: A) 2 3 m2

B) 4 3 m2

D) 6 m2

E) 8 m2

69. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, siendo PQ = 3m. Q

C) 4 m2 R P

65. Del gráfico, hallar el área de la región sombreada, siendo AO = OB, AP = 7m y BQ = 3m. A

P O A) 14 m

B B) 21 m

D) 12 m2

2

66. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B", sobre AC se ubican los puntos M y N tal que AM = MN = NC; BM = 2 2 m y BN = 2 3 m. Hallar el área (MBN): A) 2 2 m

D) 2 5 m2

B) 4 m

2

C) 2 3 m

2

E) 2 6 m2

A A) 4 m2 D) 32 m2

C P

A A) 10 m

2

O B) 12 m

D) 18 m2

B 2

C) 15 m2

R

O B) 8 m2 E) 48 m2

B C) 16 m2

71. Del gráfico, calcular el área (AHED) siendo AP = 6m y 5AB = 4BC: B C P H E

67. Del gráfico, calcular el área (APB) siendo R = 5m.

R

C) 4,5 m2

C) 28 m2

E) 18 m2

2

B) 5 m2 E) 12 m2

70. Del gráfico, calcular el área del cuadrado OPQR siendo PE = 4m. E Q P

Q

2

A) 6 m2 D) 8 m2

A 2

D C) 24 m2

2

A) 18 m D) 45 m2

B) 36 m E) 48 m2

72. Del gráfico, el área de la región paralelográmica ABCD es 24 m2 . Calcular el área de la región sombreada: T B C

E) 20 m2 Q

68. Calcular el área de la región triangular ABC, si PB = 2 2 m y AB = BQ = AQ (P; T y Q son puntos de tangencia). B

P

A

P D

A) 4 m2 D) 3 m2

B) 6 m2 E) 12 m2

C) 8 m2

73. Del gráfico, el área de la región sombreada es 3m2. Calcular el área de la región paralelográmica ABCD: B N C

T

M A

C

Q

A) 4 2 m2

B) 3 2 m2

2

2

D) 3 3 m

C) 2 2 m2

E) 2 3 m


A A) 16 m2 D) 9 m2

L B) 36 m2 E) 144 m2

D C) 64 m2

GEOMETRÍA

35

GUÍA DE REPASO

74. Del gráfico, calcular el área de MCD, siendo AD = 5m, y MC = 4m (AM = MB): B C 40° M 25°

A A) 8 m2

B) 6 m2

D) 12 m2

E) 16 m2

B) 8 m2

D) 4 m2

E) 16 m2

D C) 10 m2

C) 12 m2

76. Del gráfico MN//PQ//AC y AC=9m. Hallar PQ: B M

S

Q

S A

B

A) 2 6 m

B) 4 6 m

D) 3 6 m

E) 6 m

C) 3 m

77. Se tiene un cuadrado ABCD, interiormente se construye el triángulo equilátero AED, tal que la distancia de "D" a la recta que contiene a BE es 2 m. Hallar el área del cuadrado: A) 2 m

2

D) 2 2 m

B) 4 2 m2 2

E) 8 m

C) 4 m

2

2

78. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada siendo: BC = 5m; PB = 4m; AP = 6m y AD = 11m. B C P A

D

A) 30 m2

B) 32 m2

2

2

D) 37 m

E) 40 m

C) 35 m2

79. El lado de un cuadrado mide 18m. Calcular el área de la corona circular formada por los círculos inscritos y circunscrito al cuadrado. A) 8 2 pm2

B) 16 2 pm2

D) 64 2 pm2

E) 16 pm2

36

GEOMETRÍA

B) 2(9 3 – 4p)

C) 2(9 3 – 2p)

D) 1,5(9 3 – 4p)

81. La hipotenusa y su altura relativa en un triángulo rectángulo miden 20m y 5m respectivamente. Hallar el área del cuadrado inscrito al triángulo de modo que uno de sus lados descansa en la hipotenusa. A) 16 m2 B) 20 m2 C) 25 m2 2 2 D) 36 m E) 18 m 82. Determinar el área de la región rectangular ABCD, si sobre el lado BC se ubica el punto P tal que: BP=4m; PC=9m y m∠APD=90° A) 36 m2 B) 39 m2 C) 72 m2 2 2 D) 78 m E) 108 m 83. En un cuadrilátero ABCD se ubican los puntos medios M, N, P y Q de los lados AB, BC, CD y AD respectivamente tal que MN = 3m; NP = 4m y m∠NMQ = 90°. Hallar el área de la región ABCD. A) 6 m2 B) 12 m2 C) 24 m2 2 2 D) 36 m E) 48 m

N

S

P

A) 9 3 – 4p E) 1,5(9 3 – 2p)

75. En un trapecio ABCD (BC // AD) sobre la mediana MN se ubica su punto medio "L". Calcular el área (BLM) siendo el área (ABCD) = 48m2. A) 6 m2

80. La base menor BC y la altura AB de un trapecio rectángulo ABCD miden 3m y 3 3 m respectivamente, se hace centro en “D” y se traza el arco AC. Calcular el área del triángulo mixtilíneo ABC.

C) 32 2 pm2

84. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AN y CH, tal que BC=2AN y CH= 8m. Calcular el área de la región cuadrangular AHNC A) 8 m2 B) 9 m2 C) 12 m2 2 2 D) 16 m E) 18 m 85. Calcular el área de un trapecio ABCD (BC//AD) siendo AB = CD = 15m; AD = 25m y m∠ABD = 90° A) 128 m2 B) 132 m2 C) 184 m2 2 2 D) 180 m E) 192 m 86. Si el volumen de un cubo es 6 6 m3, calcular la distancia de un vértice a la diagonal del cubo. A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 1,5 m E) 4 m 87. El desarrollo del Área lateral de un prisma triangular regular tiene por diagonal 8m y por altura 4 3 m. Hallar el Área total del prisma. A) 152 3/3

B) 152 3/9

D) 125 3/9

E) N.A.

C) 148 3/3

88. Hallar el volumen de un prisma recto cuya altura mide 12m y su base es un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de 3m de radio. A) 48 B) 54 C) 48 3 D) 54 3 E) 81 3


GUÍA DE REPASO

89. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular, si el área de la superficie total es 180m2 y la diagonal de la base mide 10m y la suma de las longitudes de las tres dimensiones es 17m. A) 68 m3 B) 70 C) 72 D) 74 E) 144 90. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. Hallar la relación que existe entre las áreas laterales de estos dos sólidos, A) 3/p B) 2 3/p C) 2 3/3p D) 3 3/p E) 3/3p 91. Se tiene un tronco de cilindro circular recto se traza un plano secante y perpendicular a la base, si el plano pasa por el centro de la base y determina una sección de 12m2. Hallar el área lateral del tronco de cilindro. A) 12 pm2 B) 12 m2 C) 18 m2 2 2 D) 24 pm E) 24 m 92. En un prisma de base triangular, el área de una de sus caras es 20m2 y la arista opuesta dista de dicha cara 6m. Hallar el volumen de dicho prisma. A) 81 m3 B) 96 C) 100 D) 120 E) 60 93. La curva de longitud mínima, trazada de A a B (sobre una misma generatriz) que da una vuelta completa en torno del cilindro recto de radio 1m y altura 2m es igual a L. Hallar dicha longitud (ver fig). A)

1+p2

B) 2 1+2p2

B

C) 2 2+p2 D) 2 1+p2 E) 4+2p2

A

94. Las aristas básicas de un paralelepípedo rectangular miden 4 y 6 y su altura 8. Por la mayor arista básica se traza un plano secante al sólido que forma con la base un angulo diedro que mide 37°. Calcular el volumen de la mayor parte en que ha quedado dividido el solido. A) 144 B) 126 C) 112 D) 156 E) 138


95. En el gráfico se muestran las vistas horizontal y frontal de un tronco de cilindro recto. Hallar su volumen. A) 70 p B) 75 p

36p

C) 90 p

H

D) 65 p

F

E) N.A.

