Ondas Mecanicas Y Electromagneticas 37174k

Propagación de una perturbación Todas las ondas mecánicas requieren 1) alguna fuente de perturbación, 2) un medio que contenga elementos que sean factibles de perturbación y 3) algún mecanismo físico a partir del cual los elementos del medio puedan influirse mutuamente. Una forma de demostrar el movimiento ondulatorio es sacudir un extremo de una larga cuerda que esté bajo tensión y tenga su extremo opuesto fijo como se muestra en la figura 16.1. De esta forma, se crea un solo “chichón” (llamado pulso) que viaja a lo largo de la cuerda con una rapidez definida. La figura 16.1 representa cuatro “instantáneas” consecutivas de la creación y propagación del pulso viajero. La cuerda es el medio a través del cual viaja el pulso; éste alcanza una altura y una rapidez de propagación definidas a lo largo del medio (la cuerda). La forma del pulso cambia muy poco a medida que viaja a lo largo de la cuerda.1

A medida que viaja el pulso de la figura 16.1, cada elemento perturbado de la cuerda se mueve en una dirección perpendicular a la dirección de propagación. La figura 16.2 ilustra este punto para un elemento particular, etiquetado P. Note que ninguna parte de la cuerda se mueve alguna vez en la dirección de la propagación. Una onda viajera o pulso quehace que los elementos del medio perturbado se muevan perpendiculares a la dirección de propagación se llama onda transversal.

Compare esta onda con otro tipo de pulso, uno que se mueve por un largo resorte estirado, como se muestra en la figura 16.3. El extremo izquierdo del resorte recibe un ligero empuje hacia la derecha y después recibe un ligero jalón hacia la izquierda. Este movimiento crea una súbita compresión de una región de las espiras. La región comprimida viaja a lo largo del resorte (a la derecha en la figura 16.3). Observe que la dirección del desplazamiento de las

espiras es paralela a la dirección de propagación de la región comprimida. Una onda viajera o pulso que mueve a los elementos del medio en paralelo a la dirección de propagación se llama onda longitudinal Las ondas sonoras, que se explicarán en el capítulo 17, son otro ejemplo de ondas longitudinales. Algunas ondas en la naturaleza muestran una combinación de desplazamientos transversales y longitudinales. Las ondas en la superficie del agua son un buen ejemplo. Cuando una onda acuática viaja sobre la superficie del agua profunda, los elementos del agua en la superficie se mueven en trayectorias casi circulares, como se muestra en la figura 16.4. Los desplazamientos transversales que se ven en la figura 16.4 representan las variaciones en posición vertical de los elementos del agua. Los desplazamientos longitudinales representan elementos de agua móvil de atrás para adelante en una dirección horizontal

Las ondas longitudinales se llaman ondas P, donde “P” es por primarias, porque viajan más rápido que las ondas transversales y llegan primero a un sismógrafo Las ondas transversales más lentas, llamadas ondas S, donde “S” es para secundarias,

Considere un pulso que viaja hacia la derecha en una cuerda larga, como se muestra en la figura 16.5. La figura 16.5a representa la forma y posición del pulso en el tiempo t = 0. En este tiempo, la forma del pulso, cualquiera que sea, se puede representar mediante alguna función matemática que se escribirá como y(x, 0) = f(x). Esta función describe la posición transversal y del elemento de la cuerda ubicado en cada valor de x en el tiempo t = 0. Ya que la rapidez del pulso es v, el pulso viajó hacia la derecha una distancia vt en el tiempo t (figura 16.5b). Se supone que la forma del pulso no cambia con el tiempo. Por lo tanto, en el tiempo t, la forma del pulso es la misma que tenía en el tiempo t = 0, como en la figura 16.5a. En consecuencia, un elemento de la cuerda en x en este tiempo tiene la misma posición y que un elemento ubicado en x =vt tenía en el tiempo t = 0:

En general, después, se representa la posición transversal y para todas las posiciones y tiempos, medida en un marco estable con el origen en O, como

De igual modo, si el pulso viaja hacia la izquierda, las posiciones transversales de los elementos de la cuerda se describen mediante

La función de onda y(x, t) representa la coordenada y, la posición transversal, de cualquier elemento ubicado en la posición x en cualquier tiempo t

El modelo de onda progresiva La onda representada por esta curva se llama onda sinusoidal por- que la curva es la misma que en la función seno V trazada con V. La onda sinusoidal es el ejemplo más simple de una onda periódica continua y se puede usar para construir ondas más complejas La curva café en la figura 16.7 representa una instantánea de una onda sinusoidal progresiva en t 0, y la curva azul representa una instantánea de la onda en algún tiempo posterior t.

