Catapulta - Formulas.docx 9dg

1. Análisis del problema y síntesis. 1.1 Análisis. Permitir que los alumnos de ingeniería mecánica conozcan, visualicen y experimenten con la metodología correcta para llevar a cabo un proyecto de ingeniería, mediante el uso de los conocimientos adquiridos previamente y a través del curso. Lo anterior mediante un modelo físico funcional de una catapulta, dicho modelo utilizara como actuador un resorte helicoidal con una constante elástica a determinar experimentalmente. Los requerimientos de la catapulta son: Ensamble sencillo y seguro para los alumnos, con el fin de permitir la experimentación. Tener un alcance horizontal medido desde el punto de salida de 10 metros. Poder lanzar a esa distancia un objeto “proyectil” equivalente a una pelota de tenis reglamentaria (6.35 cm < diámetro<6.67 cms, 56,7 grs, < 58,5 grs.).1

1.2. Síntesis. Facilitar a los alumnos de Introducción a la ingeniería mecánica la compresión de los conceptos y la metodología impartidos en la materia, haciendo uso de ellos mediante el diseño y la puesta en marcha de un proyecto consistente en un modelo físico funcional de una catapulta, con el cual analizaran las características físicas y mecánicas del mismo bajo el enfoque de la ingeniería mecánica, haciendo uso de los conocimientos previamente adquiridos junto con los de la materia.

Catapulta tipo seis sigma.2

1

http://pelotas.com.es/tennis/ https://www.yumpu.com/es/document/view/14194808/catapulta-tipo-seis-sigma-catapulta-disenada-para-elestudio2

Mapa de una catapulta. Como hacer una catapulta. Los pasos a seguir para hacer una catapulta son: 1. Para que quiero una catapulta. La respuesta de esta pregunta es saber que deseo que haga la catapulta, y cuales son las caracteristicas que debe cumplir (distancia, altura angluo de disparo, etc). Ejemplos: Enviar unas rosas a la novia para que llegue hasta su ventana sin que lo sepa el papa. Lanzar una pelota de beisball para practicar con el equipo. 2. Basado en las caracteristicas o restricciones que debe cumplir la catapulta, analizar si estas son viables, es decir si es fisicamente posible cumplir con el objetivo propuesto a la catapulta. Ejemplo: Una catapulta que me lleve a la luna. Una catapulta que entregue 1 kg de huevo a 15 kilometros sin romperse ningun huevo. Si el objetivo se puede cumplir entoces se pasa al siguiente paso. 3. Elementos que la constituyen para que sea una catapulta. 4. Con las restricciones que debe cumplir analizar y entender cual es la fisica que rige a la catapulta para que esta funcione como tal. Tiro parabolico “El movimiento del proyectil. Energia cinetica y potencial de sus elementos, elementos que guardan energia y como actuan. 5. Hacer un recuento de lo que se esta dispuesto a pagar para diseñar y construir la catapulta, es decir el presupuesto con el que cuento. 6. Dibujar y crear ideas de como quiero que sea la catapulta, portatil, resistente, robusta, que resista la lluvia, etc. 7. Investigar si ya existe en el mercado alguna catapulta que cumpla con lo que yo quiero hacer y si esta se ajusta a mi presupuesto. 8. Basado en los calculos realizados seleccionar el tipo de material que permitira a la catapulta funcionar de manera correcta y cumplir con los objetivos.

4.- Marco Teórico. Los parámetros físicos del funcionamiento de la catapulta son:

4.1 Movimiento del proyectil en trayectoria parabolica (Tiro parabolico): 3 El proyectil durante su movimiento describe una parábola en su trayectoria la cual está compuesta por dos movimientos: Un movimiento horizontal que es Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) velocidad V0 constante.