30

96. Calcular el volumen de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera de radio 2m. El diámetro de la base mide 6m y la generatriz mínima del tronco es nula. A) 12 p m3 B) 36 p m3 C) 40 p m3 3 3 D) 45 p m E) 48 p m 97. El área lateral de un cilindro de revolución y su volumen son numéricamente iguales, luego el radio de la base es: A) 1 m D) 3 m

B) 2 m E) 4 m

C) 2 m

98. Un cilindro cuya altura es igual al diámetro de la base tiene de área total 12pm2. Calcular su volumen. A) 4p 2 m3 B) 16 pm3 C) 8 p 2 m3 3 3 D) 32 pm E) 12 pm 99. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado cuyo lado mide 4p. Calcular el volumen del cilindro (considerar p2 = 10 ). A) 160 B) 80 C) 100 D) 120 E) 140 100. Para alfombrar el piso rectangular de un Stand Ferial (como se muestra en la figura) se necesitaron 490 m2, de alfombra . Cuantos metros de toldo se necesitaran para cubrir el techo (superficie de un semicírculo), si el largo del Stand es al ancho como 5 es a 2 ? A) 245 p m2 B) 235 p m2 C) 260 p m2 D) 225 p m2 E) 275 p m2

GEOMETRÍA

37

GUÍA DE REPASO

CLAVES

38

GEOMETRÍA

1.

B

26. C

51. C

76. D

2.

E

27. B

52. D

77. C

3.

E

28. C

53. C

78. D

4.

E

29. B

54. B

79. E

5.

B

30. A

55. E

80. D

6.

C

31. C

56. C

81. A

7.

C

32. C

57. C

82. D

8.

B

33. E

58. B

83. C

9.

C

34. A

59. B

84. D

10. B

35. C

60. E

85. E

11. A

36. C

61. A

86. B

12. D

37. E

62. B

87. B

13. B

38. D

63. B

88. E

14. B

39. E

64. B

89. E

15. D

40. B

65. A

90. D

16. E

41. B

66. A

91. A

17. C

42. D

67. C

92. E

18. D

43. C

68. E

93. D

19. D

44. A

69. C

94. D

20. B

45. B

70. E

95. C

21. E

46. E

71. B

96. B

22. A

47. E

72. B

97. C

23. A

48. B

73. E

98. A

24. B

49. C

74. C

99. A

25. D

50. B

75. A

100. A


Razonamiento Trigonométrico 1.

2.

3.

Dadas las funciones: f(x) = 2Sen2x + 3Cos2x g(x) = k Senx + Cosx Si el máximo valor de "f" es igual al doble del máximo valor de "g" calcule "k". A) 3/2 B) 1 C) 5/2 D) 4/3 E) 3/4

5.

6.

1  A)  ; 2  3 

 3  ;1 B)   6 

 C)    E) 

 2  ;1 D)   6 

2 2 ;  6 2  3  ;1 2 

D) 2 2Cos 9p 32

Si AB=2( 3 +1) cm, Calcular PC A) 21 +

7

C) 2 21 – E)

Sabiendo que ha; hb; hc son alturas relativas a los tres lados de un triangulo, calcular: bc ac ab M= SenA + SenB + Senc a b c

D)

B) 2 2Cos 5p 32

Se tiene un triángulo ABC (recto en B) y m∠A=60° donde se traza BD (D en AC) y luego se traza (P en BD) de tal forma que AD=DC y BP=PD.

8.

C) 2hahbhc

Equivale a:

7.

B) + p D) –(2k+1) 2

B) ha+hb+hc

C) Tg3x

2+ 2+ 2+ 2 + 2 - 2+ 2+ 2

A) 2 2Cos 3p 32 C) 2 2Cos 7p 32 11 E) 2 2Cos p 32

Determine el dominio de la función "f" Senx + 7 f(x) = Cosx

A) ha.hb.hc

B) Tg2x E) Ctg3x

La expresión numérica:

Determine el rango de la función "f". p Sen 4 Si. f(x) = p 4Sen + Senx 6

A)  – kp C)  E) – 4.

A) Tgx D) Ctg2x

B) 2 21+ 7

3

D) 21 –

7

21 – 7 2

Simplificar la expresión: M=

Senx - ctgx 1 - Cos(2p - x)

A) Secx

B) Cosx

C) Tanx

D) Ctgx

E) Cscx

hahbhc

E) h2ahb2h2c

9.

Simplificar la expresión: Sen3x - 2Cosx Tgx Cos3x + 2Senx Ctgx


Calcular el área de la región limitada por el rectángulo ABCD siendo: A(2;1) ; B(1;4) y AC=5 2

A) 22 6 u

B) 5 6 u2

C) 3 3 u2

D) 3 6 u2

E) 6 5 u2

39

GUIA DE REPASO

10. Calcular la pendiente de la recta L: x + my + 1 = a que intersecta al segmento AB en su punto medio siendo A(2; 2) y B(4; 6) A) 3/4 B) 1/2 C) 1 D) 2/3 E) 4/3

15. Del gráfico mostrado calcule el valor de: F = 6Tana - 3Tanb y

a

11. Determinar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo PQR, si: OP = 2 y PQ = 10. y

O A) (x B) (x C) (x D) (x E) (x

P

A) –12 C) 2 E) 12

B) –2 D) 6

16. En la figura mostrada determine una expresión para el doble del área de la región triangular APB1. y

x

R

(3; –7)

(–5; –6)

Q

37°

x

b

–8)2 + (y – 2)2 = 4 – 6)2 + (y – 1)2= 4 – 2)2 + (y – 2)2 = 1 – 6)2 + (y – 1)2= 1 – 5)2 + (y – 3)2 = 49

q P A x2 + y 2 = 1

12. Del gráfico mostrado, BC = 2AC. A

x

B'

A) 1 + Senq + Cosq B) 1 – Senq + Cosq C) 1 + Senq – Cosq D) 1 – Senq – Cosq E) (1 + Senq)(1 – Cosq) B

a+b

a–b

C

Determinar:

N = 72(

a2 - b2 (a + b)2

)0 expresado en radianes p rad 4 D) p rad 10

p rad 5 C) p rad 8 p rad E) 20 A)

B)

Secq + 1 = aTan2q

Secq – 1 = bCota

Determinar: P = (ab)2Sec2aCsc2a

A) ac+1

B) (a2+b2+1)2

C) (a2b2+1)2

D) (ab+1)2

2 2

E) (a b –1) 14. Simplificar: M=

2Cos(q1 - q2 ) - tgq1 Sen(q1 + q2 ) + Sen(q1 - q2 )

