Guía De Matemáticas Plan De Clase 246i21

G U Í A PA R A E L M A E S T R O

Matemáticas 1

S E C U N D A R I AP R I M E R GRADO

Matemáticas 1 R

SECUNDARIA G RAD O

Guía para el maestro

PRIME

Primera edición: noviembre de 2014 Segunda edición: diciembre de 2016 Matemáticas 1 Guía para el maestro Texto: Milosh Santiago Trnka Rodríguez, Carlos Alberto Aguilar Ramírez y Roberto Carlos Flores Martínez

Subdirección editorial: Tania Carreño King

Todos los derechos reservados. D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V. Castillo ® es una marca registrada

Gerencia de secundaria: Fabián Cabral Coordinación de secundaria: Mónica Noble Diseño de interiores y portada:

Gustavo Hernández Edición, diagramación y pruebas: Letra Cardinal

Supervisión editorial: Blanca Luz Torres Supervisión de diseño: Mónica López Coordinación de imagen: Teresa Leyva Supervisión de imagen: Sergio López Coordinación de operaciones de diseño:

Gabriela Rodríguez Cruz Subdirección de logística y producción: Carlos Olvera

Insurgentes Sur 1886, Col. Florida, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01030, México, D.F. Tel.: (55) 5128-1350 Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899 Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan www.grupomacmillan.com www.edicionescastillo.com [email protected] Lada sin costo: 01 800 536 1777

Coordinación de producción: Ulyses Calvillo

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 3304 Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.

Presentación

La práctica docente exige diferentes recursos para lograr una educación de calidad. Conscientes de ello, en Ediciones Castillo queremos contribuir desde nuestras posibilidades a que su trabajo sea más sencillo. Como una muestra de ese compromiso, hemos renovado la guía para el maestro de nuestros títulos de la serie Explora: se trata una herramienta que facilitará su trabajo diario en el aula porque incluye sugerencias y respuestas, página a página, para el libro del alumno.

Además de brindar las recomendaciones para instrumentar el trabajo en el aula, esta nueva guía Explora incluye: ࿿࿿113Ž Ꟁ睛 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿훴 훴 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ञ皚 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿‘꺔䚕࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ’亪睺 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿“릂㽈࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿”迊䚺 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿•扬砵 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ –쩈晚࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿—늮栵࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿˜粐䰘 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿™ ⣌吟 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ š ‫ﴖ‬罥 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿› ‫ﵨ‬矉 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿œ銺⦊ ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿庬濩 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ž籺䭩 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ÿ窦冢 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ 菲愱 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¡ʴ捁 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ¢鶨斿 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿£↢࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¤䢘䵜 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¥犲㰻 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ¦쓂ᕞ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿§ꄶ 旒 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¨Ἢ溻 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿©⧊澿 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ª蠈唋 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿«㫎㓌 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¬扠乕 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿⿈䱧࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ®ᇂ劣࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¯殀䓯 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿° El solucionario correspondiente a las evaluaciones Ponte a prueba ENLACE y Ponte a prueba PISA que contiene el libro del alumno ࿿࿿114Ž Ꟁ睛 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿훴 훴 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ञ皚 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿‘꺔䚕࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿’亪睺 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ “릂㽈࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿”迊䚺 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿•扬砵 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿–쩈晚࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿—늮栵࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ˜粐䰘 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿™ ⣌吟 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿š ‫ﴖ‬罥 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿› ‫ﵨ‬矉 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿œ銺⦊ ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ 庬濩 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ž籺䭩 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿Ÿ窦冢 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ 菲愱 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¡ʴ捁 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ¢鶨斿 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿£↢࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¤䢘䵜 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¥犲㰻 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¦쓂ᕞ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ §ꄶ 旒 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¨Ἢ溻 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿©⧊澿 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ª蠈唋 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿«㫎㓌 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿ ¬扠乕 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿⿈䱧࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿®ᇂ劣࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿¯殀䓯 ࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿࿿° Avance programático bimestral La nueva guía que ponemos a su alcance tiene como objetivo acompañarlo en cada etapa del proceso de trabajo con las secuencias didácticas, señalando elementos de utilidad:

conceptos, habilidades, actitudes, propósitos de las actividades, así como cada momento de las secuencias (Inicio a partir de lo que sé, Resuelvo y aprendo y Consolido mis aprendizajes).

Los que participamos en la elaboración de esta nueva guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.

Los editores

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Índice Estructura de la guía El trabajo con secuencias didácticas Evaluación Recursos digitales para el docente Avance programático

4 8 9 10 11

Bloque 1 S1. Dos maneras de escribir el mismo número Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S2. Fracciones, decimales y la recta numérica Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S3. Fracciones más, fracciones menos Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S4. ¿Cuál sigue? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S5. Fórmulas y figuras

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

18 18 18 23 24 24 25 28 29 29 30 32 33 33 33 37 38

Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S6. Con regla, escuadra y compás Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S7. Rectas y puntos notables del triángulo Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S8. El que parte y reparte Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S9. Juguemos un poco Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes

38 39 42 43 43 43 48 49 49 50 56 57 57 57 60 62 62 63 66

Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé

67 70 72 73

Bloque 2 S10. ¿Divide o no? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S11. Divisores y múltiplos que se comparten Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S12. Cuando las fracciones y los decimales se combinan Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S13. Fracción de una fracción Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S14. A la misma distancia Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S15. Marcos de madera de lados iguales Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes

76 76 77 79 81 81 81 85 86 86 87 88 90 90 91 93 94 94 95 99 100 100 101 105

S16. Si una cambia, ¿la otra también?

106

Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes

106 107 110

Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé

111 114 116 117

Bloque 3 S17. Los decimales de cada día Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S18. Entre decimales te verás Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S19. El número desconocido Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S20. ¿Cómo lo construyo?

120 120 121 124 125 125 126 129 130 131 131 134 135

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Inicio a partir de lo que sé

135

Bloque 4

Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S21. Áreas y perímetros de polígonos regulares Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S22. Ampliar o reducir Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S23. La anticipación de resultados Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S24. Lectura de la información Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes

136 140 141 141 141 145 146 146 147 150 151 151 151 156 157 157 157 162

Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé

163 166 168 169

S25. Hacia adelante o hacia atrás Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S26. Pistas para trazar circunferencias Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S27. Longitud de la circunferencia y el área del círculo Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S28. Donde hay tres, hay cuatro Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S29. ¿De qué tamaño era? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S30. ¿De cuántas formas...? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

172 172 173 176 177 177 178 181 182 182 182 186 188 188 188 192 193 193 194 197 198 198 198

Consolido mis aprendizajes S31. Información en gráficas Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes

203 204 204 205 208

Habilidades digitales Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé

209 212 214 215

Bloque 5

218

S32. Enteros más, enteros menos Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S33. Notación científica: lo grande y lo pequeño Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S34. ¿Cuánto mide el lado? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes

218 219 221 223 223 223 227 228 228 229 233

S35. ¿Cuál es la regla? Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S36. Problemas de área y perímetro del círculo Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes S37. Cambia aquí y cambia allá Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Consolido mis aprendizajes Habilidades digitales

234 234 235 239 240 240 241 245 246 246 247 250 251

Ponte a prueba PISA Ponte a prueba ENLACE Ahora sé

253 255 256

Guía rápida de GeoGebra Bibliografía

257 259

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Estructura de la guía Avance programático Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula atendiendo los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar (por temas o secuencias didácticas),

además de las semanas y horas sugeridas para abordarlos. Avance programático Bloque 1 Semanas

Tema

Eje

algebrai co

1

Números y sistemas de

pensamiento

numeración 1y2

Secuencia

Problemas aditivos

escritura decimal y viceversa.

y

Sentido Forma,espacioymedid a Manejodelainformación

6y7

6. Con regla, escuadra Figuras y cuerpos Proporcionalidad y probabilidad funciones

29-32

una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común

33-37

progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. 5. Fórmulas y figuras

5y6

9 y 10

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más

numérico

4. ¿Cuál sigue? Patrones y ecuaciones

24-28

las convenciones de esta representación. Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de

4y5

8y9

3. Fracciones más,

18-23

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando de una operación de suma y resta de fracciones.

de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con

3y4

7y8

Páginas

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su

escribir el mismo número 2. Fracciones, decimales y la recta fracciones menos numérica

2y3

Contenido

1. Dos maneras de

y compás 7. Rectas y puntos notables del triángulo 8. El que parte

Explicació n del significado de fórmula s geométricas, al

38-42

considerar las literales como números generales con los que es posible operar. Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego

43-48

de geometría. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. Resolución de problemas de reparto proporcional.

49-56

57-61

y reparte

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro 9. Juguemos un poco de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENL ACE, Ahora sé. Nociones de

62-66

67-73

11

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Bloque 3

10 y 11

Eje

Tema

Secuencia

Contenido

11. Divisores y Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. 10. ¿Divide o no? Distinción entre números primos y compuestos.

algebraico

Semanas

Páginas

Semanas

76-80 17 y 18

ypensamiento

numeración

fracciones y los

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo

múltiplos que se

común divisor y el mínimo común múltiplo.

16 y 17

Resolución de problemas geométricos que impliquen el

distancia

uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

de lados iguales

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

otra también?

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad

15. Marcos de madera

20 y 21 90-93

94-99

Sentid o medida

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

21 y 22

Proporcionalidad y

16. Si una cambia, ¿la

directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENL ACE, Ahora sé.

19. El número desconocido

Figuras y cuerpos

y

fracción

Patrones y ecuaciones

espaci o

13. Fracción de una

19 y 20 86-89

Medida

Proporcionalidad y

Contenido

Páginas

Resolución de problemas que impliquen Resolució n de problemas que impliquen el pla nteamiento y la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;

125-129

130-134

ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c, números naturales, decimales o fraccionarios.

20. ¿Comó lo construyo?

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

21. Áreas y perímetros

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y

de polígonos

120-124

135-140

141-145 el área de polígonos regulares.

regulares 100-105

22

funciones

22. Ampliar o reducir

23

Nociones de probabilidad

23. La anticipación de resultados

verificación al realizar el experimento y su registro en una

Análisis y

24. Lectura de la

Lectura y comunicación de información mediante el uso de

de

información

Manejo

funciones

de la

15 y 16

empleando los algoritmos convencio nale s.

14. A la misma Figuras y cuerpos

Medida

14 y 15

números fraccionarios y decimales en distintos contextos,

combinan

Forma,

multiplicativos

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan

decimales se

información

numérico

Sentido

Problemas

12. Cuando las

cada día 18. Entre decimales te verás

106-110 24

24 y 25

Manejo

14

Patrones y ecuaciones

Forma,espacio ymed id a

13

multiplicativos

18 y 19

la

comparten 12 y 13

81-85

Problemas aditivos

Secuencia 17. Los decimales de

Problemas

Números y sistemas de 11 y 12

Tema

Eje num ér icoypensam ientoalgebr aico

Bloque 2

representación de datos

información

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su

146-150

151-156

tabla de frecuencias. tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENL ACE, Ahora sé.

157-162

163-169

111-117

13

12

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4 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Bloque 1

de los estudios de la escuela primaria, en el primero y el segundo contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente se-

a decimales y viceversa. 1 Conoce y utiliza las convenciones

Al inicio de cada bloque encontrará los aprendizajes esperados, las competencias que se favorecen y un resumen de los conocimientos que se estudiaron.

cuencia problemas que emplean números fraccionarios. Por otra parte,

para representar números fraccionarios

el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una

y decimales en la recta numérica.

regularidad matemática que exige un nivel mayor de abstracción para

2 Representa sucesiones de números el estudiante. La simbolización comienza con el contenido en el que las

o de figuras a partir de una regla dada

literales corresponden a números generales.

y viceversa.

Conceptos principales S1 S2 S3 S4 Sucesiones, elemento una sucesión, progresión progresión geométrica. S5 Literales, operaciones con expresión algebraica, perímetro. S6 S7

Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados

Fracción decimal, fracción irreducible, número decimal periódico.

al trazado de las fig uras más elementales y al de la s líneas y puntos

Recta numérica, escala, fracciones intercaladas.

notables del triángulo, construcciones que, por sí mismas, son impor-

Suma y resta de fraccio nes.

de

tantes dentro de la geometría pero que, además, resultan prácticas e indispensables para abordar construcciones más complejas, como se

aritmética,

verá en los siguientes bloques. literales, Manejo de la información. En este bloque los contenidos son introárea, ductorios a los temas de este eje: por una parte, la proporcionalidad se aborda con el reparto proporcional, mientras que la s nociones de

Triángulos, cuadriláteros.

probabilidad comienzan con la id entificación y práctica de juegos sen-

Alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en

cillos de azar.

un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e in centro.

S8 S9

Inicio de bloque

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación

Aprendizajes esperados 0 Convierte números fraccionarios

Competencias que se favorecen 0 Resolver problemas de manera autónoma. 1 Comunicar información matemática. 2 Validar procedimientos y resultados. 3 Manejar técnicas eficientemente.

Proporción, reparto proporcional. Juegos de azar, procesos aleatorios.

Los juegos de azar son juegos en los que ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador.

17 16

16

17

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Sugerencias didácticas

34

lado?

SECUENCIA

S34 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de

(Continúa de la página 228)

0 Respondan las preguntas a partir de la figura 34.3.

a)

Potenciación

1.

pequeñas.

Ideas erróneas 23 Es posible que el estudiante no sepa exactamente cuál es el signi-ficado

algunas sugerencias

de exponente y piense vagamente que afecta la base. Pue-de suponer

C 10.4 m

¿Cuántos cubos pequeños hay en cada arista?

B

A

realizar cálculos en los que inter-vienen cantidades muy grandes o muy

secuencia hallará

9m

7.5 m

Uso de la notación científica para

¿Cuánto

23

mide

Antecedentes

b) ¿Cuántos

cubos pequeños caben en el cubo grande?

.

Piso C =

Piso B =

resultado?

.

23 Cierto producto se distribuye en cajas como las de la figura 34.4.

que es lo mismo elevar un número a una potencia que multiplicar la base

Piso A =

Piso C =

Piso B =

por la potencia.

número dos o más veces. Por ejemplo ,

Paquete con 6 pie zas.

Fig. 34.4

a) ¿Cuántas piezas en total contiene la caja grande?

Completen la tabla de acuerdo con la figura

5888

¿Cómo obtuvieron el resultado?

leyenda R. L. (respuesta libre)

2

3

4

5

6

23 5 veces, ¿cuántos alumnos hay en el grupo?

Puntos totales

principio: ¿cuánto (o qué cantidad) de un objeto de un tipo cabe en otro objeto

donde el exponente indica el número de

cuadrados con metros cuadrados, y en este caso cubos con cubos.

potencia".

.

23a) 1 296 23 por sí mismo cuatro veces. 24 24a) 63 23

23 ¿Cómo obtuvieron el resultado?

totales de la figura con 4 puntos en la base? b) ¿Y para una figura con 16 puntos en la base?

.

. .

bien, si se trata de

del mismo tipo (cantidad)? En la situación inicial se com-paran metros

expresión se lee "tres elevado a la cuarta

Si el mensaje fue repetido

23 ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el número de puntos

cuando sea el caso, o

Sugerencia didáctica. En este ejercicio se retoma lo que se planteó al

Potencia

veces que la base se toma como factor. La

así sucesivamente hasta que todos se enteraron.

medida de las áreas de los pisos se darán cuenta de que necesitan la de las

compararlas se deben presentar en las mismas unidades: cm2, m 2, etcétera.

alumno. Encontrará la

= 81

Base

23 Rocío comentó a dos compañeros que el próximo jueves habrá un examen. Cada compañero le avisó a otros dos y

Fig. 34.2 Puntos en la base

36

2. a) 4 b) 64 c) 4 = 4 = 4

.

625, 900, 1 202.

áreas de las losetas. Conviene que mencione que para que sea posible

6

Página 229 .

.

cantidad de una (loseta) cabe en cierta cantidad de otra (piso). Al tener la

25

a) 4 = 4 b) 16 = 16

Exponente

23 ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el resultado?

56.25 m2, 81 m2, 108.16

están comparando: longitudes, áreas, volúmenes, etcétera. Así observarán qué

16

5

3

Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas

Sugerencia didáctica. Pida a los estudiantes que analicen las canti-dades que

4

elementos de una potenciación son:

23 34.2.

actividades del libro del

Puntos totales 4 9

3 u 3 u 3 u 3 = 3 . Los

Resuelvo y aprendo

Página 228 23 m2. 24

La potenciación es una operación en la que se multiplica un mismo

Potenciación

Inicio a partir de lo que sé

respuestas a las

Puntos en la base 2 3

0 ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar este último

a) ¿Cuál es el área que debe cubrir en cada uno de los pis os? Piso A =

.

b) Si cada loseta mide 30 u 30 cm, ¿cuántas debe comprar para cada piso?

24 Puede también pensar que es verdadera la expresión m = m 2m.

didácticas.

Se han incluido las

Resuelvo y aprendo

Fig. 34.3

el

Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema. Julián colocará losetas en pis os cuadrados con las dimensiones que se muestr an en la fig ura 34.1.

números naturales y decimales.

En cada etapa de la

Solucionario

BLOQUE 5

Fig. 34.1

Inicio a partir de lo que sé

23 ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el resultado? .

R. M. Multiplicando 6

respuesta

modelo aparecen

6=6=6=6 Multiplicando 2 por sí

mismo cinco veces, más 2 por sí mismo cuatro veces, más 2 por sí mismo tres veces, más 2 por sí mis-mo dos veces, más 2 más 1.

24 2 = 2 2 = 2 = 2 2 = 2 2 1 63

228 © Todos los derechos reservados, Edicio nes Castillo, S. A. de C. V.

228

229

2=2=2=2=2 2=2=

229

© Todos los derechos reservados, Edicio nes Castillo, S. A. de C. V.

las iniciales R. M.

5

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Habilidades digitales

BLOQUE 3

BLOQUE 3

Habilidades digitales

Habilidades digitales

Hacia el final del

Construcción de un pentágono a partir de círculos

Respuestas

23 ¿Qué polígono se forma uniendo los puntos A, B, J, I, K y

A (fig. 3.H.7)?

Sugerencia didáctica. Indique que, siguiendo el procedimiento para trazar un

Traza una recta AB y una recta perpendicular a ella en el punto. Después, dibuja dos circunferencias con radio AB; una con centro en A y otra con centro en B (fig. 3.H.1).

bloque se presentan

Página 165

Página 163

23 Un pentágono regular. 23 540° 24 Para seguir teniendo un pentágono regular, los otros lados deben cambiar con la misma modificación. 25 Los ángulos siguen teniendo la misma medida.

.

pentágono, exploren cómo podrían construir un hexágono a partir de círculos y si es posible hacerlo con otros polígonos regulares.

Respuestas 23 24

sugerencias didácticas y las

El punto E en la imagen. Perpendicular a AB.

Fig. 3.H.7

Fig. 3.H.1 Oculta todos los objetos que no forman parte del polígono y

Traza la recta que pasa por las intersecciones C y D. Marca la intersección E (fig. 3.H.2).

respuestas de esta

obtén las medidas de sus la dos y sus ángulos internos (fig. 3.H.8).

Contesta: ¿Cuál es el punto medio entre A y B?

Contesta:

. ¿Qué tipo de recta es la CD?

23 ¿Cuánto da la suma de sus ángulos internos?

.

sección.

. 24 Si modificas un lado, ¿qué ocurre con lo s otros lados?

.

Fig. 3.H.8

23 ¿Y qué ocurre con los ángulos in ternos?

Fig. 3.H.2

. Marca la intersección F y traza un círculo de radio EF con centro en E. Marca la intersección H (fig. 3.H.3).

Fig. 3.H.3

165

163 © Todos los derechos reservados, Edicio nes Castillo, S. A. de C. V.

