Proporcionalidad - Wikipedia, La Enciclopedia Libre 264z1u

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Proporcionalidad De Wikipedia, la enciclopedia libre ."si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye proporcionalmente"

Índice 1 Símbolo 2 Proporcionalidad directa 2.1 Primer ejemplo 2.2 Segundo ejemplo 2.3 Tercer ejemplo 3 Aplicación en geometría 3.1 Propiedades 4 Proporcionalidad inversa 5 Factor constante de proporcionalidad 6 Coordenadas hiperbólicas 7 Proporcionalidad exponencial y logarítmica 8 Determinación experimental 9 Relación de equivalencia 9.1 Reflexividad 9.2 Simetría 9.3 Transitividad 10 Repartos proporcionales 10.1 Antecedente histórico 10.2 Casos de repartos proporcionales 10.3 En partes inversamente proporcionales 11 Véase también 11.1 Crecimiento 12 Enlaces externos

Símbolo El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo: A ∝ B. En Unicode el símbolo es U+221D.

Proporcionalidad directa Dadas  dos  variables  X  y  Y,  Y  es  (directamente)  proporcional  a  X  (X  y  Y  varían  directamente,  o  X  y  Y  están  en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:

La relación a menudo se denota

y la razón constante

es llamada constante de proporcionalidad. https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

1/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Para ilustrar, supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra  muestra  por  su  volumen,  dicho  cociente  corresponde  a  la  constante  de proporcionalidad.1

Primer ejemplo La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde.  Una  minoría  no  siente  la  necesidad  de  pasar  por  las  cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25  (lo  que  equivale  a  añadir  cinco  huevos,  250  g  de  harina;  187,5  g  de mantequilla y 150 g de azúcar). Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k

Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.

no nulo (  en el ejemplo) tal que

Si  se  consideran    e    como  valores  de  variables    e  , entonces  se  dice  que  estas  variables  son  proporcionales;  la  igualdad  y  =  k·x significa que y es una Función lineal de x.  La representación gráfica  de  esta función  es  una  recta  que  pasa  por  el  origen  del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.

recta que pasa por el origen de coordenadas

La relación «Ser proporcional a» es reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1) simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes) por  lo  que  se  trata  de  una  relación  de  equivalencia.  En  particular  dos  variables  proporcionales  a  una  tercera  serán proporcionales entre sí). La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

2/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : d Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d . Proporción múltiple: Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : f Y se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Para establecer que una tabla es proporcional, se puede: 1. verificar  que  la  segunda  columna  es  múltiple  de  la  primera,  (primera  tabla:  para  pasar  de  la  primera  casilla  a  la segunda, hay que multiplicar por  ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por  , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales) 2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o 3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c,  cuando  no  hay  valores  nulos,  que  por  cierto  no  tienen  un  gran  interés  en  este  contexto).  ya  que  no  se  puede comprobar el número

Segundo ejemplo Dos albañiles construyeron un muro de doce metros cuadrados de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ? Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes. Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo  de  trabajo  supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan. itiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta  pasando  por  una  etapa  intermedia:  ¿  Qué superficie  construirían  dos  albañiles  en  cuatro  horas  ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego  se  aplica  la  proporcionalidad  con  el  tiempo (subtabla  roja).  La  superficie  construida  será https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

3/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

multiplicada por  . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por   (la subtabla azul es proporcional).  El resultado final es

metro cuadrado.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

Tercer ejemplo Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?  Cuanta mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje  se  dividirá  en  dos.  Aquí,  claramente  el  tiempo  del  recorrido  no  es  proporcional  a  la  velocidad  sino  justamente  lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

cambiando  una  multiplicación  por  una  división  (primera  tabla)  o  aplicando  la  proporcionalidad  con  la  inversa  de  la velocidad (segunda tabla). El tiempo será 

, es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con  , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido. Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem: número de canicas precio 2 canicas 50 centavos 4 canicas 1 peso 6 canicas 1,50 pesos Magnitudes Directamente Proporcionales:

https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

4/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Dos  magnitudes  son  directamente  proporcionales  cuando  al  multiplicar  o  dividir  una  de  ellas  por  un  número,  la  otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número. Ejemplo: Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones? Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante. Con los datos de la tabla, hallamos la razón. Elaboramos una tabla de proporcionalidad: Gasolina 3 1 10 20 40 (galones) Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros) Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, más galones de gasolina se consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Significa, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

Aplicación en geometría El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

Propiedades Ya que

es equivalente a

se  sigue  que  si  y  es  proporcional  a  x,  con  constante  de  proporcionalidad  k  distinta  de  cero,  entonces  x  es  también proporcional a y con constante de proporcionalidad 1/k. Si y es proporcional a x, entonces el gráfico de y como función de  x será una línea recta  que  pasa  por  el  origen  con  la pendiente de la línea igual a la constante de proporcionalidad: corresponde a un crecimiento lineal.

Proporcionalidad inversa El  concepto  de  proporcionalidad  inversa  puede  ser  contrastado  contra  la  proporcionalidad  directa.  Considere  dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá proporcionalmente si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual. https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

5/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que

Factor constante de proporcionalidad La constante, o factor de proporcionalidad, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original. Mejor definido en palabras sencillas es que cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa. Como  ejemplo,  el  tiempo  consumido  en  una  travesía  es  inversamente  proporcional  a  la  velocidad  del  viaje;  el  tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando. El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.