X = V0 *Cos (q ) * t Ecuación 1

Vx = V0 *Cos (q )

ax = 0

Ecuación 2

Ecuación 3

Donde: X es el alcance del proyectil [m]. Vx es la velocidad horizontal del proyectil [m/s]. ax es la aceleración horizontal del proyectil [m/s2]. Un movimiento vertical que es un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) con aceleración constante (g) hacia abajo. Y = V0 * Sen (q ) * t -

1 * g *t2 2

Ecuación 4

Vy = V0 * Sen (q ) - g * t

ay = - g

Ecuación 5

Ecuación 6

Donde: Y es la altura del proyectil [m]. Vy es la velocidad vertical del proyectil [m/s]. g es la aceleración de la gravedad [m/s2]. Cabe notar que se denomina proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

Se dice que es un tiro parabólico por que la ecuación de su movimiento es una parábola.

y = x *Tan (q ) -

3

g * x2 2*V0 2 *Cos 2 (q )

http://arquimedes.matem.unam.mx/descartes.org.mx/descartes/web/materiales_didacticos/comp_movimientos /parabolico.htm

Ecuación 7

El alcance máximo horizontal del proyectil. El alcance horizontal del proyectil se obtiene cuando su altura denominada “y” vale cero (y=0).

X max

V02 * Sen(2*q ) = g Ecuación 8

El alcance máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a, que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que el sen(2·30)=sen(2·60). El ángulo θ tiene varias unidades de medida las cuales grados [°], radianes [rad] y gradientes [grad], este último no es muy usual. Altura máxima. La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene cuando la velocidad en la coordenada “y” es cero (Vy=0).

Ymax =

V02 * Sen2 (q ) 2g

Ecuación 9

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º. Tiempo de vuelo. El tiempo de vuelo se calcula cuando Y=0. Sustituyendo en la ecuación 4. 0 = V0 * Sen (q ) * t -

1 * g * t 2 Despejando de la ecuación a t. 2

t=

2*V0 * Sen (q ) g Ecuación 10

La aplicación de estos conceptos a la catapulta está ubicados en el Anexo 1 Memorias de cálculo “Análisis y cálculo de la trayectoria del proyectil”.

4.2 Elasticidad de un resorte lineal (helicoidal de tracción).4 Un resorte es un sólido que permite cierta deformación, sin embargo este se opone a la deformación, siempre que esta no sea demasiado grande. Si un cuerpo después de ser deformado por una fuerza por una fuerza, vuelve a su forma original, cuando esta fuerza deja de actuar se dice que este es un cuerpo elástico. Ley de Hooke Para una deformación unidimensional. “La deformación es directamente proporcional a la fuerza ejercida en el material“. Se puede expresar matemáticamente como:

F =- k*x Dónde: k es la constante elástica del resorte. x es la longitud que se deforma desde su estado de equilibrio. Obtención experimental de la constante elástica del resorte.5 Para obtener la constante elástica de un resorte se procede de la siguiente manera. 1. Se fija un extremo del resorte y se toma la longitud que tiene el resorte sin deformación. 2. Se agrega una masa en el extremo libre del resorte y se mide la longitud ya deformada, consecuentemente agregando más masas, hasta obtener varias lecturas. 4.2.1 Didactica. El siguiente es un ejemplo del cálculo experimental de la constante elástica de un resorte. DATOS EXPERIMENTALES # Dato 1 2 3 4

4 5

X [cm] 2 4 6 8

Masa[g] 50 100 150 200

Masa[Kg] 0.05 0.1 0.15 0.2

X

Y

X [m] 0.02 0.04 0.06 0.08

Fuerza [N] 0.4905 0.981 1.4715 1.962

https://www.overleaf.com/articles/ley-de-hooke/gyssqhwcwfmj/viewer.pdf https://previa.uclm.es/profesoradO/ajbarbero/Practicas_farmacia/05_Ley_Hooke.pdf

La fuerza se obtiene F=m*g.

Cálculos # Dato 1 2 3 4

Dónde: m es la masa. g es la aceleración de la gravedad(9.81 m/s2] F es la fuerza registrada en cada lectura.

Fuerza [Newton] "F=0.05*9.81" "F=0.1*9.81" "F=0.15*9.81" "F=0.20*9.81"

Resultado [Newton] 0.4905 0.981 1.4715 1.962

X la longitud medida. La constante elástica del resorte se obtiene dividiendo K=F/X. ΔX [m] X

ΔF [N] Y

Pendiente [N/m] Y/X

0.02 0.4905 24.525 ΔX se obtiene de la diferencia de datos ΔX=X4-X3=X3-X2=X2-X1=0.02 [m] subsecuentes, lo mismo para ΔF. Con los datos obtenidos es posible realizar una regresión lineal para así obtener la pendiente de la recta, la cual es la constante del resorte.