163

Ponte a prueba PISA Incluye las respuestas

1 65

BLOQUE 2

Ponte a prueba PISA

Página 115

23 Un escultor quiere poner, como parte de su obra, una escalera como se muestra en el bosquejo siguiente.

Ponte a prueba PISA

Página 114

3 13 0 a) No podrá formarlos. La altura de la obra es de 2 5 m 5 my

...

presentación de envase, de modo que cumpla la s siguie ntes condiciones de empaque: se debe ocupar el mínimo número de

1.

Respuestas

...

0 Una fábrica de yogur, que produce tres sabores diferentes, debe elegir entre dos opciones de producción de una misma

Respuestas

2

cada escalón debe ser de

3m

1

Número de

Sabor

Número de

envases 1 200

700

Prueba PISA.

Sabor

Piña

Piña

Mango

700

Número

Mango

Sabor

Número

de envases

Fresa 400 Número de envases 100 por caja

400 Fresa Número de envases por caja

1200

700

8

400

4 52

Sabor

1224

512

Mango

128 Número de envases

por caja

por caja

ᜀᜀ ᜀᜀ ᜀᜀ ᜀᜀ ᜀ ᜀ ᜀᜀ ᜀᜀ ᜀᜀ ᜀ

Piña

Mango

Fresa

Ā

0 a) Coincidirán de nuevo a los 24 m. 0

0 Al completar una vuelta en una pista la distancia recorrida es de 1500 m. En esa pista el corredor A da una vuelta en 6 min, el

Coincidirán de nuevo a los 7 200 s, es decir, a las 2 h.

corredor B en 8 min y un ciclista completa una vuelta en 150 s. Los tres parten del mismo punto en el mismo sentido y al

1 a) Se pueden hacer 21 bolsas. 0 R. M. Rollo

Gloria

mismo tie mpo. Responde lo siguie nte y justifica tus respuestas.

Ā∀Ġ

Cocadas

Alegrías

Muéganos

Fruta cristalizada

105

115

84

210

de ate

42

126

a) ¿Cuándo será la sig uie nte vez que coincidan los corredores A y B en el mismo punto?

.

¿Cuándo volverán a coincidir después del inicio los corredores y el ciclista?

.

b)

200

Cocadas

160

Ā

Ā

Ā

Ā

Ā

5

1

Ā

Ā

Muéganos 85

Ā

Ā

Ā

0

215

Ā

Ā0

.

cantidades que deben comprar para hacer las bolsas con las cantidades

Ā

Ā

Ā

Ā

ᜀᜀ ᜀᜀᜀᜀᜀ Ā

Ā∀Ġ

Ā

Ā

Ā

Ā

ᜀᜀ Ā

Ā0

a) El pozo de agua, el

bisectriz y la diagonal coinciden.

Al trazar la mediatriz del segmento de recta formado al unir los árboles frutales y la bodega, ésta coincide con el cruce de las

Las

bisectrices

y

mediatrices de un cuadrado intersecan en un punto. Además, el segmento de recta formado por los árboles frutales y la bodega, y el

bisectrices del cuadrado formado por el corral, la casa, el poste de luz y el pozo de agua.

formado por el pozo de agua y el pos-te de luz, miden lo mismo y son paralelos, entonces las media-trices de ambos coinciden.

Muéganos

Fruta cristalizada

115

114 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Alegrías

Ā

5888 .

0

Ā

corral, la casa y el poste de luz forman un cuadrado, por lo que la

0 Al trazar un segmento de recta que sea bisectriz del ángulo formado por el pozo de

.

del inciso a) sin que sobre algún dulce. Cocadas

Ā

Observa el croquis de abajo, el cual representa la distribución que hay en una fin ca. A partir de la información que muestra,

.

Glorias

Ā

m. Si no cambia la altura,

agua, el corral y la casa, coincidirá con el poste de luz.

Completa la tabla que sigue con las

ᜀᜀᜀᜀᜀᜀᜀ

. 1

justifica por qué las siguientes afirmaciones son correctas.

frutas cristalizadas. ¿Cuántas bolsas se pueden hacer con las cantidades mencionadas?

Rollo de ate

Ȁ⤀Ā

Fruta cristaliz ada

23 En cada bolsa, Jessica pone 2 rollos de ate, 6 glorias y 5 cocadas. Luego, Fabián, pone 5 alegrías, 4 muéga-nos y 10

5888

13, entonces

5

Ā

m y requiere 14 escalones según su obra. ¿Podrá

El escultor decide que quiere más escalones, así que reduce la altura de los mismos a 10

¿cuántos escalones podrá formar el escultor? Alegrías 110

Ā

formarlos? ¿Por qué? 0

compraron se muestran en la siguiente tabla. Glorias

Ā

El escultor decide que el alto de cada escalón debe ser de

0 Jessica y Fabián harán una fiesta y regalarán bolsas surtidas de dulces tradicionales mexicanos. Las cantidades que

Rollo de ate 70

m

de envases

Piña

Fresa

Número de envases

1

8

5

0 26 escalones

la opción en la que será posib le acomodar la mayor cantidad de envases por caja.

1 200

13

sólo puede poner 13 escalones.

envases, sin que sobre nin guno. Para cada opción, indica la cantidad de envases que habría en cada caja y marca con una 3

envases

m, pero

5

5

cajas posib le; cada caja debe contener envases de un solo sabor, y todas las caja s deben contener la misma cantidad de

a la sección Ponte a

6

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

11 5

11 4

© Todos los derechos reservados, Edicio nes Castillo, S. A. de C. V.

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

8

1 2 2 5n 2 3 4n

5

1.75 es: 0 8.125 1 8.75 2 9.25 3 9

4 3 5 4n 3 1 Un comerciante que vende chocola tes compra 20 cajas de 100 unid ades en $1500. ¿Cuánto paga por 5 chocolates y cuántos recibe por $3?

0 Por 5 chocolates paga $3.50 y por $3 recibe 3 chocolates. 1 Por 5 chocolates paga $3.75 y por $3 recibe 3 chocolates. 2 Por 5 chocolates paga $3.50 y por $3 recibe 4 chocolates. 3 Por 5 chocolates paga $3.75 y por $3 recibe 4 chocolates.

0 ¿Cuál es el perímetro y el área de una circunferencia cuyo radio mide 1.5 cm?

0 P = 3 S cm, A = 2.25 S cm2 1 P = 1.5 S cm, A = 2.25 S cm2 2 P = 3 S cm, A = 1.5 S cm2 3 P = 1.5 S cm, A = 1.5 S cm2 2

1

1 El siguiente cuadrado tiene un área de 36 cm y el vértice a del triángulo azul se encuentra a 3 de la medida del la do correspondie nte del cuadrado. La base y la altura, en cm, del triángulo verde son, respectivamente:

Ponte a prueba

ENLACE Contiene las respuestas a los reactivos de esta

BLOQUE 5

0 6 y4 1 2 y6 2 6 y2 3 4 y6

255 a

Ponte a prueba 1. La solución a la operación 7

ENLACE

Ponte a prueba ENLACE Página 255

0 La regla que define la sucesió n numérica 7, 12, 17, 22,… es:

0 5n

Respuestas 23 24 a. 25 a. 26 a. 27 d.

a.

evaluación.

255 © Todos los derechos reservados, Edicio nes Castillo, S. A. de C. V.

sugerencias para

la potencia de exponente natural de números naturale s y decimales.

Obtengo la regla general (en lenguaje algebraic o) de una sucesió n con progresión

aritmética. Uso la fórmula s para calc ular el perímetro y el área del cír culo en la resolu ción de

problemas. Resuelvo problemas de proporcionalidad múltiple.

trabajar esta

Coevaluación La siguie nte tabla es para evaluar a cada uno de tus compañeros de equip o. Anota su nombre y responde sí o no a lo s indicadores propuestos. Es muy importante que seas objetivo, pues tus comentarios deben servir

autoevaluación.

para que tu compañero mejo re su desempeño.

Nombre de mi compañero Indicador

Sí

No

Tú le recomiendas…

Se integró el equipo y mantuvo una actitud participativa

Asistió a todas las reuniones acordadas por el equipo.

Mostró entusiasmo en clases y reuniones del equipo. Cumplió en tiempo y forma con las tareas asignadas.

AHORA SÉ

Aportó ideas originales y creativas para la realización de las actividades.

Comunico en forma cla ra y cordial al equipo sus ideas respetando las opinio nes de sus compañeros y estableciendo sus propios puntos de vista.

Ahora sé

Revisen con su maestro, las tablas. Después, en grupo y con el apoyo de su maestro elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su

Autoevaluación

Sugerencia didáctica. En esta última evaluación pida a los alumnos que revisen los comentarios y sugerencias hechos en los bloques an-teriores

desempeño en equipo.

Ahora sé En esta sección se

Marca con una 3 la opción que demuestre tus alcances correspondie ntes a los aprendizajes esperados y

para observar el avance que tuvieron durante el año escolar. Respecto de los contenidos de difícil comprensión, haga un repaso de sumas y restas

responde la pregunta.

con números enteros, problemas de proporcionalidad y cálculo de áreas y perímetros de figuras, incluido el círculo.

¿Lo logré?

Aprendizaje esperado

256

Sí © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

No

proponen algunas

¿Cómo puedo

mejorar?

Resuelv o problemas que implic an el uso de sumas y restas de números enteros.

Uso la notación cie ntífica para realiz ar cálculo s en los que intervienen cantidades

muy grandes o muy pequeñas.

25 6

Resuelv o problemas que implic an el cálc ulo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y

GUÍA RÁPIDA DE GEOGEBRA GeoGebra

Guía rápida de GeoGebra

GUÍA RÁPIDA DE GEOGEBRA

Barra de herramientas

GeoGebra es un software libre de Matemáticas que te permite trazar una gran variedad de figuras geométricas, al tiempo que estudias sus propiedades, pues los trazos se pueden modificar de manera dinámica. Descárgalo sin costo en www.geogebra.org/cms/

Exploración de GeoGebra

Guía rápida de GeoGebra

Página 261 Este botón sirve para colocar un punto en cualq uier lugar de la vista gráfica. Al dar clic en el triángulo pequeño

Página 260

Sugerencia didáctica. Para conocer y familiarizarse con el software también

Sugerencia didáctica. Antes de realizar actividades con el software de

trabajar con los archivos, como crear uno nuevo, guardar, imprimir. Además

geometría dinámica permita a los estudiantes que exploren algunas de las

hay otras herramientas como el teclado vir-tual o tamaño de letra. Haga notar

la siguiente secuencia de la barra de menús: Options, Language, R-Z y Spanish. Una ventana de GeoGebra se ve de la siguiente forma:

funciones. Pida que observen cómo cambia el área de trabajo al elegir alguna

que ahí también se muestran los comandos de teclado con los que pueden

de las opciones del botón “Apariencias” que está en el costa-do derecho. Pida

realizarse funciones como co-piar, pegar o deshacer, entre otras, que son de

que que abran la lista de funciones que hay en cada botón y observen qué

gran utilidad al trabajar.

de

Idioma. Abre la ventana de GeoGebra; si los menús se encuentran en inglés, selecciona

Vista

En éste se localizan todas las herramientas que te permiten construir rectas, segmentos de recta, semirrectas y vectores. En particular, al presionar este botón se puede trazar una recta.

Incluye algunas sugerencias didácticas para comenzar a explorar el software de geometría dinámica.

Este botón sirve para trazar rectas perpendicula res a otra, o a un segmento, o a una semirrecta. También cuenta con un menú que contiene rectas paralelas, perpendiculares, mediatrices, bisectrices y otros tip os de rectas.

En éste se encuentran las herramientas que sirven para hacer polígonos regula- res e irregulares.

efecto realiza cada una. Además de explorar los botones de herramientas, solicite que hagan cambios en la “Vista gráfi-ca”, por ejemplo, quitar y poner

rápida

invertido encontrarás herramientas para cons-truir puntos libres, puntos de intersección y puntos medio s.

pida que revisen el menú principal. Ahí encontrarán las op-ciones que tienen al

ejes o cambiar la escala de proporción entre ellos, etcétera.

Por su parte, de este botón se despliega un menú que contiene las herramientas para construir circunferencias, semicircunferencias, arcos y sectores circulares.

Vista

En cambio, con este botón puedes construir una elipse a partir de tres puntos. Además, en su menú hay herramientas para construir otros tipos de curvas.

gráfica

algebraica

Guía

También es importante pedir a los alumnos que evalúen el trabajo docente en el aula, ya que la responsabilidad del proceso enseñan-za-aprendizaje es compartida.

Con tu maestro

Ahora sé

Página 256

Este botón muestra las herramientas que permiten medir longitudes, ángulos, áreas.

Vista Gráfica. Esta vista será tu zona de trabajo. Aquí es donde se construyen figuras

Este botón sirve para ref lejar un objeto en una recta. Con el menú que tiene se pueden trasladar las figuras, rotarlas o ref lejarlas. Este botón tiene como función insertar texto. Algunas de las herramientas que encontrarás son: “Insertar imágenes” o “Lápiz”.

geométricas, se colocan puntos, se hacen rectas y segmentos de recta, se trazan ángulos, etcétera. Vista Algebraica. En esta sección se encuentra la representación algebraica de todos los

Con este botón se puede insertar un deslizador en la vista gráfica. Y con las herramientas del menú que contiene podrás agregar botones, campos de texto y agregar o quitar texto.

elementos de la vista gráfica. Barra de herramientas. A continuación se muestran los botones de algunas herra-

Con este botón puedes mover la hoja de trabajo. Además de que aquí se encuen-tran las herramientas para alejar o acercar las figuras.

mientas de GeoGebra, cada una tiene un triángulo pequeño invertido: si das clic en alguno, aparecerán otras herramientas. Las funciones de los botones que aparecen en la barra de herramientas son:

Otros botones que se encuentran en la barra de herramientas y que suelen ser muy útiles son: Deshacer y rehacer acciones.

Con este botón se pueden seleccionar y mover elementos dentro de la zona de

funcionamiento de las

herramientas.

257 26 0

Ayuda para conocer el Propiedades.

Explora las herramientas de GeoGebra. Practica tus conocimientos de geometría con este programa.

trabajo. Al dar clic en el triángulo pequeño invertido encontrarás las herramientas que permiten mover elementos, rotarlos o registrar valores en una hoja de cálculo.

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261

258 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

7 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

El trabajo con secuencias didácticas U

na secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.

Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares relacio-nados con dicho aprendizaje. En esta fase es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situa-ción problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alum-nos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen los libros. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conoci-mientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.

En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro del aprendizaje esperado.

De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.

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Evaluación

La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA. En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.

Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta eva-luación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial. En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y compe - tencias adquiridas.

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Recursos digitales para el docente L

a propuesta de Ediciones Castillo tiene en cuenta que los docentes requieren una diversidad de recursos para la en-señanza y, por esto, presenta una oferta variada y flexible en distintos soportes. Así, para apoyarlo en sus tareas de planeación y evaluación, le sugerimos el uso de los siguientes Recursos digitales para el docente:

5888 Planificador editable por libro. Es la versión digital del “Avance programático” incluida en la guía del maestro. Su formato permite personalizar los datos de la escuela, el grupo y la asignatura. Funciona en cualquier sistema operativo y puede guardarse en su equipo e imprimirse. Adicional a la articulación entre el contenido de los libros, la dosificación y el currículo de secundaria, se incluyen sugerencias didácticas y recomendaciones de libros, películas y páginas de internet. Al presentar estos elementos de manera vinculada, se facilita la labor del docente, puesto que se ven el contenido, el aprendizaje esperado, el tiempo aconsejado, las páginas del libro, las sugerencias didácticas y las recomendaciones de otros recursos, por bloque.

Generador de exámenes. Genera exámenes bimestrales y finales para cada asignatura, lo que brinda otros medios para evaluar a los alumnos y los familiariza con dicha evaluación. De manera sencilla, el docente puede generar exámenes seleccionando los reactivos que considere adecuados para el grupo. En éstos se incluye un espacio para que los alumnos registren su nombre, grupo y la fecha. Pueden imprimirse en dos versiones: para el alumno y para el maestro, en la que se marca la respuesta correcta de cada reactivo.

5889

Además, los Recursos digitales para el docente incluyen el primer bloque del libro del alumno en formato digital para que el profesor revise su estructura y conozca la propuesta didáctica; la Guía para el maestro puede descargarse e imprimirse para trabajar en clase las sugerencias incluidas, y recomendaciones de ligas vinculadas con los contenidos de cada bloque.

Visite el Centro de Recursos Digitales para docentes; donde encontrará las herramientas anteriores y otras más: www.edicionescastillo.com/CRD_secundaria.html

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Avance programático Bloque 1 Semanas

Eje

Tema

Secuencia

Contenido

Páginas

1y2

escribir el mismo Números y sistemas de número numeración 2. Fracciones, decimales y la recta numérica Problemas aditivos 3. Fracciones más,

pensamiento

1

algebraico

1. Dos maneras de Conversión de fracciones decimales y no decimales a su

2y3 y numérico

4. ¿Cuál sigue? Patrones y ecuaciones

medida

Forma,espacioy

7y8

8y9 9 y 10

Manejodelainformación

6y7

una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al 5. Fórmulas y figuras considerar las literales como números generales con los que es posible operar. 6. Con regla, escuadra Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego

4y5 5y6

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más

fracciones menos de una operación de suma y resta de fracciones. Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de

Sentid o

3y4

18-23

escritura decimal y viceversa.

Figuras y cuerpos Proporcionalidad y funciones Nociones de

y compás de geometría. 7. Rectas y puntos Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, notables del triángulo mediatrices y bisectrices en un triángulo. 8. El que parte Resolución de problemas de reparto proporcional. y reparte

24-28 29-32

33-37

38-42 43-48 49-56 57-61

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro

9. Juguemos un poco de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles. Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba , Ahora sé. probabilidad

ENL

62-66

ACE

67-73

11 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

Bloque 2

11 y 12

Eje

Tema

Números y sistemas de numeración

ypensamiento

10 y 11

algebraico

Semanas

Secuencia

Contenido

11. Divisores y

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5.

10. ¿Divide o no?

Distinción entre números primos y compuestos.

fracciones y los Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo

Problemas aditivos

múltiplos que se

común divisor y el mínimo común múltiplo.

Problemas

14 y 15

Manejo información

Medida funciones Proporcionalidad y

86-89

división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Resolución de problemas geométricos que impliquen el

90-93

uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Justificación de las fórmulas de perímetro y área de

94-99

de lados iguales polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras. otra también? Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad

100-105

combinan 13. Fracción de una Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y fracción

15. Marcos de madera

distancia

16. Si una cambia, ¿la

de la

15 y 16

16 y 17

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81-85

números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

14. A la misma Figuras y cuerpos

76-80

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan

decimales se

multiplicativos Forma,espacio

14

Patrones y ecuaciones

ymedida

13

numérico

12 y 13

Sentido

comparten 12. Cuando las

Páginas

ENL

directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

ACE, Ahora

sé.

106-110

111-117

Bloque 3 Eje numéricoypensamientoalgebraico

Semanas 17 y 18

Tema

Sentido Forma, información

21 y 22

22

Figuras y cuerpos

24 y 25

Proporcionalidad y funciones

la

24

cada día

20. ¿Comó lo construyo?

informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

120-124

125-129

130-134

135-140

21. Áreas y Medida

Nociones de

Manejo de

23

Páginas

la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. 18. Entre decimales Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo te verás convencional. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y Patrones y ecuaciones 19. El número resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; desconocido ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c, números naturales, decimales o fraccionarios. Construcción de polígonos regulares a partir de distintas

espacio y

20 y 21

medida

19 y 20

Contenido

17. Los decimales de Resolución de problemas que impliquen Problemas multiplicativos

18 y 19

Secuencia

probabilidad Análisis y

perímetros de polígonos regulares 22. Ampliar o

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

141-145

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación

reducir

sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

146-150

23. La anticipación verificación al realizar el experimento y su registro en una 151-156

de resultados

tabla de frecuencias. 24. Lectura de la Lectura y comunicación de información mediante el uso de

representación de datos información Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba

ENL

tablas de frecuencia absoluta y relativa. , Ahora sé.