A) Tanq2

B) Cot(q1+q2)

C) Tanq1

D) Cotq1

E) Cotq2

40

tgA+tgB+tgC 1 A) – 24 C) – 7 12

B) – 1 5 D) –

7 5

E) – 7 4

13. Si:

17. Si en un triangulo ABC se cumple que: tgA= 1 y tgAtgB= 1 Calcule: 2 3

TRIGONOMETRÍA

18. Si: f(x)=Senx+Cosx, x∈R determine el rango de f A) ⟨–1;0⟩ B) ⟨–1;1⟩ C) ⟨0;1⟩ D) [– 2 ; 2 ⟩ E) [0,1⟩ 19. Calcular el valor de: 1 1 1 arcCos( ) + arcSen( ) + arcSen( ) 6- 2 6+ 2 5 +1 A) 4p 15 5p C) 17 4p E) 19

B)

2p 15

D)

6p 17


GUIA DE REPASO

25. Si: 2Sen5x = 3Sen3x

20. Calcular el valor de la expresión:  1  1  Sen  2arcTan   + arcTan    3  7     A)

6– 2 4

2 2 6+ 2 E) 4 C)

B)

1 2

D)

3 2

A) –2

B) –1

C) 2

D) 1

E) 0 26. Calcular el valor de: p 11p M = Cos . Cos 30 30

21. Resolver: x+p 4 x+p Sen4   + Cos   = 1; ∀k ∈  4    4  B)

kp C) 8

D) {(2k – 1)p}

E) {2kp}

5+1 16

B)

5+1 8

C) 5 – 1 8

D)

5+1 2

A)

{k4p }

A) {kp}

{ }

Calcular M = 25Cot24x – Cot2x

E)

5 –1 16

27. Los puntos O(0; 0), P(4; 2), Q (2; 4) y R son vertices de un rombo. Si M es el punto medio de QP y S ∈ MR MS tal que = 2, calcular la suma de las coordenadas de SR "S".

22. En la figura determine la medida del ángulo f en radianes si: a2 + c2 + ac = b2 B f a

A

b

p 4 C) 2p/3

B)

E) 5p/4 23. Si: 0 < x < p/4; además 8Sen2x = 1 Calcular: F = Sen(45° + x) + 7 Cot(45° – x) A) 9/17

B) 7/3

C) 7/4

D) 9/4

D) 13

28. Sea la recta cuya ecuación es:

p 3 D) 3p/4

A)

B) 8

C) 12 E) 10

c

C

A) 2

12m – 9y + 129 = 0. Calcule "m" de modo que dicha recta divida al segmento cuyos extremos tienen por coordenadas (2; 3) y (11; 6) en la razón de 2 a 7, respectivamente. A) –2

B) –3

C) –4

D) +2

E) 4 29. Determinar el complemento de un ángulo "q" cuando este toma su máximo valor, siendo: 0

E) 15/4

 x 2 + 28xy + y 2  + q=  ; x, y ∈ x2 + y2  

24. Del gráfico las áreas de las regiones sombreadas S1 y S2 son iguales. Calcule el valor aproximado de Tan q . 2 Q

A P

S1 q

A) 1/7

B) 2/7

D) 4/7

E) 5/7

D) p/6

30. Si: Secq =

D

B) p/12

C) 4p/9 E) 5p/12

B S2

A) 3p/10

Logaa3 + Logbb2

Logc c + Logd 3 d

Calcule: M = Tanq – Senq A) 13 35 6

C C) 3/7


; Senq < 0

C) –

7 35 6

E) –

13 35 6

B)

11 35 6

D) –

5 35 6

TRIGONOMETRÍA

41

GUIA DE REPASO

31. Sabiendo que q∈IIC, además A)

Calcule "M": M = 10SenqCosq – 10Secq A) 7 B) 8 C) 9 D) –1 E) –2

C) 2 6 a

3 6 a 4

Tanq = 4 x – 3 + 6 3 – x – 2x + 3

E)

6 a 4

P q

A) 0 C) 1/3 E) –1/4

O

B) 1 D) –1

10 ° 10°

A) 20° C) 15° E) 30°

E) 4 2

h(x) = Cos2x – Senx

Determine el rango. 3 7 A)  ;  2 2

4a2 + b

B)

a2 + 4b2 + a

C)

a2 + 4b2 – a

D)

a2 + 4b2

E)

a2 + b2 + b 8

36. Si: BC = 3 AB = a 3 Calcule: L = 3 Sena + 2 Senb B

°

30

TRIGONOMETRÍA

B) [–1; 2] 5 7 D)  ;  4 2

3p 2

B) –2Cosx D) Sen2x

40. Sea un triángulo ABC de lados AB = c; BC = a CA = b, reducir la siguiente expresión:  A +B  Cos    2  A –B Cos    2  a+b b+c A) B) c a c a C) D) a+b b+c b E) a+c 41. Determinar el dominio de la función real "f" definida por:  x –1  x +1  f(x) = arcCos   + arcCos    4   8 

b

2

C) 2 5

Cos 2 4x – 2Cos4xCos2x + Cos 2 2x + 4Cos 2 3xSen2 x p < x <

A) 2Cosx C) –2Senx E) 2Senx

A)

°

D) 13

M =

35. Calcular el mayor valor de la expresión: f(x) = SenxCosx[aCos2x + bSenxCosx]

45

B) 3

B

39. Simplifique la expresión trigonométrica:

B) 40° D) 25°

a

A) 6

 7 C)  2;   2 5  E)  –1;  4 

30°

q

M

38. Dada la función:

34. Del gráfico calcule "q":

42

6 a 6

B) 2a – b D) –1

33. Determine el mínimo valor de: x x x Sen    3Cos + Sen  6  6 6  E= p x 2Sec  +  6 6 

A

D)

37. De la figura calcule: M = Cot30° . Tanq + Sec60° Siendo P y M puntos medios y AOB un cuadrante. A

32. Si: F(x) = aSenx + bCos3x Determine el resultado de: p f   + f(p) P= 2  3p  f(0) + f    2  A) a – b C) a + b E) 1

B) 6 a

1

C

A) [–3; 4] C) [–3; 6] E) [–3; 5]

B) [–4; 5] D) [–2; 5]


GUIA DE REPASO

42. Resolver la ecuación: 1 + Sen2x = 3Senx + 3Cosx

{ } 3p / n ∈ } C) {2np – 4 p E) {2np – / n ∈ } 4 p A) np + 4 / n ∈ 

{ p4 / n ∈ } p D) {2np ± / n ∈ } 4

B) np –

43. En un triángulo ABC de lados AB = c BC = a AC = b, reducir: M = cCos(60° – A) + aCos(60° + c) A) c/2 B) 2c C) b/2 D) 2a E) a/2

1 + Cosq + Sen3q Cosq + VersqSenqCosq

A) Secq – Tanq C) Cscq + Cosq E) Secq + 1

B) Secq + Cotq D) Secq + Cosq

Q

C 3

4 B

O

A) 3/2 C) 2/3 E) 1/9

B) [–3p; 6]

C) [–2p: 5]

D) [–12; 6]

51. Determinar S1/S2. Si: S1 es área del triángulo OMA y S2 área del triángulo ONP. y M

A

x

N P

q

A) 1/ 6 C) 1/6 E) 1/ 2

f

O

C

A

B) 2 D) 4

A) [–2p; 6]

46. Del gráfico calcule: aCotq. (S: área)

aS

C

A) 1 C) 3 E) 5

B) 4/7 D) 7/4

D

f

E) [–3; 7]

q

A

M

 x +3  , 50. Dadalafunciónreal"f"definidapor f(x) = 6arcSen    9  determinar el dominio de "f".