Con la introducción a las ondas se puede elaborar un nuevo modelo de simplificación, el modelo de onda, que permitirá explorar más modelos de análisis para resolver problemas. Enseguida se desarrollarán las características principales y representaciones matemáticas del modelo de análisis de una onda progresiva. Este modelo se usa cuando una onda se mueve a través del espacio sin interactuar con otras ondas o partículas.

La figura muestra una instantánea de una onda móvil a través de un medio. La figura muestra una gráfica de la posición de un elemento del medio como función del tiempo. Un punto en la figura en que el desplazamiento del elemento de su posición normal está más alto se llama cresta de la onda. El punto más bajo se llama valle. La distancia de una cresta a la siguiente se llama longitud de onda 𝝀 Si usted cuenta el número de segundos entre las llegadas de dos crestas adyacentes en un punto determinado en el espacio, debe medir el periodo T de las ondas. En general, el periodo es el intervalo de tiempo requerido para que dos puntos idénticos de ondas adyacentes pasen por un punto

La misma información a menudo se conoce por el inverso del periodo, que se llama frecuencia f. La máxima posición de un elemento del medio relativo a su posición de equilibrio se llama amplitud A de la onda. Considere la onda sinusoidal de la figura 16.8a, que muestra la posición de la onda en t 0. Ya que la onda es sinusoidal, se espera que la función de onda en este instante se exprese como y(x, 0) = A sen ax, donde A es la amplitud y a es una constante a determinar. En x = 0, se ve que y(0, 0) = A sen a(0) = 0, consistente con la figura. El siguiente valor de x para el que y es cero es x = 𝜆/2 Debido a eso

Note que la posición vertical de un elemento del medio es la misma siempre que x aumente por un múltiplo entero de M. Si la onda se mueve hacia la derecha con una rapidez v, la función de onda en algún tiempo posterior t es:

Por definición, la onda viaja a través de un desplazamiento ∆x igual a una longitud de onda 𝜆 en un intervalo de tiempo ∆t de un periodo T. Por tanto, la rapidez de onda, la longitud de onda y el periodo se relacionan mediante la expresión

Al sustituir esta expresión para v en la ecuación de y se obtiene:

Esta forma de la función de onda muestra la naturaleza periódica de y. La función de onda se expresa en una forma conveniente al definir otras dos cantidades, el número de onda angular k

La frecuencia angular W:

Al usar estas definiciones, la ecuación se puede escribir en la forma más compacta y conocida como Función de onda para una onda sinusoidal

La función de onda supone que la posición vertical y de un elemento del medio es cero en x = 0 y t = 0. Este no necesita ser el caso. Si no lo es, la función de onda por lo general se expresa en la forma

Donde ∅ es la constante de fase, la cual se determina a partir de las condiciones iniciales. Ondas sinusoidales en cuerdas La figura representa instantáneas de la onda creada de esta forma a intervalos de T/4. Ya que el extremo de la varilla oscila en movimiento armónico simple, cada elemento de la cuerda, como el que se encuentra en P, también oscila verticalmente con movimiento armónico simple Si la onda en t = 0 es como se describe en la figura 16.10b, la función de onda se puede escribir como

Se puede usar esta expresión para describir el movimiento de cualquier elemento de la cuerda. Un elemento en el punto P se mueve sólo verticalmente, y de este modo su coordenada x permanece constante. Por lo tanto, la rapidez transversal) y la aceleración transversal ay de los elementos de la cuerda son:

Los valores máximos de la rapidez transversal y la aceleración transversal son simplemente los valores absolutos de los coeficientes de las funciones coseno y seno:

La rapidez transversal y la aceleración transversal de los elementos de la cuerda no llegan simultáneamente a sus valores máximos. La rapidez transversal llega a su valor máximo (𝜔A) cuando y = 0, mientras que la magnitud de la aceleración transversal llega a su valor máximo (𝜔2 A) cuando y =±A.