157-162

ACE

163-169

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Eje Sentidonuméricoysistemasde

Semanas

numeración

Bloque 4

25 y 26

Tema

y Forma,espaciomedid a

Contenido

Páginas

Números y sistemas de 25. Hacia adelante o Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la

numeración

26 y 27

Secuencia

Figuras y cuerpos

utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. 26. Pistas para trazar Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio,

172-176

hacia atrás

una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan

circunferencias condiciones dadas.

177-181

27. Longitud de la Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la 27 y 28

Medida

28 y 29

30 y 31

31

32

informació n

29 y 30

funciones

Manejo de la

Proporcionalidad y

probabilidad

Nociones de

Análisis y representación de datos

circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). circunferencia y el Explicitación del número (pi) como la razón entre la longitud área del círculo de la circunferencia y el diámetro. 28. Donde hay tres, Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o hay cuatro

29. ¿De qué tamaño Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de 30. ¿De cuántas proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. era? Resolución de problemas de conteo mediante diversos formas...? procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Lectura de información representada en gráficas de barras 31. Información en y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de gráficas estudios sencillos, eligiendo la epresentación gráfica más adecuada.

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fraccionarios.

ENL

ACE, Ahora

sé.

182-187

188-192

193-197

198-203

204-208

209-215

Bloque 5 numéricoypensamiento

32 y 33

Eje algebraico

Semanas

Tema Problemas aditivos

Problemas multiplicativos Sentido Forma,espacio

Manejo información

36 y 37

ymedida

35 y 36

grande y lo pequeño que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz

Patrones

34. ¿Cuánto mide el lado? cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. 35. ¿Cuál es la regla? Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de

y ecuaciones Medida

una sucesión con progresión aritmética. 36. Problemas de área y Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del

funciones

Proporcionalidad y

Páginas

32. Enteros más, enteros Resolución de problemas que implican el uso de sumas y

perímetro del círculo círculo en la resolución de problemas. y cambia allá

37. Cambia aquí

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

218-222

223-227

228-233

234-239

240-245

246-250

de la

37 y 38

Contenido

menos restas de números enteros. 33. Notación científica: lo Uso de la notación científica para realizar cálculos en los

33 y 34

34 y 35

Secuencia

38

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ENL

ACE, Ahora

sé.

251-256

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Bloque 1

Aprendizajes esperados 0 Convierte números fraccionarios

Competencias que se favorecen 5888 5889 5890 5891

Resolver problemas de manera autónoma. Comunicar información matemática. Validar procedimientos y resultados. Manejar técnicas eficientemente.

a decimales y viceversa. 1 Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. 2 Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

Conceptos principales S1 Fracción decimal, fracción irreducible, número decimal periódico. S2 Recta numérica, escala, fracciones intercaladas. S3 Suma y resta de fracciones. S4 Sucesiones, elemento de una sucesión, progresión aritmética, progresión geométrica. S5 Literales, operaciones con literales, expresión algebraica, área, perímetro. S6 Triángulos, cuadriláteros. S7 Alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.

S8 Proporción, reparto proporcional. S9 Juegos de azar, procesos aleatorios.

Los juegos de azar son juegos en los que ganar o perder no dependen de la habilidad del jugador.

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16

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de los estudios de la escuela primaria, en el primero y el segundo contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas que emplean números fraccionarios. Por otra parte, el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una

regularidad matemática que exige un nivel mayor de abstracción para el estudiante. La simbolización comienza con el contenido en el que las

literales corresponden a números generales. Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados al trazado de las figuras más elementales y al de las líneas y puntos

notables del triángulo, construcciones que, por sí mismas, son importantes dentro de la geometría pero que, además, resultan prácticas e indispensables para abordar construcciones más complejas, como se

verá en los siguientes bloques. Manejo de la información. En este bloque los contenidos son introductorios a los temas de este eje: por una parte, la proporcionalidad

se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de

probabilidad comienzan con la identificación y práctica de juegos sen-

cillos de azar.

17 17

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S1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

1

de

SECUENCIA

Inicio a partir de lo que sé Organícense en parejas para subrayar la fracción que corresponde al peso que se muestra en cada báscula de la figura 1.1.

Antecedentes

•

Ideas erróneas 5888

escribir el mismo número Dos maneras

0Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y vicever-sa. Aproximación de algunas fracciones no decimales mediante la notación decimal.

•

Algunos alumnos podrían pensar equivocadamente

equivalente y de esa manera hacer la conversión a su escritura

Inicio a partir de lo que sé 85

Página 18 Primera báscula:

100

Segunda báscula:

a) 0.5 kg

10

De fracción decimal a notación decimal y viceversa 1. a)

13 100 111

100 0

= 0.13 L = 1.11 L

13 = 1.3 L

65 = 0.65 L

10

100

9 = 0.09 L 100

El denominador indica cuántas veces se mueve el punto decimal hacia la izquierda. Si éste es 10, el punto se mueve un lugar hacia la izquierda. Si es 100, dos lugares, etcétera.

18

• 6 kg

85 kg 1000

•

6 kg 1000

100 1

kg de tortilla?

.

2

Compartan sus resultados con otras parejas.

Resuelvo y aprendo

kg

Resuelvo y aprendo

6 kg 10

•

100

a) ¿Qué cantidad aparecería en la pantalla si se pesara

6 kg

• 85 kg

Fig. 1.1

que cualquier fracción puede expresarse como una fracción decimal decimal.

85 kg 10

De fracción decimal a notación decimal y viceversa 0 En equipos resuelvan los siguientes incisos. 0.0 En la figura 1.2 se muestra la cantidad promedio de lluvia que cayó durante un día en diferentes regiones de un estado. Conviertan cada fracción decimal a notación decimal (pueden auxiliarse de una calculadora). Educación ambiental para la sustentabilidad La cantidad de lluvia que cae en una región se mide como la altura que tendría el agua 2 precipitada sobre 1 m . Aprovechar el agua de lluvia en el jardín, inodoro y lavado de ropa puede reducir hasta 50 % el uso del agua potable en un hogar. Fuente: http:// www.edutics.mx/49Y (8/11/13).

65 L

13 100

L

13 10

100

L

111 L 100

9L 100

Fig. 1.2 t ¿Qué relación hay entre cada denominador de las fracciones y las correspon-

dientes cifras decimales que obtuvieron? .

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18

BLOQUE 1

3.29 m =

m

Página 19 329

Una fracción decimal

0 Expresen cada medida de la figura 1.3 como fracción decimal (simplifíquenla cuando sea posible). 0.06 m =

es aquella que su denominador es 10, 100, 1000, etcétera.

m

b) 3.29 =

0.06 =

6

3 =

100 50 0.053 = 53 1 000

100

15.9 = 159 10

• Los numeradores se obtienen al multiplicar el número deci-mal por un múltiplo de 10 de tal modo que no tenga una parte decimal. El denominador será el múltiplo de 10 que se utilizó. 15.9 m =

m

0.053 m =

Por ejemplo: 3.29 × 100 ζ 329, por tanto, 3.29 = 329 ; 100 0.06 × 100 = 6, de ahí que 0.06 = 6

m

.

100

Fig. 1.3

t ¿Cómo obtuvieron los numeradores de las fracciones decimales?

Integración 0 a) Para convertir una fracción decimal a un número decimal se es-cribe el numerador y se recorre el punto a la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador.

.

Integración

2. En grupo, con ayuda del docente, completen los siguientes procedimientos. a) Para convertir una fracción decimal a un número decimal, se escribe el recorre el

a la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador.

b) Para convertir un número decimal a una fracción, se toma como decimal y como

23 Para convertir un número decimal a una fracción se toma como numerador el número decimal y como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

y se

el número

un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga

el número.

3. a) • 7 = 0.7 10

Validen la actividad 1 a partir de los procedimientos que acaban de completar.

• 73 = 0.73 100

• 101 = 0.101 1 000

4 Se obtuvieron fracciones decimales.

0 En equipos resuelvan los siguientes incisos. 0Realicen las multiplicaciones indicadas y conviertan las fracciones resultantes a nota-ción decimal.

Sugerencia didáctica. Indique que las fracciones propias son aque- llas

en las que el numerador es menor que el denominador. Si se les expresa como número decimal son mayores que 0 y menores que 1. 7 = = 2!5 = 73 = 2!2!5!5 t 101 = = 2!2!2!5!5!5 t ¿Qué tipo de fracciones obtuvieron? t

5

10

t

.

0 Completen las fracciones equivalentes y obtengan los respectivos núme-ros decimales. t 4 = = t 3 = 75 = t 7 =

Dos fracciones son equivalentes si

=

representan la misma

cantidad, pero se escriben distinto.

b) • 4 = 8 = 0.8 • 3 = 75 = 0.75 • 7 = 35 = 0.35 5 4 20 10

100

19

100

19

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SECUENCIA 1

Página 20

4 Simplifiquen las siguientes fracciones hasta donde sea posible. t 14 = t 6 = 35 48 t 12 = t 14 = 90 12 t 12 = t 18 = 21 40

Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para simplificar algunas de las fracciones, indíqueles que inicialmente dividan entre valores pequeños y que repitan el procedimiento hasta ob-tener una fracción irreducible.

14 c) • 7 = 2 35 5 7

•

t ¿En cuáles de las fracciones que obtuvieron los denominadores pueden expre-

= 1

sarse como una multiplicación de factores 2 y/o 5 solamente?

8

48

.

2×3 14 • 2 =7 12 6 2

12

• 2×3 =2 90 15 2×3 12 • 3 = 4 21

6 2×3

t ¿Cuáles de las fracciones que obtuvieron pueden expresarse como fracciones

Integración

18 Una fracción irreducible es

• 2 = 9

7

3 9 • 2, 1 y . 5 8 20

2

= 10

4

,

8

1

=1

125

000

Para que una fracción no decimal irreducible sea equivalente a una fracción decimal, es necesario

que su denominador pueda expresarse como la multiplicación de factores Validen la actividad 3 a partir del enunciado que acaban de completar.

9

, 20

= 100

45

a)

.

8 = 5

m

58

Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos la idea errónea 1.

3

−30

0

20

b)

7 = 0.35 m 20

únicamente.

0 En equipos obtengan en notación decimal las longitudes de cada tubo realizando las divisiones hasta que el residuo sea 0 (fig. 1.4).

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Integración 0 2 o 5. 8 = 1.6 m 1 .6 5. a) 5 8.0 −5 5

En

grupo, con ayuda del docente, completen el siguiente enunciado.

simplificarse.

2

0 Las fracciones de la respuesta anterior, es decir,

5

ᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀ̀̀ĀȀ⸀ĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀ0

aquella que no puede

20

40

.

decimales?

0. 35 20 7.00 −6 0 1 00

− 1 00 0

0

b)

1m

7 = 20

m

20 7

0

1m Fig. 1.4

20

2m

[Continúa]

BLOQUE 1 c)

3= 8

Página 21

m 8

3

c) 0

3 = 0.375 m 8

1m Fig. 1.4 [Concluye] .

t ¿Cuál de las fracciones dadas puede simplificarse?

t ¿Cuál de las fracciones dadas puede expresarse como fracción decimal? .

0 Ninguna de las fracciones se puede simplificar. 1 Todas las fracciones se pueden expresar como fracción deci-mal. 2 Todas.

t ¿En cuáles de las fracciones dadas los denominadores pueden expresarse como .

una multiplicación de factores 2 y/o 5 únicamente?

Integración

Integración 256 2 o 5.

0 En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y completen el enunciado.

7. a) 1 = 0.333 m 3

Un número decimal que tiene una cantidad limitada de cifras decimales se llama número decimal exacto. Una fracción irreducible decimal exacto

puede convertirse si su denominador

puede expresarse como la multiplicación de factores

en un

0. 3 7 5 8 3. 0 0 0 −2 4 60 −5 6 4 0 −40 0

b) 5 = 0.833 m 6

número

únicamente.

Validen la actividad 5 a partir del enunciado que acaban de completar.

0 En equipos obtengan en notación decimal los diámetros de cada rueda realizando las divisiones hasta el número decimal indicado (fig. 1.5). a) Hasta milésimos

Las tres primeras cifras a la derecha del punto decimal corresponden a los décimos, centésimos

b) Hasta milésimos

31

6

0 milésimos:

5

3.257

Milésimos

Centésimos

Décimos

0m= 0

5

m=

6

Fig. 1.5

21

[continúa]

21

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SECUENCIA 1

Página 22

c) 3 = 0.272727 m

c) Hasta seis cifras decimales

d) 17 = 1.416666 m

11

12

11 3

• Que los números de la parte decimal se repiten: en la fracción 1 3 se repite el número 3 y en la fracción 3 se repite la pareja de 11

números 27.

d) Hasta seis cifras decimales 12 17

0m = 23

• Que los primeros números de la parte decimal no se repiten 5 pero los que siguen sí, por ejemplo, en la fracción el núme-

6

17

ro 8 aparece una vez en la parte decimal y después se repite el número 3, y en la fracción

17

12

m=

12

la pareja de números 41 apa-

Fig. 1.5 [Concluye]

rece una sola vez y luego se repite el número 6.

t ¿Qué característica tienen en común las partes decimales de los números deci1 y 3 ? 11 3

Integración 0 a) punto 0 repiten, repiten.

5 y 17 ? 12 6

males correspondientes a

. t ¿Qué característica tienen en común las partes decimales de los números deci-

males correspondientes a

.

Integración Te invito a…

23 En grupo, con ayuda del docente, analicen el siguiente texto y completen las definiciones.

visitar la página http://

www.edutics.mx/4LX en la que podrás reforzar los temas trabajados en esta secuencia (30/06/13).

22

Los números decimales cuya parte decimal se repite siguiendo un patrón, llamado periodo, se denominan números decimales periódicos. El periodo se representa con un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

2 = 0.6 3

15 = 1.36 11

31 = 2.583 12

23 Se dice que un número decimal es periódico puro (por ejemplo: 0.376) cuando hay una o más

cifras que se repiten inmediatamente después del

más cifras despuésValiden del puntoladecimal que 7noa se actividad partir de las definiciones que acaban de completar. cifras que sí se

.

23 Se dice que un número decimal es periódico mixto (por ejemplo: 0.4713) cuando hay una o

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22

BLOQUE 1

Consolido mis aprendizajes

Consolido mis aprendizajes De manera individual haz lo que se te pide en la siguiente actividad.

ᜀ ᜀ ᜀ ᜀ ᜀ ᜀ‫܀‬

ᜀ ᜀ ᜀ ᜀ ᜀ ᜀ࿿

ĀĀȀĀ Ā Ā Ā Ā Ā ĀȀЀĀȀĀ ⸀Ȁ ⤀ĀĀĀȀĀ Ā Ā Ā Ā Ā Ā1024 scribe en la pantalla de cada báscula de la figura 1.6 los respectivos pesos en notación decimal.

Página 23

E

Sugerencia didactica. La actividad 1 es una variante de la inicial, pero más compleja. Se espera que los alumnos hagan las conversiones utilizando los métodos estudiados. La actividad 3 no se resuelve a partir de una mera aplicación de los procedimientos aprendidos, pues en ella, para obtener el perímetro, los alumnos deberán utilizar sus nue-vos conocimientos como una herramienta adicional.

1. 9 = 1.125 kg

Fig. 1.6

8

0 Calculen el perímetro de los polígonos de la figura 1.7 (expresen los resultados con números decimales y con fracciones). 1

7

3m

3 10 m

9.36 m 5 1

1.78 m

broca. Pieza metálica

0 El señor González necesita comprar cuatro brocas con las siguientes medidas:

0.4375 pulgada

0.375 pulgada

0.0625 pulgada

25

m

5

Fig. 1.7

61 = 2.44 kg

2.Polígono azul: 2 1 + 2 1 + 9.36 + 9.36 = 23.38666 m = 1 754 m 3 3 75 Polígono verde: 3 7 + 5 1 + 2.83 + 1.78 = 13.51 m = 1 351 m 10 5 100 Ȁ⤀ĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀ

Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.

2

17 = 0.85 kg 20

0.125 pulgada

para hacer orificios cuando se coloca en una herramienta mecánica, como un taladro.

ᜀĀᜀЀĀȀ⸀ĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀ ᜀĀᜀĀᜀĀ0

a)

0.4375 = 10

4 375

000

= 16

7

Al llegar a la ferretería le muestran una plantilla con las medidas disponibles (fig. 1.8).

0.375 = 1

Medidas fraccionarias desde 1 hasta 1 de pulgada 2

16 27

13

32

64

25

3 8 7

7

29

64

16

31

15

32

1

5

3

16

64

32

64

23 64 1

9

8

64

11 32 5

32

21

5

64

16

pulgada. Unidad de

2

64

19 64

11

3

13

7

64

16

64

32

9 32 15

17 64

64

4

a 2.54 cm.

1

Fig. 1.8

0 ¿Cuáles fracciones corresponden a las medidas de las brocas que necesita el señor

González?

000

=8

1

longitud que equivale

64

375

.

Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.

0.0625 = 10

3

625

000 = 16 125 1 0.125 = 1 000 = 8

1

23 23

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S2 Representación de números

fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Antecedentes 0 Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera.

1 Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales.

Ideas erróneas

1

1. Es frecuente que los alumnos piensen que es un número mayor 8 que 14 porque 8 es mayor que 4.

0 Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 o 7 son mayores que 6. 1 Es probable que algunos alumnos piensen que una vez definida la posición de dos números se puede determinar la de un tercero de manera arbitraria.

y la recta numérica Fracciones, decimales

SECUENCIA

2

jarra medidora. Utensilio de cocina empleado en la medida de líquidos o ingredientes en polvo.

0 ¿En cuál de las siguientes rectas hay más elementos para ubicar la fracción de la figura 2.2? Resuelvo y aprendo

Inicio a partir de lo que sé Formen parejas

1

para

1

marcar

3

en la línea de la jarra medidora de la figura 2.1

5

los

números 2 4 , 0.5, 2 y 4 a) ¿Cuáles cantidades coincidieron al marcarlas? ,

2 tazas

.

b) ¿Entre cuáles marcas habría que colocar la de Compartan sus resultados con otras parejas.

. 7 ?

4

.

1

Fig. 2.1

3 2

0

1

Representación de números en la recta numérica 0 En equipos realicen lo que se les solicita.

0

2 Fig. 2.2

0 ¿Qué ventajas encuentran en la recta que eligieron respecto a la otra?

.

Inicio a partir de lo que sé Página 24

Integración 0 En grupo, con ayuda del docente, ordenen los siguientes pasos para dibujar una recta numérica. ) Se representan otros números tomando como escala la distancia entre el 0 y el 1.

Sugerencia didáctica. Analice con los alumnos la situación inicial y pregunte cómo pueden colocar cada uno de los números dados. Para ello se puede dividir la unidad (en este caso 1 taza) en partes iguales, tantas como indique el denominador, y después colocar el valor co-rrespondiente en el numerador.

) Se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el 0. ) Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al 1.

Validen la actividad 1 a partir del procedimiento que acaban de obtener.

24 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

24

BLOQUE 1

(Continúa de la página 24)

Fracciones en la recta numérica Formen equipos para resolver las siguientes actividades.

2 tazas

0 En la siguiente recta numérica el segmento que va del 3 al 5 está dividido en partes iguales. Anoten las fracciones correspondientes a los puntos señalados.

a) 3 2

5 3

5

4 Integración

0.5 =

0 En grupo, con ayuda del docente, utilicen las palabras numerador o denominador para completar el procedimiento. o

o

1

0

Sugerencia didáctica. Si se presentan las ideas erróneas 1 o 2, discútan-las en grupo.