45. Del gráfico calcular Cotq. P 2

49. En la figura ABC es un triángulo isósceles y MC = 1/2AM. Calcular k = 4Csc37°Tanf. A 74°

B

44. Simplificar la siguiente expresión: M=

48. Los vértices de un triángulo son: A(0; –10) B(3; 5) y C(6; –4). Se toma en BC un punto Q1(4, y) desde el cual trazamos una paralela al lado AB, la cual intersecta a lado AC en el punto Q2(x0; y0) calcule el valor de: x0 + y0 + y. A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5

A) Tanf C) Secf E) –Cotf

5S S

q

B

E

B) 6 D) 6

47. Se traza una recta inclinada hacia la derecha que forma 16° con el eje de abscisas. Determine la longitud de la proyección del segmento cuyos extremos son A(5; 9) y B(11; 17) sobre la recta trazada incialmente. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10


B) –Tanf D) –Secf

52. En un triángulo ABC se traza la altura AH(H en BC), calcular la longitud de dicha altura si: AB = 1, AC = 2, m∠HAC = 3m∠BAH. A) 2/5

B) 14/4

C) 3 /3

D) 7 /4

E) 2 /7 53. Si: Cos(a – f) Senq = Sen(a + q + f) Calcular M = Cota + Cotf A) Tanq B) 2Tanq C) 3Tanq D) 2Cotq E) 3Cotq

TRIGONOMETRÍA

43

GUIA DE REPASO

54. Si: Secq + Tanq = a Cosq = b Eliminar "q" A) 2a = b(a2 – 1) C) 2a = b(a2 + 1) E) 2ab = b2 – 1

B) 2b = a(b2 – 1) D) 2b = a (b + 1)

55. Del gráfico tenemos Senq = 2m/n. Calcular la medida del ángulo "q" en radianes (AOB, COD y EOF: sector circular) A C E m+n

O

D

A) p/6 rad C) p/3 rad E) p/8 rad

B B) p/2 rad D) p/4 rad

56. Del gráfico calcular la medida del lado BC si m∠ABD = m∠DBC además AB = 10 cm. B

3Cotq 1 + Tan2q 3Cotq C) 1 + Cot 3q A)

E)

2Tan3q 1 + Tan3q

37°

A) 2 cm C) 6 cm E) 7,5 cm

B) 4 cm D) 2,5 cm

C) 2 3 /3

D) 6 /4

E) 1 58. Del gráfico calcular M = Cotx + Cot15° (ABCD: cuadrado: PA = 2DP). D

P

A) 0 C) –85/156 E) –13/17

30°

44

63.

TRIGONOMETRÍA

B) 85/156 D) 13/17

Sabiendo que: Tanq1 + Tanq2 = Tan237p ... (I) Cosq1 – Cosq2 = Sen40p ... (II) Indicar la relación entre q1 y q2 (n∈) A) q1 – q2 = np B) q1 + q2 = 2np C) q1 = q2 D) q1 + q2 = np/2 E) q1 = (–1)nq2

64. Al simplificar la expresión:

F

A

D) 10/4

p   Cos 137 + q  – Sen ( 37p + q ) 2   M= Cot ( 471p – q )

C x

3Tan3q 1 – Tan2q

62. El lado final del ángulo en P. N q pasa por el punto P(12; –5) calcular:

1 + Senx + Cosx seobtiene: Cot  q – x  ; 0 < q < p M= 2 3  1 – Senx + Cosx Calcular: M = Secq . Cos30° + Senp A) 1/2 B) 6 /2

D)

E) 10/5

57. Reducir la siguiente expresión:

2Tan3q 1 – T an4 q

61. Si: 2Sen6q + Cos4q = 1 p p Calcular: Sen2q; q∈ ; 4 2 A) 3/4 B) 2/3

C

82° D

B)

60. Determinar "M/N" si: M = (Sec4q – Cos4q)(Csc4q – Sen4q) N = (Sec2q – Cos2q)(Csc2q – Sen2q) A) 2Cos2q B) 4Cos4q C) 2Cos4q D) 4Sen2q E) 4Cos2q

C) 5/7 A

B) 4 D) 3 – 1

59. A una circunferencia de radio 3 u se traza dos rectas tangentes en "A" y "B", que se cortan en "D" formando un ángulo 2q.

3m + 2n

2n

F

A) 6 C) 2 – 2 3 E) 4 + 3

B

 Cos 4 q – Cos 2q + 5Senq + 6Sen2q – Sen4 q    Cscq, se Sen2q + Senq + Cos 2q   obtiene: A) 4 C) 5 E) 3Cscq

B) 5Cscq D) 6


GUIA DE REPASO

65. Del gráfico calcule: M = 6Cota + 8

69. Sabiendo: Cos(3x – y) Cos(3x + y) Sen2y ; = = a b c

y(0; 5)

calcular Cos3xCscy A) a – b/c C) a + b/c E) a + c/b

(x; 3) (–5; 0)

x

a A) 1 C) 0 E) 31

B) a – c/b D) b + c/a

70. Si: a × b = 12; a × c = 8; b × c = 6 Calcular: 3Cosa + 4Cosb + 6Cosq

B) 2 D) 12

b c

66. Del gráfico, calcular M = 9CotbTana (S: área) B N

a

b

q b

a 2S S

A

a

A) 27/5 D) 25/8

M

B) 29/4 E) 29/9

C) 22/7

5S C

A) 8 C) 16 E) 20

B) 14 D) 18

71. Simplificar:

67. Determinar el área de la región sombreada.

E = (1 – Cos2q ) Cot

q Sen2q – 2 Cosq

A) 2Senq

B) 2Cosq

C) Tanq

D) Cotq

E) Sen2q 72. Sabiendo que se cumpla: 3(x + 9)

53°

37°

(8x – 3) A) 198 C) 138 E) 148

B) 238 D) 378

4Cos18° –

3 = kTan18° Cos18°

Calcular el valor de k: A) 1/2

B) 1

C) 3/2

D) 2

E) 5/2 73. Si:

68. En la figura mostrada ∠BCA = 2∠BAC, calcular Cotq. B

8Sen4x = a + bCos2x + cCos4x; determine ab + c. A) –9

B) –10

C) –11

D) –12

E) –13

H q

M 74. Si: aSenq + bCosq = a2 + b2

A

C

A) 3

B) 2

C) 3 3

D) 4 3

E) 5 3


Hallar Tanq. A) –a/b

B) b/a

C) a/b

D) a2/b

E) b2/a

TRIGONOMETRÍA

45

GUIA DE REPASO

75. Si en el gráfico: a, b y c están en progresión aritmética de razón 2 y el área de la región sombreada es igual a 81m2. Calcule q. A b C a

qrad

O

{ } { }

p p p , m ∈ 0; ;n ∈ 0; 2 2 2

Además m += n

Calcule Tan(m – n)

c

A) 1/2

B) 3 /3

D) – 6 /12

E) –2

C) – 3 /3

81. Sabiendo que:

D A) 1/3 C) 2/9 E) 5/9

80. Si Cos2m + Sen2n = 3Cos2n.

B

B) 2/3 D) 4/9

Senq + 2 2 Cosq = 3

Calcular Sen3q. A) 17/27

B) 22/27

C) 23/27

D) 16/27

E) 25/27

76. De la figura, calcular: k = Cota + Tana

82. Si Sen(30° + x) = 2/3. Calcular Cos3x.

a

A) 20/27

B) 19/27

C) 16/27

D) 22/27

E) 23/27 a

83. Si Tan(2x + 7°) = Cot(4x + 35°)

A) 3

B) 5

C) 7

D) 10

Halle: Sen(3x + 6°) + Cos(6x – 11°) Sen(4x + 5°) + Cos(6x + 12°)

E=

E) 11 77. Si: a + b = 30°. Simplificar: k = 3Tan(4a + b)Cot(2a + 5b)–2Sec(4a + 4b) A) –1/2 B) 1 C) –1 D) 1/2 E) 5

A) 11/10

B) 13/11

C) 13/10

D) 11/13

E) 9/11 84. Calcular el valor de q si S = 7u2. B 4

78. De la figura OA = OB. Calcular: k = (Sen4q + Cos5q)Secq. B

M

S

2

3q

q C

q C A) –1 D) 1

C) 1/2

7m –3 determine el intervalo 4 de "m" para el cual la Secq no existe. A)

–

1 ;1 7

B)

C)

–

3 ;1 7

1 D) – 7 ; 2

E)

–

2 ;2 7

46

TRIGONOMETRÍA

4

A) 45°

B) 60°

C) 30°

D) 37°

A

85. Hallar la ecuación de la recta que es la mediatriz del segmento AB si A(–6; –8), B(4; –2).

79. Si se cumple que Sec(q) =

–

N

E) 53°

A B) –1/2 E) 0

2

2 ;1 7

A) 4x – 3y – 12 = 0

B) 3x – 5y – 20 = 0

C) 3x + 4y + 12 = 0

D) 5x + 3y + 20 = 0

E) 2x + y – 5 = 0 86. Del gráfico mostrado AOB es un cuadrante, determine el valor de a sabiendo que las áreas de las regiones sombreadas se relacionan de la siguiente manera:

S1/S2 = 1/2


GUIA DE REPASO

91. Calcular: K = (Cos0° – Csc30°Sec245°Sen70°Sen10°)(2Sen10°)–1 A) 0 B) 1 C) –1 D) –1/2 E) 1/2

A D M Q S1

S2

N arad

O

B

A) p/3

B) p/7

C) p/6

D) p/8

C

E) p/9 87. De la figura, halle el mínimo valor de (AB + DE).

Dato: AC = CE = 3

92. Si un triángulo ABC se cumple: bc.CosA + ac.CosB+a.bCosC = a2 ¿De qué tipo de triángulo se trata? A) Equilátero B) Isósceles C) Rectángulo D) Escaleno E) Acutángulo 93. Hallar una expresión equivalente: 4SenxCosx – Cotx A= Tanx – 4SenxCosx A) TanxTan3x C) TanxCot3x E) Cot2xTan3x

D

B

A

E

C

A) 2

B) 3

C) 5

D) 6

B) CotxCot3x D) CotxTan3x

94. Si: Csc6x – Cot6x = n Hallar = k = Csc4x + Cot4x n+1 n+1 A) B) 3 2 2n + 1 2n + 1 C) D) 3 2 n+1 E) 5

E) 7 95. Calcular: Tanq 88. Simplificar:

K Csc10° + Csc20° + =

B

1 + Cos40° 1 – Cos40°

A) 1

B) 2

C) Tan5°

D) Cot5°

3a + 4 4a + 3 7

E) Tan10°

q

A A) 3/4 C) 5/12 E) 7/24

89. Hacer más simple la expresión: p q Cot  –  – Tanq 4 2 E= p q Secq – Tan  –  4 2

3(a + 1)

C

B) 4/3 D) 12/5

96. Hallar la ecuación de la recta cuyos intersectos con los

A) 1

B) –1

ejes suman cero, y que contienen el punto P(2; 4).

C) Cscq

D) Secq

A) x + y + 2 = 0

B) x + y – 6 = 0

C) x – y – 2 = 0

D) x – y + 2 = 0

E) Cosq

90. Si: Cos5x = pCos3x, obtenga el valor de Cot4x en Tanx términos de p. 1+p A) 1 – p 1 – 2p C) 1 + p 1 – 2p E) 1 + 2p

1–p B) 1 + p 1–p D) 1 + 2p


E) x + y + 1 = 0 97. Simplique: A=

A) 1/2 C) 3 E) 5

Sen2 x – Sen2 y (Sen2x – Sen2y)Tan(x + y) B) 2 D) 4

TRIGONOMETRÍA

47

GUIA DE REPASO

98. Sabiendo.

5p 12 3p C) kp ± 5 4p E) 2kp ± 5

Calcular: M=

Cos6x + 4Senx ; Sen3x ≠ 0 Cos2x

A) 1

B) 1/2

C) –1

D) 2

Sen4x – Cos4x +

Si k∈

B) kp ±

100. Simplificar:

A=

E) –2 99. Resolver:

p 12 5p D) kp ± 4

A) 2kp ±

Sec2x – Sec4x = Sen3x

x A) Tan 2

x B) Cot 2

x C) Sec 2

3 =0 2

2 – Versx + Senx Versx + Senx

x D) Csc 2

x E) Cos 2

CLAVES

48

1.

E

26. B

51. B

76. B

2.

C

27. A

52. B

77. E

3.

D

28. A

53. B

78. D

4.

B

29. E

54. C

79. A

5.

E

30. D

55. A

80. D

6.

C

31. A

56. E

81. C

7.

A

32. D

57. B

82. D

8.

E

33. E

58. A

83. B

9.

B

34. B

59. A

84. C

10. C

35. E

60. C

85. D

11. A

36. A

61. A

86. B

12. A

37. D

62. A

87. D

13. C

38. E

63. B

88. D

14. D

39. B

64. C

89. C

15. C

40. C

65. C

90. A

16. C

41. E

66. C

91. B

17. C

42. B

67. D

92. C

18. D

43. C

68. B

93. B

19. A

44. E

69. C

94. C

20. C

45. D

70. B

95. E

21. D

46. A

71. E

96. B

22. C

47. D

72. D

97. A

23. E

48. D

73. C

98. A

24. C

49. A

74. C

99. B

25. E

50. D

75. D

100. B

TRIGONOMETRÍA


Aritmética 1.

Halle la suma de las cifras periódicas y no periódicas del 8 decimal equivalente a . 300 A) 6 B) 15 C) 3 D) 8

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

E) 11

Hallar cuantos numerales de la forma abc(a+b+c) existen A) 160

B) 170

D) 120

E) 130

C) 165

En una serie de cuatro razones geométricas iguales con constante de proporcionalidad positiva, los antecedentes son 2; 3; 7 y 11. Si el producto de los consecuentes es 37 422, halle la constante de proporcionalidad de la serie. A) 1 B) 1 C) 2 2 3 3 2 2 D) E) 9 7

9.