K[N/m] 2.5

Fuerza [N]

2 1.5 Y Fuerza [N]

1

Linear (Y Fuerza [N]) 0.5

y = 24.525x + 2E-15 R² = 1

0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Desplazamiento [m]

K= ΔF/ ΔX =0.4905/0.02=24.525[N/m] K=24.525[N/m]

4.3 Cinematica de la catapulta.6 4.3.1 Introduccion. La suma de la energía cinética y la energía potencial (elástica o gravitatoria), se le denomina energía mecánica. Emecanica= Ecinetica + Epotencial. 4.3.2 Energía cinética de un cuerpo debido a su masa. Los cuerpos realizan un trabajo por el hecho de estar en movimiento, es decir, tienen energía, a esta forma de energía mecánica se llama energía cinética (EC). Cuando un cuerpo está en movimiento, tiene una cierta velocidad. Para pasar del estado de reposo a movimiento, hay que aplicar una fuerza, que multiplicada por el desplazamiento del cuerpo es igual al trabajo que realiza. Si el cuerpo parte del reposo, el espacio recorrido estará definido por: 1 d = a *t2 2 Ecuación 11

Sustituyendo: 1 1 1 W = F * d = m * a * d = m * a * a * t 2 = * m *(a * t ) 2 = m * v 2 2 2 2 Ecuación 12

Por lo tanto la energía cinética del cuerpo debido a su masa será. Ec =

1 m * v2 2

Ecuación 13

4.3.3 Energia cinética del brazo de la catapulta. La energía cinética aplicada en el brazo de la catapulta es diferente ya que el brazo describe una circunferencia en su trayectoria, por lo tanto el momento de inercia del brazo será I y ω corresponde a la velocidad angular que lleva el brazo durante el lanzamiento en su trayectoria circular, por lo tanto la energía cinética es: Ec =

1 I * w2 2

Ecuación 14

6

https://www.idoub.com/doc/140099324/Reporte-Catapulta

El momento de inercia (I) es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento, consulte la figura 18 y 18a. Para el análisis de esta catapulta se consideran 2 cuerpos (el brazo y la pelota) tridimensionales, cada uno con su momento de inercia único, de acuerdo con su forma. La velocidad angular (ω) es una medida de la velocidad de rotación, es decir, cuantas vueltas, grados o radianes ha girado un cuerpo en un tiempo determinado, en torno a su eje de rotación. Sus unidades son [radianes/segundo], [revoluciones/minuto].

v = w* r ® w = Ecuación 15

Donde: v es la velocidad inicial [m/s] r es el radio de giro [m]

v r

Figura 18 Mecnica-vectoria-para-ingenieros-dinmica-beer-9-edición-3-638

Figura 18a.

4.3.5 Energía potencial elástica. Existen otros tipos de energía potencial, como la energía que se acumula en los cuerpos elásticos al deformarlos (un resorte). Cuando cesa la deformación, la energía acumulada produce el desplazamiento de un objeto colocado frente a él y el incremento de su energía cinética. A este tipo se le llama energía potencial elástica. Donde x0 es la longitud del resorte sin deformar y x1 es la deformación aplicada al resorte. Ep =

1 1 2 k * d 2 = k * ( x1 - x0 ) 2 2 Ecuación 20

La fuerza que transmite un resorte está dada por:

F =- k*x ® k =-

F x

Ecuación 20’

4.3.6 Metodo de trabajo y energia (principio de conservación de la energía).7 Cuando un sistema de fuerzas conservativas y no conservativas actúa sobre una partícula, la porción del trabajo realizado por las fuerzas conservativas, puede ser escrita en términos de la diferencia en sus energías desde un estado inicial (1) a un estado final (2), esto es:

Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2

ó

Eci + Epi = Ec f + Ep f

Ecuación 21

Dónde: Ec es la energía cinética y Ep es la energía potencial. El estado inicial (1) es cuando el brazo de la catapulta está en un ángulo θ=0° y el estado final (2) es cuando el brazo de la catapulta está en un ángulo θ=45°. Aplicando los conceptos anteriores (energía potencial y energía cinética) a el principio de conservación de la energía al análisis cinemático de la catapulta.

7

R.C Hibbeler Engineering Mechanics DYNAMICS 14th Edition.