Validen la actividad 3 a partir del procedimiento que acaban de obtener.

0 La dirección de una escuela organizó la competencia de atletismo “Mente sana en cuerpo sano”. En la competencia de salto de longitud Carlos saltó 15

2

.

2 Se consideran las partes que indica el

7 4 m y Pedro 2 m. Marca en la recta el punto donde cayó cada uno a partir

de lo que saltaron las dos competidoras mostradas en la figura 2.3.

2

1

1 4

.

1 Para ubicar fracciones, se divide cada entero en tantas partes como indica el

1 = 0.5

Educación para la salud Los beneficios del deporte a la salud física y mental son innumerables:

3

4 Entre y 2 tazas. 2

aumenta la circulación

sanguínea, mejora el aprovechamiento del oxígeno que le llega al organismo, contribuye

Resuelvo y aprendo

a la pérdida del 1 4 m

3 1m 4

4

Fig. 2.3

.

a) ¿Quién saltó más lejos: Carlos o Pedro?

23 ¿En cuántas partes iguales dividieron el segmento que va de 3

car el salto de Carlos?

1

sobrepeso, aumenta la sensación de bienestar,

disminuye el estrés… Fuente: http://www. edutics.mx/49G (8/11/13).

1 4 a 4 4 para ubi-

.

2

3

y

5

3

23a) Respuesta libre (R. L.). En cualquiera de las dos rectas hay suficientes elementos para ubicar la fracción de la figura 2.2.

23

R. L.

Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos expongan ante el grupo las ventajas que encontraron en la recta que eligieron para que los demás las contrasten con las suyas.

23 Elijan en cada una de las siguientes rectas un punto distinto para el 0 y luego ubi-

quen las fracciones

Representación de números en la recta númerica

.

Integración 23 El orden correcto, de arriba hacia abajo, es 3, 1, 2.

1

1

25 25

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

SECUENCIA 2

Página 25

23 Comparen sus resultados con los de otro equipo. ¿Marcaron las fracciones en

los mismos puntos?

Fracciones en la recta númerica 1 1 5 23 De izquierda a derecha: 3 2 , 4 6 , 4 6 .

.

512⸀ĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀ̀̀ĀȀ⸀ĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀЀĀȀ⸀Āᜀ

Integración 23 1° denominador.2° numerador. 5. A

Pedro

. ¿Por qué ocurrió esto?

ĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀ∀ĠᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀĀᜀ Representen 7

Carlos

5

en la siguiente recta numérica las fracciones 3 y 2 . Comparen sus resultados con otros compañeros.

D

15 1 7 1 4 4 2 4 4 a) Carlos. b) Respuesta modelo (R. M.). En dos partes iguales. 6. R. L.

3

0 Expliquen el procedimiento que emplearon para ubicar la fracción

0 Por medio de fracciones equivalentes ordenen de menor a mayor las fracciones 9

8 , 7 3

6

y

2

0

fracciones equivalentes?

iguales, y luego contar 7 divisiones para ubicar la fracción.

8. Las fracciones equivalentes son 9 = 54 , 8 = 80 7 = 35 y ,

30

6

a)

5

2

3

8 3

30

6

30

.

7

9

5

6

5

2

2

3

.

Comparen sus respuestas y procedimientos con otro equipo.

la recta, después dividir ese segmento en 9 partes

30

1

0 ¿En la recta numérica se conservó o cambió el orden que obtuvieron con las

23R. M. Un procedimiento consiste en ubicar el 0 y el 3 en

5

.

5 .

0 Ubiquen en la recta numérica las fracciones dadas.

23 No necesariamente, pues existen muchas otras soluciones que también son correctas. 23R. L.

2

,

5

Página 26

= 75 , por lo tanto, 7 < 9 < 5 <

3 .

.

Sugerencia didáctica. Si se presenta la idea errónea 3, comente con los alumnos que una vez que se establece la unidad de medida (distancia del 0 al 1), queda determinada la separación entre cada par consecutivo de números naturales.

5

7

8

9. Marquen en la recta B una fracción que sea mayor que Te invito a… visitar la página electrónica http:// www.edutics.mx/Zio. Elige Matemáticas 1 y ve a las preguntas 3 y 4, las cuales te ayudarán a reforzar lo trabajado en esta secuencia. Además, podrás trabajar con

2

1 3

. Luego, marquen en la recta C dos fracciones mayores que

3 menores que

2 . 3

Recta A

1 3

pero menor que 1 3

pero que sean

2 3

2

4

Recta B 6

6

Recta C

1

2

actividades interactivas

(30/06/13).

0

1

3

2

a) ¿Hasta cuántas fracciones se pueden intercalar entre las fracciones

3

?

y 3

3

Justifiquen su respuesta.

23El orden fue el mismo que con las fracciones equivalentes.

26

. © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

26

BLOQUE 1 3 (Continúa de la página 26) 9. Por ejemplo, en la recta B se puede colocar la fracción . En la

Integración

6

10. En grupo, con ayuda del docente, completen el siguiente párrafo. Para encontrar una fracción entre dos fracciones de valores distintos, hay que obtener y

fracciones equivalentes a las fracciones conocidas, pero con denominador luego elegir alguna cuyo numerador sea

4

recta C los recuadros morados corresponden a las fracciones 12 y 8 , de ahí que, por ejemplo, las fracciones 5 y 6 sean 12

mayores que

que el de la fracción menor, pero

4

12

y menores que

8

12

12

12

.

a) Una infinidad de fracciones, pues se puede repetir el

que el de la fracción mayor.

proceso de las rectas A, B y C tantas veces como se desee. Validen las actividades 8 y 9 a partir del texto que acaban de completar.

Página 27

Números decimales en la recta numérica

Integración 23 mayor, mayor, menor.

0 Ubiquen en los tubos de vidrio, en notación decimal, las fracciones que se dan.

a)

b) 18

4 10

c) 68

cl

10

cl 1 cl

d)

2 cl

1 cl

11. a) 4 cl b) 18 cl

616 cl

cl

100

10

1000

0.7 cl

10 1 cl

0.62 cl

0.7 cl

0.6 cl

1 cl

0 cl

0.4 cl

0.61 cl 0.6 cl

. ¿Cuál es el mayor

1 cl

0 cl

0.61 cl

0.6 cl

0.61 cl

12.

.

número decimal que marcaron?

0.62 cl

e) El menor es 616 = 0.616 y el mayor es 18 = 1.8. 1 000 10

0.61 cl

Fig. 2.4

e) ¿Cuál es el menor número decimal que marcaron?

1 cl 0.7 cl

68 cl d) 616 cl 100 1 000 0.7 cl 0.62 cl 0.68 0.616

0.6 cl

0.62 cl

0 cl 0 cl

2 cl 1.8 cl

c)

0 Nicolás participó en una carrera. Cuando había recorrido 3.7 km, Ulises y Marco habían recorrido la distancia indicada en la recta. Ubiquen la posición de Nicolás en ese momento.

2.9 km Marco

2.9 km Marco

3.7 km Nicolás

4.1 km Ulises

4.1 km

Ulises Fig. 2.5

27 27

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

SECUENCIA 2

Página 28

23 Ubiquen los números 1.44 y 2.13 en cada una de las siguientes rectas.

2.13

13. 1

2

1.4 4 1.4 4

1

2

1

3

2.13

1

3

23

23 Porque la unidad de medida no es la misma en las dos rectas.

Expliquen por qué se ven en diferente posición los respectivos

números que colo-caron en las rectas.

Consolido mis aprendizajes Consolido mis aprendizajes

1.

De manera individual haz lo que se te pide en la siguiente actividad. 6

1. Marca

6

de taza en la jarra medidora de la figura 2.6.

5

3

2 3 1.33 m 1.21 m

2.

2 3

Luis 1.57 m

Fig. 2.6

1.33 m

Fig. 2.7

Organizados en equipos de tres integrantes resuelvan lo siguiente.

1. 21 m

23 Luis mide 1.57 m. Ubiquen en la figura 2.7 su estatura de acuerdo con la de sus hermanas. 24 Una pelota es lanzada desde el 0 (fig. 2.8). Ésta avanza en cada rebote la mitad de lo que avanzó en el anterior. Marquen en la recta la fracción que corresponde al cuarto rebote.

3. 1 16 0

1 2

0

Fig. 2.8

1

Cuarto rebote

Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.

28 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

1

2

28

1

3

menos más,

SECUENCIA

S3 Resolución y planteamiento de

Inicio a partir de lo que sé

problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Formen parejas para resolver el siguiente problema. Un carpintero apilará las tablas que se muestran en la figura 3.1. 5888

pulgada

12

4 pulgada

5 2 3

Antecedentes

pulgada Fig. 3.1

a) ¿Qué altura tendrá la pila de tablas?

Fracciones equivalentes. Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con núme-ros fraccionarios. Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con deno-minadores diferentes.

.

b) ¿Qué fracciones con denominador igual utilizaron para calcular la altura de la pila?

. c) Si se apilara una cuarta tabla con un grosor de

7

Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios.

pulgadas, ¿qué altura tendría la pila?

24

.

Ideas erróneas

Compartan y comenten sus resultados con otras parejas.

En una suma o resta de fracciones algunos alumnos pueden sumar o restar, por una parte, los valores del numerador, y por otra los del denominador para obtener los valores de cada

Resuelvo y aprendo

Problemas de fracciones

elemento, lo cual es un procedimiento incorrecto.

Formen equipos para resolver los problemas siguientes.

Inicio a partir de lo que sé

0 En la figura 3.2 se muestra un terreno en el que se siembran flores de cuatro colores.

0

2 m2

3

5

10

m2

Sugerencia didáctica. Para solucionar el problema es necesario hacer varias sumas, por lo que se recomienda verificar que en cada caso se

m2

efectúe correctamente la conversión necesaria para obtener el mismo

10

denominador y poder así sumar las fracciones. Es posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador.

Fig. 3.2

En caso de que aparezca la idea errónea 1 será conveniente analizarla.

0 ¿Qué área ocupan conjuntamente las flores de color rojo y las de color rosa? apilar. Colocar un objeto sobre otro.

25

. b) ¿Qué área ocupan conjuntamente las flores rojas, blancas y rosas?

.

c) Si el área del terreno es de 2 m2, ¿qué área ocupan las flores amarillas?

.

Expliquen el procedimiento que emplearon para responder la pregunta anterior.

.

a) 12pulgadas ,

b) 7 10 y 8 12 12 12 c)

57

24 =

19 8 pulgadas

29 29

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

4

SECUENCIA 3

30 (Continúa de la página 29)

La carpa, la trucha y la tilapia son especies de peces comestibles que pueden reproducirse en ambientes controlados por los humanos.

Resuelvo y aprendo Problemas de fracciones

b) 7 = 1.4 m2

1. a) 1 m2

c) 2 − 7 = 3 = 0.6 m2

5

5

5

Se toma el área total del terreno y se le restan las demás áreas.

Educación económica financiera La producción y cultivo de peces es una alternativa para el sector pesquero, pues ayuda a disminuir la explotación de recursos marinos, además de generar nuevas fuentes de empleo. Fuente: http://www.edutics. mx/49N (8/11/13).

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que para

Tabla de figuras musicales

facilitar los cálculos se puede utilizar el resultado del inciso b.

Sonido Silencio Valor 1

Página 30

1 2

a) R. M. La mitad.

1 4

Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden obtener fracciones cerca-nas

a

1 8 1 16

la última, lo cual no es incorrecto, pues se le pide una

1 32

aproximación. b) 1 +

1

3

1 64

= 8

5

c) 1 =

15

3

15

d) 7 . R. L. 15 3. a) 1 + 1 = 2 , 1 + 1 = 2 8

8

8

16

16

5y 1 = 3 5

.

1+ 1 = 2

,

16

32

Educación artística Con la educación artística se desarrollan habilidades, actitudes, hábitos y comportamientos benéficos. Es un medio de interacción, comunicación y expresión de sentimientos y emociones, lo que propicia la formación integral de los individuos.

15

32

.

32

b) Porque, de izquierda a derecha, se tiene: 2 16

1 1 1 1 4 1 2 8 4 +2 +8 +4 =8 +8 +8 +8 = 8 = 4 ,

1 + 1 + 2 + 2 + 8

1

16

32

8

1 4

+ 2 + 1+ 16

16

1 16

= 2+ 16

+ 1 + 4 + 4 + 2 + 1 + 1 = 16 = 4 , 16 16 16 16 16 16 16 16 4 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 2 = 4.

tinada a la carpa y a la trucha? líneas divisorias de modo que agrupen figuras que al sumar sus valores 4 d) ¿Qué fracción del estanque den está. asignada a la tilapia? 4

con su aproximación?

En un estanque se cultivan tres tipos de peces de acuerdo con la distribución que se muestra en la figura 3.3.

A partir de la tabla de figuras musicales completa las siguientes fracciones.

1

Tilapia

Carpa: 5

1

Trucha: 3 Fig. 3.3

a) Aproximadamente, ¿qué fracción del estanque está destinada a la tilapia?

a)

.

=

Coloquen en la siguiente línea musical

¿Qué fracción del estanque está asignada conjuntamente a la carpa y a la trucha?

.

1 + 2 + 1 = 4 4 8 2 4

Comparen y comenten sus resultados y procedimientos con otro equipo. Determinen si es posible llenar la jarra de la figura 3.4 con las dos botellas de agua. Argumenten su respuesta en su cuaderno. 65 L

39 L

100

50

1

1

L

2

¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular la fracción del estanque des-

Fig. 3.4 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

30

BLOQUE 1

(Continúa de la página 30)

En la figura 3.5 se muestran los cambios que ha tenido un tinaco en su contenido durante tres días. a) ¿Qué fracción del tinaco quedó ocupada el miércoles?

No es posible llenar la jarra de agua con esas dos botellas: .

65 + 39 = 65

Fracción al inicio

de la semana

Expliquen su procedimiento.

100 50

3

2

5 1 3

4

Fracción usada el lunes

Fracción llenada Fracción usada

en miércoles

Fig. 3.5

. Karla va al mercado y compra la cantidad de fruta que se muestra en la figura 3.6.

11

5 6 kg

=

143

<

150 100

2

Página 31

5. a) 3 − 2 − 1 + 1 = 45 − 24 − 20 + 30 = 31 b) Se toma la fracción al principio de la semana ( 3 ) y se le restan 4 las fracciones que se utilizaron el lunes ( 2 ) y el martes ( 1 ). 4

1 6 kg

7

78

1

el martes

4 kg

+

100 100 100

5

3

2

60

60

60

60

5

1 1 kg 8

Fig. 3.6

60

3

Por último, se suma la fracción que se llenó el miércoles.

6. a) Las uvas pesan un poco menos de 1 kg y las manzanas un poco Las uvas y las manzanas juntas tienen un peso aproximado de 2 kg.

más de 1 kg, de ahí que juntas pesen aproximadamente 2 kg. b) Aproximadamente 2 kg. Las fresas pesan un poco más de 0.5 kg y

Justifiquen esta afirmación sin realizar la suma de los pesos.

los mangos un poco más de 1.5 kg, de ahí que juntos pesen apro-

.

ximadamente 2 kg. c) Aproximadamente 4 kg.

Te invito a…

Den un peso aproximado, en kilogramos, de las fresas y los mangos juntos.

visitar la página http://

Jus-tifiquen su respuesta.

www.edutics.mx/4L8 en la que podrás los reforzar el tema trabajado en esta .

c) Aproximadamente, ¿cuánto pesan en total las frutas? d) ¿Cuál es el peso total exacto de las frutas?

Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen la calculado-ra para responder el siguiente inciso.

secuencia (30/06/13).

7 531

.

. Comparen este peso con el

peso aproximado que obtuvieron.

a) 8 3

Luis ha recorrido las distancias mostradas en la figura 3.7.

9

Lunes

3

1

2

km

Martes

2

4

.

a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido durante los tres días? b) ¿Cuánto le falta para recorrer 9 1 km?

= 4.075 kg

848

2

km

km

.

Miércoles

1

3

km

2

5

6

km

Fig. 3.7

31 31

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SECUENCIA 3

Página 32

Integración En grupo, con ayuda del docente, redacten como mínimo cinco recomendaciones para resolver problemas de suma y resta de fracciones.

Integración Por ejemplo: Obtener un valor estimado del resultado. Determinar qué fracciones se suman. Determinar qué fracciones se restan. Realizar las operaciones con un método experto. Sumar o restar la parte entera por un lado y la parte fracciona-ria por otro.

.

1 3 pulgada 7 pulgada

Consolido mis aprendizajes

4

6

De manera individual contesta la pregunta de la siguiente actividad.

Consolido mis aprendizajes 1. 5 pulgadas 12 155 2. a) 8 4 m2 126 3 155 b) No, porque = < 2

84

84

3. a) Como 78 4 + 55 9 + 65 7

10

En la figura 3.8 se muestran dos tablas que son fijadas con un clavo a una pared. ¿Cuántas pulgadas penetró el clavo en la pared?

. Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.

10 pulgada

3

2. Ramón ha pintado fracciones de una pared en diferentes momentos del día según se muestra en la figura 3.9. a) Si la pared tiene una superficie de 8 1 m2, ¿cuánto le falta

. 3 5

+ 59 1 = 1817 = 259.57 < 260, 2

4 por pintar?

7

el elevador sí puede cargar a las cuatro personas juntas.

2 18

7

b) Si la pintura que le queda alcanza para pintar 3 m2, ¿podrá

R. L.

13

6 m

.

Fig. 3.8

pintar toda la pared? Justifiquen su respuesta.

Fig. 3.9

Sugerencia didáctica. Verifique que los alumnos diseñen problemas en

.

los que utilicen todas las fracciones que se presentaron en cada inciso.

65

3. En la figura 3.10 se muestra un elevador cuya carga 78 4 kg

10 kg

.

+

185 + 57

19

19

b) 3 + 3 — 4 8 4 6

Fig. 3.10

c) 1 7 — 1 — 5 12

3

4

Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.

32 32

kg

1 59 2 kg

Para cada una de las siguientes operaciones escriban en sus cuadernos un problema que se resuelva con ellas. a) 5 19

3

5

7 máxima es de 260 kg. Determinen si el ascensor podrá cargar a las cuatro personas juntas. Justifiquen su respuesta. 55 9

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m2

5 2 3 m

2

¿Cuál sigue?

SECUENCIA

4 S4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Inicio a partir de lo que sé En parejas respondan las preguntas correspondientes a la figura 4.1. a

4 generación: Tatarabuelos a

3 generación: Bisabuelos a

2 generación: Abuelos

a

1 generación: Padres

Tú

Antecedentes

Fig. 4.1

a) ¿Cuántos bisabuelos te corresponden en tu ascendencia? ascendencia. Antepasados de una persona.

b) ¿Cuántos tatarabuelos te corresponden en tu ascendencia?

• Identificación y regularidad de

. .

aplicación sucesiones

de la de nú-

meros o figuras que tengan progresión aritmética o geométrica, así

como sucesiones especiales.

Compartan y comenten sus resultados con otras parejas.

• •

Construcción de sucesiones a partir de la regularidad. Resolución de problemas que implican identificar la regularidad de

sucesiones con progresión aritmética, geométrica o especial. Resuelvo y aprendo

Regla general de una sucesión

Formen equipos para resolver lo siguiente. Una sucesión numérica es una lista ordenada de números que cumplen una regla dada y que cada uno de ellos se llama término.

Inicio a partir de lo que sé

Posición

Entrada

8 16

1. Escriban a la izquierda de la figura 4.2 los Regla: El número

cinco primeros términos de la sucesión numérica según la regla dada. . a) ¿Cuál es el 9º término de la sucesión?

de la posición se multiplica por 4 y al resultado se le suma 5. Salida

Fig. 4.2

Resuelvo y aprendo

. ¿Cómo lo obtuvieron?