La rapidez de ondas en cuerdas En esta sección se determina la rapidez de un pulso transversal que viaja en una cuerda tensa. Primero se predicen conceptualmente los parámetros que determinan la rapidez. Si una cuerda bajo tensión se jala hacia los lados y luego se libera, la fuerza de tensión es responsable por acelerar un elemento particular de la cuerda de regreso hacia su posición de equilibrio. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleración del elemento aumenta con tensión creciente. Si el elemento regresa al equilibrio más rápidamente debido a esta aceleración aumentada, intuitivamente se argumentaría que la rapidez de la onda es mayor. En consecuencia, se espera que la rapidez de la onda aumente con tensión creciente. Del mismo modo, ya que es más difícil acelerar un elemento pesado de la cuerda que un elemento ligero, la rapidez de la onda debe disminuir a medida que aumente la masa por unidad de longitud de la cuerda. Si la tensión en la cuerda es T y su masa por unidad de longitud es N (letra griega mu), la rapidez de onda, como se demostrará, es:

Considere un pulso móvil en una cuerda tensa hacia la derecha, con una rapidez uniforme v medida en relación con un marco de referencia estacionario. En lugar de permanecer en este marco de referencia, es más conveniente elegir un marco de referencia inercial diferente que se mueva junto con el pulso con la misma rapidez que el pulso, de modo que el pulso está en reposo dentro del marco. En el nuevo marco de referencia, todos los elementos de la cuerda se mueven hacia la izquierda, un elemento determinado inicialmente a la derecha del pulso se mueve hacia la izquierda, se eleva y sigue la forma del pulso, y luego continúa moviéndose hacia la izquierda. La figura 16.11a muestra tal elemento en el instante en que se ubica en lo alto del pulso. El pequeño elemento de la cuerda de longitud ∆s que se muestra en la figura 16.11a, y se amplifica en la figura 16.11b, forma un arco aproximado de un círculo de radio R. En el marco de referencia móvil el elemento sombreado se mueve hacia la izquierda con una rapidez v. Este elemento tiene una aceleración centrípeta igual a 𝑣 2 /𝑅, la fuerza radial total sobre el elemento es 2T sen 𝜃. Ya que el elemento es pequeño, 𝜃 es pequeño, y por lo tanto se puede usar la aproximación de ángulo pequeño sen 𝜃 = 𝜃. De este modo, la fuerza radial total es:

Su masa está dada por:

Al aplicar a este elemento la segunda ley de Newton en la dirección radial se obtiene:

Reflexión y transmisión Se considerará cómo una onda progresiva es afectada cuando encuentra un cambio en el medio. Considere un pulso que viaja en una cuerda que está rígidamente unida a un soporte en un extremo, como en la figura 16.13. Cuando el pulso alcanza el soporte, se presenta un cambio severo en el medio: la cuerda termina. Como resultado, el pulso experimenta reflexión; es decir, el pulso se mueve de regreso a lo largo de la cuerda en la dirección opuesta. Note que el pulso reflejado está invertido. Esta inversión se explica del modo siguiente: cuando el pulso alcanza el extremo fijo de la cuerda, ésta produce una fuerza hacia arriba sobre el soporte. Por la tercera ley de Newton, el soporte debe ejercer sobre al cuerda una fuerza de reacción de igual magnitud y con dirección opuesta (hacia abajo). Esta fuerza hacia abajo hace que el pulso se invierta en la reflexión. Para finalizar, considere una situación en la que la frontera es intermedia entre estos dos extremos. En este caso, parte de la energía en el pulso incidente se refleja y parte se somete a transmisión; es decir: parte de la energía pasa a través de la frontera. Por ejemplo, suponga que una cuerda ligera se une a una cuerda más pesada, como en la figura Cuando un pulso que viaja sobre la cuerda ligera alcanza la frontera entre las dos cuerdas, parte del pulso se refleja e invierte y parte se transmite a la cuerda más pesada. El pulso reflejado se invierte por los mismos motivos descritos en el caso de la cuerda unida rígidamente a un soporte. El pulso reflejado tiene una amplitud menor que el pulso incidente. En la sección 16.5 se demostró que la energía que porta una onda se relaciona con su amplitud. De acuerdo con el principio de conservación de la energía, cuando el pulso se descompone en un pulso reflejado y un pulso transmitido en la frontera, la suma de las energías de estos dos pulsos debe ser igual a la energía del pulso incidente

