Reporte Catapulta 30586f

PROYECTO: CATAPULTA

Contenido

INTRODUCCION ................................................................................................................. 2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................................. 3 OBJETIVOS ......................................................................................................................... 4 Objetivo general ............................................................................................................... 4 Objetivos específicos ...................................................................................................... 4 HISTORIA DE LA CATAPULTA ........................................................................................ 5 TRABAJOS RELACIONADOS AL ESTUDIO DE LA CATAPULTA ............................ 6 MARCO TEORICO .............................................................................................................. 7 CALCULOS ........................................................................................................................ 16 DISEÑO CATAPULTA .................................................................................................. 24 REFERENCIAS ELECTRONICAS ................................................................................. 25

INTRODUCCION

En este reporte presentaremos nuestra catapulta donde se estudiaran los distintos fenómenos físicos que la rigen, como lo es el tiro parabólico y los efectos que actúan dentro de la conservación de la energía como energía cinética, energía potencial, inercia y velocidad angular. Haremos también un análisis demostrativo en el que aplicaremos formulas con las que sacaremos la información necesaria para analizar el movimiento que realiza el proyectil al ser lanzado por la catapulta, para así obtener mayor precisión al representar el movimiento. Todo esto lo aplicaremos en un modelo de catapulta en el que el movimiento parabólico dependerá de distintos factores como: velocidad, distancia, fuerza, entre otros. JUSTIFICACION

La realización del presente proyecto es con el fin de aplicar a la catapulta los conceptos adquiridos respecto a los temas de tiro parabólico y los efectos que actúan dentro de la conservación de la energía cinética, energía potencial, inercia y velocidad angular. Todo esto se hace con el fin de buscar una forma más dinámica y didáctica de aprendizaje de estos fundamentos físicos, ya que por medio de la realización de esta catapulta y el posterior estudio de su estructura y de los lanzamientos podemos sacar mucho provecho para el aprendizaje y comprensión de las fórmulas que rigen los movimientos que se producen.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La catapulta representa un paso importante en la historia de la ingeniería y construcción, fue un avance para llegar a lo que conocemos hoy, ya que en ella están presentes muchas de las leyes físicas, como la ley de la conservación de la energía, esta se evidencia en el funcionamiento de la misma, también con esta aparece el movimiento de proyectiles, que conlleva al tiro parabólico que tiene diferentes componentes como lo es la velocidad con que se realiza el movimiento, la trayectoria del mismo, lo cual se puede estudiar y apreciar con ayuda de una catapulta. Por eso surge un interrogante para nosotros como estudiantes: ¿De que manera es posible estudiar estos conceptos y llevarlos a la práctica de una forma más dinámica y que de todas formas estuviéramos llevando a cabo un proceso de aprendizaje? A este cuestionamiento le pretendemos dar respuesta por medio de la fabricación de una catapulta, ya que al utilizarla y posteriormente realizar unos cálculos es posible que podamos comprender de una forma más concreta todos estos conceptos físicos para así luego ponerlos en práctica.

OBJETIVOS

Objetivo general Lograr una mejor comprensión del funcionamiento empírico y teórico de una catapulta, para lo cual se construirá un modelo de dimensiones reducidas con el cual realizamos una serie de tiros. Además de contrastar las bases teóricas con los resultados experimentales, implementando para esto, un sistema de vídeo y un software para análisis del mismo, todo esto para lograr un aprendizaje más dinámico de los fundamentos físicos que la rigen. Objetivos específicos 1. Aplicar los conocimientos en trigonometría, cálculo y física en la construcción o elaboración de la catapulta. 2. Utilizar las herramientas necesarias para el estudio de los fundamentos físicos en el uso de la catapulta, como lo es el estudio del movimiento parabólico que se relaciona con el movimiento de proyectiles. 3. Llevar un registro detallado, organizado y coherente de cada una de las sesiones del proyecto, para así tener una mejor comprensión de los conceptos estudiados y facilitar el aprendizaje dinámico de los mismos