Regla general de una sucesión . ¿Para obtener el término 17 de la sucesión es necesario calcular los términos anteriores? Justifiquen su respuesta.

9, 13, 17, 21 y 25. 41 Se multiplica 9 por 4 y al resultado se le suma 5. No, pues basta con aplicar la regla: (17 × 4) + 5 = 68 + 5 = 73.

.

33 33

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SECUENCIA 4

Página 34 2. 1o 2o 7o 11o 15o 26o

2. Escriban al lado izquierdo de la figura 4.3 los términos indicados.

1 4 49

1o 7o

121 225 676

o

15

2oo

11

26

Posición

Entrada

Regla: El número de la posición se multiplica por sí mismo.

o Salida

Fig. 4.3

Escriban los primeros 5 términos de la sucesión cuyo primer número es 2 y cual-quier otro número se obtiene multiplicando el anterior por 3.

2, 6, 18, 54, 162. R. M. Sí, pues la regla dada no está expresada a partir de la posi-ción del número.

. ¿Para obtener el 7º término es necesario calcular los términos anteriores? Justifi-

quen su respuesta.

Sugerencia didáctica. Tal vez los alumnos respondan que es

.

nece-sario conocer los términos anteriores, lo cual hasta cierto Comparen y comenten sus resultados con otro equipo.

punto es correcto ya que aún no han estudiado las potencias de un número. Si lo considera conveniente, puede indicarles que la regla

A partir de la figura 4.4 formen una sucesión de 5 figuras de modo que cada nuevo término tenga 4 cuadrados más que el anterior, dos a los lados y los otros arriba y abajo.

de la sucesión es 2 × 3 n–1 , donde n es la posición del elemento que se quiere conocer y, así el 7o término es 2 × 36 = 1 458.

La figura dada junto con las cuatro siguientes forman la sucesión pedida: Fig. 4.4

Cuenten los cuadrados que hay en cada figura y con los números que obtengan

formen una sucesión numérica:

5, 9, 13, 17, 21. Integración Una regla general de una sucesión es una ley que permite obtener los términos de una sucesión. 3.4, 4.6, 5.8, 7, 8.2, 9.4, 10.6, 11.8.

5. En grupo, con ayuda del docente, expliquen qué es una regla general de una sucesión y qué ventaja se tiene al conocerla.

Una progresión aritmética es una

sucesión en la que cualquier término, excepto el primero, se obtiene sumando o restando una cantidad fija (llamada diferencia) al término anterior.

34 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

.

Integración

34

.

6. Escriban los primeros 8 términos de la progresión aritmética en la que el número de la posición se multiplica por 1.2 y al resultado se le suma 2.2. .

BLOQUE 1 a) Obtengan la diferencia entre cada pareja de términos consecutivos. . b) ¿Cuál es el término 23?

.

7. Respondan las preguntas para cada regla dada. a) Regla: Al 58 se le resta 4 veces la posición del número. .

t ¿Cuáles son los seis primeros términos?

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cualquier término, excepto el primero se obtiene multiplicando por una cantidad fija (llamada razón) al término anterior.

.

t ¿Qué tipo de progresión se forma? t ¿La progresión es ascendente o descendente? Justifiquen su respuesta.

.

t ¿Cuáles son los seis primeros términos? t ¿Qué tipo de progresión se forma?

.

La razón es 4.

Una sucesión es ascendente si cualquier término,

Obtención de una regla general de una sucesión

excepto el primero, es mayor que el anterior.

a) • Ascendente Descendente Ascendente Ascendente Ascendente • La diferencia es 4. La diferencia es 6.

Una sucesión es descendente si cualquier término,

t ¿La progresión es ascendente o descendente? Justifiquen su respuesta.

excepto el primero, es menor que el anterior.

. ¿Cuál es la diferencia o razón?

.

Elijan un equipo para que exponga sus resultados ante el grupo.

Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos respondan que la diferencia es 6, lo cual es aceptable pues aún no han estudiado núme-ros negativos.

Obtención de una regla general de una sucesión Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas para las sucesiones que se dan.

La razón es 2. • La diferencia es 6 . • La razón es 3. c) • Progresión aritmética • Progresión aritmética • Progresión geométrica • Progresión aritmética • Progresión geométrica

¿La sucesión es ascendente o descendente? ¿Cuál es la diferencia o razón? ¿Es una progresión aritmética o geométrica? ¿Cuáles son los términos 6º, 7º y 8º? Expresen verbalmente una regla general. t 7, 11, 15, 19, 23,… t 45, 39, 33, 27, 21,… t 4, 8, 16, 32, 64,…

t

Es descendente porque cada término, a excepción del pri-mero, es menor que el anterior.

Es una progresión ascendente porque cada término, a excep-ción del primero, es mayor que el anterior.

.

Regla: El primer término es 3 y cualquier otro se obtiene multiplicando el térmi-no anterior por 4.

La diferencia es 1.2. 29.8 a) • 54, 50, 46, 42, 38, 34. Es una progresión aritmética.

La diferencia es 4. • 3, 12, 48, 192, 768, 3 072. Se forma una progresión geométrica.

.

t ¿Cuál es la diferencia o razón?

Página 35

2

1 , 5 , 7 , 3 , 11 ,…

2 6 6 2 6 t 2.1, 6.3, 18.9, 56.7, 170.1,…

Cada equipo elija una de las sucesiones anteriores y exponga en el pizarrón sus respec-tivas respuestas.

35 35

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

SECUENCIA 4

(Continúa de la página 35) d) • 27, 31, 35. • 5, 9, 3. • 128, 256, 512. • 13 , 5 , 17 . • 510.3, 1 530.9, 4 592.7. e) 6

2

Escriban debajo de cada figura el número de puntos que la forman.

6

• El primer término es 7 y cualquier otro se obtiene sumándole

4 al término anterior. • El primer término es 45 y cualquier otro se obtiene restándo-le 6 al término anterior. • El primer término es 4 y cualquier otro se obtiene

Fig. 4.5

a) ¿Qué tipo de progresión se formó con los números que escribieron?

multipli-

pun-tos de cualquier figura. .

cando por 2 al término1anterior.

• El primer término es 2 y cualquier otro se obtiene sumándole 2 al término anterior. 6

• El primer término es 2.1 y cualquier otro se obtiene multipli-cando por 3 al término anterior.

Página 36 De izquierda a derecha: 6 , 11, 16, 21. Una progresión aritmética. El primer término es 6 y cualquier otro se obtiene sumándole 5 al término anterior. 46

10.

.

Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de

Posición Número

1a 2

2a 7

3a 12

4a 17

5a 22

6a 27

Diferencia

5

5

5

5

5

5

La primera figura tiene 2 fichas y las siguientes tienen 5 más con respecto a la anterior.

c) ¿Cuántos puntos tendrá la 9ª figura?

.

A partir de la siguiente sucesión de figuras completen la tabla.

Fig. 4.6 Posición de la figura

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6a

Número de fichas de dominó Diferencia o razón del número de fichas entre dos figuras consecutivas

Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de fichas de cualquier figura de la sucesión. .

A partir de la siguiente sucesión de figuras completen la tabla.

Fig. 4.7

11.

Posición de la figura

Posición Número

1a 1

2a 3

3a 9

4a 27

5a 81

6a 243

Razón

3

3

3

3

3

3

1º

2º

3º

4º

5º

6º

Número de triángulos rojos Diferencia o razón del número de triángulos rojos entre dos figuras consecutivas

Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de

La primera figura tiene un triángulo rojo y las siguientes tienen el triple con respecto a la anterior.

36

trián-gulos rojos de cualquier figura de la sucesión. .

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36

BLOQUE 1

Consolido mis aprendizajes

Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual retoma la actividad inicial y determina el número de ascendentes familiares

para las generaciones 9 y 13.

Página 37

.

Generación 9: 512 Generación 13: 8 192 Regla 1: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. Regla 2: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. Las sucesiones son iguales.

Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente. Obtengan los primeros 10 términos de las sucesiones determinadas por las siguientes reglas: Regla 1. El primer término de la sucesión es 5 y cualquier otro se obtiene sumando 3 al término

anterior.

.

Regla 2. El número de la posición se multiplica por 3 y al resultado se le suma 2.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que el resultado an-terior indica que una misma sucesión se puede obtener con distintas reglas de formación.

. ¿Cómo son entre sí las sucesiones que obtuvieron en sus dos respuestas anteriores? .

3, 8, 13, 18. Es una progresión aritmética. 5 El primer término es 3 y cualquier otro se obtiene sumándole 5 al término anterior. 1, 5, 25, 125. Es una progresión geométrica. El primer término es 1 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 5 al término anterior. 15 625

Escriban debajo de cada figura el número de cuadrados verdes que la forman. a) ¿Qué tipo de progresión se obtuvo? b) ¿Cuál es la razón o diferencia?

. .

Fig. 4.8

Expresen verbalmente una regla que permita conocer el número de cuadrados verdes que tiene cualquier figura de la sucesión. . Escriban debajo de cada figura el número de pentágonos rojos que la forman. a) ¿Qué tipo de progresión se obtuvo?

.

Fig. 4.9

Expresen verbalmente una regla que permita conocer el número de pentágonos rojos que tiene cualquier figura de la sucesión. . c)

¿Cuántos pentágonos rojos tendrá la 7ª figura?

.

37 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

37

SECUENCIA

Fórmulas y figuras

S5 Explicación del significado

5

de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

Antecedentes Construcción de las fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de un rectángulo. Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos.

Ideas erróneas Es posible que algunos alumnos piensen que en determinadas fór-mulas sólo se pueden utilizar ciertas literales. Esto es falso, pues algunas de ellas se usan por convención o por costumbre.

Inicio a partir de lo que sé Formen parejas para contestar las siguientes preguntas. ¿Cómo se calcula el perímetro del marco de la figura 5.1? .

78 cm Fig. 5.1

l Fig. 5.2

78 cm

l

Si el marco fuera de 72 cm de lado, ¿cómo se obtendría el perímetro? . ¿Cómo se obtendría el perímetro si los lados midieran 57 cm? .

.

d) ¿Cómo se representa el perímetro del marco de la figura 5.2?

Resuelvo y aprendo

Perímetros Resuelvan en equipos las siguientes actividades.

Inicio a partir de lo que sé

1. En la figura 5.3 se muestra una cancha de basquetbol. ¿Cuál es su perímetro?

Página 38 Se suman las medidas de todos los lados del marco: 78 + 78 + 78 + 78. De la misma manera: 72 + 72 + 72 + 72. De la misma manera: 57 + 57 + 57 + 57. l+l+l+l.

28 m

.

Expresen verbalmente cómo se calcula el perímetro de un rectángulo. . b) Escriban debajo de cada cancha las operaciones necesarias para calcular su perímetro.

15 m

Sugerencia didáctica. No se espera que los alumnos obtenga la ex-presión 4l, pero sí que obtengan la suma l + l + l + l.

Fig. 5.5

y P=

105 m Fig. 5.4

38 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

38

P=

Fig. 5.3 x

68 m

BLOQUE 1

Resuelvo y aprendo

Tachen las expresiones que no corresponden al perímetro de un rectángulo.

t 2x + 2y

t 2(x + y)

t 2x – 2y

t x+y+x+y

Perímetros

Analicen y comenten el siguiente texto.

86 m 2 veces el largo más 2 veces el ancho. Fig. 5.4: 105 + 105 + 68 + 68 Fig. 5.5: y + y + x + x

Te invito a… visitar la página electrónica http:// www.edutics.mx/Zio. Elige Matemáticas 1 y ve a las preguntas 7 y 8, las cuales te ayudarán a reforzar lo trabajado en esta secuencia. Además, podrás observar un video y trabajar con

Una expresión algebraica es aquella que representa cantidades mediante la combinación de números, letras y signos. Con ellas podemos traducir expresiones del lenguaje habitual al lenguaje matemático.

Calculen el perímetro de los triángulos de la figura 5.6.

7 cm

9m 11 dm

3 cm

2x − 2y Triángulo morado: 3 + 7 + 8 = 18 cm

actividades interactivas

9m

Triángulo rojo: 11 + 11 + 4 = 26 dm

(30/06/13).

11 dm

8 cm

Página 39

Triángulo verde: 9 + 9 + 9 = 27 m

9m

P=

P=

4 dm

Se suman las medidas de los tres lados. Triángulo rojo: a + b + c unidades. Triángulo azul: d + d + r Triángulo naranja: m + m + m

Fig. 5.6

P=

Cometa de la izquierda: 72 + 72 + 35 + 35 Cometa de la derecha: a + a + b + b

¿Cómo se obtiene el perímetro de cualquier triángulo? .

La medida de sus lados, a la del lado más largo, y b la del lado más corto.

Para cada triángulo de la figura 5.7, obtengan una expresión algebraica que repre-sente su perímetro.

Fig. 5.7

d a

d

c

m

m

r b

P=

m P=

P=

Escriban debajo de cada una de las cometas de la figura 5.8 operaciones que permitan calcular su perímetro.

35

cm

b cm

72 cm

¿Qué representan las letras a y b a

en la cometa de la derecha?

cm

Fig. 5.8

.

39 39

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SECUENCIA 5

Página 40

Para cada papalote de la figura 5.9, escriban dos expresiones algebraicas diferentes con las que puedan calcularse los respectivos perímetros.

Hexágono regular: a + a + a + a + a + a = 6 × a = 6a

a

Octágono regular: b + b + b + b + b + b + b + b = 8 × b = 8b

b

Integración 5. Figura

Fórmula del perímetro

Expresión verbal de la fórmula El perímetro del

P = 2a + 2b

rectángulo es igual a la suma del doble del ancho y el doble del largo.

a b

l c

P=

P=

P=

Fig. 5.9

Comparen sus respuestas con otro equipo.

El perímetro del P = 4l

P=

Integración

rombo es igual a cuatro veces la longitud de uno de sus lados.

En grupo, con ayuda del docente, analicen el siguiente texto y luego completen la tabla. Las expresiones 3 u a, 3a y 3(a) son formas diferentes de representar tres veces a.

Figura

Fórmula del perímetro

Expresión verbal del la fórmula

El perímetro de un a

d b

P=a+b+c+d

a

cuadrilátero es igual a la suma de las longitudes de los lados.

b

El perímetro de un

P = 5l l

pentágono regular es igual a cinco veces la longitud de uno de sus lados.

d b a

l

Validen las actividades 1 a 4 con las expresiones que acaban de obtener.

40

40 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

BLOQUE 1

Página 41

Áreas Resuelvan en equipos las siguientes actividades. Expresen verbalmente la manera de obtener el área de las puertas de la figura 5.10. Fig. 5.10

270 cm

Sugerencia didáctica. En las actividades de esta sección se solicita a los alumnos que expresen en forma algebraica y en forma verbal el procedimiento o fórmula para hacer cálculos de áreas y perímetros, de esta manera se pretende que el alumno identifique las literales con números generales. También se propicia el uso de literales arbi-trarias para representar cantidades. Los diferentes procedimientos para encontrar una misma respuesta dan lugar al manejo de expre-siones algebraicas equivalentes.

Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área de un rectángulo es A = b u h, la cual proporciona la cantidad de unidades cuadradas que hay en él.

h

a

b

185 cm .

.

Escriban una expresión algebraica para el área de la puerta de la derecha.

Banderín de Brasil:unidades cuadradas2 Banderín de Argentina: mn unidades cuadradas 2

h

m y

Banderín de México: xy 2cm2

deducirse a partir de un rectángulo.

A = b uh

Escriban las operaciones necesarias para calcular el área de cada banderín (fig. 5.11). x

31 × 65

de un romboide puede

.

65 cm

Puerta café: se debe multiplicar 185 cm por 270 cm. Puerta blanca: se debe multiplicar a por b. A = ab.

Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área

b

31 cm

Áreas

Integración c) Números.

b

n

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que las letras que representan números se llaman literales. Comente la idea errónea 1 y aclare que una literal puede ser la letra que se desee, pero algunas se utilizan más frecuentemente que otras por costumbre. Por ejemplo, se utiliza la letra h para referirse a la altura de un rectángulo, y b para su base.

Fig. 5.11

A=

A=

Comparen sus respuestas con otro equipo.

Integración

A=

Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área del triángulo puede obtenerse de otra figura cuya área sea conocida. A=

buh

2

En grupo, con ayuda del docente, elijan la opción correcta. ¿Qué representan las letras en las fórmulas? a) Sonidos b) Operaciones c) Números

h b

41 41

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SECUENCIA 5

Consolido mis aprendizajes

Consolido mis aprendizajes

Página 42

1. De manera individual escribe la fórmula para calcular el área de un cuadrado cualquiera y explícala con el lenguaje habitual.

Si el lado del cuadrado mide l, la formula es A = l × l. Multiplicar la medida de uno de sus lados por ella misma.

.

2.

Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.

3

Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área del trapecio puede obtenerse de otra figura cuya área sea conocida.

3

A=

las que su perímetro pueda calcularse con 4a.

(B + b)

uh

La fórmula a) corresponde con el área del trapecio, la b) con la del rombo, y la c) con el romboide.

Marquen con 3 las figuras cuyo perímetro pueda calcularse con 2a + 2b, y con 3

2

h B

Fig. 5.12

Relacionen las columnas escribiendo en cada recuadro la letra que le corresponde según la fórmula.

b

p c) A = p × q

a) A =

b) A = B × b

(M + m) u r

2

2

q

B

b) A = B u b

m

2

r

b

M

a) A = (M + m) × r 2

Como aprendiste en grados anteriores, la fórmula para el área del rombo puede obtenerse de otra figura cuya área sea conocida.

A=Dud 2

a) Romboide: el área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura.

c) A = p u q

Fig. 5.13 Escriban en lenguaje coloquial el significado de cada una de las fórmulas anteriores.

Romboide: d

Trapecio: el área del trapecio se calcula multiplicando la suma de la base mayor y la base menor por la altura, y el resultado se divide entre 2.

D

. Trapecio: . Rombo:

Rombo: el área del rombo se calcula multiplicando la diagonal

.

mayor por la diagonal menor, y el resultado se divide entre 2. Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.

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42

SECUENCIA

6 S6 Trazo de triángulos y

Inicio a partir de lo que sé

cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Formen parejas para resolver la siguiente actividad. En una hoja blanca tracen con la escuadra y el cartabón un rectángulo de 12 cm de base y 7 cm de altura. Comparen sus procedimientos con otras parejas.

regla,

Antecedentes Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos triángulos.

Resuelvo y aprendo

Trazo de triángulos Formen equipos para resolver lo siguiente. Con su juego de geometría tracen sobre la figura 6.1 un triángulo ABC de modo que el lado AB mida 9 cm; el ángulo con vértice en A, 52° y el lado AC, 6 cm.

Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (la-dos, ángulos, diagonales, ejes de simetría).

Problemas que implican el uso de las características y propiedades de triángulos y cuadriláteros.

Inicio a partir de lo que sé Página 43 R. M. Para trazar el rectángulo primero se traza un segmento de 12 cm, A

Con la escuadra y el cartabón puedes trazar rectas paralelas y perpendiculares.

Fig. 6.1

a) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice B?

.

b) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C?

.

después, desde uno de sus extremos se traza un segmento perpendicular. El segmento anterior se prolonga hasta medir 7 cm. Se traza otro segmento perpendicular al que mide 7 cm y en la misma dirección que el segmento

c) Considerando la medida de los ángulos, el triángulo que trazaron es

.

Midan los lados y ángulos de los triángulos de la figura 6.2 (escriban sobre cada triángulo las medidas que obtengan).

inicial; este último se prolonga hasta medir 12 cm y, del punto donde termi-na, se traza un último segmento que forme el rectángulo.