Ondas Electromagnéticas Ondas Electromagnéticas en el vacío En las regiones del espacio en las que no existe carga o corriente, las ecuaciones de Maxwell adaptan la forma: ⃗∇ ⋅ 𝐸⃗ = 0 (𝑖) ⃗∇ ⋅ 𝐵 ⃗ = 0 (𝑖𝑖𝑖) ⃗∇ × 𝐸⃗ = −

⃗ 𝜕𝐵 (𝑖𝑖𝑖) 𝜕𝑡

⃗∇ × 𝐵 ⃗ = 𝜇0 𝜖0

𝜕𝐸⃗ (𝑖𝑣) 𝜕𝑡

Estas ecuaciones constituyen un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden para 𝐸 y 𝐵. Ambas cantidades pueden ser relacionadas aplicando el rotacional a (iii) y (iv)

⃗∇ × (∇ ⃗ × 𝐸⃗ ) = ⃗∇(∇ ⃗ ⋅ 𝐸⃗ ) − ⃗∇2 𝐸⃗ ⃗ × (∇ ⃗ × 𝐸⃗ ) = ∇ ⃗ × (− ∇

⃗ 𝜕𝐵 𝜕 𝜕 2 𝐸⃗ ⃗ ×𝐵 ⃗ ) = −𝜇0 𝜖0 ) = − (∇ 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 2

⃗ (∇ ⃗ ⋅ 𝐸⃗ ) − ∇ ⃗ 2 𝐸⃗ = −𝜇0 𝜖0 ∇

𝜕 2 𝐸⃗ 𝜕𝑡 2

(1)

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ×𝐵 ⃗ ) = ⃗∇(∇ ⃗ ⋅𝐵 ⃗ ) − ⃗∇2 𝐵 ⃗ ∇ × (∇ ⃗ × (∇ ⃗ ×𝐵 ⃗)=∇ ⃗ × (𝜇0 𝜖0 ∇

⃗ 𝜕𝐸⃗ 𝜕 𝜕2𝐵 ⃗ × 𝐸⃗ ) = −𝜇0 𝜖0 ) = 𝜇0 𝜖0 (∇ 2 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡

⃗ (∇ ⃗ ⋅𝐵 ⃗ )−∇ ⃗ 2𝐵 ⃗ = −𝜇0 𝜖0 ∇

⃗ 𝜕2𝐵 2 𝜕𝑡

(2)

⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 y ∇ ⃗ ⋅𝐵 ⃗ = 0, las ecuaciones (1) y (2) se transforman en: Ya que ∇ ⃗ 2 𝐸⃗ = 𝜇0 𝜖0 ∇

𝜕 2 𝐸⃗ 𝜕𝑡 2

⃗ 2𝐵 ⃗ = 𝜇0 𝜖0 ∇

⃗ 𝜕2𝐵 2 𝜕𝑡

⃗ , que son ecuaciones diferenciales Se ha obtenido entonces ecuaciones separadas para 𝐸⃗ y 𝐵 ⃗ satisfacen la de segundo orden. En el vacío, cada una de las componentes cartesianas de 𝐸⃗ y 𝐵 ecuación de onda tridimensional: ∇2 𝑓 =

1 𝜕2𝑓 𝑣 2 𝜕𝑡 2

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell implican que el espacio vacío es suficiente para la transmisión de estas ondas electromagnéticas, viajando a una velocidad: 𝑣=