HISTORIA DE LA CATAPULTA

Una catapulta es un instrumento militar utilizado en la antigüedad para el lanzamiento a distancia de grandes objetos a modo de proyectiles. Se cree que la catapulta (katapeltikon) fue desarrollada alrededor del año 400 a de C. en la Ciudad griega de Siracusa, por ingenieros y artesanos en el reinado de Dionysius I. Las catapultas se mencionan en Atenas en el año 360 y 350 a. de C. Ya en el 330 se entrenaban a los hombres jóvenes rutinariamente en su uso. Durante estos años, la artillería aparece haber sido considerada como arma defensiva. Finalmente aparecen en las manos de un agresor en el año 340 a de C. cuando Philip de Macedonia asaltó Perinthus. El precursor de toda la artillería era el arco y la flecha. La idea de lanzar más lejos los proyectiles, hicieron que se desarrollara. Los arcos continuaron siendo populares, puesto que podrían ser llevados y ser manejados por un solo soldado, pero incluso ahí se desarrollaron también arcos más grandes que podrían lanzar proyectiles más grandes y más lejos. Estos arcos más grandes fueron llamados ballistae: (Ballesta). Estas ballestas más grandes eran razonablemente exactas con un alcance entre los 200 y 300 metros, pero no podían ser preparadas muy rápidamente. La diferencia fundamental entre la ballesta y el arco de los cuales se deriva, era su capacidad de almacenar energía: un arco se podía doblar hacia atrás, pero un arquero solo podía almacenar energía hasta donde le permitía su fuerza, por un tiempo muy corto. La ballesta podía ser amartillada, y seguía almacenando la energía mientras que los operadores la amartillaban, además de poner su atención a otros detalles, tales como apuntar y esperar el momento perfecto para disparar. Fueron creadas muchas máquinas, más o menos parecidas pero de diferentes proporciones y especialidades, como el Oxibeles, la Cheirobalista, el Escorpión, etc. Los artesanos de artillería romanos, idearon una solución a uno de sus problemas más grandes. Este problema era la catapulta de Palintones que lanzaba piedras,

llamada Ballesta por los Romanos. La más grande de éstas máquinas era capaz de lanzar 100 libras de piedras a más de trescientas yardas. Estas máquinas fueron extremadamente complicadas en su construcción y debido a su tamaño eran también difícil de transportar. Para remediar este problema los romanos crearon elOnagro (Burro salvaje), la máquina de sitio que la mayoría de la gente asocia hoy a la palabra. CATAPULTA. Nombrado así por el golpe que proporciona un asno con la pata trasera cuando es perseguido.

Clasificación de las catapultas Para facilitar el reconocimiento de las catapultas las podemos clasificar según su sistema de poder. Así podemos encontrar catapultas que funcionan con la energía suministrada por la tensión, torsión, contrapeso y tracción. Las catapultas de tensión son las que funcionan gracias a que almacenan su energía, al ser tensado un arco de metal, madera o cuerno y fueron las primeras en hacer su aparición, ya que descienden directamente de los arcos manuales. Las catapulta de torsión, son aquellas que son accionadas gracias a la fuerza almacenada al "torcer", una madeja de cuerdas, tendones o crin de caballo, según la época de que se trate. La catapulta de contrapeso fue un invento aparentemente reciente; por lo menos eso dicen algunos autores, sin embargo no todos coinciden en ello. Esta catapulta funcionaba a base de un contrapeso, con una masa muy superior al peso del proyectil, en el caso del Trebuchet con una relación que variaba de 80 a 100 veces La catapulta de tracción fue un invento de los chinos que llamaron hsuan feng, utilizada aproximadamente en el año 200 de nuestra era.. Esta catapulta funciona a base del impulso humano y su principio es muy parecido al del trebuchet; es decir, utilizan la palanca y la honda para aumentar la fuerza de salida del proyectil.

MARCO TEORICO

Movimiento Parabólico La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola. •

Un MRU horizontal de velocidad vx constante.

•

Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.

Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

-

Alcance.

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2•30)=sen(2•60).

Altura máxima. La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con y=0. es decir

De aquí deducimos el valor de t

Sustituimos este valor en la ecuación de la coordenada y :

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

Tiempo de vuelo Es el tiempo total que el móvil permanece en movimiento. Para hallarlo tenemos en cuenta que y= 0 cuando el cuerpo llega al suelo. ; Despejamos t :

Sustituimos el valor de

en la expresión anterior:

Alcance máximo Es la distancia horizontal que recorre el móvil. Lo obtendremos al sustituir en la ecuación de la coordenadax la expresión del tiempo de movimiento.

Y utilizando la relación trigonométrica

resulta

Alcance de un proyectil para una velocidad inicial de 60 m/s y diversos ángulos de tiro.

