Practica 1 Mediciones Y Calculo De Errores 3g413a

CÁLCULO DE ERRORES 1.

OBJETIVOS 1.1. 1.2. 1.3.

2.

Utilizar con criterio científico equipos e instrumentos de medida en el laboratorio: balanza, cronómetro, cinta métrica, vernier o pie de rey. Calcular el error de medidas directas Calcular el error de medidas indirectas.

FUNDAMENTO TEÓRICO Mediciones y Errores Medir es obtener un número que exprese la relación entre la magnitud a determinar y la unidad de medida correspondiente a esa magnitud. Así, al medir la magnitud M , obtenemos el número X que satisface la relación: M=Xu donde u es la unidad de medida arbitraria, fijada convencionalmente y de la misma naturaleza que la magnitud M. Clases de Mediciones Medición Directa: Cuando el resultado de la medición se obtiene inmediatamente después de aplicar el instrumento de medida al objeto a medir. Ejemplo: cuando se mide la temperatura de una persona, longitud de objetos, medidas de tiempos, masas etc. Medición Indirecta: Cuando el resultado de la medición se obtiene aplicando alguna fórmula matemática que relaciona la magnitud a medir con otras que se miden directamente Ejemplo: El volumen (V) de un paralelepípedo. Primero, medimos directamente el largo (L), el ancho (a) y la altura (h) y luego con la fórmula matemática correspondiente: V = L.a.h determinamos el volumen. Otro ejemplo de medición indirecta es cuando se determina el áreas de un cuerpo. Error o Incertidumbre Siempre que efectuemos mediciones de alguna magnitud física, estamos expuestos a cometer un error o incertidumbre, es decir que nunca sabremos el “valor verdadero” de lo medido. Esto se debe a dos razones: Primero, los instrumentos empleados nunca son perfectos y segundo, la agudeza sensorial de quien efectúa la medición es limitada. Si M es el valor verdadero de la magnitud y X es el valor de una medición, el error está dado por: e =  M–X  Tipos de Error 1)

Errores Sistemáticos: Son los errores que se producen en una misma dirección, siempre por exceso o tambien por defecto. Se deben a fallas en los instrumentos de medida o a defectos de lectura por parte del experimentador. Los errores sistemáticos pueden ser de dos clases: a)

Instrumentales: Cuando se debe a la imperfección de los instrumentos de medida en su fabricación. Por ejemplo, un error instrumental se comete al usar una balanza que siempre mide 950 gramos en vez de 1000 gramos.

b)

2)

Personales: Cuando intervienen los hábitos del experimentador. Es frecuente mencionar el error de paralaje el cual se comete cuando el observador al medir, no ubica su línea de mira correctamente por lo que obtiene lecturas incorrectas.

Errores Estadísticos o Aleatorios: Son originados por factores desconocidos, que no se han tomado en cuenta al empezar la medición. Por ejemplo, un observador puede inadvertidamente cometer error al estimar el valor de la menor división de la escala del instrumento de medida. Estos errores se deben a factores que dependen del experimentador, como son: fatiga, falta de destreza en el manejo de los instrumentos, las limitaciones en la capacidad de discriminar al dar el valor de la medida.También se deben a las variaciones de las condiciones ambientales como, por ejemplo, el cambio de temperatura. Estos errores llevan el signo  que caracteriza su indeterminación y a ellos se les aplica la teoría de errores.

Exactitud y Precisión. La exactitud está relacionada con el error sistemático. La exactitud de una medición significa cuan cerca se puede estar del valor verdadero, esto es, cuan correcta es la medición. La precisión está relacionada con el error aleatorio. cuanto menor sea el error sistemático, mayor será la exactitud y cuanto menor sea el error aleatorio, mayor será la precisión La precisión se refiere a la concordancia entre mediciones repetidas de la misma magnitud. Esto es, la precisión se mide por la “dispersión” de las mediciones o por cuan cerca están ellas entre si. El grupo de medidas es más preciso cuanto más cerca están entre si. Sin embargo, un alto grado de precisión no necesariamente implica exactitud, como se ilustra en la Figura 1

(a) Buena precisión, pobre exactitud

(b) Pobre precisión, pobre exactitud

c) Buena precisión, buena exactitud

Figura (1). La precisión y exactitud se demuestran mediante la analogía del tiro al blanco usando dardos. El grado de dispersión es una indicación de la precisión—cuanto más cerca se agrupen los dardos mayor es la precisión. Un agrupamiento cercano al valor verdadero representa una mayor exactitud.