1 √𝜖0 𝜇𝑜

= 3.00 × 108 𝑚⁄𝑠

La cual, es precisamente la velocidad de la luz. La consecuencia es gigantesca: Tal vez la luz se trate de una onda electromagnética. Por supuesto, esta conclusión no sorprende a nadie hoy, pero imagine semejante revelación en la época de Maxwell. Recuerde como 𝜖0 y 𝜇0 aparecieron en primer lugar: Etas eran constantes en la ley de Coulomb y Biot-Savart, respectivamente. Se las midió en experimentos que involucran bolas esféricas cargadas, baterías y cables (experimentos que no tienen ninguna relación con la luz). Además, de acuerdo con la teoría de Maxwell, es posible calcular la magnitud de la velocidad de la luz a partir de estas dos constantes. Nótese el papel principal de Maxwell en su contribución a la ley de Ampere; sin este término adicional, la ecuación de onda no aparecería y no se habría podido iniciar una teoría electromagnética de la luz. Ondas planas Monocromáticas Por razones discutidas anteriormente, se centrará nuestra atención a ondas sinusoidales de frecuencia 𝜔 que satisfacen la ecuación de onda. Debido a que diferentes frecuencias en el espectro corresponden a colores diferentes, a estas ondas se las conoce como ondas monocromáticas. Supongamos que las ondas viajan en la dirección de 𝑧 y que no dependen de 𝑥 o de 𝑦; convirtiéndose esta onda, en una onda plana; porque los campos se encuentran uniformemente sobre cada plano perpendicular a la dirección de propagación. Nos interesan especialmente los campos de la forma:

𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡)

𝐵(𝑧, 𝑡) = 𝐵0 𝑒 𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡)

⃗ ya Donde 𝐸0 y 𝐵0 son las amplitudes complejas de la onda. Las ecuaciones de onda para 𝐸⃗ y 𝐵 fueron derivadas de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, cualquier solución de la ecuación de Maxwell debe obedecer la ecuación de onda, no así el recíproco de esta proposición; las ecuaciones de Maxwell imponen condiciones adicionales para 𝐸0 y 𝐵0 . En particular, debido a ⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 y ∇ ⃗ ⋅𝐵 ⃗ = 0, lo que quiere decir que: que ∇ (𝐸0 )𝑧 = (𝐵0 )𝑧 = 0 En otras palabras, las ondas electromagnéticas son ondas transversales: los campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares a la dirección de propagación. Otra condición que relaciona la amplitud eléctrica y magnética proviene de la ley de Faraday: ⃗∇ × 𝐸⃗ = −

⃗ 𝜕𝐵 𝜕𝑡

E implica: −𝑘(𝐸0 )𝑦 = 𝜔(𝐵0 )𝑥 O de forma más compacta:

𝑘(𝐸0 )𝑥 = 𝜔(𝐵0 )𝑦

𝐵0 =

𝑘 1 𝐸0 = 𝐸0 𝜔 𝑐

Si hubiéramos decidido usar ⃗ ×𝐵 ⃗ = 𝜇0 𝜖0 ∇

𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡

En lugar de la ley de Faraday, habríamos reproducido el mismo resultado. Por supuesto, la dirección de 𝑧 no tiene nada de especial, así que se puede generalizar fácilmente a ondas planas monocromáticas viajeras en una dirección arbitraria. La notación se facilita con la introducción del vector de propagación, 𝑘⃗, que apunta en la dirección de propagación, cuya magnitud es el número 𝑘. El producto escalar 𝑘⃗ ⋅ 𝑟, es la generalización apropiada de 𝑘𝑧, entonces: ⃗

𝐸(𝑟, 𝑡) = 𝐸𝑜 𝑒 𝑖(𝑘⋅𝑟−𝜔𝑡) 𝑛⃗ 1 1 ⃗ 𝐵(𝑟, 𝑡) = 𝐸0 𝑒 𝑖(𝑘⋅𝑟−𝜔𝑡) (𝑘⃗ × 𝑛⃗) = 𝑘⃗ × 𝐸⃗ 𝑐 𝑐 Donde 𝑛⃗ es el vector de polarización. Ya que 𝐸⃗ es transversal: 𝑛⃗ ⋅ 𝑘⃗ = 0 ⃗ se deduce automáticamente. En realidad los campos eléctricos y La transversalidad de 𝐵 magnéticos de una onda plana monocromática con un vector de propagación 𝑘⃗ y polarización 𝑛⃗ están dados por: ⃗ ⋅ 𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿)𝑛⃗ 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝐸0 cos(𝑘 1 ⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝐸0 cos(𝑘⃗ ⋅ 𝑟 − 𝜔𝑡 + 𝛿) (𝑘⃗ × 𝑛⃗) 𝐵 𝑐

Energía y Momento de una Onda Electromagnética De acuerdo con la ecuación de la energía almacenada por unidad de volumen en el campo electromagnético, tenemos: 1 1 𝑢 = (𝜖0 𝐸 2 + 𝐵2 ) 2 𝜇0 En el caso de una onda monocromática plana: 𝐵2 =