Tiro parabólico con altura inicial. Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura. Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son: vx=v0•cosθ vy=v0•senθ-g•t La posición del proyectil en función del tiempo es x= v0•cosθ•t y= h+v0•senθ•t-g•t2/2

Ley de Hooke (Elasticidad) Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.

Elasticidad: Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación. Los materiales no deformables se les llama inhelásticos (arcilla,plastilina y masa de repostería). El plomo también es inhelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente. Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico. +Cuando se tira o se estira de lago se dice que está en tensión (largas y delgadas). +Cuando se aprieta o se comprime algo se dice que está en compresión (cortas y gruesas). -Ley de Hooke Elasticidad (http://shibiz.tripod.com/id8.html) Ley de Hooke: “Cuando se trata de deformar un sólido, este se opone a la deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande” = -k

K es la constante de proporcionalidad o de elasticidad.

es la deformación, esto es, lo que se ha comprimido o estirado a partir del estado que no tiene deformación. Se conoce también como el alargamiento de su posición de equilibrio. ⃗⃗⃗ es la fuerza resistente del sólido. El signo ( - ) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación. Las unidades son: Newton/metro (New/m) – Libras/pies (Lb/p)

Resortes El resorte es un dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza. Los resortes se utilizan para pesar objetos en las básculas de resorte o para almacenar energía mecánica, como en los relojes de cuerda. Los resortes también se emplean para absorber impactos y reducir vibraciones, como en los resortes de ballestas (donde se apoyan los ejes de las ruedas) empleados en las suspensiones de automóvil. La forma de los resortes depende de su uso. En una báscula de resorte, por ejemplo, suele estar arrollado en forma de hélice, y su elongación (estiramiento) es proporcional a la fuerza aplicada. Estos resortes helicoidales reciben el nombre de muelles. Los resortes de relojes están arrollados en forma de espiral. Los resortes de ballesta están formados por un conjunto de láminas u hojas situadas una sobre otra.

LA ENERGÍA MECÁNICA A la suma de la energía cinética y la energía potencial (elástica o gravitatoria), la denominamos energía mecánica. Emecánica = EC + EP

El valor que se asigna a la energía es relativo. En el caso de la energía cinética depende del sistema de referencia, pues el movimiento de una persona por el pasillo de un autobús resulta ser diferente considerado respecto de otra persona o considerado respecto de una farola de la calle. En el caso de la energía potencial solo tiene sentido como diferencia, es decir, depende del nivel de altura considerado.

La energía cinética Los cuerpos pueden realizar un trabajo por el hecho de estar en movimiento, es decir, los cuerpos en movimiento tienen energía. Esta forma de energía mecánica se llama energía cinética (EC). Cuando un cuerpo está en movimiento, tiene una cierta velocidad. Ya sabes que, para pasar del estado de reposo a movimiento, hay que aplicar una fuerza, que multiplicada por el desplazamiento del cuerpo es igual al trabajo que realiza. Calculemos ese trabajo: W=F·s Si el cuerpo parte del reposo, el espacio recorrido será: s = 1/ 2 a t 2

Y, según la ecuación fundamental de la dinámica: W = m · a · s = m · a · 1 /2 a t 2 → W = 1 /2 m ( a t ) 2 = 1 /2 m v 2

Por tanto, la energía almacenada por un cuerpo en movimiento (E C) es:

En ocasiones resulta difícil conocer la fuerza que ha actuado sobre el cuerpo, pero si conocemos la variación de velocidad, podemos saber cuál es el trabajo efectuado sobre el cuerpo, que corresponde a la variación de energía cinética:

EC1 = 1 /2 m v 1 /2 EC2 = 1 /2 m v22W = EC2 - EC1 = Δ EC La ecuación del brazo lanzador del proyectil es un tanto diferente ya que este describe una circunferencia en su trayectoria, por lo tanto, I corresponde al momento de inercia del brazo y W corresponde a la velocidad angular que este lleva en el lanzamiento al describir dicha circunferencia.

Momento de Inercia: Es una medida de la rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. Velocidad Angular: Es una medida de la velocidad de rotación. Se mide en radianes por segundo. Representada en el sentido de giro por

, Donde v

corresponde a la velocidad inicial y r al radio de giro. La energía potencial La capacidad de un cuerpo de producir trabajo por el hecho de estar a una cierta altura se llama energía potencial gravitatoria, o más sencillamente, energía potencial (EP).