Calcular la suma de cifras del mayor número de los números si se cumple:

MCM(A,B) × MCD2(A,B) = 300 sabiendo que A y B son números de 2 cifras:

El M.C.M de dos números enteros positivos es 48 y la diferencia de los cuadrados de dichos números es 2 160. Halle la suma de los dos números enteros.

10. N es un número impar, escrito en base 2, sus dos últimas cifras son a y b, además N = K(4a+b) donde N > K. Hallar la última cifra de N.

A) 60

B) 64

D) 48

E) 54

C) 56

Halle el resto de dividir el número 32n+5 + 24n+1 entre 7, donde n es un número positivo. A) 2

B) 5

D) 1

E) 0

A) 8

B) 4

D) 6

E) 7

C) 5

1 tiene 62 cifras decimales en la parte no 243x.36x–2 periódica, calcule el valor de x. Si:

A) 6

B) 7

D) 3

E) 5

C) 4

¿Cuántos números enteros que son múltiplos de 19, pero no son múltiplos de 23, existen entre 400 y 600? A) 8

B) 7

D) 12

E) 9

C) 10


B) 8

D) 7

E) 10

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 13

C) 3

11. Si E= M.C.D (6432;132)-8, hallar el valor de E2 + E + 1

C) 3

Halle el menor número entero positivo n, tal que al dividir 1583n entre 178 se obtiene (8n+3) de cociente por defecto.

A) 9

A) 157

B) 21

D) 91

E) 43

C) 111

12. Sean los conjuntos

A = {K ∈ Z+/(K – 1)(K – 2) ≥ 2}

Bn = {x ∈ Z+/min A < x ≤ n}, n ∈ Z+

Donde Z+ es el conjunto de los enteros positivos, Bn es no vacío y min A. es el menor elemento de A. Halle el número de subconjuntos no vacíos de Bn A) 2n–1 – 1

B) 2n–3 – 1

D) 2n – 1

E) 2n–2 – 1

C) 2n–4 – 1

13. Las edades de seis hermanos, cuya suma es de 108, se encuentran en progresión aritmética. Si hace 4 años la edad del cuarto hermano era el triple de la del menor, ¿qué edad tenía el mayor cuando nació el menor de ellos, si sus nacimientos coinciden en el día y el mes? A) 28

B) 32

D) 20

E) 22

C) 24

49

GUIA DE REPASO

14. Se tiene la suma 1+2+3+4+………+(h-1) + h = 231, donde h es entero positivo.

22. Halle el valor de “a” si: (a–2)(a–1)(a+3)(a+1)a

Es divisible por 47.

Halle S = 1 + 2 + 3 + ... + (h2 – 1) + h2

A) 3

B) 9

A) 94 762

B) 97 693

D) 6

E) 2

D) 97 796

E) 89 762

C) 97 461

15. ¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01? A) 40%

B) 4%

D) 0,04%

E) 400%

B) 68

D) 29

E) 50

C) 52

E) 9

18. Jorge tiene entre 300 y 700 canicas. Si las agrupa de 7 en 7, le sobra una canica; si las agrupa de 9 en 9, le sobran dos canicas; pero si las agrupa de 5 en 5, no le sobra canicas. Halle la suma de las cifras del número de canicas que tiene Jorge. A) 17

B) 14

D) 11

E) 134

C) 15

19. El producto de los términos de una fracción equivalente a 9/25 es el menor número que tiene 27 divisores positivos. Halle el valor de la suma de los términos de esa fracción equivalente. A) 63

B) 64

D) 75

E) 45

C) 68

20. Se tiene 3 grupos de obreros A, B y C los cuales pueden hacer una obra en forma independiente en 6, 8 y 10 días respectivamente. Si tomamos el 20% de los obreros del grupo A, 40% de B y 50% de C, entonces determinar el número de días que empleará este nuevo grupo en realizar los 2/3 de la obra. A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

B) 12

D) 20

E) 11

50

ARITMÉTICA

Calcule a + c A) 1

B) 7

D) 20

E) 22

C) 14

C) 16

A) 1

B) 2

D) 3

E) 6

C) 5

25. Se tenían dos cirios de igual calidad y diámetro, que difieren en 25cm de longitud. Si ambos cirios se encendieron al mismo tiempo y en cierto instante uno de los cirios midió los 7/2 del otro; además 1/4 de hora después el de menor tamaño se terminó de consumir, mientras que el otro se consumió íntegramente en dos horas y media. ¿Cuál fue la longitud, en cm, del cirio pequeño? A) 100

B) 80

D) 95

E) 85

C) 75

26. ¿Cuántas fracciones impropias e irreductibles con numerador 1440 existen, tales que el denominador no termine en 23? A) 373

B) 384

D) 375

E) 372

C) 374

27. Raúl va a jugar cartas con $700 y cuando va perdiendo los 3/4 de lo que no pierde, apuesta los 2/5 de lo que le quedaba, recibiendo el triple de lo que aposto. Inmediatamente se retira del juego; ¿cuánto gana o pierde (en dólares)? A) pierde 20

B) gana 20

C) pierde 10

D) gana 10

E) no gana no pierde

28. Si: n[P(A)] = 128, n[P(B)] = 16 y n[P(A∩B)] = 8

C) 3

21. En cierta obra trabajaron juntos A y B y allí se observó que: lo que hacía A en una hora, B lo hacía en tres horas. Si han empezado juntos otra obra; en la cual B trabaja solamente 4 días, terminando A lo que falta en 2 días; entonces en cuantos días haría B toda esta obra, si duplicara su rendimiento. A) 10

° 24. Si (7229)2011 = 7 + r, calcule el valor de r.

17. Hallar la suma de cifras del periodo que genera la fracción 510k+1 , k ∈ Z+ 11 A) 15 B) 6 C) 8 D) 16

23. Si abc14 + cba12 = ...213

C) 0,4%

16. Calcule el valor de (x2 + y2) si: ° 4xy7325 = 99 + 31 A) 75

C) 5

Hallar: n[P(A∪B)] A) 128

B) 32

D) 1024

E) 512

C) 256

29. Sean A y B dos conjuntos finitos contenidos en el conjunto universal U tales que:

n(A∪B) = 13; n(A∩B) = 8

n(A) = n(B) + 1; n(A–B) = m[(A∪B)']

Determine el número de subconjuntos propios del conjunto complemento de A A) 7

B) 15

D) 63

E) 127

C) 31


GUIA DE REPASO

30. Halle la suma de la cantidad de cifras periódicas y no 900 periódicas del decimal que genera M = 7 2 × 56 × 11 × 37 A) 12

B) 9

D) 11

E) 5

C) 7

31. De 50 deportistas se sabe que: • Todo aquel que practica básquet practica atletismo. • Todo aquel que practica futbol no practica básquet. • Diez practican al menos dos deportes ¿Cuántos practican un solo deporte siendo estos, el triple de los que no practican ninguno de estos deportes mencionados? A) 20 B) 30 C) 10 D) 11 E) 50 ° 32. Si (anna)2 = 9 + 7. ¿Cuántos números cumplen la condición? A) 21