Los resultados de las mediciones se expresan mediante un valor promedio seguido de  un factor de precisión. Por ejemplo, si el largo del manual de Física se expresa en la forma: L = (29,2  0,1) cm Significa que el valor medio de las mediciones es 29,2 cm y que la dispersión de las mediciones están entre los valores (29,2 - 0,1) cm = 29,1 cm y ( 29,2 + 0,1) cm = 29,3 cm. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDICIONES DIRECTAS Valor Medio o Valor más Probable: Xm Xm =

ΣX X1  X 2  X 3 . . . . . . . . . .  X n i  n n

Desviación (Xi ): Es la diferencia de un valor medido cualquiera, menos el valor medio.

(1)

 Xi = Xi - Xm (2) Error Absoluto del promedio: Llamado también error típico o estándar, se calcula con la siguiente fórmula:  ( X i ) 2 n (n  1)

X =

(3)

Resultado de una medición: Al efectuar varias medidas de la misma magnitud X, el resultado de la medición es el valor medio más o menos el error absoluto, esto es: X = Xm  X

(4)

Error Relativo. Es el cociente entre el error absoluto y el valor medio o más probable. er =

X Xm

(5)

Error Porcentual. Es el error relativo multiplicado por 100. e% = er (100 )

(6)

Cálculo del error en una sola medición: Hasta aquí hemos desarrollado cómo calcular el error de una serie de medidas de la misma magnitud. ¿Cómo evaluar el error cuando se realiza una sola medición? En este caso, el error absoluto se puede considerar como: a)

Si el instrumento de medida es analógico: X =  mitad de la mínima división de la escala del instrumento

b)

Si el instrumento de medida es digital X =  1 ó 0,1 ó 0,01 ó 0,001 ...........(según el rango elegido)

CÁLCULO DE ERRORES EN MEDICIONES INDIRECTAS La medida indirecta también está afectada de error debido a la propagación de los errores de las magnitudes directas que están relacionadas con la magnitud a medir. Sea M una cantidad que se mide indirectamente, cuyo valor se obtiene usando la fórmula genérica: a b M = k xm y m

(7)

Es decir M = f (x, y), siendo k, a y b constantes de la fórmula, xm e ym son los promedios de las cantidades x e y que se miden directamente. El error absoluto M se obtiene usando diferenciales: a 1 b a b 1 M = k ( a x m y m x + b x m y m y)

donde x y y son los errores absolutos de las mediciones directas de x e y.

(8)

El error relativo se determina con la fórmula usual: er 

M M

(9)

Y combinando la fórmula anterior con las expresiones obtenidas en (7) y (8), se obtiene: er = a

x y b xm ym

(10)

Aplicación.- El volumen V de un cilindro, se obtiene aplicando la fórmula:

V 

 Dm2 hm 4

(11)

donde Dm y hm son los valores medios del diámetro y altura. Aplicando las fórmulas (8) y (10) se calculan los errores absoluto y porcentual, por medio de las fórmulas: V =

 (2DmhmD + Dm2h) 4

(12)

V Vm

(13)

V  Vm  V

(14 )

er = El resultado de la medición es:

El calibrador Vernier o pie de rey Es un instrumento apropiado para medir pequeñas longitudes, especialmente diámetros internos, externos o profundidades. Consta de una regla fija donde va grabada la escala principal y una regla móvil que es el cursor o vernier. Supongamos que, con un vernier cuya escala principal está graduada en mm, se desea medir la longitud de un objeto. Con este propósito, el objeto se coloca entre mandíbulas como se indica en la Figura 1. El cero de la escala del vernier indica algo mas de 23 mm en la escala principal. La fracción restante (décimos o centésimos de mm) se lee en la escala del vernier con la línea que coincide con alguna línea de la escala principal. En la figura vemos que es la línea 52 del vernier la que coincide con una línea de la escala principal. Por lo tanto la lectura es 23,52 mm.

objeto

Figura 1

3. RESUMEN (

)

……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

4. MATERIALES E INSTRUMENTOS

(

Materiales

5.