Consideramos un cuerpo de masa m que elevamos ejerciendo una fuerza (F). El trabajo realizado será: W=F·s Donde el desplazamiento (s) lo consideraremos como altura (h) y la fuerza realizada para elevarlo ha de tener un valor ligeramente superior al peso, pero con sentido opuesto, para que pueda elevarse: F=P=m·g Sustituyendo la fuerza por el valor del peso y el desplazamiento por la altura en la definición de trabajo, obtenemos: W=F·s=m·g·h Por tanto, la energía almacenada por un cuerpo que se encuentra a una altura, h, (Ep) es: EP = m · g · h La energía potencial equivale al trabajo que ha costado elevar el objeto de masa m a la altura h. Hemos supuesto que la EP = 0 cuando estamos en la superficie terrestre, que consideramos h = 0. Si el desplazamiento es horizontal, no hay variación de altura y, por tanto, la variación de la energía potencial es nula. Existen otros tipos de energía potencial, como la energía que se acumula en los cuerpos elásticos al deformarlos (un arco). Cuando cesa la deformación, la energía acumulada produce el desplazamiento de la flecha y el incremento de su energía cinética. A este tipo se le llama energía potencial elástica.

CALCULOS Luego de tener claro los temas que se aplican en nuestra catapulta procedemos a realizar los tiros con la misma y pasar a calcular, los diferentes componentes que conforman al tiro parabólico y así lograr el estudio de este movimiento, que va de la mano en este caso con la conservación de la energía que se presenta con cada tiro de la catapulta. TIROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 promedio

distancia tiempo 6,6 2,74 7,14 1,74 7,94 1,28 6,15 1,29 7,05 1,74 5,85 1,41 5,11 1,41 5,11 1,63 5,85 1,85 8,92 1,07 6,572 1,616

También para nuestros cálculos es necesario conocer la constante del resorte utilizado, por lo que se procedió a colocar varios pesos en el resorte y medir el alargamiento que obtuvo con cada masa y luego calcular la distancia que se alargó, la fuerza que se ejerce y así por método de mínimos cuadrados calcular la constante K del resorte. El resorte utilizado tiene una longitud de 25 cm= 0.25 m. CONSTANTE DEL RESORTE masa(kg) f(N) 0,68 0,91 1,36 1,81 2,27

L (m) 6,8 9,1 13,6 18,1 22,7

0,26 0,27 0,275 0,28 0,29

Dx= l - lo 0,01 0,02 0,025 0,03 0,04

y = 567x - 0,115 R² = 0,954 25 20 15 f(N) 10

Linear (f(N))

5 0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Grafica1. Constante del resorte

Podemos observar que al graficar la fuerza peso y la distancia de alargamiento del resorte, podemos obtener una pendiente de esta grafica que vendría siendo la constante de nuestro resorte, es decir m= 567 que es lo mismo que decir K= 567N/m Ahora teniendo claro esto procedemos a hallar un dato de mucha importancia para el estudio del tiro parabólico con nuestra catapulta, y ese dato es la velocidad inicial con la que sale despedido el proyectil , ya que al poseer este dato, y el ángulo, es posible calcular los demás componentes que conforman el movimiento parabólico ya antes mencionados. El parámetro inicial que tenemos que tomar en cuenta durante el movimiento de tiro parabólico es:⃗⃗⃗

̂{ }

A partir de este establecimiento, podemos determinar la ecuación de la velocidad de la partícula, para establecer la componente en

de manera adecuada es

necesario señalar que hay que añadir el valor de la derivada de la aceleración que teníamos anteriormente

(

)̂

(

) y (

Donde los valores de(

) ̂{ }

) son las componentes escalares de la

descomposición del vector. Luego de obtener la ecuación que nos hace posible analizar la velocidad del proyectil, podemos tener el modelo que permita analizar asi la posición del proyectil a lo largo de su trayectoria. Quedando: (

)̂

(

) ̂{

}

Entonces la velocidad inicial que usaremos como la velocidad con la que sale el proyectil al abandonar la catapulta tenemos lo siguiente al igualarlo con el modelo matemático: Para ̂ seria (1) Para ̂ seria (2) Despejamos de la ecuación (1) el tiempo quedando:

Procedemos a sustituir esta ecuación en la (2) para asi obtener:

(

(

)

)

También aplicamos conocimientos de trigonometría para poder reducir la ecuación, uno de es ellos es tener en cuenta que

, y con esto

podemos reducir nuestra ecuación quedando:

(

)

Despejando la Velocidad inicial de la ecuación obtenemos:

(

(

)

)

(

)

Ahora ES Importante saber otro dato esencial para poder encontrar la velocidad inicial del proyectil el cual es el ángulo de salida, que en este caso es

este

lo pudimos encontrar al realizar una serie de tiros contra una pared y luego seguir esa trayectoria con la normal que sale el proyectil desde la catapulta y confrontarla con el eje x y así hacer posible conocer el ángulo de tiro. Entonces procedemos a remplazar el ángulo en la ecuación obtenida y así poder calcular la velocidad inicial quedando. (

)

(

)

(

)

√

Esta velocidad que obtuvimos por medio de estas fórmulas es la velocidad promedio inicial del proyectil al comenzar el movimiento parabólico. Teóricamente éste sería el resultado, para comprobarlo con los medios experimentales determinaremos la velocidad inicial por medio de la tensión del resorte y la igualaremos a la energía Cinética en su punto de salida. Anteriormente hallamos la constante del resorte, como ya habíamos mencionado, con ayuda de distinta masa, y por el método de los mínimos cuadrados, con lo que nos dio de resultado la constante del resorte K= 567 N/m Otro dato importante que entra para la determinación de la velocidad de forma

experimental es la masa del proyectil utilizado para los tiros con nuestra catapulta, el cual poseía una masa de m= 0.096148 Kg.

Teniendo entonces:

Despejamos a v

√

Quedando una ecuación, en la que podemos hallar la velocidad, y en donde: K = la constante del resorte D= la elongación o deformación del resorte M= es la masa del proyectil. Al tener estos conceptos claros procedemos a reemplazar los datos que ya poseemos: (

√

)

√

√

√

Queda entonces demostrado que el análisis del tiro parabólico expuesto cumple en ambos casos con las velocidades iniciales, a excepción de un pequeño error que ahora calcularemos:

El error no es tan alto, y puede haberse dado por diferentes circunstancias como el error en la medición de la constante del resorte, o algún error de medición. Ahora que ya tenemos la velocidad inicial podemos calcular las otras componentes del tiro parabólico como lo son altura máxima, alcance máximo, el tiempo de vuelo, etc. Pero para poder calcular estas componentes es necesario calcular las velocidades en los componentes de x y de y para el tiro. Tenemos la fórmula:

(

)

(

)

Ahora procedemos a calcular la altura máxima:

Reemplazamos el valor que nos dio anteriormente de voy en la ecuación y tenemos:

(

) (

) ( ) )

Ahora procedemos a calcular el alcance máximo:

(

) (

) ( ) (

)

Calculo del tiempo de vuelo

(

)

DISEÑO CATAPULTA Se muestra una vista en donde se asemeja el diseño con las dimensiones de la catapulta a realizar con sus diferentes vistas, al final del proyecto se presentaran fotos del proyecto terminado.Ya estando lista para su funcionamiento, al girar el brazo hacia atrás este debe deformar un resorte, se coloca el proyectil en la cuchara y, al soltarse el resorte se recuperara transfiriendo la energía al proyectil.

REFERENCIAS ELECTRONICAS

-Artillería de sitio. Historia de las catapultas. Octubre de 2009 (http://www.astilleroweb.com/historia.htm) -Kalipedia. Grupo PRISA. (http://www.kalipedia.com/ecologia/tema/energia-mecanica-energiacinetica.html?x1=20070924klpcnafyq_266.Kes&x=20070924klpcnafyq_8.Kes) -RAMIREZ VICENTE, Luis.Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006 Movimiento parabólico (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/comp_movim ientos/parabolico.htm) USACH.Catapulta(http://fisica.usach.cl/~ecerda/HowThingsWork/sitios/Catapulta/p aginawebcata.htm) -Estudio de la Física de una Catapulta – R. Cano, M. Cearras y F. Díaz – UF 2002 /http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_mecanica/catapulta_diaz2k2a.pdf) +BEICHNER, J.R., Serway, R.A., (2002). Física Tomo I para ciencias e ingeniería. Quinta Edición. México, D.F., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. DE C.V.