Energía potencial del resorte. Ep =

1 1 k * Dx 2 = k * X i - X f 2 2

(

)

2

Ecuación 22

Energía cinética de un cuerpo de masa m. Ec =

1 1 m * v 2 ; Ec = * I * w2 2 2 Ecuación 23

Sustituyendo los datos anteriores en la ec 21: 1 1 1 k *( X 1 - X 0 ) 2 = * I * w2 + k *( X 0 - 0) 2  2 2 2



1 1 1 k *( X 1 - X 0 ) 2 = * I * w2 + k *( X 0 ) 2  2 2 2



1 1 1 k *( X 1 - X 0 ) 2 - k *( X 0 ) 2 = * I * w2  2 2 2

Desarrollando el cuadrado: 

1 1 1 k *( X 12 + X 0 2 - 2* X 1 * X 0 ) - k *( X 0 ) 2 = * I * w2  2 2 2

Factorizando: 1 1 k *( X 12 + X 0 2 - 2* X 1 * X 0 - X 0 2 ) = * I * w2 2 2

Simplificando: 1 1 k *( X 12 + X 0 2 - 2* X 1 * X 0 - X 0 2 ) = * I * w2 ® 2 2 1 1 ® k *( X 12 - 2* X 1 * X 0 ) = * I * w2 2 2

1 1 k *( X 12 - 2* X 1 * X 0 ) = * I * w2 2 2 Ecuación 24

Donde: k= la constante elástica del resorte. X1= Deformación inicial del resorte (Resorte deformado, catapulta cargada). X0= Deformación final del resorte (Resorte sin deformación, catapulta descargada). I= momento de inercia de la barra o brazo de la catapulta. m= Masa del brazo. ω= la velocidad angular [rad/s]. (Este concepto está definido en el capítulo 4.3.3). ΔX1=X1-X0, ΔX2=X0-0, V1=0[m/s]. Los cálculos aplicados de estos conceptos a la catapulta está ubicados en: ANEXO 1 Memorias de cálculo “Análisis y cálculo del trabajo y energía”. 4.3.7. Metodo 2.8: El mecanismo de la catapulta está formado por un brazo y un resorte, el brazo rota en torno al punto fijo, por lo que el brazo tiene una energía cinética rotacional EcRotacional, tal que. Energía potencial del resorte=Energía cinética rotacional del brazo.

Epresorte = EcRotacional

Ecuación 25

Ecuación derivada de la ecuación 23 EcRotacional =

8

1 * I * w2 Ecuación23 2

http://people.cs.ksu.edu/~nhb7817/ScratchCurriculum/Catapult/Physics%20Calculations%20for%20a%20Mangon el.pdf

De la figura 18a se obtiene el momento de inercia del brazo para este proyecto.

I=

1 * mbrazo *(ancho 2 + L2 ) Ecuacion 26 12

Sustituyendo la ec 24 en 23’. EcRotacional =

1 1 1 * * mbrazo * ( ancho 2 + L2 ) * w2 = * mbrazo * ( ancho 2 + L2 ) * w2 Ecuación27 2 12 24

Sustituyendo las ecuaciones 22 y 27 en la ecuación 25.

1 1 1 2 2 k * ( X 1 - X 0 ) - k * ( X 0 - 0) = * mbrazo *(ancho 2 + L2 )* w2 2 2 24 Resolviendo para ω.

k * X 12 1 * mbrazo *(ancho 2 + L2 ) * w2 = - (k * X 1 * X 0 ) ® 24 2 éX 2 ù 1 ® * mbrazo *(ancho 2 + L2 ) * w2 = k * ê 1 - ( X 1 * X 0 ) ú êë 2 ú 24 û

k * X 12 1 2 2 2 * mbrazo *(ancho + L )* w = - (k * X 1 * X 0 ) ® 24 2 - 12* k * X 1 *(2* X 0 - X 1 ) ® w2 = mbrazo *(ancho 2 + L2 ) w=

- 12* k * X 1 *(2* X 0 - X 1 ) mbrazo *(ancho2 + l 2 )

Ecuación 28

Reconvirtiendo a velocidad lineal mediante la ecuación v = w* r .

v=

- 12* k * X 1 *(2* X 0 - X 1 ) *l = mbrazo *(ancho 2 + l 2 ) 2*

v=

- 3* k * X 1 *(2* X 0 - X 1 ) *l mbrazo (ancho2 + l 2 )

2*

- 3* k * X 1 *(2* X 0 - X 1 ) *l mbrazo (ancho 2 + l 2 )

Ecuacion 29

Con la ecuación anterior es posible calcular la constante elástica del resorte que permita alcanzar la velocidad requerida. La memoria de cálculo aplicando este método esta en el anexo 1 “El método 2”.