B) 19

D) 18

E) 17

C) 20

33. La suma, la diferencia y el producto de la media aritmética y media geométrica de dos números enteros positivos están en la misma relación que los números 9; 1 y 40. ¿Cuál es el mayor de los números? A) 9

B) 16

D) 18

E) 12

C) 10

34. Si: M = abab × 1050, donde b ≠ 0 y la suma de las cifras del complemento aritmético de M es 13, halle el mayor valor de (a – b) A) 7

B) 6

D) 2

E) 4

C) 5

38. En una encuesta realizada sobre determinado número de profesionales se observa que el 72% son matemáticos; el 52% físicos; el 37% químicos; el 32% físicos y matemáticos; el 12% físicos y químicos; el 22% matemáticos y químicos y el 2% físicos, matemáticos y químicos. Calcula: I. El porcentaje de encuestados que siguen sólo una carrera. II. El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras. A) 20% y 3%

B) 20% y 6%

C) 20% y 20%

D) 30% y 20%

E) 35% y 3% 39. Si; 15y × 6 tiene 117 divisores que no son múltiplos de 150. ¿Cuál es el valor de «y»? A) 3

B) 2

D) 5

E) 8

C) 6

40. Un número fraccionario se expresa en el sistema senario como a5b, cdcdcd... y al ser convertido al sistema nonario se obtiene ba4, ededed... Sabiendo que a,b,c y e son cifras significativas y diferentes entre sí, halle el menor valor de (a + b + c + d + e) A) 10

B) 12

D) 14

E) 15

C) 13

41. En un estante se han colocado 120 juguetes: 95 de ellos usan pilas, 86 tienen ruedas, 94 son de color rojo, 110 son de plástico y 100 tienen sonido. De todos estos juguetes, ¿cuántos tienen todas las características mencionadas? A) 25

B) 5

D) 12

E) 10

C) 15

35. Si:

° xyzw = 19 + 5; x + y + z + w = 18 y xy + yz + zw = 161, calcule el valor de wy. A) 32

B) 62

D) 37

E) 49

C) 26

36. Determine la cantidad de cifras no periódicas del número 900 decimal generado por la fracción 28! – 18! A) 13 B) 16 C) 15 D) 19

42. Un grupo de obreros deben hacer una obra en cierto tiempo; faltando 8 días se enferman 6 obreros por lo que dejan de trabajar, 5 días después se contratan un grupo de obreros pero con el doble de eficiencia de los anteriores, logrando culminar la obra en el tiempo establecido. ¿Cuántos obreros fueron contratados? A) 8

B) 16

D) 18

E) 12

C) 10

E) 14

37. Sean m,n y p números enteros tal que m2 + n2 n2 + p2 m2 + p2 = = , donde m < n < p. 41 61 52 Si: p – m = 2, determine el valor de (m2 + n + p). A) 27

B) 16

D) 28

E) 14

C) 22


43. En una fiesta, en un determinado momento, los hombres sacaron a bailar a todas las mujeres y se quedó sin bailar el 20% de los hombres. ¿Qué tanto por ciento de los hombres deberá retirarse para que, al volver a bailar, se quede sin hacerlo el 10% de las mujeres? A) 28 %

B) 26%

D) 18%

E) 12%

C) 10%

ARITMÉTICA

51

GUIA DE REPASO

44. Un capital es depositado durante un año a interés simple y a una determinada tasa de interés. Si la tasa hubiera sido mayor en un 50%, entonces el monto obtenido habría sido 30% mayor. ¿Cuál es la tasa a la que se depositó el capital? A) 50 %

B) 100%

C) 150%

D) 140%

E) 200% 45. Una empresa se compromete a entregar una obra en 50 días, laborando con un grupo de 30 obreros durante 8 horas diarias. Después de haber avanzado las dos quintas partes de la obra, acuerdan terminarla en 10 días antes del plazo estipulado. ¿Cuántos obreros deben contratar para entregar la obra 10 días antes del plazo estipulado, laborando 10 horas diarias? A) 6

B) 4

C) 10

D) 8

E) 2 46. 40 obreros construyeron un muro de 600 metros en 25 días, y otro grupo de sesenta obreros construyeron un muro de 540 metros en 20 días. Si el primer grupo de obreros trabajó 3 horas diarias más que el segundo grupo de obreros, ¿cuántas horas diarias trabajaron el segundo grupo de obreros? A) 6

B) 4

C) 9

D) 8

47. La suma de las edades de José, Ramón y Carlos es un número entre 70 y 80.Si el 20% de la edad de Carlos es igual a la edad de José y la edad de este último aumentada en 80% equivale al 10% de la edad de Ramón, menos el 25% de la de Carlos, ¿cuántos años tiene José? A) 6 B) 4 C) 9 D) 8 E) 2 48. Al vender un televisor en S/.2 530, ganó el 15% del 10% del 80% del costo. ¿A cuánto lo debo vender para ganar el 20% del 25% del 60% del costo? A) S/.2 575 B) S/.2 680 C) S/.2 485 D) S/.2 760 E) S/.2 900 49. Cuando un capital se presta durante cuatro años, el monto que se obtendría seria S/. 12 000, pero si se prestara por cinco años sería S/. 13 500. Determine el valor de la tasa de interés A) 20 % B) 25% C) 30% D) 10% E) 15% 50. Una rueda de 30 dientes engrana con otra rueda B de 12 dientes, la cual está conectada mediante un eje con otra rueda C que engrana con la rueda D. Si el número de dientes de estas dos últimas ruedas están en la relación de 9 y 7. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D en 2 minutos cuando A haya dado 28 revoluciones por minuto? A) 150 B) 160 C) 170 D) 180

E) 2

E) 200

CLAVES

52

1.

D

14. C

27. B

40. D

2.

B

15. E

28. C

41. B

3.

A

16. B

29. C

42. A

4.

E

17. E

30. D

43. A

5.

B

18. D

31. B

44. C

6.

A

19. C

32. C

45. A

7.

E

20. E

33. B

46. C

8.

C

21. E

34. B

47. E

9.

D

22. A

35. A

48. A

10. E

23. C

36. E

49. B

11. B

24. C

37. A

50. D

12. B

25. C

38. E

13. D

26. C

39. E

ARITMÉTICA


Álgebra 1.

2.

Se puede afirmar que la diagonal del cubo, cuya arista corresponde en unidades de medida al mayor de los módulos entre todas las raíces de la ecuación: x5+3x4+7x3+9x2+8x+4=0 mide: A) 2

B) 6

D) 2 3

E) 3 3

C) 2 2

ex +1 3 f(x) = ln  27  –  3       64   4 

 3 podemos afirmar que  logn 3 3 3 3 3 ........   la ecuación:

   

Consideramos a x∈ R+, x≠1 y a≠1 el producto de las raíces de la ecuación es:   1 2 1 + logx 2 (10)  =  (–1)  )   log(x A) 10 3 D)

4.

10 100

B) 10

7.

Para –1 < x < 1/2, el gráfico de la función y=|x+1|+|2x–1| coincide con el gráfico de la función y=ax+b. Los valores de a y b son, respectivamente. A) –1 y –1 B) 2 y –1 C) –1 y 2 D) 1/2 y –1 E) –1/2 y 1

8.