Resuelvo y aprendo

Fig. 6.2[Continúa]

Trazo de triángulos 1. a) Aproximadamente 41.7°. b) Aproximadamente 86.3°. c) Acutángulo

C Notación Los grados se simbolizan con un círculo pequeño (°) que se coloca junto al valor del ángulo.

6 cm 9 cm

B

43 43

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SECUENCIA 6

(Continúa de la página 43)

Fig. 6.2

[Concluye]

Sugerencia didáctica. Las respuestas pueden variar hasta por un grado pues el transportador no permite determinar décimas de grados.

2. Isósceles acutángulo Medidas aproximadas 47°

6 cm

Isósceles rectángulo Medidas aproximadas 45°

6 cm

Con su juego de geometría tracen estos triángulos en una hoja blanca. Comprueben que los triángulos que trazaron son iguales a los originales colocan-do la hoja blanca sobre los triángulos del libro. Anoten sobre cada triángulo el tipo de triángulo que es según la medida de sus lados.

7 cm

Anoten en cada triángulo el tipo de triángulo que es según la medida de sus ángulos.

5 cm

66.5°

66.5°

90°

Escriban debajo de las figuras 6.3 a 6.6 en qué consiste cada paso. Efectúen los tra-zos en sus cuadernos.

45°

5 cm

Página 44 Isósceles acutángulo Medidas aproximadas 4.3 cm 67° 5.7 cm 67°

46° 5.7 cm

Escaleno rectángulo Medidas aproximadas 57° 6.8 cm

Fig. 6.3

Fig. 6.4

2°

1°

3.7 cm 90°

.

33°

.

5.7 cm

R. L. Sugerencia didáctica. Guíe a los alumnos en el procedimiento: primero se traza un lado del triángulo (de preferencia el horizontal); des-

Fig. 6.5

indicados y se prolongan hasta obtener la longitud requerida.

.

a) Considerando la longitud de los lados, el triángulo trazado es

b), c) y d) R. L.

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Fig. 6.6

4°

3°

pués, desde sus extremos se trazan los otros lados con los ángulos

44

. .

BLOQUE 1

(Continúa de la página 44) 1o Se traza un segmento con la ayuda de una regla.

Mediante un procedimiento similar al de la actividad anterior, tracen en una hoja blanca un triángulo cuyos lados sean iguales a los siguientes segmentos.

2o Se apoya el compás en un extremo del segmento, con una abertura igual a la longitud del segmento, y se traza un arco de circunferencia. 3o Se repite el paso 2o, pero ahora desde el otro extremo.

4o Se unen los extremos del segmento con el punto de intersec-ción de los arcos. equilátero.

Comprueben con la regla graduada que los lados del triángulo que trazaron miden lo mismo que los segmentos originales. a) Considerando la longitud de los lados, el triángulo es

.

Página 45 4.

Ordenen las siguientes imágenes de manera que obtengan un procedimiento para copiar un ángulo.

Es un triángulo escaleno. 5.

Figuras 6.7

1

2

3

4

5

6

a 6.12

Comprueben con el transportador el procedimiento que obtuvieron.

45 45

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SECUENCIA 6

Página 46

Utilicen el procedimiento de la actividad anterior para trazar sobre el segmento AB un triángulo ABC con ángulos iguales a los ángulos dados.

C

6.

Fig. 6.13

A

B

40°, aproximadamente. 80°, aproximadamente. Es un triángulo acutángulo.

.

b) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C?

.

.

Comprueben que los ángulos del triángulo que trazaron son iguales a los originales.

ser menor que 15.2 cm y mayor que 9.7 cm, entonces puede tener

Respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas (justifiquen su respuesta).

infinidad de medidas, por ejemplo, 9.8 cm, 9.9 cm o 9.85 cm.

¿Cuántos triángulos pueden trazarse con un lado de 14 cm y un ángulo de 68°?

¿Cuántos triángulos distintos pueden trazarse si se sabe que el lado mayor mide 15.2 cm y que el lado menor mide 9.7 cm? Corten una tira de papel de 9 cm, una de 5 cm y otra de 3 cm. ¿Es posible formar un triángulo con ellas? Corten una tira de papel de 9 cm, una de 5 cm y otra de 7 cm. ¿Es posible formar un triángulo con ellas?

No, no es posible. Al tratar de unir las tiras no se unen dos de sus extremos. Sí, sí es posible unir todos los extremos de las tiras de papel.

Integración ( 8 ) Cuando se conocen las medidas de sus 3 ángulos.

Integración

( 8 ) Cuando se conocen las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado. ( 9 ) Cuando se conocen la medida de dos lados y el ángulo com-prendido entre ellos.

En grupo, con ayuda del docente, marquen con 3 las condiciones con las que se construye un

único triángulo, con 3 las condiciones con las que se puede construir más de un triángulo y deja vacío si no se puede construir ningún triángulo. ( ) Cuando se conocen las medidas de sus tres ángulos. ( ) Cuando se conocen las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado.

( 9 ) Cuando se conocen la medida de un lado y sus ángulos adyacentes.

( ) Cuando se conocen la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es menor a la medida del lado restante. ( 9 ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es mayor a la medida del lado restante.

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a) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice B?

c) Considerando la medida de los ángulos, el triángulo que trazaron es

Se pueden trazar tantos triángulos como se desee. El tercer lado debe

46

B

B

a) Se pueden trazar tantos triángulos como se desee. Primero se traza el segmento de 14 cm y desde uno de sus extremos se traza otro segmento que forme un ángulo de 68°. A continuación se une el extremo del último segmento con el otro extremo del seg-mento de 14 cm, pero el segundo que se trazó puede tener la medida que sea, entonces pueden trazarse tantos triángulos como uno desee.

(

A

A

( ) Cuando se conocen la medida de un lado y sus ángulos adyacentes. (

) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es menor a la medida del lado restante.

(

) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es mayor a la medida del lado restante.

Validen las actividades 1 a 7 con las condiciones anteriores.

46

BLOQUE 1 Trazo de cuadriláteros

Página 47

Formen equipos para las siguientes actividades.

Trazo de cuadriláteros (Medidas aproximadas)

Midan los lados y ángulos de los cuadriláteros de la figura 6.14 (anoten sobre cada uno las medidas correspondientes).

3.7 cm 73o

Te invito a… visitar la página http:// www.edutics.mx/4uL en la que encontrarás más información sobre el trazo de triángulos y cuadriláteros (30/06/13).

3.7 cm

7.3 cm 67o

o

103 107o 3.7 cm73o

107o 3.7 cm

4.2 cm

4.2 cm

67o

103o 7.3 cm

R. L. Sugerencia didáctica. Si observa dificultad al trazar los cuadriláte-ros, comente con los alumnos que pueden comenzar por trazar uno de los segmentos, desde cada uno de sus extremo trazar los segmentos con los ángulos indicados y unir los otros extremos de los dos últi-mos segmentos que trazaron.

Fig. 6.14

Con su juego de geometría tracen en una hoja blanca estos cuadriláteros. Comprueben que los cuadriláteros que trazaron son iguales a los originales sobrepo-niendo la hoja blanca al libro.

R. M.

Se traza un segmento y un punto P sobre él.

Con su transportador analicen la figura 6.15 y, a partir de ella, escriban en sus cua-dernos un procedimiento para trazar rectas perpendiculares.

P

Con un compás y con centro en el punto P se traza un arco de circunferencia de cualquier abertura que interseque al segmento de un lado del punto, y otro arco, de la misma abertura que el anterior, que lo haga del otro lado del punto.

Luego, con centro en uno de los puntos de intersección obteni-dos, se traza otro arco de circunferencia que tenga una abertu-ra mayor a la utilizada en el paso anterior y se traza otro arco de circunferencia, con la misma abertura y con centro en el otro punto de intersección.

B

A Fig. 6.16

Los dos arcos anteriores se intersecan en dos puntos. Se traza la recta que pasa por esos dos puntos, que es perpendicular al seg-mento inicial.

Fig. 6.15

Utilicen el procedimiento que obtuvieron en la actividad anterior para trazar, sobre el segmento AB de la figura 6.16, un cuadrado ABCD.

47 47

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SECUENCIA 6

(Continúa de la página 47)

Consolido mis aprendizajes

El procedimiento anterior se

1. De manera individual traza con la escuadra y el cartabón, en una hoja blanca, los siguientes cuadriláteros.

muestra en la siguiente figura.

Fig. 6.17

Consolido mis aprendizajes Página 48 R. L.

Compara tus procedimientos y trazos con los de otros compañeros.

Sugerencia didáctica. Coménteles que primero deben medir los lados y los ángulos de los cuadriláteros para después poder reproducirlos.

Organizados en equipos de tres integrantes realicen las siguientes construcciones.

Solamente con la regla y compás tracen, en una hoja blanca, un triángulo ABC con los siguientes elementos.

2. Procedimiento: sobre algún segmento, por ejemplo sobre AB, se co-

pia el ángulo dado, vértice A coincida.

de modo Luego, se

que el

prolonga un lado del ángulo, el que no es AB, hasta que sea igual a

la medida del segmento AC. Por último se traza el lado BC. 3. a) Sólo se puede trazar un cuadrado con esas características.

A

B

A

Comparen sus triángulos con otros equipos.

b) Sólo se puede trazar un rectángulo con esas características.

c) Sólo se puede trazar un triángulo con esas características.

d) Se pueden trazar muchos trapecios con esas características,

entonces se puede agregar, por ejemplo, la condición de que la

altura mida 7 cm. e) Sepueden trazar

muchos escalenos

triángulos con esas

características; se puede agregar, por ejemplo, la condición de

que el ángulo entre los segmentos dados mida 60°.

4. a) R. L.

b) R. L.

Sugerencia didáctica. Si el tiempo lo permite, pida a los alumnos que intercambien las asignaciones anteriores con algún compañero y trace los polígonos requeridos, de modo que cada alumno trace dos trapecios y dos romboides.

48

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C

A

Fig. 6.18

Tracen en sus cuadernos las figuras con las medidas indicadas. En los casos donde pueda construirse más de una figura, agreguen una condición para que la construcción sea única.

a) Cuadrado Lado: 27 cm 2

b) Rectángulo Largo: 9.5 cm Ancho: 6 cm

d) Trapecio isósceles Base mayor: 10.4 cm Base menor: 8 cm

c) Triángulo equilátero Lado: 9 cm e) Triángulo escaleno Lado a: 9 cm Lado b: 7.5 cm

Asignen medidas a las figuras indicadas y tracen los cuadriláteros resultantes. a) Trapecio isósceles de base mayor cm, lados no paralelos base de °. b) Romboide con un par de lados paralelos de mm y los ángulos agudos de

48

cm y ángulos de la

mm, el otro par de lados paralelos de °.

triángulo

SECUENCIA

7 Inicio a partir de lo que sé

S7

C

Formen parejas, analicen lo siguiente, tracen lo que se pide y contesten las preguntas. Una comunidad conformada por tres poblados necesita construir una escuela (fig. 7.1). Ubiquen un

del

punto para construir la escuela de tal manera que todos los estudiantes caminen la misma distancia para llegar a ella. A

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Antecedentes

notables

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Ideas erróneas

B

El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una

Fig. 7.1

a) ¿Cómo encontraron dicho punto?

altura, dado que las otras dos coinciden con los lados.

.

Inicio a partir de lo que sé

b) Los poblados forman el triángulo ABC. ¿La escuela queda dentro o fuera del triángulo? ¿Por qué?

puntos

Página 49 .

Resuelvo y aprendo

C

Rectas que dividen en dos

Rectas y

En equipos resuelvan las siguientes actividades.

Fig. 7.3

1. Describan los pasos que se muestran en las

A B

figuras 7.2 a 7.5 para trazar una recta que divida un ángulo dado en dos partes iguales.

Paso 1: Fig. 7.2

.

49

Una manera de resolver el problema consiste en elegir puntos sobre el mapa y medir la distancia. En el punto que esté igualmente separado de las tres comunidades se debe construir la escuela. Queda fuera del triángulo ABC, porque el punto donde se debe construir la escuela está fuera del triángulo que forman los tres poblados.

49

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SECUENCIA 7

(Continúa de la página 49)

Resuelvo y aprendo Rectas que dividen en dos Paso 1: Con un compás y con centro en el vértice del ángulo se Fig. 7.4

tra-zan dos arcos de circunferencia, de modo que uno

Fig. 7.5

Paso 2:

Paso 3:

interseque a un lado del ángulo y el otro al otro lado del ángulo.

Página 50

.

.

Paso 2: Sin modificar la abertura del compás y con centro en uno de los puntos de intersección anteriores se traza un arco de cir-cunferencia en la parte interna del ángulo. Después se traza otro arco de circunferencia, con la misma abertura, pero con centro en el otro punto de intersección, de modo que interseque al arco de circunferencia anterior.

Reproduzcan en sus cuadernos los trazos de la figura 7.6 para obtener la recta per-pendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio. C

Paso 3: Se traza una recta que pase por el vértice del ángulo y por el punto de intersección de los arcos anteriores.

B

A

• Con un compás y con centro en el punto A se traza una circunferencia. Sin modificar la abertura, se traza otra circunferencia pero con centro en B. Si las circunferencias no se intersecan o se intersecan en un solo punto, se elige una abertura mayor y se repiten los dos pasos anteriores.

Fig. 7.6

D

a) Describan en sus cuadernos el procedimiento.

La recta que pasa por los dos puntos de intersección de las circunferencias es una recta perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.

Integración 3. En grupo, con ayuda del docente, analicen las siguientes definiciones. Una bisectriz es una semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos partes iguales. Una mediatriz es una recta perpendicular a un segmento que se traza por su punto medio. a) ¿En cuál de las actividades anteriores se trazó una bisectriz? b) ¿En cuál de las actividades anteriores se trazó una mediatriz? Validen las actividades 1 y 2 con regla graduada y transportador.

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50

.

.

BLOQUE 1

(Continúa de la página 50)

Rectas y puntos notables del triángulo Identifiquen las definiciones con las rectas que les corresponden en cada triángulo.

Mediana

Rectas notables del triángulo Mediatriz Bisectriz

Es el segmento que pasa Es la recta que pasa por por un vértice y el punto el punto medio de un lado medio del lado opuesto y es perpendicular a éste. a dicho vértice.

Es la recta que pasa por un vértice y divide el ángulo interno de dicho vértice en dos partes iguales.

Integración a) En la actividad 1. En la actividad 2.

Altura Es la recta o segmento que es perpendicular a un lado o su prolongación y pasa por el vértice opuesto a dicho lado.

Página 51

Rectas y puntos notables del triángulo 4.

Altura Mediatriz

Altura Mediatriz

Bisectriz

Fig. 7.7

5.

Mediana

Mediatrices

Bisectriz

Mediana

Mediatrices

En cada uno de los lados o vértices, según sea el caso, de los siguientes triángulos, dibujen las rectas que se solicitan.

Mediatrices

Mediatrices

Circuncentro

Circuncentro

Fig. 7.8 Fig. 7.9

51 51

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SECUENCIA 7

Página 52

Alturas

Alturas Or tocentro

Alturas

Alturas Or tocentro

Fig. 7.10

Bisectrices

Medianas

Fig. 7.11

Bisectrices

Incentro

Medianas

Baricentro

Sugerencia didáctica. Cada tipo de recta es única para cada lado o ángulo. Así, los trazos de los alumnos deben ser iguales a los que se indican en las figuras anteriores. Fig. 7.12

Las tres rectas de cada tipo siempre se intersecan en un solo punto. b) Figura 7.8: Circuncentro Figura 7.9: Circuncentro Figura 7.10: Ortocentro Figura 7.11: Ortocentro Figura 7.12: Incentro Figura 7.13: Baricentro El circuncentro y el ortocentro.

Fig. 7.13

¿Qué característica en común se observa que ocurre cuando se trazan las tres rectas de cada tipo correspondientes a cada lado del triángulo? . Escriban en el recuadro de cada figura el nombre del punto correspondiente de acuerdo con las siguientes definiciones. Incentro: Punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo. Circuncentro: Punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo. Ortocentro: Punto donde se intersecan las alturas de un triángulo. Baricentro: Punto donde se intersecan las medianas de un triángulo. ¿Cuáles de estos puntos pueden localizarse fuera del triángulo? .

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52

BLOQUE 1

Página 53

Tracen las mediatrices y determinen el circuncentro del triángulo de la figura 7.14.

6.

Fig. 7.14

Que la distancia del circuncentro a cada vértice es igual. El centro de la circunferencia se localiza en el circuncentro.

Midan la distancia del circuncentro a cada vértice. ¿Qué resultado obtienen?

7. .

Tracen una circunferencia que pase por vértices del triángulo. ¿Dónde se localiza el centro de dicha circunferencia? . 7. Tracen la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura 7.15. La circunferencia circunscrita a un polígono es la que pasa por todos sus vértices.

Una vez que ya se haya trazado la circunferencia circunscrita se eligen tres puntos sobre ella para formar un nuevo triángulo, como el de la figura anterior.

Fig. 7.15

Dibujen un triángulo que tenga el mismo circuncentro que el triángulo ante-rior. Expliquen su procedimiento.

.

53 53

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SECUENCIA 7

Página 54

Midan la longitud de los segmentos punteados en la figura 7.16 y respondan las preguntas.

a) Aproximadamente 2.2 cm cada una. Corresponde con el incentro del triángulo. R. M. Se pueden trazar algunas de las rectas notables del triángulo y ver para cuáles de ellas es el punto de intersección.

Su centro se localiza en el incentro.

Te invito a… visitar la página http://www.edutics. mx/4Lq en la que encontrarás una aplicación interactiva con GeoGebra relacionada con las líneas y los puntos principales del triángulo (30/06/13).

Fig. 7.16

a) ¿Cuanto miden las líneas punteadas?

Integración 9. Características

.

¿A qué punto notable del triángulo corresponde donde se intersecan las líneas

punteadas?

Mediatrices Alturas Medianas Bisectrices

Son perpendiculares a los

Tracen una circunferencia que toque cada lado del triángulo. ¿Dónde se localiza

lados o a las prolongaciones

su centro?

de éstos. Pasan por un vértice del triángulo.

.

Integración

Cortan o tocan los lados del

En grupo, con ayuda del docente, indiquen con 3 la propiedad que corresponde a cada tipo de recta.

triángulo en sus puntos medios. Las tres rectas correspondientes

Característica

a cada lado del triángulo se

Mediatrices

Alturas

Medianas Bisectrices

Son perpendiculares a los lados o a las

prolongaciones de éstos.

intersecan en un punto.

Pasan por un vértice del triángulo.

El punto donde se intersecan

Cortan o tocan los lados del triángulo en sus

puede estar dentro o fuera

puntos medios.

del triángulo.

Las tres rectas correspondientes a cada lado

del triángulo se intersecan en un punto.

El punto de intersección es el

El punto donde se intersecan puede estar

centro geométrico del triángulo.

dentro o fuera del triángulo.

Pueden no pasar dentro del

El punto de intersección es el centro geométrico del triángulo.

triángulo pero sí tocarlo en un

Pueden no pasar dentro tocarlo en un vértice.

vértice. El punto donde se intersecan

El

está a la misma distancia de

punto donde

del triángulo

se intersecan

pero

sí

está

a

misma

distancia de los tres lados del triángulo.

los tres lados del triángulo.

Validen las actividades 4 a 8 a partir de la tabla que acaban de completar.

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.

¿Expliquen en sus cuadernos el procedimiento que emplearon para resolver la pregunta del inciso anterior?