Coordenadas hiperbólicas Los conceptos de proporción directa e inversa conllevan a la ubicación y puntos en el plano cartesiano por coordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en un rayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hipérbola.

Proporcionalidad exponencial y logarítmica Una  variable  y  es  proporcionalmente  exponencial  a  una  variable  x,  si  y  es  directamente  proporcional  a  la  función exponencial de x, esto es si existen constantes k y a diferentes de cero.

Del mismo modo, una variable y es logaritmicamente proporcional a una variable x, si y es directamente proporcional al logaritmo de x, esto es si existen las constantes k y a distintas de cero.

Determinación experimental Para  determinar  experimentalmente  si  dos  cantidades  físicas  son  directamente  proporcionales,  uno  realiza  diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en un sistema de coordenadas cartesianas.  Si  los  puntos  caen  en  o cerca de una línea recta que pasa por el origen (0, 0), entonces las dos variables son probablemente proporcionales, con la constante de proporcionalidad dada por la pendiente de la línea.

Relación de equivalencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

6/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Relación de equivalencia La  proporcionalidad  es  una  relación  de  equivalencia  en  un  conjunto    (o  incluso  ).  Esto  es  porque  es: reflexiva, simétrica y transitiva. Esto se prueba a continuación usando la definición: si a∝b entonces , donde k es una constante diferente de cero.

Reflexividad Para todo 

,

Por lo tanto, como uno es una constante diferente de cero,

Simetría Supongase que 

 y a∝b, entonces,

en donde k es una constante diferente de cero. Dividiendo por k, tenemos:

Como k es diferente de cero, 1/k es también diferente de cero. De modo que:

Transitividad Supongase que 

, a∝b y b∝c. Entonces,

y,

en donde k y n son constantes distintas de cero. Substituyendo la segunda ecuación en la primera, tenemos:

Como k y n son diferentes a cero, kn debe ser también diferente de cero. Por lo tanto:

Repartos proporcionales Antecedente histórico

https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

7/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Antecedente histórico Las  primeras  compañías  europeas  fueron  fundadas  por  armadores  navieros  de  Italia.  Empiezan  en  el  siglo  IX.  La aritmética negocial, tomada de los árabes por Leonardo de Pisa, tuvo una gran aceptación y uso en Europa en esa época. Se  aplicaba  en  la  resolución  de  problemas  vinculados  en  la  repartición  de  beneficios  y  pérdidas  que  acarreaban  las actividades de dichas empresa navales.

Casos de repartos proporcionales Estos consisten en distribuir un número en partes proporcionales a otros varios y diversos. Pueden presentarse los repartos directos o inversos o compuestos. "Para repartir un número dato en partes directamente proporcionales a diversos números enteros positivos, se multiplica el número a repartir por cada uno de los enteros y se divide por la suma de todos ellos". Ejemplo Repartir 120 en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5. Solución de la ecuación: El primero recibirá 2k, el segundo 3k y el tercero 5k. Los tres reciben 2k + 3k + 5k = 120, de donde 10k = 120. De modo que la incógnita k = 120/10 = 12. Así al primero le toca 12 x 2 = 24; al segundo, 12 x 3 = 36; al tercero, 12 x 5 = 60.

En partes inversamente proporcionales Un  padre  dispone  que  ,  en  caso  de  falecimiento,  sus  6.200  acciones  bancarias  se  repartan  en  partes  inversamente proporcionales a las edades de su hijos que tienen 4, 6 y 10 años respectivamnente. Esto significa que debe recibir más el que tiene menos edad y menos el de más edad. En  este  caso  se  divide  en  partes  'directamente  proporcionales  a  1/4,  a  1/6  y  1/10.  Que  llevados  a  mínimo  común denominador, resultan: 15/60, 10/60 y 6/60. Luego se reparte en partes directamente proporcionales a 15, 10 y 6. Resultando: El menor con 3.000 acciones; el intermedio, 2.000; y el mayor, con 1.200 acciones. Consúltese "Arimética [1]" de Lic. L. Galdós. Cultural, S.A. Madrid. (2002). ISBN 9972­891­14­3

Véase también Correlación Eudoxo de Cnidos Número áureo Proporcionalidad creciente Triángulos semejantes Tipografía proporcional Regla de tres Relación de equivalencia

Crecimiento

https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

8/9

23/11/2016

Proporcionalidad ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

Crecimiento Crecimiento lineal Crecimiento hiperbólico

Enlaces externos Actividades con proporcionalidad (http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1) Weisstein,  Eric  W.  «Proportional»  (http://mathworld.wolfram.com/Proportional.html).  En  Weisstein,  Eric  W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. FUNCIONES  Y  ESCALAS,  UNIVERSIDAD  DE  ANTIOQUIA,  DEPARTAMENTO  DE  CIENCIAS  Y  ARTES. EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA FÍSICA (http://webcache.googlecontent.com/search?q=cache:LVAGbE JmifQJ:files.informatica3.webnode.es/200000021­c7781c871c/FUNCIONES1.pdf+&cd=1&hl=es­419&ct=clnk&gl =co). Consultado el 9 de febrero de 2016. Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proporcionalidad&oldid=95008226» Categorías:  Relaciones Matemática elemental Fracciones Esta página fue modificada por última vez el 15 nov 2016 a las 03:00. El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulas adicionales. Al usar este sitio, usted acepta nuestros términos de uso y nuestra política de privacidad.   Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro. 

https://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad

9/9