El conjunto imagen de la función: f(x) = |x2–4x+8| +1 es el intervalo: A) [5, +∞⟩ B) [4, +∞⟩ C) [3, +∞⟩ D) [1, +∞⟩ E) [0, +∞⟩

9.

Si a, b y c son raíces reales de la ecuación x3–10x2 –2x+20= 0, entonces el valor de la expresión a2bc+ab2c es igual a: A) 400 B) 200 C) –100 D) –200 E) –400

2

C)

10 10

E) 100

Sean n∈ N tal que 24+25+...2n = 8176 y m es el mayor m∈ N tal que: m! 1 ≤ 2 ⋅ 4 ⋅ 6...(2n) 62 log6 40

sea verdadera. El producto mn vale: A) 120 B) 124 C) 130 D) 132 E) 144

5.

En la figura se tiene un rectángulo inscrito en un cuadrado de 10 cm de lado. El área del rectángulo varía en función de la medida x. El valor máximo de esa viga en centímetros cuadrados es:


C) 48

Sea una función cuadrática f(x)=x2 –4x+3 si f(k–2)=f(k+2), siendo k un número real, entonces f(k) es igual a: A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

–1

es raíz de

B) 45 E) 52

6. (x+1)

A) x3–2x2–9=0 B) x3+x–1=0 C) x4–4x2–x+2=0 D) x2–4x+3=0 E) x4–4x2+x+1=0 3.

A) 42 D) 50

Si n es el menor entero perteneciente al dominio de la función real de variable real

10. La figura siguiente representa el gráfico de la función f: R+* → R tal que f(x) = logax y 1/4

1

2

x

53

GUIA DE REPASO

El valor de fof(4) es: A) 0 B) 1 D) 8 E) 16

C) 1/2

11. Al dividir un polinomio P(x) entre (x–2) (x+3) el resto es (2x–5), calcule el término independiente del resto que resulta de dividir P(x) entre (x+2)(x–3) sabiendo que Q(x) es el cociente de esta división y que Q(2) = Q(–3) = 0. A) 12 B) 5 C) –5 D) –12 E) 0 12. Encuentre un polinomio P(x) de grado 3, que sea divisible separadamente entre x+3 y x–2. Además la suma de P(x) coeficientes es –12 y el resto de es 12. x A) 5x3–32x–12 B) 5x3–3x2–12 C) 3x3–12

D) 5x3+3x2–32x+12

E) 5x3–3x–12 13. Un polinomio f(x) de grado 4, es divisible por separado con (x–3); (x+2) y (x+5). Si al dividirlo por x+1 el resto f(x) es 32 y f(0)=–240, calcule el resto de dividir x+4 A) 20 B) 80 C) 60 D) 18 E) 0 14. Un polinomio P(x) de tercer grado se divide separadamente entre (x–1); (x–2) y (x+3); dando como resto común 5. Además al dividirlo entre x+1 da un resto igual a 29. Calcular el término independiente de P(x). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 x3 + 4 a bx + c =1+ + x + 1 x2 – x + 1 x3 + 1 es válida para todo número real x ≠ –1 entonces a+b+c es igual a: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

15. La identidad

16. Multiplicando por 2 las raíces de la ecuación x3–2x2 +2x–1=0 vamos a obtener raíces de la siguiente ecuación: 3

2

3

A) 2y – 6y +6y– 4=0

B) y – 4y +8y– 8=0

C) 8y3– 8y2+4y– 1=0

D) y3– 8y2+8y+ 8=0

17. Sabiendo que 4+i 2 y 5 son raíces del polinomio 2x5–22x4+74x3–420x+540, entonces la suma de los cuadrados de todos sus raíces es: A) 47 B) 49 C) 51 D) 53 E) 55 18. El polinomio de grado: (a+2b+c)x4+(a+b+c)x3–(a–b)x2+(2a–b+c)x+2(a+c) con a, b, c∈R es una función par. Entonces, la suma de los módulos de sus raíces es igual a:

ÁLGEBRA

B) 2+3 3

D) 1+2 2

E) 2+2 2

C) 2+ 2

Sean los conjuntos: A = {(x–1)∈ R /x2 ≤ 16} B = {y ∈ R /(y+1)2 ≥ 9} halle A ∩ B A) ⟨–10;–5⟩ B) [3;8] C) {3;8} D) [–5;3] E) [–5;–4] ∪ [2;3]

2x – 8 20. El dominio de la función f(x) = x 2 – 3x – 4 es el conjunto: A) ⟨–∞,–1⟩ ∪ [3,+∞⟩ B) ⟨–1,3⟩ ∪ [4,+∞⟩ C) ⟨–1,3] ∪ ⟨4,+∞⟩ D) ⟨–∞,–1⟩ ∪ ⟨4,+∞⟩ E) ⟨4,+∞⟩ 21. Sea p(x) un polinomio de grado 3 tal que p(x)=p(x+2) –x2 –2 para todo x∈ R. Si –2 es una raíz de p(x) entonces el producto de todas las raíces de p(x) es: A) 36 B) 18 C) –36 D) –18 E) 1 22. Sea P(x) un polinomio de grado 5, con coeficientes reales, ite 2 e i como raíces. Si P(1).P(–1)<0 entonces el número de raíces reales de P(x) pertenecientes al intervalo ]–1,1[ es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 23. Las raíces de la ecuación de coeficientes reales x3+ax2+bx+c=0 son enteros positivos consecutivos. La suma de los cuadrados de esas raíces es igual a 14. Entonces a2+b2+c2 es igual a: A) 190 B) 191 C) 192 D) 193 E) 194 24. La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x3+ 5x2+2 3x+8=0 es igual a: A) 5

B) 5– 4 3

C) 12 5

D) 9+ 5+2 3 E) 3+ 5

2

E) 4y3– 4y2– 4y– 8=0

54

19.

A) 3+ 3

25. El conjunto de los valores de k para los cuales f(x)=x3 –2x2+3–k tiene uno o tres ceros reales entre 1 y 2 es: A) k<2 B) 1 <2 C) 2>k ó k<6 D) k>7 E) 2 <3 26. Siendo c un número real a ser determinado descomponga el polinomio 9x2–63x+c, en una diferencia de dos cubos (x+a)3–(x+b)3 en este caso |a+|b|–c| es igual a: A) 104 B) 114 C) 124 D) 134 E) 144 27. Una recta tiene un coeficiente angular m=–1 y pasa por el vértice de la parábola 4x–y2+6y–5=0 su ecuación cartesiana es:


GUIA DE REPASO

A) x+y–2=0 C) x–y–1=0 E) 5x+3y–7=0

B) x–y+3=0 D) 2x+y–1=0

28. Considere la función f tal que para todo x real se tiene que: f(x+2) = 3f(x)+2x. Si f(–3) = 1/4 y f(–1)=a, entonces el valor de a2 es: A) 25/36 B) 36/49 C) 64/100 D) 16/81 E) 49/64 29. Calculando el área de la región limitada por: y ≤ 3 (x+2) 2 x2+(y–3)2 ≤ 13 se obtiene que: A) 2 13p

B) 13p

C) 13p/2

D) 3 13p/2

E) 13p

30. Sea a un número real con 0

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