1 2 𝐸 = 𝜇0 𝜖0 𝐸2 𝑐2

De lo que se deduce que la contribución magnética y eléctrica tiene la misma magnitud: 𝑢 = 𝜖0 𝐸 2 = 𝜖0 𝐸02 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿) Conforme la onda viaja, esta porta energía con ella. La densidad de flujo de energía (por unidad de área, por unidad de tiempo) transportada por los campos, está dado por el vector de Poynting: 𝑆 = 𝑐𝜖0 𝐸02 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿) Nótese que 𝑆 es la densidad de energía (𝑢) multiplicada por (𝑐𝑧) para un tiempo Δ𝑡, una longitud 𝑐 Δ𝑡 pasando a través de un área 𝐴, llevando con ella una energía 𝑢𝐴𝑐 Δ𝑡. La energía por unidad de tiempo, por unidad de área transportada por la onda es entonces 𝑢𝑐. Los campos electromagnéticos no solo portan energía, sino también momento o cantidad de movimiento. De hecho, la densidad de momento almacenada en un campo es: 𝑃⃗ =

1 𝑆 𝑐2

Para ondas planas monocromáticas tenemos: 1 1 𝑃⃗ = 𝜖0 𝐸02 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿)𝑧 = 𝑢 𝑧 𝑐 𝑐 Por lo general, no nos interesa las fluctuaciones de ese término coseno elevado al cuadrado sino que todo lo que se necesita es el valor medio. Ahora, la media de un coseno cuadrado sobre un 1

ciclo completo es 2, entonces: 1 ⟨𝑢⟩ = 𝜖0 𝐸02 2 1 ⟨𝑆⟩ = 𝑐𝜖0 𝐸02 𝑧 2 ⟨𝑃⃗⟩ =

1 𝜖 𝐸2𝑧 2𝑐 0 0

El uso de brackets, ⟨ ⟩, para denotar la media sobre un ciclo completo. La potencia promedio por unidad de área transportada por una onda electromagnética se conoce como intensidad: 1 𝐼 = ⟨𝑆⟩ = 𝑐𝜖0 𝐸02 2 Cuando la luz incide sobre un cuerpo, la luz entrega un momento a su superficie. En un tiempo Δ𝑡, el momento transferido es 𝐴𝑐 Δ𝑡, así que la presión de radiación es: 𝑃=

1 Δ𝑝 1 𝐼 = 𝜖𝑜 𝐸𝑜2 = 𝐴 Δ𝑡 2 𝑐

En un reflector perfecto, la presión es dos veces más grande, porque el momento cambia de dirección en lugar de ser simplemente absorbido. Podemos entender cualitativamente esta presión como sigue: El campo eléctrico conduce cargas en la dirección 𝑥, y el campo magnético ⃗ ) en la dirección de 𝑧. La fuerza neta en todas las cargas aplica en las cargas una fuerza (𝑞𝑣 × 𝐵 sobre la superficie produce la presión.

Ondas Electromagnéticas en presencia de materia Propagación en medios lineales Dentro de la materia, pero en regiones donde no hay carga libre ni corriente libre, las ecuaciones de Maxwell se convierten en: ⃗∇ ⋅ 𝐷 ⃗ = 0 (𝑖) ⃗∇ ⋅ 𝐵 ⃗ = 0 (𝑖𝑖𝑖) ⃗ 𝜕𝐵 (𝑖𝑖𝑖) 𝜕𝑡

⃗∇ × 𝐸⃗ = − ⃗∇ × 𝐻 ⃗ =

⃗ 𝜕𝐷 (𝑖𝑣) 𝜕𝑡

1

⃗ = 𝜖𝐸⃗ y 𝐻 ⃗ = 𝐵 ⃗ y si es homogéneo (o que 𝜖 y 𝜇 no varían de punto a Si el medio es lineal, 𝐷 𝜇 punto), las ecuaciones de Maxwell se reducen a: ⃗ ⋅ 𝐸⃗ = 0 (𝑖) ∇ ⃗ ⋅𝐵 ⃗ = 0 (𝑖𝑖𝑖) ∇ ⃗ × 𝐸⃗ = − ∇