4.4 Cinematica del brazo de la catapulta (MCU). El presente análisis del brazo de la catapulta se modela como un movimiento curvilíneo o movimiento circular para así poder determinar las fuerzas a las que será sometido este brazo en su operación. La segunda Ley de Newton establece que la suma de fuerzas es igual a la masa por la aceleración.

å F = m*a Ecuación X

Si v es la velocidad tangencial recordemos que en una trayectoria circular esta se relaciona con la velocidad angular así, v = ω.r donde r es el radio de curvatura de la circunferencia (radio de la circunferencia), entonces:

V = w* r Þ w =

V r

Ecuación 15

Para la aceleración angular (α) los casos de análisis son: 1. α es constante (Movimiento curvilíneo uniformemente variado). 2. α varia (Movimiento curvilíneo uniforme).

at =

dV =a *r dt

Ecuación30

aN =

V2 = w2 * r r

Ecuación 31

Ejemplo de aplicación de las fuerzas normal y tangencial en la vida real. Observemos estas cantidades representadas respecto a la trayectoria.

FN = m * w2 * rG

Ecuación 32

FT = a * rG Ecuación 33

rG es el radio de giro del cuerpo. Para la catapulta el radio de giro se mide con respecto al fulcro (empotramiento o bisagra) del brazo. m es la masa de ambos cuerpos tanto de la pelota como del brazo. mTOTAL= mpelota+mbrazo

4.5 Esfuerzos presentes en el brazo de la catapulta.

Anexo 1. Memorias de calculo. Analisis y cálculo de la trayectoria del proyectil. Para determinar la velocidad de salida para alcanzar Xmax=10 sustituyen los datos en la ecuación 7, tomando en cuenta que el alcance será máximo solo cuando y=0. Datos: Xmax=10 metros.

0 = 10*Tan ( 45) -

g=9.78 m/s2

θ=45°

978 9.78*102 978 2 0 = 10  = 97.8  2  V0 = 2 2 V0 2*V0 *Cos ( 45) 10

V0 = 9.8894 _ m / s El tiempo de vuelo a esta velocidad  t = 1.43 _ s

La altura máxima Ymax

V02 * Sen2 (q ) =  2g

Ymax

97.8* Sen2 (45) = = 2.5 _ metros  2*9.78

Ymax = 2.5 _ metros Los datos fijos son: V0

= 9.8894 _ m / s

g = 9.78_ m / s 2 aceleración de la gravedad en CU.

Analisis y calculo de la cinematica del brazo de la catapulta (MCU).9 El presente análisis del brazo de la catapulta se modela como un movimiento curvilíneo o movimiento circular para así poder determinar las fuerzas a las que será sometido este brazo en su operación. La segunda Ley de Newton establece que: å F = m * a , la suma de fuerzas es igual a la masa por la aceleración.

Si v es la velocidad tangencial recordemos que en una trayectoria circular esta se relaciona con la velocidad angular así: v = ω.r siendo r el radio de curvatura de la circunferencia (radio de la circunferencia), entonces:

V = w* r Þ w =

V 9.8894[m / s] = 32.9647[rad / s] w = r 0.30[m]

Si ω = cte. el movimiento es un movimiento circular es uniforme. (Fig. 1.b). Si ω = cte, α = dω / dt = 0, no hay aceleración angular (α). Fuerza tangencial (FT ). Como el movimiento es circular uniforme (v=cte) la fuerza tangencial (FT) sera, FT= 0 ya que la aceleracion tangencial (aT) nos indica la variación del módulo de la velocidad con el tiempo y por tanto aT es nula.

at =

dV =0 dt

Para una aceleración angular diferente de cero la fuerza tangencial (FT) es:

FT = a * rG

9

https://www.google.com.mx/search?q=fuerza+normal+y+fuerza+tangencial+formulas&client=opera&hs=Lyx&sou rce=lnms&sa=X&ved=0ahUKEwiCvbHiyrPTAhUk1oMKHbAXAf8Q_AUIBygA&biw=1920&bih=953&dpr=1

Además si nos movemos en una trayectoria circular: v = ω.r  El módulo del vector velocidad es constante, por lo cual la aceleración tangencial resulta ser:

FT = 0[rad / s 2 ]*0.30[m] = 0[ N ]  FT=0[N] Fuerza normal (FN ). La fuerza normal (FN ) esta definida como:

FN = m * w2 * rG Donde: rG es el radio de giro del cuerpo en este caso el radio de giro se mide con respecto al fulcro (empotramiento o bisagra) del brazo. m es la masa de ambos cuerpos tanto de la pelota como del brazo. mTOTAL= mpelota+mbrazo mpelota=58.5 [g] ρaluminio=2700[Kg/m3] mbrazo= Volumen* densidad=V*ρ= (0.30*0.0254*0.00645)[m]* 2700[Kg/m3]= =4.9149E-5 [m3]* 2700[Kg/m3]=0.1327[kg]=132.7[g]  mTOTAL= 58.5 [g]+132.7 [g]=191.2 [g]=.1912 [kg] mTOTAL=191.2 [g]=0.1912[kg]

Por lo cual el centroide de la figura compuesta será:

XG =

A1 * X 1 + A2 * X 2 A1 + A2

Donde: A1 es el área del anillo=π (R2-r2); X1 el centroide del anillo. R=0.0335 [m], r=0.03135 [m]A1=4.0652x10-4[m2] ; x1=0.03335[m] A2 es el área de la barra=L*h; X2 el centroide de la barra. L=0.30 [m], h=0.00645 [m] A2=0.001935 [m2] ; X2=0.15[m] Sustituyendo datos:

XG =

4.0652 x10- 4 [m2 ]*0.0335[m] + 0.001935[m2 ] = 0.129237[m] 4.0652 x10- 4 [m2 ] + 0.001935[m2 ]

XG=0.129237 [m] Por lo tanto el radio de giro será XG sustituyendo: 2

FN = 0.19355[kg ]* ( 32.9647[rad / s ]) *0.129237[m] = 27.1806[ N ] FN = 27.1806[ N ] Esta fuerza es contrarrestada por la reacción del fulcro.

Analisis y calculo del trabajo y energia de la catapulta. Haciendo uso de las ecuaciones descritas en el capítulo 4.3.6. La diferencia en sus energías desde un estado inicial (1) a un estado final (2), esto es:

Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2

ó

Eci + Epi = Ec f + Ep f

Ecuación 21

Los estados de la catapulta son: Estado inicial (1): El brazo de la catapulta está en un ángulo θ=0° y cuya velocidad es V1=0 [m/s]. Estado final (2): El brazo de la catapulta está en un ángulo θ=90° Nota: La velocidad cuando θ=45° es V=9.8894 [m/s]. Las deformaciones del resorte quedan definidas de la manera siguiente: X1=46.0997 [cm] X0=5[cm] ΔX1=X1-X0=46.0977 [cm]-5[cm]=41.0977 [cm]=0.4109 [m] X1-X0=41.0977[cm] =0.4109[m] ΔX2=X0-0 ΔX2=X0=5[cm] Dónde: X1= Deformación inicial del resorte (Resorte deformado, catapulta cargada). X0= Deformación final del resorte (Resorte sin deformar, catapulta descargada).

Masa del brazo (mbrazo)10: Densidad del aluminio 6010: ρaluminio=2710[kg/m3]=2.71[g/cm3] mbrazo= Volumen* densidad=V*ρ= = (0.30*0.0254*0.00645)[m]* 2710[Kg/m3]= =4.9149x10-5[m3]*2710[Kg/m3]=0.1331[kg] mbrazo =0.1331[kg] Momento de inercia del brazo (IBrazo).

I brazo = =

1 mbrazo *(ancho 2 + L2 ) = 12

1 (0.1331[kg ]) *[(0.0254[ m]) 2 + (0.30[ m]) 2 ] = 0.001006[ kg * m 2 ] 12

Ibrazo=0.001006[kg*m2] Energía cinética del brazo. 1 1 * I brazo * w2 = (0.001006[kg * m2 ]) *(32.9647[rad / s])2 ® 2 2 = 0.546658[ Joules] = 0.546658[ J ]

Ecbrazo = Ecbrazo

Ecbrazo=0.546658 [J] Donde: Ibrazo= Es el momento de inercia del brazo de la catapulta. ω= la velocidad angular [rad/s]. (Este concepto está definido en el capítulo 4.3.3). Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación 24:

1 1 k *( X 12 - 2* X 1 * X 0 ) = * I * w2 2 2 Ecuación 24

1 k *((0.460977[m])2 - (2*(0.460977[m])*(0.05[m])) = 0.546658[ J ] ® 2 ® k *(0.083201[m2 ]) = 0.546658[ J ]

10

http://www.azom.com/article.aspx?ArticleID=8612

k=6.57032 [J/m2] Donde: k= la constante elástica del resorte.