54

la

BLOQUE 1

Página 55

Dibujen las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las altu-ras del triángulo equilátero (fig. 7.17).

a) Las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas de los

¿Qué afirmación se puede hacer de las cuatro rectas notables en el triángulo rectángulo?

corres-pondientes lados y ángulos

.

de un triángulo equilátero coinciden. Ade-más, todas se intersecan en un solo punto.

Fig. 7.17

En la siguiente figura las rectas amarillas son las mediatrices, las verdes son las medianas, las azules las alturas y las cafés las bisectrices. La recta roja corresponde con una recta notable de cada tipo.

Dibujen las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas del triángulo isósceles (fig.7.18).

Coinciden.

¿Qué afirmación se puede hacer de las cuatro rectas notables correspondientes al lado desigual de un trián-

gulo isósceles?

.

Fig. 7.18

Las mediatrices son las rectas rojas y las alturas las verdes. 12. Dibujen las alturas y mediatrices del triángulo rectángulo (fig. 7.19).

Que dos de las alturas de un trián-

Fig. 7.19

gulo rectángulo coinciden con dos de sus lados y se intersecan en

¿Qué afirmación se puede hacer de las alturas en un triángulo rectángulo?

uno de sus vértices.

.

Sugerencia didáctica. Insista en que las mediatrices de un triángulo

Integración

rectángulo coinciden en el punto medio del lado más largo del triángulo.

En grupo, con ayuda del docente, respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas.

¿En qué tipo de triángulo el incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro se localizan sobre la bisectriz del ángulo diferente: isósceles o escaleno? ¿En qué tipo de triángulo el incentro, ortocentro, circuncentro y baricentro son el mismo punto: isósceles o equilátero? ¿En qué tipo de triángulo el ortocentro se localiza en uno de sus vértices: acutángulo o rectángulo? ¿En qué tipo de triángulo el circuncentro se localiza en el punto medio de su lado más largo: rectángulo u obtusángulo?

Integración a) En un triángulo isósceles.

En un triángulo equilátero. En un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo.

Validen las actividades 10 a 12 a partir de las respuestas que acaban de obtener.

55 55

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Consolido mis aprendizajes Página 56 C

1. A

B

2.

E

F

Para localizarlo se trazan dos bisectrices y se determina cuál es el punto donde se intersecan. 3.

C

A

B

Las áreas de los dos triángulos son iguales. Las áreas de los triángulos que se obtienen son iguales.

56

Al trazar la mediana de un triángulo se obtienen dos triángulos que tienen la misma área.

SECUENCIA 7 56

Consolido mis aprendizajes 1.De manera individual traza el circuncentro de los puntos A, B, y C de la figura 7.20.

C A B Fig. 7.20

Formen equipos de tres integrantes y resuelvan las siguientes actividades. Localicen un punto en la figura 7.21 desde el cual se camine la misma distancia para llegar a cualquiera de las tres avenidas. Expliquen cómo localizaron el punto. D

. 3. Tracen la mediana correspondiente al lado AB

F

Fig. 7.21

de la figura 7.22 y calculen el área de cada uno de los triángulos que se obtienen. ¿A qué resultados llegaron? . b) Repitan el cálculo en sus cuadernos con

C

dos triángulos diferentes. ¿Qué resultados obtuvieron?

.

c) Anoten un enunciado que describa esta pro-

Te invito a… leer el libro La matemática como una de las bellas artes, de Pablo Amstar (Biblioteca Escolar).

.

Comparen sus resultados con otros equipos.

A Fig. 7.22

piedad de la mediana.

yreparte

SECUENCIA

8 S8 Resolución de problemas

Inicio a partir de lo que sé Formen parejas para resolver el siguiente problema. El abuelo Juan repartirá $100 entre sus tres nietos de acuerdo con las fracciones mostradas en la

parte

figura 8.1. Escriban en los recuadros la cantidad que recibirá cada uno. 1

1

2

César

$

Antecedentes

Fig. 8.1

Resolución de problemas de proporcionalidad del tipo valor faltan-te (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplica-ción del factor constante). Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad (con números naturales). Problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es un número natural.

4

4

Gustavo

que

1

Felipe

$

$

Ideas erróneas

Expliquen su procedimiento. .

El

de reparto proporcional.

Algunos alumnos pueden pensar que un reparto equitativo es un reparto justo, incluso si los índices de reparto son diferentes; otros, en cambio, pueden pensar que un reparto proporcional siempre es un

Resuelvo y aprendo

reparto justo. Ambas posturas podrían, equivocadamente, no tomar

Reparto proporcional

en cuenta el contexto en el que se realizará dicho reparto.

Formen equipos para las siguientes actividades. Se van a repartir 30 juguetes entre 3 mamás de acuerdo con el número de hijos mos-trados

Inicio a partir de lo que sé

en la figura 8.2, de manera que a todos los niños les toque la misma cantidad. Señora Teresa

Señora Laura

Página 57

Señora Yolanda

Gustavo $50, César $25 y Felipe $25. Se puede calcular tomando en cuenta que la mitad de 100 es 50 y que un cuarto es la mitad de la mitad.

Resuelvo y aprendo Fig. 8.2

a) ¿Cuántos niños hay en total?

Reparto proporcional

.

b) ¿Cuántos juguetes recibirá cada niño? c) ¿Cuántos juguetes recibirá cada mamá para sus hijos?

a) Hay 10 niños en total. Cada niño recibirá 3 juguetes. Teresa recibirá 6 juguetes, Laura 9 y Yolanda 15.

. .

57 57

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SECUENCIA 8

Página 58 Sugerencia didáctica. En esta sección, la resolución de los proble-mas se inclina ligeramente por el uso de procedimientos informales con el fin de que los alumnos desarrollen técnicas que les ayuden a encontrar, de manera intuitiva y simple, los resultados de un reparto proporcional.

PET (polyethylene terephtalate) tereftalato de polietileno. Tipo de plástico empleado frecuentemente en la

Frida, Raúl y Diego recolectaron botellas de PET para juntarlas y venderlas a una planta recicladora. Las cantidades recolectadas se muestran en la figura 8.3. Frida recolectó 9 kg.

Raúl recolectó 5 kg.

Diego recolectó 7 kg.

fabricación de envases

de bebidas.

a) 9 + 5 + 7 = 21 kg $4 $28 Sugerencia didáctica. Pregunte si la división anterior sería justa, aun cuando cada uno aportó una cantidad distinta de botellas de PET. Des-pués, discuta la idea errónea 1.

Frida recibiría $36; Raúl, $20 y Diego, $28. a) $50 $200

Educación ambiental para la sustentabilidad El gran consumo de bolsas y envases de PET constituye un grave problema ecológico. En México, se consumen aproximadamente 800 000 toneladas al año, pero sólo se recicla alrededor de 15 %. Fuente: http:// www.edutics.mx/49f (8/11/13).

Fig. 8.3

a) ¿Cuántos kilogramos recolectaron en total?

.

Si por todas las botellas recibieron $84, ¿cuánto se les pagó por cada kilogramo

recolectado?

.

Si los tres decidieran repartirse los $84 de manera equitativa, ¿cuánto recibirían

cada uno?

.

Si los tres decidieran repartirse los $84 en proporción a los kilogramos que reco-lectó cada uno, ¿cuánto recibirían? .

Cuatro amigos cooperaron para comprar un boleto de una rifa en la que resultaron ganadores. En la figura 8.4 se muestran las cantidades que aportaron y el monto del premio. Julio aportó $20.

Joel aportó $8. Diana aportó $10.

Alicia aportó $12.

Premio $10 000 Fig. 8.4

a) ¿Cuál fue el costo del boleto?

.

b) ¿Qué cantidad del premio corresponde a cada peso invertido?

58 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

58

.

BLOQUE 1

Página 59

Si decidieran repartirse el premio de acuerdo con lo que aportó cada quien, ¿cuánto recibirían?

Alicia recibiría $2 400, Julio $4 000, Joel $1 600 y Diana $2 000. R. M. Primero se determina cuál es la ganancia por cada peso

.

En su cuaderno describan lo que hicieron para determinar lo que le corresponde a cada persona.

aportado, en este caso $200. Después, esa cantidad se multiplica por la cantidad que aportó cada quien.

Integración

Integración

En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y respondan en sus cuadernos las preguntas.

a) R. M. Repartir una cantidad de manera equitativa es repartirla en partes iguales entre el número de elementos a los que se les repartirá. Repartir de manera proporcional significa que cada quien (o cada cosa) recibirá la parte que le corresponde según la cantidad que aportó.

El reparto proporcional es un procedimiento de cálculo que permite repartir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números conocidos.

¿Cuál es la diferencia entre repartir una cantidad de manera equitativa y repartirla de manera proporcional? ¿Qué cantidades intervienen en un problema de reparto proporcional? Escriban un procedimiento para resolver problemas en los que hay que repartir una cantidad de manera proporcional.

R. M. La cantidad por repartir, el número de partes entre las que se repartirá y la aportación que hizo cada parte. R. M. Encontrar cuánto se reparte por cada unidad aportada y después multiplicarlo por las unidades aportadas por cada quien.

Validen las actividades 1 a 3 con el procedimiento que acaban de obtener.

a) No. Porque cada colonia tiene un número diferente de habitantes, En algunas zonas del país el abasto de agua potable se realiza por medio de pipas. Una comunidad está formada por tres colonias: La Curva, con 245 habitantes; El Mirador, con 456 habitantes y La Joya, con 304 habitantes. Cada semana se envían 60 300 L de agua a esa comunidad.

por lo que cada colonia requiere una cantidad diferente de agua.

1 005 habitantes. 60 L La Curva: 14 700 L, El Mirador: 27 360 L y La Joya: 18 240 L. Primero se obtuvo el número total de habitantes y se determinó cuántos litros de agua le correspondían a cada quien. Después, la cantidad anterior se multiplicó por el número de habitantes de cada colonia:

¿Se debe repartir el agua de manera que a las tres colonias les toque la misma cantidad? ¿Por qué? . b) ¿Cuántos habitantes hay en esa comunidad? . c) ¿Cuántos litros de agua le corresponden a cada habitante?

.

Para La Curva: 60 × 245 = 14 700 L Para El Mirador: 456 = 27 360 L Para La Joya: 60 × 340 = 18 240 L a) $600 $5 400 a César y $6 300 a Armando. Aproximadamente $11.48.

¿Cuánta agua le deben entregar a cada colonia según el número de habitantes? . En su cuaderno describan el procedimiento que emplearon para contestar la pre-gunta anterior. César, de 42 años, y Armando de 39 años, trasladaron una carga de 13 12 t de varillas del Edo. de México a Mérida, y cobraron $11 700. César manejó durante 9 h y reco-rrió 425 km, y Armando manejó 10 12 h y recorrió los 594 km restantes.

a) ¿Cuánto dinero corresponde a una hora de manejo? b) ¿Cuánto le toca a cada uno según las horas manejadas? c) ¿Cuánto dinero corresponde a un kilómetro de manejo?

.

. .

59 59

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SECUENCIA 8

Página 60

d) ¿Cuánto le toca a cada uno según los kilómetros manejados?

$4 879.78 a César y $6 820.22 a Armando. $6 066.67 a César y $5 633.33 a Armando.

.

¿Cuánto le correspondería a cada uno si lo repartieran de acuerdo con la edad?

.

R. M. Suponiendo que manejan a velocidades parecidas, el mejor criterio para hacer el reparto sería considerando el número de horas manejadas por cada uno: el número de kilómetros recorridos puede depender, por ejemplo, de la calidad del asfalto, entonces no sería justo tomar en cuenta ese criterio. Por otro lado, la edad tampoco es un criterio justo porque no se determina cuál de los dos trabajó más para el transporte de la mercancía.

¿Cuál piensan que sea el mejor criterio para hacer el reparto? Justifiquen su res-

puesta.

.

Emilio tiene dos latas de pintura para pintar el exterior de una casa, una de 3 L de pintura verde y otra de 7 L de pintura azul. Debe repartir 3

proporcionalmente 4 de L de solvente para rebajar las dos pinturas. a) ¿Qué cantidad de solvente le corresponde a cada litro de pintura? . ¿Qué cantidad de solvente debe colocar en cada lata?

a) 0.075 L En la lata azul debe colocar 0.525 L de solvente y en la verde 0.225 L.

Describan el procedimiento que siguieron para resolver este problema.

R. M. Primero se calculó el número de litros de solvente correspondiente a cada litro de pintura y luego ese valor se multiplicó por el número de litros de pintura de cada color.

. Tres personas cobraron $2100 por un trabajo que realizaron juntas. Una persona trabajó 3 días; otra, 2 y la tercera, 1.

a) $1 050 a quien trabajó 3 días, $700 a quien trabajó 2 días y $350 a quien trabajó 1 día. 9. a) El empleado que lleva trabajando ahí 15 años recibirá $14 250; el que lleva 13 años $12 350, y los dos que llevan 6 años $5 700 cada uno.

¿Cuánto dinero le corresponde a cada persona si el reparto se realizó de manera

proporcional?

.

Expliquen cómo obtuvieron su resultado.

a) Aproximadamente $166 666.67 para cada quien. . Una pequeña empresa repartirá $38 000 entre sus cuatro empleados de acuerdo con los años que hayan trabajado en ella. Un empleado ha trabajado ahí durante 15 años, otro durante 13 años y los otros dos, durante 6 años.

Consolido mis aprendizajes Página 61

a) ¿Cuánto recibirá cada uno?

Aproximadamente $41.94 para César, $32.26 para Gustavo y $25.8 para Felipe.

.

En un sorteo de la Lotería Nacional el premio mayor es de 30 millones de pesos en 3 series de 20 vigésimos, popularmente llamados "cachitos" que cuestan $150 cada uno. María, Angélica y Mauricio cooperan para comprar un “cachito”. María aporta $50, y Angélica y Mauricio aportan cada uno la mitad del resto.

Si ganan el premio mayor de ese sorteo, ¿cómo deben repartir el premio para que a cada uno le toque según lo que invirtió?

.

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60

BLOQUE 1

1.

Grupo

2.

Consolido mis aprendizajes De manera individual retoma, el problema inicial considerando que César tiene 13 años,

Gustavo, 10 y Felipe 8, y que el reparto de los $100 se hará de manera proporcional a sus edades. ¿Cuánto

recibirá cada uno? . Organizados en equipos de tres integrantes resuelvan lo siguiente. El fondo repartible de la cooperativa escolar es de $5934, los cuales se deben distribuir por grupo. Anoten en la tabla lo que se debe entregar al profesor de cada grupo de modo que todos los alumnos reciban la misma cantidad. Grupo

Número de alumnos

1º A 1º B

25 24

2º A

24

2º B

23

3º A

20

3º B

22

Cantidad del fondo repartible

Número de alumnos Cantidad del fondo repartible

1° A 1° B 2° A 2° B 3° A

25 24 24 23 20

1 075

3° B Total

22 138

946 5 934

Te invito a… visitar la página

989 860

R. M. No, porque no hay la misma cantidad de alumnos en

electrónica http://www.

edutics.mx/48j en la que podrás repasar lo que has aprendido en esta secuencia (30/06/13 ).

cada salón y entonces algunos recibirían menos dinero.

Colonia

3.

Miguel Hidalgo Benito Juárez Lázaro Cárdenas Vicente Guerrero Guadalupe Victoria Total

¿Sería justo que a cada grupo le tocará la misma cantidad? Justifiquen su respuesta.

. Para integrar la comisión de 50 representantes de una comunidad, se asignan lugares a las colonias de acuerdo con su número de habitantes. Completen la tabla para saber cuántos representantes de cada colonia debe haber en esa comisión. Número de habitantes

1 032

Sugerencia didáctica. Para la siguiente pregunta hay varias respues-tas posibles por lo que es importante verificar los argumentos que expongan los alumnos.

Total

Colonia

1 032

Número de representantes

Número de habitantes 5 589

Número de representantes 8

8 411

12

3 512

5

11 195

15 10

6 993 35 700

50

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si tiene sentido ha-

Miguel Hidalgo Benito Juárez

5589 8411

blar de, por ejemplo, 7.8 representantes y verifique que redondeen

Lázaro Cárdenas

3512

correctamente los valores anteriores. Pídales que sumen los

Vicente Guerrero

11 195

Guadalupe Victoria

6993

valores ya redondeados que obtuvieron para verificar que son exactamente 50, que es el número de representantes asignados.

Total

R. L.

Inventen un problema en el que se requiera realizar un reparto proporcional y pídanle a otro equipo que lo resuelva.

Sugerencia didáctica. Revise que los problemas que inventen los alumnos sean correctos.

.

61

Compartan y comenten sus resultados y estrategias con otros equipos. 61

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

SECUENCIA

Juguemos un poco

S9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

9

Antecedente Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Ideas erróneas Es común que los alumnos piensen que si el resultado de un juego de azar apareció más veces que otro, seguramente siempre será así.

Puede ser que algunos alumnos consideren que no es importante el orden en el que aparecen los resultados de un juego de azar. Esto, por supuesto, dependerá del contexto.

Inicio a partir de lo que sé Formen equipos de tres compañeros y sigan las instrucciones para jugar. En una hoja blanca dibujen un tablero similar al que se muestra en la figura 9.1. Cada uno elija tres números diferentes de las casillas y coloque una ficha en cada casilla.

Por turnos, lancen dos dados usuales (fig. 9.2) y sumen los puntos obtenidos. Avanza una casilla quien haya escogido previamente el número que se obtuvo al sumar los puntos.

Gana quien avance más casillas después de 30 lanzamientos, o quien llegue primero a la meta.

META

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 9.1

8

9

a) ¿Qué número eligió quien ganó?

Inicio a partir de lo que sé

11

12

Fig. 9.2

.

¿Creen que en todos los equipos haya ganado quien eligió este número?

.

¿Por qué?

Página 62 Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, en lugar de trabajar en equipos de tres integrantes, organice equipos de seis integrantes de modo que se formen tres parejas.

. b) Si repitieran el juego, ¿qué número escogerían?

. ¿Por qué? .

c) ¿Cuántas veces avanzó quien eligió la casilla con el número 1?

R. L. Pero se espera que el número elegido haya sido el 7 o uno cercano a ése, como el 6 o el 8. R. L. En general sí; quien haya ganado eligió el 7 o alguno cercano a ése.

. ¿Por qué?

.

R. M. Porque el 7 apareció en más resultados que los demás números.

Resuelvo y aprendo

Los juegos que no dependen de la habilidad

R. L. Se espera que respondan que el número 7 porque ése apareció más veces que los demás.

Formen parejas para realizar las siguientes actividades.

Ninguna, porque el número más pequeño de cada dado es el número 1 entonces la suma es al menos 2.

Comenten cómo se realizan los siguientes juegos: “volados”, “gato”, ajedrez, perino-la, ruleta. Mencionen las reglas de cada uno y cómo se determina al ganador.

62 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

10

62

BLOQUE 1

(Continúa de la página 62)

Practiquen los siguientes juegos y anoten en cada uno si ganar depende de la suerte o de la habilidad de los jugadores. a) Echar “volados”: b) Jugar “gato”: c) Lanzar un dado:

.

Resuelvo y aprendo

.

Los juegos que no dependen de la habilidad

.

R. M. “Volados”: en el juego hay dos participantes; uno elige una de Lean las reglas del siguiente juego y hagan lo que se pide. Juego A:

las caras de una moneda; al otro participante le corresponde la otra

t Se lanza una moneda al aire.

cara de la moneda. Se lanza la moneda y al caer gana el parti-

t El jugador 1 gana si la moneda cae en águila.

cipante que eligió la cara superior. “Gato”: en el juego hay dos par-

t El jugador 2 gana si la moneda cae en sol.

ticipantes. Se juega sobre un tablero de 3 × 3 casillas. Un jugador

Cada uno elija el número de un jugador. Realicen el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que vayan obteniendo. c) ¿Quién ganó más veces?

colocará en las casillas un círculo y el otro una cruz. Los turnos se hacen alternadamente y gana quien consiga tres de sus figuras iguales en línea vertical, horizontal o diagonal.