⃗ 𝜕𝐵 (𝑖𝑖𝑖) 𝜕𝑡

⃗ ×𝐵 ⃗ = 𝜇𝜖 ∇

𝜕𝐸⃗ (𝑖𝑣) 𝜕𝑡

Que solamente difieren de sus análogos en el vacío por el 𝜇𝜖. Evidentemente, las ondas electromagnéticas se propagan a través de un medio lineal y homogéneo a una velocidad: 𝑣=

1 𝑐 = √𝜖𝜇 𝑛

Donde 𝑛=√

𝜖𝜇 𝜖0 𝜇0

Es el índice de refracción del material. Para muchos materiales, 𝜇 es muy cercano 𝜇0 , así que: 𝑛 ≅ √ 𝜖𝑟 Donde 𝜖𝑟 es la constante dieléctrica. Ya que 𝜖𝑟 es casi siempre mayor que 1, la luz viaja más lentamente a través de la materia. (Hecho que es bien conocido en la óptica Todos los resultados anteriores, son aplicables son la transcripción 𝜖0 → 𝜖, 𝜇0 → 𝜇 y 𝑐 → 𝑣. La densidad de energía es: 1 1 𝑢 = (𝜖𝐸 2 + 𝐵2 ) 2 𝜇 Y el vector de Poynting resulta ser:

𝑆=

1 ⃗) (𝐸⃗ × 𝐵 𝜇

Aplicaciones Existen múltiples aplicaciones de las ondas electromagnéticas en la actualidad, las cuales son de suma importancia para la humanidad, ya que han permitido avances en medicina, tecnología, comunicaciones, etc. Entre las aplicaciones más importantes de las ondas electromagnéticas cabe mencionar: La Radio: Es una tecnología que posibilita la transmisión de señales mediante la variación de las frecuencias por medio de ondas electromagnéticas, normalmente estás ondas varían entre los 100Khz y los 107.5 Mhz. La radio tiene dos sistemas conocidos, uno es amplitud modulada (A.M.) y el otro es frecuencia modulada (F.M.), la amplitud modulada consiste en variar la amplitud de la onda electromagnética y permanecer constante la frecuencia de la onda electromagnética; mientras que la frecuencia modulada consiste en variar la frecuencia de la onda electromagnética y permanecer constante la amplitud de la onda electromagnética. Microondas: Las microondas son ondas electromagnéticas que oscilan entre frecuencias que van desde los 300 Mhz hasta los 300 Ghz; estas ondas tienen múltiples aplicaciones, como por ejemplo los tan utilizados hornos microondas, las comunicaciones, los radares, entre otros. El funcionamiento en los hornos microondas se centra en generar una radiación electromagnética de muy alta frecuencia, generando una transferencia de calor muy alta en muy poco tiempo (Cabe resaltar que estas ondas son capaces de atravesar cualquier alimento), haciendo que el agua que tienen los alimentos haga que estos se calienten rápidamente. Para las comunicaciones lo que se hace es simplemente variar el ancho de banda para obtener la señal de frecuencia como es el caso de las ondas de ultra alta frecuencia (UHF), super alta frecuencia (SHF) y frecuencia extremadamente alta (EHF). Infrarrojos: Los rayos infrarrojos son un tipo de radiación electromagnética que tiene una mayor longitud de onda que la luz visible, pero que tiene una menor longitud de onda que las microondas.

Este tipo de ondas son utilizadas en casi todos los aspectos de nuestra vida cotidiana, como por ejemplo con los tv a control remoto, los sensores de los supermercados, los de la tarjeta del bus, al escuchar música desde los discos compactos, etc.; pero también son utilizadas en radares, visores nocturnos, sensores de calor, entre otros. Los Rayos X: Sin duda alguna los rayos X pueden considerarse uno de los mayores avances en los ejemplos de ondas electromagnéticas, debido a que han influido en diferentes ramas de investigación y han ayudado a avanzar en diversos campos muy aparte del electromagnetismo como lo son la industria y la medicina.

Bibliografía Serway-Jewett, Fisica para Ciencias e Ingeniería, Tomo II, 7ma Edición, Cengage Learning, Mexico 2009. Griffiths David, Introduction to Electrodynamics, third edition, Prentice Hall, USA, 1999. http://electromagnetic-fields.wikispaces.com/ONDAS+ELECTROMAGN%C3%89TICAS