)

Instrumentos

PROCEDIMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES

(

precisión

)

Medición Directa: Periodo del Péndulo Simple 5.1.

Disponer el péndulo simple, como se muestra en la Figura 2.

5.2.

Medir, con la cinta métrica, una sola vez la longitud del péndulo L, desde el punto de suspensión hasta el centro de la masa pendular. L = ..............................................................................................................................................

Figura 2

5.3.

Con la longitud medida anteriormente, hacer oscilar el péndulo con una amplitud pequeña (no mayor de 15º) y medir su periodo, T. Para esto, mida el tiempo, t, de 10 oscilaciones y luego divídalo entre 10 para obtener T. Luego, repita esta operación las veces que indica la Tabla 1. Tabla 1. Valores del periodo del péndulo N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (s) T (s) Medición Indirecta: Volumen de un cilindro 5.4.

Con el vernier o la cinta métrica, medir cinco veces el diámetro, D y la altura, h. Anotar sus datos en la Tabla 2. Tabla 2: Dimensiones del cilindro. N

1

2

3

4

5

Di (cm) hi (cm)

6.

PROCESAMIENTO Y DATOS EXPERIMENTALES ( Medición Directa 6.1.

Con los datos de la Tabla 1, completar la Tabla 3. Tabla 3: Tabla Estadística para medidas directas. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 promedio

T (s)

Ti (s)

T2 (s2)

)

6.2.

Utilizar las fórmulas para medidas indirectas y, efectuando las operaciones de reemplazo de valores, calcule: a)

Error absoluto del periodo: T = .................................................................................................................................

b)

Error relativo: er = ....................................................................................................................................

c)

Error porcentual: e% = .................................................................................................................................

d)

Resultado de la medición: T = ...................................................................................................................................

Medición Indirecta 6.3.

Con los datos de la Tabla 2 complete lo que se pide en la Tabla 4. Tabla 4: Tabla Estadística para medidas directas N

Di

(cm)

(Di)2 (cm2)

hi (cm)

(hi)2 (cm2)

1 2 3 4 5

 promedio

6.4.

Utilizando la fórmula (3) y, con los datos de la tabla 4, calcule el error absoluto del diámetro del cilindro: D = ..........................................................................................................................................

6.5.

Utilizar la fórmula (3) y, realizando las operaciones de reemplazo de valores, calcule el error absoluto del promedio de la altura del cilindro: h = ............................................................................................................................................

6.6.

Calcule el volumen del cilindro. V = ...........................................................................................................................................

6.7.

Haciendo uso de las fórmulas para medidas indirectas, calcule lo que a continuación se pide: V = ......................................................................................................................................... er = ............................................................................................................................................ e% = ............................................................................................................................................

6.8.

Escribir el resultado de la medida del volumen del cilindro. V = ............................................................................................................................................

7.

RESULTADOS y DISCUSION

(

)

Medición Directa del Periodo del péndulo T (s)

T (s)

e%

Resultado de la medición

Medición Indirecta del Volumen del cilindro V (cm3)

V (cm3)

e%

8.

CONCLUSIONES

(

)

9.

CUESTIONARIO (

)

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5.

Resultado de la medición

¿Se puede disminuir el error de una medición poniendo más interés y predisposición? ¿Por qué? ¿Por qué no es posible obtener el valor verdadero en la medición de una magnitud física? ¿Cuál es el significado del signo  que se coloca en el resultado de una medición? Dar un ejemplo. De uno o más ejemplos donde aplique los conceptos de precisión y exactitud. Aplicando el cálculo diferencial ¿Podría deducir las fórmulas para calcular el error absoluto, relativo y porcentual en medidas indirectas?

10. BIBLIOGRAFIA

(

)

Autor, Fecha ,Título, Editorial Ciudad y País, Número de Edición, página)

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11. PUNTUALIDAD

(

)