.

Ajedrez: en el juego hay dos participantes, uno tiene 16 piezas

Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta.

negras y el otro, 16 blancas, y se juega sobre un tablero de 64

.

casillas. Cada tipo de pieza tiene una función distinta (hay, de cada

Ahora analicen las reglas del siguiente juego y realicen lo que se indica. Juego B:

color, 1 rey, 1 dama, 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres y 8 peones) y el

t Se lanzan dos monedas al aire.

objetivo del juego es acorralar al rey del adversario de modo que

t El jugador 1 gana si las dos monedas caen en caras iguales.

“quede eliminado”. Gana quien lo consiga primero.

t El jugador 2 gana si las dos monedas caen en caras diferentes.

Perinola: en el juego hay dos o más participantes y cada uno tiene una

Cada uno elija el número de un jugador. Realicen el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que vayan obteniendo. c) ¿Quién ganó más veces?

cantidad inicial de fichas (o semillas, monedas, etcétera). Después se gira la perinola y cuando se detiene se considera el texto de su cara sup er io r y s e re aliza lo qu e in dic a , p o r el ejem plo “ Po n 2 ” (el

.

participante que la giró pone dos fichas), “Toma todo”, “Todos ponen”.

Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta.

Ruleta: en un tablero cada participante elige un número (o conjuntos de

.

números como mayor o igual a 1 y menor o igual a 10, por ejemplo).

Lean las reglas del siguiente juego y hagan lo que se indica.

Después se hace girar una rueda junto con una pequeña bola. Cuando la

t Se lanzan tres monedas al aire.

ruleta se tiene, la bola se queda en algún número y ese número (o

Juego C: t El jugador 1 gana si las tres monedas caen en caras iguales. t El jugador 2 gana si al caer las monedas una de las caras es diferente a las otras.

conjunto de números) es el ganador.

Página 63

Cada uno elija el número de un jugador.

a) Depende de la suerte. Depende la habilidad del jugador. Depende de la suerte.

Hagan el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que obtengan. c) ¿Quién ganó más veces?

.

Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta. .

63 63

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SECUENCIA 9

(Continúa de la página 63) a) y b) R. L. R. M. El jugador 2. R. M. No necesariamente porque es un juego que depende de la suerte. a) y b) R. L. R. M. El jugador 1. R. M. No necesariamente porque es un juego que depende de la suerte. a) y b) R. L. R. L. Se espera que gane el jugador 2.

Registren los resultados de todo el grupo. Anoten la cantidad de veces que ganó cada jugador en los diferentes juegos con las monedas. Juego

Jugador

1

2

A B C

Si volvieran a jugar con las monedas, ¿qué número de jugador escogerían en cada juego? ¿Por qué? .

Integración

R. M. No necesariamente, pero lo más seguro es que gane el

En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y respondan en sus cuadernos la pregunta.

jugador 2 porque el número de lanzamientos con los que puede ganar es mayor que los que corresponden al jugador 1.

Existen algunos juegos en los que el resultado depende de la habilidad o

Página 64

la estrategia de los participantes. A la vez, existen juegos en los que no puede predecirse con certeza el resultado, por ejemplo, lanzar una

R. L.

moneda. A este tipo de juegos se les llama de azar.

R. M. En los juegos A y B cualquiera de los jugadores porque cualquiera de los dos puede ganar. En el juego C conviene elegir

¿De qué manera ayuda el registro de los resultados para tratar de predecir

al jugador 2 porque es más seguro que ése gane.

el resultado en un juego de azar? .

Integración R. M. Al registrar los resultados se puede identificar cuál o cuá-les de ellos aparecen más veces y concluir cuáles conviene elegir cuando se juegue de nuevo.

Análisis de resultados posibles Contesten lo siguiente respecto del juego B. a) ¿En qué caras puede caer la primera moneda que se lance?

Análisis de resultados posibles

.

Si la primera moneda cae en águila, ¿en qué caras puede caer la segunda?

a) Puede ser águila o sol. Puede caer en águila o sol. Águila y sol; sol y águila; sol y sol; águila y águila.

. Escriban en sus cuadernos todos los posibles resultados al lanzar dos monedas.

Contesten las preguntas respecto del juego C. a) ¿Quién ganó más veces? ¿Por qué piensan que ocurrió así?

.

Escriban en sus cuadernos todos los posibles resultados al lanzar tres monedas.

Según las combinaciones anteriores, ¿es posible que el jugador 1 gane más veces? ¿Por qué? .

64 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

64

BLOQUE 1

(Continúa de la página 64)

Integración

a) R. L. Pero se espera que el jugador 2 haya ganado más veces porque hay más casos en los que al caer las monedas una de las caras es diferente, que casos en los que las tres monedas caye-ran en caras iguales.

En grupo, con ayuda del docente, analicen y respondan la siguiente pregunta. ¿De qué manera ayuda escribir todos los posibles resultados de un juego de azar para tratar de predecir su resultado? . Te invito a…

Jueguen a lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos en cada tirada, y contes-ten las preguntas.

visitar la página electrónica http:// www.edutics.mx/Zio. Elige Matemáticas 1 y ve a las preguntas

¿Qué números se pueden obtener como resultado de esas sumas? . ¿Con qué combinaciones se obtiene el 2 y el 3 como resultado de la suma?

. Registren en la siguiente tabla todas las sumas posibles al lanzar dos dados. o

er

2 dado 1 dado

1

2

3

4

5

Águila, águila y águila; águila, águila y sol; águila, sol y águila; águila, sol y sol; sol, sol y sol; sol, sol y águila; sol, águila y sol; sol, águila y águila. R. M. Sí. Aunque sólo hay 2 casos de 8 en los que aparecen tres caras iguales, se trata de un juego de azar entonces no se tiene la certeza de que el jugador 1 no gane más veces.

11 y 12, las cuales te

ayudarán a reforzar lo trabajado en esta secuencia. Además, podrás trabajar con actividades interactivas (30/06/13).

Página 65 Integración R. M. Al igual que cuando se registran los resultados obtenidos, re-gistrar todos los posibles resultados de un juego de azar permite identificar cuál o cuáles de ellos aparecen más veces y concluir cuáles conviene elegir.

6

1 2 3 4

a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.

5

El número 2 sólo cuando en cada dado cae el número 1. El número 3

6

cuando en uno de los dados cae el número 1 y en el otro el número 2.

d) ¿Cuántos resultados posibles hay? e) ¿De cuántas maneras se puede obtener el 6?

1

. .

f) ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener el 12?

.

2 3 4 5 6

Consolido mis aprendizajes . ¿Por qué?

. ¿Qué estrategias seguirías para ganar si jugaras una vez más? Argumenta tu respuesta.

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6

7 8

8

6 7 8 9

9

10

11

10

11

12

7

9 10

Hay 36 resultados posibles. De cinco maneras: 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 4, 1 + 5. De una sola manera: 6 + 6.

. Si en lugar de lanzar dos dados se lanzaran tres y se sumaran los puntos obtenidos:

c) ¿Cuáles serían el menor y el mayor de los resultados posibles?

2° dado 1

De manera individual responde las siguientes preguntas correspondientes a la actividad inicial.

a) Si jugaras nuevamente, ¿escogerías el número 1?

er dado

. ¿Por qué?

65

.

65

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

SECUENCIA 9

(Continúa de la página 65)

¿Qué estrategia elegirías para ganar? .

Consolido mis aprendizajes

Compara tus respuestas con otros compañeros para comprobar que son correctas.

Formen parejas para realizar la siguiente actividad.

a) R. M. No, porque no hay manera alguna de obtener el número 1 al sumar los puntos obtenidos cuando se lanzan dos dados.

Analicen los pasos para hacer el siguiente juego.

R. M. Elegir los número 6, 7 y 8 porque hay más maneras de obtener esos números que los demás.

Corten tres papelitos azules y tres rojos y numérenlos como se muestra en la figura 9.3. Dóblenlos para que no se vean los números y pónganlos en una bolsa.

El menor resultado posible es 3 y el mayor, 18. El menor número de cada dado es el 1, entonces al sumar los puntos de tres dados el menor que se puede obtener es el número 3. De manera análoga el mayor número que

Fig. 9.3

2

3

1

2

3

Tomen al azar un papelito azul y uno rojo. Sumen los números obtenidos, esta suma será la puntuación en cada turno.

se puede obtener es la suma 6 + 6 + 6 = 18.

Doblen los papelitos y colóquenlos de nuevo con los otros. Si se realiza muchas veces este juego:

Página 66

a) ¿Qué número piensan que se obtenga más veces en la suma?

R. M. Escribir todos los resultados posibles y elegir los números que tengan más maneras de obtenerse.

.

¿Por qué?

. ¿Qué pueden hacer para comprobar su respuesta anterior.

a) R. M. El 4 porque hay más combinaciones que suman 4. Para comprobar la respuesta anterior se pueden escribir todos los resultados posibles del juego de azar y elegir el que tenga más maneras de obtenerse.

. Realicen 30 veces este juego y registren el resultado que obtengan en cada ocasión.

d) ¿Se cumplió su predicción?

.

Completen la siguiente tabla con los posibles resultados de este juego.

R. L. R. M. Sí.

e)

1

1

Papel rojo Papel azul

1

2

3

1

2

3

2 3

3

4

4

5

4 5 6

2

3

1 2

Se puede visualizar cuál es el resultado que más puede ocurrir en el juego.

3

¿Cuál es la utilidad de esta tabla en este juego?

Te invito a… leer el libro Matemáticas y la vida

cotidiana, de José Antonio de la Peña (Biblioteca de Aula).

66 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

66

. Compartan y comparen sus resultados con otras parejas.

BLOQUE 1

Habilidades digitales

Habilidades digitales

Página 67

Antes de iniciar la actividad te sugerimos explorar el programa que utilizarás con la guía rápida que incluimos en la página 260 de este libro.

Sugerencia didáctica. Esta sección tiene como propósito introducir a los estudiantes en el uso de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC), que forman parte de las nuevas prácticas de aprendizaje, y con esto facilitarles su adaptación a situaciones educa-tivas que se encuentran en permanente cambio.

Construcción de un cuadrado Para comenzar a construir figuras da clic en “Geometría Básica” marcada en azul en la ventana “Apariencias”, la cual mostrará una ventana de dibujo (fig. 1.H.1). Para

ocultar la ventana “Apariencias” da clic en el ícono

Es deseable que motive a los alumnos a leer la actividad y explorar la herramienta antes de desarrollar la actividad. Resuelva las dudas en plenaria con el grupo.

que está a su derecha. Puedes agregar una cuadrícula usando el botón marcado en la imagen.

Respuestas Perpendicular.

Fig. 1.H.1

Para crear un segmento de recta entre dos puntos, elige el tercer botón de la barra de herramientas (fig. 1.H.2). Aparecerá una lista como la que puedes ver en la imagen, elige el elemento marcado en azul y traza el segmento en la “Vista Gráfica”. Si cometes un error, usa los botones de deshacer y rehacer marcados en la imagen para corregir.

Fig. 1.H.2

Para insertar una recta perpendicular, da clic en el cuarto botón de la barra de herramientas (fig. 1.H.3). Después, da clic en cualquier punto del segmento AB y luego en A para que la recta quede fija en ese punto.

Contesta: ¿Cómo son entre sí la recta recién construida y el segmento AB ?

.

67

Fig. 1.H.3

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HABILIDADES DIGITALES

Página 68

Respuestas Iguales Iguales.

Traza un círculo con centro en A y radio AB dando clic en el botón “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos” (fig. 1.H.4). Repite el paso anterior con centro en B y radio AB.

Fig. 1.H.4

Obtén la intersección del círculo con centro en A y la línea vertical usando el botón “Intersección de Dos Objetos” (fig. 1.H.5). Contesta: Si la intersección está en el punto C, ¿cómo

son las longitudes de AC y AB ?

.

Fig. 1.H.5

Traza un círculo con centro en C y radio AC y marca la intersección que hace con el círculo con centro en B (fig. 1.H.6). Contesta: Si la intersección está en el punto D, ¿cómo

son las longitudes de CD y AB ?

Fig. 1.H.6

68 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

68

.

BLOQUE 1

Página 69

Respuestas

Los puntos A, C, D y B son los que importan en esta

Un cuadrado. Esto es porque los cuatro lados de la figura

construcción (fig. 1.H.7). Para ocultar el resto de los

objetos, da clic al ícono

miden lo mismo y los ángulos internos son de 90°.

y elige el menú “Objetos”.

Fig. 1.H.7

En la figura 1.H.8 puedes apreciar la ventana Preferencias” en la que aparecen, separados en categorías, los objetos creados; los círculos, por ejemplo, pertenecen a la sección “Cónica”. Selecciona los objetos y desmarca en el cuadro “Muestra Objeto” para ocultarlos.

Fig. 1.H.8

Da clic en el botón “Polígono” y en cada uno de los puntos A, C, D, B, en ese orden, y de nuevo en A para cerrarlo (fig. 1.H.9).

Presiona el botón

, elige cualquier punto y muévelo.

Contesta: ¿Qué tipo de figura obtuviste?

.

Justifica tu respuesta.

.

Fig. 1.H.9

69 69

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Ponte

prueba

Ponte a prueba PISA

Lee

Página 70

La maestra Lourdes de Español le propuso a su grupo realizar un proyecto de investigación. El tema que eligieron

lasituaciónyltexto

a1

yrespondelaspreguntas correspondientes.

PISA entre todos fue el sexismo en el español y definieron estos subtemas: 1. Sexismo, 2. Sexismo y lengua y 5

Sugerencia didáctica. El propósito de esta sección es evaluar los co-nocimientos adquiridos por los estudiantes durante el bloque.

1.3. ParaElesphañol,cer unos¿sexista?bastidores,Sepropusieronuncarpintdescubrirroutilizarásinuestraclavos lenguaquemideneso nodesexistapulgada,. de modo que al clavarlos

8 queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de

Sugiera a los estudiantes que antes de responder cada pregun-ta, las lean con mucha atención y que en su cuaderno o en una hoja realicen los cálculos necesarios para responder, siguiendo los proce-dimientos que requiera cada situación, antes de leer las opciones de respuesta.

cadaDefiniciónclavo dequesexismoquedarálingüísticodentrode la madera.

IndicUnhablanteen incurrereglacorrespondientesexismolingüísticolalongitudcuandoe emitecada unomensajedelos clavosque,debidocuyas sumedidasforma s(es presentandecir,debidoa a lascontinupalabraciónsescogidas. o al modo de enhebrarlas) y no a su fondo, resulta discriminatorio por razón de sexo. Por el contrario, cuando la discriminación se debe al fondo del mensaje y no a su forma, se incurre en sexismo social.

Una misma situación de la realidad, Clavo y sexismo lingüístico están relacionados M

Una vez finalizada la evaluación, organice una revisión en grupo

Ejemplos: Quien diga que Las mujeres no en sexismo lingüístico; en cambio, sexismo social pero sí en sexismo manifestación acudieron muchos una frase sexista; en cambio, la frase

de los resultados, con el fin de detectar las fallas más frecuentes y para trabajar en conjunto en su corrección. Es importante revisar los procedimientos de los estudiantes, porque en algunos casos, el proce-dimiento es el correcto, pero el error puede estar al hacer los

O

X

situación sexista con una frase no

Y

Álvaro García Meserguer, “El español,

Respuestas

3

Longitud de pulgada

mensaje sexista o no. Sexismo social .

hombres incurrirá en sexismo social pero inteligentes por igual, no incurre en 8 vez de mujeres. La frase A la 1 1 de pulgada describe una situación no sexista con 4 varones y tres mujeres describe una 4

N

cálculos u operaciones correspondientes.

Z

5

de pulgada

1.2 cm

3.8 cm 7.6 cm

uab.cat/pub/elies/elies_a2002v16/

Garcia.html

0.525 pulgadas. N M O 2.

Pulgadas

Centímetros

Pulgadas x

.

y

z 3. En la siguiente figura se muestra una pila de latas. Centímetros

a) ¿Cuántas latas habrá en una pila de 20 niveles? b) ¿Y en una de 100 niveles?

a) Tendrá 210 latas. Tendrá 5 050 latas.

70 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

70

.

.

BLOQUE 1

Página 71

Encierra el único triángulo ABC que corresponde a la siguiente descripción.

Respuestas

El triángulo ABC es escaleno. D es un punto dentro del segmento CE. El segmento DE es menor que el EB.

d.

EB es una mediana del triángulo ABC. El área del triángulo BCD es mayor que el área del triángulo BDE.

a) 2.4 h A

a)

6h

A

b)

D E C

E

B

B

C

D

A

c)

A

d)

E

E

D

D

C

B

e)

B

C

A

C

D

E

B

Un tinaco de 5000 L puede ser llenado por dos tomas de agua, la primera lo llena en 6 h y la segunda en 4 h. Si el tinaco se encuentra vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará utilizando las dos tomas de agua de manera

simultánea?

.

¿En cuánto tiempo se llenará un tinaco vacío de 12 500 L utilizando las mismas tomas de agua de manera

simultánea?.

71 71

© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

PONTE A PRUEBA ENLACE

Ponte a prueba ENLACE

Ponte a prueba ENLACE

Página 72

¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma posición que 0.3 en la recta numérica?

Respuestas c. c. a. c. c.

8 12 1 No existe tal fracción. ¿Qué número le corresponde a b en la siguiente recta numérica?

0

1

b

13 5

5

8

8

5

1.3 Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de 1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le tocó medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona?

$20 $25 $30 $40 La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto medio de uno de sus lados cuando el triángulo es… equilátero. isósceles. rectángulo. escaleno. 5. Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado de un litro mezcle

5 8

de L de la

solución A y 0.1 L de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 L”. ¿Cuántos litros se necesitan de agua destilada? 2

3 11 15

8 9 40 8

72 © Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.

72

BLOQUE 1

Ahora sé

Ahora sé

Página 73

Autoevaluación

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la importancia de las evaluaciones, pues les permiten reflexionar sobre sus avances.

Marca con una 3 la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y responde la pregunta. ¿Lo logré?

Aprendizaje esperado

Sí

No

Sugiera que después de completar la autoevaluación identifiquen

¿Cómo puedo mejorar?

cuál fue la secuencia en la que tuvieron mayor dificultad para resolver las actividades y propicie que discutan estrategias para mejorar.

Convierto fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Represento números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Resuelvo y planteo problemas que implican más de una operación de suma y resta de fracciones. Construyo sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulo en lenguaje común expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Explico el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como

números generales con los que es posible operar. Trazo triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. Trazo y analizo las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices

en un triángulo. Resuelvo problemas de reparto proporcional. Identifico y practico juegos de azar sencillos y registro los resultados. Elijo

estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Coevaluación La siguiente tabla es para evaluar a cada uno de tus compañeros de equipo. Anota su nombre y responde sí o no a los indicadores propuestos. Es muy importante que seas objetivo, pues tus comentarios deben servir para que tu compañero mejore su desempeño. Nombre de mi compañero Indicador

Sí

No

Tú le recomiendas…

Se integró el equipo y mantuvo una actitud participativa Asistió a todas las reuniones acordadas por el equipo. Mostró entusiasmo en clases y reuniones del equipo. Cumplió en tiempo y forma con las tareas asignadas. Aportó ideas originales y creativas para la realización de las actividades. Comunico en forma clara y cordial al equipo sus ideas respetando las opiniones de sus compañeros y estableciendo sus propios puntos de vista.

Con tu maestro Revisen con su maestro, las tablas. Después, en grupo y con el apoyo de su maestro elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su desempeño en equipo.

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Código SEP: S00136 ISBN SEP: 978-607-463-937-7

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