Conversión de unidades. Las unidades convencionales de la constante elástica de un resorte son [N/m], por lo cual es necesario realizar la conversión. Partimos de la definición de la unidad de energía “Joule” nombrada así en honor al célebre físico ingles James Prescott Joule. 1[ J ] = éëmasa * longitud 2 * tiempo - 2 ù û

é kg * m2 ù é kg * m ù 1[ J ] = [ N ]*[m] = ê 2 ú*[m] = ê 2 ú êë s ú êë s ú û û Por lo tanto:

éJ ù N *m N k = 6.57032 ê 2 ú = 6.57032 [ 2 ] = 6.57032 [ ] êë m ú [m ] [m] û k=6.57032 [N/m] Con la constante elástica del resorte es posible calcular la fuerza ejercida por el resorte sobre el brazo de la catapulta.

F = - k * D  F = - 6.57032*( X1 - X 0 ) = - 2.70025[ N ] FResorte=-2.70025 [N]

El metodo 2: Análisis y cálculo usando el método 2. Estado inicial (1): X1=46.0977 [cm]=0.460977 [m] θ=0° V1=0 [m/s]. Estado final (2): X0=5[cm]=0.05 [m] θ=90°, (La velocidad obtenida cuando θ=45° es V=9.8894 [m/s]). X1-X0=0.460977 [m]- 0.05 [m]=0.410977 [m] mbrazo =0.1331[kg] k= la constante elástica del resorte. l=0.30 [m].

V0 = 9.8894 _ m / s

ancho=0.0254 [m]

Sustituyendo en la ecuación

2* v=

9.8894[m / s] =

- 3* k * X 1 *(2* X 0 - X 1 ) *l mbrazo (ancho2 + L2 )

- 12* k *(0.460997[m])*(2*0.05[ m] - 0.460997[ m]) *(0.3[ m]) ® 0.1331[kg ]*((0.0254[m]) 2 + (0.3[m]) 2 )

® 9.8894[m / s ] = 3.85813* k [m / kg ] k = 6.557031[kg / s 2 ] = 6.557031[ N / m] k=6.57032 [N/m] Con la constante elástica del resorte es posible calcular la fuerza ejercida por el resorte sobre el brazo de la catapulta.

F = - k * D  F = - 6.57032*( X1 - X 0 ) = - 2.70025[ N ] FResorte=-2.70025 [N]

Analisis y calculo de esfuerzos. El brazo de la catapulta se encuentra sometido a la fuerza del resorte y del peso del proyectil, por lo cual la barra experimenta un momento flector debido a la fuerza neta que se ejerce sobre la misma.

Wp=58.5[g]*9.78[m/s2]=0.57213[N] Wp=0.57213[N] FResorte=-2.70025 [N] a 45°

å Fx : 2.70025*cos(45) - RAX = 0 RAX = 2.70025*cos(45) = 1.9091[ N ]

RAX=1.9091 [N]

å Fy : 2.70025*sin(45) - Wp - RAY = mBARRA * g 2.70025[ N ]*sin(45) - 0.57213[ N ] - RAY = 0.135[kg ]*(- 9.78[m / s 2 ]) 1.33706[ N ] - RAY = - 1.32435[ N ] ®

 RAY=2.66141 [N]

RAY = 2.66141[ N ] å M A : ( FTotal ) *0.3[m] = = éë( 2.70025*sin(45)) - 0.57213[ N ]ù û*0.3[ m] = = 1.33706[ N ]*0.3[m] = M A = 0.401117[ J ] = 0.401117[ N * m]

MA=0.40117 [N*m] sentido anti-horario.

Momento de inercia de la barra: El momento de inercia es con respecto al área de la barra por lo cual: b=0.0254 [m]

h=0.30 [m]

Ix’= (1/12)*b*h3=0.000057m4 Ix’=0.000057m4=5.715x10-5m4 Esfuerzo cortante.

s =

M *c I